On the removability of isolated singularities of Orlicz – Sobolev classes with branching
The local behavior of closed-open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes in $R^n,\; n \geq 3$, is investigated. It is proved that the indicated mappings have continuous extensions to an isolated boundary point $x_0$ of the domain $D \setminus \{ x0\}$, whenever the $n - 1$ degree of its...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1871 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507751739817984 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:15Z |
| description | The local behavior of closed-open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes in $R^n,\; n \geq 3$, is investigated. It is proved that the indicated mappings have continuous extensions to an isolated boundary point $x_0$ of the domain $D \setminus \{ x0\}$,
whenever the $n - 1$ degree of its inner dilatation has FMO (finite mean oscillation) at this point and, in addition, the limit sets of $f$ at $x_0$ and $\partial D$ are disjoint. Another sufficient condition for the possibility of continuous extension can be
formulated as a condition of divergence of a certain integral. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Е. А. Севостьянов (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко)
ОБ УСТРАНЕНИИ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА С ВЕТВЛЕНИЕМ
The local behavior of closed-open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes in \BbbR n, n \geq 3, is investigated. It is
proved that the indicated mappings have continuous extensions to an isolated boundary point x0 of the domain D \setminus \{ x0\} ,
whenever the n - 1 degree of its inner dilatation has FMO (finite mean oscillation) at this point and, in addition, the
limit sets of f at x0 and \partial D are disjoint. Another sufficient condition for the possibility of continuous extension can be
formulated as a condition of divergence of a certain integral.
Вивчається локальна поведiнка замкнено-вiдкритих дискретних вiдображень класiв Орлiча – Соболєва в \BbbR n, n \geq 3.
Встановлено, що вказанi вiдображення мають неперервне продовження в iзольовану точку x0 межi областi D\setminus \{ x0\} ,
як тiльки їх внутрiшня дилатацiя має мажоранту класу FMO (скiнченного середнього коливання) у вказанiй точцi
i, крiм того, граничнi множини вiдображення f у x0 i на \partial D не перетинаються. Iншою достатньою умовою
можливостi неперервного продовження зазначених вiдображень є розбiжнiсть певного iнтеграла.
1. Введение. В настоящей статье исследуется некоторый подкласс отображений с конечным
искажением, активно изучаемых в последнее время рядом авторов (см., например, [1 – 3]).
Основные определения и обозначения, используемые ниже, можно найти в [2, 4].
Всюду далее D — область в \BbbR n, n \geq 2, m — мера Лебега в \BbbR n, \BbbB n = \{ x \in \BbbR n : | x| <
< 1\} . Здесь и далее предельным множеством отображения f относительно множества
E \subset \BbbR n называется множество C(f,E) := \{ y \in \BbbR n : \exists x0 \in E : y = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}m\rightarrow \infty f(xm), xm \rightarrow x0\} .
Напомним, что отображение f : D \rightarrow \BbbR n называется замкнутым, если f(A) замкнуто для
любого A \subset D. Как известно, условие замкнутости эквивалентно условию сохранения границы,
а именно, условию C(f, \partial D) \subset \partial D \prime , D \prime := f(D) (см. [5], а также [6], разд. 3, гл. II). Условие
замкнутости также эквивалентно тому, что прообраз любого компактного множества K \prime \subset D \prime
компактен в D при отображении f (см. [5], а также [6], теорема 3.3(4)). Пусть \varphi : [0,\infty ) \rightarrow
[0,\infty ) — неубывающая функция, f — локально интегрируемая вектор-функция n вещественных
переменных x1, . . . , xn, f = (f1, . . . , fn), fi \in W 1,1
loc , i = 1, . . . , n. Будем говорить, что f :
D \rightarrow \BbbR n принадлежит классу W 1,\varphi
loc (пишем f \in W 1,\varphi
loc ), если
\int
G
\varphi
\bigl(
| \nabla f(x)|
\bigr)
dm(x) < \infty для
любой компактной подобласти G \subset D, где | \nabla f(x)| =
\sqrt{} \sum n
i=1
\sum n
j=1
\biggl(
\partial fi
\partial xj
\biggr) 2
. Класс W 1,\varphi
loc
называется классом Орлича – Соболева.
Согласно результатам [7] (теорема 5) и [2] (теорема 9.3), гомеоморфизмы классов Орли-
ча – Соболева продолжаются по непрерывности в изолированную точку границы. Ниже будет
показано, что указанное утверждение переносится на класс отрыто-замкнутых дискретных
отображений, для которых C(f, x0) \cap C(f, \partial D) = \varnothing , при этом техника доказательства суще-
ственно отличается от упомянутого случая гомеоморфизмов.
Нетрудно построить соответствующие примеры негомеоморфных замкнуто-открытых дис-
кретных отображений, для которых условие C(f, x0) \cap C(f, \partial D) = \varnothing также имеет место.
Одним из таких примеров является известное „закручивание вокруг оси” — отображение,
задаваемое в цилиндрических координатах в виде fm(x) = (r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}m\varphi , r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}m\varphi , x3, . . . , xn),
c\bigcirc Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5 683
684 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
x = (x1, . . . , xn) \in D := \BbbB n, r = | z| , \varphi = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z, z = x1+ ix2, m \in \BbbN . (Здесь x0 = 0). Заметим,
что в некоторых меньших по включению областях указанное отображение fm при некотором
m утрачивает свойство замкнутости, например в случае области G := B(e1/2, 1/2) \subset \BbbB n,
e1 = (1, 0, . . . , 0) (здесь B(e1/2, 1/2), как обычно, обозначает открытый шар в \BbbR n с центром
в точке e1/2 и радиуса 1/2). Еще одним примером негомеоморфного замкнуто-открытого дис-
кретного отображения, удовлетворяющего условию C(f, x0)\cap C(f, \partial D) = \varnothing , является плоское
отображение f(z) = zn, z \in \BbbB 2 \subset \BbbC , где x0 := 0.
Ниже KI(x, f) — внутренняя дилатация отображения f в точке x (см. [2, с. 6]), а qx0(r) :=
:=
1
\omega n - 1rn - 1
\int
| x - x0| =r
Q(x) d\scrH n - 1 обозначает среднее интегральное значение функции Q над
сферой S(x0, r).
Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть n \geq 3, x0 \in D, тогда каждое открытое, дискретное и замкнутое
ограниченное отображение f : D\setminus \{ x0\} \rightarrow \BbbR n класса W 1,\varphi
loc (D\setminus \{ x0\} ) с конечным искажением
такое, что C(f, x0) \cap C(f, \partial D) = \varnothing , продолжается в точку x0 непрерывным образом до
отображения f : D \rightarrow \BbbR n, если
\infty \int
1
\biggl(
t
\varphi (t)
\biggr) 1/(n - 2)
dt <\infty , (1)
и, кроме того, найдётся функция Q \in L1
loc(D) такая, что KI(x, f) \leq Q(x) при почти всех
x \in D и при некотором \varepsilon 0 > 0, \varepsilon 0 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x0, \partial D), выполнено следующее условие расходимости
интеграла:
\varepsilon 0\int
0
dt
tq
1
n - 1
x0 (t)
= \infty . (2)
В частности, заключение теоремы (1) является справедливым, если qx0(r) = O
\Bigl( \bigl[
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 1
r
\bigr] n - 1
\Bigr)
при r \rightarrow 0.
Замечание 1. Условие (1) принадлежит Кальдерону и использовалось им для решения
задач несколько иного плана (см. [8]).
2. Вспомогательные сведения, основные леммы и доказательство теоремы 1. Поня-
тия модуля семейств поверхностей, допустимой функции, обобщенного модуля и обобщенно
допустимой функции можно найти в [2] [гл. 9).
В качестве одного из инструментов исследования классов Орлича – Соболева может быть
использован следующий класс отображений (см. [2], гл. 9), определение которого обращено к
кольцевому условию квазиконформности по Герингу [9]. Пусть D и D \prime — заданные области в
\BbbR n, n \geq 2, x0 \in D \setminus \{ \infty \} и Q : D \rightarrow (0,\infty ) — измеримая по Лебегу функция. Будем говорить,
что f : D \rightarrow D \prime является нижним Q-отображением в точке x0, если условие
M(f(\Sigma \varepsilon )) \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in ext adm\Sigma \varepsilon
\int
D\cap A(\varepsilon ,r0,x0)
\rho n(x)
Q(x)
dm(x) (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ОБ УСТРАНЕНИИ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА . . . 685
имеет место для каждого кольца A(\varepsilon , r0, x0) = \{ x \in \BbbR n : \varepsilon < | x - x0| < r0\} , r0 \in (0, d0), d0 =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\in D | z - z0| . Здесь \Sigma \varepsilon обозначает семейство всех пересечений сфер S(x0, r) с областью D,
r \in (\varepsilon , r0). Примеры нижних Q-отображений могут быть указаны явно благодаря специальной
технике (см. ниже теорему 3).
Говорят, что некоторое свойство выполнено для почти всех кривых (почти всех поверх-
ностей) области D, если оно имеет место для всех кривых (поверхностей), лежащих в D,
кроме, быть может, некоторого их подсемейства, модуль которого равен нулю. Отметим, что
выражения „почти всех кривых” и „почти всех поверхностей” имеют, вообще говоря, две раз-
личные интерпретации, так как указанное словосочетание может пониматься как относительно
зануления модуля некоторого семейства поверхностей (кривых), так и относительно тради-
ционного понимания слов „почти всюду”, т. е. зануления меры Лебега некоторого множества.
Следующее утверждение указывает на то, что различная интерпретация этих понятий не ве-
дет к разночтению. Доказательство этого утверждения полностью аналогично доказательству
леммы 9.1 из [2].
Лемма 1. Пусть x0 \in D. Если некоторое свойство P имеет место для почти всех сфер
D(x0, r) := S(x0, r)\cap D, где „почти всех” понимается в смысле модуля семейств поверхностей,
то P также имеет место для почти всех сфер D(x0, r) относительно линейной меры Лебега
по параметру r \in \BbbR . Обратно, пусть P имеет место для почти всех сфер D(x0, r) :=
:= S(x0, r)\cap D относительно линейной меры Лебега по r \in \BbbR , тогда P также имеет место
для почти всех поверхностей D(x0, r) := S(x0, r)\cap D в смысле модуля семейств поверхностей.
Следующий результат позволяет сформулировать эквивалентное определение класса ниж-
них Q-отображений без использования бесконечной серии неравенств в (3) (доказательство
проводится аналогично случаю гомеоморфизмов, без изменений, см. [2], (теорема 9.2).
Лемма 2. Пусть D, D \prime \subset \BbbR n, x0 \in D \setminus \{ \infty \} и Q : D \rightarrow (0,\infty ) — измеримая по Лебегу
функция. Отображение f : D \rightarrow D \prime является нижним Q-отображением в точке x0 тогда
и только тогда, когда M(f(\Sigma \varepsilon )) \geq
\int r0
\varepsilon
dr
| | Q| | n - 1(r)
\forall \varepsilon \in (0, r0), r0 \in (0, d0), где, как и
выше, \Sigma \varepsilon обозначает семейство всех пересечений сфер S(x0, r) с областью D, r \in (\varepsilon , r0),
\| Q\| n - 1(r) =
\Biggl( \int
D(x0,r)
Qn - 1(x) d\scrA
\Biggr) 1/n - 1
— Ln - 1-норма функции Q над сферой D(x0, r) =
= \{ x \in D : | x - x0| = r\} = D \cap S(x0, r).
Понятие конденсатора в \BbbR n и его емкости можно найти в [10] (разд. 10, гл. II). Следующие
важные сведения, касающиеся емкости пары множеств относительно области, содержатся в
работе В. Цимера [11]. Пусть G — ограниченная область в \BbbR n и C0, C1 — непересекающиеся
компактные множества, лежащие в замыкании G. Полагаем R = G \setminus (C0 \cup C1) и R \ast = R \cup
C0\cup C1. Конформной емкостью пары C0, C1 относительно замыкания G называется величина
C[G,C0, C1] = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\int
R
| \nabla u| n dm(x), где точная нижняя грань берется по всем функциям u,
непрерывным в R \ast , u \in ACL(R), таким, что u = 1 на C1 и u = 0 на C0. Указанные функции
будем называть допустимыми для величины C[G,C0, C1]. Будем говорить, что множество \sigma \subset
\BbbR n разделяет C0 и C1 в R \ast , если \sigma \cap R замкнуто в R и найдутся непересекающиеся множества
A и B, являющиеся открытыми в R \ast \setminus \sigma , такие, что R \ast \setminus \sigma = A\cup B, C0 \subset A и C1 \subset B. Пусть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
686 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
\Sigma обозначает класс всех множеств, разделяющих C0 и C1 в R \ast . Для числа n\prime = n/(n - 1)
определим величину \widetilde Mn\prime (\Sigma ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in \widetilde adm\Sigma
\int
\BbbR n
\rho n\prime
dm(x), где запись \rho \in \widetilde \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Sigma означает, что \rho
— неотрицательная борелевская функция в \BbbR n такая, что
\int
\sigma \cap R
\rho d\scrH n - 1 \geq 1 \forall \sigma \in \Sigma . Заметим,
что согласно результату Цимера см. [11], (теорема 3.13)
\widetilde Mn \prime (\Sigma ) = C[G,C0.C1]
- 1/(n - 1), (4)
Заметим также, что согласно результату Шлыка см. [12], (теорема 1)
M(\Gamma (E,F,D)) = C[D,E, F ]. (5)
Обозначим через Jn - 1f(a) величину, означающую (n - 1)-мерный якобиан отображения f в
точке a (см. [13], разд. 3.2.1). Предположим, что отображение f : D \rightarrow \BbbR n дифференцируемо в
точке x0 \in D и матрица Якоби f \prime (x0) невырождена, J(x0, f) = det f \prime (x0) \not = 0. Тогда найдутся
системы векторов e1, . . . , en и \widetilde e1, . . . , \widetilde en, а также положительные числа \lambda 1(x0), . . . , \lambda n(x0),
\lambda 1(x0) \leq . . . \leq \lambda n(x0), такие что f \prime (x0)ei = \lambda i(x0)\widetilde ei (см. [14], гл. I, теорема 2.1), при этом
| J(x0, f)| = \lambda 1(x0) . . . \lambda n(x0), \| f \prime (x0)\| = \lambda n(x0) l(f \prime (x)) = \lambda 1(x0), (6)
KI(x0, f) =
\lambda 1(x0) \cdot \cdot \cdot \lambda n(x0)
\lambda n1 (x0)
(7)
(см. [14], соотношение (2.5), разд. 2.1, гл. I). Числа \lambda 1(x0), . . . \lambda n(x0) называются главными
значениями, а векторы e1, . . . , en и \widetilde e1, . . . , \widetilde en — главными векторами отображения f \prime (x0).
Пусть S(z0, r) — произвольная сфера, проходящая через точку x0 \in \BbbR n и \widetilde f := f | S(z0,r). Из
геометрического смысла (n - 1)-мерного якобиана, а также первого соотношения в (6) следует,
что
\lambda 1(x0) . . . \lambda n - 1(x0) \leq Jn - 1
\widetilde f(x0) \leq \lambda 2(x0) . . . \lambda n(x0). (8)
В частности, из (8) следует, что Jn - 1
\widetilde f(x0) положителен во всех тех точках x0, где положителен
якобиан J(x0, f).
Для отображения f : D \rightarrow \BbbR n множества E \subset D и y \in \BbbR n, определим функцию кратнос-
ти N(y, f, E) как число прообразов точки y во множестве E, т. е.
N(y, f, E) = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d} \{ x \in E : f(x) = y\} , N(f,E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR n
N(y, f, E) . (9)
Следующие два утверждения являются базовыми. Первое из них для случая гомеоморфизмов
установлено в работе [15] (теорема 2.1).
Лемма 3. Пусть D — область в \BbbR n, n \geq 3, \varphi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) — неубывающая функция,
удовлетворяющая условию (1). Если n \geq 3, то каждое открытое дискретное отображение f :
D \rightarrow \BbbR n с конечным искажением класса W 1,\varphi
loc такое, что N(f,D) < \infty , является нижним
Q-отображением в каждой точке x0 \in D при Q(x) = N(f,D)K
1/(n - 1)
I (x, f), где KI(x, f) —
внутренняя дилатация отображения f в точке x, а кратность N(f,D) определена вторым
соотношением в (9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ОБ УСТРАНЕНИИ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА . . . 687
Доказательство. Основано на результатах монографии [13], касающихся связи дифферен-
цируемых почти всюду и липшицевых отображений, кроме того, здесь используется доказанное
в [7] свойство N на поверхностях.
Заметим, что f дифференцируемо почти всюду в силу теоремы 1 [7]. Пусть B — борелево
множество всех точек x \in D, в которых f имеет полный дифференциал f \prime (x) и J(x, f) \not = 0.
Применяя теорему Кирсбрауна и свойство единственности аппроксимативного дифференциала
(см. [13], пункты 2.10.43 и 3.1.2), видим, что множество B представляет собой не более чем
счетное объединение борелевских множеств Bl, l = 1, 2, . . . , таких, что сужения fl = f | Bl
являются билипшицевыми гомеоморфизмами (см., например, [13], пункты 3.2.2, 3.1.4 и 3.1.8).
Без ограничения общности, можем полагать, что множества Bl попарно не пересекаются.
Обозначим также символом B\ast множество всех точек x \in D, в которых f имеет полный
дифференциал, однако, f \prime (x) = 0.
Согласно построению, множество B0 := D \setminus (B
\bigcup
B\ast ) имеет лебегову меру нуль. Следова-
тельно, по теореме 9.1 [2], \scrH n - 1(B0 \cap Sr) = 0 для почти всех сфер Sr : = S(x0, r) с центром
в точке x0 \in D, где „почти всех” следует понимать в смысле конформного модуля семейств
поверхностей. По лемме 1 также \scrH n - 1(B0 \cap Sr) = 0 при почти всех r \in \BbbR .
Согласно следствию 2 [2], из условия \scrH n - 1(B0\cap Sr) = 0 для почти всех r \in \BbbR следует, что
\scrH n - 1(f(B0\cap Sr)) = 0 для почти всех r \in \BbbR . По этому предложению также \scrH n - 1(f(B\ast \cap Sr)) =
= 0, так как f — отображение с конечным искажением, а значит, \nabla f = 0 почти всюду, где
J(x, f) = 0.
Пусть \Gamma — семейство всех пересечений сфер Sr, r \in (\varepsilon , r0), r0 < d0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in D | x - x0| , с
областью D. Для заданной функции \rho \ast \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m} f(\Gamma ), \rho \ast \equiv 0 вне f(D), полагаем \rho \equiv 0 вне D
и на D \setminus B и, кроме того,
\rho (x) := \rho \ast (f(x))
\Bigl(
| J(x, f)| K1/(n - 1)
I (x, f)
\Bigr) 1/n
при x \in D \setminus B.
Учитывая соотношения (6) и (8), имеем\Bigl(
| J(x, f)| K1/(n - 1)
I (x, f)
\Bigr) (n - 1)/n
\geq Jn - 1
\widetilde f(x), (10)
где \widetilde f = f | Sr . Пусть D \ast
r \in f(\Gamma ), D \ast
r = f(D\cap Sr). Заметим, что D \ast
r =
\bigcup \infty
i=0 f(Sr\cap Bi)
\bigcup
f(Sr\cap
\cap B\ast ) и, следовательно, для почти всех r \in (\varepsilon , r0)
1 \leq
\int
D \ast
r
\rho n - 1
\ast (y)d\scrA \ast \leq
\infty \sum
i=0
\int
f(Sr\cap Bi)
\rho n - 1
\ast (y)N(y, f, Sr \cap Bi)d\scrH n - 1y+
+
\int
f(Sr\cap B\ast )
\rho n - 1
\ast (y)N(y, f, Sr \cap B\ast )d\scrH n - 1y. (11)
Учитывая доказанное выше, из (11) получаем, что
1 \leq
\int
D \ast
r
\rho n - 1
\ast (y)d\scrA \ast \leq
\infty \sum
i=1
\int
f(Sr\cap Bi)
\rho n - 1
\ast (y)N(y, f, Sr \cap Bi)d\scrH n - 1y (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
688 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
для почти всех r \in (\varepsilon , r0). Рассуждая покусочно на Bi, i = 1, 2, . . . , согласно теореме 3.2.5
[13] и (10) убеждаемся, что\int
Bi\cap Sr
\rho n - 1 d\scrA =
\int
Bi\cap Sr
\rho n - 1
\ast (f(x))
\Bigl(
| J(x, f)| K1/(n - 1)
I (x, f)
\Bigr) (n - 1)/n
d\scrA =
=
\int
Bi\cap Sr
\rho n - 1
\ast (f(x)) \cdot
\Bigl(
| J(x, f)| K1/(n - 1)
I (x, f)
\Bigr) (n - 1)/n
Jn - 1f(x)
Jn - 1f(x) d\scrA \geq
\geq
\int
Bi\cap Sr
\rho n - 1
\ast (f(x))Jn - 1f(x) d\scrA =
\int
f(Bi\cap Sr)
\rho n - 1
\ast N(y, f, Sr \cap Bi)d\scrH n - 1y (13)
для почти всех r \in (\varepsilon , r0). Из (12) и (13) следует, что \rho \in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t} \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma .
Замена переменных на каждом Bl, l = 1, 2, . . . , (см., например, [13], теорема 3.2.5)
и свойство счетной аддитивности интеграла приводят к оценке
\int
D
\rho n(x)
K
1/n - 1
I (x, f)
dm(x) \leq
\leq
\int
f(D)
N(f,D)\rho n
\ast (y) dm(y), что и завершает доказательство.
Имеет место следующее утверждение (см. [16], лемма 3.11, и [10], лемма 2.6, гл. III).
Предложение 1. Для каждого a > 0 существует такое положительное число \delta > 0, что
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} (\BbbB n, C) \geq \delta , где C — произвольный континуум в \BbbB n такой что d(C) \geq a.
Аналог следующей леммы в случае гомеоморфизмов доказан в монографии [2] (теоре-
ма 9.3).
Лемма 4. Пусть n \geq 2, x0 \in D и Q : D \rightarrow (0,\infty ) — измеримая по Лебегу функция такая,
что при некотором \varepsilon 0 > 0, \varepsilon 0 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(x0, \partial D), выполнено условие расходимости интеграла
\varepsilon 0\int
0
dt
t\widetilde q1/(n - 1)
x0 (t)
= \infty , (14)
где \widetilde qx0(r) — среднее интегральное значение функции Qn - 1(x) на сфере S(x0, r). Тогда каждое
ограниченное открытое, дискретное и замкнутое в области D\setminus \{ x0\} нижнее Q-отображение
f : D \setminus \{ x0\} \rightarrow \BbbR n продолжается в точку x0 непрерывным образом до отображения f :
D \rightarrow \BbbR n, если C(f, x0) \cap C(f, \partial D) = \varnothing .
Доказательство. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что x0 = 0
и f(D \setminus \{ 0\} ) \subset \BbbB n. Предположим противное, а именно, что отображение f не может быть
продолжено по непрерывности в точку x0 = 0. Тогда найдутся две последовательности xj
и x \prime
j , принадлежащие D \setminus \{ 0\} , xj \rightarrow 0, x \prime
j \rightarrow 0, такие, что | f(xj) - f(x \prime
j)| \geq a > 0 для
всех j \in \BbbN . Можно считать, что xj и x \prime
j лежат внутри шара B(0, r0), r0 := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(0, \partial D).
Полагаем rj = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
| xj | , | x \prime
j |
\Bigr\}
, lj = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl\{
| xj | , | x \prime
j |
\Bigr\}
. Соединим точки xj и x \prime
j замкнутой
кривой, лежащей в B(0, rj) \setminus B(0, lj). Обозначим эту кривую символом Cj и рассмотрим
конденсатор Ej =
\bigl(
D \setminus \{ 0\} , Cj
\bigr)
. В силу открытости и непрерывности отображения f пара
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ОБ УСТРАНЕНИИ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА . . . 689
f(Ej) также является конденсатором. Поскольку f — открытое и замкнутое отображение,
\partial f(D \setminus \{ 0\} ) = C(f, \partial D) \cup C(f, 0).
Рассмотрим при rj < r < r0 проколотый шар G1 := B(0, r) \setminus \{ 0\} . Заметим, что Cj —
компактное подмножество G1, тогда f(Cj) — компактное подмножество f(G1).
В силу открытости f имеет место включение \partial f(G1) \subset C(f, 0) \cup f(S(0, r)), откуда в
силу замкнутости и открытости отображения f множество \partial f(G1) \setminus C(f, 0) является замкну-
тым в \BbbR n.
Отсюда следует, что множество \sigma := \partial f(G1) \setminus C(f, 0) отделяет f(Cj) от C(f, \partial D) в
f(D \setminus \{ 0\} ) \cup C(f, \partial D). Действительно,
f(D \setminus \{ 0\} ) \cup C(f, \partial D) = f(G1) \cup \sigma \cup
\Bigl(
f(D \setminus \{ 0\} ) \cup C(f, \partial D) \setminus f(G1)
\Bigr)
,
каждое из множеств A := f(G1) и B := f(D \setminus \{ 0\} ) \cup C(f, \partial D) \setminus f(G1) открыто в топологии
пространства f(D \setminus \{ 0\} ) \cup C(f, \partial D), A \cap B = \varnothing , C0 := f(Cj) \subset A и C1 := C(f, \partial D) \subset B.
Поскольку \sigma \subset f(S(0, r)), в силу (4) и (5)
M
\bigl(
\Gamma
\bigl(
f(Cj), C(f, \partial D), f(D \setminus \{ 0\} )
\bigr) \bigr)
\leq 1
Mn - 1(f(\Sigma r))
, (15)
где \Sigma r — семейство сфер S(0, r), r \in (rj , r0). С другой стороны, из леммы 2 и условия
расходимости интеграла (14) следует, что Mn - 1(f(\Sigma r) \rightarrow \infty при j \rightarrow \infty . В таком случае
из (15) следует, что
M
\bigl(
\Gamma
\bigl(
C(f,D), f(Cj), f(D \setminus \{ 0\} )
\bigr) \bigr)
\rightarrow 0 при j \rightarrow \infty . (16)
Аналогичную процедуру проведем относительно предельного множества C(f, 0). Именно, за-
метим, что Cj — компакт в G2 := D \setminus B(0, \varepsilon ) для произвольного \varepsilon \in (0, lj). Тогда вследствие
непрерывности f множество f(Cj) является компактным подмножеством f(G2) = f(D \setminus
B(0, \varepsilon )) и, в частности, \partial f(D \setminus B(0, \varepsilon )) \cap f(Cj) = \varnothing . Далее, заметим, что \partial f(D \setminus B(0, \varepsilon )) \subset
\subset C(f, \partial D) \cup f(S(0, \varepsilon )). Пусть \theta := \partial f(G2) \setminus C(f, \partial D). Заметим, что \theta является замкнутым,
так как \partial f(G2) \subset f(S(0, \varepsilon ))\cup C(f, \partial D) и C(f, \partial D)\cap f(S(0, \varepsilon )) = \varnothing в силу замкнутости отоб-
ражения f в D\setminus \{ 0\} . Кроме того \theta отделяет C3 := f(Cj) и C4 := C(f, 0) в f(D\setminus \{ 0\} )\cup C(f, 0).
Действительно,
f(D \setminus \{ 0\} ) \cup C(f, 0) = f(G2) \cup \theta \cup
\Bigl(
f(D \setminus \{ 0\} ) \cup C(f, 0) \setminus f(G2)
\Bigr)
,
A = f(G2) и B =
\Bigl(
f(D \setminus \{ 0\} ) \cup C(f, 0) \setminus f(G2)
\Bigr)
открыты в топологии пространства f(D \setminus
\{ 0\} ) \cup C(f, 0), A \cap B = \varnothing , C3 := f(Cj) \subset A и C4 := C(f, 0) \subset B.
Поскольку \theta \subset f(S(0, \varepsilon )), в силу (4) и (5) получаем
M(\Gamma (f(Cj), C(f, 0), f(D \setminus \{ 0\} ))) \leq 1
Mn - 1(f(\Theta \varepsilon ))
, (17)
где \Theta \varepsilon — семейство сфер S(0, \varepsilon ), \varepsilon \in (0, lj). С другой стороны, из леммы 2 и условия рас-
ходимости интеграла (14) следует, что Mn - 1(f(\Theta \varepsilon ) = \infty . В таком случае из (17) вытекает,
что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
690 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
M
\bigl(
\Gamma
\bigl(
C(f, 0), f(Cj), f(D \setminus \{ 0\} )
\bigr) \bigr)
= 0. (18)
Заметим, что в силу предложения 10.2, гл. II [10] и полуаддитивности модуля смейств кривых
(см. [17], разд. 6, гл. I) при j \rightarrow \infty из (16) и (18) следует, что
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f(Ej) \leq
\leq M
\bigl(
\Gamma
\bigl(
C(f, 0), f(Cj), f(D \setminus \{ 0\} )
\bigr) \bigr)
+M
\bigl(
\Gamma
\bigl(
C(f, \partial D), f(Cj), f(D \setminus \{ 0\} )
\bigr) \bigr)
\rightarrow 0. (19)
С другой стороны, по предложению 1 \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f(Ej) \geq \delta > 0 при всех натуральных j, что проти-
воречит (19).
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1 следует из лемм 3 и 4, а также того факта, что максимальная
кратность N(f,D) замкнутого открытого дискретного отображения f конечна (см., напри-
мер, лемму 3.3 [18]).
3. Некоторые следствия и замечания. Еще один важный результат, относящийся к устра-
нению особенностей классов Орлича – Соболева, касается функций конечного среднего коле-
бания (см. [2, 19]). В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное утверждение
(см., например, лемму 7.4 [2] либо лемму 2.2 [20]).
Предложение 2. Пусть x0 \in \BbbR n, Q(x) — измеримая по Лебегу функция, Q : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ],
Q \in L1
loc(\BbbR n). Полагаем A := A(r1, r2, x0) = \{ x \in \BbbR n : r1 < | x - x0| < r2\} и \eta 0(r) =
=
1
Irq
1/(n - 1)
x0 (r)
, где
I := I = I(x0, r1, r2) =
r2\int
r1
dr
rq
1/(n - 1)
x0 (r)
и qx0(r) :=
1
\omega n - 1rn - 1
\int
| x - x0| =r
Q(x) d\scrH n - 1
— среднее интегральное значение функции Q над сферой S(x0, r). Тогда
\omega n - 1
In - 1
=
\int
A
Q(x)\eta n0 (| x - x0| )dm(x) \leq
\int
A
Q(x)\eta n(| x - x0| )dm(x) (20)
для любой измеримой по Лебегу функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такой, что
\int r2
r1
\eta (r)dr = 1.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть n \geq 3, x0 \in D, тогда каждое открытое, дискретное и замкнутое
ограниченное отображение f : D\setminus \{ x0\} \rightarrow \BbbR n класса W 1,\varphi
loc (D\setminus \{ x0\} ) с конечным искажением
такое, что C(f, x0) \cap C(f, \partial D) = \varnothing , продолжается в точку x0 непрерывным образом до
отображения f : D \rightarrow \BbbR n, если выполнено условие (1) и, кроме того, найдется функция
Q \in L1
loc(D) такая, что KI(x, f) \leq Q(x) при почти всех x \in D и Q \in FMO(x0).
Доказательство. Достаточно установить, что из предположения Q \in FMO(x0) следует
расходимость интеграла (2). В таком случае необходимое заключение будет следствием теоре-
мы 1. Отметим, что условие типа FMO в точке x0 влечет выполнения условия\int
\varepsilon <| x| <e0
Q(x+ x0) dm(x)\Bigl(
| x| \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 1
| x|
\Bigr) n = O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
\varepsilon
\biggr)
(21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ОБ УСТРАНЕНИИ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА . . . 691
при \varepsilon \rightarrow 0 и для некоторого e0 > 0, e0 \leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(0, \partial D) (см. [2], следствие 6.3). При \varepsilon 0 <
< r0 := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(0, \partial D) положим \psi (t) :=
1
t \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
t
, I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\int \varepsilon 0
\varepsilon
\psi (t)dt = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
\varepsilon
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
\varepsilon 0
и \eta (t) :=
:= \psi (t)/I(\varepsilon , \varepsilon 0). Отметим, что
\int \varepsilon 0
\varepsilon
\eta (t)dt = 1, более того, из (21) следует, что
1
In(\varepsilon , \varepsilon 0)
\int
\varepsilon <| x| <\varepsilon 0
Q(x)\psi n(| x| ) dm(x) \leq C
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
\varepsilon
\biggr) 1 - n
\rightarrow 0 (22)
при \varepsilon \rightarrow 0. Из (20) и (22) непосредственно следует расходимость интеграла в (2), что и
доказывает исходное утверждение.
Следующий результат указывает на то, что в предположениях теорем 1 и 2 условия на
функцию Q не удается ослабить требованием локальной интегрируемости функции Q в степе-
ни p, насколько ни была бы велика эта степень. Ограничимся рассмотрением частного случая
D = \BbbB n, n \geq 3.
Теорема 3. Пусть \varphi : [0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ) — произвольная неубывающая функция. Для каж-
дого p \geq 1 существуют функция Q : \BbbB n \rightarrow [1,\infty ], Q(x) \in Lp(\BbbB n) и равномерно ограниченный
гомеоморфизм g : \BbbB n \setminus \{ 0\} \rightarrow \BbbR n, g \in W 1,\varphi
loc (\BbbB
n \setminus \{ 0\} ), имеющий конечное искажение, такой,
что KI(x, f) \leq Q(x), при этом g не продолжается по непрерывности в точку x0 = 0.
Доказательство. Рассмотрим следующий пример. Зафиксируем числа p \geq 1 и \alpha \in
\in (0, n/p(n - 1)) . Можно считать, что \alpha < 1 в силу произвольности выбора p. Зададим
гомеоморфизм g : \BbbB n \setminus \{ 0\} \rightarrow \BbbR n следующим образом: g(x) =
1 + | x| \alpha
| x|
x. Заметим, что отобра-
жение g переводит шар D = \BbbB n в кольцо D \prime = B(0, 2) \setminus \BbbB n, при этом C(g, 0) = \BbbS n - 1 (отсюда
следует, что g не имеет предела в нуле). Заметим, что g \in C1(\BbbB n \setminus \{ 0\} ), в частности g \in W 1,1
loc .
Далее, в каждой точке x \in \BbbB n \setminus \{ 0\} отображения g : \BbbB n \setminus \{ 0\} \rightarrow \BbbR n вычислим внутреннюю
дилатацию отображения g в точке x, воспользовавшись правилом (7). Поскольку g имеет вид
g(x) =
x
| x|
\rho (| x| ), непосредственным подсчетом соответствующих производных по направле-
нию можно убедиться, что в качестве главных векторов ei1 , . . . , ein и \widetilde ei1 , . . . ,\widetilde ein можно взять
n - 1 линейно независимых касательных векторов к сфере S(0, r) в точке x0, где | x0| = r,
и один ортогональный к ним вектор в указанной точке. Соответствующие главные растяже-
ния (называемые, соответственно, касательными растяжениями и радиальным растяжением)
равны \lambda \tau (x0) := \lambda i1(x0) = . . . = \lambda in - 1(x0) =
\rho (r)
r
и \lambda r(x0) := \lambda in = \rho \prime (r) соответственно.
Согласно изложенному, \lambda \tau (x) =
| x| \alpha + 1
| x|
, \lambda r(x) = \alpha | x| \alpha - 1, l(g \prime (x)) = \alpha | x| \alpha - 1, \| g \prime (x)\| =
=
| x| \alpha + 1
| x|
, | J(x, g)| =
\biggl(
| x| \alpha + 1
| x|
\biggr) n - 1
\alpha | x| \alpha - 1 и KI(x, g) =
\biggl(
1 + | x| \alpha
\alpha | x| \alpha
\biggr) n - 1
. Заметим, что
если G — произвольная компактная область в \BbbB n \setminus \{ 0\} , то \| g \prime (x)\| \leq c(G) < \infty , кроме
того, нетрудно видеть, что | \nabla g(x)| \leq n1/2\| g \prime (x)\| при почти всех x \in \BbbB n \setminus \{ 0\} . Тогда в
силу неубывания функции \varphi выполнено
\int
G
\varphi (| \nabla g(x)| )dm(x) \leq \varphi (n1/2c(G))m(G) < \infty , т. е.,
g \in W 1,\varphi (G). Заметим, что отображение g имеет конечное искажение, так как его якобиан
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
692 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
почти всюду не равен нулю; кроме того, KI(x, g) = Q(x), где Q =
\biggl(
1 + | x| \alpha
\alpha | x| \alpha
\biggr) n - 1
, и Q(x) \leq
\leq C
| x| \alpha (n - 1)
, C :=
\biggl(
2
\alpha
\biggr) n - 1
. Следовательно, имеем\int
\BbbB n
(Q(x))p dm(x) \leq Cp
\int
\BbbB n
dm(x)
| x| p\alpha (n - 1)
=
= Cp
1\int
0
\int
S(0,r)
d\scrA
| x| p\alpha (n - 1)
dr = \omega n - 1C
p
1\int
0
dr
r(n - 1)(p\alpha - 1)
. (23)
Поскольку интеграл I :=
\int 1
0
dr
r\beta
, как известно, сходится при \beta < 1, то и интеграл в пра-
вой части соотношения (23) также сходится
\bigl(
здесь показатель степени \beta := (n - 1)(p\alpha - 1)
удовлетворяет условию \beta < 1 при \alpha \in (0, n/p(n - 1))
\bigr)
. Следовательно, Q(x) \in Lp(\BbbB n).
Следующее утверждение указывает на то, что условие (2) является не только достаточным,
но и необходимым условием непрерывного продолжения отображения в изолированную точку
границы.
Теорема 4. Пусть \varphi : [0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ) — произвольная неубывающая функция и 0 < \varepsilon 0 <
< 1. Для каждой измеримой по Лебегу функции Q : \BbbB n \rightarrow [1,\infty ], Q \in Lloc(\BbbB n), такой, что\int \varepsilon 0
0
dt
tq
1/(n - 1)
0 (t)
< \infty , найдется ограниченное отображение f \in W 1,\varphi
loc (\BbbB
n \setminus \{ 0\} ) с конечным
искажением, которое не может быть продолжено в точку x0 = 0 непрерывным образом, при
этом, KI(x, f) \leq \widetilde Q(x) почти всюду, где \widetilde Q(x) — некоторая измеримая по Лебегу функция,
такая, что
\widetilde q0(r) := 1
\omega n - 1rn - 1
\int
S(0,r)
\widetilde Q(x)d\scrH n - 1 = q0(r)
для почти всех r \in (0, 1).
Доказательство. Определим отображение f : \BbbB n \setminus \{ 0\} \rightarrow \BbbR n следующим образом: f(x) =
=
x
| x|
\rho (| x| ), где \rho (r) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
-
\int 1
r
dt
tq
1/(n - 1)
0 (t)
\Biggr\}
. Заметим, что f \in ACL и отображение f
дифференцируемо почти всюду в \BbbB n \setminus \{ 0\} . Ввиду техники, изложенной перед формулировкой
леммы 3,
\| f \prime (x)\| =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
-
\int 1
| x|
dt
tq
1/(n - 1)
0 (t)
\Biggr\}
| x|
, l(f \prime (x)) =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
-
\int 1
| x|
dt
tq
1/(n - 1)
0 (t)
\Biggr\}
| x| q1/(n - 1)
0 (| x| )
и
| J(x, f)| =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
- n
\int 1
| x|
dt
tq
1/(n - 1)
0 (t)
\Biggr\}
| x| nq1/(n - 1)
0 (| x| )
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
ОБ УСТРАНЕНИИ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА . . . 693
Поскольку почти всюду J(x, f) \not = 0, отображение f является отображением с конечным ис-
кажением. Имеем также \varphi (| \nabla f(x)| ) \in L1
loc(\BbbB n \setminus \{ 0\} ), ибо \| f \prime (x)\| локально ограничена в
\BbbB n \setminus \{ 0\} , а функция \varphi является неубывающей. Непосредственными вычислениями убеждаем-
ся, что KI(x, f) = q0(| x| ). Полагая \widetilde Q(x) := q0(| x| ), имеем \widetilde q0(r) = q0(r) почти всюду. Осталось
заметить, что отображение f не имеет непрерывного продолжения в точку x0 = 0 вследствие
его построения и с учетом условия
\int \varepsilon 0
0
dt
tq
1/(n - 1)
0 (t)
<\infty .
Литература
1. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and non-linear analysis. – Oxford: Clarendon Press, 2001. – 552 p.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Sci. +
Business Media, LLC, 2009.
3. Gutlyanskii V. Ya., Ryazanov V. I., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach // Develop.
Math. – New York etc.: Springer, 2012. – 26.
4. Севостьянов Е. А. О точках ветвления отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности //
Сиб. мат. журн. – 2010. – 51, № 5. – С. 1129 – 1146.
5. Зелинский Ю. Б. Некоторые критерии гомеоморфизма при отображении областей евклидова пространства //
Труды VIII летней мат. школы. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1971. – С. 194 – 211.
6. Vuorinen M. Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A 1. Math. Dissertationes. – 1976. – 11. – P. 1 – 44.
7. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории классов Орлича – Соболева //
Алгебра и анализ. – 2013. – 25, № 6. – С. 50 – 102.
8. Calderon A. P. On the differentiability of absolutely continuous functions // Riv. mat. Univ. Parma. – 1951. – 2. –
P. 203 – 213.
9. Gehring F. W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103. – P. 353 – 393.
10. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – Berlin: Springer-Verlag, 1993. – 26, № 3.
11. Ziemer W. P. Extremal length and conformal capacity // Trans. Amer. Math. Soc. – 1967. – 126, № 3. – P. 460 – 473.
12. Шлык В. А. О равенстве p-емкости и p-модуля // Сиб. мат. журн. – 1993. – 34, № 6. – С. 216 – 221.
13. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987.
14. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск: Наука, 1982.
15. Kovtonuyk D., Ryazanov V. New modulus estimates in Orlicz – Sobolev classes // Ann. Univ. Bucharest. Math. Ser. –
2014. – 5 (63). – P. 131 – 135.
16. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Distortion and singularities of quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
A1. – 1970. – 465. – P. 1 – 13.
17. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – Berlin etc.: Springer – Verlag,
1971. – 229.
18. Martio O., Srebro U. Periodic quasimeromorphic mappings // J. Anal. Math. – 1975. – 28. – P. 20 – 40.
19. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. – 2005. – 2,
№ 3. – С. 395 – 417.
20. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеоморфизмов // Сиб.
мат. журн. – 2007. – 48, № 6. – С. 1361 – 1376.
Получено 08.06.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-1871 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:18Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/23/b37680e32a5581708d12686afd679523.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18712019-12-05T09:30:15Z On the removability of isolated singularities of Orlicz – Sobolev classes with branching Об устранении изолированных особенностей классов Орлича – Соболева с ветвлением Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. The local behavior of closed-open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes in $R^n,\; n \geq 3$, is investigated. It is proved that the indicated mappings have continuous extensions to an isolated boundary point $x_0$ of the domain $D \setminus \{ x0\}$, whenever the $n - 1$ degree of its inner dilatation has FMO (finite mean oscillation) at this point and, in addition, the limit sets of $f$ at $x_0$ and $\partial D$ are disjoint. Another sufficient condition for the possibility of continuous extension can be formulated as a condition of divergence of a certain integral. Вивчається локальна поведiнка замкнено-вiдкритих дискретних вiдображень класiв Орлiча – Соболєва в $R^n,\; n \geq 3$. Встановлено, що вказанi вiдображення мають неперервне продовження в iзольовану точку $x_0$ межi областi $D \setminus \{ x0\}$, як тiльки їх внутрiшня дилатацiя має мажоранту класу FMO (скiнченного середнього коливання) у вказанiй точцi i, крiм того, граничнi множини вiдображення $f$ у $x_0$ i на $\partial D$ не перетинаються. Iншою достатньою умовою можливостi неперервного продовження зазначених вiдображень є розбiжнiсть певного iнтеграла. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1871 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 5 (2016); 683-693 Український математичний журнал; Том 68 № 5 (2016); 683-693 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1871/853 Copyright (c) 2016 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On the removability of isolated singularities of Orlicz – Sobolev classes with branching |
| title | On the removability of isolated singularities of Orlicz – Sobolev classes with branching |
| title_alt | Об устранении изолированных особенностей классов Орлича – Соболева с ветвлением |
| title_full | On the removability of isolated singularities of Orlicz – Sobolev classes with branching |
| title_fullStr | On the removability of isolated singularities of Orlicz – Sobolev classes with branching |
| title_full_unstemmed | On the removability of isolated singularities of Orlicz – Sobolev classes with branching |
| title_short | On the removability of isolated singularities of Orlicz – Sobolev classes with branching |
| title_sort | on the removability of isolated singularities of orlicz – sobolev classes with branching |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1871 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea ontheremovabilityofisolatedsingularitiesoforliczsobolevclasseswithbranching AT sevostʹânovea ontheremovabilityofisolatedsingularitiesoforliczsobolevclasseswithbranching AT sevostʹânovea ontheremovabilityofisolatedsingularitiesoforliczsobolevclasseswithbranching AT sevost039yanovea obustraneniiizolirovannyhosobennostejklassovorličasobolevasvetvleniem AT sevostʹânovea obustraneniiizolirovannyhosobennostejklassovorličasobolevasvetvleniem AT sevostʹânovea obustraneniiizolirovannyhosobennostejklassovorličasobolevasvetvleniem |