Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differential functions in $L_2$. I
For the generalized moduli of continuity, including the ordinary moduli of continuity and various their modifications, we establish the exact constants for Jackson-type inequalities in the classes of $2\pi$ -periodic functions in the space $L_2$ with $(\psi , \beta)$-derivatives, introduced by Stepa...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1874 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507754724065280 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:37Z |
| description | For the generalized moduli of continuity, including the ordinary moduli of continuity and various their modifications, we establish the exact constants for Jackson-type inequalities in the classes of $2\pi$ -periodic functions in the space $L_2$ with $(\psi , \beta)$-derivatives, introduced by Stepanets. These results take into account the classification of $(\psi , \beta)$-derivatives and enable us to consider the major part of Jackson-type inequalities obtained earlier in the classes of differentiable functions
$L_2^r,\; r \in N$, from the common point of view. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Днепропетр. ун-т им. А. Нобеля)
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА
С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ
И ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ \bfitn -ПОПЕРЕЧНИКОВ
КЛАССОВ (\bfitpsi , \bfitbeta )-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В \bfitL \bftwo . I
For the generalized moduli of continuity, including the ordinary moduli of continuity and various their modifications, we
establish the exact constants for Jackson-type inequalities in the classes of 2\pi -periodic functions in the space L2 with
(\psi , \beta )-derivatives, introduced by Stepanets. These results take into account the classification of (\psi , \beta )-derivatives and
enable us to consider the major part of Jackson-type inequalities obtained earlier in the classes of differentiable functions
Lr2, r \in \BbbN , from the common point of view.
На класах 2\pi -перiодичних функцiй, якi мають уведенi О. I. Степанцем (\psi , \beta )-похiднi, у просторi L2 отримано
точнi константи у нерiвностях типу Джексона для узагальнених модулiв неперервностi, якi включають в себе
як звичайнi модулi неперервностi, так i рiзнi їх модифiкацiї. Данi результати, з огляду на класифiкацiю (\psi , \beta )-
похiдних, дозволяють з єдиних позицiй розглядати бiльшiсть отриманих ранiше нерiвностей типу Джексона на
класах диференцiйовних функцiй Lr2, r \in \BbbN .
1. Введение. В 1911 г. Д. Джексон доказал [1], что для произвольной непрерывной 2\pi -перио-
дической функции f \in C := C([0, 2\pi ]) выполняется неравенство
En - 1(f)C \leq k\omega 1
\biggl(
f,
1
n
\biggr)
C
, n \in \BbbN , (1.1)
где k — константа, En - 1(f)C — наилучшее приближение функции f в метрике пространства C
подпространством \frakN \top
2n - 1 тригонометрических полиномов порядка n - 1, а \omega 1(f, t)C — модуль
непрерывности функции f, определяемый формулой
\omega 1(f, t)C := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \| f(\cdot + \tau ) - f(\cdot )\| C : | \tau | \leq t\} , \| f\| C := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | f(x)| : 0 \leq x \leq 2\pi \} .
С помощью предложенного линейного положительного метода приближения Д. Джексон по-
казал, что в неравенстве (1.1) константа k = 6. Вторым неравенством Д. Джексона принято
называть неравенство вида
En - 1(f)C \leq \widetilde k\omega 1
\biggl(
f (r),
1
n
\biggr)
C
, n \in \BbbN , (1.2)
в котором, как было показано в [2], \widetilde k \leq krn
- r, где константа kr не зависит от f и n, kr \leq 6r. В
соотношении (1.2) f принадлежит классу Cr := Cr([0, 2\pi ]), состоящему из 2\pi -периодических
r раз непрерывно дифференцируемых функций.
Отметим, что С. Б. Стечкин в работе [3] получил неравенство (1.1) для модулей непрерывно-
сти m-го порядка, где m \in \BbbN , m \geq 2. Поэтому указанный случай называют еще неравенством
типа Джексона – Стечкина.
c\bigcirc С. Б. ВАКАРЧУК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6 723
724 С. Б. ВАКАРЧУК
В последующем неравенства (1.1), (1.2) были перенесены на пространства
Lp := Lp([0, 2\pi ]), 1 \leq p < \infty , состоящие из 2\pi -периодических измеримых суммируемых
в p-й степени функций (см., например, монографию [4] и приведенную в ней библиографию).
Благодаря усилиям многих математиков неравенства типа Д. Джексона были распространены
на пространства функций многих переменных, заданных как на классических многообразиях,
так и на многообразиях общей природы.
Много усилий было затрачено и на получение точной постоянной в неравенстве (1.1). Пер-
вое точное неравенство Д. Джексона в пространстве C было установлено Н. П. Корнейчуком
[5] в 1962 г. Следующий шаг в 1967 г. сделал Н. И. Черных [6], получивший неравенство
Д. Джексона с точной константой в пространстве L2. Распространение указанного результата
на многомерный случай было осуществлено В. А. Юдиным в работе [7]. Продолжая исследова-
ния [6], Н. И. Черных [8] доказал неравенство Д. Джексона с точной константой в пространстве
Lp, 1 \leq p < 2. Интерес к получению точных констант в неравенствах Д. Джексона объясняется
тем, что каждый новый случай обычно связан с появлением нового подхода, в основе которого
лежит некоторый принципиально новый факт, например новое точное неравенство, часто име-
ющее простой геометрический смысл. Следует отметить, что указанной тематике посвящен ряд
работ, среди которых, в первую очередь, отметим результаты В. И. Бердышева, Л. В. Тайкова,
А. А. Лигуна, В. В. Арестова, А. Г. Бабенко, В. И. Иванова, О. И. Смирнова и других (см.,
например, [10 – 27]). Указанный перечень работ не претендует на полноту, поскольку главной
целью данной статьи является получение точных неравенств типа Д. Джексона для обобщен-
ных модулей непрерывности в пространстве L2 на классах 2\pi -периодических функций одной
переменной, заданных обобщенными операторами дифференцирования. Также уделено внима-
ние вычислению точных значений некоторых n-поперечников классов функций, определенных
исходя из рассматриваемых характеристик гладкости и обобщенных операторов дифференци-
рования. Для характеристик гладкости, имеющих набор определенных свойств, в конце второй
части статьи приведено несколько примеров применения изложенного подхода к получению
неравенств типа Д. Джексона в пространстве L2 .
2. Некоторые предварительные сведения. 2.1. Приведем необходимые понятия и опре-
деления, связанные с рассматриваемой тематикой. Под L2 понимаем пространство измеримых
по Лебегу 2\pi -периодических функций с конечной нормой
\| f\| =
\left\{ 1
\pi
2\pi \int
0
| f(x)| 2dx
\right\}
1/2
.
Известно, что для произвольной функции f \in L2, имеющей разложение в ряд Фурье
f(x) \sim a0(f)
2
+
\infty \sum
j=1
(aj(f) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jx+ bj(f) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} jx) ,
где
aj(f) =
1
\pi
2\pi \int
0
f(x) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jxdx, bj(f) =
1
\pi
2\pi \int
0
f(x) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} jxdx, j \in \BbbZ +,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 725
— коэффициенты Фурье, величина ее наилучшего приближения в метрике L2 подпространством
\frakN \top
2n - 1 равна
En - 1(f) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \| f - Tn - 1\| : Tn - 1 \in \frakN \top
2n - 1\} = \| f - Sn - 1(f)\| =
\left\{
\infty \sum
j=n
\rho 2j (f)
\right\}
1/2
.
Здесь Sn - 1(f) — частная сумма порядка n - 1 ряда Фурье функции f, \rho 2j (f) := a2j (f) +
+ b2j (f). Отметим, что часто представляется удобным записывать ряд Фурье в так называемой
комплексной форме
f(x) \sim
\infty \sum
j= - \infty
cj(f)e
ijx,
полагая
cj(f) =
1
2\pi
2\pi \int
0
f(x)e - ijxdx, j \in \BbbZ .
При этом
cj(f) =
aj(f) - ibj(f)
2
, c - j(f) =
aj(f) + ibj(f)
2
, j \in \BbbN .
Модуль непрерывности k-го порядка для f \in L2 обозначим так:
\omega k(f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| \Delta k
h(f)\| : 0 < h \leq t
\Bigr\}
, (2.1)
где
\Delta k
h(f, x) :=
k\sum
j=0
( - 1)k - j
\biggl(
k
j
\biggr)
f(x+ jh)
— конечная разность k-го порядка функции f в точке x с шагом h. Отметим, что
\omega k(f, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( 2k
\infty \sum
j=1
\rho 2j (f)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jh)k
\right) 1/2
: 0 < h \leq t
\right\} . (2.2)
В ряде работ (см., например, [25 – 28]) в качестве характеристики гладкости функции f \in L2
использовались величины, содержащие в качестве оператора обобщенного сдвига функцию
Стеклова
Sh(f, x) :=
1
2h
x+h\int
x - h
f(\tau )d\tau , h > 0.
Обобщенные конечные разности первого и высших порядков в данном случае определяются
следующим образом:
\widetilde \Delta 1
h(f, x) := Sh(f, x) - f(x) = (Sh - \BbbI )(f, x),
\widetilde \Delta k
h(f, x) :=
\widetilde \Delta 1
h
\Bigl( \widetilde \Delta k - 1
h (f), x
\Bigr)
= (Sh - \BbbI )k(f, x) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
726 С. Б. ВАКАРЧУК
=
k\sum
j=0
( - 1)k - j
\biggl(
k
j
\biggr)
Sh,j(f, x), k = 2, 3, . . . ,
где Sh,j(f) := Sh(Sh,j - 1(f)), j \in \BbbN , Sh,0(f) := f, \BbbI — единичный оператор в пространстве L2.
Тогда под обобщенным модулем непрерывности k-го порядка функции f \in L2 понимаем
величину \widetilde \omega k(f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| \widetilde \Delta k
h(f)\| : 0 < h \leq t
\Bigr\}
. (2.3)
Согласно работе [25] характеристику гладкости (2.3) можно представить в виде
\widetilde \omega k(f, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( \infty \sum
j=1
\rho 2j (f)(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (jh))2k
\right) : 0 < h \leq t
\right\} , (2.4)
где \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}x := \{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)/x, если x \not = 0, и 1, если x = 0\} .
В работах С. Н. Васильева [30], а также А. Н. Козко и А. В. Рождественского [31] было
рассмотрено следующее обобщение модуля непрерывности k-го порядка (2.1), которое можно
рассматривать как дальнейшее развитие идей Х. Шапиро и Дж. Бомана, посвященных данному
вопросу (см., например, [32 – 34]). Пусть \Phi — класс всех непрерывных 2\pi -периодических неот-
рицательных ненулевых функций \varphi таких, что \varphi (0) = 0. Тогда под модулем непрерывности
\omega \varphi , где \varphi \in \Phi , понимаем величину
\omega \varphi (f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( \sum
j\in \BbbZ
| cj(f)| 2\varphi (jh)
\right) 1/2
: 0 < h \leq t
\right\} , 0 < t \leq 2\pi . (2.5)
Учитывая равенства | cj(f)| = | c - j(f)| = \rho j(f)/2, j \in \BbbN , и полагая \gamma (x) := (\varphi (x) +
+ \varphi ( - x))/4 (\gamma — четная функция), записываем формулу (2.5) в виде
\omega \gamma (f, t) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( \infty \sum
j=1
\rho 2j (f)\gamma (jh)
\right) 1/2
: 0 < h \leq t
\right\} . (2.6)
Обозначим через G класс всех четных непрерывных ограниченных на всей вещественной
оси неотрицательных функций \gamma , почти всюду отличных от нуля и таких, что \gamma (0) = 0. Тогда
характеристику гладкости, определенную формулой (2.6), где \gamma \in G, можно, в частности,
рассматривать как обобщение приведенных выше модулей непрерывности видов (2.1) и (2.3),
поскольку, например, при \gamma 1,k(x) := 2k(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x)k получаем величину (2.2), а при \gamma 2,k(x) :=
:= (1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}x)2k — соответственно величину (2.4).
2.2. Классификация периодических функций на основе преобразований их рядов Фурье
с помощью мультипликаторов и сдвигов по аргументу охватывает широкий спектр функций,
включая функции с расходящимися рядами Фурье, гладкие, бесконечно дифференцируемые, в
том числе аналитические и целые функции. Образующиеся в ходе этого классы при фиксиро-
ванных определяющих их параметрах переходят в известные классы, которые вводятся опера-
циями дифференцирования, тригонометрического сопряжения и сверток с суммируемыми или
обобщенными функциями. Идея излагаемой классификации функций возникла под влиянием
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 727
исследований Б. Надя, С. М. Никольского, В. К. Дзядыка, Н. П. Корнейчука, С. Б. Стечкина
и других и была реализована А. И. Степанцом (см., например, [35, 36]). Приведем основные
элементы указанной теории, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Пусть f — суммируемая 2\pi -периодическая функция и S(f) — ее ряд Фурье, т. е.
S(f, x) :=
a0(f)
2
+
\infty \sum
j=1
(aj(f) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jx+ bj(f) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} jx) .
Пусть, далее, \psi — сужение на множество \BbbN произвольной вещественной функции, определен-
ной на множестве [1,\infty ) и такой, что \psi (j) \not = 0, где j \in \BbbN , а \beta — фиксированное действительное
число, \beta \in ( - \infty ,\infty ). Если ряд
\infty \sum
j=1
1
\psi (j)
(aj(f) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(jx+ \beta \pi /2) + bj(f) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(jx+ \beta \pi /2))
является рядом Фурье некоторой суммируемой 2\pi -периодической функции, то, следуя А. И. Сте-
панцу [35], эту функцию назовем (\psi , \beta )-производной функции f и обозначим символом f\psi \beta .
Множество 2\pi -периодических суммируемых функций f, имеющих (\psi , \beta )-производные, обо-
значим через L\psi \beta . При этом коэффициенты Фурье функций f и f\psi \beta связаны соотношениями
[35]
aj(f) = \psi (j)
\biggl(
aj(f
\psi
\beta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta \pi
2
- bj(f
\psi
\beta ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta \pi
2
\biggr)
,
bj(f) = \psi (j)
\biggl(
aj(f
\psi
\beta ) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta \pi
2
+ bj(f
\psi
\beta ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta \pi
2
\biggr)
.
(2.7)
Отметим, что в случае \psi (j) := j - r, где r > 0, а \beta \in \BbbR , получаем (r, \beta )-производную в смысле
Вейля – Надя, т. е. f\psi \beta = f
(r)
\beta . Если, кроме того, \beta = r, где r \in \BbbN , то указанная производная
является обычной производной r-го порядка функции f. Подмножество непрерывных функций
f \in L\psi \beta обозначают через C\psi \beta . Для f \in L\psi \beta имеет место соотношение
S(f, x) =
a0(f)
2
+
\infty \sum
j=1
\psi (j)
\pi
2\pi \int
0
f\psi \beta (x - t) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(jt - \beta \pi /2)dt. (2.8)
В случае, когда ряд
\infty \sum
j=1
\psi (j) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(jx - \beta \pi /2) (2.9)
является рядом Фурье некоторой функции D\psi ,\beta \in L1, для элементов множества L\psi \beta почти в
каждой точке x справедливо представление
f(x) =
a0(f)
2
+
1
\pi
2\pi \int
0
\varphi (x - t)D\psi ,\beta (t)dt, (2.10)
где \varphi почти всюду совпадает с f\psi \beta , т. е. элементы множества L\psi \beta отличаются лишь свобод-
ным членом от функций, представимых сверткой. Обозначим через F1 множество функций \psi ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
728 С. Б. ВАКАРЧУК
монотонно стремящихся к нулю при j \rightarrow \infty , j \in \BbbN , и удовлетворяющих условию
\infty \sum
j=1
\psi (j)/j <\infty .
Отметим, что для любой функции \psi \in F1 и произвольного числа \beta \in \BbbR ряд (2.9) является
рядом Фурье некоторой функции D\psi ,\beta из L1. Если \psi (j) = j - r, где r > 0, и \beta = r или
\beta = r + 1, то функции D\psi ,\beta := Dr
\beta называют иногда ядрами Бернулли.
Пусть функция \psi выбрана так, что для произвольного r > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
jr\psi (j) = 0, j \in \BbbN . (2.11)
Тогда ряд (2.8) можно дифференцировать любое число раз и в результате будем получать
равномерно сходящиеся ряды. Это означает, что при выполнении условия (2.11) мы имеем
дело с бесконечно дифференцируемой функцией (2.10). Примером функции, для которой (2.11)
имеет место, может служить \psi (j) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \sigma j\lambda ) при любых конечных положительных \sigma и \lambda .
Если функция \psi (j) удовлетворяет условию [36]
| \psi (j)| \leq K \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \sigma j), (2.12)
где j \in \BbbN , \sigma \in (0,\infty ), K — положительная константа, то формула (2.10) определяет аналити-
ческую функцию f, которая может быть регулярно продолжена в полосу | y| < \sigma . Примером
функции \psi , удовлетворяющей условию (2.12), является \psi (j) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \sigma j) при \sigma > 0.
Если же функция \psi выбрана так, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{n} | \psi (j)| - 1/j = \infty , j \in \BbbN , (2.13)
то формула (2.10) определяет целую функцию f. Условие (2.13) выполняется, например, для
\psi (j) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \sigma j\lambda ), где \sigma > 0 и \lambda > 1 — произвольные конечные числа.
Следует также отметить, что вопросам изучения и классификации бесконечно диффе-
ренцируемых периодических функций посвящены работы А. И. Степанца, А. С. Сердюка и
А. Л. Шидлича [37, 38].
2.3. Если f \in L\psi \beta и при этом f\psi \beta \in \scrM , где \scrM — некоторое подмножество суммируемых
2\pi -периодических функций, то говорят, что f принадлежит классу L\psi \beta \scrM . В дальнейшем под
\scrM будем понимать пространство L2 и вместо L\psi \beta L2 будем записывать L\psi \beta ,2 .
Сформулируем для одномерного случая в удобном для нас виде один результат А. С. Рома-
нюка [39]:
если функция \psi натурального аргумента j такова, что величины
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ | \psi (j)| : j \in \BbbN \} (2.14)
и
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
2\nu - 1\sum
j=2\nu - 1
| \psi (j + 1) - \psi (j)| : \nu \in \BbbZ +
\right\} (2.15)
конечны, то для любого числа \beta \in \BbbR справедливо включение L\psi \beta ,2 \subset L2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 729
2.4. Согласно [36] (глава III, § 12, п. 12.1) символом \frakM обозначим класс непрерывных на
множестве [1,\infty ) положительных и выпуклых вниз функций, стремящихся к 0 при x \rightarrow \infty ,
т. е.
\frakM :=
\Bigl\{
\psi \in C([1,\infty )) : \psi (x) > 0 \forall x\in [1,\infty ),
\psi (x1) - 2\psi ((x1 + x2)/2) + \psi (x2) \geq 0 \forall x1, x2\in [1,\infty ), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \infty
\psi (x) = 0
\Bigr\}
.
Всюду далее будем полагать, что последовательности \{ \psi (j)\} j\in \BbbN , участвующие в определе-
нии (\psi , \beta )-производных, являются сужениями на множество натуральных чисел \BbbN значений
функций \psi из \frakM . Несложно проверить, что в данном случае величины (2.14), (2.15) будут
конечными и L\psi \beta ,2 \subset L2 .
Поскольку класс \frakM весьма неоднороден по скорости стремления к нулю его элементов при
x \rightarrow \infty , возникает необходимость разбиения \frakM на подмножества, объединяющие функции,
имеющие, в определенном смысле, одинаковый характер такого стремления. А. И. Степанец
предложил использовать для этой цели пару функций \eta (x) = \eta (\psi , x) и \mu (x) = \mu (\psi , x). Через
\eta (x) = \eta (\psi , x) обозначим функцию, связанную c \psi \in \frakM равенством
\psi (\eta (x)) =
1
2
\psi (x), (2.16)
где 1 \leq x < \infty . Вследствие строгой монотонности функции \psi функция \eta определяется одно-
значно для всех x \in [1,\infty ) на основании формулы (2.16), т. е. \eta (x) = \eta (\psi , x) = \psi - 1
\biggl(
1
2
\psi (x)
\biggr)
.
Функция \mu определяется равенством \mu (x) = \mu (\psi , x) = x/(\eta (x) - x). Из (2.16) следует, что
\eta (x) - x является длиной отрезка [x, \eta (x)], на котором значение функции \psi уменьшается в
два раза. Поэтому функцию \mu называют модулем полураспада функции \psi . Некоторые примеры
функций \psi и соответствующих им модулей полураспада \mu приведены в монографии [36] (гла-
ва III, § 12, п. 12.1), где отмечается, что величина \mu может быть ограничена сверху и снизу
некоторыми положительными числами, или может стремиться к нулю при x\rightarrow \infty , или может
быть неограниченной сверху. Исходя из этого в классе \frakM были выделены такие подмножества:
\frakM 0 := \{ \psi \in \frakM : 0 < \mu (\psi , x) \leq K1 \forall x \in [1,\infty )\} ,
\frakM \infty := \{ \psi \in \frakM : 0 < K2 \leq \mu (\psi , x) <\infty \forall x \in [1,\infty )\} ,
\frakM C := \{ \psi \in \frakM : 0 < K3 \leq \mu (\psi , x) \leq K4 \forall x \in [1,\infty )\} ,
где Ki, i = 1, 4, — некоторые положительные константы, не зависящие от x. Через \frakM +
0
обозначают подмножество функций \psi \in \frakM 0, для которых величина \mu (\psi , x) при x \rightarrow \infty
монотонно стремится к нулю, а через \frakM +
\infty — подмножество функций \psi \in \frakM \infty , у которых
\mu (\psi , x) монотонно и неограниченно возрастает при x\rightarrow \infty .
Отметим, что функции \psi 1,r(x) := x - r , r\in \BbbR +\setminus \{ 0\} , \psi 2,\varepsilon (x) := \mathrm{l}\mathrm{n} - \varepsilon (x + e), \varepsilon \in \BbbR +\setminus \{ 0\} , и
\psi 3,\sigma ,\lambda (x) := \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - \sigma x\lambda ), \sigma , \lambda \in \BbbR +\setminus \{ 0\} , являются примерами элементов из множеств \frakM C , \frakM
+
0
и \frakM +
\infty соответственно. Здесь \BbbR + := \{ x : 0 \leq x <\infty \} .
Полученное в [36] (глава III, § 12.2, п. 12.2) утверждение, сформулированное ниже в виде
теоремы A, позволяет отнести функцию \psi \in \frakM к тому или иному из указанных выше подмно-
жеств на основании исследования поведения специальным образом определенной функции a.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
730 С. Б. ВАКАРЧУК
2.5. Теорема A. Пусть \psi \in \frakM и
a(x) = a(\psi , x) =
\psi (x)
x| \psi \prime (x)|
, \psi \prime (x) := \psi \prime (x+ 0). (2.17)
Функция \psi принадлежит подмножеству:
\frakM 0 тогда и только тогда, когда 0 < K1 \leq a(x) \forall x \in [1,\infty );
\frakM \infty тогда и только тогда, когда a(x) \leq K2 \forall x \in [1,\infty );
\frakM C тогда и только тогда, когда 0 < K3 \leq a(x) \leq K4 \forall x \in [1,\infty ),
где Ki, i = 1, 4, — некоторые положительные константы, не зависящие от x.
Если функция a не убывает и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \infty a(x) = \infty , то \psi \in \frakM +
0 .
Если же a не возрастает и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \infty a(x) = 0, то \psi \in \frakM +
\infty .
Используя формулу (2.17), для функций \psi 1,r , \psi 2,\varepsilon и \psi 3,\sigma ,\lambda имеем
a(\psi 1,r;x) =
1
r
,
a(\psi 2,\varepsilon ;x) =
1
\varepsilon
(x+ e) \mathrm{l}\mathrm{n}(x+ e),
a(\psi 3,\sigma ,\lambda ;x) =
1
\sigma \lambda x\lambda
,
(2.18)
где 1 \leq x <\infty . Приведем пример еще одной функции, принадлежащей подмножеству \frakM C :
\psi 4,r,\varepsilon (x) := x - r \mathrm{l}\mathrm{n}\varepsilon (x+ e), 0 < \varepsilon < r <\infty ,
и запишем для нее величину
a(\psi 4,r,\varepsilon ;x) =
1
r
+
\varepsilon
r(r(1 + e/x) \mathrm{l}\mathrm{n}(x+ e) - \varepsilon )
, 1 \leq x <\infty . (2.19)
3. Неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и обобщен-
ными модулями непрерывности. 3.1. В силу четности функций \gamma \in G, участвующих в
определении (2.6) обобщенных модулей непрерывности \omega \gamma , достаточно рассмотреть их пове-
дение на множестве \BbbR +. Пусть
\gamma (t\ast ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \gamma (x) : x \in \BbbR +\} , t\ast \in (0,\infty ). (3.1)
Очевидно, что значение t\ast зависит от функции \gamma . Если верхняя грань (3.1) достигается в конеч-
ном или бесконечном множестве точек, то в качестве t\ast берем точку, имеющую наименьшую
абсциссу.
Полагаем, что функция \gamma \in G удовлетворяет свойству А, если на отрезке [0, t\ast ] она мо-
нотонно возрастает. Отметим, что данному свойству удовлетворяют рассмотренные в пункте
2 функции \gamma := \gamma 1,k, где t\ast = \pi , и \gamma := \gamma 2,k , где t\ast — наименьший положительный корень
уравнения \mathrm{t}\mathrm{g} x = x (4, 49 < t\ast < 4, 51) [26]. Для произвольной функции \gamma \in G, имеющей
свойство А, полагаем
\gamma \ast (x) := \{ \gamma (x), если 0 \leq x \leq t\ast , и \gamma (t\ast ), если t\ast \leq x <\infty \} . (3.2)
Пусть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 731
\gamma (\widetilde t\ast ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \gamma (x) : t\ast < x <\infty \} , (3.3)
где величина t\ast определяется формулой (3.1) и \widetilde t\ast \in (t\ast ,\infty ). Если нижняя грань (3.3) до-
стигается в конечном или бесконечном множестве точек, то в качестве \widetilde t\ast фиксируем точку с
наименьшей абсциссой в интервале (t\ast ,\infty ).
Будем говорить, что функция \gamma \in G удовлетворяет свойству В, если для нее \gamma (\widetilde t\ast ) > 0.
Этому свойству удовлетворяет, например, функция \gamma := \gamma 2,k, для которой \widetilde t\ast — первый по
величине положительный корень уравнения \mathrm{t}\mathrm{g} x = x, больший t\ast .
3.2. Прежде чем перейти к формулировке и доказательству основных результатов данного
пункта, напомним, что вопросы обобщения некоторых неравенств типа Джексона в простран-
стве L2 в смысле использования (\psi , \beta )-производных f\psi \beta ранее рассматривались в работах
В. Г. Доронина и Л. М. Божухи [40], а также А. С. Сердюка [41] для обычных модулей непре-
рывности k-порядка (2.1).
Теорема 1. Пусть функция \psi является элементом множества \frakM , \beta \in \BbbR , n \in \BbbN и
функция \gamma , принадлежащая классу G, удовлетворяет свойствам А и В, а точка t \in (0, t\ast )
определяется следующим образом:
\gamma (t) = \gamma (\widetilde t\ast ). (3.4)
Тогда для любого \tau \in (0, t] имеет место равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\psi (n)\omega \gamma
\Bigl(
f\psi \beta , \tau /n
\Bigr) =
1\sqrt{}
\gamma (\tau )
. (3.5)
Доказательство. Пусть f — произвольная тождественно не равная константе функция из
класса L\psi \beta ,2. Из формул (2.7) для нее получаем
aj(f
\psi
\beta ) =
1
\psi (j)
\biggl(
aj(f) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta \pi
2
+ bj(f) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta \pi
2
\biggr)
,
bj(f
\psi
\beta ) =
1
\psi (j)
\biggl(
- aj(f) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\beta \pi
2
+ bj(f) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta \pi
2
\biggr)
,
(3.6)
где j \in \BbbN . Поскольку функция \gamma \in G удовлетворяет свойствам А и В, в силу соотношения
(3.4) для любого t \in (0, t/n] имеем
\gamma (jt) \geq \gamma (nt), (3.7)
где j — произвольное натуральное число, большее или равное n. Отметим также, что из (3.6)
следует равенство
\rho j(f
\psi
\beta ) =
1
\psi (j)
\rho j(f), j \in \BbbN . (3.8)
Учитывая формулы (2.6) и (3.7), (3.8), получаем
\omega 2
\gamma (f
\psi
\beta , t) \geq
\infty \sum
j=1
\rho 2j (f
\psi
\beta )\gamma (jt) \geq
\infty \sum
j=n
1
\psi 2(j)
\rho 2j (f)\gamma (jt) \geq
\gamma (nt)
\psi 2(n)
E2
n - 1(f), 0 < t \leq t/n.
Отсюда, полагая \tau := nt, где 0 < \tau \leq t, имеем оценку сверху
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
732 С. Б. ВАКАРЧУК
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\psi (n)\omega \gamma
\Bigl(
f\psi \beta , \tau /n
\Bigr) \leq 1\sqrt{}
\gamma (\tau )
. (3.9)
Для получения оценки снизу рассмотрим функцию \widetilde f(x) := \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nx, принадлежащую классу
L\psi \beta ,2. Для нее \widetilde f\psi \beta (x) = 1
\psi (n)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nx, En - 1( \widetilde f) = 1 и, согласно формулам (2.6) и (3.8),
\omega \gamma ( \widetilde f\psi \beta , \tau /n) = 1
\psi (n)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{
\sqrt{}
\gamma (nh) : 0 < h \leq \tau /n\} =
1
\psi (n)
\sqrt{}
\gamma (\tau ), 0 < \tau \leq t\ast .
Следовательно,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\psi (n)\omega \gamma
\Bigl(
f\psi \beta , \tau /n
\Bigr) \geq En - 1( \widetilde f)
\psi (n)\omega \gamma
\Bigl( \widetilde f\psi \beta , \tau /n\Bigr) =
1\sqrt{}
\gamma (\tau )
. (3.10)
Сопоставляя оценки сверху (3.9) и снизу (3.10), получаем требуемое равенство (3.5)
при 0 < \tau \leq t.
Теорема 1 доказана.
Отметим, что в случае \psi := \psi 1,r, r = \beta \in \BbbN , и \gamma := \gamma 2,k, k \in \BbbN , когда \omega \gamma 2,k \equiv \widetilde \omega k, из
формулы (3.5) получаем один из результатов работы [29]:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)\widetilde \omega k(f (r), \tau /n) =
1
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} \tau )k
, 0 < \tau \leq t.
В случае, когда, например, \psi := \psi 3,\sigma ,\lambda и \beta \in \BbbR , из (3.5) при 0 < \tau \leq t имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f \in L
\psi 3,\sigma ,\lambda
\beta ,2
f \not \equiv const
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma n\lambda )En - 1(f)\widetilde \omega k(f\psi 3,\sigma ,\lambda
\beta , \tau /n)
=
1
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} \tau )k
.
3.3. Обозначим
\alpha j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) :=
1
\psi (j)
\left\{
\tau \int
0
\gamma p/2(jt)\xi (t)dt
\right\}
1/p
. (3.11)
Теорема 2. Пусть функция \gamma принадлежит классу G и удовлетворяет свойству А, функ-
ция \psi является элементом множества \frakM , \beta \in \BbbR , n \in \BbbN , 0 < p \leq 2, \tau \in (0, t\ast /n], \xi —
неотрицательная суммируемая на отрезке [0, \tau ] функция, не эквивалентная нулю. Тогда вы-
полняется двойное неравенство
1
\alpha n,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau )
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)\Bigl\{ \int \tau
0 \omega
p
\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\Bigr\} 1/p
\leq
\leq 1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \alpha j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \}
. (3.12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 733
Доказательство. Пусть f — произвольная функция из класса L\psi \beta ,2, тождественно не
равная нулю. Согласно формулам (2.6) и (3.8) имеем
\omega \gamma (f
\psi
\beta , t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( \infty \sum
j=1
\rho 2j (f
\psi
\beta )\gamma (jh)
\right) 1/2
: 0 < h \leq t
\right\} =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( \infty \sum
j=1
1
\psi 2(j)
\rho 2j (f)\gamma (jh)
\right) 1/2
: 0 < h \leq t
\right\} . (3.13)
Воспользуемся следующим вариантом неравенства Минковского, приведенным в [42] (глава 4,
п. 4.3):\left\{
\tau \int
0
\left( \infty \sum
j=n
| gj(t)| 2
\right) p/2
dt
\right\}
1/p
\geq
\left\{
\infty \sum
j=n
\left( \tau \int
0
| gj(t)| pdt
\right) 2/p
\right\}
1/2
, 0 < p \leq 2, n \in \BbbN .
Отсюда, полагая gj := gj\xi
1/p, получаем\left\{
\tau \int
0
\left( \infty \sum
j=n
| gj(t)| 2
\right) p/2
\xi (t)dt
\right\}
1/p
\geq
\left\{
\infty \sum
j=n
\left( \tau \int
0
| gj(t)| p\xi (t)dt
\right) 2/p
\right\}
1/2
. (3.14)
Используя соотношения (3.13), (3.14), имеем
\left\{
\tau \int
0
\omega p\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\right\}
1/2
\geq
\left\{
\tau \int
0
\left( \infty \sum
j=n
1
\psi 2(j)
\rho 2j (f)\gamma (jt)
\right) p/2
\xi (t)dt
\right\}
1/p
\geq
\geq
\left\{
\infty \sum
j=n
\rho 2j (f)
\left( 1
\psi p(j)
\tau \int
0
\gamma p/2(jt)\xi (t)dt
\right) 2/p
\right\}
1/2
=
=
\left\{
\infty \sum
j=n
\rho 2j (f)\alpha
2
j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau )
\right\}
1/2
\geq En - 1(f) \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \alpha j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \} . (3.15)
Из формулы (3.15) получаем оценку сверху
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)\Bigl\{ \int \tau
0 \omega
p
\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\Bigr\} 1/p
\leq 1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \alpha j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \}
. (3.16)
Для получения оценки снизу величины, содержащейся в левой части неравенства (3.16),
рассмотрим функцию \widehat f(x) := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nx, которая принадлежит классу L\psi \beta ,2. Для нее имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
734 С. Б. ВАКАРЧУК
\widehat f\psi \beta (x) = 1
\psi (n)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nx, En - 1( \widehat f) = 1 и, в силу формулы (2.6), \omega \gamma ( \widehat f\psi \beta , t) = 1
\psi (n)
\sqrt{}
\gamma (nt) при
0 \leq t \leq t\ast /n. Тогда, используя соотношение (3.11), находим
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)\Bigl\{ \int \tau
0 \omega
p
\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\Bigr\} 1/p
\geq En - 1( \widehat f)\Bigl\{ \int \tau
0 \omega
p
\gamma ( \widehat f\psi \beta , t)\xi (t)dt\Bigr\} 1/p
=
1
\alpha n,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau )
. (3.17)
Неравенство (3.12) получаем, сопоставляя оценки сверху (3.16) и снизу (3.17).
Теорема 2 доказана.
Полагая, например, \psi := \psi 1,r, где r = \beta \in \BbbN , и рассматривая \gamma := \gamma 1,k при \omega \gamma 1,k \equiv \omega k, из
формулы (3.12) получаем один из результатов работы М. Ш. Шабозова и Г. А. Юсупова [24]:
1
\alpha n;\gamma 1,k;\psi 1,r;p(\xi , \tau )
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr2
f \not \equiv const
En - 1(f)\bigl\{ \int \tau
0 \omega
p
k(f
(r), t)\xi (t)dt
\bigr\} 1/p
\leq
\leq 1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \alpha j;\gamma 1,k;\psi 1,r;p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \}
.
Здесь 0 < p \leq 2, 0 < \tau \leq \pi /n, n \in \BbbN и
\alpha j;\gamma 1,k;\psi 1,r;p(\xi , \tau ) = 2k/2
\left\{ jrp
\tau \int
0
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} jt)kp/2\xi (t)dt
\right\}
1/p
. (3.18)
Отметим, что при p = 2 отсюда следует основной результат работы А. А. Лигуна [12].
Пусть \psi := \psi 1,r, где r = \beta \in \BbbN , \gamma := \gamma 2,k при \omega \gamma 2,k \equiv \widetilde \omega k и 0 < \tau \leq t\ast /n, n \in \BbbN . Тогда из
формулы (3.12) получаем один из результатов работы С. Б. Вакарчука и В. И. Забутной [28]:
1
\alpha n;\gamma 2,k;\psi 1,r;p(\xi , \tau )
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr2
f \not \equiv const
En - 1(f)\bigl\{ \int \tau
0 \widetilde \omega pk(f (r), t)\xi (t)dt\bigr\} 1/p
\leq
\leq 1
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \alpha j;\gamma 2,k;\psi 1,r;p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \}
.
Здесь
\alpha j;\gamma 2,k;\psi 1,r;p(\xi , \tau ) =
\left\{ jrp
\tau \int
0
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (jt))kp\xi (t)dt
\right\}
1/p
. (3.19)
При p = 2 и \gamma := \gamma 1,k из (3.12) следует результат работы В. Г. Доронина и Л. М. Божухи [40],
который обобщает результаты аналогичного характера, полученные в [12, 24] (только случай
p = 2) для характеристики гладкости (2.1).
4. Некоторые следствия из теоремы 2.
4.1. Следствие 1. Пусть функция \gamma , принадлежащая классу G, удовлетворяет свойствам
А и В, t \in (0, t\ast ) — точка, определяемая формулой (3.4), функция \psi является элементом
множества \frakM , \beta \in \BbbR , 0 < \tau \leq t/n, n \in \BbbN , 0 < p \leq 2, \xi — некоторая неотрицательная
суммируемая на отрезке [0, \tau ] функция, которая не эквивалентна нулю. Тогда имеет место
равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 735
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)\Bigl\{ \int \tau
0 \omega
p
\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\Bigr\} 1/p
=
1
\alpha n,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau )
. (4.1)
Доказательство. Пусть 0 \leq y \leq t, x, z \geq 1, \nu , \mu > 0 — произвольные числа. Исходя из
свойств А и В, которым удовлетворяет функция \gamma , а также учитывая соотношения (3.1), (3.3)
и (3.4), записываем неравенство
x\nu \gamma \mu (zy) \geq \gamma \mu (y), (4.2)
которое следует из чисто геометрических соображений. Полагая z := j/n, где j \geq n, j, n \in \BbbN ,
y := nt, где 0 < t \leq t/n, \nu := p, \mu := p/2; x := \psi (n)/\psi (j), из формулы (4.2) имеем
1
\psi p(j)
\gamma p/2(jt) \geq 1
\psi p(n)
\gamma p/2(nt). (4.3)
Умножая обе части неравенства (4.3) на функцию \xi (t) и интегрируя их по переменной t в
пределах от 0 до \tau , получаем
1
\psi p(j)
\tau \int
0
\gamma p/2(jt)\xi (t)dt \geq 1
\psi p(n)
\tau \int
0
\gamma p/2(nt)\xi (t)dt,
т. е.
\alpha j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) \geq \alpha n,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ), j \in \BbbN , j \geq n, 0 < \tau \leq t/n.
Поскольку в рассматриваемом случае \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \alpha j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) : n \leq j < \infty \} = \alpha n,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ), в силу
формулы (3.12) имеем равенство (4.1), что и завершает доказательство следствия 1.
Отметим, что при \gamma := \gamma 2,k, \psi := \psi 1,r, где r = \beta \in \BbbN , 0 < \tau \leq t/n, 0 < p \leq 2, из формулы
(4.1) следует один из результатов работы [28]:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr2
f \not \equiv const
En - 1(f)\bigl\{ \int \tau
0 \widetilde \omega pk(f (r), t)\xi (t)dt\bigr\} 1/p
=
1
\alpha n,\gamma 2,k,\psi 1,r,p(\xi , \tau )
,
где величина \alpha n;\gamma 2,k;\psi 1,r;p(\xi , \tau ) определяется формулой (3.19) при j = n.
Также отметим, что, например, при \xi (t) := t и p := 1/k из последнего равенства получаем
соотношение
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr2
f \not \equiv const
nr - 2kEn - 1(f)\Bigl\{ \int \pi /n
0 t\widetilde \omega 1/k
k (f (r), t)dt
\Bigr\} k =
\biggl(
2
\pi 2 - 4
\biggr) k
,
приведенное ранее В. А. Абиловым и Ф. В. Абиловой в работе [25].
4.2. Следствие 2. Пусть функция \gamma , принадлежащая классу G, удовлетворяет свойству
А и дифференцируема почти всюду на множестве \BbbR , функция \psi является элементом мно-
жества \frakM и дифференцируема на множестве [1,\infty ) (\psi \prime (1) := \psi \prime (1 + 0)), \beta \in \BbbR , 0 <
< \tau \leq t\ast /n, n \in \BbbN , \xi — неотрицательная и дифференцируемая почти всюду на отрезке [0, \tau ]
функция (\xi \prime (0) := \xi \prime (0 + 0), \xi \prime (\tau ) := \xi \prime (\tau - 0)), которая не эквивалентна нулю, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ a(\psi , x) :
1 \leq x < \infty \} \leq 2, где функция a(\psi ) определяется формулой (2.17). Если при некотором \widetilde p,
удовлетворяющем неравенству
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ a(\psi , x) : 1 \leq x <\infty \} \leq \widetilde p \leq 2, (4.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
736 С. Б. ВАКАРЧУК
и для почти всех t \in [0, \tau ] и любых x \in [1,\infty ) справедливо соотношение\biggl( \widetilde p
a(\psi , x)
- 1
\biggr)
\xi (t) - t\xi \prime (t) \geq 0, (4.5)
то для указанного \widetilde p имеет место равенство (4.1).
Доказательство. Исходя из формулы (3.11), рассмотрим вспомогательную функцию
F\tau ,\widetilde p(x) := 1
\psi \widetilde p(x)
\tau \int
0
\gamma \widetilde p/2(xt)\xi (t)dt, 1 \leq x <\infty .
Очевидно, что
F
1/\widetilde p
\tau ,\widetilde p (j) = \alpha j,\gamma ,\psi ,\widetilde p(\xi , \tau ), j \in \BbbN . (4.6)
Вычислим производную первого порядка функции F\tau ,\widetilde p :
F
\prime
\tau ,\widetilde p(x) = - \widetilde p \psi \prime (x)
\psi \widetilde p+1(x)
\tau \int
0
\gamma \widetilde p/2(xt)\xi (t)dt+ 1
\psi \widetilde p(x)
\tau \int
0
\xi (t)
\partial
\partial x
\Bigl(
\gamma \widetilde p/2(xt)\Bigr) dt. (4.7)
Поскольку почти всюду на \BbbR
\partial
\partial x
\Bigl(
\gamma \widetilde p/2(xt)\Bigr) =
\widetilde p
2
\gamma \widetilde p/2 - 1(xt)\gamma \prime (xt)t,
\partial
\partial t
\Bigl(
\gamma \widetilde p/2(xt)\Bigr) =
\widetilde p
2
\gamma \widetilde p/2 - 1(xt)\gamma \prime (xt)x,
то очевидно, что равенство
1
t
\partial
\partial x
\Bigl(
\gamma \widetilde p/2(xt)\Bigr) =
1
x
\partial
\partial t
\Bigl(
\gamma \widetilde p/2(xt)\Bigr) (4.8)
имеет место также почти всюду на \BbbR для любых отличных от нуля t, x. Используя равенство
(4.8), из формулы (4.7) имеем
F
\prime
\tau ,\widetilde p(x) = - \psi \prime (x)
\psi \widetilde p+1(x)
\tau \int
0
\gamma \widetilde p/2(xt)\xi (t)dt+ 1
\psi \widetilde p(x)
\tau \int
0
t
x
\xi (t)
\partial
\partial t
\Bigl(
\gamma \widetilde p/2(xt)\Bigr) dt.
Интегрируя по частям во втором интеграле последнего равенства и учитывая соотношение
(2.17), получаем
F
\prime
\tau ,\widetilde p(x) = 1
x\psi \widetilde p(x)
\Biggl\{
\tau \xi (\tau )\gamma \widetilde p/2(x\tau ) +
\tau \int
0
\biggl[ \biggl( \widetilde p
a(\psi , x)
- 1
\biggr)
\xi (t) - t\xi \prime (t)
\biggr]
\gamma \widetilde p/2(xt)dt
\Biggr\}
. (4.9)
Используя условия (4.4), (4.5), неотрицательность функций \gamma и \xi , а также то, что \psi —
строго положительная функция, из формулы (4.9) имеем F
\prime
\tau ,\widetilde p(x) \geq 0 для любого x \in [1,\infty ).
Следовательно, F\tau ,\widetilde p является неубывающей функцией, т. е.
F\tau ,\widetilde p(n) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ F\tau ,\widetilde p(x) : n \leq x <\infty \} , n \in \BbbN . (4.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 737
Требуемое равенство (4.1) получаем из соотношений (4.6), (4.10) и (3.12), где p := \widetilde p.
Следствие 2 доказано.
4.2.1. Согласно формулам (2.18), (2.19) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ a(\psi 1,r;x) : 1 \leq x <\infty \} = 1/r, r \in (0,\infty ),
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ a(\psi 3,\sigma ,\lambda ;x) : 1 \leq x <\infty \} = 1/(\sigma \lambda ), \sigma , \lambda \in (0,\infty ), (4.11)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ a(\psi 4,r,\varepsilon ;x) : 1 \leq x <\infty \} = 1/(r - \varepsilon ), 0 < \varepsilon < r <\infty .
С учетом формул (4.11) соотношения (4.4), (4.5) при 0 \leq t \leq \tau , где 0 < \tau \leq t\ast /n, принимают
следующий вид:
1/r \leq \widetilde p \leq 2, 1/2 \leq r <\infty ,
(\widetilde pr - 1)\xi (t) - t\xi \prime (t) \geq 0
(4.12)
для функции \psi 1,r,
1/(\sigma \lambda ) \leq \widetilde p \leq 2, \sigma , \lambda \in (0,\infty ) и 1/2 \leq \sigma \lambda ,
(\widetilde p\sigma \lambda - 1)\xi (t) - t\xi \prime (t) \geq 0
(4.13)
для функции \psi 3,\sigma ,\lambda и
1/(r - \varepsilon ) \leq \widetilde p \leq 2, 0 < \varepsilon < r <\infty и 1/2 \leq r - \varepsilon ,
(\widetilde p(r - \varepsilon ) - 1)\xi (t) - t\xi \prime (t) \geq 0
(4.14)
для функции \psi 4,r,\varepsilon .
Отметим, что формулы (4.12) – (4.14) следует понимать таким образом: если при некотором\widetilde p, удовлетворяющем двойному неравенству, имеет место второе неравенство для почти всех
t \in [0, \tau ], то для указанного \widetilde p справедлива формула (4.1). Отсюда, в частности, следует, что
в каждом конкретном случае, связанном с определенной весовой функцией \xi , двойное нера-
венство для \widetilde p может быть уточнено в силу второго неравенства в каждом из соотношений
(4.12) – (4.14). Если, например, \xi (t) := tm, где 0 \leq m < \infty — некоторая константа, то из
соотношений (4.12) – (4.14) получаем следующие неравенства:
(1 +m)/r \leq \widetilde p \leq 2 ((1 +m)/2 \leq r <\infty ) для \psi 1,r,
(1 +m)/(\sigma \lambda ) \leq \widetilde p \leq 2 (\sigma , \lambda \in (0,\infty ) и \sigma \lambda \geq (1 +m)/2) для \psi 3,\sigma ,\lambda ,
(1 +m)/(r - \varepsilon ) \leq \widetilde p \leq 2 (0 < \varepsilon < r <\infty и r - \varepsilon \geq (1 +m)/2) для \psi 4,r,\varepsilon .
Напомним, что ранее в случае \psi := \psi 1,r, где r = \beta \in \BbbN , и \gamma := \gamma 1,k неравенства (4.12)
были получены в работе [24]. В указанном случае из формулы (4.1) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)\Bigl\{ \int \tau
0 \omega
\widetilde p
k(f
(r), t)\xi (t)dt
\Bigr\} 1/\widetilde p =
1
2k/2
\bigl( \int \tau
0 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nt)k\widetilde p/2\xi (t)dt\bigr) 1/\widetilde p , 0 < \tau \leq \pi /n.
В случае \widetilde p = 2 и \xi \equiv 1 отсюда следует один из результатов Л. В. Тайкова [10].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
738 С. Б. ВАКАРЧУК
При аналогичных условиях, но при \gamma := \gamma 2,k, из (4.1) получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)\Bigl\{ \int \tau
0 \widetilde \omega \widetilde p
k(f
(r), t)\xi (t)dt
\Bigr\} 1/\widetilde p =
1\bigl( \int \tau
0 (1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (nt))k\widetilde p\xi (t)dt\bigr) 1/\widetilde p , 0 < \tau \leq t\ast /n.
Если рассмотреть, например, случай \psi := \psi 3,\sigma ,\lambda , \beta \in \BbbR , то при выполнении неравенств
(4.13) для \gamma := \gamma 1,k из (4.1) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L
\psi 3,\sigma ,\lambda
\beta ,2
f \not \equiv const
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma n\lambda )En - 1(f)\Bigl\{ \int \tau
0 \omega
\widetilde p
k(f
\psi 3,\sigma ,\lambda
\beta , t)\xi (t)dt
\Bigr\} 1/\widetilde p =
1
2k/2
\bigl( \int \tau
0 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nt)k\widetilde p/2\xi (t)dt\bigr) 1/\widetilde p , 0 < \tau \leq \pi /n.
Для \gamma := \gamma 2,k при тех же условиях имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L
\psi 3,\sigma ,\lambda
\beta ,2
f \not \equiv const
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\sigma n\lambda )En - 1(f)\Bigl\{ \int \tau
0 \widetilde \omega \widetilde p
k(f
\psi 3,\sigma ,\lambda
\beta , t)\xi (t)dt
\Bigr\} 1/\widetilde p =
1\bigl( \int \tau
0 (1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (nt))k\widetilde p\xi (t)dt\bigr) 1/\widetilde p , 0 < \tau \leq t\ast /n.
4.2.2. Рассмотрим далее весовую функцию \xi := \widehat \xi (t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}q(bt/\tau ), где 0 < b \leq \pi , 0 < t \leq \tau ,
0 < \tau \leq t\ast /n, 0 \leq q < \infty . Подставив ее в формулу (4.5), укажем те значения q, при которых
неравенство (4.5) будет иметь место. В результате подстановки получим\biggl( \widetilde p
a(\psi , x)
- 1
\biggr) \widehat \xi (t) - t\widehat \xi \prime (t) = \biggl( \widetilde p
a(\psi , x)
- 1
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}q
\biggl(
bt
\tau
\biggr)
- q
bt
\tau
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}q - 1
\biggl(
bt
\tau
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
bt
\tau
\biggr)
=
=
bt
\tau
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}q - 1
\biggl(
bt
\tau
\biggr) \biggl\{ \biggl( \widetilde p
a(\psi , x)
- 1
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}
\biggl(
bt
\tau
\biggr)
- q \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
bt
\tau
\biggr) \biggr\}
\geq
\geq bt
\tau
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}q - 1
\biggl(
bt
\tau
\biggr) \left\{
\left( \widetilde p
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1\leq x<\infty
a(\psi , x)
- 1
\right) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}
\biggl(
bt
\tau
\biggr)
- q \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
bt
\tau
\biggr) \right\} . (4.15)
Поскольку, как нетрудно проверить, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}x \geq \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x при 0 \leq x \leq \pi , в рассматриваемом случае,
в силу соотношений (4.4) и (4.15), неравенство (4.5) будет выполнено, если
0 \leq q \leq \widetilde p
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1\leq x<\infty
a(\psi , x)
- 1. (4.16)
С учетом формул (4.11) – (4.14), (4.16) получаем ограничения, которые в случае \xi := \widehat \xi и
0 < \tau \leq t\ast /n, n \in \BbbN , приводят к выполнению равенства (4.1)
для \psi := \psi 1,r :
1/r \leq \widetilde p \leq 2, 1/2 \leq r <\infty ,
0 \leq q \leq r\widetilde p - 1,
(4.17)
для \psi := \psi 3,\sigma ,\lambda :
1/(\sigma \lambda ) \leq \widetilde p \leq 2, \sigma , \lambda \in (0,\infty ) и 1/2 \leq \sigma \lambda ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 739
0 \leq q \leq \widetilde p \sigma \lambda - 1
и для \psi := \psi 4,r,\varepsilon :
1/(r - \varepsilon ) \leq \widetilde p \leq 2, 0 < \varepsilon < r <\infty и 1/2 \leq r - \varepsilon ,
0 \leq q \leq \widetilde p(r - \varepsilon ) - 1.
(4.18)
Данные соотношения следует понимать точно так же, как и формулы (4.12) – (4.14).
Отметим, что, например, при \psi := \psi 1,r, r = \beta \in \BbbN , \gamma := \gamma 1,k, k \in \BbbN , и 0 < \tau \leq
\leq \pi /n неравенства (4.17) были получены в работе [24] и там же была доказана справедливость
соотношения
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)\Bigl\{ \int \tau
0 \omega
\widetilde p
k(f
(r), t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}q(bt/\tau )dt
\Bigr\} 1/\widetilde p =
1
2k/2
\bigl\{ \int \tau
0 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nt)k\widetilde p/2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}q(bt/\tau )dt\bigr\} 1/\widetilde p , (4.19)
следующего из общей формулы (4.1).
Заменив первое неравенство в формуле (4.17) на более „сильное”
2/r \leq \widetilde p \leq 2, 1 \leq r <\infty , (4.20)
рассмотрим для весовой функции \widehat \xi случай q = 1. Полагая в формуле (4.19) \tau := \pi /n и b := \pi ,
для любого \widetilde p, удовлетворяющего неравенству (4.20), имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Lr2
f \not \equiv const
nr - 1/\widetilde pEn - 1(f)\Bigl\{ \int \pi /n
0 \omega \widetilde p
k(f
(r), t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}ntdt
\Bigr\} 1/\widetilde p =
(k\widetilde p+ 2)1/\widetilde p
2k+2/\widetilde p .
Из данного равенства при \widetilde p = 2, r \in \BbbN и k = 1 следует результат Н. И. Черных [6], при\widetilde p = 2/k, r, k \in \BbbN , — результат В. В. Шалаева [18], при \widetilde p = 2 и r, k \in \BbbN — результат
Х. Юссефа [43]. Для произвольной функции f \in Lr2 , тождественно не равной константе, из
последнего равенства имеем неравенство Джексона
En - 1(f) < \chi k,\widetilde pn - r\omega k(f (r), \pi /n)
с константой
\chi k,\widetilde p := (k\widetilde p+ 2)1/\widetilde p
2k+1/\widetilde p , (4.21)
которая принимает наименьшее значение при \widetilde p = 2, т. е.
En - 1(f) <
\surd
k + 1
2k
n - r\omega k(f
(r), \pi /n). (4.22)
Напомним, что константа (4.21) при \widetilde p = 2, k \in \BbbN и r = 0 была получена С. Н. Васильевым [44]
и независимо А. И. Степанцом и С. А. Сердюком [20]. Однако ранее, в работе [6], Н. И. Черных
показал, что при \widetilde p = 2, k = 1 и r = 0 величина \chi 1,2 = 1/
\surd
2 в неравенстве (4.22) является
неулучшаемой для каждого n \in \BbbN . Что же касается случая r, k \in \BbbN , а также случая r = 0,
k \in \BbbN \setminus \{ 1\} , то вопрос о неулучшаемости константы \chi k,2 остается открытым. Об этом, в
частности, говорил и Н. П. Корнейчук (см., например, [45], глава 9, § 9.3, формула (9.39)),
рассматривая случай r \in \BbbN , k = 1 для неравенства (4.22).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
740 С. Б. ВАКАРЧУК
Полагая, например, \psi := \psi 4,r,\varepsilon , \beta \in \BbbR , \gamma := \gamma 2,k, k \in \BbbN , 0 < \tau \leq t\ast /n и исходя из
выполнения неравенств (4.18), записываем соотношение (4.1) в данном конкретном случае:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L
\psi 4,r,\varepsilon
\beta ,2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)
\mathrm{l}\mathrm{n}\varepsilon (n+ e)
\Bigl\{ \int \tau
0 \widetilde \omega \widetilde p
k(f
\psi 4,r,\varepsilon
\beta , t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}q(bt/\tau )dt
\Bigr\} 1/\widetilde p =
=
1\bigl\{ \int \tau
0 (1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} (nt))k\widetilde p \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}q(bt/\tau )dt\bigr\} 1/\widetilde p .
Заменив первое неравенство в (4.18) на более „сильное”
2/(r - \varepsilon ) \leq \widetilde p \leq 2, 0 < \varepsilon < r <\infty и 1 \leq r - \varepsilon <\infty , (4.23)
можем рассмотреть случай q = 1 для весовой функции \widehat \xi . Полагая, например, \gamma := \gamma 1,k, k \in \BbbN ,
\tau := \pi /n, b := \pi , для чисел \widetilde p, удовлетворяющих соотношению (4.23), из формулы (4.1) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L
\psi 4,r,\varepsilon
\beta ,2
f \not \equiv const
nr - 1/\widetilde pEn - 1(f)
\mathrm{l}\mathrm{n}\varepsilon (n+ e)
\Bigl\{ \int \pi /n
0 \omega \widetilde p
k(f
\psi 4,r,\varepsilon
\beta , t) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}ntdt
\Bigr\} 1/\widetilde p =
(k\widetilde p+ 2)1/\widetilde p
2k+2/\widetilde p .
Отсюда следует неравенство Джексона, а именно, для любой тождественно не равной константе
функции f \in L
\psi 4,r,\varepsilon
\beta ,2 имеет место соотношение
En - 1(f) <
\surd
k + 1
2k
\mathrm{l}\mathrm{n}\varepsilon (n+ e)
nr
\omega k
\Bigl(
f
\psi 4,r,\varepsilon
\beta , \pi /n
\Bigr)
.
4.2.3. Приведем пример еще одной весовой функции \xi := \xi (t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
nt
2
+
1
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt, рассмот-
ренной Н. И. Черных в работе [6]. Пусть \scrL (t) := \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c} t - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t (\scrL (t) \geq 0 \forall t \in [0, \pi ]), \gamma := \gamma 1,k,
k \in \BbbN . При этом t\ast = \pi . Убедимся в том, что для любых значений \widetilde p, удовлетворяющих более
„сильному”, чем (4.4), ограничению
2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ a(\psi , x) : 1 \leq x <\infty \} \leq \widetilde p \leq 2, (4.24)
функция \xi будет удовлетворять неравенству (4.5) для произвольных x \in [1,\infty ) и t \in [0, \tau ], где
0 < \tau \leq \pi /n. Действительно,\biggl( \widetilde p
a(\psi , x)
- 1
\biggr)
\xi (t) - t\xi
\prime
(t)=
\biggl( \widetilde p
a(\psi , x)
- 1
\biggr) \biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
nt
2
+
1
2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt
\biggr)
- nt
2
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
nt
2
+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nt
\biggr)
=
=
\biggl( \widetilde p
a(\psi , x)
- 1
\biggr)
nt
2
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}
nt
2
+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}nt
\biggr)
- nt
2
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
nt
2
+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nt
\biggr)
\geq
\geq nt
2
\biggl(
\scrL
\biggl(
nt
2
\biggr)
+ \scrL (nt)
\biggr)
\geq 0.
Следовательно, для любого \widetilde p, удовлетворяющего соотношению (4.24), и произвольного
\tau \in (0, \pi /n] в силу (4.1) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 741
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\psi (n)
\Bigl\{ \int \tau
0 \omega
\widetilde p
k(f
\psi
\beta , t)
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} nt
2 + 1
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt
\bigr)
dt
\Bigr\} 1/\widetilde p =
=
1
2k/2
\bigl\{ \int \tau
0 (1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nt)k\widetilde p/2 \bigl( \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} nt
2 + 1
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt
\bigr)
dt
\bigr\} 1/\widetilde p . (4.25)
В частности, отметим, что соотношение (4.25), в силу неравенства (4.24) и формул (4.11), имеет
место:
для \psi := \psi 1,r, если 2/r \leq \widetilde p \leq 2, 1 \leq r <\infty ;
для \psi := \psi 3,\sigma ,\lambda , если 2/(\sigma \lambda ) \leq \widetilde p \leq 2, \sigma , \lambda \in (0,\infty ) и 1 \leq \sigma \lambda ;
для \psi := \psi 4,r,\varepsilon , если 2/(r - \varepsilon ) \leq \widetilde p \leq 2, 0 < \varepsilon < r <\infty и 1 \leq r - \varepsilon .
4.3. Еще раз вернемся к вычислению константы в неравенстве Д. Джексона, воспользовав-
шись для этого соотношением (4.25).
Полагая в равенстве (4.25) \widetilde p = 2, записываем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\psi (n)
\Bigl\{
n
\int \tau
0 \omega
2
k(f
\psi
\beta , t)
\bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} nt
2 + 1
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt
\bigr)
dt
\Bigr\} 1/2
=
=
1
2k/2
\left\{
k\sum
j=0
( - 1)j
\biggl(
k
j
\biggr) \biggl[
2k+1(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2j+1(n\tau /2))
2j + 1
+
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}j+1(n\tau )
2(j + 1)
\biggr] \right\}
- 1/2
, 0 < \tau \leq \pi /n.
(4.26)
Используя формулы конечных сумм с биномиальными коэффициентами (см., например, [46],
глава 4, п. 4.2.2, № 50; п. 4.2.3, № 23 при x = 1), имеем
k\sum
j=0
( - 1)j
2j + 1
\biggl(
k
j
\biggr)
=
(2k)!!
(2k + 1)!!
;
[k/2]\sum
j=0
1
2j + 1
\biggl(
k
2j
\biggr)
=
2k
k + 1
,
где [a] — целая часть числа a \in \BbbR . С учетом этого из (4.26) при \tau := \pi /n получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\psi (n)
\Bigl\{
n
\int \pi /n
0 \omega 2
k
\Bigl(
f\psi \beta , t
\Bigr) \bigl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} nt
2 + 1
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt
\bigr)
dt
\Bigr\} 1/2
=
=
1
2k+1/2
\biggl\{
(2k)!!
(2k + 1)!!
+
1
2(k + 1)
\biggr\} - 1/2
. (4.27)
Из соотношения (4.27) для произвольной функции f \in L\psi \beta ,2, не равной тождественно константе,
имеем неравенство Джексона
En - 1(f) < \chi k,2\psi (n) \omega k
\Bigl(
f\psi \beta ,
\pi
n
\Bigr)
,
где
\chi k,2 :=
\biggl(
3
2
\biggr) 1/2
2 - k
\biggl\{
(2k)!!
(2k + 1)!!
+
1
2(k + 1)
\biggr\} - 1/2
. (4.28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
742 С. Б. ВАКАРЧУК
Покажем, что
\chi k,2 < \chi k,2 (4.29)
для любого k \in \BbbN , где величина \chi k,2 определена соотношением (4.21). Учитывая указанную
формулу, где \widetilde p = 2, а также соотношение (4.28), из (4.29) получаем неравенство, которое
требуется доказать:
3
2
\biggl\{
(2k)!!
(2k + 1)!!
+
1
2(k + 1)
\biggr\} - 1
< k + 1. (4.30)
Непосредственной проверкой несложно убедиться в том, что при k = 1 величина \chi 1,2 = 3/
\surd
22
меньше, чем \chi 1,2 = 1/
\surd
2. При k = 2, 3, 4 можно убедиться в справедливости более „сильного”,
чем (4.30), неравенства
3
2
(2k + 1)!!
(2k)!!
< k + 1. (4.31)
Покажем выполнение неравенства (4.31) для любого натурального k \geq 5, использовав метод
математической индукции. Пусть соотношение (4.31) имеет место для k = m, где m \in \BbbN и
m \geq 2. Полагая k = m+ 1 и используя неравенство (4.31), справедливое, по предположению,
для k = m, записываем
3
2
(2m+ 3)!!
(2m+ 2)!!
=
3
2
(2m+ 1)!!
(2m)!!
2m+ 3
2m+ 2
< (m+ 1)
\biggl(
1 +
1
2m+ 2
\biggr)
= m+
3
2
< m+ 2,
т. е. формула (4.31) выполнена для любых натуральных k = 2, 3, ....
Таким образом, неравенство (4.30) имеет место для произвольного k \in \BbbN , что означает
корректность соотношения (4.29). Вопрос о точности константы \chi k,2, полученной в неравен-
стве Джексона на классе (\psi , \beta )-дифференцируемых функций, остается открытым, хотя, как
отмечено выше, она лучше, чем константа \chi k,2 .
4.4. Пусть функция \gamma удовлетворяет свойству А, \tau := b/n, где 0 < b \leq t\ast , n \in \BbbN ,\widetilde \xi (t) := \xi (nt). Тогда, используя формулу (3.11), записываем
\alpha j,\gamma ,\psi ,p(\widetilde \xi , b/n) = 1
\psi (j)
\left\{
b/n\int
0
\gamma p/2(jt)\widetilde \xi (nt)dt
\right\}
1/p
=
1
\psi
\Bigl(
n
j
n
\Bigr)
\left\{ 1
n
b\int
0
\gamma p/2
\biggl(
j
n
t
\biggr) \widetilde \xi (t)dt
\right\}
1/p
.
Отсюда имеем
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\leq j<\infty
\alpha j,\gamma ,\psi ,p(\widetilde \xi , b/n) \geq 1
n1/p
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
1\leq x<\infty
\left\{ 1
\psi p(nx)
b\int
0
\gamma p/2(xt)\widetilde \xi (t)dt
\right\}
1/p
. (4.32)
Используя теорему 2 и формулу (4.32), получаем следующее утверждение.
Следствие 3. Пусть функция \gamma принадлежит классу G и удовлетворяет свойству А,
функция \psi является элементом множества \frakM , \beta \in \BbbR , n \in \BbbN , 0 < p \leq 2, 0 < b \leq t\ast , \xi —
неотрицательная суммируемая на отрезке [0, b] функция, не эквивалентная нулю. Тогда имеет
место двойное неравенство
1
\{ \theta \gamma ,\psi ,p(b, \xi , 1)\} 1/p
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)\Bigl\{ \int b
0 \omega
p
\gamma (f
\psi
\beta , t/n)\xi (t)dt
\Bigr\} 1/p
\leq 1\biggl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
1\leq x<\infty
\theta \gamma ,\psi ,p(b, \xi , x)
\biggr\} 1/p
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 743
где
\theta \gamma ,\psi ,p(b, \xi , x) :=
1
\psi p(nx)
b\int
0
\gamma p/2(xt)\xi (t)dt. (4.33)
Если при этом функция \xi такова, что
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
1\leq x<\infty
\theta \gamma ,\psi ,p(b, \xi , x) = \theta \gamma ,\psi ,p(b, \xi , 1), (4.34)
то справедливо равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)\Bigl\{ \int b
0 \omega
p
\gamma (f
\psi
\beta , t/n)\xi (t)dt
\Bigr\} 1/p
=
1
\{ \theta \gamma ,\psi ,p(b, \xi , 1)\} 1/p
. (4.35)
Приведем один из возможных примеров выполнения равенства (4.34). Для этого полагаем
\psi := \psi 1,r, где r \in (0,\infty ), \beta \in \BbbR . Как отмечалось ранее, в этом случае имеем производную в
смысле Вейля – Надя, т. е. f\psi 1,r
\beta = f
(r)
\beta . Также полагаем \xi (t) := trp - 1\xi 1(t), где 0 < p \leq 2, а \xi 1
является невозрастающей неотрицательной суммируемой на отрезке [0, b] функцией, которая
не эквивалентна нулю. Полагаем \xi 2(t) := \{ \xi 1(t), если 0 \leq t \leq b, и \xi 1(b), если b \leq t < \infty \} .
Тогда для всех 1 \leq x <\infty в силу (4.33) получаем
\theta \gamma ;\psi 1,r;p(b, t
rp - 1\xi 1(t), x) = (xn)rp
b\int
0
\gamma p/2(xt)trp - 1\xi 1(t)dt =
= nrp
bx\int
0
\gamma p/2(t)trp - 1\xi 1(t/x)dt \geq nrp
bx\int
0
\gamma p/2(t)trp - 1\xi 2(t)dt \geq
\geq nrp
b\int
0
\gamma p/2(t)trp - 1\xi 1(t)dt = \theta \gamma ;\psi 1,r;p(b, t
rp - 1\xi 1(t), 1),
т. е.
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \theta \gamma ;\psi 1,r;p(b, t
rp - 1\xi 1(t), x) : 1 \leq x <\infty \} = \theta \gamma ;\psi 1,r;p(b, t
rp - 1\xi 1(t), 1). (4.36)
Из соотношений (4.34) – (4.36) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L
\psi 1,r
\beta ,2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)\Bigl\{ \int b
0 \omega
p
\gamma (f
(r)
\beta , t/n)trp - 1\xi 1(t)dt
\Bigr\} 1/p
=
1\Bigl\{ \int b
0 \gamma
p/2(t)trp - 1\xi 1(t)dt
\Bigr\} 1/p
. (4.37)
Напомним, что в случае r = \beta \in \BbbN , \gamma := \gamma 1,k и p = 2 равенство (4.37) было получено
А. А. Лигуном в работе [12], а при тех же условиях и 0 < p \leq 2 — М. Ш. Шабозовым и
Г. А. Юсуповым в работе [24]. В случае, когда r = \beta \in \BbbN , \gamma := \gamma 2,k и 0 < p \leq 2, оно было
доказано С. Б. Вакарчуком и В. И. Забутной в работе [28].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
744 С. Б. ВАКАРЧУК
Литература
1. Jackson D. Uber die Genauigkeit des Annaherung stetigen Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen
Grades und trigonometrischen Summen gegebener Ordnung: Diss. – Göttingen, 1911.
2. Jackson D. Some note of trigonometric interpolation // Amer. Math. Mon. – 1927. – 34. – P. 401 – 405.
3. Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1951. –
15, № 3. – C. 219 – 242.
4. Иванов В. И., Смирнов О. И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. – Тула: Тул. гос.
ун-т, 1995. – 192 с.
5. Корнейчук Н. П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерыв-
ных периодических функций // Докл. АН СССР. – 1962. – 145, № 3. – C. 514 – 515.
6. Черных Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 //
Мат. заметки. – 1967. – 2, № 5. – C. 513 – 522.
7. Юдин В. А. Многомерная теорема Джексона // Мат. заметки. – 1967. – 20, № 3. – C. 439 – 444.
8. Черных Н. И. Неравенство Джексона в Lp(0, 2\pi ) (1 \leq p < 2) с точной константой // Труды Мат. ин-та РАН. –
1992. – 198. – C. 232 – 241.
9. Бердышев В. И. О теореме Джексона в Lp // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1967. – 88. – C. 3 – 16.
10. Тайков Л. В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2 //
Мат. заметки. – 1976. – 22, № 3. – C. 433 – 438.
11. Тайков Л. В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 // Мат. заметки. – 1979. – 25,
№ 2. – C. 217 – 223.
12. Лигун А. А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в про-
странстве L2 // Мат. заметки. – 1978. – 24, № 6. – C. 785 – 792.
13. Юдин В. А. Диофантовы приближения в экстремальных задачах в L2 // Докл. АН СССР. – 1980. – 251, № 1. –
C. 54 – 57.
14. ArestovV. V., Chernykh N. I. On the L2 -approximation of periodic function by trigonometric polynomials // Approxim.
and Function Spaces: Proc. Int. Conf., Gdansk, 27–31 Aug., 1979. – Warszawa: Polish Sci. Publ., 1981. – P. 25 – 43.
15. Жук В. В. О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности //
Сиб. мат. журн. – 1971. – 12, № 6. – C. 1283 – 1291.
16. Бабенко А. Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2 // Мат. заметки. – 1986. – 39, № 5. – C. 651 – 664.
17. Иванов В. И. О связи констант Джексона и констант Юнга в пространстве Lp // Мат. заметки. – 1995. – 58,
№ 6. – C. 828 – 836.
18. Шалаев В. В. О поперечниках в L2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерыв-
ности высших порядков // Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 1. – C. 125 – 129.
19. Есмаганбетов М. Г. Поперечники классов из L2[0, 2\pi ] и минимизация точных констант в неравенствах типа
Джексона // Мат. заметки. – 1999. – 65, № 6. – C. 816 – 820.
20. Степанец А. И., Сердюк А. С. Прямые и обратные теоремы теории приближения функций в пространстве Sp //
Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 1. – C. 106 – 124.
21. Вакарчук С. Б., Щитов А. Н. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 и поперечники некоторых
классов функций // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 11. – C. 1458 – 1466.
22. Бердышева Е. Е. Оптимальное множество модуля непрерывности в точном неравенстве Джексона в простран-
стве L2 // Мат. заметки. – 2004. – 76, № 5. – C. 666 – 674.
23. Вакарчук С. Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L2 // Мат. заметки. – 2006. – 80,
№ 1. – C. 11 – 19.
24. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2\pi -перио-
дических функций и точные значения их поперечников // Мат. заметки. – 2011. – 90, № 5. – C. 761 – 772.
25. Абилов В. А., Абилова Ф. В. Некоторые вопросы приближения 2\pi -периодических функций суммами Фурье в
пространстве L2(2\pi ) // Мат. заметки. – 2004. – 76, № 6. – C. 803 – 811.
26. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Точное неравенство типа Джексона – Стечкина в L2 и поперечники функцио-
нальных классов // Мат. заметки. – 2009. – 86, № 3. – C. 328 – 336.
27. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения попереч-
ников некоторых классов функций в L2 // Сиб. мат. журн. – 2011. – 52, № 6. – C. 1414 – 1427.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 745
28. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Неравенства типа Джексона – Стечкина для специальных модулей непрерыв-
ности и поперечники функциональных классов в пространстве L2 // Мат. заметки. – 2012. – 92, № 4. –
C. 497 – 514.
29. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L2 и поперечниках
некоторых классов функций // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 8. – C. 1025 – 1032.
30. Васильев В. Н. Точное неравенство Джексона – Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным конеч-
норазностным оператором с постоянными коэффициентами // Докл. АН. – 2002. – 385, № 1. – C. 11 – 14.
31. Козко А. Н., Рождественский А. В. О неравенстве Джексона с обобщенным модулем непрерывности // Мат.
заметки. – 2003. – 73, № 5. – C. 783 – 788.
32. Shapiro H. S. A Tauberian theorem related to approximation theory // Acta Math. – 1968. – 120. – P. 279 – 292.
33. Boman J., Shapiro H. S. Comparison theorems for a generalized modulus of continuity // Ark. mat. – 1971. – 9, № 1. –
P. 91 – 116.
34. Boman J. Equivalence of generalized moduli of continuity // Ark. mat. – 1980. – 18, № 1. – P. 73 – 100.
35. Степанец А. И. Классификация периодических функций и скорость сходимости их рядов Фурье // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1986. – 50, № 1. – C. 101 – 136.
36. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. 1. –
426 c.
37. Степанец А. И., Сердюк А. С., Шидлич А. Л. Классификация бесконечно дифференцируемых периодических
функций // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 12. – C. 1686 – 1708.
38. Степанец А. И., Сердюк А. С., Шидлич А. Л. О связи классов (\psi , \beta )-дифференцируемых функций с классами
Жевре // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. – C. 140 – 145.
39. Романюк А. С. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных:
Дис. ... канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1988. – 114 с.
40. Доронин В. Г., Божуха Л. М. Узагальнення деяких нерiвностей типу Джексона в просторi L2 // Вiсн. Днiпро-
петр. ун-ту. Сер. мат. – 2001. – № 6. – С. 58 – 62.
41. Сердюк А. С. Поперечники в просторi Sp класiв функцiй, що означаються модулями неперервностi їх \psi -
похiдних // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Працi Iн-ту математики НАН України. –
2003. – 46. – C. 229 – 247.
42. Pinkus A. n-Widths in approximation theory. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1985. – 290 p.
43. Юссеф Х. О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классов функций в L2 // Приме-
нение функцион. анализа в теории приближений. – Калинин: Калинин. гос. ун-т, 1988. – C. 100 – 114.
44. Васильев С. Н. Аппроксимация функций тригонометрическими полиномами в L2 и фрактальными функциями
в C : Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. – Екатеринбург, 2002. – 17 с.
45. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
46. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев С. И. Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981. – 798 с.
Получено 04.05.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1874 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:21Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/19/4eb1702e31f413a405ce29e84150a219.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18742019-12-05T09:30:37Z Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differential functions in $L_2$. I Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения $n$-поперечников классов $(ψ,β)$ -дифференцируемых функций в $L_2$. I Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. For the generalized moduli of continuity, including the ordinary moduli of continuity and various their modifications, we establish the exact constants for Jackson-type inequalities in the classes of $2\pi$ -periodic functions in the space $L_2$ with $(\psi , \beta)$-derivatives, introduced by Stepanets. These results take into account the classification of $(\psi , \beta)$-derivatives and enable us to consider the major part of Jackson-type inequalities obtained earlier in the classes of differentiable functions $L_2^r,\; r \in N$, from the common point of view. На класах $2\pi$ -перiодичних функцiй, якi мають уведенi О. I. Степанцем $(\psi , \beta)$-похiднi, у просторi $L_2$ отримано точнi константи у нерiвностях типу Джексона для узагальнених модулiв неперервностi, якi включають в себе як звичайнi модулi неперервностi, так i рiзнi їх модифiкацiї. Данi результати, з огляду на класифiкацiю $(\psi , \beta )$-похiдних, дозволяють з єдиних позицiй розглядати бiльшiсть отриманих ранiше нерiвностей типу Джексона на класах диференцiйовних функцiй $L_2^r,\; r \in N$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1874 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 6 (2016); 723-745 Український математичний журнал; Том 68 № 6 (2016); 723-745 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1874/856 Copyright (c) 2016 Vakarchuk S. B. |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differential functions in $L_2$. I |
| title | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differential functions in $L_2$. I |
| title_alt | Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения $n$-поперечников классов $(ψ,β)$ -дифференцируемых функций в $L_2$. I |
| title_full | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differential functions in $L_2$. I |
| title_fullStr | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differential functions in $L_2$. I |
| title_full_unstemmed | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differential functions in $L_2$. I |
| title_short | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differential functions in $L_2$. I |
| title_sort | jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differential functions in $l_2$. i |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1874 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb jacksontypeinequalitieswithgeneralizedmodulusofcontinuityandexactvaluesofthenwidthsoftheclassesofpsbdifferentialfunctionsinl2i AT vakarčuksb jacksontypeinequalitieswithgeneralizedmodulusofcontinuityandexactvaluesofthenwidthsoftheclassesofpsbdifferentialfunctionsinl2i AT vakarčuksb jacksontypeinequalitieswithgeneralizedmodulusofcontinuityandexactvaluesofthenwidthsoftheclassesofpsbdifferentialfunctionsinl2i AT vakarchuksb neravenstvatipadžeksonasobobŝennymmodulemnepreryvnostiitočnyeznačeniânpoperečnikovklassovpsbdifferenciruemyhfunkcijvl2i AT vakarčuksb neravenstvatipadžeksonasobobŝennymmodulemnepreryvnostiitočnyeznačeniânpoperečnikovklassovpsbdifferenciruemyhfunkcijvl2i AT vakarčuksb neravenstvatipadžeksonasobobŝennymmodulemnepreryvnostiitočnyeznačeniânpoperečnikovklassovpsbdifferenciruemyhfunkcijvl2i |