Conitnuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems with respect to the parameter in slobodetsky spaces
For the system of linear ordinary differential equations of the first order, we study the broadest class of inhomogeneous boundary-value problems whose solutions belong to the Slobodetsky space $W^{s+1}_p ((a, b),C^m)$ with $m \in N,\; s > 0$, and $p \in (1,\infty )$. We prove a theorem on...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1875 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507759074607104 |
|---|---|
| author | Gnyp, E. V. Гнип, Є. В. |
| author_facet | Gnyp, E. V. Гнип, Є. В. |
| author_sort | Gnyp, E. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:37Z |
| description | For the system of linear ordinary differential equations of the first order, we study the broadest class of inhomogeneous
boundary-value problems whose solutions belong to the Slobodetsky space $W^{s+1}_p ((a, b),C^m)$ with $m \in N,\; s > 0$, and
$p \in (1,\infty )$. We prove a theorem on the Fredholm property of these problems.
We also establish conditions under which the problems are uniquely solvable in the Slobodetsky space and their solutions are continuous in this space with respect to the parameter. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.927
Є. В. Гнип (Iн-т математики НАН України, Київ)
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ
ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
У ПРОСТОРАХ СЛОБОДЕЦЬКОГО
For the system of linear ordinary differential equations of the first order, we study the broadest class of inhomogeneous
boundary-value problems whose solutions belong to the Slobodetsky space W s+1
p ((a, b),\BbbC m) with m \in \BbbN , s > 0, and
p \in (1,\infty ). We prove a theorem on the Fredholm property of these problems. We also establish conditions under which
the problems are uniquely solvable in the Slobodetsky space and their solutions are continuous in this space with respect
to the parameter.
Для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка исследуется наиболее широ-
кий класс неоднородных краевых задач, решения которых принадлежат пространству Слободецкого
W s+1
p ((a, b),\BbbC m) , где m \in \BbbN , s > 0 и p \in (1,\infty ). Доказана теорема о фредгольмовости этих задач. Уста-
новлены условия их однозначной разрешимости и непрерывности решений по параметру в этом пространстве.
Вступ. Питання, пов’язанi з граничним переходом у системах диференцiальних рiвнянь, ви-
никають у багатьох задачах. Цi питання найкраще дослiджено щодо задачi Кошi для систем
звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь першого порядку. Бiльш складний випадок за-
гальних крайових задач вивчав I. Т. Кiгурадзе [1 – 3] та його послiдовники. У роботах Т. I. Код-
люк, В. А. Михайлеця i Н. В. Реви [4, 5] отримано суттєвi узагальнення цих результатiв. Вони
стосуються неперервностi за параметром розв’язкiв систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь
першого порядку у рiвномiрнiй нормi. Для систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь вищих
порядкiв цi питання дослiджено В. А. Михайлецем, Г. О. Чехановою [6] i В. О. Солдатовим [7].
У роботах [8, 9] введено i дослiджено досить широкий клас лiнiйних крайових задач —
тотальних щодо просторiв Соболєва. Для нього доведено теореми про неперервнiсть за парамет-
ром розв’язкiв у цих просторах. Пiзнiше тотальнi крайовi задачi було введено i дослiджено для
систем диференцiальних рiвнянь високого порядку [10]. Доведено фредгольмовiсть цих задач,
знайдено достатнi умови їх коректної розв’язностi та неперервної залежностi за параметром їх
розв’язкiв у вказаних просторах.( \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} f)
Мета даної роботи — перенести вказанi результати на системи диференцiальних рiвнянь
першого порядку у просторах Слободецького [11, 12].
Зазначимо, що загальнi теореми про граничний перехiд у загальних i тотальних крайових
задачах мають рiзнi застосування до багатоточкових крайових задач [13, 14] у дослiдженнi
граничних властивостей функцiї Грiна крайових задач [4, 6], у спектральнiй теорiї диференцi-
альних операторiв [15 – 17]. Крiм того, використаний у роботi пiдхiд можна застосувати i для
iнших функцiональних просторiв [18, 19].
1. Постановка задачi. Нехай задано числа p \in (1,\infty ), m \in \BbbN , s \in \BbbR + \setminus \BbbZ +, s :=
:= [s] + \{ s\} , де [s] \in \BbbN , 0 \leq \{ s\} < 1, i скiнченний iнтервал (a, b) \subset \BbbR . Позначимо через
W s
p := W s
p ((a, b),\BbbC ) ,
\bigl(
W s
p
\bigr) m
:= W s
p ((a, b),\BbbC m) ,
\bigl(
W s
p
\bigr) m\times m
:= W s
p ((a, b),\BbbC m\times m) простори
Слободецького на iнтервалi (a, b) вiдповiдно комплекснозначних функцiй, вектор-функцiй i
матриць-функцiй.
c\bigcirc Є. В. ГНИП, 2016
746 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 747
Простiр Слободецького W s
p з нецiлим додатним s означається [11] (п.2.5.1, зауваження 4)
як простiр функцiй f, що належать простору Соболєва W
[s]
p i задовольняють умову
\| f\| s,p := \| f\| [s],p +
\left( b\int
a
b\int
a
| f [s](x) - f [s](y)| p
| x - y| 1+\{ s\} p dxdy
\right) 1/p
< +\infty ,
де \| f\| [s],p — норма у просторi Соболєва W
[s]
p . Тут W 0
p := Lp. Функцiонал \| f\| s,p є нормою на
просторi W s
p .
Зауваження 1. Нехай s \in \BbbR + \setminus \BbbN , s := [s] + \{ s\} . Функцiя f належить W s
p тодi i тiльки
тодi, коли f \in Lp, f
([s]) \in W
\{ s\}
p , до того ж виконується еквiвалентнiсть норм
\| f\| s,p \asymp \| f\| 0,p + \| f ([s])\| \{ s\} ,p.
(див. [11], п. 4.4.1, зауваження 2).
Вiдомо, що якщо функцiя f належить W s
p , то f буде неперервною на [a, b] при s >
1
p
.
Нехай M(W s
p ) := \{ \varphi : \varphi f \in W s
p \forall f \in W s
p \} — простiр мультиплiкаторiв на класi W s
p . При
s \in
\biggl(
0,
1
p
\biggr]
i p > 1 простiр W s
p мiстить необмеженi функцiї, якi не будуть мультиплiкаторами
у W s
p . Тому для вказаних значень s i p простiр W s
p не є алгеброю вiдносно множення.
Розглянемо лiнiйну крайову задачу на просторi (W s+1
p )m для системи m диференцiальних
рiвнянь першого порядку вигляду
y\prime (t) +A(t)y(t) = f(t), t \in (a, b), (1)
By(\cdot ) = c. (2)
Тут матриця-функцiя A(\cdot ) належить простору (W s
p )
m\times m, вектор-функцiя f(\cdot ) — простору
(W s
p )
m, вектор c — простору \BbbC m, а B — лiнiйний неперервний оператор
B : (W s+1
p )m \rightarrow \BbbC m.
Розв’язком цiєї крайової задачi є вектор-функцiя y(\cdot ) \in (W s+1
p )m, яка задовольняє рiвняння
(1) у кожнiй точцi (a, b) (при [s] = 0 майже скрiзь). Крiм того, y(\cdot ) повинна задовольняти
рiвнiсть (2).
Якщо y належить W s+1
p , то y\prime належить W s
p як узагальнена похiдна. Якщо [s] = 0, то
W s+1
p \subset W 1
p \subset AC[a, b] i y\prime iснує майже скрiзь на (a, b). Якщо [s] \geq 1, то W s+1
p \subset W 2
p \subset
\subset C1[a, b] i y\prime — класична похiдна, абсолютно неперервна на [a, b].
Неоднорiдна крайова умова (2) охоплює всi класичнi види крайових умов: задачi Кошi, дво-
та багатоточковi, iнтегральнi та мiшанi крайовi задачi, а також ряд некласичних задач, бо може
мiстити похiднi аж до порядку [s] \geq 1. За аналогiєю з [8, 9] крайову задачу (1), (2) можна
називати тотальною щодо простору W s+1
p .
Якщо крайова задача (1), (2) залежить вiд малого параметра \varepsilon \geq 0, то природно виникає
питання про неперервнiсть розв’язку y(\cdot , \varepsilon ) такої задачi за параметром \varepsilon у банаховому просто-
рi
\bigl(
W s+1
p
\bigr) m
. Мета даної роботи полягає в тому, щоб знайти достатнi умови однозначної
розв’язностi цiєї задачi та виконання граничної властивостi
\| y(\cdot , \varepsilon ) - y(\cdot , 0)\| s+1,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
748 Є. В. ГНИП
2. Формулювання основних результатiв. Сформулюємо основнi результати статтi, якi
будуть доведенi в пп. 4 i 5.
Запишемо неоднорiдну крайову задачу (1), (2) у виглядi операторного рiвняння
(L,B)y = (f, c).
Теорема 1. Вiдображення y \mapsto \rightarrow (L,B)y, де y \in
\bigl(
W s+1
p
\bigr) m
, є обмеженим лiнiйним опера-
тором
(L,B) :
\bigl(
W s+1
p
\bigr) m \rightarrow
\bigl(
W s
p
\bigr) m \times \BbbC m.
Цей оператор фредгольмiв з iндексом 0.
Сформулюємо критерiй оборотностi оператора (L,B), тобто умови, коли неоднорiдна кра-
йова задача (1), (2) має єдиний розв’язок, який неперервно залежить вiд правої частини дифе-
ренцiального рiвняння та крайової умови.
Оскiльки A(\cdot ) \in
\bigl(
W s
p
\bigr) m\times m \subset (L1)
m\times m , то позначимо через Y (\cdot ) \in (AC[a, b])m\times m \subset
\subset
\bigl(
W s+1
p
\bigr) m\times m
єдиний розв’язок матричної задачi Кошi
Y \prime (t) +A(t)Y (t) = 0, t \in (a, b), (4)
Y (a) = Im, (5)
де Im — одинична матриця розмiрностi m\times m. Позначимо
[BY (t)] :=
\left( B
\left( y1,1(t)
...
ym,1(t)
\right) . . . B
\left( y1,m(t)
...
ym,m(t)
\right)
\right) .
Цю матрицю отримуємо в результатi дiї оператора B на стовпчики матрицi Y (t).
Теорема 2. Оператор (L,B) оборотний тодi i тiльки тодi, коли квадратна (m \times m)-
матриця [BY (\cdot )] невироджена.
Розглянемо параметризовану числом \varepsilon \in [0, \varepsilon 0) сiм’ю тотальних щодо простору W s+1
p
крайових задач вигляду
y\prime (t, \varepsilon ) +A(t, \varepsilon )y(t, \varepsilon ) = f(t, \varepsilon ), t \in (a, b), (6)
B(\varepsilon )y(\cdot , \varepsilon ) = c(\varepsilon ), (7)
де при кожному фiксованому значеннi параметра \varepsilon матриця-функцiя A(\cdot , \varepsilon ) належить простору\bigl(
W s
p
\bigr) m\times m
, вектор-функцiя f(\cdot ; \varepsilon ) — простору
\bigl(
W s
p
\bigr) m
, c(\varepsilon ) — простору \BbbC m, а B(\varepsilon ) — лiнiйний
неперервний оператор:
B(\varepsilon ) :
\bigl(
W s+1
p
\bigr) m \rightarrow \BbbC m.
Для того щоб спiввiдношення (3) мало змiст, будемо далi вважати, що виконується таке
припущення.
Припущення \scrE . Однорiдна гранична крайова задача
y\prime (t, 0) = - A(t, 0)y(t, 0), t \in (a, b),
B(0)y(\cdot , 0) = 0
має лише тривiальний розв’язок.
Основним результатом роботи є наступна теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 749
Теорема 3. Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконуються такi умови:
1) \| A(\cdot , \varepsilon ) - A(\cdot , 0)\| s,p \rightarrow 0;
2) B(\varepsilon )y \rightarrow B(0)y для довiльного y \in
\bigl(
W s+1
p
\bigr) m
.
Тодi для достатньо малих \varepsilon > 0 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) є оборотним.
Якщо, крiм цього,
3) \| f(\cdot , \varepsilon ) - f(\cdot , 0)\| s,p \rightarrow 0, c(\varepsilon ) \rightarrow c(0),
то розв’язок y(\cdot , \varepsilon ) задачi (6), (7) задовольняє граничну властивiсть (3).
Зазначимо, що в умовах теореми 3 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) збiгається до оператора (L(0), B(0))
в сильнiй операторнiй топологiї, але, взагалi кажучи, не збiгається за нормою.
3. Допомiжнi твердження. Встановимо кiлька допомiжних тверджень, якi будуть вико-
ристанi при доведеннi основних результатiв.
Лема 1. Для довiльних матрицi-функцiї Y (\cdot ) \in
\bigl(
W s+1
p
\bigr) m\times m
, вектора q \in \BbbC m та лiнiйного
неперервного оператора B : (W s+1
p )m \rightarrow \BbbC m справджується рiвнiсть
B(Y (t) \cdot q) = [BY (t)] q.
Ця рiвнiсть перевiряється безпосередньо.
Лема 2. Нехай p > 1, s \in (0, 1). Тодi W 1
p \subset M(W s
p ) i виконується нерiвнiсть
\| \varphi \| M(W s
p )
\leq c\| \varphi \| 1,p,
де c — деяка стала.
Доведення. Якщо функцiя \varphi належить W 1
p , то, оскiльки цей клас є банаховою алгеброю,
\| \varphi y\| 1,p \leq c1\| \varphi \| 1,p
для довiльного y \in W 1
p , де стала c1 > 0 не залежить вiд y. Крiм того, оскiльки W 1
p \subset C[a, b]
за теоремою про вкладення Соболєва, то
\| \varphi y\| p \leq c2\| \varphi \| p
для довiльного y \in Lp, де стала c2 > 0 не залежить вiд y, а \| \cdot \| p — норма в Lp.
Тому лiнiйний оператор множення на функцiю \varphi \in W 1
p неперервно дiє з W 1
p в себе i з
Lp в себе. За iнтерполяцiйною теоремою [11] (п. 4.3.1, теорема 1) оператор є обмеженим i в
банаховому просторi W s
p , де s \in (0, 1).
Лему 2 доведено.
Зауваження 2. Якщо s \in
\biggl(
1
p
, 1
\biggr)
, то твердження леми випливає з того, що простiр W s
p є
банаховою алгеброю.
Лема 3. Нехай матриця-функцiя Y (\cdot ) \in (W s+1
p )m\times m є невиродженою. Тодi Y - 1(\cdot ) нале-
жить (W s+1
p )m\times m.
Доведення. Спочатку доведемо дане твердження для скалярного випадку m = 1 методом
математичної iндукцiї по [s].
1. Нехай [s] = 1, тодi функцiя Y (\cdot ) \in W
1+\{ s\}
p . Оскiльки W
1+\{ s\}
p \subset AC[a, b], то за умовою
(\exists c > 1)(\forall t \in [a, b]) : c - 1 \leq | Y (t)| \leq c. Тодi (Y - 1(\cdot ))\prime = - Y \prime (\cdot ) \cdot Y - 2(\cdot ) \in Lp(a, b), тобто
Y - 1(\cdot ) \in W 1
p .
Окрiм того,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
750 Є. В. ГНИП
b\int
a
b\int
a
| (Y - 1(x))\prime - (Y - 1(y))\prime | p
| x - y| 1+\{ s\} p dxdy \leq
b\int
a
b\int
a
| Y \prime (x)Y 2(y) - Y \prime (y)Y 2(x)| p
| Y 2(x)| p| Y 2(y)| p| x - y| 1+\{ s\} p dxdy \leq
\leq c4
b\int
a
b\int
a
| Y \prime (x)Y 2(y) - Y \prime (y)Y 2(x)| p
| x - y| 1+\{ s\} p dxdy \leq c4
\left( b\int
a
b\int
a
| Y \prime (x)Y 2(y) - Y \prime (y)Y 2(y)| p
| x - y| 1+\{ s\} p dxdy+
+
b\int
a
b\int
a
| Y \prime (y)Y 2(y) - Y \prime (x)Y 2(y)| p
| x - y| 1+\{ s\} p dxdy +
b\int
a
b\int
a
| Y \prime (x)Y 2(x) - Y \prime (y)Y 2(y)| p
| x - y| 1+\{ s\} p dxdy
\right) \leq
\leq 2c6
b\int
a
b\int
a
| (Y (x))\prime - (Y (y))\prime | p
| x - y| 1+\{ s\} p dxdy + c4
b\int
a
b\int
a
| Y \prime (x)Y 2(x) - Y \prime (y)Y 2(y)| p
| x - y| 1+\{ s\} p dxdy < +\infty ,
оскiльки Y \prime (\cdot ) \in W
\{ s\}
p i Y \prime (\cdot )Y 2(\cdot ) \in W
\{ s\}
p на пiдставi умови Y (\cdot ) \in W
1+\{ s\}
p i леми 2.
Отже, Y - 1(\cdot ) \in W
1+\{ s\}
p .
2. Припустимо тепер, що при [s] = k як тiльки Y (\cdot ) \in W s+1
p , то Y - 1(\cdot ) \in W s+1
p .
3. Доведемо лему для випадку [s] = k + 1. Оскiльки Y (\cdot ) \in W s+1
p , то Y \prime (\cdot ) \in W s
p i
Y (\cdot ) \in W s
p . Тодi згiдно з попереднiм пунктом Y - 1(\cdot ) \in W s
p i
(Y - 1(\cdot ))([s]+1) = - (Y \prime (\cdot ) \cdot Y - 2(\cdot ))([s]) \in W \{ s\}
p , (8)
Y \prime (\cdot ) \cdot Y - 2(\cdot ) \in W s
p , оскiльки W s
p є алгеброю. Властивiсть (8) разом з Y - 1 \in Lp обумовлює
потрiбне включення Y - 1 \in W s+1
p .
Отже, лему для випадку m = 1 доведено. Нехай тепер матриця Y (\cdot ) має розмiрнiсть m\times m.
Використовуючи вiдому формулу, маємо
Y - 1(t) =
1
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Y (t)
Y T (t). (9)
Якщо Y (\cdot ) належить (W s
p )
m\times m, то Y T (\cdot ) — матриця iз алгебраїчних доповнень — також нале-
жить простору (W s
p )
m\times m. Тодi, використовуючи доведений вище факт i рiвнiсть (9), отримуємо,
що i Y - 1(\cdot ) належить (W s
p )
m\times m.
Лему 3 доведено.
Введемо метричний простiр матриць-функцiй
(\scrY s+1
p ) :=
\bigl\{
Y (t) \in (W s+1
p )m\times m : Y (a) = Im, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Y (t) \not = 0
\bigr\}
з метрикою
ds+1
p (Y,Z) := \| Y (\cdot ) - Z(\cdot )\| s+1,p.
Теорема 4. Нелiнiйне вiдображення \gamma : A \mapsto \rightarrow Y, де A \in (W s
p )
m\times m, а Y \in AC[a, b] —
розв’язок задачi (4), (5), є гомеоморфiзмом банахового простору (W s
p )
m\times m на метричний
простiр (\scrY s+1
p ).
Доведення теореми розiб’ємо на три частини.
1. Покажемо спочатку, що це вiдображення є бiєкцiєю. Скористаємося методом математич-
ної iндукцiї по [s].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 751
1.1. Покажемо справедливiсть твердження для випадку [s] = 0. Оскiльки A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m
i всi елементи матрицi-функцiї обмеженi на [a, b], то Y \prime (\cdot ) = - A(\cdot )Y (\cdot ) \in (Lp)
m\times m. Отже,
Y (\cdot ) \in (W 1
p )
m\times m. Тому Y \prime (\cdot ) = - A(\cdot )Y (\cdot ) \in (W s
p )
m\times m за лемою 2. Звiдси Y (\cdot ) \in (W s+1
p )m\times m.
1.2. Припустимо, що для [s] = k правильною є iмплiкацiя A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m \Rightarrow Y (\cdot ) \in
\in (W s+1
p )m\times m.
1.3. Проведемо тепер доведення для [s] = k+1. Нехай A(\cdot ) \in (W s+1
p )m\times m. За iндуктивним
припущенням матрицант Y (\cdot ) належить (W s+1
p )m\times m. Тодi Y \prime (\cdot ) = - A(\cdot )Y (\cdot ) належатиме
простору (W s+1
p )m\times m, оскiльки W s+1
p є алгеброю. Отже, Y (\cdot ) \in (W s+2
p )m\times m. Таким чином,
вiдображення \gamma : (W s
p )
m\times m \rightarrow (\scrY s+1
p ) є iн’єктивним, оскiльки A(\cdot ) = Y \prime (\cdot )Y (\cdot ).
Покажемо, що це вiдображення є сюр’єктивним. Нехай Y (\cdot ) \in (\scrY s+1
p ), покладемо A(\cdot ) :=
:= Y \prime (\cdot )Y (\cdot ). Оскiльки Y \prime (\cdot ) належить (W s
p )
m\times m i за лемою 3 Y - 1(\cdot ) належить (W s+1
p )m\times m, то
Y \prime (\cdot )Y - 1(\cdot ) належить (W s
p )
m\times m. Тому матрична функцiя A(\cdot ) належить (W s
p )
m\times m. У випадку
0 < s < 1 це випливає з леми 2, а у випадку s \geq 1 — з того, що W s
p є алгеброю. Тепер Y (\cdot ) є
розв’язком задачi Кошi (4), (5), де A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m, тобто \gamma (A(\cdot )) = Y (\cdot ). Отже, вiдображення
\gamma є сюр’єктивним. Таким чином, маємо бiєкцiю
\gamma : (W s
p )
m\times m \updownarrow (\scrY s+1
p ). (10)
2. Покажемо, що розв’язок Y (\cdot ) \in (\scrY s+1
p ) рiвняння (4) неперервно залежить вiд коефiцiєнта
A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m при m \in \BbbN , s > 0, p > 1.
Знову застосуємо принцип математичної iндукцiї по [s].
2.1. Доведемо твердження для випадку [s] = 0, тобто покажемо неперервну залежнiсть
розв’язку Y (\cdot ) \in (\scrY s+1
p ) рiвняння (4) вiд коефiцiєнта A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m.
Для цього розглянемо параметризовану числом \varepsilon \in [0, \varepsilon 0] сiм’ю матричних задач вигляду
Y \prime (t, \varepsilon ) = - A(t, \varepsilon )Y (t, \varepsilon ), t \in (a, b), (11)
Y (a, \varepsilon ) = Im, a \in [a, b], (12)
де A(\cdot , \varepsilon ) \in (W s
p )
m\times m.
Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконується умова
\| A(\cdot , \varepsilon ) - A(\cdot , 0)\| s,p \rightarrow 0, (13)
яка рiвносильна такiй:
\| A(\cdot , \varepsilon ) - A(\cdot , 0)\| p \rightarrow 0, (14)
i
b\int
a
b\int
a
| (A(x, \varepsilon ) - A(x, 0)) - (A(y, \varepsilon ) - A(y, 0))| p
| x - y| 1+sp
dxdy \rightarrow 0.
Покажемо, що в такому випадку однозначно визначенi розв’язки задач (11), (12) задоволь-
няють граничне спiввiдношення
\| Y (\cdot , \varepsilon ) - Y (\cdot , 0)\| s+1,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (15)
В роботi [20] встановлено, що якщо виконується (14), то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
752 Є. В. ГНИП
\| Y (\cdot , \varepsilon ) - Y (\cdot , 0)\| 1,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (16)
Залишилось тепер оцiнити лiву частину (15):
\| Y \prime (\cdot , \varepsilon ) - Y \prime (\cdot , 0)\| s,p = \| A(\cdot , \varepsilon )Y (\cdot , \varepsilon ) - A(\cdot , 0)Y (\cdot , 0)\| s,p \leq
\leq \| A(\cdot , \varepsilon )Y (\cdot , \varepsilon ) - A(\cdot , \varepsilon )Y (\cdot , 0)\| s,p + \| A(\cdot , \varepsilon )Y (\cdot , 0) - A(\cdot , 0)Y (\cdot , 0)\| s,p \leq
\leq c\| A(\cdot , \varepsilon )\| s,p\| Y (\cdot , \varepsilon ) - Y (\cdot , 0)\| 1,p + c\| A(\cdot , \varepsilon ) - A(\cdot , 0)\| s,p\| Y (\cdot , 0)\| 1,p.
Звiдси на пiдставi леми 2 та умов (13), (16) отримуємо (15).
2.2. Припустимо, що умови леми виконуються для випадку [s] = k i розв’язок Y (\cdot ) \in (\scrY s+1
p )
рiвняння (4) неперервно залежить вiд коефiцiєнта A(\cdot ) \in (W s
p )
m\times m.
2.3. Доведемо тепер правильнiсть твердження для [s] = k+1. Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконано
умову
\| A(\cdot , \varepsilon ) - A(\cdot , 0)\| s,p \rightarrow 0.
Тодi
\| A(\cdot , \varepsilon ) - A(\cdot , 0)\| s - 1,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0+,
i за iндуктивним припущенням
\| Y (\cdot , \varepsilon ) - Y (\cdot , 0)\| s,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + .
Тому
\| Y \prime (\cdot , \varepsilon ) - Y \prime (\cdot , 0)\| s,p = \| A(\cdot , \varepsilon )Y (\cdot , \varepsilon ) - A(\cdot , 0)Y (\cdot , 0)\| s,p \leq
\leq \| A(\cdot , \varepsilon ) - A(\cdot , 0)\| s,p\| Y (\cdot , \varepsilon )\| s,p + \| Y (\cdot , \varepsilon ) - Y (\cdot , 0)\| s,p\| A(\cdot , 0)\| s,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + .
Отже, виконується (15).
Таким чином, неперервнiсть вiдображення (10) доведено для всiх s.
3. Залишилось показати, що коефiцiєнти A(\cdot , \varepsilon ) \in (W s
p )
m\times m неперервно залежать вiд
розв’язкiв Y (\cdot , \varepsilon ) \in (\scrY s+1
p ) рiвняння (11).
Нехай для розв’язкiв задач (11), (12) виконується спiввiдношення (15). Тодi
\| Y \prime (\cdot , \varepsilon ) - Y \prime (\cdot , 0)\| s,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0+,
а згiдно з лемою 3 i
\| Y - 1(\cdot , \varepsilon ) - Y - 1(\cdot , 0)\| s+1,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0+,
оскiльки (W s
p )
m\times m — банахова алгебра. Тому
\| A(\cdot , \varepsilon ) - A(\cdot , 0)\| s,p = \| Y \prime (\cdot , \varepsilon )Y - 1(\cdot , \varepsilon ) - Y \prime (\cdot , 0)Y - 1(\cdot , 0)\| s,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + .
Таким чином, встановлено бiнеперервнiсть вiдображення
A(\cdot ) \mapsto \rightarrow Y (\cdot ) : (W s
p )
m\times m \rightarrow (\scrY s+1
p ).
Теорему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 753
4. Доведення теорем 1 i 2. Доведення теореми 1. Обмеженiсть лiнiйного оператора L :\bigl(
W s+1
p
\bigr) m \rightarrow
\bigl(
W s
p
\bigr) m
випливає з означення норм у просторах Слободецького, при s \in
\biggl(
0,
1
p
\biggr]
— з леми 2 i при s >
1
p
— з того, що W s
p є банаховою алгеброю. Оператор B обмежений за
означенням. Доведемо фредгольмовiсть оператора (L,B).
Означимо лiнiйний обмежений оператор C :
\bigl(
W s+1
p
\bigr) m \rightarrow \BbbC m, поклавши
Cy := y(a).
Оскiльки неоднорiдна задача Кошi
(L,C)y = (f, c) \in
\bigl(
W s
p
\bigr) m \times \BbbC m
має єдиний розв’язок y \in
\bigl(
W s
p
\bigr) m
при будь-якому значеннi правої частини рiвняння, то оператор
(L,C) є бiєктивним. За теоремою Банаха про обернений оператор вiн є оборотним. З iншого
боку, оператор (L,B) допускає зображення
(L,B) = (L,C) + (0, B - C),
де другий доданок — це скiнченновимiрний оператор. Тодi за теоремою Нiкольського [22]
(§ 21.5) оператор (L,B) є фредгольмовим з iндексом 0.
Теоремy 1 доведено.
Доведення теореми 2. За теоремою 1 неперервна оборотнiсть оператора (L,B) рiвносиль-
на тому, що ядро N(L,B) = \{ 0\} . На пiдставi леми 1
y(\cdot ) \in N(L,B) \leftrightarrow (\exists q \in \BbbC m : y(t) = Y (t) \cdot q, [BY (\cdot )] q = 0) .
Тому N(L,B) \not = \{ 0\} тодi й лише тодi, коли \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} [BY (\cdot )] = 0.
Теорему 2 доведено.
5. Доведення теореми 3. Для подальшого викладу нам потрiбнi кiлька допомiжних твер-
джень.
Лема 4. Нехай виконуються умови 1 i 2 теореми 3 i припущення \scrE . Тодi для достатньо
малих \varepsilon > 0 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) є оборотним.
Доведення. З умови 1 за теоремою 4 про гомеоморфiзми випливає, що
\| Y (\cdot , \varepsilon ) - Y (\cdot , 0)\| s+1,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (17)
Тодi на пiдставi умови 2 отримаємо збiжнiсть числових матриць
[B(\varepsilon )Y (\cdot , \varepsilon )] \rightarrow [B(0)Y (\cdot , 0)] , \varepsilon \rightarrow 0 + . (18)
Гранична квадратна матриця невироджена згiдно з припущенням \scrE i теоремою 2. Тому для
достатньо малих \varepsilon \geq 0
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} [B(\varepsilon )Y (\cdot , \varepsilon )] \not = 0.
Звiдси за теоремою 2 випливає оборотнiсть оператора (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )).
Лему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
754 Є. В. ГНИП
Розглянемо разом з вихiдною неоднорiдною крайовою задачею (6), (7) вiдносно вектор-
функцiї y(t; \varepsilon ) ще три векторнi крайовi задачi:
v\prime (t, \varepsilon ) = - A(t, \varepsilon )v(t, \varepsilon ), B(\varepsilon )v(\cdot , \varepsilon ) = c(\varepsilon ), (19)
x\prime (t, \varepsilon ) +A(t, \varepsilon )x(t, \varepsilon ) = f(t, \varepsilon ), x(a, \varepsilon ) = 0, (20)
w\prime (t, \varepsilon ) +A(t, \varepsilon )w(t, \varepsilon ) = f(t, \varepsilon ), B(\varepsilon )w(\cdot , \varepsilon ) = 0, (21)
де параметр \varepsilon \geq 0 є малим. Як вiдомо, крайова задача (20) (задача Кошi) завжди має єдиний
розв’язок.
З огляду на лему 4
y(\cdot , \varepsilon ) = v(\cdot , \varepsilon ) + w(\cdot , \varepsilon ) (22)
для малих \varepsilon \geq 0. Тому для доведення теореми 3 достатньо показати, що при виконаннi її умов
правильними є такi спiввiдношення:
\| v(\cdot , \varepsilon ) - v(\cdot , 0)\| s+1,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0+, (23)
\| w(\cdot , \varepsilon ) - w(\cdot , 0)\| s+1,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (24)
Лема 5. Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконуються умови теореми 3. Тодi має мiсце граничне спiв-
вiдношення (23).
Доведення. З першої рiвностi крайової задачi (19) випливає, що
v(\cdot , \varepsilon ) = Y (\cdot , \varepsilon )\widetilde c(\varepsilon ) (25)
для деякого \widetilde c(\varepsilon ) \in \BbbC m. Звiдси, враховуючи другу рiвнiсть задачi (19) i лему 1, отримуємо
[B(\varepsilon )Y (\cdot , \varepsilon )]\widetilde c(\varepsilon ) = c(\varepsilon ).
Тому на пiдставi леми 4, теореми 2, формули (18) i умови 2 маємо
\widetilde c(\varepsilon ) = [B(\varepsilon )Y (\cdot , \varepsilon )] - 1c(\varepsilon ) \rightarrow [B(0)Y (\cdot , 0)] - 1c(0) = \widetilde c(0), \varepsilon \rightarrow 0 + .
Звiдси на пiдставi (17) i (25) отримуємо спiввiдношення (23).
Лему 5 доведено.
Лема 6. Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконуються умови 1 – 3 теореми 3. Тодi розв’язок задачi (20)
має властивiсть
\| x(\cdot , \varepsilon ) - x(\cdot , 0)\| s+1,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (26)
Доведення. Нехай число \varepsilon > 0 є достатньо малим. Розв’язок задачi (20) допускає зображен-
ня
x(t, \varepsilon ) = Y - 1(t, \varepsilon )
t\int
a
Y (s, \varepsilon )f(s, \varepsilon ) ds. (27)
З умови 1 за теоремою 4 про гомеоморфiзм i леми 3 при \varepsilon \rightarrow 0+ маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 755
\| Y \pm 1(\cdot , \varepsilon ) - Y \pm 1(\cdot , 0)\| s+1,p \rightarrow 0. (28)
Тодi на пiдставi умови 3 i спiввiдношення (28)
\| Y (\cdot , \varepsilon )f(\cdot , \varepsilon ) - Y (\cdot , 0)f(\cdot , 0)\| s,p \rightarrow 0. (29)
При 0 < s < 1 це випливає з леми 2, а при s \geq 1 — з того, що W s
p є банаховою алгеброю.
Тепер зi спiввiдношень (27) – (29) отримуємо спiввiдношення (26).
Лему 6 доведено.
Лема 7. За умов теореми 3 виконується граничне спiввiдношення (24).
Доведення. Вектор-функцiя u(\cdot , \varepsilon ) = x(\cdot , \varepsilon ) - w(\cdot , \varepsilon ) є розв’язком крайової задачi вигля-
ду (19):
u\prime (t, \varepsilon ) = - A(t, \varepsilon )u(t, \varepsilon ),
B(\varepsilon )u(\cdot , \varepsilon ) = B(\varepsilon )x(\cdot , \varepsilon ) =: \widetilde c(\varepsilon ).
Тут \widetilde c(\varepsilon ) \rightarrow \widetilde c(0) при \varepsilon \rightarrow 0+ на пiдставi властивостi 2 i леми 6. Тому за лемою 5 маємо
збiжнiсть
\| u(\cdot , \varepsilon ) - u(\cdot , 0)\| s+1,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (30)
Iз рiвностi w(\cdot , \varepsilon ) = x(\cdot , \varepsilon ) - u(\cdot , \varepsilon ) та формул (26), (30) отримуємо (24).
Лему 6 доведено.
Потрiбна гранична властивiсть (3) є безпосереднiм наслiдком рiвностi (22) i лем 5, 7.
Теорему 3 доведено.
Лiтература
1. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и
техники. Совр. пробл. математики. Новейшие достижения / ВИНИТИ. – 1987. – 30. – С. 3 – 103.
2. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. –
Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. – 352 с.
3. Кигурадзе И. Т. О краевых задачах для линейных дифференциальных систем с сингулярностями // Дифференц.
уравнения. – 2003. – 39, № 2. – С. 198 – 209.
4. Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems // Ukr. Math.
J. – 2013. – 65, № 1. – P. 77 – 90.
5. Михайлец В. А., Рева Н. В. Обобщения теоремы Кигурадзе о корректности линейных краевых задач // Доп.
НАН України. – 2008. – № 9. – С. 23 – 27.
6. Mikhailets V. A. Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-dimensional boundary-value problems // J. Math.
Sci. – 2015. – 204, № 3. – P. 333 – 342.
7. Soldatov V. О. On the continuity in a parameter for the solutions of boundary-value problems total with respect to
the spaces C(n+r)[a, b] // Ukr. Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 785 – 794.
8. Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional boundary-value problems with a parameter in Sobolev
spaces // J. Math. Sci. – 2013. – 190, № 4. – P. 589 – 599.
9. Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений // Доп.
НАН України. – 2008. – № 8. – С. 28 – 30.
10. Gnyp E. V., Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Fredholm boundary-value problems with parameter in Sobolev space //
Ukr. Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 658 – 667.
11. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. – М.: Мир,
1980. – 664 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
756 Є. В. ГНИП
12. Мазья В. Г., Шапошникова Т. О. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций. – Л.: Изд-во
Ленингр. ун-та, 1986. – 404 с.
13. Гнип Є. В., Кодлюк Т. I. Неперервнiсть за параметром розв’язкiв некласичних багатоточкових крайових на
просторах Соболєва // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2015. – 12, № 2. – С. 101 – 112.
14. Кодлюк Т. И. Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева // Доп. НАН України. –
2012. — № 11. – С. 15 – 19.
15. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Resolvent convergence of Sturm – Liouville operators with singular potentials //
Math. Notes. – 2010. – 87, № 1 – 2. – P. 287 – 292.
16. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of singular Sturm – Liouville equations // Meth. Funct. Anal. and
Top. – 2010. – 16, № 2. – P. 120 – 130.
17. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by
quasiderivatives // Ukr. Math. J. – 2012. – 63, № 9. – P. 1361 – 1378.
18. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
19. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin; Boston: De Gruyter,
2014. – xii + 297 p.
20. Кодлюк Т. I. Одновимiрнi крайовi задачi з параметром у просторах Соболєва: Дис.... канд. фiз.-мат. наук. –
Київ, 2013. – 155 с.
21. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с.
Одержано 25.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1875 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:25Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0e/c1a141a9447b971b7aa74cdd27ff750e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18752019-12-05T09:30:37Z Conitnuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems with respect to the parameter in slobodetsky spaces Неперервність за параметром розв’язків одновимірних крайових задач у просторах Слободецького Gnyp, E. V. Гнип, Є. В. For the system of linear ordinary differential equations of the first order, we study the broadest class of inhomogeneous boundary-value problems whose solutions belong to the Slobodetsky space $W^{s+1}_p ((a, b),C^m)$ with $m \in N,\; s > 0$, and $p \in (1,\infty )$. We prove a theorem on the Fredholm property of these problems. We also establish conditions under which the problems are uniquely solvable in the Slobodetsky space and their solutions are continuous in this space with respect to the parameter. Для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка исследуется наиболее широ кий класс неоднородных краевых задач, решения которых принадлежат пространству Слободецкого $W^{s+1}_p ((a, b),C^m)$, где $m \in N,\; s > 0$ и $p \in (1,\infty )$. Доказана теорема о фредгольмовости этих задач. Уста новлены условия их однозначной разрешимости и непрерывности решений по параметру в этом пространстве. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1875 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 6 (2016); 746-756 Український математичний журнал; Том 68 № 6 (2016); 746-756 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1875/857 Copyright (c) 2016 Gnyp E. V. |
| spellingShingle | Gnyp, E. V. Гнип, Є. В. Conitnuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems with respect to the parameter in slobodetsky spaces |
| title | Conitnuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems with respect to the parameter in slobodetsky spaces |
| title_alt | Неперервність за параметром розв’язків одновимірних крайових задач у просторах Слободецького |
| title_full | Conitnuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems with respect to the parameter in slobodetsky spaces |
| title_fullStr | Conitnuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems with respect to the parameter in slobodetsky spaces |
| title_full_unstemmed | Conitnuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems with respect to the parameter in slobodetsky spaces |
| title_short | Conitnuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems with respect to the parameter in slobodetsky spaces |
| title_sort | conitnuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems with respect to the parameter in slobodetsky spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1875 |
| work_keys_str_mv | AT gnypev conitnuityofthesolutionsofonedimensionalboundaryvalueproblemswithrespecttotheparameterinslobodetskyspaces AT gnipêv conitnuityofthesolutionsofonedimensionalboundaryvalueproblemswithrespecttotheparameterinslobodetskyspaces AT gnypev neperervnístʹzaparametromrozvâzkívodnovimírnihkrajovihzadačuprostorahslobodecʹkogo AT gnipêv neperervnístʹzaparametromrozvâzkívodnovimírnihkrajovihzadačuprostorahslobodecʹkogo |