Generalizations of the shadow problem
We solve the shadow problem in the n-dimensional Euclidean space $N^n$ for a family of sets obtained from any convex domain with nonempty interior with the help of parallel translations and homotheties. We determine the number of balls with centers on the sphere, sufficient for giving a shadow in th...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1876 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507759203581952 |
|---|---|
| author | Zelinskii, Yu. B. Stefanchuk, M. V. Зелінський, Ю. Б. Стефанчук, М. В. |
| author_facet | Zelinskii, Yu. B. Stefanchuk, M. V. Зелінський, Ю. Б. Стефанчук, М. В. |
| author_sort | Zelinskii, Yu. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:37Z |
| description | We solve the shadow problem in the n-dimensional Euclidean space $N^n$ for a family of sets obtained from any convex
domain with nonempty interior with the help of parallel translations and homotheties. We determine the number of balls
with centers on the sphere, sufficient for giving a shadow in the $n$-dimensional complex (hypercomplex) space. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 513.83; 517.5
Ю. Б. Зелiнський, М. В. Стефанчук (Iн-т математики НАН України, Київ)
УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI ПРО ТIНЬ
We solve the shadow problem in the n-dimensional Euclidean space \BbbN n for a family of sets obtained from any convex
domain with nonempty interior with the help of parallel translations and homotheties. We determine the number of balls
with centers on the sphere, sufficient for giving a shadow in the n-dimensional complex (hypercomplex) space.
Получено решение задачи о тени в n-мерном евклидовом пространстве \BbbR n для семейства множеств, полученных из
произвольного выпуклого множества с непустой внутренностью с помощью параллельных переносов и гомотетий.
Кроме этого установлено какое количество шаров с центрами на сфере достаточно для создания тени в n-мерном
комплексном (гиперкомплексном) пространстве.
1. Вступ. Метою роботи є розв’язання задачi про тiнь для сiм’ї множин, отриманих iз довiль-
ної опуклої множини з непорожньою внутрiшнiстю з допомогою паралельних перенесень та
гомотетiй в n-вимiрному евклiдовому просторi \BbbR n. Це еквiвалентно знаходженню умов, якi
забезпечують належнiсть точки узагальнено опуклiй оболонцi цiєї сiм’ї множин.
Означення 1. Множина B \subset \BbbR n називається m-опуклою вiдносно точки x \in \BbbR n \setminus B,
якщо знайдеться m-вимiрна площина L така, що x \in L i L
\bigcap
B = \varnothing .
Означення 2. Множина B називається m-опуклою, якщо вона m-опукла вiдносно кожної
точки x \in \BbbR n \setminus B.
Цi означення задовольняють аксiому опуклостi — перетин m-опуклих множин буде m-
опуклою множиною. Тому для довiльної множини B \subset \BbbR n можна розглядати мiнiмальну
m-опуклу множину, яка мiстить B, i називати її m-опуклою оболонкою множини B [1 – 3].
Частковим випадком належностi точки 1-оболонцi об’єднання сiм’ї куль є задача про тiнь,
сформульована Худайбергановим [4, 5, 7].
Задача (про тiнь). Яка мiнiмальна кiлькiсть попарно неперетинних замкнених куль з цен-
трами на сферi Sn - 1 та радiусами, меншими за радiус сфери, достатня для того, щоб довiльна
пряма, яка проходить через центр сфери, перетинала хоча б одну з цих куль?
Худайберганов довiв, що при n = 2 двох куль достатньо для створення тiнi [7]. У роботах
[1, 2] отримано повний розв’язок цiєї задачi. Показано, що при n > 2 (n+ 1)-ї кулi необхiдно
i достатньо для того, щоб центр сфери належав 1-опуклiй оболонцi сiм’ї куль.
2. 1-Опуклiсть для центра сфери. Нехай в n-вимiрному евклiдовому просторi \BbbR n, n \geq
\geq 2, задано опуклу множину з непорожньою внутрiшнiстю. Iз даної множини за допомогою
групи геометричних перетворень отримано сiм’ю попарно неперетинних замкнених множин.
Постає проблема: скiльки (найменша кiлькiсть) елементiв цiєї сiм’ї достатньо для того, щоб
вибрана точка x \in \BbbR n належала 1-опуклiй оболонцi цiєї сiм’ї (тобто для того, щоб довiльна
пряма, яка проходить через точку x, перетинала принаймнi одну з цих множин)? У роботi [3]
отримано розв’язок цiєї задачi для групи геометричних перетворень, яка складається з рухiв та
гомотетiй опуклої множини з непорожньою внутрiшнiстю. Показано, що для цього необхiдно
i достатньо n елементiв сiм’ї. Розглянемо аналогiчну задачу для сiм’ї множин, отриманих
з опуклої множини з непорожньою внутрiшнiстю за допомогою паралельних перенесень та
гомотетiй.
c\bigcirc Ю. Б. ЗЕЛIНСЬКИЙ, М. В. СТЕФАНЧУК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6 757
758 Ю. Б. ЗЕЛIНСЬКИЙ, М. В. СТЕФАНЧУК
Теорема 1. Для того щоб вибрана точка в n-вимiрному евклiдовому просторi при n \geq 2
належала 1-опуклiй оболонцi сiм’ї попарно неперетинних замкнених множин, отриманих iз
заданої опуклої множини з непорожньою внутрiшнiстю за допомогою групи перетворень, яка
складається з паралельних перенесень та гомотетiй, необхiдно i достатньо n елементiв цiєї
сiм’ї.
Доведення. Нехай B — задана опукла множина з непорожньою внутрiшнiстю i O \in \BbbR n —
довiльна точка. Виконаємо паралельне перенесення множини B так, щоб точка О належала
внутрiшностi множини B. Локально межу опуклої множини можна задати опуклою функ-
цiєю [8], яка диференцiйовна майже скрiзь на областi задання [6]. Тому в будь-якому околi
довiльної точки межi множини B знайдеться точка, в якiй iснує дотична гiперплощина. Опи-
шемо навколо множини B багатогранник з якомога меншою кiлькiстю граней, гранi якого є
дотичними гiперплощинами до множини B. В залежностi вiд виду множини кiлькiсть граней
багатогранника буде змiнюватися в межах вiд n+1 (n-вимiрний симплекс) до 2n (паралелепi-
пед). Якщо кiлькiсть граней бiльша, нiж n+ 1, то кiлькiсть пар паралельних граней буде вiд 1
до n.
Розглянемо випадок, коли навколо множини описано паралелепiпед. З точки О проведемо n
променiв, перпендикулярних до кожної з граней паралелепiпеда, якi не є паралельними. Нехай
X1, X2, . . . , Xn — точки перетину променiв з гранями паралелепiпеда, а Y1, Y2, . . . , Yn — точки
перетину променiв з множиною B; iнколи цi точки вiдповiдно збiгаються мiж собою. На кожно-
му з променiв OX1, OX2, . . . , OXn в досить малих околах точок Y1, Y2, . . . , Yn виберемо точки
Z1, Z2, . . . , Zn так, щоб точки Yi були внутрiшнiми точками вiдрiзкiв OZi, i = 1, . . . , n. Вико-
наємо паралельнi перенесення множини на вектори
- - \rightarrow
Z1O,
- - \rightarrow
Z2O, . . . ,
- - \rightarrow
ZnO. Отримаємо множини
B1, B2, . . . , Bn. Однак утворенi таким способом множини можуть перетинатися.
Нехай r1 — радiус мiнiмального кола з центром у точцi О, яке мiстить кожну з множин
B1, B2, . . . , Bn, а r2 — радiус максимального кола з центром у цiй точцi, внутрiшнiсть якого
не перетинається з жодною з утворених множин i яке дотикається принаймнi до однiєї з мно-
жин B1, B2, . . . , Bn. Виконаємо гомотетичнi перетворення множин B2, . . . , Bn з коефiцiєнтами
вiдповiдно
k1 = r2/r1, k2 = (r2/r1)
2 = k1
2, . . . , kn - 1 = (r2/r1)
n - 1 = k1
n - 1.
Отримаємо множини B
\prime
2, . . . , B
\prime
n. Утворенi таким способом множини B1, B
\prime
2, . . . , B
\prime
n не пере-
тинаються. Легко переконатися, що двостороннiй конус, заданий множинами B1, B
\prime
2, . . . , B
\prime
n,
мiстить всi точки простору \BbbR n. Таким чином, n опуклих множин достатньо для створення
тiнi. З леми 1 [1] випливає, що (n - 1)-ї опуклої множини замало для створення тiнi. Тому
для створення тiнi необхiдно i достатньо n опуклих множин. Легко переконатися, що кiлькiсть
опуклих множин залишиться такою самою, якщо навколо множини B описано багатогранник
з меншою кiлькiстю граней.
Теорему 1 доведено.
3. 1-Опуклiсть для внутрiшностi сфери. Узагальнимо задачу про тiнь для куль з центрами
на сферi. Скiльки найменше попарно неперетинних вiдкритих (замкнених) куль з центрами
на сферi Sn - 1 та радiусами, меншими (якi не перевищують) за радiус сфери, забезпечать
належнiсть внутрiшностi сфери 1-опуклiй оболонцi сiм’ї куль?
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI ПРО ТIНЬ 759
Розглянемо випадок n = 2. Впишемо в коло правильний трикутник. Побудуємо три вiдкритi
(замкненi) круги з центрами у вершинах трикутника та радiусами, якi дорiвнюють половинi сто-
рони трикутника. Бачимо, що довiльна пряма, що проходить через будь-яку точку внутрiшностi
кола, перетне хоча б один iз цих кругiв. Тобто внутрiшнiсть кола належить 1-опуклiй оболонцi
цих кругiв. Але при цьому кулi попарно дотикаються. Для уникнення цього для досить малого
\varepsilon розглянемо три круги радiусiв c + \varepsilon , c - \varepsilon /2, c - \varepsilon /22, де c — половина довжини сторони
трикутника. Розмiстимо круги так, щоб вони попарно дотикалися, а їхнi центри утворювали
трикутник, який мало вiдрiзняється вiд правильного. Через центри цих кругiв проходить єдине
коло, внутрiшнiсть якого належить 1-оболонцi цих кругiв. Внутрiшностi кругiв iз центрами у
вершинах трикутника утворюють сiм’ю з трьох вiдкритих куль, для якої внутрiшнiсть кола, опи-
саного навколо трикутника, належить 1-оболонцi цiєї сiм’ї. Якщо круги замкненi, то внаслiдок
неперервностi, трохи зменшивши їхнi радiуси, отримаємо, що трьох замкнених куль достатньо
для створення тiнi для внутрiшностi кола, описаного навколо трикутника. Тому справедливою
є така теорема.
Теорема 2. Для того щоб внутрiшнiсть кола належала 1-опуклiй оболонцi сiм’ї попарно
неперетинних вiдкритих (замкнених) кругiв iз центрами на колi та радiусами, меншими за
радiус кола, необхiдно i достатньо трьох кругiв.
Зауваження 1. У випадку n > 2 методика, застосована при доведеннi теореми 2, не пiд-
ходить. При n = 3 впишемо у двовимiрну сферу правильний тривимiрний симплекс та роз-
мiстимо у його вершинах чотири кулi з радiусами, що дорiвнюють половинi ребра симплекса.
Тодi через кожну з точок, яка є серединою ребра симплекса, можна провести пряму, яка не буде
перетинати жодну з цих куль.
Зауваження 2. Як i при доведеннi теореми 2, можна показати, що при n > 2 iснує скiнчен-
на кiлькiсть куль з центрами на сферi, для яких довiльна точка внутрiшностi сфери належить
їх 1-опуклiй оболонцi. Але знайти мiнiмальну кiлькiсть цих куль поки що не вдалося.
Зауваження 3. (n + 1)-ї кулi достатньо, щоб усi точки, якi мiстяться у кулi, обмеженiй
сферою, належали до (n - 1)-опуклої оболонки системи куль. Для правильного симплекса
вiзьмемо кулi з центрами у його вершинах та радiусами, що дорiвнюють половинi висоти
симплекса. Тодi опукла оболонка цiєї системи буде збiгатися з її (n - 1)-опуклою оболонкою
та мiститиме сферу.
4. Задача про тiнь для 1-напiвопуклостi. Розглянемо бiльш загальнi щодо попереднiх
означень об’єкти.
Означення 3. Множина B \subset \BbbR n називається m-напiвопуклою вiдносно точки x \in \BbbR n\setminus B,
якщо знайдеться m-вимiрна пiвплощина L така, що x \in L i L
\bigcap
B = \varnothing .
Означення 4. Множина B називається m-напiвопуклою, якщо вона m-напiвопукла вiд-
носно кожної точки x \in \BbbR n \setminus B.
Цi означення також задовольняють аксiому опуклостi. Тому для довiльної множини B \subset \BbbR n
можна розглядати m-напiвопуклу оболонку цiєї множини [1 – 3].
Розглянемо аналог задачi про тiнь для напiвопуклостi. Яка найменша кiлькiсть попарно
неперетинних замкнених (вiдкритих) множин, отриманих iз заданої опуклої множини з непо-
рожньою внутрiшнiстю за допомогою паралельних перенесень та гомотетiй, достатня для того,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
760 Ю. Б. ЗЕЛIНСЬКИЙ, М. В. СТЕФАНЧУК
щоб вибрана точка x \in \BbbR n належала 1-напiвопуклiй оболонцi цiєї сiм’ї (тобто для того, щоб
довiльний промiнь, який проходить через цю точку, перетинав принаймнi одну з цих множин).
У роботi [3] отримано розв’язок цiєї задачi для групи геометричних перетворень, яка склада-
ється з рухiв та гомотетiй опуклої множини з непорожньою внутрiшнiстю (показано, що для
цього необхiдно i достатньо (n+ 1)-ї множини).
Теорема 3. Для того щоб вибрана точка в n-вимiрному евклiдовому просторi при n \geq 2
належала 1-напiвопуклiй оболонцi сiм’ї попарно неперетинних замкнених множин, отриманих
iз заданої опуклої множини з непорожньою внутрiшнiстю за допомогою групи перетворень,
яка складається з паралельних перенесень та гомотетiй, необхiдно i достатньо 2n елементiв
цiєї сiм’ї.
Доведення. Як i при доведеннi теореми 1, опишемо навколо опуклої множини багатогран-
ник з якомога меншою кiлькiстю граней. У внутрiшностi множини виберемо довiльну точку O.
З цiєї точки проведемо променi, перпендикулярнi до кожної гранi багатогранника. В залежностi
вiд виду багатогранника кiлькiсть таких променiв буде змiнюватися в межах вiд n + 1 до 2n.
Нехай X1, X2, . . . , Xn+1, . . . , X2n — точки перетину променiв iз гранями багатогранника, а
Y1, Y2, . . . , Yn+1, . . . , Y2n — точки перетину променiв iз множиною B , iнколи цi точки вiдпо-
вiдно збiгаються. На кожному з променiв OX1, OX2, . . . , OXn+1, . . . , OX2n в досить малих
околах точок Y1, Y2, . . . , Yn+1, . . . , Y2n виберемо точки Z1, Z2, . . . , Zn+1, . . . , Z2n так, щоб точ-
ки Yi були внутрiшнiми точками вiдрiзкiв OZi, i = 1, . . . , n+ 1, . . . , 2n (в залежностi вiд виду
багатогранника кiлькiсть цих променiв буде змiнюватися вiд n+1 до 2n). Виконаємо паралель-
нi перенесення множини на вектори
- - \rightarrow
Z1O,
- - \rightarrow
Z2O, . . . ,
- - - - \rightarrow
Zn+1O, . . . ,
- - - \rightarrow
Z2nO. Отримаємо множини
B1, B2, . . . , Bn+1, . . . , B2n. Однак утворенi таким способом множини можуть перетинатися.
Нехай r1 — радiус мiнiмального кола з центром у точцi O, яке мiстить кожну з множин
B1, B2, . . . , Bn+1, . . . , B2n, а r2 — радiус максимального кола з центром у цiй точцi, внутрiш-
нiсть якого не перетинається з жодною з утворених множин i яке дотикається принаймнi
до однiєї з множин B1, B2, . . . , Bn+1, . . . , B2n. Виконаємо гомотетичнi перетворення множин
B2, . . . , Bn+1, . . . , B2n з коефiцiєнтами вiдповiдно
k1 = r2/r1, k2 = (r2/r1)
2 = k1
2, . . . , kn = (r2/r1)
n = k1
n, . . .
. . . , k2n - 1 = (r2/r1)
2n - 1 = k1
2n - 1.
Отримаємо множини B
\prime
2, . . . , B
\prime
n+1, . . . , B
\prime
2n. Утворенi таким способом множини B1, B
\prime
2, . . .
. . . , B
\prime
n+1, . . . , B
\prime
2n не перетинаються. Легко переконатися, що конус, заданий множинами B1,
B
\prime
2, . . . , B
\prime
n+1, . . . , B
\prime
2n, мiстить всi точки простору \BbbR n. Таким чином, якщо навколо множини
можна описати n-вимiрний симплекс, то (n + 1)-ї опуклої множини достатньо для створення
тiнi, а якщо паралелепiпед, то для створення тiнi достатньо 2n множин, в iншому випадку для
створення тiнi достатньо вiд n+2 до 2n - 1 опуклих множин. З теореми 4 [1] випливає, що n
опуклих множин замало для створення тiнi. Тому для створення тiнi необхiдно i достатньо 2n
опуклих множин.
Теорему 3 доведено.
Зауваження 4. Узагальнимо задачу про тiнь для напiвопуклостi. Яка найменша кiлькiсть
попарно неперетинних вiдкритих (замкнених) куль з центрами на сферi Sn - 1 та радiусами,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI ПРО ТIНЬ 761
меншими (якi не перевищують) за радiус сфери, забезпечить належнiсть внутрiшностi сфери
1-напiвопуклiй оболонцi сiм’ї куль? При n > 1 не iснує скiнченної кiлькостi куль для створення
тiнi у довiльнiй точцi внутрiшностi сфери. Вiзьмемо двi кулi, центри яких найближчi. На
вiдрiзку, що з’єднує центри цих куль, знайдеться точка, яка не належить їх об’єднанню, та
iснує промiнь з початком у будь-якiй точцi внутрiшностi сфери, який проходить через дану
точку, що не перетинає систему куль.
5. Задача про тiнь в комплексному та гiперкомплексному просторах. Розглянемо n-
вимiрнi комплексний та гiперкомплексний простори.
Означення 5. Множина B \subset \BbbC n(\BbbH n) називається m-комплексно (m-гiперкомплексно)
опуклою вiдносно точки z \in \BbbC n \setminus B (\BbbH n \setminus B), якщо знайдеться m-вимiрна комплексна (гiпер-
комплексна) площина L така, що z \in L i L
\bigcap
B = \varnothing .
Означення 6. Множина B називається m-комплексно (m-гiперкомплексно) опуклою, якщо
вона m-комплексно (m-гiперкомплексно) опукла вiдносно кожної точки z \in \BbbC n \setminus B (\BbbH n \setminus B).
Для довiльної множини B \subset \BbbC n(B \subset \BbbH n) можна розглядати мiнiмальну m-комплексно (m-
гiперкомплексно) опуклу множину, яка мiстить B, i називати її m-комплексною (m-гiперкомп-
лексною) опуклою оболонкою множини B.
У статтi [3] сформульовано задачу про тiнь у комплексному та гiперкомплексному прос-
торах. Яка мiнiмальна кiлькiсть попарно неперетинних замкнених куль з центрами на сферi
S2n - 1 \subset \BbbC n (S4n - 1 \subset \BbbH n) та радiусами, меншими за радiус сфери, достатня, щоб довiльна
комплексна (гiперкомплексна) пряма, яка проходить через центр сфери, перетинала хоча б одну
з цих куль (тобто для того, щоб центр сфери належав 1-комплекснiй чи 1-гiперкомплекснiй
оболонцi цих куль)?
Встановлено, що в комплексному (гiперкомплексному) просторi при n = 2 для створення
тiнi необхiдно i достатньо двох куль [3]. Дослiдимо, скiльки таких куль достатньо для створення
тiнi при n \geq 3 у цих просторах.
Теорема 4. Для того щоб вибрана точка в n-вимiрному комплексному (гiперкомплексному)
евклiдовому просторi \BbbC n (\BbbH n), n \geq 3, належала 1-комплекснiй (1-гiперкомплекснiй) оболонцi
сiм’ї попарно неперетинних вiдкритих (замкнених) куль з центрами на сферi S2n - 1 \subset \BbbC n
(S4n - 1 \subset \BbbH n) та радiусами, меншими за радiус сфери, достатньо 2n (4n - 2) куль.
Доведення. В n-вимiрному комплексному (гiперкомплексному) евклiдовому просторi \BbbC n
(\BbbH n) розглянемо сферу S2n - 1 (S4n - 1). Через центр цiєї сфери проведемо дiйсну площину
розмiрностi 2n - 1 (4n - 3). Вона перетне сферу S2n - 1 (S4n - 1) по сферi S2n - 2 (S4n - 4).
Через центр сфери S2n - 1 (S4n - 1) проведемо довiльну комплексну (гiперкомплексну) пряму,
яка не належить площинi \BbbR 2n - 1 (\BbbR 4n - 3). Ця комплексна (гiперкомплексна) пряма має дiйсну
розмiрнiсть 2 (4). Перетин даної прямої та площини \BbbR 2n - 1 (\BbbR 4n - 3) буде мiстити дiйсну пряму.
Для того щоб центр сфери S2n - 2 \subset \BbbR 2n - 1 (S4n - 4 \subset \BbbR 4n - 3) належав 1-оболонцi сiм’ї попарно
неперетинних вiдкритих (замкнених) куль з центрами на цiй сферi та радiусами, меншими за
радiус сфери, необхiдно i достатньо 2n (4n - 2) куль. Тому 2n (4n - 2) куль достатньо, щоб
центр сфери S2n - 1 \subset \BbbC n (S4n - 1 \subset \BbbH n) належав 1-комплекснiй (1-гiперкомплекснiй) оболонцi
сiм’ї куль з вiдповiдними умовами.
Теорему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
762 Ю. Б. ЗЕЛIНСЬКИЙ, М. В. СТЕФАНЧУК
Лiтература
1. Зелинский Ю. Б., Выговская И. Ю., Стефанчук М. В. Задача о тени // Доп. НАН України. – 2015. – № 5. –
С. 15 – 20.
2. Зелинский Ю. Б., Выговская И. Ю., Стефанчук М. В. Обобщенно выпуклые множества и задача о тени // arXiv
preprint arXiv:1501.06747.
3. Зелинский Ю. Б. Задача о тени для семейства множеств // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2015. –
12, № 4. – С. 197 – 204.
4. Зелинский Ю. Б. Выпуклость. Избранные главы. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2012. – 280 с.
5. Зелинский Ю. Б. Многозначные отображения в анализе. – Kиев: Наук. думка, 1993. – 264 с.
6. Лейхтвейс К. Выпуклые множества: Пер. с нем. – М.: Наука, 1985. – 336 с.
7. Худайберганов Г. Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке объединения шаров. – Рукопись деп. в
ВИНИТИ 21.02.82, № 1772-85 Деп.
8. Anderson R. D., Klee V. L. Convex functions and upper-semi-continuous collections // Duke Math. J. – 1952. – 19. –
P. 349 – 357.
Одержано 03.11.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1876 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:25Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f9/242dc6128ff8b751bed57381d84993f9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18762019-12-05T09:30:37Z Generalizations of the shadow problem Узагальнення задачі про тінь Zelinskii, Yu. B. Stefanchuk, M. V. Зелінський, Ю. Б. Стефанчук, М. В. We solve the shadow problem in the n-dimensional Euclidean space $N^n$ for a family of sets obtained from any convex domain with nonempty interior with the help of parallel translations and homotheties. We determine the number of balls with centers on the sphere, sufficient for giving a shadow in the $n$-dimensional complex (hypercomplex) space. Получено решение задачи о тени в $n$-мерном евклидовом пространстве $R^n$ для семейства множеств, полученных из произвольного выпуклого множества с непустой внутренностью с помощью параллельных переносов и гомотетий. Кроме этого установлено какое количество шаров с центрами на сфере достаточно для создания тени в $n$-мерном комплексном (гиперкомплексном) пространстве. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1876 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 6 (2016); 757-763 Український математичний журнал; Том 68 № 6 (2016); 757-763 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1876/858 Copyright (c) 2016 Zelinskii Yu. B.; Stefanchuk M. V. |
| spellingShingle | Zelinskii, Yu. B. Stefanchuk, M. V. Зелінський, Ю. Б. Стефанчук, М. В. Generalizations of the shadow problem |
| title | Generalizations of the shadow problem |
| title_alt | Узагальнення задачі про тінь |
| title_full | Generalizations of the shadow problem |
| title_fullStr | Generalizations of the shadow problem |
| title_full_unstemmed | Generalizations of the shadow problem |
| title_short | Generalizations of the shadow problem |
| title_sort | generalizations of the shadow problem |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1876 |
| work_keys_str_mv | AT zelinskiiyub generalizationsoftheshadowproblem AT stefanchukmv generalizationsoftheshadowproblem AT zelínsʹkijûb generalizationsoftheshadowproblem AT stefančukmv generalizationsoftheshadowproblem AT zelinskiiyub uzagalʹnennâzadačíprotínʹ AT stefanchukmv uzagalʹnennâzadačíprotínʹ AT zelínsʹkijûb uzagalʹnennâzadačíprotínʹ AT stefančukmv uzagalʹnennâzadačíprotínʹ |