On partial solutions of one equation with multiple characteristics and some properties of the fundamental solution
We construct partial solutions of odd-order equations with multiple characteristics and study some of their properties.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1877 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507758638399488 |
|---|---|
| author | Irgashev, B. Yu. Иргашев, B. Ю. Иргашев, B. Ю. |
| author_facet | Irgashev, B. Yu. Иргашев, B. Ю. Иргашев, B. Ю. |
| author_sort | Irgashev, B. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:37Z |
| description | We construct partial solutions of odd-order equations with multiple characteristics and study some of their properties. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.951.2
Б. Ю. Иргашев (Наманган. инж.-пед. ин-т, Узбекистан)
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ
С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ, ИМЕЮЩИХ НЕКОТОРЫЕ
СВОЙСТВА ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
We construct partial solutions of odd-order equations with multiple characteristics and study some of their properties.
Побудовано частиннi розв’язки для рiвняння непарного порядку з кратними характеристиками та вивчено деякi їхнi
властивостi.
Введение и формулировка основных результатов. При изучении линейных уравнений в
частных производных важную роль играют так называемые фундаментальные решения, т. е.
решения, имеющие особенности определенного типа. Если для основных линейных уравнений
второго порядка с постоянными коэффициентами известны точные формулы фундаментальных
решений, то для уравнений высших порядков это не так. Общий метод построения фундамен-
тального решения для эллиптических уравнений высших порядков приведен в работе [1], а для
уравнений с кратными характеристиками — в [2]. Используя методику из [2], для уравнений
D2n
x u - ( - 1)nD1
yu = 0,
D2n+1
x u+ ( - 1)nD2
yu = 0,
D2n+1
x u+ ( - 1)nD1
yu = 0
в работах [3, 4, 5] соответственно найдены фундаментальные решения в виде несобственных
интегралов и построена теория потенциала.
При рассмотрении так называемого стационарного вязкого трансзвукового линейного урав-
нения (или ВТ-уравнения)
D3
xu (x, y) +D2
yu+
a
y
D1
yu = f (x, y) при a = 0
с помощью метода подобия и автомодельного решения в работах [6, 7] построены и изуче-
ны некоторые свойства фундаментальных решений, выраженные через специальные функции.
Также в работах [8, 9] в явном виде построены функции Грина некоторых внешних краевых
задач в случаях a = 0 и a = 1. Случай произвольного a исследован в [10]. Следует отме-
тить, что имеются многочисленные работы, в которых уравнения нечетного порядка изучены
функциональными методами (см. [11, 12]). Вырожденный случай исследован в [13].
В данной работе мы построим частные решения Us(x, y, \xi , \eta ), s \in \{ 0, 1, . . . ,m - 1\} , урав-
нения
( - 1)nD2n+1
x u (x, y) - ( - 1)mD2m
y u (x, y) = 0 (1)
(где (2n+ 1, 2m) = 1 (т. е. взаимно простые), n,m \in N, n \geq m), которые имеют некоторые
свойства фундаментального решения.
c\bigcirc Б. Ю. ИРГАШЕВ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6 763
764 Б. Ю. ИРГАШЕВ
Сначала методом подобия [14] построим дельтообразные решения U\ast
s (x, y, \xi , \eta ) уравне-
ния (1), которые имеют вид
U\ast
s (x, y, \xi , \eta ) =
f\ast
s (t)
\pi | y - \eta |
2m
2n+1
,
где
f\ast
s (t) =
+\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
- \lambda
2n+1
2m \beta s
1
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
\lambda t+ \beta s
2\lambda
2n+1
2m
\Bigr)
d\lambda , s \in \{ 0, 1, . . . ,m - 1\} ,
t =
x - \xi
| y - \eta |
2m
2n+1
,
\beta s = \beta s
1 - i\beta s
2, \beta s
1 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} zs, \beta s
2 = co\mathrm{s}zs, zs =
4s+ 1
4m
\pi , s \in \{ 0, 1, . . . ,m - 1\} ,
и докажем их основное свойство.
Теорема 1 (свойство функций U\ast
s (x, y, \xi , \eta )). Для любого \varphi \in C[a; b] справедливо равен-
ство
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow x0,\eta \rightarrow y
b\int
a
U\ast
s (x, y, \xi , \eta )\varphi (\xi )d\xi = \varphi (x0).
Далее строим частные решения Us(x, y, \xi , \eta ) такие, что
Us(x, y, \xi , \eta ) = | y - \eta | b fs(t), t = (x - \xi ) | y - \eta | a , s \in \{ 0, 1, . . . ,m - 1\} ,
где fs(t) и b выбираются так, чтобы
D2m - 1
y Us(x, y, \xi , \eta ) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (y - \eta )U\ast
s (x, y, \xi , \eta ).
Теорема 2 (связь между функциями f\ast
s (t) и fs(t)). Функции fs(t) имеют вид
fs(t) =
1
a (2m - 2)!
2m - 2\sum
j=0
t
j - b
a
\left( c+js - ( - 1)jCj
2m - 2
+\infty \int
t
\tau -
j - b
a
- 1f\ast
s (\tau ) d\tau
\right) , t > 0,
fs(t) =
1
a (2m - 2)!
2m - 2\sum
j=0
| t|
j - b
a
\left( c - js - ( - 1)jCj
2m - 2
t\int
- \infty
| \tau | -
j - b
a
- 1f\ast
s (\tau ) d\tau
\right) , t < 0
\biggl(
s \in \{ 0, 1, . . . ,m - 1\} , a = - 2m
2n+ 1
, b = - 2na - 1, c+js, c - js — определенным образом
вычисленные постоянные
\biggr)
, и для них справедливо равенство
f (2n)
s (t) = ( - 1)n+m+1 2m
2n+ 1
tf\ast
s (t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 765
Теорема 3 (свойства функции Us(x, y, \xi , \eta )). Пусть \varphi (t) — произвольная непрерывная функ-
ция на отрезке [c, d]. Тогда:
1) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}y\rightarrow \eta +0
\int d
c
D2m - 1
\eta Us(x, y, \xi , \eta )\varphi (\xi )d\xi = - \varphi (x) ,
2) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}y\rightarrow \eta - 0
\int d
c
D2m - 1
\eta Us(x, y, \xi , \eta )\varphi (\xi )d\xi = \varphi (x) ,
3) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \xi +0
\int d
c
\varphi (\eta )D2n
\xi Us (x, y, \xi , \eta ) d\eta = ( - 1)n+m+1 2 (n - m+ 2s+ 1)
2n+ 1
\varphi (y),
4) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow \xi - 0
\int d
c
\varphi (\eta )D2n
\xi Us (x, y, \xi , \eta ) d\eta = ( - 1)n+m 2 (n+m - 2s)
2n+ 1
\varphi (y).
Доказательство полученных результатов. Построим дельтообразное решение уравне-
ния (1). Для этого рассмотрим следующую задачу.
Задача А. Найти решение уравнения (1) со следующими краевыми условиями:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
y\rightarrow +0
u (x, y) =
\left\{ 1, x \geq 0,
0, x < 0.
Решение задачи. Выполним замену переменных t = xya, где a = - 2m
2n+ 1
. Затем вычис-
лим частные производные при y \not = \eta :
D2n+1
x u = y - 2mD2n+1
t u,
(2)
D2m
y = D2m - 1
y
\bigl(
D1
t uD
1
yt
\bigr)
=
2m - 1\sum
k1=0
\Bigl(
Ck1
2m - 1D
2m - 1 - k1
y
\bigl(
D1
yt
\bigr)
Dk1
y
\bigl(
D1
t u
\bigr) \Bigr)
=
= D2m - 1
y
\bigl(
D1
yt
\bigr)
D1
t u+
2m - 1\sum
k1=1
Ck1
2m - 1D
2m - 1 - k1
y
\bigl(
D1
yt
\bigr)
Dk1 - 1
y
\bigl(
D2
t uD
1
yt
\bigr)
.
Введем обозначение (a)j+1 = a(a - 1)(a - 2) . . . (a - j) и будем считать, что (a)0 = 1. Тогда
Dj
y
\bigl(
D1
yt
\bigr)
=
(a)j+1t
yj+1
. Отсюда находим
D2m
y =
(a)2mt
y2m
D1
t u+
2m - 1\sum
k1=1
Ck1
2m - 1
(a)2m - k1
y2m - k1
t
k1 - 1\sum
k2=0
Ck2
k1 - 1D
k1 - k2 - 1
y
\bigl(
D1
yt
\bigr)
Dk2
y
\bigl(
D2
t u
\bigr)
=
=
(a)2m
y2m
tD1
t u+
2m - 1\sum
k1=1
Ck1
2m - 1
(a)2m - k1
y2m - k1
tDk1 - 1
y
\bigl(
D1
yt
\bigr)
D2
t u+
+
2m - 1\sum
k1=1
k1 - 1\sum
k2=1
Ck1
2m - 1C
k2
k1 - 1
(a)2m - k1
y2m - k1
(a)k1 - k2
yk1 - k2
t2Dk2 - 1
y
\bigl(
D3
t uD
1
yt
\bigr)
.
Продолжая этот процесс, получаем формулу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
766 Б. Ю. ИРГАШЕВ
D2m
y u = y - 2m
2m\sum
j=1
\Bigl(
A2m
j - 1t
jDj
tu
\Bigr)
, (3)
где
A2m
j =
2m - 1\sum
k1=j
k1 - 1\sum
k2=j - 1
. . .
kj - 1 - 1\sum
kj=1
\Biggl(
(a)kj
j\prod
s=1
Cks
ks - 1 - 1(a)ks - 1 - ks
\Biggr)
,
причем k0 = 2m, j \in \{ 1, 2, . . . , 2m - 1\} , k1 > k2 > . . . > kj \geq 1. Далее будем считать, что
Aj
i = 0 при i \geq j. Отметим некоторые свойства коэффициентов Aj
i .
Лемма 1. Коэффициенты Aj
i имеют следующие свойства:
1) Ai+1
i = ai+1,
2) Aj
i =
\sum j - 1
k=i
Ck
j - 1(a)j - kA
k
i - 1,
3) Aj
i = a
\Bigl(
(i+ 1)Aj - 1
i +Aj - 1
i - 1
\Bigr)
- (j - 1)Aj - 1
i при i \geq 1,
4) Aj
0 = (a)j .
Доказательство. 1. Очевидно, что A1
0 = a. Далее, используя свойство 3 и то, что Aj
i = 0
при i \geq j, имеем
Ai+1
i = a
\bigl(
(i+ 1)Ai
i +Ai
i - 1
\bigr)
- iAi
i = aAi
i - 1 = aiA1
0 = ai+1.
Второе свойство следует из представления A2m
j при j = i, 2m = j, s = 1, k0 = j, k1 = k.
3. Имеем
Dj - 1
y u = y - j+1
j - 1\sum
i=1
\Bigl(
Aj - 1
i - 1 t
iDi
tu
\Bigr)
.
Возьмем производную
\bigl(
Dj - 1
y u
\bigr)
y
= Dj
yu = (1 - j) y - j
j - 1\sum
i=1
\Bigl(
Aj - 1
i - 1 t
iDi
tu
\Bigr)
+
+y - j+1
j - 1\sum
i=1
\biggl(
iAj - 1
i - 1 t
i - 1at
y
Di
tu
\biggr)
+ y - j+1
j - 1\sum
i=1
\biggl(
Aj - 1
i - 1 t
iat
y
Di+1
t u
\biggr)
=
= y - j
j - 1\sum
i=1
tiDi
tu
\Bigl(
(1 - j)Aj - 1
i - 1 + iAj - 1
i - 1a
\Bigr)
+ y - j
j\sum
i=2
\Bigl(
aAj - 1
i - 2 t
iDi
tu
\Bigr)
.
С другой стороны,
Dj
yu = y - j
j\sum
i=1
\Bigl(
Aj
i - 1t
iDi
tu
\Bigr)
.
Приравняв коэффициенты при одинаковых tiDi
tu, получим требуемый результат.
Четвертое свойство автоматически следует из соотношения (3) при j = 0.
Лемма 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 767
Подставив (2), (3) в (1), получим следующую задачу:
( - 1)nu(2n+1)(t) - ( - 1)m
2m\sum
j=1
A2m
j - 1t
ju(j)(t) = 0,
u (+\infty ) = 1, u ( - \infty ) = 0.
Пусть v(t) = u\prime (t). Отсюда имеем
( - 1)nv(2n)(t) - ( - 1)m
2m - 1\sum
j=0
A2m
j tj+1v(j)(t) = 0. (4)
Тогда
u(t) = c
t\int
- \infty
v (\tau )d\tau ,
где
c =
\left[ +\infty \int
- \infty
v (\tau ) d\tau
\right] - 1
.
Значит, будем искать решение уравнения (4) из класса L1( - \infty ,+\infty ). Предварительно возь-
мем производную от уравнения (4):
( - 1)nv(2n+1)(t) - ( - 1)m
\left( 2m\sum
j=1
\bigl(
A2m
j (j + 1) +A2m
j - 1
\bigr)
tjv(j)(t) +A2m
0 v(t)
\right) = 0. (5)
Теперь найдем решение уравнения (4) из класса L1 ( - \infty ,+\infty ) . Для этого рассмотрим
функцию
F (x, y, \xi , \eta ) =
+\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
\alpha \mu (x - \xi ) - \beta \mu
2n+1
2m | y - \eta |
\Bigr)
d\mu , (6)
где \alpha , \beta — комплексные числа. Имеем
D2n+1
x F = \alpha 2n+1
+\infty \int
0
\mu 2n+1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
\alpha \mu (x - \xi ) - \beta \mu
2n+1
2m | y - \eta |
\Bigr)
d\mu ,
D2m
y F = \beta 2m
+\infty \int
0
\mu 2n+1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
\alpha \mu (x - \xi ) - \beta \mu
2n+1
2m | y - \eta |
\Bigr)
d\mu .
Чтобы функция (6) удовлетворяла уравнению (1), потребуем выполнения равенства
\alpha 2n+1 = ( - 1)n+m\beta 2m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
768 Б. Ю. ИРГАШЕВ
При \alpha = i имеем
\beta s = \beta s
1 - i\beta s
2, \beta s
1 = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} zs, \beta s
2 = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} zs, zs =
4s+ 1
4m
\pi , s \in \{ 0, 1, . . . ,m - 1\} .
Найдем теперь \alpha :
\alpha 2n+1 = ei(\pi n+\pi /2), \alpha k = \alpha 1
k + i\alpha 2
k, \alpha 1
k = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta k,
\alpha 2
k = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta k, \theta k =
\pi
2
+
2\pi k
2n+ 1
, k \in \{ 0, 1, . . . , 2n\} .
Выполнив в выражении (6) замену переменных \mu = \lambda | y - \eta | a , t = (x - \xi ) | y - \eta | a , получим
F (x, y, \xi , \eta ) = | y - \eta | a gks(t),
где
gks(t) =
+\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
\alpha k\lambda t - \beta s\lambda
2n+1
2m
\Bigr)
d\lambda .
Функция F (x, y, \xi , \eta ) удовлетворяет уравнению (1) по переменным (x, y) и сопряженному
уравнению по переменным (\xi , \eta ) . Далее будем считать, что y > \eta (случай y < \eta рассматрива-
ется аналогично). Вычислим частные производные и подставим их в уравнение (1):
D2n+1
x F (x, y, \xi , \eta ) = (y - \eta )a - 2m g
(2n+1)
ks (t),
D2m
y F =
2m\sum
i=0
Ci
2mD2m - i
y (y - \eta )aDi
ygks(t) =
=
2m\sum
i=0
Ci
2m(a)2m - i (y - \eta )a+i - 2m (y - \eta ) - i
i\sum
j=1
tjg
(j)
ks (t)A
i
j - 1 =
= (y - \eta )a - 2m
\left( 2m\sum
i=1
i\sum
j=1
Ci
2m(a)2m - iA
i
j - 1t
jg
(j)
ks (t) + (a)2mgks(t)
\right) .
Тогда получим, что функция gks(t) удовлетворяет уравнению
( - 1)ng
(2n+1)
ks (t) - ( - 1)m
\left( (a)2mgks(t) +
2m\sum
j=1
tjg
(j)
ks
2m\sum
i=j
Ci
2m(a)2m - iA
i
j - 1
\right) = 0.
Лемма 2. Справедливо соотношение
2m\sum
s=j
Cs
2m(a)2m - sA
s
j - 1 = A2m
j (j + 1) +A2m
j - 1. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 769
Доказательство. Учитывая равенство
2m\sum
s=j
Cs
2m(a)2m - sA
s
j - 1 =
2m - 1\sum
s=j
Cs
2m(a)2m - sA
s
j - 1 +A2m
j - 1,
достаточно показать, что
(j + 1)A2m
j =
2m - 1\sum
s=j
Cs
2m(a)2m - sA
s
j - 1.
Доказательство проведем индукцией по j. При j = 1
2A2m
1 =
2m - 1\sum
s=1
Cs
2m(a)2m - s(a)s,
или (если собрать коэффициенты при одинаковых (a)2m - s (a)s)
2
\bigl(
Cs
2m - 1 + C2m - s
2m - 1
\bigr)
= Cs
2m + C2m - s
2m = 2Cs
2m,
или
Cs
2m - 1 + C2m - s
2m - 1 = Cs
2m.
Действительно,
(2m - 1)!
s! (2m - s - 1)!
+
(2m - 1)!
(2m - 1 - 2m+ s)! (2m - s)!
=
=
(2m - 1)!
s! (2m - s - 1)!
\biggl(
1
s
+
1
2m - s
\biggr)
=
=
2m!
s! (2m - s)!
= Cs
2m.
Пусть формула правильна при j = n:
(n+ 1)
2m - 1\sum
k=n
Ck
2m - 1(a)2m - kA
k
n - 1 =
2m - 1\sum
k=n
Ck
2m(a)2m - kA
k
n - 1,
тогда при j = n+ 1 имеем
(n+ 2)
2m - 1\sum
k=n+1
Ck
2m - 1(a)2m - kA
k
n =
= (n+ 1)
2m - 1\sum
k=n+1
Ck
2m - 1(a)2m - kA
k
n +
2m - 1\sum
k=n+1
Ck
2m - 1(a)2m - kA
k
n =
=
2m - 1\sum
k=n+1
Ck
2m - 1(a)2m - k
k - 1\sum
s=n
Cs
k(a)k - sA
s
n - 1+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
770 Б. Ю. ИРГАШЕВ
+
2m - 1\sum
k=n+1
Ck
2m - 1(a)2m - k
k - 1\sum
s=n
Cs
k - 1(a)k - sA
s
n - 1.
Здесь мы использовали свойство 3 коэффициентов Aj
i . Далее
2m - 1\sum
k=n+1
k - 1\sum
s=n
Ck
2m - 1
\bigl(
Cs
k + Cs
k - 1
\bigr)
(a)2m - k(a)k - sA
s
n - 1 =
=
2m - 1\sum
s=n
As
k - 1
2m - 1\sum
k=s+1
Ck
2m - 1
\bigl(
Cs
k + Cs
k - 1
\bigr)
(a)2m - k(a)k - s.
Теперь преобразуем правую часть равенства:
2m - 1\sum
k=n+1
Ck
2m(a)2m - kA
k
n =
2m - 1\sum
k=n+1
Ck
2m(a)2m - k
k - 1\sum
s=n
Cs
k - 1 (a)k - sA
s
n - 1 =
=
2m - 2\sum
s=n
As
n - 1
2m - 1\sum
k=s+1
Ck
2mCs
k - 1(a)2m - k(a)k - s.
Итак, требуется доказать формулу
2m - 1\sum
k=s+1
Ck
2m - 1
\bigl(
Cs
k + Cs
k - 1
\bigr)
(a)2m - k(a)k - s =
2m - 1\sum
k=s+1
Ck
2mCs
k - 1(a)2m - k(a)k - s,
или, собрав коэффициенты при одинаковых (a)2m - k(a)k - s,т. е. при k = s + t и k = 2m - t,
необходимо доказать, что
Cs+t
2m - 1
\bigl(
Cs
s+t + Cs
s+t - 1
\bigr)
+ C2m - t
2m - 1
\bigl(
Cs
2m - t + Cs
2m - t - 1
\bigr)
=
= Cs+t
2m Cs
s+t - 1 + C2m - t
2m Cs
2m - t - 1.
Первое выражение после некоторого преобразования примет вид
(2m - 1)!
s! (t - 1)! (2m - s - 1 - t)!
\biggl(
1
t
+
1
s+ t
+
1
2m - t - s
+
1
2m - t
\biggr)
,
а второе —
(2m)!
s! (t - 1)! (2m - s - 1 - t)!
\biggl(
1
(s+ t) (2m - s - t)
+
1
(2m - t)t
\biggr)
.
Следовательно,
1
t
+
1
s+ t
+
1
2m - t - s
+
1
2m - t
= 2m
\biggl(
1
(s+ t) (2m - s - t)
+
1
(2m - t)t
\biggr)
или
2m - t+ t
t (2m - t)
+
2m - t - s+ s+ t
(s+ t) (2m - t - s)
=
2m
(s+ t) (2m - s - t)
+
2m
t (2m - t)
,
откуда получаем тождество
2m
t (2m - t)
+
2m
(s+ t) (2m - t - s)
=
2m
(s+ t) (2m - s - t)
+
2m
t (2m - t)
.
Лемма 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 771
Отcюда следует, что функция gk(t) удовлетворяет уравнению (5) или
( - 1)ng
(2n)
ks (t) - ( - 1)m
2m - 1\sum
j=0
A2m
j tj+1g
(j)
ks (t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} .
Вычислив константу (для этого вместо t подставим 0), получим тождество
( - 1)n (\alpha kgks(t))
(2n) - ( - 1)m
2m - 1\sum
j=0
A2m
j tj+1 (\alpha kgks(t))
(j) = ( - 1)m
(2m)!
2n+ 1
. (8)
Поскольку правая часть — вещественное число, функция \mathrm{I}\mathrm{m} (\alpha kgks(t)) удовлетворяет уравне-
нию (4), а \mathrm{R}\mathrm{e} (\alpha kgks(t)) — уравнению (8). Таким образом,
\alpha kgks(t) =
+\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl( \Bigl(
\lambda t\alpha 1
k - \lambda
2n+1
2m \beta s
1
\Bigr)
+ i
\Bigl(
\theta k + \lambda t\alpha 2
k + \beta s
2\lambda
2n+1
2m
\Bigr) \Bigr)
d\lambda ,
\mathrm{R}\mathrm{e} (\alpha kgks(t)) =
+\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
\lambda t\alpha 1
k - \lambda
2n+1
2m \beta s
1
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
\theta k + \lambda t\alpha 2
k + \beta s
2\lambda
2n+1
2m
\Bigr)
d\lambda ,
\mathrm{I}\mathrm{m} (\alpha kgks(t)) =
+\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
\lambda t\alpha 1
k - \lambda
2n+1
2m \beta s
1
\Bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl(
\theta k + \lambda t\alpha 2
k + \beta s
2\lambda
2n+1
2m
\Bigr)
d\lambda .
С учетом того, что решение задачи А принадлежит классу L1 ( - \infty ; +\infty ) , мы в качестве \alpha k
возьмем i. Тогда
f\ast
s (t) =
+\infty \int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
- \lambda
2n+1
2m \beta s
1
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
\lambda t+ \beta s
2\lambda
2n+1
2m
\Bigr)
d\lambda , s \in \{ 0, 1, . . . ,m - 1\} .
Вычисления показывают [2, 15], что
+\infty \int
0
f\ast
s (t)dt =
n - m+ 2s+ 1
2n+ 1
\pi ,
0\int
- \infty
f\ast
s (t)dt =
n+m - 2s
2n+ 1
\pi ,
+\infty \int
- \infty
f\ast
s (t)dt = \pi .
Значит, решение задачи А имеет вид
u (x, y) =
1
\pi
xy
- 2m
2n+1\int
- \infty
f\ast
s (t)dt.
Если ввести обозначение
F
\Bigl(
xy -
2m
2n+1
\Bigr)
=
1
\pi
xy
- 2m
2n+1\int
- \infty
f\ast
s (t)dt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
772 Б. Ю. ИРГАШЕВ
то решение примет вид
u (x, y) = F
\Bigl(
xy -
2m
2n+1
\Bigr)
.
Пусть теперь в задаче А начальные условия таковы:
u (x, 0) =
\left\{ 1, x \geq x1,
0, x < x1.
Тогда решение запишется в виде
u (x, y) = F
\Biggl(
x - x1
y
2m
2n+1
\Biggr)
.
Если начальные условия задаются в виде
u (x, 0) =
\left\{
0, x < x1,
1, x1 \leq x \leq x2,
0, x > x2,
то решение представимо соотношением
u (x, y) = F
\Biggl(
x - x1
y
2m
2n+1
\Biggr)
- F
\Biggl(
x - x2
y
2m
2n+1
\Biggr)
,
которое можно записать следующим образом:
u (x, y) = -
x2\int
x1
\partial
\partial \xi
F
\Biggl(
x - \xi
y
2m
2n+1
\Biggr)
d\xi .
Введем обозначение
U\ast
s (x, y, \xi , \eta ) = - \partial
\partial \xi
F
\Biggl(
x - \xi
| y - \eta |
2m
2n+1
\Biggr)
=
f\ast
s (t)
\pi | y - \eta |
2m
2n+1
,
где
t =
x - \xi
| y - \eta |
2m
2n+1
.
Доказательство теоремы 1 (для упрощения записи индекс s будем опускать). Будем
считать, что y > \eta (при y < \eta доказательство аналогично). В силу непрерывности \varphi (x) в точке
x0 существует такое \delta (\varepsilon ), что
| \varphi (x) - \varphi (x0)| < \varepsilon ,
если только
| x - x0| < \delta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 773
Разбив промежуток интегрирования на части, представим интеграл в виде трех слагаемых:
1
\pi
\left( x1\int
a
1
(y - \eta )
2m
2n+1
f\ast
s
\Biggl(
x - \xi
(y - \eta )
2m
2n+1
\Biggr)
\varphi (\xi )d\xi +
x2\int
x1
. . . d\xi +
b\int
x2
. . . d\xi
\right) =
1
\pi
(I1 + I2 + I3) ,
где
x1 = x0 - \delta , x2 = x0 + \delta .
Главное слагаемое этой суммы I2 можно представить в виде
\varphi (x0)
x2\int
x1
1
(y - \eta )
2m
2n+1
f\ast
\Biggl(
x - \xi
(y - \eta )
2m
2n+1
\Biggr)
d\xi +
+
x2\int
x1
1
(y - \eta )
2m
2n+1
f\ast
\Biggl(
x - \xi
(y - \eta )
2m
2n+1
\Biggr)
[\varphi (\xi ) - \varphi (x0)] d\xi = J1 + J2.
Интеграл J1 вычисляется непосредственно. Для этого выполним замену переменных
t =
x - \xi
(y - \eta )
2m
2n+1
, \xi = x - t (y - \eta )
2m
2n+1 , d\xi = - (y - \eta )
2m
2n+1 dt,
тогда
J1 = \varphi (x0)
x - x1
(y - \eta )
2m
2n+1\int
x - x2
(y - \eta )
2m
2n+1
f\ast (t)dt.
Как только | x - x0| < \delta , верхний предел становится положительным, а нижний — отрицатель-
ным, причем при \eta \rightarrow y - 0 верхний предел стремится к +\infty , а нижний — к - \infty . Отсюда
следует, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta \rightarrow y - 0, x\rightarrow x0
J1 = \pi \varphi (x0).
Нетрудно показать, что остальные интегралы (J2, I1, I3) стремятся к 0.
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Пусть y > \eta (случай y < \eta рассматривается аналогично).
Тогда
D2m - 1
y
\Bigl(
(y - \eta )b fs(t)
\Bigr)
=
= (y - \eta )b - 2m+1
2m - 1\sum
k=1
k\sum
j=1
\Bigl(
Ck
2m - 1(b)2m - k - 1A
k
j - 1t
jf (j)
s (t)
\Bigr)
+
+(y - \eta )b - 2m+1 (b)2m - 1fs(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
774 Б. Ю. ИРГАШЕВ
Если теперь b = a + 2m - 1 = - 2na - 1, где a = - 2m
2n+ 1
, то для нахождения неизвестной
функции fs(t) получим уравнение Эйлера
2m - 1\sum
j=1
tjf (j)
s (t)
\left( 2m - 1\sum
k=j
Ck
2m - 1(b)2m - k - 1A
k
j - 1
\right) + (b)2m - 1 fs(t) = f\ast
s (t). (9)
Пусть t > 0, тогда решение однородного уравнения (9) будем искать в виде tx :
2m - 1\sum
s=1
s\sum
j=1
\Bigl(
Cs
2m - 1(b)2m - 1 - sA
s
j - 1 (x)j
\Bigr)
+ (b)2m - 1 = 0.
Используя свойство 3 коэффициентов Aj
i и считая, чтоAs - 1
- 1 = 0, имеем
s\sum
j=1
(x)j A
s
j - 1 =
s\sum
j=1
(x)j
\Bigl(
a
\Bigl(
jAs - 1
j - 1 +As - 1
j - 2
\Bigr)
- (s - 1)As - 1
j - 1
\Bigr)
=
= ax
s - 1\sum
j=1
(x)j A
s - 1
j - 1 - (s - 1)
s - 1\sum
j=1
(x)j A
s - 1
j - 1 = (ax+ 1 - s)
s - 1\sum
j=1
(x)jA
s - 1
j - 1.
Продолжая этот процесс, получаем
s\sum
j=1
(x)j A
s
j - 1 = (ax)s ,
откуда имеем уравнение
2m - 1\sum
s=0
Cs
2m - 1(b)2m - 1 - s (ax)s = 0. (10)
Далее докажем следующую лемму.
Лемма 3. Справедлива формула
n\sum
s=0
Cs
n(b)n - s(y)s = (y + b)n.
Доказательство проведем индукцией по n. При n = 1 имеем
C0
1 (b)1(y)0 + C1
1 (b)0(y)1 = b+ y,
т. е. формула правильна. Предположим, что формула правильна при n = k:
k\sum
s=0
Cs
k(b)k - s(y)s = (y + b)k.
Докажем теперь ее для n = k + 1, т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 775
k+1\sum
s=0
Cs
k+1(b)k+1 - s(y)s = (y + b - k)
k\sum
s=0
Cs
k(b)k - s(y)s.
Действительно,
(y + b - k)
k\sum
s=0
Cs
k (b)k - s (y)s = ((y - s+ 1) + (b - k + s - 1))
k\sum
s=0
Cs
k(b)k - s(y)s =
=
k\sum
s=0
Cs
k(b)k - s+1(y)s +
k\sum
s=0
Cs
k(b)k - s(y)s+1 =
= (b)k+1 +
k\sum
s=1
Cs
k(b)k - s+1(y)s +
k - 1\sum
s=0
Cs
k(b)k - s(y)s+1 + (y)k+1 =
= (b)k+1 +
k\sum
s=1
\bigl(
Cs
k + Cs - 1
k
\bigr)
(b)k - s+1(y)s + (y)k+1 =
=
k+1\sum
s=0
Cs
k+1(b)k+1 - s(y)s.
Лемма 3 доказана.
Отметим, что корни уравнения (10) имеют вид
xj =
- b+ j
a
= 2n+
1 + j
a
= 2n - 2n+ 1
2m
(j + 1) .
Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения (9). Следуя методу,
приведенному в [16], после замены переменной t = e\tau уравнение (9) можно преобразовать к
виду
2m - 1\sum
j=1
\left( 2m - 1\sum
k=j
Ck
2m - 1(b)2m - k - 1A
k
j - 1
\right) (D)j fs (e
\tau ) + (b)2m - 1fs (e
\tau ) = f\ast
s (e
\tau ) ,
или, как показано выше,
(aD + b) (aD + b - 1) . . . (aD + b - (2m - 2)) fs = f\ast
s .
Тогда частное решение имеет вид
fs =
2m - 2\sum
j=0
Bje
xj\tau
\int
fs (e
\tau )e - xj\tau d\tau ,
где Bj получаются из разложения
1
(aD + b) (aD + b - 1) . . . (aD + b - (2m - 2))
на элемен-
тарные дроби. Вернемся к старым переменным
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
776 Б. Ю. ИРГАШЕВ
t = e\tau , d\tau = t - 1dt, fs =
2m - 2\sum
j=0
Bjt
j - b
a
\int
fs(t)t
- j - b
a
- 1dt.
Вычислим теперь Bj :
1
(aD + b) (aD + b - 1) . . . (aD + b - (2m - 2))
=
=
1
a2m - 1
\biggl(
D +
b
a
\biggr)
. . .
\biggl(
D +
b - 2m+ 2
a
\biggr) =
=
B0
D +
b
a
+
B1
D +
b - 1
a
+ . . .+
B2m - 2
D +
b - 2m+ 2
a
,
откуда
Bj =
1
a2m - 1
\prod 2m - 2
i \not =j,i=0
\biggl(
b - i
a
- b - j
a
\biggr) =
1
a
\prod 2m - 2
i \not =j,i=0
(j - i)
,
2m - 2\prod
i \not =j,i=0
(j - i) =
j - 1\prod
i=0
(j - i)
2m - 2\prod
i=j+1
(j - i) = ( - 1)jj! (2m - 2 - j)!.
Итак,
Bj = ( - 1)j
1
aj! (2m - 2 - j)!
= ( - 1)j
Cj
2m - 2
a (2m - 2)!
.
Значит, при t > 0 общее решение уравнения (9) имеет вид
fs(t) =
1
a (2m - 2)!
2m - 2\sum
j=0
t
j - b
a
\left( c+js - ( - 1)jCj
2m - 2
+\infty \int
t
\tau -
j - b
a
- 1f\ast
s (\tau ) d\tau
\right) .
Если t < 0, то в (9) можно выполнить замену t = - z, z > 0. Тогда после аналогичных
преобразований получим формулу
fs(t) =
1
a (2m - 2)!
2m - 2\sum
j=0
| t|
j - b
a
\left( c - js - ( - 1)jCj
2m - 2
t\int
- \infty
| \tau | -
j - b
a
- 1f\ast
s (\tau ) d\tau
\right) ,
где c+js, c
-
js — произвольные постоянные.
Теперь подберем постоянные c+js, c - js так, чтобы функция Us(x, y, \xi , \eta ) = | y - \eta | b fs(t)
удовлетворяла уравнению (1). Для этого вычислим частные производные при y > \eta (случай
y < \eta рассматривается аналогично):
D2n+1
x Us(x, y, \xi , \eta ) = (y - \eta )b+(2n+1)a f (2n+1)
s (t) = (y - \eta )a - 1 f (2n+1)
s (t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 777
D2m
y Us = D1
yU
\ast
s = a (y - \eta )a - 1 f\ast
s (t) + (y - \eta )a
at
(y - \eta )
d
dt
f\ast
s =
= a (y - \eta )a - 1 d
dt
(tf\ast
s (t)) .
Подставив их в уравнение (1), получим требуемое условие
f (2n)
s (t) - ( - 1)n+m atf\ast
s (t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} .
Имеем
fs(t) =
1
a (2m - 2)!
2m - 2\sum
j=0
fjs(t),
где
fjs = t
j - b
a
\left( c+j - ( - 1)j Cj
2m - 2
+\infty \int
t
\tau -
j - b
a
- 1f\ast
s (\tau ) d\tau
\right) .
Введем обозначение sj =
j - b
a
, Bj = ( - 1)j Cj
2m - 2, тогда
\bigl(
tf \prime
js
\bigr) (k)
= sjf
(k)
js (t) +Bj (f
\ast
s )
(k) .
По формуле Лейбница получим
\bigl(
tf \prime
js
\bigr) (k)
=
k\sum
m=0
Cm
k t(m)
\bigl(
f \prime
js
\bigr) (k - m)
= tf
(k+1)
js + kf
(k)
js ,
sjf
(k)
js (t) +Bj (f
\ast
s )
(k) = tf
(k+1)
js + kf
(k)
js ,
откуда
tf
(k+1)
js = f
(k)
js (sj - k) +Bjf
\ast (k)
s ,
и вообще
tk+1f
(k+1)
js = (sj)k+1 fjs +Bj
\Bigl(
tkf\ast (k)
s + (sj - k) tk - 1f\ast (k - 1)
s + . . .+ (sj - 1)k f
\ast
s
\Bigr)
.
В частности, при k = 2n - 1
t2nf
(2n)
js = (sj)2n fjs +Bj
\Biggl(
t2n - 1f\ast (2n - 1)
s +
(sj)2n
(sj)2n - 1
t2n - 2f\ast (2n - 2)
s + . . .+
(sj)2n
(sj)1
f\ast
s
\Biggr)
.
Итак,
f
(2n)
js =
(sj)2n
t2n
\Biggl(
fjs +Bj
2n - 1\sum
m=0
tmf
\ast (m)
s (t)
(sj)m+1
\Biggr)
. (11)
С другой стороны,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
778 Б. Ю. ИРГАШЕВ
fjs = tsj
\left( c+j - Bj
+\infty \int
t
\tau - sj - 1f\ast
s (\tau ) d\tau
\right) =
= tsjc+j +Bjt
sj
1
sj
+\infty \int
t
f\ast
s (\tau )d\tau
- sj =
= tsjc+j +
Bjt
sj
sj
\left( f\ast
s (\tau ) \tau
- sj
\bigm| \bigm| +\infty
t
-
+\infty \int
t
(f\ast
s )
\prime \tau - sjd\tau
\right) =
= c+j t
sj - Bjf
\ast
s (t)
(sj)1
-
Bjt
df\ast
s (t)
dt
(sj)2
- Bjt
sj
(sj)2
+\infty \int
t
d2f\ast
s
d\tau 2
\tau - sj+1d\tau .
Продолжая этот процесс, получаем
fjs(t) = c+j t
sj - Bj
\Biggl(
f\ast
s (t)
(sj)1
+
t (f\ast
s (t))
\prime
(sj)2
+ . . .+
t2n - 1 (f\ast
s (t))
(2n - 1)
(sj)2n
+
+
tsj
(sj)2n
+\infty \int
t
(f\ast
s (\tau ))
(2n) \tau - sj+2n - 1d\tau
\right) . (12)
При t < 0 формула (12) принимает вид
fjs(t) = c - j ( - t)sj - Bj
\Biggl(
f\ast
s (t)
(sj)1
+
t (f\ast
s (t))
\prime
(sj)2
+ . . .+
t2n - 1 (f\ast
s (t))
(2n - 1)
(sj)2n
+
+
( - t)sj
(sj)2n
+\infty \int
t
(f\ast
s (\tau ))
(2n) ( - \tau ) - sj+2n - 1 d\tau
\right) .
Подставляя (12) в (11), имеем
f
(2n)
js =
(sj)2n
t2n
\left( c+j t
sj - Bjt
sj
(sj)2n
+\infty \int
t
(f\ast
s (\tau ))
(2n) \tau - sj+2n - 1d\tau
\right) ,
откуда
f (2n)
s (t) =
1
a (2m - 2)!t2n
2m - 2\sum
j=0
\left( (sj)2n c
+
j t
sj - Bjt
sj
+\infty \int
t
(f\ast
s (\tau ))
(2n) \tau - sj+2n - 1d\tau
\right) =
=
1
a (2m - 2)!t2n
(f1(t) - f2(t)) ,
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 779
f1(t) =
2m - 2\sum
j=0
(sj)2n c
+
j t
sj ,
f2(t) =
2m - 2\sum
j=0
\left( Bjt
sj
+\infty \int
t
(f\ast
s (\tau ))
(2n) \tau - sj+2n - 1d\tau
\right) .
Рассмотрим отдельно несобственный интеграл
I =
+\infty \int
t
(f\ast
s (\tau ))
(2n) \tau - sj+2n - 1d\tau .
Этот интеграл вычисляется явно. Действительно, имеем
I = ( - 1)n+m
+\infty \int
t
\tau - sj+2n - 1
\Biggl(
2m - 1\sum
k=0
A2m
k \tau k+1 (f\ast
s (\tau ))
(k)
\Biggr)
d\tau =
= ( - 1)n+m
+\infty \int
t
\Biggl(
2m - 2\sum
k=0
ajk\tau
- 1+j
a
+k+1 (f\ast
s (\tau ))
(k)
\Biggr) \prime
d\tau ,
где неизвестные aji определяются из системы
-
\biggl(
1 + j
a
- 1
\biggr)
aj0 = A2m
0 ,
aj0 -
\biggl(
1 + j
a
- 2
\biggr)
aj1 = A2m
1 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aj2m - 3 -
\biggl(
1 + j
a
- 2m+ 1
\biggr)
aj2m - 2 = A2m
2m - 2,
aj2m - 2 = A2m
2m - 1.
Эта система состоит из 2m уравнений с 2m - 1 неизвестными, т. е. уравнений больше, чем
неизвестных. Но так как справедливо соотношение
2m\sum
j=1
(x)j A
2m
j - 1 = (ax)2m ,
то система совместна и ее решение имеет вид
aji =
1\Bigl(
1+j
a
\Bigr)
i+2
2m - 1\sum
k=i+1
\biggl(
1 + j
a
\biggr)
k+1
A2m
k .
Итак,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
780 Б. Ю. ИРГАШЕВ
f2(t) = ( - 1)n+m
2m - 2\sum
j=0
\left( Bjt
sj
+\infty \int
t
\Bigl(
aj0\tau
- 1+j
a
+1f\ast
s + . . .+ aj2m - 2\tau
- 1+j
a
+2m - 1(f\ast
s )
(2m - 2)
\Bigr) \prime
d\tau
\right) =
= ( - 1)n+m
2m - 2\sum
j=0
Bjt
sj
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
\Bigl(
aj0\tau
- 1+j
a
+1f\ast
s + . . .+ aj2m - 2\tau
- 1+j
a
+2m - 1 (f\ast
s )
(2m - 2)
\Bigr)
-
- t -
1+j
a
\Bigl(
aj0tf
\ast
s + . . .+ aj2m - 2t
2m - 1 (f\ast
s )
(2m - 2)
\Bigr) \Bigr)
.
Введем обозначение
d+js = ( - 1)n+m \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow +\infty
\Bigl(
aj0\tau
- 1+j
a
+1f\ast
s + . . .+ aj2m - 2\tau
- 1+j
a
+2m - 1 (f\ast
s )
(2m - 2)
\Bigr)
,
тогда
+\infty \int
t
(f\ast
s (\tau ))
(2n) \tau - sj+2n - 1d\tau =
= d+j - ( - 1)n+mt -
1+j
a
\Bigl(
aj0tf
\ast
s + . . .+ aj2m - 2t
2m - 1 (f\ast
s )
(2m - 2)
\Bigr)
.
Аналогично при t < 0 имеем
t\int
- \infty
(f\ast
s (\tau ))
(2n) ( - \tau ) - sj+2n - 1 d\tau =
= d - j - ( - 1)n+m ( - t) -
1+j
a
\Bigl(
aj0tf
\ast
s + . . .+ aj2m - 2t
2m - 1 (f\ast
s )
(2m - 2)
\Bigr)
,
откуда
d+js =
+\infty \int
0
(f\ast
s (t))
(2n) t -
1+j
a
- 1dt.
Интегрируя последнее выражение по частям, находим
d+js = ( - 1)k ((1 + j) c - 1)k
+\infty \int
0
t(1+j)c - k - 1 (f\ast
s (t))
(2n - k) dt,
где
k = [(1 + j) c] =
\biggl[
2n+ 1
2m
(1 + j)
\biggr]
.
Вычисляя, получаем
d+js = ( - 1)n
2m
2n+ 1
(2m - j - 2)!\Gamma
\biggl(
2n+ 1
2m
(1 + j)
\biggr)
\times
\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\pi
2
\biggl(
(2n+ 1) (1 + j) + (2m - j - 1) (2m - 4s - 1)
2m
\biggr) \biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 781
Лемма 4. Справедливо соотношение
2n\sum
j=1
( - 1)jjkCj
2n =
\left\{ 0, 1 \leq k < 2n,
(2n)!, k = 2n.
Доказательство. Имеем
Cj - 1
2n - 1 =
(2n - 1)!
(j - 1)! (2n - j)!
=
j
2n
Cj
2n,
откуда
2n\sum
j=1
( - 1)jjkCj
2n = 2n
2n\sum
j=1
( - 1)jjk - 1Cj - 1
2n - 1 =
= 2n (2n - 1)
2n\sum
j=2
( - 1)jjk - 2Cj - 2
2n - 2 =
= (2n)k
2n\sum
j=k
( - 1)jCj - k
2n - k. (13)
Если k = 2n, то из формулы (13) получим
(2n)2n
2n\sum
j=2n
( - 1)j Cj - 2n
0 = (2n)!.
Пусть теперь 1 \leq k < 2n. Тогда обозначим j - k = i, и формула (13) примет вид
(2n)k ( - 1)k
2n - k\sum
i=0
( - 1)iCi
2n - k = 0.
Лемма 4 доказана.
Из леммы 4 непосредственно следует, что при i > 0
2m - 2\sum
j=0
ajiBj =
2m - 2\sum
j=0
( - 1)jajiC
j
2m - 2 =0.
Осталось вычислить
2m - 2\sum
j=0
aj0Bj =
2m - 2\sum
j=0
Bj
1\biggl(
1 + j
a
\biggr)
2
2m - 1\sum
k=1
\biggl(
1 + j
a
\biggr)
k+1
A2m
k =
2m - 2\sum
j=0
Bj
\biggl(
1 + j
a
\biggr)
2m\biggl(
1 + j
a
\biggr)
2
A2m
2m - 1 =
=
A2m
2m - 1
a2m - 2
2m - 2\sum
j=0
j2m - 2Bj =
a2m
a2m - 2
(2m - 2)! = a2 (2m - 2)!.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
782 Б. Ю. ИРГАШЕВ
Итак,
f2(t) =
2m - 2\sum
j=0
Bjd
+
j t
sj - ( - 1)n+ma2 (2m - 2)! \cdot t2n+1f\ast
s (t),
откуда
f (2n)
s (t) =
\sum 2m - 2
j=0
\Bigl(
(sj)2n c
+
j - Bjd
+
j
\Bigr)
tsj + ( - 1)n+m a2 (2m - 2)!t2n+1f\ast
s (t)
a (2m - 2)!t2n
.
Если
c+js = ( - 1)j
Cj
2m - 2
(sj)2n
d+js,
то при t > 0 имеем
f (2n)
s (t) = ( - 1)n+m atf\ast
s (t) = ( - 1)n+m+1 2m
2n+ 1
tf\ast
s (t). (14)
Пусть теперь t < 0. В результате аналогичных преобразований получим формулу
f (2n)
s (t) =
1
a (2m - 2)!t2n
2m - 2\sum
j=0
( - t)sj
\left( (sj)2n c
-
j - Bj
t\int
- \infty
(f\ast
s (\tau ))
(2n) ( - \tau ) - sj+2n - 1 d\tau
\right) ,
откуда
t\int
- \infty
(f\ast
s (\tau ))
(2n) ( - \tau ) - sj+2n - 1 d\tau =
= ( - 1)n+m
t\int
- \infty
\Biggl(
2m - 2\sum
k=0
bjk ( - \tau ) -
1+j
a
+k+1 (f\ast
s (\tau ))
(k)
\Biggr) \prime
d\tau ,
где
bji =
( - 1)i\biggl(
1 + j
a
\biggr)
i+2
2m - 1\sum
k=i+1
\biggl(
1 + j
a
\biggr)
k+1
A2m
k .
Если теперь
c - js = ( - 1)j
Cj
2m - 2
(sj)2n
d - js,
где
d - js =
0\int
- \infty
( - t) -
1+j
a
- 1 (f\ast
s (t))
(2n) dt,
то при t < 0 опять получим формулу (14):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 783
f (2n)
s (t) = ( - 1)n+m+1 2m
2n+ 1
tf\ast
s (t).
Вычисления показывают, что
d - js = ( - 1)n
2m
2n+ 1
(2m - j - 2)!\Gamma
\biggl(
2n+ 1
2m
(1 + j)
\biggr)
\times
\times \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\pi
2
\biggl(
(2n+ 1) (1 + j) - (2m - j - 1) (2m - 4s - 1)
2m
\biggr) \biggr)
.
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Первое и второе свойства следуют из теоремы 1. Покажем
справедливость третьего равенства (четвертое доказывается аналогично третьему). Итак,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \xi +0
d\int
c
D2n
\xi Us(x, y, \xi , \eta )\varphi (\eta ) d\eta =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \xi +0
y\int
c
D2n
\xi Us(x, y, \xi , \eta )\varphi (\eta ) d\eta + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \xi +0
d\int
y
D2n
\xi Us(x, y, \xi , \eta )\varphi (\eta ) d\eta =
= I1 + I2.
Поскольку функция \varphi (\eta ) непрерывна, то
\forall \varepsilon > 0 \exists \delta (\varepsilon ) > 0 : | \eta - y| < \delta \Rightarrow | \varphi (\eta ) - \varphi (y)| < \varepsilon ,
откуда
I1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \xi +0
y - \delta \int
c
D2n
\xi Us(x, y, \xi , \eta )\varphi (\eta ) d\eta + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \xi +0
y\int
y - \delta
D2n
\xi Us (x, y, \xi , \eta )\varphi (\eta ) d\eta = J1 + J2,
J1 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \xi +0
y - \delta \int
c
D2n
\xi Us(x, y, \xi , \eta )\varphi (\eta ) d\eta =
=
1
\pi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \xi +0
y - \delta \int
c
(y - \eta ) - 1 f (2n)
s ((x - \xi ) (y - \eta )a)\varphi (\eta ) d\eta .
Выполняя замену переменных t = (x - \xi ) (y - \eta )a , имеем
J1 = - 1
\pi a
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \xi +0
(x - \xi )\delta a\int
(x - \xi )(y - c)a
1
t
f (2n)
s (t)\varphi
\Bigl(
y - t1/a (x - \xi ) - 1/a
\Bigr)
dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
784 Б. Ю. ИРГАШЕВ
= ( - 1)n+m+1 1
\pi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \xi +0
(x - \xi )\delta a\int
(x - \xi )(y - c)a
f\ast
s (t)\varphi
\Bigl(
y - t1/a (x - \xi ) - 1/a
\Bigr)
dt.
При x \rightarrow \xi + 0 верхний и нижний пределы интегрирования стремятся к нулю, функция \varphi
ограничена в силу непрерывности, f\ast (t) в окрестности нуля не имеет особенностей, поэтому
J1 стремится к нулю. Расмотрим J2 :
J2 = ( - 1)n+m+1 1
\pi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \xi +0
+\infty \int
(x - \xi )\delta a
f\ast
s (t)\varphi
\Bigl(
y - t1/a (x - \xi ) - 1/a
\Bigr)
dt =
= ( - 1)n+m+1 1
\pi
\varphi (y)
+\infty \int
0
f\ast
s (t)dt = ( - 1)n+m+1 (n - m+ 2s+ 1)
2n+ 1
\varphi (y).
Аналогично показывается, что
I2 = ( - 1)n+m+1 (n - m+ 2s+ 1)
2n+ 1
\varphi (y).
Значит,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow \xi +0
d\int
c
\varphi (\eta )D2n
\xi Us(x, y, \xi , \eta )d\eta = ( - 1)n+m+1 2 (n - m+ 2s+ 1)
2n+ 1
\varphi (y).
Теорема 3 доказана.
Заключение. Отметим, что в работе [4] для уравнения
\partial 2n+1u
\partial x2n+1
+ ( - 1)n
\partial 2u
\partial y2
= 0
получено фундаментальное решение
U(x, y, \xi , \eta ) = | y - \eta |
2n - 1
2n+1 f
\Biggl(
x - \xi
| y - \eta |
2
2n+1
\Biggr)
,
где
f(t) = - 2n+ 1
2
t
2n - 1
2
\left( c+ -
+\infty \int
t
\tau -
2n+1
2 f\ast (\tau ) d\tau
\right) , t > 0,
f(t) = - 2n+ 1
2
( - t)
2n - 1
2
\left( c - -
t\int
- \infty
( - \tau ) -
2n+1
2 f\ast (\tau ) d\tau
\right) , t < 0.
Построенное в настоящей статье частное решение (при m = 0) не только совпадает с этим
фундаментальным решением, но также определяет неизвестные постоянные c+, c - :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
О ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ . . . 785
c+ =
\left\{
0, n = 2k,
( - 1)
n - 1
2
2
2n+ 1
\Gamma 2
\biggl(
1
2
\biggr)
\Gamma
\biggl(
2n+ 1
2
\biggr) , n = 2k + 1,
c - =
\left\{
( - 1)n/2
2
2n+ 1
\Gamma 2
\biggl(
1
2
\biggr)
\Gamma
\biggl(
2n+ 1
2
\biggr) , n = 2k,
0, n = 2k + 1.
Литература
1. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып. 1. Обобщенные функции и действия над ними. –
М.: Физматгиз, 1958. – 439 с.
2. Block H. Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples // Ark. mat., astron., fys. Note 1. –
1912. – 7(13). – P. 1 – 34; note 2. – 1912. – 7(21). – P. 1 – 30; note 3. – 1912-1913. – 8(23). – P. 1 – 51.
3. Cattabriga L. Problemi al contorno per equazioni paraboliche di ordine 2n //Rend. Semin. mat. Univ. Padova. –
1958. – 28. – P. 376 – 401.
4. Cattabriga L. Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabili a caratteristiche multiple //
Rend. Semin. mat. Univ. Padova. – 1961. – 31. – P. 1 – 45.
5. Абдиназаров С. Краевые задачи для уравнений с кратными характеристиками: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. –
Ташкент, 1992. – 239 с.
6. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными
характеристиками // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. – 2007. – № 2(15). – C. 18 – 26.
7. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. К теории уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего
вторую производную по времени // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. – С. 40 – 51.
8. Диесперов В. Н. О функции Грина линеаризованного вязкого трансзвукового уравнения // Журн. вычислит.
математики и мат. физики. – 1972. – 12, № 5. – С. 1265 – 1269.
9. Диесперов В. Н., Ломакин Л. А. Об одной краевой задаче для линеаризованного осесимметрического ВТ-
уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1974. – 14, № 5. – С. 1244 – 1260.
10. Засорин Ю. В. Точные решения сингулярных уравнений вязких трансзвуковых течений // Докл. АН СССР. –
1984. – 287, № 6. – С. 1347 – 1351.
11. Дезин А. А. Теоремы существования и единственности решений граничных задач для уравнений с частными
производными в функциональных пространствах // Успехи мат. наук. – 1959. – 14, вып. 3(87). – С. 21 – 73.
12. Егоров И. Е. О первой краевой задаче для одного неклассического уравнения // Мат. заметки. – 1987. – 42,
№ 3. – С. 394 – 402.
13. Апаков Ю. П., Иргашев Б. Ю. Краевая задача для вырождающегося уравнения высокого нечетного порядка //
Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 10. – С. 1318 – 1331.
14. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1966. – 724 с.
15. Градштейн Н. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений. – М.: Физматгиз, 1963. –
1100 с.
16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1965.
Получено 11.09.15,
после доработки — 04.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1877 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:24Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bf/8f87009a5aea1ead0306a0e2d3d0e6bf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18772019-12-05T09:30:37Z On partial solutions of one equation with multiple characteristics and some properties of the fundamental solution О частных решениях одного уравнения с кратными характеристиками, имеющих некоторые свойства фундаментального решения Irgashev, B. Yu. Иргашев, B. Ю. Иргашев, B. Ю. We construct partial solutions of odd-order equations with multiple characteristics and study some of their properties. Побудовано частиннi розв’язки для рiвняння непарного порядку з кратними характеристиками та вивчено деякi їхнi властивостi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1877 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 6 (2016); 763-787 Український математичний журнал; Том 68 № 6 (2016); 763-787 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1877/859 Copyright (c) 2016 Irgashev B. Yu. |
| spellingShingle | Irgashev, B. Yu. Иргашев, B. Ю. Иргашев, B. Ю. On partial solutions of one equation with multiple characteristics and some properties of the fundamental solution |
| title | On partial solutions of one equation with multiple characteristics and some properties of the fundamental solution |
| title_alt | О частных решениях одного уравнения с кратными характеристиками, имеющих некоторые свойства фундаментального решения |
| title_full | On partial solutions of one equation with multiple characteristics and some properties of the fundamental solution |
| title_fullStr | On partial solutions of one equation with multiple characteristics and some properties of the fundamental solution |
| title_full_unstemmed | On partial solutions of one equation with multiple characteristics and some properties of the fundamental solution |
| title_short | On partial solutions of one equation with multiple characteristics and some properties of the fundamental solution |
| title_sort | on partial solutions of one equation with multiple characteristics and some properties of the fundamental solution |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1877 |
| work_keys_str_mv | AT irgashevbyu onpartialsolutionsofoneequationwithmultiplecharacteristicsandsomepropertiesofthefundamentalsolution AT irgaševbû onpartialsolutionsofoneequationwithmultiplecharacteristicsandsomepropertiesofthefundamentalsolution AT irgaševbû onpartialsolutionsofoneequationwithmultiplecharacteristicsandsomepropertiesofthefundamentalsolution AT irgashevbyu očastnyhrešeniâhodnogouravneniâskratnymiharakteristikamiimeûŝihnekotoryesvojstvafundamentalʹnogorešeniâ AT irgaševbû očastnyhrešeniâhodnogouravneniâskratnymiharakteristikamiimeûŝihnekotoryesvojstvafundamentalʹnogorešeniâ AT irgaševbû očastnyhrešeniâhodnogouravneniâskratnymiharakteristikamiimeûŝihnekotoryesvojstvafundamentalʹnogorešeniâ |