Theorems on isomorphisms for some parabolic initial-boundary-value problems in Hörmander spaces: limiting case
In Hilbert Hörmander spaces, we study the initial-boundary-value problems for arbitrary parabolic differential equations of the second order with Dirichlet boundary conditions or general boundary conditions of the first order in the case where the solutions of these problems belong to the space $H^{...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1878 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507761496817664 |
|---|---|
| author | Los’, V. M. Лось, В. М. |
| author_facet | Los’, V. M. Лось, В. М. |
| author_sort | Los’, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:37Z |
| description | In Hilbert Hörmander spaces, we study the initial-boundary-value problems for arbitrary parabolic differential equations of
the second order with Dirichlet boundary conditions or general boundary conditions of the first order in the case where the solutions of these problems belong to the space $H^{2,1,\varphi}$. It is shown that the operators corresponding to these problems are
isomorphisms between suitable Hörmander spaces. The regularity of the functions that form these spaces is characterized by a couple of numerical parameters and a functional parameter $\varphi$ slowly varying at infinity in Karamata’s sense. Due to the presence of the parameter $\varphi$, the Hörmander spaces describe the regularity of the functions more precisely than the
anisotropic Sobolev spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
В. М. Лось (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ; Чернiгiв. нац. технол. ун-т)
ТЕОРЕМИ ПРО IЗОМОРФIЗМИ ДЛЯ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ
ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА:
ГРАНИЧНИЙ ВИПАДОК
In Hilbert Hörmander spaces, we study the initial-boundary-value problems for arbitrary parabolic differential equations of
the second order with Dirichlet boundary conditions or general boundary conditions of the first order in the case where the
solutions of these problems belong to the space H2,1,\varphi . It is shown that the operators corresponding to these problems are
isomorphisms between suitable Hörmander spaces. The regularity of the functions that form these spaces is characterized
by a couple of numerical parameters and a functional parameter \varphi slowly varying at infinity in Karamata’s sense. Due to
the presence of the parameter \varphi , the Hörmander spaces describe the regularity of the functions more precisely than the
anisotropic Sobolev spaces.
В гильбертовых пространствах Хермандера исследованы начально-краевые задачи для произвольного параболиче-
ского дифференциального уравнения второго порядка с краевым условием Дирихле или общим краевым условием
первого порядка в случае, когда решения этих задач принадлежат пространству H2,1,\varphi . Доказано, что операторы,
соответствующие этим задачам, являются изоморфизмами между подходящими пространствами Хермандера. Регу-
лярность функций, образующих эти пространства, характеризуeтся парой числовых параметров и функциональным
параметром \varphi , медленно меняющимися на бесконечности по Карамата. Благодаря параметру \varphi пространства Хер-
мандера описывают регулярность функций более тонко, чем анизотропные пространства Соболева.
1. Вступ. Cучасну теорiю загальних параболiчних початково-крайових задач розроблено для
класичних шкал функцiональних просторiв Гельдера – Зигмунда i Соболєва [1–7]. Основний
результат цiєї теорiї – теореми про коректну розв’язнiсть (за Адамаром) цих задач у пiдходящих
парах вказаних просторiв.
Широке i змiстовне узагальнення просторiв Соболєва було запропоновано Л. Хермандером
у [8]. Це простори H\mu := \scrB 2,\mu . Для них показником регулярностi розподiлiв служить загальна
вагова функцiя \mu . Такi простори знайшли рiзноманiтнi застосування в аналiзi i теорiї рiвнянь з
частинними похiдними [8 – 16].
Так, В. А. Михайлець i О. О. Мурач [15 – 22] побудували теорiю розв’язностi загальних
елiптичних систем i елiптичних крайових задач у гiльбертових шкалах просторiв Hs,\varphi := \scrB 2,\mu ,
для яких показником регулярностi є функцiя вигляду \mu (\xi ) := (1 + | \xi | 2)s/2\varphi ((1 + | \xi | 2)1/2).
Тут числовий параметр s є дiйсним, а функцiональний параметр \varphi — повiльно змiнним на
нескiнченностi за Й. Карамата [23].
У роботах [24 – 30] дослiджено параболiчнi задачi у 2b-анiзотропних просторах Хермандера
Hs,s/(2b),\varphi , де 2b — параболiчна вага рiвняння, а параметри s i \varphi — такi, як i в згаданiй
елiптичнiй теорiї.
Так, у статтi [30] було доведено теорему про коректну розв’язнiсть початково-крайових
задач для загального багатовимiрного лiнiйного параболiчного рiвняння другого порядку з кра-
йовою умовою Дiрiхле або загальною крайовою умовою першого порядку у пiдходящих парах
гiльбертових анiзотропних просторiв Хермандера. Розв’язки цих задач належать просторам
Hs,s/2,\varphi , де s > 2. З точки зору застосувань, зокрема при дослiдженнi питання, коли узагаль-
нений розв’язок задачi буде її класичним розв’язком, є важливим також i граничний випадок
s = 2. Мета даної роботи — поширити результати статтi [30] на цей випадок.
c\bigcirc В. М. ЛОСЬ, 2016
786 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
ТЕОРЕМИ ПРО IЗОМОРФIЗМИ ДЛЯ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 787
2. Постановка задачi. Нехай довiльно заданo цiле число n \geq 2, дiйсне число \tau > 0 i
обмежену область G \subset \BbbR n з нескiнченно гладкою межею \Gamma := \partial G. Позначимо через \Omega :=
G \times (0, \tau ) цилiндр в \BbbR n+1, S := \Gamma \times (0, \tau ) — його бiчна поверхня. Тодi \Omega := G \times [0, \tau ] i
S := \Gamma \times [0, \tau ] — замикання \Omega i S вiдповiдно.
Для параболiчного рiвняння другого порядку, заданого в \Omega , розглянемо початково-крайовi
задачi з крайовою умовою Дiрiхле або загальною крайовою умовою першого порядку:
Au \equiv \partial tu(x, t) +
\sum
| \alpha | \leq 2
a\alpha (x, t)D\alpha
xu(x, t) = f(x, t) в \Omega , (1)
u(x, 0) = h(x) при x \in G, (2)
u(x, t)
\bigm| \bigm|
S
= g(x, t) при x \in \Gamma , 0 < t < \tau , (3)
або
Bu
\bigm| \bigm| \bigm|
S
\equiv
\left( n\sum
j=1
bj(x, t)Dju(x, t) + b0(x, t)u(x, t)
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S
= g(x, t) при x \in \Gamma , 0 < t < \tau . (4)
Всi коефiцiєнти диференцiальних виразiв A i B вважаємо нескiнченно гладкими комплекс-
нозначними функцiями, тобто a\alpha \in C\infty (\Omega ), bj \in C\infty (S). Використовуємо такi позначення для
частинних похiдних:
D\alpha
x := D\alpha 1
1 . . . D\alpha n
n , Dj := i \partial /\partial xj , \partial t := \partial /\partial t.
Тут x = (x1, . . . , xn) — довiльна точка простору \BbbR n, \alpha = (\alpha 1, . . . , \alpha n) — мультиiндекс i
| \alpha | := \alpha 1 + . . . + \alpha n. Пiдсумовування в (1) проводиться за цiлими iндексами \alpha 1, . . . , \alpha n \geq 0,
що задовольняють умову, зазначену пiд знаком суми.
Припускаємо [1] (§ 9, п. 1), що рiвняння (1) є параболiчним за Петровським у замкнутому
цилiндрi \Omega , а граничний диференцiальний оператор B накриває диференцiальний оператор A
на бiчнiй поверхнi S цього цилiндра. Це означає виконання таких двох умов.
Умова 1. Для довiльних x \in G, t \in [0, \tau ], \xi \in \BbbR n та p \in \BbbC , \mathrm{R}\mathrm{e} p \geq 0,
A(0)(x, t, \xi , p) \equiv p+
\sum
| \alpha | =2
a\alpha (x, t) \xi \alpha \not = 0 за умови | \xi | + | p| \not = 0.
Довiльно виберемо x \in \Gamma , t \in [0, \tau ], дотичний вектор \eta = (\eta 1, . . . , \eta n) \in \BbbR n до межi \Gamma у
точцi x та число p \in \BbbC , Re p \geq 0, такi, що | \eta | + | p| \not = 0. Нехай \nu (x) = (\nu 1(x), . . . , \nu n(x)) — орт
внутрiшньої нормалi до межi \Gamma у точцi x.
Умова 2. Для кожного такого вибору x, t, \eta та p
a)
\sum n
j=1 bj(x, t)\nu j(x) \not = 0,
б) число \zeta = -
\Bigl( \sum n
j=1 bj(x, t)\eta j
\Bigr) \Bigl( \sum n
j=1 bj(x, t)\nu j(x)
\Bigr) - 1
не є коренем полiнома
A(0)
\bigl(
x, t, \eta + \zeta \nu (x), p
\bigr)
змiнної \zeta \in \BbbC .
З умови 1 випливає, що коли всi коефiцiєнти bj(x, t), j = 1, . . . , n є дiйсними, то частина б)
в умовi 2 виконується автоматично.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
788 В. М. ЛОСЬ
3. Простори Хермандера. У роботi Л. Хермандера [8] (п. 2.2) було введено i дослiджено
гiльбертовi функцiональнi простори H\mu := \scrB 2,\mu . Згодом цi простори дослiдили також Л. Р. Во-
лєвич i Б. П. Панеях [31] (§ 2, 3). Показником регулярностi функцiй (або розподiлiв), що
утворюють простiр H\mu (\BbbR k), де цiле k \geq 1, є вимiрна за Борелем функцiя \mu : \BbbR k \rightarrow (0,\infty ), яка
задовольняє таку умову: iснують додатнi числа c та l такi, що \mu (\xi )/\mu (\eta ) \leq c (1 + | \xi - \eta | )l для
будь-яких \xi , \eta \in \BbbR k.
За означенням комплексний лiнiйний простiр H\mu (\BbbR k) складається з усiх повiльно зроста-
ючих розподiлiв w \in \scrS \prime (\BbbR k), перетворення Фур’є \widehat w яких є локально iнтегровними за Лебегом
функцiями, що задовольняють умову\int
\BbbR k
\mu 2(\xi )| \widehat w(\xi )| 2d\xi <\infty .
(У роботi всi функцiї та розподiли вважаються комплекснозначними.) У просторi H\mu (\BbbR k)
скалярний добуток означено формулою
(w1, w2)H\mu (\BbbR k) =
\int
\BbbR k
\mu 2(\xi )\widehat w1(\xi )\widehat w2(\xi )d\xi ,
де w1, w2 \in H\mu (\BbbR k). Цей скалярний добуток породжує норму \| w\| H\mu (\BbbR k) := (w,w)
1/2
H\mu (\BbbR k).
Простiр H\mu (\BbbR k) є гiльбертовим i сепарабельним вiдносно введеного у ньому скалярного до-
бутку. Цей простiр є неперервно вкладеним у \scrS \prime (\BbbR k), а множина C\infty
0 (\BbbR k) — щiльною в ньому
[8] (п. 2.2).
Нам знадобиться версiя простору H\mu (\BbbR k) для довiльної вiдкритої множини V \not = \varnothing . Лi-
нiйний простiр H\mu (V ) складається, за означенням, iз звужень u = w \upharpoonright V всiх розподiлiв
w \in H\mu (\BbbR k) на множину V. У цьому просторi норму задано формулою
\| u\| H\mu (V ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| w\| H\mu (\BbbR k) : w \in H\mu (\BbbR k), u = w \upharpoonright V
\bigr\}
. (5)
Iншими словами, H\mu (V ) є фактор-простором простору H\mu (\BbbR k) за його пiдпростором
H\mu
Q(\BbbR
k) :=
\bigl\{
w \in H\mu (\BbbR k) : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}w \subseteq Q := \BbbR k\setminus V
\bigr\}
. (6)
Тому простiр H\mu (V ) є гiльбертовим i сепарабельним. Норма (5) породжується скалярним
добутком
(u1, u2)H\mu (V ) := (w1 - \Upsilon w1, w2 - \Upsilon w2)H\mu (\BbbR k),
де wj \in H\mu (\BbbR k), wj = uj у V для кожного j \in \{ 1, 2\} . Тут \Upsilon — ортогональний проектор
простору H\mu (\BbbR k) на його пiдпростiр (6). У просторi H\mu (V ) щiльна множина C\infty
0 (V ) :=
:= \{ w \upharpoonright V : w \in C\infty
0 (\BbbR k)\} .
Для зручностi позначень приймемо \gamma := 1/2. Далi будемо використовувати показники
регулярностi вигляду
\mu s,\varphi (\xi
\prime , \xi k) := \mu (\xi \prime , \xi k) :=
\bigl(
1 + | \xi \prime | 2 + | \xi k| 2\gamma
\bigr) s/2
\varphi
\bigl(
(1 + | \xi \prime | 2 + | \xi k| 2\gamma )1/2
\bigr)
, (7)
де \xi \prime \in \BbbR k - 1 та \xi k \in \BbbR — аргументи функцiї \mu . Тут числовий параметр s є дiйсним, а
функцiональний параметр \varphi належить \scrM . За означенням клас \scrM складається з усiх вимiрних
за Борелем функцiй \varphi : [1,\infty ) \rightarrow (0,\infty ), якi задовольняють двi умови:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
ТЕОРЕМИ ПРО IЗОМОРФIЗМИ ДЛЯ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 789
а) обидвi функцiї \varphi та 1/\varphi обмеженi на кожному вiдрiзку [1, b], де 1 < b <\infty ;
б) функцiя \varphi повiльно змiнюється за Й. Карамата на нескiнченностi, а саме, \varphi (\lambda r)/\varphi (r) \rightarrow 1
при r \rightarrow \infty для кожного \lambda > 0.
Теорiю повiльно змiнних функцiй (на нескiнченностi) викладено, наприклад, у монографiї
[23]. Їх важливим прикладом є функцiї вигляду
\varphi (r) := (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r)\theta 1 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r)\theta 2 . . . ( \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} . . . \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\underbrace{} \underbrace{}
k разiв
r )\theta k при r \gg 1,
де параметри k \in \BbbN та \theta 1, \theta 2, . . . , \theta k \in \BbbR є довiльними.
Нехай s \in \BbbR i \varphi \in \scrM . Розв’язки u початково-крайових задач (1) – (3) та (1), (2), (4) i
правi частини f рiвняння (1) будемо розглядати в анiзотропних гiльбертових функцiональних
просторах Хермандера Hs,s\gamma ,\varphi (\Omega ) := H\mu (\Omega ), де показник \mu визначено формулою (7), у якiй
k := n+ 1.
Якщо \varphi (r) \equiv 1, то Hs,s\gamma ,\varphi (\Omega ) стає анiзотропним гiльбертовим простором Соболєва порядку
(s, s\gamma ); позначимо його через Hs,s\gamma (\Omega ). Тут s — показник регулярностi розподiлу u = u(x, t)
за просторовою змiнною x \in \Omega , а s\gamma — показник регулярностi за часовою змiнною t \in (0, \tau ).
В загальному випадку, коли \varphi \in \scrM є довiльною, мають мiсце неперервнi та щiльнi вкладення
Hs1,s1\gamma (\Omega ) \lhook \rightarrow Hs,s\gamma ,\varphi (\Omega ) \lhook \rightarrow Hs0,s0\gamma (\Omega ) при s0 < s < s1. (8)
Справдi, оскiльки функцiя \varphi належить \scrM , то iснують додатнi числа c0 i c1 такi, що c0rs0 - s \leq
\leq \varphi (r) \leq c1r
s1 - s для всiх r \geq 1 [23] (п. 1.5, 10). Тодi
c0 \mu s0,1(\xi
\prime , \xi n+1) \leq \mu s,\varphi (\xi
\prime , \xi n+1) \leq c1 \mu s1,1(\xi
\prime , \xi n+1)
для довiльних \xi \prime \in \BbbR n та \xi n+1 \in \BbbR . Звiдси безпосередньо випливають неперервнi вкладення
просторiв (8). Цi вкладення щiльнi, оскiльки множина C\infty
0 (\Omega ) щiльна в усiх цих просторах.
Вкладення (8) показують, що функцiональний параметр \varphi визначає додаткову гладкiсть по
вiдношенню до основної анiзотропної (s, s\gamma )-гладкостi. Якщо \varphi (r) \rightarrow \infty (або \varphi (r) \rightarrow 0) при
r \rightarrow \infty , то \varphi визначає позитивну (або негативну) додаткову гладкiсть. Iншими словами, \varphi
уточнює основну гладкiсть (s, s\gamma ).
Результати цiєї роботи пов’язанi з такими просторами Хермандера, де \varphi \in \scrM є зростаючою
(в нестрогому сенсi) функцiєю. Тому, для зручностi, позначимо через \scrM 1 клас усiх зростаючих
(в нестрогому сенсi) функцiй \varphi \in \scrM . Подiбно до (8), для довiльної \varphi \in \scrM 1 має мiсце
неперервне та щiльне вкладення
Hs,s\gamma ,\varphi (\Omega ) \lhook \rightarrow Hs,s\gamma (\Omega ). (9)
Це вкладення є безпосереднiм наслiдком зростання функцiї \varphi .
Правi частини g крайових умов (3) та (4) будуть належати анiзотропним просторам Хер-
мандера, заданим на бiчнiй поверхнi S = \Gamma \times (0, \tau ) цилiндра \Omega . Означимо цi простори, вико-
риставши спецiальнi локальнi карти на S (див. [29], п. 1).
Нехай s > 0 i \varphi \in \scrM . Попередньо для вiдкритої смуги \Pi := \BbbR n - 1 \times (0, \tau ) розглянемо
гiльбертовi простори Hs,s\gamma ,\varphi (\Pi ) := H\mu (\Pi ), де показник \mu визначено формулою (7), у якiй
k := n. Довiльно виберемо скiнченний атлас iз C\infty -структури на замкненому многовидi \Gamma .
Нехай цей атлас утворений локальними картами \theta j : \BbbR n - 1 \updownarrow \Gamma j , j = 1, . . . , \lambda . Тут вiдкритi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
790 В. М. ЛОСЬ
множини \Gamma 1, . . . ,\Gamma \lambda складають покриття многовиду \Gamma . Окрiм цього, довiльно виберемо функцiї
\chi j \in C\infty (\Gamma ), j = 1, . . . , \lambda , такi, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi j \subset \Gamma j i
\sum \lambda
j=1 \chi j \equiv 1 на \Gamma .
За означенням лiнiйний простiр Hs,s\gamma ,\varphi (S) складається з усiх функцiй v \in L2(S) на мно-
говидi S таких, що для кожного номера j \in \{ 1, . . . , \lambda \} функцiя vj(x, t) := \chi j(\theta j(x)) v(\theta j(x), t)
аргументiв x \in \BbbR n - 1 i t \in (0, \tau ) належить до Hs,s\gamma ,\varphi (\Pi ). У просторi Hs,s\gamma ,\varphi (S) скалярний
добуток означено формулою
(v, g)Hs,s\gamma ,\varphi (S) :=
\lambda \sum
j=1
(vj , gj)Hs,s\gamma ,\varphi (\Pi ),
де v, g \in Hs,s\gamma ,\varphi (S). Вiн породжує норму \| v\| Hs,s\gamma ,\varphi (S) := (v, v)
1/2
Hs,s\gamma ,\varphi (S).
Зауважимо, що простiр Hs,s\gamma ,\varphi (S) означено за допомогою спецiальних локальних карт на
S
\theta \ast j : \Pi = \BbbR n - 1 \times (0, \tau ) \updownarrow \Gamma j \times (0, \tau ) для всiх j \in \{ 1, . . . , \lambda \} ,
де \theta \ast j (x, t) = (\theta j(x), t), x \in \BbbR n - 1, t \in (0, \tau ). Цей простiр є повним (гiльбертовим) та не
залежить з точнiстю до еквiвалентностi норм вiд вибору локальних карт i розбиття одиницi
на \Gamma [29] (теорема 1).
Нам також знадобляться iзотропнi простори Хермандера Hs,\varphi (V ), де s \in \BbbR , \varphi \in \scrM , а V
— довiльна вiдкрита непорожня множина. За означенням Hs,\varphi (V ) — гiльбертiв простiр H\mu (V ),
де
\mu (\xi ) =
\bigl(
1 + | \xi | 2
\bigr) s/2
\varphi
\bigl(
(1 + | \xi | 2)1/2
\bigr)
. (10)
Тут \xi \in \BbbR k — аргумент функцiї \mu . Оскiльки функцiя \mu є радiальною (залежить лише вiд | \xi | ),
то простiр Hs,\varphi (V ) є iзотропним. Ми будемо використовувати простори Hs,\varphi (V ) у випадках
V = \BbbR k i V = G. До просторiв Hs,\varphi (G) буде належати права частина h початкової умови (2).
Окрiм того, як допомiжнi, нам будуть потрiбнi простори Hs,\varphi (\Gamma ). Подiбно до просторiв на
S, означимо їх за допомогою локальних карт \theta j , j = 1, . . . , \lambda , вказаних вище. Нехай s \in \BbbR i
\varphi \in \scrM . За означенням лiнiйний простiр Hs,\varphi (\Gamma ) складається з усiх розподiлiв w \in \scrD \prime (\Gamma ) на
многовидi \Gamma таких, що для кожного номерa j \in \{ 1, . . . , \lambda \} розподiл wj(x) := \chi j(\theta j(x))w(\theta j(x))
аргументу x \in \BbbR n - 1 належить до Hs,\varphi (\BbbR n - 1). У просторi Hs,\varphi (\Gamma ) скалярний добуток означено
формулою
(w, g)Hs,\varphi (\Gamma ) :=
\lambda \sum
j=1
(wj , gj)Hs,\varphi (\BbbR n - 1), w, g \in Hs,\varphi (\Gamma ).
Вiн породжує норму \| w\| Hs,\varphi (\Gamma ) := (w,w)
1/2
Hs,\varphi (\Gamma ). Простiр Hs,\varphi (\Gamma ) є гiльбертовим та не зале-
жить з точнiстю до еквiвалентностi норм вiд вибору локальних карт i розбиття одиницi на \Gamma
[15] (теорема 2.3).
Iзотропнi простори Hs,\varphi видiлили i систематично використовували В. А. Михайлець та
О. О. Мурач в теорiї елiптичних крайових задач [15, 16].
Якщо \varphi \equiv 1, то означенi вище простори стають соболєвськими просторами (анiзотропними
або iзотропними). У цьому випадку будемо нехтувати iндексом \varphi у позначеннях просторiв.
4. Основнi результати. Розглянемо спочатку задачу (1) – (3), яка вiдповiдає крайовiй умо-
вi Дiрiхле. Нас буде цiкавити розв’язок u цiєї задачi, що належить простору H2,1,\varphi (\Omega ),
\varphi \in \scrM 1. Для його iснування правi частини задачi повиннi задовольняти деяку умову узгод-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
ТЕОРЕМИ ПРО IЗОМОРФIЗМИ ДЛЯ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 791
ження (див. [1] (§11), або [2] (гл. 4, §5), або [30] (п. 3)). Покажемо, як виникає ця умова,
спираючись на соболєвську теорiю параболiчних задач (\varphi \equiv 1).
Пов’яжемо iз задачею (1) – (3) лiнiйне вiдображення
\Lambda D : u \mapsto \rightarrow (Au, u\upharpoonright S , u(\cdot , 0)), u \in C\infty (\Omega ). (11)
Нехай s \geq 2. Вiдображення (11) єдиним чином продовжується (за неперервнiстю) до обмеже-
ного оператора
\Lambda D : Hs,s/2(\Omega ) \rightarrow Hs - 2,(s - 2)/2(\Omega )\oplus Hs - 1/2,s/2 - 1/4(S)\oplus Hs - 1(G).
Це означає, що для кожної функцiї u = u(x, t) з соболєвського простору Hs,s/2(\Omega ) означено
правi частини задачi
f \in Hs - 2,(s - 2)/2(\Omega ), g \in Hs - 1/2,s/2 - 1/4(S) та h \in Hs - 1(G).
Оскiльки (див. (8) i (9))
H2+\varepsilon ,(2+\varepsilon )/2(\Omega ) \lhook \rightarrow H2,1,\varphi (\Omega ) \lhook \rightarrow H2,1(\Omega ) для довiльного \varepsilon > 0,
то достатньо розглядати значення s iз промiжку [2; 5/2). У цьому випадку умову узгодження
будуть задовольняти функцiї g i h. Вона природно виникає так. Для функцiї u означено слiди
\partial kt u(\cdot , 0) \in Hs - 1 - 2k(G) для всiх цiлих k таких, що 0 \leq k < (s - 1)/2, i лише для таких
цiлих k. Оскiльки 2 \leq s < 5/2, то означено лише слiд u(\cdot , 0) \in Hs - 1(G). Цей слiд виражається
з початкової умови (3) через функцiю h:
u(x, 0) = h(x), (12)
де x \in G є довiльним.
Окрiм того, для цiлих k таких, що 0 \leq k < (s - 3/2)/2, i лише для таких цiлих k,
означено слiди \partial kt g(\cdot , 0) \in Hs - 3/2 - 2k(\Gamma ). Оскiльки 2 \leq s < 5/2, то означено лише слiд
g(\cdot , 0) \in Hs - 3/2(\Gamma ). Тому, згiдно з крайовою умовою (2), виконується рiвнiсть
u(\cdot , 0) = g(\cdot , 0) (13)
на \Gamma .
Пiдставляючи (12) у (13), дiстаємо умову узгодження
g \upharpoonright \Gamma = h\upharpoonright \Gamma . (14)
Тепер сформулюємо основний результат для задачi (1) – (3). Це теорема про її коректну
розв’язнiсть у пiдходящих парах просторiв Хермандера, введених у п. 2. Попередньо для до-
вiльних параметрiв s \in [2; 5/2) i \varphi \in \scrM 1 введемо гiльбертiв простiр \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D . Позначимо
\scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D := Hs - 2,(s - 2)/2,\varphi (\Omega )\oplus Hs - 1/2,s/2 - 1/4,\varphi (S)\oplus Hs - 1,\varphi (G).
За означенням лiнiйний простiр \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D складається з усiх векторiв
\bigl(
f, g, h
\bigr)
\in
\in \scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D , якi задовольняють умову узгодження (14). Цей лiнiйний простiр надiляється
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
792 В. М. ЛОСЬ
скалярним добутком i нормою з гiльбертового простору \scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D . Простiр \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D
є повним, тобто гiльбертовим.
Цей факт вiдомий у соболєвському випадку \varphi \equiv 1 i є наслiдком обмеженостi у вiдповiд-
них анiзотропних соболєвських просторах крайових операторiв, що фiгурують у формулi (14).
У загальному випадку, коли \varphi належить \scrM 1, повнота простору \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D є наслiдком
рiвностi
\scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D = \scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D \cap \scrQ s - 2,(s - 2)/2
D .
Права частина цiєї рiвностi є гiльбертовим простором вiдносно скалярного добутку, що є сумою
скалярних добуткiв у гiльбертових просторах — компонентах перетину. Окрiм того, норми у
просторах, з’єднаних знаком рiвностi, еквiвалентнi на пiдставi неперервного вкладення
\scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D \lhook \rightarrow \scrH s - 2,(s - 2)/2
D ,
яке є наслiдком формули (9) та її очевидних аналогiв для просторiв на S i на G. Тому є повним
i простiр у лiвiй частинi цiєї рiвностi. З останнього вкладення випливає також, що умови
узгодження (14) коректно сформульованi для довiльного вектора
\bigl(
f, g, h
\bigr)
\in \scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D ,
оскiльки вони є коректними, якщо цей вектор лежить у ширшому анiзотропному соболєвському
просторi \scrH s - 2,(s - 2)/2
D .
Теорема 1. Вiдображення (11) єдиним чином продовжується (за неперервнiстю) до iзо-
морфiзму
\Lambda D : H2,1,\varphi (\Omega ) \updownarrow \scrQ 0,0,\varphi
D (15)
для довiльного \varphi \in \scrM 1.
Перейдемо до розгляду задачi (1), (2), (4), яка вiдповiдає загальнiй крайовiй умовi першого
порядку. Пов’яжемо з нею лiнiйне вiдображення
\Lambda N : u \mapsto \rightarrow (Au, Bu\upharpoonright S , u(\cdot , 0)), де u \in C\infty (\Omega ). (16)
Вiдображення (11) єдиним чином продовжується (за неперервнiстю) до обмеженого оператора
\Lambda N : Hs,s/2(\Omega ) \rightarrow Hs - 2,(s - 2)/2(\Omega )\oplus Hs - 3/2,s/2 - 3/4(S)\oplus Hs - 1(G).
Тепер, на вiдмiну вiд попередньої задачi Дiрiхле, якщо u \in Hs,s/2(\Omega ), то g \in Hs - 3/2,s/2 - 3/4(S).
Тобто слiди \partial kt g(\cdot , 0) \in Hs - 5/2 - 2k(\Gamma ) означено для цiлих k таких, що 0 \leq k < (s - 5/2)/2, i
лише для таких цiлих k. Оскiльки s < 5/2, то жодний слiд \partial kt g(\cdot , 0) не iснує. Тому для задачi
(1), (2), (4) умови узгодження правих частин у розглядуваному випадку не iснують.
Тепер сформулюємо основний результат для задачi (1), (2), (4). Попередньо для довiльних
параметрiв s \in [2; 5/2) i \varphi \in \scrM 1 позначимо
\scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N := Hs - 2,(s - 2)/2,\varphi (\Omega )\oplus Hs - 3/2,s/2 - 3/4,\varphi (S)\oplus Hs - 1,\varphi (G).
Теорема 2. Вiдображення (16) єдиним чином продовжується (за неперервнiстю) до iзо-
морфiзму
\Lambda N : H2,1,\varphi (\Omega ) \updownarrow \scrH 0,0,\varphi
N (17)
для довiльного \varphi \in \scrM 1.
У соболєвському випадку, коли \varphi \equiv 1, цi теореми мiстяться у результатах Аграновича,
Вiшика [1] (теорема 12.1), Лiонса, Мадженеса [3] (теорема 6.2) i Житарашу [4] (теорема 9.1).
У статтi Солоннiкова [32] (теорема 17) для розглянутих задач доведено лише апрiорнi оцiнки
їх розв’язкiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
ТЕОРЕМИ ПРО IЗОМОРФIЗМИ ДЛЯ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 793
5. Iнтерполяцiя з функцiональним параметром. Нагадаємо означення iнтерполяцiї з
функцiональним параметром у випадку загальних гiльбертових просторiв та наведемо iнтерпо-
ляцiйнi властивостi, якi будуть використанi у наступному пунктi. Ми дотримуємося монографiї
[15] (п. 1.1) (див. також [22], п. 2). Обмежимось розглядом випадку сепарабельних комплексних
гiльбертових просторiв.
Нехай X := [X0, X1] — впорядкована пара сепарабельних комплексних гiльбертових про-
сторiв, для яких має мiсце неперервне i щiльне вкладення X1 \lhook \rightarrow X0. Таку пару називають
допустимою. Для неї iснує оператор J такий, що вiн є самоспряженим додатно визначеним
оператором в X0 з областю визначення X1, до того ж \| Ju\| X0 = \| u\| X1 . Оператор J визнача-
ється парою X однозначно i називається породжуючим оператором для X.
Нехай \psi належить \scrB . Тут через \scrB позначено множину всiх вимiрних за Борелем функцiй
\psi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ), для яких \psi є обмеженою на кожному вiдрiзку [a, b], де 0 < a < b < \infty , i
1/\psi є обмеженою на кожному променi [a,\infty ), де a > 0.
Розглянемо оператор \psi (J). Вiн є додатно визначеним оператором в X0 як борелiвська
функцiя \psi вiд J. Позначимо через [X0, X1]\psi , або скорочено X\psi , область визначення оператора
\psi (J), надiлену скалярним добутком
(u1, u2)X\psi := (\psi (J)u1, \psi (J)u2)X0 .
Вiн породжує норму \| u\| X\psi := \| \psi (J)u\| X0 . Простiр X\psi є сепарабельним i гiльбертовим.
Функцiю \psi \in \scrB назвемо iнтерполяцiйним параметром, якщо для всiх допустимих пар
X = [X0, X1] та Y = [Y0, Y1] гiльбертових просторiв i для довiльного лiнiйного вiдображення
T, заданого на X0, правильним є наступне: якщо звуження вiдображення T на Xj є обмеженим
оператором T : Xj \rightarrow Yj для кожного j \in \{ 0, 1\} , то звуження вiдображення T на X\psi також є
обмеженим оператором T : X\psi \rightarrow Y\psi .
Якщо \psi — iнтерполяцiйний параметр, то будемо казати, що гiльбертовий простiр X\psi отри-
мано в результатi iнтерполяцiї з функцiональним параметром \psi пари X = [X0, X1]. В цьому
випадку маємо щiльнi та неперервнi вкладення X1 \lhook \rightarrow X\psi \lhook \rightarrow X0.
Нам буде потрiбний такий критерiй того, що функцiя \psi \in \scrB є iнтерполяцiйним параметром
[14] (теорема 4.2).
Твердження 1. Нехай s0, s1 \in \BbbR такi, що s0 < s1, а функцiя \psi належить \scrB . Покладемо
\beta (t) := ts0 \psi (ts1 - s0) для t \geq 1.
Функцiя \psi є iнтерполяцiйним параметром тодi i тiльки тодi, коли iснує таке число c \geq 1, що
виконуються нерiвностi
\beta (t)
ts0
\leq c
\beta (\tau )
\tau s0
i
\beta (\tau )
\tau s1
\leq c
\beta (t)
ts1
для всiх t \geq 1 i \tau \geq t. (18)
У кiнцi цього пункту сформулюємо двi властивостi iнтерполяцiї, якi будуть використанi у
подальших доведеннях. Перша з них дозволяє звести iнтерполяцiю пiдпросторiв або фактор-
просторiв до iнтерполяцiї початкових просторiв (див. [15] (п. 1.1.6) та [33] (п. 1.17)). Зазначимо,
що пiдпростори припускаються замкненими, i будемо розглядати взагалi неортогональнi про-
ектори на пiдпростори.
Твердження 2. Нехай X = [X0, X1] — допустима пара гiльбертових просторiв, а Y0 —
пiдпростiр в X0. Тодi Y1 := X1 \cap Y0 є пiдпростором в X1. Припустимо, що iснує лiнiйне
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
794 В. М. ЛОСЬ
вiдображення P : X0 \rightarrow X0, яке для кожного j \in \{ 0, 1\} є проектором простору Xj на
його пiдпростiр Yj . Тодi пари [Y0, Y1] та [X0/Y0, X1/Y1] є допустимими i для довiльного
iнтерполяцiйного параметра \psi \in \scrB справджуються рiвностi
[Y0, Y1]\psi = X\psi \cap Y0,
[X0/Y0, X1/Y1]\psi = X\psi /(X\psi \cap Y0)
з еквiвалентнiстю норм. Тут X\psi \cap Y0 — пiдпростiр у X\psi .
Друга властивiсть дозволяє звести iнтерполяцiю прямих сум гiльбертових просторiв до
iнтерполяцiї їх доданкiв.
Твердження 3. Нехай [X
(j)
0 , X
(j)
1 ], де j = 1, . . . , p, — скiнченний набiр допустимих пар
гiльбертових просторiв. Тодi\biggl[ p\bigoplus
j=1
X
(j)
0 ,
p\bigoplus
j=1
X
(j)
1
\biggr]
\psi
=
p\bigoplus
j=1
\bigl[
X
(j)
0 , X
(j)
1
\bigr]
\psi
з еквiвалентнiстю норм. Тут \psi \in \scrB — довiльний iнтерполяцiйний параметр.
6. Доведення результатiв. Виявляється, що означенi у п. 2 анiзотропнi Hs,s\gamma ,\varphi i iзотропнi
Hs,\varphi простори Хермандера можна одержати в результатi iнтерполяцiї з пiдходящим функцiо-
нальним параметром вiдповiдних пар гiльбертових просторiв Соболєва. Спочатку покажемо
це. Потiм, скориставшись цими фактами, виведемо теореми 1 i 2 з вищезгаданого результату
Лiонса – Мадженеса.
Нехай дiйснi числа s0 i s1 такi, що 0 \leq s0 < s1, а функцiональний параметр \varphi належить
\scrM 1. Розглянемо функцiю
\psi (r) :=
\Biggl\{
\varphi (r1/(s1 - s0)) для r \geq 1,
\varphi (1) для 0 < r < 1.
(19)
Покажемо, що ця функцiя є iнтерполяцiйним параметром. З означення класу \scrM 1 випливає,
що \psi належить \scrB . Справдi, \psi є обмеженою на кожному вiдрiзку [a, b], де 0 < a < b < \infty ,
оскiльки \varphi є обмеженою на кожному вiдрiзку [1, b], де 1 < b < \infty . Також 1/\psi є обмеженою
на кожному променi [a,\infty ), a > 0, оскiльки \varphi є додатною зростаючою функцiєю. Тепер з
твердження 1 випливає, що (19) — iнтерполяцiйний параметр. Справдi, запишемо для даного
випадку нерiвностi (18) зi сталою c = 1:
\varphi (t) \leq \varphi (\tau ) i \tau s0 - s1\varphi (\tau ) \leq ts0 - s1\varphi (t) для всiх t \geq 1 i \tau \geq t. (20)
Цi нерiвностi є правильними. Справдi, лiва нерiвнiсть у (20) є наслiдком зростання функцiї \varphi ,
а права — наслiдком повiльної змiнностi \varphi (див. [23, c. 27]).
Зауважимо, що iснують функцiї \varphi \in \scrM , з якими (19) не є iнтерполяцiйним параметром
(див. [15], приклад 1.5).
Далi будемо iнтерполювати пари соболєвських просторiв з функцiональним параметром \psi .
Iнтерполяцiю iзотропних соболєвських просторiв дослiджено в роботах В. А. Михайлеця
та О. О. Мурача [14 – 16]. Нам знадобиться рiвнiсть
Hs0,\varphi (G) =
\bigl[
Hs0(G), Hs1(G)
\bigr]
\psi
, (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
ТЕОРЕМИ ПРО IЗОМОРФIЗМИ ДЛЯ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 795
яка є правильною з точнiстю до еквiвалентностi норм. Тут 0 \leq s0 < s1, \varphi \in \scrM 1, iнтерполя-
цiйний параметр \psi задано формулою (19). Рiвнiсть (21) є окремим випадком формули (4.2) з
[14].
Встановимо версiї формули (21) для просторiв Hs,s\gamma ,\varphi (\BbbR k), Hs,s\gamma ,\varphi (\Omega ) та Hs,s\gamma ,\varphi (S).
Лема 1. Нехай натуральне k \geq 2, \gamma = 1/2, дiйснi числа s0 i s1 такi, що 0 \leq s0 <
< s1, функцiональний параметр \varphi належить \scrM 1, а \psi — iнтерполяцiйний параметр, заданий
формулою (19). Тодi правильною є iнтерполяцiйна формула
Hs0,s0\gamma ,\varphi (\BbbR k) =
\bigl[
Hs0,s0\gamma (\BbbR k), Hs1,s1\gamma (\BbbR k)
\bigr]
\psi
(22)
з рiвнiстю норм.
Доведення. Позначимо для зручностi
r\gamma (\xi
\prime , \xi k) :=
\bigl(
1 + | \xi \prime | 2 + | \xi k| 2\gamma
\bigr) 1/2
для будь-яких \xi \prime \in \BbbR k - 1, \xi k \in \BbbR .
Пара анiзотропних просторiв Соболєва X =
\bigl[
Hs0,s0\gamma (\BbbR k), Hs1,s1\gamma (\BbbR k)
\bigr]
є допустимою. Поро-
джуючий оператор для цiєї пари задається формулою
J : w \mapsto \rightarrow \scrF - 1[rs1 - s0\gamma \scrF w ] з w \in Hs1,s1\gamma (\BbbR k).
Це безпосередньо випливає з означення цих просторiв. Тут через \scrF (та \scrF - 1) позначено опе-
ратори прямого (та оберненого) перетворення Фур’є (за всiма змiнними) повiльно зроста-
ючих розподiлiв, заданих на \BbbR k. Оператор J за допомогою перетворення Фур’є зводиться
до оператора множення на функцiю rs1 - s0\gamma i встановлює iзометричний iзоморфiзм
\scrF : Hs0,s0\gamma (\BbbR k) \updownarrow L2
\bigl(
\BbbR k, r2s0\gamma (\xi \prime , \xi k)d\xi
\prime d\xi k
\bigr)
. Тому \scrF зводить \psi (J) до оператора множення
на функцiю
\psi (rs1 - s0\gamma (\xi \prime , \xi k)) \equiv \varphi (r\gamma (\xi
\prime , \xi k)).
Тепер для кожного w \in C\infty
0 (\BbbR k) можна записати наступне:
\| w\| 2X\psi = \| \psi (J)w\| 2Hs0,s0\gamma (\BbbR k) =
=
\int
\BbbR k
| \psi (rs1 - s0\gamma (\xi \prime , \xi k)) (\scrF w)(\xi \prime , \xi k)| 2 r2s0\gamma (\xi \prime , \xi k)d\xi
\prime d\xi k =
=
\int
\BbbR k
r2s0\gamma (\xi \prime , \xi k)\varphi
2(r\gamma (\xi
\prime , \xi k)) | (\scrF w)(\xi \prime , \xi k)| 2 d\xi \prime d\xi k = \| w\| Hs0,s0\gamma ,\varphi (\BbbR k).
З цього випливає рiвнiсть просторiв (22), оскiльки в них обох є щiльною множина C\infty
0 (\BbbR k).
Зауважимо, що C\infty
0 (\BbbR k) є щiльною у другому просторi, позначеному як X\psi , тому що C\infty
0 (\BbbR k)
є щiльною у просторi Hs1,s1\gamma (\BbbR k), який неперервно та щiльно вкладений в X\psi .
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай \gamma = 1/2, дiйснi числа s0 i s1 такi, що 0 \leq s0 < s1, функцiональний
параметр \varphi належить \scrM 1, а \psi — iнтерполяцiйний параметр, заданий формулою (19). Тодi
правильними є iнтерполяцiйнi формули
Hs0,s0\gamma ,\varphi (\Omega ) =
\bigl[
Hs0,s0\gamma (\Omega ), Hs1,s1\gamma (\Omega )
\bigr]
\psi
, (23)
Hs0,s0\gamma ,\varphi (\Pi ) =
\bigl[
Hs0,s0\gamma (\Pi ), Hs1,s1\gamma (\Pi )
\bigr]
\psi
(24)
з точнiстю до еквiвалентностi норм.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
796 В. М. ЛОСЬ
Доведення формул (23) та (24) спирається на твердження 2 у частинi iнтерполяцiї фактор-
просторiв i на базову iнтерполяцiйну формулу (22).
Доведення формули (23) дослiвно збiгається з доведенням леми 1 з [30], а доведення фор-
мули (24) — з доведенням леми 2 з [29]. Для цього потрiбно у доведеннях зазначених лем
покласти s := s0, в якостi iнтерполяцiйного параметра \psi взяти параметр (19) i використати
iнтерполяцiйну формулу (22).
Лема 3. Нехай виконуються умови леми 2. Додатково припустимо, що s0 > 0. Тодi пра-
вильною є iнтерполяцiйна формула
Hs0,s0\gamma ,\varphi (S) =
\bigl[
Hs0,s0\gamma (S), Hs1,s1\gamma (S)
\bigr]
\psi
(25)
з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Формула (25) виводиться з (24) вiдомим способом „розпрямлення” та „склеювання” мно-
говиду S. Доведення (25) дослiвно збiгається з доведенням теореми 2 з [29]. Для цього потрiбно
покласти s := s0, в якостi iнтерполяцiйного параметра \psi взяти параметр (19) i використати
iнтерполяцiйну формулу (24).
Для доведення основних результатiв роботи нам потрiбне твердження про властивостi опе-
ратора слiду в анiзотропних просторах Хермандера. Воно є окремим випадком лем 2 i 3 з [30].
Твердження 4. Для довiльних дiйсного числа s > 1 i функцiонального параметра \varphi \in \scrM 1
правильними є такi твердження:
(i) лiнiйне вiдображення
g \mapsto \rightarrow g \upharpoonright \Gamma , де g \in C\infty (S),
продовжується за неперервнiстю до обмеженого оператора
R\Gamma : Hs,s/2,\varphi (S) \rightarrow Hs - 1,\varphi (\Gamma ); (26)
(ii) iснує таке лiнiйне вiдображення T : L2(\Gamma ) \mapsto \rightarrow L2(S), що його звуження на простiр
Hs - 1,\varphi (\Gamma ) є лiнiйним обмеженим оператором
T : Hs - 1,\varphi (\Gamma ) \rightarrow Hs,s/2,\varphi (S), (27)
правим оберненим до оператора (26).
Перейдемо до встановлення основних результатiв.
Доведення теореми 1. Спочатку встановимо, що правильною є iнтерполяцiйна формула
\scrQ 0,0,\varphi
D =
\bigl[
\scrQ 0,0
D ,\scrQ s1 - 2,(s1 - 2)/2
D
\bigr]
\psi
(28)
з точнiстю до еквiвалентностi норм. Тут s1 \in (2; 5/2), а \psi — iнтерполяцiйний параметр, заданий
формулою (19), у якiй s0 = 2.
Доведення формули (28) спирається на твердження 2 (у частинi iнтерполяцiї пiдпросторiв)
i iнтерполяцiйну формулу для базових соболєвських просторiв \scrH \cdot ,\cdot
D .
Побудуємо лiнiйний оператор P, який для довiльного \sigma \in [2; 5/2) буде проектором соболєв-
ського простору \scrH \sigma - 2,(\sigma - 2)/2
D на його пiдпростiр \scrQ \sigma - 2,(\sigma - 2)/2
D . Нехай (f, g, h) \in \scrH \sigma - 2,(\sigma - 2)/2
D .
Покладемо
g\ast := g + T
\bigl(
h\upharpoonright \Gamma - g \upharpoonright \Gamma
\bigr)
. (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
ТЕОРЕМИ ПРО IЗОМОРФIЗМИ ДЛЯ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 797
Тут T є оператором (27), де s := \sigma - 1/2. Розглянемо вiдображення
P : (f, g, h) \mapsto \rightarrow (f, g\ast , h),
де (f, g, h) \in \scrH \sigma - 2,(\sigma - 2)/2
D . Оператор P є шуканим. Справдi, вiн є лiнiйним обмеженим опера-
тором на просторi \scrH \sigma - 2,(\sigma - 2)/2
D . З його побудови випливає, що P (f, g, h) \in \scrQ \sigma - 2,(\sigma - 2)/2
D для
довiльного (f, g, h) \in \scrH \sigma - 2,(\sigma - 2)/2
D . Бiльш того, якщо (f, g, h) \in \scrQ \sigma - 2,(\sigma - 2)/2
D , то P (f, g, h) =
= (f, g, h). Справдi, в цьому випадку правильною є рiвнiсть (14). З неї та з формули (29)
випливає, що g\ast = g.
Тепер скористаємось твердженням 2. Згiдно з ним пара
\bigl[
\scrQ 0,0
D ,\scrQ s1 - 2,(s1 - 2)/2
D
\bigr]
є допустимою
i справджується рiвнiсть\bigl[
\scrQ 0,0
D ,\scrQ s1 - 2,(s1 - 2)/2
D
\bigr]
\psi
=
\bigl[
\scrH 0,0
D ,\scrH s1 - 2,(s1 - 2)/2
D
\bigr]
\psi
\cap \scrQ 0,0
D . (30)
Тут права частина рiвностi є пiдпростором iнтерполяцiйного простору\bigl[
\scrH 0,0
D ,\scrH s1 - 2,(s1 - 2)/2
D
\bigr]
\psi
.
На пiдставi твердження 3 i формул (21), (23) i (25) можемо записати\bigl[
\scrH 0,0
D ,\scrH s1 - 2,(s1 - 2)/2
D
\bigr]
\psi
=
\bigl[
H0,0(\Omega )\oplus H3/2, 3/4(S)\oplus H1(G),
Hs1 - 2,(s1 - 2)/2(\Omega )\oplus Hs1 - 1/2, s1/2 - 1/4(S)\oplus Hs1 - 1(G)
\bigr]
\psi
=
=
\bigl[
H0,0(\Omega ), Hs1 - 2,(s1 - 2)/2(\Omega )
\bigr]
\psi
\oplus
\bigl[
H3/2, 3/4(S), Hs1 - 1/2, s1/2 - 1/4(S)
\bigr]
\psi
\oplus
\oplus
\bigl[
H1(G), Hs1 - 1(G)
\bigr]
\psi
= H0,0,\varphi (\Omega )\oplus H3/2, 3/4,\varphi (S)\oplus H1,\varphi (G) = \scrH 0,0,\varphi
D .
Отже, \bigl[
\scrH 0,0
D ,\scrH s1 - 2,(s1 - 2)/2
D
\bigr]
\psi
= \scrH 0,0,\varphi
D (31)
з точнiстю до еквiвалентностi норм. На пiдставi (30) i (31) маємо\bigl[
\scrQ 0,0
D ,\scrQ s1 - 2,(s1 - 2)/2
D
\bigr]
\psi
= \scrH 0,0,\varphi
D \cap \scrQ 0,0
D = \scrQ 0,0,\varphi
D . (32)
Остання рiвнiсть є правильною, оскiльки елементи просторiв \scrQ 0,0
D i \scrQ 0,0,\varphi
D задовольняють одну
i ту саму умову узгодження (14).
Тепер встановимо iзоморфiзм (15). Виберемо довiльне число s1 \in (2; 5/2). Завдяки згаданiй
вище теоремi Лiонса – Мадженеса [3] (теорема 6.2) маємо iзоморфiзми у просторах Соболєва
\Lambda D : H2,1(\Omega ) \updownarrow \scrQ 0,0
D i \Lambda D : Hs1,s1/2(\Omega ) \updownarrow \scrQ s1 - 2,(s1 - 2)/2
D . (33)
Застосувавши iнтерполяцiю з функцiональним параметром \psi до (33), отримаємо ще один
iзоморфiзм
\Lambda D :
\bigl[
H2,1(\Omega ), Hs1,s1/2(\Omega )
\bigr]
\psi
\updownarrow [\scrQ 0,0
D ,\scrQ s1 - 2,(s1 - 2)/2
D ]\psi . (34)
Тут параметр \psi задано формулою (19), у якiй s0 = 2. Цей iзоморфiзм є розширенням за
неперервнiстю вiдображення (11), оскiльки C\infty (\Omega ) є щiльним в областi визначення (34). За-
стосувавши у (34) iнтерполяцiйнi формули (23) та (28), отримаємо (15).
Теорему 1 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
798 В. М. ЛОСЬ
Доведення теореми 2. Спочатку встановимо, що правильною є iнтерполяцiйна формула
\scrH 0,0,\varphi
N =
\bigl[
\scrH 0,0
N ,\scrH s1 - 2,(s1 - 2)/2
N
\bigr]
\psi
(35)
з точнiстю до еквiвалентностi норм. Тут s1 \in (2; 5/2), а \psi — iнтерполяцiйний параметр, заданий
формулою (19), у якiй s0 = 2.
На пiдставi твердження 3 i формул (21), (23) i (25) можемо записати\bigl[
\scrH 0,0
N ,\scrH s1 - 2,(s1 - 2)/2
N
\bigr]
\psi
=
\bigl[
H0,0(\Omega )\oplus H1/2, 1/4(S)\oplus H1(G),
Hs1 - 2,(s1 - 2)/2(\Omega )\oplus Hs1 - 3/2, s1/2 - 3/4(S)\oplus Hs1 - 1(G)
\bigr]
\psi
=
=
\bigl[
H0,0(\Omega ), Hs1 - 2,(s1 - 2)/2(\Omega )
\bigr]
\psi
\oplus
\bigl[
H1/2, 1/4(S), Hs1 - 3/2, s1/2 - 3/4(S)
\bigr]
\psi
\oplus
\oplus
\bigl[
H1(G), Hs1 - 1(G)
\bigr]
\psi
=
= H0,0,\varphi (\Omega )\oplus H1/2, 1/4,\varphi (S)\oplus H1,\varphi (G) = \scrH 0,0,\varphi
N .
Отже, формула (35) є правильною з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Тепер встановимо iзоморфiзм (17). Виберемо довiльне число s1 \in (2; 5/2). Завдяки згаданiй
вище теоремi Лiонса – Мадженеса [3] (теорема 6.2) маємо iзоморфiзми у просторах Соболєва
\Lambda N : H2,1(\Omega ) \updownarrow \scrH 0,0
N i \Lambda N : Hs1,s1/2(\Omega ) \updownarrow \scrH s1 - 2,(s1 - 2)/2
N . (36)
Застосувавши iнтерполяцiю з функцiональним параметром \psi до (36), отримаємо ще один
iзоморфiзм
\Lambda N :
\bigl[
H2,1(\Omega ), Hs1,s1/2(\Omega )
\bigr]
\psi
\updownarrow [\scrH 0,0
N ,\scrH s1 - 2,(s1 - 2)/2
N ]\psi . (37)
Тут параметр \psi задано формулою (19), у якiй s0 = 2. Цей iзоморфiзм є розширенням за
неперервнiстю вiдображення (16), оскiльки C\infty (\Omega ) є щiльним в областi визначення (37). За-
стосувавши у (37) iнтерполяцiйнi формули (23) та (35), отримаємо (17).
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида //
Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 3. – С. 53 – 161.
2. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
3. Lions J.-L., Magenes E. Non-homogeneous boundary-value problems and applications. – Berlin: Springer, 1972. –
Vol. II. – xi+242 p.
4. Житарашу Н. В. Теоремы о полном наборе изоморфизмов в L2 -теории обобщенных решений граничных задач
для одного параболического по И. Г. Петровскому уравнения // Мат. сб. – 1985. – 128(170), № 4. – С. 451 – 473.
5. Eidel’man S. D., Zhitarashu N. V. Parabolic boundary value problems // Operator Theory: Adv. and Appl. – Basel:
Birkhäuser, 1998. – 101. – xii+298 p.
6. Eidel’man S. D. Parabolic equations // Encycl. Math. Sci. Vol. 63. Partial Different. Equat. VI. – Berlin: Springer,
1994. – P. 205 – 316.
7. Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – Киев: Вища шк., 1990. – 200 с.
8. Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer, 1963. – 285 p. (Рус. перевод: Хермандер Л.
Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.: Мир, 1965. – 380 с.)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
ТЕОРЕМИ ПРО IЗОМОРФIЗМИ ДЛЯ ДЕЯКИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 799
9. Лизоркин П. И. Пространства обобщенной гладкости // Теория функциональных пространств / Х. Трибель. –
М.: Мир, 1986. – С. 381 – 415.
10. Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem. – Berlin: Wiley-VCH, 2000. – 348 p.
11. Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäuser, 2001. – xii+425 p.
12. Farkas W., Leopold H.-G. Characterisations of function spaces of generalized smoothness // Ann. mat. pura ed appl. –
2006. – 185, № 1. – P. 1 – 62.
13. Nicola F., Rodino L. Global pseudodifferential calculas on Euclidean spaces. – Basel: Birkhäuser, 2010. – xi+306 p.
14. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces // Results Math. – 2015. – 67,
№ 1. – P. 135 – 152.
15. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hor̈mander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin: De Gruyter, 2014. –
xiv+297 p.
16. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
17. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 2. – P. 244 – 262.
18. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic boundary-value problems. II // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 3. – P. 398 – 417.
19. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 5. – P. 744 – 765.
20. Murach A. A. Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale of spaces on a closed manifold // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 6. – P. 874 – 893.
21. Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem in a two-sided refined scale of spaces // Ukr.
Math. J. – 2008. – 60, № 4. – P. 574 – 597.
22. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces // Meth. Funct.
Anal. and Top. – 2008. – 14, № 1. – P. 81 – 100.
23. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
24. Los V., Murach A. A. Parabolic problems and interpolation with a function parameter // Meth. Funct. Anal. and Top. –
2013. – 19, № 2. – P. 146 – 160.
25. Лось В. М., Мурач О. О. Про гладкiсть розв’язкiв параболiчних мiшаних задач // Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2013. – 10, № 2. – С. 219 – 234.
26. Лось В. Н., Мурач А. А. Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости // Доп.
НАН України. – 2014. – № 6. – С. 23 – 31.
27. Лось В. М. Параболiчнi мiшанi задачi для систем Петровського в просторах узагальненої гладкостi // Доп. НАН
України. – 2014. – № 10. – С. 24 – 32.
28. Los V. M. Mixed problems for the two-dimensional heat-conduction equation in anisotropic Hörmander spaces // Ukr.
Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 735 – 747.
29. Лось В. М. Анiзотропнi простори Хермандера на бiчнiй поверхнi цилiндра // Нелiнiйнi коливання. – 2015. –
18, № 2. – С. 226 – 237.
30. Лось В. М., Мурач О. О. Теореми про iзоморфiзми для деяких параболiчних початково-крайових задач у
просторах Хермандера // arXiv:1510.06270
31. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат.
наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
32. Солонников В.А. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического типа // Труды Мат. ин-та
АН СССР. – 1964. – 70. – С. 133 – 212.
33. Triebel H. Interpolation theory, function spaces, differential operators. – 2nd ed. – Heidelberg: Johann Ambrosius
Barth, 1995.
Одержано 27.10.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1878 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:27Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2e/7b2c7ce1c4029bd3a4bbde1e800aad2e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18782019-12-05T09:30:37Z Theorems on isomorphisms for some parabolic initial-boundary-value problems in Hörmander spaces: limiting case Теореми про ізоморфізми для деяких параболічних початково-крайових задач у просторах Хермандера: граничний випадок Los’, V. M. Лось, В. М. In Hilbert Hörmander spaces, we study the initial-boundary-value problems for arbitrary parabolic differential equations of the second order with Dirichlet boundary conditions or general boundary conditions of the first order in the case where the solutions of these problems belong to the space $H^{2,1,\varphi}$. It is shown that the operators corresponding to these problems are isomorphisms between suitable Hörmander spaces. The regularity of the functions that form these spaces is characterized by a couple of numerical parameters and a functional parameter $\varphi$ slowly varying at infinity in Karamata’s sense. Due to the presence of the parameter $\varphi$, the Hörmander spaces describe the regularity of the functions more precisely than the anisotropic Sobolev spaces. В гильбертовых пространствах Хермандера исследованы начально-краевые задачи для произвольного параболического дифференциального уравнения второго порядка с краевым условием Дирихле или общим краевым условием первого порядка в случае, когда решения этих задач принадлежат пространству $H^{2,1,\varphi}$. Доказано, что операторы, соответствующие этим задачам, являются изоморфизмами между подходящими пространствами Хермандера. Регулярность функций, образующих эти пространства, характеризуeтся парой числовых параметров и функциональным параметром $\varphi$, медленно меняющимися на бесконечности по Карамата. Благодаря параметру $\varphi$ пространства Хермандера описывают регулярность функций более тонко, чем анизотропные пространства Соболева. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1878 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 6 (2016); 786-799 Український математичний журнал; Том 68 № 6 (2016); 786-799 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1878/860 Copyright (c) 2016 Los’ V. M. |
| spellingShingle | Los’, V. M. Лось, В. М. Theorems on isomorphisms for some parabolic initial-boundary-value problems in Hörmander spaces: limiting case |
| title | Theorems on isomorphisms for some parabolic initial-boundary-value problems in Hörmander spaces: limiting case |
| title_alt | Теореми про ізоморфізми для деяких параболічних початково-крайових задач у просторах Хермандера: граничний випадок |
| title_full | Theorems on isomorphisms for some parabolic initial-boundary-value problems in Hörmander spaces: limiting case |
| title_fullStr | Theorems on isomorphisms for some parabolic initial-boundary-value problems in Hörmander spaces: limiting case |
| title_full_unstemmed | Theorems on isomorphisms for some parabolic initial-boundary-value problems in Hörmander spaces: limiting case |
| title_short | Theorems on isomorphisms for some parabolic initial-boundary-value problems in Hörmander spaces: limiting case |
| title_sort | theorems on isomorphisms for some parabolic initial-boundary-value problems in hörmander spaces: limiting case |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1878 |
| work_keys_str_mv | AT losvm theoremsonisomorphismsforsomeparabolicinitialboundaryvalueproblemsinhormanderspaceslimitingcase AT losʹvm theoremsonisomorphismsforsomeparabolicinitialboundaryvalueproblemsinhormanderspaceslimitingcase AT losvm teoremiproízomorfízmidlâdeâkihparabolíčnihpočatkovokrajovihzadačuprostorahhermanderagraničnijvipadok AT losʹvm teoremiproízomorfízmidlâdeâkihparabolíčnihpočatkovokrajovihzadačuprostorahhermanderagraničnijvipadok |