On the problem of exact controllability of neutral systems with time delay
We study the problem of exact controllability for a broad class of neutral and mixed systems with time delay. We consider an equivalent operator model in a Hilbert space and formulate steering conditions for controllable states in the form of a vector moment problem. The existence of a basis of eige...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1879 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507761820827648 |
|---|---|
| author | Barkhayev, P. Yu. Rabah, R. Sklyar, G. M. Бархаев, П. Ю. Рабах, P. Скляр, Г. М. Бархаев, П. Ю. Рабах, P. Скляр, Г. М. |
| author_facet | Barkhayev, P. Yu. Rabah, R. Sklyar, G. M. Бархаев, П. Ю. Рабах, P. Скляр, Г. М. Бархаев, П. Ю. Рабах, P. Скляр, Г. М. |
| author_sort | Barkhayev, P. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:37Z |
| description | We study the problem of exact controllability for a broad class of neutral and mixed systems with time delay. We consider
an equivalent operator model in a Hilbert space and formulate steering conditions for controllable states in the form of
a vector moment problem. The existence of a basis of eigenvectors of the operator of system with delay significantly
simplifies the form of the moment problem. A change of function in the control by a feedback law modi es the system
structure in order to guarantee the existence of a basis of eigenvectors of the corresponding operator. We prove a criterion
for the exact controllability and determine the exact critical time of control. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
P. Рабах (Ин-т кибернетики и связи Нанта, Франция),
Г. М. Скляр (Ин-т математики Ун-та Щецина, Польша; Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина),
П. Ю. Бархаев (Физ.-техн. ин-т низких температур НАН Украины, Харьков;
Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина)
К ВОПРОСУ ТОЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА*
We study the problem of exact controllability for a broad class of neutral and mixed systems with time delay. We consider
an equivalent operator model in a Hilbert space and formulate steering conditions for controllable states in the form of
a vector moment problem. The existence of a basis of eigenvectors of the operator of system with delay significantly
simplifies the form of the moment problem. A change of function in the control by a feedback law modi es the system
structure in order to guarantee the existence of a basis of eigenvectors of the corresponding operator. We prove a criterion
for the exact controllability and determine the exact critical time of control.
Роботу присвячено розв’язанню задачi точної керованостi для досить широкого класу систем iз запiзненням ней-
трального та мiшаного типiв. Розглядаючи еквiвалентну операторну модель у гiльбертовому просторi, ми форму-
люємо умови керованостi у виглядi деякої векторної проблеми моментiв. Вид даної проблеми моментiв iстотно
спрощується при наявностi базису простору з власних векторiв оператора системи з запiзненням. Замiна керування
дозволяє перетворити структуру системи i гарантувати iснування базису з власних векторiв вiдповiдного оператора.
Доведено критерiй точної керованостi i встановлено точний час керування.
1. Введение. Задача управляемости для линейных систем с запаздывающим аргументом имеет
достаточно длительную историю (см., например, [2, 4, 6, 9, 11, 12] и приведенную там биб-
лиографию). В данной работе мы рассматриваем задачу точной управляемости для достаточно
широкого класса систем нейтрального типа, заданных уравнением
\.z(t) = A - 1 \.z(t - 1) + Lzt +Bu, t \geq 0, (1.1)
где A - 1 \in \BbbR n\times n, B \in \BbbR n\times r — постоянные матрицы, zt : [ - 1, 0] \rightarrow \BbbC n определяется как
zt(s) = z(t+ s), оператор запаздывания L задан соотношением
Lf =
0\int
- 1
A2(\theta )
d
d\theta
f(\theta ) d\theta +
0\int
- 1
A3(\theta )f(\theta ) d\theta
и A2, A3 являются (n \times n)-матрицами с элементами из L2([ - 1, 0],\BbbC ); управление u также
принадлежит классу L2(0, T ;\BbbC r).
Переход от систем с запаздывающим аргументом к эквивалентным моделям в некотором
функциональном пространстве является одним из наиболее продуктивных подходов. А именно,
системе с запаздыванием сопоставляется бесконечномерная система вида
\.x = \scrA x+ \scrB u, x \in H, (1.2)
где линейный оператор \scrA является генератором C0-полугруппы.
Для линейных систем вида (1.2) с конечномерным фазовым пространством хорошо извест-
на концепция управляемости Калмана: множество достижимости из нуля за время T совпадает
* Выполнена при частичной поддержке PROMEP (Mexico) via “Poyecto de Redes”.
c\bigcirc P. РАБАХ, Г. М. СКЛЯР, П. Ю. БАРХАЕВ, 2016
800 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
К ВОПРОСУ ТОЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 801
со всем пространством (\scrR T = H ), при этом если управление не ограничено, то время T произ-
вольно. Если же фазовое пространство H бесконечномерно, то данное свойство, вообще говоря,
не имеет места. Для линейных систем с запаздыванием множество достижимости является под-
множеством \scrD (\scrA ) области определения оператора \scrA , поэтому естественным является вопрос
попадания на все множество \scrD (\scrA ). Кроме того, время перехода для систем с запаздыванием не
может быть произвольно малым, поэтому мы также ставим задачу нахождения минимального
времени перехода из точки 0 в произвольное состояние. Следующий критерий управляемости
для класса линейных систем нейтрального типа (1.1) был получен нами в статье [14].
Теорема 1.1. Система нейтрального типа (1.1) является точно управляемой тогда и
только тогда, когда выполнены следующие условия:
(i) не существует таких \lambda \in \BbbC и y \in \BbbC n\setminus \{ 0\} , что (\Delta \scrA (\lambda ))
\ast y = 0 и B\ast y = 0, где
\Delta \scrA (\lambda ) = \lambda I - \lambda e - \lambda A - 1 - \lambda
0\int
- 1
e\lambda sA2(s)ds -
0\int
- 1
e\lambda sA3(s)ds,
или, что то же самое, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\Delta \scrA (\lambda ) B) = n для всех \lambda \in \BbbC ;
(ii) не существует таких \mu \in \sigma (A - 1) и y \in \BbbC n\setminus \{ 0\} , что A\ast
- 1y = \=\mu y и B\ast y = 0, или, что
то же самое, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(B A - 1B . . . A
n - 1
- 1 B) = n.
Более того, если выполнены условия (i) и (ii), то система точно управляема за любое время
T > n1 и неуправляема за любое время T \leq n1, где n1 — первый индекс управляемости пары
(A - 1, B).
Если максимальная величина запаздывания равна h, а не 1, то критическое время управ-
ляемости T = n1h.
Отметим, что система (1.1) является системой с распределенным запаздыванием, для ко-
торой, в отличие от случая нескольких дискретных запаздываний (см. [2, 3, 9, 10, 13, 20]
и приведенную в них библиографию), явный вид полугруппы, вообще говоря, нельзя найти,
что существенно усложняет дальнейший анализ. Кроме того, важным достоинством теоремы
является определение точного времени управляемости.
Также отметим, что для линейных систем с запаздыванием без нейтрального слагаемого
(A - 1 = 0) для точной управляемости необходимо выполнение условия \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}B = n, кото-
рое является очень жестким. Это означает, что понятие точной управляемости является более
естественным для систем нейтрального типа.
Для изучения точной управляемости мы используем подход, связанный с переходом к проб-
леме моментов и ее последующим анализом. А именно, условия попадания из нуля в некото-
рое состояние фазового пространства интерпретируются как векторная тригонометрическая
проблема моментов, которая строится по некоторому специальному базису Рисса фазового
пространства. Исследуется разрешимость полученной проблемы моментов с использованием
методов [1] (см. также [24]).
В случае, когда существует базис Рисса фазового пространства, состоящий из собственных
векторов оператора системы, представление проблемы моментов существенно упрощается (см.
[18, 22]). Существование базиса определяется видом матрицы A - 1 нейтрального слагаемого
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
802 P. РАБАХ, Г. М. СКЛЯР, П. Ю. БАРХАЕВ
системы (1.1), в общем случае такой базис не существует (см. [15, 16, 19]). Поэтому для про-
извольной линейной системы с запаздыванием процедура выбора подходящего базиса Рисса
довольно сложная. Кроме того, громоздкая форма получаемого базиса делает технически слож-
ными дальнейшие манипуляции с ним [14].
Было замечено, что замена управления в исходной системе позволяет перейти к эквива-
лентной задаче управляемости для системы, у которой структура матрица A - 1 гарантирует
существование базиса Рисса фазового пространства из собственных векторов. При этом вид
соответствующей проблемы моментов становится существенно проще, что позволяет провести
более наглядные построения и доказательства.
В данной работе мы доказываем теорему 1.1 для систем (1.1) с матрицей A - 1 специального
вида и показываем, что данный факт влечет за собой справедливость теоремы для систем с
произвольной матрицей A - 1. Кроме того, мы рассматриваем задачу управляемости для систем
так называемого смешанного типа (см. также [19]), которые не были рассмотрены в работе
[14], и показываем, что если нейтральное слагаемое вырождено (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A - 1 = 0) и пара (A - 1, B)
неуправляема, то система (1.1) также является неуправляемой.
Статья имеет следующую структуру. Во втором пункте рассматривается абстрактное урав-
нение и обсуждается эквивалентный переход к системе специального вида, порождающей ба-
зис Рисса из собственных векторов. В третьем пункте с использованием свойства базисности
Рисса собственных векторов оператора \scrA дается представление условия управляемости в ви-
де проблемы моментов. Четвертый пункт посвящен доказательству необходимости условий
управляемости, в пятом и шестом пунктах доказывается достаточность для случаев одно- и
многомерного управлений. Наконец, в седьмом пункте приведен пример, иллюстрирующий
полученный результат.
2. Эквивалентные задачи управляемости. Мы рассматриваем операторную модель сис-
тем нейтрального типа, введенную в [5] (см. также [8]). Фазовым пространством является
M2( - 1, 0;\BbbC n) = \BbbC n\times L2( - 1, 0;\BbbC n) (сокращенно M2), и уравнение (1.1) может быть записано
следующим образом:
\.x(t) = \scrA x(t) + \scrB u(t), \scrA =
\Biggl(
0 L
0
d
d\theta
\Biggr)
, \scrB =
\biggl(
B
0
\biggr)
, (2.1)
где оператор \scrA имеет область определения
\scrD (\scrA ) =
\Bigl\{
(y, z(\cdot )) \in M2 : z \in H1( - 1, 0;\BbbC n), y = z(0) - A - 1z( - 1)
\Bigr\}
и под H1 мы подразумеваем соболевское пространство функций, которые вместе со своей
первой производной лежат в L2.
Множество достижимости из начального состояния 0 за время T имеет вид
\scrR T =
\left\{ x : x =
T\int
0
e\scrA t\scrB u(t)dt, u(\cdot ) \in L2(0, T ;\BbbC r)
\right\} .
В дальнейшем мы покажем, что \scrR T \subset \scrD (\scrA ) для всех T > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
К ВОПРОСУ ТОЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 803
Определение 2.1. Будем говорить, что система (2.1) точно управляема из нуля управле-
ниями класса L2, если существует такое время T0 (критическое время), что для всех T > T0
выполнено
\scrR T = \scrD (\scrA ).
Данное определение означает, что для некоторого T > 0 множество решений \{ z(t) : t \in
\in [T - 1, T ]\} системы (1.1), полученное при применении всевозможных управлений, совпадает
с пространством H1(T - 1, T ;\BbbC n).
Лемма 2.1. Если система (1.1) является точно управляемой за время T, то для произ-
вольной матрицы P \in \BbbC n\times r возмущенная система
\.z(t) = (A - 1 +BP ) \.z(t - 1) + Lzt +Bu (2.2)
является точно управляемой за то же самое время T.
Доказательство. Предположим, что система (1.1) управляема за время T. Это означает, что
для любой функции f(t) \in H1(T - 1, T ;\BbbC n) существует такое управление u(t) \in L2(0, T ;\BbbC r),
что решение уравнения
\.z(t) = A - 1 \.z(t - 1) + Lzt +Bu(t) (2.3)
с начальным условием z(t) = 0, t \in [ - 1, 0], удовлетворяет соотношению z(t) = f(t), t \in
\in [T - 1, T ]. Запишем (2.3) в виде
\.z(t) = (A - 1 +BP ) \.z(t - 1) + Lzt +Bv(t),
где v(t) = u(t) - P \.z(t - 1), t \in [0, T ]. Поскольку z(t - 1) \in H1(0, T ;\BbbC n), то v(t) \in L2(0, T ;\BbbC r).
Следовательно, управление v(t) переводит состояние z(t) = 0, t \in [ - 1, 0], в состояние z(t) =
= f(t), t \in [T - 1, T ], в силу системы (2.2). Это означает, что система (2.2) также точно
управляема за время T.
Лемма 2.1 доказана.
Имеет место следующая эквивалентность выполнения условий теоремы 1.1 для исходной
и возмущенной систем.
Лемма 2.2. Если система вида (1.1) такова, что выполнены условия (i) и (ii) теоремы 1.1,
то для произвольной матрицы P и соответствующей возмущенной системы (2.2) также
выполнены условия (i) и (ii) теоремы 1.1. Обратное также справедливо.
Доказательство данного утверждения следует из соотношения \Delta \ast \widehat \scrA (\lambda )y = [\Delta \ast
\scrA (\lambda ) -
- \lambda e - \lambda P \ast B\ast ]y = 0, где \widehat \scrA — оператор, соответствующий системе (2.2), а также инвариантности
свойства управляемости пары матриц относительно замены управления обратной связью (см.,
например, [23]).
Следствие 2.1. Из доказательства теоремы 1.1 для системы (1.1) с некоторой парой
матриц (A - 1, B) следует, что теорема имеет место также для возмущенных систем (2.2)
с произвольной матрицей P.
Если пара матриц (A,B) является управляемой, то известно (см., например, [23]), что
для произвольного наперед заданного множества S = \{ \mu 1, . . . , \mu n\} \subset \BbbC существует матрица
P \in \BbbC r\times n такая, что множество S будет спектром возмущенной матрицы: \sigma (A + BP ) = S.
Тогда, если зафиксируем n различных действительных чисел
\{ \mu 1, . . . , \mu n\} \subset \BbbR , \mu i \not = \mu j , i \not = j, \mu i \not \in \{ 0, 1\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
804 P. РАБАХ, Г. М. СКЛЯР, П. Ю. БАРХАЕВ
найдутся замены управления u(t) = P \.z(t - 1) + v(t), P \in \BbbC r\times n, и фазовых переменных
z = Cw, которые приводят систему к виду
\.w(t) = \widehat A - 1 \.w(t - 1) +
0\int
- 1
\widehat A2(\theta ) \.w(t+ \theta )d\theta +
0\int
- 1
\widehat A3(\theta )w(t+ \theta )d\theta + \widehat Bv, (2.4)
где \widehat A - 1 = C - 1(A - 1 + BP )C, \widehat Ai(\theta ) = C - 1Ai(\theta )C, \widehat B = C - 1B, и удовлетворяют следующим
условиям:
(а) спектр матрицы \widehat A - 1 равен \sigma ( \widehat A - 1) = \{ \mu m\} nm=1;
(б) пара ( \widehat A - 1, \widehat B) приведена к форме Фробениуса (см. [23]), т. е.
\widehat A - 1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ F1, . . . , Fr\} , Fi =
\left(
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 1
ai1 ai2 ai3 . . . aisi
\right) (2.5)
и \widehat B = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ g1, . . . , gr\} , где gi = (0, 0, . . . , 1)T, размерности si \times 1.
Из приведенных рассуждений и леммы 2.2 получаем следующее утверждение.
Лемма 2.3. Из доказательства достаточности теоремы 1.1 для семейства систем ви-
да (2.4), удовлетворяющих условиям (а), (б), следует достаточность условий данной теоремы
для произвольных систем вида (1.1).
Замечание 2.1. При доказательстве теоремы 1.1 в случае одномерного управления (r = 1)
достаточно предполагать, что система имеет простой спектр (выполнено только условие (а)),
тогда как для доказательства общего случая необходимо выполнение условий (а), (б).
В работе [14] необходимость условия (ii) доказана в предположении, что матрица A - 1 ней-
трального слагаемого является невырожденной. В данной статье мы дополним доказательство,
показав, что если пара (A - 1, B) является неуправляемой и \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A - 1 = 0, то система (1.1) также
не является точно управляемой (теорема 4.2).
Далее, не нарушая общности, будем предполагать, что для пары (A - 1, B) выполнены свой-
ства (а) и (б). По построению \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A - 1 \not = 0, и будем обозначать через \{ cm\} nm=1 базис из
нормированных собственных векторов A - 1.
3. Базисы Рисса в фазовом пространстве и проблема моментов. Обозначим через \widetilde \scrA
оператор \scrA в случае A2(\theta ) = A3(\theta ) \equiv 0. Собственные значения \widetilde \scrA имеют вид (см. [16])
\sigma ( \widetilde \scrA ) =
\bigl\{ \widetilde \lambda km = \mathrm{l}\mathrm{n} | \mu m| + 2k\pi \mathrm{i}, m = 1, . . . , n, k \in \BbbZ
\bigr\}
\cup \{ 0\} ,
где \{ \mu 1, . . . , \mu n\} = \sigma (A - 1). В силу того, что спектр матрицы A - 1 простой, каждому соб-
ственному значению \widetilde \lambda km оператора \widetilde \scrA соответствует только один собственный вектор \widetilde \varphi m,k =
=
\Bigl(
0, e
\widetilde \lambda k
mtcm
\Bigr) T
и нет корневых векторов. Более того, выполнены оценки
0 < \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k\in \BbbZ
\| \widetilde \varphi m,k\| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\in \BbbZ
\| \widetilde \varphi m,k\| < +\infty .
Спектр оператора \scrA имеет вид (см. [16])
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
К ВОПРОСУ ТОЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 805
\sigma (\scrA ) = \{ \mathrm{l}\mathrm{n} | \mu m| + 2k\pi \mathrm{i} + \mathrm{o}(1/k), m = 1, . . . , n, k \in \BbbZ \} .
Существует такое число N \in \BbbN , что для всех m = 1, . . . , n и всех k : | k| > N в каждом круге
Lk
m(r(k)) содержится ровно одно собственное значение оператора \scrA , где Lk
m(r(k)) = Lk
m —
круги с радиусами r(k) и центрами в \widetilde \lambda km, причем выполнено соотношение
\sum
k\in \BbbZ
(r(k))2 < \infty
([17], теорема 4). Обозначим данные собственные значения \scrA через \lambda km, а соответствующие
собственные векторы через \varphi m,k, m = 1, . . . , n, | k| > N.
Нормируем векторы \varphi m,k так, чтобы P
(k)
m \widetilde \varphi m,k = \varphi m,k, где P
(k)
m =
1
2\pi \mathrm{i}
\int
L
(k)
m
R(\lambda ,\scrA )d\lambda
являются проекторами на соответствующие собственные подпространства и R(\lambda ,\scrA ) — резоль-
вента оператора \scrA . Семейства \{ \varphi m,k\} и \{ \widetilde \varphi m,k\} квадратично близки:
\sum
| k| >N
\sum n
m=1
\| \varphi m,k -
- \widetilde \varphi m,k\| 2 <\infty , откуда, в частности, следует, что
0 < \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
| k| >N
\| \varphi m,k\| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| k| >N
\| \varphi m,k\| < +\infty .
Можно указать явный вид собственных векторов: \varphi m,k =
\Bigl(
(I - e\lambda
k
mA - 1)xm,k, e
\lambda k
m\theta xm,k
\Bigr) T
,
где xm,k \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\Delta \scrA (\lambda
k
m).
Вне кругов Lk
m, | k| > N, m = 1, . . . , n, лежит только конечное число собственных чисел
оператора \scrA , которые обозначим через \widehat \lambda s, s = 1, . . . , \ell N , с учетом кратностей. Соответствую-
щие обобщенные собственные векторы оператора \scrA обозначим через \widehat \varphi s. Семейство
\{ \varphi \} = \{ \varphi m,k\} \cup \{ \widehat \varphi s\} (3.1)
образует базис Рисса пространства M2 [16].
Обозначим через
\{ \psi \} = \{ \psi m,k\} \cup \{ \widehat \psi s\} (3.2)
семейство собственных векторов сопряженного оператора \scrA \ast , которое биортогонально семей-
ству \{ \varphi \} . Здесь \scrA \ast \psi m,k = \lambda km\psi m,k, m = 1, . . . , n, | k| > N. Также можно указать явный вид
собственных векторов сопряженного оператора
\psi m,k =
\left( ym,k,
\left[ \lambda kme - \lambda k
m\theta I - A\ast
2(\theta ) +
\theta \int
0
e\lambda
k
m(s - \theta )
\Bigl(
A\ast
3(s) + \lambda kmA
\ast
2(s)
\Bigr)
ds
\right] ym,k
\right) T
, (3.3)
где ym,k \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\Delta \ast
\scrA (\lambda
k
m).
Семейство (3.2) образует базис M2. Полные доказательства фактов, на которые мы опира-
емся в данном пункте, могут быть найдены в работах [15 – 17].
Перейдем к постановке задачи управляемости в виде проблемы моментов. Для этого разло-
жим условие управляемости xT =
\biggl(
yT
zT (\cdot )
\biggr)
=
\int T
0
e\scrA t\scrB u(t)dt через биортогональные базисы
(3.1) и (3.2). Состояние xT \in M2 достижимо за время T тогда и только тогда, когда
\sum
\varphi \in \{ \varphi \}
\langle xT , \psi \rangle \varphi =
\sum
\varphi \in \{ \varphi \}
T\int
0
\bigl\langle
e\scrA t\scrB u(t), \psi
\bigr\rangle
dt \cdot \varphi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
806 P. РАБАХ, Г. М. СКЛЯР, П. Ю. БАРХАЕВ
Здесь и далее под \langle \cdot , \cdot \rangle мы подразумеваем скалярное произведение в пространстве M2 : \langle \cdot , \cdot \rangle M2
.
Пусть \{ b1, . . . , br\} — произвольный базис образа матрицы B и \bfb d = (bd, 0)
T \in M2, d =
= 1, . . . , r. Тогда условие управляемости эквивалентно системе равенств
\langle xT , \psi \rangle =
T\int
0
\bigl\langle
e\scrA t\scrB u(t), \psi
\bigr\rangle
dt =
r\sum
d=1
T\int
0
\bigl\langle
e\scrA t\bfb d, \psi
\bigr\rangle
ud(t) dt, (3.4)
где \psi \in \{ \psi \} , u(\cdot ) \in L2(0, T ;\BbbC r). Используя представление (3.3) для элементов базиса \psi =
= \psi m,k, m = 1, . . . , n, | k| > N, получаем тождество\bigl\langle
e\scrA t\bfb d, \psi m,k
\bigr\rangle
M2
= e\lambda
k
mt \langle \bfb d, \psi m,k\rangle M2
= e\lambda
k
mt \langle bd, ym,k\rangle \BbbC n , (3.5)
где ym,k \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\Delta \ast
\scrA (\lambda
k
m).
Обозначим
qdm,k = k \langle \bfb d, \psi m,k\rangle M2
.
В силу (3.5) равенства (3.4) для \psi \in \{ \psi m,k, | k| > N, m = 1, . . . , n\} имеют вид
k \langle xT , \psi m,k\rangle =
r\sum
d=1
T\int
0
e\lambda
k
mtqdm,kud(t)dt. (3.6)
Далее, для элементов базиса \psi = \widehat \psi s, s = 1, . . . , \ell N , справедливы тождества\bigl\langle
e\scrA t\bfb d, \psi
\bigr\rangle
=
\Bigl\langle
\bfb d, e
\scrA \ast t\psi
\Bigr\rangle
= \widehat qds (t)e\widehat \lambda st,
где \widehat qds (t) — полиномы подходящих степеней. Следовательно, равенства (3.4) для \psi \in \{ \widehat \psi s\}
принимают вид \Bigl\langle
xT , \widehat \psi s
\Bigr\rangle
=
r\sum
d=1
T\int
0
e
\widehat \lambda st\widehat qds (t)ud(t)dt. (3.7)
Таким образом, состояние xT \in M2 достижимо из точки 0 за время T > 0 тогда и только тогда,
когда для некоторых управлений ud(\cdot ) \in L2(0, T ), d = 1, . . . , r, выполнены равенства (3.6)
и (3.7).
Полученная проблема моментов (3.6), (3.7) является основным объектом последующего
анализа. В конце пункта приведены две оценки, играющие важную роль в дальнейших рассуж-
дениях.
Лемма 3.1. Существует константа \delta 1 > 0 такая, что
| qdm,k| \leq \delta 1, m = 1, . . . , n, | k| > N, d = 1, . . . , r.
Лемма 3.2. Существует такая последовательность \{ \alpha k\} ,
\sum
| k| >N
\alpha 2
k < +\infty , что для
всех m = 1, . . . , n, | k| > N, d = 1, . . . , r и t \in [0, T ] имеет место оценка\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| e\lambda k
mt \langle \bfb d, \psi m,k\rangle M2
- e
\widetilde \lambda k
mt
\Bigl\langle
\bfb d, \widetilde \psi m,k
\Bigr\rangle
M2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \alpha k
| k|
.
Доказательство данных утверждений см. в работе [14].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
К ВОПРОСУ ТОЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 807
4. Необходимость условий управляемости. Изучим разрешимость системы равенств (3.6),
(3.7). Следующий классический результат является следствием теоремы Бари (см., например,
[7, 24]).
Лемма 4.1. Рассмотрим проблему моментов
sk =
T\int
0
gk(t)u(t)dt, T > 0, k \in \BbbN , (4.1)
где gk(\cdot ) \in L2(0, T ) для всех k \in \BbbN . Следующие утверждения эквивалентны:
(i) для последовательности \{ sk\} k\in \BbbN проблема (4.1) имеет решение u(\cdot ) \in L2(0, T ) тогда
и только тогда, когда \{ sk\} \in \ell 2, т. е.
\sum
k\in \BbbN
s2k < +\infty ;
(ii) семейство функций \{ gk(t)\} k\in \BbbN , t \in [0, T ], образует базис Рисса в замыкании своей
линейной оболочки \mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ gk(t), k \in \BbbN \} .
Введем следующее обозначение: \scrL (0, T ) df
= \mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ gk(t), k \in \BbbN \} \subset L2(0, T ). В работе [14]
доказаны два следующих утверждения о разрешимости проблемы моментов.
Лемма 4.2. Пусть для некоторого T1 > 0 функции \{ gk(t)\} k\in \BbbN , определенные на [0, T1],
образуют базис Рисса в \scrL (0, T1) \subset L2(0, T1) и \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \scrL (0, T1) < +\infty . Тогда для всех T :
0 < T < T1 существует такое бесконечномерное подпространство \ell T \subset \ell 2, что проблема
моментов (4.1) неразрешима на отрезке [0, T ] для последовательностей \{ sk\} \in \ell T \setminus \{ 0\} .
Лемма 4.3. Рассмотрим проблему моментов
sk =
r\sum
d=1
T\int
0
gdk(t)ud(t)dt, k \in \BbbN , (4.2)
в предположении, что
\sum
k\in \BbbN
\int T
0
| gdk(t)| 2dt < +\infty для всех d = 1, . . . , r.
Тогда множество S0,T последовательностей \{ sk\} , для которых проблема (4.2) разрешима,
является нетривиальным подмногообразием \ell 2, т. е. S0,T \not = \ell 2.
Следующее утверждение (см. [14]) показывает, что множество \scrR T состояний, достижимых
из точки 0 посредством системы (2.1) с управлениями из L2(0, T ), всегда является подмно-
жеством \scrD (\scrA ) (см. также [8]).
Лемма 4.4. Если состояние xT =
\biggl(
yT
zT (\cdot )
\biggr)
достижимо из точки 0 посредством систе-
мы (2.1), то оно удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:
(C1)
\sum
| k| >N
\sum n
m=1
k2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl\langle \biggl( yT
zT (\cdot )
\biggr)
, \psi m,k
\biggr\rangle \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 <\infty ;
(C2)
\sum
| k| >N
\sum n
m=1
k2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| P (k)
m
\biggl(
yT
zT (\cdot )
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 <\infty ;
(C3)
\biggl(
yT
zT (\cdot )
\biggr)
\in \scrD (\scrA ).
Перейдем к доказательству необходимости условий (i) и (ii) теоремы 1.1.
Теорема 4.1. Если не выполнено условие (i) теоремы 1.1, т. е. существуют такие \lambda \in \BbbC
и y \in \BbbC n\setminus \{ 0\} , что \Delta \ast
\scrA (\lambda )y = 0 и B\ast y = 0, то система (1.1) не является точно управляемой
ни за какое время T > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
808 P. РАБАХ, Г. М. СКЛЯР, П. Ю. БАРХАЕВ
Доказательство. Условие (i) допускает следующую эквивалентную формулировку: не су-
ществует собственного вектора g оператора \scrA \ast , который принадлежал бы \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\scrB \ast . Данное
утверждение следует из явного вида (3.3) собственных векторов сопряженного оператора \scrA \ast .
Предположим, что существует такой вектор g \not = 0, что \scrA \ast g = \lambda g и g \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\scrB \ast . Рассмотрим
произвольное состояние xT \in \scrR T . Имеет место равенство
\langle xT , g\rangle =
T\int
0
\Bigl\langle
u(t),\scrB \ast e\scrA
\ast tg
\Bigr\rangle
dt = 0.
Это означает, что для всех T > 0 множество \scrR T не плотно в M2 и, следовательно, не может
быть равным \scrD (\scrA ), которое плотно в M2, так как \scrA является инфинитезимальным генератором
полугруппы. Следовательно, система не может быть управляемой.
Теорема 4.1 доказана.
Далее покажем, что управляемость пары (A - 1, B) является необходимым условием управ-
ляемости системы (1.1) вне зависимости от того является ли матрица A - 1 вырожденной или
нет.
Теорема 4.2. Пусть не выполнено условие (ii) теоремы 1.1, т. е. пара (A - 1, B) не является
управляемой. Тогда система (1.1) также не является точно управляемой.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что существуют такие \mu 0 \in \sigma (A - 1) и
v0 \in \BbbC n\setminus \{ 0\} , что A\ast
- 1v0 = \mu 0v0 и B\ast v0 = 0.
Рассмотрим вначале случай, когда \mu 0 = 0 — неуправляемое собственное значение A - 1, т. е.
A\ast
- 1v0 = 0 и B\ast v0 = 0. (4.3)
Умножим уравнение (1.1) на вектор v\ast 0 :
v\ast 0 \.z(t) = v\ast 0A - 1 \.z(t - 1) +
0\int
- 1
[v\ast 0A2(\theta ) \.z(t+ \theta ) + v\ast 0A3(\theta )z(t+ \theta )] d\theta + v\ast 0Bu.
Учитывая соотношение (4.3), приходим к равенству
v\ast 0 \.z(t) =
0\int
- 1
[v\ast 0A2(\theta ) \.z(t+ \theta ) + v\ast 0A3(\theta )z(t+ \theta )] d\theta .
Если предположить, что система (1.1) является точно управляемой за некоторое время T >
> 0, то множество ее решений при различных допустимых управлениях должно совпадать с
пространством H1(T - 1, T ;\BbbC n). Последнее означает, что
\{ v\ast 0 \.z(t), t \in [T - 1, T ]\} = L2(T - 1, T ;\BbbC ).
С другой стороны, оператор Q(z) =
\int 0
- 1
[v\ast 0A2(\theta ) \.z(t+ \theta ) + v\ast 0A3(\theta )z(t+ \theta )] d\theta , действую-
щий из пространства H1(T - 2, T ;\BbbC n) в пространство L2(T - 1, T ;\BbbC ), является оператором
Фредгольма. Действительно, заменив время \tau = t+ \theta , получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
К ВОПРОСУ ТОЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 809
Q(z) =
t\int
t - 1
[v\ast 0A2(\tau - t) \.z(\tau ) + v\ast 0A3(\tau - t)z(\tau )] d\tau .
Таким образом, оператор Q является компактным и, следовательно, его образ не может совпа-
дать со всем пространством L2(T - 1, T ;\BbbC ). Мы пришли к противоречию, которое доказывает
неуправляемость в случае \mu 0 = 0.
Далее, рассмотрим случай, когда неуправляемыми являются только ненулевые собственные
значения A - 1. Тогда, не нарушая общности, можно считать, что \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A - 1 \not = 0. Действительно,
если 0 \in \sigma (A - 1), то существует такая матрица P, что A - 1 + BP является невырожденной
матрицей (см. [23]). При этом, очевидно, пара (A - 1 + BP,B) остается неуправляемой. Тогда,
используя замену управления, переходим к эквивалентной задаче управляемости для системы
с невырожденным нейтральным слагаемым A - 1 +BP.
Выполнение условия \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A - 1 \not = 0 позволяет записать моментные равенства (3.6), (3.7).
Рассмотрим некоторый индекс m = m0, определяющий неуправляемое собственное значение
(A\ast
- 1v0 = \=\mu m0v0, B
\ast v0 = 0, v0 \not = 0), и соответствующее m0 подмножество равенств (3.6):
sk = k \langle xT , \psi m0,k\rangle =
r\sum
d=1
T\int
0
e\lambda
k
m0
tqdm0,kud(t)dt, | k| > N, (4.4)
где qdm0,k
= k \langle \bfb d, \psi m0,k\rangle M2
. Покажем, что существуют \{ sk\} \in \ell 2, для которых проблема
моментов (4.4) неразрешима.
При m = m0 собственные векторы \widetilde \scrA имеют вид \widetilde \psi m0,k =
\Bigl(
v0, \lambda km0
e - \lambda k
m0
\theta v0
\Bigr) T
, откуда
следует, что
\Bigl\langle
\bfb d, \widetilde \psi m0,k
\Bigr\rangle
M2
= \langle bd, v0\rangle \BbbC n = 0 для всех d = 1, . . . , r и | k| > N. Тогда, используя
лемму 3.2, получаем оценку
\sum
| k| >N
k2
r\sum
d=1
T\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| e\lambda k
mt \langle \bfb d, \psi m,k\rangle M2
\bigm| \bigm| \bigm| 2 dt < +\infty . (4.5)
Из леммы 4.3 следует, что множество разрешимости системы (4.4) за произвольное время T > 0
является нетривиальным линейным подмногообразием \ell T \subset \ell 2, \ell T \not = \ell 2. Другими словами,
существуют последовательности \{ sk\} | k| >N , для которых (4.4) неразрешимо. Это означает, что
существуют состояния xT , которые удовлетворяют условию (C1) леммы 4.4, но не достижимы
из точки 0 посредством системы (1.1). Таким образом, \scrR T \not = \scrD (\scrA ) для произвольного T > 0.
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы 4.2.
5. Достаточность условий управляемости в случае одномерного управления. В случае
систем с одним управлением (r = 1, B = b \in \BbbC n\times 1) проблема моментов (3.6), (3.7) принимает
вид
\alpha m,k \langle xT , \psi m,k\rangle =
T\int
0
e\lambda
k
mtu(t)dt, | k| > N, m = 1, . . . , n, (5.1)
\Bigl\langle
xT , \widehat \psi s
\Bigr\rangle
=
T\int
0
e
\widehat \lambda st\widehat qs(t)u(t)dt, s = 1, . . . , \ell N , (5.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
810 P. РАБАХ, Г. М. СКЛЯР, П. Ю. БАРХАЕВ
где N достаточно велико, семейство (5.1) бесконечно, \widehat qj — полиномы, семейство (5.2) конечно
и \alpha m,k =
\Bigl(
\langle \bfb , \psi m,k\rangle M2
\Bigr) - 1
, \bfb = (b, 0)T .
Из леммы 3.1 и явного вида базиса \{ \psi \} оператора \scrA \ast следует, что для всех m = 1, . . . , n
и k : | k| > N имеет место оценка
0 < C1 \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1k\alpha m,k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C2 < +\infty .
Исследуем вопрос базисности семейств \{ e\lambda k
mt\} и
\bigl\{
e
\widehat \lambda st\widehat qs(t)\bigr\} . Пусть заданы некоторые
различные по модулю 2\pi \mathrm{i} комплексные числа \delta 1, . . . , \delta n, N \in \BbbN и множество \{ \varepsilon m,k, | k| >
N,m = 1, . . . , n\} \subset \BbbC n таково, что
\sum
m,k
| \varepsilon m,k| 2 < +\infty . Обозначим через \scrE N (бесконечное)
семейство функций
\scrE N =
\Bigl\{
e(\delta m+2\pi ik+\varepsilon m,k)t, | k| > N, m = 1, . . . , n
\Bigr\}
.
Далее, пусть \varepsilon 1, . . . , \varepsilon r — такое множество различных комплексных чисел, что \varepsilon j \not = \delta m +
+ 2\pi \mathrm{i}k + \varepsilon m,k, j = 1, . . . , r, m = 1, . . . , n, | k| > N, и m\prime
1, . . . ,m
\prime
r — некоторые натуральные
числа. Обозначим через \scrE 0 (конечное) семейство функций
\scrE 0 =
\Bigl\{
e\varepsilon jt, te\varepsilon jt, . . . , tm
\prime
j - 1e\varepsilon jt
\Bigr\}
j=1,...,r
и через \scrE семейство функций \scrE = \scrE N \cup \scrE 0.
Теорема 5.1. (i) Если
\sum r
j=1
m\prime
j = (2N + 1)n, то семейство \scrE образует базис Рисса
пространства L2(0, n).
(ii) Для T > n независимо от количества элементов в \scrE 0 семейство \scrE образует базис
Рисса замыкания своей линейной оболочки в пространстве L2(0, T ).
Доказательство данной теоремы, основанное на результатах работы [1], можно найти в [14].
Перейдем к доказательству достаточности условий управляемости.
Теорема 5.2. Пусть r = 1 в системе (1.1) и выполнены условия (i), (ii) теоремы 1.1. Тогда:
(1) система (1.1) является точно управляемой за произвольное время T > n;
(2) оценка времени управляемости является точной, т. е. система (1.1) неуправляема за
время T \leq n.
Доказательство. Отметим, что размерности всех собственных пространств \scrA \ast равны
единице. Действительно, в противном случае существовал бы такой собственный вектор g
оператора \scrA \ast , что \langle \bfb , g\rangle M2 = 0. Поскольку g = (y, z(\theta ))T , где y : \Delta \ast
\scrA (\lambda 0)y = 0, \lambda 0 \in \sigma (\scrA \ast ),
и \langle \bfb , g\rangle M2 = \langle b, y\rangle \BbbC n , приходим к противоречию с условием (i).
Рассмотрим задачу (5.1), (5.2). Из условия (i) следует, что \langle \bfb , \psi m,k\rangle M2
\not = 0 для всех m и k,
а также все полиномы \{ \widehat qs(t)\} , s = 1, . . . , \ell N , нетривиальны. По проблеме моментов построим
следующие наборы функций:
\Phi 1 =
\Bigl\{
e\lambda
k
mt, | k| > N, m = 1, . . . , n
\Bigr\}
,
\Phi 2 =
\Bigl\{
e
\widehat \lambda st\widehat qs(t), s = 1, . . . , \ell N
\Bigr\}
.
Согласно теореме 5.1 при T > n и достаточно большом N множество функций
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
К ВОПРОСУ ТОЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 811
\Phi = \Phi 1
\bigcup
\Phi 2
образует базис Рисса в \mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi \subset L2(0, T ). Тогда, в силу леммы 4.1, проблема моментов (5.1),
(5.2) разрешима тогда и только тогда, когда правая часть является элементом \ell 2, или, что то же
самое, когда выполнено условие (C1) из леммы 4.4. В силу того, что условие (C1) эквивалентно
условию (C3), получаем, что проблема моментов при T > n разрешима тогда и только тогда,
когда xT \in \scrD (\scrA ), т. е. \scrR T = \scrD (\scrA ).
Для доказательства второго утверждения теоремы напомним, что количество элементов
семейства \Phi 2 равно \ell N = (2N +2)n. С другой стороны, из теоремы 5.1 следует, что в L2(0, n)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{C}\mathrm{l} \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi 1 = (2N + 1)n.
Следовательно, семейство \Phi = \Phi 1 \cup \Phi 2 содержит n функций, которые представимы как ли-
нейная комбинация других функций этого семейства. Это означает, что коразмерность \scrR T в
\scrD (\scrA ) не равна нулю: \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\scrR T = n, т. е. множество достижимости \scrR T при T = n не равно
\scrD (\scrA ) и система не является управляемой. При T < n из леммы 4.2 следует, что коразмерность
множества \scrR T в \scrD (\scrA ) бесконечна.
Теорема 5.2 доказана.
6. Достаточность условий управляемости в случае многомерного управления. Рассмот-
рим случай \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}B = r > 1. Предполагаем, что пара (A - 1, B) приведена к форме Фробениуса,
т. е. A - 1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ F1, . . . , Fr\} , \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}Fi = si, и Fi имеют вид (2.5); B = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{ g1, . . . , gr\} , где
gi = (0, 0, . . . , 1)T \in \BbbC si . Известно, что
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}Fi = n1,
где n1 — первый индекс управляемости пары (A - 1, B), т. е. наименьшее натуральное число \nu ,
удовлетворяющее соотношению \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (B,A - 1B, . . . , A
\nu - 1
- 1 B) = n.
Опираясь на представление в форме Фробениуса, запишем бесконечную часть проблемы
моментов (3.6) в следующем виде:
k \langle xT , \psi m,k\rangle =
T\int
0
e\lambda
k
mtq1m,ku1(t)dt+
\sum
d\not =1
T\int
0
e\lambda
k
mtqdm,kud(t)dt, m \in S1,
k \langle xT , \psi m,k\rangle =
T\int
0
e\lambda
k
mtq2m,ku2(t)dt+
\sum
d\not =2
T\int
0
e\lambda
k
mtqdm,kud(t)dt, m \in S2,
(6.1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k \langle xT , \psi m,k\rangle =
T\int
0
e\lambda
k
mtqrm,kur(t)dt+
\sum
d \not =r
T\int
0
e\lambda
k
mtqdm,kud(t)dt, m \in Sr,
где S1 = \{ 1, . . . , s1\} , S2 = \{ s1 + 1, . . . , s1 + s2\} , . . . , Sr = \{ s1 + . . . , sr - 1 + 1, . . . , n\} .
Применим теорему 5.1 к множеству функций из (6.1). Зафиксируем d \in \{ 1, . . . , r\} и выберем
произвольное подмножество L \subset \{ 1, . . . , n\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
812 P. РАБАХ, Г. М. СКЛЯР, П. Ю. БАРХАЕВ
Теорема 6.1. Для произвольно выбранных d, L для всех T > n\prime = | L| множество
\Phi 1 =
\Bigl\{
e\lambda
k
mtqdm,k, | k| > N ; m \in L
\Bigr\}
образует базис Рисса замыкания своей линейной оболочки \mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi 1 в L2(0, T ).
Если T = n\prime , то \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{C}\mathrm{l} \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi 1 = (2N + 1)n\prime в пространстве L2(0, n
\prime ).
Доказательство. Рассмотрим линейный оператор \scrT : \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi 1 \rightarrow \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi 1, определенный на
элементах \Phi 1 соотношениями
\scrT (e\lambda
k
mtqdm,k) = e\lambda
k
mt, | k| > N, m \in L.
В силу леммы 3.1 семейство \{ qdm,k\} является равномерно ограниченным. Тогда из теоремы 5.1
следует, что оператор \scrT ограничен в смысле L2(0, T ) и его продолжение на L = \mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi 1
является ограниченным взаимно однозначным оператором из L в L.
Следовательно, так как в силу теоремы 5.1 образы элементов из \Phi 1 образуют базис Рисса
пространства L, \Phi 1 также является базисом Рисса L в L2(0, T ).
Теорема 6.1 доказана.
Далее нам потребуется следующий результат (см. [14], теорема 5.5).
Теорема 6.2. Пусть для системы (2.1) существуют натуральное число N и время T0 > 0
такие, что проблема моментов (3.6) при T = T0 разрешима для всех последовательностей
\{ k \langle xT , \psi m,k\rangle \} | k| >N , удовлетворяющих условию (C1).
Тогда из условия (i) следует, что \scrR T = \scrD (\scrA ) при T > T0.
Перейдем к доказательству основного результата данного пункта.
Теорема 6.3. Пусть для произвольной системы вида (1.1) выполнены условия (i) и (ii)
теоремы 1.1. Тогда система (1.1) является точно управляемой, при этом критическое время
управления T0 = n1, где n1 — первый индекс управляемости пары (A - 1, B).
Доказательство. Предположим, что пара (A - 1, B) приведена к форме Фробениуса. Тогда
для всех i = 1, . . . , r, m \in Si, d \not = i и | k| > N справедливы соотношения\Bigl\langle
\bfb d, \widetilde \psi m,k
\Bigr\rangle
M2
= \langle bd, cm\rangle \BbbC n = 0,
где cm : A - 1cm = \mu mcm. Тогда для всех i = 1, . . . , r и m \in Si имеет место равенство
\sum
d\not =i
T\int
0
e\lambda
k
mtqdm,kud(t)dt =
\sum
d\not =i
T\int
0
k
\biggl(
e\lambda
k
mt \langle \bfb d, \psi m,k\rangle M2
- e
\widetilde \lambda k
mt
\Bigl\langle
\bfb d, \widetilde \psi m,k
\Bigr\rangle
M2
\biggr)
ud(t)dt.
Для произвольного N \in \BbbN проблему моментов (6.1) можно записать в операторном виде
\{ Sm,k\} = ZNu(\cdot ) +QNu(\cdot ),
где последовательность \{ Sm,k\} = \{ k \langle xT , \psi m,k\rangle \} и операторы ZN , QN : L2(0, T ;\BbbC r) \rightarrow \ell 2
имеют вид
ZNu(\cdot ) =
\left\{
T\int
0
e\lambda
k
mtqim,kui(t)dt, | k| > N
\right\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
К ВОПРОСУ ТОЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 813
QNu(\cdot ) =
\left\{ \sum d\not =i
T\int
0
k
\Bigl(
e\lambda
k
mt \langle \bfb d, \psi m,k\rangle M2
- e
\widetilde \lambda k
mt\langle \bfb d, \widetilde \psi m,k\rangle M2
\Bigr)
ud(t)dt, | k| > N
\right\} .
В силу теоремы 6.1 для достаточно больших N и T \geq n1 оператор ZN является сюръек-
тивным, т. е. образом пространства L2(0, T ;\BbbC r) есть все \ell 2. Из леммы 3.2 следует, что при
достаточно больших N операторы QN являются компактными и, более того, \| QN\| \rightarrow 0 при
N \rightarrow +\infty .
Покажем, что существует такое N0 \in \BbbN , что для всех N > N0
\mathrm{I}\mathrm{m}[ZN +QN ] = \ell 2.
Поскольку \mathrm{I}\mathrm{m}ZN = \ell 2, то существует такая константа \gamma N > 0, что \| Z\ast
Nx\| \geq \gamma N\| x\| для всех
x \in \ell 2 (см., например, [21], теорема 4.13). Для N > N0 введем обозначение \ell N2 = \{ \{ Sm,k\} | k| >N :\sum
| k| >N
| sk| 2 < +\infty \} . Тогда ZN = PZN0 , где проекторы P : \ell N0
2 \rightarrow \ell N2 определены как
P (\{ Sm,k\} | k| >N0
) = \{ Sm,k\} | k| >N .
Следовательно, Z\ast
N = Z\ast
N0
P \ast и \| P \ast x\| = \| x\| , откуда получаем
\| Z\ast
Nx\| = \| Z\ast
N0
P \ast x\| \geq \gamma N0\| x\| .
Последнее означает, что для всех N > N0 и x \in \ell 2 выполнено \| Z\ast
Nx\| \geq \gamma \| x\| , где \gamma = \gamma 0. Так
как \| QN\| \rightarrow 0 при N \rightarrow +\infty , то величину \| ZN - (ZN + QN )\| = \| QN\| можно сделать как
угодно малой, выбирая N, например, таким, что \| QN\| \leq \gamma
2
. Тогда
\| [Z\ast
N +Q\ast
N ]x\| \geq \| Z\ast
Nx\| - \| Q\ast
Nx\| \geq \gamma \| x\| - \gamma
2
\| x\| =
\gamma
2
\| x\| .
Следовательно, оператор ZN +QN является сюръективным и его образ равен \ell 2.
Таким образом, проблема моментов (6.1) разрешима при T \geq n1 и достаточно больших
N \in \BbbN . Применяя теорему 6.2, получаем, что RT = \scrD (\scrA ) при T > n1.
Рассуждая, как и при доказательстве теоремы 5.2, можно показать, что коразмерность \scrR n1
в \scrD (\scrA ) конечна и не менее чем n1 и, следовательно, система (1.1) неуправляема за время
T = n1. Для T < n1 коразмерность \scrR T в \scrD (\scrA ) бесконечна.
Теорема 6.3 доказана.
7. Пример. Рассмотрим трехмерную систему, заданную уравнением (1.1) с матрицами
A - 1 =
\left( - 4 6 - 4
0 2 - 2
- 3 3 2
\right) , B =
\left( 1 1
1 0
- 1 1
\right) ;
функции A2(\theta ), A3(\theta ) таковы, что \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\Delta \scrA (\lambda ) B) = n для всех \lambda \in \BbbC .
Применив замены управления и фазовых координат u(t) = P \.z(t - 1) + v(t), w = Cz,
заданные матрицами
P =
\biggl(
1 - 1 2
3 - 2 3
\biggr)
, C =
\left( 1 - 1 1
1 1 0
- 1 0 1
\right) ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
814 P. РАБАХ, Г. М. СКЛЯР, П. Ю. БАРХАЕВ
приходим к системе
\.w(t) = \widehat A - 1 \.w(t - 1) +
0\int
- 1
\widehat A2(\theta ) \.w(t+ \theta )d\theta +
0\int
- 1
\widehat A3(\theta )w(t+ \theta )d\theta + \widehat Bv, (7.1)
где матрицы имеют вид
\widehat A - 1 =
\left( 2 0 0
0 0 1
0 3 2
\right) , \widehat B =
\left( 1 0
0 0
0 1
\right) = (b1, b2). (7.2)
Пусть оператор \scrA с собственными значениями \lambda km соответствует преобразованной си-
стеме (7.1), (7.2), а оператор \widetilde \scrA с собственными значениями \widetilde \lambda km — системе без возмущения
\.w(t) = \widehat A - 1 \.w(t - 1). Поскольку пара ( \widehat A - 1, \widehat B) приведена к форме Фробениуса, собственные
векторы \widetilde \psi m,k оператора \widetilde \scrA \ast удовлетворяют соотношениям
\langle \bfb 1, \widetilde \psi m,k\rangle = 0, m = 2, 3,
\langle \bfb 2, \widetilde \psi m,k\rangle = 0, m = 1, \bfb i = (bi, 0) \in M2.
Далее, qdm,k = k\langle \bfb d, \psi m,k\rangle , где \psi m,k — собственные векторы оператора \scrA \ast , и бесконечная часть
проблемы моментов (3.6) принимает вид
k \langle xT , \psi 1,k\rangle =
T\int
0
e\lambda
k
1 tq11,ku1(t)dt+
T\int
0
f21,k(t)u2(t)dt,
k \langle xT , \psi 2,k\rangle =
T\int
0
e\lambda
k
2 tq22,ku2(t)dt+
T\int
0
f22,k(t)u1(t)dt,
k \langle xT , \psi 3,k\rangle =
T\int
0
e\lambda
k
3 tq23,ku2(t)dt+
T\int
0
f23,k(t)u1(t)dt, | k| > N,
где функции
fdm,k(t) = k
\Bigl(
e\lambda
k
mt\langle \bfb d, \psi m,k\rangle - e
\widetilde \lambda k
mt\langle \bfb d, \widetilde \psi m,k\rangle
\Bigr)
в силу леммы 3.2 удовлетворяют оценке | fdm,k(t)| \leq \alpha k,
\sum
k
\alpha 2
k < +\infty .
Индекс управляемости n1 пары ( \widehat A - 1, \widehat B) (или пары (A - 1, B)) равен 2. Условия (i) и (ii)
теоремы 1.1 выполнены и, следовательно, система является точно управляемой с критическим
временем управляемости T0 = 2.
8. Выводы. Предложен подход к решению задачи точной управляемости с помощью про-
блемы моментов. Сложность выбора базиса для построения проблемы моментов преодолена с
помощью замены управления и фазовых координат, что позволяет привести более наглядное
доказательство критерия точной управляемости. Данный подход открывает новые перспекти-
вы для анализа как управляемости, так и стабилизируемости более общего класса систем с
нейтральным оператором Kf =
\sum r
i=1
Ahi
f(hi), hi \in [ - 1, 0].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
К ВОПРОСУ ТОЧНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 815
Литература
1. Avdonin S. A., Ivanov S. A. Families of exponentials. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.
2. Banks H. T., Jacobs M. Q., Langenhop C. E. Characterization of the controlled states in W
(1)
2 of linear hereditary
systems // SIAM J. Contr. – 1975. – 13. – P. 611 – 649.
3. Bartosiewicz Z. A criterion of closedness of an attainable set of a delay system // Syst. Contr. Lett. – 1983. – 3,
№ 4. – P. 211 – 215.
4. Bensoussan A., Prato G. Da., Delfour M. C., Mitter S. K. Representation and control of infinite-dimensional systems. –
Boston, MA: Birkhäuser, 1992. – Vol. 1.
5. Burns J. A., Herdman T. L., Stech H. W. Linear functional-differential equations as semigroups on product spaces //
SIAM J. Math. Anal. – 1983. – 14, № 1. – P. 98 – 116.
6. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1971.
7. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. – М.: Наука, 1965.
8. Ito K., Tarn T. J. A linear quadratic optimal control for neutral systems // Nonlinear Anal. – 1985. – 9, № 7. –
P. 699 – 727.
9. Jacobs M. Q., Langenhop C. E. Criteria for function space controllability of linear neutral systems // SIAM J. Contr.
Optim. – 1976. – 14, № 6. – P. 1009 – 1048.
10. Хартовский В. Е., Павловская А. Т. Полная управляемость и управляемость линейных автономных систем
нейтрального типа // Автоматика и телемеханика. – 2013. – 5. – С. 59 – 79.
11. Manitius A., Triggiani R. Function space controllability of linear retarded systems: a derivation from abstract operator
conditions // SIAM J. Contr. Optim. – 1978. – 16, № 4. – P. 599 – 645.
12. Марченко В. М. О полной управляемости систем с запаздыванием // Проблемы управления и теории инфор-
мации. – 1979. – 8, № 5-6. – С. 421 – 432.
13. O’Connor D. A., Tarn T. J. On the function space controllability of linear neutral systems // SIAM J. Contr. Optim. –
1983. – 21, № 2. – P. 306 – 329.
14. Rabah R., Sklyar G. M. The analysis of exact controllability of neutral-type systems by the moment problem approach
// SIAM J. Contr. Optim. – 2007. – 46, № 6. – P. 2148 – 2181.
15. Rabah R., Sklyar G. M., Rezounenko A. V. Generalized Riesz basis property in the analysis of neutral type systems //
C. r. Math. Acad. Sci. Paris. – 2003. – 337, № 1. – P. 19 – 24.
16. Rabah R., Sklyar G. M., Rezounenko A. V. Stability analysis of neutral type systems in Hilbert space // J. Different.
Equat. – 2005. – 214, № 2. – P. 391 – 428.
17. Rabah R., Sklyar G. M., Rezounenko A. V. On strong regular stabilizability for linear neutral type systems // J.
Different. Equat. – 2008. – 245, № 3. – P. 569 – 593.
18. Rabah R., Sklyar G. M. On exact controllability of linear time delay systems of neutral type // Appl. Time Delay
Systems (Lect. Notes Contr. and Inform. Sci.). – 2007. – 352. – P. 165 – 171.
19. Rabah R., Sklyar G. M., Barkhayev P. Yu. Stability and stabilizability of mixed retarded-neutral type systems //
ESAIM: Contr., Optim. and Calc. Var. – 2012. – 18, № 3. – P. 656 – 692.
20. Rivera Rodas H., Langenhop C. E. A sufficient condition for function space controllability of a linear neutral system
// SIAM J. Contr. Optim. – 1978. – 16, № 3. – P. 429 – 435.
21. Rudin W. Functional analysis // Int. Ser. Pure and Appl. Math. – New York: McGraw-Hill Inc., 1991.
22. Shklyar B. Exact null controllability of abstract differential equations by finite-dimensional control and strongly
minimal families of exponentials // Different. Equat. and Appl. – 2011. – 3, № 2. – P. 171 – 188.
23. Wonham W. M. Linear multivariable control: a geometric approach. – New York: Springer, 1985.
24. Young R. M. An introduction to nonharmonic Fourier series. – New York: Acad. Press, 1980.
Получено 08.07.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1879 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:27Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d2/68808388a528ac6d4101fed09ab4e0d2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18792019-12-05T09:30:37Z On the problem of exact controllability of neutral systems with time delay К вопросу точной управляемости систем с запазды- ванием нейтрального типа Barkhayev, P. Yu. Rabah, R. Sklyar, G. M. Бархаев, П. Ю. Рабах, P. Скляр, Г. М. Бархаев, П. Ю. Рабах, P. Скляр, Г. М. We study the problem of exact controllability for a broad class of neutral and mixed systems with time delay. We consider an equivalent operator model in a Hilbert space and formulate steering conditions for controllable states in the form of a vector moment problem. The existence of a basis of eigenvectors of the operator of system with delay significantly simplifies the form of the moment problem. A change of function in the control by a feedback law modi es the system structure in order to guarantee the existence of a basis of eigenvectors of the corresponding operator. We prove a criterion for the exact controllability and determine the exact critical time of control. Роботу присвячено розв’язанню задачi точної керованостi для досить широкого класу систем iз запiзненням нейтрального та мiшаного типiв. Розглядаючи еквiвалентну операторну модель у гiльбертовому просторi, ми формулюємо умови керованостi у виглядi деякої векторної проблеми моментiв. Вид даної проблеми моментiв iстотно спрощується при наявностi базису простору з власних векторiв оператора системи з запiзненням. Замiна керування дозволяє перетворити структуру системи i гарантувати iснування базису з власних векторiв вiдповiдного оператора. Доведено критерiй точної керованостi i встановлено точний час керування. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1879 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 6 (2016); 800-815 Український математичний журнал; Том 68 № 6 (2016); 800-815 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1879/861 Copyright (c) 2016 Barkhayev P. Yu.; Rabah R.; Sklyar G. M. |
| spellingShingle | Barkhayev, P. Yu. Rabah, R. Sklyar, G. M. Бархаев, П. Ю. Рабах, P. Скляр, Г. М. Бархаев, П. Ю. Рабах, P. Скляр, Г. М. On the problem of exact controllability of neutral systems with time delay |
| title | On the problem of exact controllability of neutral
systems with time delay |
| title_alt | К вопросу точной управляемости систем с запазды-
ванием нейтрального типа |
| title_full | On the problem of exact controllability of neutral
systems with time delay |
| title_fullStr | On the problem of exact controllability of neutral
systems with time delay |
| title_full_unstemmed | On the problem of exact controllability of neutral
systems with time delay |
| title_short | On the problem of exact controllability of neutral
systems with time delay |
| title_sort | on the problem of exact controllability of neutral
systems with time delay |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1879 |
| work_keys_str_mv | AT barkhayevpyu ontheproblemofexactcontrollabilityofneutralsystemswithtimedelay AT rabahr ontheproblemofexactcontrollabilityofneutralsystemswithtimedelay AT sklyargm ontheproblemofexactcontrollabilityofneutralsystemswithtimedelay AT barhaevpû ontheproblemofexactcontrollabilityofneutralsystemswithtimedelay AT rabahp ontheproblemofexactcontrollabilityofneutralsystemswithtimedelay AT sklârgm ontheproblemofexactcontrollabilityofneutralsystemswithtimedelay AT barhaevpû ontheproblemofexactcontrollabilityofneutralsystemswithtimedelay AT rabahp ontheproblemofexactcontrollabilityofneutralsystemswithtimedelay AT sklârgm ontheproblemofexactcontrollabilityofneutralsystemswithtimedelay AT barkhayevpyu kvoprosutočnojupravlâemostisistemszapazdyvaniemnejtralʹnogotipa AT rabahr kvoprosutočnojupravlâemostisistemszapazdyvaniemnejtralʹnogotipa AT sklyargm kvoprosutočnojupravlâemostisistemszapazdyvaniemnejtralʹnogotipa AT barhaevpû kvoprosutočnojupravlâemostisistemszapazdyvaniemnejtralʹnogotipa AT rabahp kvoprosutočnojupravlâemostisistemszapazdyvaniemnejtralʹnogotipa AT sklârgm kvoprosutočnojupravlâemostisistemszapazdyvaniemnejtralʹnogotipa AT barhaevpû kvoprosutočnojupravlâemostisistemszapazdyvaniemnejtralʹnogotipa AT rabahp kvoprosutočnojupravlâemostisistemszapazdyvaniemnejtralʹnogotipa AT sklârgm kvoprosutočnojupravlâemostisistemszapazdyvaniemnejtralʹnogotipa |