Multiple Haar basis and $m$-term approximations of functions from the Besov classes. II
We establish the exact-order estimates for the best $m$-term approximations in the multiple Haar basis $\mathrm{H}^d$ of functions from the Besov classes in the Lebesgue spaces $L_q(I^d)$. We also present a practical algorithm of the construction of the extreme nonlinear m-term aggregates (in a sens...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1880 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507762986844160 |
|---|---|
| author | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. |
| author_sort | Romanyuk, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:37Z |
| description | We establish the exact-order estimates for the best $m$-term approximations in the multiple Haar basis $\mathrm{H}^d$ of functions from
the Besov classes in the Lebesgue spaces $L_q(I^d)$. We also present a practical algorithm of the construction of the extreme nonlinear m-term aggregates (in a sense of the exact-order estimates for approximations). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
В. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И \bfitm -ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
ИЗ КЛАССОВ БЕСОВА. II
We establish the exact-order estimates for the best m-term approximations in the multiple Haar basis \mathrm{H}d of functions from
the Besov classes in the Lebesgue spaces Lq(\BbbI d). We also present a practical algorithm of the construction of the extreme
nonlinear m-term aggregates (in a sense of the exact-order estimates for approximations).
Встановлено точнi за порядком оцiнки найкращих m-членних наближень за кратним базисом Хаара \mathrm{H}d у просторах
Лебега Lq(\BbbI d) функцiй iз класiв Бєсова. Наведено практично здiйсненний алгоритм побудови екстремальних (у
розумiннi точних за порядком оцiнок наближень) нелiнiйних m-членних агрегатiв.
Настоящая статья является второй частью работы [19], поэтому в ней продолжается нумерация
пунктов, формул, теорем и т. п., а также используются обозначения и определения из [19].
В п. 4 сформулированы и доказаны основные результаты: теорема 2 о совпадении по
порядку m-членных наилучших приближений по базису \mathrm{H}d и приближений с помощью p-
жадных аппроксимант индивидуальных функций из Lp(\BbbI d), 1 < p < \infty , и теорема 3 об
m-членном приближении по системе \mathrm{H}d единичных шаров пространств B\alpha
p,\theta в пространстве
Lq(\BbbI d).
В п. 5 вводится в рассмотрение новая шкала пространств B\Lambda
\theta (Lp) \subset Lp(\BbbI d), изучены эле-
ментарные свойства этих пространств и установлены оценки нелинейного приближения еди-
ничных шаров этих пространств в Lq(\BbbI d) по типу теоремы 3.
4. Теоремы об \bfitm -членных приближениях по базису Хаара \bfH \bfitd .
Теорема 2. Пусть 1 < p <\infty . Тогда для любого g \in Lp(\BbbI d) справедливо соотношение
gm(g; \mathrm{H}d; Lp(\BbbI d)) \asymp \sigma m(g; \mathrm{H}d; Lp(\BbbI d)).
Доказательство. Неравенство \gg выполняется a priori по определению обеих величин.
В [5] (но только в случае d = 1!) доказано неравенство gm(g;\scrH d;Lp(\BbbI d))\ll \sigma m(g;\scrH d;Lp(\BbbI d))
в контексте изучения системы \scrH d базисных функций Хаара многих переменных, определен-
ных как тензорное произведение базисов Хаара функций одной переменной. При d \geq 2 это
неравенство, вообще говоря, не выполняется [5].
Однако, учитывая, что при d = 1 системы \mathrm{H}d и \scrH d — это одно и то же множество
функций, для установления неравенства gm(g; \mathrm{H}d;Lp(\BbbI d))\ll \sigma m(g; \mathrm{H}d;Lp(\BbbI d)) при d \geq 2 (для
системы \mathrm{H}d) достаточно воспроизвести доказательство этого неравенства для случая d = 1
[5], предварительно проиндексировав функции системы \mathrm{H}d кубами \mathrm{I} двоичного разбиения в
соответствии с п. 2, т. е. исходя из системы \mathrm{H}d
0, которая при d = 1 тождественна системе \BbbH ,
используемой в этом доказательстве.
Теперь сформулируем и докажем основной результат статьи. Обозначим через \scrD область
допустимых значений параметров d, p, q и \alpha :
\scrD =
\biggl\{
(d, p, q, \alpha ) : d \in \BbbN , 1 \leq p <\infty , 1 < q <\infty ,
\biggl(
d
p
- d
q
\biggr)
+
< \alpha <
1
p
\biggr\}
,
где a+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 0, a\} , a \in \BbbR .
c\bigcirc В. С. РОМАНЮК, 2016
816 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 817
Теорема 3. Пусть (d, p, q, \alpha ) \in \scrD и 1 \leq \theta <\infty . Тогда
\sigma m(SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI d)) \asymp gm(SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI d)) \asymp m - \alpha /d.
Доказательство. Заметим вначале, что в силу теоремы 2 для доказательства теоремы 3
достаточно установить требуемую оценку сверху для величины \sigma m и оценку снизу для вели-
чины gm. При этом метод установления таких оценок предполагает использование результатов
из [20], которые касаются нелинейной аппроксимации так называемых q-эллипсоидов в дис-
кретных пространствах — пространствах кратных последовательностей.
Установим оценку сверху. Пусть
Wj :=
\left\{ \varphi : \varphi (t) =
\sum
k\in Zj,d
akhk(t), t \in \BbbI d, ak \in \BbbR
\right\} , j = 0, 1, . . . .
Через W p
j обозначим линейное пространство Wj , снабженное нормой объемлющего его
пространства Lp(\BbbI d), 1 \leq p <\infty .
Если \varphi \in W p
j \cap B\alpha
p,\theta , то согласно теореме 1 настоящей работы и лемме 1 из [1] соответ-
ственно
\| \varphi \| (\alpha )p,\theta \asymp 2
j
\bigl(
\alpha - d
p+
d
2
\bigr)
\| a\|
l
mj
p
, (I)
\| \varphi \| q \asymp 2
- j
\bigl(
d
q -
d
2
\bigr)
\| a\|
l
mj
q
, 1 \leq q \leq \infty , (II)
где a = \{ ak\} k\in Zj,d
, mj := \sharp Zj,d.
Далее, пусть f \in B\alpha
p,\theta \subset Lq(\BbbI d). Тогда, как показано в [1], в смысле сходимости ряда в
Lq(\BbbI d)
f(t) =
\infty \sum
j=0
Rjf(t) =
\infty \sum
j=0
fj(t),
где fj(t) = Rjf(t) :=
\sum
k\in Zj,d
(f, hk)hk(t) =
\sum
k\in Zj,d
bk(f)hk(t).
Если n \in \BbbN задано и (nj)
\infty
j=0 — последовательность целых неотрицательных чисел такая,
что
\sum \infty
j=0
nj \leq n, то оптимальный (в смысле точности приближения по порядку) агрегат
n-членной аппроксимации f по системе \mathrm{H}d строим в виде
S(n)(f ; \mathrm{H}d)(t) =
\infty \sum
j=0
Gp
nj
(fj ; \mathrm{H}
d)(t),
где Gp
m(fj ; \mathrm{H}
d)(\cdot ) — функции, определенные во введении.
Тогда при любом q, 1 \leq q \leq \infty ,
\bigm\| \bigm\| f - S(n)(f ; \mathrm{H}d)
\bigm\| \bigm\|
q
\leq
\infty \sum
j=0
\bigm\| \bigm\| fj - Gp
nj
(fj ; \mathrm{H}
d)
\bigm\| \bigm\|
q
. (16)
Далее из соотношений (I) и (II) следует, что если f \in SB\alpha
p,\theta , то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
818 В. С. РОМАНЮК
\| fj\| p \asymp 2
- j
\bigl(
d
p -
d
2
\bigr) \bigm\| \bigm\| \{ bk\} k\in Zj,d
\bigm\| \bigm\|
l
mj
p
\asymp 2
- j
\bigl(
d
p -
d
2
\bigr)
\cdot 2 - j
\bigl(
\alpha - d
p+
d
2
\bigr)
\| fj\| (\alpha )p,\theta \leq
\leq 2 - j\alpha \| fj\| (\alpha )p,\theta \ll 2 - j\alpha ,
т. е.
fj \in C2 - j\alpha (W p
j \cap Bp) (17)
с некоторой постоянной C > 0.
Теперь рассмотрим семейство линейных операторов Aj : Wj \rightarrow \BbbR mj , j \in \BbbZ +, действующих
по правилу
gj(t) =
\sum
k\in Zj,d
akhk(t)\rightarrow a(j) = (ak)k\in Zj,d
.
При каждом j \in \BbbZ + оператор Aj осуществляет взаимно однозначное отображение между
линейными пространствами Wj и \BbbR mj и, согласно соотношению (II),
\| Aj\| p := \| Aj\| Lp(\BbbI d)\rightarrow l
mj
p
\ll 2
j
\bigl(
d
p -
d
2
\bigr)
, (18)
а если A - 1
j : \BbbR mj \rightarrow Wj — оператор, обратный к Aj , то
\| A - 1
j \| q := \| A
- 1
j \| lmj
q \rightarrow Lq(\BbbI d)
\ll 2
- j
\bigl(
d
q -
d
2
\bigr)
. (19)
Обозначим через \varepsilon = \{ e1, . . . , en\} канонический (стандартный) базис в \BbbR n, а через G
(\varepsilon )
m :
\BbbR n \rightarrow \BbbR n, m \in \BbbN , оператор, действующий по правилу
x =
n\sum
i=1
xiei \rightarrow G(\varepsilon )
m x =
m\sum
j=1
xkjekj ,
\{ kj\} mj=1 — подсистема системы \{ 1, . . . , n\} такая, что | xk1 | \geq | xk2 | \geq . . . \geq | xkm |
\bigl(
при m = 0
считаем, что G
(\varepsilon )
m x = 0 \in \BbbR m
\bigr)
. Для B \subset lns определим
gm(B; \varepsilon ; lns ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in B
\bigm\| \bigm\| x - G(\varepsilon )
m x
\bigm\| \bigm\|
lns
.
Из (16), используя теорему 2 и учитывая (17) – (19), для f \in SB\alpha
p,\theta и nj \leq mj , j \in \BbbZ +,
получаем
\bigm\| \bigm\| f - S(n)(f ; \mathrm{H}d)
\bigm\| \bigm\|
q
\ll
\infty \sum
j=0
\bigm\| \bigm\| fj - Gp
nj
(fj ; \mathrm{H}
d)
\bigm\| \bigm\|
q
\ll
\ll
\infty \sum
j=0
\sigma nj (fj ; \mathrm{H}
d; Lq(\BbbI d))\ll
\infty \sum
j=0
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Lambda \subset \BbbZ j,d
\sharp \Lambda =nj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| fj -
\sum
k\in \Lambda
(fj , hk)hk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll
\ll
\infty \sum
j=0
\| A - 1
j \| q \cdot \| Aj\| p \cdot 2 - j\alpha \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
b\in B
mj
p
\| b - G(\varepsilon )
nj
b\|
l
mj
q
\ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 819
\ll
\infty \sum
j=0
2
- j
\bigl(
\alpha - d
p+
d
q
\bigr)
gnj
\bigl(
B
mj
p ; \varepsilon ; l
mj
q
\bigr)
, 1 \leq q \leq \infty . (20)
Таким образом, для любого натурального n и последовательности (nj)
\infty
j=0 целых неотрица-
тельных чисел такой, что
\sum \infty
j=0
nj \leq n и nj \leq mj = \sharp Zj,d, j \in \BbbZ +, выполняется неравенство
\sigma n
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI d)
\bigr)
\ll
\infty \sum
j=0
2
- j
\bigl(
\alpha - d
p+
d
q
\bigr)
gnj (B
mj
p ; \varepsilon ; l
mj
q ) (21)
при любом q, 1 \leq q < \infty . Прежде чем продолжить оценку величины \sigma n
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI d)
\bigr)
,
сделаем следующее замечание, касающееся приведенного ниже неравенства (22).
Пусть задано натуральное n \geq 2d. Выберем s \in \BbbZ + так, чтобы выполнялось соотношение\sum s
j=0
\sharp Zj,d \leq n <
\sum s+1
j=0
\sharp Zj,d или, учитывая, что
l\bigcup
j=0
Zj,d = Yl,d, Zj1,d \cap Zj2,d = \oslash , j1 \not = j2,
и \sharp Yl,d = 2ld, — равносильное ему соотношение 2sd \leq n < 2(s+1)d. Поскольку, очевидно, при
любых 1 \leq p, q, \theta <\infty и \alpha таких, что
\biggl(
d
p
- d
q
\biggr)
+
< \alpha <
1
p
, выполняются неравенства
\sigma 2(s+1)d
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI d)
\bigr)
\leq \sigma n
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI d)
\bigr)
\leq
\leq \sigma 2sd
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI d)
\bigr)
, (22)
то оценку сверху величин \sigma n
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI d)
\bigr)
достаточно доказать для n = 2sd, s = 0, 1, . . . ,
а также только для таких значений параметров p, q и \alpha , что 1 \leq p \leq q <\infty и
d
p
- d
q
< \alpha <
1
p
.
Для других значений параметров p, q и \alpha из области \scrD оценка сверху следует из оценки сверху
при 1 < p = q <\infty вследствие вложения Lq1 \lhook \rightarrow Lq2 , 1 \leq q2 \leq q1 <\infty .
Итак, пусть фиксировано s \in \BbbN и n = 2sd =: Ms. Для заданного \delta > 0 положим
nj =
\left\{ mj , 0 \leq j \leq s - 1,\bigl[
C2 - \delta (j - s)ms
\bigr]
, j \geq s,
где C > 0 — постоянная, для которой
\sum \infty
j=0
nj \leq n
\bigl(
напомним, что m0 = 1 и mj = (2d -
- 1)2(j - 1)d, j = 1, 2, . . .
\bigr)
.
Понятно, что
\infty \sum
j=0
nj \leq
s - 1\sum
j=0
mj +msC
\infty \sum
j=s
2 - \delta (j - s) \leq Ms = n,
если C < C(\delta ) = 1 - 2 - \delta .
Теперь вернемся к неравенству (21) и продолжим оценку его правой части. Но прежде
заметим, что в [20] установлены порядковые оценки величин gn(B
m
p ; \varepsilon ; lmq ) при всех 0 < p,
q <\infty , n \in \BbbN и m = [\gamma n] + 1, \gamma > 1, а именно,
gn
\bigl(
B[\gamma n]+1
p ; \varepsilon ; l[\gamma n]+1
q
\bigr)
\asymp n
1
q -
1
p . (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
820 В. С. РОМАНЮК
Очевидно, что при 0 \leq j \leq s - 1
gnj
\bigl(
B
mj
p ; \varepsilon ; l
mj
q
\bigr)
= 0. (24)
Далее, из определения последовательности (nj)
\infty
j=0 следует, что найдется \lambda = \lambda (\delta ) > 1
такое, что для s\ast = [\lambda s] + 1 будет nj = 0, если j > s\ast , и nj \geq 1, если s \leq j \leq s\ast .
Тогда согласно определению gn
\bigl(
Bm
p ; \varepsilon ; lmq
\bigr)
для n = 0, с учетом неравенства \| \cdot \| lmq \leq \| \cdot \| lmp ,
1 \leq p < q <\infty , при j > s\ast можем записать
gnj
\bigl(
B
mj
p ; \varepsilon ; l
mj
q
\bigr)
\leq 1, 1 \leq p \leq q <\infty . (25)
Для j, s \leq j \leq s\ast , согласно (23), при 1 \leq p < q <\infty
gnj
\bigl(
B
mj
p ; \varepsilon ; l
mj
q
\bigr)
\ll
\bigl(
2 - \delta (j - s)ms
\bigr) 1
q -
1
p . (26)
Таким образом, из соотношения (21), используя (24) – (26), при 1 \leq p < q <\infty и
d
p
- d
q
< \alpha <
1
p
находим
gn
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d; Lq(\BbbI d)
\bigr)
\ll
s\ast \sum
j=s
2 - \alpha j \cdot 2j
\bigl(
d
p -
d
q
\bigr)
(2 - \delta (j - s)ms)
1
q -
1
p+
+
\infty \sum
j=s\ast +1
2
- j
\bigl(
\alpha - d
p+
d
q
\bigr)
= m
1
q -
1
p
s 2
\delta s
\bigl(
1
q -
1
p
\bigr) s\ast \sum
j=s
2 - \alpha j \cdot 2j
\bigl(
d
p -
d
q
\bigr)
\cdot 2\delta j
\bigl(
1
p -
1
q
\bigr)
+
+
\infty \sum
j=s\ast +1
2
- j
\bigl(
\alpha - d
p+
d
q
\bigr)
\ll m
1
q -
1
p
s 2
\delta s
\bigl(
1
q -
1
p
\bigr) s\ast \sum
j=s
2 - \beta j + 2
- s\ast
\bigl(
\alpha - d
p+
d
q
\bigr)
, (27)
где
\beta := \alpha - d
p
+
d
q
- \delta
\biggl(
1
p
- 1
q
\biggr)
.
Если \delta удовлетворяет условию 0 < \delta <
\biggl(
\alpha - d
p
+
d
q
\biggr)
/
\biggl(
1
p
- 1
q
\biggr)
, то \beta > 0, а значит, учитывая
также при оценке второго слагаемого, что s\ast = [\lambda s] + 1, \lambda > 1, получаем
gn
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI d)
\bigr)
\ll m
1
q -
1
p
s 2
\delta s
\bigl(
1
q -
1
p
\bigr)
\cdot 2 - \beta s + 2 - \alpha s \asymp 2 - \alpha s = n - \alpha /d. (28)
Аналогично, при 1 \leq p = q < \infty и 0 < \alpha <
1
p
, учитывая, что для j, s \leq j \leq s\ast , очевидно,
gnj
\bigl(
B
mj
p ; \varepsilon ; l
mj
p
\bigr)
\leq 1, имеем
gn(SB
\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d; Lq(\BbbI d))\ll
\infty \sum
j=s+1
2 - \alpha j \ll 2 - \alpha s \asymp n - \alpha /d. (29)
Перейдем к установлению оценки снизу. Эту оценку достаточно установить для gm
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ;
\mathrm{H}d;Lq(\BbbI d)
\bigr)
при 1 \leq q \leq p <\infty и 0 < \alpha <
1
p
. По заданному натуральному m > 2d выберем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 821
n \in \BbbN из условия
\sharp Yn - 2,d \leq m < \sharp Yn - 1,d,
т. е.
2(n - 2)d \leq m < 2(n - 1)d.
Отметив, что \sharp Zj,d = \sharp
\bigl(
Yj,d \setminus Yj - 1,d
\bigr)
= 2jd - 2(j - 1)d = 2(j - 1)d(2d - 1)
\bigl(
тогда \sharp Zn,d \geq \sharp Yn - 1,d >
> m
\bigr)
, рассмотрим пространство B(n) полиномов по системе \widetilde Hd
n = \{ hk\} k\in Zn,d
вида
Rnf(x) =
\sum
k\in Zn,d
bk(f)hk(x), f \in Lq(\BbbI d) (30)
\bigl(
значит, B(n) \subset Wn
\bigr)
. Пусть, далее, B(n)\alpha p,\theta — подпространство из B\alpha
p,\theta \subset Lq(\BbbI d), состоящее
из функций f \in B(n), т. е. B(n)\alpha p,\theta = B(n) \cap B\alpha
p,\theta . Тогда
gm
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI d)
\bigr)
\geq gm
\bigl(
SB(n)\alpha p,\theta ;
\widetilde Hd
n;Lq(\BbbI d)
\bigr)
. (31)
Рассмотрим отображение A : B(n) \rightarrow \BbbR mn (mn = \sharp Zn,d) такое, что Af = \{ bk(f)\} k\in Zn,d
,
f \in B(n). Тогда для f \in B(n)\alpha p,\theta , согласно (I), \| f\| (\alpha )p,\theta \asymp 2
n
\bigl(
\alpha - d
p+
d
2
\bigr)
\| Af\| lmn
p
и для f \in B(n),
согласно (II), \| f\| q \asymp 2
- n
\bigl(
d
q -
d
2
\bigr)
\| Af\| lmn
q
. Поэтому, как и при установлении оценок сверху,
отправляясь от (30), находим
gm
\bigl(
SB(n)\alpha p,\theta ;
\widetilde Hd
n;Lq(\BbbI d)
\bigr)
\gg
\gg \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in SB(n)\alpha p,\theta
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Lambda \subset \BbbZ n,d
\sharp \Lambda =m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
\sum
k\in \Lambda
bk(f)hk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\gg 2 - n\alpha 2
nd(
1
p -
1
q )gm(Bmn
p ; \varepsilon ; lmn
q ).
Отсюда, учитывая, что mn \asymp m \asymp 2nd, и применяя к оценке gm(Bmn
p ; \varepsilon ; lmn
q ) соотноше-
ние (23), окончательно, в сочетании с (31), получаем
gm(SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d; Lq(\BbbI d))\gg 2 - n\alpha \asymp m - \alpha
d .
Теорема 3 доказана.
Замечание 2. В работе [21] при рассмотрении приближений классов 1-периодических
функций S \=B\alpha
p,\theta с помощью m-членных агрегатов, построенных по тригонометрической си-
стеме \scrT =
\bigl\{
e2\pi ikx
\bigr\}
k\in \BbbZ , в случае d = 1 доказано, в частности, что
\sigma m(S \=B\alpha
p,\theta ; \scrT ;Lq(\BbbI )) \asymp m
- q
2
\bigl(
\alpha - 1
p+
1
q
\bigr)
(32)
при 1 \leq p \leq 2 < q <\infty ,
1
p
- 1
q
< \alpha <
1
p
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
822 В. С. РОМАНЮК
Заметим, что классы S \=B\alpha
p,\theta определяются аналогично классам SB\alpha
p,\theta . Отличие состоит лишь
в использовании других модулей непрерывности, дополнительную информацию о которых
можно получить из [8].
Сравнивая оценку (32) с оценкой величины \sigma m
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI )
\bigr)
из теоремы 3 при d =
= 1
\bigl(
учитывая также, что S \=B\alpha
p,\theta \subset SB\alpha
p,\theta
\bigr)
, легко показать, что при данных ограничениях
на параметры p, q и \alpha приближение классов SB\alpha
p,\theta по тригонометрической системе, вообще
говоря, уступает по порядку приближению по системе Хаара (одномерной). Подтверждением
этого факта, например, в случае p = 2, q = 4 и, соответственно,
1
4
< \alpha <
1
2
является довольно
простое сравнение указанных оценок, использующее только соответствующую геометрическую
иллюстрацию для данного множества параметров p, q и \alpha .
К такому же выводу приходим, сравнивая оценки величин \sigma m
\bigl(
SB\alpha
p,\theta ; \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI )
\bigr)
с оценками
величин \sigma m
\bigl(
S \=B\alpha
p,\theta ; \scrT ;Lq(\BbbI d)
\bigr)
, найденными в [22], и для случая функций многих переменных.
5. Нелинейная аппроксимация функций из пространств \bfitB \bfLambda
\bfittheta (\bfitL \bfitp ). В этом пункте, исхо-
дя из разложений функций f \in Lp(\BbbI d) в ряд Фурье – Хаара по базису \mathrm{H}d, вводятся в рассмот-
рение пространства B\Lambda
\theta (Lp), как линейные подпространства в Lp(\BbbI d), снабженные указанной
нормой \| f\| \Lambda p,\theta , f \in B\Lambda
\theta (Lp). Эта норма представляется с помощью функционального параметра
\Lambda и числового параметра \theta в виде выражений, содержащих величины
\bigm\| \bigm\| (f, hi)hi\bigm\| \bigm\| p, i = 0, 1, . . . ,
и определенным образом характеризует функции f \in B\Lambda
\theta (Lp) степенью убывания к нулю этих
величин.
Конечной целью этого пункта является получение для классов SB\Lambda
\theta (Lp) аналога теоремы 3.
В исходном варианте определения пространств B\Lambda
\theta (Lp) используем базисную систему
функций \mathrm{H}d
0.
Итак, пусть Qj , j \in \BbbN , — множество кубов \mathrm{I} объемом \mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l} \mathrm{I} = 2( - j+1)d двоичного разбиения
куба \BbbI d. На каждом кубе \mathrm{I} \in Qj , как отмечалось ранее, сосредоточены носители ровно 2d - 1
функции системы \mathrm{H}d
0. Обозначим эти функции через \mathrm{H}
(i)
I , i = 0, 1, . . . . Таким образом, имеем
соответствие
Qj \ni \mathrm{I}\updownarrow \{ \mathrm{H}(i)
I \}
2d - 1
i=1 \in \mathrm{H}d
0.
Положим
\mathrm{H}(j) :=
\bigl\{
\mathrm{H}
(i)
I : \mathrm{I} \in Qj , i = 1, 2, . . . , 2d - 1
\bigr\}
.
Пусть далее \Lambda : \BbbR + \rightarrow \BbbR + — произвольная неубывающая функция, определенная на \BbbR +. Мно-
жество таких функций обозначим через P0.
Определение 2. Для 1 \leq p \leq \infty и \Lambda \in P0 нормированные пространства B\Lambda
\theta (Lp) — это
множества функций f \in L\circ
p(\BbbI d), для которых
\| f\| \Lambda p,\theta :=
\left( \infty \sum
j=1
\Lambda \theta (2j)
\sum
I\in Qj
2d - 1\sum
i=1
\bigm\| \bigm\| c(i)I (f)\mathrm{H}
(i)
I
\bigm\| \bigm\| \theta
p
\right) 1/\theta
<\infty , 1 \leq \theta <\infty ,
и
\| f\| \Lambda p,\infty := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j
\Lambda (2j)
\sum
I\in Qj
2d - 1\sum
i=1
\bigm\| \bigm\| c(i)I (f)\mathrm{H}
(i)
I
\bigm\| \bigm\|
p
<\infty , \theta =\infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 823
где c
(i)
I (f) =
\int
\BbbI d
f(x)\mathrm{H}
(i)
I (x)dx, i \in \BbbN , — коэффициенты Фурье функции f по системе \mathrm{H}d
0 =
=
\infty \bigcup
j=1
\mathrm{H}(j) \cup \{ \mathrm{H}\BbbI d\} , а L\circ
p(\BbbI d) :=
\biggl\{
f \in Lp(\BbbI d) :
\int
\BbbI d
f(x)dx = 0
\biggr\}
.
В дальнейшем функция \Lambda , кроме условия \Lambda \in P0, будет подчинена некоторым ограниче-
ниям. Введем следующие определения.
Определение 3. Функция \varphi : (0;\infty ) - \rightarrow (0;\infty ) удовлетворяет \Delta
(1)
2 -условию (пишем \varphi \in
\in \Delta
(1)
2
\bigr)
, если существуют постоянные C1, C2 > 1 такие, что
C1 \leq
\varphi (2t)
\varphi (t)
\leq C2.
Определение 4. Если 1 \leq p, q, \theta \leq \infty и d \in \BbbN , то для функции \Lambda \in P0 запись \Lambda \in
\in \Delta
(1)
2 (p, q, \theta , d) означает, что функция \Lambda (t)t
-
\bigl( \bigl(
d
p -
d
\theta
\bigr)
+
+
\bigl(
d
p -
d
q
\bigr)
+
\bigr)
принадлежит \Delta
(1)
2 .
Положим \xi = \xi (p, q, \theta ) =
\biggl(
d
p
- d
\theta
\biggr)
+
+
\biggl(
d
p
- d
q
\biggr)
+
и
A =
\bigl\{
(p, q, \theta ) : 1 \leq p, q, \theta \leq \infty и \xi > 0
\bigr\}
,
A0 =
\bigl\{
(p, q, \theta ) : 1 \leq p, q, \theta \leq \infty и \xi = 0
\bigr\}
.
Понятно, что при (p, q, \theta ) \in A0
\bigl(
т. е. если 1 \leq \theta \leq p \leq \infty и 1 \leq q \leq p \leq \infty
\bigr)
условия
\Lambda \in \Delta
(1)
2 (p, q, \theta , d) и \Lambda \in P0 \cap \Delta
(1)
2 равносильны. Примером функций, удовлетворяющих
условию \Lambda \in P0 \cap \Delta
(1)
2 , являются функции \Lambda (t) = \mathrm{l}\mathrm{n} t и \Lambda (t) = t\beta , \beta > 0.
Условию \Lambda \in \Delta
(1)
2 (p, q, \theta , d) при (p, q, \theta ) \in A удовлетворяют, например, функции \Lambda (t) = t\beta ,
\beta > \xi и \Lambda (t) = t\xi \mathrm{l}\mathrm{n}\gamma (t+ 1), \gamma > 0.
Отметим простые свойства пространств B\Lambda
\theta (Lp); часть из них являются элементарными
следствиями определения 2
\bigl(
далее полагаем также
\circ
B\alpha
p,\theta := B\alpha
p,\theta \cap L\circ
p(\BbbI d)
\bigr)
:
(a) \forall 1 \leq p \leq \infty и \Lambda \in P0 : B\Lambda
\theta 1
(Lp) \lhook \rightarrow B\Lambda
\theta 2
(Lp), 1 \leq \theta 1 < \theta 2 \leq \infty ;
(b) если 1 \leq p = \theta <\infty и \Lambda (t) = t\alpha , 0 < \alpha <
1
p
, то
\circ
B\alpha
p,p\sim B(\alpha )
p (Lp),
т. е. пространства
\circ
B\alpha
p,p и B\Lambda
p (Lp) =: B
(\alpha )
p (Lp), \Lambda (t) = t\alpha , как множества функций, совпадают,
а соответствующие нормы элементов эквивалентны.
Действительно, при указанных ограничениях на параметры p и \Lambda при 1 \leq \theta <\infty для
любой функции f \in B
(\alpha )
\theta (Lp) := B\Lambda
\theta (Lp), \Lambda (t) = t\alpha ,
\| f\| \Lambda p,\theta =
\left( \infty \sum
j=1
2j\alpha \theta
\sum
k\in Zj,d
| bk(f)|
\theta \cdot 2 - j\theta
\bigl(
d
p -
d
2
\bigr) \right) 1/\theta
=
=
\left( \infty \sum
j=1
2
j
\bigl(
\alpha - d
p+
d
2
\bigr)
\theta \sum
k\in Zj,d
| bk(f)|
\theta
\right) 1/\theta
, (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
824 В. С. РОМАНЮК
где, напомним, bk(f) := (f ;hk), k \in Zj,d.
С другой стороны, согласно теореме 1, для любой функции f \in
\circ
B\alpha
p,\theta , 1 \leq p, \theta < \infty и
0 < \alpha <
1
p
\| f\| B\alpha
p,\theta
:= \| f\| (\alpha )p,\theta \asymp
\left( \sum
j\in \BbbN
\left[ 2j\bigl( \alpha - d
p+
d
2
\bigr) \left( \sum
k\in Zj,d
| bk(f)|
p
\right) 1/p
\right]
\theta \right)
1/\theta
. (34)
Сравнивая (33) и (34) при p = \theta , получаем \| f\| (\alpha )p,p \asymp \| f\| \Lambda p,p, f \in B
(\alpha )
\theta (Lp), что доказывает
свойство (b).
(c)
\circ
B\alpha
p,\theta \lhook \rightarrow B
(\alpha )
\theta (Lp) при 1 \leq p < \theta <\infty , 0 < \alpha <
1
p
.
(d)
\circ
B\alpha
p,\theta \leftarrow \rhook B
(\alpha )
\theta (Lp) при 1 \leq \theta < p <\infty , 0 < \alpha <
1
p
.
Как и в предыдущем случае
\bigl(
p = \theta , свойство (b)
\bigr)
, достаточно сравнить (33) и (34), приняв во
внимание неравенство \| \cdot \| ls\gamma \leq \| \cdot \| ls\mu , 1 \leq \mu < \gamma <\infty .
Вопрос о конструктивной характеристике пространств B
(\alpha )
\theta (Lp) в терминах величин наи-
лучших m-членных приближений, однако лишь в случае d = 1, при 1 < \theta = p < \infty и
0 < \alpha <
1
p
\bigl(
а тогда согласно свойству (b) B(\alpha )
\theta (Lp) \sim
\circ
B\alpha
p,p
\bigr)
, решен, как частный случай более
общего результата, в [5]. А именно, установлена импликация
f \in B(\alpha )
p (Lp)\leftrightarrow
\infty \sum
m=0
\biggl[
\sigma m(f ; \mathrm{H}; L\tau (\BbbI ))m
\alpha - 1
p
\biggr] p
<\infty ,
где 1 < p < \infty , 1 < \tau < \infty , 0 < \alpha < 1 и параметры p, \tau и \alpha связаны соотношением
p =
\biggl(
\alpha +
1
\tau
\biggr) - 1
, т. е. \alpha =
1
p
- 1
\tau
\biggl(
понятно, что тогда 1 < p < \tau <\infty и 0 < \alpha <
1
p
\biggr)
.
Автором в случае произвольного d \in \BbbN изучены аппроксимационные свойства системы \mathrm{H}d
по отношению к классам SB\Lambda
\theta (Lp) 1 \leq p, \theta \leq \infty , на широком спектре изменения функцио-
нального параметра \Lambda , и в частности, при \Lambda (t) = tr
\biggl(
0 < r <
1
p
, 1 \leq p < \infty
\biggr)
. Однако воп-
рос о конструктивном описании пространств B\Lambda
\theta (Lp) в терминах величин \sigma m
\bigl(
f ; \mathrm{H}d;Lq(\BbbI d)
\bigr)
,
f \in B\Lambda
\theta (Lp) в общем случае не рассматривается. Сформулируем полученный результат.
Теорема 4. Пусть 1 \leq p, \theta \leq \infty , 1 < q <\infty и \Lambda \in \Delta
(1)
2 (p, q, \theta , d). Тогда
\sigma m
\bigl(
SB\Lambda
\theta (Lp); \mathrm{H}
d;Lq(\BbbI d)
\bigr)
\asymp gm
\bigl(
SB\Lambda
\theta (Lp); \mathrm{H}
d; Lq(\BbbI d)
\bigr)
\asymp
\asymp \Lambda - 1(m
1
d )m
\bigl(
1
p -
1
\theta
\bigr)
+ .
Доказательство. Исходным пунктом является представление норм элементов пространств
B\Lambda
\theta (Lp), использующее векторную нумерацию функций Хаара, т. е. систему \BbbH d
0. А именно,
легко видеть, что для f \in B\Lambda
\theta (Lp)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
КРАТНЫЙ БАЗИС ХААРА И m-ЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ . . . 825
\| f\| \Lambda p,\theta =
\left( \infty \sum
j=1
\Lambda \theta (2j)2
- j\theta d
\bigl(
1
p -
1
2
\bigr) \sum
k\in Zj,d
| bk(f)|
\theta
\right) 1/\theta
, 1 \leq \theta <\infty , (35)
\| f\| \Lambda p,\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j
\Lambda (2j)2
- jd
\bigl(
1
p -
1
2
\bigr) \sum
k\in Zj,d
| bk(f)| . (36)
В дальнейшем доказательство теоремы 4, по сути, повторяет, с незначительными отличиями,
вызванными условиями на функцию \Lambda в (35), (36), доказательство теоремы 3. Опишем тезисно
эти отличия.
Ключевую роль при установлении как оценок сверху, так и оценок снизу в теореме 3 играли
соотношения (I) и (II). Соотношение (II) не связано непосредственно с аппроксимируемыми
классами функций и поэтому остается в силе и при доказательстве теоремы 4. Вместо соот-
ношения (I), как следствия теоремы 1 об эквивалентном представлении нормы в пространстве
B\alpha
p,\theta , при установлении оценок снизу в теореме 4 следует использовать для \varphi \in Wj \subset B\Lambda
\theta (Lp)
равенства
\| \varphi \| \Lambda p,\theta = \Lambda (2j)2
- j
\bigl(
d
p -
d
2
\bigr)
\| a\|
l
mj
\theta
(37)
в случае 1 \leq \theta <\infty и
\| \varphi \| \Lambda p,\infty = \Lambda (2j)2
- j
\bigl(
d
p -
d
2
\bigr)
\| a\|
l
mj
1
(38)
в случае \theta =\infty .
В доказательстве оценки сверху в теореме 3 определяющим было вложение (17) при усло-
вии, что f \in SB\alpha
p,\theta . Его аналогом для f \in SB\Lambda
\theta (Lp) является вложение
fj \in C\Lambda - 1(2j)2
j
\bigl(
d
p -
d
\theta \ast
\bigr)
+(Wj \cap Bp),
где \theta \ast = \theta , если 1 \leq \theta <\infty , и \theta \ast = p, если \theta =\infty .
В доказательстве этого вложения вместо (I) следует использовать (37) при 1 \leq \theta <\infty и (38)
при \theta =\infty , а также, дополнительно, известное соотношение \| \cdot \| lnp2 \leq \| \cdot \| lnp1 \leq n
1
p1
- 1
p2 \| \cdot \| lnp2 ,
1 \leq p1 < p2 \leq \infty .
Очевидной коррекции подлежат также рассуждения, используемые при переходе от нера-
венства (27) к неравенствам (28) и (29). Здесь следует задействовать условие \Lambda \in \Delta
(1)
2 (p, q, \theta , d),
которое, фактически, является условием вложения B\Lambda
\theta (Lp) \subset Lq(\BbbI d).
Литература
19. Романюк В. С. Кратный базис Хаара и m-членные приближения функций из классов Бесова. I // Укр. мат.
журн. – 2016. – 68, № 4. – С. 551 – 562.
20. Романюк В. С. Нелинейная аппроксимация в пространствах кратных последовательностей // Теорiя наближен-
ня функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2015. – 12, № 4. – С. 256 – 265.
21. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах гладких периодических функций //
Мат. сб. – 1987. – 132, № 1. – С. 20 – 27.
22. Stasyuk S. A. Best m-term trigonometric approximation of periodic functions of several variables from Nikol’skii –
Besov classes for small smoothness // J. Approxim. Theory. – 2014. – 177. – P. 1 – 16.
Получено 10.07.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-1880 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:28Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/16/6ad36ff42dc395f592e8be814c67af16.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18802019-12-05T09:30:37Z Multiple Haar basis and $m$-term approximations of functions from the Besov classes. II Кратный базис Хаара и $m$-членные приближения функций из классов Бесова. II Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. We establish the exact-order estimates for the best $m$-term approximations in the multiple Haar basis $\mathrm{H}^d$ of functions from the Besov classes in the Lebesgue spaces $L_q(I^d)$. We also present a practical algorithm of the construction of the extreme nonlinear m-term aggregates (in a sense of the exact-order estimates for approximations). Встановлено точнi за порядком оцiнки найкращих $m$-членних наближень за кратним базисом Хаара $\mathrm{H}^d$ у просторах Лебега $L_q(I^d)$ функцiй iз класiв Бєсова. Наведено практично здiйсненний алгоритм побудови екстремальних (у розумiннi точних за порядком оцiнок наближень) нелiнiйних $m$-членних агрегатiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1880 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 6 (2016); 816-825 Український математичний журнал; Том 68 № 6 (2016); 816-825 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1880/862 Copyright (c) 2016 Romanyuk V. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, V. S. Романюк, В. С. Романюк, В. С. Multiple Haar basis and $m$-term approximations of functions from the Besov classes. II |
| title | Multiple Haar basis and $m$-term approximations of functions from the Besov classes. II |
| title_alt | Кратный базис Хаара и $m$-членные приближения функций из классов Бесова. II |
| title_full | Multiple Haar basis and $m$-term approximations of functions from the Besov classes. II |
| title_fullStr | Multiple Haar basis and $m$-term approximations of functions from the Besov classes. II |
| title_full_unstemmed | Multiple Haar basis and $m$-term approximations of functions from the Besov classes. II |
| title_short | Multiple Haar basis and $m$-term approximations of functions from the Besov classes. II |
| title_sort | multiple haar basis and $m$-term approximations of functions from the besov classes. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1880 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukvs multiplehaarbasisandmtermapproximationsoffunctionsfromthebesovclassesii AT romanûkvs multiplehaarbasisandmtermapproximationsoffunctionsfromthebesovclassesii AT romanûkvs multiplehaarbasisandmtermapproximationsoffunctionsfromthebesovclassesii AT romanyukvs kratnyjbazishaaraimčlennyepribliženiâfunkcijizklassovbesovaii AT romanûkvs kratnyjbazishaaraimčlennyepribliženiâfunkcijizklassovbesovaii AT romanûkvs kratnyjbazishaaraimčlennyepribliženiâfunkcijizklassovbesovaii |