Determination of the lower coefficient in a parabolic equation with strong power degeneration
We establish conditions for the existence and uniqueness of the classical solution to the inverse problem of identification of the time-dependent coefficient at the first derivative in a one-dimensional degenerate parabolic equation. The Dirichlet boundary conditions and the integral condition of ov...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1886 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507770456899584 |
|---|---|
| author | Huzyk, N. M. Гузик, Н. М. |
| author_facet | Huzyk, N. M. Гузик, Н. М. |
| author_sort | Huzyk, N. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:37Z |
| description | We establish conditions for the existence and uniqueness of the classical solution to the inverse problem of identification
of the time-dependent coefficient at the first derivative in a one-dimensional degenerate parabolic equation. The Dirichlet
boundary conditions and the integral condition of overdetermination are imposed. We study the case of strong power
degeneration. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
Н. М. Гузик (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА
У ПАРАБОЛIЧНОМУ РIВНЯННI
З СИЛЬНИМ СТЕПЕНЕВИМ ВИРОДЖЕННЯМ
We establish conditions for the existence and uniqueness of the classical solution to the inverse problem of identification
of the time-dependent coefficient at the first derivative in a one-dimensional degenerate parabolic equation. The Dirichlet
boundary conditions and the integral condition of overdetermination are imposed. We study the case of strong power
degeneration.
Установлены условия существования и единственности классического решения обратной задачи определения за-
висящего от времени младшего коэффициента в одномерном параболическом уравнении с вырождением. Заданы
краевые условия Дирихле и интегральное условие переопределения. Исследован случай сильного степенного выро-
ждения.
Вступ. Об’єктом дослiдження цiєї роботи є коефiцiєнтна обернена задача для одновимiрного
параболiчного рiвняння з сильним степеневим виродженням. Невiдомим, крiм розв’язку прямої
задачi, є залежний вiд часу коефiцiєнт при першiй похiднiй невiдомої функцiї за просторовою
змiнною.
Оберненi задачi визначення залежного вiд часу молодшого коефiцiєнта в одновимiрному
параболiчному рiвняннi без виродження вивчалися в [1 – 4] в областi з фiксованими межами i
в [5 – 7] в областях з вiльними межами. Встановлено умови однозначної розв’язностi цих задач
при рiзних наборах крайових умов (Дiрiхле, Неймана) та умов перевизначення.
Хоча прямi задачi для параболiчних рiвнянь з виродженням на сьогоднi дослiджено достат-
ньо повно, оберненi задачi для цих рiвнянь практично не розглядалися. Лише роботи [8, 9]
присвячено оберненим задачам для параболiчних рiвнянь, виродження яких спричиняє функцiя,
що залежить вiд просторової змiнної.
Оберненi задачi визначення коефiцiєнта a = a(t), t \in [0, T ], у параболiчному рiвняннi iз
степеневим виродженням
ut = a(t)t\beta uxx + b(x, t)ux + c(x, t)u+ f(x, t)
розглядались у роботах М. I. Iванчова, Н. В. Салдiної [10, 11]. Авторами встановлено, що
на вiдмiну вiд слабкого степеневого виродження (0 < \beta < 1) для розв’язностi задачi у ви-
падку сильного степеневого виродження (\beta \geq 1) на молодшi коефiцiєнти рiвняння потрiбно
накладати певнi умови при t \rightarrow 0.
Умови розв’язностi обернених задач визначення залежного вiд часу молодшого коефiцiєн-
та у параболiчному рiвняннi зi слабким степеневим виродженням в областi з фiксованими
межами знайдено в [12, 13], а в областi з вiльними межами — в [14, 15]. Коректнiсть оберненої
задачi одночасного визначення двох залежних вiд часу коефiцiєнтiв у слабко виродженому
параболiчному рiвняннi встановлено в [16].
Наша мета — встановити умови однозначної розв’язностi оберненої задачi визначення мо-
лодшого коефiцiєнта у параболiчному рiвняннi у випадку сильного степеневого виродження.
c\bigcirc Н. М. ГУЗИК, 2016
922 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА У ПАРАБОЛIЧНОМУ РIВНЯННI . . . 923
1. Формулювання задачi та основнi результати. В областi QT = \{ (x, t) : 0 < x < h, 0 <
< t < T\} розглядається обернена задача визначення коефiцiєнта b = b(t) у рiвняннi
ut = a(t)t\beta uxx + b(t)ux + c(x, t)u+ f(x, t) (1)
з початковою умовою
u(x, 0) = \varphi (x), x \in [0, h], (2)
крайовими умовами Дiрiхле
u(0, t) = \mu 1(t), u(h, t) = \mu 2(t), t \in [0, T ], (3)
та iнтегральною умовою перевизначення
h\int
0
u(x, t)dx = \mu 3(t), t \in [0, T ]. (4)
Дослiджується випадок сильного виродження, коли \beta \geq 1.
Умови iснування та єдиностi розв’язку задачi (1) – (4) мiстяться у такiй теоремi.
Теорема. Нехай виконуються такi умови:
1) \varphi \in C1[0, h], a \in C[0, T ], \mu i \in C1[0, T ], i = 1, 2, 3, c, f \in C(QT ) та задовольняють
умову Гельдера за змiнною x з показником \alpha , 0 < \alpha < 1;
2) a(t) > 0, \mu 2(t) - \mu 1(t) \not = 0, t \in [0, T ], | f(x, t)| \leq A1t
\gamma , | c(x, t)| \leq A2t
\gamma , (x, t) \in QT ,
| \mu \prime
3(t)| \leq A3t
\gamma , t \in [0, T ], де Ai, i = 1, 2, 3, — додатнi сталi, \gamma >
\beta - 1
2
— довiльне фiксоване
число;
3) \mu 1(0) = \varphi (0), \mu 2(0) = \varphi (h),
\int h
0
\varphi (x)dx = \mu 3(0).
Тодi iснує єдиний розв’язок (b, u) \in C[0, T0] \times C2,1(QT0) \cap C(QT0
), | b(t)| \leq M0t
\eta з \eta =
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
\gamma ,
\beta + 1
2
\biggr\}
задачi (1) – (4), де числа M0 > 0 та T0, 0 < T0 \leq T, визначаються
вихiдними даними цiєї задачi.
2. Зведення задачi (1) – (4) до еквiвалентної системи рiвнянь. Припустимо тимчасово,
що функцiя b = b(t) є вiдомою.
Щоб звести пряму задачу (1) – (3) до системи iнтегральних рiвнянь вiдносно функцiй u =
= u(x, t), v = v(x, t), де v(x, t) \equiv ux(x, t), використаємо функцiї Грiна Gk(x, t, \xi , \tau ), k = 1, 2,
першої (k = 1) та другої (k = 2) крайових задач для рiвняння теплопровiдностi
ut = a(t)t\beta uxx. (5)
Вiдомо [17, c. 12], що цi функцiї визначаються формулами
Gk(x, t, \xi , \tau ) =
1
2
\sqrt{}
\pi (\theta (t) - \theta (\tau ))
+\infty \sum
n= - \infty
\biggl(
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- (x - \xi + 2nh)2
4(\theta (t) - \theta (\tau ))
\biggr)
+
+( - 1)k \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- (x+ \xi + 2nh)2
4(\theta (t) - \theta (\tau ))
\biggr) \biggr)
, 0 \leq x, \xi \leq h, 0 \leq \tau < t \leq T, k = 1, 2, (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
924 Н. М. ГУЗИК
де
\theta (t) =
t\int
0
a(\sigma )\sigma \beta d\sigma .
В результатi отримаємо
u(x, t) =
h\int
0
G1(x, t, \xi , 0)\varphi (\xi )d\xi +
t\int
0
G1\xi (x, t, 0, \tau )a(\tau )\tau
\beta \mu 1(\tau )d\tau -
-
t\int
0
G1\xi (x, t, h, \tau )a(\tau )\tau
\beta \mu 2(\tau )d\tau +
t\int
0
h\int
0
G1(x, t, \xi , \tau )f(\xi , \tau )d\xi d\tau +
+
t\int
0
h\int
0
G1(x, t, \xi , \tau )(b(\tau )v(\xi , \tau ) + c(\xi , \tau )u(\xi , \tau ))d\xi d\tau =
5\sum
i=1
Ii, (7)
v(x, t) =
h\int
0
G2(x, t, \xi , 0)\varphi
\prime (\xi )d\xi -
t\int
0
G2(x, t, 0, \tau )\mu
\prime
1(\tau )d\tau +
+
t\int
0
G2(x, t, h, \tau )\mu
\prime
2(\tau )d\tau +
t\int
0
h\int
0
G1x(x, t, \xi , \tau )f(\xi , \tau )d\xi d\tau +
+
t\int
0
h\int
0
G1x(x, t, \xi , \tau )(b(\tau )v(\xi , \tau ) + c(\xi , \tau )u(\xi , \tau ))d\xi d\tau =
5\sum
i=1
Ji. (8)
Зауважимо, що рiвняння (8) отримано з рiвняння (7) шляхом диференцiювання за просто-
ровою змiнною. При цьому використано спiввiдношення G1x(x, t, \xi , \tau ) = - G2\xi (x, t, \xi , \tau ),
G2\tau (x, t, \xi , \tau ) = - a(\tau )\tau \beta G2\xi \xi (x, t, \xi , \tau ), якi легко перевiрити з використанням формули (6).
Щоб отримати рiвняння вiдносно функцiї b = b(t), зiнтегруємо рiвняння (1). Враховуючи
(2) – (4), знаходимо
b(t) =
\left( \mu \prime
3(t) - a(t)t\beta (v(h, t) - v(0, t)) -
h\int
0
(f(x, t) + c(x, t)u(x, t))dx
\right) \times
\times (\mu 2(t) - \mu 1(t))
- 1, t \in [0, T ]. (9)
Дослiдимо поведiнку iнтегралiв, що входять до правих частин формул (7), (8). Оскiльки
h\int
0
G1(x, t, \xi , 0)d\xi +
t\int
0
G1\xi (x, t, 0, \tau )a(\tau )\tau
\beta d\tau -
t\int
0
G1\xi (x, t, h, \tau )a(\tau )\tau
\beta d\tau = 1,
то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА У ПАРАБОЛIЧНОМУ РIВНЯННI . . . 925
3\sum
i=1
| Ii| \leq C1, (10)
де C1 — додатна стала, що залежить вiд оцiнок функцiй \varphi (x), \mu 1(t), \mu 2(t). Враховуючи, що
G1(x, t, \xi , \tau ) \leq G2(x, t, \xi , \tau ),
h\int
0
G2(x, t, \xi , 0)d\xi = 1, (11)
одержуємо
| I4| \leq C2, | J1| \leq C3, (x, t) \in QT , (12)
де C2, C3 — додатнi сталi, якi визначаються вихiдними даними задачi.
Щоб оцiнити решту iнтегралiв, якi входять до правих частин рiвностей (7), (8), використаємо
такi оцiнки функцiй Грiна [17, c. 12]:
G2(x, t, \xi , \tau ) \leq C4
\Biggl(
1 +
1\sqrt{}
\theta (t) - \theta (\tau )
\Biggr)
,
h\int
0
G1x(x, t, \xi , \tau )d\xi \leq C5\sqrt{}
\theta (t) - \theta (\tau )
. (13)
Врахувавши означення функцiї \theta = \theta (t), з’ясуємо поведiнку при t \rightarrow 0 виразу
I \equiv
t\int
0
d\tau \sqrt{}
\theta (t) - \theta (\tau )
=
t\int
0
d\tau \sqrt{} \int t
\tau
a(\sigma )\sigma \beta d\sigma
\leq
\sqrt{}
1 + \beta
A0
t\int
0
d\tau \surd
t1+\beta - \tau 1+\beta
,
де A0 \equiv \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}[0,T ] a(t). В останньому iнтегралi виконаємо замiну z =
\tau
t
. Тодi
I \leq
\sqrt{}
1 + \beta
A0
t
1 - \beta
2
1\int
0
dz\surd
1 - z1+\beta
\leq
\sqrt{}
1 + \beta
A0
t
1 - \beta
2
1\int
0
dz\surd
1 - z
\leq C6t
1 - \beta
2 . (14)
Це означає, що iнтеграли J2, J3, J4 поводять себе, як t
1 - \beta
2 при t \rightarrow 0.
Позначимо U(t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in [0,h] | u(x, t)| , V (t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(x,\tau )\in [0,h]\times [0,t] | v(x, \tau )| , t \in [0, T ]. Врахо-
вуючи (11), (13) та умови теореми, з формул (7) – (9) знаходимо
U(t) \leq C7 + C8
t\int
0
(| b(\tau )| V (\tau ) + \tau \gamma U(\tau )) d\tau , t \in [0, T ], (15)
V (t) \leq C9
t
\beta - 1
2
+ C10
t\int
0
| b(\tau )| V (\tau ) + \tau \gamma U(\tau )\surd
t\beta +1 - \tau \beta +1
d\tau , t \in (0, T ], (16)
| b(t)| \leq C11t
\gamma + C12t
\beta V (t) + C13t
\gamma U(t), t \in [0, T ]. (17)
Iз формул (15) – (17) випливає, що функцiя u = u(x, t) неперервна в QT , функцiя v = v(x, t)
поводить себе, як t
1 - \beta
2 при t \rightarrow 0, а b(t) прямує до нуля при t \rightarrow 0, як степенева функцiя t\eta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
926 Н. М. ГУЗИК
Розв’яжемо систему нерiвностей (15) – (17). Позначимо \widetilde b(t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}0\leq \tau \leq t | b(\tau )| . Очевидно,
що для цiєї функцiї виконується нерiвнiсть (17). Оскiльки функцiї \widetilde b = \widetilde b(t), V = V (t) неспаднi,
нерiвнiсть (15) запишемо у виглядi
U(t) \leq C7 + C8T\widetilde b(t)V (t) + C8
t\int
0
\tau \gamma U(\tau ) d\tau , t \in [0, T ].
Застосовуючи лему 2.2.2 [17, с. 23] до останньої нерiвностi, отримуємо
U(t) \leq C14
\Bigl(
1 +\widetilde b(t)V (t)
\Bigr)
, t \in [0, T ]. (18)
Тодi нерiвнiсть (17) набирає вигляду
\widetilde b(t)(1 - C15t
\gamma V (t)) \leq C16t
\gamma + C12t
\beta V (t), t \in [0, T ]. (19)
Враховуючи поведiнку функцiї V = V (t) при t \rightarrow 0, можемо стверджувати, що iснує таке
число t1, 0 < t1 \leq T, що виконується нерiвнiсть
1 - C15t
\gamma
1V (t) \geq 1
2
. (20)
Це означає, що нерiвностi (18), (19) можна записати у виглядi
| b(t)| \leq \widetilde b(t) \leq C17t
\gamma + C18t
\beta V (t), t \in [0, t1], (21)
U(t) \leq C19
\Bigl(
1 + t\gamma V (t) + t\beta V 2(t)
\Bigr)
, t \in [0, t1]. (22)
Пiдставляючи (21), (22) в (16), приходимо до нерiвностi
V (t) \leq C20
t
\beta - 1
2
+ C21
t\int
0
\tau \gamma V (\tau ) + \tau \beta V 2(\tau )\surd
t\beta +1 - \tau \beta +1
d\tau . (23)
Позначимо V1(t) = V (t)t
\beta - 1
2 . Нерiвнiсть (23) домножимо на t
\beta - 1
2 . Оскiльки \beta \geq 1, то
1\surd
t\beta +1 - \tau \beta +1
\leq 1
t
\beta
2
\sqrt{}
t -
\bigl(
\tau
t
\bigr) \beta
\tau
\leq 1
t
\beta
2
\surd
t - \tau
.
В результатi з (23) отримуємо
V1(t) \leq C20 +
C21\surd
t
t\int
0
\tau \gamma -
\beta - 1
2 V1(\tau ) + \tau V 2
1 (\tau )\surd
t - \tau
d\tau , t \in [0, t1]. (24)
Нехай \gamma \leq \beta + 1
2
. Тодi
V1(t) \leq C20 +
C22\surd
t
t\int
0
\tau \gamma -
\beta - 1
2 (V1(\tau ) + 1)2\surd
t - \tau
d\tau ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА У ПАРАБОЛIЧНОМУ РIВНЯННI . . . 927
або, позначаючи V2(t) = V1(t) + 1,
V2(t) \leq C23 +
C22\surd
t
t\int
0
\tau \gamma -
\beta - 1
2 V 2
2 (\tau )\surd
t - \tau
d\tau , t \in [0, t1]. (25)
Пiднесемо обидвi частини (25) до квадрата, використавши при цьому нерiвностi Кошi та Кошi –
Буняковського [18, с. 49, 382]:
V 2
2 (t) \leq 2C2
23 + 4C2
22t
\gamma - \beta - 2
2
t\int
0
\tau \gamma -
\beta +1
2 V 4
2 (\tau )\surd
t - \tau
d\tau .
В останнiй нерiвностi замiнимо t на \sigma i, домноживши на
\sigma \gamma - \beta - 1
2
\surd
t - \sigma
, зiнтегруємо її по \sigma вiд 0
до t :
t\int
0
\sigma \gamma - \beta - 1
2 V 2
2 (\sigma )\surd
t - \sigma
d\sigma \leq C24t
\gamma - \beta - 2
2 + C25t
2\gamma - \beta + 3
2
t\int
0
\tau \gamma -
\beta +1
2 V 4
2 (\tau )d\tau .
Враховуючи останню нерiвнiсть в (25), знаходимо
V2(t) \leq C26 + C27
t\int
0
V 4
2 (\tau )
\tau
\beta +1
2
- \gamma
d\tau . (26)
Позначимо
\chi (t) = C26 + C27
t\int
0
V 4
2 (\tau )
\tau
\beta +1
2
- \gamma
d\tau . (27)
Тодi з (26) отримаємо V2(t) \leq \chi (t). Здиференцiювавши (27) i використавши останню нерiвнiсть,
одержимо
\chi \prime (t) \leq C27
t
\beta +1
2
- \gamma
\chi 4(t),
звiдки
\chi (t) \leq
C26
3
\sqrt{}
\gamma - \beta - 1
2
3
\sqrt{}
\gamma - \beta - 1
2 - 3C3
26C27t
\gamma - \beta - 1
2
.
Вибираючи число t2, 0 < t2 \leq T так, щоб
\gamma - \beta - 1
2
- 3C3
26C27t
\gamma - \beta - 1
2
2 > 0, (28)
маємо \chi (t) \leq C28, або
V2(t) \leq C28, t \in [0, t2].
У випадку \gamma >
\beta + 1
2
нерiвнiсть (24) зводиться до вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
928 Н. М. ГУЗИК
V2(t) \leq C29 + C30
t\int
0
V 2
2 (\tau )\surd
t - \tau
d\tau ,
звiдки, застосовуючи тi ж мiркування, що й при розв’язаннi (25), знаходимо
V2(t) \leq C31, t \in [0, t3],
де число t3, 0 < t3 \leq T, визначається сталими C29, C30. Тодi
| v(x, t)| \leq M1
t
\beta - 1
2
, (x, t) \in [0, h]\times (0, t4], (29)
де M1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ C28, C31\} , t4 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ t1, t2, t3\} . Зауважимо, що згiдно з (17) i (22)
| u(x, t)| \leq M2, (x, t) \in [0, h]\times [0, t4], (30)
| b(t)| \leq M0t
\eta , t \in [0, t4]. (31)
Це означає, що встановлено апрiорнi оцiнки (29) – (31) розв’язкiв системи рiвнянь (7) – (9).
Таким чином, задачу (1) – (4) зведено до еквiвалентної системи рiвнянь (7) – (9). Еквiва-
лентнiсть розумiємо так: якщо пара функцiй (b, u) є розв’язком задачi (1) – (4) при (x, t) \in
\in [0, h]\times [0, t4], то трiйка функцiй (u, v, b) \in C(Qt4)\times C([0, h]\times (0, t4])\times C[0, t4], | b(t)| \leq M0t
\eta ,
t \in [0, t4], задовольняє рiвностi (7) – (9), i, навпаки, якщо (u, v, b) є розв’язком системи (7) – (9),
то (b, u) належить до класу C[0, t4]\times C2,1(Qt4)\cap C(Qt4), задовольняє задачу (1) – (4) та оцiнку
| b(t)| \leq M0t
\eta , t \in [0, t4].
Справдi, перша частина твердження випливає зi способу отримання системи рiвнянь (7) –
(9). Щоб довести зворотне твердження, здиференцiюємо обидвi частини рiвностi (7). У резуль-
татi отримаємо
ux(x, t) =
h\int
0
G2(x, t, \xi , 0)\varphi
\prime (\xi )d\xi -
t\int
0
G2(x, t, 0, \tau )\mu
\prime
1(\tau )d\tau +
+
t\int
0
G2(x, t, h, \tau )\mu
\prime
2(\tau )d\tau +
t\int
0
h\int
0
G1x(x, t, \xi , \tau )f(\xi , \tau )d\xi d\tau +
+
t\int
0
h\int
0
G1x(x, t, \xi , \tau )(b(\tau )v(\xi , \tau ) + c(\xi , \tau )u(\xi , \tau ))d\xi d\tau .
Правi частини отриманої рiвностi та рiвностi (8) збiгаються, тому v(x, t) \equiv ux(x, t), (x, t) \in
\in [0, h] \times (0, t4]. Крiм того, з отриманої поведiнки функцiй b = b(t), v = v(x, t) випливає, що
добуток b(t)v(x, t) — неперервна функцiя в Qt4 . Використовуючи це в рiвностi (7), отримуємо
iнтегро-диференцiальне рiвняння щодо функцiї u = u(x, t). Звiдси робимо висновок, що функ-
цiя u належить до класу C2,1(Qt4) \cap C(Qt4) та задовольняє задачу (1) – (3) [17, с. 49]. Пiсля
цього рiвняння (9) можемо записати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА У ПАРАБОЛIЧНОМУ РIВНЯННI . . . 929
a(t)t\beta (ux(h, t) - ux(0, t) + b(t)(u(h, t) - u(0, t) +
h\int
0
(f(x, t) + c(x, t)u(x, t))dx = \mu \prime
3(t),
або
h\int
0
ut(x, t)dx = \mu \prime
3(t), t \in [0, t4].
Враховуючи умову узгодження
\int h
0
\varphi (x)dx = \mu 3(0), приходимо до умови (4), що й завершує
доведення еквiвалентностi задачi (1) – (4) та системи рiвнянь (7) – (9).
3. Доведення iснування розв’язку задачi (1) – (4). Застосувавши теорему Шаудера про
нерухому точку цiлком неперервного оператора, доведемо iснування розв’язку еквiвалентної
до задачi (1) – (4) системи рiвнянь (7) – (9).
Введемо новi функцiї p(t) = b(t)t - \eta , w(x, t) = t
\beta - 1
2 v(x, t). Систему рiвнянь (7) – (9) запи-
шемо у виглядi
u(x, t) =
4\sum
i=1
Ii +
t\int
0
h\int
0
G1(x, t, \xi , \tau )\times
\times
\Bigl(
\tau \eta -
\beta - 1
2 p(\tau )w(\xi , \tau ) + c(\xi , \tau )u(\xi , \tau )
\Bigr)
d\xi d\tau , (x, t) \in Qt4 , (32)
w(x, t) = t
\beta - 1
2
4\sum
i=1
Ji + t
\beta - 1
2
t\int
0
h\int
0
G1x(x, t, \xi , \tau )\times
\times
\Bigl(
\tau \eta -
\beta - 1
2 p(\tau )w(\xi , \tau ) + c(\xi , \tau )u(\xi , \tau )
\Bigr)
d\xi d\tau , (x, t) \in Qt4 , (33)
p(t) =
\left( \mu \prime
3(t) - a(t)t
\beta +1
2 (w(h, t) - w(0, t)) -
h\int
0
(f(x, t) + c(x, t)u(x, t))dx
\right) \times
\times t - \eta (\mu 2(t) - \mu 1(t))
- 1, t \in [0, t4]. (34)
Вiзьмемо довiльнi (u,w, p), для яких справджуються оцiнки (29) – (31). Оцiнимо правi
частини рiвнянь (32) – (34), використавши при цьому (29) – (31):
| P1(u,w, p)| \equiv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
4\sum
i=1
Ii +
t\int
0
h\int
0
G1(x, t, \xi , \tau )
\Bigl(
\tau \eta -
\beta - 1
2 p(\tau )w(\xi , \tau ) + c(\xi , \tau )u(\xi , \tau )
\Bigr)
d\xi d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq C7 + C32t
\eta - \beta - 3
2 + C33t
\gamma +1,
| P2(u,w, p)| \equiv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| t\beta - 1
2
4\sum
i=1
Ji + t
\beta - 1
2
t\int
0
h\int
0
G1x(x, t, \xi , \tau )
\Bigl(
\tau \eta -
\beta - 1
2 p(\tau )w(\xi , \tau )+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
930 Н. М. ГУЗИК
+c(\xi , \tau )u(\xi , \tau )) d\xi d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C9 + C34t
\eta - \beta - 1
2 + C35t
\gamma .
Зауважимо, що в отриманих оцiнках сталi C7, C9 меншi за M2, M1 вiдповiдно. Виберемо
число t5, 0 < t5 \leq T, так, щоб виконувалися нерiвностi
C7 + C32t
\eta - \beta - 3
2
5 + C33t
\gamma +1
5 \leq M2, (35)
C9 + C34t
\eta - \beta - 1
2
4 + C35t
\gamma
5 \leq M1. (36)
В результатi отримаємо
| P1(u,w, p)| \leq M2, (x, t) \in [0, h]\times [0, t5], (37)
| P2(u,w, p)| \leq M1, (x, t) \in [0, h]\times [0, t5]. (38)
Крiм того, враховуючи (37), (38), з (34) знаходимо
| P3(u,w, p)| \equiv
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggl(
\mu \prime
3(t) - a(t)t
\beta +1
2 (w(h, t) - w(0, t)) -
-
h\int
0
(f(x, t) + c(x, t)u(x, t))dx
\Biggr)
t - \eta (\mu 2(t) - \mu 1(t))
- 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M0, t \in [0, t5]. (39)
У банаховому просторi \BbbB = (C(QT0
))2 \times (C[0, T0]) визначимо множину N = \{ (u,w, p) \in
\in (C(QT0
))2 \times (C[0, T0]) : | u(x, t)| \leq M2, | w(x, t)| \leq M1, | p(t)| \leq M0\} , де T0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ t4, t5\} .
Очевидно, що множина N є замкненою й опуклою. Систему (32) – (34) запишемо у виглядi
операторного рiвняння
\omega = P\omega ,
де \omega = (u,w, p), а оператор P = (P1, P2, P3) визначається правими частинами рiвнянь (32) –
(34). Згiдно з наведеними вище мiркуваннями, оператор P переводить множину N в себе.
Те, що оператор P є цiлком неперервним, доводиться, як в [11] i [17, c. 27]. Тодi, згiдно з
теоремою Шаудера про нерухому точку цiлком неперервного оператора, iснує неперервний
розв’язок системи (32) – (34), а отже, i розв’язок задачi (1) – (4) при x \in [0, h], t \in [0, T0].
4. Доведення єдиностi розв’язку задачi (1) – (4). Єдинiсть розв’язку задачi (1) – (4) будемо
доводити методом вiд супротивного, виходячи з системи рiвнянь (32) – (34). Припустимо, що
iснують два розв’язки (ui, wi, pi), i = 1, 2, системи рiвнянь (32) – (34). Тодi для рiзниць u =
= u1 - u2, w = w1 - w2, p = p1 - p2 отримуємо систему
u(x, t) =
t\int
0
h\int
0
G1(x, t, \xi , \tau )\times
\times
\Bigl(
\tau \eta -
\beta - 1
2 p1(\tau )w(\xi , \tau ) + \tau \eta -
\beta - 1
2 w2(\xi , \tau )p(\tau ) + c(\xi , \tau )u(\xi , \tau )
\Bigr)
d\xi d\tau , (x, t) \in QT0
, (40)
w(x, t) = t
\beta - 1
2
t\int
0
h\int
0
G1x(x, t, \xi , \tau )\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА У ПАРАБОЛIЧНОМУ РIВНЯННI . . . 931
\times
\Bigl(
\tau \eta -
\beta - 1
2 p1(\tau )w(\xi , \tau ) + \tau \eta -
\beta - 1
2 w2(\xi , \tau )p(\tau ) + c(\xi , \tau )u(\xi , \tau )
\Bigr)
d\xi d\tau , (x, t) \in QT0
, (41)
p(t) =
\left( a(t)t
\beta +1
2 (w(h, t) - w(0, t)) -
h\int
0
c(x, t)u(x, t)dx
\right) \times
\times t - \eta (\mu 2(t) - \mu 1(t))
- 1, t \in [0, T0]. (42)
Пiдставивши рiвнiсть (42) у (40), (41), одержимо
u(x, t) =
t\int
0
h\int
0
G1(x, t, \xi , \tau )
\Biggl(
\tau \eta -
\beta - 1
2 p1(\tau )w(\xi , \tau ) + w2(\xi , \tau )
\Biggl(
\tau a(\tau )(w(h, \tau ) - w(0, \tau )) -
- \tau -
\beta - 1
2
h\int
0
c(\zeta , \tau )u(\zeta , \tau )d\zeta
\Biggr)
(\mu 2(\tau ) - \mu 1(\tau ))
- 1
\Biggr)
d\xi d\tau , (x, t) \in QT0
, (43)
w(x, t) = t
\beta - 1
2
t\int
0
h\int
0
G1x(x, t, \xi , \tau )
\Biggl(
\tau \eta -
\beta - 1
2 p1(\tau )w(\xi , \tau ) + w2(\xi , \tau )
\Biggl(
\tau a(\tau )(w(h, \tau ) - w(0, \tau )) -
- \tau -
\beta - 1
2
h\int
0
c(\zeta , \tau )u(\zeta , \tau )d\zeta
\Biggr)
(\mu 2(\tau ) - \mu 1(\tau ))
- 1
\Biggr)
d\xi d\tau , (x, t) \in QT0
. (44)
До системи рiвнянь (43), (44) приєднаємо ще два рiвняння вiдносно функцiй w(h, t), w(0, t) :
w(h, t) = t
\beta - 1
2
t\int
0
h\int
0
G1x(h, t, \xi , \tau )
\Biggl(
\tau \eta -
\beta - 1
2 p1(\tau )w(\xi , \tau ) + w2(\xi , \tau )
\Biggl(
\tau a(\tau )(w(h, \tau ) - w(0, \tau )) -
- \tau -
\beta - 1
2
h\int
0
c(\zeta , \tau )u(\zeta , \tau )d\zeta
\Biggr)
(\mu 2(\tau ) - \mu 1(\tau ))
- 1
\Biggr)
d\xi d\tau , t \in [0, T0], (45)
w(0, t) = t
\beta - 1
2
t\int
0
h\int
0
G1x(0, t, \xi , \tau )
\Biggl(
\tau \eta -
\beta - 1
2 p1(\tau )w(\xi , \tau ) + w2(\xi , \tau )
\Biggl(
\tau a(\tau )(w(h, \tau ) - w(0, \tau )) -
- \tau -
\beta - 1
2
h\int
0
c(\zeta , \tau )u(\zeta , \tau )d\zeta
\Biggr)
(\mu 2(\tau ) - \mu 1(\tau ))
- 1
\Biggr)
d\xi d\tau , t \in [0, T0]. (46)
В результатi отримаємо систему однорiдних iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду (43) –
(46). Враховуючи (11), (13), можемо стверджувати, що ядра цiєї системи мають iнтегровнi
особливостi. Це означає, що сама система має лише тривiальний розв’язок.
Теорему доведено.
Зауваження. З доведення теореми випливає, що поведiнка функцiї b = b(t) при t \rightarrow 0
зумовлена тим, щоб забезпечити збiжнiсть iнтеграла J5 та встановити поведiнку функцiї v =
= v(x, t) як розв’язку iнтегрального рiвняння (8).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
932 Н. М. ГУЗИК
Лiтература
1. Cannon J. R., Peres-Esteva S. Determination of the coefficient of ux in a linear parabolic equation // Inverse
Problems. – 1993. – 10, № 3. – P. 521 – 531.
2. Hong-Ming Yin. Global solvability for some parabolic inverse problems // J. Math. Anal. and Appl. – 1991. –
P. 392 – 403.
3. Trong D. D., Ang D. D. Coefficient identification for a parabolic equation // Inverse Problems. – 1994. – 10, № 3. –
P. 733 – 752.
4. Пабирiвська Н., Вареник О. Визначення молодшого коефiцiєнта у параболiчному рiвняннi // Вiсн. Львiв. ун-ту.
Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 181 – 189.
5. Гринцiв Н. М., Снiтко Г. А. Оберненi задачi визначення коефiцiєнта при першiй похiднiй в параболiчному
рiвняннi в областi з вiльною межею // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 181 – 189.
6. Снiтко Г. А. Обернена задача для параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею // Мат. методи та фiз.-мех.
поля. – 2007. – 50, № 4. – С. 7 – 18.
7. Снiтко Г. А. Визначення невiдомого множника в коефiцiєнтi при першiй похiднiй в параболiчному рiвняннi в
областi з вiльною межею // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2007. – Вип. 67. – С. 233 – 247.
8. Deng Zui-Cha, Yang Liu. An inverse problem of identifying the radiative coefficient in a degenerate parabolic equation
// Chin. Ann. Math. – 2014. – 35B(3). – P. 355 – 382.
9. Tort J. An inverse diffusion problem in a degenerate parabolic equation // Monogr. Real Acad. Cie. Zaragoza. –
2012. – 38. – P. 137 – 145.
10. Салдiна Н. В. Iдентифiкацiя старшого коефiцiєнта в параболiчному рiвняннi з виродженням // Наук. вiсн.
Чернiв. ун-ту. Математика. – 2006. – Вип. 288. – С. 99 – 106.
11. Iванчов М. I., Салдiна Н. В. Обернена задача для параболiчного рiвняння з сильним степеневим виродженням
// Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 11. – С. 1487 – 1500.
12. Гринцiв Н. Визначення коефiцiєнта перед першою похiдною у параболiчному рiвняннi з виродженням // Вiсн.
Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2009. – Вип. 71. – С. 78 – 87.
13. Hryntsiv N. M. Non-local inverse problem for a weakly degenerate parabolic equation // Вiсн. нац. ун-ту „Львiв.
полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2011. – Вип. 696. – С. 32 – 39.
14. Гринцiв Н. Обернена задача з вiльною межею для слабко виродженого параболiчного рiвняння // Укр. мат.
вiсн. – 2012. – 9, № 1. – С. 41 – 62.
15. Huzyk N. Inverse free boundary problems for a generally degenerate parabolic equation // J. Inverse and Ill-posed
Problems. – 2015. – 23, Issue 2. – P. 103 – 119.
16. Huzyk N. Inverse problem of determining the coefficients in a degenerate parabolic equation // Electron. J. Different.
Equat. – 2014. – 2014, № 172. – P. 1 – 11.
17. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. – Lviv: VNTL Publ., 2003. – 240 p.
18. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. –
543 с.
Одержано 27.07.15,
пiсля доопрацювання — 29.03.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1886 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:36Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e8/0c2c49536c37e7cda730f7c87008a6e8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18862019-12-05T09:30:37Z Determination of the lower coefficient in a parabolic equation with strong power degeneration Визначення молодшого коефіцієнта у параболічному рівнянні з сильним степеневим виродженням Huzyk, N. M. Гузик, Н. М. We establish conditions for the existence and uniqueness of the classical solution to the inverse problem of identification of the time-dependent coefficient at the first derivative in a one-dimensional degenerate parabolic equation. The Dirichlet boundary conditions and the integral condition of overdetermination are imposed. We study the case of strong power degeneration. Установлены условия существования и единственности классического решения обратной задачи определения зависящего от времени младшего коэффициента в одномерном параболическом уравнении с вырождением. Заданы краевые условия Дирихле и интегральное условие переопределения. Исследован случай сильного степенного вырождения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1886 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 6 (2016); 922-932 Український математичний журнал; Том 68 № 6 (2016); 922-932 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1886/868 Copyright (c) 2016 Huzyk N. M. |
| spellingShingle | Huzyk, N. M. Гузик, Н. М. Determination of the lower coefficient in a parabolic equation with strong power degeneration |
| title | Determination of the lower coefficient in a parabolic equation with strong power
degeneration |
| title_alt | Визначення молодшого коефіцієнта у параболічному рівнянні з сильним степеневим виродженням |
| title_full | Determination of the lower coefficient in a parabolic equation with strong power
degeneration |
| title_fullStr | Determination of the lower coefficient in a parabolic equation with strong power
degeneration |
| title_full_unstemmed | Determination of the lower coefficient in a parabolic equation with strong power
degeneration |
| title_short | Determination of the lower coefficient in a parabolic equation with strong power
degeneration |
| title_sort | determination of the lower coefficient in a parabolic equation with strong power
degeneration |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1886 |
| work_keys_str_mv | AT huzyknm determinationofthelowercoefficientinaparabolicequationwithstrongpowerdegeneration AT guziknm determinationofthelowercoefficientinaparabolicequationwithstrongpowerdegeneration AT huzyknm viznačennâmolodšogokoefícíêntauparabolíčnomurívnânnízsilʹnimstepenevimvirodžennâm AT guziknm viznačennâmolodšogokoefícíêntauparabolíčnomurívnânnízsilʹnimstepenevimvirodžennâm |