Estimation of the uniform norm of one-dimensional Riesz potential of a partial derivative of a function with bounded Laplacian
We obtain new exact Landau-type estimates for the uniform norms of one-dimension Riesz potentials of the partial derivatives of a multivariable function in terms of the norm of the function itself and the norm of its Laplacian.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1887 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507771582021632 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. |
| author_facet | Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:55Z |
| description | We obtain new exact Landau-type estimates for the uniform norms of one-dimension Riesz potentials of the partial
derivatives of a multivariable function in terms of the norm of the function itself and the norm of its Laplacian. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко, Н. В. Парфинович (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара)
ОЦЕНКА РАВНОМЕРНОЙ НОРМЫ
ОДНОМЕРНОГО ПОТЕНЦИАЛА РИССА
ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
С ОГРАНИЧЕННЫМ ЛАПЛАСИАНОМ
We obtain new exact Landau-type estimates for the uniform norms of one-dimension Riesz potentials of the partial
derivatives of a multivariable function in terms of the norm of the function itself and the norm of its Laplacian.
Отримано новi точнi оцiнки типу Ландау рiвномiрних норм одновимiрних потенцiалiв Рiсса частинних похiдних
функцiї багатьох змiнних через норму самої функцiї i норму результату застосування до неї оператора Лапласа.
Неравенства, оценивающие нормы промежуточных производных функций одной и многих пе-
ременных через нормы самих функций и нормы производных более высокого порядка, играют
важную роль во многих областях математики и ее приложений. Особенно важны неулучша-
емые неравенства такого типа, и на протяжении более 100 лет усилия многих математиков
были направлены на их получение. К настоящему времени известно значительное количество
точных неравенств такого типа для функций одной переменной. Обзоры многих известных в
этом направлении результатов и дальнейшие ссылки можно найти в [1 – 3]. Ряд точных нера-
венств для промежуточных производных целого порядка функций многих переменных получен
в работах [4 – 11].
Во многих вопросах анализа возникает необходимость наряду с производными целых по-
рядков рассматривать и производные дробных порядков (см., например, [12]). Некоторые из-
вестные точные неравенства типа Колмогорова для производных дробного порядка можно
найти в работах [13 – 19], [20] (глава 2).
Ранее нами получены точные неравенства, оценивающие нормы производных Рисса функ-
ций многих переменных через равномерные нормы функций и Lp-нормы результата примене-
ния к функциям оператора Лапласа (см. [21, 22]), а также Lp-нормы их градиентов (см. [23]).
Пусть \BbbR m, m \in \BbbN , — евклидово пространство точек x = (x1, . . . , xm), | x| =
\Bigl( \sum m
i=1
x2i
\Bigr) 1/2
.
Через C = C(\BbbR m) будем обозначать пространство непрерывных ограниченных функций u :
\BbbR m \rightarrow \BbbR с нормой
\| u\| C = \| u\| C(\BbbR m) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ | u(x)| : x \in \BbbR m\} ,
через L\infty = L\infty (\BbbR m) — пространство измеримых существенно ограниченных функций на \BbbR m
с нормой
\| u\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ | u(x)| : x \in \BbbR m\} ,
через D = D(\BbbR m) — пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций на
\BbbR m. Через L\Delta
\infty = L\Delta
\infty (\BbbR m) обозначим класс функций u \in C, для которых значение оператора
c\bigcirc В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7 867
868 В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ
Лапласа
\Delta u =
\partial 2u
\partial x21
+ . . .+
\partial 2u
\partial x2m
принадлежит L\infty (\BbbR m). В случае m = 1 под \Delta u мы понимаем u\prime \prime , при этом u\prime \prime и \Delta u понимают-
ся в смысле Соболева, а именно, относительно пары функций u \in C и v \in L\infty считаем, что
u \in L\Delta
\infty и v = \Delta u, если для любой функции \varphi \in D выполняется равенство\int
\BbbR m
v(x)\varphi (x) dx =
\int
\BbbR m
u(x)\Delta \varphi (x) dx. (1)
В. Г. Тимофеевым [8, 9] получено точное неравенство, оценивающее нормы частных производ-
ных \| u\prime xi
\| C функций из класса L\Delta
\infty через нормы \| u\| C и \| \Delta u\| \infty :
\| u\prime xi
\| C \leq
\surd
2\| u\| 1/2C \| \Delta u\| 1/2\infty
(при m = 1 это неравенство Ландау [24]).
Пусть u : \BbbR m \rightarrow \BbbR , i = 1, 2, . . . ,m и \alpha \in (0, 1). Одномерным потенциалом Рисса (опреде-
ление потенциала Рисса см. в [12, с. 173]) порядка \alpha частной производной \partial u/\partial xi функции u
назовем
(I\alpha xi
u)(x) =
1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
u(x - tei)
| t| 1 - \alpha
dt,
где ei — i-й орт пространства \BbbR m.
Для h > 0 и i = 1, . . . ,m определим функцию vh,i следующим образом:
vh,i(x) =
\left\{
xi
h2
(h - xi) +
xi
h
, xi \in [0, h],
xi
h2
(h+ xi) +
xi
h
, xi \in [ - h, 0],
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}xi, xi /\in [ - h, h].
(2)
В случае m = 1 вместо vh,i будем писать vh, а вместо xi — x.
В данной работе мы получим неулучшаемые неравенства, оценивающие \| I\alpha xi
u\prime xi
\| C через
\| u\| C и \| \Delta u\| \infty .
Теорема. Пусть 0 < \alpha < 1. Тогда для любой функции f \in L\Delta
\infty при каждом h > 0 и
i = 1, . . . ,m имеют место точные неравенства
\| I\alpha xi
u\prime xi
\| C \leq 1
\Gamma (\alpha + 1)
\biggl(
2
h1 - \alpha
\| u\| C +
1 - \alpha
1 + \alpha
h1+\alpha \| \Delta u\| \infty
\biggr)
, (3)
которые обращаются в равенства для функций vh,i при всех h > 0.
Кроме того, для любой функции f \in L\Delta
\infty имеет место точное неравенство
\| I\alpha xi
u\prime xi
\| \infty \leq 2
\Gamma (\alpha + 2)
2
1+\alpha
2 \| u\|
1+\alpha
2
C \| \Delta u\|
1 - \alpha
2\infty ,
которое превращается в равенство для функции vh,i при любом значении параметра h > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ОЦЕНКА РАВНОМЕРНОЙ НОРМЫ ОДНОМЕРНОГО ПОТЕНЦИАЛА РИССА . . . 869
Доказательство. Рассмотрим сначала случай m = 1. Как известно (см., например, [25],
соотношение (6)), для u \in L\Delta
\infty имеет место представление
u(x) = u( - h)
h - x
2h
(x, - h) + u(h)
x+ h
2h
(x, h) -
h\int
- h
G(x, t)u\prime \prime (t) dt =
= u( - h)
\partial G
\partial t
(x, - h) - u(h)
\partial G
\partial t
(x, h) -
h\int
- h
G(x, t)u\prime \prime (t) dt, x \in [ - h, h],
где
G(x, t) =
\left\{
(h - x)(t+ h)
2h
, t \in [ - h, x],
(h - t)(x+ h)
2h
, t \in [x, h],
(4)
а под
\partial G
\partial t
(x, - h) и
\partial G
\partial t
(x, h) понимаются правая и левая производные соответственно.
Отсюда для производной любой функции u \in L\Delta
\infty легко следует представление
u\prime (x) = u( - h)
\partial 2G
\partial x\partial t
(x, - h) - u(h)
\partial 2G
\partial x\partial t
(x, h) -
h\int
- h
\partial G
\partial x
(x, t)u\prime \prime (t) dt =
=
1
2h
(u(h) - u( - h)) -
h\int
- h
\partial G
\partial x
(x, t)u\prime \prime (t) dt, (5)
которое, впрочем, можно получить и непосредственно.
Для функции u \in L\Delta
\infty из (5) следует непрерывность первой производной u\prime , а вместе с
ней и непрерывность I\alpha u\prime . Установим оценку сверху для \| I\alpha u\prime \| C . Для этого, вследствие инва-
риантности величины \| I\alpha u\prime \| C относительно сдвига аргумента, достаточно оценить | I\alpha u\prime (0)| .
Для любого h > 0 имеем
(I\alpha u\prime )(0) =
1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
u\prime (t)
| t| 1 - \alpha
dt =
1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
\Phi (t)u\prime (t) dt+
1
\Gamma (\alpha )
h\int
- h
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr)
u\prime (t) dt,
где
\Phi (t) =
\left\{
1
h1 - \alpha
, t \in [ - h, h],
1
| t| 1 - \alpha
, t /\in [ - h, h].
После интегрирования по частям в первом слагаемом, подстановки выражения (5) для u\prime (t) во
второе слагаемое и перемены порядка интегрирования получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
870 В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ
(I\alpha u\prime )(0) = - 1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
\Phi \prime (t)u(t) dt+
1
\Gamma (\alpha )
h\int
- h
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr)
u\prime (t) dt =
= - 1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
\Phi \prime (t)u(t) dt+
+
1
\Gamma (\alpha )
h\int
- h
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr) \left\{ 1
2h
(u(h) - u( - h)) -
h\int
- h
\partial G
\partial t
(t, \xi )u\prime \prime (\xi ) d\xi
\right\} dt.
Таким образом,
(I\alpha u\prime )(0) = - 1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
\Phi \prime (t)u(t) dt+
1
\Gamma (\alpha )
1
2h
(u(h) - u( - h))
h\int
- h
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr)
dt -
- 1
\Gamma (\alpha )
h\int
- h
u\prime \prime (\xi )
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr)
\partial G
\partial t
(t, \xi ) dtd\xi . (6)
Теперь оценим | I\alpha u\prime (0)| :
| I\alpha u\prime (0)| \leq 1
\Gamma (\alpha )
\left( \infty \int
- \infty
| \Phi \prime (t)| dt+ 1 - \alpha
\alpha
2h\alpha - 1
\right) \| u\| C +
1
\Gamma (\alpha )
h\int
- h
| F (\xi )| d\xi \| u\prime \prime \| \infty =
=
1
\Gamma (\alpha )
2h\alpha - 1
\alpha
\| u\| C +
1
\Gamma (\alpha )
h\int
- h
| F (\xi )| d\xi \| u\prime \prime \| \infty , (7)
где
F (\xi ) =
h\int
- h
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr)
\partial G
\partial t
(t, \xi ) dt, \xi \in [ - h, h].
Покажем, что
h\int
- h
| F (\xi )| d\xi =
1 - \alpha
\alpha (1 + \alpha )
h1+\alpha .
Рассмотрим функцию vh, h > 0 (см. (2)). Для ее производной имеем
v\prime h(x) =
\left\{
2
h
- 2x
h2
, x \in [0, h],
2
h
+
2x
h2
, x1 \in [ - h, 0],
0, x /\in [ - h, h].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ОЦЕНКА РАВНОМЕРНОЙ НОРМЫ ОДНОМЕРНОГО ПОТЕНЦИАЛА РИССА . . . 871
Вычисляя I\alpha v\prime h в точке x = 0, получаем
(I\alpha v\prime h)(0) =
1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
1
| t| 1 - \alpha
v\prime h(t) dt =
1
\Gamma (\alpha )
h\int
0
1
t1 - \alpha
\biggl(
2
h
- 2t
h2
\biggr)
dt+
+
1
\Gamma (\alpha )
0\int
- h
1
( - t)1 - \alpha
\biggl(
2
h
+
2t
h2
\biggr)
dt =
4
\alpha (\alpha + 1)\Gamma (\alpha )
h\alpha - 1. (8)
Как несложно проверить, F (\xi ) \leq 0 для \xi \in [ - h, 0] и F (\xi ) \geq 0 для \xi \in [0, h]. С учетом
этого замечания выражение (6) для этой функции принимает вид
(I\alpha v\prime h)(0) =
1
\Gamma (\alpha )
2h\alpha - 1
\alpha
+
1
\Gamma (\alpha )
2
h2
h\int
- h
| F (\xi )| d\xi .
Следовательно, с учетом (8) имеем
1
\Gamma (\alpha )
2h\alpha - 1
\alpha
+
1
\Gamma (\alpha )
2
h2
h\int
- h
| F (\xi )| d\xi =
4
\alpha (\alpha + 1)\Gamma (\alpha )
h\alpha - 1,
откуда
h\int
- h
| F (\xi )| d\xi =
1 - \alpha
\alpha (\alpha + 1)
h\alpha +1. (9)
Подставляя (9) в (7), получаем
| I\alpha u\prime (0)| \leq 1
\alpha \Gamma (\alpha )
\biggl(
2
h1 - \alpha
\| u\| C +
1 - \alpha
1 + \alpha
h1+\alpha \| \Delta u\| \infty
\biggr)
,
откуда следует неравенство (3) в случае m = 1.
Учитывая соотношения \| vh\| C = 1, \| v\prime \prime h\| \infty =
2
h2
и \| I\alpha v\prime h\| \infty =
4
\alpha (\alpha + 1)\Gamma (\alpha )
h\alpha - 1, нетруд-
но убедиться в том, что неравенство (3) превращается в равенство для функции vh.
Подставляя в правую часть (3) h =
\sqrt{}
2\| u\| C
\| u\prime \prime \| \infty
, приходим к неравенству
\| I\alpha u\prime \| \infty \leq 2
\Gamma (\alpha )
2
1+\alpha
2
\alpha (1 + \alpha )
\| u\|
1+\alpha
2
C \| u\prime \prime \|
1 - \alpha
2\infty ,
которое превращается в равенство для функции vh при любом значении параметра h.
Теперь рассмотрим случай m \geq 2. Выделим в \BbbR m слой
\Pi h = \{ \xi = (\xi 1, . . . , \xi m) \in \BbbR m : - h < \xi 1 < h, - \infty < \xi i < \infty , i = 2, . . . ,m\} , h > 0.
Пусть G(\xi , \eta ) — функция Грина внутренней задачи Дирихле для слоя \Pi h, т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
872 В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ
G(\xi , \eta ) =
\left\{
\Gamma (m/2)
(n - 2)2\pi m/2
| \xi - \eta | 2 - m - g(\xi , \eta ), если m \geq 3,
- 1
2\pi
\mathrm{l}\mathrm{n} | \xi - \eta | - g(\xi , \eta ), если m = 2,
где g(\xi , \eta ) — такая гармоническая функция в \Pi h, что для всех \eta \in \Pi h G(\xi , \eta ) = 0, если
\xi \in \partial \Pi h.
Отметим, что ранее задачу Дирихле для слоя в \BbbR m использовал В. Г. Тимофеев при иссле-
довании неравенств Колмогорова (см. [8, 9]).
Известно (см., например, [8, 9]), что для частной производной первого порядка любой
функции u \in L\Delta
\infty имеет место интегральное представление
u\prime x1
(x) =
\partial u
\partial x1
(x) = -
\int
\partial \Pi h
u(\xi )
\partial 2G(\xi , x)
\partial x1\partial n\xi
d\xi -
\int
\Pi h
\Delta u(\xi )
\partial G(\xi , x)
\partial x1
d\xi , x \in \Pi h, (10)
где
\partial G(\xi , x)
\partial n\xi
— производная по направлению внешней нормали к границе \partial \Pi h области \Pi h.
Для функции u \in L\Delta
\infty из [9] следует непрерывность первой частной производной u\prime x1
, а
вместе с ней и непрерывность I\alpha x1
u\prime x1
.
Установим оценку сверху для \| I\alpha x1
(u\prime x1
)\| C . Как и в случае m = 1, для этого достаточно
оценить величину | I\alpha x1
(u\prime x1
)(0)| .
Для любого h > 0 имеем
(I\alpha x1
u\prime x1
)(0) =
1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
u\prime x1
(te1)
| t| 1 - \alpha
dt =
1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
\Phi (t)u\prime x1
(te1) dt+
+
1
\Gamma (\alpha )
h\int
- h
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr)
u\prime x1
(t) dt,
где, как и выше, функция \Phi (t) определена соотношением
\Phi (t) =
\left\{
1
h1 - \alpha
, t \in [ - h, h],
1
| t| 1 - \alpha
, t /\in [ - h, h].
После интегрирования по частям в первом слагаемом и подстановки из (10) выражения для
u\prime x1
во второе слагаемое получаем
(I\alpha x1
u\prime x1
)(0) = - 1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
\Phi \prime (t)u(te1) dt+
+
1
\Gamma (\alpha )
h\int
- h
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr) \left\{ -
\int
\partial \Pi h
u(\xi )
\partial 2G(\xi , te1)
\partial x1\partial n\xi
d\xi -
\int
\Pi h
\Delta u(\xi )
\partial G(\xi , te1)
\partial x1
d\xi
\right\} dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ОЦЕНКА РАВНОМЕРНОЙ НОРМЫ ОДНОМЕРНОГО ПОТЕНЦИАЛА РИССА . . . 873
После перемены порядка интегрирования будем иметь
(I\alpha x1
u\prime x1
)(0) = - 1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
\Phi \prime (t)u(te1) dt -
- 1
\Gamma (\alpha )
\int
\partial \Pi h
u(\xi )
h\int
- h
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr)
\partial 2G(\xi , te1)
\partial x1\partial n\xi
dt d\xi -
- 1
\Gamma (\alpha )
\int
\Pi h
\Delta u(\xi )
h\int
- h
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr)
\partial G(\xi , te1)
\partial x1
dt d\xi . (11)
Полагая
F1(\xi ) =
h\int
- h
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr)
\partial 2G(\xi , te1)
\partial x1\partial n\xi
dt, \xi \in \partial \Pi h, (12)
F2(\xi ) =
h\int
- h
\biggl(
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
\biggr)
\partial G(\xi , te1)
\partial x1
dt, \xi \in \Pi h, (13)
записываем (11) в виде
(I\alpha x1
u\prime x1
)(0) = - 1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
\Phi \prime (t)u(te1) dt -
1
\Gamma (\alpha )
\int
\partial \Pi h
F1(\xi )u(\xi ) d\xi -
- 1
\Gamma (\alpha )
\int
\Pi h
F2(\xi )\Delta u(\xi ) d\xi . (14)
Теперь оценим | (I\alpha x1
u\prime x1
)(0)| :
| (I\alpha x1
u\prime x1
)(0)| \leq 1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
| \Phi \prime (t)| | u(te1)| dt+
+
1
\Gamma (\alpha )
\int
\partial \Pi h
| F1(\xi )| | u(\xi )| d\xi +
1
\Gamma (\alpha )
\int
\Pi h
| F2(\xi )| | \Delta u(\xi )| d\xi \leq
\leq A(m,\alpha )\| u\| C +B(m,\alpha )\| \Delta u\| \infty , (15)
где
A(m,\alpha ) =
1
\Gamma (\alpha )
\left( \infty \int
- \infty
| \Phi \prime (t)| dt+
\int
\partial \Pi h
| F1(\xi )| d\xi
\right) , B(m,\alpha ) =
1
\Gamma (\alpha )
\int
\Pi h
| F2(\xi )| d\xi .
Для вычисления A(m,\alpha ) и B(m,\alpha ) нам понадобятся некоторые свойства функций F1(\xi )
и F2(\xi ), которые мы сформулируем в виде утверждений 1 и 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
874 В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ
Утверждение 1. Если \xi 1 = - h, то F1(\xi )| \xi 1= - h \geq 0. Если \xi 1 = h, то F1(\xi )| \xi 1=h \leq 0.
Доказательство. Пусть \scrM (t) =
1
| t| 1 - \alpha
- 1
h1 - \alpha
. Тогда (12) принимает вид
F1(\xi ) =
h\int
- h
\scrM (t)
\partial 2G(\xi , te1)
\partial x1\partial n\xi
dt. (16)
После интегрирования по частям в (16) имеем
F1(\xi ) = -
h\int
- h
\scrM \prime (t)
\partial G(\xi , te1)
\partial n\xi
dt = -
\left( 0\int
- h
+
h\int
0
\right) \scrM \prime (t)
\partial G(\xi , te1)
\partial n\xi
dt. (17)
Заметим, что \scrM \prime (t), являясь нечетной функцией, принимает отрицательные значения для t \in
\in (0, h). После замены переменной в первом слагаемом в (17) получаем
F1(\xi ) =
h\int
0
( - \scrM \prime (t))
\partial
\partial n\xi
(G(\xi , te1) - G(\xi , - te1)) dt.
Для \xi = (\xi 1, \xi 2, . . . , \xi n) положим \widetilde \xi = ( - \xi 1, \xi 2, . . . , \xi n).
Поскольку функция G(\xi , \eta ) является функцией Грина слоя \Pi h, то, как нетрудно проверить,
функция G(\xi , \eta ) = G(\xi , \eta ) - G(\xi , \widetilde \eta ) является функцией Грина слоя \Pi \prime
h = \{ \xi = (\xi 1, . . . , \xi m) \in
\in \BbbR m : 0 < \xi 1 < h, - \infty < \xi i < \infty , i = 2, . . . ,m\} , h > 0. Следовательно,
\partial G(\xi , \eta )
\partial n\xi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\partial \Pi \prime
h
\leq 0, (18)
где
\partial G(\xi , \eta )
\partial n\xi
— производная по направлению внешней нормали к \partial \Pi \prime
h.
Учитывая это свойство и тот факт, что ( - \scrM \prime (t)) > 0 при 0 < t < h, получаем F1(\xi )| \xi 1=h \leq
\leq 0.
Аналогично, выполняя замену во втором интеграле (17), приходим к представлению
F1(\xi ) =
0\int
- h
( - \scrM \prime (t))
\partial
\partial n\xi
(G(\xi , te1) - G(\xi , - te1)) dt =
0\int
- h
\bigl(
- \scrM \prime (t)
\bigr) \partial
\partial n\xi
G(\xi , te1) dt.
Учитывая, что функция G(\xi , \eta ) является функцией Грина слоя \Pi \prime \prime
h = \{ \xi 1, . . . , \xi n) \in \BbbR n : - h <
< \xi 1 < 0, - \infty < \xi i < \infty , i = 2, . . . , n\} , h > 0, отрицательность функции ( - \scrM \prime (t)) при
t \in ( - h, 0) и свойство (18), получаем F1(\xi )| \xi 1= - h \geq 0.
Утверждение 1 доказано.
Утверждение 2. Если - h \leq \xi 1 \leq 0, то F2(\xi ) \leq 0, а если 0 \leq \xi 1 \leq h, то F2(\xi ) \geq 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ОЦЕНКА РАВНОМЕРНОЙ НОРМЫ ОДНОМЕРНОГО ПОТЕНЦИАЛА РИССА . . . 875
Доказательство. Рассуждая, как при доказательстве утверждения 1, приходим к представ-
лениям
F2(\xi ) =
h\int
0
( - \scrM \prime (t))G(\xi , te1) dt, (19)
где G(\xi , \eta ) = G(\xi , \eta ) - G(\xi , \widetilde \eta ) — функция Грина слоя \Pi \prime
h, и
F2(\xi ) =
0\int
- h
( - \scrM \prime (t))G(\xi , te1) dt, (20)
где G(\xi , \eta ) = G(\xi , \eta ) - G(\xi , \widetilde \eta ) — функция Грина слоя \Pi \prime \prime
h.
Поскольку G(\xi , \eta ) \geq 0 в \Pi \prime
h, а ( - \scrM \prime (t)) > 0 при 0 < t < h, из (19) получаем F2(\xi ) \geq 0
при 0 \leq \xi 1 \leq h. Аналогично, используя отрицательность ( - \scrM \prime (t)) при - h < t < 0, из (20)
имеем F2(\xi ) \leq 0 при - h \leq \xi 1 \leq 0.
Утверждение 2 доказано.
Вычислим A(m,\alpha ). С этой целью рассмотрим функцию
w(x) =
\Biggl\{ 1
h
x1, x \in \Pi h,
signx1, x /\in \Pi h.
Функция w является решением задачи \Delta w = 0, w| \partial \Pi h
= sign \xi 1 в слое \Pi h. Выражение (14)
для этой функции с учетом утверждения 1 принимает вид
(I\alpha x1
w\prime
x1
)(0) = - 1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
\Phi \prime (t)w(te1) dt+
1
\Gamma (\alpha )
\int
\partial \Pi h
| F1(\xi )| d\xi =
=
1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
| \Phi \prime (t)| dt+ 1
\Gamma (\alpha )
\int
\partial \Pi h
| F1(\xi )| d\xi . (21)
Таким образом,
A(m,\alpha ) = (I\alpha x1
w\prime
x1
)(0).
Вычисляя (I\alpha x1
w\prime
x1
)(0), получаем
A(m,\alpha ) =
1
\Gamma (\alpha )
1
h
h\int
- h
1
| t| 1 - \alpha
dt =
2
\alpha \Gamma (\alpha )
1
h1 - \alpha
. (22)
Для отыскания B(m,\alpha ) рассмотрим функцию vh,1, h > 0 (см. (2)). Для ее производной
имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
876 В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ
(vh,1)
\prime
x1
=
\left\{
2
h
- 2x1
h2
, x1 \in [0, h],
2
h
+
2x1
h2
, x1 \in [ - h, 0],
0, x1 /\in [ - h, h].
Ясно, что
(I\alpha x1
(vh,1)
\prime
x1
)(0) =
1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
1
| t| 1 - \alpha
(vh,1)
\prime
x1
(e1t) dt =
=
1
\Gamma (\alpha )
h\int
0
1
t1 - \alpha
\biggl(
2
h
- 2t
h2
\biggr)
dt+
1
\Gamma (\alpha )
0\int
- h
1
( - t)1 - \alpha
\biggl(
2
h
+
2t
h2
\biggr)
dt =
=
1
\Gamma (\alpha )
\left( 2
h
h\int
0
1
t1 - \alpha
dt - 2
h2
h\int
0
t\alpha dt+
2
h
0\int
- h
dt
( - t)1 - \alpha
+
2
h2
0\int
- h
t
( - t)1 - \alpha
dt
\right) =
=
1
\Gamma (\alpha )
\biggl(
2
\alpha
h\alpha - 1 - 2
\alpha + 1
h\alpha - 1 +
2
\alpha
h\alpha - 1 - 2
\alpha + 1
h\alpha - 1
\biggr)
=
4
\alpha (\alpha + 1)\Gamma (\alpha )
h\alpha - 1. (23)
В то же время с учетом утверждений 1 и 2 выражение (14) для этой функции принимает вид
(I\alpha x1
(vh,1)
\prime
x1
)(0) = - 1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
\Phi \prime (t)vh,1(te1) dt -
1
\Gamma (\alpha )
\int
\partial \Pi h
F1(\xi )v(\xi ) d\xi -
- 1
\Gamma (\alpha )
\int
\Pi h
F2(\xi )\Delta v(\xi ) d\xi =
1
\Gamma (\alpha )
\infty \int
- \infty
| \Phi \prime (t)| dt+ 1
\Gamma (\alpha )
\int
\partial \Pi h
| F1(\xi )| d\xi +
+
1
\Gamma (\alpha )
\int
\Pi h
| F2(\xi )|
2
h2
d\xi = A(m,\alpha ) +
2
h2
B(m,\alpha ).
Следовательно, с учетом (23) получаем
A(m,\alpha ) +
2
h2
B(m,\alpha ) =
4
\alpha (\alpha + 1)\Gamma (\alpha )
h\alpha - 1.
Отсюда, используя (22), находим
B(m,\alpha ) =
1 - \alpha
\alpha (\alpha + 1)\Gamma (\alpha )
h1+\alpha . (24)
Подставляя (22) и (24) в (15), получаем неравенство
| (I\alpha x1
u\prime x1
)(0)| \leq 1
\alpha \Gamma (\alpha )
\biggl(
2
h1 - \alpha
\| u\| C +
1 - \alpha
1 + \alpha
h1+\alpha \| \Delta u\| \infty
\biggr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ОЦЕНКА РАВНОМЕРНОЙ НОРМЫ ОДНОМЕРНОГО ПОТЕНЦИАЛА РИССА . . . 877
откуда следует неравенство (3). Учитывая, что \| vh,1\| C = 1, \| \Delta vh,1\| \infty =
2
h2
и \| I\alpha x1
(vh,1)
\prime
x1
\| \infty =
=
4
\alpha (\alpha + 1)\Gamma (\alpha )
h\alpha - 1, нетрудно убедиться в том, что неравенство (3) превращается в равенство
для функции vh,1.
Подставляя в правую часть (3)
h =
\sqrt{}
2\| u\| C
\| \Delta u\| \infty
,
приходим к неравенству
\| I\alpha x1
u\prime x1
\| \infty \leq 2
\Gamma (\alpha )
2
1+\alpha
2
\alpha (1 + \alpha )
\| u\|
1+\alpha
2
C \| \Delta u\|
1 - \alpha
2\infty ,
которое превращается в равенство для функции vh,1 при любом значении параметра h.
Теорема доказана.
Литература
1. Арестов В. В., Габушин В. Н. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными // Изв.
вузов. Математика. – 1995. – № 11. – С. 42 – 63.
2. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные зада-
чи // Успехи. мат. наук. – 1996. – 51, № 6. – С. 88 – 124.
3. Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
4. Коновалов В. Н. Точные неравенства для норм функций, третьих частных и вторых смешанных производных //
Мат. заметки. – 1978. – 23, № 1. – С. 67 – 78.
5. Буслаев А. П., Тихомиров В. М. О неравенствах для производных в многомерном случае // Мат. заметки. –
1979. – 25, № 1. – С. 59 – 74.
6. Тимошин О. А. Наилучшее приближение оператора второй смешанной производной // Изв. РАН. Сер. мат. –
1998. – 62, № 1. – С. 201 – 210.
7. Тимошин О. А. Наилучшее приближение оператора второй смешанной производной в метриках L и C на
плоскости // Мат. заметки. – 1984. – 36, № 3. – С. 369 – 375.
8. Тимофеев В. Г. Неравенства типа Колмогорова с оператором Лапласа // Теория функций и приближений. –
Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1983. – С. 84 – 92.
9. Тимофеев В. Г. Неравенства типа Ландау для функций нескольких переменных // Мат. заметки. – 1985. – 37,
№ 5. – С. 676 – 689.
10. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Multivariate inequalities of Kolmogorov type and their applications //
Multivariate Approximation and Splines / Eds G. Nërberger, J. W. Schmidt, G. Walz. – Basel: Birkhäuser, 1997. –
P. 1 – 12.
11. Бабенко В. Ф. О точных неравенствах типа Колмогорова для функций двух переменных // Доп. НАН України. –
2000. – № 5. – С. 7 – 11.
12. Самко С. Г., Килбас А. А., Марычев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. –
Минск, 1987. – 650 с.
13. Гейсберг С. П. Обобщение неравенства Адамара // Исследование по некоторым проблемам конструктивной
теории функций: Сб. науч. тр. ЛОМИ. – 1965. – 50. – С. 42 – 54.
14. Arestov V. V. Inequalities for fractional derivatives on the half-line // Approxim. Theory. – Warsaw: PWN, 1979. –
P. 19 – 34.
15. Magaril-Il’jaev G. G., Tihomirov V. M. On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on the half-line //
Anal. Math. – 1981. – 7, № 1. – P. 37 – 47.
16. Бабенко В. Ф., Чурилова М. С. О неравенствах типа Колмогорова для производных дробного порядка // Вестн.
Днепропетр. ун-та. Математика. – 2001. – 6. – С. 16 – 20.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
878 В. Ф. БАБЕНКО, Н. В. ПАРФИНОВИЧ
17. Babenko V. F., Pichugov S. A. Kolmogorov type inequalities for fractional derivatives of Hölder functions of two
variables // East J. Approxim. – 2007. – 13, № 3. – P. 321 – 329.
18. Бабенко В. Ф., Пичугов С. А. Точные оценки для норм дробных производных функций многих переменных,
удовлетворяющих условию Гельдера // Мат. заметки. – 2010. – 87. – С. 26 – 34.
19. Babenko V. F., Parfinovych N. V., Pichugov S. A. Sharp Kolmogorov-type inequalities for norms of fractional
derivatives of multivariate functions // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 3. – С. 301 – 314.
20. Моторный В. П., Бабенко В. Ф., Довгошей А. А., Кузнецова О. И. Теория аппроксимации и гармонический
анализ. – Киев: Наук. думка, 2010. – 302 с.
21. Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В., Пичугов С. А. Неравенства типа Колмогорова для норм производных Рисса
функций многих переменных с ограниченным в L\infty лапласианом и смежные задачи // Мат. заметки. – 2014. –
95, № 1. – С. 3 – 17.
22. Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В. Неравенства типа Колмогорова для норм производных Рисса функций многих
переменных и некоторые их приложения // Укр. мат. вiсн. – 2012. – 9, № 2. – C. 157 – 174.
23. Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В. Неравенства типа Колмогорова для норм производных Рисса функций многих
переменных и некоторые их приложения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2011. – 17, № 3. –
C. 60 – 70.
24. Landau E. Einige Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktion // Proc. London Math. Soc. – 1913. – 13. –
P. 43 – 49.
25. Бабенко В. Ф., Лескевич Т. Ю. Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими
сплайнами // Укр. мат. журн. – 2010. – 64, № 8. – С. 1011 – 1024.
Получено 30.03.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1887 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:37Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b0/c2b90584e6e07cb04a13407b9d9a00b0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18872019-12-05T09:30:55Z Estimation of the uniform norm of one-dimensional Riesz potential of a partial derivative of a function with bounded Laplacian Оценка равномерной нормы одномерного потенциала Рисса частной производной функции с ограниченным лапласианом Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. We obtain new exact Landau-type estimates for the uniform norms of one-dimension Riesz potentials of the partial derivatives of a multivariable function in terms of the norm of the function itself and the norm of its Laplacian. Отримано новi точнi оцiнки типу Ландау рiвномiрних норм одновимiрних потенцiалiв Рiсса частинних похiдних функцiї багатьох змiнних через норму самої функцiї i норму результату застосування до неї оператора Лапласа. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1887 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 7 (2016); 867-878 Український математичний журнал; Том 68 № 7 (2016); 867-878 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1887/869 Copyright (c) 2016 Babenko V. F.; Parfinovych N. V. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Parfinovych, N. V. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Бабенко, В. Ф. Парфинович, Н. В. Estimation of the uniform norm of one-dimensional Riesz potential of a partial derivative of a function with bounded Laplacian |
| title | Estimation of the uniform norm of one-dimensional Riesz potential of a partial derivative of a function with bounded Laplacian |
| title_alt | Оценка равномерной нормы одномерного потенциала Рисса частной производной функции с ограниченным лапласианом |
| title_full | Estimation of the uniform norm of one-dimensional Riesz potential of a partial derivative of a function with bounded Laplacian |
| title_fullStr | Estimation of the uniform norm of one-dimensional Riesz potential of a partial derivative of a function with bounded Laplacian |
| title_full_unstemmed | Estimation of the uniform norm of one-dimensional Riesz potential of a partial derivative of a function with bounded Laplacian |
| title_short | Estimation of the uniform norm of one-dimensional Riesz potential of a partial derivative of a function with bounded Laplacian |
| title_sort | estimation of the uniform norm of one-dimensional riesz potential of a partial derivative of a function with bounded laplacian |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1887 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf estimationoftheuniformnormofonedimensionalrieszpotentialofapartialderivativeofafunctionwithboundedlaplacian AT parfinovychnv estimationoftheuniformnormofonedimensionalrieszpotentialofapartialderivativeofafunctionwithboundedlaplacian AT babenkovf estimationoftheuniformnormofonedimensionalrieszpotentialofapartialderivativeofafunctionwithboundedlaplacian AT parfinovičnv estimationoftheuniformnormofonedimensionalrieszpotentialofapartialderivativeofafunctionwithboundedlaplacian AT babenkovf estimationoftheuniformnormofonedimensionalrieszpotentialofapartialderivativeofafunctionwithboundedlaplacian AT parfinovičnv estimationoftheuniformnormofonedimensionalrieszpotentialofapartialderivativeofafunctionwithboundedlaplacian AT babenkovf ocenkaravnomernojnormyodnomernogopotencialarissačastnojproizvodnojfunkciisograničennymlaplasianom AT parfinovychnv ocenkaravnomernojnormyodnomernogopotencialarissačastnojproizvodnojfunkciisograničennymlaplasianom AT babenkovf ocenkaravnomernojnormyodnomernogopotencialarissačastnojproizvodnojfunkciisograničennymlaplasianom AT parfinovičnv ocenkaravnomernojnormyodnomernogopotencialarissačastnojproizvodnojfunkciisograničennymlaplasianom AT babenkovf ocenkaravnomernojnormyodnomernogopotencialarissačastnojproizvodnojfunkciisograničennymlaplasianom AT parfinovičnv ocenkaravnomernojnormyodnomernogopotencialarissačastnojproizvodnojfunkciisograničennymlaplasianom |