Laplacian with respect to measure on a Riemannian manifold and Dirichlet problem. I
We propose an $L^2$ -version of the Laplacian with respect to measure on an infinite-dimensional Riemannian manifold. The Dirichlet problem for equations with proposed Laplacian is solved in the region of a Rimannian manifold from a certain class.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1889 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507773015425024 |
|---|---|
| author | Bogdanskii, Yu. V. Potapenko, A. Yu. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. |
| author_facet | Bogdanskii, Yu. V. Potapenko, A. Yu. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. |
| author_sort | Bogdanskii, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:55Z |
| description | We propose an $L^2$ -version of the Laplacian with respect to measure on an infinite-dimensional Riemannian manifold. The Dirichlet problem for equations with proposed Laplacian is solved in the region of a Rimannian manifold from a certain
class. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98+517.954
Ю. В. Богданский, А. Ю. Потапенко (Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ”,
Киев)
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ
И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ. I
We propose an L2 -version of the Laplacian with respect to measure on an infinite-dimensional Riemannian manifold. The
Dirichlet problem for equations with proposed Laplacian is solved in the region of a Rimannian manifold from a certain
class.
Запропоновано L2 -версiю лапласiана за мiрою на (нескiнченновимiрному) рiмановому многовидi. Розв’язано задачу
Дiрiхле для рiвнянь з уведеним лапласiаном в областi рiманового многовиду певного класу.
Различным вариантам оператора Лапласа для функций бесконечномерного аргумента посвяще-
но много публикаций (см., например, работы [1 – 8]). В настоящей работе продолжено исследо-
вание иной конструкции — L2-версии лапласиана по мере. Эта версия лапласиана для функций
на гильбертовом пространстве была предложена и изучалась в работах [9 – 12].
В данной статье исследуется соответствующая конструкция лапласиана на сепарабельном
римановом многообразии (вообще говоря, бесконечномерном) с заданной на нем борелевской
мерой. Опубликовано достаточно много работ, посвященных изучению оператора Лапласа
и связанных с ним уравнений на конечномерных римановых многообразиях (см., например,
[13, 14]). Но в этих исследованиях лапласиан строился на базе риманова объема — меры, по-
рожденной римановой метрикой. Принципиальное отличие бесконечномерного случая состоит
в отсутствии канонической меры, ассоциированной с римановой метрикой.
Цель данной статьи — введение L2-версии лапласиана по мере на (бесконечномерном)
римановом многообразии, рассмотрение и решение (при дополнительных условиях) задачи
Дирихле для уравнения с предложенным лапласианом в области риманова многообразия, а
также приведение модельного примера многообразия с мерой, на котором реализуются все
условия, используемые при решении задачи.
1. Лапласиан по мере в \bfitL 2-версии на римановом многообразии. Пусть \scrM — сепара-
бельное риманово многообразие класса C2, модельное пространство которого представляет
собой (сепарабельное) вещественное гильбертово пространство H (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H \leq \infty ). Риманов
тензор R в каждом касательном пространстве Tp(\scrM ) индуцирует структуру гильбертова про-
странства (изоморфного H ) и порождает на \scrM внутреннюю метрику. По отношению к этой
метрике \scrM предполагается сепарабельным пространством. Будем также предполагать полноту
метрического пространства \scrM .
Обозначим через Cb(\scrM ) пространство всех ограниченных непрерывных вещественных
функций на \scrM , через Cb;v(\scrM ) пространство всех непрерывных ограниченных векторных по-
лей на \scrM , через C1
b (\scrM ) (соответственно C1
b;v(\scrM )) пространство всех функций f \in Cb(\scrM )
(соответственно всех векторных полей \bfX \in Cb;v(\scrM )), дифференцируемых в каждой точке x \in
\in \scrM с непрерывной и ограниченной на всем \scrM производной f \prime (\cdot ) (соответственно \bfX \prime (\cdot )).
Здесь f \prime (p) \in T \ast
p (\scrM ) определен формулой f \prime (p) : Tp(\scrM ) \ni \bfY p \mapsto - \rightarrow \bfY pf \in \BbbR , \bfX \prime (p) — линей-
ный оператор в Tp(\scrM ), определенный формулой \bfX \prime (p) : \bfY p \mapsto - \rightarrow \nabla Yp\bfX , где \nabla — связность
Леви – Чивиты на \scrM (бесконечномерный вариант см., например, в [15, с. 83]).
c\bigcirc Ю. В. БОГДАНСКИЙ, А. Ю. ПОТАПЕНКО, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7 897
898 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, А. Ю. ПОТАПЕНКО
Пусть G — ограниченная область в \scrM с границей S = \partial G. Через C1(G) обозначим
семейство всех функций на G, допускающих продолжение на все \scrM до функций класса
C1
b (\scrM ); через C1
0 (\scrM ) — семейство функций из C1(G), носители которых не пересекаются с
некоторой \varepsilon -окрестностью S. Аналогично определяем
C(G) =
\Bigl\{
f
\bigm| \bigm|
G
\bigm| \bigm| \bigm| f \in Cb(\scrM )
\Bigr\}
и C1
v (G) =
\Bigl\{
\bfX
\bigm| \bigm|
G
\bigm| \bigm| \bigm| \bfX \in C1
b,v(\scrM )
\Bigr\}
.
Пусть \sigma — конечная неотрицательная борелевская мера на \scrM . Через L2(G) =
= L2(G, \sigma ) обозначим пространство интегрируемых с квадратом функций на G по отношению
к мере \sigma
\bigm| \bigm|
G
. Векторное поле \bfX на \scrM назовем измеримым, если существует последовательность
векторных полей \bfX m \in Cb;v(\scrM ), сходящаяся к \bfX почти всюду (\| \bfX m(\cdot ) - \bfX (\cdot )\| \rightarrow 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \sigma )).
Назовем векторное поле интегрируемым, если \bfX измеримо и функция \| \bfX (\cdot )\| принадлежит
L1(\scrM , \sigma ), и интегрируемым с квадратом, если \bfX измеримо и функция \| \bfX (\cdot )\| принадлежит
L2(\scrM , \sigma ).
Замечание 1. В случае, когда многообразие \scrM не является поверхностью в линейном
пространстве, говорить о значении интеграла интегрируемого на \scrM поля не представляется
возможным.
Пространства интегрируемых и интегрируемых с квадратом векторных полей обозначим
соответственно L1
v(\scrM ) = L1
v(\scrM , \sigma ) и L2
v(\scrM ) = L2
v(\scrM , \sigma ).
Скалярное произведение в L2
v(\scrM ) задаем формулой
(\bfX ,\bfY ) =
\int
\scrM
(\bfX (\cdot ),\bfY (\cdot ))d\sigma =
\int
\scrM
R(\bfX ,\bfY )d\sigma ,
а соответствующую норму \bfX обозначим символом | | | \bfX | | | . Аналогично вводятся в рассмотрение
пространства L2
v(G) = L2
v(G;\sigma );L\infty
v (\scrM );L\infty
v (G).
Для функций u \in C1
b (\scrM ) на римановом многообразии определено векторное поле \bfg \bfr \bfa \bfd u \in
\in Cb;v(\scrM ) (оно определено соотношением R(\bfg \bfr \bfa \bfd u,\bfY ) = \bfY u, которое выполнено для лю-
бого \bfY \in C1
b;v(\scrM )). В случае, когда для любого непустого открытого множества U \subset \scrM
выполнено неравенство \sigma (U) > 0 (полнота носителя меры \sigma ), равенство u = v (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \sigma ) (здесь
u, v \in C1
b (\scrM )) влечет равенство \bfg \bfr \bfa \bfd u = \bfg \bfr \bfa \bfd v (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \sigma ). Тем самым корректно определен
оператор
\bfg \bfr \bfa \bfd = \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM : L2(\scrM ) \supset C1
b (\scrM ) \ni u \mapsto - \rightarrow \bfg \bfr \bfa \bfd u \in L2
v(\scrM ).
Поскольку C1
b (\scrM ) плотно в L2(\scrM ), корректно определен оператор
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} = - (\bfg \bfr \bfa \bfd )\ast : L2
v(\scrM ) - \rightarrow L2(\scrM ).
В случае, когда оператор \bfg \bfr \bfa \bfd замыкаем, лапласиан (по мере \sigma ) на \scrM определен формулой
\Delta = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v} \circ \bfg \bfr \bfa \bfd ,
где \Delta — самосопряженный оператор в L2(\scrM ) (см., например, [16, с. 106]).
Поскольку \scrM предполагается полным пространством относительно внутренней метрики,
поле \bfX \in C1
b (\scrM ) является полным. Пусть \Phi t = \Phi X
t — поток поля \bfX . Дифференцируемость
меры \sigma вдоль поля \bfX понимается всюду в дальнейшем в сильном смысле: для каждого боре-
левского множества A \in \frakB (\scrM ) существует предел \nu (A) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0
1
t
(\sigma (\Phi tA) - \sigma (A)). Отсюда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ. I 899
следует, что \nu = dX\sigma является борелевской мерой (знакопеременной), абсолютно непрерывной
относительно \sigma . Логарифмическую производную меры \sigma вдоль поля \bfX (т. е. дивергенцию поля
\bfX относительно меры \sigma ) обозначим символом \rho \sigma = \rho X\sigma =
d\nu
d\sigma
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\sigma \bfX .
Пусть граница S ограниченной области G \subset \scrM является гладким вложенным в \scrM под-
многообразием коразмерности 1, а поле внешней единичной нормали границы S продолжимо
до векторного поля \bfn \in C1
b;v(\scrM ).
В случае, когда мера \sigma дифференцируема вдоль поля \bfn , говорим о „согласовании S с мерой
\sigma ”. При согласовании меры \sigma с поверхностью S = \partial G на S индуцируется поверхностная
борелевская мера \tau [9, 11, 17]. Мера \tau на S корректно определена формулой\int
S
fd\tau =
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi n
t G
fd\sigma ,
справедливой для каждой f \in Cb(\scrM ). Другой подход к (эквивалентному) определению меры
\tau состоит в следующем: для множеств A \subset \scrM , B \subset \BbbR вводим обозначение
\Phi BA := \{ \Phi n
t x | x \in A; t \in B\} .
Тогда для A \in \frakB (S) мера \tau определена равенством
\tau (A) =
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\sigma
\Bigl(
\Phi n
( - \infty ,t)A
\Bigr)
=
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\sigma
\Bigl(
\Phi n
( - \infty ,t]A
\Bigr)
(1)
(здесь использован тот факт, что \sigma (\Phi n
t S) = 0 для t \in \BbbR ) (см. [17]).
Для функций u \in C1
b (G) имеет место равенство\int
S
u d\tau =
\int
G
(\bfg \bfr \bfa \bfd u,\bfn ) d\sigma +
\int
G
u \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G \bfn d\sigma (2)
(см. [9, 17]).
В случае, когда \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\sigma \bfn \in L\infty (\scrM ) (или, по крайней мере, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\sigma \bfn
\bigm| \bigm|
G
\in L\infty (G)), из (2) следует
существование константы C, для которой при всех u \in C1(G) выполняется неравенство\bigm\| \bigm\| u\bigm| \bigm|
S
\bigm\| \bigm\|
L2(S,\tau )
\leq C
\Bigl( \bigm\| \bigm\| u\bigm\| \bigm\|
L2(G)
+ | | | \bfg \bfr \bfa \bfd u | | | L2
v(G)
\Bigr)
(3)
(в работе [9] формула доказана для гильбертова пространства, в случае риманова многообразия
доказательство идентично).
В работе [9] установлена плотность множества C1
0 (G) в пространстве L2(G) в случае, когда
\scrM = H — сепарабельное гильбертово пространство. В случае сепарабельного многообразия
доказательство аналогично. Поэтому оператор
\bfg \bfr \bfa \bfd G : L2(G) \supset C1(G) \ni u \mapsto - \rightarrow \bfg \bfr \bfa \bfd u \in L2
v(G)
плотно определен. В случае, когда оператор \bfg \bfr \bfa \bfd G допускает замыкание, а \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\sigma \bfn \in
\in L\infty (\scrM ), из неравенства (3) следует корректность построения оператора следа
\gamma : L2(G) - \rightarrow L2(S) = L2(S, \tau )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
900 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, А. Ю. ПОТАПЕНКО
с областью определения D(\bfg \bfr \bfa \bfd G), который для функции u \in C1(G) совпадает с оператором
ограничения : u \mapsto - \rightarrow u
\bigm| \bigm|
S
. Оператор \gamma является ограниченным оператором из банахова в норме
графика пространства D(\bfg \bfr \bfa \bfd G) в L2(S) (в работе [9] построение оператора \gamma обосновано
для случая гильбертова пространства; случай риманова многообразия полностью аналогичен).
Оператор \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G : L2
v(G) - \rightarrow L2(G) введем формулой
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G = -
\Biggl(
\bfg \bfr \bfa \bfd G
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
Ker \gamma
\Biggr) \ast
. (4)
Целесообразность этого определения следует из формулы (4) работы [11]:
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi n
t G
u d\sigma =
\int
S
(\bfZ ,\bfn )u d\tau =
\int
G
(\bfg \bfr \bfa \bfd u,\bfZ ) d\sigma +
\int
G
u \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\sigma \bfZ d\sigma , (5)
в которой \bfZ \in C1
b;v(\scrM ), u \in C1
b (\scrM ) и \sigma дифференцируема вдоль поля \bfZ .
В случае u
\bigm| \bigm|
S
= 0 формула (5) превращается в равенство\int
G
(\bfg \bfr \bfa \bfd u,\bfZ ) d\sigma +
\int
G
u \cdot \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\sigma \bfZ d\sigma ,= 0,
которое и является аргументом для введения оператора \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G формулой (4).
Лапласиан \Delta G : L2(G) - \rightarrow L2(G) определим формулой \Delta G = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G \circ \bfg \bfr \bfa \bfd G; \Delta G плотно
определен, так как является расширением самосопряженного оператора -
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd G
\bigr) \ast
\bfg \bfr \bfa \bfd G.
Замечание 2. По аналогии с результатом работы [11] можно доказать следующее утвер-
ждение: C0(G) плотно в \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma в норме графика оператора \bfg \bfr \bfa \bfd G.
2. Модельный пример. Пусть H — сепарабельное вещественное гильбертово простран-
ство, D — ограниченная область в H, \scrM = \partial D — граница области D — представляет собой
гладкое класса C2 вложенное в H подмногообразие коразмерности 1. Вложение \scrM в H инду-
цирует на \scrM структуру риманова многообразия. Поле внешней нормали к \scrM предполагается
продолжимым до векторного поля \bfN \in C1
b;v(H). Пусть \mu — конечная борелевская (неотрица-
тельная) мера в H, для которой существует в H полная система векторов h, вдоль которых
мера \mu L2-дифференцируема
\Bigl(
т. е. \mu дифференцируема вдоль h и \rho h\mu =
d(dh\mu )
d\mu
\in L2(H)
\Bigr)
.
Меру \mu подчиним также условию квазиинвариантности: множество квазиинвариантных
сдвигов h
\bigl(
\mu h(A) := \mu (A + h); \mu h \sim \mu
\bigr)
содержит плотное в H линейное подмногообразие.
Для такой меры выполнено условие: \mu (U) > 0 для любого открытого множества в H (полнота
носителя меры).
Если мера \mu удовлетворяет приведенным выше условиям, то соответствующий оператор
\bfg \bfr \bfa \bfd : L2(H) \supset C1
b (H) - \rightarrow L2
v(H) корректно определен [9] (предложение 4). Примером ме-
ры \mu , удовлетворяющей обоим приведенным условиям, является гауссова мера, корреляцион-
ный ядерный оператор которой имеет плотный образ в H.
К мере \mu применим процедуру сглаживания вдоль поля \bfN (см. [10]). При этом мера \mu \varphi
строится по правилу
\mu \varphi (A) =
\int
\BbbR
\varphi (t)\mu
\bigl(
\Phi N
t A
\bigr)
dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ. I 901
Здесь A — произвольное борелевское множество в H, \varphi \in C\infty (\BbbR ), \varphi \geq 0,
\int
\BbbR
\varphi (t) dt < \infty .
Полученная мера \mu \varphi дифференцируема вдоль поля \bfN .
Если существует константа C > 0, для которой при всех s \in \BbbR выполняется неравенство
| \varphi \prime (s)| \leq C\varphi (s)
\Bigl(
например, \varphi (s) =
1
1 + s2
\Bigr)
, то \rho N\mu \varphi
\in L\infty (H;\mu \varphi ).
В работе [10] доказано, что при переходе от меры \mu к мере \mu \varphi сохраняется условие пол-
ноты носителя меры, а также условие замыкаемости оператора \bfg \bfr \bfa \bfd (но теперь уже \bfg \bfr \bfa \bfd :
L2(H;\mu \varphi ) - \rightarrow L2
v(H;\mu \varphi )).
Мера \mu \varphi согласована с \scrM = \partial D, что позволяет индуцировать на \scrM поверхностную ме-
ру \sigma .
Замечание 3. Согласование меры \mu с поверхностью \scrM предполагает существование по
крайней мере одного векторного поля \bfN \in C1
b;v(H), ограничение которого на \scrM совпадает
с полем единичной нормали к \scrM и вдоль которого мера \mu дифференцируема. В этой связи
возникает проблема описания класса поверхностей в H, согласованных с заданной мерой \mu .
Данный вопрос представляется весьма непростым и исследован не был. Процедура сглажива-
ния меры вдоль векторного поля позволяет решать двойственную задачу: построение класса
мер, согласованных с фиксированной поверхностью.
Далее будет доказано (теорема 1), что в случае, когда \rho N\mu \varphi
принадлежит L\infty (H;\mu \varphi ) (а это
условие осуществимо), индуцированная на \scrM мера \sigma наследует два свойства меры \mu \varphi : полноту
носителя меры и замыкаемость (индуцированного) оператора
\bfg \bfr \bfa \bfd \scrM : L2(\scrM , \sigma ) \supset C1
b (\scrM ) \ni u \mapsto - \rightarrow \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u \in L2
v(\scrM ;\sigma )
(напомним построение индуцированного оператора \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM : (\bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u)(x) = Px((\bfg \bfr \bfa \bfd \^u)(x)),
где \^u \in C1
b (H), \^u
\bigm| \bigm|
\scrM = u, Px — ортопроектор в H, \mathrm{I}\mathrm{m}Px = Tx(\scrM )).
Непрерывность поля \bfN на \scrM = \partial D обеспечивает совпадение на \scrM двух топологий:
индуцированной вложением в H и порожденной внутренней метрикой. Поэтому \scrM являет-
ся полным метрическим пространством относительно внутренней метрики, что гарантирует
полноту на \scrM векторных полей класса C1
b (\scrM ).
Теорема 1. Пусть D — ограниченная область в гильбертовом пространстве H,
\bfN \in C1
b;v(H) — векторное поле в H, представляющее собой продолжение поля внешней
единичной нормали к границе \scrM = \partial D области D, \mu — борелевская конечная (неотри-
цательная) мера в H, дифференцируемая вдоль поля \bfN , мера \mu имеет полный носитель,
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfN \in L\infty (H), \sigma — мера на \scrM , индуцированная мерой \mu . Пусть, далее, оператор
\bfg \bfr \bfa \bfd : L2(H) \supset C1
b (H) - \rightarrow L2
v(H) замыкаем. Тогда индуцированный на \scrM оператор
\bfg \bfr \bfa \bfd \scrM : L2(\scrM , \sigma ) \supset C1
b (\scrM ) \ni u \mapsto - \rightarrow \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u \in L2
v(\scrM , \sigma )
корректно определен и замыкаем.
Доказательство. Положим C = \| \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfN \| L\infty (H). В работе [11] (лемма 2) было доказано
следующее утверждение: если \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfN \in L\infty (H), то \mu t \prec \mu для каждого t \in R (здесь \mu t =
= \mu \circ \Phi t, \Phi t — поток поля \bfN ),
d\mu t
d\mu
\in L\infty (H) и при этом
d\mu t
d\mu
\leq eC| t| (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu ). (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
902 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, А. Ю. ПОТАПЕНКО
Для каждого борелевского множества A \in \frakB (H) справедливы равенства
dN\mu t(A) =
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\mu t+s(A) =
\int
\Phi tA
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfN d\mu .
Отсюда | dN \mu t(A)| \leq C\mu (\Phi tA) = C\mu t(A), поэтому
| \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu t\bfN | \leq C(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu t), \mu \sim \mu t, \| \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu t\bfN \| L\infty (H) = \| \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfN \| L\infty (H).
Далее, отсюда следует неравенство
d\mu
d\mu t
\leq eC| t| (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu ), и, следовательно,
d\mu t
d\mu
\geq e - C| t| (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} \mu ). (7)
Шаг 1. Докажем полноту носителя меры \sigma .
Пусть V — непустое открытое множество в \scrM . Тогда \Phi ( - \infty ,t)V = \{ \Phi sx | s < t; x \in V \} —
непустое открытое множество в H.
По аналогии с формулой (1) имеет место формула
\sigma (V ) =
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\mu
\bigl(
\Phi ( - \infty ,t)V
\bigr)
. (8)
Далее
d
dt
\mu
\bigl(
\Phi ( - \infty ,t)V
\bigr)
=
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\mu
\bigl(
\Phi ( - \infty ,t+s)V
\bigr)
=
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\mu t
\bigl(
\Phi ( - \infty ,t)V
\bigr)
. (9)
В силу неравенства (6) при фиксированном t функция
h(s) = \mu
\bigl(
\Phi ( - \infty ,s)V ) eC| t| - \mu t
\bigl(
\Phi ( - \infty ,s)V )
является монотонно неубывающей. Поэтому выполняется неравенство
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\mu t (\Phi ( - \infty ,s)V ) \leq eC| t| d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\mu (\Phi ( - \infty ,s)V ),
или, с учетом (8) и (9), неравенство
d
dt
\mu (\Phi ( - \infty ,t)V ) \leq eC| t| \sigma (V ).
Отсюда (в силу полноты носителя меры \mu )
0 < \mu (\Phi (0,1)V ) =
1\int
0
dt
\biggl(
d
dt
\mu (\Phi ( - \infty ,t)V )
\biggr)
\leq \sigma (V )
1\int
0
eC| t| dt.
Тем самым \sigma (V ) > 0 для непустого открытого множества V \subset S.
Шаг 2. Пусть u \in C1
b (\scrM ). Функцию \^u : H - \rightarrow \BbbR строим по следующему правилу. Пусть
\varphi \in C\infty (R), 0 \leq \varphi \leq 1, существуют \delta > 0 и \varepsilon \in (0, \delta ) такие, что \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi \subset ( - \delta , \delta ), \varphi (t) = 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ. I 903
для t \in ( - \varepsilon , \varepsilon ). Если x = \Phi ty, y \in \scrM , | t| < \delta , то полагаем \^u(x) = \varphi (t)u(y). Для остальных
значений x \in H полагаем \^u(x) = 0.
Очевидно, \^u \in C1
b (H) и отображение C1
b (\scrM ) \ni u \mapsto - \rightarrow \^u \in C1
b (H) линейно.
Докажем, что отображение L2(\scrM ;\sigma ) \supset C1
b (\scrM ) \ni u \mapsto - \rightarrow \^u \in L2(H;\mu ) является непрерыв-
ным. Имеем
\| u\| 2L2(H) =
\int
\Phi \delta D\setminus \Phi - \delta D
\^u2d\mu =
\delta \int
- \delta
dt
\left( d
dt
\int
\Phi tD
\^u2d\mu
\right) , (10)
\int
\Phi tD1
\^u2 d\mu =
\int
D1
(\^u \circ \Phi t)
2d\mu t =
\int
D1
(\^u \circ \Phi t)
2d\mu t
d\mu
d\mu . (11)
Далее воспользуемся следующим фактом: если функция w неотрицательна, существует
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi tD1
wd\mu и при достаточно малых t > 0 имеет место вложение \Phi tD1 \supset D1, то
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi tD1
wd\mu = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
1
t
\left( \int
\Phi tD1
wd\mu -
\int
D1
wd\mu
\right) \geq 0.
На основании (11), полагая D1 = \Phi sD (при достаточно малых s и t > 0 имеет место
вложение \Phi sD \subset \Phi t+sD) и используя (6), получаем
d
dt
\int
\Phi tD
\^u2 d\mu =
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi t(\Phi sD)
\^u2 d\mu =
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi sD
(\^u \circ \Phi t)
2d\mu t
d\mu
d\mu \leq
\leq eC| t|
\int
S
(\^u \circ \Phi t)
2d\sigma = eC| t| \varphi 2(t)
\int
S
u2d\sigma . (12)
Теперь из (10) и (12) следует неравенство
\| \^u\| 2L2(H) \leq
\delta \int
- \delta
eC| t| \varphi 2(t)t
\int
S
u2d\sigma ,
что доказывает L2-непрерывность отображения u \mapsto - \rightarrow \^u.
Шаг 3. Докажем существование таких констант K1, K2 \in \BbbR , что для любой функции
u \in C1
b (\scrM ) выполняется неравенство
| | | \bfg \bfr \bfa \bfd \^u | | | 2 \leq K1| | | \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u | | | 2 +K2\| u\| 2L2(\scrM ). (13)
Для точек x, лежащих в достаточно малой окрестности \scrM (представимых в виде
x = \Phi ty = \Phi (t, y), где t \in \BbbR , y \in \scrM ), обозначим через t(x) значение t, при котором
x = \Phi (t(x), y), y \in \scrM . Следовательно, \Phi ( - t(x), x) \in \scrM .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
904 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, А. Ю. ПОТАПЕНКО
d
dx
\Phi ( - t(x), x) — линейный оператор в H, образ которого — касательное пространство к
\scrM в соответствующей точке y = \Phi ( - t(x), x). Поэтому
d
dx
\Phi ( - t(x), x)h\bot \bfn (\Phi ( - t(x), x)) для
каждого h \in H, откуда получаем\biggl(
d
dx
\Phi ( - t(x), x)
\biggr) \ast
\bfn (\Phi ( - t(x), x)) = 0. (14)
Далее используем непрерывную дифференцируемость функции t(\cdot ) (следует из теоремы о
неявной функции):
d
dx
\Phi ( - t(x), x) = - \partial \Phi
\partial t
( - t(x), x) \cdot t\prime (x) + \partial \Phi
\partial x
( - t(x), x) =
= - \bfn (\Phi ( - t(x), x)) \cdot t\prime (x) + \partial \Phi
\partial x
( - t(x), x),
откуда следует равенство\biggl(
d
dx
\Phi ( - t(x), x)
\biggr) \ast
= - \bfg \bfr \bfa \bfd t(x) \cdot \bfn \ast (\Phi ( - t(x), x)) +
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
( - t(x), x)
\biggr) \ast
. (15)
Здесь вектор h интерпретируем как оператор \BbbR \ni s \mapsto - \rightarrow sh \in H. Поэтому
h1h
\ast
2 : H \ni x \mapsto - \rightarrow (x, h2)h1 \in H, h\ast 1h2 : \BbbR \ni s \mapsto - \rightarrow (h1, h2)s \in \BbbR .
Теперь из (14) и (15) следует
- \bfg \bfr \bfa \bfd t(x) \cdot \bfn \ast (\Phi ( - t(x), x)) \cdot \bfn (\Phi ( - t(x), x)) +
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
( - t(x), x)
\biggr) \ast
\cdot
\cdot \bfn (\Phi ( - t(x), x)) = 0. (16)
Поскольку \bfn \ast (y)\bfn (y) = \| n(y)\| 2 = 1 (здесь y \in \scrM ), из (16) получаем
\bfg \bfr \bfa \bfd t(x) =
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
( - t(x), x)
\biggr) \ast
\bfn (\Phi ( - t(x), x)). (17)
Для точек x вида x = \Phi (t, y) (y \in \scrM ) имеем
\^u(x) = \varphi (t(x))u (\Phi ( - t(x), x)),
\^u\prime (x) = \varphi \prime (t(x)) t\prime (x)u (\Phi ( - t(x), x)) + \varphi (t(x))u\prime (\Phi ( - t(x), x))
d
dx
\Phi ( - t(x), x).
Поэтому, учитывая (15), (17) и равенство
\partial \Phi
\partial t
(t, x) = \bfn (\Phi (t, x)), находим
\bfg \bfr \bfa \bfd \^u(x) = \varphi \prime (t(x))u (\Phi ( - t(x), x))
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
( - t(x), x)
\biggr) \ast
\bfn (\Phi ( - t(x), x))+
+ \varphi (t(x))
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
( - t(x), x)
\biggr) \ast
- \bfg \bfr \bfa \bfd t(x) \cdot \bfn \ast (\Phi ( - t(x), x)) \cdot \bfg \bfr \bfa \bfd u (\Phi ( - t(x), x)),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ. I 905
откуда, учитывая равенство, справедливое для y \in \scrM ,
\bfn \ast (y)\bfg \bfr \bfa \bfd u(y) = (\bfg \bfr \bfa \bfd u(y),\bfn (y)) = 0,
получаем
\bfg \bfr \bfa \bfd \^u(x) =
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
( - t(x), x)
\biggr) \ast
(\varphi (t(x))\bfg \bfr \bfa \bfd u (\Phi ( - t(x), x))) +
+ \varphi \prime (t(x))u (\Phi ( - t(x), x))\bfn (\Phi ( - t(x), x)). (18)
Заметим, что при достаточно малых t для всех x \in H имеет место оценка
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial x
\Phi tx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 2.
Доказательство этого факта содержится в шаге 5.
Поэтому при достаточно малом \delta > 0 из (18) при | t| < \delta и y \in \scrM следует неравенство
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \^u (\Phi ty)\| \leq 2
\bigl(
\varphi (t) \| \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u(y)\| + | \varphi \prime (t)| | u(y)|
\bigr)
. (19)
Теперь по аналогии с шагом 2 (см. (12)) из (19) получаем
\int
H
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \^u\| 2 d\mu =
\delta \int
- \delta
dt
\left( d
dt
\int
\Phi tD
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \^u\| 2 d\mu
\right) \leq
\leq
\delta \int
- \delta
dt
\int
\scrM
eC| t| 8
\bigl(
\varphi 2(t)\| \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u\| 2 + (\varphi \prime (t))2u2
\bigr)
d\sigma =
= 8
\delta \int
- \delta
eC| t| \varphi 2(t) dt
\int
\scrM
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u\| 2d\sigma + 8
\delta \int
- \delta
eC| t| (\varphi \prime (t))2 dt
\int
\scrM
u2d\sigma ,
откуда и следует оценка (13).
Шаг 4. Пусть последовательность функций um \in C1
b (\scrM ) сходится к 0 в L2(\scrM ),
\bfg \bfr \bfa \bfd \scrM um \rightarrow \bfZ в L2
v(\scrM ). Для проверки замыкаемости оператора \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM следует показать,
что \bfZ = 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\sigma ).
В силу доказанного выше для последовательности функций \^um имеют место сходимости
\^um \rightarrow 0 в L2(H),\bfg \bfr \bfa \bfd \^um \rightarrow W в L2
v(H). Из замыкаемости оператора \bfg \bfr \bfa \bfd следует равенство
W = 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mu ).
\varphi (t) = 1 при | t| < \varepsilon , поэтому для y \in \scrM при | t| < \varepsilon из (18) получаем равенство
\bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u(y) =
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
( - t,\Phi ty)
\biggr) \ast
\bfg \bfr \bfa \bfd \^u(\Phi ty),
откуда следует неравенство
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u(y)\| \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Phi \partial x ( - t,\Phi ty)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \| \bfg \bfr \bfa \bfd \^u(\Phi ty)\| . (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
906 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, А. Ю. ПОТАПЕНКО
Далее (см. шаг 5) будет доказано, что при достаточно малых t при всех x \in H выполнено
неравенство
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Phi \partial x (t, x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 2.
Поэтому при достаточно малом \delta > 0 (и, соответственно, \varepsilon > 0) при всех t \in ( - \varepsilon , \varepsilon ) и
x \in \scrM из (20) следует неравенство
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \^u (\Phi tx)\| \geq 1
2
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u(x)\| . (21)
Отсюда \int
H
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \^u\| 2 d\mu \geq
\varepsilon \int
- \varepsilon
dt
\left( d
dt
\int
\Phi tD
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \^u\| 2 d\mu
\right) =
=
\varepsilon \int
- \varepsilon
\left( d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi sD
\bigl(
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \^u\| 2 \circ \Phi t
\bigr) d\mu t
d\mu
d\mu
\right) dt \geq [в силу (7) и (21)] \geq
\geq
\varepsilon \int
- \varepsilon
dt
\int
\scrM
1
4
e - C| t| \| \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u\| 2d\sigma =
\varepsilon \int
- \varepsilon
1
4
e - C| t| dt
\int
\scrM
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u\| 2d\sigma .
Поэтому существует константа K > 0 такая, что для всех u \in C1
b (\scrM ) имеет место оценка
| | | \bfg \bfr \bfa \bfd \^u | | | \geq K| | | \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM u | | | ,
откуда и следует необходимый результат.
Шаг 5. Для каждого фиксированного x \in H однопараметрическое операторное семейство\biggl\{
\partial
\partial x
\Phi tx
\biggr\}
удовлетворяет уравнению
d
dt
\biggl(
\partial
\partial x
\Phi tx
\biggr)
= \bfN \prime (\Phi tx)
\partial
\partial x
\Phi tx и начальному условию
\partial
\partial x
\Phi tx
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= \mathrm{I}. Тем самым X(t) =
\partial
\partial x
\Phi tx является решением задачи Коши
d
dt
X(t) = A(t)X(t),
X(0) = \mathrm{I},
где A(t) = \bfN \prime (\Phi tx).
Согласно условию, наложенному на поле \bfN , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
H
\| \bfN \prime (\cdot )\| < \infty , поэтому, в силу оценки
\| X(t)\| \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl( \int t
0
\| A(\tau )\| d\tau
\biggr)
(см. [18]), делаем вывод о существовании \delta > 0, для которого
при всех t \in ( - \delta , \delta ) и x \in H справедлива оценка\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial
\partial x
\Phi tx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 2.
Tеорема 1 доказана.
Во второй части работы в области риманова многообразия \scrM класса C2 с конечной бо-
релевской мерой \sigma , имеющей свойство полноты носителя, будет рассмотрен пример задачи
Дирихле. При этом будет доказано, что условие замыкаемости оператора \bfg \bfr \bfa \bfd = \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM
позволяет реализовать при исследовании поставленной задачи классическую технику.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ. I 907
Литература
1. Gross L. Potential theory on Hilbert space // J. Funct. Anal. – 1967. – 1. – P. 123 – 181.
2. Далецкий Ю. Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения //
Успехи мат. наук. – 1967. – 22, № 4. – C. 3 – 54.
3. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. – М.: Наука, 1967. – 512 c.
4. Немировский А. С., Шилов Г. Е. Об аксиоматическом описании оператора Лапласа для функций на гильбер-
товом пространстве // Функцион. анализ и его прил. – 1969. – 3, № 3. – C. 79 – 85.
5. Богданский Ю. В. Задача Коши для параболических уравнений с существенно бесконечномерными эллипти-
ческими операторами // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 6. – C. 781 – 784.
6. Accardi L., Smolianov O.G. On Laplacians and traces // Conf. Semin. Univ. Bari. – 1993. – 250. – P. 1 – 25.
7. Accardi L., Barhoumi A., Ouerdiane H. A quantum approach to Laplace operators // Infinite Dimens. Anal. Quant.
Probab. Relat. Top. – 2006. – 9. – P. 215 – 248.
8. Accardi L., Ji U. C., Saito K. Exotic Laplacians and associated stohastic processes // Infinite Dimens. Anal. Quant.
Probab. Relat. Top. – 2009. – 12. – P. 1 – 19.
9. Богданский Ю. В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона
в L2 -версии // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – C. 1169 – 1178.
10. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом простран-
стве // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 6. – C. 733 – 739.
11. Богданский Ю. В. Граничный оператор следа в области гильбертова пространства и характеристическое
свойство его ядра // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – C. 1450 – 1460.
12. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Лапласиан по мере и эргодическая теорема // Укр. мат. журн. – 2015. –
67, № 9. – C. 1172 – 1180.
13. Aubin T. Nonlinear analisys on manifolds. Monge – Ampère equations. – New York: Springer-Verlag, 1982. – 204 p.
14. Strichartz R. S. Analysis of the Laplacian on the complete Riemannian manifold // J. Funct. Anal. – 1983. – 52. –
P. 48 – 79.
15. Далецкий Ю. Л., Белопольская Я. И. Стохастические уравнения и и дифференциальная геометрия. – Киев:
Вища шк., 1989. – 296 c.
16. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом простран-
стве. – Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та, 1980. – 264 c.
17. Богданский Ю. В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса – Остроградского //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 10. – C. 1299 – 1313.
18. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве. – М.: Наука, 1970. – 534 c.
Получено 15.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1889 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:38Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b0/03ea9541577534f46a7099877959f5b0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18892019-12-05T09:30:55Z Laplacian with respect to measure on a Riemannian manifold and Dirichlet problem. I Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Дирихле. I Bogdanskii, Yu. V. Potapenko, A. Yu. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. We propose an $L^2$ -version of the Laplacian with respect to measure on an infinite-dimensional Riemannian manifold. The Dirichlet problem for equations with proposed Laplacian is solved in the region of a Rimannian manifold from a certain class. Запропоновано $L^2$ -версiю лапласiана за мiрою на (нескiнченновимiрному) рiмановому многовидi. Розв’язано задачу Дiрiхле для рiвнянь з уведеним лапласiаном в областi рiманового многовиду певного класу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1889 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 7 (2016); 897-907 Український математичний журнал; Том 68 № 7 (2016); 897-907 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1889/871 Copyright (c) 2016 Bogdanskii Yu. V.; Potapenko A. Yu. |
| spellingShingle | Bogdanskii, Yu. V. Potapenko, A. Yu. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. Laplacian with respect to measure on a Riemannian manifold and Dirichlet problem. I |
| title | Laplacian with respect to measure on a Riemannian manifold and Dirichlet problem. I |
| title_alt | Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Дирихле. I |
| title_full | Laplacian with respect to measure on a Riemannian manifold and Dirichlet problem. I |
| title_fullStr | Laplacian with respect to measure on a Riemannian manifold and Dirichlet problem. I |
| title_full_unstemmed | Laplacian with respect to measure on a Riemannian manifold and Dirichlet problem. I |
| title_short | Laplacian with respect to measure on a Riemannian manifold and Dirichlet problem. I |
| title_sort | laplacian with respect to measure on a riemannian manifold and dirichlet problem. i |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1889 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanskiiyuv laplacianwithrespecttomeasureonariemannianmanifoldanddirichletproblemi AT potapenkoayu laplacianwithrespecttomeasureonariemannianmanifoldanddirichletproblemi AT bogdanskijûv laplacianwithrespecttomeasureonariemannianmanifoldanddirichletproblemi AT potapenkoaû laplacianwithrespecttomeasureonariemannianmanifoldanddirichletproblemi AT bogdanskijûv laplacianwithrespecttomeasureonariemannianmanifoldanddirichletproblemi AT potapenkoaû laplacianwithrespecttomeasureonariemannianmanifoldanddirichletproblemi AT bogdanskiiyuv laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihlei AT potapenkoayu laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihlei AT bogdanskijûv laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihlei AT potapenkoaû laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihlei AT bogdanskijûv laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihlei AT potapenkoaû laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihlei |