Estimations of the integral of modulus for mixed derivatives of the sum of double trigonometric series
For functions of two variables defined by trigonometric series with quasiconvex coefficients, we estimate their variations in the Hardy – Vitali sense.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1890 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507778984968192 |
|---|---|
| author | Hembars'ka, S. B. Zaderei, P. V. Гембарська, С. В Задерей, П. В. |
| author_facet | Hembars'ka, S. B. Zaderei, P. V. Гембарська, С. В Задерей, П. В. |
| author_sort | Hembars'ka, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:55Z |
| description | For functions of two variables defined by trigonometric series with quasiconvex coefficients, we estimate their variations
in the Hardy – Vitali sense. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
© С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ, 2016
908 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
УДК 517.5
С. Б. Гембарська (Східноєвроп. нац. ун-т ім. Л. Українки, Луцьк),
П. В. Задерей (Київ. нац. ун-т технологій та дизайну)
ОЦІНКИ ІНТЕГРАЛА ВІД МОДУЛЯ МІШАНОЇ ПОХІДНОЇ СУМИ
ПОДВІЙНОГО ТРИГОНОМЕТРИЧНОГО РЯДУ
For functions of two variables defined by trigonometric series with quasiconvex coefficients, we estimate their variations
in the Hardy – Vitali sense.
Для функций двух переменных, заданных тригонометрическими рядами с квазивыпуклыми коэффициентами, полу-
чены оценки их вариаций в смысле Харди – Витали.
1. Постановка задачі. Формулювання основного результату. У статтях [1, 2] С. О. Теля-
ковський досліджував ряди
a0
2
+
k=1
∞
∑ ak cos kx (1)
і
k=1
∞
∑ak sin kx , (2)
коефіцієнти яких прямують до нуля,
lim
k→∞
ak = 0 , (3)
і є квазіопуклими, тобто
k=1
∞
∑k ∆ 2 ak < ∞ , (4)
де ∆ 2 ak = ∆ ak −∆ ak+1 = ak − 2ak+1 + ak+2 .
Відомо, що умови (3) та (4) забезпечують рівномірну збіжність рядів (1) та (2) на відрізку
ε, π[ ] при будь-якому ε > 0, а їх суми f (x) і g(x) відповідно є неперервно диференційов-
ними на 0, π ]( .
Основна задача в [1] полягала у встановленні оцінок через коефіцієнти ak інтегралів від
модулів похідних ′f і ′g функцій f і g на відрізках, внутрішніх до 0, π ]( . Було дове-
дено теореми, що містять оцінки інтегралів від ′f і ′g , взятих по відрізках Al,m : =
: = π
m +1
, π
l
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
, l,m ∈N , 1 ≤ l ≤ m . Це дало змогу відслідковувати поведінку цих інтегралів
ОЦІНКИ ІНТЕГРАЛА ВІД МОДУЛЯ МІШАНОЇ ПОХІДНОЇ СУМИ ПОДВІЙНОГО … 909
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
при m→ ∞ і l = 1, а точніше, з’ясовувати як зростають інтеграли від ′f і ′g по
відрізках ε, π[ ] при ε → + 0 , якщо ці функції неінтегровні на –π, π[ ], і як спадають
інтеграли по відрізках 0, ε[ ] при ε → + 0 , якщо функції ′f і ′g інтегровні на –π, π[ ].
Властивість неперервності функцій ′f і ′g за умов (3) і (4) дозволила дати змістовні оцінки
варіації функцій f і g на відрізках Al,m , виходячи із одержаних оцінок інтегралів від ′f і
′g по цих відрізках.
Метою даної роботи є поширення результатів С. О. Теляковського із [1] на кратні (подвій-
ні) тригонометричні ряди з огляду на те, що відповідні оцінки варіації функцій, що задаються
такими рядами, є важливими для застосування як в теорії функцій, так і в теорії диференці-
альних рівнянь з частинними похідними.
Уточнимо постановку задачі. Нехай задано подвійний ряд
k1=1
∞
∑
k2=0
∞
∑ 2−γ k2 ak1,k2 sin k1x1 cos k2x2 , (5)
де γ k2 = 1 при k2 = 0 , γ k2 = 0 при k2 ≠ 0 , коефіцієнти якого задовольняють умову
ak = ak1,k2 → 0 , k1 + k2 → ∞ , (6)
і є квазіопуклими, тобто
k1=1
∞
∑ k1
k2=1
∞
∑ k2 ∆ 2,2 ak1,k2 < ∞ , (7)
де
∆1,0 ak1, k2 = ak1, k2 − ak1+1, k2 , ∆ 0,1 ak1, k2 = ak1, k2 − ak1, k2+1, ∆
1,1 ak1, k2 = ∆1,0 ∆ 0,1 ak1, k2( ),
∆ 2,0 ak1, k2 = ∆1,0 ak1, k2 −∆
1,0 ak1+1, k2 , ∆ 0,2 ak1, k2 = ∆ 0,1 ak1, k2 −∆
0,1 ak1, k2+1,
∆ 2,2 ak1, k2 = ∆1,1 ∆1,1 ak1, k2( ).
У статті [2] С. О. Теляковський показав, що при виконанні умов (6) і (7) ряд (5) збігається за
Принсхеймом (див. [3]) на 0, π( ]× 0, π( ] до функції h(x) = h(x1, x2 ) , тобто
lim
min n1,n2( )→∞ k1=1
n1
∑
k2=0
n2
∑ 2−γ k2 ak1,k2 sin k1x1 cos k2x2 := h(x1, x2 ).
Збіжність цього ряду є рівномірною на Tε2 := ε1, π[ ]× ε2, π[ ] при будь-яких ε1, ε2 > 0 , а йо-
го сума є неперервно диференційовною на 0, π( ]× 0, π( ].
910 С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
Отже, основна задача полягає в оцінюванні інтегралів від ∂2h x1, x2( )
∂x1 ∂x2
, взятих по
множинах Pl,m :=
π
m1 +1
, π
l1
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
× π
m2 +1
, π
l2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
, li , mi ∈N , 1 ≤ li ≤ mi , i = 1, 2 , у термінах
символів О від виразів, що визначаються лише за допомогою коефіцієнтів ak ряду (5) і
параметрів li , mi , i = 1, 2 (див. теорему 1 і наслідок 1). Похідною даної задачі є задача про
відповідну оцінку варіації в сенсі Харді – Віталі функції h на множинах Pl,m (див. наслі-
док 2).
Справедливим є таке твердження.
Теорема 1. Якщо коефіцієнти ряду (5) задовольняють умови (6) і (7), то має місце
оцінка
Pl ,m
∫∫
∂2h x1,x2( )
∂x1 ∂x2
dx1dx2 = O γ l,m( ) , (8)
де
γ l,m := m1 +1− l1
m1 k1=0
l1−1
∑ k1 +1
l1 k2=l2
m2
∑ uk2 ∆
1,0 αk1,k2 +
k1=l1
∞
∑ min k1 +1− l1,m1 +1− l1( ) ×
×
k2=l2
m2
∑ uk2 ∆
2,0 αk1,k2 + m1 +1− l1
m1
m2 +1− l2
m2 k1=0
l1−1
∑
k2=0
l2−1
∑ k1 +1( )
l1
k22
l22
∆1,1 αk1,k2 +
+
k1=l1
∞
∑ min k1 +1− l1,m1 +1− l1( )
k2=0
l2−1
∑ k22
l22
m2 +1− l2
m2
∆ 2,1 αk1,k2 +
+ m1 +1− l1
m1 k1=0
l1−1
∑ k1 +1
l1 k2=l2
∞
∑ min k2 +1− l2,m2 +1− l2( ) ∆1,2 αk1,k2 +
+
k1=l1
∞
∑ min k1 +1− l1,m1 +1− l1( )
k2=l2
∞
∑ min k2 +1− l2,m2 +1− l2( ) ∆ 2,2 αk1,k2 ,
uk2 :=
1
2 π/(k2+1)
π/k2
∫ ctg x2
2
dx2 = ln
sin π
2k2
sin π
2(k2 +1)
,
li , mi ∈N , 1 ≤ li ≤ mi , i = 1, 2 .
ОЦІНКИ ІНТЕГРАЛА ВІД МОДУЛЯ МІШАНОЇ ПОХІДНОЇ СУМИ ПОДВІЙНОГО … 911
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
2. Допоміжні твердження. Базовою в доведенні теореми 1 є теорема 2 (див. нижче) про
зображення функції
∂2h x1,x2( )
∂x1 ∂x2
у вигляді спеціального функціонального ряду з коефіцієнта-
ми, що визначаються на основі послідовності αk1,k2 := k1k2ak1,k2 , ki ∈N , i = 1, 2 .
Нам будуть потрібні деякі властивості цих послідовностей.
Лема 1 [7]. Якщо числа ak1, k2 задовольняють умову
∆1,1 ak1, k2 → 0, k1 + k2 → ∞ , (9)
то наступні співвідношення є еквівалентними:
k1=1
∞
∑
k2=1
∞
∑ k1k2 ∆ 2,2 ak1,k2 < ∞ , (10)
k1=1
∞
∑
k2=1
∞
∑ ∆ 2,2 αk1,k2 < ∞ . (11)
Лема 2 [7]. Якщо послідовність ak1,k2{ } задовольняє умови ak1, k2 → 0 при k1 +
+ k2 → ∞ і квазіопукла по кожній змінній, тобто
k1=1
∞
∑ k1
k2=1
∞
∑ k2 ∆ 2,2 ak1, k2 < ∞ ,
то
lim
min (n1, n2 )→∞
∆1,1 αn1, n2 = 0 ,
lim
min (n1, n2 )→∞ k2=0
n2−1
∑ ∆1,2 αn1, k2 = 0 ,
lim
min (n1, n2 )→∞ k1=0
n1−1
∑ ∆ 2,1 αk1, n2 = 0 .
Тепер нехай Dj (x) = 1
2
+ cos lxl=1
j∑ — ядро Діріхле і
Fk (x) :=
j=1
k
∑Dj (x) =
sin2 k +1( ) x
2
2 sin2 x
2
,
912 С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
ϕk (x) := − 1
2
ctg x
2
+ !Dk (x) = − 1
2
ctg x
2
+
l=1
k
∑ sin lx = −
cos k + 1
2
⎛
⎝
⎞
⎠ x
2 sin x
2
,
ψ k (x) :=
k=0
m
∑ϕk (x) = − sin m +1( ) x
4 sin2 x
2
.
Теорема 2. Якщо коефіцієнти ряду (5) задовольняють умови (6) і (7), то для мішаної
похідної від суми цього ряду має місце зображення
∂2h(x1, x2 )
∂x1 ∂x2
= −
k1=0
∞
∑
k2=0
∞
∑ ∆ 2,2 αk1, k2Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ), xi ∈Tε
2 , i = 1, 2 . (12)
Доведення. При вказаних умовах ряд (5) збігається рівномірно в довільному прямокут-
нику Tε2 , ε1 > 0 , ε2 > 0 [2]. Тому послідовність C,1( )-середніх цього ряду
σn1, n2 h, x1, x2( ) :=
k1=1
n1
∑
k2=0
n2
∑ 2−γ k2 1− k1
n1 +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1− k2
n2 +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ak1, k2 sin k1x1 cos k2x2 ,
де γ k2 = 1 при k2 = 0 , γ k2 = 0 при k2 ≠ 0, також збігається рівномірно до функції
h(x1, x2 ) на Tε2 [8]. Отже, для доведення теореми достатньо показати, що послідовність
∂2σn1,n2 h, x1, x2( )
∂x1 ∂x2
збігається рівномірно на Tε2 до функції, що міститься у правій час-
тині (12).
Позначимо
βk1, k2 = 1− k1
n1 +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1− k2
n2 +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
αk1, k2 , ki = 0, ni +1, i = 1, 2 .
Тоді
∂2σn1, n2 h, x1,x2( )
∂x1 ∂x2
= −
k1=1
n1
∑
k2=1
n2
∑βk1, k2 cos k1x1 sin k2x2 .
Застосовуючи двічі перетворення Абеля по кожній змінній до цього виразу, знаходимо
∂2σn1, n2 h, x1, x2( )
∂x1 ∂x2
= −
k1=0
n1−1
∑
k2=0
n2−1
∑ ∆ 2,2 βk1, k2Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ) −
k1=0
n1−1
∑ ∆ 2,1 βk1, n2Fk1 (x1)ψn2 (x2 ) –
ОЦІНКИ ІНТЕГРАЛА ВІД МОДУЛЯ МІШАНОЇ ПОХІДНОЇ СУМИ ПОДВІЙНОГО … 913
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
–
k2=0
n2−1
∑ ∆1, 2 βn1, k2Fn1 (x1)ψ k2 (x2 ) −
n1n2
n1 +1( ) n2 +1( ) an1, n2Fn1 (x1)ψn2 (x2 ).
Враховуючи значення ∆ 2,2 βk1, k2 , ∆ 2,1 βk1, n2 , ∆1,2 βn1, k2 [5], записуємо вираз для
∂2σn1,n2 h, x1, x2( )
∂x1 ∂x2
:
∂2σn1, n2 h, x1, x2( )
∂x1 ∂x2
= −
k1=0
n1−1
∑
k2=0
n2−1
∑ ∆ 2,2 αk1, k2Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ) + Rn1, n2 x1, x2( ), (13)
де
Rn1, n2 x1, x2( ) = 1
n1 +1 k1=0
n1−1
∑
k2=0
n2−1
∑ k1∆ 2,2 αk1, k2Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ) +
+ 1
n2 +1 k1=0
n1−1
∑
k2=0
n2−1
∑ k2 ∆ 2,2 αk1, k2Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ) –
– 1
n1 +1
1
n2 +1 k1=0
n1−1
∑
k2=0
n2−1
∑ k1k2 ∆ 2,2 αk1, k2Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ) +
+ 2
n2 +1 k1=0
n1−1
∑
k2=0
n2−1
∑ ∆ 2,1 αk1, k2+1Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ) –
– 2
n1 +1( ) n2 +1( ) k1=0
n1−1
∑
k2=0
n2−1
∑ k1∆ 2,1 αk1, k2+1Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ) +
+ 2
n1 +1 k1=0
n1−1
∑
k2=0
n2−1
∑ ∆1,2 αk1+1, k2Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ) –
– 2
n1 +1( ) n2 +1( ) k1=0
n1−1
∑
k2=0
n2−1
∑ k2 ∆1,2 αk1+1, k2Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ) –
– 4
n1 +1( ) n2 +1( ) k1=0
n1−1
∑
k2=0
n2−1
∑ ∆1,1 αk1+1, k2+1Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ) –
– 1
n2 +1 k1=0
n1−1
∑ ∆ 2,0 αk1, n2Fk1 (x1)ψn2 (x2 ) +
914 С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
+ 1
n1 +1( ) n2 +1( ) k1=0
n1−1
∑ k1∆ 2,0 αk1, n2Fk1 (x1)ψn2 (x2 ) –
– 2
n1 +1( ) n2 +1( ) k1=0
n1−1
∑ ∆1,0 αk1+1, n2Fk1 (x1)ψn2 (x2 ) –
– 1
n1 +1 k2=0
n2−1
∑ ∆ 0,2 αn1, k2Fn1 (x1)ψ k2 (x2 ) +
+ 1
n1 +1( ) n2 +1( ) k2=0
n2−1
∑ k2 ∆ 0,2 αn1, k2Fn1 (x1)ψ k2 (x2 ) –
– 2
n1 +1( ) n2 +1( ) k2=0
n2−1
∑ ∆ 0,1 αn1, k2+1Fn1 (x1)ψ k2 (x2 ) –
– n1n2
n1 +1( ) n2 +1( ) an1, n2Fn1 (x1)ψn2 (x2 ) .
Оскільки умова (10) еквівалентна умові (11) (див. лему 1), то ряд
k1=0
∞
∑
k2=0
∞
∑ ∆ 2,2 αk1, k2Fk1 (x1)ψ k2 (x2 )
збігається рівномірно на Tε2 . Для доведення (12) достатньо показати, що при n1 + n2 → ∞ всі
функції Rn1, n2 (x1, x2 ) прямують до нуля рівномірно на Tε2 . Враховуючи, що для функцій
Fk1 (x1) , ψ k2 (x2 ) на Tε
2 справджуються оцінки
Fk1 (x1) ≤ C
x12
, ψ k2 (x2 ) ≤ C
x22
,
одержуємо, що Rn1, n2 (x1, x2 ) → 0 при n1 + n2 → ∞.
На підставі викладеного вище із (13) випливає (12).
Теорему 2 доведено.
Доведення теореми 1. Спочатку виконаємо певні перетворення правої частини рівнос-
ті (12). Неважко показати, що для довільних k j ∈N , j = 1, 2, справджуються рівності
i1=0
k1−1
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆ 2,2 αi1, i2Fi1 (x1)ψ i2 (x2 ) =
ОЦІНКИ ІНТЕГРАЛА ВІД МОДУЛЯ МІШАНОЇ ПОХІДНОЇ СУМИ ПОДВІЙНОГО … 915
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
=
i1=0
k1−1
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆1,1 αi1, i2Di1 (x1)ϕi2 (x2 ) −
i2=0
k2−1
∑ ∆1,1 αk1, i2Fk1−1(x1)ϕi2 (x2 ) –
–
i1=0
k1−1
∑ ∆1,1 αi1, k2Di1 (x1)ψ k2−1(x2 ) +∆
1,1 αk1, k2Fk1−1(x1)ψ k2−1(x2 ),
i1=0
k1−1
∑
i2=k2
∞
∑ ∆ 2,2 αi1, i2Fi1 (x1)ψ i2 (x2 ) =
=
i1=0
k1−1
∑
i2=k2
∞
∑ ∆1,2 αi1, i2Di1 (x1)ψ i2 (x2 ) −
i2=k2
∞
∑ ∆1,2 αk1, i2Fk1−1(x1)ψ i2 (x2 ) ,
i1=k1
∞
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆ 2,2 αi1, i2Fi1 (x1)ψ i2 (x2 ) =
=
i1=k1
∞
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆ 2,1 αi1, i2Fi1 (x1)ϕi2 (x2 ) −
i1=k1
∞
∑ ∆ 2,1 αi1, k2Fi1 (x1)ψ k2−1(x2 ),
а отже,
k1=0
∞
∑
k2=0
∞
∑ ∆ 2,2 αk1, k2Fk1 (x1)ψ k2 (x2 ) =
=
i1=0
k1−1
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆1,1 αi1, i2Di1 (x1)ϕi2 (x2 ) +
+
i1=0
k1−1
∑
i2=k2
∞
∑ ∆1,2 αi1, i2Di1 (x1) ψ i2 (x2 ) − ψ k2−1(x2 )( ) +
+
i1=k1
∞
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆ 2,1 αi1, i2ϕi2 (x2 ) Fi1 (x1) − Fk1−1(x1)( ) +
+
i1=k1
∞
∑
i2=k2
∞
∑ ∆ 2,2 αi1, i2 Fi1 (x1) − Fk1−1(x1)( ) ψ i2 (x2 ) − ψ k2−1(x2 )( ) . (14)
Із (12) і (14), використовуючи означення ϕi , отримуємо
∂2h x1, x2( )
∂x1 ∂x2
= −
i1=0
k1−1
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆1,1 αi1, i2Di1 (x1) − 1
2
ctg x2
2
+ !Di2 (x2 )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ –
916 С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
–
i1=0
k1−1
∑
i2=k2
∞
∑ ∆1,2 αi1, i2Di1 (x1) ψ i2 (x2 ) − ψ k2−1(x2 )( ) –
–
i1=k1
∞
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆ 2,1 αi1, i2 − 1
2
ctg x2
2
+ !Di2 (x2 )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ Fi1 (x1) − Fk1−1(x1)( ) –
–
i1=k1
∞
∑
i2=k2
∞
∑ ∆ 2,2 αi1, i2 Fi1 (x1) − Fk1−1(x1)( ) ψ i2 (x2 ) − ψ k2−1(x2 )( ) =
=
1
2
ctg x2
2 i1=0
k1−1
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆1,1 αi1, i2Di1 (x1) −
i1=0
k1−1
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆1,1 αi1, i2Di1 (x1) !Di2 (x2 ) –
–
i1=0
k1−1
∑
i2=k2
∞
∑ ∆1,2 αi1, i2Di1 (x1) ψ i2 (x2 ) − ψ k2−1(x2 )( ) –
–
i1=k1
∞
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆ 2,1 αi1, i2 Fi1 (x1) − Fk1−1(x1)( ) !Di2 (x2 ) +
+ 1
2
ctg x2
2 i1=k1
∞
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆ 2,1 αi1, i2 Fi1 (x1) − Fk1−1(x1)( ) –
–
i1=k1
∞
∑
i2=k2
∞
∑ ∆ 2,2 αi1, i2 Fi1 (x1) − Fk1−1(x1)( ) ψ i2 (x2 ) − ψ k2−1(x2 )( ) .
Тепер перейдемо до оцінювання інтеграла σ := ∂2h(x1, x2 )
∂x1 ∂x2
dx1 dx2Pl ,m∫∫ . Спочатку запи-
шемо його у вигляді
σ =
k1=l1
m1
∑
k2=l2
m2
∑ ∂2h x1,x2( )
∂x1 ∂x2
dx1 dx2
Pk1, k2
∫∫ = :
k1=l1
m1
∑
k2=l2
m2
∑ Ik1, k2 ,
де
Pk1, k2 = (x1, x2 ) :
π
ki +1
≤ xi ≤
π
ki
, i = 1, 2⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
.
Тоді
ОЦІНКИ ІНТЕГРАЛА ВІД МОДУЛЯ МІШАНОЇ ПОХІДНОЇ СУМИ ПОДВІЙНОГО … 917
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
Ik1, k2 ≤ 1
2Pk1,k2
∫∫ ctg x2
2 i1=0
k1−1
∑ ∆1,0 αi1, k2 Di1 (x1) dx1dx2 +
+
Pk1,k2
∫∫
i1=0
k1−1
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆1,1 αi1, i2 Di1 (x1)
!Di2 (x2 ) dx1 dx2 +
+
Pk1,k2
∫∫
i1=0
k1−1
∑
i2=k2
∞
∑ ∆1,2 αi1, i2 Di1 (x1) ψ i2 (x2 ) − ψ k2−1(x2 ) dx1 dx2 +
+
Pk1,k2
∫∫
i1=k1
∞
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆ 2,1 αi1, i2 Fi1 (x1) − Fk1−1(x1) !Di2 (x2 ) dx1 dx2 +
+
Pk1,k2
∫∫
1
2
ctg x2
2 i1=k1
∞
∑ ∆ 2,0 αi1, k2 Fi1 (x1) − Fk1−1(x1) dx1 dx2 +
+
Pk1,k2
∫∫
i1=k1
∞
∑
i2=k2
∞
∑ ∆ 2,2 αi1, i2 Fi1 (x1) − Fk1−1(x1) ψ i2 (x2 ) − ψ k2−1(x2 ) dx1 dx2 .
Застосовуючи до інтегралів від ядер Dij (x j ), Fij (x j ) ,
!Dij (x j ) і ψ i j (x j ), j = 1, 2 , оцінки
Di (x) < i +1, 0 ≤ Fi (x) ≤ C
x2
,
!Di (x) =
s=1
i
∑ sin sx ≤ i2x , 0 ≤ ψ i (x) ≤ C
x2
,
одержуємо
Ik1, k2 ≤
i1=0
k1−1
∑ ∆1,0 αi1,k2 i1 +1( )
π/(k1+1)
π/k1
∫
π/(k2+1)
π/k2
∫
1
2
ctg x2
2
dx1 dx2 +
+
i1=0
k1−1
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆1,1 αi1, i2 i1 +1( ) i22
π/(k1+1)
π/k1
∫
π/(k2+1)
π/k2
∫ x2 dx1 dx2 +
+
i1=0
k1−1
∑
i2=k2
∞
∑ ∆1,2 αi1, i2 i1 +1( )
π/(k1+1)
π/k1
∫
π/(k2+1)
π/k2
∫
C
x22
dx1 dx2 +
+
i1=k1
∞
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆ 2,1 αi1, i2 i22
π/(k1+1)
π/k1
∫
C
x12
dx1
π/(k2+1)
π/k2
∫ x2 dx2 +
918 С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
+
i1=k1
∞
∑ ∆ 2,0 αi1,k2
π/(k1+1)
π/k1
∫
C
x12
dx1
π/(k2+1)
π/k2
∫
1
2
ctg x2
2
dx2 +
+
i1=k1
∞
∑
i2=k2
∞
∑ ∆ 2,2 αi1, i2
π/(k1+1)
π/k1
∫
C
x12
dx1
π/(k2+1)
π/k2
∫
C
x22
dx2 .
Отже,
σ :=
k1=l1
m1
∑
k2=l2
m2
∑ Ik1, k2 ≤
k1=l1
m1
∑
k2=l2
m2
∑
i1=0
k1−1
∑ ∆1,0 αi1, k2 i1 +1( ) C
k1 k1 +1( ) uk2 +
+
k1=l1
m1
∑
k2=l2
m2
∑
i1=0
k1−1
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆1,1 αi1, i2 i1 +1( ) i22
C
k1 k1 +1( ) π/(k2+1)
π/k2
∫ x2 dx2 +
+
k1=l1
m1
∑
k2=l2
m2
∑
i1=0
k1−1
∑
i2=k2
∞
∑ ∆1,2 αi1, i2 i1 +1( ) C
k1 k1 +1( ) +
+
k1=l1
m1
∑
k2=l2
m2
∑
i1=k1
∞
∑
i2=0
k2−1
∑ ∆ 2,1 αi1, i2 i22C
π/(k2+1)
π/k2
∫ x2 dx2 +
+
k1=l1
m1
∑
k2=l2
m2
∑
i1=k1
∞
∑ ∆ 2,0 αi1, k2 Cuk2 +
+
k1=l1
m1
∑
k2=l2
m2
∑
i1=k1
∞
∑
i2=k2
∞
∑ C ∆ 2,2 αi1, i2 : =
s=1
6
∑σ l,ms . (15)
Оцінимо величини σ l,ms , s = 1, 6 :
σ l,m1 ≤ C
k1=0
l1−1
∑
⎛
⎝
⎜
m1 +1− l1
m1
k1 +1
l1 k2=l2
m2
∑ ∆1,0 αk1, k2 uk2 +
+
k1=l1
∞
∑ min k1 +1− l1, m1 +1− l1( )
k2=l2
m2
∑ ∆ 2,0 αk1,k2 uk2
⎞
⎠
⎟ , (16)
σ l,m2 ≤ C m1 +1− l1
m1
m2 +1− l2
m2 k1=0
l1−1
∑
k2=0
l2−1
∑
⎛
⎝
⎜
k1 +1( )
l1
k22
l22
∆1,1 αk1, k2 +
ОЦІНКИ ІНТЕГРАЛА ВІД МОДУЛЯ МІШАНОЇ ПОХІДНОЇ СУМИ ПОДВІЙНОГО … 919
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
+
k1=l1
∞
∑ min k1 +1− l1, m1 +1− l1( )
k2=0
l2−1
∑ k22
l22
m2 +1− l2
m2
∆ 2,1 αk1, k2 +
+
k1=0
i1−1
∑ k1 +1
l1
m1 +1− l1
m1 k2=l2
∞
∑ min k2 +1− l2, m2 +1− l2( ) ∆1,2 αk1, k2 +
+
k1=l1
∞
∑ min k1 +1− l1, m1 +1− l1( )
k2=l2
∞
∑ min k2 +1− l2, m2 +1− l2( ) ∆ 2,2 αk1, k2
⎞
⎠
⎟ , (17)
σ l,m3 ≤ C m1 +1− l1
m1 k1=0
l1−1
∑
⎛
⎝
⎜
k1 +1
l1 k2=l2
∞
∑ min k2 +1− l2, m2 +1− l2( ) ∆1,2 αk1, k2 +
+
k1=l1
∞
∑ min k1 +1− l1, m1 +1− l1( )
k2=l2
∞
∑ min k2 +1− l2, m2 +1− l2( ) ∆ 2,2 αk2 , k2
⎞
⎠
⎟ , (18)
σ l,m4 ≤ C m2 +1− l2
m2 k1=l1
∞
∑
⎛
⎝
⎜ min k1 +1− l1, m1 +1− l1( )
k2=0
l2−1
∑ k22
l22
∆ 2,1 αk1, k2 +
+
k1=l1
∞
∑ min k1 +1− l1, m1 +1− l1( )
k2=l2
∞
∑ k2 +1− l2, m2 +1− l2( ) ∆ 2,2 αk1, k2
⎞
⎠
⎟ , (19)
σ l,m5 ≤ C
k1=l1
∞
∑ min k1 +1− l1, m1 +1− l1( )
k2=l2
m2
∑ ∆ 2,0 αk1, k2 uk2 , (20)
σ l,m6 ≤ C
k1=l1
∞
∑ min k1 +1− l1, m1 +1− l1( ) ×
×
k2=l2
∞
∑ min k2 +1− l2, m2 +1− l2( ) ∆ 2,2 αk1, k2 . (21)
Об’єднуючи співвідношення (15) – (21), отримуємо
σ =
π/(m1+1)
π/l1
∫
π/(m2+1)
π/l2
∫
∂2h x1, x2( )
∂x1 ∂x2
dx1 dx2 = O γ l,m( ).
Теорему доведено.
Наведемо наслідки з оцінки (8), залишкові члени яких містять лише другі різниці послі-
довності αk1, k2{ } .
920 С. Б. ГЕМБАРСЬКА, П. В. ЗАДЕРЕЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
Наслідок 1. Нехай числа ak1, k2 задовольняють умови (6) і (7). Тоді справджується
оцінка
Pl ,m
∫∫
∂2h x1, x2( )
∂x1 ∂x2
dx1 dx2 =
= O m1 +1− l1
m1 k1=0
∞
∑
⎛
⎝
⎜⎜
min k1 +1( )2
l1
, k1 +1( ) , m1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ k2=l2
m2
∑ uk2 ∆
2,0 αk1, k2 +
+ m1 +1− l1
m1
m2 +1− l2
m2 k1=0
∞
∑ min k1 +1( )2
l1
, k1 +1( ) , m1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
×
×
k2=0
∞
∑ min k23
l22
, k2,m2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∆ 2,2 αk1,k2
⎞
⎠
⎟ .
Оскільки в умовах теореми 1 функція h(x1, x2 ) на Tε2 := ε1, π[ ]× ε2, π[ ], ε1, ε2 > 0 має
неперервні похідні, то теорему 1 можна переформулювати в термінах оцінки варіації по
Харді – Віталі функції h(x1, x2 ) на множині Pl,m = π
m1 +1
, π
l1
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
× π
m2 +1
, π
l2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
, li ,mi ∈N ,
1 ≤ li ≤ mi , i = 1, 2 .
Означення. Функція f (x, y) , визначена на прямокутнику Πa, b = a1, b1[ ]× a2, b2[ ],
називається функцією обмеженої варіації в сенсі Харді – Віталі, якщо вона є функцією об-
меженої варіації на відповідних відрізках ai , bi[ ] по кожній із змінних при фіксованих
значеннях іншої змінної і для довільних l,m ∈N і (xi , yk ) ∈Πa, b , i = 1, l , k = 1,m ,
Vl,m f ,Πa, b( ) :=
i=1
l
∑
k=1
m
∑ f xi+1, yk+1( ) − f xi+1, yk( ) − f xi , yk+1( ) + f xi , yk( ) < ∞.
Величина V f ,Πa, b( ) = supl,m Vl,m f ,Πa, b( ) називається варіацією (в сенсі Харді – Віталі)
функції f на прямокутнику Πa, b .
Наслідок 2. Нехай послідовність αk1, k2{ } квазіопукла і така, що αk1, k2 → 0, k1 +
+ k2 → ∞ . Тоді для варіації по Харді – Віталі функції h x1, x2( ) на Pl,m справджується
оцінка
V h, Pl,m( ) = O m1 +1− l1
m1 k1=0
∞
∑
⎛
⎝
⎜ min k1 +1( )2
l1
, k1 +1( ) ,m1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ k2=l2
m2
∑ uk2 ∆
2,0 αk1, k2 +
ОЦІНКИ ІНТЕГРАЛА ВІД МОДУЛЯ МІШАНОЇ ПОХІДНОЇ СУМИ ПОДВІЙНОГО … 921
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
+ m1 +1− l1
m1
m2 +1− l2
m2 k1=0
∞
∑ min k1 +1( )2
l1
, k1 +1( ) ,m1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
×
×
k2=0
∞
∑ min k23
l22
, k2,m2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∆ 2,2 αk1, k2
⎞
⎠
⎟
з абсолютними сталими в залишкових членах.
Література
1. Теляковский С. А. Оценки интеграла от производной суммы тригонометрического ряда с квазивыпуклыми
коэффициентами // Мат. сб. – 1995. – 186. – С. 111 – 122.
2. Теляковский С. А. Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами //
Мат. сб. – 1964. – 63. – С. 426 – 444.
3. Жижиашвили Л. В. Сопряженные функции и тригонометрические ряды. – Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та,
1969. – 102 с.
4. Алимов Ш. А., Ильин В. А., Никишин Е. М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спект-
ральных разложений // Успехи мат. наук. – 1976. – 31. – С. 28 – 84.
5. Гембарская С. Б. Оценки вариации функций, заданных двойными тригонометрическими рядами по косинусам
// Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 6. – С. 733 – 749.
6. Гембарська С. Б., Задерей П. В. Про абсолютну збіжність степеневих рядів // Укр. мат. журн. – 1999. – 51,
№ 5. – С. 594 – 602.
7. Гембарская С. Б., Задерей П. В. Оценки вариации по Харди – Витали функций, заданных кратными тригоно-
метрическими рядами // Теорія наближень та гармонічний аналіз: Праці Укр. мат. конгресу-2001. – Київ: Ін-т
математики НАН України, 2002. – С. 56 – 71.
8. Подкорытов А. Н. Средние Фейера в двумерном случае // Вести Ленингр. ун-та. – 1978. – № 13. – С. 32 – 39.
Одержано 27.10.15
|
| id | umjimathkievua-article-1890 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:44Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9e/1b9a6a3b030d6cbcc3cb4dc8f2a5409e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18902019-12-05T09:30:55Z Estimations of the integral of modulus for mixed derivatives of the sum of double trigonometric series Оцінки інтеграла від модуля мішаної похідної суми подвійного тригонометричного ряду Hembars'ka, S. B. Zaderei, P. V. Гембарська, С. В Задерей, П. В. For functions of two variables defined by trigonometric series with quasiconvex coefficients, we estimate their variations in the Hardy – Vitali sense. Для функций двух переменных, заданных тригонометрическими рядами с квазивыпуклыми коэффициентами, получены оценки их вариаций в смысле Харди – Витали. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1890 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 7 (2016); 908-921 Український математичний журнал; Том 68 № 7 (2016); 908-921 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1890/872 Copyright (c) 2016 Hembars'ka S. B.; Zaderei P. V. |
| spellingShingle | Hembars'ka, S. B. Zaderei, P. V. Гембарська, С. В Задерей, П. В. Estimations of the integral of modulus for mixed derivatives of the sum of double trigonometric series |
| title | Estimations of the integral of modulus for mixed derivatives of the sum of double trigonometric series |
| title_alt | Оцінки інтеграла від модуля мішаної похідної суми подвійного тригонометричного ряду |
| title_full | Estimations of the integral of modulus for mixed derivatives of the sum of double trigonometric series |
| title_fullStr | Estimations of the integral of modulus for mixed derivatives of the sum of double trigonometric series |
| title_full_unstemmed | Estimations of the integral of modulus for mixed derivatives of the sum of double trigonometric series |
| title_short | Estimations of the integral of modulus for mixed derivatives of the sum of double trigonometric series |
| title_sort | estimations of the integral of modulus for mixed derivatives of the sum of double trigonometric series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1890 |
| work_keys_str_mv | AT hembars039kasb estimationsoftheintegralofmodulusformixedderivativesofthesumofdoubletrigonometricseries AT zadereipv estimationsoftheintegralofmodulusformixedderivativesofthesumofdoubletrigonometricseries AT gembarsʹkasv estimationsoftheintegralofmodulusformixedderivativesofthesumofdoubletrigonometricseries AT zaderejpv estimationsoftheintegralofmodulusformixedderivativesofthesumofdoubletrigonometricseries AT hembars039kasb ocínkiíntegralavídmodulâmíšanoípohídnoísumipodvíjnogotrigonometričnogorâdu AT zadereipv ocínkiíntegralavídmodulâmíšanoípohídnoísumipodvíjnogotrigonometričnogorâdu AT gembarsʹkasv ocínkiíntegralavídmodulâmíšanoípohídnoísumipodvíjnogotrigonometričnogorâdu AT zaderejpv ocínkiíntegralavídmodulâmíšanoípohídnoísumipodvíjnogotrigonometričnogorâdu |