Asymptotic behavior of the extreme values of random variables. Discrete case
We study the exact asymptotics of almost surely extreme values of discrete random variables.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1892 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507777609236480 |
|---|---|
| author | Matsak, I. K. Мацак, І. К. |
| author_facet | Matsak, I. K. Мацак, І. К. |
| author_sort | Matsak, I. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:55Z |
| description | We study the exact asymptotics of almost surely extreme values of discrete random variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
I. K. Mацак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗНАЧЕНЬ
ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН. ДИСКРЕТНИЙ ВИПАДОК
We study the exact asymptotics of almost surely extreme values of discrete random variables.
Исследуется асимптотика почти наверное экстремальных значений дискретных случайных величин.
1. Вступ. Розглянемо послiдовнiсть \xi , \xi 1, \xi 2, . . . незалежних однаково розподiлених випадкових
величин (н. о. р. в. в.) з функцiєю розподiлу (ф. р.)F (t) = \bfP (\xi < t). Нехай
zn = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
\xi i.
Починаючи з класичної роботи [1] асимптотичну поведiнку zn дослiджували досить широко
(див., наприклад, [2 – 8]). Так, ще в [1] було знайдено необхiднi i достатнi умови для асимпто-
тичної стiйкостi за ймовiрнiстю:
\exists (\alpha n) zn - \alpha n
P - \rightarrow 0, n \rightarrow \infty . (1)
Нехай \xi — дискретна в. в. з розподiлом (k, pk), k \geq 1. Далi у статтi скрiзь вважаємо, що
\bfP (\xi = k) = pk > 0,
\infty \sum
k=1
pk = 1,
R(k) = - \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl(
1 - F (k)
\bigr)
= - \mathrm{l}\mathrm{n}
\left( \sum
i\geq k
pi
\right) , r(k) = R(k) - R(k - 1).
Для дискретних в. в. С. W. Anderson [9] знайшов цiкаве уточнення (1): для того щоб iснувала
послiдовнiсть цiлих чисел (kn), для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\bfP
\Bigl(
\{ zn = kn\}
\bigcup
\{ zn = kn + 1\}
\Bigr)
= 1, (2)
необхiдною i достатньою є умова
r(k) \rightarrow \infty , k \rightarrow \infty . (3)
Якщо поставити питання про асимптотику zn майже напевно (м. н.), то окрiм статтi [10]
автору невiдомi роботи, в яких розглядається дискретний випадок. У статтi [10] доведено таку
теорему.
Теорема А. Нехай \xi , \xi 1, \xi 2, . . . — послiдовнiсть дискретних н. о. р. в. в. з розподiлом (k, pk),
k \geq 1, визначена вище функцiя r(k) монотонно зростає i\sum
k\geq 1
r(k + 1) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - r(k)) < \infty . (4)
Тодi
c\bigcirc I. K. MАЦАК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7 945
946 I. K. MАЦАК
\bfP
\Biggl( \infty \bigcup
n=1
\infty \bigcap
k=n
Ak
\Biggr)
= 1, (5)
де
An = \{ zn = an - 1\}
\bigcup
\{ zn = an\}
\bigcup
\{ zn = an + 1\}
an = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\left( k :
\sum
i\geq k
pi \geq
1
n
\right) .
У цiй теоремi залишається незрозумiлим наскiльки умова (4) є близькою до необхiдної для
виконання рiвностi (5).
Зазначимо, що геометричний i пуассонiвський розподiли не задовольняють умову (4). Але
якщо асимптотична поведiнка zn для геометричного розподiлу є вiдомою [10], то аналогiчне
питання для пуассонiвського розподiлу залишалося вiдкритим.
Iнше природне питання виникає iз результату [9]: чи не можна в рiвностi (5) замiнити
подiїAn на \~An = \{ zn = kn\}
\bigcup
\{ zn = kn + 1\} ?
У данiй роботi ми спробуємо знайти вiдповiдi на цi питання.
2. Основнi результати.
Теорема 1. Нехай \xi , \xi 1, \xi 2, . . . — послiдовнiсть дискретних н. о. р. в. в. з розподiлом (k, pk),
k \geq 1, r(k) — монотонна функцiя i виконується умова (3). Рiвнiсть
\bfP (zn > an + 1 н. ч.) = 0 (6)
має мiсце тодi i тiльки тодi, коли \sum
k\geq 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - r(k)) < \infty . (7)
Бiльше того, якщо (7) виконується, то
\bfP (zn = an + 1 н. ч.) = 1, (8)
де н. ч. означає нескiнченно часто.
Теорема 2. Нехай \xi , \xi 1, \xi 2, . . . — послiдовнiсть дискретних н. о. р. в. в. з розподiлом (k, pk),
k \geq 1, r(k) — монотонна функцiя i виконується умова (3). Рiвнiсть
\bfP (zn < an - 1 н. ч.) = 0 (9)
має мiсце тодi i тiльки тодi, коли \sum
k\geq 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - er(k)) < \infty . (10)
Бiльш того, якщо (10) виконується, то
\bfP (zn = an - 1 н. ч.) = 1. (11)
Наведенi теореми дозволяють дещо послабити умову (4) теореми А.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗНАЧЕНЬ ВИПАДКОВИХ . . . 947
Наслiдок 1. Якщо в умовах теореми 1 виконується нерiвнiсть (7), то справджуються
спiввiдношення (5), (8), (11).
Зауваження 1. Здається правдоподiбним, що в умовах наслiдку 1
\bfP (zn = an н. ч.) = 1.
Далi ми встановимо навiть сильнiше твердження, хоча i при бiльш жорстких умовах.
Iз наслiдку 1 випливає, що в рiвностi (5) не можна замiнити подiї An на A
\prime
n = \{ zn =
= an\}
\bigcup
\{ zn = an - 1\} чи A
\prime \prime
n = \{ zn = an\}
\bigcup
\{ zn = an + 1\} . Проте деякий аналог результату iз
[9], який виконується м. н., все ж можна довести.
Зафiксуємо деяке \alpha , 0 < \alpha < 1/2, та розглянемо такi пiдмножини натуральних чисел:
J\alpha =
\bigl\{
n \geq 1 \exists k \geq 1 : R(k) + \alpha r(k + 1) \leq \mathrm{l}\mathrm{n}n < R(k) + (1 - \alpha )r(k + 1)
\bigr\}
,
J -
\alpha =
\bigl\{
n \geq 1 \exists k \geq 1 : R(k) \leq \mathrm{l}\mathrm{n}n < R(k) + \alpha r(k + 1)
\bigr\}
.
Покладемо
\kappa n =
\left\{ an - 1 при n \in J -
\alpha ,
an — в протилежному випадку.
Теорема 3. Нехай \xi , \xi 1, \xi 2, . . . — послiдовнiсть дискретних н. о. р. в. в. з розподiлом (k, pk),
k \geq 1, r(k) — монотонна функцiя i виконується умова (4). Тодi справджуються рiвностi
\bfP
\Bigl(
\exists n\alpha \forall n > n\alpha : \{ zn = \kappa n\}
\bigcup
\{ zn = \kappa n + 1\}
\Bigr)
= 1, (12)
\bfP
\bigl(
\exists n\alpha \forall n > n\alpha , n \in J\alpha : zn = an
\bigr)
= 1. (13)
Iз наведених вище теорем зрозумiло, що асимптотична поведiнка zn у дискретному випадку
при умовах типу (7) iстотно вiдрiзняється вiд неперервного випадку (див., наприклад, [4, 8]).
Якщо ж R(k) зростає повiльнiше, нiж лiнiйна функцiя, то ситуацiя змiнюється. Так, у
працi [10] показано, що асимптотики zn для геометричного i вiдповiдного експоненцiального
розподiлiв еквiвалентнi. Наступна теорема поширює цей результат на деякий клас дискретних
в. в., для яких r(k) змiнюється регулярно.
Теорема 4. Нехай \xi , \xi 1, \xi 2, . . . — послiдовнiсть дискретних н. о. р. в. в. з розподiлом (k, pk),
k \geq 1, R(t) — диференцiйовна функцiя i
R
\prime
(t) = \~r(t) = tbL(t), - 1 < b \leq 0,
де L(t) — повiльно змiнна функцiя при t \rightarrow \infty , причому | L(t)| \leq C при b = 0.
Тодi м. н.
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\~r(an)(zn - an)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= 1, (14)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
\~r(an)(zn - an)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= - 1, (15)
де an визначено в теоремi А.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
948 I. K. MАЦАК
3. Доведення основних результатiв. Спочатку наведемо кiлька важливих допомiжних
тверджень.
Лема 1. Нехай \xi 1, \xi 2, . . . — послiдовнiсть н. о. р. в. в. з ф. р. F (t), (un) — неспадна послi-
довнiсть дiйсних чисел. Тодi ймовiрнiсть
\bfP (zn \geq un н. ч.)
дорiвнює нулю або одиницi в залежностi вiд того, збiгається чи розбiгається ряд
\infty \sum
n=1
\bigl(
1 - F (un)
\bigr)
. (16)
Лема 1 фактично зводиться до леми Бореля – Кантеллi (див. [5, с. 190]).
Лема 2. Нехай \xi , \xi 1, \xi 2, . . . — послiдовнiсть н. о. р. в. в., (un) — неспадна послiдовнiсть
дiйсних чисел така, що при n \rightarrow \infty
\bfP (\xi > un) \rightarrow 0, n\bfP (\xi > un) \rightarrow \infty .
Тодi ймовiрнiсть
\bfP
\bigl(
zn \leq un н. ч.
\bigr)
дорiвнює нулю або одиницi в залежностi вiд того, збiгається чи розбiгається ряд
\infty \sum
n=1
\bfP (\xi > un) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
- n\bfP (\xi > un)
\bigr)
. (17)
Окрiм того, якщо \bfP (\xi > un) \rightarrow c > 0, то \bfP
\bigl(
zn \leq un н. ч.
\bigr)
= 0, а якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
n\bfP (\xi > un) < \infty ,
то
\bfP
\bigl(
zn \leq un н. ч.
\bigr)
= 1.
Це твердження встановлено в роботах [6, 7] (див. також [5, с.190, 191]).
Лема 3 [11]. Нехай H(x) правильно змiнюється при x \rightarrow \infty , cn \rightarrow \infty , dn \rightarrow \infty , cn/dn \rightarrow
\rightarrow 1, при n \rightarrow \infty .
Тодi
H(cn)
H(dn)
\rightarrow 1.
Зауважимо, що в [11] доведено бiльш загальний результат, нiж наведений вище.
Доведення теореми 1. Нехай m — фiксоване цiле число, m \geq 1. Iз означення an випливає
iмплiкацiя
\{ an = k\} \leftrightarrow \{ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(R(k)) \leq n < \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(R(k + 1))\} .
Позначимо
Ik =
\bigl\{
n \geq 1 : \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(R(k)) \leq n < \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(R(k + 1))
\bigr\}
k = 1, 2, . . . .
Тодi, враховуючи умову (3), маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗНАЧЕНЬ ВИПАДКОВИХ . . . 949\sum
n\geq 1
\bfP (\xi \geq an +m) =
\sum
k\geq 1
\bfP (\xi \geq k +m)
\sum
n\in Ik
1 =
=
\sum
k\geq 1
\bfP (\xi \geq k +m) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(R(k + 1))(1 + o(1)) =
=
\sum
k\geq 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - R(k +m) +R(k + 1))(1 + o(1)). (18)
Тут i далi вважаємо, що
\sum
n\in Ik
f(n) = 0 при Ik = \varnothing .
Очевидно, що при m = 1 ряд (18) розбiгається, а отже, за лемою 1
\bfP (zn \geq an + 1 н. ч.) = 1. (19)
Нехай виконується умова (7). Виберемо m = 2. Тодi ряд (18) можна записати так:\sum
k\geq 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - r(k + 2))(1 + o(1)). (20)
Зрозумiло, що збiжнiсть останнього ряду еквiвалентна умовi (7). Знову застосувавши лему 1,
одержимо
\bfP (zn \geq an + 2 н. ч.) = 0. (21)
Оскiльки величини zn та an набувають цiлих значень, то рiвностi (19), (21) в сукупностi
еквiвалентнi (6), (8).
Якщо ж умова (7) не виконується, то ряд (20), а з ним i (18) розбiгаються. За лемою 1 це
приводить до спiввiдношення
\bfP (zn \geq an + 2 н. ч.) = 1,
яке суперечить рiвностi (6).
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Мiркування тут подiбнi наведеним вище, але замiсть леми 1 будемо
використовувати лему 2. Покладемо
dk = \bfP (\xi > k - 2) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - R(k - 1)), sk =
\sum
n\in Ik
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - ndk),
де множини Ik визначено в доведеннi теореми 1. Оцiнимо ряд (17) при un = an - 2 :\sum
n\geq 1
\bfP (\xi > an - 2) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - n\bfP (\xi > an - 2)) =
=
\sum
k\geq 1
\bfP (\xi > k - 2)
\sum
n\in Ik
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - n\bfP (\xi > k - 2)) =
\sum
k\geq 1
dksk. (22)
Вiдомо, що якщо f(t) — незростаюча функцiя, то
n+1\sum
k=m+1
f(k) \leq
n+1\int
m
f(t)dt \leq
n\sum
k=m
f(k). (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
950 I. K. MАЦАК
Нехай виконується умова (10). Тодi iз (23) елементарними обчисленнями одержимо оцiнку
sk \leq
exp(R(k+1))\int
exp(R(k)) - 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - dkt)dt \leq
1
dk
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - er(k))(1 + o(1)). (24)
Оцiнки (22), (24) та умова (10) показують, що ряд (17) збiгається при un = an - 2.
Iншi умови леми 2 також виконуються. Дiйсно, при n \in Ik, an = k, k \rightarrow \infty
n\bfP (\xi > an - 2) = n \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - R(k - 1)) \geq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(R(k)) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - R(k - 1)) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(r(k)) \rightarrow \infty .
Отже, за лемою 2
\bfP (zn \leq an - 2 н. ч.) = 0, (25)
що еквiвалентно (9).
На наступному кроцi покажемо, що
\bfP (zn \leq an - 1 н. ч.) = 1. (26)
Для цього задамо n \in Ik рiвнiстю n =
\bigl[
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(R(k))
\bigr]
+ 1. Тодi при k \rightarrow \infty
n\bfP (\xi > an - 1) =
\bigl(
[\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(R(k))] + 1
\bigr)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - R(k)) \rightarrow 1.
Ще раз застосовуючи лему 2, отримуємо (26).
Рiвностi (25), (26) в сукупностi еквiвалентнi рiвностям (9), (11).
Нехай умова (10) не виконується. Використовуючи праву нерiвнiсть у (23), отримуємо
оцiнку знизу
sk \geq
exp(R(k+1) - 1)\int
exp(R(k))+1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - dkt)dt =
1
dk
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - er(k))(1 + o(1)).
Таким чином, ряд (22) буде розбiгатися. Згiдно з лемою 2 це й означає, що
\bfP (zn \leq an - 2 н. ч.) = 1,
що суперечить (9).
Теорему 2 доведено.
Доведення теореми 3. Для дискретної в. в. \xi з розподiлом (k, pk), k \geq 1, побудуємо
неперервну в. в. \xi c, „близьку” в деякому сенсi до \xi . Подiбнi конструкцiї вiдомi (див., наприк-
лад, [10]).
Покладемо
Rc(t) = R(k) + (t - k)r(k + 1) при t \in [k, k + 1), k \geq 1,
rc(t) = r(k + 1) при t \in [k, k + 1), k \geq 1.
Задамо функцiю розподiлу
F c(t) = 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - Rc(t)), t \geq 1,
F c(1) = 0,
(27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗНАЧЕНЬ ВИПАДКОВИХ . . . 951
i нехай \xi c — в. в. з функцiєю розподiлу F c(t), \xi d = [\xi c]. Тодi для будь-якого k \geq 1
\bfP (\xi d = k) = F c(k + 1) - F c(k) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - R(k)) - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - R(k + 1)) = pk,
тобто в. в. \xi d однаково розподiлена з \xi . Таким чином, не обмежуючи загальностi, можна вва-
жати, що \xi i \equiv \xi di , \xi
d
i — незалежнi копiї \xi d.
Вiдомо [10], що в умовах теореми 3
zcn - acn \rightarrow 0 м. н., (28)
де zcn побудовано по н. о. р. в. в. з функцiєю розподiлу F c(t),
acn = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}(y : F c(y) \geq 1 - 1/n),
причому
acn = k +
\mathrm{l}\mathrm{n}n - R(k)
r(k + 1)
при \mathrm{l}\mathrm{n}n \in [R(k), R(k + 1)) (29)
i
[acn] = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(k : \mathrm{l}\mathrm{n}n \geq R(k)) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\left( k :
\sum
i\geq k
pi \geq
1
n
\right) = an. (30)
Якщо n \in J\alpha , \mathrm{l}\mathrm{n}n \in [R(k), R(k + 1)), то
\alpha \leq \mathrm{l}\mathrm{n}n - R(k)
r(k + 1)
\leq 1 - \alpha ,
а отже,
k + \alpha \leq acn \leq k + 1 - \alpha . (31)
Iз спiввiдношень (28), (30) та (31) отримуємо
\exists n\alpha \forall n > n\alpha , n \in J\alpha : zn = [zcn] = [acn] = an м. н.,
тобто (13) доведено.
При встановленнi рiвностi (12) скористаємось подiбними мiркуваннями. Дiйсно, неважко
помiтити, що при n \in J -
\alpha , \mathrm{l}\mathrm{n}n \in [R(k), R(k + 1))
k \leq acn < k + \alpha , [acn] = an = k,
а отже,
\exists n\alpha \forall n > n\alpha : zn = [zcn] = an або = an - 1 м. н.
З iншого боку, при n \nsubseteq J -
\alpha , \mathrm{l}\mathrm{n}n \in [R(k), R(k + 1))
k + \alpha \leq acn < k + 1, [acn] = an = k,
звiдки
\exists n\alpha \forall n > n\alpha : zn = [zcn] = an або = an + 1 м. н.
Таким чином, рiвнiсть (12) встановлено.
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
952 I. K. MАЦАК
Доведення теореми 4. В умовах теореми розглянемо неперервну в. в. \~\xi з ф. р.
\~F (t) = 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - R(t)), t \geq 1, \~F (1) = 0.
Оскiльки для будь-якого цiлого k
\{ \~\xi < k\} =
\bigl\{
[\~\xi ] < k
\bigr\}
,
то
\bfP
\bigl(
[\~\xi ] < k
\bigr)
= 1 - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - R(k)) = \bfP (\xi < k). (32)
Покладемо
\~an = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}(y : \~F (y) \geq 1 - 1/n)
i
\~zn = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i\leq n
\~\xi i,
де \~\xi i — незалежнi копiї \~\xi .
Згiдно з результатами роботи [8], якщо в умовах теореми 4 iнтеграл
\infty \int
1
d \~F (y)
1 - \~F (zy)
< \infty \forall z \in (0, 1) (33)
є обмеженим, то виконується наступний закон повторного логарифму для схеми максимуму:
м. н.
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\~r(\~an)(\~zn - \~an)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= 1, (34)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
\~r(\~an)(\~zn - \~an)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= - 1. (35)
Припустимо, що оцiнка (34) справджується. З означення an та \~an безпосередньо випливає
рiвнiсть
\~an = an + \theta , 0 \leq \theta \leq 1. (36)
Крiм того, в умовах теореми 4
| \~r(t)| \leq C \forall t \geq 1. (37)
Збираючи разом спiввiдношення (32), (33) – (37) та застосовуючи лему 3, приходимо до
рiвностей (14), (15).
Залишилося перевiрити нерiвнiсть (33). Маємо
\infty \int
1
d \~F (y)
1 - \~F (zy)
=
\infty \int
1
\~r(t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - (R(t) - R(zt))dt =
=
\infty \int
1
\~r(t) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - t(1 - z)r(\theta t))dt, (38)
де z \leq \theta \leq 1.
Оскiльки
\~r(\theta t) = (\theta t)bL(\theta t), - 1 < b \leq 0,
i має мiсце оцiнка (37), то iнтеграл (38) є обмеженим.
Теорему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗНАЧЕНЬ ВИПАДКОВИХ . . . 953
4. Приклади. Розглянемо приклади застосувань отриманих результатiв до деяких розподi-
лiв. Далi скрiзь будемо припускати, що (\xi n) — послiдовнiсть незалежних копiй в. в. \xi .
Приклад 1. Розглянемо \gamma — нормальну в. в. з ф. р. \Phi (t),
\Phi (t) =
t\int
- \infty
\varphi (s)ds, \varphi (s) =
1\surd
2\pi
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- s2
2
\biggr)
,
i нехай
\xi =
\left\{ [\gamma ] при \gamma \geq 1,
1 при \gamma < 1.
Для такої в. в. при великих k
R(k) =
k2
2
+ \mathrm{l}\mathrm{n} k + \mathrm{l}\mathrm{n}
\surd
2\pi + o(1),
r(k) = k - 1
2
+ o(1)
(див. [10]). Неважко перевiрити, що функцiя r(k) задовольняє умови теорем 1 – 3. Тому для
в. в. \xi виконуються рiвностi (6), (8), (9), (11) – (13) з an =
\bigl[ \surd
2 \mathrm{l}\mathrm{n}n
\bigr]
.
Приклад 2 (пуассонiвський розподiл). Нехай
\bfP (\xi = k) = pk =
\lambda k
k!
e - \lambda , \lambda \geq 0.
Вiдомо [12, с. 38], що для пуассонiвського розподiлу
1
pk
\sum
i>k
pi \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty .
Тому, використавши формулу Стiрлiнга
n! \sim
\surd
2\pi nn+1/2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - n),
неважко отримати рiвностi
R(k) = - \lambda +
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} 2\pi - k(\mathrm{l}\mathrm{n}\lambda + 1) +
\biggl(
k +
1
2
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n} k + o(1),
r(k) = \mathrm{l}\mathrm{n} k +O(1).
Зрозумiло, що умова (10) виконується. Отже, рiвностi (9), (11) для розподiлу Пуассона є
правильними. Але нi умова (7), нi тим бiльше умова (4) не виконуються.
Для аналiзу цього важливого випадку буде корисним наступне допомiжне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
954 I. K. MАЦАК
Лема 4. Нехай \xi — дискретна в. в. з розподiлом (k, pk), k \geq 1, r(k) — монотонна функцiя
i виконується умова (3). Якщо ряд
\infty \sum
k=1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - jr(k)) (39)
збiгається при j = m i розбiгається при j = m - 1, то
\bfP (zn \geq an +m+ 1 н. ч.) = 0,
\bfP (zn \geq an +m н. ч.) = 1.
Фактично, щоб довести лему 4, слiд повторити мiркування, використанi при доведеннi
теореми 1.
Для розподiлу Пуассона iз наведених вище оцiнок зрозумiло, що ряд (39) збiгається при
j = m = 2 i розбiгається при j = m = 1. Згiдно з лемою 4 отримуємо
\bfP (zn > an + 2 н. ч.) = 0,
\bfP (zn = an + 2 н. ч.) = 1.
Таким чином, у випадку розподiлу Пуассона маємо
\bfP
\Bigl(
\exists n0 \forall n \geq n0 : \{ zn = an - 1\}
\bigcup
\{ zn = an\}
\bigcup
\{ zn = an + 1\}
\bigcup
\{ zn = an + 2\}
\Bigr)
= 1,
тодi як рiвнiсть (5) не справджується.
Як вiдомо, an можна задати рiвнiстю
an = k при \mathrm{l}\mathrm{n}n \in [R(k), R(k + 1)).
Якщо скористатись оцiнкою R(k), наведеною вище, можна одержати спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
an \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
\mathrm{l}\mathrm{n}n
= 1.
На жаль, елементарна точна оцiнка величини an для розподiлу Пуассона автору невiдома.
Приклад 3. Нехай
R(k) = C(k - 1)\beta , 0 < \beta \leq 1, C > 0, k \geq 1.
Тодi
\~r(k) = C\beta (k - 1)\beta - 1,
an =
\Biggl[
1 +
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}n
C
\biggr) 1/\beta
\Biggr]
,
\~r(an) \sim C1/\beta \beta (\mathrm{l}\mathrm{n}n)1 - 1/\beta ,
i згiдно з теоремою 4
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
znC
1/\beta \beta (\mathrm{l}\mathrm{n}n)1 - 1/\beta - \beta \mathrm{l}\mathrm{n}n
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= 1,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
znC
1/\beta \beta (\mathrm{l}\mathrm{n}n)1 - 1/\beta - \beta \mathrm{l}\mathrm{n}n
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= - 1 м. н.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЕКСТРЕМАЛЬНИХ ЗНАЧЕНЬ ВИПАДКОВИХ . . . 955
Приклад 4 (геометричний розподiл). Якщо у прикладi 3 покласти \beta = 1, C = \mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - q
,
0 < q < 1, то отримаємо геометричний розподiл:
\bfP (\xi = k) = pk = q(1 - q)k - 1, k \geq 1,
R(k) = - \mathrm{l}\mathrm{n}
\sum
i\geq k
q(1 - q)k - 1 = (k - 1) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - q
,
r(k) = \~r(k) = \mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - q
,
an =
\Biggl[
1 +
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - q
\biggr) - 1
\mathrm{l}\mathrm{n}n
\Biggr]
.
Отже,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
zn \mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - q
- \mathrm{l}\mathrm{n}n
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= 1,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
zn \mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - q
- \mathrm{l}\mathrm{n}n
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= - 1 м. н.
Приклад 5. Розглянемо одноканальну систему масового обслуговування M/M/1
\bigl(
необме-
жена черга, пуассонiвський потiк заявок з параметром \lambda , експоненцiальний час обслуговування
з параметром \mu , \rho =
\lambda
\mu
— навантаження системи масового обслуговування, 0 < \rho < 1
\bigr)
.
Позначимо через \xi i максимальну довжину черги на i-му перiодi зайнятостi. Вiдомо [9], що \xi i
має розподiл
F (n) = \bfP (\xi i < n) =
1 - \rho n - 1
1 - \rho n
.
З даної рiвностi неважко отримати
R(k) = (k - 1) \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\rho
+ \mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - \rho
+ \mathrm{l}\mathrm{n}(1 - \rho k),
r(k) = \~r(k) = \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\rho
+ o(1),
an = 1 +
\left[ \mathrm{l}\mathrm{n}n - \mathrm{l}\mathrm{n}
1
1 - \rho
+ o(1)
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\rho
\right] =
\mathrm{l}\mathrm{n}n
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\rho
+O(1).
Нехайzn = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq i\leq n \xi i — максимальна довжина черги протягом n перiодiв зайнятостi.
Оскiльки умови теореми 4 виконуються, то м. н.
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
zn \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\rho
- \mathrm{l}\mathrm{n}n
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
956 I. K. MАЦАК
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
zn \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\rho
- \mathrm{l}\mathrm{n}n
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}n
= - 1.
З дещо iнших позицiй останнiй приклад дослiджувався у роботi [9].
Лiтература
1. Gnedenko B. V. Sur la distribution limit du terme maximum d‘une serie aleatoire // Ann. Math. – 1943. – 44, № 3. –
P. 423 – 453.
2. Barndorff-Nielsen O. On the limit behaviour of extreme order statistics // Ann. Math. Statist. – 1963. – 34, № 3. –
P. 992 – 1002.
3. Pickands J. An iterated logarithm law for the maximum in a stationary Gaussian sequence // Z. Wahrscheinlich-
keitstheor. und verw. Geb. – 1969. – 12, № 3. – S. 344 – 355.
4. de Haan L., Hordijk A. The rate of growth of sample maxima // Ann. Math. Statist. – 1972. – 43. – P. 1185 – 1196.
5. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. – М.: Наука, 1984. – 304 c.
6. Klass M. J. The minimal growth rate of partial maxima // Ann. Probab. – 1984. – 12. – P. 380 – 389.
7. Klass M. J. The Robbins – Siegmund criterion for partial maxima // Ann. Probab. – 1985. – 13. – P. 1369 – 1370.
8. Акбаш К. С., Мацак I. К. Одне уточнення закону повторного логарифму для схеми максимуму // Укр. мат.
журн. – 2012. – 64, № 8. – С. 1132 – 1137.
9. Anderson C. W. Extrem value theory for a class of discrete distribution with application to some stochastic processes //
J. Appl. Probab. – 1970. – 7. – P. 99 – 113.
10. Мацак I. К. Про лiчильний процес у схемi максимуму // Теорiя ймовiрностей i мат. статистика. – 2014. –
Вип. 91. – С. 109 – 122.
11. Булдигiн В. В., Кльосов О. I., Штайнебах Й. Г. Про деякi властивостi асимптотично квазiобернених функцiй
та їх застосування // Теорiя ймовiрностей i мат. статистика. – 2004. – Вип. 70. – С. 9 – 25.
12. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен Х. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. – М.: Мир,
1989. – 392 c.
Одержано 05.08.15,
пiсля доопрацювання — 27.04.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1892 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:42Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ea/f25fd6783c32e8fe77a8bfc5cb1965ea.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18922019-12-05T09:30:55Z Asymptotic behavior of the extreme values of random variables. Discrete case Асимптотична поведінка екстремальних значень випадкових величин. Дискретний випадок Matsak, I. K. Мацак, І. К. We study the exact asymptotics of almost surely extreme values of discrete random variables. Исследуется асимптотика почти наверное экстремальных значений дискретных случайных величин. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1892 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 7 (2016); 945-956 Український математичний журнал; Том 68 № 7 (2016); 945-956 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1892/874 Copyright (c) 2016 Matsak I. K. |
| spellingShingle | Matsak, I. K. Мацак, І. К. Asymptotic behavior of the extreme values of random variables. Discrete case |
| title | Asymptotic behavior of the extreme values of random variables. Discrete case |
| title_alt | Асимптотична поведінка екстремальних значень випадкових величин. Дискретний випадок |
| title_full | Asymptotic behavior of the extreme values of random variables. Discrete case |
| title_fullStr | Asymptotic behavior of the extreme values of random variables. Discrete case |
| title_full_unstemmed | Asymptotic behavior of the extreme values of random variables. Discrete case |
| title_short | Asymptotic behavior of the extreme values of random variables. Discrete case |
| title_sort | asymptotic behavior of the extreme values of random variables. discrete case |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1892 |
| work_keys_str_mv | AT matsakik asymptoticbehavioroftheextremevaluesofrandomvariablesdiscretecase AT macakík asymptoticbehavioroftheextremevaluesofrandomvariablesdiscretecase AT matsakik asimptotičnapovedínkaekstremalʹnihznačenʹvipadkovihveličindiskretnijvipadok AT macakík asimptotičnapovedínkaekstremalʹnihznačenʹvipadkovihveličindiskretnijvipadok |