Finitely solvable groups with nilpotent wide subgroups
A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called wide if each prime divisor of the order of $G$ divides the order of $H$. We obtain a description of finite solvable groups without wide subgroups. It is shown that a finite solvable group with nilpotent wide subgroups contains a quotient group with resp...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1893 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507778527789056 |
|---|---|
| author | Monakhov, V. S. Sokhor, I. L. Монахов, В. С. Сохор, И. Л. Монахов, В. С. Сохор, И. Л. |
| author_facet | Monakhov, V. S. Sokhor, I. L. Монахов, В. С. Сохор, И. Л. Монахов, В. С. Сохор, И. Л. |
| author_sort | Monakhov, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:55Z |
| description | A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called wide if each prime divisor of the order of $G$ divides the order of $H$. We obtain
a description of finite solvable groups without wide subgroups. It is shown that a finite solvable group with nilpotent wide subgroups contains a quotient group with respect to the hypercenter without wide subgroups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
В. С. Монахов, И. Л. Сохор (Гомел. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь)
КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
С НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ШИРОКИМИ ПОДГРУППАМИ
A subgroup H of a finite group G is called wide if each prime divisor of the order of G divides the order of H . We obtain
a description of finite solvable groups without wide subgroups. It is shown that a finite solvable group with nilpotent wide
subgroups contains a quotient group with respect to the hypercenter without wide subgroups.
Пiдгрупа H скiнченної групи G називається широкою, якщо кожний простий дiльник порядку G дiлить порядок H.
Отримано опис скiнченних розв’язних груп, що не мiстять широких пiдгруп. Доведено, що у скiнченнiй розв’язнiй
групi з нiльпотентними широкими пiдгрупами фактор-група по гiперцентру не мiстить широких пiдгруп.
Введение. В настоящей статье рассматриваются только конечные группы. Принятые обозначе-
ния стандартны и соответствуют [1, 2]. Через \pi (G) обозначается множество всех простых де-
лителей порядка группы G, а | \pi (G)| — число всех различных простых делителей порядка груп-
пы G. Широкой подгруппой будем называть подгруппу H группы G, у которой \pi (H) = \pi (G).
Пусть k — натуральное число. Группа, порядок которой делится точно на k различных
простых чисел, будем называть k-примарной. При k = 1, 2 используются термины „примарная”
и „бипримарная” группы. Группу G будем называть квази-k-примарной, если | \pi (G)| > k
и | \pi (M)| \leq k для каждой максимальной подгруппы M из G. Квази-1-примарную группу
называют квазипримарной, а квази-2-примарную группу — квазибипримарной [3].
Очевидно, что нильпотентная квазипримарная группа имеет порядок pq, где p и q — раз-
личные простые числа. Ненильпотентная квазипримарная группа G = [Epa ]Zq является по-
лупрямым произведением нормальной элементарной абелевой группы Epa порядка pa и цик-
лической группы Zq порядка q, где a — показатель p по модулю q. Это следует из теоремы
О. Ю. Шмидта [4] о группах, все подгруппы которых нильпотентны.
Квазибипримарные группы изучил С. С. Левищенко [3]. Разрешимая квазибипримарная
группа G является полупрямым произведением [P ]M своей элементарной абелевой силов-
ской p-подгруппы P и квазипримарной подгруппы M, являющейся максимальной подгруппой
группы G [3] (теорема 3.1). В неразрешимой квазибипримарной группе G подгруппа Фратти-
ни \Phi (G) примарна [3] (теорема 2.2), а фактор-группа G/\Phi (G) является простой группой и все
такие простые группы перечислены в [3] (теорема 2.1).
Вполне естественно возникает задача изучения строения квази-k-примарной группы при
любом k. Большая часть простых групп является квази-k-примарными. Простые группы, кото-
рые не являются квази-k-примарными, перечислены в [5, 3.8]. Тем самым дан исчерпывающий
ответ на вопрос В. С. Монахова из Коуровской тетради [6] (11.64).
В настоящей статье получено описание разрешимых квази-k-примарных групп и разреши-
мых групп с нильпотентными широкими подгруппами.
1. Вспомогательные результаты.
Лемма 1. Разрешимая квази-k-примарная группа (k + 1)-примарна.
c\bigcirc В. С. МОНАХОВ, И. Л. СОХОР, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7 957
958 В. С. МОНАХОВ, И. Л. СОХОР
Доказательство. Пусть G — разрешимая квази-k-примарная группа и M — ее максималь-
ная подгруппа. По определению квази-k-примарной группы | \pi (G)| \geq k + 1, | \pi (M)| \leq k. В
разрешимой группе максимальные подгруппы имеют примарные индексы. Поэтому
| G : M | = p\alpha , p \in \pi (G), \alpha \in \BbbN .
Поскольку | G| = | M | \cdot | G : M | , то | \pi (G)| \leq k + 1 и | \pi (G)| = k + 1.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Если G — разрешимая квази-k-примарная группа и N — нормальная холлова
подгруппа, то G/N — квази-l-примарная группа, где l = k - | \pi (N)| .
Доказательство. По лемме 1 группа G (k + 1)-примарна, поэтому
| \pi (G/N)| = | \pi (G)| - | \pi (N)| = k + 1 - | \pi (N)| = l + 1.
Пусть M/N — произвольная максимальная подгруппа фактор-группы G/N. Тогда M — макси-
мальная подгруппа группы G. Поэтому | \pi (M)| < | \pi (G)| . Поскольку N — холлова подгруппа
группы G, то
| \pi (M/N)| = | \pi (M)| - | \pi (N)| < | \pi (G)| - | \pi (N)| = | \pi (G/N)| = l + 1.
Таким образом, фактор-группа G/N (l + 1)-примарна, а любая ее максимальная подгруппа не
более чем l-примарна. Следовательно, G/N квази-l-примарна.
Лемма 2 доказана.
Лемма 3 ([2], IV.2.11). Если в группе G все силовские подгруппы циклические, то комму-
тант G\prime является циклической холловой подгруппой и фактор-группа G/G\prime циклическая.
2. Строение разрешимых квази-\bfitk -примарных групп.
Теорема 1. Пусть G — разрешимая группа. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) G — квази-k-примарная группа;
2) каждая нормальная подгруппа группы G является холловой подгруппой;
3) каждая максимальная подгруппа группы G является холловой подгруппой;
4) G = [N ]M, где N — минимальная нормальная и силовская подгруппа группы G, а M —
квази-(k - 1)-примарная и максимальная подгруппа.
Доказательство. Проверим, что из утверждения 1 следует утверждение 2. Пусть G —
разрешимая квази-k-примарная группа, N — нормальная подгруппа группы G, \tau = \pi (G) \setminus
\pi (N). Предположим, что N не является холловой подгруппой группы G. Поскольку G — квази-
k-примарная группа и N — ее собственная подгруппа, то | \pi (N)| \leq k и \tau \not = \varnothing . Далее, так как
G — разрешимая группа, то в G существует \tau -холлова подгруппа M. Теперь (| M | , | N | ) = 1, а
значит, M \cap N = 1 и NM = [N ]M < G. Но
\pi ([N ]M) = \pi (N) \cup \pi (M) = \pi (N) \cup \tau = \pi (G), | \pi (G)| = k + 1,
т. е. в квази-k-примарной группе G существует собственная (k+1)-примарная подгруппа [N ]M.
Пришли к противоречию. Таким образом, N — холлова подгруппа группы G и из утверждения 1
следует утверждение 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ С НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ШИРОКИМИ ПОДГРУППАМИ 959
Проверим, что из утверждения 2 следует утверждение 3. Допустим, что в разрешимой груп-
пе G каждая нормальная подгруппа является холловой. Пусть M — произвольная максимальная
подгруппа группы G, а N — минимальная нормальная подгруппа. Тогда N — силовская под-
группа группы G. Если N не содержится в M, то G = NM, а так как N — абелева подгруппа
группы G, то N \cap M = 1 и подгруппа M холлова. Пусть N \subseteq M. Тогда M/N — макси-
мальная подгруппа фактор-группы G/N. Понятно, что в G/N каждая нормальная подгруппа
является холловой и можно применить индукцию. По индукции M/N — холлова подгруппа
фактор-группы G/N и M также холлова в группе G.
Проверим, что из утверждения 3 следует утверждение 1. Допустим, что в разрешимой груп-
пе G каждая максимальная подгруппа является холловой. Пусть M — произвольная максималь-
ная подгруппа группы G и | \pi (G)| = k+1. Поскольку M холлова, то | \pi (M)| = | \pi (G)| - 1 = k
и G — квази-k-примарная группа.
Таким образом, утверждения 1, 2 и 3 эквивалентны.
Покажем, что из утверждения 1 следует утверждение 4. Пусть G — разрешимая квази-k-
примарная группа и N — ее минимальная нормальная подгруппа. Из утверждения 2 следует, что
N — силовская p-подгруппа группы G. По теореме Шура – Цассенхауза [1] (4.32) в группе G
существует подгруппа M такая, что G = [N ]M. По лемме 1 группа G (k + 1)-примарна, по-
этому подгруппа M k-примарна. Предположим, что в M существует собственная k-примарная
подгруппа M1. Тогда в G существует собственная (k + 1)-примарная подгруппа вида [N ]M1.
Пришли к противоречию. Следовательно, M квази-(k - 1)-примарна.
Осталось показать, что из утверждения 4 следует утверждение 1. Пусть G = [N ]M, где N —
минимальная нормальная и силовская подгруппа группы G, а M — ее квази-(k - 1)-примарная
и максимальная подгруппа. Тогда по лемме 1
| \pi (M)| = k, | \pi (G)| = | \pi ([N ]M)| = | \pi (N)| + | \pi (M)| = k + 1.
Покажем, что любая максимальная подгруппа K группы G не более чем k-примарна.
Пусть NK = G. Тогда N \cap K = 1 и K \simeq M. Так как M — квази-(k - 1)-примарная
разрешимая подгруппа группы G, то по лемме 1 подгруппа M, а значит и K, k-примарна.
Если NK — собственная подгруппа группы G, то N \subseteq K и K = N(K \cap M) по тождеству
Дедекинда. Поскольку M квази-(k - 1)-примарна, то L \cap M не более чем (k - 1)-примарна.
Поэтому K = [N ](K \cap M) не более чем k-примарна. Таким образом, утверждения 4 и 1
эквивалентны.
Теорема 1 доказана.
Отметим, что \pi -разрешимые группы с некоторыми холловыми максимальными подгруппа-
ми изучены в [7].
Следствие 1. В разрешимой квази-k-примарной группе подгруппа Фраттини единична.
Доказательство. Подгруппа Фраттини любой группы не может быть холловой [1] (4.33).
Остается применить утверждение 2 теоремы 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
960 В. С. МОНАХОВ, И. Л. СОХОР
Следствие 2. В разрешимой квази-k-примарной группе подгруппа Фиттинга является
холловой и каждая ее силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.
Доказательство. По утверждению 2 теоремы 1 подгруппа Фиттинга холлова, а значит,
каждая ее силовская подгруппа является силовской подгруппой самой группы. Кроме того, так
как подгруппа Фиттинга нильпотентна, то каждая ее силовская подгруппа является характе-
ристической и, следовательно, нормальной в группе. При этом по утверждения 2 теоремы 1
минимальная нормальная подгруппа разрешимой квази-k-примарной группы является силов-
ской подгруппой.
Следствие 3. Пусть N — нормальная подгруппа группы G. Если G — разрешимая квази-
k-примарная группа, то фактор-группа G/N является разрешимой квази-l-примарной группой
для l = k - | \pi (N)| .
Доказательство. Необходимо применить утверждение 2 теоремы 1 и лемму 2.
Если группа G имеет нормальный ряд, факторы которого изоморфны силовским подгруп-
пам, то говорят, что группа G имеет силовскую башню.
Следствие 4. Разрешимая квази-k-примарная группа имеет силовскую башню.
Доказательство. Применим индукцию по k. Пусть G — разрешимая квази-k-примарная
группа. Тогда по утверждениям 2 и 4 теоремы 1 группа G представима в виде G = [P1]M1,
где P1 — минимальная нормальная и силовская подгруппа группы G, а M1 — квази-(k - 1)-
примарная и максимальная подгруппа. По индукции подгруппа M1 имеет силовскую башню,
поэтому группа G имеет силовскую башню.
Будем говорить, что натуральное число n свободно от квадратов, если p2 не делит n для
любого простого p. Сверхразрешимой называют группу, у которой все главные факторы имеют
простые порядки.
Следствие 5. Порядок группы G свободен от квадратов тогда и только тогда, когда G —
сверхразрешимая квази-k-примарная группа для k = | \pi (G)| - 1. В частности, сверхразрешимая
квази-k-примарная группа метациклическая.
Доказательство. Пусть порядок группы G свободен от квадратов и k = | \pi (G)| - 1.
Тогда все силовские подгруппы в G циклические и по лемме 3 группа G сверхразрешима
и метациклическая. Понятно, что | \pi (X)| < | \pi (G)| для каждой собственной подгруппы X
группы G, т. е. G квази-k-примарна.
Обратно, пусть G — сверхразрешимая квази-k-примарная группа. Применим индукцию
по k. По утверждению 4 теоремы 1 группа G представима в виде G = [N ]M, где N — мини-
мальная нормальная и силовская подгруппа группы G, а M — квази-(k - 1)-примарная и макси-
мальная подгруппа. Согласно [1] (4.48) минимальная нормальная подгруппа сверхразрешимой
группы имеет простой порядок, поэтому | N | = p, p \in \pi (G). Подгруппа M сверхразрешима
и квази-(k - 1)-примарна. По индукции порядок M свободен от квадратов, поэтому порядок
группы G свободен от квадратов. По лемме 3 группа G метациклическая.
Следствие 6. Производная длина разрешимой квази-k-примарной группы G не превышает
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
| \pi (G)| , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1 + ai | i = 1, 2, . . . , t\}
\bigr\}
,
где | F (G)| = pa11 pa22 . . . patt .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ С НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ШИРОКИМИ ПОДГРУППАМИ 961
Доказательство. Пусть d(G) и r(G) — производная длина и ранг разрешимой квази-k-
примарной группы G соответственно. По утверждению 4 теоремы 1 в группе G все силовские
подгруппы элементарные абелевы и главный ряд группы G имеет длину, равную | \pi (G)| . От-
сюда следует, что d(G) \leq | \pi (G)| . Разрешимым группам с абелевыми силовскими подгруппами
посвящен \S VI.14 [2]. Поэтому все утверждения этого параграфа, касающиеся A-групп (разре-
шимых групп с абелевыми силовскими подгруппами), справедливы для разрешимой квази-k-
примарной группы. В частности, d(G) \leq 1+r(G) по [2] (VI.14.18) и r(G) \leq u по [2] (VI.14.31),
где u — максимум числа образующих силовских подгрупп из подгруппы Фиттинга F (G). По-
скольку силовские подгруппы в группе G элементарные абелевы, то u = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ ai | i = 1, . . . , t\} .
Отсюда следует, что
d(G) \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
| \pi (G)| , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1 + ai | i = 1, . . . , t\}
\bigr\}
.
При k = 2 теорема 1 превращается в результат С. С. Левищенко:
Следствие 7 ([3], теорема 3.1). Разрешимая квазибипримарная группа G является полу-
прямым произведением [P ]M своей элементарной абелевой силовской p-подгруппы P и квази-
примарной подгруппы M, являющейся максимальной подгруппой группы G.
3. Разрешимые группы с нильпотентными широкими подгруппами. Напомним опреде-
ление гиперцентра. Пусть G — неединичная группа, Z0(G)= 1, Z1(G)= Z(G), Z2(G)/Z1(G) =
= Z(G/Z1(G)), . . . , Zi(G)/Zi - 1(G) = Z(G/Zi - 1(G)), . . . . Подгруппа Z\infty (G) =
\bigcup \infty
i=1 Zi(G)
называется гиперцентром группы G.
Очевидно, что Z(G/Z\infty (G)) = 1.
Теорема 2. Если в разрешимой группе G нильпотентна каждая максимальная подгруп-
па M, у которой \pi (M) = \pi (G), то фактор-группа G/Z\infty (G) квази-k-примарна для k =
= | \pi (G/Z\infty (G))| - 1.
Доказательство. Предположим, что фактор-группа G = G/Z\infty (G) не квази-k-примарна
для k = | \pi (G/Z\infty (G))| - 1. Тогда в G существует такая максимальная подгруппа M =
= M/Z\infty (G), что \pi (M) = \pi (G). Подгруппа M максимальна в G и \pi (M) = \pi (G). По
условию M нильпотентна, поэтому M нильпотентна. Так как M — максимальная подгруппа
разрешимой фактор-группы G, то | G : M | = p\alpha для некоторого p \in \pi (G) и натурального \alpha .
Пусть Mp — силовская p-подгруппа из M, а Gp — силовская p-подгруппа фактор-группы G,
содержащая Mp. Тогда Mp — собственная подгруппа в Gp, поэтому Mp нормальна в G.
Теперь неединичный элемент x из Mp \cap Z(Gp) принадлежит центру фактор-группы G. Это
противоречит тому, что Z(G/Z\infty (G)) = 1.
Теорема 2 доказана.
Следствие 8. Если в группе G все широкие подгруппы нильпотентны, то G/Z\infty (G) квази-
k-примарна для k = | \pi (G/Z\infty (G))| - 1.
Теорема 2 не допускает обращения. Примером является группа G = S3 \times Z6. Здесь
S3 — симметрическая группа степени 3, Z6 — циклическая группа порядка 6. У этой груп-
пы Z\infty (G) = Z6, фактор-группа G/Z\infty (G) \simeq S3 квазипримарна, а широкая максимальная
подгруппа M = S3 \times Z2 не нильпотентна.
Вполне естественно возникает следующая задача: описать разрешимые группы, у которых
все широкие подгруппы сверхразрешимы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
962 В. С. МОНАХОВ, И. Л. СОХОР
Литература
1. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. – Минск: Вышэйш. шк., 2006. – 207 c.
2. Huppert B. Endliche Gruppen I. – Berlin etc., 1967. – 796 p.
3. Левищенко С. С. Конечные квазибипримарные группы // Группы, определяемые свойствами системы подгрупп:
Сб. науч. тр. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1979. – С. 83 – 97.
4. Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. – 1924. – 31. – С. 366 – 372.
5. Zhang Qinhai, Wang Lifang. Finite non-abelian simple groups which contain a non-trivial semipermutable subgroup //
Algebra Colloq. – 2005. – 12. – P. 301 – 307.
6. Коуровская тетрадь: нерешенные вопросы теории групп. – 18-е изд. – Новосибирск: Ин-т математики
им. С. Л. Соболева, 2014.
7. Монахов В. С. Конечные \pi -разрешимые группы с холловыми максимальными подгруппами // Мат. заметки. –
2008. – 84, № 3. – С. 390 – 394.
Получено 17.02.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1893 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:43Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a3/afa830bf995ab50a8c84b4555e87e5a3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18932019-12-05T09:30:55Z Finitely solvable groups with nilpotent wide subgroups Конечные разрешимые группы с нильпотентными широкими подгруппами Monakhov, V. S. Sokhor, I. L. Монахов, В. С. Сохор, И. Л. Монахов, В. С. Сохор, И. Л. A subgroup $H$ of a finite group $G$ is called wide if each prime divisor of the order of $G$ divides the order of $H$. We obtain a description of finite solvable groups without wide subgroups. It is shown that a finite solvable group with nilpotent wide subgroups contains a quotient group with respect to the hypercenter without wide subgroups. Пiдгрупа $H$ скiнченної групи $G$ називається широкою, якщо кожний простий дiльник порядку $G$ дiлить порядок $H$. Отримано опис скiнченних розв’язних груп, що не мiстять широких пiдгруп. Доведено, що у скiнченнiй розв’язнiй групi з нiльпотентними широкими пiдгрупами фактор-група по гiперцентру не мiстить широких пiдгруп. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1893 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 7 (2016); 957-962 Український математичний журнал; Том 68 № 7 (2016); 957-962 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1893/875 Copyright (c) 2016 Monakhov V. S.; Sokhor I. L. |
| spellingShingle | Monakhov, V. S. Sokhor, I. L. Монахов, В. С. Сохор, И. Л. Монахов, В. С. Сохор, И. Л. Finitely solvable groups with nilpotent wide subgroups |
| title | Finitely solvable groups with nilpotent wide subgroups |
| title_alt | Конечные разрешимые группы с нильпотентными широкими подгруппами |
| title_full | Finitely solvable groups with nilpotent wide subgroups |
| title_fullStr | Finitely solvable groups with nilpotent wide subgroups |
| title_full_unstemmed | Finitely solvable groups with nilpotent wide subgroups |
| title_short | Finitely solvable groups with nilpotent wide subgroups |
| title_sort | finitely solvable groups with nilpotent wide subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1893 |
| work_keys_str_mv | AT monakhovvs finitelysolvablegroupswithnilpotentwidesubgroups AT sokhoril finitelysolvablegroupswithnilpotentwidesubgroups AT monahovvs finitelysolvablegroupswithnilpotentwidesubgroups AT sohoril finitelysolvablegroupswithnilpotentwidesubgroups AT monahovvs finitelysolvablegroupswithnilpotentwidesubgroups AT sohoril finitelysolvablegroupswithnilpotentwidesubgroups AT monakhovvs konečnyerazrešimyegruppysnilʹpotentnymiširokimipodgruppami AT sokhoril konečnyerazrešimyegruppysnilʹpotentnymiširokimipodgruppami AT monahovvs konečnyerazrešimyegruppysnilʹpotentnymiširokimipodgruppami AT sohoril konečnyerazrešimyegruppysnilʹpotentnymiširokimipodgruppami AT monahovvs konečnyerazrešimyegruppysnilʹpotentnymiširokimipodgruppami AT sohoril konečnyerazrešimyegruppysnilʹpotentnymiširokimipodgruppami |