Inverse coefficient problem fоr a two-dimensional parabolic equation in a domain with free boundary
We establish the conditions of unique solvability of the inverse problem of finding the minor coefficient in a two-dimensional parabolic equation in the domain for which the location of a part of its boundary is described by a function in the form of a product of an unknown function of time and a gi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1895 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507781634719744 |
|---|---|
| author | Snitko, H. A. Снітко, Г. А. |
| author_facet | Snitko, H. A. Снітко, Г. А. |
| author_sort | Snitko, H. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:55Z |
| description | We establish the conditions of unique solvability of the inverse problem of finding the minor coefficient in a two-dimensional
parabolic equation in the domain for which the location of a part of its boundary is described by a function in the form of a product of an unknown function of time and a given function of the space variable. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
Г. А. Снiтко (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
КОЕФIЦIЄНТНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА
ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ
В ОБЛАСТI З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ
We establish the conditions of unique solvability of the inverse problem of finding the minor coefficient in a two-dimensional
parabolic equation in the domain for which the location of a part of its boundary is described by a function in the form of
a product of an unknown function of time and a given function of the space variable.
Установлены условия однозначной разрешимости обратной задачи определения младшего коэффициента в двумер-
ном параболическом уравнении в области, размещение части границы которой определяется функцией, являющейся
произведением неизвестной функции времени и заданной функции пространственной переменной.
Коефiцiєнтнi оберненi задачi для параболiчних рiвнянь в областях з вiдомими межами вивчено
достатньо повно. Зокрема, задачi визначення залежних вiд часу молодших коефiцiєнтiв пара-
болiчних рiвнянь дослiджено в роботах [1 – 5]. Поєднавши в задачi визначення невiдомої межi
та коефiцiєнта рiвняння, можна розглядати її як обернену з двома невiдомими параметрами. У
роботах [6 – 9] розглянуто задачi визначення старшого та молодших коефiцiєнтiв одновимiрних
параболiчних рiвнянь в областях з вiльними межами. Результати дослiджень задач визначен-
ня старших коефiцiєнтiв рiвнянь було перенесено на двовимiрний випадок, в якому область
є криволiнiйним прямокутником, розташування якого визначається невiдомою функцiєю часу
[10, 11].
У данiй роботi дослiджується обернена задача визначення залежного вiд часу молодшого
коефiцiєнта двовимiрного параболiчного рiвняння в областi, розташування частини межi якої
визначається функцiєю, що є добутком невiдомої функцiї часу та заданої функцiї просторової
змiнної.
1. Формулювання задачi. В областi \Omega T = \{ (x1, x2, t) : 0 < x1 < l, 0 < x2 < h(t)g(x1), 0 <
< t < T\} , де h = h(t) — невiдома функцiя, будемо розглядати обернену задачу визначення
невiдомих
\bigl(
h(t), c(t), u(x1, x2, t)
\bigr)
, якi задовольняють рiвняння
ut = \Delta u+ c(t)u+ f(x1, x2, t), (x1, x2, t) \in \Omega T , (1)
початкову умову
u(x1, x2, 0) = \varphi (x1, x2), (x1, x2) \in [0, l]\times [0, h(0)g(x1)], (2)
крайовi умови
u(0, x2, t) = \mu 1(x2, t), (x2, t) \in [0, h(t)g(0)]\times [0, T ],
u(l, x2, t) = \mu 2(x2, t), (x2, t) \in [0, h(t)g(l)]\times [0, T ],
u(x1, 0, t) = \mu 3(x1, t), (x1, t) \in [0, l]\times [0, T ],
u(x1, h(t)g(x1), t) = \mu 4(x1, t), (x1, t) \in [0, l]\times [0, T ], (3)
та умови перевизначення
c\bigcirc Г. А. СНIТКО, 2016
972 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
КОЕФIЦIЄНТНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО . . . 973
h\prime (t) = -
l\int
0
ux2(x1, h(t)g(x1), t)dx1 + \mu 5(t), t \in [0, T ],
l\int
0
dx1
h(t)g(x1)\int
0
u(x1, x2, t)dx2 = \mu 6(t), t \in [0, T ].
(4)
Замiною змiнних y1 = x1, y2 =
x2
h(t)
задачу (1) – (4) зведемо до оберненої задачi з не-
вiдомими (h(t), c(t), v(y1, y2, t)), де v(y1, y2, t) = u(y1, y2h(t), t), в областi QT = D \times [0, T ],
D = \{ (y1, y2) : 0 < y1 < l, 0 < y2 < g(y1)\} :
vt = vy1y1 +
1
h2(t)
vy2y2 +
y2h
\prime (t)
h(t)
vy2 + c(t)v + f(y1, y2h(t), t), (y1, y2, t) \in QT , (5)
v(y1, y2, 0) = \varphi (y1, y2h(0)), (y1, y2) \in D, (6)
v(0, y2, t) = \mu 1(y2h(t), t), (y2, t) \in [0, g(0)]\times [0, T ],
v(l, y2, t) = \mu 2(y2h(t), t), (y2, t) \in [0, g(l)]\times [0, T ],
(7)
v(y1, 0, t) = \mu 3(y1, t), (y1, t) \in [0, l]\times [0, T ],
v(y1, g(y1), t) = \mu 4(y1, t), (y1, t) \in [0, l]\times [0, T ],
h\prime (t) = - 1
h(t)
l\int
0
vy2(y1, g(y1), t)dy1 + \mu 5(t), t \in [0, T ], (8)
h(t)
\int \int
D
v(y1, y2, t)dy1dy2 = \mu 6(t), t \in [0, T ]. (9)
2. Основнi результати. Умови iснування та єдиностi розв’язку задачi (1) – (4) мiстяться в
наступних теоремах.
Теорема 1. Припустимо, що виконано умови:
1) f \in C1,0
\bigl(
[0, l] \times [0,\infty ) \times [0, T ]
\bigr)
, \varphi \in C2
\bigl(
[0, l] \times [0,\infty )
\bigr)
, \mu i \in C2,1
\bigl(
[0,\infty ) \times [0, T ]
\bigr)
,
i = 1, 2, \mu j \in C2,1
\bigl(
[0, l]\times [0, T ]
\bigr)
, j = 3, 4, \mu 5 \in C[0, T ], \mu 6 \in C1[0, T ], g \in C2[0, l];
2) f(x1, x2, t) \geq 0, (x1, x2, t) \in [0, l] \times [0,\infty ) \times [0, T ], \varphi (x1, x2) \geq \varphi 0 > 0, (x1, x2) \in
\in [0, l]\times [0,\infty ), \mu 6(t) > 0, t \in [0, T ], g(x1) > 0, x1 \in [0, l];
3) узгодження нульового та першого порядкiв.
Тодi можна вказати таке число T0, 0 < T0 \leq T, яке визначається вихiдними даними, що
iснує розв’язок (h, c, u) \in C1[0, T0]\times C[0, T0]\times C2,1(\Omega T0), h(t) > 0, t \in [0, T0], задачi (1) – (4).
Теорема 2. Нехай виконано умови:
1) f \in C1,0
\bigl(
[0, l]\times [0,\infty )\times [0, T ]
\bigr)
, \mu i \in C3,1
\bigl(
[0,\infty )\times [0, T ]
\bigr)
, i = 1, 2, g \in C2[0, l];
2) \varphi (x1, x2) \geq \varphi 0 > 0, (x1, x2) \in [0, l]\times [0,\infty ), \mu 6(t) > 0, t \in [0, T ], g(x1) > 0, x1 \in [0, l].
Тодi задача (1) – (4) не може мати двох рiзних розв’язкiв (h, c, u) \in C1[0, T ] \times C[0, T ] \times
\times C2,1(\Omega T ), h(t) > 0, t \in [0, T ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
974 Г. А. СНIТКО
3. Iснування розв’язку задачi (1) – (4). Доведення iснування розв’язку задачi (1) – (4) ба-
зується на зведеннi еквiвалентної задачi (5) – (9) до системи рiвнянь вiдносно невiдомих i
застосуваннi до неї теореми Шаудера про нерухому точку. Зведемо задачу (5) – (7) до задачi з
нульовими початковою та крайовими умовами. Введемо позначення
\mu 0(y1, y2, t) = \mu 1(y2h(t), t) - \mu 1(0, t) + \mu 3(y1, t)+
+
y1
l
(\mu 2(y2h(t), t) - \mu 2(0, t) - \mu 1(y2h(t), t) + \mu 1(0, t))+
+
y2
g(y1)
(\mu 4(y1, t) - \mu 3(y1, t) - \mu 1(g(y1)h(t), t) + \mu 1(0, t)) -
- y1y2
lg(y1)
(\mu 2(g(y1)h(t), t) - \mu 2(0, t) - \mu 1(g(y1)h(t), t) + \mu 1(0, t)),
v0(y1, y2, t) = \varphi (y1, y2h(0)) + \mu 0(y1, y2, t) - \mu 0(y1, y2, 0),
\~v(y1, y2, t) = v(y1, y2, t) - v0(y1, y2, t),
L =
\partial
\partial t
- \partial 2
\partial y21
- 1
h2(t)
\partial 2
\partial y22
.
Тодi для функцiї \~v(y1, y2, t) отримаємо задачу
L\~v =
y2h
\prime (t)
h(t)
vy2(y1, y2, t) + c(t)v(y1, y2, t) -
- Lv0(y1, y2, t) + f(y1, y2h(t), t), (y1, y2, t) \in QT , (10)
\~v(y1, y2, 0) = 0, (y1, y2) \in D,
\~v(0, y2, t) = \~v(l, y2, t) = 0, \~v(y1, 0, t) = \~v(y1, g(y1), t) = 0, (y1, y2, t) \in QT .
За допомогою функцiї Грiна G = G(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau ) першої крайової задачi для рiвняння
L\~v = 0
розв’язок задачi (10) подамо у виглядi
\~v(y1, y2, t) =
t\int
0
\int \int
D
G(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau )
\biggl(
\eta 2h
\prime (\tau )
h(\tau )
v\eta 2(\eta 1, \eta 2, \tau ) - Lv0(\eta 1, \eta 2, \tau )+
+ c(\tau )v(\eta 1, \eta 2, \tau ) + f(\eta 1, \eta 2h(\tau ), \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau , (y1, y2, t) \in QT .
Позначивши wi(y1, y2, t) = vyi(y1, y2, t), i = 1, 2, p(t) = h\prime (t), повернемось до функцiї v :
v(y1, y2, t) = v0(y1, y2, t) +
t\int
0
\int \int
D
G(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau )
\biggl(
\eta 2p(\tau )
h(\tau )
w2(\eta 1, \eta 2, \tau ) -
- Lv0(\eta 1, \eta 2, \tau ) + c(\tau )v(\eta 1, \eta 2, \tau ) + f(\eta 1, \eta 2h(\tau ), \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau , (y1, y2, t) \in QT . (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
КОЕФIЦIЄНТНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО . . . 975
Диференцiюючи (11) за змiнними y1, y2, одержуємо
w1(y1, y2, t) = v0y1(y1, y2, t)+
+
t\int
0
\int \int
D
Gy1(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau )
\biggl(
\eta 2p(\tau )
h(\tau )
w2(\eta 1, \eta 2, \tau ) - Lv0(\eta 1, \eta 2, \tau )+
+ c(\tau )v(\eta 1, \eta 2, \tau ) + f(\eta 1, \eta 2h(\tau ), \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau , (y1, y2, t) \in QT , (12)
w2(y1, y2, t) = v0y2(y1, y2, t)+
+
t\int
0
\int \int
D
Gy2(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau )
\biggl(
\eta 2p(\tau )
h(\tau )
w2(\eta 1, \eta 2, \tau ) - Lv0(\eta 1, \eta 2, \tau )+
+ c(\tau )v(\eta 1, \eta 2, \tau ) + f(\eta 1, \eta 2h(\tau ), \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau , (y1, y2, t) \in QT . (13)
З умов (8), (9) знаходимо
p(t) = - 1
h(t)
l\int
0
w2(y1, g(y1), t)dy1 + \mu 5(t), t \in [0, T ], (14)
h(t) =
\mu 6(t)\int \int
D
v(y1, y2, t)dy1dy2
, t \in [0, T ]. (15)
Диференцiюючи умову (9) за змiнною t i використовуючи (5), отримуємо
c(t) =
1
\mu 6(t)
\left( \mu \prime 6(t) - h(t)
g(l)\int
0
w1(l, y2, t)dy2 + h(t)
g(0)\int
0
w1(0, y2, t)dy2+
+h(t)
l\int
0
g\prime (y1)\mu 4y1(y1, t)dy1 -
1
h(t)
l\int
0
(w2(y1, g(y1), t) - w2(y1, 0, t))dy1 -
-
\left( \mu 5(t) - 1
h(t)
l\int
0
w2(y1, g(y1), t)dy1
\right) l\int
0
g(y1)\mu 4(y1, t)dy1 -
- h(t)
\int \int
D
f(y1, y2h(t), t)dy1dy2
\right) , t \in [0, T ]. (16)
Таким чином, задачу (5) – (9) зведено до системи iнтегральних рiвнянь (11) – (16) вiднос-
но невiдомих
\bigl(
v(y1, y2, t), w1(y1, y2, t), w2(y1, y2, t), p(t), h(t), c(t)
\bigr)
. Якщо (h, c, v) \in C1[0, T ]\times
\times C[0, T ]\times C2,1(QT ) є розв’язком задачi (5) – (9), то (v, w1, w2, p, h, c) \in
\bigl(
C(QT )
\bigr) 3\times \bigl(
C[0, T ]
\bigr) 3
є розв’язком системи рiвнянь (11) – (16). Правильним є i обернене твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
976 Г. А. СНIТКО
Нехай (v, w1, w2, p, h, c) — неперервний розв’язок системи рiвнянь (11) – (16). Здиферен-
цiюємо (11) за змiнними y1, y2. Правi частини отриманих рiвностей та рiвностей (12), (13)
збiгаються, тому можемо зробити висновок, що w1(y1, y2, t) = vy1(y1, y2, t), w2(y1, y2, t) =
= vy2(y1, y2, t). Отже, функцiя v \in C2,1(QT ) задовольняє рiвняння
vt = vy1y1 +
1
h2(t)
vy2y2 +
y2p(t)
h(t)
vy2 + c(t)v + f(y1, y2h(t), t), (y1, y2, t) \in QT , (17)
та умови (6), (7) для довiльних неперервних на [0, T ] функцiй c(t), h(t), p(t). З рiвностi (15)
випливає умова (9). Припущення теореми дозволяють нам здиференцiювати (15) по t. Оскiльки
функцiя v(y1, y2, t) задовольняє рiвняння (17), вiднявши вiд отриманої рiвностi (16), одержимо
(h\prime (t) - p(t))
\mu 6(t)
h(t)
= 0.
Звiдси робимо висновок, що p(t) = h\prime (t), h \in C1[0, T ], функцiя v(y1, y2, t) задовольняє рiвнян-
ня (5) та умову (8).
Отже, еквiвалентнiсть задачi (5) – (9) та системи рiвнянь (11) – (16) у вищезазначеному сенсi
встановлено.
Визначимо оператор P i побудуємо множину N так, щоб оператор P переводив N в
себе. Зазначимо, що з урахуванням припущень теореми з умови (9) однозначно визначається
значення h(0). Оскiльки в (11) всi доданки, крiм \varphi (y1, y2h(0)), при t \rightarrow 0 прямують до нуля,
можемо зробити висновок про iснування такого числа t1, 0 < t1 \leq T, що
v(y1, y2, t) \geq
\varphi 0
2
\equiv M0 > 0, (y1, y2, t) \in Qt1 . (18)
Виконання умови (18) рiвносильне виконанню нерiвностi\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mu 0(y1, y2, t) - \mu 0(y1, y2, 0) +
t\int
0
\int \int
D
G(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau ) \times
\times
\biggl(
\eta 2p(\tau )
h(\tau )
w2(\eta 1, \eta 2, \tau ) - Lv0(\eta 1, \eta 2, \tau ) + c(\tau )v(\eta 1, \eta 2, \tau )+
+f(\eta 1, \eta 2h(\tau ), \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M0, (y1, y2, t) \in Qt1 . (19)
Враховуючи (19), з (11) одержуємо
v(y1, y2, t) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
D
\varphi (y1, y2h(0)) +M0 \equiv M1 <\infty , (y1, y2, t) \in Qt1 . (20)
Тодi для розв’язкiв рiвняння (15) виконуються нерiвностi
0 < H0 \leq h(t) \leq H1 <\infty , t \in [0, t1]. (21)
Позначимо Wi(t) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(y1,y2)\in D | wi(y1, y2, t)| , i = 1, 2. З (14), (16), враховуючи (21),
одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
КОЕФIЦIЄНТНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО . . . 977
| p(t)| \leq C1 + C2W2(t), | c(t)| \leq C3 + C4W1(t) + C5W2(t), t \in [0, t1]. (22)
Використовуючи (20) – (22) та оцiнки функцiї Грiна [12, c. 469], з (12), (13) отримуємо
W1(t) \leq C6 + C7
t\int
0
\bigl(
1 +W1(\tau ) +W2(\tau ) +W 2
2 (\tau )
\bigr) d\tau \surd
t - \tau
,
W2(t) \leq C8 + C9
t\int
0
\bigl(
1 +W1(\tau ) +W2(\tau ) +W 2
2 (\tau )
\bigr) d\tau \surd
t - \tau
, t \in [0, t1].
Звiдси для функцiї R(t) = R1(t) +R2(t), Ri(t) = 1 +Wi(t), i = 1, 2, одержуємо нерiвнiсть
R(t) \leq C10 + C11
t\int
0
R(\tau ) +R2(\tau )\surd
t - \tau
d\tau , t \in [0, t1].
Метод розв’язування останньої нерiвностi наведено у [13, c. 125]. Звiдси отримуємо оцiнку
R(t) \leq M2 <\infty , t \in [0, t2],
де M2 i t2, 0 < t2 \leq t1, визначаються вiдомими величинами. Тодi
| w1(y1, y2, t)| \leq M2, | w2(y1, y2, t)| \leq M2, (y1, y2, t) \in Qt2 ,
| p(t)| \leq B1 <\infty , | c(t)| \leq B2 <\infty , t \in [0, t2].
Вiзьмемо довiльнi (v, w1, w2, h, p, c), для яких справедливими є встановленi вище оцiнки.
Оцiнимо правi частини рiвнянь (12), (13):\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| v0y1(y1, y2, t) +
t\int
0
\int \int
D
Gy1(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau ) \times
\times
\biggl(
\eta 2p(\tau )
h(\tau )
w2(\eta 1, \eta 2, \tau ) - Lv0(\eta 1, \eta 2, \tau ) +
+ c(\tau )v(\eta 1, \eta 2, \tau ) + f(\eta 1, \eta 2h(\tau ), \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq C6 + 2C7(1 + 2M2 +M2
2 )
\surd
t,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| v0y2(y1, y2, t) +
t\int
0
\int \int
D
Gy2(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau ) \times
\times
\biggl(
\eta 2p(\tau )
h(\tau )
w2(\eta 1, \eta 2, \tau ) - Lv0(\eta 1, \eta 2, \tau )+
+ c(\tau )v(\eta 1, \eta 2, \tau ) + f(\eta 1, \eta 2h(\tau ), \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
978 Г. А. СНIТКО
\leq C8 + 2C9(1 + 2M2 +M2
2 )
\surd
t, (y1, y2, t) \in Qt2 .
Вибираючи число t3, 0 < t3 \leq t2, так, щоб виконувалась нерiвнiсть C6 + 2C7
\bigl(
1 + 2M2 +
+M2
2
\bigr) \surd
t3 \leq M2, отримуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| v0y1(y1, y2, t) +
t\int
0
\int \int
D
Gy1(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau ) \times
\times
\biggl(
\eta 2p(\tau )
h(\tau )
w2(\eta 1, \eta 2, \tau ) - Lv0(\eta 1, \eta 2, \tau ) + c(\tau )v(\eta 1, \eta 2, \tau )+
+ f(\eta 1, \eta 2h(\tau ), \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M2, (y1, y2, t) \in Qt3 .
Аналогiчно можемо вважати, що iснує таке число t4, 0 < t4 \leq t2, що виконується нерiвнiсть
C8 + 2C9
\bigl(
1 + 2M2 +M2
2
\bigr) \surd
t4 \leq M2. Тодi\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| v0y2(y1, y2, t) +
t\int
0
\int \int
D
Gy2(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau ) \times
\times
\biggl(
\eta 2p(\tau )
h(\tau )
w2(\eta 1, \eta 2, \tau ) - Lv0(\eta 1, \eta 2, \tau ) + c(\tau )v(\eta 1, \eta 2, \tau )+
+ f(\eta 1, \eta 2h(\tau ), \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M2, (y1, y2, t) \in Qt4 .
Запишемо систему рiвнянь (11) – (16) у виглядi операторного рiвняння
\omega = P\omega ,
де \omega =
\bigl(
v(y1, y2, t), w1(y1, y2, t), w2(y1, y2, t), h(t), p(t), c(t)
\bigr)
, а оператор P = (P1, . . . , P6)
визначається правими частинами рiвнянь (11) – (16). Позначимо N =
\bigl\{
(v, w1, w2, h, p, c) \in
\in (C(QT0
))3 \times (C[0, T0])
3 : M0 \leq v(y1, y2, t) \leq M1, | w1(y1, y2, t)| \leq M2, | w2(y1, y2, t)| \leq M2,
H0 \leq h(t) \leq H1, | p(t)| \leq B1, | c(t)| \leq B2
\bigr\}
, T0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ t3, t4\} . Згiдно з наведеним вище, оператор
P переводить множину N в себе. Те, що оператор P є цiлком неперервним на N, доводиться,
як у [13, c. 27].
Отже, за теоремою Шаудера про нерухому точку iснує розв’язок системи рiвнянь (11) – (16).
Оскiльки система рiвнянь (11) – (16) та задача (5) – (9) еквiвалентнi у вищезазначеному сенсi,
то iснує розв’язок задачi (5) – (9) при (y1, y2, t) \in QT0
, а отже, i розв’язок задачi (1) – (4) при
(x1, x2, t) \in \Omega T0 .
3. Єдинiсть розв’язку задачi (1) – (4). Оскiльки задача (1) – (4) еквiвалентна задачi (5) – (9),
то припустимо, що (hi(t), ci(t), vi(y1, y2, t)), i = 1, 2, — два розв’язки задачi (5) – (9). Позначимо
h\prime i(t)
hi(t)
= pi(t), i = 1, 2, p(t) = p1(t) - p2(t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
КОЕФIЦIЄНТНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО . . . 979
c(t) = c1(t) - c2(t), v(y1, y2, t) = v1(y1, y2, t) - v2(y1, y2, t).
Функцiї p(t), c(t), v(y1, y2, t) задовольняють рiвняння
vt = vy1y1 +
1
h21(t)
vy2y2 + y2p1(t)vy2 + c1(t)v +
\biggl(
1
h21(t)
- 1
h22(t)
\biggr)
v2y2y2+
+y2p(t)v2y2 + c(t)v2 + f(y1, y2h1(t), t) - f(y1, y2h2(t), t), (y1, y2, t) \in QT , (23)
v(y1, y2, 0) = 0, (y1, y2) \in D, (24)
v(0, y2, t) = \mu 1(y2h1(t), t) - \mu 1(y2h2(t), t), (y2, t) \in [0, g(0)]\times [0, T ],
v(l, y2, t) = \mu 2(y2h1(t), t) - \mu 2(y2h2(t), t), (y2, t) \in [0, g(l)]\times [0, T ], (25)
v(y1, 0, t) = v(y1, g(y1), t) = 0, (y1, t) \in [0, l]\times [0, T ],
p(t) = - 1
h21(t)
l\int
0
vy2(y1, g(y1), t)dy1 + \mu 5(t)
\biggl(
1
h1(t)
- 1
h2(t)
\biggr)
-
-
\biggl(
1
h21(t)
- 1
h22(t)
\biggr) l\int
0
v2y2(y1, g(y1), t)dy1, t \in [0, T ], (26)
\int \int
D
v(y1, y2, t)dy1dy2 = \mu 6(t)
\biggl(
1
h1(t)
- 1
h2(t)
\biggr)
, t \in [0, T ]. (27)
Зведемо задачу (23) – (25) до задачi з нульовими крайовими умовами. Введемо позначення
\psi (y1, y2, t) =
\Bigl(
1 - y1
l
\Bigr) \bigl(
\mu 1(y2h1(t), t) - \mu 1(y2h2(t), t)
\bigr)
+
+
y1
l
\bigl(
\mu 2(y2h1(t), t) - \mu 2(y2h2(t), t)
\bigr)
-
- y2
g(y1)
\Bigl( \Bigl(
1 - y1
l
\Bigr) \bigl(
\mu 1(g(y1)h1(t), t) - \mu 1(g(y1)h2(t), t)
\bigr)
+
+
y1
l
\bigl(
\mu 2(g(y1)h1(t), t) - - \mu 2(g(y1)h2(t), t)
\bigr) \Bigr)
,
\~v(y1, y2, t) = v(y1, y2, t) - \psi (y1, y2, t),
L1 =
\partial
\partial t
- \partial 2
\partial y21
- 1
h21(t)
\partial 2
\partial y22
- y2p1(t)
\partial
\partial y2
- c1(t).
Тодi для функцiї \~v(y1, y2, t) отримаємо задачу
L1\~v = - L1\psi (y1, y2, t) +
\biggl(
1
h21(t)
- 1
h22(t)
\biggr)
v2y2y2 + y2p(t)v2y2 + c(t)v2 +
+ f(y1, y2h1(t), t) - f(y1, y2h2(t), t), (y1, y2, t) \in QT ,
\~v(y1, y2, 0) = 0, (y1, y2) \in D, (28)
\~v(0, y2, t) = \~v(l, y2, t) = 0, \~v(y1, 0, t) = \~v(y1, g(y1), t) = 0, (y1, y2, t) \in QT .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
980 Г. А. СНIТКО
Зобразивши розв’язок задачi (28) за допомогою функцiї Грiна \~G = \~G(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau )
першої крайової задачi для рiвняння
L1\~v = 0,
повернемось до функцiї v(y1, y2, t) :
v(y1, y2, t) = \psi (y1, y2, t) +
t\int
0
\int \int
D
\~G(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau )\times
\times
\biggl( \biggl(
1
h21(\tau )
- 1
h22(\tau )
\biggr)
v2\eta 2\eta 2(\eta 1, \eta 2, \tau ) + \eta 2p(\tau )v2\eta 2(\eta 1, \eta 2, \tau )+
+c(\tau )v2(\eta 1, \eta 2, \tau ) + f(\eta 1, \eta 2h1(\tau ), \tau ) - f(\eta 1, \eta 2h2(\tau ), \tau ) -
- L1\psi (\eta 1, \eta 2, \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau , (y1, y2, t) \in QT . (29)
Оскiльки для ci(t), i = 1, 2, справджуються рiвностi, аналогiчнi (16), звiдси отримуємо
c(t) =
1
\mu 6(t)
\left( h1(t) g(0)\int
0
vy1(0, y2, t)dy2 - h1(t)
g(l)\int
0
vy1(l, y2, t)dy2+
+
1
h1(t)
l\int
0
(vy2(y1, 0, t) - vy2(y1, g(y1), t))dy1+
+
1
h1(t)
l\int
0
g(y1)\mu 4(y1, t)dy1
l\int
0
vy2(y1, g(y1), t)dy1 -
- h1(t)
\int \int
D
\bigl(
f(y1, y2h1(t), t) - f(y1, y2h2(t), t)
\bigr)
dy1dy2+
+(h1(t) - h2(t))
\left( g(0)\int
0
v2y1(0, y2, t)dy2 -
g(l)\int
0
v2y1(l, y2, t)dy2 -
-
\int \int
D
f(y1, y2h2(t), t)dy1dy2 +
l\int
0
g\prime (y1)\mu 4y1(y1, t)dy1
\right) +
+
\biggl(
1
h1(t)
- 1
h2(t)
\biggr) \left( l\int
0
(v2y2(y1, 0, t) - v2y2(y1, g(y1), t))dy1+
+
l\int
0
g(y1)\mu 4(y1, t)dy1
l\int
0
v2y2(y1, g(y1), t)dy1
\right)
\right) , t \in [0, T ]. (30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
КОЕФIЦIЄНТНА ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО . . . 981
Диференцiюючи (29) за змiнними y1, y2, одержуємо
vy1(y1, y2, t) = \psi y1(y1, y2, t)+
+
t\int
0
\int \int
D
\~Gy1(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau )
\biggl( \biggl(
1
h21(\tau )
- 1
h22(\tau )
\biggr)
v2\eta 2\eta 2(\eta 1, \eta 2, \tau )+
+\eta 2p(\tau )v2\eta 2(\eta 1, \eta 2, \tau ) + c(\tau )v2(\eta 1, \eta 2, \tau ) + f(\eta 1, \eta 2h1(\tau ), \tau ) -
- f(\eta 1, \eta 2h2(\tau ), \tau ) - L1\psi (\eta 1, \eta 2, \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau , (y1, y2, t) \in QT , (31)
vy2(y1, y2, t) = \psi y2(y1, y2, t)+
+
t\int
0
\int \int
D
\~Gy2(y1, y2, t, \eta 1, \eta 2, \tau )
\biggl( \biggl(
1
h21(\tau )
- 1
h22(\tau )
\biggr)
v2\eta 2\eta 2(\eta 1, \eta 2, \tau )+
+\eta 2p(\tau )v2\eta 2(\eta 1, \eta 2, \tau ) + c(\tau )v2(\eta 1, \eta 2, \tau ) + f(\eta 1, \eta 2h1(\tau ), \tau ) -
- f(\eta 1, \eta 2h2(\tau ), \tau ) - L1\psi (\eta 1, \eta 2, \tau )
\biggr)
d\eta 1d\eta 2d\tau , (y1, y2, t) \in QT . (32)
Виразимо hi(t) через pi(t) :
hi(t) = hi(0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
0
pi(\tau )d\tau
\right) , i = 1, 2,
де h1(0) = h2(0) = h0.
Припущення теореми забезпечують правильнiсть рiвностей
1
h1(t)
- 1
h2(t)
= - 1
h0
t\int
0
p(\tau )d\tau
1\int
0
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
t\int
0
\bigl(
\sigma p(\tau ) + p2(\tau )
\bigr)
d\tau
\right) d\sigma ,
\mu i
\bigl(
y2h1(t), t
\bigr)
- \mu i
\bigl(
y2h2(t), t
\bigr)
=
= y2
\bigl(
h1(t) - h2(t)
\bigr) 1\int
0
\mu ix2
\Bigl(
y2
\Bigl(
h2(t) + \sigma
\bigl(
h1(t) - h2(t)
\bigr) \Bigr)
, t
\Bigr)
d\sigma , i = 1, 2,
(33)
f
\bigl(
y1, y2h1(t), t
\bigr)
- f
\bigl(
y1, y2h2(t), t
\bigr)
=
= y2
\bigl(
h1(t) - h2(t)
\bigr) 1\int
0
fx2(y1, y2
\Bigl(
h2(t) + \sigma
\bigl(
h1(t) - h2(t)
\bigr) \Bigr)
, t) d\sigma .
Аналогiчно, (33) можемо використати для зображення рiзниць
h1(t) - h2(t),
1
h21(t)
- 1
h22(t)
, \mu ix1(y2h1(t), t) - \mu ix1(y2h2(t), t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
982 Г. А. СНIТКО
\mu ix1x1(y2h1(t), t) - \mu ix1x1(y2h2(t), t), \mu it(y2h1(t), t) - \mu it(y2h2(t), t), i = 1, 2.
Використовуючи (33) i пiдставляючи (31), (32) в (26), (30), одержуємо систему однорiд-
них iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду вiдносно невiдомих p(t), c(t), яка має ли-
ше тривiальний розв’язок p(t) = 0, c(t) = 0, t \in [0, T ]. Звiдси отримуємо p1(t) = p2(t),
c1(t) = c2(t), а отже, h1(t) = h2(t), t \in [0, T ]. Враховуючи це в задачi (23) – (25), знаходимо
v1(y1, y2, t) = v2(y1, y2, t), (y1, y2, t) \in QT . Отже, задача (1) – (4) не може мати двох рiзних
розв’язкiв при (x1, x2, t) \in \Omega T .
Лiтература
1. Мамаюсупов О. Ш. Об определении коэффициента параболического уравнения // Исслед. по интегро-
дифференциальным уравннениям. – 1989. – Вып. 22. – С. 157 – 160.
2. Cannon J., Lin Y., Wang S. Determination of a control parameter in a parabolic partial differential equation // J.
Austral. Math. Soc. Ser. B. – 1991. – 33. – P. 149 – 163.
3. Ковальчук С. М. Визначення коефiцiєнтiв теплопровiдностi та об’ємної теплоємностi в багатошаровому сере-
довищi // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 1987. – 40, № 2. – С. 153 – 159.
4. Пабирiвська Н. В. Оберненi задачi з iнтегральними умовами перевизначення // Мат. методи i фiз.-мех. поля. –
2000. – 43, № 1. – С. 51 – 58.
5. Саватеев Е. Г. Сведение обратной задачи для уравнения параболического типа // Докл. РАН. – 1994. – 334,
№ 5. – С. 562 – 563.
6. Iванчов М. I. Обернена задача з вiльною межею для рiвняння теплопровiдностi // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№ 7. – С. 901 – 910.
7. Баранська I. Визначення старшого коефiцiєнта у параболiчному рiвняннi в областi з невiдомими межами //
Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 20 – 38.
8. Снiтко Г. А. Обернена задача визначення молодшого коефiцiєнта в параболiчному рiвняннi в областi з вiльною
межею // Вiсн. нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2009. – Вип. 643. – С. 45 – 52.
9. Снiтко Г. А. Коефiцiєнтна обернена задача для параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею // Мат.
методи та фiз.-мех. поля. – 2008. – 51, № 4. – С. 37 – 47.
10. Баранська I. Є. Обернена задача в областi з вiльною межею для двовимiрного параболiчного рiвняння // Мат.
методи та фiз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 2. – С. 17 – 28.
11. Баранська I. Є., Iванчов М. I. Обернена задача для двовимiрного рiвняння теплопровiдностi в областi з вiльною
межею // Укр. мат. вiсн. – 2007. – 4, № 4. – С. 457 – 484.
12. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
13. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type // Math. Stud.: Monogr. Ser. – Lviv: VNTL Publ.,
2003. – 10. – 238 p.
Одержано 11.10.15,
пiсля доопрацювання — 07.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1895 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:46Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/04/0e4544d1e4f17c5729fae7053825d804.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18952019-12-05T09:30:55Z Inverse coefficient problem fоr a two-dimensional parabolic equation in a domain with free boundary Коефіцієнтна обернена задача для двовимірного параболічного рівняння в області з вільною межею Snitko, H. A. Снітко, Г. А. We establish the conditions of unique solvability of the inverse problem of finding the minor coefficient in a two-dimensional parabolic equation in the domain for which the location of a part of its boundary is described by a function in the form of a product of an unknown function of time and a given function of the space variable. Установлены условия однозначной разрешимости обратной задачи определения младшего коэффициента в двумерном параболическом уравнении в области, размещение части границы которой определяется функцией, являющейся произведением неизвестной функции времени и заданной функции пространственной переменной. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1895 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 7 (2016); 972-982 Український математичний журнал; Том 68 № 7 (2016); 972-982 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1895/877 Copyright (c) 2016 Snitko H. A. |
| spellingShingle | Snitko, H. A. Снітко, Г. А. Inverse coefficient problem fоr a two-dimensional parabolic equation in a domain with free boundary |
| title | Inverse coefficient problem fоr a two-dimensional parabolic equation in a domain
with free boundary |
| title_alt | Коефіцієнтна обернена задача для двовимірного параболічного рівняння в
області з вільною межею |
| title_full | Inverse coefficient problem fоr a two-dimensional parabolic equation in a domain
with free boundary |
| title_fullStr | Inverse coefficient problem fоr a two-dimensional parabolic equation in a domain
with free boundary |
| title_full_unstemmed | Inverse coefficient problem fоr a two-dimensional parabolic equation in a domain
with free boundary |
| title_short | Inverse coefficient problem fоr a two-dimensional parabolic equation in a domain
with free boundary |
| title_sort | inverse coefficient problem fоr a two-dimensional parabolic equation in a domain
with free boundary |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1895 |
| work_keys_str_mv | AT snitkoha inversecoefficientproblemforatwodimensionalparabolicequationinadomainwithfreeboundary AT snítkoga inversecoefficientproblemforatwodimensionalparabolicequationinadomainwithfreeboundary AT snitkoha koefícíêntnaobernenazadačadlâdvovimírnogoparabolíčnogorívnânnâvoblastízvílʹnoûmežeû AT snítkoga koefícíêntnaobernenazadačadlâdvovimírnogoparabolíčnogorívnânnâvoblastízvílʹnoûmežeû |