Best $m$-term trigonometric approximation for periodic functions with low mixed smoothness from the Nikol’skii – Besov-type classes
We establish the exact-order estimates of the best $m$-term trigonometric approximation for periodic multivariable functions (with low mixed smoothness) from the Nikol’skii – Besov-type classes.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1896 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507783314538496 |
|---|---|
| author | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. |
| author_facet | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. |
| author_sort | Stasyuk, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:30:55Z |
| description | We establish the exact-order estimates of the best $m$-term trigonometric approximation for periodic multivariable functions
(with low mixed smoothness) from the Nikol’skii – Besov-type classes. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. А. Стасюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАЙКРАЩЕ \bfitm -ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ МАЛОЇ МIШАНОЇ ГЛАДКОСТI
З КЛАСIВ ТИПУ НIКОЛЬСЬКОГО – БЄСОВА*
We establish the exact-order estimates of the best m-term trigonometric approximation for periodic multivariable functions
(with low mixed smoothness) from the Nikol’skii – Besov-type classes.
Получены точные по порядку оценки наилучшего m-членного тригонометрического приближения периодических
функций многих переменных (с малой смешанной гладкостью) из классов типа Никольского – Бесова.
Нехай \BbbR d, d \geq 1, — евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd), (x, y) := x1y1+ . . .+xdyd,
а Lp(\BbbT d), 1 \leq p \leq \infty , \BbbT d :=
\prod d
j=1
[0; 2\pi ), — простiр 2\pi -перiодичних за кожною змiнною
функцiй f(x) = f(x1, . . . , xd), що задовольняють умови
\| f\| p :=
\left( (2\pi ) - d
\int
\BbbT d
| f(x)| p dx
\right) 1/p
< \infty , 1 \leq p < \infty ,
\| f\| \infty := \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbT d
| f(x)| < \infty при p = \infty .
Далi будемо розглядати лише тi функцiї f \in Lp(\BbbT d), для яких виконано умову
2\pi \int
0
f(x) dxj = 0, j = 1, . . . , d.
Нехай \Omega (t) = \Omega (t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного модуля неперервностi порядку
l, l \in \BbbN , що задовольняє такi умови:
1) \Omega (t) > 0 при tj > 0, j = 1, . . . , d, \Omega (t) = 0 при
\prod d
j=1
tj = 0;
2) \Omega (t) зростає за кожною змiнною;
3) \Omega (m1t1, . . . ,mdtd) \leq C1
\biggl( \prod d
j=1
mj
\biggr) l
\Omega (t), mj \in \BbbN , j = 1, . . . , d;
4) \Omega (t) неперервна при tj \geq 0, j = 1, . . . , d.
Будемо вважати, що функцiя \Omega (t) задовольняє умови (S), (Sl), якi називають умовами
Барi – Стєчкiна [1]. Це означає наступне.
Функцiя \varphi (\tau ) \geq 0 задовольняє умову (S), якщо \varphi (\tau )/\tau \alpha майже зростає при деякому \alpha > 0,
тобто iснує така незалежна вiд \tau 1 i \tau 2 стала C2 > 0, що
\varphi (\tau 1)
\tau \alpha 1
\leq C2
\varphi (\tau 2)
\tau \alpha 2
, 0 < \tau 1 \leq \tau 2. (1)
Функцiя \varphi (\tau ) \geq 0 задовольняє умову (Sl), якщо \varphi (\tau )/\tau \gamma майже спадає при деякому 0 <
< \gamma < l, тобто iснує така незалежна вiд \tau 1 i \tau 2 стала C3 > 0, що
* Виконано за часткової пiдтримки FP7-People-2011-IRSES (проект № 295164 (EUMLS: EU-Ukrainian Mathemati-
cians for Life Sciences)).
c\bigcirc С. А. СТАСЮК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7 983
984 С. А. СТАСЮК
\varphi (\tau 1)
\tau \gamma 1
\geq C3
\varphi (\tau 2)
\tau \gamma 2
, 0 < \tau 1 \leq \tau 2. (2)
Будемо говорити, що функцiя \Omega (t) = \Omega (t1, . . . , td) задовольняє умови (S) та (Sl), якщо
вона задовольняє цi умови за кожною змiнною tj , j = 1, . . . , d, при фiксованих значеннях
iнших змiнних.
Множину функцiй \Omega , для яких виконуються умови 1 – 4, а також умови (S) та (Sl), будемо
позначати через \Phi \alpha ,l.
Зазначимо, що з бiльш детальною iнформацiєю щодо властивостей мiшаних модулiв непе-
рервностi можна ознайомитися в оглядi [2].
Далi обмежимось розглядом функцiй \Omega = \Omega (t) вигляду
\Omega (t) = \omega (t1 . . . td),
де \omega (\tau ) — функцiя однiєї змiнної типу модуля неперервностi порядку l, l \in \BbbN , \omega \in \Phi \alpha ,l.
Для 1 < p < \infty простiр MB\omega
p,\theta визначається таким чином (див. [3] для \theta = \infty i [4] для
1 \leq \theta < \infty ):
MB\omega
p,\theta =
\Bigl\{
f \in Lp(\BbbT d) : \| f\| MB\omega
p,\theta
< \infty
\Bigr\}
, (3)
де
\| f\| MB\omega
p,\theta
:=
\Biggl( \sum
s
\Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - \theta
\| \delta s(f)\| \theta p
\Biggr) 1
\theta
, 1 \leq \theta < \infty , (4)
\| f\| MB\omega
p,\infty := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s
\| \delta s(f)\| p
\omega (2 - \| s\| 1)
, (5)
а
\omega \in \Phi \alpha ,l, \| s\| 1 := s1 + . . .+ sd, \delta s(f) := \delta s(f, x) := (f \ast \scrD \rho (s))(x),
\scrD \rho (s) :=
\sum
k\in \rho (s)
ei(k,x), \rho (s) :=
\bigl\{
k = (k1, . . . , kd) : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , kj \in \BbbZ , j = 1, . . . , d
\bigr\}
(знаком \ast позначено операцiю згортки двох функцiй, тобто
\varphi \ast g := (\varphi \ast g)(x) := (2\pi ) - d
\int
\BbbT d
\varphi (y) g(x - y) dy
для \varphi , g \in L1(\BbbT d)). Зазначимо, що при 1 < q < \infty (див., наприклад, [5], гл. 1, § 1)
\| \scrD \rho (s)\| q \asymp 2
\| s\| 1
\Bigl(
1 - 1
q
\Bigr)
. (6)
Зауважимо, що для двох невiд’ємних величин A та B запис A \asymp B означає, що iснує така
стала C > 0, що C - 1A \leq B \leq CA. У випадку B \geq C - 1A або B \leq CA будемо писати
B \gg A або B \ll A вiдповiдно. Сталi Cj , j \in \BbbN , якi зустрiчаються й у статтi, можуть залежати
лише вiд тих параметрiв, що входять в означення класу, метрики, в якiй вимiрюється похибка
наближення, а також вiд розмiрностi простору \BbbR d. Але при цьому суттєвим є те, що зазначенi
сталi Cj , j \in \BbbN , не залежать вiд одного позначеного контекстом параметра.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
НАЙКРАЩЕ m-ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 985
Шкала просторiв MB\omega
p,\theta є природним узагальненням за гладкiсним параметром r шкали
просторiв Нiкольського – Бєсова MBr
p,\theta , r = (r1, . . . , r1), r1 > 0, перiодичних функцiй мiшаної
гладкостi (див., наприклад, [6]) i MB\omega
p,\theta \equiv MBr
p,\theta при \omega (\tau ) = \tau r1 , 0 < r1 < l. Зазначимо, що при
\theta = \infty MBr
p,\theta — простори Нiкольського MHr
p , тобто MBr
p,\infty \equiv MHr
p , а також MB\omega
p,\infty \equiv MH\omega
p .
Поряд з просторами MB\omega
p,\theta при 1 < p < \infty , 1 \leq \theta < \infty , \omega \in \Phi \alpha ,l, розглянемо простори
MH\omega
p,\theta , якi визначаються таким чином:
MH\omega
p,\theta =
\Bigl\{
f \in Lp(\BbbT d) : \| f\| MH\omega
p,\theta
< \infty
\Bigr\}
, (7)
де
\| f\| MH\omega
p,\theta
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k
\left( \sum
\| s\| 1=k
\Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - \theta
\| \delta s(f)\| \theta p
\right) 1
\theta
. (8)
При \theta = \infty покладемо MH\omega
p,\infty \equiv MH\omega
p , а \| f\| MH\omega
p,\infty := \| f\| MH\omega
p
.
Для означених вище функцiональних просторiв, згiдно з означеннями (3) – (5), (7), (8),
мають мiсце такi вкладення:
MB\omega
p,\theta \subset MH\omega
p,\theta \subset MH\omega
p , 1 \leq \theta < \infty , (9)
MH\omega
p,\theta 1 \subset MH\omega
p,\theta 2 , 1 \leq \theta 1 < \theta 2 < \infty . (10)
Через \bfM \bfB \omega
p,\theta та \bfM \bfH \omega
p,\theta будемо позначати одиничнi кулi просторiв MB\omega
p,\theta та MH\omega
p,\theta вiдпо-
вiдно, тобто
\bfM \bfB \omega
p,\theta :=
\Bigl\{
f \in MB\omega
p,\theta : \| f\| MB\omega
p,\theta
\leq 1
\Bigr\}
,
\bfM \bfH \omega
p,\theta :=
\Bigl\{
f \in MH\omega
p,\theta : \| f\| MH\omega
p,\theta
\leq 1
\Bigr\}
.
(11)
Класи \bfM \bfH \omega
p,\theta при \omega (\tau ) = \tau r, r > 0, розглядались у роботi [7] з точки зору встановлення для
них точних за порядком оцiнок певних апроксимативних характеристик, зокрема найкращого
m-членного тригонометричного наближення (див. означення (19)). А в роботi [8] для класiв
\bfM \bfH \omega
p,\theta , \omega (\tau ) = \tau r, r >
1
p
(в означеннi (8) „блоки” \delta s(f) замiнюються вiдповiдними двiйковими
„блоками” ряду Фур’є функцiї f за тензорною системою Хаара), встановлено точнi за порядком
оцiнки їх найкращого m-членного наближення полiномами за тензорною системою Хаара.
Зазначимо, що у випадку 1 < p < q < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty (при \theta = \infty в [3], а при 1 \leq \theta < \infty в
[4]), \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- 1
q
, встановлено порядкову рiвнiсть
EQn(\bfM \bfB \omega
p,\theta )q \asymp \scrE Qn(\bfM \bfB \omega
p,\theta )q \asymp \omega (2 - n)2
n
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
n
(d - 1)
\Bigl(
1
q
- 1
\theta
\Bigr)
+ , (12)
де a+ := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a; 0\} ,
EQn(F )q := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\in \scrT Qn
\| f - t\| q, (13)
\scrT Qn :=
\left\{ t : t =
\sum
k\in Qn
cke
i(k,x), ck \in \BbbC
\right\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
986 С. А. СТАСЮК
\scrE Qn(F )q := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\| f - SQn(f)\| q, (14)
SQn(f) := f \ast \scrD Qn := f \ast
\sum
| | s| | 1<n
\scrD \rho (s),
Qn := \{ k : k \in \rho (s), \| s\| 1 < n\} , (15)
при цьому
\#Qn \asymp 2nnd - 1. (16)
Згiдно з (13) та (14) має мiсце нерiвнiсть
EQn(F )q \leq \scrE Qn(F )q. (17)
Нехай \Theta m — набiр m точок iз цiлочислової решiтки \BbbZ d. Покладемо
P (\Theta m, x) :=
m\sum
k=1
cke
i(nk,x), ck \in \BbbC ,
i для f \in Lq(\BbbT d) розглянемо величину
\sigma m(f)q := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
P (\Theta m,\cdot )
\| f(\cdot ) - P (\Theta m, \cdot )\| q, (18)
яка називається найкращим m-членним тригонометричним наближенням функцiї f у метрицi
простору Lq(\BbbT d).
Для функцiонального класу F \subset Lq(\BbbT d) покладемо
\sigma m(F )q := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\sigma m(f)q. (19)
З детальним оглядом дослiджень величин (18) та (19) можна ознайомитись, наприклад,
у монографiї [9] (гл. III), а також у роботах [10, 11]. Щодо дослiдження поведiнки величин
\sigma m(\bfM \bfB \omega
p,\theta )q i знаходження їх порядкових оцiнок вiдмiтимо роботи [12 – 14]. Точнi за порядком
оцiнки величин (19) для деяких класiв перiодичних функцiй малої гладкостi встановлено в [10,
15 – 19].
Мета даної статтi полягає у встановленнi точних за порядком оцiнок величин \sigma m(\bfM \bfB \omega
p,\theta )q
(а також \sigma m(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q ) при нерозглянутих ранiше спiввiдношеннях мiж параметрами \omega , p, q, \theta ,
а саме при 1 < p \leq 2 < q < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , де \omega \in \Phi \alpha ,l з деякими \alpha : \alpha >
1
p
- 1
q
та \gamma : \gamma <
1
p
.
Зазначимо, що функцiя \omega = \omega (\tau ), яка мiститься в означеннi класiв \bfM \bfB \omega
p,\theta та \bfM \bfH \omega
p,\theta , якi ми
розглядаємо, характеризує цi класи як такi, що складаються з функцiй, що мають узагальнену
малу мiшану гладкiсть спецiального вигляду.
Iншою особливiстю даної роботи є те, що поведiнка \sigma m(\bfM \bfB \omega
p,\theta )q та \sigma m(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q характе-
ризується (як, наприклад, у роботi [20]) у термiнах величини m, на вiдмiну вiд робiт [4, 12 – 14,
21 – 23], в яких поведiнка дослiджуваних там апроксимативних характеристик класiв \bfM \bfB \omega
p,\theta
виражалась у термiнах величини n, що пов’язана з m спiввiдношенням m \asymp \#Qn \asymp 2nnd - 1.
Наведемо кiлька допомiжних тверджень та спiввiдношень.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
НАЙКРАЩЕ m-ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 987
Теорема А (Лiттлвуда – Пелi [24]). Нехай 1 < p < \infty . Iснують додатнi числа C1(p), C2(p)
такi, що для кожної функцiї f \in Lp(\BbbT d) виконуються спiввiдношення
C1(p)\| f\| p \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl( \sum
s
| \delta s(f)| 2
\Biggr) 1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\leq C2(p)\| f\| p. (20)
З (20) випливає така нерiвнiсть (див., наприклад, [9], гл. I, § 1.1):
\| f\| p \ll
\Biggl( \sum
s
\| \delta s(f)\| p\ast p
\Biggr) 1
p\ast
, (21)
де 1 < p < \infty , p\ast = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ p; 2\} .
Лема A [16] . Нехай 2 < q < \infty . Для будь-якого тригонометричного полiнома Q(\Theta N , x) i
будь-якого M < N знайдеться тригонометричний полiном P (\Theta M , x) такий, що
\| Q(\Theta N , \cdot ) - P (\Theta M , \cdot )\| q \leq C4
\surd
NM - 1\| Q(\Theta N , \cdot )\| 2,
причому \Theta M \subset \Theta N , C4 > 0.
Лема B [25] (гл. I, § 3) . Нехай 1 \leq p < q < \infty i f \in Lp(\BbbT d), тодi
\| f\| qq \ll
\sum
s
\Bigl(
\| \delta s(f)\| p 2\| s\| 1(1/p - 1/q)
\Bigr) q
. (22)
Також мають мiсце порядковi рiвностi\sum
\| s\| 1<n
2\varrho \| s\| 1 \asymp 2\varrho nnd - 1, \varrho > 0, (23)
\sum
\| s\| 1=n
1 \asymp nd - 1. (24)
Далi вiд функцiї \omega (\tau ), вказуючи \omega \in \Phi \alpha ,l, будемо вимагати, щоб вона в певних випадках
задовольняла умову (Sl) з деяким \gamma : \gamma <
1
p
, або \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, а тому згiдно з (2) має мiсце
нерiвнiсть
\omega (2 - \| s\| 1)
2 - \gamma \| s\| 1
\ll \omega (2 - n1)
2 - \gamma n1
, \| s\| 1 < n1. (25)
Теорема. Нехай 1 < p \leq 2 < q < \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , а \omega \in \Phi \alpha ,l з \alpha >
1
p
- 1
q
та \gamma <
1
p
.
Якщо 1 < \theta \leq \infty , а \omega \in \Phi \alpha ,l з \alpha > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
1
p
- 1
q
;
1
p
- q\prime
q\theta \prime
\biggr\}
та \gamma <
1
p
, то
\sigma m(\bfM \bfB \omega
p,\theta )q \asymp \sigma m(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q \asymp \omega
\Bigl(
m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1
\Bigr)
m
q
2
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)
1
\theta \prime +
1 - q
p . (26)
Якщо ж 1 \leq \theta < q, а \omega \in \Phi \alpha ,l з \alpha >
1
p
- 1
q
та \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, то
\sigma m(\bfM \bfB \omega
p,\theta )q \asymp \sigma m(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q \asymp \omega
\Bigl(
m - q
2
\Bigr)
m
q
2
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
. (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
988 С. А. СТАСЮК
Доведення. Розпочнемо iз встановлення в (26) та (27) оцiнок зверху для класiв \bfM \bfH \omega
p,\theta ,
зважаючи на вкладення (9) та (10).
За заданим m \in \BbbN пiдберемо n \in \BbbN таким чином, щоб виконувались умови m > \#Qn,
m \asymp 2nnd - 1. (28)
Розглянемо спочатку випадок q \leq \theta \leq \infty , тодi \alpha > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
1
p
- 1
q
;
1
p
- q\prime
q\theta \prime
\biggr\}
=
1
p
- 1
q
.
Побудуємо полiном, який буде реалiзувати для f \in \bfM \bfH \omega
p,\theta потрiбну оцiнку наближення, у
виглядi
P (\Theta m) =
\sum
\| s\| 1<n
\delta s(f) +
\sum
n\leq \| s\| 1<n1
P (\Theta Ns), (29)
де P (\Theta Ns) — полiноми, якi наближають „блоки” \delta s(f) згiдно з лемою A, а
n1 =
qn
2
-
\Bigl( q
2
- 1
\Bigr)
(d - 1) \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n, (30)
Ns =
\Bigl[
2n+(\| s\| 1 - n1)/p\omega (2 - \| s\| 1)/\omega (2 - n1)
\Bigr]
+ 1. (31)
Переконаємося, що полiном P (\Theta m) мiстить за порядком не бiльше нiж m гармонiк.
Покажемо спочатку, що\sum
n\leq \| s\| 1<n1
\Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)2\| s\| 1/p
\Bigr) \mu
\ll
\Bigl(
\omega (2 - n1)2n1/p
\Bigr) \mu
nd - 1
1 , \mu > 0. (32)
Дiйсно, враховуючи нерiвнiсть (25) та спiввiдношення (23), маємо\sum
n\leq \| s\| 1<n1
\Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)2\| s\| 1/p
\Bigr) \mu
=
\sum
n\leq \| s\| 1<n1
\Biggl(
\omega (2 - \| s\| 1)
2 - \gamma \| s\| 1
2
\| s\| 1( 1p - \gamma )
\Biggr) \mu
\ll
\ll
\biggl(
\omega (2 - n1)
2 - \gamma n1
\biggr) \mu \sum
n\leq \| s\| 1<n1
2
\mu \| s\| 1
\Bigl(
1
p
- \gamma
\Bigr)
\asymp
\asymp
\biggl(
\omega (2 - n1)
2 - \gamma n1
\biggr) \mu
2
\mu n1
\Bigl(
1
p
- \gamma
\Bigr)
nd - 1
1 =
\Bigl(
\omega (2 - n1)2n1/p
\Bigr) \mu
nd - 1
1 ,
що й доводить (32).
Враховуючи (16), (28) та (30) – (32), одержуємо
\#\Theta m = \#Qn +
\sum
n\leq \| s\| 1<n1
Ns \ll
\ll 2nnd - 1 +
2n - n1/p
\omega (2 - n1)
\sum
n\leq \| s\| 1<n1
\omega (2 - \| s\| 1)2\| s\| 1/p \ll
\ll 2nnd - 1 +
2n - n1/p
\omega (2 - n1)
\omega (2 - n1)2n1/pnd - 1
1 \asymp 2nnd - 1 \asymp m.
Це пiдтверджує той факт, що заданий формулою (29) полiном P (\Theta m) мiстить за порядком не
бiльше нiж m гармонiк.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
НАЙКРАЩЕ m-ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 989
Беручи до уваги (29), можемо записати
\| f - P (\Theta m)\| q \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
n\leq \| s\| 1<n1
(\delta s(f) - P (\Theta Ns))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\| s\| 1\geq n1
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
=: J1 + J2. (33)
Подальше оцiнювання двох доданкiв правої частини (33) розпочнемо з J2. Для цього по-
кажемо спочатку, що для 1 < p < q < \infty , 1 \leq \theta < \infty , \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- 1
q
, має мiсце
оцiнка
\scrE Qn(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q \ll \omega (2 - n)2
n
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
n
(d - 1)
\Bigl(
1
q
- 1
\theta
\Bigr)
+ . (34)
У випадку q < \theta < \infty для f \in \bfM \bfH \omega
p,\theta , згiдно з (22), нерiвнiстю Гельдера, (1), (8), (11) та
(24), маємо
\scrE Qn(f)q =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\| s\| 1\geq n
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll
\left( \sum
\| s\| 1\geq n
\biggl(
\| \delta s(f)\| p2
\| s\| 1
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr) \biggr) q
\right) 1
q
=
=
\left( \infty \sum
j=n
\sum
\| s\| 1=j
\biggl( \Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - 1
\| \delta s(f)\| p\omega (2 - \| s\| 1)2
\| s\| 1
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr) \biggr) q
\right) 1
q
\leq
\leq
\left( \infty \sum
j=n
\left( \sum
\| s\| 1=j
\Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - \theta
\| \delta s(f)\| \theta p
\right)
q
\theta
\times
\times
\left( \sum
\| s\| 1=j
\biggl(
\omega (2 - \| s\| 1)2
\| s\| 1
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr) \biggr) \theta q
\theta - q
\right)
\theta - q
\theta
\right)
1
q
\leq
\leq \| f\| MH\omega
p,\theta
\left( \infty \sum
j=n
\biggl(
\omega (2 - j)2
j
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr) \biggr) q
\left( \sum
\| s\| 1=j
1
\right)
\theta - q
\theta
\right)
1
q
\ll
\ll
\left( \infty \sum
j=n
\biggl(
\omega (2 - j)
2 - \alpha j
2
- j(\alpha - ( 1
p
- 1
q
))
\biggr) q
j(d - 1) \theta - q
\theta
\right) 1
q
\ll
\ll \omega (2 - n)
2 - \alpha n
\left( \infty \sum
j=n
2
- jq
\Bigl(
\alpha - ( 1
p
- 1
q
)
\Bigr)
j(d - 1) \theta - q
\theta
\right) 1
q
\asymp
\asymp \omega (2 - n)2
n
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
n
(d - 1)
\Bigl(
1
q
- 1
\theta
\Bigr)
. (35)
У випадку \theta = q, враховуючи (1), (8), (11) та (22), одержуємо
\scrE Qn(f)q \ll
\left( \infty \sum
j=n
\sum
\| s\| 1=j
\biggl( \Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - 1
\| \delta s(f)\| p \omega (2 - \| s\| 1)2
\| s\| 1
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr) \biggr) q
\right) 1
q
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
990 С. А. СТАСЮК
\leq \| f\| MH\omega
p,q
\left( \infty \sum
j=n
\biggl(
\omega (2 - j)2
j
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr) \biggr) q
\right) 1
q
\ll
\ll \omega (2 - n)
2 - \alpha n
\left( \infty \sum
j=n
2
- jq
\Bigl(
\alpha -
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr) \Bigr) \right) 1
q
\asymp \omega (2 - n)2
n
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
. (36)
Якщо ж 1 \leq \theta < q, то внаслiдок (10) та (36) отримуємо
\scrE Qn(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q \leq \scrE Qn(\bfM \bfH \omega
p,q)q \ll \omega (2 - n)2
n
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
. (37)
Спiвставляючи (35) – (37), приходимо до (34).
Враховуючи (12), (28), (30) i (34), одержуємо
J2 \leq \scrE Qn1
(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q \ll \omega (2 - n1)2
n1
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
n
(d - 1)
\Bigl(
1
q
- 1
\theta
\Bigr)
1 \asymp
\asymp \omega
\Bigl(
2 -
qn
2 n(d - 1)( q
2
- 1)
\Bigr)
2
qn
2
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
n
(d - 1)
\Bigl(
(1 - q
2)
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr)
+ 1
q
- 1
\theta
\Bigr)
\asymp
\asymp \omega
\biggl(
m - q
2
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m
\Bigr) q - 1
\biggr)
m
q
2
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr) \Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m
\Bigr) 1
\theta \prime +
1 - q
p
. (38)
Використовуючи (21), лему А, нерiвнiсть рiзних метрик Нiкольського, (31), нерiвнiсть Гель-
дера, (2), (28) та (30), для q \leq \theta < \infty маємо
J1 \ll
\left( \sum
n\leq \| s\| 1<n1
\| \delta s(f) - P (\Theta Ns)\| 2q
\right) 1
2
\ll
\ll
\left( \sum
n\leq \| s\| 1<n1
N - 1
s 2\| s\| 1\| \delta s(f)\| 22
\right) 1
2
\ll
\ll
\left( \sum
n\leq \| s\| 1<n1
N - 1
s 22\| s\| 1/p\| \delta s(f)\| 2p
\right) 1
2
\leq
\leq
\left( \omega (2 - n1)2
- n+
n1
p
\sum
n\leq \| s\| 1<n1
\biggl( \Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - 1
\| \delta s(f)\| p
\biggr) 2
\omega (2 - \| s\| 1)2\| s\| 1/p
\right) 1
2
=
=
\Bigl(
\omega (2 - n1)2
- n+
n1
p
\Bigr) 1
2
\left( \sum
n\leq j<n1
\sum
\| s\| 1=j
\biggl( \Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - 1
\| \delta s(f)\| p
\biggr) 2
\omega (2 - \| s\| 1)2\| s\| 1/p
\right) 1
2
\leq
\leq
\Bigl(
\omega (2 - n1)2
- n+
n1
p
\Bigr) 1
2
\left( \sum
n\leq j<n1
\left( \sum
\| s\| 1=j
\biggl( \Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - 1
\| \delta s(f)\| p
\biggr) \theta
\right) 2
\theta
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
НАЙКРАЩЕ m-ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 991
\times
\left( \sum
\| s\| 1=j
\Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)2\| s\| 1/p
\Bigr) \theta
\theta - 2
\right) \theta - 2
\theta
\right)
1
2
\leq
\leq
\Bigl(
\omega (2 - n1)2
- n+
n1
p
\Bigr) 1
2 \| f\| MH\omega
p,\theta
\left( \sum
n\leq j<n1
\omega (2 - j)2j/p
\left( \sum
| | s| | 1=j
1
\right) \theta - 2
\theta
\right)
1
2
\asymp
\asymp
\Bigl(
\omega (2 - n1)2
- n+
n1
p
\Bigr) 1
2 \| f\| MH\omega
p,\theta
\left( \sum
n\leq j<n1
\omega (2 - j)2j/pj(d - 1)(1 - 2
\theta )
\right) 1
2
\leq
\leq
\Bigl(
\omega (2 - n1)2
- n+
n1
p
\Bigr) 1
2
\left( \sum
n\leq j<n1
\omega (2 - j)
2 - \gamma j
2
-
\Bigl(
\gamma - 1
p
\Bigr)
j
j(d - 1)(1 - 2
\theta )
\right) 1
2
\ll
\ll
\Bigl(
\omega (2 - n1)2
- n+
n1
p
\Bigr) 1
2
\left( \omega (2 - n1)
2 - \gamma n1
\sum
n\leq j<n1
2
-
\Bigl(
\gamma - 1
p
\Bigr)
j
j(d - 1)(1 - 2
\theta )
\right) 1
2
\asymp
\asymp
\Bigl(
\omega (2 - n1)2
- n+
n1
p
\Bigr) 1
2
\biggl(
\omega (2 - n1)2n1/pn
(d - 1)(1 - 2
\theta )
1
\biggr) 1
2
\asymp
\asymp \omega (2 - n1)2
- n
2
+
n1
p n(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ) \asymp
\asymp \omega
\Bigl(
2 -
qn
2 n(d - 1)( q
2
- 1)
\Bigr)
2
- n
2
+ qn
2p n
(d - 1)
\Bigl(
1
p
- q
2p
\Bigr)
n(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ) \asymp
\asymp \omega
\Bigl(
m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1
\Bigr)
m
q
2
\Bigl(
1
p
- 1
q
\Bigr) \Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m
\Bigr) 1
\theta \prime +
1 - q
p
. (39)
Зауважимо, що у процесi встановлення (39) можна простежити за виконанням спiввiдношення\sum
n\leq j<n1
\Bigl(
\omega (2 - j)2
j
p
\Bigr) \vargamma
j(d - 1)\lambda \ll
\Bigl(
\omega (2 - n1)2
n1
p
\Bigr) \vargamma
n
(d - 1)\lambda
1 , \vargamma > 0, \lambda \in \BbbR , (40)
якщо \omega \in \Phi \alpha ,l, \gamma <
1
p
.
Нехай \theta = \infty . Тодi, враховуючи (28), (30) та (32), для J1 маємо
J1 \ll
\left( \omega (2 - n1)2
- n+
n1
p
\sum
n\leq \| s\| 1<n1
\biggl( \Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - 1
\| \delta s(f)\| p
\biggr) 2
\omega (2 - \| s\| 1)2\| s\| 1/p
\right) 1
2
\leq
\leq
\Bigl(
\omega (2 - n1)2
- n+
n1
p
\Bigr) 1
2
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
n\leq \| s\| 1<n1
\biggl( \Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - 1
\| \delta s(f)\| p
\biggr)
\times
\times
\left( \sum
n\leq \| s\| 1<n1
\omega (2 - \| s\| 1)2\| s| 1/p
\right) 1
2
\ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
992 С. А. СТАСЮК
\ll
\Bigl(
\omega (2 - n1)2
- n+
n1
p
\Bigr) 1
2 \| f\| MH\omega
p,\infty
\Bigl(
\omega (2 - n1)2n1/pnd - 1
1
\Bigr) 1
2 \ll
\ll \omega
\Bigl(
m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1
\Bigr)
m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)
1+ 1 - q
p . (41)
Таким чином, пiдставляючи (38), (39), (41) в (33), одержуємо оцiнку зверху в (26) для
q \leq \theta \leq \infty .
Перейдемо тепер до розгляду випадкiв 1 < \theta < q, якщо \omega \in \Phi \alpha ,l з деякими
\alpha > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
1
p
- 1
q
;
1
p
- q\prime
q\theta \prime
\biggr\}
=
1
p
- q\prime
q\theta \prime
\gamma <
1
p
та 1 \leq \theta < q,
якщо \omega \in \Phi \alpha ,l з деякими \alpha >
1
p
- 1
q
, \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
. Зауважимо, що в першому з розглядуваних
випадкiв, який вiдповiдає встановленню оцiнки зверху в (26), бiльш суттєвою умовою, яку
будемо брати до уваги, є \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- q\prime
q\theta \prime
. У другому з розглядуваних на даному
етапi доведення випадкiв, який вiдповiдає встановленню оцiнки зверху в (27), бiльш суттєвою
умовою, яку будемо брати до уваги, є \omega \in \Phi \alpha ,l, \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
.
Полiном, що буде реалiзувати для f \in \bfM \bfH \omega
p,\theta потрiбну оцiнку наближення, зобразимо у
виглядi
P (\Theta m) =
\sum
| | s| | 1<n
\delta s(f) +
\sum
n\leq \| s\| 1<n1
P1(\Theta Ks) +
\sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
P2(\Theta Ms,k
), (42)
де P1(\Theta Ks), P2(\Theta Ms,k
) — полiноми, якi побудовано у вiдповiдностi з „блоками” \delta s(f) згiдно з
лемою A i n1 =
qn
2
-
\Bigl( q
2
- 1
\Bigr)
(d - 1) \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n,
n2 =
qn
2
+
q
2
(d - 1) \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n, (43)
Ks =
\Bigl[
(\omega (2 - n1)) - 12n+(\| s\| 1 - n1)/pn
d - 1
\theta \| \delta s(f)\| p
\Bigr]
+ 1, (44)
а
Ms,k =
\Biggl[
(\omega (2 - n1)) - 12
n1
\Bigl(
q\prime
q\theta \prime -
1
p
\Bigr) \Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) 1 - q\prime
2\theta \prime
2
k
2 \| \delta s(f)\| 2
\Biggr]
+ 1 (45)
у випадку 1 < \theta < q, \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, та
Ms,k =
\Biggl[
(\omega (2 - n2)) - 12
n2
\Bigl(
q\prime
q\theta \prime -
1
p
\Bigr) \Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) 1 - q\prime
2\theta \prime
2
k
2 \| \delta s(f)\| 2
\Biggr]
+ 1 (46)
у випадку 1 \leq \theta < q, \omega \in \Phi \alpha ,l, \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
.
Нижче буде встановлено, що кiлькiсть гармонiк полiнома P (\Theta m), який задано форму-
лою (42), не перевищує за порядком m.
Покажемо спочатку, що для f \in \bfM \bfH \omega
p,\theta має мiсце спiввiдношення\sum
n\leq \| s\| 1<n1
\| \delta s(f)\| p2\| s\| 1/p \ll \omega (2 - n1)2n1/pn
d - 1
\theta \prime
1 , (47)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
НАЙКРАЩЕ m-ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 993
яке буде потрiбне для проведення подальших мiркувань.
Дiйсно, використовуючи нерiвнiсть Гельдера, спiввiдношення (24) та (40), при 1 < \theta < q
маємо \sum
n\leq \| s\| 1<n1
\| \delta s(f)\| p 2\| s\| 1/p =
=
\sum
n\leq j<n1
\sum
\| s\| 1=j
\Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - 1
\| \delta s(f)\| p \omega (2 - \| s\| 1)2\| s\| 1/p \leq
\leq
\sum
n\leq j<n1
\left( \sum
\| s\| 1=j
\biggl( \Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - 1
\| \delta s(f)\| p
\biggr) \theta \right) 1
\theta
\left( \sum
\| s\| 1=j
\Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)2\| s\| 1/p
\Bigr) \theta \prime \right) 1
\theta \prime
\leq
\leq \| f\| MH\omega
p,\theta
\sum
n\leq j<n1
\omega (2 - j)2
j
p
\left( \sum
\| s\| 1=j
1
\right) 1
\theta \prime
\ll
\ll
\sum
n\leq j<n1
\omega (2 - j)2
j
p j
d - 1
\theta \prime \ll \omega (2 - n1)2n1/pn
d - 1
\theta \prime
1 .
Вiдповiдна оцiнка при \theta = 1, з урахуванням (40), має вигляд\sum
n\leq \| s\| 1<n1
\| \delta s(f)\| p 2\| s\| 1/p =
=
\sum
n\leq j<n1
\omega (2 - j)2j/p
\sum
\| s\| 1=j
\Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - 1
\| \delta s(f)\| p \leq
\leq \| f\| MH\omega
p,1
\sum
n\leq j<n1
\omega (2 - j)2j/p \ll \omega (2 - n1)2n1/p.
Покажемо, що кiлькiсть гармонiк полiнома
\sum
n\leq \| s\| 1<n1
P1(\Theta Ks) не перевищує за порядком
m. Враховуючи (24), (28), (44) та (47), одержуємо\sum
n\leq \| s\| 1<n1
Ks \ll nd
1 + (\omega (2 - n1)) - 12n - n1/pn
d - 1
\theta
\sum
n\leq \| s\| 1<n1
\| \delta s(f)\| p 2\| s\| 1/p \ll
\ll nd
1 + (\omega (2 - n1)) - 12n - n1/pn
d - 1
\theta \omega (2 - n1)2n1/pn
d - 1
\theta \prime
1 \ll 2nnd - 1 \asymp m. (48)
Тепер перейдемо до встановлення оцiнки зверху величини \| f - P (\Theta m)\| q. Маємо
\| f - P (\Theta m)\| q \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
n\leq \| s\| 1<n1
(\delta s(f) - P1(\Theta Ks))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
+
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
(\delta s(f) - P2(\Theta Ms,k
))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\| s\| 1\geq n2
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
=:
=: J3 + J4 + J5. (49)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
994 С. А. СТАСЮК
Оцiнимо послiдовно кожну iз величин J3, J4 та J5 в (49). Враховуючи (21), лему А, (28),
(30) та (47), як i при оцiнюваннi J1, отримуємо
J3 \ll
\left( \sum
n\leq \| s\| 1<n1
K - 1
s 22\| s\| 1/p\| \delta s(f)\| 2p
\right) 1
2
<
<
\Bigl(
(\omega (2 - n1)) - 12n - n1/pn
d - 1
\theta
\Bigr) - 1
2
\left( \sum
n\leq \| s\| 1<n1
\| \delta s(f)\| p 2\| s\| 1/p
\right) 1
2
\ll
\ll
\Bigl(
(\omega (2 - n1)) - 12n - n1/pn
d - 1
\theta
\Bigr) - 1
2
\biggl(
\omega (2 - n1)2n1/pn
d - 1
\theta \prime
1
\biggr) 1
2
=
= \omega (2 - n1)2
- n
2
+
n1
p n(d - 1)( 1
2
- 1
\theta
) \asymp
\asymp \omega (m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1)m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)
1
\theta \prime +
1 - q
p . (50)
Покажемо, що J3 \ll \omega (m - q
2 )m
q
2
( 1
p
- 1
q
) у випадку 1 \leq \theta < q, \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- 1
q
,
\gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
. Дiйсно, враховуючи (50), умову (2) для \omega \in \Phi \alpha ,l, \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, маємо
J3 \ll
\omega (m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1)\Bigl(
m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1
\Bigr) \gamma \Bigl( m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1
\Bigr) \gamma
m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)
1
\theta \prime +
1 - q
p \ll
\ll \omega (m - q
2 )\Bigl(
m - q
2
\Bigr) \gamma \Bigl( m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1
\Bigr) \gamma
m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)
1
\theta \prime +
1 - q
p <
< \omega (m - q
2 )
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m
\Bigr) (q - 1)( 1
p
- q\prime
q\theta \prime )
m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)
1
\theta \prime +
1 - q
p =
= \omega (m - q
2 )m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
. (51)
Переходячи до оцiнювання доданка J4, попередньо виконаємо дiї, якi спрямованi на опис
побудови полiномiв P2(\Theta Ms,k
) для k \in \BbbN , n1 \leq k < n2 та s : \| s\| 1 = k. Кожному числу k \in \BbbN ,
k \in [n1, n2), поставимо у вiдповiднiсть числа
Sk =
\left( \sum
\| s\| 1=k
\Bigl(
(\omega (2 - \| s\| 1)) - 1\| \delta s(f)\| p
\Bigr) \theta \right) 1
\theta
, (52)
mk =
\Biggl[
2
- kq\prime
q S\theta
k
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2
\Biggr]
+ 1. (53)
Нехай \sum
\| s\| 1=k
\delta s(f) =
\sum
\| s\| 1=k
\prime
\delta s(f) +
\sum
| | s| | 1=k
\prime \prime
\delta s(f), (54)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
НАЙКРАЩЕ m-ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 995
де перша сума у правiй частинi (54) мiстить mk „блокiв” \delta s(f) за тими векторами s, яким
вiдповiдають найбiльшi значення норм \| \delta s(f)\| p, а друга — решту „блокiв” \delta s(f). Полiноми
P2(\Theta Ms,k
) будемо будувати у вiдповiдностi з лемою А, але тiльки для тих блокiв \delta s(f), що
мiстяться пiд знаком першої суми у правiй частинi (54).
Таким чином, згiдно з прийнятими позначеннями можемо записати
J4 \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
n1\leq k<n2
\sum
| | s| | 1=k
\prime
(\delta s(f) - P2(\Theta Ms,k
))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
\prime \prime
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
=: I1 + I2. (55)
Для того щоб проводити подальшi оцiнювання, а також, щоб переконатись у тому, що
кiлькiсть гармонiк полiнома
\sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
P2(\Theta Ms,k
) не перевищує за порядком m,
покажемо спочатку, що виконуються спiввiдношення\sum
n1\leq k<n2
2
k
2
\sum
\| s\| 1=k
\prime
\| \delta s(f)\| 2 \ll \omega (2 - n1)2
n1(
1
p
- q\prime
q\theta \prime )
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime (56)
для 1 < \theta < q, \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, та
\sum
n1\leq k<n2
2
k
2
\sum
| | s| | 1=k
\prime
| | \delta s(f)| | 2 \ll \omega (2 - n2)2
n2(
1
p
- q\prime
q\theta \prime )
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime (57)
для 1 \leq \theta < q, \omega \in \Phi \alpha ,l, \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
.
Використовуючи нерiвностi рiзних метрик Нiкольського та Гельдера, а також враховуючи
(52), (53) та той факт, що \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, одержуємо
\sum
n1\leq k<n2
2
k
2
\sum
\| s\| 1=k
\prime
\| \delta s(f)\| 2 \ll
\sum
n1\leq k<n2
2
k
p
\sum
\| s\| 1=k
\prime
\| \delta s(f)\| p =
=
\sum
n1\leq k<n2
\omega (2 - k)2
k
p
\sum
\| s\| 1=k
\prime
(\omega (2 - \| s\| 1)) - 1\| \delta s(f)\| p \leq
\leq
\sum
n1\leq k<n2
\omega (2 - k)2
k
p
\left( \sum
\| s\| 1=k
\prime \Bigl(
(\omega (2 - | | s| | 1)) - 1\| \delta s(f)\| p
\Bigr) \theta \right) 1
\theta
\left( \sum
\| s\| 1=k
\prime
1
\right) 1
\theta \prime
\leq
\leq
\sum
n1\leq k<n2
\omega (2 - k)2
k
pSkm
1
\theta \prime
k \ll
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime
\sum
n1\leq k<n2
\omega (2 - k)2
k( 1
p
- q\prime
q\theta \prime )S
1+ \theta
\theta \prime
k =
=
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime
\sum
n1\leq k<n2
\omega (2 - k)
2 - \alpha k
2
- k(\alpha - 1
p
+ q\prime
q\theta \prime )S\theta
k \leq
\leq
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime \| f\| \theta MH\omega
p,\theta
\sum
n1\leq k<n2
\omega (2 - k)
2 - \alpha k
2
- k(\alpha - 1
p
+ q\prime
q\theta \prime ) \ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
996 С. А. СТАСЮК
\ll
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime \omega (2
- n1)
2 - \alpha n1
\sum
n1\leq k<n2
2
- k(\alpha - 1
p
+ q\prime
q\theta \prime ) \asymp
\asymp
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime \omega (2
- n1)
2 - \alpha n1
2
- n1(\alpha - 1
p
+ q\prime
q\theta \prime ) = \omega (2 - n1)2
n1(
1
p
- q\prime
q\theta \prime )
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime
. (58)
Як i при встановленнi (58), беручи до уваги той факт, що \omega \in \Phi \alpha ,l, \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, з (58)
маємо \sum
n1\leq k<n2
2
k
2
\sum
\| s\| 1=k
\prime
\| \delta s(f)\| 2 \ll
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime
\sum
n1\leq k<n2
\omega (2 - k)2
k( 1
p
- q\prime
q\theta \prime )S\theta
k \leq
\leq
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime \| f\| \theta MH\omega
p,\theta
\sum
n1\leq k<n2
\omega (2 - k)
2 - \gamma k
2
- k(\gamma - 1
p
+ q\prime
q\theta \prime ) \ll
\ll
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime \omega (2
- n2)
2 - \gamma n2
\sum
n1\leq k<n2
2
- k(\gamma - 1
p
+ q\prime
q\theta \prime ) \asymp \omega (2 - n2)2
n2(
1
p
- q\prime
q\theta \prime )
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2\theta \prime
. (59)
Зауважимо, що у процесi встановлення оцiнок (58) та (59) можна простежити, що мають
мiсце спiввiдношення\sum
n1\leq k<n2
\biggl(
\omega (2 - k)2
k( 1
p
- q\prime
q\theta \prime )
\biggr) q
S\theta
k \ll
\biggl(
\omega (2 - n1)2
n1(
1
p
- q\prime
q\theta \prime )
\biggr) q
, (60)
якщо \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, 1 < \theta < q, та\sum
n1\leq k<n2
\biggl(
\omega (2 - k)2
k( 1
p
- q\prime
q\theta \prime )
\biggr) q
S\theta
k \ll
\biggl(
\omega (2 - n2)2
n2(
1
p
- q\prime
q\theta \prime )
\biggr) q
, (61)
якщо \omega \in \Phi \alpha ,l, \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, 1 \leq \theta < q.
Переконаємось тепер, що кiлькiсть гармонiк полiнома
\sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
P2(\Theta Ms,k
) не
перевищує за порядком m. Беручи до уваги (28), (43), (45) та (56), одержуємо\sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
\prime
Ms,k \ll
\ll nd
2 + (\omega (2 - n1)) - 12
n1(
q\prime
q\theta \prime -
1
p
)
(2nnd - 1)1 -
q\prime
2\theta \prime
\sum
n1\leq k<n2
2
k
2
\sum
\| s\| 1=k
\prime
\| \delta s(f)\| 2 \ll
\ll nd
2 + 2nnd - 1 \asymp 2nnd - 1 \asymp m (62)
у випадку \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, 1 < \theta < q.
Аналогiчно, беручи до уваги (28), (43), (46) та (57), маємо\sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
\prime
Ms,k \ll m (63)
у випадку \omega \in \Phi \alpha ,l, \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, 1 \leq \theta < q.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
НАЙКРАЩЕ m-ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 997
Таким чином, враховуючи (16), (28), (48), (62), (63), переконуємося, що кiлькiсть гармонiк
побудованого полiнома P (\Theta m), який задано формулою (42), не перевищує за порядком m.
Для випадку \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, 1 < \theta < q, згiдно з (21), лемою А, спiввiдношення-
ми (28), (30), (45) i (56), можемо записати
I1 \leq
\left( \sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
\prime
\| \delta s(f) - P2(\Theta Ms,k
)\| 2q
\right) 1
2
\ll
\ll
\left( \sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
\prime
M - 1
s,k 2
\| s\| 1\| \delta s(f)\| 22
\right) 1
2
\ll
\ll
\bigl(
\omega (2 - n1)
\bigr) 1
2 2
n1
2
( 1
p
- q\prime
q\theta \prime )(2nnd - 1)
q\prime
4\theta \prime -
1
2
\left( \sum
n1\leq k<n2
2
k
2
\sum
\| s\| 1=k
\prime
\| \delta s(f)\| 2
\right) 1
2
\ll
\ll \omega (2 - n1)2
n1(
1
p
- q\prime
q\theta \prime )(2nnd - 1)
q\prime
2\theta \prime -
1
2 =
= \omega (2 -
qn
2 n(d - 1)( q
2
- 1))2
qn
2
( 1
p
- 1
q
)
n
(d - 1)((1 - q
2
)( 1
p
- 1
q
)+ 1
q
- 1
\theta
) \asymp
\asymp \omega (m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1)m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)
1
\theta \prime -
q - 1
p . (64)
Якщо ж \omega \in \Phi \alpha ,l, \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, 1 \leq \theta < q, то згiдно з (21), лемою А, спiввiдношеннями
(28), (43), (46) i (57), як i при встановленнi (64), отримуємо
I1 \leq
\left( \sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
\prime
\| \delta s(f) - P2(\Theta Ms,k
)\| 2q
\right) 1
2
\ll
\ll
\bigl(
\omega (2 - n2)
\bigr) 1
2 2
n2
2
( 1
p
- q\prime
q\theta \prime )(2nnd - 1)
q\prime
4\theta \prime -
1
2
\left( \sum
n1\leq k<n2
2
k
2
\sum
\| s\| 1=k
\prime
\| \delta s(f)\| 2
\right) 1
2
\ll
\ll \omega (2 - n2)2
n2(
1
p
- q\prime
q\theta \prime )(2nnd - 1)
q\prime
2\theta \prime -
1
2 =
= \omega
\biggl( \Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) - q
2
\biggr)
(2nnd - 1)
q
2
( 1
p
- 1
q
) \asymp \omega (m - q
2 )m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
. (65)
Перейдемо до оцiнювання доданка I2. Згiдно з нерiвнiстю (22) маємо
I2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
\prime \prime
\delta s(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll
\ll
\left( \sum
n1\leq k<n2
\sum
\| s\| 1=k
\prime \prime \Bigl(
2
\| s\prime \| 1( 1p -
1
q
)\| \delta s(f)\| p
\Bigr) q\right) 1
q
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
998 С. А. СТАСЮК
=
\left( \sum
n1\leq k<n2
2
k( 1
p
- 1
q
)q
\sum
\| s\| 1=k
\prime \prime
\| \delta s(f)\| qp
\right) 1
q
:= I3. (66)
Далi, пронумеруємо величини \| \delta s(f)\| p, що мiстяться в I3, для кожного k, n1 \leq k < n2,
розташувавши їх у порядку спадання i позначивши їх через ai(f, k), i = 1, 2, . . . . Тодi, беручи
до уваги означення (52), можемо записати
ai(f, k) \ll k -
1
\theta \omega (2 - k)Sk. (67)
Використовуючи спiввiдношення (67) та враховуючи (28), (30), (52), (53) i (60), одержуємо
I3 =
\left( \sum
n1\leq k<n2
2
k( 1
p
- 1
q
)q
\sum
i>mk
aq - \theta
i (f, k)a\theta i (f, k)
\right) 1
q
\ll
\ll
\left( \sum
n1\leq k<n2
2
k( 1
p
- 1
q
)q
(\omega (2 - k))q - \theta Sq - \theta
k
\sum
i>mk
i -
q - \theta
\theta a\theta i (f, k)
\right) 1
q
\ll
\ll
\left( \sum
n1\leq k<n2
2
k( 1
p
- 1
q
)q
(\omega (2 - k))qSq - \theta
k m
- q - \theta
\theta
k
\sum
i>mk
(\omega (2 - k)) - \theta a\theta i (f, k)
\right) 1
q
\leq
\leq
\left( \sum
n1\leq k<n2
2
k( 1
p
- 1
q
)q
(\omega (2 - k))qSq - \theta
k m
- q - \theta
\theta
k
\sum
\| s\| 1=k
\biggl( \Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - 1
\| \delta s(f)\| p
\biggr) \theta
\right) 1
q
=
=
\left( \sum
n1\leq k<n2
2
k( 1
p
- 1
q
)q
(\omega (2 - k))qSq
km
- q - \theta
\theta
k
\right) 1
q
\leq
\leq
\left( \sum
n1\leq k<n2
2
k( 1
p
- 1
q
)q
(\omega (2 - k))qS\theta
k
\Biggl(
2
- kq\prime
q
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) q\prime
2
\Biggr) - q - \theta
\theta
\right)
1
q
=
=
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) (\theta - q)q\prime
2q\theta
\left( \sum
n1\leq k<n2
\biggl(
\omega (2 - k)2
k( 1
p
- q\prime
q\theta \prime )
\biggr) q
S\theta
k
\right) 1
q
\ll
\ll
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) (\theta - q)q\prime
2q\theta
\omega (2 - n1)2
n1(
1
p
- q\prime
q\theta \prime ) \asymp
\asymp \omega (m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1)m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)
1
\theta \prime -
q - 1
p (68)
у випадку \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, 1 < \theta < q.
Якщо ж \omega \in \Phi \alpha ,l, \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, 1 \leq \theta < q, то, як i при встановленнi (68), враховуючи (28),
(43) i (61), з (68) отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
НАЙКРАЩЕ m-ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 999
I3 \ll
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) (\theta - q)q\prime
2q\theta
\left( \sum
n1\leq k<n2
\biggl(
\omega (2 - k)2
k( 1
p
- q\prime
q\theta \prime )
\biggr) q
S\theta
k
\right) 1
q
\ll
\ll
\Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) (\theta - q)q\prime
2q\theta
\omega (2 - n2)2
n2(
1
p
- q\prime
q\theta \prime ) = \omega
\biggl( \Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) - q
2
\biggr)
(2nnd - 1)
q
2
( 1
p
- 1
q
) \asymp
\asymp \omega (m - q
2 )m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
. (69)
Нарештi перейдемо до оцiнювання останнього доданка у правiй частинi (49). Згiдно з (28),
(34), (37) та (43), одержуємо
J5 \leq \scrE Qn2
(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q \asymp \omega (2 - n2)2
n2(
1
p
- 1
q
)
=
= \omega
\biggl( \Bigl(
2nnd - 1
\Bigr) - q
2
\biggr)
(2nnd - 1)
q
2
( 1
p
- 1
q
) \asymp \omega (m - q
2 )m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
. (70)
З iншого боку, згiдно з (1), (34), (43), враховуючи умову \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, 1 < \theta < q, та
(28), маємо
J5 \leq \scrE Qn2
(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q \asymp \omega (2 - n2)2
n2(
1
p
- 1
q
)
=
=
\omega (2 -
qn
2 n - (d - 1) q
2 )\Bigl(
2 -
qn
2 n - (d - 1) q
2
\Bigr) \alpha \Bigl( 2 - qn
2 n - (d - 1) q
2
\Bigr) \alpha
2
qn
2
( 1
p
- 1
q
)
n
(d - 1)( 1
p
- 1
q
) q
2 \ll
\ll \omega (2 -
qn
2 n(d - 1)( q
2
- 1))\Bigl(
2 -
qn
2 n(d - 1)( q
2
- 1)
\Bigr) \alpha \Bigl( 2 - qn
2 n - (d - 1) q
2
\Bigr) \alpha
2
qn
2
( 1
p
- 1
q
)
n
(d - 1)( 1
p
- 1
q
) q
2 <
< \omega (2 -
qn
2 n(d - 1)( q
2
- 1))(n(d - 1)(1 - q))
1
p
- q\prime
q\theta \prime 2
qn
2
( 1
p
- 1
q
)
n
(d - 1)( 1
p
- 1
q
) q
2 =
= \omega (2 -
qn
2 n(d - 1)( q
2
- 1))2
qn
2
( 1
p
- 1
q
)
n
(d - 1)(( 1
p
- 1
q
)(1 - q
2
)+ 1
q
- 1
\theta
) \asymp
\asymp \omega (m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1)m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)
1
\theta \prime +
1 - q
p . (71)
Насамкiнець, пiдставляючи (68) у (66), потiм (64), (66) у (55) i, нарештi, (50), (55) та (71) у (49),
одержуємо оцiнку зверху в (26) для 1 < \theta < q, \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, \gamma <
1
p
.
У випадку 1 \leq \theta < q, \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- 1
q
, \gamma <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, пiдставляючи (70) у (66), потiм
(65), (66) у (55) i, на завершення, (51), (55) та (70) у (49), отримуємо оцiнку зверху в (27).
Таким чином, оцiнки зверху в (26) та (27) встановлено.
Тепер перейдемо до встановлення у (26) та (27) вiдповiдних оцiнок знизу, якi, враховуючи
вкладення (9), будемо проводити для класiв \bfM \bfB \omega
p,\theta . Для цього скористаємося спiввiдношенням
двоїстостi (див., наприклад, [26], гл. I, § 1.4, п. 2)
\sigma m(f)q = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
P\in L\bot (\Theta m)
\| P\| q\prime \leq 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (2\pi ) - d
\int
\BbbT d
f(x)P (x) dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (72)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
1000 С. А. СТАСЮК
де L\bot (\Theta m) — множина функцiй, ортогональних пiдпростору тригонометричних полiномiв з
„номерами” гармонiк з множини \Theta m.
Спочатку встановимо оцiнку знизу в (26). Для цього покладемо
j1 =
q
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m - (q - 1)(d - 1) \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m (73)
i побудуємо функцiю P1, що задовольняє умови P1 \in L\bot (\Theta m) та \| P1\| q\prime \leq 1.
Нехай
v1 =
\sum
\| s\| 1=j1
\scrD \rho (s)(x) =
\sum
\| s\| 1=j1
\sum
k\in \rho (s)
ei(k,x),
а \Theta m — довiльна множина векторiв k = (k1, . . . , kd) з \BbbZ d така, що \#\Theta m = m.
Позначимо
u1 =
\sum
k\in \Theta m\cap \{ k:k\in \rho (s), \| s\| 1=j1\}
ei(k,x)
i покладемо
w1 = v1 - u1. (74)
Оцiнимо \| v1\| q\prime та \| u1\| q\prime для 1 < q\prime < 2. Згiдно з (21) та спiввiдношеннями (6), (23) маємо
\| v1\| q\prime \ll
\left( \sum
\| s\| 1=j1
\| \scrD \rho (s)\|
q\prime
q\prime
\right) 1
q\prime
\asymp
\left( \sum
\| s\| 1=j1
2
\| s\| 1(1 - 1
q\prime )q
\prime
\right) 1
q\prime
\asymp 2
j1
q j
d - 1
q\prime
1 , (75)
а враховуючи (73), для \| u1\| q\prime одержуємо
\| u1\| q\prime \leq \| u1\| 2 \leq
\surd
m \asymp 2
j1
q j
d - 1
q\prime
1 . (76)
Тодi, беручи до уваги (74) – (76), робимо висновок, що функцiя
P1 = C5 2
- j1
q j
- d - 1
q\prime
1 w1 (77)
задовольняє умови P1 \in L\bot (\Theta m) та \| P1\| q\prime \leq 1 при деякому значеннi C5 > 0.
Покажемо тепер, що функцiя
g1 = C6\omega (2
- j1)2
- j1(1 - 1
p
)
j
- d - 1
\theta
1 v1 = C6\omega (2
- j1)2
- j1(1 - 1
p
)
j
- d - 1
\theta
1
\sum
\| s\| 1=j1
\scrD \rho (s)(x) (78)
при деякому значеннi C6 > 0 належить до класу \bfM \bfB \omega
p,\theta . Враховуючи (3) – (5), а також (6),
маємо
\| g1\| MB\omega
p,\theta
=
\left( \sum
\| s\| 1=j1
\Bigl(
\omega (2 - \| s\| 1)
\Bigr) - \theta
\| \delta s(g1)\| \theta p
\right) 1
\theta
=
= C62
- j1(1 - 1
p
)
j
- d - 1
\theta
1
\left( \sum
\| s\| 1=j1
\| \scrD \rho (s)\| \theta p
\right) 1
\theta
\ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
НАЙКРАЩЕ m-ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1001
\ll 2
- j1(1 - 1
p
)
j
- d - 1
\theta
1
\left( \sum
\| s\| 1=j1
2
\| s\| 1(1 - 1
p
)\theta
\right) 1
\theta
\ll 1 (79)
при 1 \leq \theta < \infty та
\| g1\| MB\omega
p,\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s : \| s\| 1=j1
\| \delta s(g1)\| p
\omega (2 - \| s\| 1)
= C62
- j1(1 - 1
p
)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s : \| s\| 1=j1
\| \scrD \rho (s)\| p \ll 1 (80)
при \theta = \infty .
Таким чином, з (79), (80) випливає, що g1 \in \bfM \bfB \omega
p,\theta при деякому значеннi C6 > 0.
Тепер, беручи до уваги (15), (16), (72), (73), (77) та (78), маємо
\sigma m(\bfM \bfB \omega
p,\theta )q \geq \sigma m(g1)q \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (2\pi ) - d
\int
\BbbT d
g1(x)P1(x)dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \gg
\gg \omega (2 - j1)2
- j1(1 - 1
p
+ 1
q
)
j
(d - 1)( 1
q
- 1
\theta
- 1)
1 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
(\| v1\| 22 - \| u1\| 22) =
= \omega (2 - j1)2
- j1(1 - 1
p
+ 1
q
)
j
(d - 1)( 1
q
- 1
\theta
- 1)
1 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
k\in Qj1+1\setminus Qj1
\setminus \Theta m
ei(k,\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
2
\gg
\gg \omega (2 - j1)2
- j1(1 - 1
p
+ 1
q
)
j
(d - 1)( 1
q
- 1
\theta
- 1)
1 (2j1jd - 1
1 - m) \asymp \omega (2 - j1)2
j1(
1
p
- 1
q
)
j
(d - 1)( 1
q
- 1
\theta
)
1 \asymp
\asymp \omega (m - q
2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)q - 1)m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1m)
1
\theta \prime +
1 - q
p .
Оцiнку знизу в (26) встановлено.
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу в (27). Для цього покладемо
j2 =
q
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m (81)
та запишемо функцiю P2, що задовольняє умови P2 \in L\bot (\Theta m) та \| P2\| q\prime \leq 1, у виглядi
P2 = C72
- j2
q (v2 - u2), (82)
де
v2 = \scrD \rho (s\ast )(x), (83)
u2 =
\sum
k\in \Theta m\cap \rho (s\ast )
ei(k,x), (84)
а \Theta m — довiльна множина векторiв k = (k1, . . . , kd) з \BbbZ d така, що \#\Theta m = m i s\ast : \| s\ast \| 1 = j2.
В якостi екстремальної розглянемо функцiю
g2 = C8\omega (2
- j2)2
- j2(1 - 1
p
)
v2 = C8\omega (2
- j2)2
- j2(1 - 1
p
)\scrD \rho (s\ast )(x), C8 > 0, (85)
яка при деякому значеннi C8 > 0 належить до класу \bfM \bfB \omega
p,\theta .
Далi, враховуючи (72), (81) – (85), маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
1002 С. А. СТАСЮК
\sigma m(\bfM \bfB \omega
p,\theta )q \geq \sigma m(g2)q \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (2\pi ) - d
\int
\BbbT d
g2(x)P2(x)dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \gg
\gg \omega (2 - j2)2
- j2(1 - 1
p
+ 1
q
)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
(\| v2 - u2\| 22) = \omega (2 - j2)2
- j2(1 - 1
p
+ 1
q
)
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta m
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
k\in \rho (s\ast )\setminus \Theta m
ei(k,\cdot )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
2
\gg
\gg \omega (2 - j2)2
- j2(1 - 1
p
+ 1
q
)
(2j2 - m) \asymp \omega (2 - j2)2
j2(
1
p
- 1
q
) \asymp \omega (m - q
2 )m
q
2
( 1
p
- 1
q
)
.
Оцiнку знизу в (27) встановлено.
Теорему доведено.
Зауваження 1. При \omega (\tau ) = \tau r, де \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
1
p
- 1
q
;
1
p
- q\prime
q\theta \prime
\biggr\}
< r <
1
p
, 1 < \theta \leq \infty , або
1
p
- 1
q
< r <
1
p
- q\prime
q\theta \prime
, 1 \leq \theta < q, теорему для класiв \bfM \bfB r
p,\theta встановив А. С. Романюк [17], а
для класiв \bfM \bfH r
p,\theta (при таких же обмеженнях на параметр r) теорема є новою.
2. Якщо 1 < p < q < \infty , 1 \leq \theta < \infty , \omega \in \Phi \alpha ,l, \alpha >
1
p
- 1
q
, то має мiсце оцiнка
EQn(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q \asymp \scrE Qn(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q \asymp \omega (2 - n)2
n( 1
p
- 1
q
)
n
(d - 1)( 1
q
- 1
\theta
)+ , (86)
яка випливає з (12) та (34) з урахуванням вкладень (9) та нерiвностi (17).
3. Порiвнюючи при m \asymp 2nnd - 1 оцiнки (12) та (86) з (26), (27), бачимо, що при умовах
доведеної теореми оцiнки величин \sigma m(\bfM \bfB \omega
p,\theta )q та \sigma m(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q є кращими за порядком, нiж
оцiнки EQn(\bfM \bfB \omega
p,\theta )q та EQn(\bfM \bfH \omega
p,\theta )q.
Автор висловлює щиру вдячнiсть проф. Романюку А. С. за обговорення результатiв статтi
та зробленi ним кориснi зауваження, якi посприяли покращенню викладу матерiалу.
Лiтература
1. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функ-
ций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
2. Potapov M. K., Simonov B. V., Tikhonov S. Yu. Mixed moduli of smoothness in Lp : a survey // Surv. Approxim.
Theory. – 2013. – 8. – P. 1 – 57.
3. Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным
смешанным модулем непрерывности // Anal. Math. – 1994. – 20, № 1. – P. 35 – 48.
4. Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic functions with bounded
mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – С. 356 – 377.
5. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci., 1993. – 419 p.
6. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – С. 143 – 161.
7. Темляков В. Н. Конструктивные разреженные тригонометрические приближения и другие задачи для функций
смешанной гладкости // Мат. сб. – 2015. – 206, № 11. – С. 131 – 160.
8. Стасюк С. А. Приближение некоторых гладкостных классов периодических функций многих переменных
полиномами по тензорной системе Хаара // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2015. – 21, № 4. –
C. 251 – 260.
9. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 c.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
НАЙКРАЩЕ m-ЧЛЕННЕ ТРИГОНОМЕТРИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1003
10. Stasyuk S. A. Best m-term trigonometric approximation of periodic functions of several variables from Nikol’skii –
Besov classes for small smoothness // J. Approxim. Theory. – 2014. – 177. – P. 1 – 16.
11. Dinh Dung, Temlyakov V. N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation // arXiv: 1601.03978v1 [math.NA] 15 Jan
2016. – P. 1 – 154.
12. Стасюк С. А. Найкращi M -членнi тригонометричнi наближення класiв функцiй багатьох змiнних B\Omega
p,\theta // Укр.
мат. журн. – 2002. – 54, № 3. – С. 381 – 394.
13. Стасюк С. А. Наближення класiв B\Omega
p,\theta перiодичних функцiй багатьох змiнних у рiвномiрнiй метрицi // Укр.
мат. журн. – 2002. – 54, № 11. – С. 1551 – 1559.
14. Конограй А. Ф., Стасюк С. А. Найкращi M -членнi тригонометричнi наближення класiв B\Omega
p,\theta перiодичних
функцiй багатьох змiнних у просторi Lq // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 9. – С. 1206 – 1224.
15. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах гладких периодических функций //
Мат. сб. – 1987. – 132(174), № 1. – С. 20 – 27.
16. Белинский Э. С. Приближение плавающей системой экспонент на класах периодических функций с ограни-
ченной смешанной производной // Исследования по теории функций многих вещественных переменных. –
Ярославль: Яросл. ун-т, 1988. – С. 16 – 33.
17. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова периодических
функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – С. 61 – 100.
18. Стасюк С. А. Наилучшее m-членное тригонометрическое приближение классов B r
p, \theta функций малой глад-
кости // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. – С. 104 – 111.
19. Temlyakov V. N. Constructive sparse trigonometric approximation for functions with small mixed smoothness // arXiv:
1503.00282v1 [math.NA] 1 Mar 2015. – P. 1 – 30.
20. Стасюк С. А. Приближение функций многих переменных классов H\Omega
p полиномами по системе Хаара // Anal.
Math. – 2009. – 35, № 4. – P. 257 – 271.
21. Стасюк С. А. Тригонометричнi поперечники класiв B\Omega
p,\theta перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат.
журн. – 2002. – 54, № 5. – С. 700 – 705.
22. Стасюк С. А., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики класiв B\Omega
p,\theta перiодичних функцiй багатьох
змiнних // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – С. 692 – 704.
23. Duan L. The best m-term approximations on generalized Besov classes MB\Omega
q,\theta with regard to orthogonal dictionari-
es // J. Approxim. Theory. – 2010. – 162. – P. 1964 – 1981.
24. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 с.
25. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – 113 с.
26. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987.
Одержано 16.04.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-1896 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:48Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/12/b48a5ab749ba5291a9f6bbcebab1d812.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18962019-12-05T09:30:55Z Best $m$-term trigonometric approximation for periodic functions with low mixed smoothness from the Nikol’skii – Besov-type classes Найкраще $m$-членне тригонометричне наближення періодичних функцій малої мішаної гладкості з класів типу Нікольського – Бєсова Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. We establish the exact-order estimates of the best $m$-term trigonometric approximation for periodic multivariable functions (with low mixed smoothness) from the Nikol’skii – Besov-type classes. Получены точные по порядку оценки наилучшего $m$-членного тригонометрического приближения периодических функций многих переменных (с малой смешанной гладкостью) из классов типа Никольского – Бесова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1896 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 7 (2016); 983-1003 Український математичний журнал; Том 68 № 7 (2016); 983-1003 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1896/878 Copyright (c) 2016 Stasyuk S. A. |
| spellingShingle | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Best $m$-term trigonometric approximation for periodic functions with low mixed smoothness from the Nikol’skii – Besov-type classes |
| title | Best $m$-term trigonometric approximation for periodic functions with low mixed
smoothness from the Nikol’skii – Besov-type classes |
| title_alt | Найкраще $m$-членне тригонометричне наближення періодичних функцій
малої мішаної гладкості з класів типу Нікольського – Бєсова |
| title_full | Best $m$-term trigonometric approximation for periodic functions with low mixed
smoothness from the Nikol’skii – Besov-type classes |
| title_fullStr | Best $m$-term trigonometric approximation for periodic functions with low mixed
smoothness from the Nikol’skii – Besov-type classes |
| title_full_unstemmed | Best $m$-term trigonometric approximation for periodic functions with low mixed
smoothness from the Nikol’skii – Besov-type classes |
| title_short | Best $m$-term trigonometric approximation for periodic functions with low mixed
smoothness from the Nikol’skii – Besov-type classes |
| title_sort | best $m$-term trigonometric approximation for periodic functions with low mixed
smoothness from the nikol’skii – besov-type classes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1896 |
| work_keys_str_mv | AT stasyuksa bestmtermtrigonometricapproximationforperiodicfunctionswithlowmixedsmoothnessfromthenikolskiibesovtypeclasses AT stasûksa bestmtermtrigonometricapproximationforperiodicfunctionswithlowmixedsmoothnessfromthenikolskiibesovtypeclasses AT stasyuksa najkraŝemčlennetrigonometričnenabližennâperíodičnihfunkcíjmaloímíšanoígladkostízklasívtipuníkolʹsʹkogobêsova AT stasûksa najkraŝemčlennetrigonometričnenabližennâperíodičnihfunkcíjmaloímíšanoígladkostízklasívtipuníkolʹsʹkogobêsova |