On wave operators for the multidimensional electromagnetic Schrödinger operator in divergent form
We prove the existence of wave operators for the multidimensional electromagnetic Schr¨odinger operator in divergent form by the Cook method. Moreover, under certain conditions on the coefficients of the given operator, we establish the isometry of its wave operators and determine the initial domain...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1898 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507785660203008 |
|---|---|
| author | Aliev, A. R. Eyvazov, E. H. Алиев, А. Р. Эйвазов, Э. Х. Алиев, А. Р. Эйвазов, Э. Х. |
| author_facet | Aliev, A. R. Eyvazov, E. H. Алиев, А. Р. Эйвазов, Э. Х. Алиев, А. Р. Эйвазов, Э. Х. |
| author_sort | Aliev, A. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:14Z |
| description | We prove the existence of wave operators for the multidimensional electromagnetic Schr¨odinger operator in divergent form
by the Cook method. Moreover, under certain conditions on the coefficients of the given operator, we establish the isometry
of its wave operators and determine the initial domains of these operators. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.958
А. Р. Алиев (Азерб. гос. ун-т нефти и промышленности, Ин-т математики и механики НАН Азербайджана,
Баку),
Э. Х. Эйвазов (Бакин. гос. ун-т, Ин-т математики и механики НАН Азербайджана, Баку)
О ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРАХ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА
В ДИВЕРГЕНТНОЙ ФОРМЕ
We prove the existence of wave operators for the multidimensional electromagnetic Schrödinger operator in divergent form
by the Cook method. Moreover, under certain conditions on the coefficients of the given operator, we establish the isometry
of its wave operators and determine the initial domains of these operators.
Методом Кука доведено iснування хвильових операторiв для багатовимiрного електромагнiтного оператора Шредiн-
гера у дивергентнiй формi. Крiм того, при певних умовах на коефiцiєнти даного оператора встановлено iзометрич-
нiсть його хвильових операторiв. При цьому знайдено початковi областi цих операторiв.
1. Введение. Рассмотрим в пространстве L2(Rn), n \geq 3, электромагнитное выражение Шре-
дингера в дивергентной форме
H(a; b; c) =
n\sum
j,k=1
\biggl(
1
i
\partial
\partial xj
+ bj(x)
\biggr)
ajk(x)
\biggl(
1
i
\partial
\partial xk
+ bk(x)
\biggr)
+ c(x), (1)
где i =
\surd
- 1, x = (x1, x2, . . . , xn) \in Rn, a(x) = (ajk(x))1\leq j,k\leq n — матрица-функция, b(x) =
=
\bigl(
b1(x), b2(x), . . . , bn(x)
\bigr)
— магнитный потенциал, c(x) — вещественный электрический по-
тенциал.
Предположим, что коэффициенты ajk(x), bj(x), j, k = 1, 2, . . . , n, и c(x) удовлетворяют
следующим условиям:
условию А:
a1) a(x) =
\bigl(
ajk(x)
\bigr)
1\leq j,k\leq n
— симметрично вещественная матрица-функция,
a2) для каждого x \in Rn a(x) — положительно определенная матрица (условие эллиптич-
ности),
a3) ajk(x) \in C(2)(Rn), j, k = 1, 2, . . . , n,
a4)
\partial ajk(x)
\partial xj
\in L\infty (Rn), j, k = 1, 2, . . . , n,
a5) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}| x| \rightarrow +\infty
\Bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\omega \in Sn - 1
| ajk(x) - \delta jk|
\Bigr\}
= 0, j, k = 1, 2, . . . , n, где Sn - 1 — единичная
сфера в Rn, x = | x| \omega , \delta jk — символ Кронекера;
условию B:
b1) bj(x), j = 1, 2, . . . , n, — вещественнозначные функции в Rn,
b2) bj(x) \in C(1)(Rn), j = 1, 2, . . . , n,
b3)
\partial bk(x)
\partial xj
\in L\infty (Rn), j, k = 1, 2, . . . , n;
c\bigcirc А. Р. АЛИЕВ, Э. Х. ЭЙВАЗОВ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8 1011
1012 А. Р. АЛИЕВ, Э. Х. ЭЙВАЗОВ
условию C:
c(x) \in
\left\{ L2(Rn) + L\infty (Rn), n = 3,
Lp(Rn) + L\infty (Rn), p >
n
2
, n \geq 4.
При условиях A – C выражение H(a; b; c) корректно определено в C\infty
0 (Rn)
\bigl(
множестве всех
комплекснозначных функций из C\infty (Rn) с компактным носителем в Rn
\bigr)
и порождает неогра-
ниченный симметрический оператор в L2(Rn). Для физиков существенная самосопряженность
этого оператора является начальной точкой любого дальнейшего исследования соответству-
ющей квантовой системы, в которой этот оператор используется в качестве гамильтониана
(см., например, [1, 2]).
Обозначим замыкание симметрического оператора H0(a; b; c) с областью определения
\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(H0(a; b; c)) = C\infty
0 (Rn), порожденного эллиптическим дифференциальным выражени-
ем (1), через H. Будем называть его электромагнитным оператором Шредингера в дивергентной
форме. Замыкание же оператора - \Delta в C\infty
0 (Rn) обозначим через H0. Очевидно, что H0 явля-
ется самосопряженным абсолютно непрерывным оператором с областью определения W 2
2 (Rn)
(пространство Соболева). В работе [3] доказаны самосопряженность оператора H и совпаде-
ние его области определения с W 2
2 (Rn). Отметим, что совпадение области определения этих
операторов играет важную роль при исследовании задачи теории рассеяния.
Рассмотрим однопараметрические группы e - itH , e - itH0 \equiv eit\Delta , порожденные операторами
- iH, - iH0 \equiv i\Delta соответственно, и однопараметрическое семейство унитарных операторов
W (t) = eitHeit\Delta , - \infty < t < +\infty . Нас интересует асимптотическое поведение семейства
\{ W (t)\} при t \rightarrow \pm \infty , которое важно для физических приложений, поскольку W (t) использу-
ется для описания движения квантово-механической системы в так называемом представлении
взаимодействия. Сильные пределы W\pm семейства \{ W (t)\} при t \rightarrow \pm \infty , если они существуют,
называются волновыми операторами, соответствующими паре (H,H0), а S = W \ast
+W - называ-
ется оператором рассеяния. Они являются основными величинами в теории рассеяния.
В настоящей работе для электромагнитного оператора Шредингера в дивергентной форме
мы исследуем вопросы существования его волновых операторов.
2. Теорема о существовании волновых операторов и вспомогательные утверждения.
Для доказательства существования волновых операторов будем использовать метод Кука, кото-
рый заключается в следующем.
Предложение (метод Кука) (см. [4, с. 31], теорема ХI.4 или [5, с. 659], теорема 3.7). Пусть
A и B — самосопряженные операторы, действующие в гильбертовом пространстве E. Пред-
положим, что существует множество
D \subset \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(B) \cap Pac(B)E,
которое плотно в Pac(B)E так, что для любого \varphi \in D найдется T0, удовлетворяющее
условиям:
(a) e - iBt\varphi \in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(A) при | t| > T0,
(b)
\int +\infty
T0
\Bigl[
\| (B - A)e - iBt\varphi \| + \| (B - A)eiBt\varphi \|
\Bigr]
dt < +\infty .
Тогда W\pm := W\pm (A,B) существуют.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
О ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРАХ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ОПЕРАТОРА . . . 1013
Здесь под обозначением Pac(B)E понимается абсолютно непрерывное подпространство
оператора B, а Pac(B) — проектор на это подпространство оператора B.
Поскольку волновые операторы существуют лишь при довольно сильных ограничениях,
на коэффициенты ajk(x), j, k = 1, 2, . . . , n, bk(x), k = 1, 2, . . . , n, и c(x), удовлетворяющие
условиям A – C, необходимо накладывать еще дополнительные условия. Чтобы сформулировать
эти условия, как и в [6], представим разность H - H0 в виде
H - H0 = A1 +A2 +A3 +A4, (2)
где операторы A1, A2, A3 и A4 порождаются выражениями
\ell A1 :=
n\sum
j,k=1
\alpha jk(x)DjDk, \alpha jk(x) = ajk(x) - \delta jk, j, k = 1, 2, . . . , n,
\ell A2 :=
n\sum
j=1
\beta j(x)Dj , \beta j(x) =
n\sum
k=1
Dkajk(x) + 2
n\sum
k=1
ajk(x)bk(x), j = 1, 2, . . . , n,
\ell A3 := \gamma (x) =
n\sum
j,k=1
Dj (ajk(x)bk(x)) +
n\sum
j,k=1
ajk(x)bj(x)bk(x)
и
\ell A4 := c(x)
соответственно. Здесь Dm :=
\partial
\partial xm
.
Условие D:
для некоторого положительного числа h выполняются
d1)
\int
Rn
\bigl(
1 + | x|
\bigr) 2 - n+h\bigm| \bigm| \alpha jk(x)
\bigm| \bigm| 2dx < +\infty , j, k = 1, 2, . . . , n,
d2)
\int
Rn
\bigl(
1 + | x|
\bigr) 2 - n+h\bigm| \bigm| \beta j(x)\bigm| \bigm| 2dx < +\infty , j = 1, 2, . . . , n,
d3)
\int
Rn
\bigl(
1 + | x|
\bigr) 2 - n+h\bigm| \bigm| \gamma (x)\bigm| \bigm| 2dx < +\infty ,
d4) c(x) \in Lp(Rn), p < n.
Теорема. Пусть выполняются условия A – D. Тогда W\pm существуют и являются час-
тично изометрическими операторами с начальным пространством L2(Rn).
Для доказательства теоремы нам понадобятся следующие леммы.
Лемма 1. Для любого положительного числа \sigma множество
D =
\Bigl\{
e - \sigma | x - a| 2
\Bigr\}
a\in Rn
всюду плотно в L2(Rn), где | x - a| 2 =
\sum n
k=1
(xk - ak)
2.
Доказательство. Пусть существует функция g(x) из L2(Rn) такая, что для любого a \in Rn\int
Rn
g(x)e - \sigma | x - a| 2dx = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1014 А. Р. АЛИЕВ, Э. Х. ЭЙВАЗОВ
Тогда по равенству Парсеваля имеем
\int
Rn
\~g(p)
\left[ \int
Rn
e - \sigma | x - a| 2ei(p,x)dx
\right] dp = 0,
где \~g(p) — преобразование Фурье функции g(x), а (p, x) = p1x1 + p2x2 + . . .+ pnxn. Элемен-
тарные вычисления показывают, что для любого a \in Rn\Bigl( \pi
\sigma
\Bigr) n/2
\int
Rn
\Biggl[
\~g(p)e -
| p| 2
4\sigma
\Biggr]
ei(p,a)dp = 0,
где | p| 2 = p2
1
+ p2
2
+ . . .+ p2
n
. Отсюда следует, что \~g(p)e -
| p| 2
4\sigma = 0 почти всюду, следовательно,
g(x) = 0 в L2(Rn).
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Для любого положительного числа s
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq r<+\infty
\biggl\{
rme -
r2
2s
\biggr\}
=
\left\{ (sm)m/2e - m/2, m > 0,
1, m = 0.
Доказательство леммы тривиально. Отметим, что эта лемма ранее использовалась в рабо-
тах [5, с. 662; 6].
Лемма 3. Для любого положительного числа \sigma и любого натурального n справедливо
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) = ( - 1)n - 1
\Gamma
\biggl(
n - 1
2
\biggr) e
- \sigma | x - a| 2
1+4t\sigma i
(1 + 4t\sigma i)n/2
, (3)
где \Gamma — эйлеров интеграл первого рода.
Доказательство. Учитывая, что eit\Delta является интегральным оператором с ядром
ei
| x - a| 2
4t
(4\pi it)n/2
,
имеем
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) =
=
1
(4\pi it)n/2
\int
Rn
e
i| x - y| 2
4t e - \sigma | y - a| 2dy =
1
(4\pi it)n/2
\int
Rn
e - \sigma | \eta | 2ei
| \eta - (x - a)| 2
4t d\eta .
Направляя ось \eta n в направлении вектора x - a и переходя от переменных \eta к полярным
координатам, получаем
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) =
=
e
i| x - a| 2
4t \sigma n - 1
(4\pi it)n/2
+\infty \int
0
\left\{
\pi \int
0
ei
r| x - a|
2t cos\varphi 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n - 2 \varphi 1d\varphi 1
\right\} rn - 1e - \sigma r2+i
r2
4t dr, (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
О ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРАХ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ОПЕРАТОРА . . . 1015
где \sigma n - 1 — площадь поверхности единичной сферы в Rn - 1. Переходя к новым переменным
k =
r| x - a|
2t
, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi 1 = \xi , приводим внутренний интеграл в (4) к виду
\pi \int
0
e -
r| x - a|
2t cos\varphi 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n - 2 \varphi 1d\varphi 1 =
1\int
- 1
(1 - \xi )(n - 1)/2 - 1(1 + \xi )(n - 1)/2 - 1e - ik\xi d\xi .
Используя формулу (см. [7, с. 335], формула 3.387, 2)
1\int
- 1
(1 - \xi )
n - 1
2 - 1(1 + \xi )
n - 1
2 - 1e - ik\xi d\xi =
\surd
\pi
\biggl(
2
- k
\biggr) (n - 2)/2
\Gamma
\biggl(
n - 1
2
\biggr)
Jn - 1
2 - 1
2
( - k) ,
где J\nu — функция Бесселя порядка \nu , имеем
\pi \int
0
e -
r| x - a|
2t cos\varphi 1 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n - 2 \varphi 1d\varphi 1 =
= ( - 1)
n - 2
2
\surd
\pi \Gamma
\biggl(
n - 1
2
\biggr)
2n - 2 t
n - 2
2\bigl(
r| x - a|
\bigr) n - 2
2
Jn - 2
2
\biggl(
- r| x - a|
2t
\biggr)
. (5)
Используя формулы (4) и (5), получаем
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) = \sigma n - 1( - 1)
n - 2
2
\surd
\pi 2n - 2\Gamma
\biggl(
n - 1
2
\biggr)
t
n - 2
2
| x - a|
n - 2
2 (4\pi it)
n
2
e
i| x - a| 2
4t \times
\times
+\infty \int
0
r
n
2 e
-
\Bigl(
\sigma - i
1
4t
\Bigr)
r2
Jn - 2
2
\biggl(
- r| x - a|
2t
\biggr)
dr. (6)
Теперь вычислим интеграл
+\infty \int
0
r
n
2 e
-
\Bigl(
\sigma - i
1
4t
\Bigr)
r2
Jn - 2
2
\biggl(
- r| x - a|
2t
\biggr)
dr.
Обозначая z = - r| x - a|
2t
, имеем
+\infty \int
0
r
n
2 e
-
\Bigl(
\sigma - i
1
4t
\Bigr)
r2
Jn - 2
2
\biggl(
- r| x - a|
2t
\biggr)
dr =
= ( - 1)
n
2
\biggl(
2t
| x - a|
\biggr) n
2 +1
+\infty \int
0
e
-
\Bigl(
\sigma - i
1
4t
\Bigr)
4t2
| x - a| 2 z
2
z
n
2 Jn - 2
2
(z) dz. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1016 А. Р. АЛИЕВ, Э. Х. ЭЙВАЗОВ
Учитывая (7) в (6), находим
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) =
=
\sigma n - 1
\surd
\pi ( - 1)n - 12
3n - 2
2 tn
(4\pi it)
n
2 | x - a| n
e
i| x - a| 2
4t
+\infty \int
0
e
-
\Bigl(
\sigma - i
1
4t
\Bigr) \Bigl(
2tz
| x - a|
\Bigr) 2
z
n
2 Jn - 2
2
(z) dz. (8)
Обозначая \alpha =
\biggl(
\sigma - i
1
4t
\biggr)
4t2
| x - a| 2 и \nu =
n
2
- 1, имеем
+\infty \int
0
e
-
\Bigl(
\sigma - i
1
4t
\Bigr)
4t2
| x - a| 2
z2
z
n
2 Jn
2 - 1(z)dz =
+\infty \int
0
e - \alpha z2z\nu +1J\nu (z)dz. (9)
Используя формулу (см. [7, с. 731], формула 6.631, 4)
+\infty \int
0
e - \alpha x2
x\nu +1J\nu (\beta x)dx =
\beta \nu
(2\alpha )\nu +1 e
- \beta 2
4\alpha ,
записываем равенство (9) в виде
+\infty \int
0
e
-
\Bigl(
\sigma - i
1
4t
\Bigr)
4t2
| x - a| 2
z2
zn/2Jn
2 - 1(z)dz =
1\biggl[
2
\biggl(
\sigma - i
1
4t
\biggr)
4t2
| x - a| 2
\biggr] n/2 e -
| x - a| 2
4
\Bigl(
\sigma - i
1
4t
\Bigr)
4t2
. (10)
Согласно формуле (10) равенство (8) принимает вид
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) =
=
\sigma n - 1
\surd
\pi ( - 1)n - 12
3n - 2
2 tn
(4\pi it)n/2 | x - a| n
e
i| x - a| 2
4t
e
- | x - a| 2
16t2
\Bigl(
\sigma - i
1
4t
\Bigr)
\biggl[
2
\biggl(
\sigma - i
1
4t
\biggr)
4t2
| x - a| 2
\biggr] n/2 =
( - 1)n - 1\sigma n - 1
2\pi (n - 1)/2
e
- \sigma | x - a| 2
1+4t\sigma i
(1 + 4t\sigma i)n/2
.
(11)
Из формулы (11) и равенства \sigma n - 1 =
2\pi (n - 1)/2
\Gamma ((n - 1)/2)
получаем равенство (3).
Лемма 3 доказана.
3. Доказательство основного результата. Доказательство теоремы. Докажем сущест-
вование W+ (существование W - доказывается аналогично). Так как в данном случае оператор
B := - \Delta \equiv H0 спектрально абсолютно непрерывен, т. е. Pac( - \Delta )E = L2(Rn), и области
определений операторов A := H и B := - \Delta совпадают с пространством W 2
2 (Rn) (см. [3]), из
леммы 3 следует, что условие (a) метода Кука выполняется. Докажем, что и условие (b) метода
Кука также имеет место. Из представления (2) следует, что для этого достаточно доказать, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
О ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРАХ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ОПЕРАТОРА . . . 1017
+\infty \int
0
\bigm\| \bigm\| Ameit\Delta u(x)
\bigm\| \bigm\|
L2(Rn)
dt < +\infty \forall u(x) \in D, m = 1, 2, 3, 4. (12)
Рассмотрим отдельно каждый из четырех случаев.
1. Случай m = 3. Из леммы 3 получаем
\bigm| \bigm| \bigm| \gamma (x)eit\Delta \bigl( e - \sigma | x - a| 2\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq M
| \gamma (x)|
| x - a|
n - 2 - h
2
| x - a|
n - 2 - h
2 e -
| x - a| 2
2s
(1 + 16t2\sigma 2)
n
4
, (13)
где h — число, содержащееся в условии D, s =
1 + 16t2\sigma 2
2\sigma
, а M — положительное постоянное
число. Отметим, что для обозначения абсолютной положительной постоянной необязательно
использование одной и той же буквы, мы используем букву M.
Учитывая получаемое из леммы 2 неравенство
| x - a|
n - 2 - h
2 e -
| x - a| 2
2s \leq s
\biggl(
n - 2 - h
2
\biggr) n - 2 - h
4
e -
n - 2 - h
4
в неравенстве (13), имеем\bigm| \bigm| \bigm| \gamma (x)eit\Delta \bigl( e - \sigma | x - a| 2\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2 \leq M
| \gamma (x)|
| x - a| n - 2 - h
1
(1 + 16t2\sigma 2)1+
h
2
. (14)
Замечая, что функция
| \gamma (x)|
| x - a| n - 2 - h
интегрируется и в окрестности точки x = a (в силу условий
A – C), и в окрестности бесконечно удаленной точки (в силу условия d3)), из (14) получаем
оценку
\bigm\| \bigm\| \bigm\| A3e
it\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2(Rn)
\leq M
\left\{
\int
Rn
| \gamma (x)| 2
| x - a| n - 2 - h
dx
\right\}
1/2
1
(1 + 16t2\sigma 2)
1
2+
h
4
. (15)
Из оценки (15) следует неравенство (12) при m = 3.
2. Случай m = 2. Замечая, что
1
i
\partial
\partial xj
\Bigl\{
eit\Delta
\Bigl(
e - \sigma | x - a| 2
\Bigr) \Bigr\}
=
( - 1)n - 12\sigma i
\Gamma
\biggl(
n - 1
2
\biggr) xj - aj
(1 + 4t\sigma i)
n+2
2
e
- \sigma | x - a| 2
1+4t\sigma i , j = 1, 2, . . . , n,
используя лемму 2, получаем оценки
\bigm| \bigm| \bigm| \beta j(x)Dj
\Bigl[
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) \Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| \leq M | \beta j(x)| | x - a|
n - h
2 e -
| x - a| 2
2s
| x - a|
n - 2 - h
2 (1 + 16t2\sigma 2)
n+2
4
\leq
\leq M | \beta j(x)|
| x - a|
n - 2 - h
2
s
n - h
4
(1 + 16t2\sigma 2)
n+2
4
\leq M | \beta j(x)|
| x - a|
n - 2 - h
2
1
(1 + 16t2\sigma 2)
1
2+
h
4
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1018 А. Р. АЛИЕВ, Э. Х. ЭЙВАЗОВ
Рассуждая, как и в случае 1, имеем\bigm\| \bigm\| \bigm\| \beta j(x)Dj
\Bigl[
eit\Delta (e - \sigma | x - a| 2)
\Bigr] \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2(Rn)
\leq
\leq M
\left\{
\int
Rn
| \beta j(x)| 2
| x - a| n - 2 - h
dx
\right\}
1/2
1
(1 + 16t2\sigma 2)
1
2+
h
4
, j = 1, 2, . . . , n. (16)
Из оценок (16) следует неравенство (12) при m = 2.
3. Случай m = 1. Легко можно убедиться, что
D2
j
\Bigl[
eit\Delta
\Bigl(
e - \sigma | x - a| 2
\Bigr) \Bigr]
=
2\sigma ( - 1)n - 1
\Gamma
\biggl(
n - 1
2
\biggr)
(1 + 4t\sigma i)
n+2
2
e
- \sigma | x - a| 2
1+4t\sigma i -
- 4\sigma 2( - 1)n - 1(xj - aj)
2
\Gamma
\biggl(
n - 1
2
\biggr)
(1 + 4t\sigma i)
n+4
2
e
- \sigma | x - a| 2
1+4t\sigma i , j = 1, 2, . . . , n, (17)
и
DjDk
\Bigl[
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) \Bigr] =
=
4\sigma 2( - 1)n - 1(xj - aj)(xk - ak)
\Gamma
\biggl(
n - 1
2
\biggr)
(1 + 4t\sigma i)
n+4
2
e
- \sigma | x - a| 2
1+4t\sigma i , j, k = 1, 2, . . . , n, j \not = k. (18)
Тогда из представлений (18) получаем
\bigm| \bigm| \bigm| \alpha jk(x)DjDk
\Bigl[
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) \Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| \leq M
| \alpha jk(x)|
| x - a|
n - 2 - h
2
| x - a|
2+n - h
2
(1 + 16t2\sigma 2)
n+2
4
e -
| x - a| 2
2s .
Отсюда в силу леммы 3 имеем неравенство\bigm| \bigm| \bigm| \alpha jk(x)DjDk
\Bigl[
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) \Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| \leq M
| \alpha jk(x)|
| x - a|
n - 2 - h
2
1
(1 + 16t2\sigma 2)
n+4
4
s
2+n - h
2 ,
из которого следует, что\bigm| \bigm| \bigm| \alpha jk(x)DjDk
\Bigl[
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) \Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| 2 \leq M
| \alpha jk(x)| 2
| x - a| n - 2 - h
1
(1 + 16t2\sigma 2)
2+h
2
.
Рассуждая, как и в случае 1, из условий A – D получаем
+\infty \int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \alpha jk(x)DjDk
\Bigl[
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) \Bigr] \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2(Rn)
dt \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
О ВОЛНОВЫХ ОПЕРАТОРАХ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ОПЕРАТОРА . . . 1019
\leq M
\left\{
\int
Rn
| \alpha jk(x)| 2
| x - a| n - 2 - h
dx
\right\}
1/2 +\infty \int
0
dt
(1 + 16t2\sigma 2)
1
2+
h
4
, j, k = 1, 2, . . . , n, j \not = k.
Из представлений (17) имеем
\bigm| \bigm| \bigm| \alpha jj(x)D
2
j
\Bigl[
eit\Delta
\bigl(
e - \sigma | x - a| 2\bigr) \Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \alpha jj(x)
2\sigma ( - 1)n - 1
\Gamma
\biggl(
n - 1
2
\biggr)
(1 + 4t\sigma i)
n+4
2
e
- \sigma | x - a| 2
1+4t\sigma i
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \alpha jj(x)
4\sigma 2( - 1)n - 1(xj - aj)
2
\Gamma
\biggl(
n - 1
2
\biggr)
(1 + 4t\sigma i)
n+4
2
e
- \sigma | x - a| 2
1+4t\sigma i
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \equiv J
(1)
j (x, t) + J
(2)
j (x, t), j = 1, 2, . . . , n.
Действуя, как и при j \not = k, для J
(2)
j (x, t), j = 1, 2, . . . , n, устанавливаем неравенства
+\infty \int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| J (2)
j (x, t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2(Rn)
dt \leq
\leq M
\left\{
\int
Rn
| \alpha jj(x)| 2
| x - a| n - 2 - h
dx
\right\}
1/2 +\infty \int
0
dt
(1 + 16t2\sigma 2)
1
2+
h
4
, j = 1, 2, . . . , n. (19)
Используя лемму 2, оцениваем J
(1)
j (x, t), j = 1, 2, . . . , n :
\bigm| \bigm| \bigm| J (1)
j (x, t)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq M
| \alpha jj(x)|
| x - a|
n - 2 - h
2
| x - a|
n - 2 - h
2
(1 + 16t2\sigma 2)
n+2
4
\leq M
| \alpha jj(x)|
| x - a|
n - 2 - h
2
1
(1 + 16t2\sigma 2)
4+h
2
.
Отсюда имеем
+\infty \int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| J (1)
j (x, t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2(Rn)
dt \leq
\leq M
\left\{
\int
Rn
| \alpha jj(x)| 2
| x - a| n - 2 - h
dx
\right\}
1/2 +\infty \int
0
dt
(1 + 16t2\sigma 2)1+
h
2
, j = 1, 2, . . . , n. (20)
Из оценок (19) и (20) следует неравенство (12) при m = 1.
4. Случай m = 4. Поскольку случай n = 3 исследован в [5, с. 661, 662], считаем, что n > 3.
Пусть \ell > 1, \tau > 1 и
1
\ell
+
1
\tau
= 1. Используя лемму 3 и неравенство Коши – Буняковского,
получаем \int
Rn
\bigm| \bigm| \bigm| c(x)eit\Delta \bigl( e - \sigma | x - a| 2\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2 dx \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1020 А. Р. АЛИЕВ, Э. Х. ЭЙВАЗОВ
\leq M
\left\{
\int
Rn
| c(x)| 2\ell dx
\right\}
1/\ell
1
(1 + 16t2\sigma 2)
n
2
\left\{
\int
Rn
e
- 2\sigma \tau
1+16t2\sigma 2 | x - a| 2
dx
\right\}
1/\tau
. (21)
Учитывая равенство \int
Rn
e
- 2\sigma \tau
1+16t2\sigma 2 | x - a| 2
dx =
\Bigl( \pi
2\sigma \tau
\Bigr) n/2
(1 + 16t2\sigma 2)n/2,
из (21) имеем
\int
Rn
\bigm| \bigm| \bigm| c(x)eit\Delta \bigl( e - \sigma | x - a| 2\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2 dx \leq M
\left\{
\int
Rn
| c(x)| 2\ell dx
\right\}
1/\ell
1
(1 + 16t2\sigma 2)
n
2
\tau - 1
\tau
. (22)
Выбирая в (22) 2\ell = p и учитывая, что
\tau - 1
\tau
=
2
p
, из (22) получаем
+\infty \int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| c(x)eit\Delta \bigl( e - \sigma | x - a| 2\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2(Rn)
dt \leq M \| c(x)\| Lp(Rn)
+\infty \int
0
dt
(1 + 16t2\sigma 2)
n
2p
.
Из условия же d4) следует неравенство (12) при m = 4.
Таким образом, и условие (b) метода Кука выполняется. Поэтому первая часть теоремы о су-
ществовании волновых операторов W\pm доказана. Вторая часть теоремы следует из теоремы 3.2
монографии [5, с. 656].
Теорема доказана.
Замечание. Данная теорема для оператора Шредингера установлена Като [5, с. 661, 662]
при n = 3, p = 2, Куком и Хаком [4, с. 65] (теорема XI.24) при n = 3, 2 \leq p < 3, Браунеллом [8]
для произвольного n и p < n, а для магнитного оператора Шредингера – Икэбе и Тайоси [6]
при n = 3, p = 2. Отметим, что данная работа главным образом инициирована результатами
последних двух авторов.
Литература
1. Браверман М. Ш., Милатович О., Шубин М. А. Существенная самосопряженность операторов типа Шредин-
гера на многообразиях // Успехи мат. наук. – 2002. – 57, № 4(346). – С. 3 – 58.
2. Алиев А. Р., Эйвазов Э. Х. О существенной самосопряженности оператора Шредингера в магнитном поле //
Теор. и мат. физика. – 2011. – 166, № 2. – С. 266 – 271.
3. Aliev A. R., Eyvazov E. H. Description of the domain of definition of the electromagnetic Schrödinger operator in
divergence form // Eurasian Math. J. – 2014. – 5, № 4. – P. 134 – 138.
4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: Т. 3. Теория рассеяния. – М.: Мир, 1982. –
443 с.
5. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир, 1972. – 740 с.
6. Ikebe T., Tayoshi T. Wave and scattering operators for second-order elliptic operators in R3 // Publ. Res. Inst. Math.
Sci., Kyoto Univ. Ser. A. – 1968/1969. – 4. – P. 483 – 496.
7. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – 4-е изд. – М.: Физматгиз,
1963. – 1108 с.
8. Brownell F. H. A note on Cook’s wave-matrix theorem // Pacif. J. Math. – 1962. – 12, № 1. – P. 47 – 52.
Получено 23.02.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1898 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:50Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/22/362f1df242cb9bbed8edd7a11d799022.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18982019-12-05T09:31:14Z On wave operators for the multidimensional electromagnetic Schrödinger operator in divergent form О волновых операторах для многомерного электромагнитного оператора Шредингера в дивергентной форме Aliev, A. R. Eyvazov, E. H. Алиев, А. Р. Эйвазов, Э. Х. Алиев, А. Р. Эйвазов, Э. Х. We prove the existence of wave operators for the multidimensional electromagnetic Schr¨odinger operator in divergent form by the Cook method. Moreover, under certain conditions on the coefficients of the given operator, we establish the isometry of its wave operators and determine the initial domains of these operators. Методом Кука доведено iснування хвильових операторiв для багатовимiрного електромагнiтного оператора Шредiнгера у дивергентнiй формi. Крiм того, при певних умовах на коефiцiєнти даного оператора встановлено iзометричнiсть його хвильових операторiв. При цьому знайдено початковi областi цих операторiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1898 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 8 (2016); 1011-1020 Український математичний журнал; Том 68 № 8 (2016); 1011-1020 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1898/880 Copyright (c) 2016 Aliev A. R.; Eyvazov E. H. |
| spellingShingle | Aliev, A. R. Eyvazov, E. H. Алиев, А. Р. Эйвазов, Э. Х. Алиев, А. Р. Эйвазов, Э. Х. On wave operators for the multidimensional electromagnetic Schrödinger operator in divergent form |
| title | On wave operators for the multidimensional electromagnetic
Schrödinger operator in divergent form |
| title_alt | О волновых операторах для многомерного электромагнитного
оператора Шредингера в дивергентной форме |
| title_full | On wave operators for the multidimensional electromagnetic
Schrödinger operator in divergent form |
| title_fullStr | On wave operators for the multidimensional electromagnetic
Schrödinger operator in divergent form |
| title_full_unstemmed | On wave operators for the multidimensional electromagnetic
Schrödinger operator in divergent form |
| title_short | On wave operators for the multidimensional electromagnetic
Schrödinger operator in divergent form |
| title_sort | on wave operators for the multidimensional electromagnetic
schrödinger operator in divergent form |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1898 |
| work_keys_str_mv | AT alievar onwaveoperatorsforthemultidimensionalelectromagneticschrodingeroperatorindivergentform AT eyvazoveh onwaveoperatorsforthemultidimensionalelectromagneticschrodingeroperatorindivergentform AT alievar onwaveoperatorsforthemultidimensionalelectromagneticschrodingeroperatorindivergentform AT éjvazovéh onwaveoperatorsforthemultidimensionalelectromagneticschrodingeroperatorindivergentform AT alievar onwaveoperatorsforthemultidimensionalelectromagneticschrodingeroperatorindivergentform AT éjvazovéh onwaveoperatorsforthemultidimensionalelectromagneticschrodingeroperatorindivergentform AT alievar ovolnovyhoperatorahdlâmnogomernogoélektromagnitnogooperatorašredingeravdivergentnojforme AT eyvazoveh ovolnovyhoperatorahdlâmnogomernogoélektromagnitnogooperatorašredingeravdivergentnojforme AT alievar ovolnovyhoperatorahdlâmnogomernogoélektromagnitnogooperatorašredingeravdivergentnojforme AT éjvazovéh ovolnovyhoperatorahdlâmnogomernogoélektromagnitnogooperatorašredingeravdivergentnojforme AT alievar ovolnovyhoperatorahdlâmnogomernogoélektromagnitnogooperatorašredingeravdivergentnojforme AT éjvazovéh ovolnovyhoperatorahdlâmnogomernogoélektromagnitnogooperatorašredingeravdivergentnojforme |