Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. II
In the space $L_2$, we determine the exact values of some $n$-widths for the classes of functions such that the generalized moduli of continuity of their $(\psi, \beta)$ - derivatives or their averages with weight do not exceed the values of the majorants $\Phi$ satisfying certain conditions. Speci...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1899 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507786754916352 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:14Z |
| description | In the space $L_2$, we determine the exact values of some $n$-widths for the classes of functions such that the generalized
moduli of continuity of their $(\psi, \beta)$ - derivatives or their averages with weight do not exceed the values of the majorants $\Phi$
satisfying certain conditions. Specific examples of realization of the obtained results are also analyzed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Днепропетр. ун-т им. А. Нобеля)
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА
С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ
И ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ \bfitn -ПОПЕРЕЧНИКОВ
КЛАССОВ (\bfitpsi , \bfitbeta )-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В \bfitL \bftwo . II
In the space L2, we determine the exact values of some n-widths for the classes of functions such that the generalized
moduli of continuity of their (\psi , \beta )-derivatives or their averages with weight do not exceed the values of the majorants \Phi
satisfying certain conditions. Specific examples of realization of the obtained results are also analyzed.
У просторi L2 обчислено точнi значення деяких n-поперечникiв класiв функцiй, у яких узагальненi модулi непе-
рервностi (\psi , \beta )-похiдних або їх осереднення з вагою не перевищують значень мажорант \Phi , що задовольняють
низку умов. Також розглянуто конкретнi приклади реалiзацiї отриманих результатiв.
Данная статья является продолжением работы [1], поэтому в ней продолжена нумерация теорем,
следствий и пунктов, в каждом из которых использована двойная нумерация формул.
5. Точные значения \bfitn -поперечников некоторых классов (\bfitpsi , \bfitbeta )-дифференцируемых
функций в пространстве \bfitL \bftwo . 5.1. Прежде чем сформулировать дальнейшие результаты,
приведем необходимые понятия и определения. Пусть \BbbB — единичный шар в L2, \scrM — выпуклое
центрально-симметричное подмножество из L2, \Lambda n \subset L2 — n-мерное подпространство, \Lambda n \subset
\subset L2 — подпространство коразмерности n, V : L2 \rightarrow \Lambda n — непрерывный линейный оператор,
V \bot : L2 \rightarrow \Lambda n — непрерывный оператор линейного проектирования.
Величины
bn(\scrM ;L2) = sup
\bigl\{
sup \{ \varepsilon > 0 : \varepsilon \BbbB \cap \Lambda n+1 \subset \scrM \} : \Lambda n+1 \subset L2
\bigr\}
,
dn(\scrM ;L2) = inf
\bigl\{
sup \{ inf \{ \| f - \varphi \| : \varphi \in \Lambda n\} : f \in \scrM \} : \Lambda n \subset L2
\bigr\}
,
\delta n(\scrM ;L2) = inf
\bigl\{
inf \{ sup \{ \| f - V f\| : f \in \scrM \} : V L2 \subset \Lambda n\} : \Lambda n \subset L2
\bigr\}
,
dn(\scrM ;L2) = inf
\bigl\{
sup \{ \| f\| : f \in \scrM \cap \Lambda n\} : \Lambda n \subset L2
\bigr\}
,
\Pi n(\scrM ;L2) = inf
\Bigl\{
inf
\Bigl\{
sup
\Bigl\{
\| f - V \bot f\| : f \in \scrM
\Bigr\}
: V \bot L2 \subset \Lambda n
\Bigr\}
: \Lambda n \subset L2
\Bigr\}
называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским
и проекционным n-поперечниками. Поскольку L2 — гильбертово пространство, указанные
величины связаны соотношениями
bn(\scrM ;L2) \leq dn(\scrM ;L2) \leq dn(\scrM ;L2) = \delta n(\scrM ;L2) = \Pi n(\scrM ;L2). (5.1)
Пусть функция \gamma принадлежит классу G, а функция \xi является неотрицательной непрерыв-
ной и не эквивалентной нулю на отрезке [0, t\ast ], 0 < p \leq 2, 0 < h \leq t\ast . Символом \frakN \gamma ,p(\xi , h)
обозначим множество функций f \in L2, для которых
h\int
0
\omega p\gamma (f, t)\xi (t)dt \leq
h\int
0
\xi (t)dt.
c\bigcirc С. Б. ВАКАРЧУК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8 1021
1022 С. Б. ВАКАРЧУК
Через L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,p(\xi , h) обозначим класс функций f \in L\psi \beta ,2, у которых (\psi , \beta )-производные f\psi \beta
принадлежат множеству \frakN \gamma ,p(\xi , h).
Отметим, что в пространстве L2 вопросы вычисления точных значений n-поперечников
ряда классов (\psi , \beta )-дифференцируемых 2\pi -периодических функций, определенных с помощью
некоторых характеристик гладкости, рассмотрены в работах [2, 3].
Теорема 3. Пусть функция \gamma удовлетворяет свойству А из [1] (раздел 3) и почти всюду
дифференцируема на множестве \BbbR , функция \psi является элементом множества \frakM и диффе-
ренцируема на множестве [1,\infty )
\bigl(
\psi \prime (1) := \psi \prime (1+0)
\bigr)
, \beta \in \BbbR , n \in \BbbN , 0 < h \leq t\ast /n, \xi — неот-
рицательная и почти всюду дифференцируемая на отрезке [0, h] функция
\bigl(
\xi \prime (0) := \xi \prime (0 + 0),
\xi \prime (h) := \xi \prime (h - 0)
\bigr)
, которая не эквивалентна нулю. Если при некотором \widetilde p, удовлетворяю-
щем неравенству (4.4) из [1], почти при всех 0 \leq t \leq h и любых 1 \leq x < \infty выполнено
соотношение (4.5) из [1], то справедливы равенства
\lambda 2n
\bigl(
L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h);L2
\bigr)
= \lambda 2n - 1(L
\psi
\beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h);L2) =
= En - 1
\bigl(
L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h)\bigr) = \psi (n)
\left\{
\int h
0
\xi (t)dt\int h
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\right\}
1/\widetilde p
, (5.2)
где \lambda n(\cdot ) — любой из n-поперечников, рассмотренных выше,
En - 1
\bigl(
L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h)\bigr) := sup
\bigl\{
En - 1(f) : f \in L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h)\bigr\} .
Доказательство. Используя следствие 2, где \tau := h, и формулу (3.11) из [1], определение
класса L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h), а также соотношение (5.1), получаем оценки сверху
\lambda 2n(L
\psi
\beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h);L2) \leq \lambda 2n - 1(L
\psi
\beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h);L2) \leq d2n - 1(L
\psi
\beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h);L2) \leq
\leq En - 1(L
\psi
\beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h)) \leq \psi (n)
\left\{
\int h
0
\xi (t)dt\int h
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\right\}
1/\widetilde p
. (5.3)
Для получения оценок снизу рассмотрим шар
\BbbB 2n+1 :=
\left\{ Tn \in \frakN \top
2n+1 : \| Tn\| \leq \psi (n)
\left(
\int h
0
\xi (t)dt\int h
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\right)
1/\widetilde p\right\} .
Для произвольного полинома n-го порядка Tn, используя формулу (2.6) из [1] и учитывая, что
\gamma удовлетворяет свойству А, при 0 < t \leq t\ast /n имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1023
\omega \gamma
\bigl(
(Tn)
\psi
\beta , t
\bigr)
=
= sup
\left\{
\left( n\sum
j=1
\rho 2j
\bigl(
(Tn)
\psi
\beta
\bigr)
\gamma (jh)
\right) 1/2
: 0 < h \leq t
\right\} \leq \gamma 1/2(nt)
\left\{
n\sum
j=1
1
\psi 2(j)
\rho 2j (Tn)
\right\}
1/2
,
т. е.
\omega \gamma
\bigl(
(Tn)
\psi
\beta , t
\bigr)
\leq \gamma 1/2(nt)
\psi (n)
\| Tn\| . (5.4)
Возводя обе части неравенства (5.4) в степень \widetilde p, умножая их на функцию \xi (t) и затем интег-
рируя по переменной t в пределах от 0 до h, для любого полинома Tn \in \BbbB 2n+1 получаем
h\int
0
\omega \widetilde p
\gamma
\bigl(
(Tn)
\psi
\beta , t
\bigr)
\xi (t)dt \leq \| Tn\| \widetilde p
\psi \widetilde p(n)
h\int
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt \leq
h\int
0
\xi (t)dt.
Следовательно, \BbbB 2n+1 \subset L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h). Используя определение бернштейновского n-поперечника
и соотношение (5.1), имеем
\lambda 2n(L
\psi
\beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h);L2) \geq b2n(L
\psi
\beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h);L2) \geq
\geq b2n(\BbbB 2n+1, L2) \geq \psi (n)
\left\{
\int h
0
\xi (t)dt\int h
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\right\}
1/\widetilde p
. (5.5)
Требуемые равенства (5.2) вытекают из сопоставления оценок сверху (5.3) и оценок снизу (5.5).
Теорема 3 доказана.
Отметим, например, что в случае, когда \xi := \widehat \xi , \psi := \psi 1,r, r \in (0,\infty ), \beta \in \BbbR , \gamma := \gamma 1,k,
0 < b \leq \pi , 0 < h \leq \pi /n и выполнены ограничения (4.17) из [1], из формулы (5.2) получаем
один из основных результатов М. Г. Есмаганбетова [4]:
\lambda 2n
\bigl(
L
\psi 1,r
\beta ,2 \frakN \gamma 1,k;\widetilde p(\widehat \xi , h);L2
\bigr)
= \lambda 2n - 1
\bigl(
L
\psi 1,r
\beta ,2 \frakN \gamma 1,k;\widetilde p(\widehat \xi , h);L2
\bigr)
=
= En - 1
\bigl(
L
\psi 1,r
\beta ,2 \frakN \gamma 1,k;\widetilde p(\widehat \xi , h)\bigr) = n - r
2k/2
\left\{
\int h
0
sinq(bt/h)dt\int h
0
(1 - cosnt)k\widetilde p/2 sinq(bt/h)dt
\right\}
1/\widetilde p
.
Следствие 4. Пусть выполнены все условия теоремы 3. Тогда для любого n \in \BbbN имеют
место равенства
sup
\bigl\{
| an(f)| : f \in L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h)\bigr\} = sup
\bigl\{
| bn(f)| : f \in L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h)\bigr\} =
= \psi (n)
\left\{
\int h
0
\xi (t)dt\int h
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\right\}
1/\widetilde p
, (5.6)
где an(f) и bn(f) — косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1024 С. Б. ВАКАРЧУК
Доказательство. Не уменьшая общности рассмотрим косинус-коэффициент Фурье
an(f) =
1
\pi
2\pi \int
0
f(t) cosntdt =
1
\pi
2\pi \int
0
\bigl(
f(t) - Sn - 1(f, t)
\bigr)
cosntdt,
где Sn - 1(f) — частная сумма (n - 1)-го порядка ряда Фурье функции f. Используя неравенство
Коши – Буняковского, для произвольного элемента f \in L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h) получаем
| an(f)| \leq
\bigm\| \bigm\| f - Sn - 1(f)
\bigm\| \bigm\| = En - 1(f) \leq En - 1
\Bigl(
L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h)\Bigr) ,
т. е. в силу формулы (5.2) имеем
sup
\Bigl\{
| an(f)| : f \in L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h)\Bigr\} \leq \psi (n)
\left\{
\int h
0
\xi (t)dt\int h
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\right\}
1/\widetilde p
. (5.7)
Для установления оценки снизу рассмотрим функцию
f0(x) := \psi (n)
\left\{
\int h
0
\xi (t)dt\int h
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\right\}
1/\widetilde p
cosnx,
которая принадлежит рассмотренному при доказательстве теоремы 3 шару
\BbbB 2n+1 \subset L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h).
Следовательно,
sup
\Bigl\{
| an(f)| : f \in L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,\widetilde p(\xi , h)\Bigr\} \geq sup
\bigl\{
| an(f)| : f \in \BbbB 2n+1
\bigr\}
\geq
\bigm| \bigm| an(f0)\bigm| \bigm| =
= \psi (n)
\left\{
\int h
0
\xi (t)dt\int h
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\right\}
1/\widetilde p
. (5.8)
Сопоставляя оценку сверху (5.7) и оценку снизу (5.8), получаем требуемое равенство (5.6)
для косинус-коэффициента Фурье. Аналогичным образом получаем необходимое соотношение
для синус-коэффициента Фурье.
Следствие 4 доказано.
5.2. Пусть \Phi (t), t \geq 0, — непрерывная возрастающая функция такая, что \Phi (0) = 0. Всюду
далее будем называть ее мажорантой. Символом W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi ) обозначим класс функций f \in
\in L\psi \beta ,2, для которых при любых 0 < t \leq 2\pi выполнено неравенство \omega \gamma (f
\psi
\beta , t) \leq \Phi (t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1025
Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 1 из [1], t0 \in (0, t] — произвольная
фиксированная точка, величина t определяется формулой (3.4) из [1]. Если для любых чисел
0 < t \leq 2\pi и n \in \BbbN мажоранта \Phi удовлетворяет ограничению
\Phi 2(t)
\Phi 2(t0/n)
\geq \gamma \ast (nt)
\gamma (t0)
, (5.9)
где функция \gamma \ast определяется формулой (3.2) из [1], то имеют место равенства
\lambda 2n
\Bigl(
W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi );L2
\Bigr)
= \lambda 2n - 1
\Bigl(
W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi );L2
\Bigr)
= En - 1
\Bigl(
W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi )
\Bigr)
=
=
\psi (n)\sqrt{}
\gamma (t0)
\Phi
\biggl(
t0
n
\biggr)
. (5.10)
Здесь \lambda n(\cdot ) — любой из n-поперечников, рассмотренных ранее.
Доказательство. Используя соотношение (5.1), определение класса W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi ) и форму-
лу (3.5) из [1], в которой полагаем \tau := t0, получаем оценки сверху
\lambda 2n
\Bigl(
W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi );L2
\Bigr)
\leq \lambda 2n - 1
\Bigl(
W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi );L2
\Bigr)
\leq d2n - 1
\Bigl(
W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi );L2
\Bigr)
\leq
\leq En - 1
\Bigl(
W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi )
\Bigr)
\leq \psi (n)\sqrt{}
\gamma (t0)
\Phi
\biggl(
t0
n
\biggr)
. (5.11)
Для получения оценок снизу рассмотрим шар
\widetilde \BbbB 2n+1 :=
\Biggl\{
Tn \in \frakN \top
2n+1 : \| Tn\| \leq \psi (n)\sqrt{}
\gamma (t0)
\Phi
\biggl(
t0
n
\biggr) \Biggr\}
.
Для произвольного полинома Tn \in \widetilde \BbbB 2n+1 в силу формулы (5.4) и ограничения (5.9) при
0 < t \leq 2\pi имеем
\omega \gamma
\Bigl(
(Tn)
\psi
\beta , t
\Bigr)
\leq
\sqrt{}
\gamma \ast (nt)
\psi (n)
\| Tn\| \leq
\sqrt{}
\gamma \ast (nt)
\gamma (t0)
\Phi
\biggl(
t0
n
\biggr)
\leq \Phi (t).
Следовательно, \widetilde \BbbB 2n+1 \subset W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi ). Используя формулу (5.1) и определение бернштейнов-
ского n-поперечника, находим
\lambda 2n
\Bigl(
W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi );L2
\Bigr)
\geq b2n
\Bigl(
W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi );L2
\Bigr)
\geq b2n
\Bigl( \widetilde \BbbB 2n+1, L2
\Bigr)
\geq
\geq \psi (n)\sqrt{}
\gamma (t0)
\Phi
\biggl(
t0
n
\biggr)
. (5.12)
Требуемые равенства (5.10) получаем, сопоставляя оценку сверху (5.11) и оценку сни-
зу (5.12).
Теорема 4 доказана.
Отметим, что в случае \gamma := \gamma 2,k и t0 := \pi /2 ограничение (5.9) принимает вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1026 С. Б. ВАКАРЧУК
\Phi (t)
\Phi (\pi /(2n))
\geq
\biggl(
\pi
\pi - 2
\biggr) k
(1 - sinc (nt))k\ast , 0 < t \leq 2\pi . (5.13)
Как было показано в работе [5], мажоранта \Phi 0(t) := t2k/(\pi - 2) удовлетворяет неравенству (5.13).
Если, например, \psi := \psi 3,\sigma ,\lambda , где 0 < \sigma , \lambda < \infty — константы, то при выполнении ограниче-
ния (5.13) из теоремы 4 имеем
\lambda 2n
\Bigl(
W
\psi 3,\sigma ,\lambda
\beta ,2 (\widetilde \omega k,\Phi );L2
\Bigr)
= \lambda 2n - 1
\Bigl(
W
\psi 3,\sigma ,\lambda
\beta ,2 (\widetilde \omega k,\Phi );L2
\Bigr)
=
= En - 1
\Bigl(
W
\psi 3,\sigma ,\lambda
\beta ,2 (\widetilde \omega k,\Phi )\Bigr) =
\biggl(
\pi
\pi - 2
\biggr) k
exp
\bigl(
- \sigma n\lambda
\bigr)
\Phi
\Bigl( \pi
2n
\Bigr)
.
Следствие 5. Пусть выполнены все условия теоремы 4. Тогда для любого n \in \BbbN
sup
\Bigl\{
| an(f)| : f \in W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi )
\Bigr\}
= sup
\Bigl\{
| bn(f)| : f \in W\psi
\beta ,2(\omega \gamma ,\Phi )
\Bigr\}
=
\psi (n)\sqrt{}
\gamma (t0)
\Phi
\biggl(
t0
n
\biggr)
.
Доказательство данного утверждения аналогично доказательству следствия 4, поэтому мы
его не приводим.
5.3. Пусть \Phi — некоторая мажоранта, 0 < p \leq 2, \psi \in \frakM , \beta \in \BbbR , \gamma \in G, \xi — неотрицатель-
ная суммируемая на [0, 2\pi ] функция, которая не эквивалентна нулю. Символом \scrW \psi ,p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi )
обозначим класс функций f \in L\psi \beta ,2, для (\psi , \beta )-производных которых при любом 0 < \tau \leq 2\pi
выполняется неравенство
\tau \int
0
\omega p\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt \leq \Phi p(\tau ).
Теорема 5. Пусть выполнены все условия следствия 2 из [1] и величина 0 < \widetilde p \leq 2 удов-
летворяет требованиям (4.4), (4.5) из [1], 0 < \mu \leq 1 — произвольное фиксированное число,
мажоранта \Phi удовлетворяет условию
\Phi \widetilde p(\tau )
\Phi \widetilde p(\mu t\ast /n) \geq
\int \tau
0
\gamma
\widetilde p/2
\ast (nt)\xi (t)dt\int \mu t\ast /n
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
, 0 < \tau \leq 2\pi , (5.14)
точка t\ast и функция \gamma \ast определяются формулами (3.1) и (3.2) из [1] соответственно, n \in \BbbN .
Тогда имеют место равенства
\lambda 2n
\Bigl(
\scrW \psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi );L2
\Bigr)
= \lambda 2n - 1
\Bigl(
\scrW \psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi );L2
\Bigr)
= En - 1
\Bigl(
\scrW \psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi )
\Bigr)
=
=
\psi (n)\Biggl\{ \int \mu t\ast /n
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\Biggr\} 1/\widetilde p\Phi
\biggl(
\mu t\ast
n
\biggr)
. (5.15)
Здесь \lambda n(\cdot ) — любой из рассмотренных выше n-поперечников.
Доказательство. Используя определение класса \scrW \psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi ), следствие 2 из [1], в ко-
тором полагаем \tau := \mu t\ast /n, и соотношение (5.1), получаем оценки сверху
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1027
\lambda 2n
\Bigl(
\scrW \psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi );L2
\Bigr)
\leq \lambda 2n - 1
\Bigl(
\scrW \psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi );L2
\Bigr)
\leq d2n - 1
\Bigl(
\scrW \psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi );L2
\Bigr)
\leq
\leq En - 1
\Bigl(
\scrW \psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi )
\Bigr)
\leq \psi (n)\Biggl\{ \int \mu t\ast /n
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\Biggr\} 1/\widetilde p\Phi
\biggl(
\mu t\ast
n
\biggr)
. (5.16)
Для получения оценок снизу в подпространстве тригонометрических полиномов
\frakN \top
2n+1 рассмотрим шар
\widehat \BbbB 2n+1 :=
\left\{ Tn \in \frakN \top
2n+1 : \| Tn\| \leq \psi (n)
\left( \mu t\ast /n\int
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\right)
- 1/\widetilde p
\Phi (\mu t\ast /n)
\right\} .
Используя неравенство (5.4), для произвольного полинома n-го порядка Tn при 0 < t \leq 2\pi
записываем
\omega \gamma
\Bigl(
(Tn)
\psi
\beta , t
\Bigr)
\leq \gamma
1/2
\ast (nt)\| Tn\|
\psi (n)
.
Возводя обе части данного неравенства в степень \widetilde p, умножая их на функцию \xi (t) и интегрируя
по переменной t в пределах от 0 до \tau , находим
\tau \int
0
\omega \widetilde p
\gamma
\Bigl(
(Tn)
\psi
\beta , t
\Bigr)
\xi (t)dt \leq \| Tn\| \widetilde p
\psi \widetilde p(n)
\tau \int
0
\gamma
\widetilde p/2
\ast (nt)\xi (t)dt, 0 < \tau \leq 2\pi .
Для произвольного полинома Tn \in \widehat \BbbB 2n+1 с учетом ограничения (5.14) получаем
\tau \int
0
\omega \widetilde p
\gamma
\Bigl(
(Tn)
\psi
\beta , t
\Bigr)
\xi (t)dt \leq
\int \tau
0
\gamma
\widetilde p/2
\ast (nt)\xi (t)dt\int \mu t\ast /n
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\Phi \widetilde p\biggl( \mu t\ast
n
\biggr)
\leq \Phi \widetilde p(\tau ).
Следовательно, \widehat \BbbB 2n+1 \subset \scrW \psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi ). Используя соотношение (5.1) и определение берн-
штейновского n-поперечника, имеем
\lambda 2n
\Bigl(
\scrW \psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi );L2
\Bigr)
\geq b2n
\Bigl(
\scrW \psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi );L2
\Bigr)
\geq b2n
\Bigl( \widehat \BbbB 2n+1, L2
\Bigr)
\geq
\geq \psi (n)\Biggl\{ \int \mu t\ast /n
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\Biggr\} 1/\widetilde p \Phi
\biggl(
\mu t\ast
n
\biggr)
. (5.17)
Требуемые равенства (5.15) получаем из соотношений (5.16), (5.17), что и завершает дока-
зательство теоремы 5.
Следствие 6. Пусть выполнены все условия теоремы 5. Тогда для любого n \in \BbbN имеют
место равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1028 С. Б. ВАКАРЧУК
sup
\Bigl\{
| an(f)| : f \in W\psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi )
\Bigr\}
= sup
\Bigl\{
| bn(f)| : f \in W\psi ,\widetilde p
\beta ,2 (\omega \gamma , \xi ; \Phi )
\Bigr\}
=
=
\psi (n)\Biggl\{ \int \mu t\ast /n
0
\gamma \widetilde p/2(nt)\xi (t)dt
\Biggr\} 1/\widetilde p\Phi
\biggl(
\mu t\ast
n
\biggr)
.
Доказательство данного следствия не приводится по тем же причинам, что и следствия 5.
6. Примеры реализации теоремы 5. 6.1. Пусть
\gamma := \gamma 1,k(x) = 2k(1 - cosx)k = 22k sin2k(x/2)
(в данном случае t\ast = \pi ), \xi := \widehat \xi (t) = sinq(bt/\tau ), где 0 < b \leq \pi , 0 < t \leq \tau \leq \pi /n, 0 \leq q <\infty ,
\psi := \psi 1,r(x) = x - r, r = \beta \in \BbbN . Отметим, что в рассматриваемом случае ограничения (4.4),
(4.5) из [1], содержащиеся в формулировке теоремы 5, примут вид (4.17) из [1], а условие (5.14)
запишется так:
\Phi \widetilde p \Bigl( \mu \pi
n
\Bigr) \tau \int
0
\biggl(
sin
nt
2
\biggr) k\widetilde p
\ast
sinq
\biggl(
bt
\tau
\biggr)
dt \leq \Phi \widetilde p(\tau )
\mu \pi /n\int
0
sink\widetilde p
\biggl(
nt
2
\biggr)
sinq
\biggl(
btn
\mu \pi
\biggr)
dt, (6.1)
где (sinx)\ast := \{ sinx, если 0 \leq x \leq \pi /2, и 1, если x \geq \pi /2\} , \mu \in (0, 1] — произвольным
образом фиксированное число, n — любое натуральное число. Выполняя в интегралах из
неравенства (6.1) замены переменных, записываем его в более общем виде, вводя для этого
параметры 0 < u \leq \pi и 0 < \theta \leq 1 :
\Phi \widetilde p(\mu u)
\theta \pi \int
0
\Bigl(
sin
v
2
\Bigr) k\widetilde p
\ast
sinq
\biggl(
bv
\theta \pi
\biggr)
dv \leq \Phi \widetilde p(\theta u)
\mu \pi \int
0
sink\widetilde p \Bigl( v
2
\Bigr)
sinq
\biggl(
bv
\mu \pi
\biggr)
dv. (6.2)
Очевидно, что при \theta := \tau n/\pi и u := \pi /n из формулы (6.2) имеем условие (6.1). Тогда, в силу
теоремы 5, при выполнении условий (4.17) из [1] и ограничения (6.2) получаем теорему 2 из
работы [6]:
\lambda 2n
\Bigl(
\scrW \psi 1,r;\widetilde p
\beta ,2 (\omega k, \widehat \xi ; \Phi );L2
\Bigr)
= \lambda 2n - 1
\Bigl(
\scrW \psi 1,r;\widetilde p
\beta ,2 (\omega k, \widehat \xi ; \Phi );L2
\Bigr)
= En - 1
\Bigl(
\scrW \psi 1,r;\widetilde p
\beta ,2 (\omega k, \widehat \xi ; \Phi )\Bigr) =
= 2 - kn - r
\left\{
\mu \pi /n\int
0
sink\widetilde p
\biggl(
nt
2
\biggr)
sinq
\biggl(
btn
\mu \pi
\biggr)
dt
\right\}
- 1/\widetilde p
\Phi
\Bigl( \mu \pi
n
\Bigr)
,
где \lambda n(\cdot ) — любой из рассмотренных ранее n-поперечников. В [6] также был приведен пример
мажоранты \widetilde \Phi (t) := t\xi , удовлетворяющей ограничению (6.2), где
\xi := \mu \pi sink\widetilde p \Bigl( \mu \pi
2
\Bigr) \left\{ \widetilde p
\mu \pi \int
0
\Bigl(
sin
v
2
\Bigr) k\widetilde p
dv
\right\}
- 1
.
6.2. Пусть, например, \psi := \psi 4,r,\varepsilon (x) = x - r ln\varepsilon (x + e), где 0 < \varepsilon < r < \infty , \beta \in \BbbR , \xi := \widehat \xi ,
\gamma := \gamma 1,k. Тогда при выполнении условий (4.18) из [1] и (6.2) из теоремы 5 имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1029
\lambda 2n
\Bigl(
\scrW \psi 4,r,\varepsilon ;\widetilde p
\beta ,2 (\omega k, \widehat \xi ; \Phi );L2
\Bigr)
= \lambda 2n - 1
\Bigl(
\scrW \psi 4,r,\varepsilon ;\widetilde p
\beta ,2 (\omega k, \widehat \xi ; \Phi );L2
\Bigr)
= En - 1
\Bigl(
\scrW \psi 4,r,\varepsilon ;\widetilde p
\beta ,2 (\omega k, \widehat \xi ; \Phi )\Bigr) =
= 2 - kn - r ln\varepsilon (n+ e)
\left\{
\mu \pi /n\int
0
sink\widetilde p nt
2
sinq
\biggl(
btn
\mu \pi
\biggr)
dt
\right\}
- 1/\widetilde p
\Phi
\Bigl( \mu \pi
n
\Bigr)
,
где \lambda n(\cdot ) — любой из перечисленных ранее n-поперечников.
6.3. Рассмотрим далее случай, когда \psi := \psi 1,r, r = \beta \in \BbbN , \gamma := \gamma 2,k(x) = (1 - sincx)2k,
k \in \BbbN . Тогда для всех \widetilde p \in (0, 2], удовлетворяющих условию (4.12) из [1], ограничение (5.14)
принимает вид
\Phi \widetilde p(\tau )
\Phi \widetilde p(\mu t\ast /n) \geq
\int \tau
0
(1 - sinc (nt))k\widetilde p\ast \xi (t)dt\int \mu t\ast /n
0
(1 - sinc (nt))k\widetilde p\xi (t)dt
, (6.3)
где 0 < \tau \leq 2\pi , (1 - sinc t)\ast := \{ 1 - sinc t, если 0 \leq t \leq t\ast , и 1 - sinc t\ast , если t\ast \leq t < \infty \} ,
при этом (1 - sinc 0) := 0.
Полагая в формуле (6.3) \mu := \pi /t\ast , \xi := \xi 1(t) \equiv 1, а также представляя мажоранту в виде
\Phi (t) := t1/\widetilde p\Phi 0(t),
где \Phi 0 — также мажоранта, имеем
\Phi \widetilde p
0(\tau )
\Phi \widetilde p
0(\pi /n)
\geq
\pi
\int n\tau
0
(1 - sinc t)k\widetilde p\ast dt
n\tau
\int \pi
0
(1 - sinc t)k\widetilde pdt . (6.4)
Отметим, что в рассматриваемом случае соотношение (4.12) принимает вид
1/r \leq \widetilde p \leq 2. (6.5)
Таким образом, при выполнении условий (6.4), (6.5) из формулы (5.15) получаем один из
результатов работы [7]:
\lambda 2n
\Bigl(
\scrW \psi 1,r;\widetilde p
\beta ,2 (\widetilde \omega k, \xi 1; \Phi );L2
\Bigr)
= \lambda 2n - 1
\Bigl(
\scrW \psi 1,r;\widetilde p
\beta ,2 (\widetilde \omega k, \xi 1; \Phi );L2
\Bigr)
=
= En - 1
\Bigl(
\scrW \psi 1,r;\widetilde p
\beta ,2 (\widetilde \omega k, \xi 1; \Phi )\Bigr) = n - r
\left\{ 1
\pi
\pi \int
0
(1 - sinc t)k\widetilde pdt
\right\}
- 1/\widetilde p
\Phi 0
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
,
где n \in \BbbN и \lambda n(\cdot ) — любой из рассмотренных выше n-поперечников. Примером мажоранты,
удовлетворяющей соотношению (6.4), является функция \Phi 0(t) := tl/\widetilde p [7], где
l :=
\pi \int \pi
0
(1 - sinc t)k\widetilde pdt - 1.
Следовательно, \Phi (t) = t(l+1)/\widetilde p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1030 С. Б. ВАКАРЧУК
6.4. Пусть теперь \psi := \psi 1,r, r = \beta \in \BbbN , \xi := \xi 2(t) = t, \gamma := \gamma 2,k, \widetilde p := 1/k, k \in \BbbN ,
\mu := \pi /t\ast . Тогда неравенство (6.3) принимает вид
\Phi 1/k(\tau )
\Phi 1/k(\pi /n)
\geq 2
\pi 2 - 4
n\tau \int
0
(1 - sinc t)\ast tdt, 0 < \tau \leq 2\pi . (6.6)
Неравенства (4.12) из [1] в данном случае будут равносильны соотношению
r \geq 2k. (6.7)
При этом если выполнены условия (6.6), (6.7), то для произвольного рассмотренного выше
n-поперечника \lambda n(\cdot ) имеем
\lambda 2n
\Bigl(
\scrW \psi 1,r;1/k
\beta ,2 (\widetilde \omega k, \xi 2; \Phi );L2
\Bigr)
= \lambda 2n - 1
\Bigl(
\scrW \psi 1,r;1/k
\beta ,2 (\widetilde \omega k, \xi 2; \Phi );L2
\Bigr)
=
= En - 1
\Bigl(
\scrW \psi 1,r;1/k
\beta ,2 (\widetilde \omega k, \xi 2; \Phi )\Bigr) = n - r+2k
\biggl(
2
\pi 2 - 4
\biggr) k
\Phi
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
. (6.8)
Приведем далее пример мажоранты, для которой неравенство (6.6) будет выполнено. Для
этого докажем следующее утверждение.
Утверждение 1. Множество мажорант, удовлетворяющих условию (6.6), при выполнении
которого справедливы равенства (6.8), не пусто.
Доказательство. Покажем, что функция \widetilde \Phi 0 := tak, где
a :=
2\pi 2
\pi 2 - 4
, (6.9)
удовлетворяет условию (6.6). Несложно проверить, что 3 < a < 4. Для функции \widetilde \Phi 0 усло-
вие (6.6) принимает вид \Bigl( n\tau
\pi
\Bigr) a
\geq 2
\pi 2 - 4
n\tau \int
0
t(1 - sinc t)\ast dt,
где 0 < \tau \leq 2\pi , n — произвольное натуральное число. Полагая z := n\tau /\pi , из последнего
неравенства получаем соотношение
za \geq 2
\pi 2 - 4
z\pi \int
0
t(1 - sinc t)\ast dt, 0 \leq z <\infty , (6.10)
справедливость которого требуется доказать. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию
H(z) := za - 2
\pi 2 - 4
z\pi \int
0
t(1 - sinc t)\ast dt (6.11)
и покажем, что H(z) \geq 0 для произвольного z \in [0,\infty ). Рассуждения проведем для трех
случаев: 1) 0 \leq z \leq 1, 2) 1 \leq z \leq t\ast /\pi , 3) t\ast /\pi \leq z <\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1031
1. Пусть вначале 0 \leq z \leq 1. Из формулы (6.11) в данном случае имеем
H(z) := za - 2
\pi 2 - 4
\biggl(
(z\pi )2
2
+ cos z\pi - 1
\biggr)
. (6.12)
Из (6.12) получаем
H(z) = za - \pi 2
\pi 2 - 4
\Biggl(
z2 -
\biggl(
2
\pi
sin
z\pi
2
\biggr) 2
\Biggr)
= za
\biggl(
1 - z4 - a
\biggl(
\pi 4
12(\pi 2 - 4)
+O(z2)
\biggr) \biggr)
. (6.13)
В силу соотношения (6.13) и неравенства 3 < a < 4 очевидно, что при z \rightarrow 0 + 0 функция H
принимает положительные значения на некотором интервале (0, \xi ) бесконечно малой длины
\xi . Для доказательства знакопостоянства H на (0, 1) рассуждения проведем методом от про-
тивного, полагая, что в интервале (0, 1) существует точка, в которой функция H меняет свой
знак. Из равенства (6.12) получаем H(0) = H(1) = 0. Тогда, на основании теоремы Ролля,
производная первого порядка
H \prime (z) = aza - 1 - 2\pi
\pi 2 - 4
(z\pi - sin z\pi ) (6.14)
должна иметь на интервале (0, 1) не менее двух различных нулей. Поскольку, как следует из
формул (6.9) и (6.14), H \prime (0) = H \prime (1) = 0, то производная второго порядка
H \prime \prime (z) = a
\bigl(
(a - 1)za - 2 + cos z\pi - 1
\bigr)
(6.15)
в силу тех же соображений должна иметь на (0, 1) не менее трех различных нулей. Как следует
из (6.15), H \prime \prime (0) = 0. Поэтому производная третьего порядка
H \prime \prime \prime (z) = a((a - 1)(a - 2)za - 3 - \pi sin z\pi ) (6.16)
должна иметь, исходя из теоремы Ролля, не менее трех различных нулей на интервале (0, 1).
Учитывая, что 3 < a < 4, из (6.16) имеем H \prime \prime \prime (0) = 0, т. е. производная четвертого порядка
H lV(z) = a((a - 1)(a - 2)(a - 3)za - 4 - \pi 2 cos z\pi ) (6.17)
на основании тех же соображений должна обращаться в нуль не менее чем в трех различных
точках из (0, 1). Однако это не так, поскольку из чисто геометрических соображений, основан-
ных на анализе формулы (6.17), очевидно, что производная H lV, которая является разностью
положительной выпуклой вниз монотонно убывающей функции и функции, монотонно убы-
вающей, меняющей в точке z = 1/2 знак с плюса на минус, а выпуклость — с выпуклости
вверх на выпуклость вниз, может иметь на интервале (0, 1) не более двух различных нулей.
Полученное противоречие доказывает выполнение неравенства (6.10) в случае 1.
2. Пусть теперь 1 \leq z \leq t\ast /\pi . Используя формулу (6.12), несложно проверить, что
H(t\ast /\pi ) > 0, т. е. H — знакоположительная функция на некотором интервале (t\ast /\pi - \varepsilon ; t\ast /\pi ),
где \varepsilon > 0 — некоторое бесконечно малое число. Для доказательства знакопостоянства H в
рассматриваемом случае также проведем рассуждения методом от противного, полагая, что су-
ществует точка 1 < y < t\ast /\pi , в которой H меняет свой знак. Учитывая, что H(1) = 0, в силу
теоремы Ролля получаем, что производная H \prime должна иметь на (1, t\ast /\pi ) не менее одного нуля.
Поскольку H \prime (1) = 0, то в силу аналогичных соображений производная H \prime \prime должна иметь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1032 С. Б. ВАКАРЧУК
на интервале (1, t\ast /\pi ) также не менее одного нуля. Из (6.15) имеем H \prime \prime (1) = a(a - 3) > 0.
Учитывая, что на отрезке [1, t\ast /\pi ] функция H \prime \prime монотонно возрастает, получаем противоре-
чие с указанным выше ее поведением, так как на множестве [1, t\ast /\pi ] на основании формулы
(6.15) H \prime \prime является знакоположительной. Следовательно, неравенство (6.10) имеет место и в
рассматриваемом случае.
3. Пусть далее t\ast /\pi \leq z <\infty . Тогда из формулы (6.11) имеем
H(z) =
2(1 - cos t\ast )
\pi 2 - 4
- t2\ast sinc t\ast
\pi 2 - 4
+ z2
\biggl(
za - 2 - \pi 2(1 - sinc t\ast )
\pi 2 - 4
\biggr)
. (6.18)
Из (6.18) очевидно, что H — монотонно возрастающая функция на рассматриваемом множестве.
Поскольку, как следует из случая 2, H(t\ast /\pi ) > 0, то функция H знакоположительна для всех
z \in [t\ast /\pi ,\infty ). Значит, неравенство (6.10) выполняется и в этом случае.
Таким образом, мажоранта \widetilde \Phi 0 является примером функции, удовлетворяющей соотноше-
нию (6.6).
Утверждение 1 доказано.
7. Некоторые применения изложенного подхода. 7.1. Напомним, что для произвольной
функции f \in L2 наряду с симметричным оператором сглаживания В. А. Стеклова
Sh(f, x) =
1
2h
x+h\int
x - h
f(t)dt, h > 0, (7.1)
также рассматривают и несимметричные операторы (см., например, [8, с. 72])
S+
h (f, x) :=
1
h
x+h\int
x
f(t)dt, h > 0, (7.2)
и
S -
h (f, x) :=
1
h
x\int
x - h
f(t)dt, h > 0. (7.3)
Используя формулы (7.2) и (7.3), записываем для f \in L2 обобщенный оператор сглаживания
Sh,\eta (f, x) := (1 - \eta )S+
h (f, x) + \eta S -
h (f, x), (7.4)
где 0 \leq \eta \leq 1, h > 0. Очевидно, что при \eta := 1/2 из (7.4) получаем соотношение (7.1), а
при \eta := 0 или \eta := 1 — соотношение (7.2) или (7.3) соответственно. Для оператора (7.4)
рассмотрим обобщенные конечные разности первого и высших порядков, полагая
\widetilde \Delta 1
h,\eta (f, x) := Sh,\eta (f, x) - f(x) = (Sh,\eta - \BbbI )(f, x),
где \BbbI — единичный оператор в L2,
\widetilde \Delta k
h,\eta (f, x) :=
\widetilde \Delta 1
h,\eta
\Bigl( \widetilde \Delta k - 1
h,\eta (f), x
\Bigr)
= (Sh,\eta - \BbbI )k(f, x) =
k\sum
j=0
( - 1)k - j
\biggl(
k
j
\biggr)
Sh,\eta ;j(f, x).
Здесь Sh,\eta ;j(f) := Sh,\eta (Sh,\eta ;j - 1(f)), j \in \BbbN , Sh,\eta ;0(f) := f.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1033
Под обобщенным модулем непрерывности k-го порядка функции f \in L2 в данном случае
понимаем величину \widetilde \omega k,\eta (f, t) := sup
\bigl\{
\| \widetilde \Delta k
h,\eta (f)\| : 0 < h \leq t
\bigr\}
. (7.5)
Отметим, что при \eta := 1/2 из (7.5) получаем \widetilde \omega k,1/2(f) \equiv \widetilde \omega k(f), где величина \widetilde \omega k(f) определена
формулой (2.3) из [1]. Поскольку для f \in L2
\| \widetilde \Delta 1
h,\eta (f)\| 2 =
\infty \sum
j=1
\Biggl\{
(1 - sinc (jh))2 +
\biggl(
1
2
- \eta
\biggr) 2 4(1 - cos jh)2
(jh)2
\Biggr\}
\rho 2j (f),
применяя метод математической индукции и учитывая введенные в пункте 2 из [1] обозначения,
записываем
\| \widetilde \Delta k
h,\eta (f)\| 2 =
\infty \sum
j=1
\Biggl\{
\gamma 2,1(jh) +
\biggl(
1
2
- \eta
\biggr) 2 \gamma 1,2(jh)
(jh)2
\Biggr\} k
\rho 2j (f). (7.6)
Полагая в данном случае \gamma := \widetilde \gamma \eta ,k, в силу формулы (7.6) получаем
\widetilde \gamma \eta ,k(x) :=
\Biggl\{
\gamma 2,1(x) +
\biggl(
1
2
- \eta
\biggr) 2 \gamma 1,2(x)
x2
\Biggr\} k
, (7.7)
где параметр \eta \in [0, 1]. Можно показать, что функция \widetilde \gamma \eta ,k принадлежит классу G и удовлет-
воряет свойствам А и В из [1]. С учетом соотношений (7.5) – (7.7) для f \in L2 имеем
\widetilde \omega k,\eta (f, t) = sup
\left\{
\left( \infty \sum
j=1
\rho 2j (f)\widetilde \gamma \eta ,k(jh)
\right) 1/2
: 0 < h \leq t
\right\} . (7.8)
Следовательно, обобщенный модуль непрерывности (7.5), в силу формулы (7.8), имеет такую
же структуру, как и обобщенный модуль непрерывности (2.6) из [1].
Очевидно, что все теоремы и вытекающие из них следствия, полученные в пунктах 3 – 5,
будут иметь место и для характеристик гладкости \widetilde \omega k,\eta , где 0 \leq \eta \leq 1, k \in \BbbN .
7.2. Пусть k \in \BbbN , m \in \BbbZ + и величина наилучшего полиномиального приближения Em(f)
при m = 0 является нормой функции f в L2. Для произвольной функции f \in L2 рассмотрим
величину
\scrE k,m(f, t) := sup
\Bigl\{
Em
\bigl(
\Delta k
h(f, \cdot )
\bigr)
: 0 < h \leq t
\Bigr\}
=
= sup
\left\{ Em
\left( k\sum
j=0
( - 1)k - j
\biggl(
k
j
\biggr)
f(\cdot + jh)
\right) : 0 < h \leq t
\right\} , t \geq 0, (7.9)
которую, следуя В. В. Жуку [9], назовем \scrE -модулем непрерывности k-го порядка функции
f \in L2. Случаи k = 1 и k = 2 в пространстве C были рассмотрены в указанной работе.
Из соотношения (7.9) имеем \scrE k,0(f) = \omega k(f). Также очевидно, что \scrE k,m(f, t) \leq 2kEm(f) и
\scrE k,m(f, t) \leq \omega k(f, t). Из формулы (7.9) получаем
\scrE k,m(f, t) = sup
\left\{
\infty \sum
j=m
\rho 2j (f)\gamma 1,k(jh) : 0 < h \leq t
\right\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1034 С. Б. ВАКАРЧУК
Из данного соотношения следует, что результаты, полученные ранее для функций \gamma \in G,
имеющих свойство А, будут иметь место и для характеристики гладкости \scrE k,m(f) в случае,
когда в неравенствах типа Джексона, содержащих величину En(f), выполнено соотношение
n \geq m, n \in \BbbN .
7.3. Напомним, что модули непрерывности дробного порядка 2\pi -периодических функций
впервые были рассмотрены П. Бутцером и Ю. Вестпхалем в работе [10], а также П. Бутцером,
Х. Дикхоффом, И. Герличем и Р. Стенсом в работе [11]. В последующем указанные характе-
ристики гладкости изучались Р. Таберским, К. Ивановым, Я. С. Бугровым, В. Г. Пономаренко,
С. Г. Самко, А. Я. Якубовым и др. (см., например, [12 – 16]).
Для произвольного числа \alpha > 0 (необязательного целого) и любой функции f \in L2 запи-
шем разность дробного порядка \alpha с шагом h в точке x :
\Delta \alpha
h(f, x) :=
\infty \sum
j=0
( - 1)j
\biggl(
\alpha
j
\biggr)
f(x - jh),
где \Bigl( \alpha
0
\Bigr)
:= 1,
\Bigl( \alpha
1
\Bigr)
:= \alpha ,
\biggl(
\alpha
j
\biggr)
=
\alpha . . . (\alpha - j + 1)
j!
, j = 2, 3, . . . . (7.10)
Отметим, что в случае \alpha = m, m \in \BbbN , формула (7.10) принимает вид
\biggl(
m
j
\biggr)
=
\left\{
m!
j!(m - j)!
, если j \leq m,
0, если j > m.
Модулем непрерывности функции f \in L2 дробного порядка \alpha > 0 называют величину
(см., например, [13, 15])
\omega \alpha (f, t) := sup
\bigl\{
\| \Delta \alpha
h(f)\| : 0 < h \leq t
\bigr\}
, t > 0. (7.11)
Отметим, что свойства характеристики гладкости (7.11) были указаны в работе К. Иванова [13].
Из [17, с. 30] следует, что для произвольной функции f \in L2 справедливы равенства
cj
\bigl(
\Delta \alpha
h(f)
\bigr)
=
\Bigl(
1 - e - ijh
\Bigr) \alpha
cj(f), j \in \BbbZ .
Тогда
\rho j
\bigl(
\Delta \alpha
h(f)
\bigr)
=
\bigl\{
2(1 - cos jh)
\bigr\} \alpha /2
\rho j(f), j \in \BbbZ +.
Поскольку \bigm\| \bigm\| \Delta \alpha
h(f)
\bigm\| \bigm\| 2 = \infty \sum
j=0
\rho 2j
\bigl(
\Delta \alpha
h(f)
\bigr)
= 2\alpha
\infty \sum
j=1
(1 - cos jh)\alpha \rho 2j (f),
то, в силу формулы (7.11), имеем
\omega \alpha (f, t) = sup
\left\{
\left( 2\alpha
\infty \sum
j=1
(1 - cos jh)\alpha \rho 2j (f)
\right) 1/2
: 0 < h \leq t
\right\} . (7.12)
Полагая
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1035
\gamma (x) := \gamma 1,\alpha (x) = 2\alpha (1 - cosx)\alpha , (7.13)
характеристику гладкости (7.12) можно представить в виде (2.6) из [1]. Поскольку функ-
ция (7.13) принадлежит классу G и удовлетворяет свойству А, то все результаты, полученные в
пунктах 3 – 5 данной статьи и касающиеся указанного случая, будут иметь место и для модулей
непрерывности (7.11) дробного порядка \alpha > 0.
В подтверждение изложенного отметим, что, например, при \psi := \psi 1,r, где r \in \BbbR +\setminus \{ 0\} , и
\beta \in \BbbR , анонсированная в тезисах М. Ш. Шабозова и Г. А. Юсупова [18] теорема 1 является
частным случаем теоремы 2 из [1], а приведенная далее теорема 2 непосредственно вытекает
из следствия 2 работы [1]. Что же касается теоремы 3 из [18], то ее получаем непосредствен-
но из доказанной выше теоремы 3 при минимальной модернизации ограничения для класса
L\psi \beta ,2\frakN \gamma ,p(\xi , h), состоящей в рассмотрении множества функций f \in L\psi \beta ,2, для которых
h\int
0
\omega p\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt \leq \omega p(h)
h\int
0
\xi (t)dt,
где \gamma := \gamma 1,\alpha , \psi := \psi 1,r, r \in \BbbR +\setminus \{ 0\} , \beta \in \BbbR , 0 < h \leq \pi /n — некоторое фиксированное
значение, \omega — заданный модуль непрерывности.
Литература
1. Вакарчук С. Б. Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения n-
поперечников классов (\psi , \beta )-дифференцируемых функций в L2. I // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 6. –
С. 723 – 745.
2. Сердюк А. С. Поперечники в просторi Sp класiв функцiй, що означаються модулями неперервностi їх \psi -
похiдних // Працi Iн-ту математики НАН України: Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання. –
2003. – 46. – С. 229 – 247.
3. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Неравенства типа Джексона и поперечники классов периодических функций
в пространстве L2 // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Збiрник праць Iн-ту математики НАН
України. – 2008. – 5, № 1. – С. 37 – 48.
4. Есмаганбетов М. Г. Поперечники классов из L2[0, 2\pi ] и минимизация точных констант в неравенствах типа
Джексона // Мат. заметки. – 1999. – 65, № 6. – С. 816 – 820.
5. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве L2 и попереч-
никах некоторых классов функций // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 8. – С. 1025 – 1032.
6. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2\pi -
периодических функций и точные значения их поперечников // Мат. заметки. – 2011. – 90, № 5. – С. 761 – 772.
7. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Неравенства типа Джексона – Стечкина для специальных модулей непре-
рывности и поперечники функциональных классов в пространстве L2 // Мат. заметки. – 2012. – 92, № 4. –
С. 497 – 514.
8. Семесенко М. П. Методы обработки и анализа измерений в научных исследованиях. – Киев; Донецк: Вища
шк., 1983. – 240 с.
9. Жук В. В. Некоторые точные неравенства между равномерными наилучшими приближениями периодических
функций // Докл. АН СССР. – 1971. – 201, № 2. – С. 263 – 265.
10. Butzer P. L., Westphal U. An access to fractional differentiation via fractional difference quotiens // Lect. Notes
Math. – 1975. – 457. – P. 116 – 145.
11. Butzer P. L., Dyckhoff H., Gorlich E., Stens R. L. Best trigonometric approximation, fractional order derivatives and
Lipshitz classes // Can. J. Math. – 1977. – 29, № 4. – P. 781 – 793.
12. Taberski R. Defferences, moduli and derivatives of fractional order // Rocz. Pol. tow. mat. Ser. 1. – 1977. – 19, № 2. –
P. 389 – 400.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1036 С. Б. ВАКАРЧУК
13. Ivanov K. G. On the rates of convergence of two moduli of functions // Pliska Stud. Math. Bulg. – 1983. – 5. –
P. 97 – 104.
14. Бугров Я. С. Дробные разностные операторы и классы функций // Теория приближения функций: Труды
междунар. конф. по теории приближения функций, 1983. – М.: АН СССР, 1987. – С. 75 – 78.
15. Пономаренко В. Г. Модули гладкости дробного порядка и наилучшие приближения в Lp 1 < p <\infty // Труды
Междунар. конф. по конструктивной теории функций (Варна, 1-5 июня 1981). — София, 1983. – С. 128 – 133.
16. Самко С. Г., Якубов А. Я. Оценка Зигмунда для модулей непрерывности дробного порядка сопряженной
функции // Изв. вузов. Математика. – 1985. – № 12. – С. 49 – 53.
17. Butzer P. L., Westphal U. An introduction to fractional calculus // Applications of Fractional Calculus in Physics. –
Singapore etc.: World Sci., 2000. – P. 1 – 86.
18. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. Структурные характеристики и точные значения поперечников некоторых
классов функций из L2 // Теорiя наближень та її застосування: Тези Мiжнар. наук. конф. з нагоди 75-рiччя
В. П. Моторного (Днiпропетровськ, 8 – 11 жовтня 2015). – С. 87 – 89.
Получено 04.05.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1899 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:51Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/20/a112b4f9e55683cfab94f242b7adfc20.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-18992019-12-05T09:31:14Z Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. II Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения $n$-поперечников классов $(ψ,β)$ -дифференцируемых функций в $L_2$. II Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. In the space $L_2$, we determine the exact values of some $n$-widths for the classes of functions such that the generalized moduli of continuity of their $(\psi, \beta)$ - derivatives or their averages with weight do not exceed the values of the majorants $\Phi$ satisfying certain conditions. Specific examples of realization of the obtained results are also analyzed. У просторi $L_2$ обчислено точнi значення деяких $n$-поперечникiв класiв функцiй, у яких узагальненi модулi неперервностi $(\psi , \beta )$-похiдних або їх осереднення з вагою не перевищують значень мажорант $\Phi$, що задовольняють низку умов. Також розглянуто конкретнi приклади реалiзацiї отриманих результатiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1899 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 8 (2016); 1021-1036 Український математичний журнал; Том 68 № 8 (2016); 1021-1036 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1899/881 Copyright (c) 2016 Vakarchuk S. B. |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. II |
| title | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. II |
| title_alt | Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения $n$-поперечников классов $(ψ,β)$ -дифференцируемых функций в $L_2$. II |
| title_full | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. II |
| title_fullStr | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. II |
| title_full_unstemmed | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. II |
| title_short | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. II |
| title_sort | jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $l_2$. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1899 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb jacksontypeinequalitieswithgeneralizedmodulusofcontinuityandexactvaluesofthenwidthsoftheclassesofpsbdifferentiablefunctionsinl2ii AT vakarčuksb jacksontypeinequalitieswithgeneralizedmodulusofcontinuityandexactvaluesofthenwidthsoftheclassesofpsbdifferentiablefunctionsinl2ii AT vakarčuksb jacksontypeinequalitieswithgeneralizedmodulusofcontinuityandexactvaluesofthenwidthsoftheclassesofpsbdifferentiablefunctionsinl2ii AT vakarchuksb neravenstvatipadžeksonasobobŝennymmodulemnepreryvnostiitočnyeznačeniânpoperečnikovklassovpsbdifferenciruemyhfunkcijvl2ii AT vakarčuksb neravenstvatipadžeksonasobobŝennymmodulemnepreryvnostiitočnyeznačeniânpoperečnikovklassovpsbdifferenciruemyhfunkcijvl2ii AT vakarčuksb neravenstvatipadžeksonasobobŝennymmodulemnepreryvnostiitočnyeznačeniânpoperečnikovklassovpsbdifferenciruemyhfunkcijvl2ii |