Problem without initial conditions for a countable semilinear hyperbolic system of first-order equations
We derive sufficient conditions for the solvability of the problem without initial conditions for a countable semilinear hyperbolic system of first-order equations and establish conditions for the classical solvability of the initial-boundary value problem for countable hyperbolic systems of semilin...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1900 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507791716777984 |
|---|---|
| author | Kirilich, V. M. Firman, T. I. Кирилич, В. М. Фірман, Т. І. |
| author_facet | Kirilich, V. M. Firman, T. I. Кирилич, В. М. Фірман, Т. І. |
| author_sort | Kirilich, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:14Z |
| description | We derive sufficient conditions for the solvability of the problem without initial conditions for a countable semilinear
hyperbolic system of first-order equations and establish conditions for the classical solvability of the initial-boundary value
problem for countable hyperbolic systems of semilinear equations of the first-order in a semistrip. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
В. М. Кирилич, Т. I. Фiрман (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ЗАДАЧА БЕЗ ПОЧАТКОВИХ УМОВ
ДЛЯ ЗЛIЧЕННОЇ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ СИСТЕМИ
НАПIВЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
We derive sufficient conditions for the solvability of the problem without initial conditions for a countable semilinear
hyperbolic system of first-order equations and establish conditions for the classical solvability of the initial-boundary value
problem for countable hyperbolic systems of semilinear equations of the first-order in a semistrip.
Приведены достаточные условия разрешимости задачи без начальных условий для счетной гиперболической систе-
мы полулинейных уравнений первого порядка. Получены условия классической разрешимости смешанной задачи
для счетной гиперболической системы полулинейных уравнений первого порядка в полуполосе.
1. Вступ. Основи дослiдження злiченних систем звичайних диференцiальних рiвнянь закладе-
но в роботах [1 – 3]. Аналiз, основнi результати та огляд лiтературних джерел теорiї злiченних
систем звичайних диференцiальних рiвнянь (диференцiальних рiвнянь у просторi \frakM обме-
жених числових послiдовностей) детально описано в монографiї [4]. Задачi для систем такого
вигляду виникають у багатьох математичних моделях процесiв природознавства i технiки [5 – 8].
Оскiльки системи одновимiрних гiперболiчних рiвнянь першого порядку вздовж своїх
характеристик стають системами звичайних диференцiальних рiвнянь [9], то дослiдження злi-
ченних рiвнянь з частинними похiдними природно проводити, насамперед, для рiвнянь гiпер-
болiчного типу. Рiзноманiтнi пiдходи щодо коректної розв’язностi задач для злiченних гiпербо-
лiчних систем рiвнянь першого порядку та їх застосувань розглядались, наприклад, у роботах
[7, 10 – 15].
У цiй статтi дослiджено задачу без початкових умов для напiвлiнiйної гiперболiчної системи
злiченних рiвнянь першого порядку з двома незалежними змiнними.
Задачi без початкових умов, зазвичай, вивчались для параболiчних рiвнянь [16] (див. наве-
дену там бiблiографiю). Подiбнi задачi для гiперболiчних систем скiнченної кiлькостi рiвнянь
першого порядку розглядалися в [17 – 19].
2. Формулювання задачi. Нехай у смузi G = \{ (x, t) : 0 < x < l, - \infty < t < \infty \} задано
злiченну гiперболiчну систему напiвлiнiйних рiвнянь
\partial ui
\partial t
+ \lambda i(x, t)
\partial ui
\partial x
= fi(x, t, u1, u2, . . .), i \in \BbbN , (1)
з невiдомими функцiями ui(x, t), i \in \BbbN .
Будемо вважати, що функцiя \lambda (x, t) = (\lambda 1(x, t), \lambda 2(x, t), . . .), \lambda : G \rightarrow \frakM задовольняє умову
Лiпшиця за змiнною x в G, якщо \lambda i \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}x(G) для всiх i \in \BbbN .
Через C\infty позначимо простiр, елементом якого є зчисленна послiдовнiсть неперервних
функцiй, обмежених деякою сталою. Норму в цьому просторi, наприклад, для вектора u(x, t) =
= (u1(x, t), u2(x, t), . . .) задамо у виглядi
\| u\| 0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
(x,t)\in G
\bigl\{
| ui(x, t)|
\bigr\}
.
c\bigcirc В. М. КИРИЛИЧ, Т. I. ФIРМАН, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8 1043
1044 В. М. КИРИЛИЧ, Т. I. ФIРМАН
Для забезпечення iснування та єдиностi розв’язку \xi = \varphi i(\tau ;x, t) задачi Кошi
d\xi
d\tau
= \lambda i(\xi , \tau ), i \in \BbbN ,
з початковою умовою
\xi | \tau =t = x
вимагатимемо, щоб функцiї \lambda : G \rightarrow \frakM були з класу \lambda \in C\infty (G) \cap \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}x(G).
Нехай I0 = \{ i| \lambda i(0, t) > 0\} , а Il = \{ i| \lambda i(l, t) < 0\} . Множини I0 та Il можуть бути
порожнiми, можуть складатися з скiнченної або злiченної кiлькостi елементiв, однак будемо
вимагати, щоб I0 \cap Il = \varnothing та I0 \cup Il = \BbbN .
Для системи (1) задамо крайовi умови
ui(0, t) = hi(t), i \in I0, ui(l, t) = hi(t), i \in Il, - \infty < t < \infty . (2)
Задачу (1), (2) будемо розглядати у просторi C\infty .
3. Мiшана задача для злiченної гiперболiчної системи напiвлiнiйних диференцiальних
рiвнянь у пiвсмузi. Поряд з (1), (2) розглянемо вiдповiдну задачу в областi GT =
\bigl\{
(x, t) :
0 < x < l, T < t < \infty
\bigr\}
для довiльного фiксованого T \in \BbbR з початковими умовами
ui(x, T ) = uTi (x), 0 \leq x \leq l, i \in \BbbN , (3)
такими, що задовольняють умови погодження нульового порядку
uTi (0) = hi(T ), i \in I0, uTi (l) = hi(T ), i \in Il. (4)
Для задачi (1) – (3) через \chi i(x, t) (T \leq \chi i(x, t) \leq t) позначимо найменше значення \tau таке,
що (\varphi i(\tau ;x, t), \tau ) \in GT , \tau \in [\chi i(x, t), t]. Тодi якщо \chi i(x, t) > T, то \varphi i(\chi i(x, t);x, t) дорiвнює
0 або l, тобто \chi i(x, t) — ордината точки перетину характеристики \varphi i(\tau ;x, t) з межею пiвсмуги
GT у напрямку спадання \tau .
Означення 1. Функцiя f : G \times \frakM \rightarrow \frakM задовольняє умову Кошi – Лiпшиця за змiнними
u1, u2, . . . , un, . . . з деякою неперервною функцiєю \alpha : G \rightarrow \BbbR +, якщо для будь-якого i \in \BbbN та
довiльних послiдовностей (u\prime 1, u
\prime
2, . . . , u
\prime
n, . . .) i (u\prime \prime 1, u
\prime \prime
2, . . . , u
\prime \prime
n, . . .) виконується нерiвнiсть
| fi(x, t, u\prime 1, u\prime 2, . . . , u\prime n, . . .) - fi(x, t, u
\prime \prime
1, u
\prime \prime
2, . . . , u
\prime \prime
n, . . .)| \leq \alpha (x, t)\Delta u,
де \Delta u = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}i\in \BbbN
\bigl\{
| u\prime i - u\prime \prime i |
\bigr\}
.
Позначимо через \Pi T1 прямокутник
\Pi T1 = \{ (x, t) : 0 < x < l, T < t < T + T1\} ,
де T1 > 0 — як завгодно велике фiксоване число.
4. Iснування та єдинiсть узагальненого розв’язку задачi в пiвсмузi. Формальним iн-
тегруванням кожного з i-х рiвнянь системи (1) вздовж вiдповiдних характеристик \varphi i(\tau ;x, t)
одержимо систему iнтегро-функцiональних рiвнянь [9]
ui(x, t) =
= \omega i[u](x, t) +
t\int
\chi i(x,t)
fi(\varphi i(\tau ;x, t), \tau , u1(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), u2(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), . . .)d\tau , i \in \BbbN , (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЗАДАЧА БЕЗ ПОЧАТКОВИХ УМОВ ДЛЯ ЗЛIЧЕННОЇ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ СИСТЕМИ . . . 1045
де
\omega i[u](x, t) =
\left\{ uTi
\bigl(
\varphi i(T ;x, t)
\bigr)
, якщо \chi i(x, t) = T,
hi
\bigl(
\chi i(x, t)
\bigr)
, якщо \chi i(x, t) > T, i \in \BbbN .
Означення 2. Неперервну функцiю u \in C\infty (GT ), яка задовольняє систему iнтегро-функ-
цiональних рiвнянь (5), назвемо узагальненим розв’язком задачi (1) – (3).
Теорема 1. Нехай вихiднi функцiї задачi (1) – (3) задовольняють такi умови:
1) h \in C\infty \bigl( [T,\infty )
\bigr)
, \lambda \in C\infty (GT ) \cap \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}x(GT );
2) f належить C\infty (GT ) при фiксованих u \in C\infty i задовольняє умову Кошi – Лiпшиця за
змiнними u1, u2, . . . , un, . . . з деякою функцiєю \alpha (x, t) \in C(GT ).
Тодi для довiльного наперед заданого T \in \BbbR iснує єдиний узагальнений розв’язок задачi (1) –
(3) в GT .
Доведення. Позначимо сталi
A = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,t)\in \Pi T1
\bigl\{
\alpha (x, t)
\bigr\}
, M = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,t)\in \Pi T1
\bigl\{
| fi(x, t, 0, 0, . . .)|
\bigr\}
,
а також
\Lambda = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,t)\in \Pi T1
\bigl\{
| \lambda i(x, t)|
\bigr\}
.
Спочатку доведемо iснування та єдинiсть розв’язку в прямокутнику \Pi \theta 0 , де \theta 0 > 0 визна-
чимо пiзнiше. Нехай \theta > 0 таке, що
\varphi i(t; 0, \tau ) < \varphi j(t; l, \tau ) для всiх \tau \geq T, t \in [\tau ; \tau + \theta ], i \in I0, j \in Il.
Оскiльки для характеристик системи виконуються нерiвностi \chi i(x, t) \leq t - 1
\Lambda
x, i \in I0, та
\chi j(x, t) \leq t - 1
\Lambda
(l - x), j \in Il [9], то \theta \geq l
2\Lambda
.
Введемо оператор U : C\infty \rightarrow C\infty , який визначено правими частинами спiввiдношення (5),
тобто
Ui[u](x, t) =
= \omega i[u](x, t) +
t\int
\chi i(x,t)
fi(\varphi i(\tau ;x, t), \tau , u1(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), u2(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), . . .)d\tau , i \in \BbbN . (6)
Для доведення iснування та єдиностi узагальненого розв’язку задачi (1) – (3) в \Pi \theta 0 ско-
ристаємося теоремою Банаха про нерухому точку стискаючого оператора. Для цього оцiнимо
рiзницю | Ui[u
1](x, t) - Ui[u
2](x, t)| . Безпосередньо одержимо
| Ui[u
1](x, t) - Ui[u
2](x, t)| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
\chi i(x,t)
\bigl(
fi(\varphi i(\tau ;x, t), \tau , u
1
1(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), u
1
2(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), . . .) -
- fi(\varphi i(\tau ;x, t), \tau , u
2
1(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), u
2
2(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), . . .)
\bigr)
d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1046 В. М. КИРИЛИЧ, Т. I. ФIРМАН
\leq A
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
T
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j
\bigl\{
| u1j (\varphi i(\tau ;x, t), \tau ) - u2j (\varphi i(\tau ;x, t), \tau )|
\bigr\}
d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \theta A\| u1 - u2\| 0.
Отже,
\| Ui[u
1] - Ui[u
2]\| 0 \leq \theta A\| u1 - u2\| 0.
Зазначимо, що виконання умови 2 теореми 1 забезпечує оцiнку\bigm| \bigm| fi(x, t, u1, u2, . . .)\bigm| \bigm| \leq A \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
\bigl\{
| ui(x, t)|
\bigr\}
+M,
а тому U[u] \in C\infty .
Оскiльки всi вихiднi функцiї неперервнi та простiр C\infty є повним вiдносно заданої нор-
ми, то, вибравши \theta 0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1
2A
, \theta
\biggr\}
, за теоремою Банаха одержимо iснування та єдинiсть
узагальненого розв’язку задачi (1) – (3) у прямокутнику \Pi
\theta 0 .
Встановимо апрiорну оцiнку розв’язку в \Pi
\theta 0 . Нехай U(t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}i\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x,\tau \leq t\{ | ui(x, \tau )| \} , тодi
| ui(x, t)| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x
\bigl\{
| uTi (x)|
\bigr\}
+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
\bigl\{
| hi(t)|
\bigr\}
+
t\int
T
\bigl(
AU(\tau ) + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x,t
\bigl\{
| fi(x, t, 0, 0, . . .)|
\bigr\} \bigr)
d\tau ,
або
U(t) \leq \Phi eA\theta 0 , T \leq t \leq T + \theta 0,
де \Phi = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}i\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x
\bigl\{
| uTi (x)| \} + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}i\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}t\{ | hi(t)|
\bigr\}
+ T1 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}i\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x,t
\bigl\{
| fi(x, t, 0, 0, . . .)|
\bigr\}
.
Прийнявши uT+\theta 0
i (x) = ui(x, T + \theta 0) за початкову умову у прямокутнику \Pi T1 \cap \Pi 2\theta 0\setminus \Pi \theta 0 ,
одержимо задачу, аналогiчну задачi (1) – (3).
З наведених вище оцiнок та теореми Банаха випливає iснування та єдинiсть узагальненого
розв’язку задачi (1) – (3), для якого справджується оцiнка
| ui(x, t)| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x
\bigl\{
| uT+\theta 0(x)|
\bigr\}
+
+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
\bigl\{
| hi(t)|
\bigr\}
+
t\int
T+\theta 0
\biggl(
AU(\tau ) + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x,t
\bigl\{
| fi(x, t, 0, 0, . . .)|
\bigr\} \biggr)
d\tau \leq \Phi eA\theta 0 +\Phi +A
t\int
T+\theta 0
U(\tau )d\tau .
Отже,
U(t) \leq \Phi (eA\theta 0 + 1)eA\theta 0 , T \leq t \leq T + \theta 0.
Таким чином, за
\biggl[
T1
\theta 0
\biggr]
+ 1 крок прямокутник \Pi T1 повнiстю вичерпаємо прямокутниками
вигляду \Pi T1 \cap \Pi (k+1)\theta 0\setminus \Pi k\theta 0 , k = 1, 2, . . . . Оскiльки в кожному з таких прямокутникiв iснує
єдиний узагальнений розв’язок задачi (1) – (3), то єдиний розв’язок буде iснувати в \Pi T1 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЗАДАЧА БЕЗ ПОЧАТКОВИХ УМОВ ДЛЯ ЗЛIЧЕННОЇ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ СИСТЕМИ . . . 1047
Припустимо, що в прямокутнику \Pi T1 \cap \Pi k\theta 0\setminus \Pi (k - 1)\theta 0 розв’язок задовольняє нерiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,t)
\bigl\{
| ui(x, t)|
\bigr\}
\leq \Phi
eA\theta 0
eA\theta 0 - 1
(ekA\theta 0 - 1).
Тодi в прямокутнику \Pi T1 \cap \Pi (k+1)\theta 0\setminus \Pi k\theta 0 справджується оцiнка
\bigm| \bigm| ui(x, t)\bigm| \bigm| \leq \Phi
eA\theta 0
eA\theta 0 - 1
\bigl(
e(k+1)A\theta 0 - 1
\bigr)
+\Phi +
t\int
T+k\theta 0
AU(\tau )d\tau \leq
\leq \Phi
e(k+1)A\theta 0 - eA\theta 0 + eA\theta 0 - 1
eA\theta 0 - 1
+
t\int
T+k\theta 0
AU(\tau )d\tau \leq
\leq \Phi
e(k+1)A\theta 0 - 1
eA\theta 0 - 1
eA\theta 0 .
Отже, в прямокутнику \Pi T1 розв’язок буде задовольняти апрiорну оцiнку
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,t)\in \Pi T1
\bigl\{
| ui(x, t)|
\bigr\}
\leq \Phi
\biggl(
e
\Bigl(
T1
\theta 0
+1
\Bigr)
A\theta 0 - 1
\biggr)
eA\theta 0
eA\theta 0 - 1
\leq C\Phi eT1A,
де C =
e
emin
\bigl\{
1
2A
, l\Lambda
2
\bigr\} . Оскiльки T1 є довiльним, то одержимо розв’язнiсть задачi (1) – (3) в усiй
пiвсмузi GT .
5. Iснування та єдинiсть класичного розв’язку. Щоб довести iснування класичного
розв’язку задачi (1) – (3), необхiдно показати, що функцiї ui(x, t) мають неперервнi похiднi
по x i t. Очевидно, що для цього достатньо показати, що функцiї ui(x, t) мають неперервнi
похiднi вздовж вiдповiдних характеристик i по x, оскiльки з цього, гладкостi характеристик та
системи (1) випливає неперервнiсть похiдних по t i x в усiй пiвсмузi GT .
Iснування та неперервнiсть похiдних ui(x, t) вздовж вiдповiдних характеристик безпосеред-
ньо випливають з системи (1) та неперервностi отриманого розв’язку. Щоб довести iснування
та єдинiсть неперервних похiдних
\partial ui
\partial x
, поряд з (6) розглянемо систему рiвнянь
\partial
\partial x
Ui[u](x, t) =
\partial
\partial x
\omega i[u](x, t)+
+
t\int
\chi i(x,t)
\infty \sum
j=1
\partial fi
\partial uj
(\varphi i(\tau ;x, t), \tau , u1(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), u2(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), . . .)\times
\times u\prime jx(\varphi i(\tau ;x, t), \tau )
\partial \varphi i
\partial x
(\tau ;x, t)+
+
\partial fi
\partial x
\bigl(
\varphi i(\tau ;x, t), \tau , u1(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), u2(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), . . .
\bigr) \partial \varphi i
\partial x
(\tau ;x, t)d\tau -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1048 В. М. КИРИЛИЧ, Т. I. ФIРМАН
- fi(\varphi i(\chi i(x, t);x, t), \chi i(x, t), u1
\bigl(
\varphi i(\chi i(x, t);x, t), \chi i(x, t)), u2(\varphi i(\chi i(x, t);x, t), \chi i(x, t)
\bigr)
, . . .)\times
\times \partial \chi i
\partial x
(x, t), (7)
яка отримана формальним диференцiюванням системи рiвнянь (6) за змiнною x, де
\partial
\partial x
\omega i[u](x, t) =
\left\{
duTi
dx
\bigl(
\varphi i(T ;x, t)
\bigr) \partial \varphi i
\partial x
(T ;x, t), якщо \chi i(x, t) = T,
dhi
dt
(\chi i(x, t))
\partial \chi i
\partial x
(x, t), якщо \chi i(x, t) > T.
Теорема 2. Нехай вихiднi функцiї задачi (1) – (3) задовольняють умови теореми 1 i, крiм
того,
1) h\prime \in C\infty ([T,\infty )), \lambda - 1, \lambda \prime
x \in C\infty (GT );
2) f \prime
x належить C\infty (GT ) при фiксованих u \in C\infty i задовольняє умову Кошi – Лiпшиця з
деякою функцiєю \beta (x, t) \in C(GT );
3)
\partial f
\partial uj
належать C\infty (GT ) при фiксованих u \in C\infty i задовольняють умову Кошi – Лiпшиця
з неперервними функцiями \gamma j(x, t), причому
\sum \infty
j=1
\gamma j(x, t) \leq \gamma (x, t) та \gamma (x, t) \in C(GT );
4)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fi\partial uj
(x, t, 0, 0, . . .)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \varkappa j(x, t) для всiх i \in \BbbN , де \varkappa j(x, t) — деякi неперервнi функцiї ,
причому
\sum \infty
j=1
\varkappa j(x, t) \leq \varkappa (x, t) та \varkappa (x, t) \in C(GT );
5)
duTi
dx
(0) =
1
\lambda i(0, T )
\biggl(
fi(0, T, u
T
1 (0), u
T
2 (0), . . .) -
dhi
dt
(T )
\biggr)
, i \in I0,
duTi
dx
(l) =
1
\lambda i(l, T )
\biggl(
fi(l, T, u
T
1 (l), u
T
2 (l), . . .) -
dhi
dt
(T )
\biggr)
, i \in Il
(умови погодження першого порядку).
Тодi для довiльного наперед заданого T \in \BbbR iснує єдиний класичний розв’язок задачi (1) – (3)
в GT .
Доведення. Розглянемо оператор \frakA [u] =
\biggl(
U[u],
\partial
\partial x
U[u]
\biggr)
: C\infty \rightarrow C\infty , який визначено
спiввiдношеннями (6), (7).
Введемо норму
\| u\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x,t
\{ | ui(x, t)| \} , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x,t
\{ | u\prime ix(x, t)| \}
\bigr\}
.
Нехай \| u\| 1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}i\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x,t
\bigl\{
| u\prime ix(x, t)|
\bigr\}
, а також \Lambda \prime = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}i\in \BbbN \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,t)\in \Pi T1
\bigl\{
| \lambda \prime
ix
(x, t)|
\bigr\}
,
B = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,t)\in \Pi T1\{ \beta (x, t)\} , \Gamma = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,t)\in \Pi T1\{ \gamma (x, t)\} та N = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,t)\in \Pi T1
\bigl\{
| f \prime
ix
(x, t, 0, 0, . . .)|
\bigr\}
.
З метою уникнення громiздких виразiв позначимо також
f(\varphi i(\tau ;x, t), \tau , u1(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), u2(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ), . . .) = f [u](\varphi i(\tau ;x, t), \tau ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЗАДАЧА БЕЗ ПОЧАТКОВИХ УМОВ ДЛЯ ЗЛIЧЕННОЇ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ СИСТЕМИ . . . 1049
Для доведення iснування та єдиностi класичного розв’язку задачi (1) – (3) в прямокутнику
\Pi \theta 1 , де \theta 1 визначимо пiзнiше, оцiнимо рiзницю
\bigm\| \bigm\| \frakA [u1](x, t) - \frakA [u2](x, t)
\bigm\| \bigm\| . З попереднього
пункту випливає, що
\| U[u1] - U[u2]\| 0 \leq \theta A\| u1 - u2\| 0 \leq \theta A\| u1 - u2\| .
Зазначимо, що справджуються спiввiдношення [20, с. 92]
\partial \varphi i
\partial x
(\tau ;x, t) = e -
\int t
\tau \lambda \prime
ix
(\varphi i(s;x,t),s)ds
та
\partial \chi i
\partial x
(x, t) = - 1
\lambda i(\~xi, \chi i(x, t))
e
-
\int t
\chi i(x,t)
\lambda \prime
ix
(\varphi i(s;x,t),s)ds,
де \~xi = 0, якщо i \in I0, та \~xi = l, якщо i \in Il.
Нехай також U \prime = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}i\in \BbbN \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,t)\in \Pi T1
\bigl\{
| u\prime ix(x, t)|
\bigr\}
. Тепер безпосередньо одержуємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \partial xU[u1](x, t) - \partial
\partial x
U[u2](x, t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
\chi i(x,t)
\left( \infty \sum
j=1
\partial fi
\partial uj
[u1](\varphi i(\tau ;x, t), \tau )u
\prime 1
jx(\varphi i(\tau ;x, t), \tau )
\partial \varphi i
\partial x
(\tau ;x, t)+
+
\partial fi
\partial x
[u1](\varphi i(\tau ;x, t), \tau )
\partial \varphi i
\partial x
(\tau ;x, t) -
-
\infty \sum
j=1
\partial fi
\partial uj
[u2](\varphi i(\tau ;x, t), \tau )u
\prime 2
jx(\varphi i(\tau ;x, t), \tau )
\partial \varphi i
\partial x
(\tau ;x, t) -
- \partial fi
\partial x
[u2](\varphi i(\tau ;x, t), \tau )
\partial \varphi i
\partial x
(\tau ;x, t)\pm
\pm
\infty \sum
j=1
\partial fi
\partial uj
[u1](\varphi i(\tau ;x, t), \tau )u
\prime 2
jx(\varphi i(\tau ;x, t), \tau )
\partial \varphi i
\partial x
(\tau ;x, t)
\right) d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq eT1\Lambda \prime
B\theta \| u1 - u2\| 0 + eT1\Lambda \prime
A\theta \| u1 - u2\| 1 + eT1\Lambda \prime
U \prime \Gamma \theta \| u1 - u2\| 0 \leq
\leq \theta eT1\Lambda \prime \bigl(
A+ U \prime \Gamma +B
\Bigr)
\| u1 - u2\| .
Отже, маємо оцiнку\bigm\| \bigm\| \frakA [u1](x, t) - \frakA [u2](x, t)
\bigm\| \bigm\| \leq \theta eT1\Lambda \prime \bigl(
A+ U \prime \Gamma +B
\bigr)
\| u1 - u2\| .
З вигляду оператора (7) та умов 2 – 4 теореми 2, як i у попередньому пунктi, випливає, що
\partial
\partial x
U[u] належить C\infty .
Вибравши \theta 1 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Biggl\{
\theta ,
1
2eT1\Lambda \prime \bigl( A+ U \prime \Gamma +B
\bigr) \Biggr\} , за теоремою Банаха про нерухому точку
стискаючого оператора одержимо iснування та єдинiсть розв’язку в \Pi \theta 1 . Згiдно з аналогiчними
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1050 В. М. КИРИЛИЧ, Т. I. ФIРМАН
до попереднього пункту мiркуваннями отримаємо iснування та єдинiсть класичного розв’язку
задачi (1) – (3) у пiвсмузi GT .
Теорему 2 доведено.
Оскiльки доведено iснування класичного розв’язку, то похiдна u\prime x задовольняє (7) i, як i у
попередньому пунктi, в \Pi T1 методом послiдовних наближень можна одержати апрiорну оцiнку
для похiдної u\prime x :
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x,t,u
\bigl\{
| u\prime ix(x, t)|
\bigr\}
\leq \widetilde C\Psi eT1(A+\Lambda \prime ),
де
\Psi = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x
\biggl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| duTidx
(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr\} + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x,t
\bigl\{
| \lambda - 1
i (x, t)|
\bigr\}
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x,t,u
\bigl\{
| fi(x, t, u1, u2, . . .)|
\bigr\}
+
+\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x,t
\{ | \lambda - 1
i (x, t)| \} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
\bigl\{
| h\prime it(t)|
\bigr\}
+ T1 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x,t,u
\biggl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial fi\partial x
(x, t, u1, u2, . . .)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr\} ,
а \widetilde C — додатна стала.
6. Iснування та єдинiсть розв’язку задачi без початкових умов. Скажемо, що вихiднi
функцiї системи (1) задовольняють умову (H1), якщо для всiх T \ast \in \BbbR та \varepsilon > 0 iснує таке
\delta > 0, що при
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,t)\in \Pi T\ast - T
\bigl\{
| fi(x, t, 0, 0, . . .)|
\bigr\}
\leq \delta ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
T\leq t\leq T \ast
\bigl\{
| hi(t)|
\bigr\}
\leq \delta , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq x\leq l
\bigl\{
| uTi (x)|
\bigr\}
\leq \delta (8)
для розв’язку задачi (1) – (3) в \Pi
T \ast - T
виконується нерiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x,t
\bigl\{
| ui(x, t)|
\bigr\}
< \varepsilon .
Будемо вважати, що вихiднi функцiї системи (1) задовольняють умову (H2), якщо для всiх
T \ast \in \BbbR та \varepsilon > 0 iснує таке T < T \ast , що при
fi(x, t, 0, 0, . . .) \equiv 0, hi(t) \equiv 0, i \in \BbbN , (9)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq x\leq l
\bigl\{
| uTi (x)|
\bigr\}
< 1
для розв’язку задачi (1) – (3) в \Pi
T \ast - T
виконується нерiвнiсть
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
i\in \BbbN
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq x\leq l
\bigl\{
| ui(x, T \ast )|
\bigr\}
< \varepsilon .
Сформулюємо у виглядi леми достатню ознаку виконання умов (H1) та (H2).
Лема 1. Нехай для деяких b > a > 0 в областi G виконуються нерiвностi
fi(x, t, u1, u2, . . .) - fi(x, t, u1, u2, . . . , ui - 1, 0, ui+1, . . .) \leq - bui,\bigm| \bigm| fi(x, t, u\prime 1, u\prime 2, . . . , u\prime i - 1, ui, u
\prime
i+1, . . .) -
- fi(x, t, u
\prime \prime
1, u
\prime \prime
2, . . . , u
\prime \prime
i - 1, ui, u
\prime \prime
i+1, . . .)
\bigm| \bigm| \leq a \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j \not =i
\bigl\{
| u\prime j - u\prime \prime j |
\bigr\}
для довiльних u, u\prime , u\prime \prime \in C\infty та i \in \BbbN .
Тодi система (1) задовольняє умови (H1) та (H2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЗАДАЧА БЕЗ ПОЧАТКОВИХ УМОВ ДЛЯ ЗЛIЧЕННОЇ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ СИСТЕМИ . . . 1051
Доведення проведемо вiд супротивного. Зафiксуємо \varepsilon > 0 i виберемо 0 < \delta < \varepsilon . Нехай
виконуються нерiвностi (8), але в \Pi
T \ast - T
iснують i0 \in \BbbN та точка (x0, t0) такi, що
M := | ui0(x0, t0)| \geq \varepsilon . (10)
Без обмеження загальностi можна вважати, що i0 \in I0 та ui0(x0, t0) > 0. Тодi з нерiвностей (8)
випливає, що t0 > T i x0 > 0. З рiвняння (5) при i = i0, x = x0 та t = t0 можна оцiнити
похiдну функцiї ui(\varphi i(\tau ;x, t), \tau ) вздовж напрямку характеристики:
fi0(x0, t0, u1(x0, t0), u2(x0, t0), . . .) = fi0(x0, t0, u1(x0, t0), u2(x0, t0), . . .)\pm
\pm fi0(x0, t0, u1(x0, t0), u2(x0, t0), . . . , ui - 1(x0, t0), 0, ui+1(x0, t0), . . .)\pm fi0(x0, t0, 0, 0, . . .) \leq
\leq - bM + a\varepsilon + \delta \leq (a - b)\varepsilon + \delta .
Отже, якщо вибрати \delta < (b - a)\varepsilon , то похiдна буде вiд’ємною. Звiдси одержимо суперечнiсть
з (10). Отже, виконується умова (H1).
В системi (1) виконаємо замiну невiдомих функцiй ui(x, t) = e - \mu tvi(x, t), 0 < \mu < b - a,
i \in \BbbN . Для функцiй vi(x, t), i \in \BbbN , одержимо систему рiвнянь
\partial vi
\partial t
+ \lambda i(x, t)
\partial vi
\partial x
= e\mu tfi(x, t, e
- \mu tv1, e
- \mu tv2, . . .) + \mu vi, i \in \BbbN . (11)
Для системи (11) виконуються умови леми 1, а тому система (11) задовольняє умову (H1).
Виберемо для заданого \varepsilon > 0 значення \delta > 0. Якщо для деяких T \ast \in \BbbR та T < T \ast виконуються
умови (9), то одержимо оцiнки
| vTi (x)| < e\mu T =
e\mu T
\delta
\delta , 0 \leq x \leq l, i \in \BbbN ,
| vi(x, t)| <
e\mu T
\delta
\varepsilon , (x, t) \in \Pi
T \ast - T
, i \in \BbbN .
Тодi
| ui(x, T \ast )| < e - \mu T \ast | vi(x, T \ast )| < e - \mu T \ast e\mu T
\delta
\varepsilon =
e\mu (T - T \ast )
\delta
\varepsilon , 0 \leq x \leq l, i \in \BbbN .
Отже, при T < T \ast +
\mathrm{l}\mathrm{n} \delta
\mu
умова (H2) виконується.
Лему 1 доведено.
Для оцiнювання похiдної класичного розв’язку задачi (1) – (3) сформулюємо та доведемо
таку лему.
Лема 2. Якщо iснує класичний розв’язок задачi (1) – (3) у пiвсмузi GT , то похiдна
\partial u
\partial x
\equiv v
є розв’язком задачi
\partial vi
\partial t
+ \lambda i(x, t)
\partial vi
\partial x
=
=
\infty \sum
j=1
\partial fi
\partial uj
(x, t, u1, u2, . . .)vj - \lambda \prime
ix(x, t)vi +
\partial fi
\partial x
(x, t, u1, u2, . . .), i \in \BbbN , (12)
vi(\~xi, t) = u\prime ix(\~xi, t), vi(x, T ) = u\prime ix(x, T ), i \in \BbbN ,
яка отримана формальним диференцiюванням системи рiвнянь (1) за змiнною x.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1052 В. М. КИРИЛИЧ, Т. I. ФIРМАН
Доведення. Необхiдно показати, що в GT справджується рiвнiсть
u\prime ix(x, t) =
t\int
\chi i(x,t)
\Biggl( \infty \sum
j=1
\partial fi
\partial uj
[u](\xi , \tau )u\prime j\xi (\xi , \tau ) -
- \lambda \prime
i\xi
(\xi , \tau )u\prime i\xi (\xi , \tau ) +
\partial fi
\partial \xi
[u](\xi , \tau )
\Biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi =\varphi i(\tau ;x,t)
d\tau + \omega \prime
i[u
\prime ](x, t), (13)
де
\omega \prime
i[u
\prime ](x, t) =
\left\{ u\prime ix(x, T ), якщо \chi i(x, t) = T,
u\prime ix
\bigl(
\varphi i(\chi i(x, t);x, t), \chi i(x, t)
\bigr)
, якщо \chi i(x, t) > T.
Зафiксуємо довiльнi x, t та визначимо вiдображення (\xi , \tau ) \rightarrow (\zeta , \varsigma ) за правилом
\{ \zeta = \varphi i(t; \xi , \tau ), \varsigma = \tau \} \leftrightarrow \{ \xi = \varphi i(\varsigma ; \zeta , t), \tau = \varsigma \} .
Таким чином, справджуються рiвностi
\partial
\partial \varsigma
=
\partial
\partial \xi
\partial \xi
\partial \varsigma
+
\partial
\partial \tau
\partial \tau
\partial \varsigma
= \lambda i(\xi , \tau )
\partial
\partial \xi
+
\partial
\partial \tau
\partial \tau
\partial \varsigma
,
\partial
\partial \zeta
=
\partial
\partial \xi
\partial \xi
\partial \zeta
.
Отже, пiдiнтегральний вираз (13) можна записати у виглядi
\infty \sum
j=1
\partial fi
\partial uj
[u](\xi , \tau )u\prime j\xi (\xi , \tau ) +
\partial fi
\partial \xi
[u](\xi , \tau ) - \lambda \prime
i\xi
(\xi , \tau )u\prime i\xi (\xi , \tau ) =
=
\bigl(
u\prime i\tau (\xi , \tau ) + \lambda i(\xi , \tau )u
\prime
i\xi
(\xi , \tau )
\bigr) \prime
\xi
- \lambda \prime
i\xi
(\xi , \tau )u\prime i\xi (\xi , \tau ) =
=
\biggl(
\partial
\partial \zeta
\partial ui
\partial \varsigma
- \lambda \prime
i\xi
(\xi , \tau )
\partial ui
\partial \zeta
\biggr) \Big/ \biggl( \partial \xi
\partial \zeta
\biggr)
=
\biggl(
\partial
\partial \varsigma
\partial ui
\partial \zeta
- \lambda \prime
i\xi
(\xi , \tau )
\partial ui
\partial \zeta
\biggr) \biggl(
\partial \xi
\partial \zeta
\biggr) - 1
.
Враховуючи, що
\partial \xi
\partial \zeta
(\tau ;x, t) = e
-
\int t
\varsigma \lambda \prime
i\xi
(\varphi i(s;\zeta ,t),s)ds
,
насамкiнець одержуємо\biggl(
\partial
\partial \varsigma
\partial ui
\partial \zeta
- \lambda \prime
i\xi
(\xi , \tau )
\partial ui
\partial \zeta
\biggr) \biggl(
\partial \xi
\partial \zeta
\biggr) - 1
=
\partial
\partial \varsigma
\biggl(
\partial ui
\partial \zeta
e
-
\int \varsigma
t \lambda \prime
i\xi
(\varphi i(s;\zeta ,t),s)ds
\biggr)
.
Отже, при \zeta = x рiвнiсть (13) набирає вигляду
u\prime ix(x, t) =
\biggl(
\partial ui
\partial \zeta
e
-
\int \varsigma
t \lambda \prime
i\xi
(\varphi i(s;x,t),s)ds
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varsigma =t
\varsigma =\chi i(x,t)
+\omega \prime
i[u
\prime ](x, t) =
=
\partial ui
\partial \xi
(\varphi i(\varsigma ;x, t), \varsigma )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varsigma =t
\varsigma =\chi i(x,t)
+ \omega \prime
i[u
\prime ](x, t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЗАДАЧА БЕЗ ПОЧАТКОВИХ УМОВ ДЛЯ ЗЛIЧЕННОЇ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ СИСТЕМИ . . . 1053
що i потрiбно було довести.
Нехай для деякого T \ast \in \BbbR GT \ast
= \{ (x, t) : 0 < x < l, - \infty < t < T \ast \} .
Повернемось до розгляду задачi (1), (2). Має мiсце така теорема.
Теорема 3. Нехай виконуються умови теореми 2 та в деякiй областi GT \ast
такi умови:
1) \lambda , \lambda x, \lambda
- 1, f, f \prime
x, h, h
\prime \in C\infty
\Bigl(
G
T \ast \Bigr)
;
2) функцiї \alpha , \beta , \gamma , \varkappa , \mu , \nu обмеженi при t \leq 0;
3) системи (1) та (12) задовольняють умову (H1);
4) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x,t
\bigl\{
\alpha (x, t)
\bigr\}
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}i,x,t\{ | \lambda \prime
ix
(x, t)| \} \leq 1
l
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}i,x,t
\bigl\{
| \lambda i(x, t)|
\bigr\}
.
Тодi задача (1), (2) має обмежений узагальнений розв’язок в GT \ast
.
Доведення. Iснування розв’язку встановимо за допомогою канторiвського дiагонального
процесу. Позначимо через uki , i, k \in \BbbN , розв’язок задачi (1) – (3) в областi G - k з початковими
умовами
u - k
i (x) =
\left\{
hi( - k) +
x(l - x)
\bigl(
- h\prime i( - k) + fi(0, - k, h1( - k), h2( - k), . . .)
\bigr)
l\lambda i(0, - k)
, i \in I0,
hi( - k) +
x(l - x)
\bigl(
- h\prime i( - k) + fi(l, - k, h1( - k), h2( - k), . . .)
\bigr)
l\lambda i(l, - k)
, i \in Il.
При T \ast > - k з умов (H1) та 4 теореми 3 випливає, що функцiї uki , кожна з яких є звуженням
розв’язку задачi (1) – (3) на GT \ast \cap G - k, обмеженi в сукупностi. З леми 2 та виконання умови (H1)
для системи рiвнянь (12) одержимо рiвномiрну обмеженiсть похiдних розв’язку за змiнною x,
а тому з рiвняння (1) i по t.
Таким чином, для кожного k \in \BbbN одержимо злiченну рiвномiрно обмежену послiдовнiсть
функцiй \{ uni \} \infty n=k, кожна з яких звужена на GT \ast \cap G - k. З рiвномiрної обмеженостi похiдних
розв’язку буде випливати одностайна неперервнiсть. За теоремою Асколi – Арцела на кожнiй iз
множин GT \ast \cap G - k можна вибрати збiжнi пiдпослiдовностi. Тому на GT \ast \cap G - 1 з послiдов-
ностi \{ uk1\} можна вибрати збiжну пiдпослiдовнiсть \{ u\alpha k
1 \} . Однак послiдовнiсть \{ u\alpha k
2 \} також
рiвномiрно обмежена, тому з неї можна вибрати збiжну пiдпослiдовнiсть \{ u\beta k
2 \} . Продовживши
аналогiчнi мiркування, одержимо
u\alpha 1
1 (x, t), u\alpha 2
1 (x, t), u\alpha 3
1 (x, t), . . . , u\alpha k
1 (x, t), . . . ,
u\beta 1
2 (x, t), u\beta 2
2 (x, t), u\beta 3
2 (x, t), . . . , u\beta k
2 (x, t), . . . ,
u\gamma 13 (x, t), u\gamma 23 (x, t), u\gamma 33 (x, t), . . . , u\gamma k3 (x, t), . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Видiлимо дiагональну послiдовнiсть i запишемо рядками
u\alpha 1
1 (x, t), u\beta 2
1 (x, t), u\gamma 31 (x, t), . . . ,
u\alpha 1
2 (x, t), u\beta 2
2 (x, t), u\gamma 32 (x, t), . . . ,
u\alpha 1
3 (x, t), u\beta 2
3 (x, t), u\gamma 33 (x, t), . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1054 В. М. КИРИЛИЧ, Т. I. ФIРМАН
Кожна з одержаних послiдовностей збiгається, як пiдпослiдовнiсть збiжної послiдовностi,
до якої додано скiнченне число елементiв. Провiвши аналогiчнi мiркування, одержимо по-
слiдовнiсть вектор-функцiй \{ ukm\} \infty m=1, рiвномiрно збiжну в кожнiй з областей GT \ast \cap G - k.
Граничнi функцiї будуть розв’язком задачi (1), (2) в GT \ast
, оскiльки при переходi в (5) до гра-
ницi при k \rightarrow \infty початкова умова вироджується. Згiдно iз результатами попереднiх пунктiв
розв’язок можна продовжити на всю смугу G.
Теорему 3 доведено.
Теорема 4. Нехай в деякiй областi в GT \ast
система (1) задовольняє умову (H2).
Тодi задача (1), (2) не може мати бiльше одного обмеженого узагальненого розв’язку в GT \ast
.
Доведення. Встановимо єдинiсть розв’язку задачi (1), (2). Нехай T \ast є фiксованим, u1 та
u2 — два рiзнi розв’язки, а u = u1 - u2. Тодi u в областi GT \ast - k є розв’язком задачi (1) – (3) з
hi(t) \equiv 0, fi(x, t, 0, 0, . . .) \equiv 0 \forall i \in \BbbN , T = T \ast - k, uT (x) = u(x, T \ast - k).
З умови (H2) випливає, що u(x, T \ast ) \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty . Отже, u(x, T \ast ) \equiv 0, тобто i
u(x, t) \equiv 0.
Наслiдок. Нехай в деякiй областi в GT \ast
виконуються умови теорем 3 та 4. Тодi задача (1),
(2) має єдиний обмежений узагальнений розв’язок в GT \ast
.
Лiтература
1. Тихонов А. Н. О бесконечных системах дифференциальных уравнений // Мат. сб. – 1934. – № 41. – С. 551 – 560.
2. Персидский К. П. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Изв. АН КазССР.
Математика и механика. – 1948. – Вып. 2. – С. 3 – 34.
3. Жаутыков О. А. О счетной системе дифференциальных уравнений, содержащей переменные параметры //
Мат. сб. – 1959. – 49(91), № 3. – С. 317 – 330.
4. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системы дифференциальных уравнений. – Киев: Ин-т математики
НАН Украины, 1993. – 308 с.
5. Мучник В. Л. Об одной счетной системе интегральных уравнений в теории массового обслуживания // Диф-
ференциальные и интегральные уравнения. – 1980. – Вып. 7. – С. 60 – 73.
6. Оселедец В. И., Хмелев Д. В. Глобальная устойчивость систем нелинейных дифференциальных уравнений и
неоднородные счетные цепи Маркова // Проблемы передачи информации. – 2000. – 36, вып. 1. – С. 60 – 76.
7. Филимонов М. Ю. К вопросу обоснования метода Фурье для нелинейных гиперболических уравнений с малым
параметром // Тр. ХХХIII Регионал. молод. конф. „Проблемы теоретической и прикладной математики”. –
Екатеринбург, 2002. – С. 178 – 182.
8. Недокiс В. А. Злiченноточковi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у просторi обмежених числових
послiдовностей: Автореф. дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Київ, 2006. – 25 c.
9. Аболиня В. Э., Мышкис А. Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости //
Мат. сб. – 1960. – 50, вып. 4. – С. 423 – 442.
10. Жаутыков О. А. О построении решений задачи Коши для бесконечных систем линейных уравнений в частных
производных // Изв. АН КазССР. Математика и механика. – 1959. – Вып. 8(12). – С. 3 – 17.
11. Хома Г. П., Яцюк В. Т. Вкорочення зчисленної системи диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних // Укр.
мат. журн. – 1971. – 23, № 3. – С. 417 – 420.
12. Камбулов В. Ф., Колесов А. Ю. Об одном модельном гиперболическом уравнении, возникающем в радиофи-
зике // Мат. моделирование. – 1996. – 8, № 1. – С. 93 – 102.
13. Berzhanov A. B., Kurmangaliev E. K. Solution of a countable system of quasilinear partial differential equations
multiperiodic in a part of variables // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, № 2. – P. 280 – 288.
14. Бекбауева А. У., Кенжебаев К. К., Сартабанов Ж. А. Многопериодические решения квазилинейных гипербо-
лических систем дифференциальных уравнений в частных производных // Мат. журн. – 2010. – 10, № 1(35). –
С. 42 – 46.
15. Фiрман Т. I. Укорочення злiченної гiперболiчної системи квазiлiнiйних диференцiальних рiвнянь // Буков. мат.
журн. – 2014. – 2, № 1. – С. 125 – 129.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЗАДАЧА БЕЗ ПОЧАТКОВИХ УМОВ ДЛЯ ЗЛIЧЕННОЇ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ СИСТЕМИ . . . 1055
16. Bokalo M., Lorenzi A. Linear evolution first-order problems without initial conditions // Milan J. Math. – 2009. –
77. – P. 437 – 494.
17. Кирилич В. М., Мышкис А. Д. Краевая задача без начальных условий для линейной одномерной системы
уравнений гиперболического типа // Дифференц. уравнения. – 1992. – 28, № 3. – С. 463 – 469.
18. Lavrenyuk S. P., Zareba L. Nonlocal problem for the nonlinear hyperbolic system of the first order without initial
conditions // Mat. Stud. – 2000. – 14, № 2. – P. 150 – 158.
19. Kmit I., Recke L., Tkachenko V. Robustness of exponential dichotomies of boundary-value problems for general
first-order hyperbolic systems // Ukr. Math. J. – 2013. – 65, № 2. – P. 236 – 251.
20. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Изд-во Моск. гос.
ун-та, 1984. – 296 с.
Одержано 16.12.14,
пiсля доопрацювання — 10.06.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1900 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:56Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b8/f824ae58e88c6b9b588ddd518b6d10b8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19002019-12-05T09:31:14Z Problem without initial conditions for a countable semilinear hyperbolic system of first-order equations Задача без початкових умов для зліченної гіперболічної системи напівлінійних рівнянь першого порядку Kirilich, V. M. Firman, T. I. Кирилич, В. М. Фірман, Т. І. We derive sufficient conditions for the solvability of the problem without initial conditions for a countable semilinear hyperbolic system of first-order equations and establish conditions for the classical solvability of the initial-boundary value problem for countable hyperbolic systems of semilinear equations of the first-order in a semistrip. Приведены достаточные условия разрешимости задачи без начальных условий для счетной гиперболической системы полулинейных уравнений первого порядка. Получены условия классической разрешимости смешанной задачи для счетной гиперболической системы полулинейных уравнений первого порядка в полуполосе. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1900 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 8 (2016); 1043-1055 Український математичний журнал; Том 68 № 8 (2016); 1043-1055 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1900/882 Copyright (c) 2016 Kirilich V. M.; Firman T. I. |
| spellingShingle | Kirilich, V. M. Firman, T. I. Кирилич, В. М. Фірман, Т. І. Problem without initial conditions for a countable semilinear hyperbolic system of first-order equations |
| title | Problem without initial conditions for a countable semilinear hyperbolic system of first-order equations |
| title_alt | Задача без початкових умов для зліченної гіперболічної системи напівлінійних рівнянь першого порядку |
| title_full | Problem without initial conditions for a countable semilinear hyperbolic system of first-order equations |
| title_fullStr | Problem without initial conditions for a countable semilinear hyperbolic system of first-order equations |
| title_full_unstemmed | Problem without initial conditions for a countable semilinear hyperbolic system of first-order equations |
| title_short | Problem without initial conditions for a countable semilinear hyperbolic system of first-order equations |
| title_sort | problem without initial conditions for a countable semilinear hyperbolic system of first-order equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1900 |
| work_keys_str_mv | AT kirilichvm problemwithoutinitialconditionsforacountablesemilinearhyperbolicsystemoffirstorderequations AT firmanti problemwithoutinitialconditionsforacountablesemilinearhyperbolicsystemoffirstorderequations AT kiriličvm problemwithoutinitialconditionsforacountablesemilinearhyperbolicsystemoffirstorderequations AT fírmantí problemwithoutinitialconditionsforacountablesemilinearhyperbolicsystemoffirstorderequations AT kirilichvm zadačabezpočatkovihumovdlâzlíčennoígíperbolíčnoísisteminapívlíníjnihrívnânʹperšogoporâdku AT firmanti zadačabezpočatkovihumovdlâzlíčennoígíperbolíčnoísisteminapívlíníjnihrívnânʹperšogoporâdku AT kiriličvm zadačabezpočatkovihumovdlâzlíčennoígíperbolíčnoísisteminapívlíníjnihrívnânʹperšogoporâdku AT fírmantí zadačabezpočatkovihumovdlâzlíčennoígíperbolíčnoísisteminapívlíníjnihrívnânʹperšogoporâdku |