Groups of deviations of Fourier series in generalized Hölder spaces
We study the rate of convergence of the values of analogs of the functionals of strong approximation of Fourier series in generalized $L$-Hölder spaces.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1901 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507791603531776 |
|---|---|
| author | Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. |
| author_facet | Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. |
| author_sort | Lasuriya, R. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:14Z |
| description | We study the rate of convergence of the values of analogs of the functionals of strong approximation of Fourier series in
generalized $L$-Hölder spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. А. Ласурия (Абхаз. гос. ун-т, Сухум)
ГРУППЫ ОТКЛОНЕНИЙ РЯДОВ ФУРЬЕ
В ОБОБЩЕННЫХ ГЕЛЬДЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
We study the rate of convergence of the values of analogs of the functionals of strong approximation of Fourier series in
generalized L-Hölder spaces.
Встановлено оцiнки величин, що є аналогами функцiоналiв сильної сумовностi рядiв Фур’є в узагальнених L-
гельдерових просторах.
1. Необходимые определения, известные результаты и постановка задачи. Пусть L :=
:= L (0, 2\pi ) – пространство суммируемых по Лебегу на [0, 2\pi ] и 2\pi -периодических функций
f = f (x) с нормой
\| f\| 1 :=
2\pi \int
0
| f (x)| dx.
Обозначим через H1,\omega \ast = H1,\omega \ast (0, 2\pi ) пространство функций f \in L, удовлетворяющих
условию
\| f (\cdot + x) - f (\cdot + y)\| 1 \leq K\omega \ast (| x - y| ) \forall x, y \in \BbbR , K = K (f) ,
с обобщенной L-гельдеровой нормой
\| f\| 1,\omega \ast := \| f\| 1 + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x,y<+\infty
x \not =y
\Delta 1,\omega \ast
f (x, y) , (1)
где
\Delta 1,\omega \ast
f (x, y) :=
\| f (\cdot + x) - f (\cdot + y)\| 1
\omega \ast (| x - y| )
,
\omega \ast (t) — некоторая неубывающая и положительная при t > 0 функция.
Пусть, далее, C := C (0, 2\pi ) — пространство непрерывных на [0, 2\pi ] и 2\pi -периодических
функций f с нормой
\| f\| C := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x
| f (x)| ,
H\omega \ast = H\omega \ast (0, 2\pi ) — пространство функций f \in C, удовлетворяющих условию
| f (x) - f (y)| \leq K\omega \ast (| x - y| ) \forall x, y \in \BbbR , K = K (f) .
Полагая \Delta hf (x) = f (x+ h) - f (x) , нормы в пространствах H1,\omega \ast и H\omega \ast можно определить
в виде
\| f\| 1,\omega \ast = \| f\| 1 + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h>0
\| \Delta hf\| 1
\omega \ast (h)
,
c\bigcirc Р. А. ЛАСУРИЯ, 2016
1056 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ГРУППЫ ОТКЛОНЕНИЙ РЯДОВ ФУРЬЕ В ОБОБЩЕННЫХ ГЕЛЬДЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1057
\| f\| \omega \ast = \| f\| C + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h>0
\| \Delta hf\| C
\omega \ast (h)
.
Пространства H1,\omega \ast , H\omega \ast являются банаховыми пространствами относительно указанных норм
(см., например, [7]).
Пусть \omega (t) — некоторая неубывающая и положительная при t > 0 функция. Если суще-
ствуют постоянные c > 0, 0 \leq r \leq 1 такие, что
(\omega (t))r \leq c\omega \ast (t) ,
то H1,\omega \subset H1,\omega \ast . Аналогично H\omega \subset H\omega \ast . В частности, полагая \omega \ast (t) = t\gamma , \omega (t) = t\alpha ,
0 \leq \gamma < \alpha \leq 1, в качестве множества H1,\omega получаем множество
H1,\alpha := \{ f \in L : \| f (\cdot + x) - f (\cdot + y)\| 1 \leq K| x - y| \alpha \forall x, y \in \BbbR , K = K (f)\}
в пространстве H1,\gamma с нормой
\| f\| 1,\gamma := \| f\| 1 + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x \not =y
\| f (\cdot + x) - f (\cdot + y)\| 1
| x - y| \gamma
. (1\prime )
При \gamma = 0 полагаем
\| f\| 1,\gamma := \| f\| 1.
Аналогично определяются пространства H\alpha , 0 \leq \alpha \leq 1.
Пусть
S [f ] =
a0
2
+
\infty \sum
k=1
(ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx)
— ряд Фурье функции f \in L, Sn (f) — частичные суммы порядка n ряда Фурье S [f ] , \rho n (f) =
= \rho n (f ;x) := f (x) - Sn (f ;x) , где n \in \BbbN 0 := \BbbN \cup \{ 0\} .
Большое количество работ посвящено вопросам приближения функций в гельдеровых про-
странствах (см., например, [1 – 23]). Первой работой в этом направлении была, по-видимому,
работа З. Пресдорфа [1] относительно средних Фейера.
Теорема A. Пусть 0 \leq \gamma < \alpha \leq 1. Тогда для любой функции f \in H\alpha имеют место
соотношения\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f - 1
n+ 1
n\sum
k=0
Sk (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\gamma
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
n\sum
k=0
\rho k (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\gamma
=
\Biggl\{
O
\bigl(
(n+ 1)\gamma - \alpha \bigr) , \alpha < 1,
O
\Bigl(
(n+ 1)\gamma - 1 (\mathrm{l}\mathrm{n} (n+ 1))1 - \gamma
\Bigr)
, \alpha = 1,
где n \in \BbbN .
Затем появились работы Л. Лейндлера [2], Р. Мохапатры, П. Чандры [3] и др.
В работе автора [4] (см. также [5, 6]) было получено, в частности, следующее уточнение
теоремы А.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1058 Р. А. ЛАСУРИЯ
Теорема B. Пусть 0 \leq \gamma < \alpha \leq 1. Тогда для любой функции f \in H\alpha справедливы
соотношения\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
n\sum
k=0
\rho k (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\gamma
=
\left\{ O
\bigl(
(n+ 1)\gamma - \alpha \bigr) , \alpha - \gamma < 1,
O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} (n+ 1)
n+ 1
\biggr)
, \alpha - \gamma = 1 (\alpha = 1, \gamma = 0) , n \in \BbbN .
Сопоставляя соотношения из теорем А и В, замечаем, что в случае \alpha = 1, \gamma > 0 множитель
(\mathrm{l}\mathrm{n} (n+ 1))1 - \gamma в теореме А может быть опущен.
В работе автора [5] установлено аналогичное утверждение (см. также [7, 8]).
Теорема C. Пусть 0 \leq \gamma < \alpha \leq 1. Тогда для любой функции f \in H1,\alpha справедливы
соотношения\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
n\sum
k=0
\rho k (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\gamma
=
\left\{ O
\bigl(
(n+ 1)\gamma - \alpha \bigr) , \alpha - \gamma < 1,
O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} (n+ 1)
n+ 1
\biggr)
, \alpha - \gamma = 1, n \in \BbbN .
Вопросы приближения в гельдеровых пространствах конкретными методами, а также мат-
ричными методами суммирования рядов Фурье исследовались, например, в работах [2 – 5,
9 – 20].
В статье Л. Лейндлера, А. Меира, В. Тотика [19] была установлена теорема, сводящая при-
ближение линейными методами в обобщенной гельдеровой норме к приближению теми же
методами в равномерной норме. Однако эта теорема, например для средних Фейера, не позво-
ляет получить уточненный вариант (при \alpha = 1, \gamma > 0, теорема В) теоремы А. З. Пресдорфа.
Подобной идее была посвящена статья С. А. Теляковского [20].
Сильная аппроксимация в обобщенных гельдеровых пространствах изучалась, например, в
работах [21 – 23]. В частности, в работе автора [22] было установлено следующее утверждение.
Теорема D. Пусть последовательность функций \alpha = (\alpha n (v)) такова, что при каждом
фиксированном v \in V \subset \BbbR числа \alpha k (v) неотрицательны и не возрастают по индексу k . Если
0 \leq \beta < \eta \leq 1, то для любой функции f \in H\omega \subset H\omega \ast , для всех q \geq 1, n \in \BbbN , v \in V имеет
место соотношение\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl( \infty \sum
k=n
\alpha k (v) | \rho k (f)| q
\Biggr) 1
q
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\omega \ast
= O (1) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x,y<+\infty
x\not =y
(\omega (| x - y| ))
\beta
\eta
\omega \ast (| x - y| )
\times
\times
\Biggl\{
n\alpha n (v) (\omega (1/n ))q(1 - \beta /\eta ) +
\infty \sum
k=n
\alpha k (v) (\omega (1/k ))q(1 - \beta /\eta )
\Biggr\} 1
q
, (2)
где O (1) – величина, равномерно ограниченная по n \in \BbbN , v \in V и зависящая, вообще говоря,
от q и f \in H\omega .
В некоторых важных частных случаях, например для классических сильных средних\biggl(
1
n+ 1
\sum n
k=0
| \rho k (f)| q
\biggr) 1/q
, оценка (2) для H\alpha \subset H\gamma , где \eta = \alpha = 1/q > \gamma > 0, \beta = \gamma ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ГРУППЫ ОТКЛОНЕНИЙ РЯДОВ ФУРЬЕ В ОБОБЩЕННЫХ ГЕЛЬДЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1059
точнее соответствующей оценки из работы [23] на множитель O (\mathrm{l}\mathrm{n}n)1/q - \gamma . Введем в рассмот-
рение величины
h(n)v (f) = h(n)v (f ;x;\alpha ) :=
\infty \sum
k=n
\alpha k (v) \rho k (f ;x), n \in \BbbN 0, (3)
где последовательность \alpha = (\alpha n (v)) имеет прежний смысл.
Мера сильной аппроксимации в пространстве H\omega \ast характеризуется величиной, содержа-
щейся в левой части соотношения (2). Аналогом этой величины в пространстве H1,\omega \ast разумно
считать величину
\bigm\| \bigm\| \bigm\| h(n)v (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\omega \ast
(см. также [24, с. 395]) в том смысле, что справедливо поряд-
ковое соотношение (см., например, [26])
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| f\| 1=1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
n\sum
k=0
| Sk (f)|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\asymp \mathrm{l}\mathrm{n} (n+ 1) , n \in \BbbN ,
тогда как в равномерной норме, как известно, данная величина ограничена.
В настоящей работе рассматриваются оценки скорости сходимости величин (3) для функ-
ций f \in H1,\omega по норме пространства H1,\omega \ast , определяемой равенством (1). При этом мы
устанавливаем аналог теоремы D в пространстве H1,\omega \ast .
В частных случаях, когда величины (3) переходят в линейные средние рядов Фурье, по-
следние содержат в себе как матричные (прямоугольные и треугольные), так и непрерывные
методы суммирования рядов. При этом оценки величин (3) существенно отличаются от соответ-
ствующих известных оценок для линейных средних рядов Фурье в равномерной гельдеровой
метрике.
2. Вспомогательное утверждение. Положим
H
(n)
v,1 (f ;x, y) :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
2n\sum
k=n
\alpha k (v) [\rho k (f ; \tau + x) - \rho k (f ; \tau + y)]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
.
В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное утверждение, которое не лишено
и самостоятельного интереса.
Лемма. Пусть 0 \leq \beta < \eta \leq 1 и \alpha = (\alpha n (v)) , n \in \BbbN 0, — последовательность неотрица-
тельных функций, невозрастающая по n \in \BbbN 0 при каждом фиксированном v \in V \subset \BbbR . Тогда
для любой функции f \in H1,\omega имеет место соотношение
H
(n)
v,1 (f ;x, y) = O (1)\alpha n (v) (\omega (| x - y| ))\beta /\eta (\omega (1/(n+ 1) ))1 - \beta /\eta , v \in V, n \in \BbbN 0, (4)
где O (1) — величина, равномерно ограниченная по n, x, y, v и зависящая, вообще говоря,
от f .
Доказательство. Полагая
\varphi x (t) := f (x+ t) + f (x - t) - 2f (x) ,
Dn (t) :=
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
n+
1
2
\biggr)
t
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
t
2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1060 Р. А. ЛАСУРИЯ
имеем
\rho n (f ;x) =
2
\pi
\pi \int
0
\varphi x (t)Dn (t) dt.
В принятых обозначениях получаем
H
(n)
v,1 (f ;x, y) =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
2n\sum
k=n
\alpha k (v)
2
\pi
\pi \int
0
[\varphi \tau +x (t) - \varphi \tau +y (t)]Dk (t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
n+ 1
2n\sum
k=n
\alpha k (v)
2
\pi
\pi
n+1\int
0
[\varphi \tau +x (t) - \varphi \tau +y (t)]Dk (t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
+
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
n+ 1
2n\sum
k=n
\alpha k (v)
2
\pi
\pi \int
\pi
n+1
[\varphi \tau +x (t) - \varphi \tau +y (t)]Dk (t) dt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
:= I1 + I2. (5)
Принимая во внимание неравенства
\| \varphi \tau +x (t) - \varphi \tau +y (t)\| 1 \leq 4K\omega (| x - y| ) , (6)
| Dk (t)| \leq k + 1, n \leq k \leq 2n,
а также известное неравенство Минковского\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
b\int
a
f (\cdot , y) dy
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
b\int
a
\| f (\cdot , y)\| 1dy, (7)
находим
I1 \leq
2
\pi
1
n+ 1
2n\sum
k=n
\alpha k (v)
\pi
n+1\int
0
\| \varphi \tau +x (t) - \varphi \tau +y (t)\| 1 | Dk (t)| dt =
= O (1)
2n\sum
k=n
\alpha k (v)
\pi
n+1\int
0
\omega (| x - y| ) dt = O (1)\alpha n (v)\omega (| x - y| ) . (8)
Далее используем следующее представление ядра Dk (t): Dk (t) =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kt
2 \mathrm{t}\mathrm{g}
t
2
+
1
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt. С учетом
этого равенства получаем
I2 \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
n+ 1
2
\pi
\pi \int
\pi
n+1
\varphi \tau +x (t) - \varphi \tau +y (t)
2 \mathrm{t}\mathrm{g}
t
2
2n\sum
k=n
\alpha k (v) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} ktdt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ГРУППЫ ОТКЛОНЕНИЙ РЯДОВ ФУРЬЕ В ОБОБЩЕННЫХ ГЕЛЬДЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1061
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
n+ 1
2
\pi
\pi \int
\pi
n+1
[\varphi \tau +x (t) - \varphi \tau +y (t)]
2
2n\sum
k=n
\alpha k (v) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ktdt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
:= I3 + I4. (9)
Вследствие неравенства
2 \mathrm{t}\mathrm{g}
t
2
\geq t, 0 \leq t \leq \pi ,
преобразования Абеля \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2n\sum
k=n
\alpha k (v)
\left\{ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kt
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt
\right\}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < 2\pi \alpha n(v)t
- 1
и соотношений (6), (7) находим
I3 \leq
2
\pi (n+ 1)
\pi \int
\pi
n+1
\| \varphi \tau +x (t) - \varphi \tau +y (t)\| 1
t2
2\pi \alpha n (v) dt =
= O (1)
\alpha n (v)
n+ 1
\omega (| x - y| )
\pi \int
\pi
n+1
t - 2dt = O (1)\alpha n (v)\omega (| x - y| ) . (10)
Аналогично
I4 = O (1)\alpha n (v)\omega (| x - y| ) . (11)
Следовательно, в силу соотношений (5), (8) – (11) получаем
H
(n)
v,1 (f ;x, y) = O (1)\alpha n (v)\omega (| x - y| ) . (12)
С другой стороны,
H
(n)
v,1 (f ;x, y) \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
2n\sum
k=n
\alpha k (v) [\rho k (f ; \tau + x) - \rho k (f ; \tau + y)]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
2n\sum
k=n
\alpha k (v) \rho k (f ; \tau + x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
+
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
2n\sum
k=n
\alpha k (v) \rho k (f ; \tau + y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
. (13)
Далее воспользуемся известным неравенством [25, с. 44]\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
2n\sum
k=n
\alpha k (v) \rho k (f ; \tau + x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq K\alpha n (v)En(f)1, (14)
где En (f)1 — наилучшее приближение тригонометрическими полиномами порядка не выше n
в пространстве L.
На основании (13), (14) находим
H
(n)
v,1 (f ;x, y) = O (1)\alpha n (v)En(f)1. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1062 Р. А. ЛАСУРИЯ
В силу неравенства Джексона (см., например, [26, с. 8])
En(f)1 \leq K\omega
\biggl(
f ;
1
n+ 1
\biggr)
1
,
где \omega (f ; )1 — модуль непрерывности в L функции f, принимая во внимание, что f \in H1,\omega , из
(15) заключаем, что
H
(n)
v,1 (f ;x, y) = O (1)\alpha n (v)\omega
\biggl(
f ;
1
n+ 1
\biggr)
1
= O (1)\alpha n (v)\omega
\biggl(
1
n+ 1
\biggr)
. (16)
Следовательно, объединяя соотношения (12) и (16), окончательно получаем
H
(n)
v,1 (f ;x, y) =
\Bigl(
H
(n)
v,1 (f ;x, y)
\Bigr) \beta /\eta \Bigl(
H
(n)
v,1 (f ;x, y)
\Bigr) 1 - \beta /\eta
=
= O (1)\alpha n (v)\omega
\beta /\eta (| x - y| )\omega 1 - \beta /\eta
\biggl(
1
n+ 1
\biggr)
.
3. Основные результаты и следствия. Основным результатом данной работы является
следующая теорема.
Теорема 1. Пусть 0 \leq \beta < \eta \leq 1 и \alpha = (\alpha n (v)) , n \in \BbbN 0, — последовательность
неотрицательных функций, невозрастающая по n \in \BbbN 0 при каждом фиксированном v \in V \subset
\subset \BbbR . Тогда для любой функции f \in H1,\omega \subset H1,\omega \ast имеет место соотношение\bigm\| \bigm\| \bigm\| h(n)v (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\omega \ast
= O (1) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x,y<\infty
x \not =y
(\omega (| x - y| ))\beta /\eta
\omega \ast (| x - y| )
\times
\times
\Biggl\{
(n+ 1)\alpha n (v)
\biggl(
\omega
\biggl(
1
n+ 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
+
\infty \sum
k=n
\alpha k (v)
\biggl(
\omega
\biggl(
1
k + 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
\Biggr\}
, n \in \BbbN 0, (17)
где O (1) — величина, равномерно ограниченная по n \in \BbbN 0, \alpha и зависящая, вообще говоря, от
f \in H1,\omega .
Замечание. Величина
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x,y<\infty
x\not =y
(\omega (| x - y| ))\beta /\eta
\omega \ast (| x - y| )
при фиксированных \omega \ast ( ) и \omega ( ) зависит от выбора параметров \beta и \eta . В частности, полагая
\omega (t) = t\alpha , \omega \ast (t) = t\gamma , 0 \leq \gamma < \alpha \leq 1, \beta = \gamma , \eta = \alpha , имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x,y<\infty
x\not =y
(\omega (| x - y| ))\beta /\eta
\omega \ast (| x - y| )
= 1.
Доказательство теоремы. Требуется оценить величину
\bigm\| \bigm\| \bigm\| h(n)v (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\omega \ast
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| h(n)v (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x,y<\infty
x \not =y
\bigm\| \bigm\| \bigm\| h(n)v (f ; \tau + x) - h
(n)
v (f ; \tau + y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\omega \ast (| x - y| )
. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ГРУППЫ ОТКЛОНЕНИЙ РЯДОВ ФУРЬЕ В ОБОБЩЕННЫХ ГЕЛЬДЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1063
Пусть f \in H1,\omega и 0 \leq \beta < \eta \leq 1. Тогда в силу приведенной выше леммы\bigm\| \bigm\| \bigm\| h(n)v (f ; \tau + x) - h(n)v (f ; \tau + y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=n
\alpha k (v) [\rho k (f ; \tau + x) - \rho k (f ; \tau + y)]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
\nu =0
2\nu +1n\sum
k=2\nu n
\alpha k (v) [\rho k (f ; \tau + x) - \rho k (f ; \tau + y)]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\leq
\infty \sum
\nu =0
(2\nu n+ 1)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
2\nu n+ 1
2\nu +1n\sum
k=2\nu n
\alpha k (v) [\rho k (f ; \tau + x) - \rho k (f ; \tau + y)]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
=
= O (1) (\omega (| x - y| ))\beta /\eta
\left\{
\infty \sum
\nu =0
\alpha 2\nu n (v) (2
\nu n+ 1)
\biggl(
\omega
\biggl(
1
2\nu n+ 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
\right\} =
= O (1) (\omega (| x - y| ))\beta /\eta
\Biggl\{
(n+ 1)\alpha n (v)
\biggl(
\omega
\biggl(
1
n+ 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
+
+2
\infty \sum
\nu =1
\alpha 2\nu n (v)
\bigl(
2\nu - 1n+ 1
\bigr) \biggl(
\omega
\biggl(
1
2\nu n+ 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
\Biggr\}
=
= O (1) (\omega (| x - y| ))\beta /\eta \times
\times
\Biggl\{
(n+ 1)\alpha n (v)
\biggl(
\omega
\biggl(
1
n+ 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
+
\infty \sum
k=n
\alpha k (v)
\biggl(
\omega
\biggl(
1
k + 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
\Biggr\}
. (19)
Таким образом,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x,y<\infty
x \not =y
\bigm\| \bigm\| \bigm\| h(n)v (f ; \tau + x) - h
(n)
v (f ; \tau + y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\omega \ast (| x - y| )
=
= O (1) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x,y<\infty
x \not =y
(\omega (| x - y| ))\beta /\eta
\omega \ast (| x - y| )
\times
\times
\Biggl\{
(n+ 1)\alpha n (v)
\biggl(
\omega
\biggl(
1
n+ 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
+
\infty \sum
k=n
\alpha k (v)
\biggl(
\omega
\biggl(
1
k + 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
\Biggr\}
, v \in V. (20)
Аналогично, с учетом неравенств (14), (15) и неравенства Джексона имеем\bigm\| \bigm\| \bigm\| h(n)v (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
= O (1)
\Biggl\{
(n+ 1)\alpha n (v)\omega
\biggl(
1
n+ 1
\biggr)
+
\infty \sum
k=n
\alpha k (v)\omega
\biggl(
1
k + 1
\biggr) \Biggr\}
. (21)
Следовательно, объединяя соотношения (18) – (21), приходим к требуемому соотношению.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1064 Р. А. ЛАСУРИЯ
Приведем некоторые утверждения и оценки, вытекающие из доказанной теоремы. В част-
ности, полагая в соотношении (17) n = 0, получаем такое следствие.
Следствие 1. Пусть 0 \leq \beta < \eta \leq 1 и \alpha = (\alpha n (v)) , n \in \BbbN 0, — последовательность
неотрицательных функций, невозрастающая по n \in \BbbN 0 при каждом фиксированном v \in V \subset
\subset \BbbR . Тогда для любой функции f \in H1,\omega \subset H1,\omega \ast имеет место соотношение\bigm\| \bigm\| \bigm\| h(0)v (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\omega \ast
= O (1) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x,y<\infty
x \not =y
(\omega (| x - y| ))\beta /\eta
\omega \ast (| x - y| )
\Biggl\{ \infty \sum
k=0
\alpha k (v)
\biggl(
\omega
\biggl(
1
k + 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
\Biggr\}
. (22)
Последовательность функций \alpha = (\alpha n (v)) , n \in \BbbN 0, v \in V, может определять некоторый
\alpha -метод суммирования рядов, причем как непрерывный метод, так и матричный. Полагая,
например, \alpha k (v) = (1 - v) vk, 0 < v < 1, из (22) для метода Абеля находим\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| (1 - v)
\infty \sum
k=0
vk\rho k (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\omega \ast
= O (1) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x,y<\infty
x \not =y
(\omega (| x - y| ))\beta /\eta
\omega \ast (| x - y| )
\times
\times
\Biggl\{
(1 - v)
\infty \sum
k=0
vk
\biggl(
\omega
\biggl(
1
k + 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
\Biggr\}
.
Если положить \alpha k (v) = \alpha
(n)
k =
1
n+ 1
, 0 \leq k \leq n, \alpha
(n)
k = 0, k > n, то для метода
Фейера из (22) получим (см. также [5, 7, 8])\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
n\sum
k=0
\rho k (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\omega \ast
= O (1) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x,y<\infty
x \not =y
(\omega (| x - y| ))\beta /\eta
\omega \ast (| x - y| )
\Biggl\{
1
n+ 1
n\sum
k=0
\biggl(
\omega
\biggl(
1
k + 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
\Biggr\}
.
Возвращаясь к пространствам H1,\gamma , H1,\alpha и полагая \omega \ast (t) = t\gamma , \omega (t) = t\alpha , \eta = \alpha , \beta = \gamma ,
0 \leq \gamma < \alpha \leq 1, из последнего соотношения получаем соотношение из теоремы C.
Приведем одно утверждение, содержащее оценку снизу.
Теорема 2. Пусть величина \omega (\cdot ) является модулем непрерывности и удовлетворяет усло-
вию
n\sum
k=1
\omega
\biggl(
1
k
\biggr)
\leq Bn\omega
\biggl(
1
n
\biggr)
, B := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, n \in \BbbN , (23)
\omega \ast (\cdot ) — положительная и возрастающая на (0,\infty ) функция. Пусть, далее, \alpha = (\alpha k (v)) —
последовательность неотрицательных функций такая, что
\alpha k (v) = 0, k \geq n+ 1, v \in V,
n\sum
k=0
\alpha k (v) = 1, v \in V.
Тогда существует функция f0 \in H1,\omega , для которой\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
k=0
\alpha k (v) \rho k (f0)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\omega \ast
\geq K \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h>0
(\omega (h))\beta /\eta
\omega \ast (h)
\biggl(
\omega
\biggl(
1
n+ 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
,
где 0 \leq \beta < \eta \leq 1, K — некоторая положительная постоянная.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ГРУППЫ ОТКЛОНЕНИЙ РЯДОВ ФУРЬЕ В ОБОБЩЕННЫХ ГЕЛЬДЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1065
Доказательство опирается на следующее утверждение, установленное В. В. Жуком [11]:
Пусть функция \varphi (t) > 0 при t > 0, \varphi возрастает на (0,\infty ) , линейный оператор U : L \rightarrow T (n)
такой, что
U (f (+t) ;x) = U (f ;x+ t) \forall f \in L, x, t \in \BbbR .
Тогда для любой функции f \in L
En(f)1 \leq \varphi
\biggl(
\pi
n+ 1
\biggr)
B1 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<t<\infty
\| \Delta t (f - U (f))\| 1
\varphi (t)
, B1 := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0,
где T (n) — множество тригонометрических полиномов порядка не выше n.
Согласно условиям теоремы, функция \omega
\biggl(
\pi
n+ 1
\biggr)
определяет положительную монотон-
но убывающую к нулю последовательность чисел. Тогда в силу аналога известной теоремы
С. Н. Бернштейна [27, с. 9] существует такая функция f0 \in L, что
En(f0)1 = \omega
\biggl(
\pi
n+ 1
\biggr)
.
Применяя приведенную выше теорему для функции f0, находим
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h>0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta h
\Bigl( \sum n
k=0
\alpha k (v) \rho k (f0)
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\omega \ast (h)
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
h>0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta h
\Bigl(
f0 -
\sum n
k=0
\alpha k (v)Sk (f0)
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\omega \ast (h)
\geq
\geq K1
En(f0)1
\omega \ast
\biggl(
\pi
n+ 1
\biggr) = K1
\biggl(
\omega
\biggl(
\pi
n+ 1
\biggr) \biggr) \beta /\eta
\omega \ast
\biggl(
\pi
n+ 1
\biggr) \biggl(
\omega
\biggl(
\pi
n+ 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
\geq
\geq K1 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
h>0
(\omega (h))\beta /\eta
\omega \ast (h)
\biggl(
\omega
\biggl(
1
n+ 1
\biggr) \biggr) 1 - \beta /\eta
.
Покажем теперь, что f0 \in H1,\omega . Действительно, на основании неравенства С. Б. Стечкина,
А. Ф. Тиманa и М. Ф. Tимана (см., например, [27, с. 8]) с учетом условия (23) находим
\omega
\biggl(
f0;
1
k + 1
\biggr)
1
\leq A
k + 1
k\sum
i=0
Ei(f0)1 \leq
A1
k + 1
k\sum
i=0
\omega
\biggl(
1
i+ 1
\biggr)
\leq A2\omega
\biggl(
1
k + 1
\biggr)
.
В результате этого заключаем, что f0 \in H1,\omega .
Теорема 2 доказана.
Из теорем 1 и 2 следует неулучшаемость теоремы С для случая 0 \leq \gamma < \alpha < 1. Если же
\eta = \alpha = 1 и \beta = \gamma > 0, то мы можем утверждать, что существует такая функция f0, что
\omega (f0;h)1 = O
\biggl(
h \mathrm{l}\mathrm{n}
1
h
\biggr)
, h > 0, (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1066 Р. А. ЛАСУРИЯ
для которой \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 1
n+ 1
n\sum
k=0
\rho k (f0)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1,\gamma
\geq K(n+ 1)\gamma - 1, K > 0. (25)
Действительно, для этого положим \omega
\biggl(
\pi
n+ 1
\biggr)
=
\pi
n+ 1
(\alpha = 1). Тогда, согласно аналогу
теоремы С. Н. Бернштейна, найдется функция f0 такая, что En(f0)1 =
\pi
n+ 1
. Это, как известно,
влечет за собой условие (24). Далее, рассуждая, как и при доказательстве теоремы 2, получаем
оценку (25).
Литература
1. Prössdorf S. Zur Konvergens der Fourierreihen Hölderstetiger // Math. Nachr. – 1975. – 69. – S. 7 – 14.
2. Leindler L. Generalizations of Prössdorf’s theorems // Stud. math. hung. – 1979. – 14. – P. 431 – 439.
3. Mohapatra R., Chandra P. Degree of approximation of functions in the Hölder metric // Acta math. hung. – 1983. –
41, № 1-2. – P. 67 – 74.
4. Ласурия Р. А. О приближении периодических функций линейными средними сумм Фурье в обобщенной
гельдеровой метрике // Докл. АМАН. – 2000. – 5, № 1. – C. 24 – 39.
5. Ласурия Р. А. Приближение функций в обобщенной гельдеровой метрике. – Сухум: Абхаз. гос. ун-т, 2001. –
65 с.
6. Ласурия Р. А. О приближении функций, заданных на всей действительной оси, операторами типа Фейера в
обобщенной гельдеровой метрике // Мат. заметки. – 2007. – 181, № 4. – C. 547 – 552.
7. Draganov B. R. Simultaneous approximation of functions by Fejer-type operators in a generalized Hölder norm // E.
J. Approxim. – 2008. – 14. – P. 439 – 449.
8. Mohapatra R. N., Szal B. Degree of convergence of an Integral Operator // arXiv: 1205. 5870 V 1 [math. CA] 26
may (2012). – P. 1 – 21.
9. Chandra P. Degree of approximation of functions in the Hölder metric by Borel’s means // J. Math. Anal. and Appl. –
1990. – 149. – P. 236 – 246.
10. Das G., Ghosh T., Ray B. K. Degree of approximation of functions by their Fourier series in the generalized Hölder
metric // Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.). – 1996. – 106. – P. 139 – 153.
11. Жук В. В. Приближение периодических функций в метрике типа Гельдера суммами Фурье и средними Рисса
// Зап. науч. сем. ПОМИ. – 2007. – 350. – C. 70 – 88.
12. Leindler L. A relaxed estimate of the degree of approximation by Fourier series in generalized Hölder metric // Anal.
Math. – 2009. – 35. – P. 51 – 60.
13. Landon B. A. Degree of approximation of Hölder continuons functions: Dissert. . . . D-r Phil. in Math. – Orlando,
USA, 2008.
14. Lenski W., Szal B. On the approximation of functions by matrix means in the generalized Hölder metric // Banach
Center Publ. – 2008. – 79. – P. 119 – 129.
15. Nath A. Degree of approximation by matrix mean in a generalized Hölder metric // J. Orissa Math. Soc. – 2011. –
30, № 2. – P. 81 – 92.
16. Das G., Ray B. K., Sadangi P. Approximation by the K\lambda means of Forier series and conjugate series in the Hölder
metric // J. Orissa Math. Soc. – 2011. – 30, № 2. – P. 49 – 66.
17. Singh Т. Degree of approximation of functions in the generalized Hölder metric // Indian J. Pure and Appl. Math. –
1992. – 40, № 3-4. – P. 261 – 271.
18. Singh U., Sonker S. Degree of approximation of function f \in H
(\omega )
p class in generalized Hölder metric by matrix
means // Math. Modelling and Sci. Comput. – 2012. – 283. – P. 1 – 10.
19. Leindler L., Meir A., Totik V. On approximations in Lipschitz norms // Acta math. hung. – 1985. – 45, № 3-4. –
P. 441 – 443.
20. Теляковский С. А. О скорости приближения функций в липшицевых нормах // Труды Ин-та математики и
механики УрО РАН. – 2010. – 16, № 4. – C. 297 – 299.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ГРУППЫ ОТКЛОНЕНИЙ РЯДОВ ФУРЬЕ В ОБОБЩЕННЫХ ГЕЛЬДЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1067
21. Gorenska M., Lesniewicz M., Rempulska L. Strong approximation of functions in Hölder spaces // Acta Sci. Math.
(Szeged). – 1993. – 58. – P. 233 – 241.
22. Ласурия Р. А. Оценки группы уклонений в обобщенной гельдеровой метрике // Укр. мат. журн. – 2001. – 53,
№ 9. – C. 1210 – 1217.
23. Szal B. On the rate of strong summability by matrix means in the generalized Hölder metric // J. Inequal. Pure and
Appl. Math. – 2008. – 9, № 1. – P. 1 – 27.
24. Степанец А. И. Методы теории приближений. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. 1. – 427 с.
25. Пачулиа Н. Л. О сильной суммируемости рядов Фурье // Вопросы суммирования простых и кратных рядов
Фурье. – Киев, 1987. – C. 9 – 50. – (Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; 87.40).
26. Родин В. А. ВМО-сильные средние рядов Фурье // Функцион. анализ и его прил. – 1989. – 23, вып. 2. –
C. 73 – 74.
27. Тиман М. Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. – Киев: Наук. думка, 2009. – 376 с.
Получено 20.08.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1901 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:56Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d5/0a7e3423e7b99a7163533d9fa9e045d5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19012019-12-05T09:31:14Z Groups of deviations of Fourier series in generalized Hölder spaces Группы отклонений рядов Фурье в обобщенных гельдеровых пространствах Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. We study the rate of convergence of the values of analogs of the functionals of strong approximation of Fourier series in generalized $L$-Hölder spaces. Встановлено оцiнки величин, що є аналогами функцiоналiв сильної сумовностi рядiв Фур’є в узагальнених $L$- гельдерових просторах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1901 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 8 (2016); 1056-1067 Український математичний журнал; Том 68 № 8 (2016); 1056-1067 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1901/883 Copyright (c) 2016 Lasuriya R. A. |
| spellingShingle | Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. Groups of deviations of Fourier series in generalized Hölder spaces |
| title | Groups of deviations of Fourier series in generalized Hölder spaces |
| title_alt | Группы отклонений рядов Фурье в обобщенных гельдеровых пространствах |
| title_full | Groups of deviations of Fourier series in generalized Hölder spaces |
| title_fullStr | Groups of deviations of Fourier series in generalized Hölder spaces |
| title_full_unstemmed | Groups of deviations of Fourier series in generalized Hölder spaces |
| title_short | Groups of deviations of Fourier series in generalized Hölder spaces |
| title_sort | groups of deviations of fourier series in generalized hölder spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1901 |
| work_keys_str_mv | AT lasuriyara groupsofdeviationsoffourierseriesingeneralizedholderspaces AT lasuriâra groupsofdeviationsoffourierseriesingeneralizedholderspaces AT lasuriâra groupsofdeviationsoffourierseriesingeneralizedholderspaces AT lasuriyara gruppyotklonenijrâdovfurʹevobobŝennyhgelʹderovyhprostranstvah AT lasuriâra gruppyotklonenijrâdovfurʹevobobŝennyhgelʹderovyhprostranstvah AT lasuriâra gruppyotklonenijrâdovfurʹevobobŝennyhgelʹderovyhprostranstvah |