Exponential and infinitary divisors
We study several problems in the field of modified divisors; more precisely, from the theory of exponential and infinitary divisors.We analyze the behavior of modified divisors, sum-of-divisors, and totient functions. Our main results are connected with the asymptotic behavior of mean values and exp...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1902 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507790926151680 |
|---|---|
| author | Lelechenko, A. V. Лелеченко, А. В. |
| author_facet | Lelechenko, A. V. Лелеченко, А. В. |
| author_sort | Lelechenko, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:14Z |
| description | We study several problems in the field of modified divisors; more precisely, from the theory of exponential and infinitary
divisors.We analyze the behavior of modified divisors, sum-of-divisors, and totient functions. Our main results are connected
with the asymptotic behavior of mean values and explicit estimates of the extremal orders. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 511.3
А. В. Лелеченко (Одес. нац. ун-т iм. I. I. Мечникова)
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ТА IНФIНIТАРНI ДIЛЬНИКИ
We study several problems in the field of modified divisors; more precisely, from the theory of exponential and infinitary
divisors. We analyze the behavior of modified divisors, sum-of-divisors, and totient functions. Our main results are connected
with the asymptotic behavior of mean values and explicit estimates of the extremal orders.
Статья посвящена некоторым вопросам из области модифицированных делителей, а именно теории экспоненци-
альных и инфинитарных делителей. Изучается поведение аналогов функции делителей, функции суммы делите-
лей и функции Эйлера. Получены новые асимптотические оценки этих функций в среднем и явные оценки их
экстремальных значений.
1. Вступ. Будемо казати, що m є експоненцiальним дiльником (або е-дiльником) числа n (позна-
чається m | (e) n), якщо m | n та для кожного простого p | n маємо a | b, де pa | | m, pb | | n. Це
означення, введене Суббарао [18], приводить до функцiї е-дiльникiв \tau (e)(n) =
\sum
m| (e)n
1 (послi-
довнiсть A049419 в OEIS [20]) та функцiї суми е-дiльникiв \sigma (e)(n) =
\sum
m| (e)n
m (послiдовнiсть
A051377). Цi функцiї вивчалися багатьма авторами, зокрема Ву та Петерманном [17, 25].
Розглянемо множину арифметичних функцiй \scrA , множину мультиплiкативних простонеза-
лежних функцiй \scrM PI та такий оператор E : \scrA \rightarrow \scrM PI , що (Ef)(pa) = f(a). Можна перевi-
рити, що \tau (e) = E\tau , але \sigma (e) \not = E\sigma . Пункт 2 присвячено функцiї E\sigma , яка, на вiдмiну вiд \sigma (e),
ранiше не розглядалася.
З iншого боку, кiлька авторiв, включаючи Тота [22, 24] та Петерманна [16], вивчали екс-
поненцiальний аналог функцiї Ейлера, побудований як \phi (e) = Ef. Однак функцiя \phi (e) не має
багатьох важливих ознак, притаманних \phi : вона простонезалежна та \phi (e) \ll n\varepsilon . У пунктi 3 ми
побудуємо бiльш природну модифiкацiю функцiї Ейлера.
Нехай m є унiтарним дiльником n (позначається m | \ast n), якщо m | n та \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(m,n/m) = 1.
Визначимо бiунiтарнi дiльники: нехай m | \ast \ast n, якщо m | n та найбiльший спiльний унiтарний
дiльник m та n/m дорiвнює 1. Визначимо триунiтарнi дiльники: нехай m | \ast \ast \ast n, якщо m | n
та найбiльший спiльний бiунiтарний дiльник m та n/m дорiвнює 1, i т. д. Коен [1] показав,
що цей процес збiгається до множини так званих iнфiнiтарних дiльникiв (або \infty -дiльникiв):
m | \infty n, якщо m | n та для кожного p | n, pa | | m, pb | | n двiйковий запис a має нулi в усiх
позицiях, в яких їх має b. Це одразу дає нам функцiю \infty -дiльникiв \tau \infty (послiдовнiсть A037445)
та функцiю суми \infty -дiльникiв \sigma \infty (послiдовнiсть A049417).
Нещодавно Мiнкулете та Тот [15] означили та вивчили експоненцiальний аналог унiтарних
дiльникiв. Введемо е-\infty -дiльники: нехай m | (e)\infty n, якщо m | n та для кожного p | n, pa | | m,
pb | | n маємо a | \infty b. В пунктi 4 ми покращуємо оцiнку для
\sum
n\leq x
\tau \infty (n) Коена та Хагiса [2]
та коротко розглядаємо \tau (e)\infty . Пункт 5 присвячено е-\infty -досконалим числам: \sigma (e)\infty (n) = 2n.
Лiтерою p позначають просте число. Запис pa | | n означає, що pa | n, але pa+1 \nmid n.
Ми позначаємо згортку Дiрiхле через f \star g: (f \star g)(n) =
\sum
d| n
f(d)g(n/d).
c\bigcirc А. В. ЛЕЛЕЧЕНКО, 2016
1068 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ТА IНФIНIТАРНI ДIЛЬНИКИ 1069
В асимптотичних спiввiдношеннях символи \sim , \asymp , символи Ландау O та o, символи Вино-
градова \ll та \gg використовуються в їх звичайному значеннi. Всi асимптотичнi спiввiдношення
записанi для аргументу (зазвичай x), що прямує до нескiнченностi.
Лiтера \gamma позначає константу Ейлера – Маскеронi. Скрiзь \varepsilon > 0 є довiльно малим числом,
яке може бути рiзним навiть у рамках одного й того ж рiвняння.
Як завжди, \zeta (s) — дзета-функцiя Рiмана. Дiйсна та уявна компоненти комплексного s
позначаються через \sigma := \Re s та t := \Im s, тобто s = \sigma + it.
Ми скорочуємо \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} := \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \circ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}, \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} := \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \circ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \circ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x, де \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x позначає натуральний
логарифм.
Нехай \tau — функцiя дiльникiв, \tau (n) =
\sum
d| n
1. Позначимо
\tau (a1, . . . , ak;n) =
\sum
d
a1
1 \cdot \cdot \cdot dakk =n
1
та \tau k = \tau (1, . . . , 1\underbrace{} \underbrace{}
k разiв
; \cdot ). Тодi \tau \equiv \tau 2 \equiv \tau (1, 1; \cdot ).
Далi, позначимо через \Delta (a1, . . . , ak;x) залишковий член в асимптотичнiй оцiнцi для\sum
n\leq x
\tau (a1, . . . , ak;n). Щодо форми головного члена див. [11]. Для стислостi будемо писа-
ти \Delta k(x) = \Delta (1, . . . , 1\underbrace{} \underbrace{}
k разiв
;x).
Нарештi, \theta (a1, . . . , ak) позначає таке дiйсне число, що \Delta (a1, . . . , ak;x) \ll x\theta (a1,...,ak)+\varepsilon , а
\theta k є скороченням для \theta (1, . . . , 1\underbrace{} \underbrace{}
k разiв
).
2. Значення \bfitE \bfitsigma .
Теорема 1. Має мiсце така оцiнка максимального порядку функцiї E\sigma :
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}E\sigma (n) \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
=
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 3
2
. (1)
Доведення. Теорема Сур’янараяни та Сiти Рами Чандри Рао [19] показує, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}E\sigma (n) \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \sigma (n)
n
.
Розiб’ємо супремум на двi частини: для малих n маємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
n\leq 6
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \sigma (n)
\bigr)
/n =
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \sigma (2)
\bigr)
/2 = (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 3)/2,
а для n > 6 застосуємо оцiнку Iвiча [7]
\sigma (n) < 2,59n \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n, (2)
щоб отримати
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1070 А. В. ЛЕЛЕЧЕНКО
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \sigma (n)
n
<
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 2,59 + \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n+ \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
n
:= f(n),
де f — спадна функцiя при n > 6 та f(7) < (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 3)/2. Таким чином,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \sigma (n)
n
=
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 3
2
.
Теорему 1 доведено.
Рiвняння (1) показує, що E\sigma (n) \ll n\varepsilon .
Теорема 2. Для суматорної функцiї вiд E\sigma виконується асимптотична оцiнка\sum
n\leq x
E\sigma (n) = C1x+ (C2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x+ C3)x
1/2 + C4x
1/3 + E(x), (3)
де C1, C2, C3, C4 — обчислюванi константи та x1/5 \ll E(x) \ll x1153/3613+\varepsilon .
Доведення. Нехай F (s) =
\sum \infty
n=1
E\sigma (n)n - s. Використовуючи (2), маємо
F (s) =
\prod
p
\infty \sum
a=0
E\sigma (pa)p - as =
\prod
p
\Biggl(
1 +
\infty \sum
a=1
\sigma (a)p - as
\Biggr)
=
=
\prod
p
\bigl(
1 + p - s + 3p - 2s + 4p - 3s + 7p - 4s +O(p\varepsilon - 5s)
\bigr)
=
=
\prod
p
1 +O(p\varepsilon - 5s)
(1 - p - s)(1 - p - 2s)2(1 - p - 3s)
,
отже,
F (s) = \zeta (s)\zeta 2(2s)\zeta (3s)H(s), (4)
де ряд H(s) збiгається абсолютно при \sigma > 1/5.
Рiвняння (4) показує, що E\sigma = \tau (1, 2, 2, 3; \cdot ) \star h, де
\sum
n\leq x
| h(n)| \ll x1/5+\varepsilon . Використо-
вуючи результат Кретцеля [12] (теорема 3) разом с результатом Хакслi [6] щодо експонентної
пари k = 32/205 + \varepsilon , l = k + 1/2, отримуємо
\sum
n\leq x
\tau (1, 2, 2, 3;n) = B1x + (B2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x +
+ B3)x
1/2 + B4x
1/3 + O(x1153/3613+\varepsilon ) для деяких обчислюваних констант B1, B2, B3, B4.
Тепер стандартний метод згортки посвiдчує (3) та верхню оцiнку E(x). Оцiнка E(x) знизу
випливає з теореми Кюхлейтнера й Новака [14].
Теорему 2 доведено.
Теорема 3. Для квадрата E\sigma виконується асимптотична оцiнка\sum
n\leq x
(E\sigma (n))2 = Dx+ P7(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x)x
1/2 + E(x),
де D — обчислювана константа, а P7 — полiномом з \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}P = 7 i x4/17 \ll E(x) \ll x8/19+\varepsilon .
Доведення. Маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ТА IНФIНIТАРНI ДIЛЬНИКИ 1071
\infty \sum
n=1
(E\sigma (n))2n - s =
\prod
p
\Biggl(
1 +
\infty \sum
a=1
(\sigma (a))2p - as
\Biggr)
=
\prod
p
\bigl(
1 + p - s + 9p - 2s +O(p\varepsilon - 3s)
\bigr)
=
=
\prod
p
1 +O(p\varepsilon - 3s)
(1 - p - s)(1 - p - 2s)8
= \zeta (s)\zeta 8(2s)G(s),
де ряд G(s) збiгається абсолютно при \sigma > 1/3.
\Omega -оцiнка залишкового члена E(x) випливає знову з [14]. Щоб отримати E(x) \ll x8/19,
використаємо теорему 6.8 з [11], яка дає \theta (1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) \leq 1/(1 + 2 - \theta 8) \leq 8/19. Тут
ми скористалися оцiнкою Хiз-Брауна \theta 8 \leq 5/8 [21, с. 325].
3. Значення f(\bfite ) . Для звичайної функцiї Мебiуса \mu , тотожної функцiї \mathrm{i}\mathrm{d} та одиничної
функцiї \bfone маємо
\tau = \bfone \star \bfone , \mathrm{i}\mathrm{d} = \bfone \star \mu , \sigma = \bfone \star \mathrm{i}\mathrm{d} .
Суббарао [18] увiв таку експоненцiальну згортку \odot , що для мультиплiкативних f та g їхня
згортка f \odot g також є мультиплiкативною функцiєю i
(f \odot g)(pa) =
\sum
d| a
f(pd)g(pa/d). (5)
Для функцiї \mu (e) = E\mu та вказаних у пунктi 1 функцiй \tau (e) i \sigma (e) маємо
\tau (e) = \bfone \odot \bfone , \mathrm{i}\mathrm{d} = \bfone \odot \mu (e), \sigma (e) = \bfone \odot \mathrm{i}\mathrm{d} .
Це приводить нас до природного означення f(e) = \mu (e) \odot \mathrm{i}\mathrm{d} (пор. зi звичайним \phi = \mu \star \mathrm{i}\mathrm{d}). Тодi
згiдно з означенням (5)
f(e)(pa) =
\sum
d| a
\mu (a/d)pd.
Наведемо кiлька перших значень f(e) на степенях простих чисел:
a 1 2 3 4 5
f(e)(pa) p p2 - p p3 - p p4 - p2 p5 - p
.
Зазначимо, що f(e)(n)/n залежить лише вiд квадратноповної частини n. Вочевидь
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\rightarrow \infty
f(e)(n)/n = 1.
Тому, використовуючи формулу Мертенса, можна отримати (пор. з теоремою 328 [5])
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
n\rightarrow \infty
f(e)(n) \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
n
= e - \gamma .
Доведемо явний результат щодо максимального порядку f(e).
Теорема 4. Для будь-якого n > 44100
f(e)(n) \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n
n
\geq Ce - \gamma , C = 0,993957. (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1072 А. В. ЛЕЛЕЧЕНКО
Доведення. Позначимо для стислостi f(n) = f(e)(n) \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} n/n.
Нехай функцiя s(n) пiдраховує простi числа, квадрати яких є дiльниками n: s(n) =
=
\sum
p2| n
1. Нехай pk позначає k-е просте: p1 = 2, p2 = 3 i т. д. Можна перевiрити, що
f(n) \leq f
\Bigl( \prod
p\leq ps(n)
p2
\Bigr)
.
Ми покажемо, що нерiвнiсть (6) має мiсце для будь-якого n =
\prod
p\leq x
p2, де x \geq 11. На
таких числах маємо
f(n) =
\prod
p\leq x
(1 - p - 1) \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\left( 2
\sum
p\leq x
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} p
\right) ,
i наша задача полягає в оцiнюваннi правої частини знизу. Дусарт [3] довiв, що для x \geq x0 =
= 10 544 111 \sum
p\leq x
p - 1 \leq \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x+B +
1
10 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 x
+
4
15 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}3 x
, (7)
\sum
p\leq x
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} p \geq x
\biggl(
1 - 0,006788
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
\biggr)
. (8)
Тепер, оскiльки \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - y - y2/2 - cy3) \leq 1 - y для 0 \leq y \leq 1/2 i c = 8 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 2 - 5,\prod
p\leq x
(1 - p - 1) \geq
\prod
p\leq x
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - p - 1 - p - 2/2 - cp - 3) \geq
\geq
\Biggl( \prod
p
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - p - 2/2 - cp - 3)
\Biggr) \prod
p\leq x
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - p - 1) =: C1
\prod
p\leq x
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - p - 1),
де C1 = 0,725132. З (7) для x \geq x0 випливає
\prod
p\leq x
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - p - 1) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( -
\sum
p\leq x
p - 1
\right) \geq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} - 1 x \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- B - 1
10 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 x
- 4
15 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}3 x
\biggr)
\geq
\geq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} - 1 x \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
- B - 1
10 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 x0
- 4
15 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}3 x0
\biggr)
=: C2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
- 1 x,
де C2 = 0,769606. Згiдно з (8) для x \geq x0
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\left( 2
\sum
p\leq x
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} p
\right) \geq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
\biggl(
2x
\biggl(
1 - 0,006788
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x
\biggr) \biggr)
\geq \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x.
Отже, за умов x \geq x0, n =
\prod
p\leq x p
2 маємо
f(n) \geq C1C2 = 0,993957e - \gamma . (9)
Обчислення показують, що насправдi (9) має мiсце для p5 = 11 \leq x < x0 i n = (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7)2 =
= 44100 є найбiльшим винятком форми
\prod
p\leq x
p2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ТА IНФIНIТАРНI ДIЛЬНИКИ 1073
Для завершення доведення достатньо показати, що теорема виконується для кожного n >
> 44100 з s(n) \leq 4. По-перше, можна перевiрити, що єдиними квадратноповними k, для
яких f(k) \geq Ce - \gamma i s(k) \leq 4, є 4, 8, 9, 36, 900, 44100. По-друге, нехай n = kl, де k > 1
позначає квадратноповну частину, а l — квадратновiльну частину, \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(k, l) = 1. Тодi
f(n) =
f(e)(k) \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} k
k
f(e)(l)
l
\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} kl
\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} k
\geq 2 \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 4
4
\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 4l
\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 4
=
\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 4l
2
.
Ця нерiвнiсть показує, що якщо f(n) \leq Ce - \gamma , то \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} 4l \leq 2Ce - \gamma , тобто l \leq 5.
Таким чином, повний список пiдозрiлих чисел має вигляд\bigl\{
kl | k \in (4, 8, 9, 36, 900, 44100), l \in \{ 1, 2, 3, 5\} , \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(k, l) = 1
\bigr\}
i всi вони меншi або дорiвнюють 44100.
Теорема 5. Має мiсце така оцiнка суматорної функцiї вiд f(e) :\sum
n\leq x
f(e)(n) = Cx2 +O(x \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}5/3 x),
де C — обчислювана константа.
Доведення. Нехай s — таке комплексне число, що \sigma > 4/5. Для a \geq 4 маємо f(e)(pa) =
= pa +O(pa/2) i
\sum \infty
a=4
pa/2 - 4a/5 =
\sum \infty
a=4
p - 3a/10 \ll p - 12/10 \ll p - 1. Звiдси
\frakF (p) :=
\infty \sum
a=0
f(e)(pa)p - as = 1 + p1 - s + (p2 - 2s - p1 - 2s) + (p3 - 3s - p1 - 3s) +
\infty \sum
a=4
pa - as +O(p - 1).
Тодi
(1 - p1 - s)\frakF (p) = 1 - p1 - 2s + p2 - 3s - p1 - 3s + p2 - 4s +O(p - 1) = 1 - p1 - 2s + p2 - 3s +O(p - 1)
i
(1 - p1 - s)(1 - p2 - 3s)
1 - p1 - 2s
\frakF (p) = 1 +O(p - 1).
Перемножаючи по p, отримуємо
\infty \sum
n=1
f(e)(n)n - s =
\prod
p
\frakF (p) =
\zeta (s - 1)\zeta (3s - 2)
\zeta (2s - 1)
G(s),
де G(s) збiгається абсолютно при \sigma > 4/5. Це означає, що f(e) = z \star g, де
z(n) =
\sum
n1n2
2n
3
3=n
n1\mu (n2)n2n
2
3
i
\sum
n\leq x
| g(n)| \ll x4/5+\varepsilon .
Згiдно з теоремою 1 [17] маємо
\sum
n1n3
3\leq y
n1n
2
3 = y2\zeta (4)/2 +O(y \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2/3 y), тож
\sum
n\leq x
z(n) =
\sum
n2\leq x1/2
\mu (n2)n2
\biggl(
\zeta (4)
2
x2
n4
2
+O
\biggl(
x
n2
2
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2/3 x
\biggr) \biggr)
=
\zeta (4)
2\zeta (3)
x2 +O(x \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}5/3 x).
Стандартний метод згортки завершує доведення теореми 5.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1074 А. В. ЛЕЛЕЧЕНКО
4. Значення \bfittau \infty та \bfittau (\bfite )\infty . Зазначимо, що \tau \infty (p) = \tau \infty (p2) = \tau \infty (p4) = 2, \tau \infty (p3) =
= \tau \infty (p5) = 4 i взагалi
\tau \infty (pa) = 2u(a), (10)
де u(a) дорiвнює числу одиниць у двiйковому записi a. Таким чином, \tau \infty (pa) \leq a+1 i \tau \infty (n) \ll
\ll n\varepsilon .
Теорема 6. Для суматорної функцiї вiд \tau \infty маємо\sum
n\leq x
\tau \infty (n) = (D1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x+D2)x+ E(x),
де D1, D2 — обчислюванi константи. У безумовному випадку
E(x) \ll x1/2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - A \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}3/5 x \mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} - 1/5 x), A > 0,
а за умови чинностi гiпотези Рiмана E(x) \ll x5/11+\varepsilon .
Доведення. Перетворимо ряд Дiрiхле для \tau \infty на добуток дзета-функцiй:
\infty \sum
n=1
\tau \infty (n)n - s =
\prod
p
\infty \sum
a=0
\tau \infty (pa)p - as =
\prod
p
\bigl(
1 + 2p - s + 2p - 2s + 4p - 3s +O(p\varepsilon - 4s)
\bigr)
=
=
\prod
p
\bigl(
1 +O(p\varepsilon - 4s)
\bigr)
(1 - p - 2s)
(1 - p - s)2(1 - p - 3s)2
=
\zeta 2(s)\zeta 2(3s)
\zeta (2s)
G(s),
де ряд G(s) збiгається абсолютно при \sigma > 1/4.
З теореми 6.8 [11] разом з оцiнкою \theta 2 < 131/416 + \varepsilon з [6] випливає\sum
n\leq x
\tau (1, 1, 3, 3;n) = (C1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x+ C2) + (C3 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x+ C4)x
1/3 +O(x547/1664+\varepsilon ).
Твердження теореми тепер можна отримати як наслiдок теореми Iвiча з [8] (теорема 2). На
жаль, член (C3 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x+ C4)x
1/3 буде поглинений залишковим членом.
Теорему 6 доведено.
Теорема 7. Для квадрата \tau \infty виконується оцiнка\sum
n\leq x
\bigl(
\tau \infty (n)
\bigr) 2
= P3(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x)x+O(x1/2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}9 x), (11)
де P3 — полiном, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}P3 = 3.
Доведення. Маємо
\bigl(
\tau \infty (p)
\bigr) 2
=
\bigl(
\tau \infty (p2)
\bigr) 2
= 4, тому
F (s) :=
\infty \sum
n=1
\bigl(
\tau \infty (n)
\bigr) 2
n - s =
\zeta 4(s)
\zeta 6(2s)
H(s),
де ряд H(s) абсолютно збiгається при \sigma > 1/3.
Згiдно з формулою Перрона при c := 1 + 1/ \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x, \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} T \asymp \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ТА IНФIНIТАРНI ДIЛЬНИКИ 1075
\sum
n\leq x
\bigl(
\tau \infty (n)
\bigr) 2
=
1
2\pi i
c+iT\int
c - iT
F (s)xss - 1ds+O(x1+\varepsilon T - 1).
Зрушуючи контур до [1/2 - iT, 1/2 + iT ], отримуємо\sum
n\leq x
\bigl(
\tau \infty (n)
\bigr) 2
= \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}
s=1
F (s) xs s - 1 +O(I0 + I - + I+ + x1+\varepsilon T - 1),
де
I0 :=
1/2+iT\int
1/2 - iT
F (s)xss - 1ds, I\pm :=
c\pm iT\int
1/2\pm iT
F (s)xss - 1ds.
Функцiя F (s)xss - 1 має полюс четвертого порядку в s = 1, отже, \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}s=1 F (s)xss - 1 має ви-
гляд P3(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} x)x. Оцiнимо залишковий член.
Виберемо T = x3/4. По-перше,
I+ \ll T - 1
c\int
1/2
\zeta 4(\sigma + iT )
\zeta 6(2\sigma + 2iT )
x\sigma d\sigma .
Використовуючи класичнi оцiнки \zeta (\sigma + iT ) \ll T (1 - \sigma )/3 для \sigma \in [1/2, 1) та \zeta (\sigma + iT ) \ll T \varepsilon
для s \not = \sigma \geq 1, отримуємо I+ \ll x1/4+\varepsilon . Те саме має мiсце i для I - .
По-друге, враховуючи оцiнки \zeta - 1(1+ it) \ll \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2/3 t та
\int T
1
\zeta (1/2+ it)2t - 1dt \ll \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}5 T (див.
[9] або [21]), маємо
I0 \ll x1/2
T\int
1
\zeta 4(1/2 + it)
\zeta 6(1 + 2it)
dt
t
\ll x1/2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}9 T. (12)
Теорему 7 доведено.
Нещодавно Джiа й Санкаранараянан [10] довели, що
T\int
1
\zeta 4(1/2 + it)
\zeta k(1 + 2it)
dt \ll T \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}4 T.
Отже, пiдсумовуючи iнтеграли за iнтервалами [2n, 2n+1] для n = 0, . . . , \lfloor \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2 T \rfloor , одержуємо
T\int
1
\zeta 4(1/2 + it)
\zeta k(1 + 2it)
dt
t
\ll \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}5 T.
Таким чином, замiсть (12) отримуємо I0 \ll x1/2 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}5 x, що дає кращу оцiнку залишкового члена
в (11).
Функцiя E\tau \infty має ряд Дiрiхле \zeta (s)\zeta (2s)\zeta - 1(4s)H(s), де H(s) збiгається абсолютно за
умови \sigma > 1/5. Функцiя E\tau \infty дуже схожа на функцiю t(e), що вивчалася Тотом [23] та Петер-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1076 А. В. ЛЕЛЕЧЕНКО
манном [16]. Останнiй отримав залишковий член O(x1/4) в асимптотичнiй оцiнцi
\sum
n\leq x
t(e);
такий же результат має мiсце i для E\tau \infty .
Ряд Дiрiхле для
\bigl(
E\tau \infty (n)
\bigr) 2
дуже схожий на ряд для
\bigl(
\tau (e)(n)
\bigr) 2
: обидва вони дорiвню-
ють \zeta (s)\zeta 3(2s)H(s), де H(s) збiгається абсолютно при \sigma > 1/3. Кретцель [13] довiв, що
асимптотичний розклад
\sum
n\leq x
\bigl(
\tau (e)(n)
\bigr) 2
має залишковий член O(x10/31); те ж саме викону-
ється i для
\bigl(
E\tau \infty (n)
\bigr) 2
.
5. Е-\infty -досконалi числа. Нехай \sigma (e)\infty — функцiя суми е-\infty -дiльникiв, означення яких
було наведене в пунктi 1. Будемо казати, що число n є е-\infty -досконалим, якщо \sigma (e)\infty (n) = 2n.
Оскiльки \sigma (e)\infty (n)/n залежить лише вiд квадратноповної частини n, далi розглядатимемо лише
квадратноповнi n. Наступнi числа є е-\infty -досконалими:
36, 2700, 1800, 4769 856, 357 739 200, 238 492 800, 54 531 590 400,
1307 484 087 615 221 689 700 651 798 824 550 400 000.
Всi вони є також е-досконалими, тобто \sigma (e)(n) = 2n. Нам невiдомо, чи iснують е-\infty -досконалi,
але не е-досконалi числа.
Рiвняння (10) приводить до того, що \tau \infty (n) є парним для n \not = 1. Тому при p > 2 та a > 1
значення \sigma (e)\infty (pa) є сумою парної кiлькостi непарних доданкiв i тому є парним числом. Таким
чином, якщо n непарне i \sigma (e)\infty (n) = 2n, то n = pa, p > 2. Але, мабуть, \sigma (e)\infty (pa) \leq \sigma (pa) <
< 2pa. Як висновок, всi е-\infty -досконалi числа є парними.
Чи iснують е-\infty -досконалi числа, якi не дiляться на 3? Для е-досконалих чисел Фабриков-
ськi й Суббарао [4] отримали, що якщо \sigma (e)(n) = 2n та 3 \nmid n, то n > 10664. Ми покажемо, що
у випадку е-\infty -досконалих чисел можна отримати навiть кращу оцiнку.
Лема 1. Мають мiсце такi явнi верхнi оцiнки функцiї \sigma (e)\infty :
\sigma (e)\infty (pa)
pa
\leq 1 + 2p - a/2 для a \geq 6, (13)
\sigma (e)\infty (pa)
pa
\leq 1 + p - 2 для a \geq 3. (14)
Доведення. Для a \geq 6 усi невласнi дiльники a меншi або дорiвнюють a/2, тому
\sigma (e)\infty (pa) \leq pa +
a/2\sum
b=1
pb \leq pa + p(pa/2 - 1)/(p - 1) \leq pa + 2pa/2.
Звiдси випливає (13). Нерiвнiсть (14) можна безпосередньо перевiрити для a = 3, 4, 5, i вона
є наслiдком (13) при a \geq 6.
Лема 2. Нехай b(t) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\tau \geq t \sigma
(e)\infty (2\tau )2 - \tau — допомiжна функцiя. Тодi
b(t) \leq
\left\{
3/2, t \leq 2,
5/4, t = 3,
39/32, 3 < t \leq 6,
1 + 21 - t/2, t > 6.
(15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ТА IНФIНIТАРНI ДIЛЬНИКИ 1077
Доведення випливає з (13) та безпосереднiх обчислень: \sigma (e)\infty (23) = 10, \sigma (e)\infty (26) = 78.
Теорема 8. Якщо n є е-\infty -досконалим i 3 \nmid n, то n > 1,35 \cdot 10816.
Доведення. Насправдi ми встановимо нижню оцiнку таких квадратноповних n, що для
u/v = \sigma (e)\infty (n)/n, \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(u, v) = 1, маємо
3 \nmid u, 3 \nmid v, (16)
2 | u, 4 \nmid u, 2 \nmid v, (17)
u/v \geq 2. (18)
Якщо цi умови не виконуються, то n або не є е-\infty -досконалим, або 3 | n.
Нехай
n = 2t
\prod
p\in P
p2
\prod
q\in Q
qaq , t \geq 1, aq \geq 3,
де множини P та Q складаються з простих чисел, якi бiльшi або дорiвнюють 5, i P \cap Q = \varnothing .
Тодi
u
v
=
\sigma (e)\infty (n)
n
=
\sigma (e)\infty (2t)
2t
\prod
p\in P
p+ 1
p
\prod
q\in Q
\sigma (e)\infty (qaq)
qaq
.
З (16) випливає, що всi p \in P мають вигляд p = 6k + 1. Розiб’ємо P на три множини:
P8 = \{ p \in P | p+1 \equiv 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 8)\} , P4 = \{ p \in P | p+1 \equiv 4 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 8)\} , P2 = P \setminus P4 \setminus P8.
Позначимо t2 = | P2| , t4 = | P4| , t8 = | P8| . Тодi умова (17) приводить до того, що t \geq
\geq t2 + 2t4 + 3t8 + | Q| + 1. Тепер використаємо (18), щоб отримати
2 \leq u
v
\leq b(t2 + 2t4 + 3t8 + | Q| + 1)
\prod
p\in P
(1 + p - 1)
\prod
p\in Q
(1 + q - 2) =
= b(t2 + 2t4 + 3t8 + | Q| + 1)
\prod
p\in P
1 + p - 1
1 + p - 2
\prod
q\in P\cup Q
(1 + q - 2).
Але \prod
q\in P\cup Q
(1 + q - 2) \leq
\prod
q(1 + q - 2)
(1 + 2 - 2)(1 + 3 - 2)
=
\zeta (2)/\zeta (4)
25/18
=
54
5\pi 2
, (19)
отже, маємо
10\pi 2
54
\leq b(t2 + 2t4 + 3t8 + 1)
\prod
p\in P
1 + p - 1
1 + p - 2
.
Позначимо f(p) = (1 + p - 1)/(1 + p - 2). Оскiльки f є спадною, то оцiнимо
\prod
p\in P
f(p) =
\prod
j\in \{ 2,4,8\}
p\in Pj
f(p) \leq
t2\prod
k=1
f(p2,k)
t4\prod
k=1
f(p4,k)
t8\prod
k=1
f(p8,k),
де p2 — послiдовнiсть таких послiдовних простих чисел, що p2,k \equiv 1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 6) i p2,k + 1 \not \equiv 0
(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4); p4 — послiдовнiсть таких послiдовних простих чисел, що p4,k \equiv 1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 6), але
p4,k + 1 \equiv 4 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 8), i, нарештi, p8 є такою, що p8,k \equiv 1 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 6), p8,k + 1 \equiv 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 8).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1078 А. В. ЛЕЛЕЧЕНКО
Тепер умови (16) – (18) можна записати у виглядi
n \geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
t2,t4,t8
\left\{ 2t2+2t4+3t8+1
\prod
j\in \{ 2,4,8\}
tj\prod
k=1
p2j,k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 10\pi 2
54
\leq b(t2 + 2t4 + 3t8 + 1)
\prod
j\in \{ 2,4,8\}
tj\prod
k=1
1 + p - 1
j,k
1 + p - 2
j,k
\right\} .
Ця екстремальна задача може бути розв’язана чисельно з використанням (15):
t2 = 70, t4 = 32, t8 = 31, n > 8,49 \cdot 10801.
Ми можемо використати множники n, що знаходяться у
\prod
q\in Q
qaq , щоб додатково покра-
щити отриману оцiнку. Припустимо, що хоча б одне з простих 5, 11, 17, 23 (всi вигляду 6k - 1)
не входить в Q. Тодi замiсть (19) отримаємо\prod
q\in P\cup Q
(1 + q - 2) \leq 54
5\pi 2(1 + 23 - 2)
.
Iз вищевказаних аргументiв також випливає, що у цьому випадку n > 3 \cdot 10823. З iншого боку,
якщо 5, 11, 17 та 23 одночасно мiстяться в Q, то маємо n > (8,49 \cdot 10801) \cdot (5 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 23)3 \cdot 24 >
> 1,35 \cdot 10816.
Теорему 8 доведено.
Лiтература
1. Cohen G. L. On an integer’s infinitary divisors // Math. Comput. – 1990. – 54, № 189. – P. 395 – 411.
2. Cohen G. L., Hagis Jr. P. Arithmetic functions associated with the infinitary divisors of an integer // Int. J. Math. and
Math. Sci. – 1993. – 16, № 2. – P. 373 – 383.
3. Dusart P. Inegalites explicites pour \psi (X), \theta (X), \pi (X) et les nombres premiers // C. R. Math. Acad. Sci., Soc.
Roy. Can. – 1999. – 21, № 2. – P. 53 – 59.
4. Fabrykowski J., Subbarao M. V. On e-perfect numbers not divisible by 3 // Nieuw arch. wisk. – 1986. – 4. –
P. 165 – 173.
5. Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers. – New York: Oxford Univ. Press, 2008. –
xxi+635 p.
6. Huxley M. N. Exponential sums and the Riemann zeta function V // Proc. London Math. Soc. – 2005. – 90, № 1. –
P. 1 – 41.
7. Ivić A. Two inequalities for the sum of divisors functions // Zb. Rad., Prir.-Mat. Fak., Univ. Novom Sadu. – 1977. –
7. – P. 17 – 22.
8. Ivić A. A convolution theorem with applications to some divisor functions // Publ. Inst. Math. Nouv. Ser. – 1978. –
24, № 38. – P. 67 – 78.
9. Ivić A. The Riemann zeta-function: theory and applications. – Mineola; New York: Dover Publ., 2003. – 562 p.
10. Jia C., Sankaranarayanan A. The mean square of divisor function. – 2014. – URL: http://arxiv.org/pdf/1311.4041v2.
11. Krätzel E. Lattice points. – Dordrecht: Kluwer, 1988. – 436 p.
12. Krätzel E. Estimates in the general divisor problem // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. – 1992. – 62, № 1. –
P. 191 – 206.
13. Krätzel E. New estimates in the four-dimensional divisor problem with applications // Acta Math. hung. – 2010. –
126, № 3. – P. 258 – 278.
14. Kühleitner M., Nowak W. G. An omega theorem for a class of arithmetic functions // Math. Nachr. – 1994. – 165,
№ 1. – P. 79 – 98.
15. Minculete N., Tóth L. Exponential unitary divisors // Ann. Univ. sci. budapest. Sec. comput. – 2011. – 35. –
P. 205 – 216.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНI ТА IНФIНIТАРНI ДIЛЬНИКИ 1079
16. Pétermann Y.-F. S. Arithmetical functions involving exponential divisors: Note on two papers by L. Tóth // Ann.
Univ. sci. budapest. Sec. comput. – 2010. – 32. – P. 143 – 149.
17. Pétermann Y.-F. S., Wu J. On the sum of exponential divisors of an integer // Acta Math. hung. – 1997. – 77, № 1-2. –
P. 159 – 175.
18. Subbarao M. V. On some arithmetic convolutions // Theory of Arithmetical Functions: Proc. Conf. Western Mich.
Univ., April 29 – May 1, 1971. – Berlin: Springer-Verlag, 1972. – P. 247 – 271.
19. Suryanarayana D., Sita Rama Chandra Rao R. On the true maximum order of a class of arithmetic functions // Math.
J. Okayama Univ. – 1975. – 17. – P. 95 – 101.
20. The on-line encyclopedia of integer sequences / Ed. by N. J. A. Sloane. – URL: http://oeis.org.
21. Titchmarsh E. C. The theory of the Riemann zeta-function. – New York: Oxford Univ. Press, 1986. – 418 p.
22. Tóth L. On certain arithmetic functions involving exponential divisors // Ann. Univ. sci. budapest. Sec. comput. –
2004. – 24. – P. 285 – 294.
23. Tóth L. On certain arithmetic functions involving exponential divisors II // Ann. Univ. sci. budapest. Sec. comput. –
2007. – 27. – P. 155 – 166.
24. Tóth L. An order result for the exponential divisor function // Publ. Math. Debrecen. – 2007. – 71, № 1-2. –
P. 165 – 171.
25. Wu J. Probleme de diviseurs exponentiels et entiers exponentiellement sans facteur carre // J. Theor. Nombres Bordx.
– 1995. – 7, № 1. – P. 133 – 141.
Одержано 14.06.14,
пiсля доопрацювання — 04.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1902 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:55Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8f/68f9769d39b149cada75afb67746138f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19022019-12-05T09:31:14Z Exponential and infinitary divisors Експоненціальні та інфінітарні дільники Lelechenko, A. V. Лелеченко, А. В. We study several problems in the field of modified divisors; more precisely, from the theory of exponential and infinitary divisors.We analyze the behavior of modified divisors, sum-of-divisors, and totient functions. Our main results are connected with the asymptotic behavior of mean values and explicit estimates of the extremal orders. Статья посвящена некоторым вопросам из области модифицированных делителей, а именно теории экспоненциальных и инфинитарных делителей. Изучается поведение аналогов функции делителей, функции суммы делителей и функции Эйлера. Получены новые асимптотические оценки этих функций в среднем и явные оценки их экстремальных значений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1902 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 8 (2016); 1068-1079 Український математичний журнал; Том 68 № 8 (2016); 1068-1079 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1902/884 Copyright (c) 2016 Lelechenko A. V. |
| spellingShingle | Lelechenko, A. V. Лелеченко, А. В. Exponential and infinitary divisors |
| title | Exponential and infinitary divisors |
| title_alt | Експоненціальні та інфінітарні дільники |
| title_full | Exponential and infinitary divisors |
| title_fullStr | Exponential and infinitary divisors |
| title_full_unstemmed | Exponential and infinitary divisors |
| title_short | Exponential and infinitary divisors |
| title_sort | exponential and infinitary divisors |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1902 |
| work_keys_str_mv | AT lelechenkoav exponentialandinfinitarydivisors AT lelečenkoav exponentialandinfinitarydivisors AT lelechenkoav eksponencíalʹnítaínfínítarnídílʹniki AT lelečenkoav eksponencíalʹnítaínfínítarnídílʹniki |