Widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables
We establish the exact-order estimates of Kolmogorov and orthoprojective widths of anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables in the spaces $L_q$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1903 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507791819538432 |
|---|---|
| author | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. |
| author_facet | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. |
| author_sort | Myronyuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:14Z |
| description | We establish the exact-order estimates of Kolmogorov and orthoprojective widths of anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables in the spaces $L_q$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Миронюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
We establish the exact-order estimates of Kolmogorov and orthoprojective widths of anisotropic Besov classes of periodic
functions of several variables in the spaces Lq.
Установлены точные по порядку оценки колмогоровских и ортопроекционных поперечников анизотропных классов
Бесова периодических функций многих переменных в пространствах Lq.
Дану роботу присвячено дослiдженню анiзотропних класiв Бєсова \BbbB \bfitR
p, \theta перiодичних функцiй
багатьох змiнних з точки зору їх наближення у просторi Lq. Роль апрокcимативних характерис-
тик вiдiграють колмогоровський та ортопроекцiйний поперечники.
Робота складається iз трьох пунктiв. У першому та другому пунктах означено основнi
задiянi об’єкти (функцiональнi простори, вiдповiднi їм функцiональнi класи та апроксимативнi
характеристики), а також наведено необхiднi допомiжнi твердження. Основнi результати роботи
сформульовано та доведено у третьому пунктi.
1. Функцiональнi простори та класи. Нехай \BbbR d, d \geq 1, позначає d-вимiрний евклi-
дiв простiр точок \bfitx = (x1, . . . , xd) з дiйсними координатами i Lp = Lp(\pi d) — простiр 2\pi -
перiодичних по кожнiй змiннiй i сумовних у степенi p, 1 \leq p <\infty , на кубi \pi d =
\prod d
j=1
[0, 2\pi )
(вiдповiдно суттєво обмежених при p = \infty ) функцiй f(\bfitx ) = f(x1, . . . , xd). Норма у цьому
просторi визначається таким чином:
\| f\| p =
\left\{
\left( 1
(2\pi )d
\int
\pi d
| f(\bfitx )| pd\bfitx
\right) 1/p
, 1 \leq p <\infty ,
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfitx \in \pi d
| f(\bfitx )| , p = \infty .
Для функцiї f \in Lp означимо кратну рiзницю \Delta l
h,jf(\bfitx ), \bfitx \in \BbbR d, порядку l \in \BbbN за змiнною
xj з кроком h \in \BbbR згiдно з формулою
\Delta l
h,jf(\bfitx ) =
l\sum
k=0
( - 1)k+lCk
l f(\bfitx + kh\bfite \bfitj ),
де Ck
l — бiномiальнi коефiцiєнти, \{ \bfite \bfitj \} dj=1 — стандартний векторний базис у просторi \BbbR d.
Базуючись на поняттi кратної рiзницi \Delta l
h,jf, означимо вiдповiдний модуль неперервностi
l-го порядку функцiї f \in Lp за змiнною xj згiдно з формулою
\omega l(f, \bfite \bfitj , t)p = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| h| \leq t
\bigm\| \bigm\| \Delta l
h,jf
\bigm\| \bigm\|
p
.
c\bigcirc В. В. МИРОНЮК, 2016
1080 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1081
Означення 1. Нехай \bfitl = (l1, . . . , ld) \in \BbbN d, \bfitR = (r1, . . . , rd) \in \BbbR d i 0 < rj < lj , j = 1, d.
Тодi нормований простiр B\bfitR
p, \theta , 1 \leq p, \theta \leq \infty , визначається таким чином:
B\bfitR
p,\theta =
\left\{ f \in Lp : \| f\| B\bfitR
p,\theta
= \| f\| p +
d\sum
j=1
| f |
B
rj
p,\theta ,j
<\infty
\right\} ,
де
| f |
B
rj
p,\theta ,j
=
\left\{
\left( +\infty \int
0
\biggl(
\omega lj (f, \bfite \bfitj , t)p
trj
\biggr) \theta
dt
t
\right) 1/\theta
, 1 \leq \theta <\infty ,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t>0
\omega lj (f, \bfite \bfitj , t)p
trj
, \theta = \infty .
Простори B\bfitR
p,\theta (а також їхнi аналоги в неперiодичному випадку), з дещо iншою заданою
у них нормою, вперше було розглянуто О. В. Бєсовим [1]. У випадку \theta = \infty вони збiгаються
з просторами H\bfitR
p , якi було введено С. М. Нiкольським [2]. Такi функцiональнi простори
прийнято називати анiзотропними, оскiльки гладкiснi властивостi функцiй iз цих просторiв,
взагалi кажучи, неоднаковi по кожнiй змiннiй. Якщо ж \bfitR = (r, . . . , r) \in \BbbR d i 0 < r < l, l \in \BbbN ,
то B\bfitR
p,\theta називають iзотропними просторами Нiкольського – Бєсова, якi далi будемо позначати
через Br
p,\theta .
Для вектора \bfitR iз означених вище просторiв B\bfitR
p,\theta покладемо
g(\bfitR ) =
\left( d\sum
j=1
1
rj
\right) - 1
,
\bfitrho =
g(\bfitR )
\bfitR
=
\biggl(
g(\bfitR )
r1
, . . . ,
g(\bfitR )
rd
\biggr)
= (\rho 1, . . . , \rho d),
2\bfitrho n = (2\rho 1n, . . . , 2\rho dn), n \in \BbbZ +,
[2\bfitrho n] =
\bigl(
[2\rho 1n], . . . , [2\rho dn]
\bigr)
,
де запис [a] означає цiлу частину числа a \in \BbbR .
Пiд поняттям „класи \BbbB \bfitR
p,\theta ” будемо розумiти одиничнi кулi у просторах B\bfitR
p,\theta , тобто \BbbB \bfitR
p,\theta =
=
\Bigl\{
f \in Lp : \| f\| B\bfitR
p,\theta
\leq 1
\Bigr\}
. Вiдповiдно одиничнi кулi у просторах H\bfitR
p та Br
p,\theta позначатимемо
через \BbbH \bfitR
p та \BbbB r
p,\theta .
Далi запис A \asymp B означає, що iснують додатнi сталi C1 та C2, якi не залежать вiд одного
iстотного по контексту параметра у величинах A та B (наприклад, у наведеному нижче спiв-
вiдношеннi (1) — вiд функцiї f ) i такi, що C1A \leq B \leq C2A. Якщо B \leq C2A (B \geq C1A), то
пишемо B \ll A (B \gg A).
У наведених нижче мiркуваннях нам буде зручно користуватись еквiвалентним означенням
норми функцiй iз просторiв B\bfitR
p,\theta .
Отже, нехай Vn, n \in \BbbN , позначає одновимiрне ядро Валле Пуссена:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1082 В. В. МИРОНЮК
Vn(t) = 1 + 2
n\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ 2
2n - 1\sum
k=n+1
2n - k
n
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt, t \in \BbbR .
Означимо багатовимiрне ядро Валле Пуссена V\bfitN , \bfitN = (N1, . . . , Nd) \in \BbbN d, згiдно з формулою
V\bfitN (\bfitx ) =
d\prod
j=1
VNj (xj), \bfitx \in \BbbR d.
Через \BbbV \bfitN позначимо оператор Валле Пуссена, який кожнiй функцiї f \in Lp , 1 \leq p \leq \infty ,
ставить у вiдповiднiсть згортку цiєї функцiї з багатовимiрним ядром V\bfitN , тобто
\BbbV \bfitN (f,\bfitx ) = (f \ast V\bfitN ) (\bfitx ) =
1
(2\pi )d
\int
\pi d
f(\bfitt )V\bfitN (\bfitx - \bfitt )d\bfitt .
Покладемо також
\sigma 0(f,\bfitR ,\bfitx ) = \BbbV 1(f,\bfitx ), \sigma s(f,\bfitR ,\bfitx ) = \BbbV [2\bfitrho s](f,\bfitx ) - \BbbV [2\bfitrho (s - 1)](f,\bfitx ), s \in \BbbN .
У прийнятих позначеннях простори B\bfitR
p,\theta можна означити еквiвалентним чином. А саме,
має мiсце таке твердження.
Теорема А [3]. Функцiя f \in Lp належить простору B\bfitR
p,\theta , 1 \leq p \leq \infty , 1 \leq \theta <\infty , тодi i
тiльки тодi, коли \Biggl( \infty \sum
s=0
2sg(\bfitR )\theta \| \sigma s(f,\bfitR )\| \theta p
\Biggr) 1/\theta
<\infty ,
причому
\| f\| B\bfitR
p,\theta
\asymp
\Biggl( \infty \sum
s=0
2sg(\bfitR )\theta \| \sigma s(f,\bfitR )\| \theta p
\Biggr) 1/\theta
. (1)
Вiдповiдно функцiя f \in Lp належить простору B\bfitR
p,\infty , 1 \leq p \leq \infty , тодi i тiльки тодi, коли
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbZ +
2sg(\bfitR )\| \sigma s(f,\bfitR )\| p <\infty ,
причому
\| f\| B\bfitR
p,\infty
\asymp \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbZ +
2sg(\bfitR )\| \sigma s(f,\bfitR )\| p.
Зазначимо, що з урахуванням нерiвностей
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbZ +
| \nu s| \leq
\Biggl( \infty \sum
s=0
| \nu s| \theta 2
\Biggr) 1/\theta 2
\leq
\Biggl( \infty \sum
s=0
| \nu s| \theta 1
\Biggr) 1/\theta 1
, 1 \leq \theta 1 < \theta 2 <\infty ,
якi виконуються для будь-якої послiдовностi чисел \{ \nu s\} \infty s=0 (див., наприклад, [4, c. 149]), iз
теореми А випливають вкладення
B\bfitR
p,1 \subset B\bfitR
p,\theta 1 \subset B\bfitR
p,\theta 2 \subset B\bfitR
p,\infty \equiv H\bfitR
p , 1 < \theta 1 < \theta 2 <\infty . (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1083
2. Апроксимативнi характеристики та допомiжнi твердження. У цьому пунктi наведемо
означення апроксимативних характеристик, що дослiджуються у роботi, а також сформулюємо
кiлька допомiжних тверджень, якi знадобляться при доведеннi отриманих результатiв.
Нехай \scrX — нормований простiр, \scrL m(\scrX ) — сукупнiсть усiх лiнiйних пiдпросторiв \scrX роз-
мiрностi не бiльшої за m i \Phi — центрально-симетрична пiдмножина в \scrX .
Означення 2. Колмогоровським поперечником множини \Phi у просторi \scrX називається ве-
личина
dm(\Phi ,\scrX ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Lm\in \scrL m(\scrX )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \Phi
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in Lm
\| f - u\| \scrX . (3)
Поперечник dm(\Phi ,\scrX ) було введено у 1936 р. А. М. Колмогоровим [5]. Значення цiєї ве-
личини є теоретично найкращою точнiстю, з якою можна наблизити множину \Phi лiнiйними
пiдпросторами \mathrm{L}m розмiрностi m у метрицi простору \scrX . Якщо iснує пiдпростiр \mathrm{L}\ast
m, на якому
досягається точна нижня межа (або принаймнi її порядок), то його називають екстремальним
пiдпростором.
Нехай \{ uj\} mj=1 \subset L\infty — деяка ортонормована в L2 система функцiй i \BbbF \subset Lq , 1 \leq q \leq \infty ,
— деякий функцiональний клас. Для довiльної функцiї f \in Lq , 1 \leq q \leq \infty , покладемо
\langle f, uj\rangle =
1
(2\pi )d
\int
\pi d
f(\bfitx )uj(\bfitx )d\bfitx , j = 1,m.
Означення 3. Ортопроекцiйним поперечником функцiонального класу \BbbF у просторi Lq
називається величина
d\bot m(\BbbF , Lq) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\{ uj\} mj=1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbF
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
m\sum
j=1
\langle f, uj\rangle uj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
. (4)
Ортопроекцiйний поперечник було введено у 1982 р. В. М. Темляковим [6]. Дана величина
характеризує найкращi оператори Фур’є по системi \{ uj\} mj=1, i тому iнколи її називають Фур’є-
поперечником.
Зауважимо, що безпосередньо з означень величин (3) та (4) випливає спiввiдношення
dm(\BbbF , Lq) \leq d\bot m(\BbbF , Lq)
i, зокрема, для гiльбертового простору L2
dm(\BbbF , L2) = d\bot m(\BbbF , L2). (5)
Паралельно з поперечниками будемо дослiджувати величини dBm(\BbbF , Lq), якi також були
введенi В. М. Темляковим [6]:
dBm(\BbbF , Lq) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
G\in \frakL m(B)q
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbF \cap \scrD (G)
\| f - Gf\| q.
Тут \BbbF \subset Lq , 1 \leq q \leq \infty , — деякий функцiональний клас, а \frakL m(B)q — множина лiнiйних
операторiв, якi задовольняють такi умови:
а) область визначення \scrD (G) цих операторiв мiстить всi тригонометричнi полiноми, а їх
область значень мiститься в пiдпросторi розмiрностi m простору Lq;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1084 В. В. МИРОНЮК
б) число B \geq 1 i для будь-якого вектора \bfitk = (k1, . . . , kd) \in \BbbZ d виконується нерiвнiсть
\| Gei(\bfitk ,\bfitx )\| 2 \leq B.
Зауважимо, що до множини \frakL m(1)q належать, зокрема, оператори Валле Пуссена \BbbV [2\bfitrho n]
при m \geq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{T}(2[2\bfitrho n], d).
Легко бачити, що згiдно з означенням величини dBm(\BbbF , Lq) та d\bot m(\BbbF , Lq) пов’язанi мiж собою
нерiвнiстю
dBm(\BbbF , Lq) \leq d\bot m
\bigl(
\BbbF , Lq
\bigr)
. (6)
Як наслiдок, оцiнки знизу величин dBm(\BbbF , Lq) можуть слугувати оцiнками знизу для ортопроек-
цiйних поперечникiв d\bot m
\bigl(
\BbbF , Lq
\bigr)
.
Для вектора \bfitN = (N1, . . . , Nd) \in \BbbN d розглянемо далi множини
\scrK (\bfitN , d) =
\Bigl\{
\bfitk = (k1, . . . , kd) \in \BbbZ d : | kj | \leq Nj , j = 1, d
\Bigr\}
i
\mathrm{T}(\bfitN , d) =
\left\{ g : g(\bfitx ) =
\sum
\bfitk \in \scrK (\bfitN ,d)
c\bfitk e
i(\bfitk ,\bfitx ), c\bfitk \in \BbbC ,\bfitx \in \BbbR d
\right\} ,
де (\bfitk ,\bfitx ) = k1x1 + . . .+ kdxd. Зазначимо, що \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{T}(\bfitN , d) =
\prod d
j=1
(2Nj + 1).
Якщо \BbbF \subset Lq , 1 \leq q \leq \infty , — деякий функцiональний клас, то покладемо
E\bfitN (\BbbF )q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbF
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
g\in T(\bfitN ,d)
\| f - g\| q.
Наведемо тепер кiлька допомiжних тверджень, якi знадобляться при доведеннi отриманих
результатiв.
Теорема Б (див., наприклад, [4, с. 33]). Для функцiй \varphi \in L1 i f \in Lp, 1 \leq p \leq \infty , має
мiсце нерiвнiсть
\| f \ast \varphi \| p \leq \| \varphi \| 1\| f\| p, (7)
де (f \ast \varphi )(\bfitx ) = 1
(2\pi )d
\int
\pi d
f(\bfitt )\varphi (\bfitx - \bfitt )d\bfitt — згортка функцiй f i \varphi .
Теорема В [4, c. 159]. Якщо 1 \leq p \leq q \leq \infty , то для довiльного тригонометричного
полiнома g \in T (\bfitN , d) має мiсце нерiвнiсть
\| g\| q \leq 3d
\left( d\prod
j=1
Nj
\right)
1
p -
1
q
\| g\| p. (8)
Нерiвнiсть (8) називають нерiвнiстю рiзних метрик Нiкольського.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1085
Теорема Г [7] (роздiл 2). Нехай A \in \frakL m(B)q означено згiдно з спiввiдношенням
Aei(\bfitk ,\bfitx ) =
m\sum
j=1
b\bfitk j \psi j(\bfitx ), b\bfitk j \in \BbbC ,
де \{ \psi j\} mj=1 — ортонормована в L2 система функцiй. Тодi для кожного тригонометричного
полiнома g \in T
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
має мiсце спiввiдношення
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bfity =\bfitx
ReAg(\bfitx - \bfity ) \leq B
\sqrt{}
m \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{T}([2\bfitrho n], d) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bfitk
| \widehat g(\bfitk )| . (9)
Теорема Д [3]. Нехай 1 \leq p, q \leq \infty i g(\bfitR ) >
\biggl(
1
p
- 1
q
\biggr)
+
. Тодi при 1 \leq \theta <\infty має мiсце
порядкова оцiнка
E[2\bfitrho n](\BbbB \bfitR
p,\theta )q \asymp 2
- n
\Bigl(
g(\bfitR ) -
\Bigl(
1
p -
1
q
\Bigr)
+
\Bigr)
,
де a+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a, 0\} .
3. Основнi результати. У цьому пунктi при певних спiввiдношеннях мiж параметрами
встановлено точнi за порядком оцiнки величин dBm(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq), d
\bot
m(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq) та dm(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq) (див.
теореми 1 – 3).
Зауважимо, що у випадку \theta = \infty , тобто для класiв \BbbH \bfitR
p , результати, що вiдповiдають
теоремам 1 – 3, отримав В. М. Темляков [7] (роздiл 2). Однак теорему 1 для класiв \BbbH \bfitR
p було
доведено лише при умовi 1 \leq p \leq q \leq \infty . Зауважимо також, що для iзотропних класiв \BbbB r
p,\theta
порядковi оцiнки (10) та (20) ранiше було встановлено у роботi [8], а оцiнку (21) — у роботi [9].
Теорема 1. Нехай 1 \leq p, q \leq \infty i g(\bfitR ) >
\biggl(
1
p
- 1
q
\biggr)
+
. Тодi при 1 \leq \theta \leq \infty має мiсце
порядкова оцiнка
dBm(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq) \asymp m
- g(\bfitR )+
\Bigl(
1
p -
1
q
\Bigr)
+ , (10)
де a+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a, 0\} .
Доведення. Встановимо оцiнку зверху. Внаслiдок вкладення (2) її достатньо встановити
для класiв Нiкольського \BbbH \bfitR
p .
За заданим числом m \in \BbbN пiдберемо натуральне число n = n(m) так, щоб виконувались
спiввiдношення m \geq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{T}(2[2\bfitrho n], d) та m \asymp 2n. Розглянемо оператор Валле Пуссена \BbbV [2\bfitrho n].
Як зазначалося вище, такий оператор належить до множини \frakL m(1)q i тому
dBm(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq) \ll \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbH \bfitR
p
\| f - \BbbV [2\bfitrho n]f\| q. (11)
Залишилося зауважити, що для правої частини нерiвностi (11) має мiсце порядкова оцiнка
(див. [7], роздiл 2)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbH \bfitR
p
\| f - \BbbV [2\bfitrho n]f\| q \asymp m
- g(\bfitR )+
\Bigl(
1
p -
1
q
\Bigr)
+ .
Перейдемо до встановлення оцiнки знизу. Внаслiдок вкладення (2) її достатньо встановити
для класiв \BbbB \bfitR
p,1. В залежностi вiд того, яких значень набувають параметри p та q, розглянемо
два випадки.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1086 В. В. МИРОНЮК
Випадок 1: 1 \leq q \leq p \leq \infty .
Нехай задано натуральне число m i оператор G \in \frakL m(B)q. Пiдберемо натуральне число
n = n(m) так, щоб виконувались спiввiдношення 4 \cdot 9dB2m \leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{T}
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
та m \asymp 2n,
i покладемо A = \BbbV [2\bfitrho n]G. Зрозумiло, що область значень оператора A мiститься у деякому
лiнiйному пiдпросторi \mathrm{L}m \subset \mathrm{T}
\bigl(
2[2\bfitrho n], d
\bigr)
, розмiрнiсть якого дорiвнює m. Бiльше того, A \in
\in \frakL m(3dB)2, оскiльки з урахуванням (7)
\| Aei(\bfitk ,\bfitx )\| 2 = \| V[2\bfitrho n] \ast Gei(\bfitk ,\bfitx )\| 2 \leq 3d\| Gei(\bfitk ,\bfitx )\| 2 \leq 3dB. (12)
Звiдси робимо висновок, що iснує ортонормована в L2 система функцiй \{ \psi j\} mj=1 така, що
Aei(\bfitk ,\bfitx ) =
m\sum
j=1
b\bfitk j \psi j(\bfitx ), b\bfitk j \in \BbbC .
Покажемо, що необхiдну оцiнку знизу в (10) достатньо встановити для класу \BbbB \bfitR
p,1 \cap
\cap \mathrm{T}
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
та означеного вище оператора A. Дiйсно, з одного боку, згiдно з означенням
величини dBm(\BbbF , Lq) маємо
dBm(\BbbB \bfitR
p,1, Lq) \geq dBm(\BbbB \bfitR
p,1 \cap \mathrm{T}([2\bfitrho n], d), Lq). (13)
З iншого боку, якщо f \in \BbbB \bfitR
p,1 \cap \mathrm{T}
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
, то з урахуванням (7)
\| f - Af\| q = \| \BbbV [2\bfitrho n](f - Gf)\| q \leq 3d\| f - Gf\| q. (14)
Таким чином, беручи до уваги (13) та (14), одержуємо
dBm(\BbbB \bfitR
p,1, Lq) \gg \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
G\in \frakL m(B)q
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbB \bfitR
p,1\cap T([2\bfitrho n],d)
\| f - Af\| q. (15)
Для подальшої оцiнки правої частини (15) побудуємо екстремальну функцiю f1 \in \BbbB \bfitR
p,1 \cap
\cap \mathrm{T}
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
таку, що
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
G\in \frakL m(B)q
\| f1 - Af1\| q \gg m - g(\bfitR ).
Нехай \beta \bfitk = \langle Aei(\bfitk ,\bfitx ), ei(\bfitk ,\bfitx )\rangle . Тодi, використовуючи нерiвнiсть Гельдера для сум, отри-
муємо
\beta \bfitk =
\Biggl\langle
m\sum
j=1
b\bfitk j \psi j(\bfitx ), e
i(\bfitk ,\bfitx )
\Biggr\rangle
=
m\sum
j=1
b\bfitk j \langle \psi j(\bfitx ), e
i(\bfitk ,\bfitx )\rangle =
=
m\sum
j=1
b\bfitk j
\widehat \psi j(\bfitk ) \leq
\sqrt{} m\sum
j=1
| b\bfitk j | 2
\sqrt{} m\sum
j=1
| \widehat \psi j(\bfitk )| 2.
Далi, враховуючи рiвнiсть Парсеваля та спiввiдношення (12), маємо
\sum
\bfitk \in \BbbZ d
| \beta \bfitk | 2 \leq
\sum
\bfitk \in \BbbZ d
\| Aei(\bfitk ,\bfitx )\| 22
m\sum
j=1
| \widehat \psi j(\bfitk )| 2 \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1087
\leq 9dB2
m\sum
j=1
\sum
\bfitk \in \BbbZ d
| \widehat \psi j(\bfitk )| 2 = 9dB2
m\sum
j=1
\| \psi j\| 22 = 9dB2m. (16)
З останнього спiввiдношення робимо висновок, що iснує вектор \bfitk 0 \in \scrK
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
такий, що
| \beta \bfitk 0 | \leq
1
2
. (17)
Справдi, в iншому випадку отримали б\sum
\bfitk \in \BbbZ d
| \beta \bfitk | 2 >
1
4
\sum
\bfitk \in \scrK ([2\bfitrho n],d)
1 =
1
4
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{T}
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
\geq 9dB2m,
що суперечить (16).
Розглянемо тепер функцiю
f1(\bfitx ) = C32
- ng(\bfitR )ei(\bfitk
0,\bfitx ), C3 > 0,
i покажемо, що при деякому виборi сталої C3 > 0 вона належить класу \BbbB \bfitR
p,1.
Оскiльки
\sigma s(f,\bfitR ) = f \ast
\Bigl(
V[2\bfitrho s] - V[2\bfitrho (s - 1)]
\Bigr)
,
то внаслiдок ортогональностi тригонометричної системи функцiй \sigma s(f,\bfitR ) = 0 для довiльної
функцiї f, „номери” гармонiк якої не належать множинi \scrK (2[2\bfitrho s], d) \setminus \scrK
\bigl(
[2\bfitrho (s - 1)], d
\bigr)
. Звiдси,
зокрема, \sigma s(f1,\bfitR ) = 0 при s \geq n + 1. Але тодi, використовуючи спiввiдношення (1) та (7),
отримуємо
\| f1\| B\bfitR
p,1
\asymp
\infty \sum
s=0
2sg(\bfitR )\| \sigma s(f1,\bfitR )\| p =
n\sum
s=0
2sg(\bfitR )\| \sigma s(f1,\bfitR )\| p \ll
\ll
n\sum
s=0
2(s - n)g(\bfitR )\| ei(\bfitk 0,\bfitx )\| p =
n\sum
s=0
2(s - n)g(\bfitR ) = C4, C4 > 0.
Звiдси випливає, що при деякому виборi сталої C3 > 0 функцiя f1 належить класу \BbbB \bfitR
p,1.
Оцiнимо далi вiдхилення функцiї f1 вiд значення Af1 у метрицi простору Lq. Беручи до
уваги нерiвнiсть Гельдера та (17), записуємо
\| f1 - Af1\| q \gg 2 - ng(\bfitR )\| ei(\bfitk 0,\bfitx ) - Aei(\bfitk
0,\bfitx )\| q =
= 2 - ng(\bfitR )\| ei(\bfitk 0,\bfitx ) - Aei(\bfitk
0,\bfitx )\| q\| ei(\bfitk
0,\bfitx )\| q\prime \geq
\geq 2 - ng(\bfitR )
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl\langle ei(\bfitk 0,\bfitx ) - Aei(\bfitk
0,\bfitx ), ei(\bfitk
0,\bfitx )
\Bigr\rangle \bigm| \bigm| \bigm| = 2 - ng(\bfitR )| 1 - \beta \bfitk 0 | \geq
\geq 2 - ng(\bfitR ) - 1 \asymp m - g(\bfitR ), (18)
де
1
q
+
1
q\prime
= 1.
Таким чином, використовуючи оцiнки (15) та (18), отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1088 В. В. МИРОНЮК
dBm(\BbbB \bfitR
p,1, Lq) \gg \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
G\in \frakL m(B)q
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbB \bfitR
p,1\cap T([2\bfitrho n],d)
\| f - Af\| q \gg
\gg \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
G\in \frakL m(B)q
\| f1 - Af1\| q \gg m - g(\bfitR ).
Випадок 2: 1 \leq p < q \leq \infty .
Нехай натуральнi числа m та n пов’язанi мiж собою так само, як i в попередньому випадку.
Зрозумiло, що необхiдну оцiнку знизу в (10) знову достатньо встановити для класу \BbbB \bfitR
p,1 \cap
\cap \mathrm{T}
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
та означеного вище оператора A. У зв’язку з цим розглянемо функцiю
f2(\bfitx ) = C52
- n
\Bigl(
g(\bfitR )+1 - 1
p
\Bigr)
K[2\bfitrho n](\bfitx ), C5 > 0,
де
K[2\bfitrho n](\bfitx ) =
d\prod
j=1
K[2\rho jn](xj) =
d\prod
j=1
\sum
| kj | \leq [2\rho jn]
\biggl(
1 - | kj |
[2\rho jn]
\biggr)
eikjxj
— багатовимiрне ядро Фейєра. Покажемо, що при деякому виборi сталої C5 > 0 функцiя f2
належить класу \BbbB \bfitR
p,1.
Як i в попередньому випадку, \sigma s(f2,\bfitR ) = 0 при s \geq n+ 1, тому, використовуючи спiввiд-
ношення (1) та (7), а також враховуючи, що (див., наприклад, [7], роздiл 1)
\| K[2\bfitrho n]\| p \asymp 2
n
\Bigl(
1 - 1
p
\Bigr)
, 1 \leq p \leq \infty ,
одержуємо
\| f2\| B\bfitR
p,1
\asymp
\infty \sum
s=0
2sg(\bfitR )\| \sigma s(f2,\bfitR )\| p =
n\sum
s=0
2sg(\bfitR )\| \sigma s(f2,\bfitR )\| p \ll
\ll
n\sum
s=0
2(s - n)g(\bfitR )2
n
\Bigl(
1
p
- 1
\Bigr)
\| K[2\bfitrho n]\| p \asymp
n\sum
s=0
2(s - n)g(\bfitR ) = C6, C6 > 0.
Звiдси й випливає, що при деякому виборi сталої C5 > 0 функцiя f2 належить класу \BbbB \bfitR
p,1.
Далi, послiдовно використовуючи нерiвнiсть Нiкольського (8) та нерiвнiсть (9), отримуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfity
\| f2(\bfitx - \bfity ) - Af2(\bfitx - \bfity )\| q \geq
\geq 2
- n
q \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfity
\| f2(\bfitx - \bfity ) - Af2(\bfitx - \bfity )\| \infty \geq 2
- n
q
\biggl(
f2(\bfzero ) - \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bfity =\bfitx
ReAf2(\bfitx - \bfity )
\biggr)
\gg
\gg 2
- n
\Bigl(
g(\bfitR )+1 - 1
p+
1
q
\Bigr) \Bigl(
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{T}
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
- 3dB
\sqrt{}
m \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{T}([2\bfitrho n], d)
\Bigr)
\gg
\gg 2
- n
\Bigl(
g(\bfitR )+1 - 1
p+
1
q
\Bigr)
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{T}
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
\asymp 2
- n
\Bigl(
g(\bfitR ) - 1
p+
1
q
\Bigr)
\asymp m
- g(\bfitR )+
1
p -
1
q .
Звiдси, як наслiдок, випливає, що знайдеться \bfity \ast таке, що
\| f2(\bfitx - \bfity \ast ) - Af2(\bfitx - \bfity \ast )\| q \gg m
- g(\bfitR )+
1
p -
1
q . (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1089
Таким чином, використовуючи оцiнки (15) та (19), одержуємо
dBm(\BbbB \bfitR
p,1, Lq) \gg \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
G\in \frakL m(B)q
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \BbbB \bfitR
p,1\cap T([2\bfitrho n],d)
\| f - Af\| q \geq
\geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
G\in \frakL m(B)q
\| f2(\bfitx - \bfity \ast ) - Af2(\bfitx - \bfity \ast )\| q \gg m
- g(\bfitR )+
1
p -
1
q .
Теорему доведено.
Теорема 2. Нехай 1 \leq p, q \leq \infty , (p, q) \not \in \{ (1, 1), (\infty ,\infty )\} i g(\bfitR ) >
\biggl(
1
p
- 1
q
\biggr)
+
. Тодi при
1 \leq \theta <\infty має мiсце порядкова оцiнка
d\bot m(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq) \asymp m
- g(\bfitR )+
\Bigl(
1
p -
1
q
\Bigr)
+ , (20)
де a+ = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ a, 0\} .
Доведення. Необхiднi оцiнки зверху, з урахуванням вкладення (2), випливають iз вiдо-
мих оцiнок ортопроекцiйних поперечникiв для класiв Нiкольського \BbbH \bfitR
p (див. [7], роздiл 2).
Вiдповiднi оцiнки знизу, з огляду на нерiвнiсть (6), випливають iз теореми 1.
Теорема 3. Якщо 1 < q \leq \infty i 1 \leq \theta <\infty , то має мiсце порядкова оцiнка
dm(\BbbB \bfitR
1,\theta , Lq) \asymp
\left\{ m
- g(\bfitR )+1 - 1
q при 1 < q \leq 2, g(\bfitR ) > 1 - 1
q
,
m - g(\bfitR )+
1
2 при 2 < q \leq \infty , g(\bfitR ) > 1.
(21)
Доведення. Необхiднi оцiнки зверху, з урахуванням вкладення (2), випливають iз вiдомих
оцiнок колмогоровських поперечникiв для класiв Нiкольського \BbbH \bfitR
p (див. [7], роздiл 2).
Для доведення оцiнок знизу, в залежностi вiд того, яких значень набуває параметр q, роз-
глянемо три випадки.
Випадок 1: q = 2.
Внаслiдок (5) необхiдна оцiнка знизу випливає iз теореми 2. Бiльше того, беручи до уваги
доведення теореми 1, легко бачити, що
dm(\BbbB \bfitR
1,\theta \cap \mathrm{T}
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
, L2) = d\bot m
\bigl(
\BbbB \bfitR
1,\theta \cap \mathrm{T}([2\bfitrho n], d), L2
\bigr)
\geq
\geq dBm(\BbbB \bfitR
1,\theta \cap \mathrm{T}
\bigl(
[2\bfitrho n], d), L2
\bigr)
\gg m - g(\bfitR )+
1
2 . (22)
Випадок 2: 1 < q < 2.
Нехай \scrU = \{ uj\} mj=1 — довiльна система функцiй в Lq i
Em(f,\scrU )q = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
cj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
m\sum
j=1
cjuj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
, cj \in \BbbC .
Розглянемо систему функцiй \scrV = \{ vj\} mj=1, де vj = \BbbV [2\bfitrho n]uj , j = 1,m, i пiдберемо натураль-
не число n = n(m) так, щоб виконувались спiввiдношення 2m \leq \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{T}([2\bfitrho n], d) та m \asymp 2n.
Тодi для довiльної функцiї f \in \BbbB \bfitR
1,\theta \cap \mathrm{T}([2\bfitrho n], d) з урахуванням (7) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1090 В. В. МИРОНЮК
Em(f,\scrV )q = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
cj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f -
m\sum
j=1
cjvj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
cj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \BbbV [2\bfitrho n]f -
m\sum
j=1
cj\BbbV [2\bfitrho n]uj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
=
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
cj
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( f -
m\sum
j=1
cjuj
\right) \ast V[2\bfitrho n]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll Em(f,\scrU )q. (23)
З iншого боку, для довiльної функцiї f \in \BbbB \bfitR
1,\theta \cap \mathrm{T}([2\bfitrho n], d), використавши нерiвнiсть рiзних
метрик Нiкольського (8), одержимо
Em(f,\scrV )2 \ll 2
n
\Bigl(
1
q -
1
2
\Bigr)
Em(f,\scrV )q. (24)
Таким чином, беручи до уваги спiввiдношення (22) – (24), отримуємо
dm(\BbbB \bfitR
1,\theta , Lq) \geq dm(\BbbB \bfitR
1,\theta \cap \mathrm{T}([2\bfitrho n], d), Lq) \gg
\gg 2
- n
\Bigl(
1
q -
1
2
\Bigr)
dm(\BbbB \bfitR
1,\theta \cap \mathrm{T}([2\bfitrho n], d), L2) \gg 2
- n
\Bigl(
1
q -
1
2
\Bigr)
m - g(\bfitR )+
1
2 \asymp m
- g(\bfitR )+1 - 1
q .
Випадок 3: 2 < q \leq \infty .
З огляду на нерiвнiсть \| \cdot \| 2 \leq \| \cdot \| q, з урахуванням розглянутого вище випадку 1, можемо
записати
dm(\BbbB \bfitR
1,\theta , Lq) \geq dm(\BbbB \bfitR
1,\theta , L2) \asymp m - g(\bfitR )+
1
2 .
Теорему доведено.
Зауваження. Теорема 3 доповнює оцiнки колмогоровських поперечникiв класiв \BbbB \bfitR
p,\theta у
просторах Lq, якi були встановленi у роботах [3] та [10] для iнших спiввiдношень мiж парамет-
рами p та q.
Порiвнюючи теорему 3 з теоремою Д, отримуємо наступне твердження.
Наслiдок. Якщо 1 < q \leq 2 i g(\bfitR ) > 1 - 1
q
, то пiдпростiр \mathrm{T}
\bigl(
[2\bfitrho n], d
\bigr)
є екстремальним (у
сенсi порядку) пiдпростором для наближення функцiй iз класiв \BbbB \bfitR
1,\theta .
Насамкiнець порiвняємо отриманi в теоремi 2 оцiнки ортопроекцiйних поперечникiв
d\bot m(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq) iз вiдомими оцiнками колмогоровських поперечникiв dm(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq) (див. [3, 10], а
також теорему 3).
Таким чином, якщо 1 \leq p, q \leq \infty , (p, q) \not \in \{ (1, 1), (\infty ,\infty )\} , i 1 \leq \theta < \infty , то має мiсце
порядкова рiвнiсть
d\bot m(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq) \asymp
\left\{
dm(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq) при 1 \leq q \leq p \leq \infty , g(\bfitR ) > 0,
або 1 \leq p < q \leq 2, g(\bfitR ) >
1
p
- 1
q
,
dm(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq)m
1
2 -
1
q при 1 \leq p < 2 < q \leq \infty , g(\bfitR ) >
1
p
,
dm(\BbbB \bfitR
p,\theta , Lq)m
1
p -
1
q при 2 \leq p < q \leq \infty , g(\bfitR ) >
1
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
ПОПЕРЕЧНИКИ АНIЗОТРОПНИХ КЛАСIВ БЄСОВА ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1091
Лiтература
1. Бесов О. В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и
продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – С. 42 – 81.
2. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
3. Миронюк В. В. Тригонометричнi наближення та колмогоровськi поперечники анiзотропних класiв Бєсова
перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 8. – С. 1117 – 1132.
4. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 c.
5. Kolmogoroff A. Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse // Ann. Math. – 1936. –
37, № 1. – P. 107 – 110.
6. Темляков В. Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных // Докл. АН СССР. – 1982. –
267, № 2. – С. 314 – 317.
7. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 272 p.
8. Романюк А. С., Романюк В. С. Тригонометрические и ортопроекционные поперечники классов периодических
функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 10. – С. 1348 – 1366.
9. Романюк А. С. Билинейные приближения и колмогоровские поперечники периодических классов Бесова //
Теорiя операторiв, диференцiальнi рiвняння i теорiя функцiй: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. –
2009. – 6, № 1. – С. 222 – 236.
10. Миронюк В. В. Колмогоровськi поперечники анiзотропних класiв Бєсова перiодичних функцiй багатьох змiн-
них // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 5. – С. 634 – 641.
Одержано 14.09.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1903 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:56Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/25/6328652073f6816d226624e427818325.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19032019-12-05T09:31:14Z Widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables Поперечники анізотропних класів Бєсова періодичних функцій багатьох змінних Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. We establish the exact-order estimates of Kolmogorov and orthoprojective widths of anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables in the spaces $L_q$. Установлены точные по порядку оценки колмогоровских и ортопроекционных поперечников анизотропных классов Бесова периодических функций многих переменных в пространствах $L_q$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1903 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 8 (2016); 1080-1091 Український математичний журнал; Том 68 № 8 (2016); 1080-1091 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1903/885 Copyright (c) 2016 Myronyuk V. V. |
| spellingShingle | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. Widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables |
| title | Widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables |
| title_alt | Поперечники анізотропних класів Бєсова періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables |
| title_fullStr | Widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables |
| title_full_unstemmed | Widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables |
| title_short | Widths of the anisotropic Besov classes of periodic functions of several variables |
| title_sort | widths of the anisotropic besov classes of periodic functions of several variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1903 |
| work_keys_str_mv | AT myronyukvv widthsoftheanisotropicbesovclassesofperiodicfunctionsofseveralvariables AT mironûkvv widthsoftheanisotropicbesovclassesofperiodicfunctionsofseveralvariables AT myronyukvv poperečnikianízotropnihklasívbêsovaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT mironûkvv poperečnikianízotropnihklasívbêsovaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |