Asymptotics of normalized control with Markov switchings
We study the process of transfer of Markov perturbations and control over this process under the condition of existence of the equilibrium point of the quality criterion. For this control, we construct a normalized process and establish its asymptotic normality in the form of the Ornstein – Uhlenbec...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1904 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507793602117632 |
|---|---|
| author | Nikitin, A. V. Khimka, U. T. Нікітін, А. В. Хімка, У. Т. |
| author_facet | Nikitin, A. V. Khimka, U. T. Нікітін, А. В. Хімка, У. Т. |
| author_sort | Nikitin, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:14Z |
| description | We study the process of transfer of Markov perturbations and control over this process under the condition of existence of
the equilibrium point of the quality criterion. For this control, we construct a normalized process and establish its
asymptotic normality in the form of the Ornstein – Uhlenbeck process in the case where the transfer process changes under
the influence of Markov switchings along a new trajectory of evolution from the state in which it was at the time of
switching. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А. В. НІКІТІН, У. Т. ХІМКА, 2016
1092 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
УДК 519.21
А. В. Нікітін (Київ. нац. ун-т ім. Т. Шевченка),
У. Т. Хімка (Нац. ун-т ,,Львів. політехніка”)
АСИМПТОТИКА НОРМОВАНОГО КЕРУВАННЯ
З МАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕMИКАННЯМИ
We study the process of transfer of Markov perturbations and control over this process under the condition of existence of
the equilibrium point of the quality criterion. For this control, we construct a normalized process and establish its
asymptotic normality in the form of the Ornstein – Uhlenbeck process in the case where the transfer process changes under
the influence of Markov switchings along a new trajectory of evolution from the state in which it was at the time of
switching.
Рассмотрен процесс переноса с марковскими возмущениями и управления для него в условиях существования точки
равновесия критерия качества. Для такого управления построен нормированный процесс и установлена его
асимптотическая нормальность в виде процесса Орнштейна – Уленбека в случае, когда процесс переноса меняется
под влиянием марковского переключения по траектории новой эволюции из состояния, в котором она была в
момент переключения.
Вступ. Для процесу переносу, що описується стохастичним диференціальним рівнянням [1] iз
дифузійним процесом керування, отримано умови існування такого керування [2]. Частковим
є випадок існування точки рівноваги критерію якості керування, який зустрічається в багатьох
прикладних задачах [3, 4]. Для такого керування можна розглянути процедуру стохастичної
апроксимації, яка визначає умови збіжності до точки рівноваги критерію якості [3]. Окремою
задачею в цьому випадку є встановлення закону розподілу граничного нормованого процесу
керування в умовах збіжності побудованої процедури [4, 5]. При цьому нові результати
застосування малого параметра та розв’язку проблеми сингулярного збурення [6] дозволили
встановити асимптотичну нормальність процедури стохастичної апроксимації з марковськими
збуреннями [7] та напівмарковськими перемиканнями [8], з відповідним нормуванням як за
часом, так і за малим параметром ε > 0 .
У цій роботі розглянуто процес переносу з марковськими збуреннями та керування для
нього в умовах існування точки рівноваги критерію якості з марковськими перемиканнями [6].
Для керування побудовано нормований процес та встановлено асимптотичну нормальність
такого процесу у вигляді процесу Орнштейна – Уленбека.
Тут будемо розглядати випадок, коли процес переносу, як випадкова еволюція, змінюється
під впливом марковського перемикання по траєкторії нової еволюції з стану, в якому вона
перебувала в момент перемикання, як початкового [6].
Постановка задачі. Нехай процес переносу yε (t) ∈Rd визначається стохастичним ди-
ференціальним рівнянням
dyε (t) = a yε (t), x(t / ε2 )( ) dt + σ yε (t), x(t / ε2 ), uε (t)( ) dw(t) , (1)
де x(t) , t > 0 , – рівномірно ергодичний марковський процес у вимірному фазовому просторі
станів (X, X) , визначений генератором [6]
АСИМПТОТИКА НОРМОВАНОГО КЕРУВАННЯ З МАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕMИКАННЯМИ 1093
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
Qϕ(x) = q(x) P(x,dy)[
X
∫ ϕ(y) − ϕ(x)]
на банаховому просторі B(X) дійснозначних обмежених функцій ϕ(x) з супремум-нормою
ϕ(x) = sup
x∈X
ϕ(x) .
Генератор Q є зведено-оборотним на B(X) з проектором
Πϕ(x) := π(dx)ϕ(x)
X
∫ ,
де π(B) , B ∈X , — стаціонарний розподіл марковського процесу x(t) , t ≥ 0 , який
визначається із співвідношення
π(dx)q(x) = qp(dx) , q = π(dx)q(x)
X
∫
(ρ(dx) — стаціонарний розподіл вкладеного ланцюга Маркова xn , n ≥ 0 ) і потенціалом R0 ,
що має операторне зображення
R0 = Π − −1[Q +Π] .
Функції a(y, x) = (ak (y, x), k = 1, d) , σ(y, x, u) = (σk (y, x, u), k = 1, d) , y ∈Rd , x ∈X , за-
довольняють умови існування глобального розв’язку еволюційних рівнянь
dyx (t) = a(yx (t), x)dt + σ(yx (t), x, ux (t))dw(t) , x ∈X ,
для кожного фіксованого значення x марковського процесу x(t) , t ≥ 0 , на інтервалі
[τi , τi+1] перебування процесу x(t) , t ≥ 0 , у стані x ∈X .
Нехай у загальному зображенні (1) керування u(t) визначається умовою
duε (t) = α(t)G(yε (t), x(t / ε2 ), uε (t))dt , (2)
де умови на функцію α(t) мають вигляд
α(t)dt =
0
∞
∫ ∞ , α2(t)dt <
0
∞
∫ ∞ . (3)
Зокрема, умови (3) виконуються при α(t) = α
t
, що буде розглядатись далі.
Зазначимо [3, 7, 8], що умови (3) забезпечують збіжність керування uε (t) до точки
рівноваги критерію якості керування, тобто до точки u* , що визначається з умови
1094 А. В. НІКІТІН, У. Т. ХІМКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
G(y, u*) = 0 , G(y, u) = π(dx)G(y, x, u)
X
∫ .
Нормоване керування має вигляд
vε (t) = t
ε
uε (t) , (4)
а умова балансу
ΠG(y, x, 0) = π(dx)G(y, x, 0)
X
∫ = 0 . (5)
Теорема. При умовах збіжності (3) задачі (1), (2) та додаткових умовах
D1) σ̂v2(y) = 2 π(dx)G(y, x, 0)R0G(y, x, 0)X∫ > 0 ,
D2) αg(y) < − 1
2
, g(y) = π(dx) ′Gv(y, x, 0)X∫ ,
має місце слабка збіжність
vε (t)⇒ ζ(t) , ε → 0 ,
у кожному скінченному інтервалі (0 < t0 < t < T ) .
Граничний процес ζ(t) , t > 0 , є процесом Орнштейна – Уленбека, що визначається
генератором
Lvϕ(y, v) = v αg(y) + 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ′ϕv(y, v)+
1
2
α2σ̂v2(y) ′′ϕvv(y, v) .
Встановимо кілька допоміжних властивостей процесу переносу yε (t) та нормованого
керування vε (t) .
Лема 1. Процеси yε (t) та vε (t) є розв’язками стохастичних диференціальних рівнянь
dyε (t) = a(yε (t), xtε )dt + σ yε (t), xtε ,
ε
t
vε (t)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dw(t) , (6)
dvε (t) = ε−1 α
t
G yε (t), xtε ,
ε
t
vε (t)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dt +
vε (t)
2t
dt , (7)
де
xtε := x(t / ε2 ) .
Доведення. З формули (4) маємо
АСИМПТОТИКА НОРМОВАНОГО КЕРУВАННЯ З МАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕMИКАННЯМИ 1095
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
uε (t) = ε
t
vε (t) .
Тому, враховуючи (2), отримуємо (5) та (6).
Лема 2. Генератор трикомпонентного марковського процесу
ytε := yε (t), xtε := x(t / ε2 ), utε := uε (t), t ≥ t0 > 0 , (8)
має вигляд
Lt
ε (x)ϕ(y, x, v) = ε−2Q ϕ(y, x, v) +Vtε (x)ϕ(y, x, v) , (9)
де
Vtε (x)ϕ(y, x, v) = ε−1 α
t
G y, x, ε
t
v⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
v
2t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
′ϕv(y, x, v) +
+ ′ϕy(y, x, v) a(y, x) +
1
2
′′ϕyy(y, x, v)σ2 y, x, ε
t
v⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
Доведення. Для побудови генератора процесу (8) обчислимо умовне математичне спо-
дівання
E ϕ(yt+Δε , xt+Δε , vt+Δε ) − ϕ(y, x, v)
yε (t )=y, xtε=x, vε (t )=v
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=
= Ey,x,v ϕ(y + Δyε , xt+Δε , v + Δvε ) − ϕ(y, x, v)⎡⎣ ⎤⎦ =
= Ey,x,v ϕ(y + Δyε , x, v + Δvε ) − ϕ(y, x, v)⎡⎣ ⎤⎦ I (θ > ε−2Δ) +
+ Ey,x,v ϕ(y + Δyε , xt+Δε , v + Δvε ) − ϕ(y, x, v)⎡⎣ ⎤⎦ I (θ < ε−2Δ) , (10)
де θ — час перебування марковського процесу x(t) , t > 0 , у стані x .
Врахуємо далі зображення
I (θ ≥ ε−2Δ) = 1− ε−2q(x)Δ + ο(Δ) ,
I (θ < ε−2Δ) = ε−2q(x)Δ + ο(Δ) .
З рівняння (6) маємо
yt+Δε = y + Δyε = y + a(yε (s), xsε )
t
t+Δ
∫ ds +
1096 А. В. НІКІТІН, У. Т. ХІМКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
+ σ yε (s), xsε ,
ε
s
vε (s)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dw(s)
t
t+Δ
∫ = y + σ yε (s), xsε ,
ε
s
vε (s)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dw(s)
t
t+Δ
∫ ,
де
y = y + a(yε (s), xsε )ds
t
t+Δ
∫ .
Розглянемо
ϕ (y + Δyε , x, v + Δvε ) = ϕ y + σ yε (s), xsε ,
ε
s
vε (s)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dw(s), x, v + Δvε
t
t+Δ
∫
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
= ϕ (y, x, v + Δvε ) + ′ϕy(y, x, v + Δvε ) σ yε (s), xsε ,
ε
s
vε (s)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dw(s)
t
t+Δ
∫ +
+ 1
2
′′ϕyy(y, x, v + Δvε ) σ yε (s), xsε ,
ε
s
vε (s)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dw(s)
t
t+Δ
∫
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2
+ ο(Δ) .
Враховуючи (7), маємо
′ϕy(y, x, v + Δvε ) = ′ϕy(y, x, v) +
+ ′′ϕyv(y, x, v) ε−1 α
t
G(y, x, v) + v
t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Δ + ο(Δ) ,
а також
ϕ (y, x, v + Δvε ) = ϕ (y, x, v + Δvε ) +
+ ′ϕy(y, x, v + Δvε )a(y, x)Δ + ο(Δ) =
= ϕ(y, x, v) + ′ϕv(y, x, v) ε−1 α
t
G(y, x, v) + v
t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Δ +
+ ′ϕy(y, x, v)a(y, x)Δ + ο(Δ) .
Аналогічно отримуємо
′ϕy(y, x, v + Δvε ) = ′ϕy(y, x, v) +
+ ′′ϕyv(y, x, v) ε−1 α
t
G(y, x, v) + v
t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Δ +
АСИМПТОТИКА НОРМОВАНОГО КЕРУВАННЯ З МАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕMИКАННЯМИ 1097
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
+ ′′ϕyy(y, x, v)a(y, x)Δ + ο(Δ)
і
′′ϕyv(y, x, v + Δvε ) = ′′ϕyy(y, x, v) +
+ ′′′ϕyyv(y, x, v) ε−1 α
t
G y, x, ε
t
u⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
v
t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Δ +
+ ϕyyyyIV (y, x, v)a(y, x)Δ + ο(Δ) .
Враховуючи останнє, маємо
ϕ(y + Δyε , x, v + Δvε ) = ϕ(y, x, v) + ′ϕv(y, x, v) ε−1 α
t
G y, x, ε
t
v⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
v
2t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Δ +
+ ′ϕy(y, x, v) a(y, x)Δ +
+ ′ϕy(y, x, v) + ′′ϕyv(y, x, v) ε−1 α
t
G y, x, ε
t
v⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
v
t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Δ⎡
⎣⎢
+
+ ′′ϕyy(y, x, v)a(y, x)Δ
⎤
⎦⎥
σ yε (s), xsε ,
ε
s
vε (s)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dw(s)
t
t+Δ
∫ +
+ 1
2
′′ϕyy(y, x, v) + ′′′ϕyyv(y, x, v) ε−1 α
t
G y, x, ε
t
v⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
v
2t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Δ⎡
⎣⎢
+
+ ϕyyyyIV (y, x, v)a(y, x)Δ ⎤
⎦⎥
σ yε (s), xsε ,
ε
s
vε (s)⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ dw(s)
t
t+Δ
∫
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2
+ ο(Δ) .
Це дає можливість для першого доданка з (10) отримати
Ey,x,v[ϕ(y + Δyε , x, v + Δvε ) − ϕ(y, x, v)](1− ε−2q(x)Δ + ο(Δ)) =
= ′ϕv(y, x, v) ε−1 α
t
G y, x, ε
t
v⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
v
t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Δ +
+ ′ϕy(y, x, v)a(y, x)Δ + 1
2
′′ϕyy(y, x, v)σ2 y, x, ε
t
v⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ Δ + ο(Δ) .
Аналогічно для другого доданка з (10) одержуємо
1098 А. В. НІКІТІН, У. Т. ХІМКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
Ey,x,v ϕ y + Δyε , xt+Δε , v + Δvε( ) − ϕ(y, x, v)⎡
⎣
⎤
⎦ ε−2q(x)Δ + ο(Δ)⎡⎣ ⎤⎦ =
= ε−2q(x)Ey,x,v ϕ(y, xt+Δε , v) − ϕ(y, x, v)⎡⎣ ⎤⎦ + ο(Δ) .
Таким чином, для генератора процесу (8), згідно з означенням, маємо
Ltε (x)ϕ(y, x, v) := limΔ→0
1
Δ
Ey,x,v ϕ y + Δyε , xt+Δε , v + Δvε( ) − ϕ(y, x, v)⎡
⎣
⎤
⎦ =
= ε
−2Qϕ(y, x, v) +Vtε (x)ϕ(y, x, v) ,
де
Vtε (x)ϕ(y, x, v) = ′ϕv(y, x, v) ε−1 α
t
G y, x, ε
t
v⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
ν
2t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+
+ ′ϕy(y, x, v)a(y, x) +
1
2
′′ϕyy(y, x, v)σ2 y, x, ε
t
v⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
Лема 3. Генератор Lt
ε (x) на тест-функціях ϕ(y, x, v) ∈C 3,0,3(R, X, R) має асимпто-
тичне зображення
Ltε (x)ϕ(y, x, v) = ε−2Qϕ(y, x, v) + ε−1 1
t
G0(y, x)ϕ(y, x, v) +
+
1
t
V (y, x)ϕ(y, x, v) + A(y, x)ϕ(y, x, v) + ο(ε) , (11)
де
G0(y, x)ϕ(y, x, v) = αG(y, x, 0) ′ϕv(y, x, v) ,
V (y, x)ϕ(y, x, v) = v α ′Gv(y, x, 0) +
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ′ϕv(y, x, v) ,
A(y, x)ϕ(y, x, v) = a(y, x) ′ϕy(y, x, v) +
1
2
σ2(y, x, 0) ′′ϕyy(y, x, v) .
Доведення. Враховуючи розклади
G y, x, ε
t
v⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = G(y, x, 0) + ′Gv(y, x, 0)
ε
t
v + ο(ε) ,
σ2 y, x, ε
t
v⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = σ2(y, x, 0) + ο(ε) ,
АСИМПТОТИКА НОРМОВАНОГО КЕРУВАННЯ З МАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕMИКАННЯМИ 1099
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
з (9) отримуємо (11).
Розглянемо збурену тест-функцію
ϕtε (y, x, v) = ϕ(y, v) + ε 1
t
ϕ1(y, x, v) + ε2 1
t
ϕ(y, x, v) .
Лема 4. Розв’язок проблеми сингулярного збурення для зрізаного генератора
Lt0
ε (x)ϕ(y, x, v) = ε−2Qϕ(y, x, v) + ε−1 1
t
G0(y, x)ϕ(y, x, v) +
+
1
t
V (y, x)ϕ(y, x, v) + A(y, x)ϕ(y, x, v) (12)
на тест-функціях ϕtε (y, x, v) з ϕ(y, x) ∈C 3,3(R × R) має вигляд
Lt0
ε (x)ϕtε (y, x, v) =
1
t
Lϕ(y, v) + εθtε (x)ϕ(y, v) , (13)
де граничний генератор L визначається співвідношенням
Lϕ(y, v) = v αg(y) + 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ′ϕv(y, v) +
1
2
α2σv2(y) ′′ϕvv(y, v) +
+ tâ(y) ′ϕy(y, v) +
t
2
σ̂ y
2(y) ′′ϕyy(y, v) , (14)
â(y) = π(dx)a(y, x)
X
∫ , σ̂ y
2(y) = π(dx)σ2(y, x, 0)
X
∫ .
Доведення. Згідно зі схемою розв’язку проблеми сингулярного збурення [6] обчислюємо
значення генератора (12) на збуреній функції ϕtε (y, x, v) :
Lt0
ε (x)ϕtε (y, x, v) = ε−2Qϕ(y, v) + ε−1 1
t
[Qϕ1(y, x, v) +
+
G0(y, x)ϕ(y, v)]+
1
t
Qϕ2(y, x, v) +
1
t
G0(y, x)ϕ1(y, x, v) +
+
1
t
(V (y, x) + tA(y, x))ϕ(y, v) + εθtε (x)ϕ(y, v) ,
1100 А. В. НІКІТІН, У. Т. ХІМКА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
де
θtε (x)ϕ(y, v) = A(y, x)ϕ1(y, x, v) +
1
t 3/2
G0(y, x)ϕ2(y, x, v) + ε 1
t 2
V (y, x)ϕ2(y, x, v) +
+ εA(y, x) ϕ2(y, x, v) .
Оскільки Qϕ(y, v) = 0 , то для функції ϕ1(y, x, v) справджується рівняння
Qϕ1(y, x, v) + G0(y, x)ϕ(y, v) = 0 ,
розв’язок якого з урахуванням умови балансу [5] має вигляд
ϕ1(y, x, v) = R0G0(y, x)ϕ(y, v) = αR0G(y, x, 0) ′ϕv(y, v) .
Перейдемо до розгляду рівняння для функції ϕ2(y, x, v) , а саме
Qϕ2(y, v, x) + G0(y, x)ϕ1(y, v, x) + (V (y, v) + tA(y, v))ϕ = Lϕ(y, v) , (15)
де граничний оператор L визначається з умови розв’язності рівняння (14)
L = ΠG0(y, x)R0G0(y, x) +ΠV (y, x) + tΠA(y, x) . (16)
Обчислюючи праву частину (16), отримуємо (14).
Рівняння (15) має зображення
Qϕ2 + L(y, x)ϕ(y, x) = Lϕ(y, x) ,
де
L(y, x) = G0(y, x)R0G0(y, x) + (V (y, x) + tA(y, x)) .
З останнього зображення з урахуванням (14) маємо
ϕ2(y, x, v) = R0 !L(y, x)ϕ(y, v) ,
де
!L(y, x) = L(y, x) − L [8].
Доведення теореми. Враховуючи гладкість складових системи (1), (2), зображень функ-
цій ϕ1 та ϕ2 , отримуємо обмеженість залишкового члена
θtε (x)ϕ(y, v) < M , M > 0 . (17)
Збіжність процесів yε (t) та vε (t) до процесів ξ(t) та ζ(t) випливає з (13) та (17)
згідно з модельною теоремою Королюка [6]. Тут генератор процесу ξ(t) має вигляд
АСИМПТОТИКА НОРМОВАНОГО КЕРУВАННЯ З МАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕMИКАННЯМИ 1101
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
Lyϕ(y, v) = tâ(y) ′ϕy(y, v) +
t
2
σ̂ y
2(y) ′′ϕyy(y, v) .
Генератор граничного процесу ζ(t) має вигляд (14) і є генератором процесу Орнштейна –
Уленбека.
Висновки. Розглянуто випадок, коли процес переносу, як випадкова еволюція, змінюється
під впливом марковського перемикання по траєкторії нової еволюції разом із керуванням. За
припущення існування точки рівноваги для керування в ергодичному марковському середовищі
побудовано процедуру стохастичної апроксимації для такого керування. Для нормованого
керування отримано умови асимптотичної нормальності у вигляді процесу Орнштейна –
Уленбека через встановлення генератора граничного процесу керування.
Отриманий результат дає можливість розглянути пошук оптимального розв’язку задачі
керування дифузійного процесу переносу з марковськими перемиканнями.
Література
1. Гихман И. И., Скороход А. В., Гихман И. И. Управляемые случайные процессы. – Киев: Наук. думка, 1977. –
252 с.
2. Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов: В 2 т. – М.: Физматгиз, 1994. – Т. 1. –
544 с.
3. Невельсон М. Б., Хасьминский Р. З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. – М.: Наука,
1972. – 304 с.
4. Колмановский В. Б. Задачи оптимального оценивания // Сорос. образов. журн. – 1999. – № 11. – С. 122 – 127.
5. Скороход А. В. Асимптотические методи теории стохастических дифференциальных уравнений. – Киев: Наук.
думка, 1987. – 328 с.
6. Koroliuk V., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – World Sci. Publ., 2005. – 330 p.
7. Чабанюк Я. М. Асимптотична нормальність для неперервної процедури стохастичної апроксимації в
марковському середовищі // Доп. НАН України. – 2005. – № 11. – С. 29 – 34 .
8. Чабанюк Я. М. Неперервна процедура стохастичної апроксимації у напівмарковському середовищі // Укр. мат.
журн. – 2004. – 56, № 5. – C. 713 – 720.
Одержано 24.10.15,
після доопрацювання — 01.06.16
|
| id | umjimathkievua-article-1904 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:58Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d1/7ba8aefa5d370df9b69640a2accaded1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19042019-12-05T09:31:14Z Asymptotics of normalized control with Markov switchings Асимптотика нормованого керування з марковськими перемиканнями Nikitin, A. V. Khimka, U. T. Нікітін, А. В. Хімка, У. Т. We study the process of transfer of Markov perturbations and control over this process under the condition of existence of the equilibrium point of the quality criterion. For this control, we construct a normalized process and establish its asymptotic normality in the form of the Ornstein – Uhlenbeck process in the case where the transfer process changes under the influence of Markov switchings along a new trajectory of evolution from the state in which it was at the time of switching. Рассмотрен процесс переноса с марковскими возмущениями и управления для него в условиях существования точки равновесия критерия качества. Для такого управления построен нормированный процесс и установлена его асимптотическая нормальность в виде процесса Орнштейна – Уленбека в случае, когда процесс переноса меняется под влиянием марковского переключения по траектории новой эволюции из состояния, в котором она была в момент переключения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1904 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 8 (2016); 1092-1101 Український математичний журнал; Том 68 № 8 (2016); 1092-1101 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1904/886 Copyright (c) 2016 Nikitin A. V.; Khimka U. T. |
| spellingShingle | Nikitin, A. V. Khimka, U. T. Нікітін, А. В. Хімка, У. Т. Asymptotics of normalized control with Markov switchings |
| title | Asymptotics of normalized control with Markov switchings |
| title_alt | Асимптотика нормованого керування з марковськими перемиканнями |
| title_full | Asymptotics of normalized control with Markov switchings |
| title_fullStr | Asymptotics of normalized control with Markov switchings |
| title_full_unstemmed | Asymptotics of normalized control with Markov switchings |
| title_short | Asymptotics of normalized control with Markov switchings |
| title_sort | asymptotics of normalized control with markov switchings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1904 |
| work_keys_str_mv | AT nikitinav asymptoticsofnormalizedcontrolwithmarkovswitchings AT khimkaut asymptoticsofnormalizedcontrolwithmarkovswitchings AT níkítínav asymptoticsofnormalizedcontrolwithmarkovswitchings AT hímkaut asymptoticsofnormalizedcontrolwithmarkovswitchings AT nikitinav asimptotikanormovanogokeruvannâzmarkovsʹkimiperemikannâmi AT khimkaut asimptotikanormovanogokeruvannâzmarkovsʹkimiperemikannâmi AT níkítínav asimptotikanormovanogokeruvannâzmarkovsʹkimiperemikannâmi AT hímkaut asimptotikanormovanogokeruvannâzmarkovsʹkimiperemikannâmi |