Nonlocal mixed-value problem for a Boussinesq-type integrodifferential equation with degenerate kernel
We consider the problem of one-valued solvability of the mixed-value problem for a nonlinear Boussinesq type fourth-order integrodifferential equation with degenerate kernel and integral conditions. The method of degenerate kernel is developed for the case of nonlinear Boussinesq type fourth-order p...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1906 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507794384355328 |
|---|---|
| author | Yuldashev, T. K. Юлдашев, Т. К. |
| author_facet | Yuldashev, T. K. Юлдашев, Т. К. |
| author_sort | Yuldashev, T. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:14Z |
| description | We consider the problem of one-valued solvability of the mixed-value problem for a nonlinear Boussinesq type fourth-order
integrodifferential equation with degenerate kernel and integral conditions. The method of degenerate kernel is developed
for the case of nonlinear Boussinesq type fourth-order partial integrodifferential equation. The Fourier method of separation
of variables is employed. After redenoting, the integrodifferential equation is reduced to a system of countable system of
algebraic equations with nonlinear and complex right-hand side. As a result of the solution of this system of countable
systems of algebraic equations and substitution of the obtained solution in the previous formula, we get a countable system
of nonlinear integral equations (CSNIE). To prove the theorem on one-valued solvability of the CSNIE, we use the method
of successive approximations. Further, we establish the convergence of the Fourier series to the required function of the
mixed-value problem. Our results can be regarded as a subsequent development of the theory of partial integrodifferential
equations with degenerate kernel. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517. 968
Т. К. Юлдашев (Сиб. гос. аэрокосм. ун-т, Россия)
НЕЛОКАЛЬНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ТИПА БУССИНЕСКА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ
We consider the problem of one-valued solvability of the mixed-value problem for a nonlinear Boussinesq type fourth-order
integrodifferential equation with degenerate kernel and integral conditions. The method of degenerate kernel is developed
for the case of nonlinear Boussinesq type fourth-order partial integrodifferential equation. The Fourier method of separation
of variables is employed. After redenoting, the integrodifferential equation is reduced to a system of countable system of
algebraic equations with nonlinear and complex right-hand side. As a result of the solution of this system of countable
systems of algebraic equations and substitution of the obtained solution in the previous formula, we get a countable system
of nonlinear integral equations (CSNIE). To prove the theorem on one-valued solvability of the CSNIE, we use the method
of successive approximations. Further, we establish the convergence of the Fourier series to the required function of the
mixed-value problem. Our results can be regarded as a subsequent development of the theory of partial integrodifferential
equations with degenerate kernel.
Розглянуто питання однозначної розв’язностi мiшаної задачi для нелiнiйного iнтегро-диференцiального рiвняння
типу Буссiнеска четвертого порядку з виродженим ядром та iнтегральними умовами. Метод виродженого ядра
розвинено для випадку нелiнiйного iнтегро-диференцiального рiвняння типу Буссiнеска четвертого порядку. Ви-
користано метод Фур’є вiдокремлення змiнних. Пiсля позначення iнтегро-диференцiальне рiвняння зведено до
системи лiчильних систем алгебраїчних рiвнянь (СЛСАР) з нелiнiйною правою частиною. Пiсля розв’язання цiєї
СЛСАР i пiдстановки отриманого розв’язку в попередню формулу одержано лiчильну систему нелiнiйних iнтеграль-
них рiвнянь (ЛСНIР). Для доведення теореми про однозначну розв’язнiсть ЛСНIР використано метод послiдовних
наближень. Крiм того, показано збiжнiсть ряду Фур’є до шуканої функцiї нелокальної мiшаної задачi.
1. Введение. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном
мире, часто приводит к изучению смешанных задач для уравнений математической физики.
Представляют большой интерес с точки зрения физических приложений дифференциальные
уравнения в частных производных высоких порядков. Многие задачи газовой динамики, теории
упругости, теории пластин и оболочек сводятся к рассмотрению дифференциальных уравнений
в частных производных высоких порядков [1 – 3]. Изучению различных краевых задач для
уравнений в частных производных разного порядка посвящено большое количество работ (см.,
например, [4 – 12]). Дифференциальные уравнения в частных производных типа Буссинеска
имеют много приложений в математической физике (см., например, [13]). Метод вырожден-
ного ядра для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных рассматривался
в работах [14 – 16].
В случаях, когда граница области протекания физического процесса недоступна для изме-
рений, в качестве дополнительной информации, достаточной для однозначной разрешимости
задачи, могут использоваться условия в интегральной форме. Задачи с интегральными услови-
ями рассмотрены во многих работах (см., например, [17 – 19]).
Изучение счетных систем нелинейных дифференциальных уравнений начинается с извест-
ной работы А. Н. Тихонова [20]. Начиная с конца 40-х годов К. П. Персидский обращается к
систематическому исследованию бесконечномерных дифференциальных систем. Он получил
фундаментальные результаты по общей теории счетных и бесконечных (произвольной мощно-
сти) систем дифференциальных уравнений, по теории устойчивости решений счетных систем
c\bigcirc Т. К. ЮЛДАШЕВ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8 1115
1116 Т. К. ЮЛДАШЕВ
дифференциальных уравнений, по счетным системам уравнений в частных производных, по
дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах и устойчивости их решений (см.,
например, [21 – 23]). О. А. Жаутыков обосновал применимость метода операционного исчис-
ления для нахождения точного и приближенного решений бесконечных систем дифференци-
альных уравнений. Его результаты позволили исследовать задачи теории колебаний систем
с бесконечным числом степеней свободы и решить многие проблемы бесконечных систем
обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Не менее важ-
ные результаты он получил при исследовании устойчивости бесконечных систем на основе
изучения интегральных многообразий. Им обобщен принцип сведения Ляпунова и обосно-
вано использование преобразования Лапласа для построения решений счетных систем [24].
В монографии [25] К. Г. Валеев и О. А. Жаутыков доказали ряд теорем о существовании и
единственности решений для линейных и нелинейных бесконечных систем дифференциальных
уравнений, о непрерывной зависимости решений от параметра и о продолжимости решений.
Кроме того, всесторонне исследовали качественные вопросы бесконечных систем дифферен-
циальных уравнений с запаздывающим аргументом. Монография [26] А. М. Самойленко и
Ю. В. Теплинского также посвящена исследованию однозначной разрешимости счетных сис-
тем дифференциальных уравнений и их инвариантных торов. В. Л. Мучник исследовал специ-
альные однородные интегральные уравнения второго рода в пространстве счетно-аддитивных
функций множества [27].
В работе [28] Г. И. Чандиров изучал смешанную задачу для гиперболического уравнения
\partial 2U(t, x)
\partial t2
- \partial 2U(t, x)
\partial x2
= f(t, x, U(t, x)).
Решение этой задачи он искал в виде ряда Фурье. В результате была получена счетная систе-
ма нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ). Для изучения разрешимости ССНИУ он
рассматривал множество
\bigl\{
u(t) =
\bigl(
un(t)
\bigr)
| un(t) \in C[0;T ], n = 1, 2, 3, . . .
\bigr\}
,
где операции сложения двух элементов и умножение элемента на скаляр определяются поко-
ординатно. При этом норма имеет вид
\bigm\| \bigm\| u(t)\bigm\| \bigm\|
B2(T )
=
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0;T ]
\bigm| \bigm| \bigm| un(t)\bigm| \bigm| \bigm| 2.
Г. И. Чандиров доказал, что это множество является банаховым пространством, и обозначал
его через B2(T ).
В настоящей работе предлагается методика изучения смешанной задачи для нелинейного
интегро-дифференциального уравнения типа Буссинеска четвертого порядка с вырожденным
ядром и интегральными условиями. При этом используется указанная выше норма в простран-
стве B2(T ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕЛОКАЛЬНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1117
2. Постановка задачи. Итак, в области \Omega рассматривается уравнение вида
\partial 2U(t, x)
\partial t2
- \partial 4U(t, x)
\partial t2\partial x2
- \mu
T\int
0
K(t, s)
\partial 2U(s, x)
\partial x2
ds =
= \eta (t)
T\int
0
U(\theta , x)d\theta + f
\left( x, T\int
0
l\int
0
H(\theta , y)U(\theta , y)dyd\theta
\right) (1)
с интегральными условиями
U(0, x) +
T\int
0
\Theta 1(t)U(t, x)dt = \varphi 1(x), x \in \Omega l, (2)
Ut(0, x) +
T\int
0
\Theta 2(t)U(t, x)dt = \varphi 2(x), x \in \Omega l, (3)
и граничными условиями Бенара
U(t, x)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=0
= U(t, x)
\bigm| \bigm| \bigm|
x=l
= 0, (4)
где
\eta (t) \in C(\Omega T ), f(x, \gamma ) \in C(\Omega l \times R), K(t, s) =
m\sum
i=1
ai(t)bi(s),
ai(t), bi(s) \in C(\Omega T ), \Theta k(t) \in C2(\Omega T ), \varphi k(x) \in C3(\Omega l),
\varphi k(0) = \varphi k(l) = 0, k = 1, 2,
T\int
0
l\int
0
| H(t, x)| dxdt <\infty ,
\Omega \equiv \Omega T \times \Omega l, \Omega T \equiv [0, T ], \Omega l \equiv [0, l], 0 < T <\infty , 0 < l <\infty ,
\mu — действительный спектральный параметр. Здесь предполагается, что функции ai(t) и bi(s)
являются линейно независимыми.
Под решением смешанной задачи (1) – (4) понимаем функцию U(t, x) \in C2,2(\Omega ), удовле-
творяющую уравнению (1) и условиям (2) – (4).
3. Счетная система нелинейных интегральных уравнений. Решение данной задачи
ищем в виде ряда Фурье
U(t, x) =
\infty \sum
n=1
un(t)\vargamma n(x), (5)
где \vargamma n(x) =
\sqrt{}
2
l
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda nx, \lambda n =
n\pi
l
, n = 1, 2, . . . .
По предположению
f (x, \gamma ) =
\infty \sum
n=1
fn(\gamma )\vargamma n(x), (6)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1118 Т. К. ЮЛДАШЕВ
fn(\gamma ) =
l\int
0
f (y, \gamma )\vargamma n(y)dy, \gamma =
T\int
0
l\int
0
H(s, z)
\infty \sum
k=1
uk(s)\vargamma k(z)dzds.
Кроме того, учтем, что
\vargamma \prime \prime n(x) = - \lambda 2n\vargamma n(x). (7)
Подставляя ряды (5) и (6) в уравнение (1), с учетом (7) получаем следующую счетную
систему интегро-дифференциальных уравнений:
u\prime \prime n(t) + \mu \tau n
T\int
0
m\sum
i=1
ai(t)bi(s)un(s)ds =
=
1
1 + \lambda 2n
\eta (t)
T\int
0
un(\theta )d\theta +
1
1 + \lambda 2n
fn(\gamma ), (8)
где
\tau n =
\lambda 2n
1 + \lambda 2n
, un(t) =
l\int
0
U(t, y)\vargamma n(y)dy.
С помощью обозначения
cin =
T\int
0
bi(s)un(s)ds (9)
уравнение (8) примет вид
u\prime \prime n(t) = - \mu \tau n
m\sum
i=1
ai(t)cin +
\eta (t)
1 + \lambda 2n
T\int
0
un(\theta )d\theta +
1
1 + \lambda 2n
fn(\gamma ). (10)
Условия (2) и (3) для уравнения (10) запишем в виде
un(0) +
T\int
0
\Theta 1(t)un(t)dt = \varphi 1n, (11)
u\prime n(0) +
T\int
0
\Theta 2(t)un(t)dt = \varphi 2n, (12)
где
\varphi kn =
l\int
0
\varphi k(y)\vargamma n(y)dy, k = 1, 2.
Правую часть (10) обозначим через Fn(t). Тогда, интегрируя дважды по t, из (10) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕЛОКАЛЬНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1119
un(t) = C2n + C1nt+
t\int
0
(t - s)Fn(s)ds, (13)
где C1n, C2n — пока неизвестные постоянные, для определения которых из интегральных
условий (11) и (12) получим следующую систему алгебраических уравнений:
C1n\alpha 3 + C2n\alpha 1 = g1,
C1n\alpha 2 + C2n\alpha 4 = g2.
(14)
Здесь
\alpha 1 = 1 +
T\int
0
\Theta 1(t)dt, \alpha 2 = 1 +
T\int
0
\Theta 2(t)tdt, \alpha 3 =
T\int
0
\Theta 1(t)tdt, \alpha 4 =
T\int
0
\Theta 2(t)dt,
gk = \varphi k -
T\int
0
\Theta k(t)
t\int
0
(t - s)Fn(s)dsdt, k = 1, 2.
Решая систему алгебраических уравнений (14), находим
C1n =
\alpha 3g1 - \alpha 1g2
\omega
=
1
\omega
\left\{ \alpha 3\varphi 1n - \alpha 3
T\int
0
\Theta 1(t)
t\int
0
(t - s)Fn(s)dsdt -
- \alpha 1\varphi 2n + \alpha 1
T\int
0
\Theta 2(t)
t\int
0
(t - s)Fn(s)dsdt
\right\} , (15)
C2n =
\alpha 2g1 - \alpha 3g2
\omega
=
1
\omega
\left\{ \alpha 2\varphi 1n - \alpha 2
T\int
0
\Theta 1(t)
t\int
0
(t - s)Fn(s)dsdt -
- \alpha 3\varphi 2n + \alpha 3
T\int
0
\Theta 2(t)
t\int
0
(t - s)Fn(s)dsdt
\right\} , (16)
где
\omega = \alpha 3\alpha 4 - \alpha 1\alpha 2 \not = 0. (17)
Подставляя (15) и (16) в (13), имеем
un(t) = \psi n(t) -
\alpha 2 + \alpha 3t
\omega
T\int
0
\Theta 1(t)
t\int
0
(t - s)Fn(s)dsdt+
+
\alpha 3 + \alpha 1t
\omega
T\int
0
\Theta 2(t)
t\int
0
(t - s)Fn(s)dsdt+
t\int
0
(t - s)Fn(s)ds,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1120 Т. К. ЮЛДАШЕВ
где
\psi n(t) =
1
\omega
\Bigl[
(\alpha 2 + \alpha 3t)\varphi 1n - (\alpha 1t+ \alpha 3)\varphi 2n
\Bigr]
,
или интегральное уравнение
un(t) = \psi n(t) + \mu \tau n
\alpha 2 + \alpha 3t
\omega
T\int
0
\Theta 1(t)
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)cindsdt -
- \mu \tau n
\alpha 3 + \alpha 1t
\omega
T\int
0
\Theta 2(t)
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)cindsdt -
- \mu \tau n
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)cinds+
t\int
0
(t - s)
p(s)
1 + \lambda 2n
T\int
0
un(\theta )d\theta ds -
- \alpha 2 + \alpha 3t
\omega
T\int
0
\Theta 1(t)
t\int
0
(t - s)
p(s)
1 + \lambda 2n
T\int
0
un(\theta )d\theta dsdt+
+
\alpha 3 + \alpha 1t
\omega
T\int
0
\Theta 2(t)
t\int
0
(t - s)
p(s)
1 + \lambda 2n
T\int
0
un(\theta )d\theta dsdt -
- \alpha 2 + \alpha 3t
\omega
T\int
0
\Theta 1(t)
t\int
0
(t - s)
s2
2(1 + \lambda 2n)
fn(\gamma )dsdt+
+
\alpha 3 + \alpha 1t
\omega
T\int
0
\Theta 2(t)
t\int
0
(t - s)
s2
2(1 + \lambda 2n)
fn(\gamma )dsdt+
+
t\int
0
(t - s)
s2
2(1 + \lambda 2n)
fn(\gamma )ds, (18)
где
qi(t) =
t\int
0
(t - s)ai(s)ds, p(t) =
t\int
0
(t - s)\eta (s)ds, i = 1,m.
Подставляя выражение (18) в (9), получаем систему счетных систем алгебраических урав-
нений (СССАУ)
cin + \mu \tau n
m\sum
j=1
Aijcjn = Bin, i = 1,m. (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕЛОКАЛЬНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1121
Здесь
Aij =
T\int
0
bi(s)
\alpha 2 + \alpha 3s
\omega
T\int
0
\Theta 1(\zeta )
\zeta \int
0
(\zeta - \xi )qj(\xi )d\xi d\zeta ds -
-
T\int
0
bi(s)
\alpha 3 + \alpha 1s
\omega
T\int
0
\Theta 2(\zeta )
\zeta \int
0
(\zeta - \xi )qj(\xi )d\xi d\zeta ds -
T\int
0
bi(s)
s\int
0
(s - \zeta )qj(\zeta )d\zeta ds,
Bin =
T\int
0
bi(s)\psi n(s)ds -
-
T\int
0
bi(s)
\alpha 2 + \alpha 3s
\omega
T\int
0
\Theta 1(\zeta )
\zeta \int
0
(\zeta - \xi )
p(\xi )
1 + \lambda 2n
T\int
0
un(\theta )d\theta d\xi d\zeta ds+
+
T\int
0
bi(s)
\alpha 3 + \alpha 1s
\omega
T\int
0
\Theta 2(\zeta )
\zeta \int
0
(\zeta - \xi )
p(\xi )
1 + \lambda 2n
T\int
0
un(\theta )d\theta d\xi d\zeta ds+
+
T\int
0
bi(s)
s\int
0
(s - \zeta )
p(\zeta )
1 + \lambda 2n
T\int
0
un(\theta )d\theta d\zeta ds -
-
T\int
0
bi(s)
\alpha 2 + \alpha 3s
\omega
T\int
0
\Theta 1(\zeta )
\zeta \int
0
(\zeta - \xi )
\xi 2
2(1 + \lambda 2n)
fn(\gamma )d\xi d\zeta ds+
+
T\int
0
bi(s)
\alpha 3 + \alpha 1s
\omega
T\int
0
\Theta 2(\zeta )
\zeta \int
0
(\zeta - \xi )
\xi 2
2(1 + \lambda 2n)
fn(\gamma )d\xi d\zeta ds+
+
T\int
0
bi(s)
s\int
0
(s - \zeta )
\zeta 2
2(1 + \lambda 2n)
fn(\gamma )d\zeta ds. (20)
СССАУ (19) однозначно разрешима при любых конечных Bin, если выполняется условие
\Delta n(\mu ) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 + \mu \tau nA11 \mu \tau nA12 . . . \mu \tau nA1m
\mu \tau nA21 1 + \mu \tau nA22 . . . \mu \tau nA2m
...
...
. . .
...
\mu \tau nAm1 \mu \tau nAm2 . . . 1 + \mu \tau nAmm
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \not = 0. (21)
Определитель \Delta n(\mu ) в (21) является многочленом относительно \mu степени не выше m.
Уравнение \Delta n(\mu ) = 0 имеет не более m различных корней. Эти корни являются собственными
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1122 Т. К. ЮЛДАШЕВ
числами ядра интегро-дифференциального уравнения (1). При других значениях \mu условие
(21) выполняется. Для таких значений \mu система (19) имеет единственное решение при любой
конечной правой части.
Тогда решения СССАУ (19) записываются в виде
cin =
\Delta in(\mu )
\Delta n(\mu )
, i = 1,m, (22)
где
\Delta in(\mu ) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 + \mu \tau nA11 . . . \mu \tau nA1(i - 1) B1n \mu \tau nA1(i+1) . . . \mu \tau nA1m
\mu \tau nA21 . . . \mu \tau nA2(i - 1) B2n \mu \tau nA2(i+1) . . . \mu \tau nA2m
...
...
...
...
...
. . .
...
\mu \tau nAm1 . . . \mu \tau nAm(i - 1) Bmn \mu \tau nAm(i+1) . . . 1 + \mu \tau nAmm
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Среди элементов определителей \Delta in(\mu ) имеются Bin. В свою очередь, в состав Bin входят
неизвестные величины un(t). В самом деле, эти неизвестные функции содержались в правой
части CССАУ (19). Чтобы вывести их из-под знака определителей, выражение в (20) запишем
в виде
Bin = B1in +B2i
T\int
0
un(\theta )d\theta +B3infn(\gamma ),
где
B1in =
T\int
0
bi(s)\psi n(s)ds,
B2in = -
T\int
0
bi(s)
\alpha 2 + \alpha 3s
\omega
T\int
0
\Theta 1(\zeta )
\zeta \int
0
(\zeta - \xi )
p(\xi )
1 + \lambda 2n
d\xi d\zeta ds+
+
T\int
0
bi(s)
\alpha 3 + \alpha 1s
\omega
T\int
0
\Theta 2(\zeta )
\zeta \int
0
(\zeta - \xi )
p(\xi )
1 + \lambda 2n
d\xi d\zeta ds+
+
T\int
0
bi(s)
s\int
0
(s - \zeta )
p(\zeta )
1 + \lambda 2n
d\zeta ds,
B3in = -
T\int
0
bi(s)
\alpha 2 + \alpha 3s
\omega
T\int
0
\Theta 1(\zeta )
\zeta \int
0
(\zeta - \xi )
\xi 2
2(1 + \lambda 2n)
d\xi d\zeta ds+
+
T\int
0
bi(s)
\alpha 3 + \alpha 1s
\omega
T\int
0
\Theta 2(\zeta )
\zeta \int
0
(\zeta - \xi )
\xi 2
2(1 + \lambda 2n)
d\xi d\zeta ds+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕЛОКАЛЬНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1123
+
T\int
0
bi(s)
s\int
0
(s - \zeta )
\zeta 2
2(1 + \lambda 2n)
d\zeta ds.
Согласно свойству определителя из последнего равенства получаем
\Delta in(\mu ) = \Delta 1in(\mu ) +
T\int
0
un(\theta )d\theta \Delta 2in(\mu ) + fn(\gamma )\Delta 3in(\mu ),
где
\Delta kin(\mu ) =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 + \mu \tau nA11 . . . \mu \tau nA1(i - 1) Bk1n \mu \tau nA1(i+1) . . . \mu \tau nA1m
\mu \tau nA21 . . . \mu \tau nA2(i - 1) Bk2n \mu \tau nA2(i+1) . . . \mu \tau nA2m
...
...
...
...
...
. . .
...
\mu \tau nAm1 . . . \mu \tau nAm(i - 1) Bkmn \mu \tau nAm(i+1) . . . 1 + \mu \tau nAmm
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
k = 1, 3.
Тогда формула (22) принимает вид
cin =
\Delta 1in(\mu )
\Delta n(\mu )
+
T\int
0
un(\theta )d\theta
\Delta 2in(\mu )
\Delta n(\mu )
+ fn(\gamma )
\Delta 3in(\mu )
\Delta n(\mu )
, i = 1,m. (23)
Подставляя (23) в (18), получаем ССНИУ
un(t) = \Im 1(t, un) \equiv Qn(t) +Gn(t)
T\int
0
un(\theta )d\theta +
+\Phi n(t)
l\int
0
f
\left( y, T\int
0
l\int
0
H(\theta , z)
\infty \sum
k=1
uk(\theta )\vargamma k(z)dzd\theta
\right) \vargamma n(y)dy, (24)
где
Qn(t) = \psi n(t) - \mu \tau n
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)
\Delta 1in(\mu )
\Delta n(\mu )
ds+
+\mu \tau n
\alpha 2 + \alpha 3t
\omega
T\int
0
\Theta 1(t)
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)
\Delta 1in(\mu )
\Delta n(\mu )
dsdt -
- \mu \tau n
\alpha 3 + \alpha 1t
\omega
T\int
0
\Theta 2(t)
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)
\Delta 1in(\mu )
\Delta n(\mu )
dsdt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1124 Т. К. ЮЛДАШЕВ
Gn(t) = - \mu \tau n
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)
\Delta 2in(\mu )
\Delta n(\mu )
ds+
t\int
0
(t - s)p(s)
1 + \lambda 2n
ds+
+\mu \tau n
\alpha 2 + \alpha 3t
\omega
T\int
0
\Theta 1(t)
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)
\Delta 2in(\mu )
\Delta n(\mu )
dsdt -
- \mu \tau n
\alpha 3 + \alpha 1t
\omega
T\int
0
\Theta 2(t)
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)
\Delta 2in(\mu )
\Delta n(\mu )
dsdt -
- \alpha 2 + \alpha 3t
\omega
T\int
0
\Theta 1(t)
t\int
0
(t - s)p(s)
1 + \lambda 2n
dsdt+
\alpha 3 + \alpha 1t
\omega
T\int
0
\Theta 2(t)
t\int
0
(t - s)p(s)
1 + \lambda 2n
dsdt,
\Phi n(t) = \mu \tau n
\alpha 2 + \alpha 3t
\omega
T\int
0
\Theta 1(t)
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)
\Delta 3in(\mu )
\Delta n(\mu )
dsdt -
- \mu \tau n
\alpha 3 + \alpha 1t
\omega
T\int
0
\Theta 2(t)
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)
\Delta 3in(\mu )
\Delta n(\mu )
dsdt -
- \mu \tau n
t\int
0
(t - s)
m\sum
i=1
qi(s)
\Delta 3in(\mu )
\Delta n(\mu )
ds+
t\int
0
(t - s)s2
2(1 + \lambda 2n)
ds -
- \alpha 2 + \alpha 3t
\omega
T\int
0
\Theta 1(t)
t\int
0
(t - s)s2
2(1 + \lambda 2n)
dsdt+
\alpha 3 + \alpha 1t
\omega
T\int
0
\Theta 2(t)
t\int
0
(t - s)s2
2(1 + \lambda 2n)
dsdt.
4. Однозначная разрешимость ССНИУ. Для функции h(x) \in L2(\Omega l) используется норма
\bigm\| \bigm\| h(x)\bigm\| \bigm\|
L2(\Omega l)
=
\sqrt{} l\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| h(y)\bigm| \bigm| \bigm| 2dy.
Класс функций, удовлетворяющих условию Липшица по переменным u, \vargamma , . . . с положи-
тельным коэффициентом L, обозначается через \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}
\bigl\{
L| u,\vargamma ,...
\bigr\}
.
Теорема 1. Пусть выполняются условия (17) и (21). Если
1) \beta 1 =
\bigm\| \bigm\| Q(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
<\infty , \beta 2 =
\bigm\| \bigm\| G(t)\bigm\| \bigm\|
B2(T )
<\infty ,
2) \beta 3 =
\bigm\| \bigm\| \Phi (t)\bigm\| \bigm\|
B2(T )
<\infty , M =
\bigm\| \bigm\| f(x, \gamma )\bigm\| \bigm\|
L2(\Omega l)
<\infty ,
3) f(x, \gamma ) \in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}
\bigl\{
L(x)| \gamma
\bigr\}
, \delta 1 =
\bigm\| \bigm\| L(x)\bigm\| \bigm\|
L2(\Omega l)
<\infty ,
4) \delta 2 =
\int T
0
\int l
0
\bigm| \bigm| H(t, x)
\bigm| \bigm| dxdt <\infty , \rho = \beta 2T + \beta 3\delta 1\delta 2\delta 3 < 1,
где \delta 3 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}x\in \Omega l
\sqrt{} \sum \infty
n=1
\bigm| \bigm| \vargamma n(x)\bigm| \bigm| 2, то ССНИУ (24) имеет единственное решение в про-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕЛОКАЛЬНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1125
странстве B2(T ). Это решение может быть найдено с помощью итерационного процесса
u0n(t) = Qn(t), uj+1
n (t) = \Im 1(t, u
j
n), j = 0, 1, 2, . . . . (25)
Доказательство. Рассмотрим шар S
\Bigl(
u0n; r1
\Bigr)
радиуса r1 = \beta 1 +
\beta 3M
1 - \beta 2T
. Для нулевого
приближения, в силу первого условия теоремы, из (25) имеем\bigm\| \bigm\| u0(t)\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq \beta 1. (26)
Для первой разности из (25) с использованием неравенств Гельдера и Минковского получаем
\bigm\| \bigm\| u1(t) - u0(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \Omega T
\bigm| \bigm| \bigm| Gn(t)
\bigm| \bigm| \bigm| 2
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
T\int
0
Qn(t)dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
+
+
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\left[ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \Omega T
\bigm| \bigm| \bigm| \Phi n(t)
\bigm| \bigm| \bigm| l\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f
\left( y, T\int
0
l\int
0
H(t, z)
\infty \sum
k=1
u0k(t)\vargamma k(z)dzdt
\right) \vargamma n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dy
\right] 2
.
Отсюда с использованием неравенства Бесселя, в силу условий теоремы и оценки (26), имеем\bigm\| \bigm\| u1(t) - u0(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq
\leq \beta 1\beta 2T + \beta 3
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\left[ l\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f
\left( y, T\int
0
l\int
0
H(t, z)
\infty \sum
k=1
Qk(t)\vargamma k(z)dzdt
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \vargamma n(y)\bigm| \bigm| \bigm| dy
\right] 2
\leq
\leq \beta 1\beta 2T + \beta 3
\bigm\| \bigm\| f(x, \gamma )\bigm\| \bigm\|
L2(\Omega l)
= \beta 1\beta 2T + \beta 3M. (27)
Для разности u2(t) - u0(t), в силу условий теоремы и оценки (27), из (25) аналогичным
образом получаем оценку
\bigm\| \bigm\| u2(t) - u0(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \Omega T
\bigm| \bigm| \bigm| Gn(t)
\bigm| \bigm| \bigm| 2
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\left[ T\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| u1n(t) - u0n(t)
\bigm| \bigm| \bigm| dt
\right] 2
+
+
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \Omega T
\bigm| \bigm| \bigm| \Phi n(t)
\bigm| \bigm| \bigm| 2
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\left[ l\int
0
| f (y, \gamma 1)\vargamma n(y)| dy
\right] 2
\leq
\leq (\beta 1\beta 2T + \beta 3M)\beta 2T + \beta 3M = \beta 1(\beta 2T )
2 + (\beta 2T + 1)\beta 3M, (28)
где
\gamma 1 =
T\int
0
l\int
0
H(t, z)
\infty \sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| u1k(t)\bigm| \bigm| \bigm| \vargamma k(z)dzdt.
Далее из (25) с учетом (28) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1126 Т. К. ЮЛДАШЕВ\bigm\| \bigm\| u3(t) - u0(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq
\Bigl(
\beta 1\beta 2T + \beta 3M
\Bigr)
(\beta 2T )
2 + (\beta 2T + 1)\beta 3M =
= \beta 1(\beta 2T )
3 +
\Bigl(
(\beta 2T )
2 + \beta 2T + 1
\Bigr)
\beta 3M. (29)
Продолжая этот процесс, аналогично (29) получаем\bigm\| \bigm\| uj(t) - u0(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq \beta 1(\beta 2T )
j+
+
\Bigl(
(\beta 2T )
j - 1 + (\beta 2T )
j - 2 + . . .+ (\beta 2T )
2 + \beta 2T + 1
\Bigr)
\beta 3M. (30)
Из последнего условия теоремы следует, что \beta 2T < 1. Поэтому из (30), переходя к пределу
при j \rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
\bigm\| \bigm\| uj(t) - u0(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
j\rightarrow \infty
\Bigl[
\beta 1(\beta 2T )
j+
+
\Bigl(
(\beta 2T )
j - 1 + (\beta 2T )
j - 2 + . . .+ (\beta 2T )
2 + \beta 2T + 1
\Bigr)
\beta 3M
\Bigr]
,
имеем \bigm\| \bigm\| u\infty (t) - u0(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
< \beta 1 +
\beta 3M
1 - \beta 2T
= r1. (31)
Из (31) следует, что оператор в правой части (24) отображает шар S
\Bigl(
u0n; r1
\Bigr)
в себя. Теперь для
произвольной разности uj+1(t) - uj(t) получаем оценку\bigm\| \bigm\| uj+1(t) - uj(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq
\leq
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \Omega T
\bigm| \bigm| \bigm| Gn(t)
\bigm| \bigm| \bigm| 2
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
T\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| ujk(t) - uj - 1
k (t)
\bigm| \bigm| \bigm| dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
+
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \Omega T
\bigm| \bigm| \bigm| \Phi n(t)
\bigm| \bigm| \bigm| 2\times
\times
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\left[ l\int
0
L(y)
T\int
0
l\int
0
| H(t, z)|
\infty \sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| ujk(t) - uj - 1
k (t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vargamma k(z)\bigm| \bigm| dzdt\bigm| \bigm| \vargamma n(y)\bigm| \bigm| dy
\right] 2
\leq
\leq
\left[ \beta 2T + \beta 3\delta 2\delta 3
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\left( l\int
0
L(y)
\bigm| \bigm| \vargamma n(y)\bigm| \bigm| dy
\right) 2
\right] \bigm\| \bigm\| uj(t) - uj - 1(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq
\leq \rho
\bigm\| \bigm\| uj(t) - uj - 1(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
. (32)
В силу последнего условия теоремы, из оценки (32) следует, что оператор в правой части (24)
является сжимающим. Из оценок (31), (32) заключаем, что для оператора (24) существует един-
ственная неподвижная точка (см., например, [29, с. 389 – 401]). Следовательно, ССНИУ (24)
имеет единственное решение u(t) \in B2(T ).
Кроме того, для скорости сходимости справедлива оценка\bigm\| \bigm\| uj+1(t) - u(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq \rho j+1
1 - \rho
\Bigl(
\beta 1\beta 2T + \beta 3M
\Bigr)
.
Теорема 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕЛОКАЛЬНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1127
Покажем, что множество интегро-дифференциальных уравнений (1), для которых выпол-
няется последнее условие теоремы 1, не пусто. Если в качестве примера взять функцию
H(t, x) = e - \beta 3\delta 1t - \delta 3x, то это условие примет вид
\rho = \beta 2T +
\Bigl[
1 - e - \beta 3\delta 1T
\Bigr] \Bigl[
1 - e - \delta 3l
\Bigr]
< 1.
Отсюда следует, что для T, удовлетворяющего неравенству
T <
1 -
\bigl[
1 - e - \beta 3\delta 1T
\bigr] \bigl[
1 - e - \delta 3l
\bigr]
\beta 2
,
справедлива теорема 1.
Дифференцируя ССНИУ (24) дважды по t, имеем
u\prime \prime n(t) = \Im 2(t, un) \equiv Q\prime \prime
n(t) +G\prime \prime
n(t)
T\int
0
un(\theta )d\theta +
+\Phi \prime \prime
n(t)
l\int
0
f
\left( y, T\int
0
l\int
0
H(\theta , z)
\infty \sum
k=1
uk(\theta )\vargamma k(z)dzd\theta
\right) \vargamma n(y)dy, (33)
где
Q\prime \prime
n(t) \in C
\bigl(
\Omega T
\bigr)
, G\prime \prime
n(t) \in C
\bigl(
\Omega T
\bigr)
, \Phi \prime \prime
n(t) \in C
\bigl(
\Omega T
\bigr)
.
Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1 и
N0 =
\bigm\| \bigm\| Q\prime \prime (t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
<\infty , N1 =
\bigm\| \bigm\| G\prime \prime (t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
<\infty , N2 =
\bigm\| \bigm\| \Phi \prime \prime (t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
<\infty .
Тогда u\prime \prime (t) \in B2(T ).
Доказательство. Рассмотрим шар S
\biggl(
d2
dt2
u0n; r2
\biggr)
радиуса
r2 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
N0;N1T
\biggl(
\beta 1 +
1
1 - \beta 2T
\biggr)
+N2M
\biggr\}
<\infty .
Для оператора (33) рассмотрим итерационный процесс
d2
dt2
u0n(t) = Q\prime \prime
n(t),
d2
dt2
uj+1
n (t) = \Im 2(t, u
j
n), j = 0, 1, 2, . . . . (34)
Покажем, что последовательные приближения (34) не выходят из шара S
\biggl(
d2
dt2
u0n; r2
\biggr)
. Для
нулевого приближения, в силу первого условия теоремы, из (34) имеем оценку\bigm\| \bigm\| \bigm\| d
dt
u0(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq N0. (35)
Для первой разности, в силу условий теоремы и неравенства (26), из (34) получаем оценку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1128 Т. К. ЮЛДАШЕВ
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| d2dt2u1(t) - d2
dt2
u0(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \Omega T
\bigm| \bigm| \bigm| G\prime \prime
n(t)
\bigm| \bigm| \bigm| 2
\sqrt{} \infty \sum
n=1
T\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| u0n(t)\bigm| \bigm| \bigm| 2dt+
+
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\left[ \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \Omega T
\bigm| \bigm| \bigm| \Phi \prime \prime
n(t)
\bigm| \bigm| \bigm| l\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f
\left( y, T\int
0
l\int
0
H(t, z)
\infty \sum
k=1
u0k(t)\vargamma k(z)dz dt
\right) \vargamma n(y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dy
\right] 2
\leq
\leq N1\beta 1T +N2M.
Для разности
d2
dt2
u2(t) - d2
dt2
u0(t), в силу условий теоремы и оценки (27), из (34) получим
оценку
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| d2dt2u2(t) - d2
dt2
u0(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \Omega T
\bigm| \bigm| \bigm| G\prime \prime
n(t)
\bigm| \bigm| \bigm| 2
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\left[ T\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| u1n(t) - u0n(t)
\bigm| \bigm| \bigm| dt
\right] 2
+
+
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in \Omega T
\bigm| \bigm| \bigm| \Phi \prime \prime
n(t)
\bigm| \bigm| \bigm| 2
\sqrt{} \left[ \infty \sum
n=1
l\int
0
| f (y, \gamma 1)\vargamma n(y)| dy
\right] 2
\leq
\leq (\beta 1\beta 2T + \beta 3M)N1T +N2M,
где
\gamma 1 =
T\int
0
l\int
0
H(t, z)
\infty \sum
k=1
\bigm| \bigm| u1k(t)\bigm| \bigm| \vargamma k(z)dzdt.
Далее, из (34) с учетом (28) имеем\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| d2dt2u3(t) - d2
dt2
u0(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq
\leq N1T
\Bigl(
\beta 1(\beta 2T )
2 + (\beta 2T + 1)\beta 3M
\Bigr)
+N2M. (36)
Продолжая этот процесс, аналогично (36) получаем\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| d2dt2uj(t) - d2
dt2
u0(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq N1T
\Bigl[
\beta 1(\beta 2T )
j+
+
\Bigl(
(\beta 2T )
j - 1 + (\beta 2T )
j - 2 + . . .+ (\beta 2T )
2 + \beta 2T + 1
\Bigr)
\beta 3M
\Bigr]
+N2M. (37)
Из последнего условия теоремы 1 следует, что \beta 2T < 1. Поэтому из (37), переходя к пределу
при j \rightarrow \infty , имеем\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| d2dt2u\infty (t) - d2
dt2
u0(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B2(T )
< N1T
\biggl(
\beta 1 +
1
1 - \beta 2T
\biggr)
+N2M \leq r2. (38)
Из (35) и (38) заключаем, что оператор в правой части (33) отображает шар S
\biggl(
d2
dt2
u0n; r2
\biggr)
в
себя. Отсюда следует, что u\prime \prime (t) \in B2(T ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕЛОКАЛЬНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1129
5. Сходимость ряда Фурье. Подставляя оператор из правой части (24) в ряд Фурье (5),
получаем формальное решение смешанной задачи (1) – (4):
U(t, x) =
\infty \sum
n=1
\vargamma n(x)
\left\{ Qn(t) +Gn(t)
T\int
0
un(\theta )d\theta +
+\Phi n(t)
l\int
0
f
\left( y, T\int
0
l\int
0
H(\theta , z)
\infty \sum
k=1
uk(\theta )\vargamma k(z)dzd\theta
\right) \vargamma n(y)dy
\right\} . (39)
Также подставим (25) в ряд (5):
U j+1(t, x) =
\infty \sum
n=1
uj+1
n (t)\vargamma n(x) =
\infty \sum
n=1
\vargamma n(x)
\left\{ Qn(t) +Gn(t)
T\int
0
ujn(\theta )d\theta +
+\Phi n(t)
l\int
0
f
\left( y, T\int
0
l\int
0
H(\theta , z)
\infty \sum
k=1
ujk(\theta )\vargamma k(z)dzd\theta
\right) \vargamma n(y)dy
\right\} ,
j = 0, 1, 2, 3, . . . . (40)
Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2 и u(t) \in B2(T ) является единствeн-
ным решением ССНИУ (24). Тогда последовательность функций (40) сходится абсолютно и
равномерно к функции (39) при j \rightarrow \infty .
Доказательство. Поскольку u(t) \in B2(T ) является единствeнным решением ССНИУ (24),
можно полагать, что \bigm\| \bigm\| uj(t) - u(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq \varepsilon
\delta 3
,
где 0 < \varepsilon — малое число. Тогда для разности функций (40) и (39) с применением неравенства
Гельдера получаем
\bigm| \bigm| U j(t, x) - U(t, x)
\bigm| \bigm| \leq \infty \sum
n=1
\bigm| \bigm| ujn(t) - un(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vargamma n(x)\bigm| \bigm| \leq
\leq \delta 3
\bigm\| \bigm\| uj(t) - u(t)
\bigm\| \bigm\|
B2(T )
\leq \delta 3
\varepsilon
\delta 3
= \varepsilon .
Так как для оператора (33) имеем место u\prime \prime (t) \in B2(T ), то с применением неравенства Гельдера
имеем оценку \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial 2U(t, x)
\partial t2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \infty \sum
n=1
\bigm| \bigm| u\prime \prime n(t)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vargamma n(x)\bigm| \bigm| \leq \delta 3
\bigm\| \bigm\| u\prime \prime (t)\bigm\| \bigm\|
B2(T )
<\infty .
Дифференцируя (39) дважды по x и учитывая (7), находим
\partial 2U(t, x)
\partial x2
=
\infty \sum
n=1
un(t)\vargamma
\prime \prime
n(x) = -
\infty \sum
n=1
\lambda 2nun(t)\vargamma n(x). (41)
Интегрируя по частям интеграл
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1130 Т. К. ЮЛДАШЕВ
un(t) =
l\int
0
U (t, y)\vargamma n(y)dy
два раза, имеем
un(t) = - 1
\lambda 2n
l\int
0
\partial 2U(t, y)
\partial y2
\vargamma n(y)dy. (42)
Подставляя (42) в (41) и используя неравенства Гельдера и Бесселя, окончательно получаем
оценку \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| -
\infty \sum
n=1
\lambda 2nun(t)\vargamma n(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \sum
n=1
l\int
0
\partial 2U(t, y)
\partial y2
\vargamma n(y)dy\vargamma n(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\bigm| \bigm| \bigm| \vargamma n(x)\bigm| \bigm| \bigm| 2
\sqrt{} \infty \sum
n=1
\left[ l\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial 2U(t, y)
\partial y2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vargamma n(y)\bigm| \bigm| \bigm| dy
\right] 2
\leq
\leq \delta 3
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial 2U(t, x)
\partial x2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2(\Omega l)
<\infty .
Теорема 3 доказана.
Литература
1. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Флаттер пластин и оболочек. – М.: Наука, 2006. – 248 c.
2. Замышляева А. А. Математические модели соболевского типа высокого порядка // Вестн. Южно-Урал. гос.
ун-та. Мат. моделирование и программирование. – 2014. – 7, № 2. – С. 5 – 28.
3. Benney D. J., Luke J. C. Interactions of permanent waves of finite amplitude // J. Math. Phys. – 1964. – 43. –
P. 309 – 313.
4. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. –
М.: Наука, 1986. – 336 с.
5. Алексидзе М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. – М.: Наука, 1991. –
352 с.
6. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. – Ново-
сибирск: Наука, 1983. – 319 с.
7. Бештоков М. Х. Численный метод решения одной нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка
гиперболического типа // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2014. – 54, № 9. – С. 1497 – 1514.
8. Джураев Т. Д., Логинов Б. В., Малюгина И. А. Вычисления собственных значений и собственных функ-
ций некоторых дифференциальных операторов третьего и четвертого порядков // Дифференц. уравнения мат.
физики и их прил.: Сб. науч. трудов. – Ташкент: Фан, 1989. – С. 24 – 36.
9. Зикиров О. С. О задаче Дирихле для гиперболических уравнений третьего порядка // Изв. вузов. Математика. –
2014. – № 7. – С. 63 – 71.
10. Иванчов Н. И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральным условием //Дифференц. урав-
нения. – 2004. – 40, № 4. – С. 547 – 564.
11. Егоров С. М., Хруслов Е. Я. Глобальные слабые решения системы Навье – Стокса – Фоккера – Планка // Укр.
мат. журн. – 2013. – 65, № 2. – С. 192 – 225.
12. Шхануков М. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделиро-
вании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. – 1982. – 18, № 4. – С. 689 – 699.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
НЕЛОКАЛЬНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1131
13. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. – М.: Мир, 1977. – 622 с.
14. Юлдашев Т. К. Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных
производных третьего порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Физ.-мат. науки. – 2014. – 34, № 1. – С. 56 – 65.
15. Юлдашев Т. К. Об одном интегро-дифференциальном уравнении Фредгольма в частных производных третьего
порядка // Изв. вузов. Математика. – 2015. – № 9. – С. 74 – 79.
16. Yuldashev T. K. A double inverse problem for a partial Fredholm integro-differential equation of fourth order // Proc.
Jangjeon Math. Soc. – 2015. – 18, № 3. – P. 417 – 426.
17. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Мат.
моделирование. – 2000. – 12, № 1. – С. 94 – 103.
18. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием инте-
грального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. – 2006. – 42, № 9. –
С. 1166 – 1179.
19. Пулькина Л. С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями 1- и 2-го рода //
Изв. вузов. Математика. – 2012. – № 4. – С. 74 – 83.
20. Тихонов А. Н. О бесконечных системах дифференциальных уравнений // Мат. cб. – 1934. – 41, № 4. – С. 551 –
560.
21. Персидский К. П. Об устойчивости решений счетной системы дифференциальных уравнений // Изв. АН
КазССР. Математика и механика. – 1948. – № 2. – С. 2 – 35.
22. Персидский К. П. Некоторые критические случаи счетных систем // Изв. АН КазССР. Математика и механика. –
1951. – № 5. – С. 3 – 24.
23. Персидский К. П. Счетные системы дифференциальных уравнений и устойчивость их решений // Изв. АН
КазССР. Математика и механика. – 1959. – № 7. – С. 52 – 71.
24. Жаутыков О. А. Исследования по теории счетных систем дифференциальных уравнений: Дис. ... д-ра физ.-мат.
наук. – Алма-Ата: Ин-т математики АН КазССР, 1961.
25. Валеев К. Г., Жаутыков О. А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. – Алма-Ата: Изд-во АН
КазССР, 1974. – 416 с.
26. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системы дифференциальных уравнений. – Киев: Ин-т математики
НАН Украины, 1993. – 308 с.
27. Мучник В. Л. Исследование специальных однородных интегральных уравнений второго рода в простран-
стве счетно-аддитивных функций множества: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. – Свердловск: Ин-т математики и
механики УРО АН СССР, 1983. – 125 с.
28. Чандиров Г. И. Смешанная задача для квазилинейных уравнений гиперболического типа: Дис. ... д-ра физ.-мат.
наук. – Баку: Азерб. гос. ун-т, 1970. – 248 с.
29. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с.
Получено 24.09.15,
после доработки — 20.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1906 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:58Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/17/1ef5593af4d399ad8f3567cf1d8fd417.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19062019-12-05T09:31:14Z Nonlocal mixed-value problem for a Boussinesq-type integrodifferential equation with degenerate kernel Нелокальная смешанная задача для интегро-дифференциального уравнения типа Буссинеска с вырожденным ядром Yuldashev, T. K. Юлдашев, Т. К. We consider the problem of one-valued solvability of the mixed-value problem for a nonlinear Boussinesq type fourth-order integrodifferential equation with degenerate kernel and integral conditions. The method of degenerate kernel is developed for the case of nonlinear Boussinesq type fourth-order partial integrodifferential equation. The Fourier method of separation of variables is employed. After redenoting, the integrodifferential equation is reduced to a system of countable system of algebraic equations with nonlinear and complex right-hand side. As a result of the solution of this system of countable systems of algebraic equations and substitution of the obtained solution in the previous formula, we get a countable system of nonlinear integral equations (CSNIE). To prove the theorem on one-valued solvability of the CSNIE, we use the method of successive approximations. Further, we establish the convergence of the Fourier series to the required function of the mixed-value problem. Our results can be regarded as a subsequent development of the theory of partial integrodifferential equations with degenerate kernel. Розглянуто питання однозначної розв’язностi мiшаної задачi для нелiнiйного iнтегро-диференцiального рiвняння типу Буссiнеска четвертого порядку з виродженим ядром та iнтегральними умовами. Метод виродженого ядра розвинено для випадку нелiнiйного iнтегро-диференцiального рiвняння типу Буссiнеска четвертого порядку. Використано метод Фур’є вiдокремлення змiнних. Пiсля позначення iнтегро-диференцiальне рiвняння зведено до системи лiчильних систем алгебраїчних рiвнянь (СЛСАР) з нелiнiйною правою частиною. Пiсля розв’язання цiєї СЛСАР i пiдстановки отриманого розв’язку в попередню формулу одержано лiчильну систему нелiнiйних iнтегральних рiвнянь (ЛСНIР). Для доведення теореми про однозначну розв’язнiсть ЛСНIР використано метод послiдовних наближень. Крiм того, показано збiжнiсть ряду Фур’є до шуканої функцiї нелокальної мiшаної задачi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1906 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 8 (2016); 1115-1131 Український математичний журнал; Том 68 № 8 (2016); 1115-1131 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1906/888 Copyright (c) 2016 Yuldashev T. K. |
| spellingShingle | Yuldashev, T. K. Юлдашев, Т. К. Nonlocal mixed-value problem for a Boussinesq-type integrodifferential equation with degenerate kernel |
| title | Nonlocal mixed-value problem for a Boussinesq-type integrodifferential
equation with degenerate kernel |
| title_alt | Нелокальная смешанная задача для интегро-дифференциального уравнения
типа Буссинеска с вырожденным ядром |
| title_full | Nonlocal mixed-value problem for a Boussinesq-type integrodifferential
equation with degenerate kernel |
| title_fullStr | Nonlocal mixed-value problem for a Boussinesq-type integrodifferential
equation with degenerate kernel |
| title_full_unstemmed | Nonlocal mixed-value problem for a Boussinesq-type integrodifferential
equation with degenerate kernel |
| title_short | Nonlocal mixed-value problem for a Boussinesq-type integrodifferential
equation with degenerate kernel |
| title_sort | nonlocal mixed-value problem for a boussinesq-type integrodifferential
equation with degenerate kernel |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1906 |
| work_keys_str_mv | AT yuldashevtk nonlocalmixedvalueproblemforaboussinesqtypeintegrodifferentialequationwithdegeneratekernel AT ûldaševtk nonlocalmixedvalueproblemforaboussinesqtypeintegrodifferentialequationwithdegeneratekernel AT yuldashevtk nelokalʹnaâsmešannaâzadačadlâintegrodifferencialʹnogouravneniâtipabussineskasvyroždennymâdrom AT ûldaševtk nelokalʹnaâsmešannaâzadačadlâintegrodifferencialʹnogouravneniâtipabussineskasvyroždennymâdrom |