Properties of the isolated solutions bounded on the entire axis for a system of nonlinear ordinary differential equations
We establish the conditions of continuous dependence on the right-hand side for the “isolated” solutions of a system of nonlinear ordinary differential equations bounded on the entire axis.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1907 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507794785959936 |
|---|---|
| author | Abildayeva, A. D. Dzhumabaev, D. S. Абильдаева, А. Д. Джумабаев, Д. С. Абильдаева, А. Д. Джумабаев, Д. С. |
| author_facet | Abildayeva, A. D. Dzhumabaev, D. S. Абильдаева, А. Д. Джумабаев, Д. С. Абильдаева, А. Д. Джумабаев, Д. С. |
| author_sort | Abildayeva, A. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:14Z |
| description | We establish the conditions of continuous dependence on the right-hand side for the “isolated” solutions of a system of
nonlinear ordinary differential equations bounded on the entire axis. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:14:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.624.3
Д. С. Джумабаев, А. Д. Абильдаева
(Ин-т математики и мат. моделирования МОН Республики Казахстан, Алматы)
СВОЙСТВА ИЗОЛИРОВАННЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ
НА ВСЕЙ ОСИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ*
We establish the conditions of continuous dependence on the right-hand side for the “isolated” solutions of a system of
nonlinear ordinary differential equations bounded on the entire axis.
Встановлено умови неперервної залежностi вiд правої частини „iзольованих” обмежених на всiй осi розв’язкiв
системи нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь.
1. Введение. На всей оси \BbbR = ( - \infty ,\infty ) рассматривается система нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений
dx
dt
= f(t, x), x \in \BbbR n, (1)
где f : \BbbR \times \BbbR n \rightarrow \BbbR n — непрерывная функция, \| x\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i=1,n | xi| .
Через \widetilde C(\BbbR ,\BbbR n) обозначим пространство непрерывных и ограниченных на \BbbR функций x :
\BbbR \rightarrow \BbbR n с нормой \| x\| 1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \BbbR \| x(t)\| .
Ограниченные решения обыкновенных дифференциальных уравнений различными метода-
ми исследованы многими авторами (см. [1, 2] и приведенную в них библиографию). В соответ-
ствии с применяемыми методами условия существования ограниченных решений получены в
различных терминах.
В настоящей работе исследуются вопросы существования изолированного ограниченного
на \BbbR решения системы (1) и его непрерывная зависимость от правой части f. Изолированность
ограниченного решения нелинейных дифференциальных уравнений имеет важное значение в
приложениях и играет такую же роль, как единственность ограниченного решения для линей-
ных дифференциальных уравнений. Однако изолированное ограниченное решение, рассмат-
риваемое как изолированный элемент множества ограниченных решений уравнений (1), не
является „устойчивым” к малым возмущениям правой части f. Например, дифференциальное
уравнение
dx
dt
= x2(x - 1)2, t \in \BbbR ,
имеет два изолированных ограниченных на \BbbR решения: x = 0 и x = 1. Однако возмущенное
дифференциальное уравнение
dx
dt
= x2(x - 1)2 + \varepsilon , t \in \BbbR ,
* Поддержана грантом Министерства образования и науки Республики Казахстан (проект 4057/\Gamma \Phi 4).
c\bigcirc Д. С. ДЖУМАБАЕВ, А. Д. АБИЛЬДАЕВА, 2016
1132 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
СВОЙСТВА ИЗОЛИРОВАННЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ НА ВСЕЙ ОСИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ . . . 1133
не имеет ограниченного на \BbbR решения при любом \varepsilon > 0. Этот пример показывает, что изоли-
рованное ограниченное на \BbbR решение, вообще говоря, не имеет свойства непрерывной зави-
симости от правой части дифференциального уравнения, и его существование не обеспечивает
существование ограниченного на \BbbR решения для возмущенного дифференциального уравнения.
2. Непрерывная зависимость „изолированного” ограниченного на \BbbR решения систе-
мы (1) от правой части. Следующее определение является обобщением определения „изоли-
рованного” решения нелинейной двухточечной краевой задачи, введенного в [3].
Определение А. Ограниченное на \BbbR решение x\ast (t) системы (1) называется „изолирован-
ным”, если:
a) существует число \rho > 0, при котором ограниченная в G\ast
\rho = \{ (t, x) \in \BbbR n+1 : t \in \BbbR ,
\| x - x\ast (t)\| < \rho \} функция f(t, x) имеет равномерно непрерывную и ограниченную производную
по x в G\ast
\rho ;
b) линеаризованная система
dy
dt
= f \prime
x(t, x
\ast (t))y, t \in \BbbR , y \in \BbbR n, (10)
экспоненциально дихотомична на \BbbR .
Свойства „изолированных” ограниченных на \BbbR решений исследуем методом параметриза-
ции [4].
Выполним разбиение действительной оси \BbbR =
\infty \bigcup
r= - \infty
[(r - 1)h, rh) с шагом h > 0.
Введем следующие пространства:
mn — пространство ограниченных двусторонне бесконечных последовательностей \lambda =
= (. . . , \lambda r, \lambda r+1, . . .), \lambda r \in \BbbR n, с нормой \| \lambda \| 2 = \| (. . . , \lambda r, \lambda r+1, . . .)\| 2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}r\in \BbbZ \| \lambda r\| ;\widetilde C(\BbbR , h,mn) — пространство ограниченных двусторонне бесконечных последовательностей
функций x[t] = (. . . , xr(t), xr+1(t), . . .) с нормой \| x[\cdot ]\| 3 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}r\in \BbbZ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in [(r - 1)h,rh) \| xr(t)\| , где
функция x : [(r - 1)h, rh) \rightarrow \BbbR n непрерывна на [(r - 1)h, rh) и имеет конечный предел при
t \rightarrow rh - 0, r \in \BbbZ ;
L(mn) — пространство линейных ограниченных операторов \Lambda : mn \rightarrow mn с индуцирован-
ной нормой.
Сужение функции x(t) на r-й интервал [(r - 1)h, rh) обозначим через xr(t), т. е. xr(t) —
вектор-функция размерности n, определенная и совпадающая с x(t) на [(r - 1)h, rh), r \in \BbbZ .
Через \lambda r обозначим значение функции xr(t) в точке t = (r - 1)h. Выполним замену ur(t) =
= xr(t) - \lambda r, t \in [(r - 1)h, rh), r \in \BbbZ , и от задачи нахождения ограниченного на \BbbR решения
системы (1) перейдем к эквивалентной задаче с параметрами
dur
dt
= f(t, \lambda r + ur), t \in [(r - 1)h, rh), r \in \BbbZ , (2)
ur((r - 1)h) = 0, r \in \BbbZ , (3)
\lambda r + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow rh - 0
ur(t) - \lambda r+1 = 0, r \in \BbbZ , (4)
\lambda = (. . . , \lambda r, \lambda r+1, . . .) \in mn, u[t] = (. . . , ur(t), ur+1(t), . . .) \in \widetilde C(\BbbR , h,mn). (5)
Решением задачи (2) – (5) является пара
\bigl(
\lambda \ast , u\ast [t]
\bigr)
с элементами \lambda \ast =
\bigl(
. . . , \lambda \ast
r , \lambda
\ast
r+1, . . .
\bigr)
\in
\in mn, u\ast [t] =
\bigl(
. . . , u\ast r(t), u
\ast
r+1(t), . . .
\bigr)
\in \widetilde C(\BbbR , h,mn), где непрерывно дифференцируемая
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1134 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, А. Д. АБИЛЬДАЕВА
на [(r - 1)h, rh) функция u\ast r(t) при \lambda r = \lambda \ast
r , r \in \BbbZ , удовлетворяет дифференциальному
уравнению (2) и условиям (3), (4). Если система пар (\lambda \ast
r , u
\ast
r(t)), r \in \BbbZ , является решением
задачи (2) – (5), то функция, определяемая равенствами x\ast (t) = \lambda \ast
r + u\ast r(t), t \in [(r - 1)h, rh),
r \in \BbbZ , будет ограниченным на \BbbR решением системы (1).
При фиксированном значении параметра \lambda r задача Коши (2), (3) эквивалентна интеграль-
ному уравнению Вольтерра второго рода
ur(t) =
t\int
(r - 1)h
f(\tau , \lambda r + ur(\tau ))d\tau , t \in [(r - 1)h, rh), r \in \BbbZ . (6)
Из (6), определив \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow rh - 0 ur(t) и подставив его в (4), получим бесконечную систему нели-
нейных уравнений относительно введенных параметров
\lambda r +
rh\int
(r - 1)h
f(t, \lambda r + ur(t))dt - \lambda r+1 = 0, r \in \BbbZ , (7)
которую запишем в виде операторного уравнения
Q1,h(\lambda , u) = 0, \lambda \in mn.
Рассмотрим наряду с (1) дифференциальное уравнение
dx
dt
= \widetilde f(t, x), x \in Rn, t \in \BbbR , (8)
где функция \widetilde f : \BbbR n+1 \rightarrow \BbbR n непрерывна. Предположим, что x\ast (t) — „изолированное” огра-
ниченное на всей оси решение дифференциального уравнения (1) и \lambda \ast
r = x\ast ((r - 1)h),
u\ast r(t) = x\ast (t) - x\ast ((r - 1)h), t \in [(r - 1)h, rh), r \in \BbbZ . По определению „изолированного”
ограниченного на всей оси решения существуют числа \rho > 0, L0 > 0 такие, что функция
f(t, x) в G\ast
\rho ограничена, имеет равномерно непрерывную производную f \prime
x(t, x) и выполняется
неравенство \| f \prime
x(t, x)\| \leq L0. Матрицу Якоби f \prime
x(t, x
\ast (t)) обозначим через A\ast (t) и составим
двусторонне бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно введен-
ных параметров \left[ I + rh\int
(r - 1)h
A\ast (t)dt
\right] \lambda r - \lambda r+1 = br, r \in \BbbZ . (9)
Двусторонне бесконечную блочно-ленточную матрицу, соответствующую левой части систе-
мы (9), обозначим через Q\ast
1(h).
Используя схему доказательства теоремы 2 из [5, c. 36], нетрудно установить справедли-
вость следующего утверждения.
Теорема 1. Линеаризованная система (10) экспоненциально дихотомична на \BbbR тогда и
только тогда, когда для любого \varepsilon \in (0, 1] найдется h = h(\varepsilon ), при котором двусторонне беско-
нечная блочно-ленточная матрица Q\ast
1(h) : mn \rightarrow mn ограниченно обратима, и выполняются
неравенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
СВОЙСТВА ИЗОЛИРОВАННЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ НА ВСЕЙ ОСИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ . . . 1135
a) \| [Q\ast
1(h)]
- 1\| L(mn) \leq \gamma \ast 1(h),
b) q\ast 1(h) = \gamma \ast 1(h)
\bigl(
ehL0 - 1 - hL0
\bigr)
< \varepsilon .
Использовав теорему 1, по \varepsilon = 1/8 найдем h0 = h(1/8), при котором\bigm\| \bigm\| [Q\ast
1(h0)]
- 1
\bigm\| \bigm\|
L(mn)
\leq \gamma \ast 1(h0), q\ast 1(h0) \leq 1/8. (10)
Составим множества
S
\bigl(
\lambda \ast , \rho /2
\bigr)
=
\bigl\{
\lambda = (. . . , \lambda r, \lambda r+1, . . .) \in mn : \| \lambda - \lambda \ast \| 2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\in \BbbZ
\| \lambda r - \lambda \ast
r\| < \rho /2
\bigr\}
,
Sh
\bigl(
u\ast [t], \rho /2
\bigr)
=
\bigl\{
u[t] \in \widetilde C(\BbbR , h,mn) : \| u[\cdot ] - u\ast [\cdot ]\| 3 < \rho /2
\bigr\}
,
S
\bigl(
x\ast (t), \rho
\bigr)
=
\bigl\{
x(t) \in \widetilde C(\BbbR ,\BbbR n) : \| x - x\ast \| 1 < \rho
\bigr\}
.
Из равномерной непрерывности f \prime
x(t, x) в G\ast
\rho следуют существование производной Фреше
оператора Q1,h0(\lambda , u) по \lambda и ее равномерная непрерывность в S
\bigl(
\lambda \ast , \rho /2
\bigr)
\times Sh0
\bigl(
u\ast [t], \rho /2
\bigr)
.
Поэтому \rho 0 \in (0, \rho ] можно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство
\gamma \ast 1(h0)
\bigm\| \bigm\| \partial Q1,h0(\lambda , u)/\partial \lambda - \partial Q1,h0(\lambda
\ast , u\ast )/\partial \lambda
\bigm\| \bigm\|
L(mn)
\leq 1/3 (11)
для всех (\lambda , u[t]) \in S
\bigl(
\lambda \ast , \rho 0/2
\bigr)
\times Sh0
\bigl(
u\ast [t], \rho 0/2
\bigr)
. Поскольку \partial Q1,h0(\lambda
\ast , u\ast )/\partial \lambda = Q\ast
1(h0),
то, согласно теореме о малых возмущениях ограниченно обратимых операторов [6, с. 212],
двусторонне бесконечная матрица Якоби \partial Q1,h0(\lambda , u)/\partial \lambda : mn \rightarrow mn ограниченно обратима и\bigm\| \bigm\| (\partial Q1,h0(\lambda , u)/\partial \lambda )
- 1
\bigm\| \bigm\|
L(mn)
\leq 1,5\gamma \ast 1(h0) (12)
для всех (\lambda , u[t]) \in S
\bigl(
\lambda \ast , \rho 0/2
\bigr)
\times Sh0
\bigl(
u\ast [t], \rho 0/2
\bigr)
.
В следующем утверждении предполагается, что система (1) имеет „изолированное” огра-
ниченное на \BbbR решение x\ast (t) и числа h0 > 0, \rho 0 > 0 выбраны удовлетворяющими неравен-
ствам (10), (11).
Теорема 2. Пусть функция \widetilde f(t, x) в G\ast
\rho 0 имеет равномерно непрерывную частную произ-
водную по x и для положительных чисел \varepsilon 1, \varepsilon 2 выполняются следующие неравенства:
1)
\bigm\| \bigm\| \widetilde f(t, x) - f(t, x)
\bigm\| \bigm\| \leq \varepsilon 1,
\bigm\| \bigm\| \widetilde f \prime
x(t, x) - f \prime
x(t, x)
\bigm\| \bigm\| \leq \varepsilon 2, (t, x) \in G\ast
\rho 0 ,
2) 1,5\gamma \ast 1(h0)h0\varepsilon 2 \leq 0,25,
3) \widetilde q1(h0) = 2\gamma \ast 1(h0)
\bigl(
e(L0+\varepsilon 2)h0 - 1 - (L0 + \varepsilon 2)h0
\bigr)
\leq 0,5,
4) 4\gamma \ast 1(h0)h0\varepsilon 1
\bigl(
1 + L0h0e
(L0+\varepsilon 2)h0
\bigr)
< \rho 0/2,
5)
\Bigl(
e(L0+\varepsilon 2)h0 +
\bigl(
e(L0+\varepsilon 2)h0 - 1
\bigr)
\cdot 4\gamma \ast 1(h0)
\bigl(
1 + L0h0e
(L0+\varepsilon 2)h0
\bigr) \Bigr)
h0\varepsilon 1 < \rho 0/2.
Тогда дифференциальное уравнение (8) в S(x\ast (t), \rho 0) имеет „изолированное” ограниченное на
\BbbR решение \widetilde x(t) и справедлива оценка
\| \widetilde x - x\ast \| 1 \leq e(L0+\varepsilon 2)h0
\bigl(
1 + 4\gamma \ast 1(h0)
\bigl(
1 + L0h0e
(L0+\varepsilon 2)h0
\bigr) \bigr)
h0\varepsilon 1. (13)
Доказательство. По шагу h0 > 0 выполним разбиение \BbbR =
\bigcup \infty
r= - \infty [(r - 1)h0, rh0) и пе-
рейдем от задачи нахождения ограниченного на \BbbR решения дифференциального уравнения (8)
к эквивалентной сингулярной задаче с параметрами
dur
dt
= \widetilde f(t, \lambda r + ur), t \in [(r - 1)h0, rh0), r \in \BbbZ , (14)
ur((r - 1)h0) = 0, r \in \BbbZ , (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1136 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, А. Д. АБИЛЬДАЕВА
\lambda r + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow rh0 - 0
ur(t) - \lambda r+1 = 0, r \in \BbbZ , (16)
(\lambda , u[t]) \in mn \times \widetilde C(\BbbR , h0,mn). (17)
Аналогично (7) получим двусторонне бесконечную систему
\lambda r +
rh0\int
(r - 1)h0
\widetilde f(\tau , \lambda r + ur(\tau ))d\tau - \lambda r+1 = 0, r \in \BbbZ ,
которую запишем в виде операторного уравнения
\widetilde Q1,h0(\lambda , u) = 0, \lambda \in mn. (18)
Решение сингулярной задачи с параметрами (14) – (17) найдем методом последовательных
приближений. За начальное приближение по параметру \lambda (0) \in mn возьмем \lambda \ast = (. . . , \lambda \ast
r ,
\lambda \ast
r+1, . . .) \in mn и найдем функцию u
(0)
r (t), решив задачу Коши (14), (15) при \lambda r = \lambda \ast
r , r \in \BbbZ .
Условия теоремы обеспечивают существование единственного u
(0)
r (t) для каждого r \in \BbbZ и
оценку
\| u(0)r (t) - u\ast r(t)\| \leq e(L0+\varepsilon 2)(t - (r - 1)h0)\varepsilon 1h0, t \in [(r - 1)h0, rh0). (19)
Из неравенства из п. 1 теоремы следует, что
\bigm\| \bigm\| \partial \widetilde Q1,h0(\lambda , u)/\partial \lambda - \partial Q1,h0(\lambda , u)/\partial \lambda
\bigm\| \bigm\|
L(mn)
\leq \varepsilon 2h0.
Поэтому, использовав оценку (13), неравенство из п. 2 теоремы и теорему о малых возмущениях
ограниченно обратимых операторов, получим обратимость двусторонне бесконечной матрицы
Якоби \partial \widetilde Q1,h0(\lambda , u)/\partial \lambda : mn \rightarrow mn и оценку\bigm\| \bigm\| \bigl( \partial \widetilde Q1,h0(\lambda , u)/\partial \lambda
\bigr) - 1\bigm\| \bigm\|
L(mn)
\leq \widetilde \gamma 1(h0) = 2\gamma \ast 1(h0) (20)
для всех (\lambda , u[t]) \in S(\lambda \ast , \rho 0/2)\times Sh0(u
\ast [t], \rho 0/2). Оценка (20) и неравенства из пп. 4, 5 теоремы
обеспечивают для операторного уравнения (18) выполнение условий теоремы A из [3, c. 38] в
S(\lambda \ast , \rho 0/2) при любом u[t] \in Sh0(u
\ast [t], \rho 0/2). Использовав эту теорему и решив операторное
уравнение, найдем первое приближение по параметру \lambda (1) = (. . . , \lambda
(1)
r , \lambda
(1)
r+1, . . .)
\widetilde Q1,h0(\lambda , u
(0)) = 0, \lambda \in mn,
и установим оценку
\| \lambda (1) - \lambda (0)\| 2 \leq 2\gamma \ast 1(h0)\| \widetilde Q1,h0(\lambda
\ast , u(0))\| 2 \leq 2\gamma \ast 1(h0)
\bigl(
1 + L0h0e
(L0+\varepsilon 2)h0
\bigr)
h0\varepsilon 1. (21)
Решая задачу Коши (14), (15) при \lambda r = \lambda
(1)
r , r \in \BbbZ , находим u(1)[t] = (. . . , u
(1)
r (t), u
(1)
r+1(t), . . .).
Функции u
(1)
r (t) существуют, и для них выполняются неравенства\bigm\| \bigm\| u(1)r (t) - u
(0)
r (t)
\bigm\| \bigm\| \leq
\bigl(
e(L0+\varepsilon 2)(t - (r - 1)h0) - 1
\bigr)
\| \lambda (1)
r - \lambda
(0)
r \| , t \in [(r - 1)h0, rh0), r \in \BbbZ .
(22)
Подставив u(1)[t] в (18) и решив операторное уравнение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
СВОЙСТВА ИЗОЛИРОВАННЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ НА ВСЕЙ ОСИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ . . . 1137
\widetilde Q1,h0(\lambda , u
(1)) = 0, \lambda \in mn,
найдем \lambda (2) и установим оценку
\| \lambda (2) - \lambda (1)\| 2 \leq 2\gamma \ast 1(h0)\| \widetilde Q1,h0(\lambda
(1), u(1))\| 2 \leq
\leq 2\gamma \ast 1(h0)(L0 + \varepsilon 2) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\in \BbbZ
rh0\int
(r - 1)h0
\| u(1)r (\tau ) - u(0)r (\tau )\| d\tau .
Отсюда, использовав неравенства (22), получим
\| \lambda (2) - \lambda (1)\| 2 \leq \widetilde q1(h0)\| \lambda (1) - \lambda (0)\| 2.
Продолжая итерационный процесс, на (k + 1)-м шаге находим \lambda (k+1) \in mn, u(k+1)[t] \in
\in \widetilde C(\BbbR , h0,mn) и устанавливаем оценки
\| \lambda (k+1) - \lambda (k)\| 2 \leq \widetilde q1(h0)\| \lambda (k) - \lambda (k - 1)\| 2, (23)
\| u(k+1)[\cdot ] - u(k)[\cdot ]\| 3 \leq
\bigl(
e(L0+\varepsilon 2)h0 - 1
\bigr)
\| \lambda (k+1) - \lambda (k)\| 2. (24)
В силу неравенства из п. 3 теоремы \lambda (k) \rightarrow \widetilde \lambda , u(k)[t] \rightarrow \widetilde u[t] при k \rightarrow \infty . Из неравенств (21),
(23) и (24) имеем \bigm\| \bigm\| \widetilde \lambda - \lambda (0)
\bigm\| \bigm\|
2
\leq 4\gamma \ast 1(h0)
\bigl(
1 + L0h0e
(L0+\varepsilon 2)h0
\bigr)
h0\varepsilon 1, (25)\bigm\| \bigm\| \bigm\| \widetilde u[\cdot ] - u(0)[\cdot ]
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
3
\leq
\bigl(
e(L0+\varepsilon 2)h0 - 1
\bigr)
4\gamma \ast 1(h0)
\bigl(
1 + L0h0e
(L0+\varepsilon 2)h0
\bigr)
h0\varepsilon 1. (26)
Тогда функция \widetilde x(t), определенная на \BbbR равенствами \widetilde x(t) = \widetilde \lambda r + \widetilde ur(t), t \in [(r - 1)h0, rh0),
r \in \BbbZ , принадлежит S(x\ast (t), \rho 0) и является „изолированным” ограниченным на \BbbR реше-
нием нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения (8), а оценка (13) следует
из (25), (26).
Теорема 2 доказана.
Отметим, что применяемый в статье подход позволил установить явную оценку разности
„изолированных” ограниченных на \BbbR решений систем (8) и (1) через оценки
\bigm\| \bigm\| \widetilde f(t, x) - f(t, x)
\bigm\| \bigm\| ,\bigm\| \bigm\| \widetilde f \prime
x(t, x) - f \prime
x(t, x)
\bigm\| \bigm\| на множестве G\ast
\rho 0 . Из (13) следует непрерывная зависимость „изолиро-
ванных” ограниченных на \BbbR решений от правой части дифференциальных уравнений.
В качестве примера рассмотрим возмущенное дифференциальное уравнение
dx
dt
= (1 - x)x2 + \varepsilon , t \in \BbbR . (27)
Уравнение (27) при \varepsilon = 0 имеет два изолированных ограниченных на \BbbR решения: x = 0 и
x = 1. Изолированным в смысле определения А решением является только x = 1. Функция
x\varepsilon (t) =
1
3
+
3
\sqrt{}
1
27
+
\varepsilon
2
-
\sqrt{}
\varepsilon
27
+
\varepsilon 2
4
+
3
\sqrt{}
1
27
+
\varepsilon
2
+
\sqrt{}
\varepsilon
27
+
\varepsilon 2
4
, t \in \BbbR ,
является ограниченным на \BbbR решением уравнения (27) и при \varepsilon \rightarrow 0 совпадает с x = 1. Таким
образом, при возмущении правой части дифференциального уравнения именно изолированное
в смысле определения А решение сохраняется и непрерывно зависит от этого возмущения.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1138 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, А. Д. АБИЛЬДАЕВА
Литература
1. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве. – М.: Наука, 1970. – 534 с.
2. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных систем дифферен-
циальных уравнений с помощью функции Ляпунова. – Киев: Наук. думка, 1990. – 272 с.
3. Dzhumabaev D. S., Temesheva S. M. A parametrization method for solving nonlinear two-point boundary value
problems // Comput. Math. and Math. Phys. – 2007. – 47, №1. – P. 37 – 61.
4. Dzhumabaev D. S. Singular boundary value problems and their approximation for nonlinear ordinary differential
equations // Comput. Math. and Math. Phys. – 1992. – 32, №1. – P. 10 – 24.
5. Dzhumabayev D. S. Approximation of a bounded solution of a linear ordinary differential equation by solutions of
two-point boundary value problems // USSR Comput. Math. and Math. Phys. – 1990. – 30, №2. – P. 34 – 45.
6. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 744 с.
Получено 23.05.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1907 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:14:59Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c3/bbc0ca153c11a3f2b39150bf9aecd1c3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19072019-12-05T09:31:14Z Properties of the isolated solutions bounded on the entire axis for a system of nonlinear ordinary differential equations Свойства изолированных ограниченных на всей оси решений системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Abildayeva, A. D. Dzhumabaev, D. S. Абильдаева, А. Д. Джумабаев, Д. С. Абильдаева, А. Д. Джумабаев, Д. С. We establish the conditions of continuous dependence on the right-hand side for the “isolated” solutions of a system of nonlinear ordinary differential equations bounded on the entire axis. Встановлено умови неперервної залежностi вiд правої частини „iзольованих” обмежених на всiй осi розв’язкiв системи нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1907 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 8 (2016); 1132-1138 Український математичний журнал; Том 68 № 8 (2016); 1132-1138 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1907/889 Copyright (c) 2016 Abildayeva A. D.; Dzhumabaev D. S. |
| spellingShingle | Abildayeva, A. D. Dzhumabaev, D. S. Абильдаева, А. Д. Джумабаев, Д. С. Абильдаева, А. Д. Джумабаев, Д. С. Properties of the isolated solutions bounded on the entire axis for a system of nonlinear ordinary differential equations |
| title | Properties of the isolated solutions bounded on the entire
axis for a system of nonlinear ordinary differential equations |
| title_alt | Свойства изолированных ограниченных на всей оси
решений системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_full | Properties of the isolated solutions bounded on the entire
axis for a system of nonlinear ordinary differential equations |
| title_fullStr | Properties of the isolated solutions bounded on the entire
axis for a system of nonlinear ordinary differential equations |
| title_full_unstemmed | Properties of the isolated solutions bounded on the entire
axis for a system of nonlinear ordinary differential equations |
| title_short | Properties of the isolated solutions bounded on the entire
axis for a system of nonlinear ordinary differential equations |
| title_sort | properties of the isolated solutions bounded on the entire
axis for a system of nonlinear ordinary differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1907 |
| work_keys_str_mv | AT abildayevaad propertiesoftheisolatedsolutionsboundedontheentireaxisforasystemofnonlinearordinarydifferentialequations AT dzhumabaevds propertiesoftheisolatedsolutionsboundedontheentireaxisforasystemofnonlinearordinarydifferentialequations AT abilʹdaevaad propertiesoftheisolatedsolutionsboundedontheentireaxisforasystemofnonlinearordinarydifferentialequations AT džumabaevds propertiesoftheisolatedsolutionsboundedontheentireaxisforasystemofnonlinearordinarydifferentialequations AT abilʹdaevaad propertiesoftheisolatedsolutionsboundedontheentireaxisforasystemofnonlinearordinarydifferentialequations AT džumabaevds propertiesoftheisolatedsolutionsboundedontheentireaxisforasystemofnonlinearordinarydifferentialequations AT abildayevaad svojstvaizolirovannyhograničennyhnavsejosirešenijsistemynelinejnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT dzhumabaevds svojstvaizolirovannyhograničennyhnavsejosirešenijsistemynelinejnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT abilʹdaevaad svojstvaizolirovannyhograničennyhnavsejosirešenijsistemynelinejnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT džumabaevds svojstvaizolirovannyhograničennyhnavsejosirešenijsistemynelinejnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT abilʹdaevaad svojstvaizolirovannyhograničennyhnavsejosirešenijsistemynelinejnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT džumabaevds svojstvaizolirovannyhograničennyhnavsejosirešenijsistemynelinejnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij |