Category of some subalgebras of the Toeplitz algebra
UDC 517.9 We consider structure analysis of subalgebras of the Toeplitz algebra, which are generated by inverse subsemigroups of bicyclic semigroup. A category of sets of natural numbers of length $k < m$ is constructed, and each set is matched by some $C^{\ast}$-algebra. The result is a...
Gespeichert in:
| Datum: | 2021 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2021
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/191 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860506982382829568 |
|---|---|
| author | Hovsepyan, K. H. Овсепян , К. Г. |
| author_facet | Hovsepyan, K. H. Овсепян , К. Г. |
| author_sort | Hovsepyan, K. H. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2025-03-31T08:46:08Z |
| description | UDC 517.9
We consider structure analysis of subalgebras of the Toeplitz algebra, which are generated by inverse subsemigroups of bicyclic semigroup. A category of sets of natural numbers of length $k < m$ is constructed, and each set is matched by some $C^{\ast}$-algebra. The result is a category of $C^{\ast}$ -algebras. The existence of a functor between these categories has been proved. In particular, we find the conditions, under which the category of $C^{\ast}$-algebras turns into a bundle of $C^{\ast}$ -algebras. |
| doi_str_mv | 10.37863/umzh.v73i12.191 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:02:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
DOI: 10.37863/umzh.v73i12.191
УДК 517.9
К. Г. Овсепян (Iджеван. фiлiя Єреван. держ. ун-ту, Вiрменiя)
КАТЕГОРIЯ ДЕЯКИХ ПIДАЛГЕБР АЛГЕБРИ ТЬОПЛIЦА
We consider the structure analysis of subalgebras of the Toeplitz algebra, which are generated by inverse subsemigroups
of a bicyclic semigroup. We construct a category of the sets of natural numbers of length k < m and match each set with
a C\ast -algebra. The result is a category of C\ast -algebras. The existence of a functor between these categories is proved. In
particular, we find the conditions, under which the category of C\ast -algebras turns into a bundle of C\ast -algebras.
Розглядається структурний аналiз C\ast -пiдалгебр алгебри Тьоплiца, якi породжуються iнверсними пiднапiвгрупами
бiциклiчної напiвгрупи. Побудовано категорiю наборiв натуральних чисел довжиною k < m, i кожному набору
зiставлено деяку C\ast -алгебру. В результатi отримано категорiю C\ast -алгебр. Доведено iснування функтора мiж цими
категорiями. Зокрема, знайдено умови, за яких категорiя C\ast -алгебр перетворюється в розшарування C\ast -алгебр.
1. Вступ. Одним iз вiдомих алгебраїчних об’єктiв у сучаснiй математичнiй фiзицi є алгебра
Тьоплiца \scrT . У багатьох роботах дослiджується як сама алгебра, так i рiзнi її модифiкацiї
[1 – 10]. Цю статтю також присвячено одному з узагальнень алгебри Тьоплiца, яке виникає
при дослiдженнi C\ast -алгебр, породжених iнверсними пiднапiвгрупами бiциклiчної напiвгрупи.
Барнес [1] довiв, що бiциклiчна напiвгрупа має з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi одне
нескiнченновимiрне точне незвiдне зображення i серiя одновимiрних зображень параметризу-
ється одиничним околом. З теореми Кобурна [2] випливає, що всi C\ast -алгебри, породженi не-
унiтарними iзометричними зображеннями напiвгрупи невiд’ємних цiлих чисел \BbbZ +, канонiчно
iзоморфнi. Ця теорема була узагальнена Дугласом [4] для напiвгруп iз архiмедовим порядком i
Мерфi [6] для напiвгруп iз повним порядком. У роботi [5] Аухадiєв i Тепоян довели зворотне
твердження до теореми Мерфi [6], тобто що всi C\ast -алгебри, породженi точними iзометрични-
ми неунiтарними зображеннями напiвгрупи, канонiчно iзоморфнi лише тодi, коли напiвгрупа
оснащена повним порядком. Таким чином, C\ast -алгебра, породжена точним нескiнченновимiр-
ним зображенням бiциклiчної напiвгрупи, iзоморфна алгебрi Тьоплiца.
Ранiше автором було розпочато вивчення C\ast -пiдалгебр алгебри Тьоплiца \scrT , породжених
мономами, iндекс яких кратний числу m. Таку C\ast -алгебру було позначено \scrT m i показано,
що вона нерухома щодо скiнченної пiдгрупи групи S1 порядку m. Було описано всi незвiднi
нескiнченновимiрнi зображення цiєї C\ast -алгебри (див. [11 – 13]).
У роботi [14] продовжено вивчення C\ast -алгебри \scrT m з дещо iншої точки зору. Отримано
повний опис усiх iнварiантних iдеалiв алгебри \scrT m, показано, що їх скiнченна кiлькiсть, точно
2m, i що кожен iз них породжується однiєю або декiлькома рiзницями проєкторiв вигляду
T iT \ast i - T jT \ast j , 0 \leq i < j \leq m. Також доведено, що якщо J — iнварiантний iдеал C\ast -алгебри
\scrT m i J \not = \scrK m, то вона може бути зображена у виглядi прямої суми \scrT m \sim = \scrT n \oplus J для деякого
n < m.
У роботi [15] було показано, що алгебра \scrT m зображується у виглядi схрещеного добутку:
\scrT m = \varphi (\scrA ) \times \delta m \BbbZ , де \scrA = C0(\BbbZ +) \oplus \BbbC I, тобто алгебра неперервних функцiй на \BbbZ +, якi в
нескiнченностi мають скiнченну границю. Крiм того, повний опис автоморфiзмiв C\ast -алгебри
\scrT m i її пiдалгебр \scrT (m) i \scrK m наведено у роботi [16].
c\bigcirc К. Г. ОВСЕПЯН, 2021
1638 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
КАТЕГОРIЯ ДЕЯКИХ ПIДАЛГЕБР АЛГЕБРИ ТЬОПЛIЦА 1639
2. Пiдалгебри алгебри Тьоплiца. Розглянемо бiциклiчну напiвгрупу S з породжуючим
елементом a. Зрозумiло, що кожен елемент бiциклiчної напiвгрупи має вигляд ama\ast n, де m i
n — невiд’ємнi цiлi числа. Елемент вигляду ama\ast n назвемо мономом.
Iндексом монома b = ama\ast n iз S назвемо число m - n i позначимо його через \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(b). За-
значимо, що \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(b \cdot c) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(b)+\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(c) для будь-яких елементiв b, c \in S (див. [11]). Зафiксуємо
цiле число m \in \BbbN i позначимо Sm = \{ b \in S : \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(b) = k \cdot m, k \in \BbbZ \} . Нехай S(m) \subset S — пiд-
напiвгрупа, породжена елементом am. Зрозумiло, що S(m), Sm є iнверсними пiднапiвгрупами
бiциклiчної напiвгрупи S. Зв’язок цих напiвгруп наведено у роботi [11]. Вiдомо, що бiциклiчна
напiвгрупа має з точнiстю унiтарної еквiвалентностi одне точне нескiнченновимiрне незвiдне
зображення (див. [1])
\pi : S \rightarrow B(l2(\BbbZ +)), \pi (ana\ast m) = TnT \ast m,
де T — оператор зсуву на l2(\BbbZ +), тобто на базисi \{ ek\} k\in \BbbZ + дiє таким чином: Tek = ek+1, i
це зображення породжує алгебру Тьоплiца. Природно виникає питання: чи можна узагальнити
алгебру Тьоплiца так, що в отриманих узагальненнях кiлькiсть незвiдних нескiнченновимiрних
унiтарно нееквiвалентних зображень, якi породжуються iнверсними пiднапiвгрупами бiциклiч-
ної напiвгрупи, була скiнченним числом? Виявилося, що такi C\ast -алгебри породжуються всiма
iнверсними пiднапiвгрупами Sm, m \in \BbbN , бiциклiчної напiвгрупи S. Позначимо через \scrT m C\ast -
пiдалгебру алгебри Тьоплiца \scrT , яка породжується iнверсною пiднапiвгрупою \pi (Sm). Iншими
словами, \scrT m породжується всiма мономами вигляду T kT \ast l, де \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(T kT \ast l)/m = k - l/m \in \BbbZ .
Нехай \scrT (m) — C\ast -пiдалгебра алгебри Тьоплiца, породженої \pi (S(m)). Очевидно, що
\scrT (m) \subset \scrT m. Наведемо деякi твердження про розглядуванi алгебри, отриманi в роботi [14],
якi будемо використовувати в наступних пунктах.
Розглянемо розклад гiльбертового простору l2(\BbbZ +) у виглядi прямої суми
l2(\BbbZ +) = H1 \oplus H2 \oplus . . .\oplus Hm, (1)
де базис пiдпростору Hi складається з векторiв \{ ei - 1+km\} k\in \BbbZ + , 1 \leq i \leq m. Тодi пiдпростори
Hi, 1 \leq i \leq m, iнварiантнi щодо алгебри \scrT m.
З огляду на (1) будь-який елемент A \in \scrT m однозначно можна зобразити у виглядi
A = A| H1 \oplus . . .\oplus A| Hm . (2)
Нехай \scrK — C\ast -пiдалгебра всiх компактних операторiв алгебри Тьоплiца \scrT , \scrK m — C\ast -пiдалгебра
всiх компактних операторiв алгебри \scrT m.
Лема 1. Справджується тотожнiсть
\scrK m = \scrK (H1)\oplus . . .\oplus \scrK (Hm).
Лема 2. Алгебра \scrT m є C\ast -алгеброю, породженою операторами Tm, T \ast m i проєкторами
P1, . . . , Pm, де Pl = T lT \ast l, 0 \leq l \leq m - 1.
Теорема 1. Будь-який елемент A \in \scrT m має вигляд A = C +D, де C \in \scrT (m), D \in \scrK m,
тобто
\scrT m = \scrT (m) +\scrK m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1640 К. Г. ОВСЕПЯН
Визначимо оператори \alpha : \scrT \rightarrow \scrT i \beta : \scrT \rightarrow \scrT :
\alpha (A) = TAT \ast , \beta (A) = T \ast AT, A \in \scrT . (3)
Очевидно, що оператор \alpha є ендоморфiзмом алгебри \scrT .
Лема 3. Для операторiв \alpha i \beta , заданих формулами (3), справджуються такi спiввiдно-
шення:
1) \beta \circ \alpha = \mathrm{i}\mathrm{d};
2) \beta (\scrT m) = \scrT m;
3) \beta \circ \alpha k(\scrT m) = \alpha k - 1(\scrT m).
Доведення. Перше спiввiдношення є очевидним. Доведення достатньо провести на мо-
номах. Доведемо друге спiввiдношення. Нехай V = T kT \ast l \in \scrT m. Тодi \beta (V ) = T \ast T kT \ast lT =
= T k - 1T \ast l - 1. Легко бачити, що \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(\beta (V )) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(V ) = kl. Звiдси безпосередньо випливає
друге спiввiдношення. Третє спiввiдношення випливає з першого.
3. Структура та зв’язок пiдалгебр \bfscrT \bfitm i \bfscrT (\bfitm ). Позначимо через \scrT (m)+(\scrT (m) - ) пiд-
алгебру алгебри \scrT (m), iндекс кожного елемента якої додатний (вiд’ємний), тобто
\scrT (m)+ =
\bigl\{
A \in \scrT (m) : \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A) \geq 0
\bigr\}
, \scrT (m) - =
\bigl\{
A \in \scrT (m) : \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(A) < 0
\bigr\}
.
Так само визначимо \scrT +
m , \scrT -
m . Зрозумiло, що цi алгебри не є C\ast -алгебрами.
Теорема 2. Банахова алгебра \scrT +
m зображується у виглядi прямої суми просторiв:
\scrT +
m = (T (m)+)\oplus \alpha (\scrT (m)+)\oplus . . .\oplus \alpha m - 1(\scrT (m)+).
Доведення. Покажемо, що для будь-якого монома V \in \scrT +
m V \in \alpha k(\scrT (m)+) для деякого
0 \leq k \leq n - 1 i сума правої частини є прямою сумою. Нехай V — моном iз \scrT +
m , що має вигляд
V = Tmk+lT \ast mr+l, де 0 < l < m, k > r. Тодi
V = T lTmkT \ast mrT \ast l \in \alpha l(\scrT (m)+).
Тепер покажемо, що \alpha k(\scrT (m)+)\cap \alpha j(\scrT (m)+) = 0 для k \not = j. Нехай моном V \in \alpha k(\scrT (m)+)\cap
\cap \alpha j(\scrT (m)+), тодi V = \alpha k(TmnT \ast ml) = \alpha j(TmiT \ast ms). Отже, V = Tmn+kT \ast ml+k =
= Tmr+jT \ast ms+j , тобто mn + k = mr + j i ml + k = ms + j. Оскiльки 0 \leq k \leq m - 1 i
0 \leq j \leq m - 1, то цi рiвностi можливi лише при k = j, n = r, l = s. Твердження теореми тепер
випливає з того, що мономи щiльнi в \scrT +
m .
Наслiдок 1. Банахова алгебра \scrT -
m зображується у виглядi прямої суми просторiв:
\scrT -
m = (T (m) - )\oplus \alpha (\scrT (m) - )\oplus . . .\oplus \alpha m - 1(\scrT (m) - ).
Наслiдок 2. C\ast -алгебра \scrT m зображується у виглядi прямої суми просторiв:
\scrT m = \scrT -
m \oplus \scrT +
m .
Лема 4. Має мiсце включення
\alpha k(\scrT (m)+)\alpha j(\scrT (m) - ) \subset \alpha k(\scrT (m)+)\oplus \alpha j(\scrT (m) - ),
де 0 \leq k, j \leq m - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
КАТЕГОРIЯ ДЕЯКИХ ПIДАЛГЕБР АЛГЕБРИ ТЬОПЛIЦА 1641
Доведення. Для визначеностi вважатимемо, що k > j. Нехай V1 \in \alpha k\scrT (m)+ — моном
вигляду V1 = Tnm+kT \ast ml+k, n > l, a V2 \in \alpha j\scrT (m) - — моном вигляду V2 = T cm+jT \ast am+j , де
c < a. Тодi якщо c > l, то
V1V2 = Tnm+kT \ast ml+kT cm+jT \ast am+j = Tnm+k+cm+j - (ml+k)T \ast am+j =
= T jTm(n+c - l)T \ast amT \ast j \in \alpha j(\scrT (m)+), (4)
a якщо c < l, то
V1V2 = Tnm+kT \ast (ml+k)T cm+jT \ast (am+j) =
= Tnm+kT \ast ( - cm) - j+(ml+k)T \ast (am+j) = T TmnT \ast m(l+a - c)T \ast k \in \alpha k(\scrT (m) - ). (5)
Таким чином, твердження леми справедливе на мономах. Для завершення доведення зауважимо,
що елемент пiдалгебри \alpha k(\scrT (m)+) \cdot \alpha j(\scrT (m) - ) має вигляд AB, де A — лiнiйна комбiнацiя
мономiв вигляду V1, a B — лiнiйна комбiнацiя мономiв вигляду V2. Отже, AB — лiнiйна
комбiнацiя мономiв типу (4) або (5). Тому AB \in \alpha k(\scrT (m)+)\alpha j(\scrT (m) - ).
Розглянемо сiм’ю \{ \scrT m\} \infty m=1 C
\ast -алгебр. Справедливою є така теорема.
Теорема 3. Нехай m \in \BbbN , тодi для будь-якого n \in \BbbN
\alpha i1(\scrT (m))\oplus . . .\oplus \alpha in(\scrT (m)) \sim = \scrT (n)\oplus \alpha (\scrT (n))\oplus . . .\oplus \alpha n - 1(\scrT (n)) = \scrT n,
де 1 \leq i1 < i2 < . . . < in \leq m.
Доведення проведемо методом математичної iндукцiї. Якщо n = 1, то \alpha i1(\scrT (m)) \sim = \scrT (m)
i \scrT (m) \sim = \scrT . Звiдси випливає, що \alpha i1(\scrT (m)) \sim = \scrT .
Покажемо, що теорема справедлива для n = 2, тобто \alpha i1(\scrT (m)) \oplus \alpha i2(\scrT (m)) \sim = \scrT (2) \oplus
\oplus \alpha (\scrT (2)). Оскiльки i1 < i2, то
\alpha i1(\scrT (m))\oplus \alpha i2(\scrT (m)) = \alpha i1(\scrT (m))\oplus \alpha i2 - i1(\scrT (m)) \sim = \scrT (m)\oplus \alpha i2 - i1(\scrT (m)).
Позначимо i0 = i2 - i1 \geq 1 i доведемо, що \scrT (m)\oplus \alpha i0(\scrT (m)) \sim = \scrT (2)\oplus \alpha (\scrT (2)).
Розглянемо iзоморфiзми \varphi 1 : \scrT (m) \rightarrow \scrT (2) : \varphi 1(T
m) = T 2 i \varphi 2 : \alpha i0(\scrT (m)) \rightarrow \alpha (\scrT (2)) :
\varphi 1(T
m+i0T \ast i0) = \alpha (T 2).
Позначимо \varphi = \varphi 1 \oplus \varphi 2 : \scrT (m) \oplus \alpha i0(\scrT (m)) \rightarrow \scrT (2) \oplus \alpha (\scrT (2)). Покажемо, що \varphi є
iзоморфiзмом.
Нехай V1 = T amT \ast bm \in \scrT (m), V2 = T dm+i0T \ast cm+i0 \in \alpha i0(\scrT (m)). Згiдно з лемою 2 [14],
1) V1 \cdot V2 \in \scrT (m) або 2) V1 \cdot V2 \in \alpha i0(\scrT (m)).
Для того щоб довести, що \varphi є iзоморфiзмом, достатньо показати, що \varphi є гомоморфiзмом,
тобто у випадку 1) \varphi 1(V1) \cdot \varphi 2(V2) \in \scrT (2), а у випадку 2) \varphi 1(V1) \cdot \varphi 2(V2) \in \alpha (\scrT (2)).
Розглянемо перший випадок, тобто V1 \cdot V2 \in \scrT (m). З того, що
V1 \cdot V2 = T amT \ast bmT dm+i0T \ast cm+i0 \in \scrT (m),
випливає, що bm > dm+ i0. Оскiльки \varphi 1(V1) = T 2aT \ast 2b, \varphi 2(V2) = T 2d+1T \ast (2c+1), то \varphi 1(V1) \cdot
\cdot \varphi 2(V2) = T 2aT \ast 2bT 2d+1T \ast (2c+1) i \varphi 1(V1) \cdot \varphi 2(V2) \in \scrT (2) тодi й лише тодi, коли 2b > 2d+ 1.
Покажемо, що з того, що bm > dm+ i0, випливає, що 2b > 2d+ 1. Справдi,
bm > dm+ i0 \Rightarrow b \geq d+
i0
m
\Rightarrow 2b > 2d\Rightarrow 2b \geq 2d+ 1, b, d \in \BbbN .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1642 К. Г. ОВСЕПЯН
У другому випадку доведення проводиться аналогiчно. Таким чином,
\alpha i1(\scrT (m))\oplus \alpha i2(\scrT (m)) \sim = \scrT (2)\oplus \alpha (\scrT (2)).
Припустимо, що теорема справедлива при n = k, тобто
\alpha i1(\scrT (m))\oplus . . .\oplus \alpha ik(\scrT (m)) \sim = \scrT (k)\oplus \alpha (\scrT (k))\oplus . . .\oplus \alpha ik - 1(\scrT (k)) = \scrT k,
i доведемо її для n = k + 1. Необхiдно показати, що
\alpha i1(\scrT (m))\oplus . . .\oplus \alpha ik+1(\scrT (m)) \sim = \scrT (k + 1)\oplus \alpha (\scrT (k + 1))\oplus . . .\oplus \alpha ik(\scrT (k + 1)) = \scrT k+1.
Згiдно з iндукцiйним припущенням \alpha i1(\scrT (m)) \oplus . . . \oplus \alpha ik(\scrT (m)) \sim = \scrT (k) \oplus \alpha (\scrT (k)) \oplus . . .
. . .\oplus \alpha ik - 1(\scrT (k)) = \scrT k, але, з iншого боку, \scrT k \sim = \scrT (k+1)\oplus \alpha (\scrT (k+1))\oplus . . .\oplus \alpha ik - 1(\scrT (k+1)).
Використовуючи вищенаведенi рiвностi та крок iндукцiї при n = 2, отримуємо
\alpha i1(\scrT (m))\oplus . . .\oplus \alpha ik(\scrT (m))\oplus \alpha ik+1(\scrT (m)) \sim = \scrT (k + 1)\oplus \alpha (\scrT (k + 1))\oplus . . .
. . .\oplus \alpha ik - 1(\scrT (k + 1))\oplus \alpha ik(\scrT (k + 1)) = \scrT k+1.
Наслiдок 3. Iснує ланцюжок вкладених алгебр
\scrT 2 \lhook \rightarrow \scrT 3 \lhook \rightarrow . . . \lhook \rightarrow \scrT n \lhook \rightarrow . . . ,
де пiд вкладенням \lhook \rightarrow розумiється вкладення лiнiйних просторiв вiдповiдних алгебр, а не алгебр,
тобто \lhook \rightarrow не зберiгає структуру алгебри.
4. Категорiя \bfitC \ast -алгебр. Визначимо унiтарний оператор uj : Hj \rightarrow l2(\BbbZ +), 0 \leq j \leq m - 1,
покладаючи на базисних елементах uj(ej+km) = ek. Оскiльки Hj — iнварiантнi простори для
C\ast -алгебри \scrT m, то унiтарний оператор u = u0\oplus . . .\oplus um - 1 : H0\oplus H1\oplus . . .\oplus Hm - 1 \rightarrow
m - 1\bigoplus
j=0
l2(\BbbZ +)
породжує вкладення
\sigma : \scrT m \rightarrow
m - 1\bigoplus
j=0
B(l2(\BbbZ +)),
\sigma (A) = uAu\ast , де A \in \scrT m.
Оскiльки Tmei+km = ei+(k+1)m, то \sigma (Tm) = T \oplus . . . \oplus T є m-ю копiєю оператора зсуву
T. Алгебра \scrT (m) породжується операторами Tm i T \ast m, отже, для будь-якого A \in \scrT (m)
знайдеться такий оператор B \in \scrT , що
\sigma (A) = B \oplus . . .\oplus B.
Очевидно, справедливим є i зворотне: для будь-якого B \in \scrT знайдеться такий оператор A \in
\in \scrT (m), що \sigma (A) = B \oplus . . . \oplus B. Тому алгебру \scrT (m) будемо ототожнювати з алгеброю
\sigma (\scrT (m)):
\scrT (m) \approx \sigma (\scrT (m)) = m\scrT = \{ A : A = B \oplus B \oplus . . .\oplus B, B \in \scrT \} \lhook \rightarrow
m\bigoplus
\scrT , (6)
де через
m\bigoplus
\scrT позначено пряму суму m екземплярiв алгебри Тьоплiца \scrT .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
КАТЕГОРIЯ ДЕЯКИХ ПIДАЛГЕБР АЛГЕБРИ ТЬОПЛIЦА 1643
Як показано в роботi [14],
Pj | Hi =
\left\{ I, i - 1 \geq j,
TmT \ast m, i - 1 < j,
0 \leq i \leq m - 1.
Звiдси випливає, що \sigma (Pi) = TT \ast \oplus . . . \oplus TT \ast \oplus I \oplus . . . \oplus I. Скрiзь далi проєктори Pi, 0 \leq
\leq i \leq m - 1, будемо ототожнювати з проєкторами \sigma (Pi) : Pi \approx \sigma (Pi), 0 \leq i \leq m - 1. Звiдси,
зокрема (з урахуванням леми 1), випливає, що пiдалгебру компактних операторiв \scrK m у \scrT m
можна ототожнювати з алгеброю \sigma (\scrK m):
\scrK m \approx \sigma (\scrK m) =
m\bigoplus
\scrK . (7)
З теореми 1 i ототожнень (6), (7) випливає, що алгебру \scrT m можна ототожнити з алгеброю
\sigma (\scrT m):
\scrT m \approx \sigma (\scrT m) =
\Bigl\{
A : A = (B +K1)\oplus . . .\oplus (B +Km), B \in \scrT , K1, . . . ,Km \in \scrK
\Bigr\}
.
Розглянемо множину чисел M = \{ 1, . . . ,m\} i позначимо через
N =
\bigl\{
(i1, . . . , ik), де ik \in M, k = 1, . . . ,m
\bigr\}
множину всiх можливих наборiв чисел довжиною меншою, нiж m. Введемо порядок на N
таким чином:
(i1, . . . , ij) \leq (i1, . . . , il), якщо j \leq l, i it \in \{ i1, . . . , il\} , t = 1, . . . , j.
Зрозумiло, що так визначене вiдношення на N є частковим порядком.
Означення 1. Категорiя \scrC складається з класу об’єктiв Ob\scrC , i для кожної пари об’єктiв
A,B задано множину морфiзмiв (або стрiлок) \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\scrC (A,B), причому кожному морфiзму вiдпо-
вiдають єдинi A i B. Для пари морфiзмiв f \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B) i g \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(B,C) визначено компози-
цiю g \circ f \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,C). До кожного об’єкта A задано тотожний морфiзм \mathrm{i}\mathrm{d}A \in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,A),
до того ж виконуються двi аксiоми:
1) операцiя композицiї асоцiативна: h\circ (g\circ f) = (h\circ g)\circ f для всiх f : A\rightarrow B, g : B \rightarrow C, h :
C \rightarrow D;
2) тотожний морфiзм дiє тривiально: f \circ \mathrm{i}\mathrm{d}A = \mathrm{i}\mathrm{d}B \circ f = f для всiх f : A\rightarrow B.
Очевидно, що (N,\leq ) є категорiєю, де класи морфiзмiв — це частковий порядок, а об’єкти —
це всеможливi набори iз N.
Кожному набору (i1, i2, . . . , ik) \in N зiставимо C\ast -алгебру \scrT m(i1, i2, . . . , ik) = \scrT (m) +
+\scrK i1,i2,...,ik , де
\scrK i1,i2,...,ik =
\bigl\{
K0 \oplus K0 \oplus . . .\oplus Ki1 \oplus Ki2 \oplus . . .
. . .\oplus Kik \oplus K0 \oplus . . .\oplus K0, де K0,Ki1 , . . . ,Kik \in \scrK
\bigr\}
=
=
\bigl\{
i1K0 \oplus Ki1 \oplus Ki2 \oplus . . .\oplus Kik \oplus (m - k)K0, де K0,Ki1 , . . . ,Kik \in \scrK
\bigr\}
.
Лема 5. Для будь-якого набору (i1, i2, . . . , ik) \in N C\ast -алгебра \scrT m(i1, i2, . . . , ik) iзоморфна
C\ast -алгебрi \scrT k+1 :
\scrT m(i1, i2, . . . , ik) \sim = \scrT k+1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1644 К. Г. ОВСЕПЯН
Доведення проведемо для випадку k = 2, тобто покажемо, що \scrT m(i1, i2) \sim = \scrT 3. Розглянемо
розклад (1). Використовуючи структурний аналiз алгебр \scrT (m) i \scrK i1,i2 , отримуємо, що будь-
який елемент A \in \scrT m(i1, i2) зображується у виглядi
A = (T \oplus . . .\oplus T ) + (K0 \oplus K0 \oplus . . .\oplus Ki1 \oplus K0 \oplus . . .\oplus Ki2 \oplus K0 \oplus . . .\oplus K0) =
= (T +K0)\oplus . . .\oplus (T +Ki1)\oplus . . .\oplus (T +Ki2)\oplus . . .\oplus (T +K0). (8)
Визначимо вiдображення \psi : \scrT m(i1, i2) \rightarrow \scrT 3 таким чином:
\psi
\bigl(
(T +K0)\oplus . . .\oplus (T +Ki1)\oplus . . .\oplus (T +Ki2)\oplus . . .\oplus (T +K0)
\bigr)
=
= (T +K0)\oplus (T +Ki1)\oplus (T +Ki2).
Покажемо, що це вiдображення є гомоморфiзмом. Справдi, нехай B, D — будь-якi елементи з
\scrT m(i1, i2). Покажемо, що тодi \psi (B \cdot D) = \psi (B) \cdot \psi (D). Зрозумiло, що B,D мають вигляд (8).
З визначення алгебри \scrT m(i1, i2) випливає, що \scrT m(i1, i2) \subsetneq \scrT m. З iншого боку, оскiльки алгеб-
ри \scrT (m) i \scrK i1,i2 iнварiантнi щодо Hi iз розкладу (1), ми отримуємо iнварiантнiсть алгебри
\scrT m(i1, i2) щодо Hi. Отже, розклад (2) також є правильним для елементiв алгебри \scrT m(i1, i2).
Таким чином,
\psi (B \cdot D) = \psi
\Bigl( \bigl(
(T +K0)\oplus . . .\oplus (T +Ki1)\oplus . . .\oplus (T +Ki2)\oplus . . .\oplus (T +K0)
\bigr)
\times
\times
\bigl(
(T +K1)\oplus . . .\oplus (T +K \prime
i1)\oplus . . .\oplus (T +K \prime
i2)\oplus . . .\oplus (T +K1)
\bigr) \Bigr)
=
= \psi
\bigl(
(T +K0)(T +K1)\oplus . . .\oplus (T \oplus Ki1)(T +K \prime
i1)\oplus . . .
. . .\oplus (T \oplus Ki2)(T +K \prime
i2)\oplus . . .\oplus (T +K0)(T +K1)
\bigr)
=
= (T +K0)(T +K1)\oplus (T \oplus Ki1)(T +K \prime
i1)\oplus (T \oplus Ki2)(TK
\prime
i2). (9)
Тут ми скористалися тим, що B \cdot D = (B| H1\oplus . . .\oplus B| Hm)(D| H1\oplus . . .\oplus D| Hm) = B| H1 \cdot D| H1\oplus . . .
. . .\oplus B| Hm \cdot D| Hm . З iншого боку,
\psi (B) \cdot \psi (D) = \psi
\bigl(
(T +K0)\oplus . . .\oplus (T +Ki1)\oplus . . .\oplus (T +Ki2)\oplus . . .\oplus (T +K0)
\bigr)
\times
\times \psi
\bigl(
(T +K1)\oplus . . .\oplus (T +K \prime
i1)\oplus . . .\oplus (T +K \prime
i2)\oplus . . .\oplus (T +K1)
\bigr)
=
=
\bigl(
(T +K0)\oplus (T +Ki1)\oplus (T +Ki2)
\bigr)
\cdot
\bigl(
(T +K1)\oplus (T +K \prime
i1)\oplus (T +K \prime
i2)
\bigr)
=
= (T +K0)(T +K1)\oplus (T \oplus Ki1)(T +K \prime
i1)\oplus (T \oplus Ki2)(TK
\prime
i2). (10)
Iз (9) i (10) випливає, що \psi є гомоморфiзмом. Iн’єктивнiсть та сюр’єктивнiсть \psi безпосе-
редньо отримуємо, використовуючи структурний аналiз наведених вище алгебр.
Доведення теореми для k > 2 не вiдрiзняється вiд доведення для k = 2.
Розглянемо сiм’ю \{ \scrT m(i1, . . . , ik)\} (i1,...,ik)\in N C\ast -алгебр i визначимо вкладення алгебри
\scrT m(i1, . . . , il) в алгебру \scrT m(i1, . . . , ik) (скрiзь далi пiд вкладенням будемо розумiти вкладен-
ня лiнiйних просторiв вiдповiдних алгебр). Виявилося, що це вкладення можна визначити
тодi й лише тодi, коли l < k. Справдi, якщо l < k, то за лемою 5 \scrT m(i1, . . . , il) \sim = \scrT l,
\scrT m(i1, . . . , ik) \sim = \scrT k. З iншого боку, згiдно з наслiдком 3 та структурним аналiзом розгляду-
ваних алгебр має мiсце вкладення \scrT k \lhook \rightarrow \scrT l. Це означає, що \scrT m(i1, . . . , il) \lhook \rightarrow \scrT m(i1, . . . , ik).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
КАТЕГОРIЯ ДЕЯКИХ ПIДАЛГЕБР АЛГЕБРИ ТЬОПЛIЦА 1645
Таким чином, iснує природне вкладення алгебри \scrT m(i1, . . . , il) в алгебру \scrT m(i1, . . . , ik) при
l < k.
Зрозумiло, що множина C\ast -алгебр, що породжуються всеможливими наборами (i1, . . . , ik) \in
\in N, утворює категорiю, морфiзмами якої є зазначенi вище вкладення:\bigl( \bigl\{
\scrT m(i1, . . . , ik)\} (i1,...,ik)\in N , \lhook \rightarrow
\bigr)
.
Означення 2. Функтор \scrF : \scrC \rightarrow \scrD з категорiї \scrC у категорiю \scrD — це вiдображення, яке
зiставляє кожному об’єкту X \in \scrC об’єкт \scrF (X) \in \scrD , а кожному морфiзму f : X \rightarrow Y у
категорiї \scrC морфiзм \scrF (f) : \scrF (X) \rightarrow \scrF (Y ) у категорiї \scrD . Це зiставлення повинно мати такi
властивостi: \scrF (\mathrm{i}\mathrm{d}A) = \mathrm{i}\mathrm{d}\scrF (A), \scrF (g \circ f) = \scrF (g) \circ \scrF (f).
Лема 6. Iснує функтор мiж такими категорiями:
Fm : (N,\leq ) \rightarrow
\bigl(
\{ \scrT m(i1, . . . , ik)\} (i1,...,ik)\in N , \lhook \rightarrow
\bigr)
.
Доведення. Оскiльки алгебра \scrT m(i1, . . . , ik) визначається для всiх наборiв (i1, . . . , ik) з N,
то Fm вiдображає об’єкти та морфiзми з (N,\leq ) в об’єкти та морфiзми в\bigl(
\{ \scrT m(i1, . . . , ik)\} (i1,...,ik)\in N , \lhook \rightarrow
\bigr)
,
тобто Fm((i1, . . . , ik)) = \scrT m(i1, . . . , ik) i Fm(\leq ) = \lhook \rightarrow . Крiм того, якщо (i1, . . . , ik) \leq (i1, . . . , ij),
то Fm((i1, . . . , ik)) = \scrT m(i1, . . . , ik) \lhook \rightarrow Fm((i1, . . . , ij)) = \scrT m(i1, . . . , ij). Останнє означає, що
Fm є функтором.
Довжиною C\ast -алгебри \scrT m(i1, . . . , ik) назвемо число k.
Зауваження. Якщо в категорiї C\ast -алгебр
\bigl(
\{ \scrT m(i1, . . . , ik)\} (i1,...,ik)\in N , \lhook \rightarrow
\bigr)
розглядати в
ролi об’єктiв лише тi C\ast -алгебри, довжина яких однакова, то категорiя перетворюється на
розшарування C\ast -алгебр: \bigl(
\{ \scrT m(i1, . . . , ik)\} (i1,...,ik)\in N ,\sim =
\bigr)
,
де, згiдно з лемою 5, роль морфiзмiв вiдiграють iзоморфiзми C\ast -алгебр.
Лiтература
1. B. A. Barnes, Representation of the l1 -algebra of an inverse semigroup, Trans. Amer. Math. Soc., 218, 361 – 396
(1976).
2. L. A. Coburn, The C\ast -algebra generated by an isometry, Bull. Amer. Math. Soc., 73, 722 – 726 (1967).
3. S. Y. Jang, Uniqueness property of C\ast -algebras like the Toeplitz algebras, Trends Math., 6, 29 – 32 (2003).
4. R. G. Douglas, On the C\ast -algebra of a one-parameter semigroup of isometries, Acta Math., 128, 143 – 152 (1972).
5. M. A. Aukhadiev, V. H. Tepoyan, Isometric representations of totally ordered semigroups, Lobachevskii J. Math.,
33, № 3, 239 – 243 (2012).
6. G. J. Murphy, Crossed products of C\ast -algebras by semigroups of automorphisms, Proc. London Math. Soc., 68,
423 – 448 (1994).
7. Дж. Мерфи, C\ast -алгебра и теория операторов, Факториал, Москва (1997).
8. K. R. Davidson, C\ast -algebras by example, Fields Institute Monographs, 6 (1996).
9. R. G. Douglas, Banach algebra techniques in operator theory, 2nd ed., Grad. Texts in Math., vol. 179 (1998).
10. С. A. Григорян, А. Ф. Салахутдинов, C\ast -алгебры, порожденные полугруппами с сокращением, Сиб. мат. журн.,
51, № 1, 16 – 25 (2010).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
1646 К. Г. ОВСЕПЯН
11. К. Г. Овсепян, O C\ast -алгебрах, порожденных инверсными подполугруппами бициклической полугруппы, Изв.
НАН Армении, математика, 49, № 5, 67 – 75 (2014).
12. Е. В. Липачева, К. Г. Овсепян, Структура подалгебр алгебры Теплица, неподвижных относительно конечной
группы автоморфизмов, Изв. вузов. Математика, № 6, 14 – 23 (2015).
13. Т. А. Григорян, К. Г. Овсепян, Структура и связь подалгебр алгебры Теплица \scrT m и \scrT (m), Вест. КГЭУ, 19,
№ 4, 31 – 36 (2013).
14. K. H. Hovsepyan, E. V. Lipacheva, The structure of invariant ideals of some subalgebras of Toeplitz algebra, J.
Contemp. Math. Anal., 50, № 2, 70 – 79 (2015).
15. K. H. Hovsepyan, The C\ast -algebra \scrT m as a crossed product, Proc. Yerevan State Univ., Phys. and Math. Sci., № 3,
24 – 30 (2014).
16. Е. В. Липачева, К. Г. Овсепян, Автоморфизмы некоторых подалгебр алгебры Теплица, Сиб. мат. журн., 57,
№ 3, 666 – 674 (2016).
Одержано 10.07.19
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2021, т. 73, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-191 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:02:04Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6a/c631f46203b80aeb1665be32b3b3bd6a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-1912025-03-31T08:46:08Z Category of some subalgebras of the Toeplitz algebra Category of some subalgebras of the Toeplitz algebra Категорія деяких підалгебр алгебри Тьопліца Hovsepyan, K. H. Овсепян , К. Г. C ∗ -алгебра алгебра Теплица категория наборов чисел функтор расслоение C ∗ -алгебр C ∗ -algebras the Toeplitz algebra category of tuples with integers functor net bundles of C ∗ -algebras UDC 517.9 We consider structure analysis of subalgebras of the Toeplitz algebra, which are generated by inverse subsemigroups of bicyclic semigroup. A category of sets of natural numbers of length $k &lt; m$ is constructed, and each set is matched by some $C^{\ast}$-algebra. The result is a category of $C^{\ast}$ -algebras. The existence of a functor between these categories has been proved. In particular, we find the conditions, under which the category of $C^{\ast}$-algebras turns into a bundle of $C^{\ast}$ -algebras. В данной заметке расмматривается структурный анализ C*-подалгебр алгебры Теплица, которые порождаются инверсным подполугруппами бициклической полугруппы. Построено категория наборов натуральных чисел с k длины меньше чем m , и каждому набору сопоставлена некоторая C*–алгебра. В результате получено категория C*–алгебр. Доказно существование функтора между этими категориями. В частности, найдены условия, при которых категория C*–алгебр превращается в расслоение C*–алгебр. УДК 517.9Розглядається структурний аналiз $C^{\ast}$ -пiдалгебр алгебри Тьоплiца, якi породжуються iнверсними пiднапiвгрупами бiциклiчної напiвгрупи. Побудовано категорiю наборiв натуральних чисел довжиною $k &lt; m$, i кожному набору зiставлено деяку $C^{\ast}$ -алгебру. В результатi отримано категорiю $C^{\ast}$ -алгебр. Доведено iснування функтора мiж цими категорiями. Зокрема, знайдено умови, за яких категорiя $C^{\ast}$ -алгебр перетворюється в розшарування $C^{\ast}$ -алгебр. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2021-12-17 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/191 10.37863/umzh.v73i12.191 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 73 No. 12 (2021); 1638 - 1646 Український математичний журнал; Том 73 № 12 (2021); 1638 - 1646 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/191/9160 Copyright (c) 2021 Karen Hovsepyan |
| spellingShingle | Hovsepyan, K. H. Овсепян , К. Г. Category of some subalgebras of the Toeplitz algebra |
| title | Category of some subalgebras of the Toeplitz algebra |
| title_alt | Category of some subalgebras of the Toeplitz algebra Категорія деяких підалгебр алгебри Тьопліца |
| title_full | Category of some subalgebras of the Toeplitz algebra |
| title_fullStr | Category of some subalgebras of the Toeplitz algebra |
| title_full_unstemmed | Category of some subalgebras of the Toeplitz algebra |
| title_short | Category of some subalgebras of the Toeplitz algebra |
| title_sort | category of some subalgebras of the toeplitz algebra |
| topic_facet | C ∗ -алгебра алгебра Теплица категория наборов чисел функтор расслоение C ∗ -алгебр C ∗ -algebras the Toeplitz algebra category of tuples with integers functor net bundles of C ∗ -algebras |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/191 |
| work_keys_str_mv | AT hovsepyankh categoryofsomesubalgebrasofthetoeplitzalgebra AT ovsepânkg categoryofsomesubalgebrasofthetoeplitzalgebra AT hovsepyankh kategoríâdeâkihpídalgebralgebritʹoplíca AT ovsepânkg kategoríâdeâkihpídalgebralgebritʹoplíca |