Boundary-value problem for nonlinear degenerated parabolic equations with variable delay
We study boundary-value problem with Dirichlet conditions for nonlinear parabolic equations with variable delay (i.e., delay is a function of time) and degeneration at the initial time. The existence and uniqueness of the classical solution of this problem are proved. A priori estimates of this solu...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1911 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507802403864576 |
|---|---|
| author | Il’nyts’ka, О. V. Bokalo, M. M. Ільницька, О. В. Бокало, М. М. |
| author_facet | Il’nyts’ka, О. V. Bokalo, M. M. Ільницька, О. В. Бокало, М. М. |
| author_sort | Il’nyts’ka, О. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:35Z |
| description | We study boundary-value problem with Dirichlet conditions for nonlinear parabolic equations with variable delay (i.e.,
delay is a function of time) and degeneration at the initial time. The existence and uniqueness of the classical solution of
this problem are proved. A priori estimates of this solution are obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
М. М. Бокало, О. В. Iльницька (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ
IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ ТА ВИРОДЖЕННЯМ У ПОЧАТКОВИЙ МОМЕНТ
We study boundary-value problem with Dirichlet conditions for nonlinear parabolic equations with variable delay (i.e.,
delay is a function of time) and degeneration at the initial time. The existence and uniqueness of the classical solution of
this problem are proved. A priori estimates of this solution are obtained.
Исследована краевая задача с условием Дирихле для нелинейных параболических уравнений с переменным запа-
здыванием и вырождением в начальный момент времени. Доказаны существование и единственность классического
решения такой задачи и получены его априорные оценки.
Вступ. Нелiнiйнi вироджуванi диференцiальнi рiвняння використовують при моделюваннi рiз-
них процесiв, зокрема опрiснення морської води, руху рiдин та газiв у пористих середовищах.
Такi рiвняння виникають i в теорiях еластичностi, вiдносностi та оптимiзацiї [13]. Парабо-
лiчнi рiвняння iз виродженням та задачi для них дослiджувались у багатьох роботах (див.,
наприклад, [1, 4, 8, 11, 13, 18]).
Наявнiсть запiзнення в диференцiальних рiвняннях, що описують певнi динамiчнi процеси,
є свiдченням того, що стан еволюцiйної системи в актуальний момент часу залежить вiд станiв
в попереднi моменти часу. Рiвняння iз запiзненням використовують, зокрема, для моделювання
харчових ланцюгiв [17], реакцiї iмунної системи людського органiзму на вiрус iмунодефiци-
ту [14, 16, 17]. В останнi роки iнтенсивно розвивається математичний апарат для дослiдження
рiвнянь та систем iз запiзненням (див., наприклад, [2, 3, 9, 10, 12, 15, 19, 21 – 24]). На даний
час досить повно розроблено теорiю диференцiальних рiвнянь iз сталим запiзненням. Сталiсть
запiзнення, як правило, є додатковим припущенням для спрощення дослiдження, що не моти-
вовано реальними процесами. Бiльш природними є рiвняння зi змiнним запiзненням. Звичайнi
диференцiальнi рiвняння зi змiнним запiзненням дослiджуються досить активно [5, 7, 17], але
рiвняння з частинними похiдними зi змiнним запiзненням не є достатньо вивченими [3].
Наскiльки вiдомо авторам, задачi для параболiчних вироджуваних (за рахунок коефiцiєнтiв)
рiвнянь iз запiзненням ранiше не вивчались. У данiй роботi дослiджено мiшану задачу для не-
лiнiйних параболiчних рiвнянь зi змiнним запiзненням, що вироджуються в початковий момент
часу. Доведено iснування та єдинiсть класичного розв’язку такої задачi, а також отримано його
апрiорнi оцiнки.
У першому пунктi наведено основнi позначення та факти. Постановка задачi, яка розгля-
дається в роботi, та формулювання основних результатiв щодо неї мiститься у другому пунктi.
У третьому пунктi доведено допомiжнi твердження, а в четвертому наведено безпосереднє
обґрунтування основних результатiв.
1. Основнi позначення та допомiжнi факти. Нагадаємо деякi позначення i поняття, якi
ми будемо використовувати. Пiд \BbbR k, k \geqslant 1, розумiтимемо лiнiйний простiр, складений iз
впорядкованих наборiв z = (z1, . . . , zk) дiйсних чисел, з нормою | z| =
\bigl(
| z1| 2 + . . .+ | zn| 2
\bigr) 1/2
.
Через C(H), де H — множина в \BbbR k, позначатимемо лiнiйний простiр неперервних на H
функцiй. Якщо K — компакт в \BbbR k, то на C(K) задаємо норму \| v\| C(K) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}z\in K | v(z)| , з
якою цей простiр є банаховим. Кажемо, що послiдовнiсть функцiй \{ vm\} \infty m=1 збiгається до v в
c\bigcirc М. М БОКАЛО, О. В. IЛЬНИЦЬКА, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9 1155
1156 М. М БОКАЛО, О. В. IЛЬНИЦЬКА
C(H), де H — довiльна некомпактна множина в \BbbR k, якщо \| vm - v\| C(K) \rightarrow
m\rightarrow \infty
0 для будь-якого
компакту K \subset H.
Нехай \alpha \in (0, 1], K — компакт в \BbbR n+1, n \in \BbbN . Пiд C\alpha ,\alpha /2(K) розумiтимемо банахiв
простiр, що є пiдпростором C(K) i складається з функцiй v(x, t), (x, t) \in K, зi скiнченною
нормою
\| v\| K\alpha ,\alpha /2 := \| v\| C(K) + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t),(x\prime ,t)\in K
0<| x - x\prime | \leqslant \rho
| v(x, t) - v(x\prime , t)|
| x - x\prime | \alpha
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t),(x,t\prime )\in K
0<| t - t\prime | \leqslant \rho
| v(x, t) - v(x, t\prime )|
| t - t\prime | \alpha /2
,
де \rho > 0 — довiльне фiксоване число (див. [6, с. 16, 17]).
Через C
\alpha ,\alpha /2
loc (H), де H — довiльна некомпактна множина в \BbbR n+1, позначатимемо простiр
таких функцiй v, що v \in C\alpha ,\alpha /2(K) для довiльного компакту K \subset H. Пiд C2,1(D)
\bigl(
вiдповiдно
C2,1(D)
\bigr)
, де D — область в \BbbR n+1, розумiтимемо лiнiйний простiр функцiй v(x, t), (x, t) \in D\bigl(
вiдповiдно, (x, t) \in D
\bigr)
, якi разом зi своїми похiдними vxk
, vxkxl
, k, l = 1, n, vt визначенi i
неперервнi на D (вiдповiдно D). Через C2+\alpha ,1+\alpha /2(D), якщо D — обмежена область в \BbbR n+1,
позначатимемо банахiв простiр функцiй v з простору C2,1(D) зi скiнченою нормою
\| v\| D2+\alpha ,1+\alpha /2 = \| v\| C(D) +
n\sum
k=1
\| vxk
\| D\alpha ,\alpha /2 +
n\sum
k,l=1
\| vxkxl
\| D\alpha ,\alpha /2 + \| vt\| D\alpha ,\alpha /2.
Пiд C
2+\alpha ,1+\alpha /2
loc (G), де G — область в \BbbR n+1 або об’єднання областi з частиною своєї межi,
розумiтимемо простiр таких функцiй v, що v \in C2+\alpha ,1+\alpha /2(D) для довiльної обмеженої областi
D такої, що D \subset G.
Твердження 1. Нехай послiдовнiсть функцiй \{ um\} \infty m=1 є обмеженою в C\alpha ,\alpha /2(K), де K —
компакт в \BbbR n+1, тобто
\| um\| K\alpha ,\alpha /2 \leqslant C1, m \in \BbbN ,
де C1 > 0 — стала, що не залежить вiд m. Тодi iснують пiдпослiдовнiсть \{ umj\} \infty j=1 послi-
довностi \{ um\} \infty m=1 та функцiя u \in C\alpha ,\alpha /2(K) такi, що umj \rightarrow
j\rightarrow \infty
u в C(K).
Доведення. Дане твердження випливає з теореми Арцела – Асколi.
Твердження 2. Нехай H — довiльна некомпактна множина в \BbbR n+1 така, що H =
\infty \bigcup
i=1
Ki,
де \{ Ki\} \infty i=1 — сiм’я компактiв, причому Ki \subset Ki+1 для кожного i \in \BbbN . Припустимо, що
\{ um\} \infty m=1 — послiдовнiсть функцiй з C
\alpha ,\alpha /2
loc (H) така, що для будь-якого i \in \BbbN послiдовнiсть
звужень членiв даної послiдовностi на Ki є обмеженою в C\alpha ,\alpha /2(Ki), тобто
\| um\| Ki
\alpha ,\alpha /2 \leqslant C2, m \in \BbbN ,
де C2 > 0 — стала, яка не залежить вiд m, але може залежати вiд Ki. Тодi iснують
пiдпослiдовнiсть \{ umj\} \infty j=1 послiдовностi \{ um\} \infty m=1 та функцiя u \in C
\alpha ,\alpha /2
loc (H) такi, що
umj \rightarrow
j\rightarrow \infty
u в C(H). (1)
Доведення. Будемо використовувати дiагональний процес. Згiдно з твердженням 1 з по-
слiдовностi \{ um\} \infty m=1 можна вибрати пiдпослiдовнiсть, звуження членiв якої на K1 збiжнi в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1157
C(K1) до функцiї u1 \in C\alpha ,\alpha /2(K1). Далi, з цiєї пiдпослiдовностi вибираємо пiдпослiдовнiсть,
звуження членiв якої на K2 збiжнi в C(K2) до u2 \in C\alpha ,\alpha /2(K2). Очевидно, що u2 = u1
на K1. Продовжуючи цей процес далi, отримуємо послiдовностi пiдпослiдовностей послiдов-
ностi \{ um\} \infty m=1, кожна з яких, починаючи з другої є пiдпослiдовнiстю попередньої i рiвно-
мiрно збiгається на вiдповiдному компактi iз сiм’ї \{ Ki\} \infty i=1. Також отримаємо сiм’ю функцiй
\{ ui \in C\alpha ,\alpha /2(Ki) | i \in \BbbN \} , якi є границями вiдповiдних пiдпослiдовностей. Зазначимо, що
ui+1 = ui на Ki для кожного i \in \BbbN . Складемо з отриманих пiдпослiдовностей нескiнчен-
ну матрицю так, що у i-му рядку буде знаходитись пiдпослiдовнiсть, збiжна до ui в C(Ki).
Очевидно, що елементи головної дiагоналi цiєї матрицi утворюють послiдовнiсть \{ umj\} \infty j=1,
збiжну до ui в C(Ki) для кожного i \in \BbbN . Побудуємо функцiю u \in C
\alpha ,\alpha /2
loc (H) за правилом:
для кожного x \in H вибираємо i \in \BbbN таке, що x \in Ki, i визначаємо u(x) := ui(x). Легко
переконатись, що для функцiї u виконується (1).
Твердження 2 доведено.
2. Формулювання задачi та основних результатiв. Нехай \Omega — обмежена область в \BbbR n,
n \geqslant 1, з межею \partial \Omega , T > 0 — деяке число. Покладемо Q := \Omega \times (0, T ], \widetilde Q := \Omega \times (0, T ],
\Sigma := \partial \Omega \times (0, T ]. Нехай \tau : (0, T ] \rightarrow \BbbR — задана неперервна функцiя така, що 0 \leqslant \tau (t) < t для
всiх t \in (0, T ].
Розглянемо задачу: знайти функцiю u \in C( \widetilde Q) \cap C2,1(Q), яка задовольняє рiвняння
Pu(x, t) := p(x, t)ut(x, t) -
n\sum
k,l=1
akl(x, t)uxkxl
(x, t)+
+
n\sum
k=1
ak(x, t)uxk
(x, t) + a0(x, t)u(x, t) -
- g
\bigl(
x, t, u(x, t), u(x, t - \tau (t))
\bigr)
= f(x, t), (x, t) \in Q, (2)
крайову умову
Ru(x, t) := u(x, t) = h(x, t), (x, t) \in \Sigma , (3)
та аналог початкової умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow 0+
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \Omega
| u(x, t)| < \infty (4)\bigl(
зауважимо, що умова (4) рiвносильна умовi \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in \widetilde Q | u(x, t)| < \infty
\bigr)
.
Припустимо, що виконуються такi умови:
(\scrA ) akl, ak, a0, — неперервнi на Q функцiї, akl = alk, k, l = 1, n, \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}(x,t)\in Q a0(x, t) > 0 i
n\sum
k,l=1
akl(x, t)\xi k\xi l \geqslant \mu (t)
n\sum
k=1
| \xi k| 2 \forall (x, t) \in Q \forall \xi \in \BbbR n,
де \mu \in C((0, T ]), \mu (t) > 0 для кожного t \in (0, T ];
(\scrT ) \tau : (0, T ] \rightarrow \BbbR — така неперервна функцiя, що 0 \leqslant \tau (t) < t для всiх t \in (0, T ];
(\scrP ) p \in C(Q), p(x, t) > 0 для кожного (x, t) \in Q, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0 p(x, t) = 0 для кожного x \in \Omega
та, крiм того, iснує така функцiя \varphi \in C((0, T ]), що
T\int
0
\varphi (s)ds = +\infty , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in (0,T ]
t\int
t - \tau (t)
\varphi (s)ds < \infty , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in Q
p(x, t)\varphi (t) < \infty \forall t \in (0, T ];
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1158 М. М БОКАЛО, О. В. IЛЬНИЦЬКА
(\scrG ) g(x, t, \xi , \eta ), (x, t, \xi , \eta ) \in \Omega \times (0, T ]\times \BbbR \times \BbbR , — неперервна за всiма змiнними i неперервно
диференцiйовна за змiнними \xi та \eta функцiя, причому iснують визначенi на Q невiд’ємнi
функцiї g1, g2 такi, що
0 \leqslant g\xi (x, t, \xi , \eta ) \leqslant g1(x, t) \forall (x, t) \in Q \forall (\xi , \eta ) \in \BbbR 2,
0 \leqslant g\eta (x, t, \xi , \eta ) \leqslant g2(x, t) \forall (x, t) \in Q \forall (\xi , \eta ) \in \BbbR 2,
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(x,t)\in Q
(a0(x, t) - g1(x, t)) =: a - 0 > 0,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in Q
g2(x, t) =: g+2 < \infty ;
крiм того, g(x, t, 0, 0) = 0 для будь-яких (x, t) \in Q;
(\scrF ) f \in C(Q), h \in C(\Sigma ) — обмеженi функцiї.
Зауваження 1. Прикладом функцiй, що задовольняють умову (\scrP ), є p \in C(Q), p(x, t) \sim
\sim t\alpha при t \rightarrow 0+ рiвномiрно по x \in \Omega , \varphi (t) = t - \alpha , t \in (0, T ], \tau (t) \sim t\gamma при t \rightarrow 0+, де
\gamma > \alpha > 1 — деякi числа.
Зауваження 2. Умову (\scrG ) задовольняє, зокрема, функцiя g(x, t, \xi , \eta ) = g1(x, t)\xi +g2(x, t)\eta ,
де функцiї g1, g2 такi, як в умовi (\scrG ), i, як наслiдок, цю умову задовольняє функцiя g = 0.
Тепер сформулюємо основнi результати роботи.
Теорема 1. Нехай виконуються умови (\scrA ), (\scrT ), (\scrP ), (\scrG ) i a - 0 - g+2 > 0. Припустимо,
що u1, u2 — розв’язки задач, що вiдрiзняються вiд задачi (2) – (4) лише тим, що замiсть f, h
замiнимо вiдповiдно на f1, h1 та f2, h2 з такими ж властивостями, як f, h (див.
\bigl(
\scrF )
\bigr)
. Тодi
виконується нерiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1
a - 0 - g+2
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
\bigl(
f1(y, s) - f2(y, s)
\bigr)
, \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in \Sigma
\bigl(
h1(y, s) - h2(y, s)
\bigr)
, 0
\biggr\}
\leqslant
\leqslant u1(x, t) - u2(x, t) \leqslant
\leqslant \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
1
a - 0 - g+2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in Q
\bigl(
f1(y, s) - f2(y, s)
\bigr)
, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Sigma
\bigl(
h1(y, s) - h2(y, s)
\bigr)
, 0
\Biggr\}
, (x, t) \in Q.
(5)
Зауважимо, що з цiєї теореми безпосередньо випливає неперервна залежнiсть розв’язку
задачi (2) – (4) вiд початкових даних.
Наслiдок 1. Нехай виконуються умови теореми 1 i, крiм того,
f1(x, t) \leqslant f2(x, t) \forall (x, t) \in Q, h1(x, t) \leqslant h2(x, t) \forall (x, t) \in \Sigma .
Тодi виконується нерiвнiсть
u1(x, t) \leqslant u2(x, t) \forall (x, t) \in Q.
Наслiдок 2. Нехай виконуються умови (\scrA ), (\scrT ), (\scrP ), (\scrG ), (\scrF ) i a - 0 - g+2 > 0. Тодi для
розв’язку задачi (2) – (4) правильною є оцiнка
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1159
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1
a - 0 - g+2
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
f(y, s), \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in \Sigma
h(y, s), 0
\biggr\}
\leqslant u(x, t) \leqslant
\leqslant \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
1
a - 0 - g+2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in Q
f(y, s), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Sigma
h(y, s), 0
\Biggr\}
, (x, t) \in Q.
Наслiдок 3. Нехай виконуються умови (\scrA ), (\scrP ), (\scrT ), (\scrG ), (\scrF ) i a - 0 - g+2 > 0. Тодi
задача (2) – (4) має не бiльше одного розв’язку.
Згiдно з означеннями з п. 1, пiд C
\alpha ,\alpha /2
loc (Q) розумiтимемо простiр таких функцiй v \in C(Q),
що для строго внутрiшньої пiдобластi \Omega \prime областi \Omega (тобто, \Omega \prime \subset \Omega ) та будь-якого числа
\delta \in (0, T ) звуження v на \Omega \prime \times [\delta , T ] належить простору C2+\alpha ,1+\alpha /2(\Omega \prime \times [\delta , T ]), а пiд C
\alpha ,\alpha /2
loc ( \widetilde Q)\bigl(
вiдповiдно C
\alpha ,\alpha /2
loc (\Sigma )
\bigr)
— простiр таких функцiй v \in C( \widetilde Q)
\bigl(
вiдповiдно C(\Sigma )
\bigr)
, що будь-
якого числа \delta \in (0, T ) звуження v на \Omega \times [\delta , T ]
\bigl(
вiдповiдно \partial \Omega \times [\delta , T ]
\bigr)
належить простору
C\alpha ,\alpha /2(\Omega \times [\delta , T ])
\bigl(
вiдповiдно C\alpha ,\alpha /2
\bigl(
\partial \Omega \times [\delta , T ]
\bigr) \bigr)
.
Пiд C
2+\alpha ,1+\alpha /2
loc (Q) розумiтимемо простiр таких функцiй v \in C2,1(Q) що їх похiднi vxk
,
vxkxl
, k, l = 1, n, vt належать простору C
\alpha ,\alpha /2
loc (Q).
Через C\alpha ,\alpha /2,1,1
loc (\Omega \times (0, T ]\times \BbbR \times \BbbR ) позначатимемо простiр неперервних функцiй \widetilde g(x, t, \xi , \eta ),
(x, t, \xi , \eta ) \in \Omega \times (0, T ]\times \BbbR \times \BbbR , кожна з яких є неперервно диференцiйовною за змiнними \xi , \eta
та для будь-якого \delta \in (0, T ) iснує така додатна стала L = L(\widetilde g), що\bigm| \bigm| \widetilde g(x, t, \xi , \eta ) - \widetilde g(y, s, \xi , \eta )\bigm| \bigm| \leqslant L
\bigl(
| x - y| \alpha + | t - s| \alpha /2 + | \xi - \xi | + | \eta - \eta |
\bigr)
для довiльних (x, t, \xi , \eta ), (y, s, \xi , \eta ) з \Omega \times [\delta , T ]\times \BbbR \times \BbbR .
Позначимо через Liploc((0, T ]) простiр функцiй, що задовольняють умову Лiпшиця на кож-
ному вiдрiзку промiжку (0, T ].
Теорема 2. Нехай виконуються умови (\scrA ), (\scrT ), (\scrP ), (\scrG ), (\scrF ) i a - 0 - g+2 > 0 та
(\scrB 1) \partial akl/\partial xs \in C( \widetilde Q), k, l, s = 1, n,
(\scrB 2) \tau \in Liploc((0, T ]).
Крiм того, припустимо, що для деякого \alpha \in (0, 1] :
(\scrB 3) \partial \Omega \in C2+\alpha ,
(\scrB 4) p, akl, ak, a0 \in C
\alpha ,\alpha /2
loc ( \widetilde Q), k, l = 1, n, g \in C
\alpha ,\alpha /2,1,1
loc (\Omega \times (0, T ]\times \BbbR \times \BbbR ), f \in C
\alpha ,\alpha /2
loc ( \widetilde Q),
h \in C
\alpha ,\alpha /2
loc (\Sigma ).
Тодi iснує єдиний розв’язок задачi (2) – (4), що належить простору C
\alpha ,\alpha /2
loc ( \widetilde Q)\cap C
2+\alpha ,1+\alpha /2
loc (Q).
3. Допомiжнi твердження. Розглянемо таку задачу: знайти функцiю w \in C( \widetilde Q) \cap C2,1(Q),
що задовольняє рiвняння
p(x, t)wt(x, t) -
n\sum
k,l=1
akl(x, t)wxkxl
(x, t) +
n\sum
k=1
ak(x, t)wxk
(x, t)+
+\widehat a0(x, t)w(x, t) - \widehat g(x, t)w(x, t - \tau (t)) = \widehat f(x, t), (x, t) \in Q, (6)
та умови
w(x, t) = \widehat h(x, t), (x, t) \in \Sigma , (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1160 М. М БОКАЛО, О. В. IЛЬНИЦЬКА
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow 0+
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \Omega
| w(x, t)| < \infty . (8)
Ми припускаємо, що функцiї ak,l, ak, k, l = 1, n, \tau , p мають тi ж властивостi, що вказанi в
умовах вiдповiдно (\scrA ), (\scrT ) i (\scrP ), функцiї \widehat f, \widehat h з мають такi ж властивостi, як вiдповiдно f, h
(див.
\bigl(
\scrF )
\bigr)
, а функцiї \widehat a0, \widehat g задовольняють умови
\widehat a0, \widehat g \in C(Q), \widehat a - 0 := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(x,t)\in Q
\widehat a0(x, t) > - \infty , \widehat g+ := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in Q
\widehat g(x, t) < +\infty .
Зауваження 3. Якщо p(x, t) \geqslant p0 > 0 для всiх (x, t) \in \Omega \times [0, T ], то можна не накладати
умову \tau (t) < t, а умову (4) замiнити початковою умовою
u(x, t) = u0(x, t), (x, t) \in \Omega \times E0. (9)
де E0 — множина, що складається з таких чисел t - \tau (t), що t - \tau (t) \leqslant 0 i t \in [0, T ], а також
числа 0. Таку задачу дослiджено у [3] i там, зокрема, отримано такий результат.
Твердження A ([3]). Нехай \widehat g \geqslant 0 на Q i \widehat a - 0 - \widehat g+ > 0. Тодi для довiльного розв’язку w
задачi (6), (7), (9) виконується оцiнка
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Biggl\{
1\widehat a - 0 - \widehat g+ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
\widehat f(y, s), \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
(y,s)\in \Sigma
\widehat h(y, s), \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
(y,s)\in \Omega \times E0
u0(y, s), 0
\Biggr\}
\leqslant w(x, t) \leqslant
\leqslant \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
1\widehat a - 0 - \widehat g+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in Q
\widehat f(y, s), \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(y,s)\in \Sigma
\widehat h(y, s), \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(x,s)\in \Omega \times E0
u0(y, s), 0
\Biggr\}
,
(x, t) \in \Omega \times (E0 \cup [0, T ]).
Твердження 3. Нехай \widehat g \geqslant 0 на Q i \widehat a - 0 - \widehat g+ > 0. Тодi для розв’язку задачi (6) – (8)
справджується оцiнка
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1\widehat a - 0 - \widehat g+ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
\widehat f(y, s), \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in \Sigma
\widehat h(y, s), 0\biggr\} \leqslant w(x, t) \leqslant
\leqslant \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
1\widehat a - 0 - \widehat g+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in Q
\widehat f(y, s), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Sigma
\widehat h(y, s), 0\Biggr\} , (x, t) \in Q. (10)
Доведення. Введемо такi позначення:
\theta (t) :=
t\int
T
\varphi (s)ds, \varkappa (t) :=
t\int
t - \tau (t)
\varphi (s)ds, t \in (0, T ].
На пiдставi умови (\scrP ) маємо, що \theta (t) \leqslant 0 при t \in (0, T ], \theta монотонно зростає на (0, T ],
\theta (T ) = 0, \theta (t) \rightarrow - \infty при t \rightarrow - \infty , \varkappa (t) > 0 при t \in (0, T ] є обмеженою.
Нехай w — розв’язок задачi (6) – (8) i M > 0 — така стала, що
| w(x, t)| \leqslant M, (x, t) \in \widetilde Q. (11)
Позначимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1161
w\mu (x, t) := w(x, t)e\mu \theta (t), (x, t) \in \widetilde Q,
де \mu > 0 — поки що довiльне число. Тодi
w(x, t) := w\mu (x, t)e - \mu \theta (t), (x, t) \in \widetilde Q. (12)
Пiдставивши у рiвнiсть (6) вираз w, заданий формулою (12), та врахувавши рiвностi
wt(x, t) = w\mu
t (x, t)e
- \mu \theta (t) - \mu \varphi (t)w\mu (x, t)e - \mu \theta (t), wxk
(x, t) = w\mu
xk
(x, t)e - \mu \theta (t), k = 1, n,
w(x, t - \tau (t)) = w\mu (x, t - \tau (t))e - \mu
\int t - \tau (t)
T \varphi (s)ds \equiv e\mu \varkappa (t)w\mu (x, t - \tau (t))e - \mu \theta (t), t \in (0, T ],
матимемо
p(x, t)w\mu
t (x, t)e
- \mu \theta (t) -
n\sum
k,l=1
akl(x, t)w
\mu
xkxl
(x, t)e - \mu \theta (t)+
+
n\sum
k=1
ak(x, t)w
\mu
xk
(x, t)e - \mu \theta (t) +
\bigl( \widehat a0(x, t) - \mu p(x, t)\varphi (t)
\bigr)
w\mu (x, t)e - \mu \theta (t) -
- \widehat g(x, t)e\mu \varkappa (t)w\mu (t - \tau (t))e - \mu \theta (t) = \widehat f(x, t), (x, t) \in Q.
Домноживши цю рiвнiсть на e\mu \theta (t) i позначивши
\widehat a\mu 0 (x, t) := \widehat a0(x, t) - \mu p(x, t)\varphi (t),
\widehat g\mu (x, t) := \widehat g(x, t)e\mu \varkappa (t), f\mu (x, t) := \widehat f(x, t)e\mu \theta (t) \forall (x, t) \in Q,
отримаємо
p(x, t)w\mu
t (x, t) -
n\sum
k,l=1
akl(x, t)w
\mu
xkxl
(x, t) +
n\sum
k=1
ak(x, t)w
\mu
xk
(x, t) +
+ \widehat a\mu 0 (x, t)w\mu (x, t) - \widehat g\mu (x, t)w\mu (t - \tau (t)) = f\mu (x, t), (x, t) \in Q. (13)
З умови (7) та спiввiдношення (12) маємо
w\mu (x, t) = h\mu (x, t), (x, t) \in \Sigma , (14)
де h\mu (x, t) := \widehat h(x, t)e\mu \theta (t), (x, t) \in \Sigma .
Нехай \varepsilon \in (0, T ) — довiльне число. Позначимо через E\varepsilon множину, що складається з таких
чисел t - \tau (t), що t - \tau (t) < \varepsilon при t \geqslant \varepsilon , а також числа \varepsilon . Покладемо
Q\varepsilon := \Omega \times (\varepsilon , T ]
\bigl(
тодi Q\varepsilon := \Omega \times [\varepsilon , T ]
\bigr)
, \Sigma \varepsilon := \partial \Omega \times (\varepsilon , T ].
Розглянемо задачу: знайти функцiю w \in C
\bigl(
\Omega \times (E\varepsilon \cup (\varepsilon , T ])
\bigr)
\cap C2,1(Q\varepsilon ), яка задовольняє
рiвняння
p(x, t)wt(x, t) -
n\sum
k,l=1
akl(x, t)wxkxl
(x, t) +
n\sum
k=1
akwxk
(x, t)+
+\widehat a\mu 0 (x, t)w(x, t) - \widehat g\mu (x, t)w(t - \tau (t)) = f\mu (x, t), (x, t) \in Q\varepsilon , (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1162 М. М БОКАЛО, О. В. IЛЬНИЦЬКА
крайову умову
w(x, t) = h\mu (x, t), (x, t) \in \Sigma \varepsilon , (16)
i початкову умову
w(x, t) = w\mu (x, t), (x, t) \in \Omega \times E\varepsilon . (17)
Ця задача вже без виродження, а тому можна застосувати результати, одержанi у роботi [3].
Переконаємося, що для розв’язкiв задачi (15) – (17) при досить малих значеннях \mu виконую-
ться умови твердження A роботи [3]. Справдi, з умови \widehat g \geqslant 0 на Q безпосередньо випливає
нерiвнiсть \widehat g\mu \geqslant 0 на Q. Покажемо, що iснує таке \mu \ast > 0, що \widehat a\mu , - 0 - \widehat g\mu ,+ > 0 для будь-
якого \mu \in (0, \mu \ast ], де \widehat a\mu , - 0 := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}(x,t)\in Q \widehat a\mu 0 (x, t), \widehat g\mu ,+ := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}(x,t)\in Q \widehat g\mu (x, t). Для цього введемо
позначення: (p\varphi )+ := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}(x,t)\in Q
\bigl(
p(x, t)\varphi (t)
\bigr)
, \varkappa + := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in (0,T ] \varkappa (t). Легко бачити, що
\widehat a\mu , - 0 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(x,t)\in Q
\bigl( \widehat a0(x, t) - \mu p(x, t)\varphi (t)
\bigr)
\geqslant \widehat a - 0 - \mu (p\varphi )+, \mu > 0, (18)
а також \widehat g\mu ,+ = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in Q
\bigl( \widehat g(x, t)e\mu \varkappa (t)\bigr) \leqslant \widehat g+e\mu \varkappa +
, \mu > 0. (19)
З (18) i (19) отримуємо \widehat a\mu , - 0 - \widehat g\mu ,+ \geqslant \widehat a - 0 - \mu (p\varphi )+ - \widehat g+e\mu \varkappa +
=: l(\mu ) при \mu > 0. Розглянемо
функцiю l(\mu ), \mu \in [0,+\infty ). Очевидно, що вона є неперервною i l(0) = \widehat a - 0 - \widehat g+ > 0. Звiдси
випливає iснування такого \mu \ast > 0, що l(\mu ) > 0 при \mu \in [0, \mu \ast ]. Отже,
\widehat a\mu , - 0 - \widehat g\mu ,+ \geqslant l(\mu ) > 0 при \mu \in [0, \mu \ast ]. (20)
Таким чином, при \mu \in [0, \mu \ast ] умови твердження A роботи [3] у випадку задачi (15) – (17)
виконуються.
А оскiльки на пiдставi рiвностей (13) i (14) легко зробити висновок, що звуження w\mu на
\Omega \times (E\varepsilon \cup (\varepsilon , T ]) є розв’язком задачi (15) – (17), то, використавши твердження A роботи [3], для
всiх \mu \in [0, \mu \ast ] отримаємо оцiнку
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1\widehat a\mu , - 0 - \widehat g\mu ,+ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q\varepsilon
f\mu (y, s), \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in \Sigma \varepsilon
h\mu (y, s), \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in \Omega \times E\varepsilon
w\mu (y, s), 0
\biggr\}
\leqslant w\mu (x, t) \leqslant
\leqslant \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
1\widehat a\mu , - 0 - \widehat g\mu ,+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in Q\varepsilon
f\mu (y, s), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Sigma \varepsilon
h\mu (y, s), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Omega \times E\varepsilon
w\mu (y, s), 0
\biggr\}
, (x, t) \in Q\varepsilon .
(21)
Зрозумiло, що для будь-якого \varepsilon \in (0, T ) маємо
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q\varepsilon
f\mu (y, s) \geqslant \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
f\mu (y, s), \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in \Sigma \varepsilon
h\mu (y, s) \geqslant \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in \Sigma
h\mu (y, s),
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in Q\varepsilon
f\mu (y, s) \leqslant \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in Q
f\mu (y, s), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Sigma \varepsilon
h\mu (y, s) \leqslant \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Sigma
h\mu (y, s).
(22)
Також легко переконатися, врахувавши оцiнку (11) i монотоннiсть \theta , що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Omega \times E\varepsilon
| w\mu (y, s)| \leqslant \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Omega \times (0,\varepsilon ]
| w(y, s)e\mu \theta (s)| \leqslant Me\mu \theta (\varepsilon ) - \rightarrow
\varepsilon \rightarrow +0
0. (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1163
На пiдставi (22) i (23) з (21), спрямувавши \varepsilon до 0, отримаємо
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Biggl\{
1\widehat a\mu , - 0 - \widehat g\mu ,+ \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
f\mu (y, s), \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in \Sigma
h\mu (y, s), 0
\Biggr\}
\leqslant w\mu (x, t) \leqslant
\leqslant \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
1\widehat a\mu , - 0 - \widehat g\mu ,+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in Q
f\mu (y, s), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Sigma
h\mu (y, s), 0
\Biggr\}
, (x, t) \in Q, \mu \in (0, \mu \ast ]. (24)
Нехай
Q - := \{ (x, t) \in Q | f(x, t) < 0\} , Q+ := \{ (x, t) \in Q | f(x, t) > 0\} ,
\Sigma - := \{ (x, t) \in Q | h(x, t) < 0\} , \Sigma + := \{ (x, t) \in Q | h(x, t) > 0\} .
У випадку Q - \not = \varnothing , врахувавши, що 0 < e\mu \theta (s) \leqslant 1 \forall s \in (0, T ], одержуємо
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
f\mu (y, s) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q -
f(y, s)e\mu \theta (s) \geqslant \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q -
f(y, s) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
f(y, s),
а тому (див. (20))
1\widehat a\mu , - 0 - \widehat g+\mu \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
f\mu (y, s) \geqslant
1\widehat a\mu , - 0 - \widehat g+\mu \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
f(y, s) \geqslant
1
l(\mu )
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
f(y, s).
Отже, в цьому випадку в лiвiй частинi нерiвностi (24) перший член можна замiнити на
1
l(\mu )
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}(y,s)\in Q f(y, s). Очевидно, що те ж саме можна зробити i тодi, коли Q - = \varnothing , оскiльки в
цьому випадку перший член нерiвностi (24) є невiд’ємним, а отже, не визначає значення лiвої
частини нерiвностi (24).
Провiвши аналогiчнi мiркування щодо другого члена лiвої частини, а також першого та
другого членiв правої частини нерiвностi (24), будемо мати
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
1
l(\mu )
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in Q
f(y, s), \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(y,s)\in \Sigma
h(y, s), 0
\biggr\}
\leqslant w(x, t)e\mu \theta (t) \leqslant
\leqslant \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
1
l(\mu )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in Q
f(y, s), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Sigma
h(y, s), 0
\Biggr\}
, (x, t) \in Q, \mu \in (0, \mu \ast ]. (25)
Зафiксувавши довiльним чином вибрану точку (x, t) \in Q, перейдемо в (25) до границi при
\mu \rightarrow +0. У результатi, взявши до уваги, що l(\mu ) - \rightarrow
\mu \rightarrow +0
\widehat a - 0 - \widehat g+, отримаємо оцiнку (10).
Твердження 3 доведено.
Твердження 4. Для довiльних (x, t) \in Q, \xi 1, \xi 2, \eta 1, \eta 2 \in \BbbR справджується рiвнiсть
g(x, t, \xi 1, \eta 1) - g(x, t, \xi 2, \eta 2) =
= (\xi 1 - \xi 2)G1(x, t, \xi 1, \xi 2, \eta 1, \eta 2) + (\eta 1 - \eta 2)G2(x, t, \xi 1, \xi 2, \eta 1, \eta 2),
де
G1(x, t, \xi 1, \xi 2, \eta 1, \eta 2) :=
1\int
0
g\xi
\bigl(
x, t, z(\xi 1 - \xi 2) + \xi 2, z(\eta 1 - \eta 2) + \eta 2
\bigr)
dz, (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1164 М. М БОКАЛО, О. В. IЛЬНИЦЬКА
G2(x, t, \xi 1, \xi 2, \eta 1, \eta 2) :=
1\int
0
g\eta
\bigl(
x, t, z(\xi 1 - \xi 2) + \xi 2, z(\eta 1 - \eta 2) + \eta 2
\bigr)
dz, (27)
причому
0 \leqslant Gi(x, t, \xi 1, \xi 2, \eta 1, \eta 2) \leqslant gi(x, t), i = 1, 2.
Дане твердження доведено у [3].
4. Обґрунтування основних результатiв. Доведення теореми 1. Позначимо w(x, t) :=
:= u1(x, t) - u2(x, t), (x, t) \in \widetilde Q. Розглядаючи рiзницю виразiв Pu1 i Pu2, на пiдставi тверджен-
ня 4 отримуємо рiвнiсть
p(x, t)wt(x, t) -
n\sum
k,l=1
akl(x, t)wxkxl
(x, t) +
n\sum
k=1
ak(x, t)wxk
(x, t)+
+\widehat a0(x, t)w(x, t) - \widehat g(x, t)w(x, t - \tau (t)) = \widehat f(x, t), (x, t) \in Q, (28)
де
\widehat a0(x, t) := a0(x, t) - G1
\bigl(
x, t, u1(x, t), u2(x, t), u1(x, t - \tau (t)), u2(x, t - \tau (t))
\bigr)
,
\widehat g(x, t) := G2
\bigl(
x, t, u1(x, t), u2(x, t), u1(x, t - \tau (t)), u2(x, t - \tau (t))
\bigr)
,\widehat f(x, t) = f1(x, t) - f2(x, t), (x, t) \in Q,
а G1 i G2 визначено, вiдповiдно, формулами (26) i (27). Легко бачити, що
w(x, t) = \widehat h(x, t), (x, t) \in \Sigma , (29)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\rightarrow 0+
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \Omega
| w(x, t)| < \infty , (30)
де \widehat h(x, t) := h1(x, t) - h2(x, t), (x, t) \in \Sigma .
З (28) – (30) випливає, що функцiя w є розв’язком задачi (6) – (8). Перевiримо чи виконуються
умови твердження 3, а саме, \widehat g \geqslant 0 на Q i \widehat a -
0 - \widehat g+ > 0. З твердження 4 випливає, що \widehat g(x, t) \geqslant 0
для будь-яких (x, t) \in Q. Використовуючи умову (\scrG ) та твердження 4, отримуємо
\widehat a - 0 := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(x,t)\in Q
\widehat a0(x, t) =
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(x,t)\in Q
\Bigl[
a0(x, t) - G1
\bigl(
x, t, u1(x, t), u2(x, t), u1(x, t - \tau (t)), u2(x, t - \tau (t))
\bigr) \Bigr]
\geqslant
\geqslant \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
(x,t)\in Q
(a0(x, t) - g1(x, t)) = a - 0 ,
\widehat g+ := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in Q
\widehat g(x, t) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in Q
G2
\Bigl(
x, t, u1(x, t), u2(x, t), u1(x, t - \tau (t)), u2(x, t - \tau (t))
\Bigr)
\leqslant \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in Q
g2(x, t) = g+2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1165
Оскiльки \widehat a - 0 - \widehat g+ \geqslant a - 0 - g+2 , а з умови даного твердження маємо a - 0 - g+2 > 0, то умови
твердження 3 виконуються. Отож, для функцiї w виконується нерiвнiсть (10), з якої випливає
оцiнка (5).
Теорему 1 доведено.
Доведення наслiдку 1. Дане твердження безпосередньо отримуємо з теореми 1, покладаючи
u1 := u, u2 := 0.
Доведення наслiдку 1. З умови наслiдку маємо, що f1(x, t) - f2(x, t) \leqslant 0 \forall (x, t) \in Q,
h1(x, t) - h2(x, t) \leqslant 0 \forall (x, t) \in \Sigma . Тодi з (5) отримуємо u1(x, t) - u2(x, t) \leqslant 0 \forall (x, t) \in Q,
тобто u1(x, t) \leqslant u2(x, t) \forall (x, t) \in Q.
Доведення наслiдку 3. Припустимо протилежне. Нехай u1, u2 — два рiзних розв’язки зада-
чi (2) – (4). Тодi з теореми 1 маємо, що 0 \leqslant u1(x, t) - u2(x, t) \leqslant 0, (x, t) \in Q, тобто u1 = u2 на
Q, а це суперечить нашому припущенню. Отож, твердження наслiдку 3 є правильним.
Доведення теореми 2. Нехай \varepsilon — довiльне число з промiжку (0, T/3), а позначення Q\varepsilon ,
\Sigma \varepsilon , E\varepsilon такi ж, як при доведеннi твердження 1.
Вiзьмемо функцiю \theta \varepsilon \in C\infty ((0, T ]), яка задовольняє умови 0 \leqslant \theta \varepsilon (t) \leqslant 1 при t \in (0, T ],
\theta \varepsilon (t) = 0 при t \in (0, 2\varepsilon ] i \theta \varepsilon (t) = 1 при t \in (3\varepsilon , T ]. Покладемо
h\varepsilon (x, t) := \theta \varepsilon (t)h(x, t), (x, t) \in \Sigma , f\varepsilon (x, t) := \theta \varepsilon (t)f(x, t), (x, t) \in Q.
Зауважимо, що
| h\varepsilon (x, t)| \leqslant | h(x, t)| \forall (x, t) \in \Sigma , | f\varepsilon (x, t)| \leqslant | f(x, t)| \forall (x, t) \in Q. (31)
Розглянемо задачу: знайти функцiю u\varepsilon \in C
\bigl(
\Omega \times (E\varepsilon \cup (\varepsilon , T ])
\bigr)
\cap C2,1(Q\varepsilon ), яка задовольняє
рiвняння
Pu\varepsilon (x, t) = f\varepsilon (x, t), (x, t) \in Q\varepsilon , (32)
та умови
u\varepsilon (x, t) = h\varepsilon (x, t), (x, t) \in \Sigma \varepsilon , (33)
u\varepsilon (x, t) = 0, (x, t) \in \Omega \times E\varepsilon , (34)
де P — диференцiальний оператор, який визначено у (2).
З теореми 2 роботи [3] випливає iснування єдиного розв’язку u\varepsilon \in C2+\alpha ,1+\alpha /2(Q\varepsilon ) \cap
\cap C\alpha ,\alpha /2(\Omega \times (E\varepsilon \cup (\varepsilon , T ])) задачi (32) – (34). На пiдставi наслiдку 2 роботи [3] для звуження u\varepsilon
на \Omega \times (E\varepsilon \cup (\varepsilon , 2\varepsilon ]) маємо оцiнку
| u\varepsilon (x, t)| \leqslant
\leqslant \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
1
a - 0 - g+2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in Q\varepsilon /Q2\varepsilon
| f\varepsilon (y, s)| , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Sigma \varepsilon /\Sigma 2\varepsilon
| h\varepsilon (y, s)|
\Biggr\}
, (x, t) \in Q\varepsilon /Q2\varepsilon . (35)
З означень f\varepsilon та h\varepsilon випливає, що права частина (4) дорiвнює нулю, а тому u\varepsilon (x, t) = 0 для
кожного (x, t) \in \Omega \times (E\varepsilon \cup (\varepsilon , 2\varepsilon ]). Довизначимо u\varepsilon нулем на всю множину \widetilde Q i залишимо за цим
продовженням позначення u\varepsilon . Легко переконатися, що u\varepsilon є розв’язком задачi, яка вiдрiзняється
вiд задачi (2) - (4) лише тим, що f i h замiнено, вiдповiдно на f\varepsilon i h\varepsilon . Звiдси на пiдставi
наслiдку 2 та (31) випливає, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1166 М. М БОКАЛО, О. В. IЛЬНИЦЬКА
| u\varepsilon (x, t)| \leqslant \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
1
a - 0 - g+2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in Q
| f(y, s)| , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(y,s)\in \Sigma
| h(y, s)|
\Biggr\}
, (x, t) \in Q. (36)
Нехай \{ \varepsilon j\} \infty j=1 — така послiдовнiсть чисел з iнтервалу (0, T/2), що \varepsilon j \downarrow 0 при j \rightarrow \infty .
Перепозначимо uj := u\varepsilon j fj := f\varepsilon j , hj := h\varepsilon j для кожного j \in \BbbN . З (36) випливає, що
послiдовнiсть \{ uj\} є обмеженою на \widetilde Q, тобто
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(x,t)\in \widetilde Q | uj(x, t)| \leqslant C3, j \in \BbbN , (37)
де C3 > 0 — стала, яка не залежить вiд j.
Нехай \{ \delta k\} \infty k=1 — монотонна послiдовнiсть чисел така, що \delta k \downarrow
k\rightarrow \infty
0, 0 < \delta k < T, i \Omega k :=
:= \{ x \in \Omega : \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\{ x, \partial \Omega \} > \delta k\} — область в \BbbR n для кожного k \in \BbbN . Позначимо Ik := (\delta k, T ],
Qk := \Omega k \times Ik, Q
k := \Omega \times Ik. Зауважимо, що Qk \subset Qk, Qk \subset Qk+1, Q
k \subset Qk+1 для кожного
k \in \BbbN ;
\infty
\cup
k=1
\Omega k = \Omega ,
\infty
\cup
k=1
Qk = Q,
\infty
\cup
k=1
Qk = \widetilde Q.
Позначимо gj(x, t) := fj(x, t) + g
\Bigl(
x, t, uj(x, t), uj
\bigl(
x, t - \tau (t)
\bigr) \Bigr)
, (x, t) \in \widetilde Q, для кожного
j \in \BbbN . З неперервностi функцiй g на \widetilde Q\times \BbbR 2, fj , uj j \in \BbbN , на \widetilde Q та оцiнок (31), (37) випливає,
що функцiї gj , j \in \BbbN , є неперервними на \widetilde Q i для довiльного k \in \BbbN справджується оцiнка
\| gj\| C(Qk)
\leqslant C4, j \in \BbbN , (38)
де C4 > 0 — стала, яка не залежить вiд j, але може залежати вiд k.
З (32) випливає, що для кожного j \in \BbbN
p(x, t)uj,t(x, t) -
n\sum
k,l=1
akl(x, t)uj,xkxl
(x, t)+
+
n\sum
k=1
ak(x, t)uj,xk
(x, t) + a0(x, t)uj(x, t) = gj(x, t), (x, t) \in Q, (39)
а з (33) —
uj(x, t) = hj(x, t), (x, t) \in \Sigma . (40)
Зазначимо, що на пiдставi умов (\scrB 1), (\scrB 3), (\scrB 4) рiвняння (39) є частковим випадком рiвнян-
ня (1.1), дослiдженого у главi 3 монографiї [6]. Зокрема, теорема 10.1 цiєї монографiї встановює
оцiнки сталої Гельдера розв’язку рiвняння (1.1) у пiдобластi областi його задання. На пiдставi
цiєї теореми для розв’язку рiвняння (39), що задовольняє умову (40), отримуємо оцiнку
\| uj\| Q
k
\alpha ,\alpha /2 \leqslant C5, j \in \BbbN , (41)
де C5 > 0 — стала, яка залежить вiд коефiцiєнтiв рiвняння, сталих C3, C4 з оцiнок (37), (38)
та \delta k, але не залежить вiд j.
Отже, згiдно з твердженням 2 (п. 1) iснують функцiя u \in C
\alpha ,\alpha /2
loc ( \widetilde Q) i пiдпослiдовностi
послiдовностi \{ uj\} \infty j=1
\bigl(
цю пiдпослiдовнiсть позначимо так само, як i всю послiдовнiсть, через
\{ uj\} \infty j=1
\bigr)
такi, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1167
uj - \rightarrow
j\rightarrow \infty
u в C( \widetilde Q ). (42)
Покажемо, що u — розв’язок задачi (2) – (4).
Вiдмiтимо, що з умов (\scrG ), (\scrF ), (\scrB 2), (\scrB 4) та оцiнки (41) маємо
\| gj\| Q
k
\alpha ,\alpha /2 \leqslant C6, j \in \BbbN , (43)
де C6 > 0 — стала, яка не залежить вiд j, але може залежати вiд k.
Зазначимо, що на пiдставi умов (\scrB 1), (\scrB 3), (\scrB 4) рiвняння (39) є частковим випадком рiвняння
(10.1), дослiдженого у главi 4 монографiї [6]. Зокрема, теоремi 10.1 цiєї монографiї встановлює
локальнi оцiнки розв’язку рiвняння (10.1) та його похiдних у класах Гельдера. На пiдставi цiєї
теореми для розв’язку рiвняння (39) отримуємо оцiнку
\| uj\| Qk
2+\alpha ,1+\alpha /2 \leqslant C7, j \in \BbbN , (44)
де C7 > 0 — стала, яка залежить вiд коефiцiєнтiв рiвняння, сталих C3, C6 з оцiнок (37), (43),
але не залежить вiд j .
Iз (42), (44), твердження 2 (п. 1) та теореми про диференцiювання границi збiжної послiдов-
ностi функцiй випливає, що функцiя u (див. (42)) належить простору C
2+\alpha ,1+\alpha /2
loc (Q) i з послi-
довностi \{ uj\} \infty j=1 можна вибрати пiдпослiдовнiсть \{ ujm\} \infty m=1, яка збiгається до u у просторi
C2,1(Q). Зауважимо, що hj \rightarrow h при j \rightarrow \infty рiвномiрно на кожному компактi K \subset \Sigma . Крiм то-
го, з (42) та неперервностi функцiй g, fj маємо gj(x, t) \rightarrow f(x, t)+ g(x, t, u(x, t), u(x, t - \tau (t)))
при j \rightarrow \infty для кожної точки (x, t) \in Q. Врахувавши викладене, покладемо j = jm у (39) i (40)
та перейдемо там до границi при m \rightarrow \infty . В результатi отримаємо рiвностi, якi означають, що
функцiя u є класичним розв’язком рiвняння (2) та задовольняє крайову умову (3). Виконання
умови (4) випливає iз (36) та (42).
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Агаев Г. Н. О первой краевой задаче для линейных вырождающихся параболических уравнений // Изв. АН
АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. – 1976. – 2. – С. 10 – 16.
2. Бокало М., Дмитрiв В. Задача Фур’є для рiзнокомпонентної еволюцiйної системи рiвнянь iз iнтегральним
запiзненням // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2002. – 60. – С. 32 – 49.
3. Бокало М., Iльницька О. Мiшанi задачi для параболiчних рiвнянь зi змiнним запiзненням // Буков. мат. журн. –
2015. – 3. – С. 16 – 24.
4. Бугрiй О. М. Про задачi з однорiдними граничними умовами для нелiнiйних рiвнянь з виродженням // Укр.
мат. вiсн. – 2008. – 5. – С. 435 – 469.
5. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальних уравнений с отклоняющимся аргумен-
том. – M.: Наука, 1971. – 296 c.
6. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., Солонников В. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 c.
7. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. – M.: Наука, 1972. –
256 c.
8. Пукальський I. Д. Нелокальна задача Неймана для параболiчного рiвняння з виродженням // Укр. мат. журн. –
1999. – 51, № 9. – С. 1232 – 1243.
9. Слюсарчук В. Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем з пiслядiєю. – Рiвне: УДУВГ, 2003.
10. Bainov D., Petrov V. Asymptotic properties of the nonoscillatory solutions of second-order neutral equations with a
deviating argument // J. Math. Anal. and Appl. – 1995. – 190. – P. 645 – 653.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1168 М. М БОКАЛО, О. В. IЛЬНИЦЬКА
11. Burger R., Evje S., Karlsenc K. H. On strongly degenerate convections diffusion problems modeling sedimentations
consolidation processes // J. Math. Anal. and Appl. – 2000. – 247. – P. 517 – 556.
12. Burton T. A., Haddrock J. R. On the delay-differential equations x\prime (t) + a(t)f(x(t - r(t))) = 0 and x\prime \prime (t) +
+ a(t)f(x(t - r(t))) = 0 // J. Math. Anal. and Appl. – 1976. – 54. – С. 37 – 48.
13. Gui-Qiang G. Chen On degenerate partial differential equations // Oxford Centre Nonlinear PDE. – 2010. – 16. –
38 p.
14. Culshaw R. V., Shigui R. A delay-diferential equation model of HIV infection of CD4+ T-cells // Math. Biosci. –
2000. – 165. – P. 27 – 39.
15. Dmytriv V. M. On a Fourier problem for coupled evolution system of equations with time delays // Mat. Stud. –
2001. – 16. – P. 141 – 156.
16. Dumrongpokaphan T., Lenbury Y., Ouncharoen R., Xu Y. An Intracellular delay-differential equation model of the
HIV infection and immune control // Math. Modelling Natur. Phenomena. – 2007. – 2. – P. 75 – 99.
17. Feng W., Pao C. V., Lu X. Global attrators of reaction-diffusion systems modeling food chain populations with
delays // Communs Pure and Appl. Anal. – 2011. – 10. – P. 1463 – 1478.
18. Karlsen K. H., Ohlbergerb M. A note on the uniqueness of entropy solutions of nonlinear degenerate parabolic
equations // J. Appl. Math. Anal. Appl. – 2002. – 275. – P. 439 – 458.
19. Kuang Y., Zhang B., Zhao T. Qualitative analysis of a nonautonomous nonlinear delay differential equation // Tohoku
Math. J. – 1991. – 43. – P. 509 – 528.
20. Mascia C., Porretta A., Terracina A. Nonhomogeneous dirichlet problems for degenerate parabolic-hyperbolic
equations // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 2002. – 163. – P. 87 – 124.
21. Pao C. V. Coupled nonlinear parabolic systems with time delays // J. Math. Anal. and Appl. – 1995. – 196. –
P. 237 – 265.
22. Pao C. V. Dynamics of nonlinear parabolic systems with time delays // J. Math. Anal. and Appl. – 1996. – 198. –
P. 751 – 779.
23. Pao C. V. Systems of parabolic equations with continuous and discrete delays // J. Math. Anal. and Appl. – 1997. –
205. – P. 157 – 185.
24. Pao C. V. Time delays parabolic systems with coupled nonlinear boundary conditions // Proc. Amer. Math. Soc. –
2001. – 130. – P. 1079 – 1086.
Одержано 29.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1911 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:06Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4a/8d35a9636e4007e9f74881bc2bbc2f4a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19112019-12-05T09:31:35Z Boundary-value problem for nonlinear degenerated parabolic equations with variable delay Крайова задача для нелінійних параболічних рівнянь із запізненням та виродженням у початковий момент Il’nyts’ka, О. V. Bokalo, M. M. Ільницька, О. В. Бокало, М. М. We study boundary-value problem with Dirichlet conditions for nonlinear parabolic equations with variable delay (i.e., delay is a function of time) and degeneration at the initial time. The existence and uniqueness of the classical solution of this problem are proved. A priori estimates of this solution are obtained. Исследована краевая задача с условием Дирихле для нелинейных параболических уравнений с переменным запаздыванием и вырождением в начальный момент времени. Доказаны существование и единственность классического решения такой задачи и получены его априорные оценки. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1911 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 9 (2016); 1155-1168 Український математичний журнал; Том 68 № 9 (2016); 1155-1168 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1911/893 Copyright (c) 2016 Il’nyts’ka О. V.; Bokalo M. M. |
| spellingShingle | Il’nyts’ka, О. V. Bokalo, M. M. Ільницька, О. В. Бокало, М. М. Boundary-value problem for nonlinear degenerated parabolic equations with variable delay |
| title | Boundary-value problem for nonlinear degenerated parabolic equations with variable delay |
| title_alt | Крайова задача для нелінійних параболічних рівнянь
із запізненням та виродженням у початковий момент |
| title_full | Boundary-value problem for nonlinear degenerated parabolic equations with variable delay |
| title_fullStr | Boundary-value problem for nonlinear degenerated parabolic equations with variable delay |
| title_full_unstemmed | Boundary-value problem for nonlinear degenerated parabolic equations with variable delay |
| title_short | Boundary-value problem for nonlinear degenerated parabolic equations with variable delay |
| title_sort | boundary-value problem for nonlinear degenerated parabolic equations with variable delay |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1911 |
| work_keys_str_mv | AT ilnytskaov boundaryvalueproblemfornonlineardegeneratedparabolicequationswithvariabledelay AT bokalomm boundaryvalueproblemfornonlineardegeneratedparabolicequationswithvariabledelay AT ílʹnicʹkaov boundaryvalueproblemfornonlineardegeneratedparabolicequationswithvariabledelay AT bokalomm boundaryvalueproblemfornonlineardegeneratedparabolicequationswithvariabledelay AT ilnytskaov krajovazadačadlânelíníjnihparabolíčnihrívnânʹízzapíznennâmtavirodžennâmupočatkovijmoment AT bokalomm krajovazadačadlânelíníjnihparabolíčnihrívnânʹízzapíznennâmtavirodžennâmupočatkovijmoment AT ílʹnicʹkaov krajovazadačadlânelíníjnihparabolíčnihrívnânʹízzapíznennâmtavirodžennâmupočatkovijmoment AT bokalomm krajovazadačadlânelíníjnihparabolíčnihrívnânʹízzapíznennâmtavirodžennâmupočatkovijmoment |