Orthogonal polynomials related to some Jacobi-type pencils
We study a generalization of the class of orthonormal polynomials on the real axis. These polynomials satisfy the following relation: $(J_5 \lambda J_3)\vec{p}(\lambda) = 0$, where $J_3$ is a Jacobi matrix and $J_5$ is a semi-infinite real symmetric five-diagonal matrix with positive numbers on the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1913 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507802248675328 |
|---|---|
| author | Zagorodnyuk, S. M. Загороднюк, С. М. Загороднюк, С. М. |
| author_facet | Zagorodnyuk, S. M. Загороднюк, С. М. Загороднюк, С. М. |
| author_sort | Zagorodnyuk, S. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:35Z |
| description | We study a generalization of the class of orthonormal polynomials on the real axis. These polynomials satisfy the following
relation: $(J_5 \lambda J_3)\vec{p}(\lambda) = 0$, where $J_3$ is a Jacobi matrix and $J_5$ is a semi-infinite real symmetric five-diagonal matrix with positive numbers on the second subdiagonal, $\vec{p}(\lambda) = (p_0(\lambda ), p_1(\lambda ), p_2(\lambda ),...)^T$, the superscript $T$ denotes the operation of transposition with the initial conditions $p_0(\lambda ) = 1,\; p_1(\lambda) = \alpha \lambda + \beta,\; \alpha > 0, \beta \in R$. Certain orthonormality
conditions for the polynomials $\{ pn(\lambda )\}^{\infty}_n = 0$ are obtained. An explicit example of these polynomials is constructed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.587
С. М. Загороднюк (Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина)
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ
С НЕКОТОРЫМИ ПУЧКАМИ ЯКОБИЕВОГО ТИПА
We study a generalization of the class of orthonormal polynomials on the real axis. These polynomials satisfy the following
relation: (J5 - \lambda J3)\vec{}p(\lambda ) = 0, where J3 is a Jacobi matrix and J5 is a semi-infinite real symmetric five-diagonal matrix with
positive numbers on the second subdiagonal, \vec{}p(\lambda ) = (p0(\lambda ), p1(\lambda ), p2(\lambda ), . . .)
T , the superscript T denotes the operation
of transposition with the initial conditions p0(\lambda ) = 1 and p1(\lambda ) = \alpha \lambda + \beta , \alpha > 0, \beta \in \BbbR . Certain orthonormality
conditions for the polynomials \{ pn(\lambda )\} \infty n=0 are obtained. An explicit example of these polynomials is constructed.
Вивчається деяке узагальнення класу ортонормованих полiномiв на дiйснiй осi. Цi полiноми задовольняють спiввiд-
ношення (J5 - \lambda J3)\vec{}p(\lambda ) = 0, де J3 — матриця Якобi, J5 — напiвнескiнченна дiйсна симетрична п’ятидiагональна
матриця з додатними числами на другiй пiддiагоналi, \vec{}p(\lambda ) = (p0(\lambda ), p1(\lambda ), p2(\lambda ), . . .)
T , iндекс T означає транс-
понування, за початкових умов p0(\lambda ) = 1, p1(\lambda ) = \alpha \lambda + \beta , \alpha > 0, \beta \in \BbbR . Одержано деякi спiввiдношення
ортонормованостi для полiномiв \{ pn(\lambda )\} \infty n=0. Побудовано явний приклад таких полiномiв.
1. Введение. Теория ортогональных многочленов на вещественной оси является классиче-
ской областью анализа, ей посвящено огромное количество работ и она имеет многочисленные
приложения (см., например, [5, 7, 15]). В настоящее время она привлекает новых исследова-
телей, которые используют новые методы [11, 14]. В данной работе мы рассмотрим некоторое
обобщение класса ортонормированных многочленов на вещественной оси.
Как известно, якобиевы матрицы и соответствующие операторы близко связаны с орто-
гональными многочленами на вещественной оси (см., например, [3, 16]). Согласно теореме
Стоуна, любой самосопряженный оператор с простым спектром порождается некоторой якоби-
евой матрицей типа D [2]. Это обуславливает богатые связи теории самосопряженных опера-
торов и теории якобиевых матриц. С другой стороны, в настоящее время активно развивается
спектральная теория операторных пучков (см. [1, 4, 12, 13]). По аналогии со случаем само-
сопряженного оператора хотелось бы иметь простой модельный объект для линейного само-
сопряженного операторного пучка. В качестве такого объекта естественно использовать пучок
вида J - \lambda G, где J,G — обобщенные якобиевы матрицы, и рассмотреть соответствующее
уравнение на собственные значения:
(J - \lambda G)u(\lambda ) = 0,
где u(\lambda ) = (u0, u1, u2, . . .)
T (индекс T означает транспонирование). Подобные пучки для слу-
чая трехдиагональных якобиевых матриц рассматривались ранее во многих работах (см. [10] и
приведенную там библиографию). Однако в этом случае, как легко проверить, элемент uk(\lambda )
может оказаться рациональной функцией от \lambda , а не многочленом. Также отметим, что рассмат-
ривались и квадратичные пучки с коэффициентами – конечными якобиевыми матрицами [6].
Приведем следующее основное определение.
Определение 1. Набор \Theta = (J3, J5, \alpha , \beta ), где \alpha > 0, \beta \in \BbbR , J3 — матрица Якоби и J5
— полубесконечная вещественная симметрическая пятидиагональная матрица с положитель-
ными числами на второй поддиагонали, называется пучком (матриц) якобиевого типа.
c\bigcirc С. М. ЗАГОРОДНЮК, 2016
1180 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С НЕКОТОРЫМИ ПУЧКАМИ . . . 1181
Как следует из данного определения, матрицы J3 и J5 имеют следующий вид:
J3 =
\left(
b0 a0 0 0 0 . . .
a0 b1 a1 0 0 . . .
0 a1 b2 a2 0 . . .
...
...
...
. . .
\right) , ak > 0, bk \in \BbbR , k \in \BbbZ +, (1)
J5 =
\left(
\alpha 0 \beta 0 \gamma 0 0 0 0 . . .
\beta 0 \alpha 1 \beta 1 \gamma 1 0 0 . . .
\gamma 0 \beta 1 \alpha 2 \beta 2 \gamma 2 0 . . .
0 \gamma 1 \beta 2 \alpha 3 \beta 3 \gamma 3 . . .
...
...
...
...
. . .
\right)
, \alpha n, \beta n \in \BbbR , \gamma n > 0, n \in \BbbZ +. (2)
С пучком матриц якобиевого типа \Theta будем ассоциировать систему многочленов
\{ pn(\lambda )\} \infty n=0 такую, что
p0(\lambda ) = 1, p1(\lambda ) = \alpha \lambda + \beta (3)
и
(J5 - \lambda J3)\vec{}p(\lambda ) = 0, (4)
где \vec{}p(\lambda ) = (p0(\lambda ), p1(\lambda ), p2(\lambda ), . . .)
T . Здесь индекс T означает транспонирование. Многочлены
\{ pn(\lambda )\} \infty n=0 называются ассоциированными для пучка матриц якобиевого типа \Theta .
Заметим, что пятидиагональные матрицы могут рассматриваться как (2\times 2)-блочные мат-
рицы Якоби. Эти матрицы связаны с (2 \times 2)-матричными ортогональными многочленами на
вещественной оси [9], равно как и с ортогональными многочленами на радиальных лучах в
комплексной плоскости (см., например [8, 17] и приведенную в них библиографию). Однако,
в отличие от случая пятидиагональной матрицы, в случае пучка матриц якобиевого типа \Theta не
видно простой связи соответствующих многочленов с матричными ортогональными многочле-
нами.
Перебирая всевозможные пучки матриц якобиевого типа, мы получаем класс \frakK , который
состоит из ассоциированных систем многочленов. Класс \frakK содержит класс R всех систем
ортонормированных многочленов на вещественной оси с p0 = 1 (и положительными старшими
коэффициентами). Действительно, для каждой системы ортонормированных многочленов на
вещественной оси с p0 = 1 можно выбрать в качестве J3 соответствующую матрицу Якоби
(элементы которой являются коэффициентами рекуррентного соотношения), J5 = J2
3 , и в
качестве \alpha , \beta использовать коэффициенты p1
\bigl(
p1(\lambda ) = \alpha \lambda + \beta
\bigr)
.
В случае ограниченных коэффициентов матриц J3, J5 эти матрицы определяют обычным
образом ограниченные операторы на l2. Эти операторы будем обозначать теми же буквами,
что и соответствующие матрицы. В этом случае выражение J5 - \lambda J3 есть (ограниченный)
линейный операторный пучок (см. [12]).
В общем случае матрицы J3, J5 позволяют задать операторы J3,0, J5,0 на множестве всех
финитных векторов в l2 (т. е. векторов с конечным числом ненулевых элементов).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1182 С. М. ЗАГОРОДНЮК
Соотношение (4) может быть записано в следующей скалярной форме:
\gamma n - 2pn - 2(\lambda ) + (\beta n - 1 - \lambda an - 1)pn - 1(\lambda ) + (\alpha n - \lambda bn)pn(\lambda )+
+(\beta n - \lambda an)pn+1(\lambda ) + \gamma npn+2(\lambda ) = 0, n \in \BbbZ +, (5)
где p - 2(\lambda ) = p - 1(\lambda ) = 0, \gamma - 2 = \gamma - 1 = a - 1 = \beta - 1 = 0. Рекуррентное соотношение (5) с
начальными условиями (3) однозначно определяют ассоциированные многочлены пучка мат-
риц якобиевого типа. Многочлен pn имеет степень n, вещественные коэффициенты и поло-
жительный старший коэффициент (n \in \BbbZ +). С другой стороны, ясно, что ассоциированные
многочлены не определяют пучок. К примеру, умножение J3 и J5 на положительное число не
меняет ассоциированные многочлены. Мы вернемся к этому вопросу позднее.
Наша первая цель состоит в получении некоторых соотношений ортонормированности для
ассоциированных многочленов произвольного пучка якобиевого типа. Для этой цели опреде-
ляется оператор пучка. В общем случае этот оператор не обязательно симметрический. По-
строение соотношений ортонормированности является модификацией на случай пучка класси-
ческого построения для матриц Якоби (см., например, [2]). Интересно, что эта классическая
идея работает в случае пучка, т. е. пары матриц, но, похоже, неприменима для случая (одной)
пятидиагональной матрицы [17].
Нашей второй целью будет построение примера ассоциированных многочленов с явным
представлением (не являющихся ортонормированными на вещественной оси). Заметим, что
мы можем выбрать J3 и J5, имеющие постоянные коэффициенты. Соответствующее уравне-
нию (5) характеристическое уравнение 4-го порядка имеет четыре корня, выражающиеся через
радикалы. Однако, данные общие выражения слишком сложны для определения того, явля-
ются ли корни различными, или того, что определитель соответствующей линейной системы
уравнений (выражающей начальные условия) отличен от нуля. Здесь важным элементом явля-
ется факторизация (23), которая не столь проста, так как зависит от параметра \lambda . Нахождение
подобных факторизаций представляется нам непростым, поэтому соответствующий пример
мы будем называть основным (из-за отсутствия других примеров, по крайней мере). Заметим
также, что данный пример показывает, что R \not = \frakK .
Обозначения. Как обычно, обозначим через \BbbR , \BbbC , \BbbN , \BbbZ , \BbbZ + множества вещественных,
комплексных, натуральных, целых и целых неотрицательных чисел соответственно, а через \BbbP
множество всех многочленов с комплексными коэффициентами.
Далее, через l2 обозначим гильбертово пространство всех комплексных последовательно-
стей c = (cn)
\infty
n=0 = (c0, c1, c2, . . .)
T с конечной нормой \| c\| l2 =
\sqrt{} \sum \infty
n=0
| cn| 2. Скалярное
произведение двух последовательностей c = (cn)
\infty
n=0, d = (dn)
\infty
n=0 \in l2 определяется так:
(c, d)l2 =
\sum \infty
n=0
cndn. Полагаем \vec{}em = (\delta n,m)\infty n=0 \in l2, m \in \BbbZ +. Через l2,fin обозначим множе-
ство всех финитных векторов из l2, т. е. векторов с конечным числом ненулевых компонент.
Через \frakB (\BbbR ) обозначается множество всех борелевских подмножеств \BbbR . Если \sigma — ограни-
ченная мера на \frakB (\BbbR ), то через L2
\sigma обозначим гильбертово пространство всех (классов эквива-
лентности из) комплекснозначных функций f на \BbbR с конечной нормой \| f\| L2
\sigma
=
\sqrt{} \int
\BbbR
| f(x)| 2d\sigma .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С НЕКОТОРЫМИ ПУЧКАМИ . . . 1183
Скалярное произведение f, g \in L2
\sigma определено как (f, g)L2
\sigma
=
\int
\BbbR
f(x)g(x)d\sigma . Через [f ] обо-
значим класс эквивалентности в L2
\sigma , содержащий представителя f.
Если H — гильбертово пространство, то (\cdot , \cdot )H и \| \cdot \| H обозначают скалярное произведение
и норму в H соответственно. Индексы могут опускаться в очевидных случаях. Для линейного
оператора A в H обозначим через D(A) его область определения, через R(A) его область
значений, а через A\ast сопряженный оператор, если последний существует. Если A обратим, то
A - 1 означает обратный оператор. A означает замыкание оператора, если оператор допускает
замыкание. Если A ограничен, то \| A\| обозначает его норму. Для множества M \subseteq H обо-
значаем через M замыкание M по норме H. Под \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}M мы подразумеваем множество всех
линейных комбинаций элементов из M и \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}M := \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}M. Через EH обозначим единичный
оператор в H, т. е. EHx = x, x \in H. Если H1 — подпространство в H, то PH1 = PH
H1
—
оператор ортогонального проектирования на H1 в H.
2. Соотношения ортогональности для ассоциированных многочленов. Рассмотрим про-
извольный пучок якобиевого типа \Theta = (J3, J5, \alpha , \beta ). Полагаем
un := J3\vec{}en = an - 1\vec{}en - 1 + bn\vec{}en + an\vec{}en+1, (6)
wn := J5\vec{}en = \gamma n - 2\vec{}en - 2 + \beta n - 1\vec{}en - 1 + \alpha n\vec{}en + \beta n\vec{}en+1 + \gamma n\vec{}en+2, n \in \BbbZ +. (7)
Здесь и далее под \vec{}ek с отрицательным k мы понимаем нулевой вектор. Поскольку an > 0,
то векторы \vec{}e0, un, n \in \BbbZ + линейно независимы. Более того, \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \vec{}e0, u0, u1, u2, . . .\} = l2,fin.
Оператор:
Af =
\zeta
\alpha
(\vec{}e1 - \beta \vec{}e0) +
\infty \sum
n=0
\xi nwn,
f = \zeta \vec{}e0 +
\infty \sum
n=0
\xi nun \in l2,fin, \zeta , \xi n \in \BbbC , (8)
с D(A) = l2,fin называется ассоциированным оператором для пучка якобиевого типа \Theta . Отме-
тим, что в суммах в (8) лишь конечное число \xi n ненулевые. Это будет всегда предполагаться в
случаях элементов из линейной оболочки.
Итак, оператор A линеен и плотно задан в l2. В частности, для него выполнено
Aun = wn, n \in \BbbZ +, (9)
A\vec{}e0 =
1
\alpha
(\vec{}e1 - \beta \vec{}e0). (10)
Для произвольного ненулевого многочлена f(\lambda ) \in \BbbP степени d \in \BbbZ +, f(\lambda ) =
\sum d
k=0
dk\lambda
k,
dk \in \BbbC , полагаем
f(A) =
d\sum
k=0
dkA
k.
Здесь A0 := E| l2,fin . Поскольку Al2,fin \subseteq l2,fin, то D(f(A)) = l2,fin. Для f(\lambda ) \equiv 0, полагаем
f(A) = 0| l2,fin .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1184 С. М. ЗАГОРОДНЮК
Соответствие f \mapsto \rightarrow f(A) аддитивно и мультипликативно: для произвольных f, g \in \BbbP
(f + g)(A) = f(A) + g(A), (fg)(A) = f(A)g(A).
Обозначим через \{ rn(\lambda )\} \infty n=0, r0(\lambda ) = 1, систему многочленов, удовлетворяющих соотноше-
нию
J3\vec{}r(\lambda ) = \lambda \vec{}r(\lambda ), \vec{}r(\lambda ) =
\bigl(
r0(\lambda ), r1(\lambda ), r2(\lambda ), . . .
\bigr) T
. (11)
Эти многочлены являются ортонормированными на вещественной оси относительно неотри-
цательной конечной меры \sigma на \frakB (\BbbR ) (теорема Фавара). В общем случае мера ортогональности
\sigma может быть не единственной и мы выбираем произвольную. Рассмотрим оператор
U
\infty \sum
n=0
\xi n\vec{}en =
\Biggl[ \infty \sum
n=0
\xi nrn(x)
\Biggr]
, \xi n \in \BbbC ,
который отображает l2,fin на всё \scrP . Здесь \scrP — множество всех полиномов (точнее говоря, всех
классов эквивалентности, которые содержат полиномы) в L2
\sigma . Оператор U линеен и изометри-
чен. Полагаем
\scrA = \scrA \sigma = UAU - 1.
Оператор \scrA = \scrA \sigma называется модельным представлением в L2
\sigma ассоциированного операто-
ра A. Пусть f(\lambda ) \in \BbbP ненулевой и степени d \in \BbbZ +, f(\lambda ) =
\sum d
k=0
dk\lambda
k, dk \in \BbbC . Полагаем
f(\scrA \sigma ) =
d\sum
k=0
dk\scrA k
\sigma ; \scrA 0
\sigma := E| \scrP .
Легко проверить, что
Uf(A)U - 1 = f(\scrA \sigma ). (12)
Теорема 1. Пусть \Theta = (J3, J5, \alpha , \beta ) — произвольный пучок якобиевого типа \{ rn(\lambda )\} \infty n=0,
r0(\lambda ) = 1, — система многочленов, удовлетворяющая (11) и \sigma — (произвольная) соответ-
ствующая этой системе мера ортонормированности на \frakB (\BbbR ). Ассоциированные многочлены
\{ pn(\lambda )\} \infty n=0 удовлетворяют соотношениям ортонормированности\int
\BbbR
pn(\scrA )(1)pm(\scrA )(1)d\sigma = \delta n,m, n,m \in \BbbZ +, (13)
где \scrA является модельным представлением в L2
\sigma ассоциированного оператора A.
Доказательство. Рассмотрим произвольный пучок якобиевого типа \Theta = (J3, J5, \alpha , \beta ) и
его ассоциированный оператор A. Используя (6), (7), (9) получаем
\gamma n - 2\vec{}en - 2 + \beta n - 1\vec{}en - 1 - an - 1A\vec{}en - 1 + \alpha n\vec{}en - bnA\vec{}en+
+\beta n\vec{}en+1 - anA\vec{}en+1 + \gamma n\vec{}en+2 = 0, n \in \BbbZ +.
Рассмотрим уравнение
\gamma n - 2yn - 2 + \beta n - 1yn - 1 - an - 1Ayn - 1 + \alpha nyn - bnAyn+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С НЕКОТОРЫМИ ПУЧКАМИ . . . 1185
+\beta nyn+1 - anAyn+1 + \gamma nyn+2 = 0, n \in \BbbZ +, (14)
относительно неизвестных векторов \{ yn\} \infty n=0, yn \in l2,fin, где векторы yk с отрицательными k
являются нулевыми. Ясно, что решение уравнения (14) однозначно определяется через y0, y1.
Значит, векторы \{ \vec{}en\} \infty n=0 составляют решение уравнения (14).
Запишем (5) с операторным аргументом A и применим к \vec{}e0. В результате получим, что\widetilde yn = pn(A)\vec{}e0 является решением уравнения (14). Заметим, что \widetilde y0 = \vec{}e0,
\widetilde y1 = p1(A)\vec{}e0 = \vec{}e1.
Таким образом, решения \{ \vec{}en\} \infty n=0, \{ \widetilde yn\} \infty n=0 уравнения (14) совпадают и
\vec{}en = pn(A)\vec{}e0, n \in \BbbZ +.
Значит, \bigl(
pn(A)\vec{}e0, pm(A)\vec{}e0
\bigr)
l2
= \delta n,m, n,m \in \BbbZ +. (15)
Записывая соотношения (15) в модельном пространстве L2
\sigma , с учетом (12), мы приходим к
соотношению (13).
Теорема 1 доказана.
Заметим, что для систем ортонормированных многочленов pn на вещественной оси с p0 =
= 1, т. е. в случае J5 = J2
3 , J3 — соответствующая матрица Якоби и \alpha , \beta : p1(x) = \alpha x + \beta ,
оператор A совпадает с оператором J3,0 (определяемым матрицей Якоби J3 на l2,fin). В этом
случае соотношение (15) приводит к обычным соотношениям ортонормированности для pn.
Как отмечалось во введении, ассоциированные многочлены pn(\lambda ) не определяют пучок \Theta .
Предположим, что
pn(\lambda ) =
n\sum
k=0
\mu n,k\lambda
k, \mu n,k \in \BbbR , \mu n,n > 0.
Подсчитывая коэффициенты в левой части в соотношения (5) при степени n + 2, n + 1, n,
имеем
- an\mu n+1,n+1 + \gamma n\mu n+2,n+2 = 0,
- bn\mu n,n + \beta n\mu n+1,n+1 - an\mu n+1,n + \gamma n\mu n+2,n+1 = 0,
- an - 1\mu n - 1,n - 1 + \alpha n\mu n,n - bn\mu n,n - 1 + \beta n\mu n+1,n - an\mu n+1,n - 1 + \gamma n\mu n+2,n = 0,
где n \in \BbbZ +, \mu - 1, - 1 = \mu 0, - 1 = \mu 1, - 1 = 0. Выделяя \gamma n, \beta n, \alpha n, имеем
\gamma n = an
\mu n+1,n+1
\mu n+2,n+2
, (16)
\beta n =
bn\mu n,n + an\mu n+1,n - \gamma n\mu n+2,n+1
\mu n+1,n+1
, (17)
\alpha n =
an - 1\mu n - 1,n - 1 + bn\mu n,n - 1 - \beta n\mu n+1,n + an\mu n+1,n - 1 - \gamma n\mu n+2,n
\mu n,n
, (18)
где n \in \BbbZ +. Следовательно, матрица J5 пучка однозначно определяется через ассоциирован-
ные многочлены и J3 . Кроме того, соотношения (16), (17) показывают, что матрица J3 пучка
однозначно определяется через ассоциированные многочлены и J5 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1186 С. М. ЗАГОРОДНЮК
3. Основной пример. Обозначим через \Theta 1 пучок якобиевого типа с \alpha = \beta =
\surd
2, ak =
=
\surd
2, bk = 2, k \in \BbbZ +, \alpha n = \beta n = 0, \gamma n = 1, n \in \BbbZ +. Рекуррентное соотношение (5) для
ассоциированных многочленов \{ pn(\lambda )\} \infty n=0 принимает вид
pn - 2(\lambda ) -
\surd
2\lambda pn - 1(\lambda ) - 2\lambda pn(\lambda ) -
\surd
2\lambda pn+1(\lambda ) + pn+2(\lambda ) = 0, n \in \BbbZ +, (19)
с начальными условиями
p0(\lambda ) = 1, p1(\lambda ) =
\surd
2\lambda +
\surd
2. (20)
Теорема 2. Ассоциированные многочлены \{ pn(\lambda )\} \infty n=0 пучка \Theta 1 имеют представление
pn(
\surd
2t - 1) = Tn(t) + tUn - 1(t) -
1
2
Un - 1(t) - Un - 1
\biggl(
- 1\surd
2
\biggr)
t+
1\surd
2
,
n \in \BbbZ +, t \in
\biggl(
- 1, - 1\surd
2
\biggr)
\cup
\biggl(
- 1\surd
2
, 1
\biggr)
. (21)
Здесь Tn(t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(n \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t), Un(t) =
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}((n+ 1) \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)\surd
1 - t2
— многочлены Чебышева первого и
второго рода соответственно (U - 1 = 0).
Доказательство. Как обычно, будем искать решение \{ yn\} \infty n=0 разностного уравнения (со-
ответствующего (19))
yn - 2 -
\surd
2\lambda yn - 1 - 2\lambda yn -
\surd
2\lambda yn+1 + yn+2 = 0, n = 2, 3, . . . ,
в виде yn = wn, n \in \BbbZ +, w = w(\lambda ) \in \BbbC . Здесь \lambda \in \BbbC — фиксированный параметр. Тогда
характеристическое уравнение имеет вид
w4 -
\surd
2\lambda w3 - 2\lambda w2 -
\surd
2\lambda w + 1 = 0. (22)
Факторизуем выражение в левой части (22) следующим образом:
(w2 +
\surd
2w + 1)(w2 -
\surd
2(\lambda + 1)w + 1) = 0. (23)
Следовательно, мы получаем корни
w1,2 =
\surd
2
2
( - 1\mp i), w3,4 =
\surd
2
2
\Bigl(
\lambda + 1\pm
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1
\Bigr)
.
Здесь и далее для каждого комплексного \lambda мы фиксируем произвольное значение квадратного
корня
\surd
\lambda 2 + 2\lambda - 1. При этом мы предполагаем, что эти значения формируют некоторую
ветвь, и не налагаем других условий. Пусть
rn(\lambda ) = C1(\lambda )w
n
1 + C2(\lambda )w
n
2 + C3(\lambda )w
n
3 + C4(\lambda )w
n
4 , n \in \BbbZ +,
где Cj(\lambda ) — произвольные комплекснозначные функции от \lambda . Функции rn(\lambda ) удовлетворяют
соотношению (19) для n = 2, 3, . . . . Кроме того, rn(\lambda ) удовлетворяет соотношению (19) с
n = 0, 1 и начальным условиям (20) в том и только в том случае, когда коэффициенты Cn(\lambda )
удовлетворяют соответствующей линейной системе уравнений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С НЕКОТОРЫМИ ПУЧКАМИ . . . 1187
( - \lambda + (\lambda + 1)i)C1 + ( - \lambda - (\lambda + 1)i)C2 + ( - \lambda +
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1)C3+
+( - \lambda -
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1)C4 = 0,
(1 - i)C1 + (1 + i)C2 + ( - \lambda - 1 +
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1)C3+
+( - \lambda - 1 -
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1)C4 = 0,
(24)
C1 + C2 + C3 + C4 = 1,
( - 1 - i)C1 + ( - 1 + i)C2 + (\lambda + 1 +
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1)C3+
+(\lambda + 1 -
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1)C4 = 2\lambda + 2.
Определитель \Delta этой системы равен - 8(\lambda + 2)2
\surd
\lambda 2 + 2\lambda - 1i. Таким образом, линейная
система (24) имеет решение, если \lambda \not = - 2, - 1\pm
\surd
2. Тогда
C1,2 = \mp 1
2(\lambda + 2)i
, C3,4 =
1
2
\pm \lambda 2 + 3\lambda + 1
2(\lambda + 2)
\surd
\lambda 2 + 2\lambda - 1
,
и мы приходим к следующему представлению ассоциированных многочленов:
pn(\lambda ) =
=
1
\lambda + 2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
3\pi
4
n
\biggr)
+ 2 -
n
2 - 1
\Bigl(
(\lambda + 1 +
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1)n + (\lambda + 1 -
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1)n+
+
\lambda 2 + 3\lambda + 1
(\lambda + 2)
\surd
\lambda 2 + 2\lambda - 1
\times
\Bigl(
(\lambda + 1 +
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1)n -
- (\lambda + 1 -
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1)n
\Bigr) \Bigr)
, n \in \BbbZ +, \lambda \in \BbbC \setminus
\bigl\{
- 2, - 1\pm
\surd
2
\bigr\}
. (25)
В дальнейшем мы предположим, что \lambda \in ( - 1 -
\surd
2, - 2) \cup ( - 2, - 1 +
\surd
2). Тогда t :=
\lambda + 1\surd
2
\in
\in
\biggl(
- 1, - 1\surd
2
\biggr)
\cup
\biggl(
- 1\surd
2
, 1
\biggr)
. Следовательно, можем записать
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1 =
\sqrt{}
- 2(1 - t2) =
\surd
2
\sqrt{}
1 - t2i,
где последнее равенство означает, что мы зафиксировали определенное значение квадратного
корня (мы могли выбрать это значение в предыдущих рассуждениях). Тогда\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1 =
\surd
2
\sqrt{}
1 - (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t))2i =
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)i,
\lambda + 1\pm
\sqrt{}
\lambda 2 + 2\lambda - 1 =
\surd
2 (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t))\pm i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t)) =
\surd
2e\pm i arccos t.
Используя (25) и последние равенства, получаем
pn(
\surd
2t - 1) =
1\surd
2t+ 1
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
3\pi
4
n
\biggr)
+ Tn(t)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1188 С. М. ЗАГОРОДНЮК
+
\biggl(
t\surd
1 - t2i
- 1
(
\surd
2t+ 1)
\surd
2
\surd
1 - t2i
\biggr)
i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t),
где n \in \BbbZ +, t \in
\biggl(
- 1, - 1\surd
2
\biggr)
\cup
\biggl(
- 1\surd
2
, 1
\biggr)
. Значит, формула (21) справедлива.
Теорема 2 доказана.
С помощью формулы (21) или рекуррентного соотношения (19) вычисляем
p2(\lambda ) = 2\lambda (\lambda + 2), p3(\lambda ) =
\surd
2\lambda (2\lambda 2 + 6\lambda + 3).
Мы видим, что последовательные многочлены имеют общий корень 0. Следовательно, эти
многочлены не являются ортогональными на вещественной оси.
Интересной задачей является описание распределения корней многочленов pn из (21). На-
пример, можно предположить, что все нули pn являются вещественными.
Построим теперь ассоциированный оператор A, его модельное представление и другие
связанные с ним объекты. В данном случае имеем
un =
\surd
2\vec{}en - 1 + 2\vec{}en +
\surd
2\vec{}en+1, wn = \vec{}en - 2 + \vec{}en+2, n \in \BbbZ +.
Значит,
Aun = \vec{}en - 2 + \vec{}en+2, n \in \BbbZ +. (26)
Используя (10), получаем
A\vec{}e0 = - \vec{}e0 +
1\surd
2
\vec{}e1. (27)
Сравнивая рекуррентное соотношение многочленов Чебышева второго рода Un(x) с соотно-
шением для rn(x), видим, что
rn(x) = Un
\biggl(
x - 2
2
\surd
2
\biggr)
, n \in \BbbZ +.
Обозначим через \{ qn(x)\} \infty n=0 многочлены второго рода для ортогональных многочленов rn(x) :
qn(x) =
\int
\BbbR
rn(x) - rn(t)
x - t
d\sigma , n \in \BbbZ +.
Сравнивая начальные условия заключаем, что
qn(x) =
1\surd
2
Un - 1
\biggl(
x - 2
2
\surd
2
\biggr)
, n \in \BbbN .
Заметим, что
Uun =
\bigl[
xrn(x)
\bigr]
, n \in \BbbZ +.
Используя (26), (27), получаем
\scrA \sigma [xrn(x)] =
\bigl[
rn - 2(x) + rn+2(x)
\bigr]
, n \in \BbbZ +, (28)
A\sigma [r0(x)] =
\biggl[
- r0(x) +
1\surd
2
r1(x)
\biggr]
. (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С НЕКОТОРЫМИ ПУЧКАМИ . . . 1189
Для произвольного комплексного многочлена p(x) степени l \in \BbbZ + можем записать
p(x) = p(0) + x
p(x) - p(0)
x
= p(0) + x
\infty \sum
n=0
\widehat cnrn(x), \widehat cn \in \BbbC , (30)
где \widehat cn = 0 для n > l - 1. Заметим теперь, что
\widehat ck =
\biggl(
p(x) - p(0)
x
, rk(x)
\biggr)
L2
\sigma
, 0 \leq k \leq l - 1. (31)
При этом
x2rn(x) =
\surd
2xrn - 1(x) + 2xrn(x) +
\surd
2xrn+1(x) =
=
\left\{ 2r2(x) + 4
\surd
2r1(x) + 6r0(x), n = 0
2(rn - 2(x) + rn+2(x)) + 4
\surd
2rn - 1(x) + 8rn(x) + 4
\surd
2rn+1(x), n \in \BbbN
=
=
\left\{ 2r2(x) + 4xr0(x) - 2r0(x), n = 0,
2(rn - 2(x) + rn+2(x)) + 4xrn(x), n \in \BbbN .
(32)
Используя (28) – (32) мы заключаем, что
\scrA \sigma
\bigl[
p(x)
\bigr]
=
\left[ \biggl( 1
2
x - 2
\biggr)
p(x) +
\int
\BbbR
p(x) - p(0)
x
d\sigma
\right] , p \in \BbbP .
Вычислим матрицу MA ассоциированного оператора A относительно ортонормированного
базиса \{ \vec{}en\} \infty n=0 :
(A\vec{}en, \vec{}em)l2 = (\scrA rn(x), rm(x))L2
\sigma
=
\biggl( \biggl(
1
2
x - 2
\biggr)
rn(x) + qn(0), rm(x)
\biggr)
L2
\sigma
=
=
1
2
(un, \vec{}em)l2 - 2\delta n,m + qn(0)\delta m,0 =
=
1
2
(J3\vec{}en, \vec{}em)l2 - 2\delta n,m + qn(0)\delta m,0, n,m \in \BbbZ +.
Значит,
MA =
1
2
J3 - 2I +
\left(
0 q1(0) q2(0) q3(0) \cdot \cdot \cdot
0 0 0 0 \cdot \cdot \cdot
0 0 0 0 \cdot \cdot \cdot
0 0 0 0 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
. . .
\right)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1190 С. М. ЗАГОРОДНЮК
=
\left(
- 1
1\surd
2
+ q1(0) q2(0) q3(0) \cdot \cdot \cdot
1\surd
2
- 1
1\surd
2
0 \cdot \cdot \cdot
0
1\surd
2
- 1
1\surd
2
\cdot \cdot \cdot
0 0
1\surd
2
- 1 \cdot \cdot \cdot
...
...
...
...
. . .
\right)
,
где I = (\delta n,m)\infty n,m=0. Заметим, что qn(0) =
1\surd
2
Un - 1
\biggl(
- 1\surd
2
\biggr)
= \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
3\pi n
4
\biggr)
, n \in \BbbN . В частнос-
ти, выполнено q8k+2(0) = - 1, k \in \BbbN . Значит, оператор A не является ограниченным (так как
M\ast
A\vec{}e0 /\in l2).
Таким образом, мы видим, что хотя операторы J3 и J5 являются ограниченными и самосо-
пряженными, ассоциированный оператор A не является ни ограниченным, ни симметрическим.
Дополнительные предположения для матриц J3, J5, возможно, дадут больше информации об
ассоциированном операторе A пучка якобиевого типа.
Литература
1. Абрамов Ю. Ш. Вариационные методы в теории операторных пучков. Спектральная оптимизация. – Л.: Изд-во
Ленингр., ун-та, 1983. – 180 с.
2. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. – М.:
Физматгиз., 1961. – 312 с.
3. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. – Киев.: Наук.
думка, 1965. – 800 с.
4. Копачевский Н. Д. Спектральная теория операторных пучков. Спец. курс лекций. – Симферополь: Тавр. нац.
ун-т им. В. И. Вернадского, 2009. 128 с.
5. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. – 3-е изд. – М.: Физматлит., 2005. – 480 с.
6. Agranovich Y., Azizov T., Barsukov A., Dijksma A. On an inverse spectral problem for a quadratic Jacobi matrix
pencil // J. Math. Anal. and Appl. – 2005. – 306, № 1. – P. 1 – 17.
7. Chihara T. S. An introduction to orthogonal polynomials // Math. and Appl. – New York etc.: Gordon and Breach
Sci. Publ., 1978. – 13. – xii+249 p.
8. Choque R., Abdon E., Zagorodnyuk Sergey M. Orthogonal polynomials on rays: Christoffel’s formula // Bol. Soc.
mat. mexic. – 2009. – 15, № 2. – P. 149 – 164.
9. Damanik D., Pushnitski A., Simon B. The analytic theory of matrix orthogonal polynomials // Surv. Approxim.
Theory. – 2008. – 4. – P. 1 – 85.
10. Derevyagin M., Tsujimoto S., Vinet L., Zhedanov A. Bannai – Ito polynomials and dressing chains // Proc. Amer. Math.
Soc. – 2014. – 142, № 12. – P. 4191 – 4206.
11. Ismail Mourad E. H. Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in one variable // Encycl. Math. and Appl. –
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005. – 98. – xviii+706 p.
12. Markus A. S. Introduction to the spectral theory of polynomial operator pencils // Transl. Math. Monogr. – Providence
RI: 71. Amer. Math. Soc., 1988. – 71. – iv+250 p.
13. Möller M., Pivovarchik V. Spectral theory of operator pencils, Hermite – Biehler functions, and their applications //
Oper. Theory: Adv. and Appl. – Cham: Birkhäuser/Springer, 2015. – 246. – xvii+412 p.
14. Simon B. Szegö’s Theorem and its Descendants. Spectral Theory for L2 Perturbations of Orthogonal Polynomials.
M. B. Porter Lectures. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2011. xii+650 pp.
15. Szegö G. Orthogonal polynomials. – Fourth ed. – Providence RI: Amer. Math. Soc., 1975. – 23. – iv+423 p.
16. Teschl G. Jacobi operators and completely integrable nonlinear lattices // Math. Surv. and Monogr. – Providence RI:
Amer. Math. Soc., 2000. – 72. – iv+351 p.
17. Zagorodnyuk S. M. On generalized Jacobi matrices and orthogonal polynomials // N. Y. J. Math. – 2003. – 9. –
P. 117 – 136 (electronic).
Получено 03.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1913 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:06Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/70/ad568660b795735c7afb92734a732970.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19132019-12-05T09:31:35Z Orthogonal polynomials related to some Jacobi-type pencils Ортогональные многочлены, ассоциированные с некоторыми пучками якобиевого типа Zagorodnyuk, S. M. Загороднюк, С. М. Загороднюк, С. М. We study a generalization of the class of orthonormal polynomials on the real axis. These polynomials satisfy the following relation: $(J_5 \lambda J_3)\vec{p}(\lambda) = 0$, where $J_3$ is a Jacobi matrix and $J_5$ is a semi-infinite real symmetric five-diagonal matrix with positive numbers on the second subdiagonal, $\vec{p}(\lambda) = (p_0(\lambda ), p_1(\lambda ), p_2(\lambda ),...)^T$, the superscript $T$ denotes the operation of transposition with the initial conditions $p_0(\lambda ) = 1,\; p_1(\lambda) = \alpha \lambda + \beta,\; \alpha > 0, \beta \in R$. Certain orthonormality conditions for the polynomials $\{ pn(\lambda )\}^{\infty}_n = 0$ are obtained. An explicit example of these polynomials is constructed. Вивчається деяке узагальнення класу ортонормованих полiномiв на дiйснiй осi. Цi полiноми задовольняють спiввiдношення $(J_5 \lambda J_3)\vec{p}(\lambda) = 0$, де $J_3$ — матриця Якобi, $J_5$ — напiвнескiнченна дiйсна симетрична п’ятидiагональна матриця з додатними числами на другiй пiддiагоналi, $\vec{p}(\lambda) = (p_0(\lambda ), p_1(\lambda ), p_2(\lambda ),...)^T$, iндекс $T$ означає транспонування, за початкових умов $p_0(\lambda ) = 1,\; p_1(\lambda) = \alpha \lambda + \beta,\; \alpha > 0, \beta \in R$. Одержано деякi спiввiдношення ортонормованостi для полiномiв $\{ pn(\lambda )\}^{\infty}_n = 0$. Побудовано явний приклад таких полiномiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1913 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 9 (2016); 1180-1190 Український математичний журнал; Том 68 № 9 (2016); 1180-1190 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1913/895 Copyright (c) 2016 Zagorodnyuk S. M. |
| spellingShingle | Zagorodnyuk, S. M. Загороднюк, С. М. Загороднюк, С. М. Orthogonal polynomials related to some Jacobi-type pencils |
| title | Orthogonal polynomials related to some Jacobi-type pencils |
| title_alt | Ортогональные многочлены, ассоциированные с некоторыми пучками якобиевого типа
|
| title_full | Orthogonal polynomials related to some Jacobi-type pencils |
| title_fullStr | Orthogonal polynomials related to some Jacobi-type pencils |
| title_full_unstemmed | Orthogonal polynomials related to some Jacobi-type pencils |
| title_short | Orthogonal polynomials related to some Jacobi-type pencils |
| title_sort | orthogonal polynomials related to some jacobi-type pencils |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1913 |
| work_keys_str_mv | AT zagorodnyuksm orthogonalpolynomialsrelatedtosomejacobitypepencils AT zagorodnûksm orthogonalpolynomialsrelatedtosomejacobitypepencils AT zagorodnûksm orthogonalpolynomialsrelatedtosomejacobitypepencils AT zagorodnyuksm ortogonalʹnyemnogočlenyassociirovannyesnekotorymipučkamiâkobievogotipa AT zagorodnûksm ortogonalʹnyemnogočlenyassociirovannyesnekotorymipučkamiâkobievogotipa AT zagorodnûksm ortogonalʹnyemnogočlenyassociirovannyesnekotorymipučkamiâkobievogotipa |