Mutual winding angles of particles in Brownian stochastic flows with zero top Lyapunov exponent
The investigation of the geometric properties of particles moving in stochastic flows leads to the study of their mutual winding angles. The same problem for independent Brownian motions was solved in [10]. We generalize these results to the case of isotropic Brownian stochastic flows with top Lyapu...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1915 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507806944198656 |
|---|---|
| author | Kuznetsov, V. A. Кузнецов, В. А. Кузнецов, В. А. |
| author_facet | Kuznetsov, V. A. Кузнецов, В. А. Кузнецов, В. А. |
| author_sort | Kuznetsov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:35Z |
| description | The investigation of the geometric properties of particles moving in stochastic flows leads to the study of their mutual
winding angles. The same problem for independent Brownian motions was solved in [10]. We generalize these results to
the case of isotropic Brownian stochastic flows with top Lyapunov exponent equal to zero. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
В. А. Кузнецов (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ
В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ
СО СТАРШИМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ЛЯПУНОВА, РАВНЫМ НУЛЮ
The investigation of the geometric properties of particles moving in stochastic flows leads to the study of their mutual
winding angles. The same problem for independent Brownian motions was solved in [10]. We generalize these results to
the case of isotropic Brownian stochastic flows with top Lyapunov exponent equal to zero.
Дослiдження геометричних властивостей траєкторiй частинок у стохастичних потоках приводить до вивчення їхнiх
взаємних кутiв обходу. Для незалежних двовимiрних броунiвських рухiв вiдповiдну задачу розв’язав М. Йор. Ми
узагальнюємо цей результат на випадок iзотропних броунiвських стохастичних потокiв зi старшим показником
Ляпунова, що дорiвнює нулю.
1. Введение. В настоящей статье приводится решение задачи об асимптотическом распреде-
лении взаимных углов обхода частиц, движущихся в двумерном броуновском стохастическом
потоке. Броуновские стохастические потоки возникли в работах [1 – 3] как модели турбулент-
ного течения жидкости.
Определение 1 [4]. Стохастическим потоком гомеоморфизмов в пространстве \BbbR d на-
зывается семейство случайных отображений Fs,t = Fs,t(\omega , \cdot ) : \BbbR d \rightarrow \BbbR d, 0 \leq s \leq t, имеющих
на некотором множестве \Omega 0 с P (\Omega 0) = 1 следующие свойства:
1) поле \phi (s, t, x) = Fs,t(\omega , x) является непрерывным по совокупности параметров s, t, x;
2) все отображения Fs,t являются гомеоморфизмами Rd;
3) при каждом s \geq 0 имеет место Fss = \mathrm{I}\mathrm{d}, т. е. отображение Fss является тож-
дественным;
4) при любых s < t < u выполняется соотношение Ftu \circ Fst = Fsu.
Определение 2 [4]. Броуновским стохастическим потоком в \BbbR d называется стохастичес-
кий поток гомеоморфизмов Fs,t со следующим свойством: при любых 0 \leq s1 \leq s2 \leq . . . \leq sn
отображения Fs1,s2 , Fs2,s3 , . . . , Fsn - 1,sn независимы.
Согласно [4], броуновский стохастический поток Fs,t, удовлетворяющий определенным
условиям регулярности, можно задать как решение стохастического дифференциального урав-
нения
dFs,t(x) = U(Fs,t(x), dt), Fs,s(x) = x, (1)
где U — некоторый непрерывный гауссовский семимартингал с пространственным параметром.
Уравнение (1) следует понимать как сокращенную запись соотношения
Fs,t(x) = x+
t\int
s
U(Fs,r(x), dr),
а последний интеграл определяется как интеграл по семимартингалу с пространственным па-
раметром [4].
c\bigcirc В. А. КУЗНЕЦОВ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9 1197
1198 В. А. КУЗНЕЦОВ
Важный класс потоков составляют однородные изотропные броуновские потоки, возник-
шие при изучении наиболее простой модели турбулентности — изотропной турбулентности. В
этой модели распределение поля скоростей жидкости инвариантно относительно параллельных
переносов, поворотов и отражений.
Сначала введем, следуя работе [5], определение однородности и изотропности для случай-
ных полей на \BbbR d. Случайное поле V = V (z) \in \BbbR d, z \in \BbbR d , называется однородным, если его
распределение не меняется при параллельных переносах, т. е. для каждого вектора h \in \BbbR d слу-
чайное поле \~V (z) = V (z+ h) имеет то же распределение, что и поле V. В случае гауссовского
векторного поля V это условие можно записать в виде условия на математическое ожида-
ние и ковариационную матрицу компонент поля V. Так, если a(x, y) = (aij(x, y))1\leq i,j\leq d —
ковариационная матрица компонент однородного центрированного гауссовского поля V, т. е.
\BbbE Vi(x)Vj(y) = aij(x, y),
то поле V является однородным в том и только в том случае, когда aij(x, y) зависит лишь от
разности x - y:
\BbbE Vi(x)Vj(y) = aij(x, y) = bij(x - y), i, j = 1, . . . , d.
Центрированное однородное случайное поле V называется изотропным, если для каждой ор-
тогональной матрицы G размера d \times d случайное поле V \prime (z) = GV (G - 1z) имее т то же рас-
пределение, что и V. В случае гауссовского векторного поля V это условие можно переписать в
виде условия на ковариационную матрицу компонент поля V. Так, если b(z) = (bij(z))i,j=1,...,d,
где
\BbbE Vi(x)Vj(y) = bij(x - y),
то условие изотропности V эквивалентно соотношению
Gb(G - 1z)G - 1 = b(z) (2)
для всех ортогональных матриц G.
Определения однородности и изотропности можно дать и для броуновских стохастических
потоков.
Определение 3. Однородным броуновским стохастическим потоком называется стоха-
стический поток, который задается уравнением (1), где U — центрированное гауссовское
случайное поле, удовлетворяющее соотношению
\BbbE Ui(x, t)Uj(y, s) = bij(x - y)\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ t, s\} , i, j = 1, . . . , d.
Здесь x, y \in \BbbR d, t \in [0,+\infty ), b(z) = (bij(z), 1 \leq i, j \leq d) — некоторая матричнозначная
функция.
Определение 4. Однородный броуновский поток называется изотропным, если соответ-
ствующая матричнозначная функция b = b(z) удовлетворяет соотношению (2) для каждого
z \in \BbbR d и каждой ортогональной матрицы G.
Замечание 1. Это условие эквивалентно существованию однородного изотропного поля
V = V (z), для которого bij(z) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(V (x), V (x+ z)) при всех x, z \in \BbbR d.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1199
Условие изотропности накладывает ограничения на вид матричнозначной функции b(z).
Полное описание ковариационных функций компонент изотропных случайных полей было по-
лучено в работе А. М. Яглома [6]. Мы приведем результат для случая двумерного броуновского
потока (d = 2), следуя работе [5]. В этом случае вид матрицы b описывается следующим
утверждением.
Утверждение 1 [5]. Если матричнозначная функция b = (bij(z), 1 \leq i, j \leq 2) является
ковариационной матрицей компонент некоторого однородного изотропного случайного поля
f, то она имеет вид
bij(z) = \delta ijbN (\| z\| ) +
zizj
\| z\| 2
(bL(\| z\| ) - bN (\| z\| )).
Здесь bL, bN : [0,\infty ) \rightarrow \BbbR — функции, которые можно представить в виде
bL(r) =
\infty \int
0
J \prime
1(r\alpha )\Phi P (d\alpha ) +
\infty \int
0
J1(r\alpha )
r\alpha
\Phi S(d\alpha ), (3)
bN (r) =
\infty \int
0
J1(r\alpha )
r\alpha
\Phi P (d\alpha ) +
\infty \int
0
J \prime
1(r\alpha )\Phi S(d\alpha ) (4)
для некоторых конечных мер \Phi P , \Phi S на [0,+\infty ), J1 — функция Бесселя первого рода.
При определенных дополнительных предположениях функции bL и bN являются достаточ-
но гладкими. В этом случае, согласно результатам [4], поток Fs,t является потоком диффеомор-
физмов. Это дает возможность говорить о показателях Ляпунова \lambda 1, \lambda 2 (\lambda 1 > \lambda 2) потока F.
Эти показатели, как было показано в работе [7], выражаются через функции bL, bN .
Итак, имеет место следующий результат.
Утверждение 2 [5]. Пусть U(x, t), x \in \BbbR 2, t \geq 0, — гауссовское векторное поле со зна-
чениями в \BbbR 2, задающее однородный изотропный броуновский поток F. Предположим, что
меры \Phi P , \Phi S в представлениях (3), (4) имеют конечный четвертый момент. Тогда функции
bL, bN четырежды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют следующим асимптоти-
ческим соотношениям:
bL(r) = b0 -
1
2
\beta Lr
2 +O(r4), r \rightarrow 0, (5)
bN (r) = b0 -
1
2
\beta Nr
2 +O(r4), r \rightarrow 0, (6)
где bL(0) = bN (0) = b0 и
\beta L =
3
8
\infty \int
0
\alpha 2\Phi P (d\alpha ) +
1
8
\infty \int
0
\alpha 2\Phi S(d\alpha ),
\beta N =
1
8
\infty \int
0
\alpha 2\Phi P (d\alpha ) +
3
8
\infty \int
0
\alpha 2\Phi S(d\alpha ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1200 В. А. КУЗНЕЦОВ
При этом показатели Ляпунова таковы:
\lambda 1 =
1
2
(\beta N - \beta L), \lambda 2 = - \beta L.
Показатели Ляпунова определяют асимптотическое поведение расстояния между частицами
в потоке. Так, имеют место следующие результаты, полученные в работах [2, 8].
Теорема 1. Для двумерного однородного изотропного броуновского стохастического по-
тока имеют место следующие варианты асимптотического поведения расстояния Rab(t) =
= \| Ft(a) - Ft(b)\| между частицами, вышедшими из двух произвольных различных точек
плоскости a и b, в зависимости от максимального показателя Ляпунова \lambda 1 :
1) если \lambda 1 < 0, то Rab(t) - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
0 почти наверное;
2) если \lambda 1 \geq 0, то Rab(t) - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
\infty по вероятности и процесс Rab является нуль-
возвратным диффузионным процессом.
Замечание 2. Мы обозначаем Ft(x) = F0,t(x).
Заметим, что изучение траекторий частиц, движущихся под действием потока жидкости,
может быть использовано для анализа свойств самого потока. Этот подход применен в ра-
боте [9]. Поэтому представляет интерес описание различных геометрических характеристик
системы частиц, движущихся под воздействием стохастического потока. Одной из таких харак-
теристик являются взаимные углы обхода частиц одна вокруг другой. Мы приводим решение
задачи об асимптотическом распределении взаимных углов обхода частиц в броуновском сто-
хастическом потоке. Точная формулировка полученного результата приводится в пункте 2. Для
независимых броуновских движений аналогичная задача решена в статье [10], где получен
следующий результат.
Теорема 2 [10]. Пусть w1, . . . , wn — независимые двумерные стандартные броуновские
движения, выходящие из попарно различных точек плоскости. Тогда для углов обхода \Phi ij(t)
траектории броуновского движения wi вокруг броуновского движения wj справедливо асимп-
тотическое соотношение
\biggl(
2
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\Phi ij(t), 1 \leq i < j \leq n
\biggr)
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
(\xi ij , 1 \leq i < j \leq n). Здесь \xi ij ,
1 \leq i < j \leq n, — независимые в совокупности случайные величины, имеющие распределение
Коши с параметром 1.
Замечание 3. Угол обхода непрерывной двумерной траектории X(t) = (X1(t), X2(t)), t \geq
\geq 0, вокруг точки 0 определяется как \Phi (t) - \Phi (0), где \Phi = \Phi (t) — непрерывная функция,
которая в каждый момент времени t является одной из версий аргумента комплексного числа
X1(t) + iX2(t), т. е. при всех t
\Phi (t) \in Arg(X1(t) + iX2(t)).
Такая функция существует и однозначно определена, если X1(t) + iX2(t) \not = 0 при t \geq 0.
Угол обхода \Phi (t) траектории X(s), 0 \leq s \leq t, вокруг Y (s), 0 \leq s \leq t, определяется как
угол обхода траектории Z(s) = Y (s) - X(s) вокруг точки 0. Он определен, если траектории X
и Y не пересекаются, т. е. X(s) \not = Y (s) при всех s \in [0, t]. Траектории независимых двумерных
винеровских процессов не пересекаются с вероятностью 1, поэтому углы обхода траекторий
одна вокруг другой определены почти наверное.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1201
В настоящей работе показано, что то же самое предельное соотношение выполнено для
траекторий частиц в броуновском стохастическом потоке, в котором функции bL и bN совпада-
ют: bL \equiv bN . Как и в рассмотренном в работе [10] случае независимых броуновских движений,
при доказательстве используется оценка роста совместной характеристики углов обхода частиц
\langle \Phi ab,\Phi ac\rangle t. Но если в случае независимых броуновских движений эта оценка может быть про-
ведена за счет явного нахождения математического ожидания \BbbE \langle \Phi ab,\Phi ac\rangle t, то в данном случае
изучение асимптотического поведения \langle \Phi ab,\Phi ac\rangle t гораздо более сложно. Основная сложность
состоит в том, что движения различных частиц в потоке теперь не являются независимыми.
Поэтому вместо понятия независимости приходится использовать понятие ортогональности
мартингалов.
Замечание 4. Естественно ожидать, что полученный нами результат выполнен в более об-
щем случае броуновского потока со старшим показателем Ляпунова, равным нулю. Однако
рассмотрение этого случая технически гораздо более сложно и требует дальнейшего исследо-
вания.
2. Основной результат.
Теорема 3. Пусть F — однородный изотропный броуновский стохастический поток, за-
даваемый стохастическим дифференциальным уравнением
dFt(x) = U(Ft(x), dt), x \in \BbbR 2, t \geq 0,
где U = U(x, t) — центрированное гауссовское случайное векторное поле,
\BbbE Ui(x, t)Uj(y, s) = bij(x - y)t \wedge s,
а матрица b имеет вид b(z) = (bij(z)) = (\delta ijbL(\| z\| )), 1 \leq i, j \leq 2, bL : [0,\infty ) \rightarrow \BbbR —
некоторая функция, удовлетворяющая следующи условиям: b0 = bL(0) = 1, bL(r) < 1 при
r > 0, bL \in C(4)([0,+\infty )), bL(r) \rightarrow 0(r \rightarrow \infty ),
\int \infty
0
r| b\prime L(r)| dr <\infty ,
\int \infty
0
r| b\prime L(r) - rb\prime \prime L(r)| dr <
<\infty , bL(r) = 1 - 1
2
\beta Lr
2 +O(r4), r \rightarrow 0+, для некоторого \beta L > 0.
Пусть Ft(x1), . . . , Ft(xn) — траектории потока F, выходящие из попарно различных точек
плоскости x1, . . . , xn. Тогда для углов обхода \Phi kl(t) траектории Ft(xk) вокруг траектории
Ft(xl) справедливо асимптотическое соотношение\biggl(
2
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\Phi kl(t), 1 \leq k < l \leq n
\biggr)
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
(\xi kl, 1 \leq k < l \leq n).
Здесь \xi kl, 1 \leq k < l \leq n, — независимые в совокупности случайные величины, имеющие
распределение Коши с параметром 1.
Замечание 5. Примером функции bL, удовлетворяющей условиям теоремы, является
bL(r) =
1
1 + r2
. В [11] (§ 3.6) показано, что bL(\| z\| ) является ковариационной функцией.
Для дальнейших рассмотрений нам понадобится следующее определение.
Определение 5. Броуновским движением, ассоциированным с непрерывным локальным
мартингалом M, называется такое броуновское движение \beta , что при всех t > 0 c веро-
ятностью 1 выполнено соотношение Mt = \beta (\langle M\rangle t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1202 В. А. КУЗНЕЦОВ
Заметим, что такое броуновское движение существует в силу известного результата Дэмби-
са – Дубинса – Шварца (см. теорему 18.4 в [12]).
При доказательстве теоремы 3 используется следующее утверждение из работы [13].
Теорема 4. Пусть (Mn
j , 1 \leq j \leq m) — последовательность таких m-компонентных на-
боров непрерывных локальных мартингалов, что для любых j, n
\langle Mn
j \rangle \infty = \infty ,
и для любой пары различных индексов j, k существует последовательность положительных
случайных величин Hn таких, что:
\langle Mn
j \rangle Hn
P - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
\infty , \langle Mn
k \rangle Hn
P - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
\infty ,
Hn\int
0
| d\langle Mn
j ,M
n
k \rangle s|
P - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
0,
где через
\int t
0
| df(s)| мы обозначена полная вариация функции f на [0, t].
Тогда при n \rightarrow \infty броуновские движения \beta nj , ассоциированные с Mn
j , асимптотически
независимы, т. е. (\beta nj , 1 \leq j \leq m)
d - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
(\beta \infty j , 1 \leq j \leq m), где (\beta \infty j , 1 \leq j \leq m) —
независимые броуновские движения.
Поясним, как применяется теорема 4 для получения основного результата в случае m = 3,
когда рассматриваются три траектории потока F (схема рассуждений в общем случае остается
такой же). Пусть a, b, c — попарно различные точки плоскости, \Phi ab(t) — угол обхода Ft(b)
вокруг Ft(a), \Phi ac(t) определяется аналогично, Rab(t) — расстояние между частицами a и b в
момент времени t. Для применения теоремы 4 нужно показать, что совместные характеристики
\langle \Phi ab,\Phi ac\rangle t, \langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rab, \mathrm{l}\mathrm{n}Rac\rangle t, \langle \Phi ab, \mathrm{l}\mathrm{n}Rab\rangle t, (7)
\langle \Phi ac, \mathrm{l}\mathrm{n}Rac\rangle t, \langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rab,\Phi ac\rangle t, \langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rac,\Phi ab\rangle t, (8)
в определенном смысле растут по времени t намного медленнее, чем характеристики
\langle \Phi ab\rangle t = \langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rab\rangle t, \langle \Phi ac\rangle t = \langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rac\rangle t.
Это соображение формализуется в наших утверждениях 6 и 15. Так, мы показываем, что
\langle \Phi ab\rangle t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
сходится по распределению к некоторой положительной с вероятностью 1 случайной величине,
а
\langle \Phi ab,\Phi ac\rangle t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
сходятся по вероятности к 0 при t\rightarrow \infty . Последующие рассуждения аналогичны
проведенным в статье [13] при исследовании асимптотического распределения углов обхода
двумерного броуновского движения вокруг нескольких точек плоскости. Полученные оценки
характеристик дают возможность применить теорему 4 к последовательности мартингалов
\mathrm{l}\mathrm{n}Rab
hn
,
\mathrm{l}\mathrm{n}Rac
hn
,
\Phi ab
hn
,
\Phi ac
hn
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1203
где hn — некоторая возрастающая бесконечно большая последовательность положительных
чисел. Таким образом, мы имеем асимптотическую независимость наборов\Bigl(
\beta
(hn)
ab , \beta (hn)ac , \gamma
(hn)
ab , \gamma (hn)ac
\Bigr)
,
полученных из ассоциированных с локальными мартингалами \mathrm{l}\mathrm{n}Rab, \mathrm{l}\mathrm{n}Rac, \Phi ab, \Phi ac бро-
уновских движений
(\beta ab, \beta ac, \gamma ab, \gamma ac)
с помощью перемасштабирования:
\beta
(hn)
ab (t) =
1
hn
\beta ab(h
2
nt), \beta (hn)ac (t) =
1
hn
\beta ac(h
2
nt),
\gamma
(hn)
ab (t) =
1
hn
\gamma ab(h
2
nt), \gamma (hn)ac (t) =
1
hn
\gamma ac(h
2
nt).
Итак, мы получаем слабую сходимость последовательности\Bigl(
\beta
(hn)
ab , \beta (hn)ac , \gamma
(hn)
ab , \gamma (hn)ac
\Bigr)
к набору независимых броуновских движений. В то же время, значения углов обхода \Phi ab(t),
\Phi ac(t) в моменты Tab(e
hn) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ t : Rab(t) = ehn\} , Tac(ehn) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ t : Rac(t) = ehn\} выхода
Rab(t), Rac(t) на уровень ehn выражаются через броуновские движения \beta
(hn)
ab , \beta
(hn)
ac , \gamma
(hn)
ab ,
\gamma
(hn)
ac :
\Phi ab(Tab(e
hn))
hn
= \gamma
(hn)
ab (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ u : \beta
(hn)
ab (u) = 1\} ),
\Phi ac(Tac(e
hn))
hn
= \gamma (hn)ac (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ u : \beta (hn)ac (u) = 1\} ).
Отсюда и из того, что \Phi ab(e
2hn), \Phi ac(e
2hn) хорошо приближаются случайными величинами
\Phi ab(Tab(e
hn)), \Phi ac(Tac(e
hn)) (см. утверждение 7), получаем соотношение\biggl(
\Phi ab(e
2hn)
hn
,
\Phi ac(e
2hn)
hn
\biggr)
d - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
(\xi 1, \xi 2),
где \xi 1, \xi 2 — независимые случайные величины со стандартным распределением Коши.
3. Вспомогательные результаты. В этом пункте мы приведем вспомогательные резуль-
таты, которые понадобятся для доказательства результатов следующих пунктов. Следующие
леммы касаются асимптотического поведения некоторых интегралов, содержащих модифици-
рованную функцию Бесселя второго рода K0(x).
Лемма 1. При любом a > 0
\infty \int
a
K0(\beta z)
z
dz \thicksim
1
2
(\mathrm{l}\mathrm{n}\beta )2, \beta \rightarrow 0 + .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1204 В. А. КУЗНЕЦОВ
Доказательство. Имеем
\infty \int
a
K0(\beta z)
z
dz =
\infty \int
\beta a
K0(x)
x
dx.
Поскольку K0(x) \thicksim - \mathrm{l}\mathrm{n}x, x \rightarrow 0+, и K0(x) \thicksim
\sqrt{}
\pi
2x
e - x, x \rightarrow +\infty (см., например, [14],
разд. 17.71, разложение в ряд модифицированных функций Бесселя), то
\infty \int
\beta a
K0(x)
x
dx \thicksim
1\int
\beta a
K0(x)
x
dx \thicksim -
1\int
\beta a
\mathrm{l}\mathrm{n}x
x
dx =
(\mathrm{l}\mathrm{n} (\beta a))2
2
\thicksim
(\mathrm{l}\mathrm{n}\beta )2
2
, \beta \rightarrow 0 + .
Лемма 2. Пусть непрерывные функции f, h : (0,+\infty ) \rightarrow (0,+\infty ) таковы, что f строго
возрастает на [a,+\infty ) при некотором a > 0, f непрерывно дифференцируема на (0,+\infty ) и
f \prime (y) \rightarrow 1 (y \rightarrow +\infty ), h(y) \thicksim y (y \rightarrow +\infty ). Тогда для любого R0 > 0
\infty \int
R0
K0(\beta f(y))
h(y)
dy \thicksim
1
2
(\mathrm{l}\mathrm{n}\beta )2, \beta \rightarrow 0 + .
Доказательство. Зафиксируем \varepsilon > 0. Покажем, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta \rightarrow 0
\int \infty
R0
K0(\beta f(y))
h(y)
dy
(\mathrm{l}\mathrm{n}\beta )2
\leq 1 + \varepsilon
2
. (9)
Обозначим \psi (z) = f - 1(z), z \in [f(a),+\infty ). Тогда \psi \prime (z) =
1
f \prime (\psi (z))
и при любом R > a
\infty \int
R
K0(\beta f(y))
h(y)
dy =
\infty \int
f(R)
K0(\beta z)
h(f - 1(z))
df - 1(z) =
\infty \int
f(R)
K0(\beta z)
h(\psi (z))f \prime (\psi (z))
dz.
Ясно, что \psi (z) \thicksim z (z \rightarrow \infty ), поэтому h(\psi (z))f \prime (\psi (z)) \thicksim z (z \rightarrow \infty ).
Выберем R1 > R0 \vee a так, что при z \geq R1
h(\psi (z))f \prime (\psi (z))
z
\geq 1
1 + \varepsilon
.
Тогда имеем
\infty \int
R0
K0(\beta f(y))
h(y)
dy \leq
\psi (R1)\int
R0
K0(\beta f(y))
h(y)
dy + (1 + \varepsilon )
\infty \int
R1
K0(\beta z)
z
dz.
Учитывая, что, как следует из предыдущей леммы,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta \rightarrow 0+
\int \infty
R1
K0(\beta z)
z
dz
(\mathrm{l}\mathrm{n}\beta )2
=
1
2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1205
а
\int \psi (R1)
R
K0(\beta f(y))
h(y)
dy имеет конечный предел при \beta \rightarrow 0 (при фиксированных R и R1),
получаем (9). В силу произвольности \varepsilon > 0 имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta \rightarrow 0
\int \infty
R0
K0(\beta f(y))
h(y)
dy
(\mathrm{l}\mathrm{n}\beta )2
\leq 1
2
.
Аналогичным образом получаем оценку нижнего предела:
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta \rightarrow 0
\int \infty
R0
K0(\beta f(y))
h(y)
dy
(\mathrm{l}\mathrm{n}\beta )2
\geq 1
2
.
Для доказательства утверждения 14 нам понадобится следующая лемма.
Лемма 3. Пусть W (s) =
\biggl(
W1(s)
W2(s)
\biggr)
— двумерный винеровский процесс, выходящий из
начала координат, B\delta (a) = \{ z \in \BbbR 2 : \| z - a\| \leq \delta \} . Тогда
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
a\in \BbbR 2
\mathrm{P}
\biggl(
\exists s \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr]
: W (s) \in B\delta (a)
\biggr)
= O
\left( \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
\right) , \delta \rightarrow 0 + .
Доказательство. Положим R1 =
1\sqrt{}
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
, R2 =
\sqrt{}
2 \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
. Пусть BR1(a), BR2(a) — круги
радиусов R1, R2 с центрами в точке a. Ясно, что при достаточно малых \delta > 0
B\delta (a) \subseteq BR1(a) \subseteq BR2(a).
Обозначим
\tau \delta = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\biggl\{
s \geq 1
2
: W (s) \in B\delta (a)
\biggr\}
, \tau R2 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\biggl\{
s \geq 1
2
: W (s) /\in BR2(a)
\biggr\}
.
Имеем
\mathrm{P}
\biggl(
\exists s \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr]
: W (s) \in B\delta (a)
\biggr)
= \mathrm{P}(\tau \delta \leq 1) \leq
\leq \mathrm{P}
\biggl(
W
\biggl(
1
2
\biggr)
\in BR1(a)
\biggr)
+ \mathrm{P}
\biggl(
W
\biggl(
1
2
\biggr)
\in BR2(a) \setminus BR1(a), \tau \delta \leq \tau R2
\biggr)
+
+\mathrm{P}
\biggl(
W
\biggl(
1
2
\biggr)
\in BR2(a) \setminus BR1(a), \tau R2 < \tau \delta \leq 1
\biggr)
+
+\mathrm{P}
\biggl(
W
\biggl(
1
2
\biggr)
/\in BR2(a),\exists s \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr]
: W (s) \in B\delta (a)
\biggr)
.
Оценим отдельные слагаемые в этой сумме. Очевидно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1206 В. А. КУЗНЕЦОВ
\mathrm{P}
\biggl(
W
\biggl(
1
2
\biggr)
\in BR1(a)
\biggr)
\leq 1
\pi
\pi R2
1 = R2
1.
Для оценки второго слагаемого заметим, что для бесселевского процесса Xt = \| Wt\|
функция s(x) = 2 \mathrm{l}\mathrm{n}x является функцией шкалы [15, с. 415]). Поэтому для любых точек
0 < r1 < r2 < r3 вероятность выхода процесса X с X0 = r2 из интервала (r1, r3) через левый
конец равна
\mathrm{l}\mathrm{n} r3 - \mathrm{l}\mathrm{n} r2
\mathrm{l}\mathrm{n} r3 - \mathrm{l}\mathrm{n} r1
.
Отсюда легко видеть, что
\mathrm{P}
\biggl(
W
\biggl(
1
2
\biggr)
\in BR2(a) \setminus BR1(a), \tau \delta \leq \tau R2
\biggr)
\leq \mathrm{l}\mathrm{n}R2 - \mathrm{l}\mathrm{n}R1
\mathrm{l}\mathrm{n}R2 - \mathrm{l}\mathrm{n} \delta
.
Оценим теперь вероятность
\mathrm{P}
\biggl(
W
\biggl(
1
2
\biggr)
\in BR2(a) \setminus BR1(a), \tau R2 < \tau \delta \leq 1
\biggr)
.
Пусть Z =W (\tau R2). В силу строго марковского свойства W (t+\tau R2) - W (\tau R2), t \geq 0, — двумер-
ный винеровский процесс, и его проекция на прямую OZ является одномерным винеровским
процессом w, w(0) = 0. Иными словами,
w(t) =
\biggl\langle
W (t+ \tau R2) - W (\tau R2),
W (\tau R2)
\| W (\tau R2)\|
\biggr\rangle
, t \geq 0,
— одномерный винеровский процесс (угловые скобки \langle \cdot \rangle обозначают скалярное произведение).
Обозначая \Psi (x) =
1\surd
2\pi
\int \infty
x
e -
u2
2 du и используя оценку
\Psi (x) \leq 1\surd
2\pi x
e -
x2
2 \leq e -
x2
2
при x \geq 1, при достаточно малых \delta > 0 получаем
\mathrm{P}
\biggl(
W
\biggl(
1
2
\biggr)
\in BR2(a) \setminus BR1(a), \tau R2 < \tau \delta \leq 1
\biggr)
\leq \mathrm{P}
\Biggl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0\leq s\leq 1
2
w(s) \leq - (R2 - \delta )
\Biggr)
=
= 2\mathrm{P}
\biggl(
w
\biggl(
1
2
\biggr)
\geq R2 - \delta
\biggr)
\leq 2\Psi (
\surd
2(R2 - \delta )) = o
\left( 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
\right) , \delta \rightarrow 0.
Аналогично оцениваем и последнее слагаемое:
\mathrm{P}
\biggl(
W
\biggl(
1
2
\biggr)
/\in BR2(a),\exists s \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr]
: W (s) \in B\delta (a)
\biggr)
\leq
\leq \mathrm{P}( \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
0\leq s\leq 1
2
w1(s) \leq - (R2 - \delta )) = o
\left( 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
\right) , \delta \rightarrow 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1207
где
w1(t) =
\Biggl\langle
W
\biggl(
t+
1
2
\biggr)
- W
\biggl(
1
2
\biggr)
,
W
\biggl(
1
2
\biggr)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| W \biggl(
1
2
\biggr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggr\rangle
, t \geq 0,
— одномерный винеровский процесс, w1(0) = 0. В итоге получаем
\mathrm{P}
\biggl(
\exists s \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr]
: W (s) \in B\delta (a)
\biggr)
\leq
\leq R2
1 +
\mathrm{l}\mathrm{n}R2 - \mathrm{l}\mathrm{n}R1
\mathrm{l}\mathrm{n}R2 - \mathrm{l}\mathrm{n} \delta
+ o
\left( 1
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
\right) = O
\left( \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\delta
\right) , \delta \rightarrow 0.
Заметим, что все полученные оценки равномерны по a \in \BbbR 2. Лемма доказана.
4. Аналог закона Спицера для угла обхода в броуновском потоке. Пусть F — бро-
уновский стохастический поток, удовлетворяющий условиям теоремы 3, a, b \in \BbbR 2, a \not = b.
Рассмотрим траектории потока Ft(a), Ft(b), выходящие из точек a и b. Отождествляя \BbbR 2 и \BbbC ,
можно записать
Ft(b) - Ft(a) = Rab(t)e
i\Phi ab(t)
F0(b) - F0(a)
\| F0(b) - F0(a)\|
,
где Rab(t) = \| Ft(b) - Ft(a)\| , \Phi ab(t) — непрерывная версия угла обхода траектории F (b) вокруг
F (a).
Замечание 6. Согласно [5], процесс Rab является решением стохастического дифференци-
ального уравнения
dRab(t) =
\sqrt{}
2(1 - bL(Rab(t)))dW
1
t +
1 - bL(Rab(t))
Rab(t)
dt,
а процесс \Phi ab удовлетворяет уравнению
d\Phi ab(t) =
\sqrt{}
2(1 - bL(Rab(t)))
Rab(t)
dW 2
t .
Здесь W 1, W 2 — независимые броуновские движения.
Следующая теорема является основной теоремой данного пункта и представляет собой
аналог закона Спицера для угла обхода \Phi ab(t).
Теорема 5. Имеет место
\Phi ab(t)
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} t
d - \rightarrow \xi , где \xi — случайная величина, имеющая стандартное
распределение Коши.
Пусть точки Ft(a), Ft(b) имеют координаты
Ft(a) =
\Biggl(
Xt(a)
Yt(a)
\Biggr)
, Ft(b) =
\Biggl(
Xt(b)
Yt(b)
\Biggr)
.
Введем обозначения Xab(t) = Xt(b) - Xt(a), Yab(t) = Yt(b) - Yt(a).
Применение изложенной в работе [4] техники вычислений с интегралами по семимартинга-
лам, зависящим от пространственного параметра, позволяет получить выражения для взаимных
характеристик отдельных компонент траекторий частиц.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1208 В. А. КУЗНЕЦОВ
Утверждение 3. Имеют место соотношения
\langle Xab, Xab\rangle (t) = \langle Yab, Yab\rangle (t) =
t\int
0
2(1 - bL(Rab(s)))ds,
\langle Xab, Yab\rangle (t) = 0.
Несложно получить следующие выражения для взаимных углов обхода частиц и расстояний
между частицами в рассматриваемом потоке.
Утверждение 4. Углы обхода частиц одна вокруг другой представляются в виде следую-
щих интегралов Ито:
\Phi ab(t) =
t\int
0
Xab(s)dYab(s) - Yab(s)dXab(s)
Xab(s)2 + Yab(s)2
.
Логарифмы попарных расстояний между частицами представляются в виде
\mathrm{l}\mathrm{n}Rab(t) - \mathrm{l}\mathrm{n}Rab(0) =
t\int
0
Xab(s)dXab(s) + Yab(s)dYab(s)
Xab(s)2 + Yab(s)2
.
Из предыдущих утверждений следует, что \mathrm{l}\mathrm{n}Rab, \Phi ab — ортогональные локальные мартин-
галы с характеристикой \langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rab\rangle t = \langle \Phi ab\rangle t =
\int t
0
2(1 - bL(Rab(s)))
Rab(s)2
ds. Пусть \beta , \gamma — ассоции-
рованные с \mathrm{l}\mathrm{n}Rab, \Phi ab броуновские движения, т. е.
\mathrm{l}\mathrm{n}Rab(t) = \beta
\left( t\int
0
2(1 - bL(Rab(s)))
Rab(s)2
ds
\right) , \beta (0) = \mathrm{l}\mathrm{n}Rab(0),
\Phi ab(t) = \gamma
\left( t\int
0
2(1 - bL(Rab(s)))
Rab(s)2
ds
\right) , \gamma (0) = 0.
Заметим, что броуновское движение \gamma не зависит от \beta в силу теоремы Найта (предложение 18.8
из [12]). Далее в этом пункте обозначаем R(t) = Rab(t). Введем также следующие обозначения:
w — некоторый одномерный винеровский процесс, не зависящий от \beta и \gamma , w(0) = 0, \tau a =
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ s > 0 : w(s) = a\} ; Ht = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Biggl\{
u > 0 :
\int u
0
e2\beta (s)
2(1 - bL(e\beta (s)))
ds = t
\Biggr\}
; \theta a = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ s > 0 :
\beta (s) = a\} , Tr = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ s > 0 : Rab(s) = r\} .
Докажем сначала, что
\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
\tau 1/2.
Переформулируем эту задачу в терминах процесса \beta . Имеем
t =
t\int
0
ds
d\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle s
d\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle s.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1209
Однако
d\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle s
ds
=
2(1 - bL(Rs))
R2
s
=
2(1 - bL(e
\beta (\langle lnR\rangle s)))
e2\beta (\langle lnR\rangle s)
. Следовательно,
t =
t\int
0
e2\beta (\langle lnR\rangle s)
2(1 - bL(e\beta (\langle lnR\rangle s)))
d\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle s =
\langle lnR\rangle t\int
0
e2\beta (s)
2(1 - bL(e\beta (s)))
ds.
Таким образом,
\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle t = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ u > 0 :
u\int
0
e2\beta (s)
2(1 - bL(e\beta (s)))
ds = t
\right\} ,
т. е.
\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle t = Ht, (10)
и рассматриваемая задача свелась к исследованию распределения некоторого момента останов-
ки для броуновского движения. Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 4. Для любого \varepsilon , 0 < \varepsilon <
1
2
, имеет место
\mathrm{P}
\bigl(
\theta (1/2 - \varepsilon ) ln t \leq Ht \leq \theta (1/2+\varepsilon ) ln t
\bigr)
- - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
1.
Доказательство. Покажем сначала, что
\mathrm{P}
\bigl(
Ht < \theta (1/2 - \varepsilon ) ln t
\bigr)
- - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
0.
Выберем x0 так, что bL(u) <
1
2
при u > ex0 . Теперь выберем t1 таким образом, что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
- \infty <x\leq x0
e2x
2(1 - bL(ex))
< t1 - \varepsilon 1 .
Тогда при t > t1 = t1(\varepsilon ) для всех x <
\biggl(
1
2
- \varepsilon
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n} t имеем:
e2x
2(1 - bL(ex))
< t1 - \varepsilon .
Следовательно, если t > t1 и \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0\leq s\leq Ht
\beta (s) \leq
\biggl(
1
2
- \varepsilon
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n} t, то
t =
Ht\int
0
e2\beta (s)
2(1 - bL(e\beta (s))
ds \leq t1 - \varepsilon Ht
и Ht \geq t\varepsilon . Таким образом, при t > t1 получаем:
\mathrm{P}
\bigl(
Ht < \theta (1/2 - \varepsilon ) ln t
\bigr)
= \mathrm{P}
\bigl(
t\varepsilon \leq Ht < \theta (1/2 - \varepsilon ) ln t
\bigr)
\leq \mathrm{P}
\bigl(
\theta (1/2 - \varepsilon ) ln t > t\varepsilon
\bigr)
\rightarrow 0 (t\rightarrow \infty ).
Теперь покажем, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1210 В. А. КУЗНЕЦОВ
\mathrm{P}
\bigl(
Ht > \theta (1/2+\varepsilon ) ln t
\bigr)
- - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
0.
При достаточно больших значениях t, t > t2 = t2(\varepsilon ), имеем
e2x
2(1 - bL(ex))
>
1
4
t1+\varepsilon ,
как только x >
\biggl(
1
2
+
1
2
\varepsilon
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n} t. Отсюда следует, что время, проведенное процессом \beta до мо-
мента Ht правее точки
\biggl(
1
2
+
\varepsilon
2
\biggr)
\mathrm{l}\mathrm{n} t, не превышает
t
1
4
t1+\varepsilon
= 4t - \varepsilon :
Ht\int
0
1\beta (s)\geq ( 1
2
+ \varepsilon
2
) ln tds \leq 4t - \varepsilon .
Таким образом, при t > t2 получаем
\mathrm{P}(Ht > \theta (1/2+\varepsilon ) ln t) \leq \mathrm{P}
\left(
\theta (1/2+\varepsilon ) ln t\int
\theta (1/2+ \varepsilon
2 ) ln t
e2\beta (s)
2(1 - bL(e\beta (s)))
ds \leq t
\right) \leq
\leq \mathrm{P}
\left(
\theta (1/2+\varepsilon ) ln t\int
\theta (1/2+ \varepsilon
2 ) ln t
1
4
t1+\varepsilon 1\beta (s)\geq ( 1
2
+ \varepsilon
2
) ln tds \leq t
\right) \leq \mathrm{P}
\left(
\theta (1/2+\varepsilon ) ln t\int
\theta (1/2+ \varepsilon
2 ) ln t
1\beta (s)\geq ( 1
2
+ \varepsilon
2
) ln tds \leq 4t - \varepsilon
\right) .
Однако, легко видеть (например, применив свойство самоподобия винеровского процесса), что
\mathrm{P}
\left(
\theta (1/2+\varepsilon ) ln t\int
\theta (1/2+ \varepsilon
2 ) ln t
1\beta (s)\geq ( 1
2
+ \varepsilon
2
) ln tds \leq 4t - \varepsilon
\right) \rightarrow 0, t\rightarrow \infty .
Лемма 4 доказана.
Теперь мы можем доказать следующее утверждение, характеризующее предельное распре-
деление момента остановки Ht :
Утверждение 5. Имеет место следующая сходимость по распределению:
Ht
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
\tau 1/2 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\biggl\{
s > 0 : w(s) =
1
2
\biggr\}
.
Доказательство. Это утверждение вытекает из следующих фактов:
1)
\biggl(
\theta (1/2 - \varepsilon ) ln t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
,
\theta (1/2+\varepsilon ) ln t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
\biggr)
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
\Bigl(
\tau 1/2 - \varepsilon , \tau 1/2+\varepsilon
\Bigr)
, что легко получается из свойства са-
моподобия винеровского процесса;
2) \mathrm{P}
\bigl(
\theta (1/2 - \varepsilon ) ln t \leq Ht \leq \theta (1/2+\varepsilon ) ln t
\bigr)
- - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
1 (это составляет содержание леммы 4).
3)
\Bigl(
\tau 1/2 - \varepsilon , \tau 1/2+\varepsilon
\Bigr)
d - - - \rightarrow
\varepsilon \rightarrow 0
(\tau 1/2, \tau 1/2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1211
Замечание 7. Легко видеть, что приведенные рассуждения показывают даже большее:\biggl(
\theta 1/2 ln t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
,
Ht
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
\biggr)
d - \rightarrow (\tau 1/2, \tau 1/2).
Из (10) вытекает следующее утверждение.
Утверждение 6. Имеет место сходимость
\langle \Phi ab\rangle t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
\tau 1/2.
Теперь перейдем к доказательству теоремы 5.
Доказательство.
\langle \Phi ab\rangle t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
\tau 1/2.
Заметим, что процессы \gamma и \langle \Phi ab\rangle t = \langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle t, t \geq 0, независимы. Действительно, как мы знаем,
\gamma и \beta независимы; но R(t) = elnRt = e\beta (Ht), а Ht измерим относительно \beta . Следовательно,
процесс R измерим относительно \beta , поэтому и \langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle t измерим относительно \beta и не зависит от
\gamma . Учитывая независимость \gamma и \langle \Phi ab\rangle , с использованием предыдущего утверждения получаем
\Phi ab(t)
\mathrm{l}\mathrm{n} t
=
\gamma (\langle \Phi ab\rangle t)
\mathrm{l}\mathrm{n} t
d
= \gamma
\biggl(
\langle \Phi ab\rangle t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
\biggr)
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
\gamma (\tau 1/2),
поэтому
\Phi ab(t)
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} t
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
2\gamma (\tau 1/2),
а последняя случайная величина имеет распределение Коши [16] (теорема 2.34).
Теорема 5 доказана.
Из следующего утверждения видно, что значения угла обхода \Phi ab(t), в некотором смысле,
хорошо приближаются значениями \Phi ab(T\surd t). Аналогичный результат для броуновских движе-
ний играет важную роль в исследовании совместного распределения углов обхода двумерного
броуновского движения вокруг нескольких точек [13].
Утверждение 7. Имеет место сходимость
\Phi ab(T\surd t) - \Phi ab(t)
\mathrm{l}\mathrm{n} t
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
0.
Доказательство. Заметим, что
\Phi ab(T\surd t) = \gamma (\langle \Phi ab\rangle (T\surd t)) = \gamma (\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle (T\surd t)) =
= \gamma (\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ s > 0 : R(s) =
\surd
t\} )) =
= \gamma (\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ s > 0 : \mathrm{l}\mathrm{n}R(s) = \mathrm{l}\mathrm{n} t/2\} )) =
= \gamma (\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ s > 0 : \beta (\langle \mathrm{l}\mathrm{n}R\rangle s) = \mathrm{l}\mathrm{n} t/2\} )) =
= \gamma (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ u > 0 : \beta (u) = \mathrm{l}\mathrm{n} t/2\} ) = \gamma (\theta 1/2 ln t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1212 В. А. КУЗНЕЦОВ
Здесь мы воспользовались тем, что для непрерывной возрастающей фукции f с f(0) = 0 и
любого y > 0 справедливо равенство
f (\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ s > 0 : \beta (f(s)) = y\} ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ u > 0 : \beta (u) = y\} .
Учитывая замечание 7, имеем\biggl(
\gamma (\theta 1/2 ln t)
\mathrm{l}\mathrm{n} t
,
\gamma (Ht)
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\biggr)
d
=
\biggl(
\gamma
\biggl(
\theta 1/2 ln t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
\biggr)
, \gamma
\biggl(
Ht
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
\biggr) \biggr)
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
\bigl(
\gamma (\tau 1/2), \gamma (\tau 1/2)
\bigr)
.
Отсюда
\gamma (\theta 1/2 ln t)
\mathrm{l}\mathrm{n} t
- \gamma (Ht)
\mathrm{l}\mathrm{n} t
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
0.
Утверждение 7 доказано.
5. Доказательства основных результатов. Всюду в этом пункте F — броуновский стохас-
тический поток, удовлетворяющий условиям теоремы 3. Рассмотрим траектории Ft(a), Ft(b),
Ft(c), вышедшие из попарно различных точек a, b, c \in \BbbR 2. Пусть точки Ft(a), Ft(b), Ft(c)
имеют координаты
Ft(a) =
\Biggl(
Xt(a)
Yt(a)
\Biggr)
, Ft(b) =
\Biggl(
Xt(b)
Yt(b)
\Biggr)
, Ft(c) =
\Biggl(
Xt(c)
Yt(c)
\Biggr)
.
Как и в предыдущем пункте, обозначаем
Xab(t) = Xt(b) - Xt(a), Xac(t) = Xt(c) - Xt(a),
Yab(t) = Yt(b) - Yt(a), Yac(t) = Yt(c) - Yt(a).
Применение изложенной в [4] техники позволяет получить следующие равенства.
Утверждение 8. Имеют место следующие соотношения:
\langle Xab, Xab\rangle (t) = \langle Yab, Yab\rangle (t) =
t\int
0
2(1 - bL(Rab(s)))ds,
\langle Xac, Xac\rangle (t) = \langle Yac, Yac\rangle (t) =
t\int
0
2(1 - bL(Rac(s)))ds,
\langle Xab, Xac\rangle (t) = \langle Yab, Yac\rangle (t) =
t\int
0
(1 + bL(Rbc(s)) - bL(Rab(s)) - bL(Rac(s)))ds.
Используя эти соотношения, а также представление взаимных углов обхода частиц в виде
стохастических интегралов (см. утверждение 4), получаем следующее утверждение для сов-
местных характеристик.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1213
Утверждение 9. Совместные характеристики углов обхода частиц одна вокруг другой
имеют вид
\langle \Phi ab,\Phi ac\rangle t =
t\int
0
(Xab(s)Xac(s) + Yab(s)Yac(s))(1 + bL(Rbc(s)) - bL(Rab(s)) - bL(Rac(s)))
(Xab(s)2 + Yab(s)2)(Xac(s)2 + Yac(s)2)
ds.
Полные вариации соответствующих характеристик таковы:
t\int
0
| d\langle \Phi ab,\Phi ac\rangle s| =
=
t\int
0
| (Xab(s)Xac(s) + Yab(s)Yac(s))(1 + bL(Rbc(s)) - bL(Rab(s)) - bL(Rac(s)))|
(Xab(s)2 + Yab(s)2)(Xac(s)2 + Yac(s)2)
ds.
Для характеристик имеют место следующие оценки.
Утверждение 10. Для некоторой постоянной C1 > 0 при всех t > 0 выполнено
\langle \Phi ab\rangle t \leq C1
t\int
0
1
R2
ab(s) \vee 1
ds,
t\int
0
| d\langle \Phi ab,\Phi ac\rangle s| \leq C1
t\int
0
1
Rab(s) \vee 1
1
Rac(s) \vee 1
ds.
Доказательство. Поскольку
1 - bL(x)
x2
\rightarrow 1
2
\beta L, x \rightarrow 0, и bL(x) \rightarrow 0, x \rightarrow \infty , то для
некоторого A > 0
1 - bL(x)
x2
\leq A
x2 \vee 1
при всех x > 0. Отсюда с учетом равенства
\langle \Phi ab\rangle t =
t\int
0
2(1 - bL(Rab(s)))
Rab(s)2
ds
непосредственно следует оценка
\langle \Phi ab\rangle t \leq C1
t\int
0
1
R2
ab(s) \vee 1
ds
с постоянной C1 = 2A.
Далее, из того, что функция bL(\| z\| ) неотрицательно определена, а bL(0) = 1, следует
существование таких векторов u, v, w \in \BbbR 3, что
\| u\| = \| v\| = \| w\| = 1, (u, v) = bL(Rab(s)), (u,w) = bL(Rac(s)), (v, w) = bL(Rbc(s)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1214 В. А. КУЗНЕЦОВ
Применяя неравенство Коши – Буняковского к векторам u - v, u - w, получаем
| 1 + \langle v, w\rangle - \langle u, v\rangle - \langle u,w\rangle | = | \langle u - v, u - w\rangle | \leq \| u - v\| \| u - w\| =
=
\sqrt{}
(u - v, u - v)
\sqrt{}
(u - w, u - w) =
\sqrt{}
2 - 2(u, v)
\sqrt{}
2 - 2(u,w) =
= 2
\sqrt{}
1 - (u, v)
\sqrt{}
1 - (u,w),
или \bigm| \bigm| 1 + bL(Rbc(s)) - bL(Rab(s)) - bL(Rac(s))
\bigm| \bigm| \leq 2
\sqrt{}
1 - bL(Rab(s))
\sqrt{}
1 - bL(Rac(s)).
Из неравенства Коши – Буняковского имеем\bigm| \bigm| Xab(s)Xac(s) + Yab(s)Yac(s)
\bigm| \bigm| \leq \sqrt{} Xab(s)2 + Yab(s)2
\sqrt{}
Xac(s)2 + Yac(s)2 = Rab(s)Rac(s).
Из предыдущих неравенств получаем\bigm| \bigm| (Xab(s)Xac(s) + Yab(s)Yac(s))(1 + bL(Rbc(s)) - bL(Rab(s)) - bL(Rac(s)))
\bigm| \bigm| \bigl(
Xab(s)2 + Yab(s)2
\bigr) \bigl(
Xac(s)2 + Yac(s)2
\bigr) \leq
\leq 2
\sqrt{}
1 - bL(Rab(s))
\sqrt{}
1 - bL(Rac(s))
Rab(s)Rac(s)
\leq 2A
(Rab(s) \vee 1)(Rac(s) \vee 1)
.
Отсюда следует требуемая оценка на
\int t
0
| d\langle \Phi ab,\Phi ac\rangle s| с C1 = 2A.
Утверждение 10 доказана.
В дальнейших рассуждениях мы оценим оценки на поведение характеристик \langle \Phi ab,\Phi ac\rangle t,
что сделает возможным применение теоремы 4 в доказательстве утверждения 17. Из этого
утверждения с помощью рассуждений, аналогичных используемым в работе [13], несложно
будет получить теорему 3.
Использование методов из статьи [8], основанных на применении тауберовых теорем к
преобразованию Лапласа математических ожиданий случайных величин вида
\int t
0
f(Xs)ds для
диффузионного нуль-возвратного процесса X, позволяет получить оценки, которые потребу-
ются для исследования асимптотического поведения характеристики \langle \Phi ab\rangle t :
Утверждение 11. Для любого r0 > 0 имеет место соотношение
\BbbE
t\int
0
1
Rab(s)2
1Rab(s)\geq r0ds \thicksim C2(\mathrm{l}\mathrm{n} t)
2, t\rightarrow \infty ,
для некоторой постоянной C2 > 0.
Доказательство. Вначале приведем некоторые сведения из теории диффузионных про-
цессов. Пусть X — диффузионный процесс, принимающий значения в (0,+\infty ) и удовлетворя-
ющий стохастическому дифференциальному уравнению
dXt = \mu (Xt) dt+ \sigma (Xt) dwt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1215
где w — винеровский процесс, функции \mu и \sigma локально липшицевы. Пусть f : (0,\infty ) \rightarrow \BbbR —
измеримая ограниченная функция. Обозначим \^L(\alpha ) = \BbbE x
\int \infty
0
e - \alpha tf(Xt) dt. Тогда имеет место
равенство (см. [8, 17])
\^L(\alpha ) = h(\alpha )
\infty \int
0
v1(x \wedge y, \alpha )v2(x \vee y, \alpha )f(y)M(dy).
Здесь M — мера скорости процесса X, имеющая плотность m(z) =
2
\sigma 2(z)s\prime (z)
, s(z) — функция
шкалы X, s\prime (z) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
-
\int z
z0
2\mu (y)
\sigma 2(y)
dy
\biggr)
, где z0 — произвольная точка (0,\infty ). Функции v1, v2
определяются соотношениями
Tc = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ t \geq 0 : Xt = c\} ,
v1(x, \alpha ) =
\left\{ \BbbE xe - \alpha Tc , x \leq c,
1
\BbbE ce - \alpha Tx
, x > c,
v2(x, \alpha ) =
\left\{
1
\BbbE ce - \alpha Tx
, x \leq c,
\BbbE xe - \alpha Tc , x > c,
где c — произвольная фиксированная точка (0,+\infty ).
Функция h(\alpha ) определяется через вронскиан v1, \infty v2 :
h(\alpha ) =
s\prime (x)
v\prime 1(x, \alpha )v2(x, \alpha ) - v1(x, \alpha )v\prime 2(x, \alpha )
.
Это выражение не зависит от выбора x.
Применим приведенный результат к процессу Rab. Будем далее в этом доказательстве
обозначать R(t) = Rab(t), t \geq 0. В [8] при изучении асимптотического поведения расстояния
между частицами в броуновском потоке была получена асимптотика функции h
h(\alpha ) \thicksim
K
2
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\alpha
, \alpha \rightarrow 0, (11)
где K > 0 — некоторая постоянная, для случая изотропного броуновского потока со стар-
шим показателем Ляпунова, равным нулю. Там же было получено выражение для функции
шкалы: s\prime (z) =
z0
z
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
-
\int z
z0
\delta (y)
y
dy
\biggr)
, где \delta (y) =
bL(y) - bN (y)
1 - bL(y)
, а z0 может быть выбрано
произвольным образом. В рассматриваемом случае bL(y) = bN (y) и \delta (y) = 0. Следовательно,
s\prime (z) =
z0
z
. Мы можем выбрать z0 = 1, и тогда m(z) =
z
1 - bL(z)
. Таким образом, получаем
\^L(\alpha ) = \BbbE x
\infty \int
0
e - \alpha tf(Rt)dt = h(\alpha )
\infty \int
0
v1(x \wedge y, \alpha )v2(x \vee y, \alpha )f(y) ydy
1 - bL(y)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1216 В. А. КУЗНЕЦОВ
Применим эту формулу для f(y) =
1
y2
1y\geq r0 . Итак,
\^L(\alpha ) = h(\alpha )
\infty \int
r0
v1(x \wedge y, \alpha )v2(x \vee y, \alpha ) dy
y(1 - bL(y))
.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть x \leq r0. Тогда
\^L(\alpha ) = h(\alpha )v1(x, \alpha )
\infty \int
r0
v2(y, \alpha )
dy
y(1 - bL(y))
.
Поскольку v1(x, \alpha ) \rightarrow 1 (\alpha \rightarrow 0), то, как легко видеть из определения функции v1 и возврат-
ности процесса R, остается исследовать асимптотическое поведение интеграла
I(\alpha ) =
\infty \int
r0
v2(y, \alpha )
dy
y(1 - bL(y))
.
Обозначим \phi (z) =
\int z
1
dx
\sigma (x)
, где \sigma (x) =
\sqrt{}
2(1 - bL(x)). Согласно результатам статьи [18]
(предложение 5.3), существуют такие y \star и \delta , \phi (y \star ) > \delta > 0, что при всех y \geq y \star и \alpha > 0
выполняются неравенства
K0
\bigl( \surd
2\alpha (\phi (y) - \delta )
\bigr)
K0(
\surd
2\alpha (\phi (y \star ) - \delta ))
\leq v2(y, \alpha )
v2(y \star , \alpha )
\leq
K0
\bigl( \surd
2\alpha (\phi (y) + \delta )
\bigr)
K0(
\surd
2\alpha (\phi (y \star ) + \delta ))
. (12)
Положим c = y \star . Тогда исследуемый интеграл разбивается на сумму двух интергралов:
I(\alpha ) =
c\int
r0
v2(y, \alpha )
dy
y(1 - bL(y))
+
\infty \int
c
v2(y, \alpha )
dy
y(1 - bL(y))
= I1(\alpha ) + I2(\alpha ).
Асимптотическое поведение первого из этих интегралов очевидно:
I1(\alpha ) =
c\int
r0
v2(y, \alpha )
dy
y(1 - bL(y))
- - - \rightarrow
\alpha \rightarrow 0
c\int
r0
dy
y(1 - bL(y))
.
Оценим теперь второй интеграл. Используя (12), имеем
v2(y
\star , \alpha )
\infty \int
c
K0
\bigl( \surd
2\alpha (\phi (y) - \delta )
\bigr)
K0(
\surd
2\alpha (\phi (y \star ) - \delta ))
dy
y(1 - bL(y))
\leq I2(\alpha ) =
\infty \int
c
v2(y, \alpha )
dy
y(1 - bL(y))
\leq
\leq v2(y
\star , \alpha )
\infty \int
c
K0
\bigl( \surd
2\alpha (\phi (y) + \delta )
\bigr)
K0(
\surd
2\alpha (\phi (y \star ) + \delta ))
dy
y(1 - bL(y))
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1217
На основании леммы 2 получаем
\infty \int
c
K0
\bigl( \surd
2\alpha (\phi (y) - \delta )
\bigr) dy
y(1 - bL(y))
\thicksim
\infty \int
c
K0
\bigl( \surd
2\alpha (\phi (y) + \delta )
\bigr) dy
y(1 - bL(y))
\thicksim
\thicksim
1
2
(\mathrm{l}\mathrm{n}
\surd
2\alpha )2 \thicksim
1
8
(\mathrm{l}\mathrm{n}\alpha )2 (\alpha \rightarrow 0).
Поскольку
K0
\bigl( \surd
2\alpha (\phi (y \star ) - \delta )
\bigr)
\thicksim K0
\bigl( \surd
2\alpha (\phi (y \star ) + \delta )
\bigr)
\thicksim - \mathrm{l}\mathrm{n}
\surd
2\alpha \thicksim - 1
2
\mathrm{l}\mathrm{n}\alpha (\alpha \rightarrow 0)
и
v2(c, \alpha ) \rightarrow 1 (\alpha \rightarrow 0),
то I2(\alpha ) \thicksim - 1
4
\mathrm{l}\mathrm{n}\alpha (\alpha \rightarrow 0). Следовательно, и I(\alpha ) \thicksim - 1
4
\mathrm{l}\mathrm{n}\alpha (\alpha \rightarrow 0). Поэтому из (11)
следует, что
\^L(\alpha ) \thicksim h(\alpha )v1(x, \alpha )I(\alpha ) \thicksim
K
8
(\mathrm{l}\mathrm{n}\alpha )2 (\alpha \rightarrow 0+).
2. Пусть x > r0. В этом случае имеем
\^L(\alpha ) = h(\alpha )
\infty \int
r0
v1(x \wedge y, \alpha )v2(x \vee y, \alpha ) 1
y(1 - bL(y))
dy =
= h(\alpha )
x\int
r0
v1(x \wedge y, \alpha )v2(x \vee y, \alpha ) 1
y(1 - bL(y))
dy +
+ h(\alpha )
\infty \int
x
v1(x \wedge y, \alpha )v2(x \vee y, \alpha ) 1
y(1 - bL(y))
dy =
= h(\alpha )v2(x, \alpha )
x\int
r0
v1(y, \alpha )
1
y(1 - bL(y))
dy +
+ h(\alpha )
\infty \int
x
v1(x \wedge y, \alpha )v2(x \vee y, \alpha ) 1
y(1 - bL(y))
dy.
Ясно, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\alpha \rightarrow 0
x\int
r0
v1(y, \alpha )
1
y(1 - bL(y))
dy =
x\int
r0
1
y(1 - bL(y))
dy.
С другой стороны, асимптотика
h(\alpha )
\infty \int
x
v1(x \wedge y, \alpha )v2(x \vee y, \alpha ) 1
y(1 - bL(y))
dy \thicksim
K
8
(\mathrm{l}\mathrm{n}\alpha )2, \alpha \rightarrow 0+,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1218 В. А. КУЗНЕЦОВ
следует из предыдущего пункта. Итак, в обоих случаях \^L(\alpha ) \thicksim
K
8
(\mathrm{l}\mathrm{n}\alpha )2, \alpha \rightarrow 0+ . Применяя
теперь тауберову теорему Караматы [19, c. 37], получаем
L(t) = \BbbE x
t\int
0
1
Rab(s)2
1Rab(s)\geq r0ds \thicksim C2(\mathrm{l}\mathrm{n} t)
2, t\rightarrow \infty ,
для некоторой константы C2 > 0.
Утверждение 11 доказано.
Утверждение 12. Имеет место асимптотическое соотношение
\BbbE
t\int
0
1
Rab(s)2 \vee 1
ds \thicksim C3
\surd
t \mathrm{l}\mathrm{n} t, t\rightarrow \infty , (13)
для некоторой постоянной C3 > 0.
Доказательство. Имеем
\BbbE
t\int
0
1
Rab(s)2 \vee 1
ds = \BbbE
t\int
0
1
Rab(s)2 \vee 1
1Rab(s)\leq 1ds+ \BbbE
t\int
0
1
Rab(s)2 \vee 1
1Rab(s)>1ds =
= \BbbE
t\int
0
1Rab(s)\leq 1ds+ \BbbE
t\int
0
1
Rab(s)2
1Rab(s)>1ds. (14)
Согласно [8] (предложение 6.1), справедливо соотношение
\BbbE
t\int
0
1Rab(s)\in (0,1]ds \thicksim C3
\surd
t \mathrm{l}\mathrm{n} t, t\rightarrow \infty , (15)
для некоторого C3 > 0. Из (5), (15) и утверждения 11 получаем (13).
Утверждение 13. Пусть f : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ) такова, что f(t) \rightarrow +\infty (t\rightarrow \infty ), R > 0
фиксировано, и для каждого t > 0 Bt — множество элементарных исходов, для которых
t\int
0
1Rab(s)\leq Rds \leq f(t)(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2.
Тогда
\mathrm{P}(Bt) \rightarrow 1, t\rightarrow \infty .
Доказательство. Обозначим
\alpha = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
r\leq R
2(1 - bL(r))
r2
> 0.
На множестве исходов \Omega \setminus Bt имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1219
\langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rab\rangle t =
t\int
0
2(1 - bL(Rs))
R2
s
ds \geq \alpha f(t)(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2.
Следовательно,
\mathrm{P}(\Omega \setminus Bt) \leq \mathrm{P}
\bigl(
\langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rab\rangle t \geq \alpha f(t)(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
\bigr)
\rightarrow 0, t\rightarrow \infty ,
так как
\langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rab\rangle t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
=
\langle \Phi ab\rangle t
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
\tau 1/2
согласно утверждению 6.
Утверждение 13 доказано.
Зафиксируем возрастающие функции f, g, h, k : (1,+\infty ) \rightarrow (0,+\infty ) такие, что f(t) \rightarrow
\rightarrow \infty (t \rightarrow \infty ), g(t) \rightarrow \infty (t \rightarrow \infty ), h(t) \rightarrow \infty (t \rightarrow \infty ), k(t) = 9(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2f(t), \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}(g(t)h(t)) =
= o(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} t), t\rightarrow \infty , f(t) = o(\mathrm{l}\mathrm{n} t), t\rightarrow \infty , f(t) = o(h(k(t))), t\rightarrow \infty , f(t) = o
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} k(t)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} k(t)
\biggr)
,
t\rightarrow \infty .
Замечание 8. Например, можно положить f(t) = \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} (t+ 107), g(t) = h(t) =
= \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} (t+ 10).
Применим к непрерывным локальным мартингалам X(a), X(b), X(c) процедуру ортого-
нализации Грама – Шмидта (см. [4, с. 63]). В результате получим набор локальных мартингалов
X(a), X \prime (b), X \prime (c), в котором X \prime (b) ортогонален X(a), X \prime (c) ортогонален X(a) и X \prime (b).
Аналогичная процедура для Y (a), Y (b), Y (c) даст набор локальных мартингалов Y (a), Y \prime (b),
Y \prime (c). Пусть \zeta t =
\biggl(
X \prime
t(c)
Y \prime
t (c)
\biggr)
, \xi t = Ft(c) - \zeta t. Легко видеть, что
\xi t =
t\int
0
bL(Rac(s)) - bL(Rab(s))bL(Rbc(s))
1 - bL(Rab(s))2
U(Fs(a), ds)+
+
t\int
0
bL(Rbc(s)) - bL(Rab(s))bL(Rac(s))
1 - bL(Rab(s))2
U(Fs(b), ds).
X \prime (c), Y \prime (c) — ортогональные непрерывные локальные мартингалы с совпадающей харак-
теристикой, причем X \prime (c), Y \prime (c) ортогональны также локальным мартингалам X(a) X(b),
Y (a), Y (b). Обозначим \eta t =
d\langle X \prime (c)\rangle t
dt
=
d\langle Y \prime (c)\rangle t
dt
. Тогда
\zeta t = \~w
\left( t\int
0
\eta sds
\right) ,
где \~w — двумерный винеровский процесс, не зависящий от \scrF ab = \sigma (Fs(a), Fs(b), 0 \leq s <\infty ),
\~w(0) = F0(c). Несложно показать, что
\eta t = 1 - (bL(Rab(t)))
2 - (bL(Rbc(t)) - bL(Rab(t))bL(Rac(t)))
2
(1 - bL(Rab(t)))2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1220 В. А. КУЗНЕЦОВ
Заметим, что \eta s \leq 1 почти наверное при всех s. Выберем R > 1 так, что \eta s \geq
3
4
при любом
s > 0 как только Rab(s) \geq R, Rac(s) \geq R, Rbc(s) \geq R. Возможность такого выбора R следует
из явного выражения для \eta s и сходимости bL(r) \rightarrow 0 (r \rightarrow \infty ). Обозначим для каждого t > 1
At =
\left\{ \omega \in \Omega :
t\int
0
1Rab(s)\leq Rds \leq (\mathrm{l}\mathrm{n} t)2f(t),
t\int
0
1Rac(s)\leq Rds \leq (\mathrm{l}\mathrm{n} t)2f(t),
t\int
0
1Rbc(s)\leq Rds \leq (\mathrm{l}\mathrm{n} t)2f(t)
\right\} ,
Aabt =
\left\{ \omega \in \Omega :
t\int
0
1Rab(s)\leq Rds \leq (\mathrm{l}\mathrm{n} t)2f(t)
\right\} .
Из утверждения 13 получаем P (At) \rightarrow 1 (t\rightarrow \infty ).
Утверждение 14. Имеет место асимптотическое соотношение
\BbbE
\left( \left( t\int
0
| d\langle \Phi ab,\Phi ac\rangle s|
\right) 1At
\right) = o((\mathrm{l}\mathrm{n} t)2), t\rightarrow \infty .
Доказательство. Используя утверждение 10, имеем
\BbbE
\left( \left( t\int
0
| d\langle \Phi ab,\Phi ac\rangle s|
\right) 1At
\right) \leq C1
t\int
0
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rac(s) \vee 1
1At
\biggr)
ds \leq
\leq C1
t\int
0
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1At
\biggr)
ds +
+ C1
t\int
0
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1
Rac(s) \vee 1
1At
\biggr)
ds.
Покажем, что
t\int
0
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1At
\biggr)
ds = o((\mathrm{l}\mathrm{n} t)2), t\rightarrow \infty .
Оценка второго слагаемого суммы аналогична.
Обозначим
Qs1 =
\biggl\{
\omega : Rab(s) \geq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)
\biggr\}
,
Qs2 =
\biggl\{
\omega : Rab(s) \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s), Rac(s) \geq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\biggr\}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1221
Qs3 =
\biggl\{
\omega : Rab(s) \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s), Rac(s) \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\biggr\}
.
Ясно, что
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1At
\biggr)
\leq
\leq \BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1Qs
1
1At
\biggr)
+
+\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1Qs
2
1At
\biggr)
+
+\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1Qs
3
1At
\biggr)
.
Оценим отдельно каждое из слагаемых.
1. Имеем \BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1Qs
1
1At
\biggr)
\leq 1
g(s)2
\mathrm{l}\mathrm{n} s
s
. Поэтому при k(t) \geq 1
t\int
k(t)
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1Qs
1
1At
\biggr)
ds \leq 1
g(k(t))2
t\int
1
\mathrm{l}\mathrm{n} s
s
ds =
1
g(k(t))2
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
2
.
(16)
2. Имеем \BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1Qs
2
1At
\biggr)
\leq 1
h(s)
\BbbE (
1
Rab(s)2 \vee 1
1At), поскольку
на Qs2 выполнено неравенство Rab(s)\vee Rac(s)\vee 1 \geq Rac(s) \geq h(s)(Rab(s)\vee 1) при достаточно
больших s. Поэтому
t\int
k(t)
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1Qs
2
1At
\biggr)
ds \leq
\leq
t\int
k(t)
1
h(s)
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s)2 \vee 1
1At
\biggr)
ds \leq 1
h(k(t))
t\int
k(t)
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s)2 \vee 1
1At
\biggr)
ds.
Используя определение множества At и утверждение 11, получаем
t\int
k(t)
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s)2 \vee 1
1At
\biggr)
ds \leq
\leq \BbbE
\left( t\int
0
1
Rab(s)2
1Rab(s)\geq 1ds
\right) + (\mathrm{l}\mathrm{n} t)2f(t) \leq C4(\mathrm{l}\mathrm{n} t)
2f(t)
для некоторого C4 > 0 при всех достаточно больших t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1222 В. А. КУЗНЕЦОВ
Следовательно,
t\int
k(t)
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1Qs
2
1At
\biggr)
ds \leq C4(\mathrm{l}\mathrm{n} t)
2 f(t)
h(k(t))
(17)
при достаточно больших t.
3. Оценка третьего слагаемого суммы потребует более сложных рассуждений. Имеем
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1Qs
3
\bigcap
At
\biggr)
\leq \BbbE
\biggl(
1
Rab(s)2 \vee 1
1Qs
3
\bigcap
At
\biggr)
=
= \BbbE
\biggl(
1
Rab(s)2 \vee 1
P
\Bigl(
Qs3 \cap At | \scrF ab
\Bigr) \biggr)
.
Оценим условную вероятность \mathrm{P}
\bigl(
Qs3 \cap At | \scrF ab
\bigr)
. Ясно, что на множестве At \subseteq \Omega при
k(t) = 9(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2f(t) \leq s \leq t
s\int
0
1Rab(s)\geq R,Rac(s)\geq R,Rbc(s)\geq Rds \geq
\geq s -
t\int
0
1Rab(s)<Rds -
t\int
0
1Rac(s)<Rds -
t\int
0
1Rbc(s)<Rds \geq s - 3(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2f(t) \geq 2
3
s,
s\int
0
\eta udu \geq 3
4
s\int
0
1Rab(s)\geq R,Rac(s)\geq R,Rbc(s)\geq Rds \geq
3
4
\times 2
3
s =
s
2
,
поэтому
s
2
\leq
s\int
0
\eta udu \leq s.
Следовательно, при k(t) \leq s \leq t
\mathrm{P}
\Bigl(
Qs3 \cap At | \scrF ab
\Bigr)
(\omega ) =
= \mathrm{P}
\biggl(
\omega \in At, Rab(s) \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s), Rac(s) \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrF ab
\biggr)
\leq
\leq \mathrm{P}
\biggl(
\omega \in At, Rac(s) \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrF ab
\biggr)
=
= \mathrm{P}
\biggl(
\omega \in At, \| Fs(c) - Fs(a)\| \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrF ab
\biggr)
=
= \mathrm{P}
\biggl(
\omega \in At, \| \xi s + \zeta s - Fs(a)\| \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrF ab
\biggr)
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1223
\leq \mathrm{P}
\left( \omega \in At,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \xi s + \~w
\left( s\int
0
\eta udu
\right) - Fs(a)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrF ab
\right) \leq
\leq \mathrm{P}
\biggl(
\omega \in Aabt , \exists \tau \in
\Bigl[ s
2
, s
\Bigr]
: \| \xi s + \~w(\tau ) - Fs(a)\| \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrF ab
\biggr)
=
= 1\omega \in Aab
t
\mathrm{P}
\biggl(
\exists \tau \in
\Bigl[ s
2
, s
\Bigr]
: \| \xi s + \~w(\tau ) - Fs(a)\| \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrF ab
\biggr)
.
Ясно, что
\mathrm{P}
\biggl(
\exists \tau \in
\Bigl[ s
2
, s
\Bigr]
: \| \xi s + \~w(\tau ) - Fs(a)\| \leq
\surd
s\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrF ab
\biggr)
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbR 2
\mathrm{P}
\biggl(
\exists \tau \in
\Bigl[ s
2
, s
\Bigr]
: \~w(\tau ) \in B \surd
s\surd
ln s
g(s)h(s)
(z)
\biggr)
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbR 2
\mathrm{P}
\biggl(
\exists \tau \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr]
: \~w(\tau ) \in B 1\surd
ln s
g(s)h(s)(z)
\biggr)
.
Применяя лемму 3, получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbR 2
\mathrm{P}
\biggl(
\exists \tau \in
\biggl[
1
2
, 1
\biggr]
: \~w(\tau ) \in B 1\surd
ln s
g(s)h(s)(z)
\biggr)
\leq C5
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}
\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\mathrm{l}\mathrm{n}
\surd
\mathrm{l}\mathrm{n} s
g(s)h(s)
\leq C6
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} s
для некоторых C5, C6 > 0 при всех достаточно больших s. Следовательно,
\mathrm{P}
\Bigl(
Qs3 \cap At | \scrF ab
\Bigr)
\leq C6
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} s
1Aab
t
.
Значит,
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s)2 \vee 1
P
\Bigl(
Qs3 \cap At | \scrF ab
\Bigr) \biggr)
\leq C6
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} s
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s)2 \vee 1
1Aab
t
\biggr)
.
Отсюда для достаточно больших t получаем
t\int
k(t)
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1Qs
3
1At
\biggr)
ds \leq
\leq
t\int
k(t)
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s)2 \vee 1
P (Qs3 \cap At | \scrF ab)
\biggr)
ds \leq
\leq C6
t\int
k(t)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} s
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} s
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s)2 \vee 1
1Aab
t
\biggr)
ds \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1224 В. А. КУЗНЕЦОВ
\leq C6
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} k(t)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} k(t)
\BbbE
\left( t\int
k(t)
1
Rab(s)2 \vee 1
1Aab
t
ds
\right) .
Но, используя утверждение 11 и определение множества Aabt , имеем
\BbbE
\left( t\int
k(t)
1
Rab(s)2 \vee 1
1Aab
t
ds
\right) \leq \BbbE
\left( t\int
0
1
Rab(s)2
1Rab(s)\geq 1ds
\right) + (\mathrm{l}\mathrm{n} t)2f(t) \thicksim
\thicksim C7(\mathrm{l}\mathrm{n} t)
2f(t), t\rightarrow \infty ,
при некотором C7 > 0.
Итак, при некотором C8 > 0 для всех достаточно больших t получаем
t\int
k(t)
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1Qs
3
1At
\biggr)
ds \leq C8
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} k(t)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} k(t)
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2f(t). (18)
Из утверждения 12 следует, что
k(t)\int
0
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1At
\biggr)
ds \leq
k(t)\int
0
\BbbE
1
Rab(s)2 \vee 1
ds \thicksim
\thicksim C3
\sqrt{}
k(t) \mathrm{l}\mathrm{n} k(t) = o((\mathrm{l}\mathrm{n} t)2), t\rightarrow \infty . (19)
Теперь из (16) – (19) при достаточно больших t имеем
t\int
0
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1At
\biggr)
ds \leq
\leq
k(t)\int
0
\BbbE
\biggl(
1
Rab(s) \vee 1
1
Rab(s) \vee Rac(s) \vee 1
1At
\biggr)
ds+
1
g(k(t))2
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
2
+
+C4(\mathrm{l}\mathrm{n} t)
2 f(t)
h(k(t))
+ C8
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} k(t)
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} k(t)
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2f(t) = o((\mathrm{l}\mathrm{n} t)2), t\rightarrow \infty .
Утверждение 14 доказано.
Утверждение 15. Имеет место сходимость\int t
0
| d\langle \Phi ab,\Phi ac\rangle s|
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
P - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
0.
Доказательство. Это утверждение явяется следствием утверждения 14 и того факта, что
\mathrm{P}(At) \rightarrow 1 (t\rightarrow \infty ).
Аналогичные рассуждения позволяют получить следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1225
Утверждение 16. Для попарно различных точек плоскости a, b, c, d имеет место\int t
0
| d\langle \Phi ab,\Phi cd >s |
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
P - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
0.
Рассмотрим в условиях теоремы 3 траектории частиц Ft(xi), 1 \leq i \leq m, выходящие из
попарно различных точек плоскости x1, . . . , xm. Для каждой пары частиц k, l, k \not = l обозначим
Rkl(t) = \| Ft(xk) - Ft(xl)\| , \Phi kl(t) — угол обхода траектории Fs(xk) вокруг частицы Fs(xl) к
моменту времени t. В предыдущих рассуждениях мы показали, что\int t
0
| d\langle \Phi ij ,\Phi kl >t |
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
P - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
0
при \{ i, j\} \not = \{ k, l\} . Несложно проверить, что для всех i, j, k, l имеет место соотношение
\langle \Phi ij ,\Phi kl\rangle t = \langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rij , \mathrm{l}\mathrm{n}Rkl\rangle t.
Поэтому \int t
0
| d\langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rij , \mathrm{l}\mathrm{n}Rkl\rangle t|
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
P - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
0
при \{ i, j\} \not = \{ k, l\} . Также можно показать, что\int t
0
| d\langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rij ,\Phi kl >s |
(\mathrm{l}\mathrm{n} t)2
P - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
0
при \{ i, j\} \not = \{ k, l\} .
В дальнейших выкладках мы будем использовать обозначение
f (h)(u) =
1
h
f(h2u), h > 0.
Приведенные оценки позволяют получить следующий результат.
Утверждение 17. Пусть \{ \alpha n\} — такая последовательность положительных чисел, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \alpha n = +\infty . Пусть (\beta kl, \gamma kl, 1 \leq k < l \leq m) — ассоциированные с локальными мар-
тингалами (\mathrm{l}\mathrm{n}Rkl, \Phi kl, 1 \leq k < l \leq m) броуновские движения (см. определение 5). Тогда\Bigl(
\beta
(\alpha n)
kl , \gamma
(\alpha n)
kl , 1 \leq k < l \leq m
\Bigr)
d - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
\bigl(
\beta \infty kl , \gamma
\infty
kl , 1 \leq k < l \leq m
\bigr)
,
где \beta \infty kl , \gamma
\infty
kl , 1 \leq k < l \leq m, — независимые в совокупности броуновские движения,
\beta
(a)
kl (t) =
1
a
\beta kl(a
2t), \gamma
(a)
kl (t) =
1
a
\gamma kl(a
2t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1226 В. А. КУЗНЕЦОВ
Доказательство. Из утверждений 15, 16 следует, что существует такая последовательность
\{ Hn\} , что Hn \rightarrow \infty (n \rightarrow \infty ), \alpha n = o(\mathrm{l}\mathrm{n}Hn) (n \rightarrow \infty ), для любых p, q, k, l, \{ p, q\} \not = \{ k, l\} ,
выполнено \int Hn
0
| d\langle \Phi pq,\Phi kl\rangle Hn |
\alpha 2
n
=
\int Hn
0
| d\langle \mathrm{l}\mathrm{n}Rpq, \mathrm{l}\mathrm{n}Rkl\rangle Hn |
\alpha 2
n
P - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
0.
Рассмотрим последовательность наборов локальных мартингалов\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}Rkl
\alpha n
,
\Phi kl
\alpha n
, 1 \leq k < l \leq m
\biggr)
, n = 1, 2, 3, . . . ,
и пусть (\beta nkl, \gamma
n
kl, 1 \leq k < l \leq m) — ассоциированные с этими локальными мартингалами
броуновские движения (см. определение 5). Заметим, что имеют место соотношения
\beta nkl(s) =
1
\alpha n
\beta kl(\alpha
2
ns), s \geq 0,
\gamma nkl(s) =
1
\alpha n
\gamma kl(\alpha
2
ns), s \geq 0.
Утверждение 6 и условия на последовательность \{ Hn\} делают возможным применение теоре-
мы 4 к последовательности локальных мартингалов\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}Rkl
\alpha n
,
\Phi kl
\alpha n
, 1 \leq k < l \leq m
\biggr)
, n = 1, 2, 3, . . . .
Следовательно, имеет место следующая слабая сходимость в пространстве C[0,\infty ):\bigl(
\beta nkl, \gamma
n
kl, 1 \leq k < l \leq m
\bigr) d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
\bigl(
\beta \infty kl , \gamma
\infty
kl , 1 \leq k < l \leq m
\bigr)
,
где \beta \infty kl , \gamma
\infty
kl , 1 \leq k < l \leq m, — независимые в совокупности броуновские движения.
Утверждение 17 доказано.
Отсюда несложно получить основной результат статьи (теорему 3). Рассуждения при этом
аналогичны используемым в работе [13] при исследовании совместного асимптотического рас-
пределения углов обхода двумерного броуновского движения вокруг нескольких точек плоско-
сти. Так, мы рассматриваем случайные моменты времени
Tkl(r) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ s > 0 : Rkl(s) = r\}
и показываем, что углы обхода \Phi kl(t) в некотором смысле хорошо приближаются углами
\Phi kl(Tkl(
\surd
t)). Точнее говоря, согласно утверждению 7
\Phi kl(t) - \Phi kl
\bigl(
Tkl(
\surd
t)
\bigr)
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} t
P - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
0,
в то время как
\Phi kl
\bigl(
Tkl(
\surd
t)
\bigr)
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} t
d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
\xi ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ВЗАИМНЫЕ УГЛЫ ОБХОДА ЧАСТИЦ В БРОУНОВСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ . . . 1227
где \xi — случайная величина, имеющая стандартное распределение Коши. Остается показать,
что \left( 1
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\Phi kl
\Bigl(
Tkl(
\surd
t)
\Bigr)
, 1 \leq k < l \leq m)
\right) d - - - \rightarrow
t\rightarrow \infty
(\xi kl, 1 \leq k < l \leq m), (20)
где \xi kl — независимые случайные величины с распределением Коши. Последнее соотношение
получается из утверждения 17 применением следующей леммы из работы [13].
Лемма 5. Допустим, что для всех j = 1, . . . , k и n = 1, 2, . . . , Xn
j — такие случайные
элементы со значениями в сепарабельном метрическом пространстве Sj , что для каждого j
распределение Xn
j не зависит от n, и при n\rightarrow \infty
(Xn
j , j = 1, . . . , k)
d - \rightarrow (Xj , j = 1, . . . , k).
Тогда для измеримых борелевских функций \phi j : Sj \rightarrow Tj со значениями в некоторых сепара-
бельных метрических пространствах Tj имеет место сходимость
(\phi j(X
n
j ), j = 1, . . . , k)
d - \rightarrow (\phi j(Xj), j = 1, . . . , k).
Итак, пусть \{ tn\} — произвольная последовательность, удовлетворяющая условию tn \rightarrow +\infty
(n\rightarrow \infty ). Положим \alpha n =
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} tn, и пусть, как в доказательстве утверждения 17,
\beta nkl(s) =
1
\alpha n
\beta kl(\alpha
2
ns), s \geq 0,
\gamma nkl(s) =
1
\alpha n
\gamma kl(\alpha
2
ns), s \geq 0.
Мы применяем лемму 5 к наборам двумерных броуновских движений Xn
kl, где
Xn
kl(t) = \beta nkl(t) - \beta nkl(0) + i\gamma nkl(t),
а в качестве \phi j : C[0,\infty )\times C[0,\infty ) \rightarrow \BbbR используем одну и ту же функцию
\phi (u(\cdot ), v(\cdot )) = \phi (u(\cdot ) + iv(\cdot )) = v(\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ s : u(s) = 1\} ).
Применение леммы дает сходимость по распределению набора случайных величин \gamma nkl(\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ u :
\beta nkl(u) - \beta nkl(0) = 1\} ) к набору независимых случайных величин с распределением Коши. Легко
видеть, что \beta nkl(0) - - - \rightarrow n\rightarrow \infty
0 при всех k < l и
\gamma nkl
\bigl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ u : \beta nkl(u) = 1\}
\bigr)
- \gamma nkl
\bigl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ u : \beta nkl(u) - \beta nkl(0) = 1\}
\bigr) P - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
0.
Следовательно, и\bigl(
\gamma nkl(\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ u : \beta nkl(u) = 1\} ), 1 \leq k < l \leq m
\bigr) d - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
(\xi kl, 1 \leq k < l \leq m),
где \xi kl — независимые случайные величины с распределением Коши.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1228 В. А. КУЗНЕЦОВ
Заметим, что справедливо равенство
1
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} tn
\Phi kl
\bigl(
Tkl(
\surd
tn)
\bigr)
= \gamma nkl(\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ u : \beta nkl(u) = 1\} ).
Тем самым, имеем\left( 1
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} tn
\Phi kl
\bigl(
Tkl(
\surd
tn)
\bigr)
, 1 \leq k < l \leq m)
\right) d - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
(\xi kl, 1 \leq k < l \leq m).
Поскольку последовательность \{ tn\} произвольна, мы получили (20), и доказательство теоре-
мы 3 завершено.
Литература
1. Монин А. С., Яглом И. М. Статистическая гидромеханика: В 2 ч. – М.: Наука, 1967. – Ч. 2. – 720 с.
2. Le Jan Y. On isotropic Brownian motions // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb. – 1985. – 70, No 1. –
P. 609 – 620.
3. Kesten H., Papanicolaou G. A limit theorem for turbulent diffusion // Communs Math. Phys. – 1979. – 65, No 2. –
P.97 – 128.
4. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. – Cambridge: Univ. Press, 1997. – 346 p.
5. Zirbel C. L., Woyczyński W. A. Rotation of particles in polarized Brownian flows // Stochastics and Dynamics. – 2002.
– 2, No 1. – P.109 – 129.
6. Yaglom A. M. correlation theory of stationary and related random functions. – New York: Springer, 1987. – 258 p.
7. Baxendale P. H. The Lyapunov spectrum of a stochastic flow of diffeomorphisms // Lyapunov Exponents: Lect. Notes
Math. – New York: Springer, 1986. – 1186. – P. 322 – 337.
8. Zirbel C. L., Woyczyński W. A. Mean occupation times of continuous one-dimensional Markov processes // Stochast.
Process. and Appl. – 1997. – 69, No 2. – P.161 – 178.
9. Jean-Luc Thiffeault. Braids of entangled particle trajectories // Chaos. – 2010. – 20, No 1.
10. Marc Yor. Etude asymptotique des nombres de tours de plusieurs mouvements browniens complexes correles // Progr.
Probab. – 1991. – 28. – P. 441 – 455.
11. Zirbel C. L. Stochastic flows — dispersion of a mass distribution and Lagrangian observations of a random field: PhD
Thesis. – Princeton University, 1993.
12. Kallenberg O. Foundations of modern probability. – Springer, 2002. – 638 p.
13. Jim Pitman, Marc Yor. Asymptotic laws of planar Brownian motion // Ann. Probab. – 1986. – 14, No 3. – P. 733 – 779.
14. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. – М., 1963. – Ч. 2. – 516 с.
15. Daniel Revuz, Mare Yor. Continuous martingales and Brownian motion. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1991. –
535 p.
16. Mörters P., Peres Y. Brownian motion. – Cambridge Univ. Press, 2010. – 416 p.
17. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. – М.: Мир, 1968. – 396 c.
18. Zirbel C. L., Woyczyński W. A. Translation and dispersion of mass by isotropic Brownian flows // Stochast. Process.
and Appl. – 1997. – 70, No 1. – P. 1 – 29.
19. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge Univ. Press, 1987. – 494 p.
Получено 29.03.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1915 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:10Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/42/3562b8e4fba924919a813e098ff97c42.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19152019-12-05T09:31:35Z Mutual winding angles of particles in Brownian stochastic flows with zero top Lyapunov exponent Взаимные углы обхода частиц в броуновских стохастических потоках со старшим показателем Ляпунова, равным нулю Kuznetsov, V. A. Кузнецов, В. А. Кузнецов, В. А. The investigation of the geometric properties of particles moving in stochastic flows leads to the study of their mutual winding angles. The same problem for independent Brownian motions was solved in [10]. We generalize these results to the case of isotropic Brownian stochastic flows with top Lyapunov exponent equal to zero. Дослiдження геометричних властивостей траєкторiй частинок у стохастичних потоках приводить до вивчення їхнiх взаємних кутiв обходу. Для незалежних двовимiрних броунiвських рухiв вiдповiдну задачу розв’язав М. Йор. Ми узагальнюємо цей результат на випадок iзотропних броунiвських стохастичних потокiв зi старшим показником Ляпунова, що дорiвнює нулю. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1915 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 9 (2016); 1197-1228 Український математичний журнал; Том 68 № 9 (2016); 1197-1228 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1915/897 Copyright (c) 2016 Kuznetsov V. A. |
| spellingShingle | Kuznetsov, V. A. Кузнецов, В. А. Кузнецов, В. А. Mutual winding angles of particles in Brownian stochastic flows with zero top Lyapunov exponent |
| title | Mutual winding angles of particles in Brownian stochastic flows with zero top Lyapunov exponent |
| title_alt | Взаимные углы обхода частиц в броуновских стохастических потоках
со старшим показателем Ляпунова, равным нулю
|
| title_full | Mutual winding angles of particles in Brownian stochastic flows with zero top Lyapunov exponent |
| title_fullStr | Mutual winding angles of particles in Brownian stochastic flows with zero top Lyapunov exponent |
| title_full_unstemmed | Mutual winding angles of particles in Brownian stochastic flows with zero top Lyapunov exponent |
| title_short | Mutual winding angles of particles in Brownian stochastic flows with zero top Lyapunov exponent |
| title_sort | mutual winding angles of particles in brownian stochastic flows with zero top lyapunov exponent |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1915 |
| work_keys_str_mv | AT kuznetsovva mutualwindinganglesofparticlesinbrownianstochasticflowswithzerotoplyapunovexponent AT kuznecovva mutualwindinganglesofparticlesinbrownianstochasticflowswithzerotoplyapunovexponent AT kuznecovva mutualwindinganglesofparticlesinbrownianstochasticflowswithzerotoplyapunovexponent AT kuznetsovva vzaimnyeuglyobhodačasticvbrounovskihstohastičeskihpotokahsostaršimpokazatelemlâpunovaravnymnulû AT kuznecovva vzaimnyeuglyobhodačasticvbrounovskihstohastičeskihpotokahsostaršimpokazatelemlâpunovaravnymnulû AT kuznecovva vzaimnyeuglyobhodačasticvbrounovskihstohastičeskihpotokahsostaršimpokazatelemlâpunovaravnymnulû |