Classical solutions of parabolic initial-boundary value problems and Hormander spaces.
For the second-order linear parabolic differential equations with complex-valued coefficients, we establish new sufficient conditions under which the generalized solutions of these problems are continuous. The conditions are formulated in the terms of belonging of the right-hand sides of these probl...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1916 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507805257039872 |
|---|---|
| author | Los’, V. M. Лось, В. М. |
| author_facet | Los’, V. M. Лось, В. М. |
| author_sort | Los’, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:35Z |
| description | For the second-order linear parabolic differential equations with complex-valued coefficients, we establish new sufficient
conditions under which the generalized solutions of these problems are continuous. The conditions are formulated in the
terms of belonging of the right-hand sides of these problems to certain anisotropic Ho¨rmander spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
В. М. Лось (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Чернiгiв. нац. технол. ун-т)
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
I ПРОСТОРИ ХЕРМАНДЕРА
For the second-order linear parabolic differential equations with complex-valued coefficients, we establish new sufficient
conditions under which the generalized solutions of these problems are continuous. The conditions are formulated in the
terms of belonging of the right-hand sides of these problems to certain anisotropic Hor̈mander spaces.
Дослiдження геометричних властивостей траєкторiй частинок у стохастичних потоках приводить до вивчення їхнiх
взаємних кутiв обходу. Для незалежних двовимiрних броунiвських рухiв вiдповiдну задачу розв’язав М. Йор. Ми
узагальнюємо цей результат на випадок iзотропних броунiвських стохастичних потокiв зi старшим показником
Ляпунова, що дорiвнює нулю.
1. Вступ. Cучасну теорiю загальних параболiчних початково-крайових задач розроблено для
шкал функцiональних просторiв Гельдера i Соболєва [1 – 6]. Основнi її результати — теореми
про коректну розв’язнiсть (за Адамаром) цих задач та про регулярнiсть їхнiх розв’язкiв у
вказаних просторах.
У цiй теорiї особливе мiсце займають мiшанi задачi для рiвнянь другого порядку, що по-
в’язано з їхнiми численними застосуваннями. Актуальним є питання про те, за яких умов
узагальнений розв’язок такої задачi є класичним, тобто коли диференцiальнi оператори засто-
совуються до розв’язкiв за допомогою лише класичних похiдних. У роботах [2, 7 – 10] вiдповiдь
на це питання отримано для задач з дiйсними коефiцiєнтами. Результати сформульовано, як
правило, у термiнах належностi правих частин задачi деяким просторам Гельдера або Соболєва.
Л. Хермандер [11] (п. 2.2) ввiв i дослiдив широкi класи функцiональних нормовних про-
сторiв, для яких показником регулярностi розподiлiв є не число, як у просторах Гельдера i
Соболєва, а досить загальний функцiональний параметр, що залежить вiд частотних змiн-
них. Останнiй дозволяє охарактеризувати регулярнiсть розподiлiв iстотно бiльш тонко, нiж
числовий параметр. Серед просторiв Хермандера окреме мiсце займають гiльбертовi простори
H\mu (\BbbR n) := \scrB 2,\mu , де \mu — функцiональний параметр, та їхнi аналоги для евклiдових областей i
гладких многовидiв. Якщо \mu (\xi ) = (1 + | \xi | 2)s/2 як функцiя вiд \xi \in \BbbR n, то H\mu (\BbbR n) — гiльбертiв
простiр Соболєва порядку s \in \BbbR . Простори Хермандера та їхнi рiзнi узагальнення знайшли
чимало застосувань в аналiзi i теорiї диференцiальних рiвнянь [11 – 21].
Так, В. А. Михайлець i О. О. Мурач [19 – 26] побудували теорiю загальних елiптичних
диференцiальних операторiв i елiптичних крайових задач у гiльбертових шкалах iзотропних
просторiв Хермандера. Зокрема, було отримано бiльш тонкi, нiж це дозволяє соболєвська шкала,
умови класичностi узагальнених розв’язкiв елiптичних задач.
У роботах [27 – 36] дослiджено мiшанi параболiчнi задачi у гiльбертових просторах Хер-
мандера. Зокрема [31], отримано новi умови класичностi узагальнених розв’язкiв параболiчної
початково-крайової задачi з однорiдними початковими даними Кошi.
У статтях [34, 35] доведено теореми про коректну розв’язнiсть початково-крайових задач
для загального лiнiйного параболiчного рiвняння другого порядку у придатних парах гiльбер-
тових просторiв Хермандера. Мета цiєї роботи — отримати новi достатнi умови класичностi
узагальнених розв’язкiв цих задач. При цьому ми скористаємося результатами статей [34, 35],
c\bigcirc В. М. ЛОСЬ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9 1229
1230 В. М. ЛОСЬ
що дозволить встановити цi умови у випадку комплекснозначних коефiцiєнтiв i правих ча-
стин задачi. Зазначимо, що використання просторiв Хермандера дозволить накласти на праву
частину рiвняння бiльш слабку умову, нiж гельдеровiсть у замкненому цилiндрi.
Зауважимо [37] (теорема 7.9.8), що неперервнiсть у замкненому цилiндрi правої частини
параболiчного рiвняння є недостатньою для класичностi розв’язку мiшаної задачi навiть у
випадку однорiдних крайової i початкової умов (див. п. 2).
2. Постановка задачi. Нехай довiльно задано цiле число n \geq 2, дiйсне число \tau > 0 i
обмежену область G \subset \BbbR n з нескiнченно гладкою межею \Gamma := \partial G. Позначимо через \Omega := G\times
(0, \tau ) вiдкритий цилiндр в \BbbR n+1, через S := \Gamma \times (0, \tau ) його бiчну поверхню. Тодi \Omega := G\times [0, \tau ]
i S := \Gamma \times [0, \tau ] — замикання \Omega i S вiдповiдно.
Для параболiчного рiвняння другого порядку, заданого в \Omega , розглянемо початково-крайовi
задачi з крайовою умовою Дiрiхле або iз загальною крайовою умовою першого порядку:
Au \equiv \partial tu(x, t) +
\sum
| \alpha | \leq 2
a\alpha (x, t)D\alpha
xu(x, t) = f(x, t) в \Omega , (1)
u(x, 0) = h(x) при x \in G, (2)
u(x, t)
\bigm| \bigm|
S
= g(x, t) при x \in \Gamma , 0 < t < \tau , (3)
або
Bu
\bigm| \bigm|
S
\equiv
\left( n\sum
j=1
bj(x, t)Dju(x, t) + b0(x, t)u(x, t)
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
S
= g(x, t) при x \in \Gamma , 0 < t < \tau . (4)
Всi коефiцiєнти диференцiальних виразiв A i B вважаємо нескiнченно гладкими комплекс-
нозначними функцiями на \Omega i S вiдповiдно, тобто a\alpha \in C\infty (\Omega ) та b0, bj \in C\infty (S). Викори-
стовуємо такi позначення для частинних похiдних:
D\alpha
x := D\alpha 1
1 . . . D\alpha n
n , Dj := i \partial /\partial xj , \partial t := \partial /\partial t.
Тут x = (x1, . . . , xn) — довiльна точка простору \BbbR n, \alpha = (\alpha 1, . . . , \alpha n) — мультиiндекс i
| \alpha | := \alpha 1 + . . . + \alpha n . Пiдсумовування в (1) проводиться за цiлими iндексами \alpha 1, . . . , \alpha n \geq 0,
що задовольняють умову, вказану пiд знаком суми.
Припускаємо [1] (§ 9, п. 1), що рiвняння (1) є параболiчним за Петровським у замкненому
цилiндрi \Omega , а крайовий диференцiальний оператор B накриває диференцiальний оператор A
на бiчнiй поверхнi S цього цилiндра. Це означає виконання таких двох умов.
Умова 1. Для довiльних x \in G, t \in [0, \tau ], \xi \in \BbbR n та p \in \BbbC , \mathrm{R}\mathrm{e} p \geq 0,
A(0)(x, t, \xi , p) \equiv p+
\sum
| \alpha | =2
a\alpha (x, t) \xi \alpha \not = 0 за умови | \xi | + | p| \not = 0.
Довiльно виберемо x \in \Gamma , t \in [0, \tau ], дотичний вектор \eta = (\eta 1, . . . , \eta n) \in \BbbR n до межi \Gamma у
точцi x та число p \in \BbbC , \mathrm{R}\mathrm{e} p \geq 0, такi, що | \eta | + | p| \not = 0. Нехай \nu (x) = (\nu 1(x), . . . , \nu n(x)) — орт
внутрiшньої нормалi до межi \Gamma у точцi x.
Умова 2. Для кожного такого вибору x, t, \eta та p виконуються двi властивостi:
а)
\sum n
j=1
bj(x, t)\nu j(x) \not = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1231
б) число \zeta = -
\Bigl( \sum n
j=1
bj(x, t)\eta j
\Bigr) \Bigl( \sum n
j=1
bj(x, t)\nu j(x)
\Bigr) - 1
не є коренем полiнома A(0)(x,
t, \eta + \zeta \nu (x), p) змiнної \zeta \in \BbbC .
З умови 1 випливає, що у випадку, коли всi коефiцiєнти bj(x, t), j = 1, . . . , n, є дiйсними,
частина б) в умовi 2 виконується автоматично.
Зауважимо, що для початково-крайової задачi (1), (2) i (3) (або (4)) „гарнi” умови f \in C(\Omega ),
g \in C(S) i h \in C(G) ще не гарантують того, що її розв’язок u є класичним. Поняття класичного
розв’язку буде сформульовано в п. 4. Попередньо зазначимо, що воно природно мiстить умову
u \in C2,1
x,t (\Omega ), тобто функцiя u є в \Omega двiчi неперервно диференцiйовною за сукупнiстю змiнних
x1, . . . , xn i неперервно диференцiйовною за змiнною t. Це випливає, зокрема, з результату
Л. Хермандера [37] (теорема 7.9.8). Згiдно з ним, навiть коли всi коефiцiєнти рiвняння (1)
є сталими, iснує функцiя f \in C(\Omega ) з \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f \subset \Omega така, що це рiвняння має узагальнений
розв’язок u \in C1(\Omega ) \setminus C2,1
x,t (\Omega ) з \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}u \subset \Omega . Отже, розглянута задача може мати некласичний
розв’язок u у випадку „гарних” правих частин f \in C(\Omega ), g \equiv 0 i h \equiv 0.
Щоб гарантувати класичнiсть узагальненого розв’язку розглядуваних задач, потрiбно на
їхнi правi частини накласти деякi iншi умови. Можна використати простори Гельдера. Зокрема,
для задачi (1) – (3) достатньою умовою iснування класичного розв’язку буде (див., наприклад,
[38, с. 42]) належнiсть функцiї f простору Гельдера C\alpha (\Omega ) з деяким \alpha > 0, неперервнiсть
функцiй g та h на S i G вiдповiдно та виконання умови узгодження g \upharpoonright \Gamma = h \upharpoonright \Gamma . Для
iснування класичного розв’язку задачi (1), (2), (4), мабуть, лише неперервностi функцiй g i h
буде недостатньо (див. [2] (гл. 4, теорема 15.1), [8] (§ 3, теорема 5), [9, с. 185]).
У данiй роботi ми будемо дiяти по-iншому. Сформулюємо умови класичностi узагальнених
розв’язкiв задач (1) – (3) та (1), (2), (4) у термiнах належностi їхнiх правих частин f, g та h
гiльбертовим функцiональним просторам Хермандера \scrB 2,\mu .
Зауважимо, що випадок n = 1, коли \Omega \subset \BbbR 2 — плоска область, є особливим i тому потребує
окремого розгляду. Ця особливiсть зумовлена тим, що в цьому випадку умова класичностi
узагальненого розв’язку формулюється у термiнах належностi правої частини рiвняння до
негативних просторiв Хермандера, а не до позитивних, як у випадку n \geq 2, розглянутому у цiй
роботi.
3. Простори Хермандера, пов’язанi з задачею. Вони є окремим випадком гiльбертових
функцiональних просторiв H\mu := \scrB 2,\mu , введених i дослiджених Л. Хермандером у [11] (п. 2.2),
а згодом i Л. Р. Волєвичем та Б. П. Панеяхом [13] (§ 2, 3). Наведемо коротко необхiднi означення
(бiльш детально див. [35], п. 3).
Показником регулярностi функцiй (або розподiлiв), що утворюють простiр H\mu (\BbbR k), де цiле
k \geq 1, є вимiрна за Борелем функцiя \mu : \BbbR k \rightarrow (0,\infty ), яка задовольняє таку умову: iснують
додатнi числа c та l такi, що
\mu (\xi )
\mu (\eta )
\leq c (1 + | \xi - \eta | )l для довiльних \xi , \eta \in \BbbR k.
За означенням комплексний лiнiйний простiр H\mu (\BbbR k) складається з усiх повiльно зроста-
ючих розподiлiв w \in \scrS \prime (\BbbR k), перетворення Фур’є \widehat w яких є локально iнтегровними за Лебегом
функцiями, що задовольняють умову
\| w\| 2H\mu (\BbbR k) :=
\int
\BbbR k
\mu 2(\xi )| \widehat w(\xi )| 2d\xi < \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1232 В. М. ЛОСЬ
(У роботi всi функцiї та розподiли вважаються комплекснозначними.) Цей простiр є гiльберто-
вим вiдносно введеної норми \| w\| H\mu (\BbbR k) .
Нам знадобиться версiя простору H\mu (\BbbR k) для довiльної вiдкритої непорожньої множини
V \subset \BbbR k . Лiнiйний простiр H\mu (V ) складається, за означенням, iз звужень u = w \upharpoonright V всiх
розподiлiв w \in H\mu (\BbbR k) на множину V . У цьому просторi норму задано формулою
\| u\| H\mu (V ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| w\| H\mu (\BbbR k) : w \in H\mu (\BbbR k), u = w \upharpoonright V
\bigr\}
.
Простiр H\mu (V ) є гiльбертовим вiдносно цiєї норми.
Для зручностi позначень покладемо \gamma := 1/2. Далi будемо використовувати показники
регулярностi вигляду
\mu s,\varphi (\xi
\prime , \xi k) := \mu (\xi \prime , \xi k) :=
\bigl(
1 + | \xi \prime | 2 + | \xi k| 2\gamma
\bigr) s/2
\varphi
\bigl(
(1 + | \xi \prime | 2 + | \xi k| 2\gamma )1/2
\bigr)
, (5)
де \xi \prime \in \BbbR k - 1 та \xi k \in \BbbR — аргументи функцiї \mu . Тут числовий параметр s є дiйсним, а
функцiональний параметр \varphi належить класу \scrM .
За означенням клас \scrM складається з усiх вимiрних за Борелем функцiй \varphi : [1,\infty ) \rightarrow (0,\infty ),
якi задовольняють такi умови:
а) обидвi функцiї \varphi та 1/\varphi обмеженi на кожному вiдрiзку [1, b], де 1 < b < \infty ;
б) функцiя \varphi повiльно змiнюється за Й. Карамата на нескiнченностi, а саме, \varphi (\lambda r)/\varphi (r) \rightarrow 1
при r \rightarrow \infty для кожного \lambda > 0.
Теорiю повiльно змiнних функцiй (на нескiнченностi) викладено, наприклад, у монографiї
[39]. Їх важливим прикладом є функцiї вигляду
\varphi (r) := (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r)q1 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r)q2 . . . ( \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} . . . \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\underbrace{} \underbrace{}
k разiв
r )qk при r \gg 1,
де параметри k \in \BbbN та q1, q2, . . . , qk \in \BbbR є довiльними.
Нехай s \in \BbbR i \varphi \in \scrM . Розв’язки u початково-крайових задач (1) – (3) i (1), (2), (4) та
правi частини f рiвняння (1) будемо розглядати в анiзотропних гiльбертових функцiональних
просторах Хермандера Hs,s\gamma ,\varphi (\Omega ) := H\mu (\Omega ), де показник \mu визначено формулою (5), у якiй
k := n+ 1.
Якщо \varphi (r) \equiv 1, то Hs,s\gamma ,\varphi (\Omega ) стає анiзотропним гiльбертовим простором Соболєва порядку
(s, s\gamma ); позначимо його через Hs,s\gamma (\Omega ). Тут s — показник регулярностi розподiлу u = u(x, t)
за просторовою змiнною x \in \Omega , а s\gamma — показник регулярностi за часовою змiнною t \in (0, \tau ).
В загальному випадку, коли \varphi \in \scrM є довiльною, мають мiсце неперервнi i щiльнi вкладення
Hs1,s1\gamma (\Omega ) \lhook \rightarrow Hs,s\gamma ,\varphi (\Omega ) \lhook \rightarrow Hs0,s0\gamma (\Omega ) при s0 < s < s1. (6)
У випадку, коли \Omega \subset \BbbR 3, нам будуть потрiбнi такi простори Хермандера, де \varphi \in \scrM є
зростаючою (в нестрогому сенсi) функцiєю. У зв’язку з цим зауважимо, що для довiльної
зростаючої (в нестрогому сенсi) функцiї \varphi \in \scrM правильним є неперервне та щiльне вкладення
Hs,s\gamma ,\varphi (\Omega ) \lhook \rightarrow Hs,s\gamma (\Omega ).
Для зручностi формулювання основних результатiв введемо локальнi аналоги просторiв
Hs,s\gamma ,\varphi (\Omega ). Для всiх s > 0 i \varphi \in \scrM позначимо
Hs,s\gamma ,\varphi
loc (\Omega ) :=
\bigl\{
f \in L2(\Omega ) : \chi f \in Hs,s\gamma ,\varphi (\Omega ) для всiх \chi \in C\infty
0 (\Omega )
\bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1233
Нам знадобляться також анiзотропнi простори Хермандера, заданi на бiчнiй поверхнi S =
\Gamma \times (0, \tau ) цилiндра \Omega . До них будуть належати правi частини g крайових умов (3) i (4). Озна-
чимо цi простори, використавши спецiальнi локальнi карти на S (див. [33], п. 1). Нехай s > 0
i \varphi \in \scrM . Попередньо для вiдкритої смуги \Pi := \BbbR n - 1 \times (0, \tau ) розглянемо гiльбертовi про-
стори Hs,s\gamma ,\varphi (\Pi ) := H\mu (\Pi ), де показник \mu визначено формулою (5), у якiй k := n. Довiльно
виберемо скiнченний атлас iз C\infty -структури на замкненому многовидi \Gamma . Нехай цей атлас утво-
рено локальними картами \theta j : \BbbR n - 1 \updownarrow \Gamma j , де j = 1, . . . , \lambda . Тут вiдкритi множини \Gamma 1, . . . ,\Gamma \lambda
складають покриття многовиду \Gamma . Окрiм цього, довiльно виберемо такi функцiї \chi j \in C\infty (\Gamma ),
j = 1, . . . , \lambda , що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi j \subset \Gamma j i
\sum \lambda
j=1
\chi j = 1 на \Gamma .
За означенням лiнiйний простiр Hs,s\gamma ,\varphi (S) складається з усiх функцiй v \in L2(S) на мно-
говидi S таких, що для кожного номера j \in \{ 1, . . . , \lambda \} функцiя
vj(y, t) := \chi j(\theta j(y)) v(\theta j(y), t)
аргументiв y \in \BbbR n - 1 i t \in (0, \tau ) належить до Hs,s\gamma ,\varphi (\Pi ).
У просторi Hs,s\gamma ,\varphi (S) норму задано формулою
\| v\| Hs,s\gamma ,\varphi (S) :=
\left( \lambda \sum
j=1
\| vj\| 2Hs,s\gamma ,\varphi (\Pi )
\right) 1/2
.
Цей простiр є гiльбертовим вiдносно введеної норми i не залежить з точнiстю до еквiвален-
тностi норм вiд вибору локальних карт i розбиття одиницi на \Gamma [33] (теорема 1).
Нарештi, введемо простори, до яких належить права частина h початкової умови (2).
Це iзотропнi гiльбертовi простори Хермандера Hs,\varphi (G) := H\mu (G) з показником \mu (\xi ) :=
(1 + | \xi | 2)s/2\varphi ((1 + | \xi | 2)1/2) аргументу \xi \in \BbbR n . Їх видiлили i систематично використовували
В. А. Михайлець та О. О. Мурач у теорiї елiптичних крайових задач [19, 20].
Якщо \varphi \equiv 1, то означенi вище простори стають соболєвськими просторами (анiзотропними
на \Omega i S, або iзотропними на G). У цьому випадку будемо пропускати iндекс \varphi у позначеннях
цих i введених нижче просторiв.
4. Основнi результати. Розглянемо спочатку задачу (1) – (3), яка вiдповiдає крайовiй умовi
Дiрiхле. Для того щоб iснував достатньо регулярний розв’язок u цiєї задачi, її правi частини
повиннi задовольняти деякi умови узгодження (див. [1] (§11) або [2] (розд. 4, § 5)). Тому для
довiльних параметрiв s \geq 2 i \varphi \in \scrM введемо далi гiльбертiв простiр \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D , елементи
(f, g, h) якого будуть задовольняти цi умови (детальнiше див. [34] (п. 3) i [35] (п. 4)). У випадку
s = 2 додатково припустимо, що \varphi є зростаючою (в нестрогому сенсi) функцiєю. Позначимо
\scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D := Hs - 2,(s - 2)/2,\varphi (\Omega )\oplus Hs - 1/2,s/2 - 1/4,\varphi (S)\oplus Hs - 1,\varphi (G).
Якщо s /\in \{ 2r+3/2 : r \in \BbbN \} , то, за означенням, лiнiйний простiр \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D складається з
усiх вектор-функцiй
\bigl(
f, g, h
\bigr)
\in \scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D , якi задовольняють такi умови узгодження:
\partial k
t g \upharpoonright \Gamma = vk \upharpoonright \Gamma для всiх k \in \BbbZ таких, що 0 \leq k < s/2 - 3/4.
Тут функцiї vk = vk(\cdot , f, h) означено рекурентними формулами
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1234 В. М. ЛОСЬ
v0(x) = h(x),
vk(x) = -
\sum
| \alpha | \leq 2
k - 1\sum
q=0
\biggl(
k - 1
q
\biggr)
\partial k - 1 - q
t a\alpha (x, 0)D\alpha
xvq(x) + \partial k - 1
t f(x, 0),
(7)
де x \in G є довiльним, а цiлi k такi, що 0 \leq k < s/2 - 3/4. Лiнiйний простiр \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D
надiляється скалярним добутком i нормою з гiльбертового простору \scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D . Простiр
\scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D є повним, тобто гiльбертовим.
Якщо s \in \{ 2r+3/2 : r \in \BbbN \} , то означаємо гiльбертiв простiр \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D за допомогою
iнтерполяцiї
\scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D :=
\bigl[
\scrQ s - 2 - \varepsilon ,(s - 2 - \varepsilon )/2,\varphi
D ,\scrQ s - 2+\varepsilon ,(s - 2+\varepsilon )/2,\varphi
D
\bigr]
1/2
.
Тут число \varepsilon \in (0, 1/2) вибрано довiльно, а права частина рiвностi є результатом iнтерполяцiї
зазначеної пари гiльбертових просторiв з числовим параметром 1/2. Означений у такий спосiб
простiр не залежить з точнiстю до еквiвалентностi норм вiд вибору числа \varepsilon .
Iз результату М. С. Аграновича та М. I. Вiшика [1] (теорема 12.1) випливає, що для кожної
вектор-функцiї (f, g, h) iз соболєвського простору \scrQ 0,0
D задача (1) – (3) має єдиний розв’язок
u \in H2,1(\Omega ). Таку функцiю u називаємо узагальненим розв’язком цiєї задачi iз правою части-
ною (f, g, h) \in \scrQ 0,0
D .
Тепер сформулюємо основний результат роботи для задачi (1) – (3). Це умови, записанi в
термiнах належностi її правих частин придатним просторам Хермандера, за яких узагальнений
розв’язок цiєї задачi є класичним.
Попередньо дамо означення класичного розв’язку цiєї задачi.
Означення 1. Узагальнений розв’язок u \in H2,1(\Omega ) задачi (1) – (3) назвемо класичним, якщо
узагальненi частиннi похiднi \partial tu i D\alpha
xu, для яких | \alpha | \leq 2, є неперервними в \Omega , а сама функцiя
u є неперервною у замкненому цилiндрi \Omega .
Iншими словами, узагальнений розв’язок u задачi (1) – (3) назвемо її класичним розв’язком,
якщо
u \in C2,1
x,t (\Omega ) \cap C(\Omega ).
Теорема 1. Нехай функцiя u \in H2,1(\Omega ) є узагальненим розв’язком задачi (1) – (3), правi
частини якої задовольняють умови
f \in H
1+n/2, 1/2+n/4, \varphi 1
loc (\Omega ), (8)
(f, g, h) \in \scrQ - 1+n/2, - 1/2+n/4, \varphi 2
D (9)
з деякими функцiональними параметрами \varphi 1 i \varphi 2 \in \scrM такими, що
\infty \int
1
dr
r\varphi 2
j (r)
< \infty для всiх j \in \{ 1, 2\} . (10)
При n = 2 додатково припускаємо, що \varphi 2 є зростаючою (в нестрогому сенсi) функцiєю. Тодi
u(x, t) є класичним розв’язком задачi (1) – (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1235
Зауваження 1. Якщо сформулювати аналог теореми 1 для соболєвської шкали (випадок
\varphi 1 \equiv \varphi 2 \equiv 1), то доведеться замiнити умови (8) i (9) на бiльш сильнi: для правих частин задачi
виконуються включення
f \in H
1+n/2+\varepsilon 1, 1/2+n/4+\varepsilon 1/2
loc (\Omega ), (11)
(f, g, h) \in \scrQ - 1+n/2+\varepsilon 2, - 1/2+n/4+\varepsilon 2/2
D
для деяких \varepsilon 1 > 0 i \varepsilon 2 > 0.
Зауваження 2. З твердження 3(ii) (див. п. 5) випливає, що iснують функцiї f /\in C(\Omega ),
якi задовольняють умови (8) i (9) (або (13)). Окрiм того, можна показати, що серед функцiй,
пiдпорядкованих цим умовам, знайдуться тi, якi не задовольняють умову Гельдера нi при якому
значеннi показника 0 < \alpha < 1 на жодному компактi K \subset \Omega .
Перейдемо до розгляду задачi (1), (2), (4), яка вiдповiдає загальнiй крайовiй умовi першого
порядку. Для цiєї задачi умови узгодження правих частин набирають вигляду
\partial k
t g \upharpoonright \Gamma = Bk(v0, v1, . . . , vk)\upharpoonright \Gamma для всiх k \in \BbbZ таких, що 0 \leq k < s/2 - 5/4. (12)
Тут
Bk(v0, v1, . . . , vk) =
k\sum
q=0
\biggl(
k
q
\biggr) \left( n\sum
j=1
\partial k - q
t bj(x, 0)Djvq(x) + \partial k - q
t b0(x, 0)vq(x)
\right) ,
функцiї vk = vk(\cdot , f, h) означено рекурентними формулами (7), де x \in G є довiльним, а цiлi k
такi, що 0 \leq k < s/2 - 5/4.
Подiбно до попередньої задачi для всiх s \geq 2 i \varphi \in \scrM введемо гiльбертiв простiр
\scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N (див. [34], п. 3). Позначимо
\scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N := Hs - 2,(s - 2)/2,\varphi (\Omega )\oplus Hs - 3/2,s/2 - 3/4,\varphi (S)\oplus Hs - 1,\varphi (G).
Якщо s /\in \{ 2r + 1/2 : r \in \BbbN \} , то, за означенням, лiнiйний простiр \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N складається
з усiх вектор-функцiй
\bigl(
f, g, h
\bigr)
\in \scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N , якi задовольняють умови узгодження (12).
Цей лiнiйний простiр надiляється скалярним добутком i нормою з гiльбертового простору
\scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N . Простiр \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N є повним, тобто гiльбертовим.
Якщо s \in \{ 2r+1/2 : r \in \BbbN \} , то означаємо простiр \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N за допомогою iнтерполяцiї
\scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N :=
\Bigl[
\scrQ s - 2 - \varepsilon ,(s - 2 - \varepsilon )/2,\varphi
N ,\scrQ s - 2+\varepsilon ,(s - 2+\varepsilon )/2,\varphi
N
\Bigr]
1/2
.
Tут число \varepsilon \in (0, 1/2) вибрано довiльно. Означений у такий спосiб простiр не залежить з
точнiстю до еквiвалентностi норм вiд вибору числа \varepsilon .
Зазначимо, що при s \in [2; 5/2) задача (1), (2), (4) не мiстить умов узгодження та простори
\scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N i \scrH s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N рiвнi.
Iз результату М. С. Аграновича та М. I. Вiшика [1] (теорема 12.1) випливає, що для кожної
вектор-функцiї (f, g, h) iз соболєвського простору \scrH 0,0
N задача (1), (2), (4) має єдиний розв’я-
зок u \in H2,1(\Omega ). Таку функцiю u називаємо узагальненим розв’язком цiєї задачi iз правою
частиною (f, g, h) \in \scrH 0,0
N .
Тепер наведемо означення класичного розв’язку задачi (1), (2), (4) та сформулюємо основ-
ний результат роботи для цiєї задачi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1236 В. М. ЛОСЬ
Означення 2. Узагальнений розв’язок u \in H2,1(\Omega ) задачi (1), (2), (4) назвемо класичним,
якщо узагальненi частиннi похiднi \partial tu i D\alpha
xu, для яких | \alpha | \leq 2, є неперервними в \Omega , а функцiя u
та її узагальненi частиннi похiднi \partial u/\partial xj для всiх j \in \{ 1, . . . , n\} є неперервними у замкненому
цилiндрi \Omega .
Теорема 2. Нехай функцiя u \in H2,1(\Omega ) є узагальненим розв’язком задачi (1), (2), (4), правi
частини якої задовольняють умови (8) i
(f, g, h) \in \scrQ n/2, n/4, \varphi 2
N (13)
з деякими функцiональними параметрами \varphi 1 i \varphi 2 \in \scrM , для яких виконується умова (10). Тодi
u(x, t) є класичним розв’язком задачi (1), (2), (4).
Зауваження 3. Якщо сформулювати аналог теореми 2 для соболєвської шкали (\varphi 1 \equiv \varphi 2 \equiv
1), то доведеться замiнити умови (8) i (13) на бiльш сильнi: для правих частин задачi викону-
ються включення (11) i
(f, g, h) \in \scrQ n/2+\varepsilon 2, n/4+\varepsilon 2/2
N
для деяких \varepsilon 1 > 0 i \varepsilon 2 > 0.
5. Доведення результатiв. У роботах [34] (п. 3) i [35] (п. 4) показано, що оператори, якi
вiдповiдають дослiджуваним задачам, є iзоморфiзмами мiж придатними парами просторiв Хер-
мандера. Доведення теорем 1 i 2 спирається на цi факти та деяку модифiкацiю теореми вкла-
дення Хермандера [11] (теорема 2.2.7). Для зручностi сформулюємо необхiднi твердження.
Пов’яжемо iз задачею (1) – (3) лiнiйне вiдображення
\Lambda D : u \mapsto \rightarrow (Au, u\upharpoonright S , u(\cdot , 0)), де u \in C\infty (\Omega ). (14)
Твердження 1. Нехай довiльно задано параметри: числовий s \geq 2 i функцiональний \varphi \in \scrM .
У випадку s = 2 додатково припустимо, що \varphi є зростаючою (в нестрогому сенсi) функцiєю.
Тодi вiдображення (14) продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до iзоморфiзму
\Lambda D : Hs,s/2,\varphi (\Omega ) \updownarrow \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
D . (15)
Пов’яжемо iз задачею (1), (2), (4) лiнiйне вiдображення
\Lambda N : u \mapsto \rightarrow (Au, Bu\upharpoonright S , u(\cdot , 0)), де u \in C\infty (\Omega ). (16)
Твердження 2. Нехай довiльно задано параметри: числовий s \geq 2 i функцiональний \varphi \in
\in \scrM . У випадку s = 2 додатково припустимо, що \varphi є зростаючою (в нестрогому сенсi)
функцiєю. Тодi вiдображення (16) продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до iзомор-
фiзму
\Lambda N : Hs,s/2,\varphi (\Omega ) \updownarrow \scrQ s - 2,(s - 2)/2,\varphi
N . (17)
Наступне твердження (див. [36], лема 8.1) є деякою модифiкацiєю згаданої вище теореми
вкладення Хермандера.
Твердження 3. Нехай p \in \BbbZ , p \geq 0, s := p + 1 + n/2 та \varphi \in \scrM . Тодi справджуються
такi твердження:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1237
(i) Якщо \varphi задовольняє умову
\infty \int
1
dr
r \varphi 2(r)
< \infty , (18)
то кожна функцiя w \in Hs,s/2,\varphi (\BbbR n+1) має таку властивiсть: всi її узагальненi частиннi
похiднi D\alpha
x\partial
\beta
t w(x, t) з 0 \leq | \alpha | + 2\beta \leq p є неперервними на \BbbR n+1 .
(ii) Нехай V — непорожня вiдкрита пiдмножина \BbbR n+1 i цiле k таке, що 1 \leq k \leq n. Якщо
кожна функцiя w \in Hs,s/2,\varphi (\BbbR n+1) з \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}w \subset V задовольняє умову \partial jw/\partial xjk \in C(\BbbR n+1) для
кожного j \in \BbbZ з 0 \leq j \leq p, то \varphi задовольняє умову (18).
Нам буде потрiбний такий наслiдок iз твердження 3.
Наслiдок 1. Твердження 3 (i) залишається правильним, якщо у ньому замiнити
Hs,s/2,\varphi (\BbbR n+1) на Hs,s/2,\varphi (\Omega ) i \BbbR n+1 на \Omega .
Справдi, з означення простору Hs,s/2,\varphi (\Omega ) випливає, що для кожної функцiї u \in Hs,s/2,\varphi (\Omega )
iснує така функцiя w \in Hs,s/2,\varphi (\BbbR n+1), що u = w в \Omega . Тому з твердження 3 (i) випливає, що
всi узагальненi частиннi похiднi D\alpha
x\partial
\beta
t u(x, t) з 0 \leq | \alpha | + 2\beta \leq p є неперервними на \Omega .
Перейдемо до доведення основних результатiв.
Доведення теореми 1. Спочатку покажемо, що u \in C(\Omega ). З включення (9) та iзоморфiзму
(15) для s = 1 + n/2 випливає включення
u \in H1+n/2, 1/2+n/4, \varphi 2(\Omega ).
Звiдси на пiдставi наслiдку 1, де p := 0, робимо висновок, що u \in C(\Omega ).
Тепер покажемо, що з (8) випливає включення u \in C2,1
x,t (\Omega ). Нехай x0 — довiльна точка
множини \Omega . Позначимо через \Omega 0 довiльно вибраний окiл точки x0 такий, що \Omega 0 \subset \Omega . Тодi
iснує така функцiя \chi \in C\infty
0 (\Omega ), що \chi = 1 на множинi \Omega 0 . Розглянемо задачу
Au1 = \chi f, u1
\bigm| \bigm|
S
= 0, u1
\bigm| \bigm|
t=0
= 0. (19)
З (8) випливає, що \chi f \in H1+n/2, 1/2+n/4, \varphi 1(\Omega ) i \chi f дорiвнює нулю поблизу межi \Omega . Тодi за
теоремою 4.1 з [36] задача (19) має єдиний розв’язок u1 \in H3+n/2, 3/2+n/4, \varphi 1(\Omega ) (тут замiсть
твердження 1 ми скористались теоремою 4.1 з [36], щоб не перевiряти включення (\chi f, 0, 0) \in
\scrQ 1+n/2, 1/2+n/4,0\varphi 1
D ). На пiдставi наслiдку 1, де p := 2, маємо включення
\partial tu1, D\alpha
xu1 \in C(\Omega ) при | \alpha | \leq 2. (20)
Оскiльки
A(u1 - u) = Au1 - Au = \chi f - f = 0 в \Omega 0
i параболiчний оператор A є гiпоелiптичним (див., наприклад, [12], теорема 11.1.11), то u1 - u \in
C\infty (\Omega 0). З останнього включення i (20) випливає, що узагальненi частиннi похiднi \partial tu i D\alpha
xu
з | \alpha | \leq 2 є неперервними в деякому околi точки x0 . Оскiльки x0 є довiльною точкою \Omega , то
u \in C2,1
x,t (\Omega ).
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. При доведеннi теореми 1 було показано, що включення u \in C2,1
x,t (\Omega )
є наслiдком умови (8). Окрiм того, з умови (13) випливає на пiдставi iзоморфiзму (17) для
s = 2+n/2, що u \in H2+n/2, 1+n/4, \varphi 2(\Omega ). Тому згiдно з наслiдком 1, де p := 1, маємо потрiбнi
включення u \in C(\Omega ) i \partial u/\partial xj \in C(\Omega ) для кожного j \in \{ 1, . . . , n\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1238 В. М. ЛОСЬ
Лiтература
1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида //
Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 3. – С. 53 – 161.
2. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
3. Lions J.-L. Magenes E. Non-homogeneous boundary-value problems and applications. – Vol. II. – Berlin: Springer,
1972. – Vol. II. – xi+242 p.
4. Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – Киев: Вища шк., 1990. – 200 с.
5. Eidel’man S. D. Parabolic equations // Encycl. Math. Sci. Vol. 63. Partial Different. Equat., VI. – Berlin: Springer,
1994. – P. 205 – 316.
6. Eidel’man S. D., Zhitarashu N. V. Parabolic boundary value problems. – Basel: Birkhäuser, 1998. – xii+298 p.
7. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи
мат. наук. – 1960. – 15, № 2. – С. 97 – 154.
8. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа//
Успехи мат. наук. – 1962. – 17, № 3. – С. 3 – 146.
9. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.– М.: Мир, 1968. – 428 с.
10. Матийчук М. И., Эйдельман С. Д. О корректности задач Дирихле и Неймана для параболических уравнений
второго порядка с коэффициентами из классов Дини // Укр. мат. журн. – 1974. – 26, № 3. – С. 328 – 337.
11. Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer, 1963. – 285 p. (Рус. перевод: Хермандер Л.
Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – Москва: Мир, 1965. – 380 с.)
12. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 2. Дифферен-
циальные операторы с постоянными коэффициентами. – М.: Мир, 1986. – 455 с.
13. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат.
наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
14. Лизоркин П. И. Пространства обобщенной гладкости // Теория функциональных пространств / Х. Трибель. –
М.: Мир, 1986. – С. 381 – 415.
15. Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem.– Berlin: Wiley-VCH, 2000. – 348 p.
16. Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäuser, 2001. – xii+425 p.
17. Farkas W., Leopold H.-G. Characterisations of function spaces of generalized smoothness // Ann. mat. pura ed appl. –
2006. – 185, № 1. – P. 1 – 62.
18. Nicola F., Rodino L. Global pseudodifferential calculas on Euclidean spaces. – Basel: Birkhäuser, 2010. – xi+306 p.
19. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
20. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hor̈mander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin: De Gruyter, 2014. –
xiv+297 p.
21. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces // Results Math. – 2015. – 67,
№ 1. – P. 135 – 152.
22. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic boundary-value problems. II // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 3. – P. 398 – 417.
23. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 5. – P. 744 – 765.
24. Murach A. A. Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale of spaces on a closed manifold // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 6. – P. 874 – 893.
25. Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem in a two-sided refined scale of spaces //
Ukr. Math. J. – 2008. – 60, № 4. – P. 574 – 597.
26. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces // Methods Funct.
Anal. and Top. – 2008. – 14, № 1. – P. 81 – 100.
27. Los V., Murach A. A. Parabolic problems and interpolation with a function parameter // – Methods Funct. Anal. and
Top. – 2013. – 19, № 2. – P. 146 – 160.
28. Лось В. М., Мурач О. О. Про гладкiсть розв’язкiв параболiчних мiшаних задач // Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2013. – 10, № 2. – С. 219 – 234.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
КЛАСИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 1239
29. Лось В. Н., Мурач А. А. Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости // Доп.
НАН України. – 2014. – № 6. – С. 23 – 31.
30. Лось В. М. Параболiчнi мiшанi задачi для систем Петровського в просторах узагальненої гладкостi // Доп. НАН
України. – 2014. – № 10. – С. 24 – 32.
31. Лось В. М. Класичнi розв’язки параболiчної мiшаної задачi i 2b-анiзотропнi простори Хермандера // Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. – 2015. – 12, № 2. – С. 276 – 290.
32. Лось В. М. Мiшанi задачi для двовимiрного рiвняння теплопровiдностi у анiзотропних просторах Хермандера //
Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 5. – С. 645 – 656.
33. Лось В. М. Анiзотропнi простори Хермандера на бiчнiй поверхнi цилiндра // Нелiнiйнi коливання. – 2015. –
18, № 2. – С. 226 – 237.
34. Лось В. М., Мурач О. О. Теореми про iзоморфiзми для деяких параболiчних початково-крайових задач у
просторах Хермандера // arXiv:1510.06270.
35. Лось В. М. Теореми про iзоморфiзми для деяких параболiчних початково-крайових задач у просторах Херман-
дера: граничний випадок // Укр. мат. журн. – 2016 – 68, № 6. – C. 786 – 799.
36. Los V., Mikhailets V. A., Murach A. A. An isomorphism theorem for parabolic problems in Hörmander spaces and its
applications // arXiv:1511.04688.
37. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория рас-
пределений и анализ Фурье. – М.: Мир, 1986. – 464 с.
38. Михайлов В.П. Смешанная и краевая задачи для параболических уравнений и систем // Мат. энциклопедия. –
М.: Сов. энцикл., 1985. – Т. 5. – 1248 с.
39. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
Одержано 16.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1916 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:09Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7b/d10aed2be2404e7e78d7dd92dec6507b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19162019-12-05T09:31:35Z Classical solutions of parabolic initial-boundary value problems and Hormander spaces. Класичні розв’язки параболічних початково-крайових задач і простори Хермандера Los’, V. M. Лось, В. М. For the second-order linear parabolic differential equations with complex-valued coefficients, we establish new sufficient conditions under which the generalized solutions of these problems are continuous. The conditions are formulated in the terms of belonging of the right-hand sides of these problems to certain anisotropic Ho¨rmander spaces. Дослiдження геометричних властивостей траєкторiй частинок у стохастичних потоках приводить до вивчення їхнiх взаємних кутiв обходу. Для незалежних двовимiрних броунiвських рухiв вiдповiдну задачу розв’язав М. Йор. Ми узагальнюємо цей результат на випадок iзотропних броунiвських стохастичних потокiв зi старшим показником Ляпунова, що дорiвнює нулю. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1916 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 9 (2016); 1229-1239 Український математичний журнал; Том 68 № 9 (2016); 1229-1239 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1916/898 Copyright (c) 2016 Los’ V. M. |
| spellingShingle | Los’, V. M. Лось, В. М. Classical solutions of parabolic initial-boundary value problems and Hormander spaces. |
| title | Classical solutions of parabolic initial-boundary value problems and Hormander spaces. |
| title_alt | Класичні розв’язки параболічних початково-крайових задач і простори Хермандера
|
| title_full | Classical solutions of parabolic initial-boundary value problems and Hormander spaces. |
| title_fullStr | Classical solutions of parabolic initial-boundary value problems and Hormander spaces. |
| title_full_unstemmed | Classical solutions of parabolic initial-boundary value problems and Hormander spaces. |
| title_short | Classical solutions of parabolic initial-boundary value problems and Hormander spaces. |
| title_sort | classical solutions of parabolic initial-boundary value problems and hormander spaces. |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1916 |
| work_keys_str_mv | AT losvm classicalsolutionsofparabolicinitialboundaryvalueproblemsandhormanderspaces AT losʹvm classicalsolutionsofparabolicinitialboundaryvalueproblemsandhormanderspaces AT losvm klasičnírozvâzkiparabolíčnihpočatkovokrajovihzadačíprostorihermandera AT losʹvm klasičnírozvâzkiparabolíčnihpočatkovokrajovihzadačíprostorihermandera |