Estimates for the best bilinear approximations of the classes $B^r_{p,\theta}$ and singular numbers of integral operators
We obtain the exact-order estimates for the best bilinear approximations of the Nikol‘ski–Besov classes $B^r_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables. We also find the orders for singular numbers of the integral operators with kernels from the classes $B^r_{p,\theta}$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1917 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507807217876992 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:35Z |
| description | We obtain the exact-order estimates for the best bilinear approximations of the Nikol‘ski–Besov classes $B^r_{p,\theta}$ of periodic
functions of several variables. We also find the orders for singular numbers of the integral operators with kernels from the
classes $B^r_{p,\theta}$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
А. С. Романюк, В. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ БИЛИНЕЙНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ \bfitB \bfr
\bfp ,\bfittheta
И СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
We obtain the exact-order estimates for the best bilinear approximations of the Nikol‘ski–Besov classes B\bfr
\bfp ,\theta of periodic
functions of several variables. We also find the orders for singular numbers of the integral operators with kernels from the
classes B\bfr
\bfp ,\theta .
Встановлено точнi за порядком оцiнки найкращих бiлiнiйних наближень класiв Нiкольського – Бєсова B\bfr
\bfp ,\theta перiо-
дичних функцiй багатьох змiнних. Знайдено порядки сингулярних чисел iнтегральних операторiв з ядрами, що
належать класам B\bfr
\bfp ,\theta .
1. Введение. В работе основное внимание сосредоточено на исследовании приближения клас-
сов Никольского – Бесова B\bfr
\bfp ,\theta периодических функций с 2d переменными линейными ком-
бинациями произведений функций с d переменными. Такого вида приближения называются
билинейными. Установленный в этом направлении результат дополняет результаты, получен-
ные в работах [1 – 8], в которых можно ознакомиться с подробной историей и соответству-
ющей библиографией. Наряду с вопросом о наилучших билинейных приближениях функций
из указанных классов мы исследуем связанный с ним вопрос об оценках сингулярных чисел
интегральных операторов с ядрами из классов B\bfr
\bfp ,\theta . Определения рассматриваемых величин
будут даны ниже, а сначала приведем необходимые обозначения и определения.
Пусть \BbbR m — m-мерное евклидово пространство и (\bfx ,\bfy ) = x1 y1 + . . . + xm ym для
\bfx = (x1, . . . , xm), \bfy = (y1, . . . , ym) из \BbbR m; при \bfp = (p1, . . . , pm) через L\bfp (\pi m), \pi m =
=
\prod m
j=1
(0; 2\pi ], обозначаются множества функций f(\bfz ), \bfz \in \BbbR m, 2\pi -периодических по каждой
переменной, с конечными нормами
| | f | | \bfp :=
\left( (2\pi ) - 1
2\pi \int
0
\left( . . . (2\pi ) - 1
2\pi \int
0
\left( (2\pi ) - 1
2\pi \int
0
| f(\bfz )| p1 dz1
\right)
p2
p1
dz2 . . .
\right)
pm
pm - 1
dzm
\right)
1
pm
при 1 \leq pj <\infty , j = 1,m, и
| | f | | \infty := \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bfz
| f(\bfz )|
при pj = \infty , j = 1,m.
Заметим, что в случае p1 = p2 = . . . = pm = p пространство L\bfp (\pi m) совпадает с простран-
ством Лебега Lp(\pi m) со стандартной нормой \| \cdot \| p и \| f\| \bfp \equiv \| f\| p.
В последующем будем рассматривать функции f \in L\bfp (\pi m), для которых выполнено усло-
вие
2\pi \int
0
f(\bfz )dzj = 0, j = 1,m.
Множество таких функций будем обозначать через L0
\bfp (\pi m).
c\bigcirc А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК, 2016
1240 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ БИЛИНЕЙНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ B\bfr
\bfp ,\theta . . . 1241
Пусть Vl(u), u \in \BbbR — ядро Валле Пуссена порядка 2l - 1 вида
Vl(u) = 1 + 2
l\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ku+ 2
2l - 1\sum
k=l+1
\biggl(
1 - k - l
l
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} ku
(при l = 1 вторая сумма полагается равной нулю).
Сопоставим каждому вектору \bfs = (s1, . . . , sm), sj \in \BbbN , j = 1,m, полином
A\bfs (\bfz ) =
m\prod
j=1
(V2sj (zj) - V
2sj - 1(zj))
и для f \in L0
\bfp (\pi m), \bfone \leq \bfp \leq \infty , положим
\BbbA \bfs (f, \bfz ) = (f \ast A\bfs )(\bfz ),
где \ast — операция свертки. Здесь и далее для векторов \bfa = (a1, . . . , am) и \bfb = (b1, . . . , bm)
неравенства типа \bfa \leq \bfb понимаются покомпонентно, т. е. ai \leq bi, i = 1,m.
Будем говорить, что функция f \in L0
\bfp (\pi m) принадлежит классу B\bfr
\bfp ,\theta с \bfr = (r1, . . . , rm),
rj > 0, \bfp = (p1, . . . , pm), 1 \leq pj \leq \infty , j = 1,m и 1 \leq \theta <\infty , если выполнено неравенство\Biggl( \sum
\bfs \in \BbbN m
2(\bfs ,\bfr )\theta \| \BbbA \bfs (f, \bfz )\| \theta \bfp
\Biggr) 1/\theta
\leq 1.
В случае \bfone < \bfp < \infty , можно записать эквивалентное определение классов B\bfr
\bfp ,\theta , заменив
„блоки” \BbbA \bfs (f, \bfz ) на другие. С этой целью для векторов \bfk = (k1, . . . , km) и \bfs = (s1, . . . , sm),
kj \in \BbbZ , sj \in \BbbN , j = 1,m, положим
\rho (\bfs ) =
\bigl\{
\bfk = (k1, . . . , km) : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , j = 1,m
\bigr\}
и для f \in L0
\bfp (\pi m) обозначим
\delta \bfs (f, \bfz ) =
\sum
\bfk \in \rho (\bfs )
\widehat f(\bfk )ei(\bfk ,\bfz ),
где \widehat f(\bfk ) = (2\pi ) - m
\int
\pi m
f(\bft )e - (\bfk ,\bft )d\bft — коэффициенты Фурье функции f.
Тогда принадлежность функции f \in L0
\bfp (\pi m), \bfone < \bfp < \infty , классу B\bfr
\bfp ,\theta равносильна
выполнению неравенства \Biggl( \sum
\bfs \in \BbbN m
2(\bfs ,\bfr )\theta \| \delta \bfs (f, \bfz )\| \theta \bfp
\Biggr) 1/\theta
\leq C
с некоторой абсолютной постоянной C.
Подробную информацию о классах B\bfr
\bfp ,\theta , а также историю их исследования можно найти в
монографиях [9 – 12].
Теперь определим величины, которые будут изучаться в работе, и приведем краткие исто-
рические сведения, связанные с ними.
Пусть d \geq 1 — натуральное число, \bfq = (q1, . . . , q2d), 1 \leq qj \leq \infty , j = 1, 2d и \bfq (\bfone ) =
= (q1, . . . , qd), \bfq (\bftwo ) = (qd+1, . . . , q2d). Для функции f \in \bfL 0
\bfq (\pi 2d) с 2d переменными (\bfx ,\bfy ),
\bfx \in \BbbR d, \bfy \in \BbbR d, и M \in \BbbN величина
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1242 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
\tau M (f)\bfq := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
ui,vi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(\bfx ,\bfy ) -
M\sum
i=1
ui(\bfx )vi(\bfy )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bfq
, (1)
где ui \in L\bfq (\bfone )(\pi d), vi \in L\bfq (\bftwo )(\pi d), i = 1,M, называется наилучшим билинейным приближе-
нием порядка M в пространстве L\bfq (\pi 2d). При M = 0 полагаем \tau M (f)\bfq = \| f\| \bfq .
Для множества функций F \subset \bfL 0
\bfq (\pi 2d) через \tau M (F )\bfq обозначим величину
\tau M (F )\bfq := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\tau M (f)\bfq .
Условимся в случае qj = q, j = 1, 2d, писать \tau M (\cdot )q вместо \tau M (\cdot )\bfq .
2. Исторические сведения и впомогательные утверждения. По-видимому, первый ре-
зультат о наилучших билинейных приближениях был получен Е. Шмидтом [13] еще в 1907
г. при исследовании интегральных уравнений. При этом выяснилось, что приближение функ-
ций f(x, y) двух переменных, определенных на квадрате [0; 1]2 = [0; 1] \times [0; 1], билинейными
формами в пространстве L2([0; 1]
2) тесно связано со свойствами интегральных операторов
(Jf g)(y) =
1\int
0
f(x, y)g(x)dx (2)
с ядром f(x, y). Точнее, в [13] было получено разложение (известное как разложение Е. Шмид-
та)
f(x, y) =
\infty \sum
j=1
sj(Jf )\varphi j(x)\psi j(y),
где \{ sj(Jf )\} \infty j=1 — невозрастающая последовательность сингулярных чисел оператора Jf ,
т. е. sj(Jf ) = \lambda j(J
\ast
fJf ), J
\ast
f — оператор, сопряженный оператору Jf , \{ \lambda j(T )\} \infty j=1 — невоз-
растающая последовательность собственных чисел оператора T ; \{ \varphi j(x)\} \infty j=1 и \{ \psi j(y)\} \infty j=1 —
ортонормированные системы собственных функций операторов Jf J\ast
f и J\ast
f Jf соответственно.
Кроме того, Е.Шмидтом было доказано равенство\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x, y) -
M\sum
j=1
sj(Jf )\varphi j(x)\psi (y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
uj ,vj\in L2([ 0,1 ])
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| f(x, y) -
M\sum
j=1
uj(x)vj(y)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
, (3)
в котором проявляется связь между величинами \tau M (f)2 для функции f и сингулярными чис-
лами sj(Jf ) оператора Jf . Впоследствии эта связь была использована для получения оценок
сингулярных чисел интегральных операторов в работе [13], а также в более поздних работах
[14 – 18], в которых можно ознакомиться с историей исследования сингулярных чисел инте-
гральных операторов и соответствующей библиографией.
Теперь приведем несколько утверждений, которые будут использоваться при доказательстве
полученных результатов.
Первым сформулируем упоминавшийся выше результат Е. Шмидта в несколько модифици-
рованном и адаптированном к рассматриваемой ситуации виде (см., например, [19, с. 10]).
Теорема А. Пусть функция f(\bfx ,\bfy ) \in L\bftwo (\pi 2d), \bfx , \bfy \in \BbbR d и Jf — соответствующий ей
интегральный оператор вида (2) с интегрированием по \pi d. Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ БИЛИНЕЙНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ B\bfr
\bfp ,\theta . . . 1243
\tau M (f)\bftwo =
\Biggl( \infty \sum
m=M+1
s2m(Jf )
\Biggr) 1
2
.
Важную роль в проводимых ниже рассуждениях будет играть обобщенная (на случай „век-
торных” норм) теорема Литтлвуда – Пэли (см., например, [10, с. 238] и приведенный там ком-
ментарий).
Теорема Б. Пусть задано \bfp = (p1, . . . , pm), \bfone < \bfp < \infty . Существуют положительные
постоянные C1(\bfp ) и C2(\bfp ) такие, что для каждой функции f \in L0
\bfp (\pi m) справедливы оценки
C1(\bfp )\| f\| \bfp \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\Biggl( \sum
\bfs
| \delta \bfs (f)| 2
\Biggr) 1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bfp
\leq C2(\bfp )\| f\| \bfp .
Для множеств E1 \subset \BbbR d и E2 \subset \BbbR d через T (E1, E2, 2d) обозначим множество тригономет-
рических полиномов t вида
t(\bfx ,\bfy ) =
\sum
\bfk \in E1
\bfl \in E2
\widehat t(\bfk , \bfl )ei((\bfk ,\bfx )+(\bfl ,\bfy )).
Пусть n \in \BbbN и
Qn =
\bigcup
\| \bfs \| 1=n
\rho +(\bfs ),
где \rho +(\bfs ) = \{ \bfk = (k1, . . . , kd) : 2sj - 1 \leq kj < 2sj , j = 1, d\} для \bfs = (s1, . . . , sd) \in \BbbN d и
\| \bfs \| 1 = s1 + . . . + sd. Если \Omega \subset \BbbZ d — конечное множество, то через | \Omega | будем обозначать
количество его элементов. Заметим, что | Qn| \asymp 2nnd - 1.
В принятых обозначениях имеет место следующее утверждение.
Лемма А. Пусть \mu , \nu \in \BbbN , f \in T (Q\mu , Q\nu , 2d) и M \in \BbbZ +. Тогда при 2 \leq q < \infty справед-
лива оценка
\tau M (f)q \leq C(d)\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
1, M - 1
\bigr\}
| Q\mu |
1
2 | Q\nu |
1
2 \| f\| 2.
Полученные далее результаты будем формулировать в терминах порядковых соотношений.
При этом для двух неотрицательных последовательностей (an)
\infty
n=1 и (bn)
\infty
n=1 соотношение (по-
рядковое неравенство) an \ll bn означает, что существует постоянная C > 0, не зависящая от
n, такая, что an \leq Cbn. Соотношение an \asymp bn равносильно тому, что an \ll bn и bn \ll an.
Отметим, что постоянные, которые будут содержаться в порядковых соотношениях и опреде-
лениях функций, могут зависеть от определенных параметров. Эти параметры иногда будем
указывать (как, например, в теореме Б); в других случаях они будут понятны из контекста.
3. Наилучшие билинейные приближения. В этом пункте установим порядковые по M
значения величины (1) для класса F = B\bfr
\bfp ,\theta при определенных значениях параметра \theta и неко-
торых соотношениях между векторами \bfp = (p1, . . . , p2d), \bfq = (q1, . . . , q2d) и \bfr = (r1, . . . , r2d).
При этом изначально будем предполагать, что компоненты вектора \bfr принимают значения
rj = \rho 1, rd+j = \rho 2, j = 1, d; в таком случае класс B\bfr
\bfp ,\theta будем обозначать B\rho 1, \rho 2
\bfp ,\theta .
Справедливо следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1244 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Теорема 1. Пусть \bftwo \leq \bfp \leq \infty , \bftwo \leq \bfq <\infty и 2 \leq \theta < \infty . Тогда при \rho i >
1
2
(\rho i > 0 при
\bfp \geq \bfq ), i = 1, 2, для класса B\rho 1, \rho 2
\bfp ,\theta функций с 2d переменными имеет место соотношение
\tau M
\Bigl(
B\rho 1, \rho 2
\bfp ,\theta
\Bigr)
\bfq
\asymp M - \rho 1 - \rho 2
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\Bigr) - j(\rho 1+\rho 2+1 - 2
\theta )
. (4)
Доказательство. Установим сначала оценку сверху величины \tau M (B\rho 1, \rho 2
\bfp ,\theta )\bfq при \bfp < \bfq ,
которую достаточно, очевидно, получить для \bfp = \bftwo и \bfq = (q1, . . . , q2d) с qj = q > 2, j =
1, d. При этом будем принимать во внимание тот факт, что множество B\rho 1, \rho 2
\bfp ,\theta \subset L\bfq (\pi 2d)
принадлежит замыканию в L\bfq (\pi 2d) множества всех тригонометрических полиномов.
Итак, по заданному достаточно большому M подберем m \in \BbbN из соотношения
2d+1| Qm| \leq M < C| Qm| , (5)
где C — произвольная фиксированная постоянная, C > 2d+1. Для \mu , \nu \in \BbbN положим
M(\mu ,\nu ) =
\Bigl[
C1(\alpha )M 2\alpha (2m - \mu - \nu )
\Bigr]
, (6)
C1(\alpha ) = (1 - 2 - \alpha )2, а число \alpha > 0 будет уточнено ниже; через [a] обозначается целая часть
числа a \in \BbbR . Введя обозначение G =
\bigl\{
(\mu , \nu ) : \mu > m, \nu > m
\bigr\}
, отметим, что для чисел M(\mu ,\nu )
и M имеет место соотношение\sum
(\mu ,\nu )\in G
M(\mu ,\nu ) \leq C1(\alpha )M
\sum
(\mu ,\nu )\in G
2\alpha (2m - \mu - \nu ) \leq C1(\alpha )M
\infty \sum
k=1
k2 - \alpha (k - 1) \leq M. (7)
Обратим также внимание на следующий факт. Исходя из определения чисел M(\mu ,\nu ), нетруд-
но заметить, что существует \lambda = \lambda (\alpha ) > 1 такое, что если положить m0 = [2\lambda m] и G+ =
= G \cap \{ (\mu , \nu ) : \mu + \nu \leq m0\} , G0 = G \cap \{ (\mu , \nu ) : \mu + \nu > m0\} , то
M(\mu ,\nu ) \geq 1, если (\mu , \nu ) \in G+, (8)
и
M(\mu ,\nu ) = 0, если (\mu , \nu ) \in G0. (9)
Далее, для векторов \bfs = (s1, . . . , sd), \bft = (t1, . . . , td), sj , tj \in \BbbZ +, j = 1, d, и функции
f \in L\bfq (\pi 2d) положим
\delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy ) =
\sum
\bfk \in \rho (\bfs )
\bfl \in \rho (\bft )
\widehat f(\bfk , \bfl )ei((\bfk ,\bfx )+(\bfl ,\bfy ))
и для натуральных чисел n определим следующие тройки функций
fn1 (\bfx ,\bfy ) =
\sum
\bft \in \BbbZ d
+
\sum
\| \bfs \| 1\leq n
\delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy ),
fn2 (\bfx ,\bfy ) =
\sum
\| \bft \| 1\leq n
\sum
\| \bfs \| 1>n
\delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy ),
fn3 (\bfx ,\bfy ) =
\sum
\| \bft \| 1>n
\sum
\| \bfs \| 1>n
\delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ БИЛИНЕЙНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ B\bfr
\bfp ,\theta . . . 1245
Легко видеть, что функции fnj (\bfx ,\bfy ), j = 1, 2, могут быть представлены в виде
fnj (\bfx ,\bfy ) =
2d| Qn| \sum
i=1
uji (\bfx )v
j
i (\bfy ) (10)
с некоторыми uji , v
j
i \in \bfL \bfq (\pi d), j = 1, 2. Таким образом, принимая во внимание (5) и (10),
можем записать
\tau 2M (f)q \leq \tau M (fm3 )q. (11)
Соотношение (11) является отправным при установлении оценок сверху для величин \tau M (B\rho 1, \rho 2
\bfp ,\theta )\bfq .
Введем обозначение
f\mu ,\nu (\bfx ,\bfy ) =
\sum
\| \bfs \| 1=\mu
\| \bft \| 1=\nu
\delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy ).
Тогда из (11) с учетом соотношений (5), (7) и (10), будем иметь
\tau 2M (f)q \leq
\sum
(\mu ,\nu )\in G
\tau M(\mu ,\nu )
(f\mu ,\nu )q. (12)
Чтобы продолжить оценку правой части (12), нам понадобится оценка величины \| f\mu ,\nu \| 2, ко-
торую представим в виде
\| f\mu ,\nu \| 2 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
\| \bfs \| 1=\mu
\| \bft \| 1=\nu
\delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
=
\Biggl( \sum
\| \bfs \| 1=\mu
\| \bft \| 1=\nu
\| \delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )\| 22
\Biggr) 1
2
=
=
\Biggl( \sum
\| \bfs \| 1=\mu
\| \bft \| 1=\nu
22(\rho 1\| \bfs \| 1+\rho 2\| \bft \| 1)\| \delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )\| 222 - 2(\rho 1\| \bfs \| 1+\rho 2\| \bft \| 1)
\Biggr) 1
2
.
Применяя неравенство Гельдера с показателем
\theta
2
и принимая во внимание соотношение\sum
\| \bfl \| 1=n
2 - \beta \| \bfl \| 1 \asymp 2 - \beta n n d - 1, \beta > 0,
где \bfl = (l1, . . . , ld), можем записать
\| f\mu ,\nu \| 2 \ll
\Biggl( \sum
\| \bfs \| 1=\mu
\| \bft \| 1=\nu
2(\rho 1\| \bfs \| 1+\rho 2\| \bft \| 1)\theta \| \delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )\| \theta 2
\Biggr) 1
\theta
\times
\times
\left( \sum
\| \bfs \| 1=\mu
\| \bft \| 1=\nu
2 - (\rho 1\| \bfs \| 1+\rho 2\| \bft \| 1) 2\theta
\theta - 2
\right)
1
2
- 1
\theta
\ll \| f\| B\rho 1,\rho 2
\bftwo ,\theta
2 - \rho 1\mu - \rho 2\nu (\mu \nu )(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ) \ll
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1246 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
\ll 2 - \rho 1\mu - \rho 2\nu (\mu \nu )(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ).
Теперь, применяя лемму A к оценке величины \tau M(\mu ,\nu )
(f\mu ,\nu )q , находим
\tau M(\mu ,\nu )
(f\mu ,\nu )q \ll \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, M - 1
(\mu ,\nu )\} 2
1
2
(\mu +\nu ) (\mu \nu )
d - 1
2 \| f\mu ,\nu \| 2 \ll
\ll \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, M - 1
(\mu ,\nu )\} 2
1
2
(\mu +\nu ) (\mu \nu )
d - 1
2 2 - \rho 1\mu - \rho 2\nu (\mu \nu )(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ) =
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, M - 1
(\mu ,\nu )\} 2
- (\rho 1 - 1
2)\mu 2 - (\rho 2 -
1
2)\nu (\mu \nu )(d - 1)(1 - 1
\theta ). (13)
Далее, из (12), используя оценку (13) и учитывая при этом соотношения (8), (9), касающиеся
чисел M(\mu ,\nu ), получаем
\tau 2M (f)q \ll
\sum
(\mu ,\nu )\in G+
M - 1
(\mu ,\nu ) 2
- (\rho 1 - 1
2)\mu 2 - (\rho 2 -
1
2)\nu (\mu \nu )(d - 1)(1 - 1
\theta )+
+
\sum
(\mu ,\nu )\in G0
2 - (\rho 1 -
1
2)\mu 2 - (\rho 2 -
1
2)\nu (\mu \nu )(d - 1)(1 - 1
\theta ) \ll
\ll M - 1 2 - 2\alpha m
\sum
(\mu ,\nu )\in G+
2 - (\rho 1 -
1
2
- \alpha )\mu 2 - (\rho 2 -
1
2
- \alpha )\nu (\mu \nu )(d - 1)(1 - 1
\theta )+
+
\sum
(\mu ,\nu )\in G0
2 - (\rho 1 -
1
2)\mu 2 - (\rho 2 -
1
2)\nu (\mu \nu )(d - 1)(1 - 1
\theta ) =: S1 + S2. (14)
Дополним соотношение (14) оценками слагаемых S1 и S2. Выбрав \alpha > 0 таким, чтобы
выполнялись неравенства \rho 1 - 1
2
- \alpha > 0 и \rho 2 - 1
2
- \alpha > 0 (это возможно, поскольку по
условию теоремы \rho 1 >
1
2
и \rho 2 >
1
2
) , имеем
S1 \ll M - 1 2 - (\rho 1 -
1
2)m 2 - (\rho 2 -
1
2)mm2(d - 1)(1 - 1
\theta ) \asymp
\asymp 2 - (\rho 1+\rho 2)mm2(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ) \asymp M - \rho 1 - \rho 2(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)\rho 1+\rho 2+1 - 2
\theta ,
Далее, считая для определенности, что \rho 1 \leq \rho 2 и учитывая, что \lambda > 1, получим оценку
слагаемого S2 :
S2 \ll 2 - (\rho 1 - 1
2
)(2\lambda - 1)m 2 - (\rho 2 - 1
2
)mm2(d - 1)(1 - 1
\theta
) \ll
\ll 2(\lambda - 2(\lambda - 1)\rho 1)m2 - (\rho 1+\rho 2)mm2(d - 1)(1 - 1
\theta
) \asymp
\asymp M - \rho 1 - \rho 2+\lambda - 2(\lambda - 1)\rho 1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)(2\lambda - 1)\rho 1+\rho 2+\lambda +2 - 2
\theta \ll
\ll M - \rho 1 - \rho 2(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)\rho 1+\rho 2+1 - 2
\theta .
Таким образом,
\tau 2M (f)q \ll M - \rho 1 - \rho 2(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)\rho 1+\rho 2+1 - 2
\theta .
Последне соотношение влечет искомую оценку величины \tau M (B\rho 1, \rho 2
\bfp ,\theta )\bfq в случае \bfp < \bfq .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ БИЛИНЕЙНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ B\bfr
\bfp ,\theta . . . 1247
Для завершения доказательства в (4) оценки сверху осталось рассмотреть случай \bfp \geq \bfq .
Заметим, что при этом искомую оценку достаточно получить при \bftwo \leq \bfp = \bfq < \infty , т. е. для
величины \tau M (B\rho 1,\rho 2
\bfp ,\theta )\bfp .
Итак, пусть f \in B\rho 1,\rho 2
\bfp ,\theta , 2 \leq \theta < \infty , \rho 1 > 0, \rho 2 > 0. Тогда, отправляясь от (11), в силу
теоремы Б можем записать
\tau 2M (f)\bfp \leq \tau M (fm3 )\bfp \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\| \bfs \| 1>m
\| \bft \| 1>m
\delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bfp
\ll
\ll
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\left( \sum
\| \bfs \| 1>m
\| \bft \| 1>m
| \delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )| 2
\right)
1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\bfp
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\| \bfs \| 1>m
\| \bft \| 1>m
| \delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )| 2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
2
\bfp
2
\leq
\leq
\left( \sum
\| \bfs \| 1>m
\| \bft \| 1>m
\| | \delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )| 2 \| \bfp
2
\right)
1
2
=
\left( \sum
\| \bfs \| 1>m
\| \bft \| 1>m
\| \delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )\| 2\bfp
\right)
1
2
=: J. (15)
Далее, при 2 < \theta < \infty , аналогично как и в предыдущем случае, применив к последней сумме
(15) неравенство Гельдера с показателем \theta
2 , будем иметь
J \ll
\left( \sum
\| \bfs \| 1>m
\| \bft \| 1>m
2(\rho 1 \| \bfs \| 1+\rho 2 \| \bft \| 1)\theta \| \delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )\| \theta \bfp
\right)
1
\theta
\times
\times
\left( \sum
\| \bfs \| 1>m
\| \bft \| 1>m
2 - (\rho 1 \| \bfs \| 1+\rho 2 \| \bft \| 1) 2 \theta
\theta - 2
\right)
1
2
- 1
\theta
\ll
\ll 2 - \rho 1m - \rho 2mm2(d - 1)( 1
2
- 1
\theta ) \asymp M - \rho 1 - \rho 2 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)\rho 1+\rho 2+1 - 2
\theta .
В случае \theta = 2 из (13) получаем
J \leq 2 - \rho 1m - \rho 2m
\Biggl( \sum
\| \bfs \| 1>m
\| \bft \| 1>m
22(\rho 1 \| \bfs \| 1+\rho 2 \| \bft \| 1) \| \delta \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )\| 2\bfp
\Biggr) 1
2
\ll
\ll 2 - \rho 1m - \rho 2m \| f\| B\rho 1, \rho 2
\bfp ,2
\leq 2 - \rho 1m - \rho 2m \asymp M - \rho 1 - \rho 2(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)\rho 1+\rho 2 .
Оценки сверху в теореме установлены.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1248 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Для доказательства в (4) оценки снизу нам понадобятся некоторые дополнительные обозна-
чения. Пусть по-прежнему \bfs = (s1, . . . , sd) и \bft = (t1, . . . , td), sj , tj \in \BbbZ +, j = 1, d. Рассмотрим
полином 2d переменных вида
A\bfs ,\bft (\bfx ,\bfy ) = A\bfs (\bfx )A\bft (\bfy )
и для f \in L0
\bfq (\pi 2d) положим
\BbbA \bfs ,\bft (f, \bfx ,\bfy ) = (f \ast A\bfs ,\bft )(\bfx ,\bfy ).
Для четных чисел n определим множества:
\Omega n =
\bigl\{
\bfs : \| \bfs \| 1 = n, sj — четные натуральные числа, j = 1, d
\bigr\}
;
Q\ast
n =
\bigcup
s\in \Omega n
\rho +(\bfs ),
где
\rho +(\bfs ) =
\bigl\{
\bfm = (m1, . . . ,md) : 2sj - 1 \leq mj < 2sj , j = 1, d
\bigr\}
.
Из определенного ранее множества T (Q\ast
n, Q
\ast
n, 2d) выделим подмножество тригонометри-
ческих полиномов t(\bfx ,\bfy ) таких, что для \bfs , \bft \in \Omega n\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\bfk \in \rho +(\bfs )
\bfl \in \rho +(\bft )
\widehat t(\bfk , \bfl ) ei((\bfk ,\bfx )+(\bfl ,\bfy ))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq 1. (16)
Обозначим это подмножество через T H(Q\ast
n \times Q\ast
n ).
Для фиксированных постоянных C1, C2 > 0, по заданному достаточно большому M под-
берем n \in \BbbN таким, чтобы выполнялось соотношение C1| Q\ast
n| \leq M \leq C2| Q\ast
n| . Тогда, как
показано в [3], для некоторой функции f \in T H(Q\ast
n \times Q\ast
n ) справедлива оценка
\tau M (f)\bftwo \geq C1(d)| \Omega n| . (17)
Положим
g(\bfx ,\bfy ) := C2(d)2
- n(\rho 1+\rho 2) n -
2(d - 1)
\theta f(\bfx ,\bfy ). (18)
Легко убедиться, что при соответствующем выборе положительной постоянной C2(d) функ-
ция g(\bfx ,\bfy ) принадлежит классу B\rho 1,\rho 2
\infty ,\theta . Действительно, достаточно заметить, что в силу соот-
ношения (16) \left( \sum
\bfs \in \Omega n
\bft \in \Omega n
2((\bfs ,\bfone )\rho 1+(\bft ,\bfone )\rho 2)\theta \| \BbbA \bfs ,\bft (f,\bfx ,\bfy )\| \theta \infty
\right)
1
\theta
\ll
\ll
\left( \sum
\bfs \in \Omega n
\bft \in \Omega n
2((\bfs ,\bfone )\rho 1+(\bft ,\bfone )\rho 2)\theta
\right)
1
\theta
\asymp 2n(\rho 1+\rho 2) n
2(d - 1)
\theta
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ БИЛИНЕЙНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ КЛАССОВ B\bfr
\bfp ,\theta . . . 1249
и принять во внимание определение (18).
Таким образом, для функции g \in B\rho 1,\rho 2
\infty ,\theta с учетом соотношений | \Omega n| \asymp nd - 1 и M \asymp 2nnd - 1,
будем иметь
\tau M (g)\bftwo \asymp 2 - n(\rho 1+\rho 2) n -
2(d - 1)
\theta \tau M (f)\bftwo \gg
\gg 2 - n(\rho 1+\rho 2) n -
2(d - 1)
\theta | \Omega n| \asymp 2 - n(\rho 1+\rho 2) n(d - 1)(1 - 2
\theta ) \asymp
\asymp M - \rho 1 - \rho 2
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\Bigr) (\rho 1+\rho 2+1 - 2
\theta )
.
Оценка снизу, а вместе с ней теорема 1 доказаны.
4. Сингулярные числа интегральных операторов. Здесь, используя результат теоремы 1,
установим точную по порядку оценку сингулярных чисел интегральных операторов с ядрами
из классов B\rho 1,\rho 2
\bfp ,\theta .
Справедливо утверждение.
Теорема 2. Пусть \bftwo \leq \bfp \leq \infty , 2 \leq \theta < \infty , и \rho i > 0, i = 1, 2. Тогда для класса B\rho 1, \rho 2
\bfp ,\theta
функций с 2d переменными имеет место порядковое соотношение
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in B\rho 1, \rho 2
\bfp ,\theta
sM (Jf ) \asymp M - \rho 1 - \rho 2 - 1
2
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\Bigr) (\rho 1+\rho 2+1 - 2
\theta )
. (19)
Доказательство. Установим сначала оценку сверху. Пусть f \in B\rho 1,\rho 2
\bfp ,\theta . Тогда согласно
теореме А можем записать
\tau M (f)\bftwo \geq
\Biggl(
2M\sum
m=M+1
s2m(Jf )
\Biggr) 1
2
\geq M
1
2 s2M (Jf ).
Отсюда имеем
s2M (Jf ) \leq M - 1
2 \tau M (f)\bftwo .
Следовательно, воспользовавшись результатом теоремы 1 при \bfq = \bftwo , получим
s2M (Jf ) \ll M - \rho 1 - \rho 2 - 1
2
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\Bigr) (\rho 1+\rho 2+1 - 2
\theta )
и, очевидно, такая же по порядку оценка справедлива и для sM (Jf ).
При доказательстве в (19) оценки снизу используем задействованную в доказательстве
теоремы 1 функцию f \in T H(Q\ast
n, Q
\ast
n, 2d) с n, удовлетворяющим неравенству C1| Q\ast
n| \leq M \leq
\leq C2| Q\ast
n| для некоторых фиксированных C1, C2 > 0.
Из теоремы А следует соотношение
\tau M (f)\bftwo \leq sM+1(Jf )| Q\ast
n|
1
2 , (20)
сопоставив которое с (17), будем иметь
sM+1(Jf ) \gg | Q\ast
n| -
1
2 | \Omega n| . (21)
Теперь, учитывая, что определенная через фукцию f(\bfx ,\bfy ) соотношением (18), функция
g(\bfx ,\bfy ) принадлежит классу B\rho 1,\rho 2
\infty ,\theta , а | \Omega n| \asymp nd - 1 и | Q\ast
n| \asymp 2nnd - 1, из (21) приходим к
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1250 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
оценке
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varphi \in B\rho 1, \rho 2
\bfp ,\theta
sM (J\varphi ) \gg sM (Jg) \gg 2 - n(\rho 1+\rho 2) n -
2(d - 1)
\theta M - 1
2 nd - 1 \asymp
\asymp M - \rho 1 - \rho 2 - 1
2
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M
\Bigr) (\rho 1+\rho 2+1 - 2
\theta )
.
Теорема 2 доказана.
Литература
1. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений периодических функций // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1988. – 181. – C. 250 – 267.
2. Темляков В. Н. Билинейная аппроксимация и приложения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – C. 191 –
214.
3. Темляков В. Н. Билинейная аппроксимация и близкие вопросы // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1992. – 194. – C. 229 – 248.
4. Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Br
p,\theta периодических функций
многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2006. – 70, № 2. – C. 69 – 98.
5. Романюк А. С., Романюк В. С. Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных при-
ближений классов функций нескольких переменных // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 4. – C. 536 – 551.
6. Романюк А. С., Романюк В. С. Наилучшие билинейные приближения функций из пространств Никольского –
Бесова // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 5. – C. 685 – 697.
7. Романюк А. С., Романюк В. С. Наилучшие билинейные приближения классов функций многих переменных //
Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 12. – C. 1681 – 1699.
8. Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические и билинейные приближения классов функций многих пере-
менных // Мат. заметки. – 2013. – 94, № 3. – C. 401 – 415.
9. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 с.
10. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. – М.:
Наука, 1975. – 480 с.
11. Аманов Т. И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. – Алма-
Ата: Наука, 1976. – 224 с.
12. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 с.
13. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I // Math. Ann. – 1907. – 63, № 4. –
S. 433 – 476.
14. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Об оценках сингулярных чисел интегральных операторов. II // Вестн. Ленинград.
гос. ун-та. – 1967. – 3, № 13. – C. 21 – 28.
15. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Оценки сингулярных чисел интегральных операторов // Успехи мат. наук. –
1977. – 32, № 1. – C. 17 – 84.
16. Smithies F. The eigen-values and singular values of integral equations // Proc. London Math. Soc. (2). – 1937. – 43. –
P. 255 – 279.
17. Cochran J. A. Summability of singular values of L2 kornels. Analogies with Fourier series // Enseign. Math. – 1976. –
22, № 1-2. – P. 141 – 157.
18. Пич А. Собственные числа интегральных операторов // Докл. АН СССР. – 1979. – 247, № 6. – C. 1324 – 1327.
19. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – C. 1 – 112.
Получено 22.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1917 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:11Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/79/d82e3b9d1843574e2f1a826121baf479.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19172019-12-05T09:31:35Z Estimates for the best bilinear approximations of the classes $B^r_{p,\theta}$ and singular numbers of integral operators Оценки наилучших билинейных приближений классов $B^r_{p,\theta}$ и сингулярных чисел интегральных операторов Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. We obtain the exact-order estimates for the best bilinear approximations of the Nikol‘ski–Besov classes $B^r_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables. We also find the orders for singular numbers of the integral operators with kernels from the classes $B^r_{p,\theta}$. Встановлено точнi за порядком оцiнки найкращих бiлiнiйних наближень класiв Нiкольського – Бєсова $B^r_{p,\theta}$ перiодичних функцiй багатьох змiнних. Знайдено порядки сингулярних чисел iнтегральних операторiв з ядрами, що належать класам $B^r_{p,\theta}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1917 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 9 (2016); 1240-1250 Український математичний журнал; Том 68 № 9 (2016); 1240-1250 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1917/899 Copyright (c) 2016 Romanyuk A. S.; Romanyuk V. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Estimates for the best bilinear approximations of the classes $B^r_{p,\theta}$ and singular numbers of integral operators |
| title | Estimates for the best bilinear approximations of the classes $B^r_{p,\theta}$ and singular numbers of integral operators |
| title_alt | Оценки наилучших билинейных приближений классов $B^r_{p,\theta}$ и сингулярных чисел интегральных операторов
|
| title_full | Estimates for the best bilinear approximations of the classes $B^r_{p,\theta}$ and singular numbers of integral operators |
| title_fullStr | Estimates for the best bilinear approximations of the classes $B^r_{p,\theta}$ and singular numbers of integral operators |
| title_full_unstemmed | Estimates for the best bilinear approximations of the classes $B^r_{p,\theta}$ and singular numbers of integral operators |
| title_short | Estimates for the best bilinear approximations of the classes $B^r_{p,\theta}$ and singular numbers of integral operators |
| title_sort | estimates for the best bilinear approximations of the classes $b^r_{p,\theta}$ and singular numbers of integral operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1917 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas estimatesforthebestbilinearapproximationsoftheclassesbrpthetaandsingularnumbersofintegraloperators AT romanyukvs estimatesforthebestbilinearapproximationsoftheclassesbrpthetaandsingularnumbersofintegraloperators AT romanûkas estimatesforthebestbilinearapproximationsoftheclassesbrpthetaandsingularnumbersofintegraloperators AT romanûkvs estimatesforthebestbilinearapproximationsoftheclassesbrpthetaandsingularnumbersofintegraloperators AT romanûkas estimatesforthebestbilinearapproximationsoftheclassesbrpthetaandsingularnumbersofintegraloperators AT romanûkvs estimatesforthebestbilinearapproximationsoftheclassesbrpthetaandsingularnumbersofintegraloperators AT romanyukas ocenkinailučšihbilinejnyhpribliženijklassovbrpthetaisingulârnyhčiselintegralʹnyhoperatorov AT romanyukvs ocenkinailučšihbilinejnyhpribliženijklassovbrpthetaisingulârnyhčiselintegralʹnyhoperatorov AT romanûkas ocenkinailučšihbilinejnyhpribliženijklassovbrpthetaisingulârnyhčiselintegralʹnyhoperatorov AT romanûkvs ocenkinailučšihbilinejnyhpribliženijklassovbrpthetaisingulârnyhčiselintegralʹnyhoperatorov AT romanûkas ocenkinailučšihbilinejnyhpribliženijklassovbrpthetaisingulârnyhčiselintegralʹnyhoperatorov AT romanûkvs ocenkinailučšihbilinejnyhpribliženijklassovbrpthetaisingulârnyhčiselintegralʹnyhoperatorov |