On the local behavior of open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes
The paper is devoted to the study of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality and, in particular, of mappings with finite distortion extensively studied in recent years. We obtain theorems on equicontinuity of families of mappings that belong to the Orlicz–Sobolev class for $n \ge...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1919 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507808705806336 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:35Z |
| description | The paper is devoted to the study of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality and, in particular, of
mappings with finite distortion extensively studied in recent years. We obtain theorems on equicontinuity of families of
mappings that belong to the Orlicz–Sobolev class for $n \geq 3$, and have finite distortion. To do this, we also investigate some auxiliary classes of mappings, namely, we study the relationship between the so-called lower $Q$-mappings and some
inequalities of the capacity type.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. А. Севостьянов (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко)
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
КЛАССОВ ОРЛИЧА – СОБОЛЕВА
The paper is devoted to the study of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality and, in particular, of
mappings with finite distortion extensively studied in recent years. We obtain theorems on equicontinuity of families of
mappings that belong to the Orlicz–Sobolev class for n \geq 3, and have finite distortion. To do this, we also investigate
some auxiliary classes of mappings, namely, we study the relationship between the so-called lower Q-mappings and some
inequalities of the capacity type.
Дану роботу присвячено вивченню вiдображень з необмеженою характеристикою квазiконформностi, зокрема вi-
дображень зi скiнченним спотворенням, що активно вивчаються протягом останнього часу. Отримано теореми про
одностайну неперервнiсть сiмей вiдображень, якi належать класу Орлiча – Соболєва при n \geq 3 i мають скiнченне
спотворення. Для досягнення цiєї мети паралельно дослiджуються деякi допомiжнi класи вiдображень, а саме, вив-
чається взаємозв’язок мiж так званими нижнiми Q-вiдображеннями i деякими нерiвностями ємнiсного характеру.
1. Введение. Данная статья посвящена изучению свойства равностепенной непрерывности
одного подвида отображений с конечным искажением, активно изучаемых последнее время
(см. [1], а также [2, 3]). Как было показано в одной из совместных работ автора, семейства
гомеоморфизмов класса Орлича – Соболева с конечным искажением являются нормальными
(равностепенно непрерывными) при определенных дополнительных условиях на характери-
стику квазиконформности отображений и количество выпускаемых этими отображениями зна-
чений (см., например, [4], теоремы 7, 9 и следствие 13). Однако, как оказалось, требование
гомеоморфности в формулировке упомянутых результатов в известном смысле не является
принципиальным, поскольку, как будет показано в настоящей работе, при некоторых (довольно
естественных) условиях на семейство отображений, условие гомеоморфности можно отбросить
и заменить его требованием, что каждое отображение является лишь открытым и дискретным.
При этом дополнительно налагается условие ограниченности функции кратности рассматрива-
емого семейства отображений. В данной работе будут сформулированы и подробно доказаны
результаты подобного характера.
Как и в случае гомеоморфизмов, исследование открытых дискретных отображений классов
Орлича – Соболева опирается на их связь с так называемыми нижними Q-отображениями,
в связи с чем в работе развивается параллельная вспомогательная теория их исследования.
Понятия и обозначения, встречающиеся в настоящей работе, могут быть найдены в работах [1 –
5], и потому преимущественно опускаются. Понятие емкости конденсатора, множеств емкости
нуль и т. д., могут быть найдены, например, в [6]. Здесь и далее h — хордальная метрика (см.
[7], определение 12. 1). Перейдем к формулировке основных результатов настоящей работы.
Для заданных компактного множества E \subset \BbbR n, неубывающей функции \varphi : [0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ),
измеримой по Лебегу функции Q : D \rightarrow [1,\infty ] и числа N \in \BbbN обозначим символом R\varphi ,Q,N,E
семейство всех открытых дискретных отображений f : D \rightarrow \BbbR n \setminus E класса W 1,\varphi
loc , имеющих
конечное искажение, таких что N(f,D) \leq N и Kn - 1
O (x, f) \leq Q(x) почти всюду. Справедлива
следующая теорема.
c\bigcirc Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8 1259
1260 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Теорема 1. Пусть n \geq 3, тогда семейство отображений R\varphi ,Q,N,E является равносте-
пенно непрерывным в некоторой фиксированной точке x0 \in D, если \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}E > 0, Q \in L1
loc(D),
\infty \int
1
\biggl[
t
\varphi (t)
\biggr] 1
n - 2
dt <\infty (1)
и, кроме того, при некотором \varepsilon 0 > 0, \varepsilon 0 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D), выполнено условие расходимости
интеграла
\varepsilon 0\int
0
dt
tq
1
n - 1
x0 (t)
= \infty , (2)
где, как обычно, qx0(r) :=
1
\omega n - 1rn - 1
\int
| x - x0| =r
Q(x) d\scrH n - 1. В частности, заключение теоремы
1 является правильным, если qx0(r) = O
\Biggl( \biggl[
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}
1
r
\biggr] n - 1
\Biggr)
при r \rightarrow 0.
Здесь и далее равностепенная непрерывность понимается как между метрическими про-
странствами (X, d) = (D, | \cdot | ), где D — область в \BbbR n, а | \cdot | — евклидова метрика, | x - y| =
=
\sqrt{} \sum n
i=1
(yi - xi)
2, x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn); (X \prime , d \prime ) =
\bigl(
\BbbR n, h
\bigr)
, где \BbbR n =
= \BbbR n\cup \{ \infty \} , h — хордальная метрика. Из критерия Арцела – Асколи (см. [7], предложение 20.4)
вытекает следующее утверждение.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 семейство отображений R\varphi ,Q,N,E является нор-
мальным семейством отображений, как только условие (2) выполнено в каждой точке x0
области D.
Сформулируем еще один важнейший результат работы. Понятие FMO („конечного сред-
него колебания”) может быть найдено в монографии [3] (разд. 6.2). Имеет место следующая
теорема.
Теорема 2. При n \geq 3 семейство отображений R\varphi ,Q,N,E является равностепенно непре-
рывным в точке x0 \in D, если \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}E > 0, выполнено условие (1) и, кроме того, Q \in FMO(x0).
Из теоремы 2 на основании приведенного выше критерия Арцела – Асколи вытекает следу-
ющее утверждение.
Следствие 2. В условиях теоремы 2 семейство отображений R\varphi ,Q,N,E является нормаль-
ным семейством отображений, как только условие Q \in FMO(x0) выполнено в каждой точке
x0 области D.
2. Предварительные сведения. В данном пункте обсуждаются различные не связанные
между собой вопросы, каждый из которых является вспомогательным элементом при дока-
зательстве основных результатов работы. Встречающиеся ниже определения поверхности и
модуля семейств поверхностей можно найти, например, в [3] (гл. 9).
Следующий класс отображений представляет собой обобщение квазиконформных отобра-
жений в смысле кольцевого определения по Герингу и отдельно исследуется различными авто-
рами (см., например, [3], глава 9). Пусть D и D \prime — заданные области в \BbbR n, n \geq 2, x0 \in D\setminus \{ \infty \}
и Q : D \rightarrow (0,\infty ) — измеримая по Лебегу функция. Будем говорить, что f : D \rightarrow D \prime — нижнее
Q-отображение в точке x0, как только M(f(\Sigma \varepsilon )) \geq \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\rho \in ext adm\Sigma \varepsilon
\int
D\cap A(\varepsilon ,\varepsilon 0,x0)
\rho n(x)
Q(x)
dm(x)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕИЙ КЛАССОВ . . . 1261
для каждого кольца A(\varepsilon , \varepsilon 0, x0), \varepsilon 0 \in (\varepsilon , d0), d0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\in D | z - z0| , где \Sigma \varepsilon обозначает семей-
ство всех пересечений сфер S(x0, r) с областью D, r \in (\varepsilon , \varepsilon 0). Примеры таких отображений
несложно указать (см. теоремы 3, 4).
Следующее утверждение даже для несколько более общего случая „p-почти всех поверх-
ностей” при n - 1 < p \leqslant n приведено в работе [8], однако, содержит небольшую неточность
в своей формулировке (в ней нужно, вообще говоря, предположить измеримость множества
E \subset \BbbR , состоящего из всех r > 0 таких, что некоторое свойство P имеет место относительно
сферы S(0, r)), и потому приводится ниже полностью.
Лемма 1. Пусть x0 \in D. Если некоторое свойство P имеет место для почти всех сфер
D(x0, r) := S(x0, r) \cap D, где «почти всех» понимается в смысле модуля семейств поверх-
ностей, и, кроме того, множество E \subset \BbbR , состоящее из всех r > 0 таких, что свойство
P имеет место относительно сферы S(0, r), является измеримым по Лебегу, то P также
имеет место для почти всех сфер D(x0, r) относительно линейной меры Лебега по парамет-
ру r \in \BbbR . Обратно, пусть P имеет место для почти всех сфер D(x0, r) := S(x0, r) \cap D
относительно линейной меры Лебега по r \in \BbbR , тогда P также имеет место для почти всех
поверхностей D(x0, r) := S(x0, r) \cap D в смысле модуля семейств поверхностей.
Доказательство. Необходимость. Пусть некоторое свойство P имеет место для почти
всех сфер D(x0, r) := S(x0, r) \cap D, где «почти всех» понимается в смысле модуля семейств
поверхностей. Покажем, что P также имеет место для почти всех сфер D(x0, r) по отношению
к параметру r \in \BbbR .
Достаточно рассмотреть случай, когда область D ограничена. Предположим, что заключе-
ние леммы не является правильным. Поскольку множество E из условия леммы является изме-
римым по Лебегу, то найдется семейство \Gamma сфер D(x0, r), для которого свойство P выполнено
в смысле почти всех поверхностей относительно модуля, однако нарушается для некоторого
множества индексов r \in \BbbR положительной меры.
Вследствие регулярности меры Лебега m1 найдется борелевское множество B \subset \BbbR такое,
что m1(B) > 0 и свойство P нарушается для почти всех r \in B. Пусть \rho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] —
допустимая функция для семейства \Gamma . Учитывая, что B борелево, можно считать, что \rho \equiv 0
вне E = \{ x \in D : \exists r \in B : | x - x0| = r\} , поскольку в этом случае множество E, очевидно,
борелево. По неравенству Гельдера
\int
E
\rho n - 1(x) dm(x) \leq
\left( \int
E
\rho n(x) dm(x)
\right) n - 1
n
\left( \int
E
dm(x)
\right) 1
n
и, следовательно, в силу теоремы Фубини (см. [9], гл. III, теорема 8.1),
\int
\BbbR n
\rho n(x) dm(x) \geq
\biggl( \int
E
\rho n - 1(x) dm(x)
\biggr) n
n - 1
\biggl( \int
E
dm(x)
\biggr) 1
n - 1
\geq (m1(B))
n
n - 1
c
для некоторого c > 0, т. е. M(\Gamma ) > 0, что противоречит предположению леммы. Первая часть
леммы 1 доказана.
Достаточность. Пусть P имеет место для почти всех r относительно меры Лебега и всех
соответствующих этим r сфер D(x0, r), r \in \BbbR . Покажем, что P также выполняется для почти
всех поверхностей D(x0, r) := S(x0, r) \cap D в смысле модуля семейств поверхностей.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1262 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Обозначим через \Gamma 0 семейство всех пересечений Dr := D(x0, r) сфер S(x0, r) с областью
D, для которых P не имеет места. Пусть R обозначает множество всех r \in \BbbR таких, что
Dr \in \Gamma 0. Если m1(R) = 0, то по теореме Фубини получаем m(E) = 0, где E = \{ x \in D :
| x - x0| = r \in R\} . Рассмотрим функцию \rho 1 : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ], определенную символом \infty при
x \in E и доопределенную нулем в остальных точках. Отметим, что найдется борелева функция
\rho 2 : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ], совпадающая почти всюду с \rho 1 (см. [10], разд. 2.3.5). Таким образом, M(\Gamma 0) \leq
\leq
\int
E
\rho n2dm(x) =
\int
E
\rho n1dm(x) = 0, следовательно, M(\Gamma 0) = 0.
Лемма 1 доказана.
Следующее утверждение может быть доказано аналогично теореме 9.2 в [3] и потому
опускается.
Лемма 2. Пусть D, D \prime \subset \BbbR n, x0 \in D \setminus \{ \infty \} и Q : D \rightarrow (0,\infty ) — измеримая по Лебегу
функция. Отображение f : D \rightarrow D \prime является нижним Q-отображением в точке x0 тогда
и только тогда, когда M(f(\Sigma \varepsilon )) \geq
\int \varepsilon 0
\varepsilon
dr
| | Q| | n - 1(r)
\forall \varepsilon \in (0, \varepsilon 0), \varepsilon 0 \in (0, d0), где, как и
выше, \Sigma \varepsilon обозначает семейство всех пересечений сфер S(x0, r) с областью D, r \in (\varepsilon , \varepsilon 0),
\| Q\| n - 1(r) =
\Biggl( \int
D(x0,r)
Qn - 1(x) d\scrA
\Biggr) 1
n - 1
.
Из леммы 7.4 [3] вытекает справедливость следующей леммы.
Лемма 3. Пусть Q : D \rightarrow [0,\infty ] — измеримая по Лебегу функция, Q \in L1
loc(D), для произ-
вольных 0 < r1 < r2 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D) полагаем E =
\Bigl(
B(x0, r2), B(x0, r1)
\Bigr)
, A := A(r1, r2, x0) =
= \{ x \in \BbbR n : r1 < | x - x0| < r2\} . Тогда если емкость конденсатора
f(E) :=
\Bigl(
f(B(x0, r2)), f
\Bigl(
B(x0, r1)
\Bigr) \Bigr)
открытого дискретного отображения f : D \rightarrow \BbbR n удовлетворяет условию
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f(E) \leq \omega n - 1
In - 1
, (3)
где I = I(x0, r1, r2) задается соотношением I = I(x0, r1, r2) =
\int r2
r1
dr
rq
1
n - 1
x0 (r)
, то также
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f(E) \leq
\int
A
Q(x)\eta n(| x - x0| ) dm(x) (4)
для любой неотрицательной измеримой по Лебегу функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ], удовлетворя-
ющей условию
r2\int
r1
\eta (r)dr = 1 . (5)
Имеет место следующее предложение (см. лемму 2.6, гл. III [6]).
Предложение 1. Предположим, что E — компактное собственное подмножество \BbbR n
такое, что \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}E > 0. Тогда для каждого a > 0 существует такое положительное число
\delta > 0, что \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}
\bigl(
\BbbR n \setminus E, C
\bigr)
\geq \delta , где C — произвольный континуум в \BbbR n \setminus E такой, что
h(C) \geq a.
Докажем теперь следующее важное утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕИЙ КЛАССОВ . . . 1263
Лемма 4. Пусть D — область в \BbbR n, n \geq 2, E \subset \BbbR n — компактное множество поло-
жительной емкости, Q : D \rightarrow [0,\infty ] — измеримая по Лебегу функция, \frakF Q,E(x0) — семейство
открытых дискретных отображений f : D \rightarrow \BbbR n \setminus E, удовлетворяющих в точке x0 \in D
условию (4) для любых 0 < r1 < r2 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D) и любой неотрицательной измеримой по
Лебегу функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ], для которой имеет место условие (5). Предположим,
что \int
\varepsilon <| x - x0| <\varepsilon 0
Q(x)\psi n(| x - x0| ) dm(x) = o (In(\varepsilon , \varepsilon 0)) , (6)
где \psi (t) — некоторая неотрицательная измеримая по Лебегу функция такая, что при неко-
тором \varepsilon \prime 0 \in (0, \varepsilon 0) выполнено условие
0 < I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\varepsilon 0\int
\varepsilon
\psi (t)dt <\infty \forall \varepsilon \in (0, \varepsilon \prime 0) . (7)
Тогда семейство отображений \frakF Q,E(x0) равностепенно непрерывно в точке x0.
Доказательство. Полагаем \scrE = (A, C), где
A = B(x0, \varepsilon 0) , C = B(x0, \varepsilon ) .
Рассмотрим семейство измеримых функций \eta \varepsilon (t) = \psi (t)/I(\varepsilon , \varepsilon 0), t \in (\varepsilon , \varepsilon 0). Заметим, что для
всех \varepsilon \in (0, \varepsilon \prime 0) выполнено равенство
\int \varepsilon 0
\varepsilon
\eta \varepsilon (t) dt = 1. Тогда, по определению класса \frakF Q,E(x0),
для любого f \in \frakF Q,E(x0) и \varepsilon \in (0, \varepsilon \prime 0) имеем
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f (\scrE ) \leq 1
In(\varepsilon , \varepsilon 0)
\int
\varepsilon <| x - x0| <\varepsilon 0
Q(x) \cdot \psi n(| x - x0| ) dm(x) .
Из условия (6) получаем \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f (\scrE ) \leq \alpha (\varepsilon ) для всех \varepsilon \in (0, \varepsilon \prime 0), где \alpha (\varepsilon ) \rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0.
Выберем произвольно число a > 0. Для этого числа найдется число \delta = \delta (a), для которого
выполнено условие предложения 1 относительно множества E, соответствующего условию
леммы 4. Тогда для числа \delta = \delta (a) найдется такое \varepsilon \ast = \varepsilon \ast (a), что
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f (\scrE ) \leq \delta \forall \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast (a)) . (8)
Используя соотношение (8), получаем
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}
\Bigl(
\BbbR n \setminus E, f
\Bigl(
B(x0, \varepsilon )
\Bigr) \Bigr)
\leq \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}
\Bigl(
f (B(x0, r0)) , f
\Bigl(
B(x0, \varepsilon )
\Bigr) \Bigr)
\leq \delta
при \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast (a)) .
Тогда из предложения 1 следует, что h
\Bigl(
f
\Bigl(
B(x0, \varepsilon )
\Bigr) \Bigr)
< a. Окончательно, для любого
a > 0 существует такое \varepsilon \ast = \varepsilon \ast (a), что
h
\Bigl(
f
\Bigl(
B(x0, \varepsilon )
\Bigr) \Bigr)
< a,
как только \varepsilon \in (0, \varepsilon \ast (a)) .
Лемма 4 доказана.
Поскольку условия (6), (7) в общем случае чрезвычайно затруднительны для проверки,
особенно важным может оказаться следующее утверждение, в котором описаны наиболее обо-
зримые частные случаи этих соотношений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1264 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
3. Основная лемма. Используемые ниже сведения, касающиеся емкости C[D,E, F ] пары
множеств E,F относительно области D, можно найти в работе В. Цимера [11]. Для числа
n\prime = n/(n - 1) определим величину
\widetilde Mn\prime (\Sigma ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\rho \in \widetilde adm\Sigma
\int
\BbbR n
\rho n\prime
dm(x) , (9)
где запись \rho \in \widetilde \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Sigma означает, что \rho — неотрицательная борелевская функция в \BbbR n такая, что\int
\sigma \cap R
\rho d\scrH n - 1 \geq 1 \forall \sigma \in \Sigma . (10)
Заметим, что согласно результату Цимера
\widetilde Mn \prime (\Sigma ) = C[G,C0, C1]
- 1/(n - 1) , (11)
см. теорему 3.13 [11]. Заметим также, что согласно результату Шлыка
M(\Gamma (E,F,D)) = C[D,E, F ] , (12)
см. теорему [12]. Дальнейшие исследования работы опираются на две важные взаимосвязи:
указывается взаимосвязь нижних Q-отображений и отображений, удовлетворяющих оценкам
(3), а затем взаимосвязь классов Орлича – Соболева с нижними Q-отображениями. Подобные
взаимосвязи найдены нами, правда, только при дополнительном предположении открытости и
дискретности отображений рассматриваемых классов. (Изучение более общего случая не отно-
сится к ближайшим целям данного исследования и, вероятно, требует подходов, существенно
отличных от модульной техники.) Следующая лемма является наиболее важным элементом
дальнейшего изложения.
Лемма 5. Пусть x0 \in D и Q : D \rightarrow [0,\infty ] — локально интегрируемая в степени n - 1 в
D функция. Если f : D \rightarrow \BbbR n — открытое дискретное нижнее Q-отображение в точке x0,
то f удовлетворяет оценке
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f(E) \leq \omega n - 1
I\ast n - 1
,
где E — конденсатор вида E = (B(x0, r2), B(x0, r1)), \omega n - 1 — площадь единичной сферы в \BbbR n,
q \ast x0
(r) — среднее значение функции Qn - 1(x) над сферой | x - x0| = r и I \ast = I \ast (x0, r1, r2) =
=
\int r2
r1
dr
rq
\ast 1
n - 1
x0 (r)
.
Доказательство. Пусть x0 \in D, 0 < r1 < r2 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D). Без ограничения общности
можно считать, что f(x0) \not = \infty . Зафиксируем \varepsilon \in (r1, r2) и рассмотрим шар B(x0, \varepsilon ). Полагаем
C0 = \partial f(B(x0, r2)), C1 = f(B(x0, r1)), \sigma = \partial f(B(x0, \varepsilon )). Поскольку B(x0, r2) — компакт в
D, найдется такой шар B(x0, R), что f(B(x0, r2)) \subset B(x0, R). Полагаем G := B(x0, R).
Поскольку f непрерывно и открыто, f(B(x0, r1)) — компактное подмножество множества
f(B(x0, \varepsilon )) так же, как f(B(x0, \varepsilon )) — компактное подмножество f(B(x0, r2)). В частности,
f(B(x0, r1)) \cap \partial f(B(x0, \varepsilon )) = \varnothing . Пусть, как и выше, R = G \setminus (C0 \cup C1) и R \ast = R \cup C0 \cup C1,
тогда R \ast := G. Заметим, что \sigma разделяет C0 и C1 в R \ast = G. Действительно, множество \sigma \cap R
замкнуто в R, кроме того, пусть A := G\setminus f(B(x0, \varepsilon )) и B = f(B(x0, \varepsilon )), тогда A и B открыты
в G \setminus \sigma , C0 \subset A, C1 \subset B и G \setminus \sigma = A \cup B.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕИЙ КЛАССОВ . . . 1265
Пусть \Sigma — семейство всех множеств, отделяющих C0 от C1 в G. Поскольку для открытых
отображений \partial f(O) \subset f(\partial O), где O — компактная подобласть D, получаем \partial f(B(x0, r)) \subset
\subset f(\partial B(x0, r)), r \in (0,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D)).
Пусть \rho n - 1 \in \widetilde \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\bigcup r2
r=r1
\partial f(B(x0, r)) в смысле соотношения (10), тогда \rho \in
\in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}
\bigcup r2
r=r1
\partial f(B(x0, r)) в смысле соотношения (9.11) [3]. Поскольку (вследствие откры-
тости отображения f ) имеет место включение \partial f(B(x0, r)) \subset f(S(x0, r)), получаем, что
\rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}
\bigcup r2
r=r1
f(S(x0, r)) и, следовательно, в силу (9) имеем
\widetilde Mn\prime (\Sigma ) \geq \widetilde Mn\prime
\Biggl(
r2\bigcup
r=r1
\partial f(B(x0, r))
\Biggr)
\geq \widetilde Mn\prime
\Biggl(
r2\bigcup
r=r1
f(S(x0, r))
\Biggr)
\geq
\geq M
\Biggl(
r2\bigcup
r=r1
f(S(x0, r))
\Biggr)
. (13)
Однако, согласно (11) и (12),
\widetilde Mn\prime (\Sigma ) =
1
(M(\Gamma (C0, C1, G)))1/(n - 1)
. (14)
Пусть \Gamma f(E) — семейство всех кривых для конденсатора f(E) в обозначениях [6] (предложе-
ние 10.2, гл. II). Пусть также \Gamma \ast
f(E) обозначает семейство всех спрямляемых кривых семейства
\Gamma f(E). Тогда заметим, что семейства \Gamma \ast
f(E) и \Gamma (C0, C1, G) имеют одинаковые семейства допу-
стимых метрик \rho и, значит, M(\Gamma f(E)) = M(\Gamma (C0, C1, G)). Из (14) и [6] (предложение 10.2,
гл. II) получаем
\widetilde Mn - 1(\Sigma ) =
1
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f(E)
. (15)
Окончательно, из (13) и (15) следует неравенство
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f(E) \leq 1
M
\Bigl( \bigcup r2
r=r1
f(S(x0, r))
\Bigr) n - 1 . (16)
По лемме 2 с учетом (16) имеем
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f(E) \leq 1\biggl( \int r2
r1
dr
\| Q\| n - 1(r)
\biggr) n - 1 =
\omega n - 1
I\ast n - 1
,
что и доказывает лемму 5.
4. Взаимосвязь классов Орлича – Соболева с нижними \bfitQ -отображениями. Результаты,
сформулированные ниже, позволяют исследовать классы Соболева и Орлича – Соболева, до-
пускающие наличие точек ветвления. В частности, ниже будет указана взаимосвязь нижних
Q-отображений с классами Соболева W 1,1
loc на плоскости.
Прежде всего опишем взаимосвязь классов Орлича – Соболева с нижними Q-отображени-
ями при n \geq 3. Имеет место следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1266 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Теорема 3. Пусть D — область в \BbbR n, n \geq 3, \varphi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ) — неубывающая функ-
ция, удовлетворяющая условию (1). Если n \geq 3, то каждое открытое дискретное отобра-
жение f : D \rightarrow \BbbR n с конечным искажением класса W 1,\varphi
loc такое, что N(f,D) < \infty , является
нижним Q-отображением в каждой точке x0 \in D при Q(x) = N(f,D) \cdot KO(x, f), где внеш-
няя дилатация KO(x, f) отображения f в точке x определена соотношением (1.15) [3], а
кратность N(f,D) — соотношением (8.20) [3].
Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 5 [4] и потому опускается.
Отметим, что как показывает теорема приведенная ниже, при n = 2 связь классов Орлича–
Соболева с нижними Q-отображениями значительно более проста, чем в пространственном
случае. Пусть D \subset \BbbC . Для комплекснозначной функции f : D \rightarrow \BbbC , заданной в области
D \subset \BbbC , имеющей частные производные по x и y при почти всех z = x + iy, полагаем
\partial f = fz = (fx + ify) /2 и \partial f = fz = (fx - ify) /2.
Теорема 4. Каждое открытое дискретное отображение f : D \rightarrow \BbbC конечного искаже-
ния класса W 1,1
loc такое, что N(f,D) <\infty , является нижним Q-отображением в произвольной
точке z0 \in D при Q(z) = N(f,D)K\mu (z), где K\mu (z) определено соотношением
K\mu (z) =
1 + | \mu (z)|
1 - | \mu (z)|
,
\mu (z) = \mu f (z) = fz/fz при fz \not = 0 и \mu (z) = 0 — в противном случае.
Доказательство. Заметим, что f = \varphi \circ g, g — некоторый гомеоморфизм, а \varphi — аналити-
ческая функция (см. [13], п. 5 (III), гл. V). Следовательно, отображение f дифференцируемо
почти всюду (см., например, [14], теорема 3.1, §3, гл. III). Пусть B — борелево множество
всех точек z \in D, где f имеет полный дифференциал f \prime (z) и J(z, f) \not = 0. Заметим, что B
может быть представлено в виде не более чем счетного объединения борелевских множеств
Bl , l = 1, 2, . . . , таких, что fl = f | Bl
являются билипшицевыми гомеоморфизмами (см. [10],
[пункты 3.2.2, 3.1.4 и 3.1.8]). Без ограничения общности, можем считать, что множества Bl
попарно не пересекаются. Обозначим также символом B\ast множество всех точек z \in D, где f
имеет полный дифференциал, однако f \prime (z) = 0.
Поскольку f имеет конечно искажение, f \prime (z) = 0 для почти всех точек z, где J(z, f) = 0.
Таким образом, согласно построению и учитывая изложенное, множество B0 := D \setminus (B
\bigcup
B\ast )
имеет нулевую меру Лебега. Следовательно, по теореме 9.1 [3] \scrH 1(B0 \cap Sr) = 0 для почти
всех окружностей Sr := S(z0, r) с центром в точке z0 \in D, где \scrH 1, как обычно, линейная
мера Хаусдорфа, а „почти всех” следует понимать в смысле модуля семейств кривых. Заметим,
что функция \psi (r) := \scrH 1(B0 \cap Sr) измерима по Лебегу в силу теоремы Фубини, так что
множество E = \{ r \in \BbbR : \scrH 1(B0 \cap Sr) = 0\} измеримо по Лебегу. В таком случае по лемме 1 и
\scrH 1(B0 \cap Sr) = 0 для почти всех r \in \BbbR ,
Рассмотрим разбиение множества D\ast := B(z0, \varepsilon 0)\cap D\setminus \{ z0\} , 0 < \varepsilon 0 < d0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\in D | z - z0| ,
на счетное число кольцевых сегментов Ak, k = 1, 2, . . . . Пусть \varphi k — вспомогательная квазии-
зометрия, отображающая Ak на прямоугольник \widetilde Ak такой, что дуги окружностей отображаются
на отрезки прямых. (Например, можно взять в качестве \varphi k(\omega ) = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}(\omega - z0), \omega \in Ak.) Рас-
смотрим семейство отображений gk = f \circ \varphi - 1
k , gk : \widetilde Ak \rightarrow \BbbC . Заметим, что gk \in W 1,1
loc (см. [15],
разд. 1.1.7), откуда, в частности, gk \in ACL (см. [15], теоремы 1 и 2, п. 1.1.3, \S 1.1, гл. I). По-
скольку абсолютная непрерывность на фиксированном отрезке влечет N -свойство относитель-
но линейной меры Лебега (см., [10], разд. 2.10.13), то \scrH 1((gk \circ \varphi k)(B0\cap Ak\cap Sr)) = \scrH 1(f(B0\cap
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕИЙ КЛАССОВ . . . 1267
\cap Ak \cap Sr)) = 0 и, значит, вследтвие полуаддитивности меры Хаусдорфа \scrH 1(f(B0 \cap Sr)) = 0
для почти всех r \in \BbbR .
Далее, покажем что \scrH 1(f(B\ast \cap Sr)) = 0 для почти всех r \in \BbbR . Действительно, пусть
\varphi k, gk и Ak такие, как определено выше, Ak = \{ z \in \BbbC : z - z0 = rei\varphi , r \in (rk - 1, rk), \varphi \in
\in (\psi k - 1, \psi k)\} , и Sk(r) — часть сферы S(z0, r), принадлежащая сферическому сегменту Ak,
т. е., Sk(r) = \{ z \in \BbbC : z - z0 = rei\varphi , \varphi \in (\psi k - 1, \psi k)\} . По построению \varphi k отображает Sk(r)
на сегмент I(k, r) = \{ z \in \BbbC : z = \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r + it, t \in (\psi k - 1, \psi k). Применяя теорему 3.2.5 [10], мы
получаем, что
\scrH 1(gk(\varphi k(B\ast \cap Sk(r)))) \leq
\int
gk(\varphi k(B\ast \cap Sk(r)))
N(y, gk, \varphi k(B\ast \cap Sk(r)))d\scrH 1y =
=
\int
\varphi k(B\ast \cap Sk(r))
| g \prime
k(r + te)| dt = 0
для почти всех r \in (rk - 1, rk). Из изложенного выше следует, что \scrH 1(f(B\ast \cap Sk(r))) = 0 для
почти всех r \in (rk - 1, rk). Вследтвие полуаддитивности хаусдорфовой меры \scrH 1(f(B\ast \cap Sr)) = 0
для почти всех r \in \BbbR , что и требовалось установить.
Пусть \Gamma — семейство всех пересечений окружностей Sr , r \in (\varepsilon , \varepsilon 0), \varepsilon 0 < d0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\in D | z -
- z0| , с областью D. Для заданной допустимой функции \rho \ast \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m} f(\Gamma ), \rho \ast \equiv 0 вне f(D),
полагаем \rho \equiv 0 вне D и на B0, кроме того,
\rho (z) : = \rho \ast (f(z))\| f \prime (z)\| при z \in D \setminus B0 .
Для фиксированного множества D \ast
r \in f(\Gamma ), D \ast
r = f(Sr \cap D), заметим, что
D \ast
r =
\infty \bigcup
i=0
f(Sr \cap Bi)
\bigcup
f(Sr \cap B\ast ) ,
и, следовательно, для почти всех r \in (0, \varepsilon 0)
1 \leq
\int
D \ast
r
\rho \ast (y)d\scrA \ast =
\infty \sum
i=0
\int
f(Sr\cap Bi)
N(y, Sr \cap Bi)\rho \ast (y)d\scrH 1y+
+
\int
f(Sr\cap B\ast )
N(y, Sr \cap B\ast )\rho \ast (y)d\scrH 1y . (17)
Учитывая доказанное выше, из (17) получаем
1 \leq
\int
D \ast
r
\rho \ast (y)d\scrA \ast =
\infty \sum
i=1
\int
f(Sr\cap Bi)
N(y, Sr \cap Bi)\rho \ast (y)d\scrH 1y (18)
для почти всех r \in (0, \varepsilon 0). Рассуждая покусочно на Bi , i = 1, 2, . . . , согласно [10] (пункт 1.7.6
и теорема 3.2.5), имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1268 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ\int
Bi\cap Sr
\rho d\scrA =
\int
Bi\cap Sr
\rho \ast (f(z))\| f \prime (z)\| d\scrA =
=
\int
Bi\cap Sr
\rho \ast (f(z))
\| f \prime (z)\|
d\scrA \ast
d\scrA
d\scrA \ast
d\scrA
d\scrA \geq
\int
Bi\cap Sr
\rho \ast (f(z))
d\scrA \ast
d\scrA
d\scrA =
\int
f(Bi\cap Sr)
\rho \ast d\scrA \ast (19)
для почти всех r \in (0, \varepsilon 0). Из (18) и (19) с учетом леммы 1 следует, что \rho \in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t} \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma .
Используя замену переменных на каждом Bl , l = 1, 2, . . . (см., например, [10], теоре-
ма 3.2.5), а также свойство счетной аддитивности интеграла Лебега, получаем оценку\int
D
\rho (z)
K\mu (z)
dm(z) \leq
\int
f(D)
N(f,D)\rho \ast (y) dm(y), что и завершает доказательство.
5. Доказательство основных результатов работы (теоремы 1, следствия 1, теоремы 2 и
следствия 2). Пусть f \in R\varphi ,Q,N,E , тогда в силу теоремы 3 отображение f является нижним
Q \prime -отображением в произвольной точке x0 \in D при Q \prime (x) = N(f,D) \cdot KO(x, f). Поскольку
по условию Kn - 1
O (x, f) \leq Q(x) почти всюду, по лемме 5 для произвольных 0 < r1 < r2 <
< \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D), E =
\Bigl(
B(x0, r2), B(x0, r1)
\Bigr)
, отображение f удовлетворяет также оценке
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f(E) \leq \omega n - 1
In - 1
,
где I = I(x0, r1, r2) =
\int r2
r1
dr
ra
1
n - 1
x0 (r)
, ax0(r) :=
1
\omega n - 1rn - 1
\int
| x - x0| =r
Q \prime \prime (x) d\scrH n - 1, Q \prime \prime (x) :=
:= Nn - 1(f,D) \cdot Q(x). В силу леммы 3 отображение f удовлетворяет неравенству
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} f(E) \leq
\int
A
Q \prime \prime (x)\eta n(| x - x0| ) dm(x) ,
A := A(r1, r2, x0) = \{ x \in \BbbR n : r1 < | x - x0| < r2\} , при произвольной неотрицательной
измеримой по Лебегу функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ], удовлетворяющей условию (5).
В таком случае по лемме 3 отображение f принадлежит семейству отображений \frakF Q \prime \prime ,E(x0)
в обозначениях леммы 4. Заметим, что условия на функцию Q, налагающиеся в каждой из
формулировок основных результатов работы (теоремы 1, следствия 1, теоремы 2 и следствия 2),
совпадают с точностью до постоянного множителя Nn - 1(f,D) с одним из соответствующих
условий [16] (лемма 8). Окончательно, семейство \frakF Q \prime \prime ,E(x0) является нормальным в силу
леммы 4, но тогда также нормально и семейство R\varphi ,Q,N,E , ибо по доказанному R\varphi ,Q,N,E \subset
\subset \frakF Q \prime \prime ,E(x0).
6. Некоторые примеры. Отметим, что ограничения на функцию Q, содержащиеся в фор-
мулировках основных результатов настоящей работы, нельзя, вообще говоря, заменить услови-
ем Q \in Lp ни для какого (сколь угодно большого) p > 0 и для любой неубывающей функции
\varphi (t). Для простоты рассмотрим случай, когда D = \BbbB n, n \geq 2. Имеет место следующее утвер-
ждение.
Теорема 5. Пусть \varphi : [0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ) — произвольная неубывающая функция. Для каж-
дого p \geq 1 существуют функция Q : \BbbB n \rightarrow [1,\infty ], Q(x) \in Lp(\BbbB n) и равномерно ограниченная
последовательность гомеоморфизмов gm : \BbbB n \rightarrow \BbbR n, gm \in W 1,\varphi
loc (\BbbB
n), имеющих конечное ис-
кажение, таких что Kn - 1
O (x, gm) \leq Q(x), при этом семейство \{ gm(x)\} \infty m=1 не является равно-
степенно непрерывным в точке x0 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕИЙ КЛАССОВ . . . 1269
Доказательство. Рассмотрим следующий пример. Зафиксируем числа p \geq 1 и \alpha \in
\in (0, n/p(n - 1)) . Можно считать, что \alpha < 1 в силу произвольности выбора p. Зададим
последовательность гомеоморфизмов gm : \BbbB n \rightarrow \BbbR n следующим образом:
gm(x) =
\left\{
1 + | x| \alpha
| x|
\cdot x , 1/m \leq | x| < 1,
1 + (1/m)\alpha
(1/m)
\cdot x , 0 < | x| < 1/m .
Заметим, что каждое отображение gm переводит шар D = \BbbB n в шар D \prime = B(0, 2) и последо-
вательность gm постоянна при | x| \geq 1/m, а именно, gm(x) \equiv g(x) при всех x :
1
m
< | x| < 1,
m = 1, 2 . . . , где g(x) =
1 + | x| \alpha
| x|
\cdot x.
Заметим, что gm \in ACL(\BbbB n). Действительно, отображения g
(1)
m (x) =
1 + (1/m)\alpha
(1/m)
\cdot x,
m = 1, 2, . . . , являются отображениями класса C1, скажем, в шаре B(0, 1/m + \varepsilon ) при малых
\varepsilon > 0, а отображения g(2)m (x) =
1 + | x| \alpha
| x|
\cdot x — отображениями класса C1, скажем, в кольце
A(1/m - \varepsilon , 1, 0) = \{ x \in \BbbR n : 1/m - \varepsilon < | x| < 1\}
при малых \varepsilon > 0. Отсюда следует, что гомеоморфизмы gm являются липшицевыми в \BbbB n и,
значит, gm \in ACL(\BbbB n) (см., например, [7, с. 12], разд. 5).
Далее, в каждой регулярной точке x \in D отображения gm : D \rightarrow \BbbR n вычислим внешнюю
дилатацию отображения gm в точке x. Согласно соотношению (2.5), разд. 2.1, гл. I [17] для про-
извольного отображения f : D \rightarrow \BbbR n, дифференцируемого и невырожденного в точке x0 \in D,
найдутся системы векторов e1, . . . , en и \widetilde e1, . . . , \widetilde en и положительные числа \lambda 1(x0), . . . , \lambda n(x0),
\lambda 1(x0) \leq . . . \leq \lambda n(x0) такие, что f \prime (x0)ei = \lambda i(x0)\widetilde ei (см. [17], теорема 2.1, гл. I), при этом
| J(x0, f)| = \lambda 1(x0) . . . \lambda n(x0), \| f \prime (x0)\| = \lambda n(x0) , KO(x0, f) =
\lambda nn(x0)
\lambda 1(x0) . . . \lambda n(x0)
. Посколь-
ку „наше” отображение gm имеет конкретный вид
gm(x) = f(x) =
x
| x|
\rho (| x| ) , (20)
где функция \rho (t) : (0, p) \rightarrow \BbbR непрерывна и дифференцируема почти всюду, то все указанные
выше объекты, включая соответствующие величины \lambda i, а также системы векторов ei1 , . . . , ein
и \widetilde ei1 , . . . ,\widetilde ein , могут быть вычислены непосредственно. Точнее, нетрудно убедиться, что в точке
x0 дифференцируемости отображения f в качестве главных векторов ei1 , . . . , ein и \widetilde ei1 , . . . ,\widetilde ein
можно взять n - 1 линейно независимых касательных векторов к сфере S(0, r) в точке x0,
где | x0| = r, и один ортогональный к ним вектор в указанной точке. Соответствующие глав-
ные растяжения (называемые, соответственно, касательными растяжениями и радиальным
растяжением) равны \lambda \tau (x0) := \lambda i1(x0) = . . . = \lambda in - 1(x0) = \rho (r)
r и \lambda r(x0) := \lambda in = \rho \prime (r)
соответственно.
Исходя из изложенночо, поскольку каждое gm имеет вид (20), получаем, что, во-первых,
KO(x, gm) = 1 при x \in B(0, 1/m), во-вторых, при 1/m \leq | x| < 1 имеем \lambda \tau (x) =
| x| \alpha + 1
| x|
,
\lambda r(x) = \alpha | x| \alpha - 1, \| g \prime
m(x)\| =
| x| \alpha + 1
| x|
, | J(x, gm)| =
\biggl(
| x| \alpha + 1
| x|
\biggr) n - 1
\alpha | x| \alpha - 1 и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1270 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
KO(x, gm) =
\left\{
1 + | x| \alpha
\alpha | x| \alpha
, 1/m \leq | x| \leq 1,
1 , 0 < | x| < 1/m .
Заметим, что при каждом фиксированном m \in \BbbN и некотором cm > 0 имеет место неравенство
\| g \prime
m(x)\| \leq cm, кроме того, нетрудно видеть, что | \nabla gm(x)| \leq n1/2 \cdot \| g \prime
m(x)\| при почти всех
x \in \BbbB n. Тогда вследствие неубывания функции \varphi \int
\BbbB n
\varphi (| \nabla gm(x)| )dm(x) \leq \varphi (n1/2cm)m(\BbbB n) <\infty ,
т. е. gm \in W 1,\varphi (\BbbB n). Заметим, что отображения gm имеют конечное искажение, поскольку их
якобиан почти всюду не равен нулю; кроме того, Kn - 1
O (x, f) \leq Q(x), где Q =
\biggl(
1 + | x| \alpha
\alpha | x| \alpha
\biggr) n - 1
,
и Q(x) \leq C
| x| \alpha (n - 1)
, C :=
\biggl(
2
\alpha
\biggr) n - 1
. Таким образом, получаем
\int
\BbbB n
(Q(x))p dm(x) \leq Cp
\int
\BbbB n
dm(x)
| x| p\alpha (n - 1)
=
= Cp
1\int
0
\int
S(0,r)
d\scrA
| x| p\alpha (n - 1)
dr = \omega n - 1C
p
1\int
0
dr
r(n - 1)(p\alpha - 1)
. (21)
Известно, что интеграл I :=
\int 1
0
dr
r\beta
сходится при \beta < 1. Таким образом, интеграл в пра-
вой части соотношения (21) сходится, поскольку показатель степени \beta := (n - 1)(p\alpha - 1)
удовлетворяет условию \beta < 1 при \alpha \in (0, n/p(n - 1)).
Отсюда следует, что Q(x) \in Lp(\BbbB n). С другой стороны, легко видеть, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
| g(x)| = 1 , (22)
и g отображает проколотый шар \BbbB n \setminus \{ 0\} на кольцо 1 < | y| < 2. Тогда, согласно (22), получаем
| gm(x)| = | g(x)| \geq 1 \forall x : | x| \geq 1/m, m = 1, 2, . . . ,
т. е. семейство \{ gm\} \infty m=1 не является равностепенно непрерывным в нуле.
Приведем еще один интересный, на наш взгляд, пример, касающийся выполнения условия
(2) в формулировках основных утверждений работы. Хотя мы и не можем в буквальном смысле
назвать это условие необходимым и достаточным условием равностепенной непрерывности
соответствующего семейства отображений, условие (2), все же, является условием, „близким”
к необходимому в следующем смысле.
Теорема 6. Пусть \varphi : [0,\infty ) \rightarrow [0,\infty ) — произвольная неубывающая функция и 0 <
< \varepsilon 0 < 1. Для каждой измеримой по Лебегу функции Q : \BbbB n \rightarrow [1,\infty ], Q \in Lloc(\BbbB n), та-
кой, что
\int \varepsilon 0
0
dt
tq
1
n - 1
0 (t)
< \infty , найдется семейство равномерно ограниченных отображений
fm \in W 1,\varphi
loc (\BbbB
n) с конечным искажением со следующими свойствами:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕИЙ КЛАССОВ . . . 1271
1) Kn - 1
O (x, fm) \leq \widetilde Q(x), где — некоторая измеримая по Лебегу функция, такая, что\widetilde q0(r) := 1
\omega n - 1rn - 1
\int
S(0,r)
\widetilde Q(x)d\scrH n - 1 = q0(r) для почти всех r \in (0, 1);
2) последовательность fm не является равностепенно непрерывной в нуле.
Доказательство. Определим последовательность отображений fm : \BbbB n \rightarrow \BbbR n следующим
образом: fm(x) =
x
| x|
\rho m(| x| ), fm(0) := 0, где
\rho m(r) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ -
1\int
r
dt
tq
1/(n - 1)
0,m (t)
\right\} , q0,m(r) :=
1
\omega n - 1rn - 1
\int
| x| =r
Qm(x) d\scrA ,
Qm(x) =
\left\{ Q(x), | x| > 1/m ,
1 , | x| \leq 1/m .
Заметим, что fm \in ACL при любом m \in \BbbN и отображения fm дифференцируемы почти всюду
в \BbbB n. Согласно изложенным при доказательстве теоремы 5 соображениям
\| f \prime
m(x)\| =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
-
\int 1
| x|
dt
tq
1/(n - 1)
0,m (t)
\Biggr\}
| x|
, | J(x, fm)| =
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
- n
\int 1
| x|
dt
tq
1/(n - 1)
0,m (t)
\Biggr\}
| x| nq1/(n - 1)
0,m (| x| )
.
Заметим, что J(x, fm) \not = 0 при почти всех x. Покажем теперь, что \varphi (| \nabla fm(x)| ) \in L1(\BbbB n).
Используя теорему Фубини, получаем\int
\BbbB n
\varphi (| \nabla fm(x)| ) dm(x) \leq
\leq
\int
\BbbB n
\varphi (n1/2\| f \prime
m(x)\| ) dm(x) = \omega n - 1
1\int
0
rn - 1\varphi
\left( n1/2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
-
\int 1
r
dt
tq
1/(n - 1)
0,m (t)
\Biggr\}
r
\right) dr =
= \omega n - 1
\left( 1/m\int
0
\psi (r)dr +
1\int
1/m
\psi (r)dr
\right) = \omega n - 1(I1 + I2) , (23)
где I1 :=
\int 1/m
0
\psi (r)dr, I2 :=
\int 1
1/m
\psi (r)dr и \psi (r) := rn - 1\varphi
\left( n1/2
exp
\left\{ -
\int 1
r
dt
tq
1/(n - 1)
0,m (t)
\right\}
r
\right) .
Заметим, прежде всего, что I2 \leq \varphi (n1/2m) \cdot m - 1
m
\leq \varphi (n1/2m) и I1 \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
1272 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
\leq
\int 1/m
0
rn - 1\varphi
\left( n1/2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
-
\int 1/m
r
dt
tq
1/(n - 1)
0,m (t)
\Biggr\}
r
\right) dr \leq \varphi (n1/2m). В таком случае из соот-
ношений (23) следует, что
\int
\BbbB n
\varphi (| \nabla fm(x)| ) dm(x) \leq 2\omega n - 1 \cdot \varphi (n1/2m), т. е. \varphi (| \nabla fm(x)| ) \in
\in L1(\BbbB n). Заметим, что KO(x, fm) = q
1/(n - 1)
0,m (| x| ) \leq q
1/(n - 1)
0 (| x| ) и, значит, Kn - 1
O (x, fm) \leq
\leq q0(| x| ) при почти всех x \in \BbbB n. Полагаем \widetilde Q(x) := q0(| x| ), тогда \widetilde q0(r) = q0(r) для почти всех
r \in (0, 1).
Заметим, что | fm(x)| \leq 1 для всех m \in \BbbN и, таким образом, семейство отображений
\{ fl(x)\} \infty l=1 равномерно ограничено. Осталось показать, что построенная таким образом после-
довательность отображений fm не является равностепенно непрерывной в нуле. Для произ-
вольной последовательности xm такой, что | xm| = 1/m, m = 1, 2, . . . , имеем | fm(xm)| \geq \sigma ,
где \sigma не зависит от m. Окончательно, для некоторого числа \sigma и произвольного элемента после-
довательности 1/(m - 1), m = 2, 3, . . . , найдется xm \in \BbbB n и элемент семейства отображений
fm \in \{ fl(x)\} \infty l=1 такие, что | xm - 0| < 1/(m - 1) и, в то же время, | fm(xm) - fm(0)| \geq \sigma . Таким
образом, семейство отображений \{ fl(x)\} \infty l=1 не является равностепенно непрерывным в нуле.
Литература
1. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and non-linear analysis. – Oxford; Clarendon Press: 2001 – 552 p.
2. Gutlyanskii V. Ya, Ryazanov V. I., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach. – New York
etc.: Springer, 2012.
3. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Sci. +
Business Media, LLC, 2009.
4. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории классов Орлича – Соболева //
Алгебра и анализ. – 2013. – 25, № 6. – С. 50 – 102.
5. Севостьянов Е. А. Теория модулей, емкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление
// Укр. мат. вестн. – 2007. – 4, № 4. – С. 582 – 604.
6. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – 1993. – 26, № 3.
7. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229.
8. Golberg A., Salimov R., Sevost’yanov E. Poletskĭi type inequality for mappings from the Orlicz – Sobolev classes //
Complex Anal. Oper. Theory / DOI 10.1007/s11785-015-0460-0 (publ. online 26 Apr 2015).
9. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949.
10. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987.
11. Ziemer W. P. Extremal length and conformal capacity // Trans. Amer. Math. Soc. – 1967. – 126, № 3. – P. 460 – 473.
12. Шлык В. А. О равенстве p-емкости и p-модуля // Сиб. мат. журн. – 1993. – 34, № 6. – С. 216 – 221.
13. Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций. – М.: Наука, 1964.
14. Lehto O., Virtanen O. Quasiconformal mappings in the plane. – New York etc.: Springer, 1973.
15. Мазья В. Г. Пространства Соболева. – Л.: Изд-во ленингр. ун-та, 1985.
16. Севостьянов Е. А. О точках ветвления отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности
// Сиб. мат. ж. – 2010. – 51, № 5. – С. 1129 – 1146.
17. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск: Наука, 1982.
Получено 27.06.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-1919 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:12Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/33/783b8edf211fc10e7b621cf48f1fea33.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19192019-12-05T09:31:35Z On the local behavior of open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes О локальном поведении открытых дискретных отображений классов Орлича – Соболева Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. The paper is devoted to the study of mappings with unbounded characteristic of quasiconformality and, in particular, of mappings with finite distortion extensively studied in recent years. We obtain theorems on equicontinuity of families of mappings that belong to the Orlicz–Sobolev class for $n \geq 3$, and have finite distortion. To do this, we also investigate some auxiliary classes of mappings, namely, we study the relationship between the so-called lower $Q$-mappings and some inequalities of the capacity type. Дану роботу присвячено вивченню вiдображень з необмеженою характеристикою квазiконформностi, зокрема вiдображень зi скiнченним спотворенням, що активно вивчаються протягом останнього часу. Отримано теореми про одностайну неперервнiсть сiмей вiдображень, якi належать класу Орлiча – Соболєва при $n \geq 3$ i мають скiнченне спотворення. Для досягнення цiєї мети паралельно дослiджуються деякi допомiжнi класи вiдображень, а саме, вивчається взаємозв’язок мiж так званими нижнiми $Q$-вiдображеннями i деякими нерiвностями ємнiсного характеру. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1919 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 9 (2016); 1259-1272 Український математичний журнал; Том 68 № 9 (2016); 1259-1272 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1919/901 Copyright (c) 2016 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On the local behavior of open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes |
| title | On the local behavior of open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes |
| title_alt | О локальном поведении открытых дискретных отображений классов Орлича – Соболева |
| title_full | On the local behavior of open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes |
| title_fullStr | On the local behavior of open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes |
| title_full_unstemmed | On the local behavior of open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes |
| title_short | On the local behavior of open discrete mappings of the Orlicz – Sobolev classes |
| title_sort | on the local behavior of open discrete mappings of the orlicz – sobolev classes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1919 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea onthelocalbehaviorofopendiscretemappingsoftheorliczsobolevclasses AT sevostʹânovea onthelocalbehaviorofopendiscretemappingsoftheorliczsobolevclasses AT sevostʹânovea onthelocalbehaviorofopendiscretemappingsoftheorliczsobolevclasses AT sevost039yanovea olokalʹnompovedeniiotkrytyhdiskretnyhotobraženijklassovorličasoboleva AT sevostʹânovea olokalʹnompovedeniiotkrytyhdiskretnyhotobraženijklassovorličasoboleva AT sevostʹânovea olokalʹnompovedeniiotkrytyhdiskretnyhotobraženijklassovorličasoboleva |