Conditions of existence of bounded and almost periodic solutions of nonlinear differential equation with perturbations of solutions
We present the conditions of existence and uniqueness of bounded solutions of a nonlinear scalar differential equation $dx(t)/dt=f(x(t)+h(t)),\; t \in R$, in the case where a function $f$ is continuous on $R$ and a function $h$ is bounded and continuous. In addition, we study the case of an almost...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1921 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507813639356416 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:35Z |
| description | We present the conditions of existence and uniqueness of bounded solutions of a nonlinear scalar differential equation
$dx(t)/dt=f(x(t)+h(t)),\; t \in R$, in the case where a function $f$ is continuous on $R$ and a function $h$ is bounded and continuous. In addition, we study the case of an almost periodic function $h$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988.63
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
УМОВИ IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ I МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ЗI ЗБУРЕННЯМ РОЗВ’ЯЗКIВ
We present the conditions of existence and uniqueness of bounded solutions of a nonlinear scalar differential equation
dx(t)
dt
= f(x(t) + h(t)), t \in \BbbR , in the case where a function f is continuous on \BbbR and a function h is bounded and
continuous. In addition, we study the case of an almost periodic function h.
Приведены условия существования и единственности ограниченных решений нелинейного скалярного дифферен-
циального уравнения
dx(t)
dt
= f(x(t) + h(t)), t \in \BbbR , в случае непрерывной на \BbbR функции f и ограниченной
непрерывной функции h. Также исследован случай почти периодической функции h.
1. Основнi позначення та об’єкт дослiджень. Нехай \BbbR — множина усiх дiйсних чисел, C0 —
банаховий простiр усiх неперервних та обмежених на \BbbR функцiй x = x(t) зi значеннями в \BbbR з
нормою
\| x\| C0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR
| x(t)|
i C1 — банаховий простiр усiх таких функцiй x \in C0, що
dx
dt
\in C0, з нормою
\| x\| C1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\| x\| C0 ,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxdt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C0
\biggr\}
.
У просторi C0 визначимо оператор зсуву S\tau , \tau \in \BbbR , за допомогою спiввiдношення
(S\tau x)(t) = x(t+ \tau ), t \in \BbbR .
Функцiя y \in C0 називається майже перiодичною (за Бохнером) (див. [1, 2]), якщо замикання
множини \{ S\tau y : \tau \in \BbbR \} у просторi C0 є компактною пiдмножиною цього простору.
Позначимо через B0 банаховий простiр майже перiодичних функцiй x \in C0 з нормою
\| \cdot \| C0 , а через B1 банаховий простiр майже перiодичних функцiй x \in B0, для кожної з яких
dx
dt
\in B0, з нормою \| \cdot \| C1 .
Нехай T — довiльне додатне число. Позначимо через P 0
T банаховий простiр усiх T -перiодичних
функцiй x \in C0 з нормою \| \cdot \| C0 , а через P 1
T банаховий простiр усiх T -перiодичних функцiй
x \in C1 з нормою \| \cdot \| C1 .
Основна мета статтi — встановлення умов iснування та єдиностi (або тiльки умов iснування)
обмежених розв’язкiв нелiнiйного диференцiального рiвняння
dx(t)
dt
= f(x(t) + h(t)), t \in \BbbR , (1)
з неперервною функцiєю f : \BbbR \rightarrow \BbbR i неперервною обмеженою функцiєю h : \BbbR \rightarrow \BbbR .
2. Основнi результати. Розглянемо множини \scrF ( - \infty ,\beta ), \scrF (\alpha ,\beta ), \scrF (\alpha ,+\infty ), \scrF ( - \infty ,+\infty ), де
\alpha < 0 i \beta > 0, якi визначимо таким чином. Якщо \gamma \in \{ - \infty , \alpha \} i \delta \in \{ \beta ,+\infty \} , то че-
рез \scrF (\gamma ,\delta ) позначимо множину усiх неперервних функцiй g : \BbbR \rightarrow (\gamma , \delta ), для кожної з яких
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow - \infty g(x) = \gamma i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty g(x) = \delta (множину таких функцiй позначимо через \scrF +
(\gamma ,\delta )) або
c\bigcirc В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2016
1286 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
УМОВИ IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ I МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 1287
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow - \infty g(x) = \delta i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty g(x) = \gamma (множину таких функцiй позначимо через \scrF -
(\gamma ,\delta )).
Очевидно, що
\scrF (\gamma ,\delta ) = \scrF +
(\gamma ,\delta ) \cup \scrF -
(\gamma ,\delta )i\scrF
+
(\gamma ,\delta ) \cap \scrF -
(\gamma ,\delta ) = \varnothing .
У подальшому через \scrF будемо позначати одну з множин \scrF ( - \infty ,\beta ), \scrF (\alpha ,\beta ), \scrF (\alpha ,+\infty ) i
\scrF ( - \infty ,+\infty ).
Справджуються такi твердження.
Теорема 1. Нехай f належить множинi \scrF . Тодi для кожної функцiї h \in C0 рiвняння (1)
має хоча б один розв’язок x \in C1.
Теорема 2. Нехай функцiя f є елементом множини \scrF i строго монотонною.
Тодi:
1) рiвняння (1) для кожної функцiї h \in C0 має єдиний розв’язок xh \in C1;
2) рiвняння (1) для кожної функцiї h \in B0 має єдиний розв’язок xh \in B1;
3) розв’язок xh \in C1 рiвняння (1) неперервно залежить вiд h.
Зазначимо, що в теоремi 2 неперервна залежнiсть розв’язку xh \in C1 рiвняння (1) вiд h
означає, що виконується спiввiдношення
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\| \~h - h\| C0\rightarrow 0
\| x\~h - xh\| C1 = 0
для кожної функцiї h \in C0.
Доведення теорем 1 i 2 наведемо в пп. 4 i 5.
3. Допомiжнi твердження. Розглянемо у просторах C0 i C1 замкненi кулi
B0[0, r] = \{ x \in C0 : \| x\| C0 \leq r\}
i
B1[0, r] = \{ x \in C1 : \| x\| C1 \leq r\}
радiуса r з центром у точцi 0.
Для доведення теорем 1 i 2 нам потрiбнi наступнi твердження.
Лема 1. Нехай g належить \scrF i H — довiльна обмежена замкнена пiдмножина множи-
ни \BbbR .
Тодi для кожного достатньо великого числа a > 0 iснує число k \in \BbbR \setminus \{ 0\} , для якого
| g(x+ h) - kx| \leq | k| a для всiх x \in [ - a, a]ih \in H. (2)
Доведення. Нехай g належить \scrF (\gamma ,\delta ). Розглянемо спочатку випадок g \in \scrF +
(\gamma ,\delta ). Iснують
такi числа b1 i b2, що b1 < b2,
g(x+ h) < 0 для всiх x < b1 i h \in H (3)
i
g(x+ h) > 0 для всiх x > b2 i h \in H. (4)
Розглянемо число
c = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
b1\leq x\leq b2,h\in H
| g(x+ h)| . (5)
Зафiксуємо довiльнi числа
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1288 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
a > \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | b1| , | b2| \}
i k > 0, для яких
k\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | b1| , | b2| \} + c < ka. (6)
Очевидно, що на пiдставi (5) i (6)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in [b1,b2],h\in H
| g(x+ h) - kx| \leq ka. (7)
Завдяки спiввiдношенням (3) i (4) та тому, що g(x+ h) i kx мають однаковий знак для всiх
x \in [ - a, a] \setminus [b1, b2] i h \in H,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in [ - a,a]\setminus [b1,b2],h\in H
| g(x+ h) - kx| \leq ka.
Звiдси та з (7) випливає (2).
Тепер розглянемо випадок g \in \scrF -
(\gamma ,\delta ). Оскiльки - g належить \scrF +
( - \delta , - \gamma ), то до функцiї
- g застосовнi наведенi вище мiркування. Тому i в цьому випадку ми також приходимо до
нерiвностi (2) тiльки з вiд’ємним k.
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай f належить \scrF i T — довiльне додатне число. Тодi для кожної функцiї
h \in P 0
T рiвняння (1) має хоча б один розв’язок x \in P 1
T .
Доведення. Зафiксуємо довiльнi число T > 0 i функцiю h \in P 0
T . Завдяки лемi 1 iснують
такi дiйснi числа k \not = 0 i a > 0, що
| f(x+ \tau ) - kx| \leq | k| a для всiх x \in [ - a, a]i\tau \in [ - \| h\| C0 , \| h\| C0 ]. (8)
Визначимо неперервний оператор G : P 0
T \rightarrow P 0
T за допомогою формули
(Gx)(t) = - k
| k|
\int
\{ s : kt<ks\}
ek(t - s)(f(x(s) + h(s)) - kx(s))ds, t \in \BbbR . (9)
Легко перевiрити, що Gx \in P 1
T для всiх x, h \in P 0
T i
d(Gx)(t)
dt
= f(x(t) + h(t)), t \in \BbbR .
Тому на пiдставi неперервностi функцiї f на \BbbR (тодi ця функцiя обмежена на кожнiй обмеженiй
множинi) i теореми Арцела [3] оператор G : P 0
T \rightarrow P 0
T є цiлком неперервним.
Очевидно, що задача про iснування T -перiодичного розв’язку рiвняння (1) рiвносильна
задачi про iснування T -перiодичного розв’язку рiвняння
x(t) = (Gx)(t), t \in \BbbR .
На пiдставi (8) i (9)
G(B0[0, a] \cap P 0
T ) \subset B0[0, a] \cap P 0
T .
Звiдси з урахуванням повної неперервностi оператора G i теореми Шаудера про нерухому точку
[4] отримуємо
\{ x \in P 0
T : x = Gx\} \not = \varnothing .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
УМОВИ IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ I МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 1289
Оскiльки на пiдставi (9) Gx \in P 1
T для всiх x \in P 0
T , то
\{ x \in P 1
T : x = Gx\} \not = \varnothing .
Лему 2 доведено.
Iз лем 1 i 2, а також iз їхнiх доведень випливає наступне твердження.
Наслiдок 1. Нехай f належить \scrF . Тодi для кожної обмеженої замкненої множини H \subset \BbbR
iснує таке число a > 0, що якщо h \in P 0
T (T — довiльне додатне число) i R(h) \subset H, то
рiвняння (1) має хоча б один розв’язок x \in P 1
T \cap B0[0, a].
Послiдовнiсть функцiй xk = xk(t), k \geq 1, простору C0 будемо називати локально збiжною
до функцiї x = x(t) простору C0 при k \rightarrow \infty i позначатимемо
xk
loc.,C0
- - - - \rightarrow x при k \rightarrow \infty ,
якщо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\geq 1
\| xk\| C0 < +\infty
i для кожного числа c > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| t| \leq c
| xk(t) - x(t)| = 0.
Лема 3. Нехай r i R — довiльнi додатнi числа. Для кожної послiдовностi функцiй xn \in
\in B0[0, r] \cap B1[0, R], n \geq 1, iснують строго зростаюча послiдовнiсть натуральних чисел nk,
k \geq 1, i функцiя x \in B0[0, r], для яких
xnk
loc.,C0
- - - - \rightarrow x при k \rightarrow \infty .
Доведення цiєї леми, як i наступної леми, можна знайти в [5, 6].
Лема 4. Нехай f(x) — неперервна i строго зростаюча на [a, b] функцiя. Тодi для кожного
числа \varepsilon \in (0, b - a) iснує таке число k > 0, що
f(u) - f(v) \geq k(u - v)
для всiх u, v \in [a, b], для яких u - v \geq \varepsilon .
Наслiдком леми 4 є наступне аналогiчне твердження.
Лема 5. Нехай f(x) — неперервна i строго спадна на [a, b] функцiя. Тодi для кожного
числа \varepsilon \in (0, b - a) iснує таке число k < 0, що
f(u) - f(v) \leq k(u - v)
для всiх u, v \in [a, b], для яких u - v \geq \varepsilon .
4. Доведення теореми 1. Зафiксуємо довiльну функцiю h \in C0. Розглянемо довiльнi
строго зростаючу послiдовнiсть додатних чисел Tn, n \geq 1, i послiдовнiсть функцiй hn \in P 0
Tn
,
n \geq 1, для яких
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
Tn = +\infty ,
R(hn) \subset R(h), n \geq 1, (10)
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1290 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
hn
loc.,C0
- - - - \rightarrow h при n \rightarrow \infty . (11)
На пiдставi наслiдку 1 iснують число a > 0 i функцiї
xn \in P 1
Tn
\cap B0[0, a], n \geq 1, (12)
для яких
dxn(t)
dt
= f(xn(t) + hn(t)), t \in \BbbR , n \geq 1. (13)
Оскiльки функцiя f неперервна на \BbbR i множина M = [ - a, a] +R(h) компактна, то ця функцiя
обмежена на M. Нехай
R = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in M
| f(s)| .
Тодi завдяки (10), (12) i (13)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\geq 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| dxndt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
C0
\leq R.
Отже, на пiдставi леми 3 iснують строго зростаюча послiдовнiсть натуральних чисел
(nk)k\geq 1 i функцiя x\ast \in B0[0, a], для яких
xnk
loc.,C0
- - - - \rightarrow x\ast при k \rightarrow \infty . (14)
Завдяки (13) для всiх t \in \BbbR i k \geq 1
xnk
(t) - xnk
(0) =
t\int
0
f(xnk
(s) + hnk
(s))ds.
Звiдси на пiдставi (11), (14) i неперервностi функцiї f на \BbbR отримуємо
x\ast (t) - x\ast (0) =
t\int
0
f(x\ast (s) + h(s))ds, t \in \BbbR . (15)
Отже, x\ast (t) — неперервно диференцiйовна на \BbbR функцiя. А оскiльки згiдно з (15)
dx\ast (t)
dt
\equiv f(x\ast (t) + h(t)),
то x\ast \in C1.
Таким чином, завдяки включенню f \in \scrF рiвняння (1) для кожної функцiї h \in C0 має хоча
б один розв’язок x \in C1.
Теорему 1 доведено.
5. Доведення теореми 2. Нехай функцiя f є елементом множини \scrF i строго монотонною.
Зафiксуємо довiльну функцiю h \in C0. На пiдставi теореми 1 рiвняння (1) має хоча б один
розв’язок x \in C1.
Покажемо, що розв’язок x \in C1 рiвняння (1) єдиний.
Припустимо, що x1 \in C1 i x2 \in C1 — розв’язки рiвняння (1) i для деякого t1 \in \BbbR
x1(t1) < x2(t1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
УМОВИ IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ I МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 1291
Розглянемо випадок, коли функцiя f є строго зростаючою на \BbbR . Нехай [a, b] \subset \BbbR — такий
вiдрiзок, що
R(x1) +R(h) \subset [a, b] (16)
i
R(x2) +R(h) \subset [a, b]. (17)
На пiдставi леми 4 iснує таке число k > 0, що
f(u) - f(v) \geq k(u - v), (18)
якщо u, v \in [a, b] i u - v \geq x2(t1) - x1(t1). Оскiльки
dx2(t)
dt
- dx1(t)
dt
\equiv f(x2(t) + h(t)) - f(x1(t) + h(t)) (19)
i функцiя f строго зростає на \BbbR , то на пiдставi (16), (17) i (18)
d(x2(t) - x1(t))
dt
\geq k(x2(t) - x1(t)) (20)
для всiх t \geq t1. Спiввiдношення (20) суперечить (16) i (17), оскiльки у випадку виконання (20)
x2(t) - x1(t) \geq ek(t - t1)(x2(t1) - x1(t1)), t \geq t1.
Отже, у випадку, коли строго монотонна функцiя f є зростаючою на \BbbR , припущення про
неєдинiсть розв’язку рiвняння (1) хибне.
Далi розглянемо випадок, коли функцiя f є строго спадною на \BbbR . Нехай [a, b] \subset \BbbR — такий
вiдрiзок, що виконуються спiввiдношення (16) i (17).
На пiдставi леми 5 iснує таке число k < 0, що
f(u) - f(v) \leq k(u - v), (21)
якщо u, v \in [a, b] i u - v \geq x2(t1) - x1(t1). Оскiльки для функцiй x1(t) i x2(t) виконується
спiввiдношення (19) i функцiя f строго спадає на \BbbR , то на пiдставi (16), (17) i (21)
d(x2(t) - x1(t))
dt
\leq - | k| (x2(t) - x1(t)) (22)
для всiх t \leq t1. Спiввiдношення (22) суперечить (16) i (17), оскiльки у випадку виконання
цього спiввiдношення
x2(t) - x1(t) \geq e - | k| (t - t1)(x2(t1) - x1(t1)), t \leq t1.
Таким чином, припущення про неєдинiсть розв’язку рiвняння (1) хибне i у випадку строго
спадної функцiї f.
Отже, перша частина твердження теореми 2 є правильною.
Далi будемо вважати, що в рiвняннi (1) h \in B0. На пiдставi попереднiх мiркувань рiвняння
(1) має єдиний розв’язок y \in C1.
Припустимо, что y \not \in B1. Зазначимо, що випадок y \in B0 i
dy
dt
\not \in B0 неможливий, оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1292 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
dy(t)
dt
\equiv f(y(t) + h(t)) (23)
i права частина (23) внаслiдок неперервностi f i майже перiодичностi функцiї y + h майже
перiодична.
Отже, y \not \in B0 на пiдставi припущення y \not \in B1.
Тодi iснує послiдовнiсть
\bigl(
Shpy
\bigr)
p\geq 1
, для якої кожна пiдпослiдовнiсть
\bigl(
Skpy
\bigr)
p\geq 1
буде роз-
бiжною. Тому для деяких послiдовностей (pr)r\geq 1, (qr)r\geq 1 натуральних чисел i числа \gamma > 0\bigm\| \bigm\| Skpr y - Skqr y
\bigm\| \bigm\|
C0 \geq \gamma , r \geq 1.
Не обмежуючи загальнiсть доведення можна вважати, що
| y(kpr) - y(kqr)| \geq
\gamma
2
, r \geq 1, (24)
та iснує функцiя h\ast \in B0, для якої
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
\| Skprh - h\ast \| C0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
\| Skqrh - h\ast \| C0 = 0. (25)
Зауважимо, що
d
\bigl(
Skpr y
\bigr)
(t)
dt
\equiv f
\bigl( \bigl(
Skpr y
\bigr)
(t) +
\bigl(
Skprh
\bigr)
(t)
\bigr)
, r \geq 1, (26)
i
d
\bigl(
Skqr y
\bigr)
(t)
dt
\equiv f
\bigl( \bigl(
Skqr y
\bigr)
(t) +
\bigl(
Skqrh
\bigr)
(t)
\bigr)
, r \geq 1. (27)
Iз цих спiввiдношень, неперервностi функцiї f на \BbbR i обмеженостi послiдовностей
\bigl(
Skqr y
\bigr)
r\geq 1
,\bigl(
Skqr y
\bigr)
r\geq 1
,
\bigl(
Skqrh
\bigr)
r\geq 1
,
\bigl(
Skqrh
\bigr)
r\geq 1
випливає, що для деякого числа R > 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR ,r\geq 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d
\bigl(
Skpr y
\bigr)
(t)
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq R
i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR ,r\geq 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d
\bigl(
Skqr y
\bigr)
(t)
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq R.
Тому на пiдставi леми 3, не обмежуючи загальностi доведення, можна вважати, що для деяких
функцiй u1, u2 \in C0
Skpr y
loc.,C0
- - - - \rightarrow u1 при r \rightarrow \infty (28)
i
Skqr y
loc.,C0
- - - - \rightarrow u2 при r \rightarrow \infty . (29)
Звiдси i з (24) випливає, що
| u1(0) - u2(0)| \geq
\gamma
2
> 0. (30)
На пiдставi (26) i (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
УМОВИ IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ I МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 1293
\bigl(
Skpr y
\bigr)
(t) -
\bigl(
Skpr y
\bigr)
(0) \equiv
t\int
0
f
\bigl( \bigl(
Skpr y
\bigr)
(s) +
\bigl(
Skprh
\bigr)
(s)
\bigr)
ds
i \bigl(
Skqr y
\bigr)
(t) -
\bigl(
Skqr y
\bigr)
(0) \equiv
t\int
0
f
\bigl( \bigl(
Skqr y
\bigr)
(s) +
\bigl(
Skqrh
\bigr)
(s)
\bigr)
ds.
Тому на пiдставi неперервностi f на \BbbR та спiввiдношень (25), (28) i (29)
u1(t) - u1(0) \equiv
t\int
0
f(u1(s) + h\ast (s))ds,
u1(t) - u1(0) \equiv
t\int
0
f(u1(s) + h\ast (s))ds
i, отже,
du1(t)
dt
\equiv f(u1(t) + h\ast (t)),
du2(t)
dt
\equiv f(u2(t) + h\ast (t)).
Ми отримали, що рiвняння (1) у випадку h = h\ast i h\ast \in B0 згiдно з (30) має два рiзних
розв’язки, що неможливо.
Таким чином, припущення, що y \not \in B1, є хибним.
Отже, друга частина твердження теореми 2 є правильною.
Нарештi, покажемо правильнiсть третьої частини твердження теореми 2.
Зафiксуємо довiльну функцiю u \in C0. Розглянемо функцiї un \in C0, n \geq 1, для яких
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| un - u\| C0 = 0. (31)
Нехай xu i xun — розв’язки диференцiальних рiвнянь
dxu(t)
dt
= f (xu(t) + u(t)) , t \in \BbbR ,
i
dxun(t)
dt
= f (xun(t) + un(t)) , t \in \BbbR ,
вiдповiдно.
Припустимо, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| xun - xu\| C1 \not = 0. (32)
Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| xun - xu\| C0 \not = 0. (33)
Дiйсно, якщо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1294 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| xun - xu\| C0 = 0, (34)
то на пiдставi (31), тотожностей
dxu(t)
dt
\equiv f (xu(t) + u(t)) , (35)
dxun(t)
dt
\equiv f (xun(t) + un(t)) (36)
i неперервностi функцiї f на \BbbR маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in \BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dxun(t)
dt
- dxu(t)
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 0,
що разом з (34) суперечить (32).
Отже, спiввiдношення (33) виконується. У цьому випадку iснують додатне число \mu , строго
зростаюча послiдовнiсть натуральних чисел np, p \geq 1, i дiйснi числа tp, p \geq 1, для яких\bigm| \bigm| \bigm| xunp
(tp) - xu(tp)
\bigm| \bigm| \bigm| \geq \mu , p \geq 1.
Далi розглянемо випадок, коли функцiя f : \BbbR \rightarrow \BbbR є строго зростаючою.
Нехай [a, b] — такий вiдрiзок, що
R (xu) +R(u) \subset [a, b] (37)
i
R
\Bigl(
xunp
\Bigr)
+R
\bigl(
unp
\bigr)
\subset [a, b], p \geq 1. (38)
За лемою 4 iснує додатне число k, для якого
f(u) - f(v) \geq k(u - v), (39)
якщо u, v \in [a, b] i | u - v| \geq \mu
2
.
Вiзьмемо такi достатньо мале число \nu > 0 i натуральне число p0, щоб\bigm\| \bigm\| unp - u
\bigm\| \bigm\|
C0 \leq \nu \leq \mu
2
(40)
для всiх p \geq p0.
Не обмежуючи загальностi доведення можна вважати, що
xunp0
(tp0) - xu (tp0) \geq \mu . (41)
З огляду на тотожностi (35), (36) i спiввiдношення (37) – (41) при t = tp0 отримуємо
d
\Bigl(
xunp0
(t) - xu(t)
\Bigr)
dt
=
\Bigl(
f
\Bigl(
xunp0
(t) + unp0
(t)
\Bigr)
- f (xu(t) + u(t))
\Bigr)
\geq
\geq k
\Bigl( \Bigl(
xunp0
(t) - xu(t)
\Bigr)
+
\bigl(
unp0
(t) - u(t)
\bigr) \Bigr)
\geq
\geq k
\Bigl( \Bigl(
xunp0
(t) - xu(t)
\Bigr)
- \nu
\Bigr)
\geq k(\mu - \nu ) > 0. (42)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
УМОВИ IСНУВАННЯ ОБМЕЖЕНИХ I МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 1295
Тому на пiдставi (37), (38) i (41) функцiя xunp0
(t) - xu(t) є зростаючою на промiжку [tp0 ,+\infty ).
Звiдси з урахуванням (37), (38), (41) i (42) отримуємо
xunp0
(t) - xu(t) \geq \mu + k(\mu - \nu )(t - tp0), t \geq tp0 ,
що суперечить обмеженостi функцiй xunp0
(t) i xu(t).
Отже, припущення про виконання спiввiдношення (32) у випадку строго зростаючої функ-
цiї f є хибним.
Далi розглянемо випадок, коли функцiя f : \BbbR \rightarrow \BbbR є строго спадною. Якщо в рiвняннi (1)
використати пiдстановку t = - s, де s — нова змiнна, то прийдемо до дослiдженого ранi-
ше випадку. На пiдставi цього можна вважати, що i третя частина твердження теореми 2 є
правильною.
Теорему 2 доведено.
6. Додатковi зауваження та лiтературнi вказiвки. Задачу про обмеженi та майже перi-
одичнi розв’язки диференцiального рiвняння (1) розглянуто вперше. Її розв’язок також можна
отримати за допомогою iнших методiв. Наприклад, теорему 1 можна довести, використавши
принцип Важевського [7] або теорему про нерухому точку для c-неперервних вiдображень [8].
Другу частину твердження теореми 2 можна встановити за допомогою теореми Амерiо [9]
(з використанням \scrH -класу рiвняння (1) та першої частини твердження теореми 2) або за допо-
могою результатiв автора про майже перiодичнi розв’язки нелiнiйних диференцiальних рiвнянь
[10, 11] (без використання \scrH -класу рiвняння (1)).
Близькою до розглянутої задачi є задача про обмеженi та майже перiодичнi розв’язки ди-
ференцiального рiвняння
dx(t)
dt
= f(x(t)) + h(t), t \in \BbbR , (43)
що дослiджувалося в [5, 6, 12]. Тут h — елемент простору C0 або B0. Однак рiвняння (1) не
зводиться до рiвняння (43), оскiльки в (1) функцiя h \in C0 може не бути елементом простору C1.
У випадку лiпшицевої функцiї f : \BbbR \rightarrow \BbbR умови iснування та єдиностi розв’язкiв рiв-
няння (43) у просторах C0 i Lp(\BbbR ,\BbbR ), 1 \leq p \leq \infty , наведено у [13] i [14].
Необхiднi i достатнi умови iснування та \varepsilon -єдиностi обмежених розв’язкiв рiвняння (43)
отримано у [15].
Першi теореми про майже перiодичнi розв’язки для звичайних лiнiйних майже перiодичних
диференцiальних рiвнянь були доведенi Фаваром у роботi [16], а для нелiнiйних майже перiоди-
чних диференцiальних рiвнянь — Амерiо в роботi [9]. У цих роботах суттєво використовуються
\scrH -класи дослiджуваних рiвнянь, а в [9] також використовується умова роздiленостi обмежених
розв’язкiв рiвнянь. Зазначимо, що рiвняння (1) у випадку h \in B0 є майже перiодичним.
У випадку довiльного банахового простору умови майже перiодичностi обмежених розв’яз-
кiв нелiнiйних рiвнянь (без використання \scrH -класiв дослiджуваних рiвнянь) отримано у роботах
[10, 11, 17, 18].
У монографiї [8] та статтях [19 – 22] для дослiдження обмежених розв’язкiв диференцiаль-
них i диференцiально-функцiональних рiвнянь запропоновано метод локальної лiнiйної апро-
ксимацiї, що дає змогу встановлювати умови обмеженостi розв’язкiв нелiнiйних рiвнянь.
Нелокальним теоремам про майже перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних майже перiоди-
чних диференцiальних рiвнянь присвячено монографiю М. О. Красносельського, В. Ш. Бурди
i Ю. С. Колесова [23], а для диференцiальних рiвнянь з монотонними нелiнiйностями — моно-
графiю Ю. В. Трубникова i А. I. Перова [24].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
1296 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Важливi загальнi результати про обмеженi i майже перiодичнi розв’язки лiнiйних рiвнянь
належать Б. М. Левiтану [2], Е. М. Мухамадiєву [25] та В. В. Жикову [26].
Лiтература
1. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen // Math. Ann. – 1927. – 96. – I Teil. – P. 119–147. II Teil. –
P. 383–409.
2. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.
3. Колмогоров А. М., Фомiн С. В. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. – Київ: Вища шк., 1974. –
456 с.
4. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. – М.: Мир, 1977. – 232 с.
5. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений
нелинейных дифференциальных уравнений // Нелiнiйнi коливання. – 1999. – 2, № 4. – С. 523–539.
6. Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of bounded and almost-periodic
solutions of nonlinear differential equations // Acta Appl. Math. – 2001. – 65, № 1–3. – P. 333–341.
7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 720 с.
8. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї нелiнiйних рiвнянь. – Рiвне: Вид-во Нац.
ун-ту водн. госп-ва та природокористування, 2011. – 342 с.
9. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati // Ann.
mat. pura ed appl. – 1955. – 39. – P. 97–119.
10. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь у бана-
ховому просторi // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 2. – С. 307–312.
11. Слюсарчук В. Е. Исследование нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений, не исполь-
зующее \scrH -классы этих уравнений // Мат. сб. – 2014. – 205, № 6. – С. 139–160.
12. Слюсарчук В. Е. Условия существования ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений
// Успехи мат. наук. – 1999. – 54, № 4. – С. 181–182.
13. Slyusarchuk V. E. Necessary and sufficient conditijns of the Lipschitz invertibility of the nonlinear differential operator
d/dt - f in the space of bounded functions on the real axis // Nonlinear Oscillations. – 2001. – 4, № 2. – P. 272–277.
14. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия липшицевой обратимости нелинейного дифференци-
ального отображения d/dt - f в пространстве Lp(\BbbR ,\BbbR ) (1 \leq p \leq \infty ) // Мат. заметки. – 2003. – 73, № 6. –
С. 891–903.
15. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия существования и \varepsilon -единственности ограниченных ре-
шений нелинейного уравнения x\prime = f(x) - h(t) // Мат. заметки. – 2011. – 90, № 1. – С. 137–142.
16. Favard J. Sur les \'\mathrm{e}quations diff\'\mathrm{e}rentielles \`\mathrm{a} coefficients presquep\'\mathrm{e}riodiques // Acta math. – 1927. – 51. – P. 31–81.
17. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв не розв’язаних вiдносно похiдної нелiнiй-
них диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 3. – С. 384–393.
18. Слюсарчук В. Е. Условия почти периодичности ограниченных решений нелинейных дифференциально-
разностных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. – 2014. – 78, № 6. – С. 179–192.
19. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних диференцi-
альних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – С. 1541–1556.
20. Слюсарчук В. Е. Метод локальной линейной аппроксимации в теории нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений // Мат. сб. – 2010. – 201, № 8. – С. 103–126.
21. Слюсарчук В. Ю. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних диференцiальних операторiв слабко
регулярними операторами // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – С. 1685–1698.
22. Слюсарчук В. Е. Ограниченные и периодические решения нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений // Мат. сб. – 2012. – 203, № 3. – С. 135–160.
23. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. – М.: Наука,
1970. – 352 с.
24. Трубников Ю. В., Перов А. И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. – Минск: Наука
и техника, 1986. – 200 с.
25. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций //
Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – С. 269–274.
26. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в случае прои-
звольного банахова пространства // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 1. – С. 121–126.
Одержано 17.03.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1921 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:17Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/55/2873c28c41f46893a9d270a12c30f955.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19212019-12-05T09:31:35Z Conditions of existence of bounded and almost periodic solutions of nonlinear differential equation with perturbations of solutions Умови існування обмежених і майже періодичних розв’язків нелінійних диференціальних рівнянь зі збуренням розв'язків Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. We present the conditions of existence and uniqueness of bounded solutions of a nonlinear scalar differential equation $dx(t)/dt=f(x(t)+h(t)),\; t \in R$, in the case where a function $f$ is continuous on $R$ and a function $h$ is bounded and continuous. In addition, we study the case of an almost periodic function $h$. Приведены условия существования и единственности ограниченных решений нелинейного скалярного дифферен- циального уравнения $dx(t)/dt=f(x(t)+h(t)),\; t \in R$, в случае непрерывной на $R$ функции $f$ и ограниченной непрерывной функции $h$. Также исследован случай почти периодической функции $h$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1921 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 9 (2016); 1286-1296 Український математичний журнал; Том 68 № 9 (2016); 1286-1296 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1921/903 Copyright (c) 2016 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Conditions of existence of bounded and almost periodic solutions of nonlinear differential equation with perturbations of solutions |
| title | Conditions of existence of bounded and almost periodic solutions of nonlinear
differential equation with perturbations of solutions |
| title_alt | Умови існування обмежених і майже періодичних розв’язків нелінійних
диференціальних рівнянь зі збуренням розв'язків
|
| title_full | Conditions of existence of bounded and almost periodic solutions of nonlinear
differential equation with perturbations of solutions |
| title_fullStr | Conditions of existence of bounded and almost periodic solutions of nonlinear
differential equation with perturbations of solutions |
| title_full_unstemmed | Conditions of existence of bounded and almost periodic solutions of nonlinear
differential equation with perturbations of solutions |
| title_short | Conditions of existence of bounded and almost periodic solutions of nonlinear
differential equation with perturbations of solutions |
| title_sort | conditions of existence of bounded and almost periodic solutions of nonlinear
differential equation with perturbations of solutions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1921 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu conditionsofexistenceofboundedandalmostperiodicsolutionsofnonlineardifferentialequationwithperturbationsofsolutions AT slûsarčukvû conditionsofexistenceofboundedandalmostperiodicsolutionsofnonlineardifferentialequationwithperturbationsofsolutions AT slyusarchukvyu umoviísnuvannâobmeženihímajžeperíodičnihrozvâzkívnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹzízburennâmrozv039âzkív AT slûsarčukvû umoviísnuvannâobmeženihímajžeperíodičnihrozvâzkívnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹzízburennâmrozv039âzkív |