Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. III
In the classes $L^{\psi}_{\beta ,2}$ of $2\pi$ -periodic $(\psi , \beta)$-differentiable functions for which $f^{\psi}_{\beta} \in L_2$, we determine the exact constants in Jackson-type inequalities for the characteristic of smoothness $\Lambda_{\gamma} (f, t) = \biggl\{\frac1t \int^t_0 \| \Delta^...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1922 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507813930860544 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, B. S. Вакарчук, Б. С. Вакарчук, Б. С. |
| author_facet | Vakarchuk, B. S. Вакарчук, Б. С. Вакарчук, Б. С. |
| author_sort | Vakarchuk, B. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:57Z |
| description | In the classes $L^{\psi}_{\beta ,2}$ of $2\pi$ -periodic $(\psi , \beta)$-differentiable functions for which $f^{\psi}_{\beta} \in L_2$, we determine the exact constants in
Jackson-type inequalities for the characteristic of smoothness $\Lambda_{\gamma} (f, t) = \biggl\{\frac1t \int^t_0 \| \Delta^{\gamma}_
h(f)\|^2dh \biggr\}^{1/2}$, $t > 0$, deternined by averaging the norm of the generalized difference relation $\Delta_{ \gamma}h(f)$. For the classes of $(\psi,\beta)$ -differentiable functions defined
by using the characteristic of smoothness $\Lambda_{\gamma}$ and the majorant $\Phi$, satisfying numerous conditions, we find the exact values
of some $n$-widths in $L_2$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Днепропетр. ун-т им. А. Нобеля)
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА
С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ
И ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ \bfitn -ПОПЕРЕЧНИКОВ
КЛАССОВ (\bfitpsi , \bfitbeta )-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В \bfitL \bftwo . III
In the classes L\psi \beta ,2 of 2\pi -periodic (\psi , \beta )-differentiable functions for which f\psi \beta \in L2, we determine the exact constants in
Jackson-type inequalities for the characteristic of smoothness \Lambda \gamma (f, t) =
\biggl\{
1
t
\int t
0
\| \Delta \gamma
h(f)\|
2dh
\biggr\} 1/2
, t > 0, deternined by
averaging the norm of the generalized difference relation \Delta \gamma
h(f). For the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions defined
by using the characteristic of smoothness \Lambda \gamma and the majorant \Phi , satisfying numerous conditions, we find the exact values
of some n-widths in L2.
На класах L\psi \beta ,2, що складаються з 2\pi -перiодичних (\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй, для яких f\psi \beta \in L2, знайдено
точнi константи в нерiвностях типу Джексона для характеристики гладкостi \Lambda \gamma (f, t) =
\biggl\{
1
t
\int t
0
\| \Delta \gamma
h(f)\|
2dh
\biggr\} 1/2
,
t > 0, яка визначається за допомогою усереднення норми узагальненого рiзницевого вiдношення \Delta \gamma
h(f). Для кла-
сiв (\psi , \beta )-диференцiйовних функцiй, означених за допомогою характеристики гладкостi \Lambda \gamma та мажоранти \Phi , яка
задовольняє низку умов, обчислено точнi значення деяких n-поперечникiв у L2.
Данная статья является продолжением работ [1, 2], поэтому в ней продолжена нумерация пунк-
тов, теорем и следствий. В каждом из пунктов, как и ранее, использована двойная нумерация
формул.
8. Характеристики гладкости функций из \bfitL \bftwo , основанные на усреднении норм обоб-
щений конечных разностей. 8.1. При решении ряда задач теории аппроксимации функций
действительной переменной часто применяют различные модификации классического модуля
непрерывности, поскольку во многих случаях это продиктовано спецификой рассматриваемых
задач и позволяет получить новые содержательные результаты. В подтверждение этого отметим
работы Л. Лейндлера, Р. М. Тригуба, Б. Сендова и В. Попова, К. В. Руновского, Н. П. Пусто-
войтова, К. Ж. Иванова, В. Н. Васильева и других (см., например, [3 – 13]), в которых в качестве
характеристик гладкости функций рассматривались, в частности, различные способы усредне-
ния как конечных разностей, так и их норм.
В качестве конкретного примера рассмотрим более подробно характеристики гладкости,
предложенные в [8, 9] К. Ж. Ивановым и адаптированные на случай 2\pi -периодических функций
в работе [13]. Для этого предварительно напомним, что под Lp := Lp(0, 2\pi ), где 1 \leq p < \infty ,
понимаем пространство 2\pi -периодических суммируемых на (0, 2\pi ) в p-й степени функций f
с нормой
c\bigcirc С. Б. ВАКАРЧУК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10 1299
1300 С. Б. ВАКАРЧУК
\| f\| p := \| f\| Lp(0,2\pi ) =
\left\{ 1
\pi
2\pi \int
0
| f(x)| pdx
\right\}
1/p
.
В случае p = \infty имеем пространство L\infty := L\infty (0, 2\pi ) = M(0, 2\pi ) измеримых сущест-
венно ограниченных на (0, 2\pi ) функций f, норма в котором определяется соотношением
\| f\| \infty := \| f\| L\infty (0,2\pi ) = \| f\| M(0,2\pi ) = sup vrai \{ | f(x)| : 0 < x < 2\pi \} . Пусть далее \lambda — произ-
вольная положительная 2\pi -периодическая функция, определенная на (0, 2\pi ), а w — непрерыв-
ная неотрицательная функция периода 2\pi . Согласно работам [8, 9] \tau -модулем непрерывности
k-го порядка функции f \in Lmax(p,p\prime ), где p, p\prime \geq 1, будем называть величину
\tau k (f, w;\lambda )p\prime ,p :=
\bigm\| \bigm\| w(\cdot )\omega k(f, \cdot ;\lambda (\cdot ))p\prime \bigm\| \bigm\| p . (8.1)
Здесь
\omega k(f, x;\lambda (x))p\prime :=
\left\{ 1
2\lambda (x)
\lambda (x)\int
- \lambda (x)
| \Delta k
h(f, x)| p
\prime
dh
\right\}
1/p\prime
,
а
\Delta k
h(f, x) :=
k\sum
j=0
( - 1)k - j
\biggl(
k
j
\biggr)
f(x+ jh)
— конечная разность k-го порядка функции f в точке x с шагом h. Свойства характеристики
гладкости вида (8.1) в общем случае были подробно изучены в публикациях [8, 9]. Отметим,
что для \lambda (x) \equiv t = const > 0, f \in Lp, w(x) \equiv 1, p\prime \in [1, p] имеем
\tau k(f, 1; t)p\prime ,p \asymp \omega k(f, t)p,
где \omega k(f, t)p := sup
\bigl\{
\| \Delta k
h(f)\| p : 0 < h \leq t
\bigr\}
— обычный модуль непрерывности k-го порядка в
пространстве Lp.
В случае p\prime = p = 2, \lambda (x) \equiv t = const > 0, w(x) \equiv 1 величина (8.1) была использована
в работах автора [12, 13] для изучения поведения наилучших полиномиальных приближений
в пространстве L2 и для решения ряда экстремальных задач теории аппроксимации функций.
Отметим, что в указанном случае имеем
\tau k(f, 1; t)2,2 =
\left\{ 1
2\pi t
2\pi \int
0
dx
t\int
- t
| \Delta k
h(f, x)| 2dh
\right\}
1/2
=
\left\{ 1
t
t\int
0
\| \Delta k
h(f)\| 2dh
\right\}
1/2
.
Таким образом, характеристика гладкости
\Lambda k(f, t)p :=
\left\{ 1
t
t\int
0
\| \Delta k
h(f)\| pp dh
\right\}
1/p
, t > 0, 0 < p <\infty , (8.2)
в случае p := 2 является не чем иным, как \tau -модулем непрерывности k-го порядка \tau k(f, 1; t)2,2.
Также напомним, что при 0 < p < 1 величина (8.2) ранее рассматривалась К. В. Руновским
в работе [6], а при p = 2 она использовалась Л. Лейндлером [3] (случаи k = 1 и k = 2) для
решения ряда задач конструктивной теории функций в L2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1301
8.2. Определенный интерес, с точки зрения автора, представляет своеобразное обобщение
характеристики гладкости (8.2) через обобщение понятия конечной разности функции, пред-
ложенное С. Н. Васильевым в работах [10, 14]. Исходя из этого, приведем далее необхо-
димые понятия и определения. Символом \scrM = \{ zj\} j\in \BbbZ обозначим набор комплексных чисел,
удовлетворяющих условиям
0 <
\infty \sum
j= - \infty
| zj | <\infty и
\infty \sum
j= - \infty
zj = 0.
Данному набору \scrM и вещественному числу h сопоставим разностный оператор \Delta \scrM
h : L2 \rightarrow L2
вида
\Delta \scrM
h (f, x) :=
\infty \sum
j= - \infty
zjf(x+ jh). (8.3)
При этом отметим, что набору чисел
\scrM k :=
\biggl\{
zj = ( - 1)k - j
\biggl(
k
j
\biggr)
, если j = 0, . . . , k; zj = 0, если j < 0 или j > k
\biggr\}
в силу формулы (8.3) соответствует конечная разность \Delta k
h(f, x), а набору чисел
\widetilde \scrM :=
\biggl\{
zj = ( - 1)j
\biggl(
\alpha
j
\biggr)
, если j = 0, 1, . . . ; zj = 0, если j = - 1, - 2, . . .
\biggr\}
,
где \alpha > 0, — разность \Delta \alpha
- h(f, x) дробного порядка \alpha (см., например, пункт 7.3 из работы [2]).
Рассмотрим произвольную функцию f \in L2 и поставим ей в соответствие разложение в
ряд Фурье, т. е.
f(x) \sim
\infty \sum
j= - \infty
cj(f)e
ijx .
Тогда из формулы (8.3) получаем
\Delta \scrM
h (f, x) \sim
\infty \sum
m= - \infty
zmf(x+mh) =
\infty \sum
m= - \infty
zm
\left( \infty \sum
j= - \infty
cj(f)e
ij(x+mh)
\right) =
=
\infty \sum
j= - \infty
cj(f)
\Biggl( \infty \sum
m= - \infty
zme
ijmh
\Biggr)
eijx =
\infty \sum
j= - \infty
cj(f)\widehat w\scrM (jh)eijx, (8.4)
где
\widehat w\scrM (x) :=
\infty \sum
m= - \infty
zme
imx .
Отметим, что \widehat w\scrM является 2\pi -периодической комплекснозначной функцией, принадлежащей
L2 и такой, что \widehat w\scrM (0) = 0. Из соотношения (8.4) имеем
\| \Delta \scrM
h (f)\| 2 = 2
\infty \sum
j= - \infty
| cj(f)| 2 | \widehat w\scrM (jh)| 2. (8.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1302 С. Б. ВАКАРЧУК
Полагая
\gamma \scrM (x) :=
1
2
\Bigl(
| \widehat w\scrM (x)| 2 + | \widehat w\scrM ( - x)| 2
\Bigr)
и учитывая, что
| cj(f)| 2 = | c - j(f)| 2 =
1
4
\bigl(
a2j (f) + b2j (f)
\bigr)
=
1
4
\rho 2j (f), j \in \BbbN ,
из (8.5) получаем
\| \Delta \scrM
h (f)\| 2 =
\infty \sum
j=1
\rho 2j (f) \gamma \scrM (jh). (8.6)
Очевидно, что \gamma \scrM — четная неотрицательная 2\pi -периодическая функция, для которой
\gamma \scrM (0) = 0.
8.3. Рассмотрим еще один вид разностных операторов \widetilde \Delta k
h : L2 \rightarrow L2, где h > 0, k \in \BbbN ,
которые не совсем вписываются в изложенную в п. 8.2 схему. Для этого воспользуемся функ-
цией Стеклова Sh, h > 0, которая будет использоваться в качестве оператора обобщенного
сдвига \tau h, т. е. \tau h(f) := Sh(f). Как отмечалось в п. 2 из работы [1],
\widetilde \Delta k
h(f, x) :=
k\sum
m=0
( - 1)k - m
\biggl(
k
m
\biggr)
Sh,m(f, x),
где
Sh,m(f) := Sh(Sh,m - 1(f)), m \in \BbbN , Sh,0(f) := f.
Учитывая, что
Sh,m(f, x) \sim
\infty \sum
j= - \infty
cj(f)sinc
m(jh)eijx,
для \widetilde \Delta k
h(f) получаем
\widetilde \Delta k
h(f, x) \sim
\infty \sum
j= - \infty
cj(f)
\Biggl(
k\sum
m=0
( - 1)k - m
\biggl(
k
m
\biggr)
sincm(jh)
\Biggr)
eijx =
=
\infty \sum
j= - \infty
cj(f)(sinc (jh) - 1)keijx. (8.7)
Полагая в данном случае
\widehat wk(x) := ( - 1)k(1 - sincx)k и \widehat \gamma k(x) := 1
2
\bigl( \widehat w2
k(x) + \widehat w2
k( - x)
\bigr)
,
на основании (8.7) для f \in L2 имеем
\| \widetilde \Delta k
h(f)\| 2 =
\infty \sum
j=1
\rho 2j (f)\widehat \gamma k(jh). (8.8)
Очевидно, что \widehat \gamma k является неотрицательной и четной функцией, для которой \widehat \gamma k(0) = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1303
Подытоживая изложенное выше, заметим, что всюду далее будем рассматривать лишь те
обобщенные разностные операторы \Delta h : L2 \rightarrow L2, h > 0, для которых разложение в ряд
Фурье функции \Delta h(f, x), f \in L2, имеет вид
\sum \infty
j= - \infty
cj(f)\widehat w(jh)eijx, где \widehat w — некоторая
комплекснозначная функция из L2. При этом функция \gamma (x) :=
1
2
(| \widehat w(x)| 2 + | \widehat w( - x)| 2) должна
принадлежать классу G, т. е. быть четной, непрерывной, ограниченной на всей вещественной
оси \BbbR , неотрицательной, отличной от нуля почти всюду на \BbbR и такой, чтобы \gamma (0) = 0. Исходя
из этого, вместо \Delta h будем применять обозначение \Delta \gamma
h, поскольку
\| \Delta \gamma
h(f)\|
2 := \| \Delta h(f)\| 2 =
\infty \sum
j=1
\rho 2j (f)\gamma (jh). (8.9)
Таким образом, учитывая формулу (8.2), в качестве обобщенной характеристики гладкости
функции f \in L2 будем использовать величину \Lambda \gamma (f), основанную на усреднении квадрата
нормы (8.9) по h, т. е.
\Lambda \gamma (f, t) :=
\left\{ 1
t
t\int
0
\| \Delta \gamma
h(f)\|
2dh
\right\}
1/2
, t > 0. (8.10)
Из определения обобщенного модуля непрерывности \omega \gamma (см. формулу (2.6) из [1]) и соот-
ношений (8.9), (8.10) для произвольной функции f \in L2 имеем
\Lambda \gamma (f, t) \leq \omega \gamma (f, t), t > 0. (8.11)
Также отметим, что в случае \gamma := \gamma 1,k(x) = 2k(1 - cosx)k из (8.10) получаем характеристику
гладкости (8.2), когда p := 2. Если же, например, \gamma := \gamma 2,k(x) = (1 - sincx)2k, то на основании
(8.10) получаем характеристику гладкости функции f \in L2
\widetilde \Lambda k(f, t) :=
\left\{ 1
t
t\int
0
\| \widetilde \Delta k
h(f)\| 2dh
\right\}
1/2
, t > 0, (8.12)
которая ранее нигде не рассматривалась.
9. Наилучшие полиномиальные приближения (\bfitpsi , \bfitbeta )-дифференцируемых функций в
пространстве \bfitL \bftwo . Напомним, что вся необходимая информация, касающаяся классификации
2\pi -периодических функций на основе преобразований их рядов Фурье с помощью мультипли-
каторов и сдвигов по аргументу, непосредственно связанная с введением понятия (\psi , \beta )-про-
изводных, ранее была рассмотрена в пп. 2.2 – 2.5 работы [1].
В п. 3.1 из [1] для функций \gamma из класса G также были введены дополнительные свойства
А, В. Напомним их.
Пусть \gamma (t\ast ) := sup\{ \gamma (x) : x \in \BbbR +\} , где t\ast \in (0,\infty ). Полагаем, что \gamma \in G удовлетворяет
свойству А, если на отрезке [0, t\ast ] функция \gamma является монотонно возрастающей.
Для произвольной функции \gamma \in G, удовлетворяющей свойству А, полагаем
\gamma \ast (x) := \{ \gamma (x), если 0 \leq x \leq t\ast ; \gamma (t\ast ), если t\ast \leq x <\infty \} .
Пусть далее
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1304 С. Б. ВАКАРЧУК
\gamma (\widetilde t\ast ) := inf\{ \gamma (x) : t\ast < x <\infty \} , где \widetilde t\ast \in (t\ast ,\infty ).
Ели нижняя грань достигается в конечном или счетном множестве точек, то в качестве \widetilde t\ast рас-
сматриваем точку с наименьшей абсциссой. Будем полагать, что функция \gamma \in G удовлетворяет
свойству В, если \gamma (\widetilde t\ast ) > 0.
Если функция \gamma \in G удовлетворяет свойствам А и В, то символом t будем обозначать точку
из интервала (0, t\ast ), для которой \gamma (t) = \gamma (\widetilde t\ast ).
Обозначим
\zeta j,\gamma ,\psi (t) :=
1
\psi (j)
\left\{ 1
t
t\int
0
\gamma (jh)dh
\right\}
1/2
. (9.1)
Теорема 6. Пусть функция \gamma принадлежит классу G, а функция \psi является элементом
множества \frakM , \beta \in \BbbR , n \in \BbbN , t \in (0, 2\pi ]. Тогда имеет место равенство
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\Lambda \gamma (f
\psi
\beta , t)
=
1
inf \{ \zeta j,\gamma ,\psi (t) : n \leq j <\infty \}
. (9.2)
Доказательство. Используя формулы (8.9), (8.10), (3.8) из [1] и обозначение (9.1), для
произвольной отличной от константы функции f \in L\psi \beta ,2 записываем
\Lambda \gamma (f
\psi
\beta , t) =
\left\{ 1
t
t\int
0
\| \Delta \gamma
h(f
\psi
\beta )\|
2dh
\right\}
1/2
=
\left\{ 1
t
t\int
0
\left( \infty \sum
j=1
\rho 2j (f
\psi
\beta )\gamma (jh)
\right) dh
\right\}
1/2
=
=
\left\{
\infty \sum
j=1
\rho 2j (f)
\left( 1
\psi 2(j)t
t\int
0
\gamma (jh)dh
\right) \right\}
1/2
\geq
\left\{
\infty \sum
j=n
\rho 2j (f)\zeta
2
j,\gamma ,\psi (t)
\right\}
1/2
\geq
\geq En - 1(f) inf\{ \zeta j,\gamma ,\psi (t) : n \leq j <\infty \} . (9.3)
Из соотношения (9.3) следует оценка сверху
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\Lambda \gamma (f
\psi
\beta , t)
\leq 1
inf \{ \zeta j,\gamma ,\psi (t) : n \leq j <\infty \}
. (9.4)
Для получения оценки снизу экстремальной характеристики, содержащейся в левой части
неравенства (9.4), рассмотрим множество функций fj(x) := sin(jx), где j \geq n и j \in \BbbN ,
которые принадлежат классу L\psi \beta ,2. Поскольку En - 1(fj) = 1, (fj)
\psi
\beta (x) = sin(jx)/\psi (j) и в силу
(9.3) и (9.1)
\Lambda \gamma ((fj)
\psi
\beta , t) =
1
\psi (j)
\left\{ 1
t
t\int
0
\gamma (jh)dh
\right\}
1/2
= \zeta j,\gamma ,\psi (t),
то очевидно, что
En - 1(fj)
\Lambda \gamma ((fj)
\psi
\beta , t)
=
1
\zeta j,\gamma ,\psi (t)
. (9.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1305
Тогда с учетом равенств (9.5) имеем
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\Lambda \gamma (f
\psi
\beta , t)
\geq sup
n\leq j<\infty
En - 1(fj)
\Lambda \gamma ((fj)
\psi
\beta , t)
=
1
inf \{ \zeta j,\gamma ,\psi (t) : n \leq j <\infty \}
. (9.6)
Требуемое равенство (9.2) следует из соотношений (9.4) и (9.6).
Теорема 6 доказана.
Введем далее следующие обозначения:
w\gamma (t) :=
\left\{ 1
t
t\int
0
\gamma (h)dh
\right\}
1/2
, (9.7)
\eta j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) :=
1
\psi (j)
\left\{
\tau \int
0
wp\gamma (jt)\xi (t)dt
\right\}
1/p
. (9.8)
Теорема 7. Пусть \gamma — произвольная функция из класса G, \psi — любой элемент из мно-
жества \frakM , \beta \in \BbbR , n \in \BbbN , 0 < p \leq 2, \tau \in (0, 2\pi ], \xi — произвольная неотрицательная
суммируемая на отрезке [0, \tau ] функция, которая не эквивалентна нулю. Тогда имеет место
равенство
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)\biggl\{ \int \tau
0
\Lambda p\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\biggr\} 1/p
=
1
inf \{ \eta j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \}
. (9.9)
Доказательство. Используя неравенство (3.14) из [1], а именно\left\{
\tau \int
0
\left( \infty \sum
j=n
| gj(t)| 2
\right) p/2
\xi (t)dt
\right\}
1/p
\geq
\left\{
\infty \sum
j=n
\left( \tau \int
0
| gj(t)| p\xi (t)dt
\right) 2/p
\right\}
1/2
,
где 0 < p \leq 2, соотношение (9.3) и обозначения (9.7), (9.8), получаем
\left\{
\tau \int
0
\Lambda p\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\right\}
1/p
\geq
\left\{
\tau \int
0
\left( \infty \sum
j=n
1
\psi 2(j)
\rho 2j (f)w
2
\gamma (jt)
\right) p/2
\xi (t)dt
\right\}
1/p
\geq
\geq
\left\{
\infty \sum
j=n
\left( \rho pj (f) 1
\psi p(j)
\tau \int
0
wp\gamma (jt)\xi (t)dt
\right) 2/p
\right\}
1/2
=
\left\{
\infty \sum
j=n
\rho 2j (f)\eta
2
j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau )
\right\}
1/2
\geq
\geq En - 1(f) inf\{ \eta j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \} . (9.10)
Из (9.10) следует оценка сверху
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1306 С. Б. ВАКАРЧУК
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)\biggl\{ \int \tau
0
\Lambda p\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\biggr\} 1/p
\leq 1
inf \{ \eta j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \}
. (9.11)
Для получения оценки снизу величины, содержащейся в левой части неравенства (9.11),
рассмотрим, как и при доказательстве теоремы 6, множество функций fj(x) = sin(jx), где
j \in \BbbN и j \geq n. Поскольку En - 1(fj) = 1 и в силу формул (9.3), (9.7), (9.8)
\left\{
\tau \int
0
\Lambda p\gamma ((fj)
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\right\}
1/p
=
\left\{
\tau \int
0
1
\psi p(j)
\left( 1
t
t\int
0
\gamma (jh)dh
\right) p/2
\xi (t)dt
\right\}
1/p
= \eta j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ),
то для любого натурального числа j \geq n имеем
En - 1(fj)\biggl\{ \int \tau
0
\Lambda p\gamma ((fj)
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\biggr\} 1/p
=
1
\eta j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau )
.
Следовательно,
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)\biggl\{ \int \tau
0
\Lambda p\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\biggr\} 1/p
\geq sup
n\leq j<\infty
En - 1(fj)\biggl\{ \int \tau
0
\Lambda p\gamma ((fj)
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\biggr\} 1/p
=
=
1
inf\{ \eta j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \}
. (9.12)
Требуемое равенство (9.9) получаем на основании соотношений (9.11) и (9.12).
Теорема 7 доказана.
Полагая, например, в формуле (9.9) \gamma := \gamma 1,k(x) = 2k(1 - cosx)k, \psi (x) := \psi 1,r = x - r, где
r = \beta \in \BbbN , и используя обозначение (8.2), записываем равенство
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)\biggl\{ \int \tau
0
\Lambda pk(f
(r), t)\xi (t)dt
\biggr\} 1/p
=
1
2k/2 inf \{ \widetilde \eta j,k,r,p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \}
, (9.13)
где
\widetilde \eta j,k,r,p(\xi , \tau ) :=
\left\{ jrp
\tau \int
0
wpk(jt)\xi (t)dt
\right\}
1/p
,
wk(x) :=
\left\{ 1
x
x\int
0
(1 - cosh)kdh
\right\}
1/2
.
Отметим, что ранее соотношение (9.13), являющееся частным случаем равенства (9.9), было
получено в работе автора [12].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1307
Замечание 1. Пусть весовая функция \xi неотрицательна, суммируема на отрезке [0, 2\pi ] и
не эквивалентна нулю. Поскольку, согласно неравенству (8.11), величина
\Omega \gamma ,p(f, \xi ; \tau ) :=
\left\{
\int \tau
0
\Lambda p\gamma (f, t)\xi (t)dt\int \tau
0
\xi (t)dt
\right\}
1/p
, 0 < p \leq 2, (9.14)
не превышает обобщенного модуля непрерывности \omega \gamma (f, \tau ) при любом \tau \in (0, 2\pi ], то в
некоторых случаях целесообразно использовать характеристику \Omega \gamma ,p(f, \xi ) при оценке свер-
ху наилучшего полиномиального приближения En - 1(f). Следует отметить, что в случае, когда
\gamma := 2\alpha (1 - cosx)\alpha , где \alpha > 0, \xi := sinq(bx/\delta ), 0 < b \leq \pi , 0 < x \leq \delta , 0 < \delta \leq \pi /n, 0 \leq q <\infty ,
а вместо \Lambda \gamma используется модуль непрерывности дробного порядка \alpha > 0, величина, подоб-
ная (9.14), применялась М. Г. Есмаганбетовым для решения ряда экстремальных задач теории
аппроксимации функций в пространстве L2 (см., например, [15]).
С учетом замечания 1 из (9.9) и (9.14) получаем равенство
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\Omega \gamma ,p(f
\psi
\beta , \xi ; \tau )
=
\biggl\{ \int \tau
0
\xi (t)dt
\biggr\} 1/p
inf\{ \eta j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \}
, (9.15)
где 0 < \tau \leq 2\pi .
10. Некоторые следствия из теорем 6 и 7. Приведенные далее следствия 7, 8 вытекают
из теоремы 6, а следствия 9, 10 — из теоремы 7.
Следствие 7. Пусть функция \gamma , принадлежащая классу G, удовлетворяет свойствам А
и В, а функция \psi является элементом множества \frakM , \beta \in \BbbR , 0 < t \leq t/n, n \in \BbbN . Тогда
справедливо равенство
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\psi (n)\Lambda \gamma (f
\psi
\beta , t)
=
1\sqrt{}
w\gamma (nt)
, (10.1)
где w\gamma определяется формулой (9.7).
Доказательство. В п. 4.1 статьи [1] отмечалось, что для функции \gamma \in G, удовлетворяю-
щей свойствам А и В, выполняется неравенство
x\nu \gamma \mu (zy) \geq \gamma \mu (y), (10.2)
где 0 \leq y \leq t, x, z \geq 1, \nu , \mu > 0 — произвольные числа. В данном случае полагаем \mu := 1,
\nu := 2, z := j/n, y := nh, x := \psi (n)/\psi (j), где j \geq n, j, n \in \BbbN , 0 < h \leq t/n.
С учетом указанной конкретизации из неравенства (10.2) получаем
1
\psi 2(j)
\gamma (jh) \geq 1
\psi 2(n)
\gamma (nh). (10.3)
Интегрируя обе части неравенства (10.3) по переменной h в пределах от 0 до t, где 0 < t \leq t/n,
а затем умножая их на величину 1/t, на основании формулы (9.1) имеем \zeta 2j,\gamma ,\psi (t) \geq \zeta 2n,\gamma ,\psi (t)
для любого натурального числа j \geq n. Следовательно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1308 С. Б. ВАКАРЧУК
inf\{ \zeta j,\gamma ,\psi (t) : n \leq j <\infty \} = \zeta n,\gamma ,\psi (t). (10.4)
Требуемый результат (10.1) получаем из соотношений (9.1), (9.2) и (10.4).
Следствие 7 доказано.
Пусть, например, \psi := \psi 1,r(x) = x - r, где r = \beta \in \BbbN , и \gamma := \gamma 2,k(x) = (1 - sincx)2k, где
k \in \BbbN . Поскольку функция \gamma 2,k \in G удовлетворяет свойствам А и В, то при 0 < t \leq t/n из
(10.1) имеем
sup
f\in Lr2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)\widetilde \Lambda k(f (r), t) =
\left\{ 1
t
t\int
0
(1 - sinc (nh))2kdh
\right\}
- 1/2
,
где характеристика гладкости \widetilde \Lambda k определяется формулой (8.12).
Прежде чем сформулировать следствие 8, напомним, что используемая в нем функция
a(\psi , x) := \psi (x)/(x| \psi \prime (x)| ) была рассмотрена в п. 2.5 работы [1].
Следствие 8. Пусть функция \gamma , принадлежащая классу G, дифференцируема почти всю-
ду на множестве \BbbR , функция \psi \in \frakM дифференцируема на множестве [1,\infty ) (\psi \prime (1) :=
:= \psi \prime (1 + 0)), \beta \in \BbbR , 0 < t \leq 2\pi . Если для любого x \in [1,\infty ) имеет место неравенство
2
a(\psi , x)
- 1 \geq 0, (10.5)
то справедливо соотношение (10.1).
Доказательство. Использовав обозначение (9.1), рассмотрим вспомогательную функцию
F (x) :=
1
\psi 2(x)t
t\int
0
\gamma (xh)dh,
где 1 \leq x < \infty . Очевидно, что F 1/2(j) = \zeta j,\gamma ,\psi (t). Вычислим для функции F производную
первого порядка
F \prime (x) = - 2
\psi \prime (x)
\psi 3(x)t
t\int
0
\gamma (xh)dh+
1
\psi 2(x)t
t\int
0
\partial
\partial x
(\gamma (xh))dh. (10.6)
Поскольку почти всюду на \BbbR
\partial
\partial x
(\gamma (xh)) = h\gamma \prime (xh),
\partial
\partial h
(\gamma (xh)) = x\gamma \prime (xh),
то для почти всех отличных от нуля x и h справедливо равенство
1
h
\partial
\partial x
(\gamma (xh)) =
1
x
\partial
\partial h
(\gamma (xh)). (10.7)
Из формулы (10.6) с учетом равенства (10.7) имеем
F \prime (x) =
1
x\psi 2(x)t
\left\{ 2
a(\psi , x)
t\int
0
\gamma (xh)dh+
t\int
0
h
\partial
\partial h
(\gamma (xh))dh
\right\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1309
Выполняя во втором интеграле последней формулы интегрирование по частям и используя
обозначение (9.7), получаем
F \prime (x) =
1
x\psi 2(x)
\biggl\{ \biggl(
2
a(\psi , x)
- 1
\biggr)
w2
\gamma (xt) + \gamma (xt)
\biggr\}
. (10.8)
Поскольку w2
\gamma и \gamma — неотрицательные на множестве [1,\infty ) функции и имеет место неравенство
(10.5), из (10.8) вытекает соотношение F \prime (x) \geq 0, т. е. F — неубывающая функция для всех
x \in [1,\infty ). Отсюда имеем
inf \{ \zeta j,\gamma ,\psi (t) : n \leq j <\infty \} = \zeta n,\gamma ,\psi (t). (10.9)
Учитывая формулы (9.1), (9.2) и применяя равенство (10.9), получаем требуемое соотношение
(10.1), где 0 < t \leq 2\pi , что и завершает доказательство следствия 8.
Используя соотношение (4.11) из работы [1], нетрудно убедиться в том, что условие (10.5)
будет иметь место для следующих функций: \psi 1,r(x) = x - r, если 1/2 \leq r < \infty ; \psi 3,\sigma ,\lambda (x) =
= exp( - \sigma x\lambda ), где \sigma , \lambda \in (0,\infty ), если 1/2 \leq \sigma \lambda ; \psi 4,r,\varepsilon (x) = x - r ln\varepsilon (x+e), где 0 < \varepsilon < r <\infty ,
если 1/2 \leq r - \varepsilon .
Полагая, например, в формуле (10.1) \psi := \psi 1,r, где 1/2 \leq r < \infty , \beta \in \BbbR , и \gamma := \gamma 1,k, где
k \in \BbbN , при выполнении условий следствия 8 для 0 < t \leq 2\pi получаем
sup
f\in Lr2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)
\Lambda k(f
(r)
\beta , t)
=
\left\{ 2k
nt
nt\int
0
(1 - cosh)kdh
\right\}
- 1/2
.
Полагая в данной формуле t := \tau /n, r = \beta \in \BbbN и используя обозначение
\scrF k(t) :=
t\int
0
(1 - cosh)kdh, (10.10)
получаем один из результатов, приведенных в работе автора [13]:
sup
f\in Lr2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)
\Lambda k(f (r), \tau /n)
=
\biggl\{
\tau
2k\scrF k(\tau )
\biggr\} 1/2
. (10.11)
В случае k = 1 из (10.11) имеем
sup
f\in Lr2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)
\Lambda 1(f (r), \tau /n)
=
1
\{ 2(1 - sinc \tau )\} 1/2
. (10.12)
Если же, например, воспользоваться функцией \psi := \psi 3,\sigma ,\lambda , где 1/2 \leq \sigma \lambda и \sigma , \lambda \in (0,\infty ), то
при \beta \in \BbbR , по аналогии с вышеприведенным случаем, из (10.1) получаем
sup
f\in L
\psi 3,\sigma ,\lambda
\beta ,2
f \not \equiv const
exp(\sigma n\lambda )En - 1(f)
\Lambda k(f
\psi 3,\sigma ,\lambda
\beta , \tau /n)
=
\biggl\{
\tau
2k\scrF k(\tau )
\biggr\} 1/2
. (10.13)
Отметим, что в формулах (10.11) – (10.13) значение \tau \in (0, 2\pi n].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1310 С. Б. ВАКАРЧУК
Следствие 9. Пусть функция \gamma \in G имеет свойства А и В, функция \psi принадлежит \frakM ,
\beta \in \BbbR , 0 < p \leq 2, 0 < \tau \leq t/n, n \in \BbbN , \xi — произвольная неотрицательная суммируемая на
отрезке [0, \tau ] функция, которая не эквивалентна нулю. Тогда имеет место равенство
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\psi (n)
\biggl\{ \int \tau
0
\Lambda p\gamma (f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\biggr\} 1/p
=
1\biggl\{ \int \tau
0
wp\gamma (nt)\xi (t)dt
\biggr\} 1/p
. (10.14)
Доказательство. Воспользуемся соотношением (10.3), в котором j, n \in \BbbN и j \geq n, а
также полагаем 0 < h \leq t/n. Интегрируя обе части неравенства (10.3) по переменной h в
пределах от 0 до t, где 0 < t \leq t/n, умножая их на 1/t, а затем возводя в степень p/2, в силу
обозначения (9.7) получаем
1
\psi p(j)
wp\gamma (jt) \geq
1
\psi p(n)
wp\gamma (nt). (10.15)
Умножая обе части неравенства (10.15) на функцию \xi (t), а затем интегрируя их по переменной
t в пределах от 0 до \tau , где 0 < \tau \leq t/n, имеем
1
\psi p(j)
\tau \int
0
wp\gamma (jt)\xi (t)dt \geq
1
\psi p(n)
\tau \int
0
wp\gamma (nt)\xi (t)dt.
Используя обозначение (9.8), отсюда получаем \eta j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) \geq \eta n,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) для j \geq n, т. е.
inf \{ \eta j,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \} = \eta n,\gamma ,\psi ,p(\xi , \tau ), (10.16)
где 0 < \tau \leq t/n. Требуемое равенство (10.14) следует из соотношений (9.9) и (10.16), что и
завершает доказательство следствия 9.
Напомним, что если \psi := \psi 1,r, где r \in \BbbR +\setminus \{ 0\} и \beta \in \BbbR , то имеем производную f\psi \beta = f
(r)
\beta
в смысле Вейля – Надя. Полагая, например, в формуле (10.14) k := 1, \gamma := \gamma 2,1, \xi (t) \equiv 1,
p := 2 и учитывая обозначения (8.12), (9.7) и (9.8), получаем равенство
sup
f\in L
\psi 1,r
\beta ,2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)\biggl\{ \int \tau
0
\widetilde \Lambda 2
1(f
(r)
\beta , t)dt
\biggr\} 1/2
=
\left\{
\tau \int
0
dt
t
t\int
0
(1 - sinc (nh))2dh
\right\}
- 1/2
,
где 0 < \tau \leq t/n.
Следующее далее утверждение интересно тем, что для рассматриваемой в нем конкретной
функции \gamma \in G требуется лишь выполнение свойства А, однако, несмотря на это, равенство
(10.14) также будет иметь место.
Следствие 10. Пусть функция \gamma := \gamma 1,1, \psi \in \frakM , \beta \in \BbbR , 0 < p \leq 2, 0 < \tau \leq t/n,
n \in \BbbN , \xi — произвольная неотрицательная суммируемая на отрезке [0, \tau ] функция, которая
не эквивалентна нулю. Тогда справедливо равенство
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\psi (n)
\biggl\{ \int \tau
0
\Lambda p1(f
\psi
\beta , t)\xi (t)dt
\biggr\} 1/p
=
1\biggl\{
2
\int \tau
0
(1 - sinc (nt))p/2\xi (t)dt
\biggr\} 1/p
. (10.17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1311
Доказательство. В рассматриваемом здесь случае функция \gamma 1,1 \in G удовлетворяет свойст-
ву А, но не удовлетворяет свойству В. Однако функция
w\gamma 1,1(x) =
\left\{ 1
x
x\int
0
\gamma 1,1(h)dh
\right\}
1/2
= \{ 2(1 - sincx)\} 1/2
уже является элементом класса G и для нее свойства А и В выполнены. Тогда, согласно формуле
(10.2), имеет место неравенство
x\nu w\mu \gamma 1,1(zy) \geq w\mu \gamma 1,1(y), (10.18)
где 0 < y \leq t, x, z \geq 1, \mu , \nu — произвольные числа. Полагая \mu := p, \nu := p, y := nh, z := j/n,
x := \psi (n)/\psi (j), где j \geq n и j, n \in \BbbN , 0 < h \leq t/n, из (10.18) получаем
1
\psi p(j)
wp\gamma 1,1(jh) \geq
1
\psi p(n)
wp\gamma 1,1(nh).
Умножая обе части последнего неравенства на функцию \xi (h) и интегрируя их по переменной
h в пределах от 0 до \tau , где 0 < \tau \leq t/n, в силу (9.8) имеем \eta pj;\gamma 1,1;\psi ,p(\xi , \tau ) \geq \eta pn;\gamma 1,1;\psi ,p(\xi , \tau )
для j \geq n. Следовательно,
inf\{ \eta j;\gamma 1,1;\psi ;p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \} = \eta n;\gamma 1,1;\psi ;p(\xi , \tau ), (10.19)
где 0 < \tau \leq t/n. Требуемое равенство (10.17) следует из соотношений (9.8), (9.9) и (10.19).
Следствие 10 доказано.
Если, например, в формуле (10.17) полагаем p := 2 и \xi (t) \equiv 1, то из нее непосредственно
получаем
sup
f\in L\psi
\beta ,2
f \not \equiv const
En - 1(f)
\psi (n)n1/2
\biggl\{ \int \tau
0
\Lambda 2
1(f
\psi
\beta , t)dt
\biggr\} 1/2
=
1
\{ 2(n\tau - Si(n\tau ))\} 1/2
,
где Si(x) :=
\int x
0
sinc (t)dt — интегральный синус, 0 < \tau \leq t/n.
Следствие 11. Пусть функция \gamma принадлежит классу G, функция \psi \in \frakM дифференци-
руема на множестве [1,\infty ) (\psi \prime (1) := \psi \prime (1+ 0)), \beta \in \BbbR , 0 < \tau \leq 2\pi , n \in \BbbN , \xi — произвольная
неотрицательная и дифференцируема почти всюду на отрезке [0, \tau ] функция (\xi \prime (0) := \xi \prime (0+0),
\xi \prime (\tau ) := \xi (\tau - 0)), которая не эквивалентна нулю, sup\{ a(\psi , x) : 1 \leq x <\infty \} \leq 2, где функция
a(\psi ) определяется формулой (2.17) из [1]. Если при некотором \widetilde p, удовлетворяющем условию
sup\{ a(\psi , x) : 1 \leq x <\infty \} \leq \widetilde p \leq 2,
для почти всех t \in [0, \tau ] и любых x \in [1,\infty ) имеет место соотношение (4.5) из [1], т. е.\biggl( \widetilde p
a(\psi , x)
- 1
\biggr)
\xi (t) - t\xi \prime (t) \geq 0,
то для данного \widetilde p справедливо равенство (10.14).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1312 С. Б. ВАКАРЧУК
Доказательство. Использовав соотношения (9.7), (9.8), введем в рассмотрение вспомога-
тельную функцию
\scrF \tau ,\widetilde p(x) := 1
\psi \widetilde p(x)
\tau \int
0
w\widetilde p
\gamma (xt)\xi (t)dt,
где 1 \leq x <\infty . Нетрудно видеть, что
\scrF 1/\widetilde p
\tau ,\widetilde p (j) = \eta j,\gamma ,\psi ,\widetilde p(\xi , \tau ), j \in \BbbN . (10.20)
Найдем производную первого порядка функции \scrF \tau ,\widetilde p :
\scrF \prime
\tau ,\widetilde p(x) = - p \psi \prime (x)
\psi \widetilde p+1(x)
\tau \int
0
w\widetilde p
\gamma (xt)\xi (t)dt+
1
\psi \widetilde p(x)
\tau \int
0
\xi (t)
\partial
\partial x
\Bigl(
w\widetilde p
\gamma (xt)
\Bigr)
dt. (10.21)
Поскольку, как можно непосредственно проверить,
w\prime
\gamma (t) =
1
2t
\gamma (t) - w2
\gamma (t)
w\gamma (t)
,
то путем соответствующих вычислений с учетом формул (9.7), (9.8) получаем
\partial
\partial x
\Bigl(
w\widetilde p
\gamma (xt)
\Bigr)
= \widetilde pt (w\gamma (xt))\widetilde p - 1w\prime
\gamma (xt) =
\widetilde p
2x
w\widetilde p - 2
\gamma (xt)
\bigl(
\gamma (xt) - w2
\gamma (xt)
\bigr)
,
\partial
\partial t
\Bigl(
w\widetilde p
\gamma (xt)
\Bigr)
= \widetilde p x (w\gamma (xt))\widetilde p - 1w\prime
\gamma (xt) =
\widetilde p
2t
w\widetilde p - 2
\gamma (xt)
\bigl(
\gamma (xt) - w2
\gamma (xt)
\bigr)
.
Отсюда следует равенство
1
x
\partial
\partial t
\Bigl(
w\widetilde p
\gamma (xt)
\Bigr)
=
1
t
\partial
\partial x
\Bigl(
w\widetilde p
\gamma (xt)
\Bigr)
, (10.22)
где переменные t и x отличны от нуля. С учетом формул (2.17) из [1] и (10.22) запишем
соотношение (10.21) в виде
\scrF \prime
\tau ,\widetilde p(x) = 1
x\psi \widetilde p(x)
\left\{ \widetilde p
a(\psi , x)
\tau \int
0
w\widetilde p
\gamma (xt)\xi (t)dt+
\tau \int
0
\xi (t)t
\partial
\partial t
\Bigl(
w\widetilde p
\gamma (xt)
\Bigr)
dt
\right\} .
Выполняя интегрирование по частям во втором интеграле последней формулы, получаем
\scrF \prime
\tau ,\widetilde p(x) = 1
x\psi \widetilde p(x)
\left\{ \tau \xi (\tau )w\widetilde p
\gamma (\tau x) +
\tau \int
0
\biggl[ \biggl( \widetilde p
a(\psi , x)
- 1
\biggr)
\xi (t) - t\xi \prime (t)
\biggr]
w\widetilde p
\gamma (xt)dt
\right\} . (10.23)
Из условий, сформулированных в данном следствии, и формулы (10.23) имеем \scrF \prime
\tau ,\widetilde p(x) \geq 0 для
любого 1 \leq x < \infty , т. е. \scrF \tau ,\widetilde p является неубывающей функцией на множестве [1,\infty ). Тогда в
силу (10.20) имеем
inf\{ \eta j,\gamma ,\psi ,\widetilde p(\xi , \tau ) : n \leq j <\infty \} = \eta n,\gamma ,\psi ,\widetilde p(\xi , \tau ), (10.24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1313
где 0 < \tau \leq 2\pi . Равенство (10.14) получаем на основании формул (10.24) и (9.9), где p := \widetilde p,
что и завершает доказательство следствия 11.
Отметим, что в п. 4.2.1 из работы [1] для функций \psi 1,r;\psi 3,\sigma ,\lambda ;\psi 4,r,\varepsilon были конкретизированы
условия (4.4), (4.5), упомянутые в формулировке следствия 11 и касающиеся функции a(\psi ).
Ими стали соотношения (4.12) – (4.14) соответственно.
Пусть, например, \gamma := \gamma 1,1, \xi (t) := tm, где m \in [0,\infty ) — константа, \psi := \psi 4,r,\varepsilon . Тогда, как
следует из п. 4.2.1 из [1], при выполнении следующих условий на величины \widetilde p,m, r, \varepsilon :
(1 +m)/(r - \varepsilon ) \leq \widetilde p \leq 2, где 0 < \varepsilon < r <\infty и (1 +m)/2 \leq r - \varepsilon ,
для любых n \in \BbbN и 0 < \tau \leq 2\pi из формулы (10.14) с учетом обозначения (8.2) имеем
sup
f\in L
\psi 4,r,\varepsilon
\beta ,2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)
ln\varepsilon (n+ e)
\biggl\{ \int \tau
0
\Lambda \widetilde p
1(f
\psi 4,r,\varepsilon
\beta , t)tmdt
\biggr\} 1/\widetilde p =
1
\surd
2
\biggl\{ \int \tau
0
(1 - sinc (nt))\widetilde p/2tmdt
\biggr\} 1/\widetilde p . (10.25)
Если же \widetilde p := 2 и m := 1, то из равенства (10.25) получаем
sup
f\in L
\psi 4,r,\varepsilon
\beta ,2
f \not \equiv const
nrEn - 1(f)
ln\varepsilon (n+ e)
\biggl\{ \int \tau
0
\Lambda 2
1(f
\psi 4,r,\varepsilon
\beta , t)tdt
\biggr\} 1/2
=
1
\tau (1 - sinc 2(n\tau /2))1/2
.
Можно также рассмотреть и некоторые другие примеры весовых функций \xi , воспользовав-
шись для этого информацией, приведенной в п. 4.2.2 из [1].
11. Вычисление точных значений \bfitn -поперечников классов (\bfitpsi , \bfitbeta )-дифференцируемых
функций, определенных с помощью характеристики гладкости \bfLambda \bfitgamma . 11.1. В п. 5.1 из
работы [2] в пространстве L2 был рассмотрен ряд n-поперечников классов функций, а именно
бернштейновский, колмогоровский, линейный, гельфандовский, проекционный, и приведено
соотношение (5.1) между ними.
Пусть функция \psi принадлежит множеству \frakM , функция \gamma является элементом класса G, \beta \in
\in \BbbR , \Phi — мажоранта, т. е. непрерывная монотонно возрастающая на множестве [0,\infty ) функция,
для которой \Phi (0) = 0. Символом W\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi ) обозначим класс функций f \in L\psi \beta ,2, для каждой
из которых при любом t > 0 имеет место неравенство \Lambda \gamma (f
\psi
\beta , t) \leq \Phi (t).
Теорема 8. Пусть функция \gamma , принадлежащая классу G, дифференцируема почти всюду
на \BbbR и удовлетворяет свойству А, функция \psi \in \frakM дифференцируема на множестве [1,\infty )
(\psi \prime (1) = \psi \prime (1 + 0)), \beta \in \BbbR , для функции a(\psi , x) при любом 1 \leq x < \infty выполняется неравен-
ство (10.5). Если мажоранта \Phi для произвольного n \in \BbbN удовлетворяет условию
\Phi 2(vt\ast /(2n))
\Phi 2(t\ast /(2n))
\geq 1
v
\int t\ast /2
0
\gamma (h)dh
\left\{
\int vt\ast /2
0
\gamma (h)dh, если 0 < v \leq 2,\int t\ast
0
\gamma (h)dh+ \gamma (t\ast )(v/2 - 1)t\ast , если 2 \leq v <\infty ,
(11.1)
то справедливы равенства
\lambda 2n(W
\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi );L2) = \lambda 2n - 1(W
\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi );L2) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1314 С. Б. ВАКАРЧУК
= En - 1(W
\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi )) =
\psi (n)\sqrt{}
w\gamma (t\ast /2)
\Phi
\biggl(
t\ast
2n
\biggr)
. (11.2)
Здесь \lambda n(\cdot ) — любой из указанных выше n-поперечников, En - 1(W
\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi )) := inf\{ En - 1(f) :
f \in W\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi )\} , величина w\gamma определяется формулой (9.7).
Доказательство. Из формулировки данной теоремы следует, что выполнены все условия
следствия 8. Исходя из этого в силу формулы (10.1) имеем
En - 1(f) \leq
\psi (n)\sqrt{}
w\gamma (nt)
\Lambda \gamma (f
\psi
\beta , t),
где 0 < t \leq 2\pi и f \in L\psi \beta ,2. Используя определение класса W\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi ), отсюда получаем
En - 1(W
\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi )) \leq
\psi (n)\sqrt{}
w\gamma (nt)
\Phi (t).
Полагая в данном неравенстве t := t\ast /(2n), записываем оценки сверху рассматриваемых
n-поперечников
\lambda 2n(W
\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi );L2) \leq \lambda 2n - 1(W
\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi );L2) \leq d2n - 1(W
\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi );L2) \leq
\leq En - 1(W
\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi )) \leq
\psi (n)\sqrt{}
w\gamma (t\ast /2)
\Phi
\biggl(
t\ast
2n
\biggr)
. (11.3)
Для получения оценок снизу n-поперечников рассмотрим шар
\BbbB 2n+1 :=
\Biggl\{
Tn \in \frakN T
2n+1 : \| Tn\| \leq \psi (n)\sqrt{}
w\gamma (t\ast /2)
\Phi
\biggl(
t\ast
2n
\biggr) \Biggr\}
.
Используя соотношения (8.9), (8.10), (9.7) и формулу (3.8) из работы [1], для характеристики
гладкости \Lambda \gamma и произвольного полинома Tn \in \frakN T
2n+1 записываем
\Lambda \gamma ((Tn)
\psi
\beta , t) =
\left\{ 1
t
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Delta \gamma
h((Tn)
\psi
\beta )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 dh
\right\}
1/2
\leq
\left\{
n\sum
j=1
\rho 2j ((Tn)
\psi
\beta )w
2
\gamma (jh)
\right\}
1/2
\leq
\leq 1
\psi (n)
\| Tn\|
\left\{ 1
t
t\int
0
\gamma \ast (nh)dh
\right\}
1/2
. (11.4)
Для любого полинома Tn \in \BbbB 2n+1 в силу соотношения (11.4) получаем
\Lambda \gamma ((Tn)
\psi
\beta , t) \leq
\left\{
t\ast
\int nt
0
\gamma \ast (h)dh
2nt
\int t\ast /2
0
\gamma (h)dh
\right\}
1/2
\Phi
\biggl(
t\ast
2n
\biggr)
, (11.5)
где 0 < t \leq 2\pi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1315
Пусть сначала 0 < t \leq t\ast /n и v := 2nt/t\ast , т. е. данная переменная изменяется в пределах
0 < v \leq 2. Учитывая это и используя первое неравенство из условия (11.1), имеем
\Lambda \gamma ((Tn)
\psi
\beta , t) \leq
\left\{
1
v
\int t\ast /2
0
\gamma (h)dh
vt\ast /2\int
0
\gamma (h)dh
\right\}
1/2
\Phi
\biggl(
t\ast
2n
\biggr)
\leq \Phi
\biggl(
vt\ast
2n
\biggr)
= \Phi (t). (11.6)
Пусть теперь t\ast /n \leq t. В данном случае 2 \leq v < \infty . С учетом вышеуказанной замены и
второго неравенства из условия (11.1) получаем
\Lambda \gamma ((Tn)
\psi
\beta , t) \leq
\left\{
1
v
\int t\ast /2
0
\gamma (h)dh
\left( t\ast \int
0
\gamma (h)dh+ \gamma (t\ast )(v/2 - 1)t\ast
\right)
\right\}
1/2
\Phi
\biggl(
t\ast
2n
\biggr)
\leq
\leq \Phi
\biggl(
vt\ast
2n
\biggr)
= \Phi (t). (11.7)
Из соотношений (11.6), (11.7) следует, что для любого полинома Tn \in \BbbB 2n+1 выпол-
няется неравенство \Lambda \gamma ((Tn)
\psi
\beta , t) \leq \Phi (t), где t > 0, т. е. имеет место включение \BbbB 2n+1 \subset
\subset W\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi ). Используя определение бернштейновского n-поперечника, записываем оценки
снизу
\lambda 2n(W
\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi );L2) \geq b2n(W
\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi );L2) \geq b2n(\BbbB 2n+1, L2) \geq
\geq \psi (n)\sqrt{}
w\gamma (t\ast /2)
\Phi
\biggl(
t\ast
2n
\biggr)
. (11.8)
Требуемые равенства (11.2) получаем из соотношений (11.3) и (11.8).
Теорема 8 доказана.
По мнению автора, определенный интерес представляет конкретизация данной теоремы,
которую мы сформулируем в следующем виде.
Теорема 8a. Пусть \gamma := \gamma 1,k, где k \in \BbbN , и выполнены остальные требования теоремы 8.
Если мажоранта \Phi для произвольного n \in \BbbN удовлетворяет условию
\Phi 2(v\pi /(2n))
\Phi 2(\pi /(2n))
\geq
\biggl\{
\scrT k(v\pi /2), если 0 < v \leq 2,
\scrT k(\pi ) + \pi 2k - 1(v - 2), если 2 \leq v <\infty ,
(11.9)
то имеют место равенства
\lambda 2n(W
\psi
\beta ,2(\Lambda k,\Phi );L2) = \lambda 2n - 1(W
\psi
\beta ,2(\Lambda k,\Phi );L2) =
= En - 1(W
\psi
\beta ,2(\Lambda k,\Phi )) =
\biggl\{
\pi
2k+1\scrT k(\pi /2)
\biggr\} 1/2
\psi (n)\Phi
\Bigl( \pi
2n
\Bigr)
,
где \lambda k(\cdot ) — любой из перечисленных ранее n-поперечников, а функция \scrT k определяется форму-
лой (10.10). При этом множество мажорант, удовлетворяющих условию (11.9), не пусто.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1316 С. Б. ВАКАРЧУК
Как следует из работы автора [13], одним из примеров мажоранты, для которой соотношение
(11.9) выполняется, является функция \Phi (t) := t\nu /2, где \nu :=\pi /(2\scrT k(\pi /2)) - 1.
Отметим, что в частном случае, когда \psi := \psi 1,r и r = \beta \in \BbbN , результаты теоремы 8а были
получены в [13].
Следствие 12. Пусть выполнены все условия теоремы 8. Тогда для любого n \in \BbbN имеют
место равенства
sup\{ | an(f)| : f \in W\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi )\} = sup\{ | bn(f)| : f \in W\psi
\beta ,2(\Lambda \gamma ,\Phi )\} =
=
\psi (n)\sqrt{}
w\gamma (t\ast /2)
\Phi
\biggl(
t\ast
2n
\biggr)
.
В частности, при \gamma := \gamma 1,k, где k \in \BbbN , получаем
sup\{ | an(f)| : f \in W\psi
\beta ,2(\Lambda k,\Phi )\} = sup\{ | bn(f)| : f \in W\psi
\beta ,2(\Lambda k,\Phi )\} =
=
\biggl\{
\pi
2k+1\scrT k(\pi /2)
\biggr\} 1/2
\psi (n)\Phi
\Bigl( \pi
2n
\Bigr)
.
11.2. Пусть функция \psi принадлежит множеству \frakM , а \gamma является элементом класса G,
0 < p \leq 2, \xi — неотрицательная суммируемая на отрезке [0, 2\pi ] функция, которая не эквива-
лентна нулю, \beta \in \BbbR . Символом \frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H), где 0 < H \leq 2\pi , обозначим множество функций
f \in L2, для каждой из которых имеет место неравенство \Omega p\gamma ,p(f, \xi ;H) \leq 1. Здесь величина
\Omega \gamma ,p(f, \xi ;H) определяется формулой (9.14). Через L\psi \beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H) обозначим класс функций
f \in L\psi \beta ,2, у которых (\psi , \beta )-производные f\psi \beta принадлежат множеству \frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H).
Теорема 9. Пусть функция \gamma \in G имеет свойства А и В, \psi \in \frakM и \beta \in \BbbR , 0 < p \leq 2,
0 < H \leq t/n, n \in \BbbN , \xi — произвольная неотрицательная суммируемая на отрезке [0, H]
функция, которая не эквивалентна нулю. Тогда справедливы равенства
\lambda 2n(L
\psi
\beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H);L2) = \lambda 2n - 1(L
\psi
\beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H);L2) =
= En - 1(L
\psi
\beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H)) = \psi (n)
\left\{
\int H
0
\xi (t)dt\int H
0
wp\gamma (nt)\xi (t)dt
\right\}
1/p
, (11.10)
где \lambda n(\cdot ) — любой из рассматриваемых n-поперечников, а функция w\gamma определяется формулой
(9.7).
Доказательство. Из соотношений (9.15) и (10.14) при \tau := H для произвольной функции
f \in L\psi \beta ,2 имеем
En - 1(f) \leq \psi (n)
\left\{
\int H
0
\xi (t)dt\int H
0
wp\gamma (nt)\xi (t)dt
\right\}
1/p
\Omega \gamma ,p(f
\psi
\beta , \xi ;H).
Используя определение класса L\psi \beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H) и данное неравенство, получаем оценки попе-
речников сверху
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1317
\lambda 2n(L
\psi
\beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H);L2) \leq \lambda 2n - 1(L
\psi
\beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H);L2) \leq d2n - 1(L
\psi
\beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H);L2) \leq
\leq En - 1(L
\psi
\beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H)) \leq \psi (n)
\left\{
\int H
0
\xi (t)dt\int H
0
wp\gamma (nt)\xi (t)dt
\right\}
1/p
. (11.11)
Для получения оценок снизу n-поперечников рассмотрим шар
\frakB 2n+1 :=
\left\{ Tn \in \frakN T
2n+1 : \| Tn\| \leq \psi (n)
\left(
\int H
0
\xi (t)dt\int H
0
wp\gamma (nt)\xi (t)dt
\right)
1/p
\right\} .
В силу соотношения (11.4) для произвольного полинома Tn \in \frakB 2n+1 при 0 < t \leq t/n получаем
\Lambda p\gamma ((Tn)
\psi
\beta , t) \leq
1
\psi p(n)
\| Tn\| p wp\gamma (nt) \leq
\int H
0
\xi (t)dt\int H
0
wp\gamma (nt)\xi (t)dt
wp\gamma (nt). (11.12)
Умножая левую и правую части соотношения (11.12) на функцию \xi (t) и интегрируя их по пере-
менной t в пределах от 0 до H, с учетом обозначения (9.14) записываем
\Omega p\gamma ,p((Tn)
\psi
\beta , \xi ;H) \leq 1. Следовательно, справедливо включение \frakB 2n+1 \subset L\psi \beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H).
Используя определение бернштейновского поперечника и соотношение (5.1) из [2], имеем
\lambda 2n(L
\psi
\beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H);L2) \geq b2n - 1(L
\psi
\beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H);L2) \geq b2n(\frakB 2n+1, L2) \geq
\geq \psi (n)
\left\{
\int H
0
\xi (t)dt\int H
0
wp\gamma (nt)\xi (t)dt
\right\}
1/p
. (11.13)
Требуемые равенства (11.10) получаем из соотношений (11.11) и (11.13).
Теорема 9 доказана.
Следующая далее теорема 9a также связана с вычислением точных значений ряда n-
поперечников классов L\psi \beta ,2\frakN p(\Lambda \gamma , \xi ;H) в L2, однако, уже при иных ограничениях на \gamma , \psi
и на другие функции и величины, содержащиеся в ее формулировке. Например, от функции
\gamma \in G уже не требуется выполнение свойства В, а величина H удовлетворяет неравенству
0 < H \leq 2\pi . Поскольку доказательство теоремы 9a основано на рассуждениях, аналогичных
таковым при получении теоремы 9, и, в частности, базируется на использовании следствия 11,
мы его не приводим.
Теорема 9a. Пусть функция \gamma \in G удовлетворяет свойству А, функция \psi \in \frakM диффе-
ренцируема на множестве [1,\infty ) (\psi \prime (1) := \psi \prime (1 + 0)), \beta \in \BbbR , 0 < H \leq 2\pi , n \in \BbbN , \xi — неот-
рицательная и дифференцируемая почти всюду на отрезке [0, H] функция (\xi \prime (0) := \xi \prime (0 + 0),
\xi \prime (H) := \xi \prime (H - 0)), которая не эквивалентна нулю, sup\{ a(\psi , x) : 1 \leq x < \infty \} \leq 2. Если при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1318 С. Б. ВАКАРЧУК
некотором \widetilde p, удовлетворяющем условию sup\{ a(\psi , x) : 1 \leq x < \infty \} \leq \widetilde p \leq 2, для почти всех
t \in [0, H] и любых x \in [1,\infty ) выполнено неравенство\biggl( \widetilde p
a(\psi , x)
- 1
\biggr)
\xi (t) - t\xi \prime (t) \geq 0,
то имеет место соотношение (11.10), в котором p := \widetilde p.
Пусть, например, \psi := \psi 1,r, где r \in \BbbR +\setminus \{ 0\} , \beta \in \BbbR , и \gamma := \gamma 1,k, где k \in \BbbN . Если
согласно п. 4.2.1 из [1] при некотором \widetilde p \in [1/r, 2], где 1/2 \leq r <\infty , для почти всех t \in [0, H]
выполняется неравенство
(\widetilde pr - 1)\xi (t) - t\xi \prime (t) \geq 0, (11.14)
то будет справедливо соотношение (11.10).
В частности, если r = \beta \in \BbbN , \xi (t) \equiv 1 и \widetilde p := 2, то неравенство (11.14) выполняется автома-
тически и из (11.10) получаем соотношение, совпадающее с точностью до постоянного множи-
теля H1/2 с результатом теоремы 4 из работы [13]. Так, полагая HW r
2 (\Lambda k) := Lr2\frakN 2(\Lambda k, 1;H),
где 0 < H \leq 2\pi , на основании указанного имеем
\lambda 2n(HW
r
2 (\Lambda k), L2) = \lambda 2n - 1(HW
r
2 (\Lambda k), L2) =
= En - 1(HW
r
2 (\Lambda k)) = n - r+1/2
\left\{
H
2k
\int H
0
t - 1\scrT k(nt)dt
\right\}
1/2
.
В заключение заметим, что изложенный в данной части статьи подход к построению ха-
рактеристик гладкости вида (8.10) является достаточно общим, поскольку позволяет учитывать
различные модификации функции \gamma \in G, участвующей в формировании \Lambda \gamma . Действительно,
используя, например, формулу (7.7) из [2] и полагая \gamma := \widetilde \gamma \eta , можем сразу же записать для ука-
занного случая некоторые из приведенных ранее в пп. 9 – 11 общих результатов, касающихся
теории аппроксимации функций в пространстве L2. Это же можно сделать и для характерис-
тики гладкости \Lambda \gamma , полученной на основе разностей дробного порядка \alpha > 0, рассмотренных
в п. 7.3 работы [2].
Литература
1. Вакарчук С. Б. Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения n-
поперечников классов (\psi , \beta )-дифференцируемых функций в L2. I // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 6. –
С. 723 – 745.
2. Вакарчук С. Б. Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения n-
поперечников классов (\psi , \beta )-дифференцируемых функций в L2. II // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 8. –
С. 1021 – 1036.
3. Leindler L. Über Strukturbedingungen fur Fourierreihen // Math. Z. – 1965. – 88. – S. 418 – 431.
4. Тригуб Р. М. Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и приближение поли-
номами функций на торе // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1980. – 44, № 6. – С. 1378 – 1409.
5. Сендов Б., Попов В. Усредненные модули гладкости. – М.: Мир, 1988. – 328 с.
6. Руновский К. В. О приближении семействами линейных положительных операторов в пространстве Lp,
0 < p < 1 // Мат. сб. – 1994. – 185, № 8. – С. 81 – 102.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА С ОБОБЩЕННЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ . . . 1319
7. Пустовойтов Н. П. Оценка наилучших приближений периодических функций тригонометрическими поли-
номами через усредненные разности и многомерная теорема Джексона // Мат. сб. – 1997. – 188, № 10. –
С. 95 – 108.
8. Ivanov K. G. On a new characteristic of functions. I. // Сердика Бълг. мат. списание. – 1982. – 8, № 3. – P. 262 – 279.
9. Ivanov K. G. On a new characteristic of functions. II. Direct and converse theorems for the best algebraic approximation
in C[ - 1, 1] and Lp[ - 1, 1] // Плиска Бълг. мат. студ. – 1983. – 5. – Р. 151 – 163.
10. Васильев С. Н. Поперечники некоторых классов функций в пространстве L2 на периоде // Тр. Ин-та математики
и механики УрО РАН. – 2013. – 19, № 4. – С. 42 – 47.
11. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Некоторые вопросы теории аппроксимации классов 2\pi -периодических функций
в пространствах Lp, 1 \leq p \leq \infty // Зб. праць Iн-ту математики НАН України „Проблеми теорiї наближення
функцiй та сумiжнi питання”. – 2004. – 1, № 1. – С. 25 – 41.
12. Вакарчук С. Б. О наилучшем полиномиальном приближении 2\pi -периодических функций в пространстве L2
// Вiсн. Днiпропетр. ун-ту. Сер. мат. – 2015. – 20, вип. 17. – С. 20 – 25.
13. Вакарчук С. Б. О наилучших полиномиальных приближениях в L2 некоторых классов 2\pi -периодических
функций и точных значениях их n-поперечников // Мат. заметки. – 2001. – 70, № 3. – С. 334 – 345.
14. Васильев С. Н. Точное неравенство Джексона – Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным
произвольным конечно-разностным оператором с постоянными коэффициентами // Докл. РАН. – 2002. – 385,
№ 1. – С. 11 – 14.
15. Есмаганбетов М. Г. Поперечники классов из L2[0, 2\pi ] и минимизация точных констант в неравенствах типа
Джексона // Мат. заметки. – 1999. – 65, № 6. – C. 816 – 820.
Получено 05.10.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1922 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:17Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9d/857d5be87c71ee8ed49c55fe34832e9d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19222019-12-05T09:31:57Z Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. III Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения $n$-поперечников классов $(ψ,β)$ -дифференцируемых функций в $L_2$. III Vakarchuk, B. S. Вакарчук, Б. С. Вакарчук, Б. С. In the classes $L^{\psi}_{\beta ,2}$ of $2\pi$ -periodic $(\psi , \beta)$-differentiable functions for which $f^{\psi}_{\beta} \in L_2$, we determine the exact constants in Jackson-type inequalities for the characteristic of smoothness $\Lambda_{\gamma} (f, t) = \biggl\{\frac1t \int^t_0 \| \Delta^{\gamma}_ h(f)\|^2dh \biggr\}^{1/2}$, $t > 0$, deternined by averaging the norm of the generalized difference relation $\Delta_{ \gamma}h(f)$. For the classes of $(\psi,\beta)$ -differentiable functions defined by using the characteristic of smoothness $\Lambda_{\gamma}$ and the majorant $\Phi$, satisfying numerous conditions, we find the exact values of some $n$-widths in $L_2$. На класах $L^{\psi}_{\beta ,2}$, що складаються з $2\pi$ -перiодичних $(\psi , \beta)$ - диференцiйовних функцiй, для яких $f^{\psi}_{\beta} \in L_2$, знайдено точнi константи в нерiвностях типу Джексона для характеристики гладкостi $\Lambda_{\gamma} (f, t) = \biggl\{\frac1t \int^t_0 \| \Delta^{\gamma}_ h(f)\|^2dh \biggr\}^{1/2}$, $t > 0$, яка визначається за допомогою усереднення норми узагальненого рiзницевого вiдношення $\Delta_{ \gamma}h(f)$. Для класiв $(\psi,\beta)$ -диференцiйовних функцiй, означених за допомогою характеристики гладкостi $\Lambda_{\gamma}$ та мажоранти $\Phi$, яка задовольняє низку умов, обчислено точнi значення деяких $n$-поперечникiв у $L_2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1922 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 10 (2016); 1299-1319 Український математичний журнал; Том 68 № 10 (2016); 1299-1319 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1922/904 Copyright (c) 2016 Vakarchuk B. S. |
| spellingShingle | Vakarchuk, B. S. Вакарчук, Б. С. Вакарчук, Б. С. Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. III |
| title | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. III |
| title_alt | Неравенства типа Джексона с обобщенным модулем непрерывности и точные значения $n$-поперечников классов $(ψ,β)$ -дифференцируемых функций в $L_2$. III |
| title_full | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. III |
| title_fullStr | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. III |
| title_full_unstemmed | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. III |
| title_short | Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2$. III |
| title_sort | jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $l_2$. iii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1922 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchukbs jacksontypeinequalitieswithgeneralizedmodulusofcontinuityandexactvaluesofthenwidthsfortheclassesofpsbdifferentiablefunctionsinl2iii AT vakarčukbs jacksontypeinequalitieswithgeneralizedmodulusofcontinuityandexactvaluesofthenwidthsfortheclassesofpsbdifferentiablefunctionsinl2iii AT vakarčukbs jacksontypeinequalitieswithgeneralizedmodulusofcontinuityandexactvaluesofthenwidthsfortheclassesofpsbdifferentiablefunctionsinl2iii AT vakarchukbs neravenstvatipadžeksonasobobŝennymmodulemnepreryvnostiitočnyeznačeniânpoperečnikovklassovpsbdifferenciruemyhfunkcijvl2iii AT vakarčukbs neravenstvatipadžeksonasobobŝennymmodulemnepreryvnostiitočnyeznačeniânpoperečnikovklassovpsbdifferenciruemyhfunkcijvl2iii AT vakarčukbs neravenstvatipadžeksonasobobŝennymmodulemnepreryvnostiitočnyeznačeniânpoperečnikovklassovpsbdifferenciruemyhfunkcijvl2iii |