On the existence of a surface in the pseudo-Euclidean space with given Grassman image
We study the properties of submanifolds of the Grassmanian manifold of the four-dimensional pseudo-Euclidean space and also the Grassman image of a surface in this space. The theorem on the existence of a surface in the pseudo-Euclidean space with the given Grassman image is formulated and proved.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1923 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507813284937728 |
|---|---|
| author | Grechneva, M. A. Stegantseva, P. G. Гречнева, М. А. Стеганцева, П. Г. Гречнева, М. А. Стеганцева, П. Г. |
| author_facet | Grechneva, M. A. Stegantseva, P. G. Гречнева, М. А. Стеганцева, П. Г. Гречнева, М. А. Стеганцева, П. Г. |
| author_sort | Grechneva, M. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:57Z |
| description | We study the properties of submanifolds of the Grassmanian manifold of the four-dimensional pseudo-Euclidean space and
also the Grassman image of a surface in this space. The theorem on the existence of a surface in the pseudo-Euclidean
space with the given Grassman image is formulated and proved. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.76
М. А. Гречнева, П. Г. Стеганцева (Запорож. нац. ун-т)
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОВЕРХНОСТИ
ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
С ЗАДАННЫМ ГРАССМАНОВЫМ ОБРАЗОМ
We study the properties of submanifolds of the Grassmanian manifold of the four-dimensional pseudo-Euclidean space and
also the Grassman image of a surface in this space. The theorem on the existence of a surface in the pseudo-Euclidean
space with the given Grassman image is formulated and proved.
Вивчаються властивостi пiдмноговидiв грассманова многовиду чотиривимiрного псевдоевклiдового простору, а
також грассманiв образ поверхнi цього простору. Формулюється та доводиться теорема про iснування поверхнi
псевдоевклiдового простору з заданим грассмановим образом.
Множество G(2, 4) двумерных плоскостей в евклидовом пространстве R4, проходящих через
фиксированную точку O, называют грассмановым многообразием [2]. В псевдоевклидовом
пространстве 1R4 (с метрикой сигнатуры - + ++) множество G(2, 4) состоит из двумерных
евклидовых, псевдоевклидовых и изотропных плоскостей. Как и в евклидовом пространстве, на
нем можно ввести структуру гладкого многообразия, но не связного, а представляющего собой
дизъюнктное объединение трех связных подмногообразий, которые будем обозначать PG(2, 4),
EG(2, 4) и IzG(2, 4) соответственно. Геометрия грассмановых подмногообразий псевдоевкли-
дова пространства изучалась в работах C. Е. Козлова, И. Маазикаса, Д. В. Иванова, Т. Хангана,
а также авторами в работах [3 – 5]. В данной статье будем рассматривать подмногообразия
неизотропных плоскостей.
При стандартном плюккеровом вложении [1] грассманова многообразия G(2, 4) метри-
ка пространства 1R4 порождает в пространстве бивекторов метрику пространства 3R6 —
псевдоевклидова шестимерного пространства индекса 3, а точечное представление каждого
из подмногообразий EG(2, 4) и PG(2, 4) представляет собой четырехмерную поверхность с
индуцированной псевдоримановой метрикой сигнатуры ( - - ++). Поверхность, являющаяся
представлением EG(2, 4), лежит на пятимерной сфере действительного радиуса 1, а в случае
PG(2, 4) — мнимого радиуса i.
Пусть V 2 — некоторая двумерная поверхность пространства 1R4. Тип поверхности опре-
деляется типом касательной плоскости к ней. Будем рассматривать такие поверхности или
области на поверхностях, в каждой точке которых тип касательной плоскости не меняется.
Рассмотрим поверхность \=r(u, v) = (f(u) \mathrm{c}\mathrm{h} v, f(u) \mathrm{s}\mathrm{h} v, g(u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} v, g(u) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} v), где f(u), g(u) —
функции класса Ck, k \geq 1. Скалярные квадраты касательных векторов \=ru и \=rv имеют вид
- (f \prime (u))2 + (g\prime (u))2 и (f(u))2 + (g(u))2 соответственно. Тогда, например, при f(u) = \mathrm{s}\mathrm{h}u,
g(u) = \mathrm{c}\mathrm{h}u имеем псевдоевклидову, при f(u) = \mathrm{c}\mathrm{h}u, g(u) = \mathrm{s}\mathrm{h}u — евклидову, а при
f(u) = g(u) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}u — изотропную поверхность. Далее будем рассматривать только евкли-
довы и псевдоевклидовы поверхности.
Каждой точке x \in V 2 поставим в соответствие двумерную плоскость, проходящую через
фиксированную точку O и параллельную нормальной плоскости Nx поверхности V 2 в точ-
ке x. Тем самым задается отображение поверхности V 2 в грассманово многообразие G(2, 4),
c\bigcirc М. А. ГРЕЧНЕВА, П. Г. СТЕГАНЦЕВА, 2016
1320 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОВЕРХНОСТИ ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА . . . 1321
а образ этого отображения — двумерная поверхность \Gamma 2 — называется грассмановым образом
поверхности V 2. Геометрия грассманова образа поверхности евклидова пространства хорошо
изучена. Наиболее интересными являются вопросы о задании поверхности своим грассма-
новым образом, о единственности такого задания, о деформациях, сохраняющих грассманов
образ. Эти вопросы исследовались в работах К. Лейхвайса, Ю. Вонга, Ю. Муто, Ю. А. Ами-
нова, А. В. Борисенко, В. А. Горькавого и др. В данной статье рассматривается вопрос о
существовании поверхности псевдоевклидова пространства 1R4 с заданным грассмановым об-
разом. Для решения этого вопроса докажем некоторые свойства подмногообразий грассманова
многообразия G(2, 4).
Лемма 1. Подмногообразие S2(\=e) двумерных плоскостей пространства 1R4, ортогональ-
ных фиксированному вектору \=e, является двумерным.
Доказательство. В пространстве 1R4 ортогональным дополнением к фиксированному
вектору \=e является трехмерное пространство (евклидово R3, если \=e — псевдоевклидов вектор,
и псевдоевклидово 1R3, если \=e — евклидов вектор). Очевидно, что все двумерные плоскости,
ортогональные вектору \=e, принадлежат этому трехмерному пространству. Таким образом, име-
ем грассманово многообразие двумерных плоскостей трехмерного пространства, размерность
которого равна двум, что и требовалось доказать.
Следствие 1. При стандартном плюккеровом вложении f грассманова многообразия в
пространство 3R6 образ его подмногообразия S2(\=e) является подмногообразием некоторого
трехмерного пространства T 3(\=e).
Действительно, пусть \=e — псевдоевклидов вектор, тогда S2(\=e) — подмногообразие в EG(2, 4).
Выберем в 1R4 базис \{ \=e1 = \=e, \=e2, \=e3, \=e4\} . Тогда плюккеровы координаты (p12, p13, p14, p23, p24,
p34) каждой точки из f(S2(\=e)) удовлетворяют системе уравнений p12 = p13 = p14 = 0, т. е.
f(S2(\=e)) является подмногообразием трехмерного пространства T 3(\=e) = R3 \subset 3 R6. Если же \=e
— евклидов вектор, то выберем в 1R4 базис \{ \=e1, \=e2 = \=e, \=e3, \=e4\} . Тогда плюккеровы координаты
каждой точки из f(S2(\=e)) удовлетворяют системе уравнений p12 = p23 = p24 = 0, т. е. f(S2(\=e))
принадлежит трехмерному пространству T 3(\=e) =2 R3 \subset 3 R6.
Лемма 2. Семейство трехмерных подпространств пространства 1R4, содержащих фик-
сированную двумерную плоскость \pi , является однопараметрическим.
Если имеем семейство евклидовых трехмерных подпространств, содержащих фиксирован-
ную двумерную плоскость \pi (очевидно, евклидову), то все векторы, каждый из которых орто-
гонален некоторому подпространству из семейства, являются псевдоевклидовыми. Рассмотрим
двумерную плоскость \pi \bot , ортогональную к плоскости \pi . Она будет псевдоевклидовой. Вы-
берем псевдоевклидов вектор \=e0 \in \pi \bot . Обозначим через \varphi угол между псевдоевклидовыми
векторами \=e0 и \=e в плоскости \pi \bot . Тогда каждое значение \varphi \in ( - \infty ,\infty ) однозначно определяет
трехмерное подпространство T 3(\=e) семейства. Таким образом, семейство трехмерных евкли-
довых подпространств пространства 1R4, содержащих фиксированную евклидову плоскость,
зависит от одного параметра \varphi .
Если же имеем семейство псевдоевклидовых трехмерных пространств, проходящих через
фиксированную евклидову (или псевдоевклидову) плоскость \pi , то каждое из этих пространств
определяет ортогональный к нему вектор, являющийся евклидовым. Рассмотрим двумерную
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1322 М. А. ГРЕЧНЕВА, П. Г. СТЕГАНЦЕВА
плоскость \pi \bot , ортогональную к плоскости \pi . Она будет псевдоевклидовой (или соответствен-
но евклидовой). В каждом из этих случаев выберем евклидов вектор \=e0 \in \pi \bot . Обозначим
через \varphi угол между евклидовыми векторами \=e0 и \=e в плоскости \pi \bot . Тогда каждое значе-
ние \varphi \in ( - \infty ,\infty )
\bigl(
во втором случае \varphi \in [0, 2\pi ]
\bigr)
однозначно определяет трехмерное под-
пространство семейства. Таким образом, семейство трехмерных псевдоевклидовых подпро-
странств пространства 1R4, содержащих фиксированную неизотропную плоскость, зависит от
одного параметра \varphi .
Следствие 2. При стандартном плюккеровом вложении грассманова многообразия в про-
странство 3R6 семейство трехмерных пространств T 3(\=e), проходящих через фиксированную
точку P0 — образ плоскости \pi , является однопараметрическим.
Каждое из пространств T 3(\=e) определяется подмногообразием S2(\=e), которое, в свою оче-
редь, определяется вектором \=e. Согласно лемме 2, вектор \=e определяется параметром \varphi , геомет-
рический смысл которого — угол между \=e и фиксированным вектором \=e0, т. е. рассматриваемое
семейство пространств T 3(\=e) зависит от одного параметра \varphi .
В работе [3] изучались свойства подмногообразий EG(2, 4) и PG(2, 4), был построен тензор
кривизны и получены формулы для вычисления секционной кривизны \=K(\sigma ).
Лемма 3. Пусть T 2 — двумерная площадка, касательная к EG(2, 4) \subset 3 R6 в точке P0,
и секционная кривизна удовлетворяет условию \=K(\sigma ) \not = 1. Тогда найдется такое трехмерное
подпространство T 3 \subset 3 R6, проходящее через точку P0, что проекция T 2 на T 3 является
двумерной площадкой (другими словами, найдется T 3, на которое T 2 проектируется ре-
гулярно).
Доказательство. Воспользуемся методом от противного. Обозначим через T 4 касательное
пространство к EG(2, 4) в точке P0. Предположим, что существуют площадки T 2(P0) \subset T 4,
которые нельзя регулярно спроектировать ни на одно пространство T 3, проходящее через точ-
ку P0. То есть предположим, что существуют площадки, в которых для любого пространства
T 3 найдется вектор, ортогональный этому пространству. Рассмотрим образ f(S2(\=e)) подмно-
гообразия S2(\=e) многообразия EG(2, 4). Его точки являются образами двумерных евклидовых
плоскостей в 1R4, проходящих через точку и ортогональных фиксированному псевдоевкли-
дову вектору \=e \in 1 R4. Согласно лемме 1, оно двумерно. Найдем параметрические уравнения
подмногообразия S2(\=e). В пространстве 1R4 от стандартного базиса \{ \=ei\} пeрейдем к базису
\{ \=e\prime i\} по формулам \=e\prime 1 = \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi \=e1 + \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi \=e2, \=e\prime 2 = \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi \=e1 + \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi \=e2, \=e\prime 3 = \=e3, \=e\prime 4 = \=e4 с помощью
поворота на угол \varphi в плоскости векторов \=e1, \=e2. В качестве вектора \=e возьмем вектор \=e\prime 1. Тог-
да произвольная двумерная евклидова плоскость, ортогональная \=e и проходящая через начало
координат, определяется двумя взаимно ортогональными векторами
\=X =
4\sum
i=2
\alpha i\=e\prime i
и
\=Y =
4\sum
i=2
\beta i\=e\prime i.
Относительно базиса \{ \=ei\} плюккеровы координаты этой плоскости имеют вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОВЕРХНОСТИ ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА . . . 1323
\=p =
\bigl(
0, \alpha [2\beta 3] \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi , \alpha [2\beta 4] \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi , \alpha [2\beta 3] \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi , \alpha [2\beta 4] \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi , \alpha [3\beta 4]
\bigr)
.
В пространстве с базисом \=e\prime 2, \=e
\prime
3, \=e
\prime
4 вычислим векторное произведение векторов \=X и \=Y :
[ \=X, \=Y ] =
\bigl(
\alpha [3\beta 4], \alpha [4\beta 2], \alpha [2\beta 3]
\bigr)
.
Будем считать, что \alpha i и \beta i выбраны так, что [ \=X, \=Y ] является единичным вектором. Тогда его
координаты можно записать в виде
[ \=X, \=Y ] = (\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta , \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \gamma , \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \gamma ).
В параметризации (\theta , \gamma ) параметрические уравнения f(S2(\=e)) имеют вид
\=p = (0, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \gamma \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi , - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \gamma \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi , \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \gamma \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi , - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} \gamma \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi , \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} \theta ).
Пусть точке P0, через которую проходят f(S2(\=e)) и T 3(\=e), соответствует плоскость R2,
определяемая векторами \=e3, \=e4. Тогда плюккеровы координаты (0, 0, 0, 0, 0, 1) этой плоскости
соответствуют значению \theta =
\pi
2
. Касательный вектор
\partial \=p
\partial \gamma
к f(S2(\=e)) в этой точке будет нулевым,
а множество векторов
\partial \=p
\partial \theta
определяет двумерную плоскость, касательную к f(S2(\=e)) в точке
P0. В качестве базиса этой плоскости возьмем векторы
\=f1 =
\partial \=p
\partial \theta
\Bigl( \pi
2
, 0
\Bigr)
= (0, - \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi , 0, - \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi , 0, 0),
\=f2 =
\partial \=p
\partial \theta
\Bigl( \pi
2
,
\pi
2
\Bigr)
= (0, 0, \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi , 0, - \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi , 0).
Плоскость векторов \=f1 и \=f2 определяется углом \varphi . Поскольку T 3(\=e) определяется параметром
\varphi и плоскость, натянутая на векторы \=f1, \=f2, также определяется этим параметром и принад-
лежит T 3(\=e), то из регулярности проектирования площадки T 2 на плоскость векторов \=f1, \=f2
будет следовать регулярность ее проектирования на T 3(\=e). Поэтому те площадки, которые про-
ектируются с вырождением на T 3(\=e), будут проектироваться с вырождением и на плоскость
векторов \=f1, \=f2. Мы допустили, что такие площадки существуют. Пусть \=k и \=l — направляющие
векторы одной из таких площадок и векторы \=k и \=l имеют в T 4 такие координаты:
\=k = (0, k1, k2, k3, k4, 0), \=l = (0, l1, l2, l3, l4, 0).
В плоскости векторов \=k и \=l существует ненулевой вектор C1
\=k + C2
\=l, ортогональный \=f1 и \=f2.
Следовательно, система уравнений
C1(k1 \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi - k3 \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi ) + C2(l1 \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi - l3 \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi ) = 0,
C1( - k2 \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi + k4 \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi ) + C2( - l2 \mathrm{s}\mathrm{h}\varphi + l4 \mathrm{c}\mathrm{h}\varphi ) = 0
относительно C1 и C2 имеет нетривиальное решение, а значит, ее определитель равен нулю.
При любом \varphi это требование дает три уравнения\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| k1 l1
- k2 - l2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 0,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - k3 - l3
k4 l4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 0,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| k1 - l3
- k2 l4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - k3 l1
k4 - l2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1324 М. А. ГРЕЧНЕВА, П. Г. СТЕГАНЦЕВА
Из первых двух уравнений следует, что найдутся два таких числа \lambda и \mu , что
k1 = \lambda l1, k2 = \lambda l2, k3 = \mu l3, k4 = \mu l4.
Поскольку \=k и \=l линейно независимы, то числа \lambda и \mu различны. Из третьего уравнения
получаем
l1l4 - l2l3 = 0. (1)
Найдем теперь секционную кривизну \=K многообразия EG(2, 4) для площадки векторов \=k
и \=l. Для этого сначала определим внешнюю кривизну \=Ke точечного подмногообразия EG(2, 4),
как гиперповерхности, принадлежащей пятимерной сфере единичного радиуса. Используя
уравнения Гаусса для подмногообразия EG(2, 4), полученные в [3], запишем формулу внешней
кривизны в виде
\=Ke = - (\=pu1u1 , \=q)(\=pu2u2 , \=q) - (\=pu1u2 , \=q)2
\=p2
u1 \=p
2
u2 - (\=pu1 , \=pu2)
,
где \=q = ( - p34, p24, - p23, p14, - p13, p12) — дополнительный бивектор к бивектору \=p. Преобра-
зуем эту формулу к виду
\=Ke = -
(\=pu1 , \=qu1)(\=pu2 , \=qu2) -
1
4
\bigl[
(\=pu1 , \=qu2) + (\=pu2 , \=qu1)
\bigr] 2
\=p2
u1 \=p
2
u2 - (\=pu1 , \=pu2)2
.
Пусть в точке P0 выполняется условие p34 = 1, тогда p34
ui = 0. Поэтому формулу кривизны
можно записать в виде
\=Ke =
= -
\left\{
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p
13
u1 p13u2
p42u1 p42u2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p
14
u1 p14u2
p23u1 p23u2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
- 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p
23
u1 p23u2
p13u1 p13u2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p
14
u1 p14u2
p42u1 p42u2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p
14
u1 p14u2
p13u1 p13u2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p
23
u1 p23u2
p42u1 p42u2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\right\}
\=p2
u1 \=p
2
u2 - (\=pu1 , \=pu2)2
.
Выполним в этой формуле замены
p13u1 = k1, p14u1 = k2, p23u1 = k3, p24u1 = k4,
p13u2 = l1, p14u2 = l2, p23u2 = l3, p24u2 = l4.
Тогда в числителе получим выражение\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| k1 l1
- k4 - l4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| k2 l2
k3 l3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
- 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| k3 l3
k1 l1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| k2 l2
- k4 - l4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| k2 l2
k1 l1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| k3 l3
- k4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Воспользуемся полученными соотношениями для координат векторов \=k и \=l и приведем это
выражение к виду
(\mu - \lambda )2l21l
2
4 + (\mu - \lambda )2l22l
2
3 - 2(\mu - \lambda )2l1l4l2l3 = (\mu - \lambda )2(l1l4 - l2l3)
2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОВЕРХНОСТИ ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА . . . 1325
Таким образом, \=Ke = 0. Следовательно, секционная кривизна \=K = \=Ke+1 грассманова подмно-
гообразия EG(2, 4) равна 1. А по условию леммы она отлична от 1. Получили противоречие.
Лемма 3 доказана.
Для подмногообразия PG(2, 4) можно сформулировать и доказать аналогичную лемму.
Отличие в формулировке будет состоять в том, что секционная кривизна подмногообразия
должна удовлетворять неравенству \=K(\sigma ) \not = - 1.
Теперь мы можем вернуться к вопросу о существовании поверхности с заданным грассма-
новым образом. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть \Gamma 2 — двумерная регулярная класса C4 поверхность в EG(2, 4) (или
PG(2, 4)). Если кривизна \=K(\sigma ) грассманова подмногообразия EG(2, 4) (или PG(2, 4)) для
площадки, касательной к \Gamma 2 в точке P0, удовлетворяет условию \=K(\sigma ) \not = 1 (или \=K(\sigma ) \not = - 1),
то существует окрестность точки P0, являющаяся грассмановым образом регулярной класса
C2 поверхности V 2 пространства 1R4.
Доказательство. Радиус-вектор \=x искомой поверхности V 2 пространства 1R4 имеет
координаты \=xi = xi(u
1, u2), i = 1, 4. Тогда условие ортогональности касательных \=xu\alpha =
= (x1u\alpha , x2u\alpha , x3u\alpha , x4u\alpha ), \alpha = 1, 2, и нормальных \=n\sigma = (n1
\sigma , n
2
\sigma , n
3
\sigma , n
4
\sigma ), \sigma = 1, 2, векторов
искомой поверхности V 2 примет вид
- x1u\alpha n1
\sigma +
4\sum
k=2
xku\alpha nk
\sigma = 0. (2)
Поскольку поверхность \Gamma 2 \subset E G(2, 4) пространства 3R6 задается параметрическими уравне-
ниями pij = pij(u1, u2), i, j = 1, 4, i < j, то систему уравнений (2) можно преобразовать
так, чтобы она стала системой от неизвестных производных искомых функций xi и содержала
заданные функции pij(u1, u2). Положим \lambda ij =
pij
p34
и будем считать, что в точке P0 \in \Gamma 2 коор-
дината p34 равна 1. Тогда в некоторой окрестности выбранной точки координата p34 не равна
нулю. Введем столбцы c =
\biggl(
\lambda 24
\lambda 32
\biggr)
и d =
\biggl(
\lambda 14
\lambda 31
\biggr)
и обозначим символами | duicuj | миноры,
составленные из производных от элементов этих столбцов. После этого полученную систему
уравнений (2) можно разрешить относительно производных функции x1 и записать в виде
x1u1 = Ax2u1 - Bx2u2 ,
x1u2 = - Cx2u1 +Dx2u2 ,
(3)
где A =
| du1cu2 |
| du1du2 |
, B =
| du1cu1 |
| du1du2 |
, C = - | du2cu2 |
| du1du2 |
, D = - | du2cu1 |
| du1du2 |
. От системы (3) можно
перейти к одному дифференциальному уравнению в частных производных на функцию x2.
Если обозначить эту функцию через \Psi , то уравнение будет иметь вид
C\Psi u1u1 + (A - D)\Psi u1u2 - B\Psi u2u2 +\Psi u1(Cu1 +Au2) - \Psi u2(Du1 +Bu2) = 0. (4)
Для существования решения уравнения (4) необходимо, чтобы коэффициенты в нем были
гладкими функциями. Поскольку поверхность \Gamma 2 регулярна, то производные dui и cuj являются
гладкими функциями. Следовательно, для того чтобы коэффициенты уравнения были гладкими
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1326 М. А. ГРЕЧНЕВА, П. Г. СТЕГАНЦЕВА
функциями, необходимо, чтобы определитель | du1du2 | был отличен от нуля. Чтобы это доказать,
найдем явный вид этого определителя.
Пусть \sigma — касательная плоскость к \Gamma 2 в точке P0. Согласно лемме 3, если \=K(\sigma ) \not = 1 (или
\=K(\sigma ) \not = - 1), то существует трехмерное подпространство T 3, на которое \sigma (а значит, и \Gamma 2)
проектируется без вырождения.
Покажем, как можно выбрать это подпространство. Перейдем в пространстве 3R6 от
стандартного базиса к базису (\=e1, \=e3, \=e2, \=e4, \=e5, \=e6). Рассмотрим трехмерное подпространство
T 3 =2 R3 пространства 3R6, которое задается уравнениями p12 = p23 = p24 = 0. Тог-
да \=\tau = (p14, p13, p34) — проекция радиуса-вектора \=p поверхности \Gamma 2 на пространство T 3 и
\=v = (q14, q13, q34) = ( - p23, p24, p12) — проекция нормали \=q к EG(2, 4) на T 3. Проекция \~\Gamma 2
поверхности \Gamma 2 на T 3 описывается вектор-функцией \=\tau (u1u2, ). Так как \Gamma 2 регулярна, то и
\~\Gamma 2 тоже регулярна, т. е. касательная плоскость к \~\Gamma 2— проекция касательной плоскости к \Gamma 2 —
является двумерной. Итак, в качестве трехмерного пространства, на которое \Gamma 2 проектируется
без вырождения, можно выбрать пространство T 3 =2 R3.
Выразим определитель | du1du2 | через вектор \=\tau и его производные и получим
| du1du2 | = - (\=\tau , \=\tau u1 , \=\tau u2)
(p34)3
, (5)
где (\=\tau , \=\tau u1 , \=\tau u2) — смешанное произведение векторов \=\tau , \=\tau u1 , \=\tau u2 . Поскольку проекция \~\Gamma 2 \subset
\subset T 3 является частью сферы действительного
\bigl(
если \Gamma 2 \subset E G(2, 4)
\bigr)
или мнимого (если \Gamma 2 \subset
\subset P G(2, 4)) радиуса, то | du1du2 | = - (\=\tau , \=\tau u1 , \=\tau u2)
(p34)3
= -
\bigm| \bigm| [\=\tau u1 , \=\tau u2 ]
\bigm| \bigm|
(p34)3
\Biggl(
или | du1du2 | =
\bigm| \bigm| [\=\tau u1 , \=\tau u2 ]
\bigm| \bigm|
(p34)3
\Biggr)
.
А так как \~\Gamma 2 регулярна и, по договоренности, знаменатель последней дроби не равен нулю, то
определитель всегда существует и отличен от нуля, что и требовалось доказать. Следовательно,
коэффициенты A, B, C, D являются гладкими функциями. Таким образом, в соответствии с
теорией уравнений в частных производных [6], в некоторой окрестности начальной точки
существует решение уравнения (4).
Перейдем к доказательству регулярности искомой поверхности, т. е. найдем условия, при
которых определитель ее метрического тензора отличен от нуля.
Для производных от координат x3 и x4 радиуса-вектора искомой поверхности V 2 мож-
но записать системы, аналогичные системе (3). Рассмотрим пространство 1R3, ортогональное
орту \=e2. Выберем в этом пространстве базис ( - \=e3, \=e4, - \=e1), т. е. будем рассматривать в нем
метрику сигнатуры (++ - ). Радиус-вектор проекции поверхности V 2 на это подпространство
относительно такого базиса имеет вид \~x = ( - x3, x4, - x1). Между рассмотренным ранее про-
странством T 3 =2 R3 и пространством 1R3, ортогональным орту \=e2, установим соответствие
так, чтобы координата p14 соответствовала ( - x3), p
13 — (x4), а p34 — ( - x1). Тогда координаты
производных радиуса-вектора будут удовлетворять векторной системе
\~xu1 = - \Psi u1\rho
\Bigl\{
\=\tau (\=\tau u1 , \=\nu u2) +
\bigl[
\=\nu , [\=\tau u1 , \=\tau u2 ]
\bigr] \Bigr\}
+\Psi u2\rho \=\tau (\=\tau u1 , \=\nu u1),
\~xu2 = - \Psi u1\rho \=\tau (\=\tau u2 , \=\nu u2) + \Psi u2\rho
\Bigl\{
\=\tau (\=\tau u2 , \=\nu u1) +
\bigl[
\=\nu , [\=\tau u2 , \=\tau u1 ]
\bigr] \Bigr\}
,
(6)
где \rho =
1
(\=\tau , \=\tau u1 , \=\tau u2)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОВЕРХНОСТИ ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА . . . 1327
Обозначим через gij = (\=xui , \=xuj ) метрический тензор поверхности V 2, g = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(gij). Пусть
\~V 2 — проекция поверхности V 2 на 1R3, а \~gij = (\~xui \~xuj ) — ее метрический тензор. Тогда связь
между gij и \~gij имеет вид
gij = \~gij + x2u1x2u2 .
Найдем определитель матрицы
(gij) =
\Biggl(
g11 g12
g12 g22
\Biggr)
=
\Biggl(
\~g11 \~g12
\~g12 \~g22
\Biggr)
+
\Biggl(
x2u1x2u1 x2u1x2u2
x2u1x2u2 x2u2x2u2
\Biggr)
.
Он запишется в виде
g = \~g - (\~g11x
2
1u2 - 2\~g12x1u1x1u2 + \~g22x
2
1u1) = -
\bigm| \bigm| [\~xu1 , \~xu2 ]
\bigm| \bigm| 2 + (\~xu1x2u2 - \~xu2x2u1)2.
С помощью системы (6) и условия (\=\tau , \=\nu ) = 0 получим
[\~xu1 , \~xu2 ] = - \=\nu \rho I, \~xu1x2u2 - \~xu2x2u1 = - \=\tau \rho I,
где
I = x22u1(\=\tau u2 , \=\nu u2) - x2u1x2u2
\bigl\{
(\=\tau u2 , \=\nu u1) + (\=\tau u1 , \=\nu u2)
\bigr\}
+ x22u2(\=\tau u1 , \=\nu u1).
Учитывая | \=\nu | 2 - | \=\tau | 2 = - 1 (или | \=\nu | 2 - | \=\tau | 2 = 1), имеем
g = - \rho 2I2(g = \rho 2I2).
Наша задача свелась к нахождению условий, при которых I \not = 0. Для этого нам понадобится
информация о типе уравнения (4). Выразим через векторы \=\tau и \=\nu определители | duicuj | :
| duicuj | =
- (\=\tau ui , \=vuj )p34 + p23
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p
34
uj
p34ui
p14uj
p14ui
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + p24
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p
34
uj
p34ui
p31uj
p31ui
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
(p34)3
. (7)
Непосредственной проверкой легко установить, что связь между производными пар векторов
\=p, \=q и \=\tau , \=\nu имеет вид
(\=pui , \=quj ) + (\=puj , \=qui) = 2
\bigl(
(\=\tau ui , \=vuj ) + (\=\tau uj , \=vui)
\bigr)
. (8)
Рассмотрим квадратичную форму
- Bdu21 + (D - A)du1du2 + Cdu22,
коэффициенты которой те же, что и в уравнении (4). Используя равенства (7) и (8), получаем
B =
(\=pu1 , \=qu1)p34
2(\=\tau , \=\tau u1 , \=\tau u2)
, C = - (\=pu2 , \=qu2)p34
2(\=\tau , \=\tau u1 , \=\tau u2)
,
D - A = - p34
2(\=\tau , \=\tau u1 , \=\tau u2)
\bigl\{
(\=pu1 , \=qu2) + (\=pu2 , \=qu1)
\bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1328 М. А. ГРЕЧНЕВА, П. Г. СТЕГАНЦЕВА
Используя введенное выше обозначение \rho =
1
(\=\tau , \=\tau u1 , \=\tau u2)
, можно записать равенство
- Bdu21 + (D - A)du1du2 + Cdu22 = - 1
2
p34\rho (d\=p, d\=q), (9)
т. е. тип уравнения определяется формой (d\=p, d\=q).
Рассмотрим случай, когда уравнение (4) для функции x2 имеет гиперболический тип. В
силу условия (9) характеристики \xi (u1, u2) = c, \eta (u1, u2) = c уравнения (4) являются характе-
ристиками формы (d\=p, d\=q). Из этого следует, что (\=\tau \xi , \=\nu \xi ) = (\=\tau \eta , \=\nu \eta ) = 0, т. е. в выражении для I
останется только второе слагаемое. Поэтому значения функции x2 на характеристиках нужно
задать так, чтобы выполнялось условие x2\xi x2\eta \not = 0, откуда следует, что I \not = 0.
Пусть теперь уравнение (4), а значит, и система (3) имеют эллиптический тип. Ее решение
связано с теорией квазиконформных отображений М. А. Лаврентьева. В этом случае, при любых
значениях скалярных произведений в выражении для I, равенство I = 0 возможно лишь при
условиях x2u1 = x2u2 = 0. Покажем, что x22u1 + x22u2 \not = 0. Якобиан системы (3) можно
записать в виде - Cx22u1 + (D - A)x2u1x2u2 +Bx22u2 . Поскольку система (3) эллиптическая, то
(D - A)2+4BC < 0. Поэтому якобиан равен нулю тогда и только тогда, когда x2u1 = x2u2 = 0.
Так как система (3) имеет решение, то, согласно теореме о сохранении области из работы
Г. Н. Положего [7], этот якобиан должен быть отличен от нуля. Следовательно, по крайней
мере одно из слагаемых в выражении для I не равно нулю.
И, наконец, докажем, что некоторая окрестность прообраза точки P \in \Gamma 2 на найден-
ной поверхности имеет своим грассмановым образом заданную в условии теоремы область
поверхности \Gamma 2. Для этого необходимо и достаточно показать, что для любого вектора \=n =
= (n1, n2, n3, n4) из плоскости Nx \subset 1 R4, соответствующей точке поверхности \Gamma 2, выполняет-
ся условие
- x1uin1 + x2uin2 + x3uin3 + x4uin4 = 0.
Покажем, что это равенство выполняется при i = 1. С помощью системы (6) можно записать
- x1uin1 + x2uin2 + x3uin3 + x4uin4 =
= - x2u1\rho
\bigl\{
\=\tau (\=\tau u1 , \=\nu u2)(n1p34 - n3p14 + n4p13) -
- (\=\tau u1 , \=\nu u1)(n1p34 - n3p14 + n4p13)
\bigr\}
+ n1
\bigl[
\=\nu , [\=\tau u2 , \=\tau u1 ]
\bigr] 3 -
- n3
\bigl[
\=\nu , [\=\tau u2 , \=\tau u1 ]
\bigr] 1
+ n4
\bigl[
\=\nu , [\=\tau u2 , \=\tau u1 ]
\bigr] 2
+
n2
\rho
.
Поскольку вектор \=n лежит в плоскости бивектора \=p, то можно убедиться, что n[ipjk] = 0.
Пусть вектор [\=\tau u1 , \=\tau u2 ] имеет координаты (a1, a2, a3), тогда
- x1uin1 + x2uin2 + x3uin3 + x4uin4 = - x2u1\rho
\bigl\{
a1( - n1p24 - n4p12 + n2p14)+
+a2( - n1p23 - n3p12 + n2p13) + a3(n
3p24 - n4p23 + n2p34)
\bigr\}
= 0,
что и требовалось доказать.
Аналогично можно показать, что равенство выполняется и при i = 2. Таким образом,
найденная поверхность действительно имеет заданный грассманов образ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОВЕРХНОСТИ ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА . . . 1329
Литература
1. Аминов Ю. А. Геометрия подмногообразий. – Киев: Наук. думка, 2002.
2. Борисенко А. А., Николаевский Ю. А. Многообразия Грассмана и грассманов образ подмногообразий // Успехи
мат. наук. – 1991. – 46, № 2(278). – С. 41 – 80.
3. Гургенидзе М. А. О погружении грассманова многообразия псевдоевклидова пространства // Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2006. – 3, № 3. – С. 107 – 114.
4. Гургенидзе М. А., Стеганцева П. Г. Внутренняя геометрия грассманова многообразия псевдоевклидова про-
странства // Вiсн. Харк. нац. ун-ту. Математика, прикл. математика i механiка. – 2008. – 826, № 58. – С. 141 – 150.
5. Величко И. Г., Гургенидзе М. А., Стеганцева П. Г. Подмногообразия грассманова многообразия плоскостей
псевдоевклидова пространства // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2009. – 6, № 2. – С. 56 – 76.
6. Курант Р. Уравнения с частными производными. – М.: Мир, 1964.
7. Положий Г. Н. Теорема о сохранении области для некоторых эллиптических систем дифференциальных
уравнений и ее применение // Мат. сб. – 1953. – 32(74). – С. 485 – 492.
Получено 03.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1923 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:16Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/35/493dddcb67dea18ed2555fe75b888a35.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19232019-12-05T09:31:57Z On the existence of a surface in the pseudo-Euclidean space with given Grassman image О существовании поверхности псевдоевклидова пространства с заданным грассмановым образом Grechneva, M. A. Stegantseva, P. G. Гречнева, М. А. Стеганцева, П. Г. Гречнева, М. А. Стеганцева, П. Г. We study the properties of submanifolds of the Grassmanian manifold of the four-dimensional pseudo-Euclidean space and also the Grassman image of a surface in this space. The theorem on the existence of a surface in the pseudo-Euclidean space with the given Grassman image is formulated and proved. Вивчаються властивостi пiдмноговидiв грассманова многовиду чотиривимiрного псевдоевклiдового простору, а також грассманiв образ поверхнi цього простору. Формулюється та доводиться теорема про iснування поверхнi псевдоевклiдового простору з заданим грассмановим образом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1923 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 10 (2016); 1320=1329 Український математичний журнал; Том 68 № 10 (2016); 1320=1329 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1923/905 Copyright (c) 2016 Grechneva M. A.; Stegantseva P. G. |
| spellingShingle | Grechneva, M. A. Stegantseva, P. G. Гречнева, М. А. Стеганцева, П. Г. Гречнева, М. А. Стеганцева, П. Г. On the existence of a surface in the pseudo-Euclidean space with given Grassman image |
| title | On the existence of a surface in the pseudo-Euclidean space
with given Grassman image |
| title_alt | О существовании поверхности псевдоевклидова пространства с заданным грассмановым образом |
| title_full | On the existence of a surface in the pseudo-Euclidean space
with given Grassman image |
| title_fullStr | On the existence of a surface in the pseudo-Euclidean space
with given Grassman image |
| title_full_unstemmed | On the existence of a surface in the pseudo-Euclidean space
with given Grassman image |
| title_short | On the existence of a surface in the pseudo-Euclidean space
with given Grassman image |
| title_sort | on the existence of a surface in the pseudo-euclidean space
with given grassman image |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1923 |
| work_keys_str_mv | AT grechnevama ontheexistenceofasurfaceinthepseudoeuclideanspacewithgivengrassmanimage AT stegantsevapg ontheexistenceofasurfaceinthepseudoeuclideanspacewithgivengrassmanimage AT grečnevama ontheexistenceofasurfaceinthepseudoeuclideanspacewithgivengrassmanimage AT stegancevapg ontheexistenceofasurfaceinthepseudoeuclideanspacewithgivengrassmanimage AT grečnevama ontheexistenceofasurfaceinthepseudoeuclideanspacewithgivengrassmanimage AT stegancevapg ontheexistenceofasurfaceinthepseudoeuclideanspacewithgivengrassmanimage AT grechnevama osuŝestvovaniipoverhnostipsevdoevklidovaprostranstvaszadannymgrassmanovymobrazom AT stegantsevapg osuŝestvovaniipoverhnostipsevdoevklidovaprostranstvaszadannymgrassmanovymobrazom AT grečnevama osuŝestvovaniipoverhnostipsevdoevklidovaprostranstvaszadannymgrassmanovymobrazom AT stegancevapg osuŝestvovaniipoverhnostipsevdoevklidovaprostranstvaszadannymgrassmanovymobrazom AT grečnevama osuŝestvovaniipoverhnostipsevdoevklidovaprostranstvaszadannymgrassmanovymobrazom AT stegancevapg osuŝestvovaniipoverhnostipsevdoevklidovaprostranstvaszadannymgrassmanovymobrazom |