Differentiability of Borel measures along vector fields on Banach manifolds with uniform structure
We analyze the differentiability of Borel measures on Banach manifolds with uniform structure and prove a criterion of weak differentiability.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1925 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507815894843392 |
|---|---|
| author | Moravets’ka, K. V. Моравецкая, К. В. Моравецкая, К. В. |
| author_facet | Moravets’ka, K. V. Моравецкая, К. В. Моравецкая, К. В. |
| author_sort | Moravets’ka, K. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:57Z |
| description | We analyze the differentiability of Borel measures on Banach manifolds with uniform structure and prove a criterion of
weak differentiability. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98+515.164.17
К. В. Моравецька (Iн-т прикл. систем. аналiзу Нац. техн. ун-ту України „КПI”, Київ)
ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ БОРЕЛIВСЬКИХ МIР УЗДОВЖ ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ
НА БАНАХОВИХ МНОГОВИДАХ З РIВНОМIРНОЮ СТРУКТУРОЮ
We analyze the differentiability of Borel measures on Banach manifolds with uniform structure and prove a criterion of
weak differentiability.
Рассмотрена дифференцируемость борелевских мер на банаховых многообразиях с равномерной структурой и
доказан критерий слабой дифференцируемости.
1. Вступ. У роботах [1, 2] дослiджено диференцiйовнiсть мiр уздовж постiйних напрямкiв
на локально опуклих просторах i доведено критерiй слабкої диференцiйовностi мiр. У данiй
роботi розглядаються борелiвськi мiри на банахових многовидах iз рiвномiрною структурою
i дослiджується диференцiйовнiсть таких мiр уздовж обмежених векторних полiв. Критерiй
слабкої диференцiйовностi поширюється на вказаний випадок.
Актуальнiсть даної теми зумовлена тим, що в нескiнченновимiрних просторах немає канонiч-
ного способу ототожнення мiр i узагальнених функцiй через вiдсутнiсть iнварiантної вiдносно
зсувiв ненульової мiри. Якщо у скiнченновимiрному випадку диференцiальнi властивостi мiр
описуються в термiнах їх щiльностей вiдносно мiри Лебега, то у нескiнченновимiрному та-
кої можливостi немає, i у зв’язку з цим виникає необхiднiсть одночасного розгляду просторiв
функцiй i мiр окремо, тобто побудови аналiзу мiр, паралельного до аналiзу функцiй. Основна
iдея теорiї диференцiйовних мiр полягає у перенесеннi дiї диференцiальних операторiв безпо-
середньо на мiри.
Диференцiйовнiсть мiр уздовж векторних полiв була введена Ю. Л. Далецьким у [3]. Подаль-
шi дослiдження проведенi, зокрема, у [4] як для мiр на банахових просторах, так i для мiр на
гладких банахових многовидах. Диференцiйовнiсть при цьому визначено через формулу iнте-
грування частинами для деякого класу гладких функцiй. Як буде показано нижче (наслiдки 2,
3), при певних умовах цей пiдхiд є еквiвалентним пiдходу, описаному в [2] (гл. 3). При цьому
у подальших мiркуваннях накладено умову абсолютної неперервностi похiдної мiри вiдносно
початкової, що фактично звело дослiдження до випадку сильної диференцiйовностi (див. заува-
ження 1). У роботi [5] розглянуто ще бiльш загальний випадок диференцiйовностi, коли замiсть
зсувiв мiр беруться довiльнi вимiрнi перетворення. Однак, як i у [4], бiльша частина результатiв
стосується випадку, коли визначено логарифмiчну похiдну (похiдну Радона – Нiкодима похiдної
мiри вiдносно початкової).
Дану роботу в основному присвячено випадку слабкої диференцiйовностi, коли логарифмiч-
ну похiдну не визначено. Перенесення результатiв на банаховi многовиди потребує долучення
до них додаткової структури.
Банаховi многовиди з рiвномiрною структурою (вiдповiднi означення див. нижче) природ-
ним чином виникають у нескiнченновимiрному аналiзi та стохастичнiй диференцiальнiй гео-
метрiї при побудовi глобальних розв’язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь [4, с. 177].
Наявнiсть рiвномiрної структури дозволяє переносити на нескiнченновимiрний випадок базовi
c\bigcirc К. В. МОРАВЕЦЬКА, 2016
1348 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ БОРЕЛIВСЬКИХ МIР УЗДОВЖ ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ . . . 1349
результати класичного аналiзу [6]. У монографiї [7, с. 144] подiбне означення розглядається i
для випадку рiманових многовидiв.
Наведемо тепер основний результат статтi, а саме критерiй слабкої диференцiйовностi мiри
уздовж векторного поля на банаховому многовидi з рiвномiрною структурою.
Теорема 1. Нехай банахiв многовид M з рiвномiрною структурою допускає розбиття
одиницi класу C1, X — обмежене векторне поле на M, \mu — знакозмiнна скiнченна радонiвська
мiра на \scrA = \scrB (M). Мiра \mu диференцiйовна за Скороходом уздовж X тодi i тiльки тодi, коли
iснує таке число \gamma > 0, що для кожного A \in \scrA iснує c(A) таке, що\bigm| \bigm| \mu t(A) - \mu (A)
\bigm| \bigm| \leq c(A) | t| \forall t \in [ - \gamma , \gamma ]. (1)
Отримано також формулу iнтегрування частинами в якостi ще одного критерiю слабкої
диференцiйовностi (наслiдок 2).
2. Основнi теоретичнi вiдомостi та позначення. Нехай M — хаусдорфiв банахiв многовид
класу C2 з дiйсним модельним простором E (E -многовид). Вважаємо також, що M є зв’язним.
Позначимо через Cb(M) та C\BbbC
b (M) банаховi простори вiдповiдно дiйснозначних та ком-
плекснозначних неперервних обмежених функцiй на M з нормою f \mapsto \rightarrow \| f\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in M
\bigm| \bigm| f(x)\bigm| \bigm| .
Через BN
\varepsilon (x) та B
N
\varepsilon (x) будемо позначати вiдповiдно вiдкриту та замкнену кулю в метрич-
ному просторi N з центром у точцi x радiусa \varepsilon . Для множин будемо використовувати таке
позначення: BN
\varepsilon (A) =
\bigcup
x\in AB
N
\varepsilon (x).
Наступнi означення наводяться вiдповiдно до [6].
Означення 1. Атлас \Omega =
\bigl\{
(U\alpha , \varphi \alpha )
\bigr\}
на M називається обмеженим, якщо iснує таке
число K > 0, що вiдображення склейки \varphi \beta \circ \varphi - 1
\alpha для кожної пари карт атласа задовольняє
умову
x \in \varphi \alpha (U\alpha \cap U\beta ) =\Rightarrow
\bigm\| \bigm\| (\varphi \beta \circ \varphi - 1
\alpha )\prime (x)
\bigm\| \bigm\| \leq K,
\bigm\| \bigm\| (\varphi \beta \circ \varphi - 1
\alpha )\prime \prime (x)
\bigm\| \bigm\| \leq K.
Два обмежених атласи \Omega 1 та \Omega 2 називаються еквiвалентними, якщо атлас \Omega 1 \cup \Omega 2 також
є обмеженим атласом на M. Якщо на M задано клас еквiвалентних обмежених атласiв, то
кажуть, що на M задано обмежену структуру класу C2.
Означення 2. Обмежений атлас \Omega називається рiвномiрним, якщо iснує таке r > 0,
що для будь-якої точки p \in M iснує така карта (U,\varphi ) \in \Omega , що \varphi (U) мiстить кулю в E з
центром у \varphi (p) радiуса r.
Якщо многовид M має обмежену структуру, i серед еквiвалентних атласiв, що задають цю
структуру, є хоча б один рiвномiрний атлас, структура називається рiвномiрною.
Означення 3. Векторне поле X класу C1 на многовидi M з обмеженим атласом \Omega
називається обмеженим, якщо iснує число L > 0, яке обмежує зверху головну частину X\alpha
кожного локального зображення векторного поля X разом з його похiдною:
\forall (U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega \forall x \in \varphi \alpha (U\alpha ) :
\bigm\| \bigm\| X\alpha (x)
\bigm\| \bigm\| \leq L,
\bigm\| \bigm\| X \prime
\alpha (x)
\bigm\| \bigm\| \leq L.
Далi вважаємо, що \Omega =
\bigl\{
(U\alpha , \varphi \alpha )
\bigr\}
— рiвномiрний атлас на M. Наявнiсть обмеженої струк-
тури дозволяє побудувати на многовидi метрику, узгоджену з вихiдною топологiєю, причому
многовид виявляється повним за цiєю метрикою (див. [6]). Отже, M є повним метричним
простором.
Вiдомо, що метричний простiр є паракомпактним [8, с. 99]. При цьому за результатами
[9, с. 43] для будь-якого вiдкритого покриття \{ V\alpha \} iснує локально скiнченне вiдкрите покриття
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1350 К. В. МОРАВЕЦЬКА
\{ T\alpha \} з тим же набором iндексiв i таке, що для кожного iндексу \alpha справедливим є включення
T\alpha \subset U\alpha . Крiм того, M допускає неперервне розбиття одиницi. У випадку, коли простiр E
гiльбертiв, многовид M допускає розбиття одиницi класу C2 [9, с. 49].
Функцiя f : M \rightarrow \BbbR належить класу C1 на M, якщо для кожної карти (U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega
вiдображення f \circ \varphi - 1
\alpha : \varphi \alpha (U\alpha ) \rightarrow \BbbR є неперервно диференцiйовним. Через C1
b (M) позначимо
клас обмежених функцiй класу C1, похiдна яких рiвномiрно обмежена в усiх картах (тобто
iснує така стала K > 0, що для кожної карти (U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega i кожної точки x \in U\alpha виконується
нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( f \circ \varphi - 1
\alpha
\bigr) \prime \bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq K ).
Нехай \scrA = \scrB (M) — борелiвська \sigma -алгебра на M. Далi пiд мiрами на M будемо розумiти
дiйснозначнi знакозмiннi скiнченнi мiри на \scrA . Для мiри \mu на M iснує розклад Хана – Жордана
\mu = \mu + - \mu - , де \mu + = \mu ( \cdot \cap M+), \mu - = - \mu ( \cdot \cap M - ), M =M+\cup M - , M+\cap M - = \varnothing .
Простiр мiр на \scrA є банаховим з нормою \mu \mapsto \rightarrow \| \mu \| = | \mu | (M) (тут | \mu | = \mu ++\mu - — повна варiацiя
мiри \mu ). Мiра \mu називається радонiвською, якщо для кожної множини B \in \scrA i кожного \varepsilon > 0
iснує така компактна множина K\varepsilon \subset B, що | \mu | (B \setminus K\varepsilon ) < \varepsilon .
Через \scrL 1(\mu ) будемо позначати клас функцiй, | \mu | -iнтегровних за Лебегом. При цьому
\| f\| \scrL 1
\bigl(
| \mu |
\bigr) =
\int
M
| f | d| \mu | . Для кожної функцiї f \in \scrL 1(\mu ) символом \nu = f \mu позначимо мi-
ру, що задається рiвнiстю \nu (A) =
\int
A
f d\mu \forall A \in \scrA . Тодi виконуються такi властивостi:
| f \mu | = | f | | \mu | , \| f \mu \| = \| f\|
\scrL 1
\bigl(
| \mu |
\bigr) , \forall A \in \scrA :
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
A
f d\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\int
A
| f | d| \mu | .
Для будь-якої мiри \mu визначимо лiнiйний функцiонал L на Cb(M): Lf =
\int
M
f d\mu ,
f \in Cb(M). Тодi за теоремою 2 [10, c. 284] L є обмеженим i при цьому \| L\| = \| \mu \| .
3. Потiк обмеженого векторного поля. Далi вважатимемо, що на банаховому многовидi
M з рiвномiрним атласом \Omega =
\bigl\{
(U\alpha , \varphi \alpha )
\bigr\}
задано обмежене векторне поле X класу C1.
Розглянемо потiк \Phi (t, x) = \Phi x(t) = \Phi t(x) векторного поля X, який за результатами [9, с. 96]
визначено глобально на \BbbR \times M. За результатами [9, с. 97] потiк \Phi є морфiзмом класу C1
многовиду \BbbR \times M в M. Для кожної карти (U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega визначимо локальний потiк \Phi \alpha (t, y) =
= \varphi \circ \Phi
\bigl(
t, \varphi - 1(y)
\bigr)
на такiй пiдмножинi \BbbR \times \varphi (U\alpha ), де права частина має сенс. При цьому для
кожного y \in \varphi \alpha (U\alpha ) потiк \Phi \alpha
y визначено на вiдкритому промiжку \Delta y \subset \BbbR , що мiстить точку
0, i на цьому промiжку справджується рiвнiсть
d
dt
\Phi \alpha
y (t) = X\alpha
\bigl(
\Phi \alpha
y (t)
\bigr)
.
Функцiю f \in Cb(M) назвемо диференцiйовною вздовж векторного поля X, якщо для
кожного x \in M функцiя f \circ \Phi x є диференцiйовною на \BbbR (або в нулi, що те ж саме). Будемо
позначати \partial Xf(x) = (f \circ \Phi x)
\prime (0).
Лема 1. Нехай M — банахiв многовид з рiвномiрною структурою, X — обмежене век-
торне поле класу C1 на M з потоком \Phi . Тодi iснує таке подрiбнення \{ V\alpha \} покриття \{ U\alpha \} ,
що V\alpha \subset U\alpha для кожного \alpha . Крiм того, iснують такi сталi a, b > 0, що при кожному \alpha
потiк \Phi \alpha є визначеним на ( - b, b)\times BE
a
\bigl(
\varphi \alpha (V\alpha )
\bigr)
i набуває значень в \varphi (U\alpha ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ БОРЕЛIВСЬКИХ МIР УЗДОВЖ ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ . . . 1351
Доведення. Нехай r — стала з означення 2 для рiвномiрного атласу \Omega . Для кожної карти
(U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega розглянемо множини
\widetilde U\alpha =
\Bigl\{
x \in U\alpha
\bigm| \bigm| BE
r
2
\bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr)
\subset \varphi \alpha (U\alpha )
\Bigr\}
,
V\alpha = \widetilde U0
\alpha — внутрiшнiсть \widetilde U\alpha . Тодi \{ V\alpha \} є вiдкритим покриттям M. Дiйсно, для кожної точки
x \in M iснує така карта (U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega , що
B
E
r
2
\bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr)
\subset BE
r
\bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr)
\subset \varphi \alpha (U\alpha ),
тому x \in \widetilde U\alpha . Крiм того, множина \varphi - 1
\alpha
\Bigl(
BE
r
2
\bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr) \Bigr)
є вiдкритою пiдмножиною U\alpha в M i
мiстить точку x, тому iснує таке \varepsilon > 0, що BM
\varepsilon (x) \subset \varphi - 1
\alpha
\Bigl(
BE
r
2
\bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr) \Bigr)
. Тодi для кожного
y \in BM
\varepsilon (x) виконується включення
\varphi \alpha (y) \in BE
r
2
\bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr)
i B
E
r
2
\bigl(
\varphi \alpha (y)
\bigr)
\subset BE
r
\bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr)
\subset \varphi \alpha (U\alpha ),
звiдки випливає, що BM
\varepsilon (x) \subset \widetilde U\alpha . Отже, x — внутрiшня точка \widetilde U\alpha , а тому мiститься в V\alpha .
Доведемо тепер для кожної карти (U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega включення V\alpha \subset U\alpha . Легко побачити, що
замикання множини
\varphi \alpha (\widetilde U\alpha ) =
\bigl\{
y \in \varphi \alpha (U\alpha )
\bigm| \bigm| BE
r
2
(y) \subset \varphi \alpha (U\alpha )
\bigr\}
належить \varphi \alpha (U\alpha ). Тодi \varphi - 1
\alpha
\bigl(
\varphi \alpha (\widetilde U\alpha )
\bigr)
— замкнена пiдмножина U\alpha , що мiстить V\alpha . Тому V \alpha \subset
\subset \varphi - 1
\alpha
\bigl(
\varphi \alpha (\widetilde U\alpha )
\bigr)
\subset U\alpha .
Нехай a = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
r
6
,
1
2
\biggr\}
. Зафiксуємо x0 \in \varphi \alpha (V\alpha ) i розглянемо множину U = BE
r
2
(x0) \subset
\subset \varphi \alpha (U\alpha ). За теоремою про середнє [9, с. 22] векторне поле X\alpha задовольняє на U умову
Лiпшиця зi сталою L (з означення 3). Тодi за результатами [9, с. 82] при довiльному додатному
b < a/
\bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ L, 1\}
\bigr) 2
потiк \Phi \alpha векторного поля X\alpha є визначеним на ( - b, b)\times BE
a (x0) i набуває
значень в BE
r
2
(x0). Зафiксуємо довiльне таке b (незалежно вiд карти). Тодi при кожному \alpha
потiк \Phi \alpha визначено на ( - b, b)\times BE
a (x0) для кожного x0 \in \varphi \alpha (V\alpha ), тобто вiн є визначеним на
( - b, b)\times BE
a
\bigl(
\varphi \alpha (V\alpha )
\bigr)
i набуває значень в BE
r
2
\bigl(
\varphi \alpha (V\alpha )
\bigr)
\subset \varphi (U\alpha ).
Лему 1 доведено.
Лема 2. Для кожного t \in \BbbR похiдна функцiї \Phi t є обмеженою за нормою рiвномiрно в
усiх картах з атласу \Omega на M. Тобто для кожного t \in \BbbR iснує така стала A(t) > 0, що для
будь-якої точки x \in M нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( \varphi \circ \Phi t \circ \psi - 1
\bigr) \prime \bigl(
\psi (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq A(t)
виконується для кожної пари карт (U,\varphi ), (V, \psi ) \in \Omega , де x \in V, \Phi t(x) \in U.
Доведення. Крок 1. Виберемо сталi a i b, iснування яких гарантовано лемою 1, i зафiксуємо
деяке \alpha . Тодi для кожної пари точок x, y \in BE
a
\bigl(
\varphi \alpha (V\alpha )
\bigr)
можемо використати пропозицiю
[9, с. 83] для функцiй f1(t) = \Phi \alpha (t, x) та f2(t) = \Phi \alpha (t, y) на ( - b, b) при \varepsilon 1 = \varepsilon 2 = 0.
Таким чином, для кожної карти i кожного t \in ( - b, b) для всiх x, y \in BE
a
\bigl(
\varphi \alpha (V\alpha )
\bigr)
отримуємо
нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1352 К. В. МОРАВЕЦЬКА\bigm\| \bigm\| \Phi \alpha (t, x) - \Phi \alpha (t, y)
\bigm\| \bigm\| \leq \| x - y\| eL| t| .
Крок 2. Розглянемо деяке | t| < b i зафiксуємо точку x \in M. Тодi iснує така карта (U\alpha , \varphi \alpha ),
що x \in V\alpha , а \Phi t(x) \in U\alpha . При h \in BE
a (0) маємо \varphi \alpha (x)+h \in BE
a
\bigl(
\varphi \alpha (V\alpha )
\bigr)
, а тому за доведеним
на кроцi 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Phi \alpha
t
\bigl(
\varphi \alpha (x) + h
\bigr)
- \Phi \alpha
t
\bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \| h\| eL| t| .
Враховуючи iснування похiдної функцiї \varphi \alpha \circ \Phi t \circ \varphi - 1
\alpha = \Phi \alpha
t в точцi \varphi \alpha (x), одержуємо
\Phi \alpha
t
\bigl(
\varphi \alpha (x) + h
\bigr)
- \Phi \alpha
t
\bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr)
= (\Phi \alpha
t )
\prime \bigl( \varphi \alpha (x)
\bigr)
h+ \delta
\bigl(
\varphi \alpha (x), h
\bigr)
,
де \delta
\bigl(
\varphi \alpha (x), h
\bigr)
= o
\bigl(
\| h\|
\bigr)
.
Виберемо таку послiдовнiсть \varepsilon n < a, що для кожного n з нерiвностi \| h\| \leq \varepsilon n випливає
нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \delta \bigl( \varphi (x), h\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 1
n
\| h\| . При цьому для кожного n \in \BbbN отримуємо нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (\Phi \alpha
t )
\prime \bigl( \varphi \alpha (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| h\| \leq \varepsilon n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (\Phi \alpha
t )
\prime \bigl( \varphi \alpha (x)
\bigr)
h
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\| h\|
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\| h\| \leq \varepsilon n
\| h\| eL| t| +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \delta \bigl( \varphi (x), h\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\| h\|
\leq eL| t| +
1
n
.
Звiдси випливає, що при | t| < b для кожного x \in M для карти (U\alpha , \varphi \alpha ), де x \in V\alpha , виконується
нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( \varphi \alpha \circ \Phi t \circ \varphi - 1
\alpha
\bigr) \prime \bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq eL| t| .
Крок 3. Виберемо довiльне t \in \BbbR i зафiксуємо точку x \in M. Запишемо t у виглядi
суми m\widehat b + \delta , де m \in \BbbN , | \widehat b| < b, | \delta | < b i числа \widehat b та \delta одного знаку з t. Розглянемо та-
кий набiр карт (U0, \varphi 0), (U1, \varphi 1), . . . , (Um, \varphi m), що x \in V0, \Phi \delta (x) \in V1, \Phi \delta +\widehat b(x) \in V2, . . .
. . . , \Phi
\delta +(m - 1)\widehat b(x) \in Vm. Тодi, оскiльки \widehat b, \delta < b, маємо також включення \Phi \delta (x) \in U0,
\Phi
\delta +\widehat b(x) \in U1, \Phi \delta +2\widehat b(x) \in U2, . . . , \Phi
\delta +m\widehat b(x) \in Um. Тому значення функцiї \varphi m \circ \Phi t \circ \varphi - 1
0
у точцi \varphi 0(x) можна записати так:\bigl(
\varphi m \circ \Phi t \circ \varphi - 1
0
\bigr) \bigl(
\varphi 0(x)
\bigr)
=
\bigl(
(\varphi m \circ \Phi \widehat b \circ \varphi - 1
m ) \circ (\varphi m \circ \varphi - 1
m - 1) \circ (\varphi m - 1 \circ \Phi \widehat b \circ \varphi - 1
m - 1)\circ
\circ (\varphi m - 1 \circ \varphi - 1
m - 2) \circ . . . \circ (\varphi 1 \circ \Phi \widehat b \circ \varphi - 1
1 ) \circ (\varphi 1 \circ \varphi - 1
0 ) \circ (\varphi 0 \circ \Phi \delta \circ \varphi - 1
0 )
\bigr) \bigl(
\varphi 0(x)
\bigr)
.
Звiдси, використовуючи обмеженiсть атласу \Omega i результати кроку 2, отримуємо нерiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( \varphi m \circ \Phi t \circ \varphi - 1
0
\bigr) \prime \bigl(
\varphi 0(x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq eL|
\widehat b| K eL|
\widehat b| K . . . eL|
\widehat b| K eL| \delta | = eL| t| Km.
Виберемо тепер довiльну пару карт (U,\varphi ), (V, \psi ) \in \Omega , де x \in V, \Phi t(x) \in U, i знову
використавши обмеженiсть атласу, отримаємо нерiвнiсть
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigl( \varphi \circ \Phi t \circ \psi - 1
\bigr) \prime \bigl(
\psi (x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq eL| t| Km+2.
Це завершує доведення леми 2, оскiльки права частина залежить лише вiд t.
4. Диференцiйовнiсть мiр уздовж обмежених векторних полiв. Нехай на M задано
мiру \mu . Для кожного t \in \BbbR розглянемо зсув мiри \mu уздовж векторного поля X — нову мiру \mu t
на \scrA , яка є образом мiри \mu при вiдображеннi \Phi - t : \mu t(A) = \mu
\bigl(
\Phi t(A)
\bigr)
\forall A \in \scrA . Коректнiсть
забезпечується тим, що вiдображення \Phi t : M \rightarrow M є борелiвськими.
Означення 4. Мiра \mu називається диференцiйовною за Фомiним (у сильному сенсi)
вздовж векторного поля X, якщо для кожної множини A \in \scrA функцiя t \mapsto \rightarrow \mu t(A) є ди-
ференцiйовною на \BbbR .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ БОРЕЛIВСЬКИХ МIР УЗДОВЖ ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ . . . 1353
Сильна диференцiйовнiсть мiри \mu еквiвалентна тому, що для кожної множини A \in \scrA
iснує скiнченна границя \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0
\mu t(A) - \mu (A)
t
, яку будемо позначати через dX\mu (A). Функцiя
множини dX\mu виявляється мiрою на \scrA (див. [2, с. 94]), i її називають сильною похiдною
(похiдною Фомiна) мiри \mu вздовж векторного поля X. При цьому dX\mu (M) = 0.
Означення 5. Мiра \mu називається диференцiйовною за Скороходом (у слабкому сенсi)
вздовж векторного поля X, якщо для кожної функцiї f \in Cb(M) функцiя
Ff (t) =
\int
M
f
\bigl(
\Phi - t(x)
\bigr)
\mu (dx) =
\int
M
f d\mu t
є диференцiйовною на \BbbR .
Слабка диференцiйовнiсть мiри \mu еквiвалентна тому, що для кожної функцiї f \in Cb(M)
iснує \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0
1
t
\int
M
f d(\mu t - \mu ). При цьому з теореми О. Д. Александрова випливає (див. [2,
с. 96]), що якщо мiра \mu диференцiйовна за Скороходом уздовж векторного поля X, то iснує
така мiра \nu на \scrA , що для всiх функцiй f \in Cb(M)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
1
t
\int
M
f d(\mu t - \mu ) = F \prime
f (0) =
\int
M
f d\nu . (2)
Вказана мiра \nu називається похiдною Скорохода (слабкою похiдною) мiри \mu вздовж векторного
поля X i позначається dX\mu . Однозначнiсть визначення dX\mu випливає з [11, c. 45].
Iз сильної диференцiйовностi випливає слабка, причому вiдповiднi похiднi збiгаються.
Якщо M — банахiв простiр, то при сталому векторному полi X(x) = h означення 4 та 5
збiгаються з вiдповiдними означеннями [2, с. 94, 95] диференцiйовностi за напрямком.
Для випадку зсувiв мiр уздовж векторних полiв має мiсце такий аналог леми 1 [1] (доведення
аналогiчне).
Лема 3. Нехай \varepsilon > 0 — довiльне число, m — мiра на \scrA , mt, t \in [ - \varepsilon , \varepsilon ], — зсуви m уздовж
векторного поля X. Тодi наступнi умови є еквiвалентними:
1) для будь-якого A \in \scrA iснує таке c(A) > 0, що
\bigm| \bigm| mt(A) - m(A)
\bigm| \bigm| \leq c(A) | t| для всiх
t \in [ - \varepsilon , \varepsilon ];
2) iснує таке число C > 0, що для всiх t \in [ - \varepsilon , \varepsilon ] виконується нерiвнiсть \| mt - m\| \leq C | t| ;
3) для будь-якого f \in Cb(M) iснує таке d(f) > 0, що
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \int
M
f d(mt - m)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq d(f)| t| для всiх
t \in [ - \varepsilon , \varepsilon ];
4) iснує таке D > 0, що
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \int
M
f d(mt - m)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq D \| f\| | t| для всiх f \in Cb(M) i всiх t \in [ - \varepsilon , \varepsilon ].
Наступна теорема об’єднує у собi результати [1] (лема 2) i [12, с. 160] та є їх узагальненням
на випадок диференцiйовностi вздовж векторних полiв.
Теорема 2. Наступнi умови є еквiвалентними:
1) мiра \mu диференцiйовна за Скороходом уздовж векторного поля X;
2) iснує така мiра \nu на \scrA , що для всiх множин A \in \scrA i всiх t \in \BbbR виконується рiвнiсть
\mu t(A) = \mu (A) +
t\int
0
\nu s(A) ds; (3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1354 К. В. МОРАВЕЦЬКА
3) iснує така мiра \nu на \scrA , що для всiх функцiй f \in Cb(M) виконується рiвнiсть
\int
M
f(x) (\mu t - \mu )(dx) =
t\int
0
\int
M
f
\bigl(
\Phi - s(x)
\bigr)
\nu (dx) ds, \forall t \in \BbbR ; (4)
4) iснує така мiра \nu на \scrA , що рiвнiсть (4) виконується для будь-якої обмеженої борелiв-
ської функцiї f на M.
При цьому мiра \nu , визначена в умовах 2 – 4, збiгається з похiдною Скорохода мiри \mu .
Доведення. 1 =\Rightarrow 3. Нехай мiра \mu диференцiйовна за Скороходом уздовж X. Тодi
iснує така мiра \nu на \scrA , що для будь-якої функцiї f \in Cb(M) функцiя Ff (t) з означення 5 є
диференцiйовною на \BbbR , i при цьому для всiх t0 \in \BbbR
F \prime
f (t0) = Ff\circ \Phi - t0
\prime (0) =
\int
M
f \circ \Phi - t0 d\nu ,
\bigm| \bigm| F \prime
f (t0)
\bigm| \bigm| \leq \| f\| \| \nu \| .
Отже, функцiї Ff (t) задовольняють умову Лiпшиця на \BbbR . Тодi за формулою Ньютона – Лейбнiца
для всiх f \in Cb(M) i всiх t \in \BbbR отримуємо рiвнiсть
Ff (t) - Ff (0) =
t\int
0
F \prime
f (s) ds.
3 =\Rightarrow 1. Нехай iснує така мiра \nu на \scrA , що для всiх f \in Cb(M) виконується умова (4).
Тобто для кожної функцiї f \in Cb(M) i кожного числа t \in \BbbR
Ff (t) - Ff (0) =
t\int
0
gf (s) ds, де gf (s) =
\int
M
f \circ \Phi - s d\nu , Ff (t) =
\int
M
f d\mu t.
Для кожного f \in Cb(M) функцiя gf є неперервною на \BbbR , тому Ff диференцiйовна на \BbbR ,
i при цьому F \prime
f (t0) = gf (t0) \forall t0 \in \BbbR . Отже, F \prime
f (0) = gf (0) =
\int
M
f d\nu , тобто мiра \mu слабко
диференцiйовна вздовж векторного поля X, а її похiдна Скорохода збiгається з мiрою \nu .
2 \Leftarrow \Rightarrow 4. Для кожного A \in \scrA розглянемо iндикаторну функцiю f = IA. Враховуючи, що
\int
M
IA d(\mu t - \mu ) = \mu t(A) - \mu (A),
t\int
0
\int
M
IA
\bigl(
\Phi - s(x)
\bigr)
\nu (dx) ds =
t\int
0
\nu s(A) ds,
переконуємося, що умова 2 еквiвалентна виконанню рiвностi (4) для iндикаторних функцiй
f = IA, A \in \scrA . Залишилося використати теорему Лебега про мажоровану збiжнiсть i лему
2.1.8 [13, том 1], щоб показати, що якщо рiвнiсть (4) виконується для всiх iндикаторних функцiй,
то вона виконується i для всiх борелiвських обмежених функцiй.
4 =\Rightarrow 3. Очевидно.
3 =\Rightarrow 2. Нехай для деякої мiри \nu для всiх f \in Cb(M) i всiх t \in \BbbR виконується рiвнiсть (4).
Зафiксуємо t \in \BbbR \setminus \{ 0\} (для t = 0 очевидно) i встановимо рiвнiсть (3) для всiх A \in \scrA . Для цього
розглянемо простiр [0, t] (або [t, 0] при t < 0) з \sigma -алгеброю \scrB
\bigl(
[0, t]
\bigr)
та мiрою Лебега \lambda i простiр
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ БОРЕЛIВСЬКИХ МIР УЗДОВЖ ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ . . . 1355
M з \sigma -алгеброю \scrA = \scrB (M) та мiрою \nu на \scrA . Тодi на \scrB
\bigl(
[0, t]
\bigr)
\otimes \scrB (M) визначено мiру \lambda \otimes \nu .
За теоремою 6.4.2(i) [13, том 2] \scrB
\bigl(
[0, t]
\bigr)
\otimes \scrB (M) = \scrB
\bigl(
[0, t]\times M
\bigr)
. Крiм того, за пропозицiєю
3.3.2 [13, том 1] для всiх s \in [0, t] та B \in \scrB
\bigl(
[0, t]\times M
\bigr)
множина Bs =
\bigl\{
x \in M
\bigm| \bigm| (s, x) \in B
\bigr\}
належить \scrA , а функцiя s \mapsto \rightarrow \nu (Bs) є борелiвською, i при цьому за теоремою 3.4.1 [13, том 1]
для кожної множини B \in \scrB
\bigl(
[0, t]\times M
\bigr)
(\lambda \otimes \nu )(B) =
t\int
0
\nu (Bs) ds.
Розглянемо вiдображення \varphi : [0, t]\times M \rightarrow M, \varphi (s, x) = \Phi ( - s, x). Тодi
\varphi - 1(A) =
\bigl\{
(s, x) \in [0, t]\times M
\bigm| \bigm| x \in \Phi s(A)
\bigr\}
для кожної множини A \in \scrA , отже,
\bigl(
\varphi - 1(A)
\bigr)
s
= \Phi s(A) при всiх A \in \scrA i всiх s \in [0, t].
Вiдображення \varphi є борелiвським, тому воно iндукує мiру mt на \scrA :
\forall A \in \scrA : mt(A) = (\lambda \otimes \nu )
\bigl(
\varphi - 1(A)
\bigr)
=
t\int
0
\nu
\Bigl( \bigl(
\varphi - 1(A)
\bigr)
s
\Bigr)
ds =
t\int
0
\nu s(A) ds.
Для кожної функцiї f \in Cb(M) функцiя f \circ \varphi є iнтегровною за мiрою \lambda \otimes \nu i при цьому\int
M
f dmt =
\int
[0,t]\times M
f \circ \varphi d(\lambda \otimes \nu ). (5)
З iншого боку, за теоремою Фубiнi [13, том 1] (теорема 3.4.4) маємо
\int
[0,t]\times M
f \circ \varphi d(\lambda \otimes \nu ) =
t\int
0
\int
M
f
\bigl(
\varphi (s, x)
\bigr)
\nu (dx) ds =
t\int
0
\int
M
f
\bigl(
\Phi - s(x)
\bigr)
\nu (dx) ds.
Враховуючи рiвнiсть (4), отримуємо\int
[0,t]\times M
f \circ \varphi d(\lambda \otimes \nu ) =
\int
M
f(x) (\mu t - \mu )(dx). (6)
З рiвностей (5) i (6) для всiх f \in Cb(M) маємо\int
M
f dmt =
\int
M
f d(\mu t - \mu ).
Звiдси за результатами [11, c. 45] мiри mt та \mu t - \mu збiгаються мiж собою, що i дає рiвнiсть
(3) для всiх множин A \in \scrA . Оскiльки t вибирали довiльно, теорему доведено.
Зауваження 1. Подiбний критерiй має мiсце i для диференцiйовностi за Фомiним (див.
[2, с. 102], доведення для випадку диференцiйовностi вздовж векторного поля аналогiчне).
Таким чином, сильна диференцiйовнiсть мiри \mu еквiвалентна її слабкiй диференцiйовностi при
абсолютно неперервнiй вiдносно \mu похiднiй Скорохода dX\mu .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1356 К. В. МОРАВЕЦЬКА
Наслiдок 1. Нехай мiра \mu є радонiвською, \scrF \subset Cb(M) — деякий клас функцiй, що
роздiляє точки M (тобто для будь-яких рiзних точок x, y \in M iснує така функцiя f \in \scrF ,
що f(x) \not = f(y)). Тодi наступнi умови є еквiвалентними:
1) мiра \mu диференцiйовна за Скороходом уздовж X i має радонiвську похiдну Скорохода;
2) iснує радонiвська мiра \nu , для якої рiвнiсть (4) виконується для всiх функцiй f \in \scrF ;
3) iснує така радонiвська мiра \nu на M, що для будь-якої функцiї f \in \scrF функцiя
Ff (t) =
\int
M
f d\mu t є диференцiйовною на \BbbR i при цьому F \prime
f (t) =
\int
M
f d\nu t.
Мiра \nu з пунктiв 2, 3 є похiдною Скорохода вiд \mu .
Доведення. Iмплiкацiя 1 =\Rightarrow 3 безпосередньо випливає з означення слабкої диференцiйов-
ностi.
3 =\Rightarrow 2. Повнiстю повторює доведення iмплiкацiї 1 =\Rightarrow 3 теореми 2.
2 =\Rightarrow 1. Повторюючи мiркування частини 3 =\Rightarrow 2 теореми 2, отримуємо, що при кожному
фiксованому t \in \BbbR для всiх f \in \scrF виконується рiвнiсть
\int
M
f dmt =
\int
M
f d(\mu t - \mu ), де мiру mt
визначено в теоремi 2. Мiра \lambda є радонiвською за результатами [2, с. 26], тому радонiвськими є
також мiри \lambda \otimes \nu — за теоремою 7.6.2 [13, том 2], mt i \mu t — за теоремою 9.1.1 [13, том 2], а
також мiра \mu t - \mu . Тодi за лемою 1.2.10 [2] отримуємо mt = \mu t - \mu , що завершує доведення.
Зауваження 2. При доведеннi останнiх двох результатiв було використано теореми 3.4.1,
3.4.4 та 7.6.2 з [13], сформульованi для невiд’ємних мiр. Справедливiсть цих теорем в роз-
глядуваному випадку випливає з розкладу Хана – Жордана для знакозмiнної мiри та означення
добутку знакозмiнної i невiд’ємної мiр: \lambda \otimes \nu = \lambda \otimes \nu + - \lambda \otimes \nu - . Зауваження про справедливiсть
теореми Фубiнi у випадку знакозмiнних мiр є у [14, с. 186].
Наслiдок 2. Нехай простiр C1
b (M) роздiляє точки многовиду M, а \mu та \nu — радонiвськi
мiри на M. Мiра \mu є слабко диференцiйовною вздовж обмеженого векторного поля X i
dX\mu = \nu тодi i тiльки тодi, коли для кожного f \in C1
b (M) має мiсце рiвнiсть\int
M
f d\nu = -
\int
M
\partial Xf d\mu . (7)
Доведення. Для кожної функцiї f \in C1
b (M) i кожного s \in \BbbR функцiя f \circ \Phi s належить класу
C1
b (M) (за лемою 2), i при цьому \partial X(f \circ \Phi s) = \partial Xf \circ \Phi s. Якщо f \in C1
b (M), то для кожного
t \in \BbbR i кожного x \in M виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f \circ \Phi t - f
t
(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \Bigl[
\xi \in [0, t]
\Bigr]
= (f \circ \Phi x)
\prime (\xi ) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
(\varphi ,U)\in \Omega , y\in \varphi (U)
\bigm\| \bigm\| \bigl( f \circ \varphi - 1
\bigr) \prime
(y)
\bigm\| \bigm\| C.
Тому за теоремою Лебега для кожної функцiї f \in C1
b (M) при кожному s \in \BbbR має мiсце
збiжнiсть
1
t
\int
M
f d(\mu s+t - \mu s) =
\int
M
f \circ \Phi - t - f
t
d\mu s - - \rightarrow
t\rightarrow 0
-
\int
M
\partial Xf d\mu s. (8)
=\Rightarrow . Необхiдна рiвнiсть випливає безпосередньо з рiвностi (2) i умови (8) при s = 0.
\Leftarrow =. Для кожної функцiї f \in C1
b (M) i кожного s \in \BbbR , використовуючи умову (8) i
рiвнiсть (7) для функцiї f \circ \Phi - s, отримуємо збiжнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ БОРЕЛIВСЬКИХ МIР УЗДОВЖ ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ . . . 1357
1
t
\int
M
f d(\mu s+t - \mu s) - - \rightarrow
t\rightarrow 0
-
\int
M
\partial Xf d\mu s = -
\int
M
\partial X(f \circ \Phi - s) d\mu =
\int
M
f \circ \Phi - s d\nu =
\int
M
f d\nu s.
Клас C1
b (M) роздiляє точки M. Тому за наслiдком 1 мiра \mu є диференцiйовною за Скороходом
уздовж X, а \nu — вiдповiдна похiдна Скорохода.
Наслiдок 2 доведено.
Зауваження 3. Клас C1
b (M) роздiляє точки, зокрема, для випадку банахового простору, а
також гiльбертового многовиду.
Врахувавши зауваження 1, отримаємо такий критерiй i для сильної диференцiйовностi.
Наслiдок 3. Нехай простiр C1
b (M) роздiляє точки многовиду M. Радонiвська мiра \mu є
сильно диференцiйовною вздовж обмеженого векторного поля X тодi i тiльки тодi, коли iснує
така функцiя h \in \scrL 1(\mu ), що для кожного f \in C1
b (M) має мiсце рiвнiсть\int
M
fh d\mu = -
\int
M
\partial Xf d\mu .
Сильною похiдною при цьому буде радонiвська мiра \nu = h\mu .
5. Критерiй диференцiйовностi за Скороходом. Доведення теореми 1. =\Rightarrow . Нехай
мiра \mu диференцiйовна за Скороходом уздовж X. Тодi за теоремою 2 при \nu = dX\mu для всiх
A \in \scrA i всiх t \in \BbbR виконується рiвнiсть \mu t(A) = \mu (A) +
\int t
0
\nu s(A) ds. Звiдси для всiх A \in \scrA i
t \in \BbbR отримуємо нерiвнiсть
\bigm| \bigm| \mu t(A) - \mu (A)
\bigm| \bigm| \leq | t| \| \nu \| . Отже, можемо вибрати довiльне \gamma > 0 i
для кожного A \in \scrA взяти c(A) = \| \nu \| .
\Leftarrow = . Нехай мiра \mu така, що виконується умова (1). За лемою 3 ця умова рiвносильна
тому, що iснує таке C > 0, що для всiх t \in [ - \gamma , \gamma ] виконується нерiвнiсть \| \mu t - \mu \| \leq C | t| .
Випадок 1. Мiра \mu має компактний носiй S. Нехай r — стала з означення 2 для рiвномiрного
атласу \Omega , а L — стала з означення 3 для векторного поля X. За лемою 1 будуємо пiдатлас\bigl\{
(V\alpha , \varphi \alpha )
\bigr\}
, де
V\alpha =
\Bigl\{
x \in U\alpha
\bigm| \bigm| BE
r
2
\bigl(
\varphi \alpha (x)
\bigr)
\subset \varphi \alpha (U\alpha )
\Bigr\} 0
,
i при цьому V\alpha \subset U\alpha для кожного \alpha . Крiм того, при a = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
r
6
,
1
2
\biggr\}
, b < a/
\bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ L, 1\}
\bigr) 2
для
кожного \alpha потiк \Phi \alpha є визначеним на ( - b, b)\times BE
a
\bigl(
\varphi \alpha (V\alpha )
\bigr)
i набуває значень в BE
r
2
\bigl(
\varphi \alpha (V\alpha )
\bigr)
\subset
\subset \varphi (U\alpha ). Вiзьмемо b також меншим за \gamma i позначимо через Ib промiжок ( - b, b) \subset \BbbR ,
Ib = [ - b, b].
Для кожної карти (U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega введемо такi позначення: W\alpha = BE
a
2
\bigl(
\varphi \alpha (V\alpha )
\bigr)
,
T\alpha = BE
a
\bigl(
\varphi \alpha (V\alpha )
\bigr)
. При цьому W\alpha \subset BE
a
\bigl(
\varphi \alpha (V\alpha )
\bigr)
= T\alpha \subset \varphi \alpha (U\alpha ), i на Ib \times T\alpha визначе-
но потiк \Phi \alpha . Легко показати, що для кожного \alpha має мiсце також включення \varphi \alpha (V \alpha ) \subset W\alpha .
Мiра \mu зосереджена на компактi S. Оскiльки \Phi є неперервним вiдображенням, множина
K = \Phi
\bigl(
Ib \times S
\bigr)
також компактна, i для кожного t \in Ib мiра \mu t зосереджена на \Phi - t(S) \subset K.
Компактною є також множина \widetilde K = \Phi (Ib \times K), тому iснує така скiнченна пiдмножина
P множини iндексiв \{ \alpha \} , що \widetilde K покривається множинами
\bigl\{
Vj | j \in P
\bigr\}
. Розглянемо вiдкрите
покриття
\bigl\{
Vj | j \in P
\bigr\}
\cup
\bigl\{
V\alpha \setminus \widetilde K | \alpha /\in P
\bigr\}
многовиду M i вiзьмемо таке розбиття одиницi
\{ h\alpha \} класу C1, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}h\alpha \subset V\alpha при \alpha \in P i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}h\alpha \subset V\alpha \setminus \widetilde K при \alpha /\in P. При цьому для
всiх x \in \widetilde K виконується рiвнiсть 1 =
\sum
\alpha \in P h\alpha (x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1358 К. В. МОРАВЕЦЬКА
При t \in Ib \setminus \{ 0\} визначимо мiри nt =
\mu t - \mu
t
\bigm| \bigm| \bigm|
K
, що є звуженнями мiр
\mu t - \mu
t
на K.
Розглянемо також на Cb(K) неперервнi лiнiйнi функцiонали Lt, що вiдповiдають мiрам nt,
t \in Ib \setminus \{ 0\} : Ltf =
\int
K
f d nt, f \in Cb(K). При цьому \| Lt\| = \| nt\| \leq C для кожного t \in
\in Ib \setminus \{ 0\} , тобто
\bigl\{
Lt
\bigm| \bigm| t \in Ib \setminus \{ 0\}
\bigr\}
\subset B
\bigl(
Cb(K)
\bigr) \ast
C (0). Оскiльки K — метричний компакт, то
Cb(K) — сепарабельний нормований простiр. Тому за теоремою Банаха – Алаоглу B
\bigl(
Cb(K)
\bigr) \ast
C (0)
— компакт у \ast -слабкiй топологiї в
\bigl(
Cb(K)
\bigr) \ast
. Отже, iснують послiдовнiсть точок tn - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
0 з
Ib \setminus \{ 0\} i лiнiйний функцiонал L \in B
\bigl(
Cb(K)
\bigr) \ast
C (0) такi, що L — гранична точка послiдовностi
\{ Ltn | n \geq 1\} в \ast -слабкiй топологiї в
\bigl(
Cb(K)
\bigr) \ast
. Тобто для будь-якої функцiї f \in Cb(K) має
мiсце збiжнiсть Ltnf - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
Lf.
За теоремою Рiса [13, том 2, с. 134] iснує радонiвська мiра \nu на K така, що Lf =
\int
K
f d\nu
для всiх f \in Cb(K), i при цьому \| \nu \| = \| L\| \leq C. Зберiгши позначення, довизначимо мiру \nu
нулем на всю множину M. При цьому, оскiльки \nu зосереджена на компактi, вона є щiльною в
M. Крiм того, \nu є регулярною за пропозицiєю 1.2.3 [2], а отже, \nu — радонiвська мiра.
Кожна функцiя f з класу C\BbbC
b (K) однозначно зображується у виглядi суми f = u + iv, де
u та v належать Cb(K). Тому будь-який функцiонал l \in
\bigl(
Cb(K)
\bigr) \ast
можемо розглядати i для
функцiй з класу C\BbbC
b (K): lf = lu+ i lv. Тодi Ltnf - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
Lf i для функцiй f \in C\BbbC
b (K), тобто\int
K
f d
\biggl(
\mu tn - \mu
tn
\biggr)
- - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
\int
K
f d\nu \forall f \in C\BbbC
b (K). (9)
Розглянемо образи мiри \nu в картах: для кожного \alpha \in P визначаємо мiру \nu \alpha = \nu
\bigm| \bigm|
U\alpha
\circ \varphi - 1
\alpha
на \scrB
\bigl(
\varphi \alpha (U\alpha )
\bigr)
, при цьому носiй \nu \alpha зосереджено на \varphi \alpha (K \cap U\alpha ).
Зафiксуємо деяку карту (U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega при \alpha \in P i розглянемо мiри m\alpha
t , t \in Ib, на \scrB (T\alpha ),
що є образами мiр \mu t
\bigm| \bigm|
\varphi - 1
\alpha (T\alpha )
при вiдображеннi \varphi \alpha : m\alpha
t (A) = \mu t
\bigl(
\varphi - 1
\alpha (A)
\bigr)
, m\alpha (A) = m\alpha
0 (A),
A \in \scrB (T\alpha ). При цьому, оскiльки для кожного t \in Ib мiра \mu t зосереджена на множинi \Phi - t(S),
мiра m\alpha
t зосереджена на множинi T\alpha \cap \varphi \alpha
\bigl(
U\alpha \cap \Phi - t(S)
\bigr)
\subset T\alpha \cap \varphi \alpha (U\alpha \cap K).
Нехай \widetilde f — функцiя з C\BbbC
b
\bigl(
W\alpha \cap \varphi \alpha (K \cap U\alpha )
\bigr)
, причому \widetilde f набуває нульового значення на
(W\alpha \setminus W\alpha ) \cap \varphi \alpha (K \cap U\alpha ). Тодi вiдповiдна функцiя f = \widetilde f \circ \varphi \alpha на \varphi - 1
\alpha (W\alpha ) \cap K дорiвнює ну-
лю на \varphi - 1
\alpha (W\alpha \setminus W\alpha ) \cap K, i її можна неперервно довизначити нулем на весь компакт K.
Отримана таким чином функцiя F належить до класу C\BbbC
b (K), тому для неї виконується умо-
ва (9). Враховуючи, що F набуває нульового значення за межами множини \varphi - 1
\alpha (W\alpha ) \cap K, i
повертаючись до карти, отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\int
\varphi \alpha
\bigl(
K\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde f d\biggl( m\alpha
tn - m\alpha
tn
\biggr)
=
\int
\varphi \alpha
\bigl(
K\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde f d\nu \alpha . (10)
Отже, для будь-якої функцiї \widetilde f \in C\BbbC
b
\bigl(
W\alpha \cap \varphi \alpha (K \cap U\alpha )
\bigr)
, що набуває нульового значення
на (W\alpha \setminus W\alpha ) \cap \varphi \alpha (K \cap U\alpha ), справджується рiвнiсть (10).
Покажемо, що iснує таке t\alpha \in Ib, що \Phi t( \widetilde K \cap V \alpha ) \subset \varphi - 1
\alpha (W\alpha ) для всiх t \in ( - t\alpha , t\alpha ).
Нехай це не так. Тодi iснують такi послiдовностi \tau n - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
0 i \{ yn | n \in \BbbN \} \subset \widetilde K \cap V \alpha , що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ БОРЕЛIВСЬКИХ МIР УЗДОВЖ ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ . . . 1359
\Phi (\tau n, yn) /\in \varphi - 1
\alpha (W\alpha ) для кожного n \in \BbbN . Завдяки компактностi \widetilde K \cap V \alpha iснує пiдпослiдов-
нiсть \{ ynk
\} , збiжна до деякого y\ast \in \widetilde K \cap V \alpha . Вiдображення \Phi є неперервним на \BbbR \times M, тому
\Phi (\tau nk
, ynk
) - - - \rightarrow
k\rightarrow \infty
\Phi (0, y\ast ) = y\ast \in V \alpha . Але \varphi - 1
\alpha (W\alpha ) — вiдкрита множина, тому, оскiльки
\Phi (\tau nk
, ynk
) /\in \varphi - 1
\alpha (W\alpha ) при всiх k, i границя y\ast /\in \varphi - 1
\alpha (W\alpha ). Отримали суперечнiсть з вклю-
ченням V \alpha \subset \varphi - 1
\alpha (W\alpha ). Отже, шукане t\alpha iснує. Позначимо через I\alpha промiжок ( - t\alpha , t\alpha ), тодi
\Phi
\bigl(
I\alpha \times ( \widetilde K \cap V \alpha )
\bigr)
\subset \varphi - 1
\alpha (W\alpha ).
Нехай l — дiйснозначний обмежений лiнiйний функцiонал на E. Для кожного s \in I\alpha
розглянемо функцiю \widetilde \psi s : T\alpha \cap \varphi \alpha ( \widetilde K \cap U\alpha ) \rightarrow \BbbC :
\widetilde \psi s(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
i l
\bigl(
\Phi \alpha
- s(x)
\bigr) \Bigr)
(h\alpha \circ \varphi - 1
\alpha )
\bigl(
\Phi \alpha
- s(x)
\bigr)
.
Зафiксуємо деяке s \in I\alpha . Оскiльки \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}h\alpha \subset V\alpha , функцiя \widetilde h\alpha = h\alpha \circ \varphi - 1
\alpha : \varphi \alpha (U\alpha ) \rightarrow \BbbR
є нульовою за межами \varphi \alpha (V\alpha ), а функцiя \widetilde \psi s — за межами \varphi \alpha
\bigl(
\Phi s(V\alpha )
\bigr)
. Розглянемо звуження
функцiї \widetilde \psi s на множину W\alpha \cap \varphi \alpha (K \cap U\alpha ). При цьому, оскiльки s \in I\alpha , маємо
K \cap \Phi s(V\alpha ) = \Phi s
\bigl(
\Phi - s(K) \cap V\alpha
\bigr)
\subset \varphi - 1
\alpha (W\alpha ).
Тому якщо x \in (W\alpha \setminus W\alpha ) \cap \varphi \alpha (K \cap U\alpha ), то x /\in \varphi \alpha
\bigl(
K \cap \Phi s(V\alpha )
\bigr)
. Але x \in \varphi \alpha (K \cap U\alpha ), а
отже, x /\in \varphi \alpha
\bigl(
\Phi s(V\alpha )
\bigr)
i \widetilde \psi s(x) = 0. Тодi для функцiї \widetilde \psi s справджується рiвнiсть (10). Оскiльки
s+ tn \in I\alpha при n, бiльших за деяке N, маємо
\Phi s( \widetilde K \cap V \alpha ) \subset \varphi - 1
\alpha (W\alpha ), \Phi s+tn( \widetilde K \cap V \alpha ) \subset \varphi - 1
\alpha (W\alpha ) \forall n > N. (11)
Запишемо функцiонали з лiвої частини рiвностi (10) для функцiї \widetilde \psi s :\int
\varphi \alpha
\bigl(
K\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi s d
\biggl(
m\alpha
tn - m\alpha
tn
\biggr)
=
=
1
tn
\left[ \int
\Phi tn
\bigl(
K\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi s \circ \varphi \alpha \circ \Phi - tn d\mu -
\int
K\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\widetilde \psi s \circ \varphi \alpha d\mu
\right] . (12)
Мiра \mu зосереджена на S, тому в другому iнтегралi можемо звузити множину iнтегрування
до S \cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha ). Перетворимо тепер i перший iнтеграл при n > N. Оскiльки \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\psi s \subset
\subset \varphi \alpha
\bigl(
\Phi s(V\alpha )
\bigr)
, то \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\widetilde \psi s \circ \varphi \alpha \circ \Phi - tn) \subset \Phi s+tn(V\alpha ), i множину iнтегрування можна замiнити
її перетином з \Phi s+tn(V\alpha ), що рiвний \Phi s+tn
\bigl(
V\alpha \cap \Phi - s(K)
\bigr)
(оскiльки \Phi s
\bigl(
V\alpha \cap \Phi - s(K)
\bigr)
\subset
\subset \varphi - 1
\alpha (W\alpha ) за умовою (11)). Зазначимо, що \widetilde \psi s \circ \varphi \alpha \circ \Phi - tn = \widetilde \psi s+tn \circ \varphi \alpha на множинi, де
обидвi частини мають сенс. Оскiльки \Phi s+tn
\bigl(
V\alpha \cap \Phi - s(K)
\bigr)
\subset \varphi - 1
\alpha (W\alpha ) при n > N, вказана
рiвнiсть справджується i на множинi \Phi s+tn
\bigl(
V\alpha \cap \Phi - s(K)
\bigr)
. Отже, перший iнтеграл можна брати
з пiдiнтегральною функцiєю \widetilde \psi s+tn \circ \varphi \alpha . Врахуємо тепер, що мiра \mu зосереджена на S, i звузимо
множину \Phi tn(K) до S. Нарештi, оскiльки \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\widetilde \psi s+tn \circ \varphi \alpha \subset \Phi s+tn(V\alpha ), знову використовуючи
включення (11), розширюємо \Phi s+tn(V\alpha )\cap S до множини \varphi - 1
\alpha (W\alpha )\cap S, на якiй пiдiнтегральна
функцiя також має сенс. Отже, рiвнiсть (12) при n > N продовжується:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1360 К. В. МОРАВЕЦЬКА\int
\varphi \alpha
\bigl(
K\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi s d
\biggl(
m\alpha
tn - m\alpha
tn
\biggr)
=
1
tn
\int
S\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
(\widetilde \psi s+tn - \widetilde \psi s) \circ \varphi \alpha d\mu =
=
\int
\varphi \alpha
\bigl(
S\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr)
\widetilde \psi s+tn - \widetilde \psi s
tn
dm\alpha . (13)
Функцiї \widetilde \psi u(x) при кожному фiксованому x \in T\alpha \cap \varphi \alpha ( \widetilde K \cap U\alpha ) є диференцiйовними по u
на I\alpha , i при цьому для кожного p \in I\alpha
\partial
\partial u
\bigm| \bigm| \bigm|
u=p
\widetilde \psi u(x) = - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
il
\bigl(
\Phi \alpha
- p(x)
\bigr) \Bigr) \biggl[
i\widetilde h\alpha \bigl( \Phi \alpha
- p(x)
\bigr)
l
\Bigl(
X\alpha
\bigl(
\Phi \alpha
- p(x)
\bigr) \Bigr)
+ \widetilde h\alpha \prime \bigl( \Phi \alpha
- p(x)
\bigr)
X\alpha
\bigl(
\Phi \alpha
- p(x)
\bigr) \biggr]
.
Тодi \biggl( \widetilde \psi s+tn - \widetilde \psi s
tn
\biggr)
(x) - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
\partial
\partial u
\bigm| \bigm| \bigm|
u=s
\widetilde \psi u(x)
для кожного x \in \varphi \alpha
\bigl(
S \cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr)
, i, крiм того, при всiх n > N виконується нерiвнiсть\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( \widetilde \psi s+tn - \widetilde \psi s
tn
\biggr)
(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\xi \in I\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \partial u \bigm| \bigm| \bigm|
u=\xi
\widetilde \psi u
\bigl(
x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \| l\| L+\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
z\in A
\bigm\| \bigm\| \widetilde h\alpha \prime (z)\bigm\| \bigm\| L,
де A = \Phi \alpha
\Bigl(
I\alpha \times \varphi \alpha
\bigl(
S \cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \Bigr)
— компакт, а тому вказаний максимум iснує. Отже, за
теоремою Лебега з рiвностi (13) маємо
\int
\varphi \alpha
\bigl(
K\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi s d
\biggl(
m\alpha
tn - m\alpha
tn
\biggr)
- - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
\int
\varphi \alpha
\bigl(
S\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \partial
\partial u
\bigm| \bigm| \bigm|
u=s
\widetilde \psi u(x)m
\alpha (dx).
З iншого боку, для функцiї \psi s виконується умова (10), тому отримуємо рiвнiсть\int
\varphi \alpha
\bigl(
S\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \partial
\partial u
\bigm| \bigm| \bigm|
u=s
\widetilde \psi u(x)m
\alpha (dx) =
\int
\varphi \alpha
\bigl(
K\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi s d\nu
\alpha . (14)
Оскiльки ми брали довiльне s \in I\alpha , рiвнiсть (14) виконується для всiх s \in I\alpha . Для кожного
x \in \varphi \alpha
\bigl(
K \cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr)
функцiя \psi s(x) є неперервною по s на I\alpha i, крiм того, скрiзь на областi
визначення
\bigm| \bigm| \psi s(x)
\bigm| \bigm| \leq 1. Тодi за теоремою Лебега права частина рiвностi (14) є неперервною
на I\alpha , а тому iнтегровною вiдносно мiри Лебега \lambda .
Функцiя
\partial
\partial u
\bigm| \bigm| \bigm|
u=s
\widetilde \psi u(x) є неперервною за сукупнiстю аргументiв на I\alpha \times \varphi \alpha
\bigl(
S\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr)
.
Дiйсно, \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl(
i l
\bigl(
\Phi \alpha
- s(x)
\bigr) \Bigr)
, \widetilde h\alpha \bigl( \Phi \alpha
- s(x)
\bigr)
, l
\Bigl(
X\alpha
\bigl(
\Phi \alpha
- s(x)
\bigr) \Bigr)
є неперервними числовими функцiями.
А неперервнiсть функцiї \widetilde h\alpha \prime \bigl( \Phi \alpha
- s(x)
\bigr)
X\alpha
\bigl(
\Phi \alpha
- s(x)
\bigr)
випливає з того, що, по-перше, X\alpha
\bigl(
\Phi \alpha
- s(x)
\bigr)
є неперервною функцiєю на I\alpha \times W\alpha , обмеженою за нормою сталою L. А по-друге, функцiя \widetilde h\alpha
належить класу C1 на \varphi \alpha (U\alpha ), а тому \widetilde h\alpha \prime : \varphi \alpha (U\alpha ) \rightarrow L(E,\BbbR ) неперервна i лiнiйний оператор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ БОРЕЛIВСЬКИХ МIР УЗДОВЖ ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ . . . 1361
\widetilde h\alpha \prime \bigl( \Phi \alpha
- s(x)
\bigr)
є неперервно залежним вiд сукупностi аргументiв s i x на I\alpha \times W\alpha . Тодi функцiя
\partial
\partial u
\bigm| \bigm| \bigm|
u=s
\widetilde \psi u(x) є iнтегровною вiдносно мiри \lambda \otimes m\alpha на множинi I\alpha \times \varphi \alpha
\bigl(
S \cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr)
, де
\lambda — мiра Лебега на \BbbR . Тому за теоремою Фубiнi [13, том 1] (теорема 3.4.4) можна коректно
зiнтегрувати лiву частину виразу (14) на промiжку [0, t] при кожному t \in I\alpha i при цьому
замiнити порядок iнтегрування. Таким чином, зiнтегрувавши обидвi частин рiвностi (14), для
кожного t \in I\alpha отримаємо рiвнiсть
t\int
0
\int
\varphi \alpha
\bigl(
K\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi s d\nu
\alpha ds =
\int
\varphi \alpha
\bigl(
S\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi u(x)
\bigm| \bigm| \bigm| t
0
m\alpha (dx) =
=
\int
\varphi \alpha
\bigl(
S\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi t dm
\alpha
\int
\varphi \alpha
\bigl(
S\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi 0 dm
\alpha . (15)
Враховуючи, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\widetilde \psi 0 \subset \varphi \alpha (V\alpha ), а \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\widetilde \psi t \subset \varphi \alpha
\bigl(
\Phi t(V\alpha )
\bigr)
при кожному t \in I\alpha , множину
iнтегрування другого iнтеграла звужуємо до множини \varphi \alpha
\bigl(
S\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr)
\cap \varphi \alpha (V\alpha ) = \varphi \alpha (S\cap V\alpha ),
а першого — до множини
\varphi \alpha
\bigl(
S \cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr)
\cap \varphi \alpha
\bigl(
\Phi t(V\alpha )
\bigr)
= \varphi \alpha
\bigl(
\Phi t(V\alpha ) \cap S)
\bigr)
(оскiльки \Phi t(V\alpha ) \cap S) \subset \varphi - 1
\alpha (W\alpha ) за умовою (11)). Тодi перший iнтеграл перетворюється так:\int
\varphi \alpha
\bigl(
S\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi t dm
\alpha =
\int
\varphi \alpha
\bigl(
\Phi t(V\alpha )\cap S)
\bigr) \widetilde \psi t dm
\alpha =
\int
\Phi t(V\alpha )\cap S
\widetilde \psi 0 \circ \varphi \alpha \circ \Phi - t d\mu =
=
\int
V\alpha \cap \Phi - t(S)
\widetilde \psi 0 \circ \varphi \alpha d\mu t =
\int
\varphi \alpha
\bigl(
V\alpha \cap \Phi - t(S)
\bigr) \widetilde \psi 0 dm
\alpha
t .
Врахуємо тепер, що мiри \mu t та \mu зосередженi вiдповiдно на \Phi - t(S) та S, i розширимо
обидвi множини iнтегрування до \varphi \alpha (K \cap V\alpha ). Таким чином, рiвнiсть (15) продовжується:
t\int
0
\int
\varphi \alpha
\bigl(
K\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi s d\nu
\alpha ds =
=
\int
\varphi \alpha
\bigl(
V\alpha \cap \Phi - t(S)
\bigr) \widetilde \psi 0 dm
\alpha
t -
\int
\varphi \alpha (S\cap V\alpha )
\widetilde \psi 0 dm
\alpha =
\int
\varphi \alpha (V\alpha \cap K)
\widetilde \psi 0 d(m
\alpha
t - m\alpha ). (16)
Перетворимо тепер лiву частину рiвностi (16). Врахуємо спочатку, що при кожному s \in
\in [0, t] \subset I\alpha носiй \widetilde \psi s зосереджено на \varphi \alpha
\bigl(
\Phi s(V\alpha )
\bigr)
i \varphi \alpha
\bigl(
K \cap \Phi s(V\alpha )
\bigr)
\subset \varphi \alpha
\bigl(
K \cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr)
за умовою (11). Тому у внутрiшнiх iнтегралах можемо звузити множини iнтегрування до
\varphi \alpha
\bigl(
K \cap \Phi s(V\alpha )
\bigr)
i при цьому замiнити пiдiнтегральну функцiю функцiєю \widetilde \psi 0 \circ \Phi \alpha
- s. Розглядає-
мо зсуви мiри \nu \alpha вздовж векторного поля X\alpha на множинi \varphi \alpha ( \widetilde K\cap V\alpha ), тобто для кожного s \in I\alpha
розглядаємо мiру \nu \alpha s = \nu \alpha \bigm| \bigm| \Phi \alpha
s
\bigl(
\varphi \alpha ( \widetilde K\cap V\alpha )
\bigr) \circ \Phi \alpha
s на \scrB
\bigl(
\varphi \alpha ( \widetilde K \cap V\alpha )
\bigr)
з носiєм на \varphi \alpha
\bigl(
\Phi - s(K)\cap V\alpha
\bigr)
.
Тодi у внутрiшнiх iнтегралах перейдемо також до мiр \nu \alpha s :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1362 К. В. МОРАВЕЦЬКА
t\int
0
\int
\varphi \alpha
\bigl(
K\cap \varphi - 1
\alpha (W\alpha )
\bigr) \widetilde \psi s d\nu
\alpha ds =
t\int
0
\int
\varphi \alpha
\bigl(
K\cap \Phi s(V\alpha )
\bigr) \widetilde \psi 0 \circ \Phi \alpha
- s d\nu
\alpha ds =
=
t\int
0
\int
\varphi \alpha
\bigl(
\Phi - s(K)\cap V\alpha
\bigr) \widetilde \psi 0 d\nu
\alpha
s ds =
t\int
0
\int
\varphi \alpha ( \widetilde K\cap V\alpha )
\widetilde \psi 0 d\nu
\alpha
s ds.
Отже, враховуючи умову (16), остаточно отримуємо рiвнiсть
t\int
0
\int
\varphi \alpha ( \widetilde K\cap V\alpha )
\widetilde \psi 0 d\nu
\alpha
s ds =
\int
\varphi \alpha (V\alpha \cap K)
\widetilde \psi 0 d(m
\alpha
t - m\alpha ) \forall t \in I\alpha . (17)
Зафiксуємо тепер деяке число t \in I\alpha i розглянемо для нього клас функцiй N =
= л.о.
\bigl\{
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
i l(x)
\bigr) \bigm| \bigm| l \in M\ast \bigr\} над полем \BbbC , який є пiдмножиною класу C\BbbC
b
\bigl(
\varphi \alpha (V \alpha \cap \widetilde K)
\bigr)
.
Оскiльки рiвнiсть (17) виконується для функцiї \widetilde \psi 0(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
i l(x)
\bigr) \widetilde h\alpha (x) при довiльному
виборi функцiоналa l \in E\ast , для кожної функцiї f з класу N виконується рiвнiсть
t\int
0
\int
\varphi \alpha ( \widetilde K\cap V\alpha )
f \widetilde h\alpha d\nu \alpha s ds = \int
\varphi \alpha (K\cap V\alpha )
f \widetilde h\alpha d(m\alpha
t - m\alpha ). (18)
Клас N є пiдалгеброю класу C\BbbC
b
\bigl(
\varphi \alpha (V \alpha \cap \widetilde K)
\bigr)
комплекснозначних неперервних функцiй
на компактi \varphi \alpha (V \alpha \cap \widetilde K) в E. При цьому вiн мiстить одиничну функцiю, а для кожної функцiї
f \in N функцiя f також належить N. Крiм того, з теореми Хана – Банаха випливає, що клас
N роздiляє точки простору \varphi \alpha (V \alpha \cap \widetilde K). Тодi за теоремою Стоуна – Вейєрштрасса множина
N є щiльною в C\BbbC
b
\bigl(
\varphi \alpha (V \alpha \cap \widetilde K)
\bigr)
. Тому, використовуючи теорему Лебега про мажоровану
збiжнiсть, граничним переходом отримуємо, що для всiх функцiй f \in C\BbbC
b
\bigl(
\varphi \alpha (V \alpha \cap \widetilde K)
\bigr)
i всiх
t \in I\alpha виконується рiвнiсть (18).
Аналогiчнi мiркування можна провести для всiх карт (U\alpha , \varphi \alpha ) \in \Omega при \alpha \in P. Тобто для
кожного \alpha \in P iснує таке t\alpha \in Ib, що для всiх функцiй f \in C\BbbC
b
\bigl(
\varphi \alpha (V \alpha \cap \widetilde K)
\bigr)
i всiх t \in I\alpha
виконується рiвнiсть (18), де \nu \alpha s = \nu \alpha
\bigm| \bigm|
\Phi \alpha
s (\varphi \alpha ( \widetilde K\cap V\alpha )) \circ \Phi
\alpha
s , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \nu \alpha s \subset \varphi \alpha
\bigl(
\Phi - s(K) \cap V\alpha
\bigr)
.
Розглянемо \tau = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ t\alpha | \alpha \in P\} . Введемо при s \in ( - \tau , \tau ) мiри \nu s = \nu \circ \Phi s на \scrA . Тодi для
кожної функцiї f \in Cb(M) i для кожного t \in ( - \tau , \tau ) з рiвностi (18) одержуємо\int
M
f d(\mu t - \mu ) =
\int
K
f d(\mu t - \mu ) =
\sum
j\in P
\int
K\cap Vj
hjf d(\mu t - \mu ) =
=
\sum
j\in P
\int
\varphi j(K\cap Vj)
(f \circ \varphi - 1
j ) \widetilde hj d(mj
t - mj) =
\sum
j\in P
t\int
0
\int
\varphi j( \widetilde K\cap Vj)
(f \circ \varphi - 1
j ) \widetilde hj d\nu js ds =
=
\sum
j\in P
t\int
0
\int
\Phi j
s
\bigl(
\varphi j( \widetilde K\cap Vj)
\bigr) (f \circ \varphi - 1
j \circ \Phi j
- s) (
\widetilde hj \circ \Phi j
- s) d\nu
j ds =
\Bigl[
\nu j = \nu
\bigm| \bigm|
U\alpha
\circ \varphi - 1
j
\Bigr]
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ДИФЕРЕНЦIЙОВНIСТЬ БОРЕЛIВСЬКИХ МIР УЗДОВЖ ВЕКТОРНИХ ПОЛIВ . . . 1363
=
\sum
j\in P
t\int
0
\int
\Phi s( \widetilde K\cap Vj)
(f \circ \Phi - s) (hj \circ \Phi - s) d\nu ds =
\sum
j\in P
t\int
0
\int
\widetilde K\cap Vj
f hj d\nu s ds =
= [\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}hj \subset Vj ] =
\sum
j\in P
t\int
0
\int
\widetilde K
f hj d\nu s ds =
t\int
0
\int
M
f d\nu s ds =
t\int
0
\int
M
f \circ \Phi - s d\nu ds.
Отримали рiвнiсть (4) для всiх f \in Cb(M) i всiх t \in ( - \tau , \tau ). Зрозумiло, що вона виконується
i для t, | t| \geq \tau . Щоб показати це, достатньо записати t у виглядi t = k
\tau
2
+ \delta , де k \in \BbbZ , | \delta | < 1,
\delta <
\tau
2
i одного знаку з t, i використати попереднiй результат для функцiй f \circ \Phi - p \tau
2
, 0 \leq p \leq | k| .
Отже, рiвнiсть (4) виконується для всiх f \in Cb(M) i всiх t \in \BbbR . Тодi за теоремою 2 мiра \mu
диференцiйовна за Скороходом уздовж X, а \nu — її слабка похiдна.
Таким чином, ми переконалися, що якщо мiра \mu зосереджена на компактi S i для неї вико-
нується умова (1), то вона диференцiйовна вздовж векторного поля X i її похiдна Скорохода
\nu є радонiвською мiрою, що зосереджена на компактi K = \Phi
\bigl(
Ib \times S
\bigr)
, де Ib = ( - b, b) при
деякому b, меншому за сталу. Оскiльки ми брали довiльне таке b, то можемо взяти його як зав-
годно малим, i внаслiдок єдиностi слабкої похiдної отримана мiра \nu буде тiєю ж самою. Отже,
похiдна Скорохода \nu насправдi зосереджена на компактi S, як i мiра \mu . Крiм того, якщо C —
така стала, що для кожного дiйсного t виконується нерiвнiсть \| \mu t - \mu \| \leq C | t| , то \| \nu \| \leq C.
Випадок 2. Мiра \mu є довiльною. Доведення цього випадку є майже повнiстю аналогiчним
наведеному у статтi [1]. Скрiзь у доведеннi вiдображення (s, x) \mapsto \rightarrow x + sh природно узагаль-
нюється вiдображенням x \mapsto \rightarrow \Phi (s, h).
Зауваження 4. З доведення другого випадку умови достатностi теореми 1 випливає також
те, що слабка похiдна мiри \mu є радонiвською мiрою.
Отже, має мiсце такий наслiдок.
Наслiдок 4. Якщо за умов теореми 1 радонiвська мiра \mu є слабко диференцiйовною
вздовж векторного поля X, то її слабка похiдна також є радонiвською мiрою.
Зауваження 5. У випадку, коли M є банаховим простором, простiр E збiгається з M i
в рiвномiрному атласi маємо лише одну карту (U,\varphi ) = (M, id), а тому розбиття одиницi не
потребується. Таким чином, для банахового простору теорема 1 виконується i без умови, що
M допускає розбиття одиницi.
Зауваження 6. Використовуючи лему 3, можна переформулювати теорему 1.
Автор висловлює подяку своєму науковому керiвнику професору Ю. В. Богданському за
постановку задач та цiннi поради i зауваження щодо написання даної роботи.
Лiтература
1. Богачев В. И. О дифференцируемости мер по Скороходу // Теория вероятностей и ее применения. – 1988. –
33, № 2. – С. 348 – 354.
2. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. – М.; Ижевск: Регул. и хаот. динамика,
2008. – 544 с.
3. Далецкий Ю. Л. Стохастическая дифференциальная геометрия // Успехи мат. наук. – 1983. – 38, № 3. –
С. 87 – 111.
4. Далецкий Ю. Л., Белопольская Я. И. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия. – Киев: Вища
шк., 1989. – 295 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1364 К. В. МОРАВЕЦЬКА
5. Smolyanov O. G., Weizsaecker H. Differentiable families of measures // J. Funct. Anal. – 1993. – 118. – P. 454 – 476.
6. Богданский Ю. В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса – Остроградского //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 10. – С. 1299 – 1313.
7. Gliklikh Yu. E. Global and stochastic analysis with applications to mathematical physics. – Springer, 2011. – 436 p.
8. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные
пространства. Сводка результатов. Словарь. – М.: Наука, 1975. – 408 с.
9. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. – М.: Мир, 1967. – 204 с.
10. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы : В 3 т. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – Т. 1. – 895 с.
11. Вахания Н. Н., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. –
М.: Наука, 1985. – 368 с.
12. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. – М.: Наука, 1975. – 231 с.
13. Богачев В. И. Основы теории меры : В 2 т. – М.; Ижевск: Регул. и хаот. динамика, 2003. – Т. 1. – 544 с. Т. 2. –
576 с.
14. Bogachev V. I. Measure theory: In 2 vol. – Springer, 2006. – Vol. 1. – 500 p.
Одержано 26.01.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1925 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:19Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ae/e81099605f6bbc6e9b7f3d7e010b8cae.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19252019-12-05T09:31:57Z Differentiability of Borel measures along vector fields on Banach manifolds with uniform structure Диференційовність борелівських мір уздовж векторних полів на банахових многовидах з рівномірною структурою Moravets’ka, K. V. Моравецкая, К. В. Моравецкая, К. В. We analyze the differentiability of Borel measures on Banach manifolds with uniform structure and prove a criterion of weak differentiability. Рассмотрена дифференцируемость борелевских мер на банаховых многообразиях с равномерной структурой и доказан критерий слабой дифференцируемости. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1925 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 10 (2016); 1348-1364 Український математичний журнал; Том 68 № 10 (2016); 1348-1364 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1925/907 Copyright (c) 2016 Moravets’ka K. V. |
| spellingShingle | Moravets’ka, K. V. Моравецкая, К. В. Моравецкая, К. В. Differentiability of Borel measures along vector fields on Banach manifolds with uniform structure |
| title | Differentiability of Borel measures along vector fields on Banach manifolds
with uniform structure |
| title_alt | Диференційовність борелівських мір уздовж векторних полів на банахових многовидах з рівномірною структурою |
| title_full | Differentiability of Borel measures along vector fields on Banach manifolds
with uniform structure |
| title_fullStr | Differentiability of Borel measures along vector fields on Banach manifolds
with uniform structure |
| title_full_unstemmed | Differentiability of Borel measures along vector fields on Banach manifolds
with uniform structure |
| title_short | Differentiability of Borel measures along vector fields on Banach manifolds
with uniform structure |
| title_sort | differentiability of borel measures along vector fields on banach manifolds
with uniform structure |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1925 |
| work_keys_str_mv | AT moravetskakv differentiabilityofborelmeasuresalongvectorfieldsonbanachmanifoldswithuniformstructure AT moraveckaâkv differentiabilityofborelmeasuresalongvectorfieldsonbanachmanifoldswithuniformstructure AT moraveckaâkv differentiabilityofborelmeasuresalongvectorfieldsonbanachmanifoldswithuniformstructure AT moravetskakv diferencíjovnístʹborelívsʹkihmíruzdovžvektornihpolívnabanahovihmnogovidahzrívnomírnoûstrukturoû AT moraveckaâkv diferencíjovnístʹborelívsʹkihmíruzdovžvektornihpolívnabanahovihmnogovidahzrívnomírnoûstrukturoû AT moraveckaâkv diferencíjovnístʹborelívsʹkihmíruzdovžvektornihpolívnabanahovihmnogovidahzrívnomírnoûstrukturoû |