Limit theorem for coiuntable systems of stochastic differential equations
We consider infinite systems of stochastic differential equations used to describe the motion of interacting particles in random media. It is assumed that mass of each particle tends to zero and the density of particles infinitely increases in a proper way. It is proved that the sequence of the corr...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1927 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507819565907968 |
|---|---|
| author | Pilipenko, A. Yu. Tantsiura, M. V. Пилипенко, А. Ю. Танцюра, М. В. |
| author_facet | Pilipenko, A. Yu. Tantsiura, M. V. Пилипенко, А. Ю. Танцюра, М. В. |
| author_sort | Pilipenko, A. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:57Z |
| description | We consider infinite systems of stochastic differential equations used to describe the motion of interacting particles in
random media. It is assumed that mass of each particle tends to zero and the density of particles infinitely increases in a
proper way. It is proved that the sequence of the corresponding measure-valued processes converges in distribution. We
also prove existence and uniqueness of a strong solution for the limit equation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
А. Ю. Пилипенко, М. В. Танцюра (Iн-т математики НАН України, Київ)
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ
СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
We consider infinite systems of stochastic differential equations used to describe the motion of interacting particles in
random media. It is assumed that mass of each particle tends to zero and the density of particles infinitely increases in a
proper way. It is proved that the sequence of the corresponding measure-valued processes converges in distribution. We
also prove existence and uniqueness of a strong solution for the limit equation.
Рассматриваются бесконечные системы стохастических дифференциальных уравнений, задающие движение взаи-
модействующих частиц в случайной среде. Доказана предельная теорема для последовательности решений в случае,
когда масса каждой частицы стремится к нулю, а плотность частиц неограниченно возрастает. Также доказана тео-
рема существования и единственности сильного решения для предельного уравнения.
1. Вступ. Нехай \{ \xi i, i \geq 1\} — послiдовнiсть незалежних, однаково розподiлених випадкових
величин. Розглянемо послiдовнiсть систем стохастичних диференцiальних рiвнянь
dXn
i (t) = a(Xn
i (t), \mu
n(t))dt+ dwi(t), t \in [0, T ],
Xn
i (0) = \xi i,
\mu n(t) = n - 1
n\sum
i=1
\delta Xn
i (t)
, t \in [0, T ].
(1.1)
Розв’язок системи (1.1) для фiксованого n будемо iнтерпретувати як рух системи взаємо-
дiючих частинок у випадковому середовищi. При цьому будемо вважати, що кожна частинка
має масу n - 1, випадкову величину Xn
i (t) будемо iнтерпретувати як положення i-ї частинки в
момент t, \mu n(t) — як розподiл мас системи в момент t.
Вiдомо [12, 14, 15], що якщо коефiцiєнти рiвняння (1.1) задовольняють природнi умови
гладкостi, то послiдовностi \{ Xn
i (\cdot )\} , \{ \mu n(\cdot )\} збiгаються за ймовiрнiстю (в певних функцiо-
нальних просторах), до того ж границi є єдиним розв’язком систем рiвнянь Маккiна – Власова
dXi(t) = a(Xi(t), \mu (t))dt+ dwi(t), t \in [0, T ],
Xi(0) = \xi i,
(1.2)
де \mu (t) — розподiл випадкової величини Xi(t).
Мiрозначний процес \mu (t) в деякому сенсi є розв’язком рiвняння
\partial t\mu (t) = - \partial x(a(\cdot , \mu (t))\mu (t)) +
1
2
\Delta \mu (t),
\mu 0 = m,
(1.3)
де m — розподiл випадкової величини \xi i.
Зауважимо, що початковий розподiл \mu n(0) збiгається з емпiричною мiрою n - 1
\sum n
i=1
\delta \xi i . Вi-
домо, що \mu n(0) \rightarrow m, n\rightarrow \infty , майже напевно в топологiї слабкої збiжностi. У випадку, коли m
— скiнченна, але не обов’язково ймовiрнiсна мiра, розв’язок рiвнянь (1.2), (1.3) також несклад-
но отримати як границю розв’язкiв системи (1.1), де \{ \xi i, i \geq 0\} — послiдовнiсть незалежних,
однаково розподiлених випадкових величин з розподiлом
m(du)
m(\BbbR )
, \mu n(0) = m(\BbbR )n - 1
\sum n
i=1
\delta \xi i ,
c\bigcirc А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА, 2016
1380 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1381
\mu n(t) = m(\BbbR )n - 1
\sum n
i=1
\delta Xn
i (t)
. Але для випадку, коли m(\BbbR ) = \infty , такий пiдхiд, звiсно, не
пiдходить. Природним узагальненням емпiричної мiри, яке можна поширити i на \sigma -скiнченнi
мiри, є випадкова мiра вигляду n - 1Nn m(du), де N = Nnm — пуассонiвська точкова мiра з мi-
рою Левi n m(du). Дiйсно, якщо m є скiнченною, то пуассонiвська мiра N майже напевно має
скiнченну кiлькiсть атомiв та умовний розподiл N за умови N(\BbbR ) = k збiгається з
\sum k
i=1
\delta \xi i ,
де \{ \xi i, i \geq 0\} — послiдовнiсть незалежних випадкових величин, що мають розподiл
m(du)
m(\BbbR )
.
Запишемо аналог рiвняння (1.1) за припущення, що початковий розподiл є нормованою
пуассонiвською точковою мiрою. Нехай m(du) — локально скiнченна мiра на \BbbR (з нескiнченною
масою), \mu n — пуассонiвська точкова мiра з мiрою Левi nm(du), \mu n =
\sum
i
\delta uni .
Розглянемо послiдовнiсть систем стохастичних диференцiальних рiвнянь
dXn
i (t) = a(Xn
i (t), \mu
n(t))dt+ dwi(t), t \in [0, T ], i \in \BbbZ ,
Xn
i (0) = uni ,
\mu n(t) = n - 1
\sum
i\in \BbbZ
\delta Xn
i (t)
, t \in [0, T ],
\mu n(0) = n - 1\mu n = n - 1
\sum
i
\delta uni .
(1.4)
Метою даної роботи є дослiдження граничної поведiнки послiдовностi розв’язкiв (1.4).
Опишемо коротку структуру статтi. В пунктi 2 ми наведено теорему iснування слабкого
розв’язку для (1.4) у випадку, коли коефiцiєнт переносу є неперервною та обмеженою функцiєю.
Зауважимо, що (1.4) є злiченною системою стохастичних диференцiальних рiвнянь i теореми
про iснування сильного розв’язку та теореми про iснування та єдинiсть слабкого розв’язку є
серйозними проблемами. У пунктi 3 встановлено передкомпактнiсть розподiлiв розв’язкiв (1.4).
У пунктi 4 охарактеризовано граничнi точки послiдовностi розв’язкiв рiвнянь (1.4). Спочатку
для граничного мiрозначного процесу \mu (t), t \geq 0, встановлюється певне диференцiальне рiв-
няння в частинних похiдних, а потiм доводиться, що процес \mu (t), t \geq 0, можна отримати iз
системи стохастичних диференцiальних рiвнянь
d\psi t(x) = a(\psi t(x), \mu (t))dt+ dw(t), x \in \BbbR , t \in [0, T ],
\mu (t) = \mathrm{E}m \circ \psi t(\cdot ) - 1,
\psi 0(x) = x, x \in \BbbR .
(1.5)
Тут m \circ \psi t(\cdot ) - 1 — образ (необмеженої) мiри m пiд дiєю випадкового вiдображення \psi t(\cdot ).
Зазначимо, що якби m була ймовiрнiсною мiрою, то \mathrm{E}m\circ \psi t(\cdot ) - 1 було б розподiлом випадкової
величини \psi t(\xi ), де \xi — незалежна вiд вiнерiвського процесу випадкова величина з розподiлом
m. Тобто в даному випадку останнє рiвняння спiвпало б з (1.2).
У пунктi 5 встановлено теорему iснування та єдиностi розв’язку рiвняння (1.5) у випадку,
коли коефiцiєнт переносу є достатньо гладким. Як наслiдок єдиностi границi (1.4), отримано
слабку збiжнiсть довiльних розв’язкiв \mu n(t) до процесу з (1.5) (див. пункт 6). Якщо ж розв’язки
(1.4) є сильними, то вдається отримати не лише збiжнiсть за ймовiрнiстю мiрозначних процесiв,
але i положення окремих частинок (строге формулювання див. в теоремi 6.3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1382 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА
2. Рiвняння руху нескiнченної системи взаємодiючих частинок. Позначимо через \frakM
множину локально скiнченних мiр на \BbbR , через Cc(\BbbR ) множину неперервних функцiй з компакт-
ним носiєм. Введемо на множинi \frakM топологiю \tau грубої збiжностi :
\nu n \rightarrow \nu , n\rightarrow \infty \leftrightarrow \forall f \in Cc(\BbbR ) :
\int
\BbbR
f(x)\nu n(dx) \rightarrow
\int
\BbbR
f(x)\nu (dx). (2.1)
Вiдомо, що для довiльної щiльної в Cc(\BbbR ) в топологiї рiвномiрної збiжностi послiдовностi
\{ fn, n \geq 1\} \subset C2
c (R) метрика
\rho (\nu 1, \nu 2) =
\sum
n\in \BbbN
1
2n
\left( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
fn(x)\nu 1(dx) -
\int
\BbbR
fn(x)\nu 2(dx)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \wedge 1
\right)
є метризацiєю топологiї \tau .
Зауваження 2.1. (\frakM , \rho ) є повним сепарабельним метричним простором (див. [10, c. 40]).
Розглянемо нескiнченну систему стохастичних диференцiальних рiвнянь
dXi(t) = a(Xi(t), \mu (t))dt+ dwi(t), t \in [0, T ], i \in \BbbZ ,
\mu (t) =
\sum
i\in \BbbZ
\delta Xi(t), t \in [0, T ],
\mu (0) = \mu , Xi(0) = ui, i \in \BbbZ ,
(2.2)
де мiра \mu =
\sum
i
\delta ui є пуассонiвською точковою мiрою з мiрою Левi m, вiнерiвськi процеси
\{ wi(\cdot ), i \in \BbbZ \} незалежнi в сукупностi i незалежнi вiд \mu .
У статтi [9] доведено таку теорему.
Теорема 2.1. Припустимо, що функцiя a обмежена та неперервна за сукупнiстю змiнних
i iснує така стала L > 0, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\rightarrow \infty
m([ - k, k])/kL <\infty . (2.3)
Тодi iснує слабкий розв’язок рiвняння (2.2).
3. Передкомпактнiсть послiдовностi розв’язкiв дограничних систем стохастичних ди-
ференцiальних рiвнянь. Нехай \{ wi(\cdot ), i \in \BbbZ \} — незалежнi вiнерiвськi процеси,
\bigl\{
uni , i \in
\in \BbbZ , n \in \BbbN
\bigr\}
— такi випадковi величини, що для довiльного натурального n мiра \mu n =
\sum
i\in \BbbZ
\delta uni
є пуассонiвською точковою мiрою з iнтенсивнiстю nm(dx), де m — деяка \sigma -скiнченна мiра.
Будемо припускати, що мiри \{ \mu n, n \geq 1\} незалежнi вiд вiнерiвських процесiв \{ wi(\cdot ), i \in \BbbZ \} .
Мета даного пункту — довести слабку передкомпактнiсть мiрозначних процесiв \{ \mu n(\cdot ),
n \geq 1\} , якi є деякими (слабкими) розв’язками нескiнченної системи стохастичних диференцi-
альних рiвнянь
dXn
i (t) = a(Xn
i (t), \mu
n(t))dt+ dwi(t), t \in [0, T ], i \in \BbbZ ,
\mu n(t) =
1
n
\sum
i\in \BbbZ
\delta Xn
i (t)
, t \in [0, T ],
Xn
i (0) = uni , \mu n(0) =
1
n
\mu n.
(3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1383
Далi будемо припускати, що m — така мiра на \BbbR , що
\exists Cm > 0 \forall [a, b] \subset \BbbR : m([a, b]) \leq Cm(b - a+ 1). (3.2)
Ми розглядаємо слабкi розв’язки (3.1) i не припускаємо, що розв’язок єдиний. Взагалi
кажучи, при рiзних n випадковi процеси \{ Xn
i (\cdot )\} n\geq 1 можуть бути заданi на рiзних iмовiрнiсних
просторах i вiнерiвськi процеси wi(\cdot ) залежать вiд номера серiї n.
Теорема 3.1. Припустимо, що функцiя a : \BbbR \times \frakM \rightarrow \BbbR є обмеженою та неперервною
за сукупнiстю змiнних. Тодi послiдовнiсть \{ \mu n(\cdot ), n \geq 1\} є слабко вiдносно компактною як
послiдовнiсть випадкових елементiв в C([0, T ],\frakM ).
Доведення. Достатньо перевiрити такi двi умови (див. [3], наслiдок 3.7.4):
1) для довiльного \varepsilon > 0 та t \in [0, T ] \cap \BbbQ iснує компакт \Gamma \varepsilon ,t \subset \frakM такий, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbN
\mathrm{P}(\mu n(t) \in \Gamma \varepsilon ,t) \geq 1 - \varepsilon ; (3.3)
2) для довiльного \varepsilon > 0 iснує \delta > 0 таке, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbN
\mathrm{P}(\omega \mu n(\cdot )(\delta ) \geq \varepsilon ) \leq \varepsilon . (3.4)
Легко бачити, що для довiльної послiдовностi \{ cn, n \in \BbbN \} множина
\{ \mu \in \frakM | \forall n \geq 1 \mu ([ - n, n]) \leq cn\}
є компактом в (\frakM , \rho ).
Позначимо
pw(t, x) = \mathrm{P}
\Biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [0,t]
w(s) \geq x
\Biggr)
= 2
\infty \int
x\vee 0
1\surd
2\pi t
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} ( - y2/2t) dy, x \in \BbbR , (3.5)
де w — стандартний вiнерiвський процес.
Для довiльного вiдрiзка [\alpha , \beta ] \subset \BbbR та числа x \in \BbbR будемо позначати через d([\alpha , \beta ], x)
евклiдову вiдстань вiд точки x до вiдрiзка [\alpha , \beta ].
Щоб перевiрити умову (3.3), нам потрiбна така лема.
Лема 3.1. Для довiльного вiдрiзка математичне сподiвання значень мiри \mu n(t) цього вiд-
рiзка є обмеженим рiвномiрно по n \in \BbbN та t \in [0, T ]. Бiльш того,
\forall [\alpha , \beta ] \subset \BbbR \forall t \in [0, T ] \forall n \geq 1 :
\mathrm{E}\mu n(t, [\alpha , \beta ]) \leq
\int
\BbbR
pw(T, d([\alpha - \| a\| \infty T, \beta + \| a\| \infty T ], x))m(dx). (3.6)
Доведення. Маємо \mu n(0) = n - 1\mu n, де \mu n є пуассонiвською точковою мiрою з мiрою Левi
nm(dx). Легко бачити, що для довiльних i, n та довiльного вiдрiзка [\alpha , \beta ] \subset \BbbR
\mathrm{P}
\bigl(
\exists t \in [0, T ] : Xn
i (t) \in [\alpha , \beta ]| \Im 0
\bigr)
\leq pw
\bigl(
T, d([\alpha - \| a\| \infty T, \beta + \| a\| \infty T ], Xn
i (0))
\bigr)
.
Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1384 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА
\mathrm{E}\mu n(t, [\alpha , \beta ]) =
1
n
\sum
i\in \BbbZ
\mathrm{E}
\Bigl(
\mathrm{P}(Xn
i (t) \in [\alpha , \beta ]| \Im 0)
\Bigr)
\leq
\leq \mathrm{E}
\sum
i\in \BbbZ
1
n
pw(T, d([\alpha - \| a\| \infty T, \beta + \| a\| \infty T ], Xn
i (0))) =
=
\int
\BbbR
pw(T, d([\alpha - \| a\| \infty T, \beta + \| a\| \infty T ], x))m(dx) < +\infty .
З (3.2) випливає, що права частина (3.6) є скiнченною.
Лему 3.1 доведено.
З леми 3.1 випливає, що для довiльного k \in \BbbN
\mathrm{E}\mu n(t, [ - k, k]) \leq
\int
\BbbR
pw
\bigl(
T, d([ - k - \| a\| \infty T, k + \| a\| \infty T ], x)
\bigr)
m(dx) =: Ck < +\infty . (3.7)
Позначимо M\varepsilon = \{ \nu \in \frakM | \forall k \geq 1 \nu ([ - k, k]) \leq 2kCk/\varepsilon \} . Для довiльного \varepsilon > 0 множина
M\varepsilon є компактом в \frakM . Тепер з (3.7) та нерiвностi Чебишова випливає, що
\mathrm{P}(\mu n(t) /\in M\varepsilon ) \leq
\sum
k\in \BbbN
\mathrm{P}(\mu n(t, [ - k, k]) \geq 2kCk/\varepsilon ) \leq
\sum
k\in \BbbN
\varepsilon
2k
= \varepsilon .
Отже, умову (3.3) виконано.
Для перевiрки умови (3.4) потрiбна така лема.
Лема 3.2. Нехай f \in C2
c (\BbbR ) — двiчi неперервно диференцiйовна функцiя з компактним
носiєм. Тодi послiдовнiсть розподiлiв \langle f, \mu n(\cdot )\rangle в C([0, T ]) є передкомпактною.
Доведення. Для довiльної мiри \lambda та функцiї f будемо позначати
\langle f, \lambda \rangle =
\int
\BbbR
f(x)\lambda (dx). (3.8)
Нехай 0 \leq t0 \leq t \leq T. З оцiнки леми 3.1 випливає допустимiсть застосування формули Iто до
\langle f, \mu (t)\rangle =
\sum
i
f(Xn
i (t)). Маємо
d(\langle f, \mu n(t)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )4 = d
\Biggl(
1
n
\sum
i\in \BbbZ
\bigl(
f(Xn
i (t)) - f(Xn
i (t0))
\bigr) \Biggr) 4
=
= 4(\langle f, \mu n(t)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )3
\Biggl(
1
n
\sum
i\in \BbbZ
f \prime (Xn
i (t))a(X
n
i (t), \mu
n(t)) +
1
2n
\sum
i\in \BbbZ
f \prime \prime (Xn
i (t))
\Biggr)
dt+
+6(\langle f, \mu n(t)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )2
1
n
\sum
i\in \BbbZ
f \prime (Xn
i (t))
2dt+
+4(\langle f, \mu n(t)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )3
1
n
\sum
i\in \BbbZ
f \prime (Xn
i (t))dwi(t). (3.9)
Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1385
\mathrm{E}(\langle f, \mu n(t)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )4 =
= \mathrm{E}
t\int
t0
4(\langle f, \mu n(s)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )3
\biggl\langle
f \prime (\cdot )a(\cdot , \mu n(s)) + 1
2
f \prime \prime (\cdot ), \mu n(s)
\biggr\rangle
ds+
+\mathrm{E}
t\int
t0
6(\langle f, \mu n(s)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )2
\Bigl\langle \bigl(
f \prime (\cdot )
\bigr) 2
, \mu n(s)
\Bigr\rangle
ds.
Застосувавши нерiвнiсть Гельдера, отримаємо
\mathrm{E}(\langle f, \mu n(t)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )4 \leq
t\int
t0
4
\bigl(
\mathrm{E}(\langle f, \mu n(s)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )4
\bigr) 3/4\times
\times
\Biggl(
\mathrm{E}
\biggl\langle
f \prime (\cdot )a(\cdot , \mu n(s)) + 1
2
f \prime \prime (\cdot ), \mu n(s)
\biggr\rangle 4\Biggr) 1/4
ds+
+ 6
t\int
t0
\bigl(
\mathrm{E}(\langle f, \mu n(s)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )4
\bigr) 1/2\biggl(
\mathrm{E}
\Bigl\langle \bigl(
f \prime (\cdot )
\bigr) 2
, \mu n(s)
\Bigr\rangle 2\biggr) 1/2
ds. (3.10)
З мiркувань, аналогiчних доведенню леми 3.1, та припущень щодо функцiї f випливає, що
всi доданки у правiй частинi (3.10) обмеженi рiвномiрно по n. Тому з (3.10) одержимо
\mathrm{E}(\langle f, \mu n(t)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )4 \leq C1| t - t0| , (3.11)
де C1 не залежить вiд t0, t, n.
Пiдставивши (3.11) у праву частину (3.10), отримаємо
\exists C2 \forall n \forall t0, t \in [0, T ] : \mathrm{E}(\langle f, \mu n(t)\rangle - \langle f, \mu n(t0)\rangle )4 \leq C2| t - t0| 3/2.
Отже, за достатньою умовою передкомпактностi Колмогорова послiдовнiсть розподiлiв \langle f, \mu n(\cdot )\rangle
є передкомпактною.
Лему 3.2 доведено.
Щоб завершити доведення теореми, перевiримо умову (3.4):
\rho (\mu n(t1), \mu
n(t2)) =
\sum
m\in \BbbN
1
2m
\Bigl( \bigm| \bigm| \langle fm, \mu n(t1)\rangle - \langle fm, \mu n(t2)\rangle
\bigm| \bigm| \wedge 1
\Bigr)
\leq
\leq
\sum
m\in \BbbN
1
2m
\bigl(
\omega \langle fm,\mu n(\cdot )\rangle (| t1 - t2| ) \wedge 1
\bigr)
.
Тепер умова (3.4) випливає з леми 3.2 i теореми 2.8.2 з [5].
Теорему 3.1 доведено.
4. Характеризацiя граничних точок послiдовностi розв’язкiв. У даному пунктi буде
доведено, що довiльна гранична точка \mu (\cdot ) послiдовностi \{ \mu n(\cdot ), n \geq 1\} задовольняє певне
рiвняння в частинних похiдних (теорема 4.1) та є в деякому сенсi розподiлом розв’язку певного
стохастичного диференцiального рiвняння (теорема 4.2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1386 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА
Позначимо через C2,1
c (\BbbR \times [0, T ]) множину функцiй f = f(x, t) : \BbbR \times [0, T ] \rightarrow \BbbR з компакт-
ним носiєм, що є неперервно диференцiйовними по t i двiчi неперервно диференцiйовними по
x. Далi для f \in C2,1
c (\BbbR \times [0, T ]) будемо позначати через \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f найменшу замкнену множину
M таку, що
\forall x /\in M \forall t \in [0, T ] : f(x, t) = 0.
За формулою Iто для f \in C2,1
c (\BbbR \times [0, T ]) маємо спiввiдношення
d\langle f(\cdot , t), \mu n(t)\rangle =
\biggl\langle
f \prime t(\cdot , t) + f \prime x(\cdot , t)a(\cdot , \mu n(t)) +
1
2
f \prime \prime xx(\cdot , t), \mu n(t)
\biggr\rangle
dt+
+
1
n
\sum
i\in \BbbZ
f \prime x(X
n
i (t), t)dwi(t). (4.1)
Лема 4.1. Нехай виконано припущення теореми 3.1. Тодi для довiльної f \in C2,1
c (\BbbR \times [0, T ])
\mathrm{E} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,T ]
\left( 1
n
\sum
i\in \BbbZ
t\int
0
f \prime x(X
n
i (s), s)dwi(s)
\right) 2 \rightarrow 0, n\rightarrow \infty .
Доведення. Оскiльки вiнерiвськi процеси \{ wi(\cdot ), i \in \BbbZ \} є незалежними, то
\mathrm{E}
\left( 1
n
\sum
i\in \BbbZ
t\int
0
f \prime x(X
n
i (s), s)dwi(s)
\right) 2 = \mathrm{E}
1
n2
\sum
i\in \BbbZ
t\int
0
\bigl(
f \prime x(X
n
i (s), s)
\bigr) 2
ds \leq
\leq \| f \prime \| 2\infty
n
1
n
\mathrm{E}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigl\{ i \in \BbbZ | \exists s \in [0, T ] : Xn
i (s) \in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f
\bigr\} \bigm| \bigm| \bigm| . (4.2)
Як i при доведеннi леми 3.1, можна перевiрити, що послiдовнiсть\biggl\{
1
n
\mathrm{E}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigl\{ i \in \BbbZ | \exists s \in [0, T ] : Xn
i (s) \in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f
\bigr\} \bigm| \bigm| \bigm| , n \geq 1
\biggr\}
є обмеженою. Тепер лема випливає з (4.2) та нерiвностi Колмогорова для мартингалiв.
Лему 4.1 доведено.
Нехай пiдпослiдовнiсть \{ nk, k \geq 1\} i мiрозначний процес \{ \mu (t), t \in [0, T ]\} такi, що \mu nk(\cdot )
слабко збiгається до \mu (\cdot ), як послiдовнiсть випадкових елементiв в C([0, T ],\frakM ). З теореми Ско-
рохода про спiльний iмовiрнiсний простiр випливає, що iснує ймовiрнiсний простiр i визначенi
на ньому випадковi елементи \{ \~\mu nk(t), \~wi
nk(t), k \geq 1, i \in \BbbZ , t \in [0, T ]\} i \{ \~\mu (t), t \in [0, T ]\} такi,
що для довiльного k \geq 1 випадковий елемент \{ \~\mu nk(t), \~wi
nk(t), i \in \BbbZ , t \in [0, T ]\} має такий же
розподiл, як \{ \mu nk(t), wi(t), i \in \BbbZ , t \in [0, T ]\} , i
\~\mu nk(\cdot )
P1\rightarrow \~\mu (\cdot ), k \rightarrow \infty , (4.3)
як випадковi елементи в C([0, T ],\frakM ), тобто
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,T ]
\rho
\bigl(
\~\mu nk(t), \~\mu (t)
\bigr) P1\rightarrow 0, k \rightarrow \infty .
Далi для спрощення позначень будемо писати n замiсть nk i wni замiсть \~wi
nk .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1387
Лема 4.2. Нехай виконано припущення теореми 3.1. Тодi для довiльного f \in C2,1
c (\BbbR \times [0, T ])
i довiльного t \in [0, T ]
t\int
0
\biggl\langle \biggl(
f \prime s(\cdot , s) + f \prime x(\cdot , s)a(\cdot , \~\mu n(s)) +
1
2
f \prime \prime xx(\cdot , s)
\biggr)
, \~\mu n(s)
\biggr\rangle
ds
P1\rightarrow
P1\rightarrow
t\int
0
\int
\BbbR
\biggl\langle \biggl(
f \prime s(\cdot , s) + f \prime x(\cdot , s)a(\cdot , \~\mu (s)) +
1
2
f \prime \prime xx(\cdot , s)
\biggr)
, \~\mu (s)
\biggr\rangle
ds, n\rightarrow \infty .
Доведення. Оцiнимо рiзницю\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
\int
\BbbR
\biggl\langle \biggl(
f \prime s(\cdot , s) + f \prime x(\cdot , s)a(\cdot , \~\mu n(s)) +
1
2
f \prime \prime xx(\cdot , s)
\biggr)
, \~\mu n(s)
\biggr\rangle
ds -
-
t\int
0
\int
\BbbR
\biggl\langle \biggl(
f \prime s(\cdot , s) + f \prime x(\cdot , s)a(\cdot , \~\mu (s)) +
1
2
f \prime \prime xx(\cdot , s)
\biggr)
, \~\mu (s)
\biggr\rangle
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
\bigl\langle \bigl(
f \prime x(\cdot , s)(a(\cdot , \~\mu n(s)) - a(\cdot , \~\mu (s)))
\bigr)
, \~\mu n(s)
\bigr\rangle
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
\biggl\langle \biggl(
f \prime s(\cdot , s) + f \prime x(\cdot , s)a(\cdot , \~\mu (s)) +
1
2
f \prime \prime xx(\cdot , s)
\biggr)
, \~\mu n(s) - \~\mu (s)
\biggr\rangle
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (4.4)
Оскiльки з iмовiрнiстю 1 має мiсце рiвномiрна збiжнiсть \~\mu n(\cdot )
[0,T ]
\rightrightarrows \~\mu (\cdot ), n \rightarrow \infty , то для
майже кожного \omega iснує компакт K(\omega ) \subset \frakM такий, що \{ \~\mu n(t, \omega ), \mu (t, \omega ) | t \in [0, T ], n \geq
\geq 1\} \subset K(\omega ). Оскiльки \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f \times K(\omega ) є компактом, то неперервна функцiя a є рiвномiрно
неперервною на \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f \times K(\omega ). Отже, перший доданок у правiй частинi (4.4) не перевищує
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in supp f
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [0,T ]
\bigm| \bigm| a(x, \~\mu n(s)) - a(x, \~\mu (s))
\bigm| \bigm| \| f \prime x\| \infty \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [0,T ]
\~\mu n(s, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f) \rightarrow 0, n\rightarrow \infty ,
бо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in supp f
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [0,T ]
\bigm| \bigm| a(x, \~\mu n(s)) - a(x, \~\mu (s))
\bigm| \bigm| \rightarrow 0, n\rightarrow \infty ,
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [0,T ]
\~\mu n(s, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [0,T ]
\~\mu (s, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f) <\infty . (4.5)
Оскiльки для довiльного фiксованого s \in [0, T ]
h(\cdot ) := f \prime x(\cdot , s)a(\cdot , \mu (s)) +
1
2
f \prime \prime xx(\cdot , s) + f \prime s(\cdot , s) \in Cc(\BbbR ),
то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1388 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА
\forall s \in [0, T ] : \langle h, \~\mu n(s)\rangle \rightarrow \langle h, \~\mu (s)\rangle , n\rightarrow \infty ,
до того ж
\bigm| \bigm| \langle h, \mu (s)\rangle \bigm| \bigm| \leq \biggl( \| f \prime s\| \infty + \| f \prime x\| \infty \| a\| \infty +
1
2
\| f \prime \prime xx\| \infty
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [0,T ]
\~\mu (s, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f).
З (4.5) випливає, що
\bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}s\in [0,T ] \~\mu
n(s, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f), n \geq 1
\bigr\}
є обмеженою послiдовнiстю. Тому,
застосувавши теорему Лебега про мажоровану збiжнiсть, отримаємо збiжнiсть iнтегралiв у
другому доданку з правої частини (4.4). Отже, права частина (4.4) прямує до 0 при n\rightarrow \infty .
Лему 4.2 доведено.
З (4.1), лем 4.1, 4.2 та того, що \mu n(0)
P\rightarrow m, n\rightarrow \infty , випливає таке твердження.
Теорема 4.1. Припустимо, що функцiя a обмежена та неперервна за сукупнiстю змiнних.
Нехай \mu (\cdot ) — довiльна слабка гранична точка послiдовностi \{ \mu n(\cdot ), n \geq 1\} , що розглядається
як послiдовнiсть випадкових елементiв простору C([0, T ],\frakM ). Тодi для довiльної f \in C2,1
c (\BbbR \times
\times [0, T ])
\langle \mu (t), f(\cdot , t)\rangle = \langle m, f(\cdot , 0)\rangle +
+
t\int
0
\biggl\langle \biggl(
f \prime s(\cdot , s) + f \prime x(\cdot , s)a(\cdot , \mu (s)) +
1
2
f \prime \prime xx(\cdot , s)
\biggr)
, \mu (s)
\biggr\rangle
ds, t \in [0, T ]. (4.6)
Зауваження 4.1. Рiвнiсть (4.6) виконується майже напевно також для випадкових елемен-
тiв f зi значеннями у просторi C2,1
c (\BbbR \times [0, T ]), де топологiю задано таким чином: gn \rightarrow g,
n\rightarrow \infty , в C2,1
c (\BbbR \times [0, T ]) тодi i тiльки тодi, коли iснує таке K > 0, що
\bigcup \infty
n=1 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} gn \subset [ - K,K]
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| gn - g\| \infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| (gn)\prime t - g\prime t\| \infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| (gn)\prime x - g\prime x\| \infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| (gn)\prime \prime xx - g\prime \prime xx\| \infty = 0.
Справдi, для довiльної невипадкової функцiї f iснує множина \Omega f мiри 1 така, що для довiльного
\omega \in \Omega f виконується рiвнiсть (4.6). Нехай \{ fn, n \geq 1\} — щiльна пiдмножина в C2,1
c (\BbbR \times [0, T ]).
Позначимо \Omega 1 =
\bigcap \infty
n=1\Omega fn . Тодi \Omega 1 є множиною мiри 1 i для довiльних \omega \in \Omega 1 i n \in \BbbN
рiвнiсть (4.6) виконується для функцiї fn. Нехай тепер f є випадковим елементом у просторi
C2,1
c (\BbbR \times [0, T ]). Тодi для довiльного фiксованого \omega \in \Omega 1 функцiя f(\cdot , \omega ) є границею деякої
пiдпослiдовностi функцiй \{ fnk
, k \geq 1\} , для яких (4.6) виконано. Перейшовши до границi
k \rightarrow \infty , отримаємо, що (4.6) виконано для \omega \in \Omega 1.
Нашою подальшою метою є встановлення зв’язку (4.6) iз певним стохастичним диференцi-
альним рiвнянням.
Нехай \varphi st(x), s \leq t, x \in \BbbR , — розв’язок рiвняння
d\varphi st(x) = a(\varphi st(x), \mu (t))dt+ dw(t), t \in [s, T ],
\varphi ss(x) = x,
(4.7)
де w(\cdot ) — незалежний вiд \mu (\cdot ) вiнерiвський процес. Тут \mu (\cdot ) взято з теореми 4.1.
Позначимо A(x, t) = a(x, \mu (t)), \mathrm{E}w — математичне сподiвання за вiнерiвською мiрою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1389
Лема 4.3. Припустимо, що функцiя a неперервна за сукупнiстю змiнних i для майже всiх
\omega функцiя A = A(x, t) є диференцiйовною по x, причому функцiя A\prime
x(x, t) обмежена. Якщо
g \in C2
c (\BbbR ), то для довiльного фiксованого S \in [0, T ] функцiя f вигляду
f(x, t) = \mathrm{E}w g(\varphi tS(x)), t \in [0, S], (4.8)
задовольняє спiввiдношення
\forall t \in [0, S] : \langle \mu (t), f(\cdot , t)\rangle = \langle m, f(\cdot , 0)\rangle .
Зауваження 4.2. Далi буде доведено, що мiри \mu (t), t \in [0, T ], є невипадковими.
Зауваження 4.3. З теореми 1.7.12 [11] маємо, що iснує розв’язок рiвняння
f \prime t(x, t) + f \prime x(x, t)A(x, t) +
1
2
f \prime \prime xx(x, t) = 0, t \in [s, S), x \in \BbbR ,
f(x, S) = g(x), x \in \BbbR ,
(4.9)
i з оберненого рiвняння Колмогорова випливає, що розв’язок (4.9) задовольняє рiвнiсть (4.8).
Однак функцiя f, що визначена в (4.8), не задовольняє умови теореми 4.1, оскiльки не має
компактного носiя. Для доведення леми достатньо показати, що (4.6) виконується також для
функцiї f з (4.8).
Зауваження 4.4. Для виконання припущень щодо функцiї A достатньо, щоб функцiя a
була неперервно диференцiйовною по x, неперервною за сукупнiстю змiнних i
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\mu \in \frakM
| a\prime x(x, \mu )| < +\infty .
Доведення леми 4.3. Перевiримо збiжнiсть iнтеграла майже напевно\Bigl\langle
| f(\cdot , t)| , \mu (t)
\Bigr\rangle
=
\int
\BbbR
| f(x, t)| \mu (t, dx) < +\infty (4.10)
для функцiї f з (4.8). Оцiнимо
| f(x, t)| \leq \mathrm{E}w | g(\varphi tS(x))| \leq \| g\| \infty \mathrm{P}(\varphi tS(x) \in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} g). (4.11)
Нехай \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} g \subset [ - R,R]. З (4.11) та нерiвностi Чебишова для довiльного | x| \geq R та p \geq 1
отримаємо
| f(x, t)| \leq \| g\| \infty \mathrm{P}(| \varphi tS(x) - x| \geq | x| - R) \leq \| g\| \infty
\mathrm{E}w(R+ 1 + | \varphi tS(x) - x| )p
(1 + | x| )p
. (4.12)
Оскiльки | \varphi tS(x) - x| \leq | w(S) - w(t)| + \| a\| \infty | S - t| , то
| f(x, t)| \leq \| g\| \infty
\mathrm{E}w
\bigl(
R+ 1 + | w(S) - w(t)| + \| a\| \infty | S - t|
\bigr) p
(1 + | x| )p
= \| g\| \infty
K(S, p, \| g\| \infty )
(1 + | x| )p
, (4.13)
де функцiя K залежить лише вiд S, p, \| g\| \infty . Оскiльки
\mathrm{E}
\int
\BbbR
| f(x, t)| \mu (t, dx) =
\int
\BbbR
| f(x, t)| (\mathrm{E}\mu (t, dx)), (4.14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1390 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА
то з (3.2), (3.6) i (4.13) випливає, що iнтеграл в (4.14) скiнченний. Тепер за теоремою Фубiнi
iнтеграл в (4.10) є скiнченним майже напевно.
Нехай q(\cdot ) \in C2(\BbbR , [0, 1]) — парна функцiя з носiєм в [ - 1, 1] така, що q(0) = 1.
Визначимо послiдовнiсть функцiй \{ hn, n \geq 1\} :
hn(x) = 1\mathrm{I}| x| \leq n + q(x - n)1\mathrm{I}x>n + q(x+ n)1\mathrm{I}x< - n (4.15)
i послiдовнiсть \{ fn, n \geq 1\} :
fn(x, t) = hn(x)f(x, t). (4.16)
Для довiльного натурального n функцiя fn належить C2,1
c (\BbbR \times [0, T ]), тому (4.6) виконано
для fn. Очевидно, функцiї fn збiгаються поточково до f, тому для доведення леми достатньо
обґрунтувати граничний перехiд в (4.6).
З (4.10) та теореми Лебега про мажоровану збiжнiсть випливає, що
\langle fn(\cdot , t), \mu (t)\rangle
P1\rightarrow \langle f(\cdot , t), \mu (t)\rangle , n\rightarrow \infty ,
для довiльного t \in [0, S].
Використавши (4.9), перетворимо пiдiнтегральний вираз у правiй частинi (4.6):
\partial fn(x, s)
\partial s
+
\partial fn(x, s)
\partial x
A(x, s) +
1
2
\partial 2fn(x, s)
\partial x2
=
= hn(x)f
\prime
s(x, s) + (hn(x)f
\prime
x(x, s) + h\prime n(x)f(x, s))A(x, s) +
1
2
(hn(x)f
\prime \prime
xx(x, s)+
+2h\prime n(x)f
\prime
x(x, s) + h\prime \prime xx(x)f(x, s)) =
= h\prime n(x)f(x, s)A(x, s) + h\prime n(x)f
\prime
x(x, s) +
1
2
h\prime \prime n(x)f(x, s).
Оскiльки функцiя A(x, t) неперервно диференцiйовна по x, то функцiя \varphi tT (x) неперервно
диференцiйовна по x в середньоквадратичному сенсi (див. [8], теорема 2.8.1), до того ж похiдна
\partial \varphi tS(x)
\partial x
задовольняє рiвняння
\partial \varphi tS(x)
\partial x
= 1 +
S\int
t
A\prime
x(\varphi tu(x), u)
\partial \varphi tu(x)
\partial x
du.
Тепер з леми Гронуолла – Беллмана випливає, що\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi tS(x)\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq e\| A
\prime
x\| \infty (S - t) \leq e\| A
\prime
x\| \infty S .
Звiдси
| f \prime x(x, s)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ddx \mathrm{E}w g(\varphi sS(x))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{E}w\biggl( g\prime (\varphi sS(x))\partial \varphi sS(x)\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{E}w| g\prime (\varphi sS(x))| e\| A
\prime
x\| \infty S . (4.17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1391
Як i при доведеннi (4.13), можна перевiрити, що
\forall p \geq 1 : \mathrm{E}w| g\prime (\varphi sS(x))| \leq \| g\prime \| \infty
K(S, p, \| g\| \infty )
(1 + | x| )p
. (4.18)
Тому з (4.12), (4.14), (4.17), (4.18) випливає, що для довiльного p \geq 1\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
\int
| x| \in (n,n+1)
\biggl(
h\prime n(x)f(x, s)A(x, s) + h\prime n(x)f
\prime
x(x, s) +
1
2
h\prime \prime n(x)f(x, s)
\biggr)
\mu (s, dx)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \| q\prime \| \infty
t\int
0
\int
| x| \in (n,n+1)
\biggl(
\| A\prime
x\| \infty | f(x, s)| + e\| A
\prime
x\| \infty S\| g\prime \| \infty
K(S, p, \| g\| \infty )
(1 + | x| )p
\biggr)
\mu (s, dx) ds+
+
1
2
\| q\prime \prime \| \infty
t\int
0
\int
| x| \in (n,n+1)
| f(x, s)| \mu (s, dx) ds. (4.19)
Аналогiчно доведенню (4.10) можна перевiрити, що для p \geq 2
\mathrm{E}
t\int
0
\int
\BbbR
1
(1 + | x| )p
\mu (s, dx) < +\infty . (4.20)
З (4.10), (4.20) та теореми Лебега про мажоровану збiжнiсть випливає, що права частина (4.19)
прямує до 0 майже напевно при n \rightarrow \infty . Оскiльки fn(x, s) = f(x, s) для | x| \leq n, то з (4.9)
випливає, що \int
| x| /\in (n,n+1)
\biggl(
\partial fn(x, s)
\partial s
+
\partial fn(x, s)
\partial x
A(x, s) +
1
2
\partial 2fn(x, s)
\partial x2
\biggr)
\mu (s, dx) = 0.
Отже,
t\int
0
\biggl\langle \biggl(
\partial fn(\cdot , s)
\partial s
+
\partial fn(\cdot , s)
\partial x
A(\cdot , s) + 1
2
\partial 2fn(\cdot , s)
\partial x2
\biggr)
, \mu (s)
\biggr\rangle
ds
P1\rightarrow
P1\rightarrow
t\int
0
\biggl\langle \biggl(
f \prime s(\cdot , s) + f \prime x(\cdot , s)A(\cdot , s) +
1
2
f \prime \prime xx(\cdot , s)
\biggr)
, \mu (s)
\biggr\rangle
ds, n\rightarrow \infty .
Перейшовши до границi в рiвняннi (4.6), для функцiї fn отримаємо, що (4.6) виконано i для
функцiї f.
Лему 4.3 доведено.
Позначимо через \lambda \circ f - 1 образ мiри \lambda при вiдображеннi f.
Теорема 4.2. Нехай \mu (\cdot ) — довiльна слабка гранична точка послiдовностi \{ \mu n(\cdot ), n \geq 1\} ,
що розглядається як послiдовнiсть випадкових елементiв простору C([0, T ],\frakM ). Припустимо,
що виконуються умови теореми 4.1 та леми 4.3. Позначимо \varphi t(x) = \varphi 0t(x), де \varphi 0t(x) —
розв’язок рiвняння (4.7). Тодi
\forall t \in [0, T ] : \mu (t) = \mathrm{E}w
\bigl(
m \circ \varphi t(\cdot ) - 1
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1392 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА
Зауваження 4.5. Функцiя \varphi t(x) вимiрна по (t, x, \omega ).
Доведення теореми 4.2. Зафiксуємо довiльне S \in [0, T ]. З леми 4.3 випливає, що для
довiльного g \in C2
c (\BbbR ) для f(x, t) := \mathrm{E}w g(\varphi tS(x)), t \in [0, S], має мiсце спiввiдношення
\langle \mu (S), g\rangle = \langle \mu (S), f(\cdot , S)\rangle = \langle \mu (0), f(\cdot , 0)\rangle = \langle m, f(\cdot , 0)\rangle = \langle m,\mathrm{E}w g(\varphi S(x))\rangle =
= \mathrm{E}w
\int
\BbbR
g(\varphi S(x))m(dx) = \mathrm{E}w
\int
\BbbR
g(y)
\bigl(
m \circ \varphi S(\cdot ) - 1
\bigr)
(dy) = \langle \mathrm{E}wm \circ \varphi S(\cdot ) - 1, g(\cdot )\rangle .
Отже,
\forall g \in C2
c (\BbbR ) : \langle \mu (S), g(\cdot )\rangle =
\bigl\langle
\mathrm{E}wm \circ \varphi S(\cdot ) - 1, g(\cdot )
\bigr\rangle
.
Звiдси \mu (S) = \mathrm{E}w(m \circ \varphi S(\cdot ) - 1).
Теорему 4.2 доведено.
5. Iснування та єдинiсть сильного розв’язку граничного рiвняння. Розглянемо систему
рiвнянь
d\psi t(x) = a(\psi t(x), \nu (t))dt+ dw(t), x \in \BbbR , t \in [0, T ],
\nu (t) = \mathrm{E}m \circ \psi t(\cdot ) - 1,
\psi 0(x) = x, x \in \BbbR .
(5.1)
У даному пунктi буде доведено теорему iснування слабкого розв’язку рiвняння (5.1) та
теорему iснування та єдиностi сильного розв’язку рiвняння (5.1).
Позначимо
\frakM C = \{ m \in \frakM : \forall [a, b] \subset \BbbR : m([a, b]) \leq C(b - a+ 1)\} , \frakM \infty =
\bigcup
C>0
\frakM C .
Введемо клас функцiй
F =
\bigl\{
f \in C1(\BbbR ) | \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f \subset [ - 1, 1], \| f\| \infty \leq 1, \| f \prime \| \infty \leq 1
\bigr\}
. (5.2)
Введемо метрику на \frakM \infty :
\rho \infty (\mu , \nu ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\in \BbbR
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
f(x+ r)(\mu (dx) - \nu (dx))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Теорема 5.1. Припустимо, що:
1) функцiя a : \BbbR \times \frakM \rightarrow \BbbR є обмеженою та неперервною за сукупнiстю змiнних;
2) \forall C > 0 \exists LC > 0 \forall \mu \in \frakM C \forall x1, x2 \in \BbbR : | a(x1, \mu ) - a(x2, \mu )| \leq LC | x1 - x2| ;
3) m \in \frakM \infty .
Тодi iснує слабкий розв’язок рiвняння (5.1).
Теорема 5.2. Припустимо, що:
1) функцiя a : \BbbR \times \frakM \rightarrow \BbbR є обмеженою та неперервною за сукупнiстю змiнних;
2) \forall C > 0 \exists LC > 0 \forall \mu \in \frakM C \forall x1, x2 \in \BbbR :
| a(x1, \mu ) - a(x2, \mu )| \leq LC | x1 - x2| ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1393
3) \exists K > 0 \forall x \in \BbbR \forall \mu , \nu \in \frakM \infty :
| a(x, \mu ) - a(x, \nu )| \leq K\rho \infty (\mu , \nu );
4) m \in \frakM \infty .
Тодi iснує єдиний сильний розв’язок (5.1).
Зауваження 5.1. Всi мiркування даного пункту мають мiсце i для рiвняння
d \~\psi t(x) = a( \~\psi t(x), \~\nu (t))dt+ dw(t), x \in \BbbR , t \in [0, T ],
\~\nu (t) = \mathrm{E}wm \circ \~\psi t(\cdot ) - 1,
\~\psi 0(x) = x, x \in \BbbR .
(5.3)
Отже, за припущень теореми 5.2 iснує єдиний сильний розв’язок рiвнянь (5.1) та (5.3). Процес
\{ \psi t(x), x \in \BbbR , t \in [0, T ]\} з рiвняння (5.1) є вимiрним вiдносно вiнерiвської фiльтрацiї, отже,
пара \{ (\psi t(x), \nu (t)), x \in \BbbR , t \in [0, T ]\} також задовольняє рiвняння (5.3). З єдиностi розв’язкiв
випливає, що вони збiгаються, а з теорем 4.2 та 5.2 маємо, що довiльна слабка гранична точка
послiдовностi \{ \mu n(\cdot ), n \geq 1\} є невипадковою i єдиним чином визначається з рiвняння (5.1).
Для доведення теорем потрiбно кiлька допомiжних лем, якi дають апрiорнi оцiнки власти-
востей розв’язку (5.1). Позначимо
M(t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\leq t
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
| \psi s(x) - x| .
Легко бачити, що якщо X(u, t) — розв’язок рiвняння (5.1), то
M(t) \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\leq t
| w(s)| + t\| a\| \infty . (5.4)
Наступна лема дає апрiорнi оцiнки на мiри \{ \nu (t), t \in [0, T ]\} i дозволяє застосовувати
припущення 2 теорем 5.1 та 5.2 з наперед вiдомою сталою C.
Лема 5.1. Якщо \{ \psi t(x), \nu (t), x \in \BbbR , t \in [0, T ]\} — розв’язок рiвняння (5.1), то iснує стала
N = N(\| a\| \infty , T, Cm), яка залежить лише вiд \| a\| \infty , T, Cm, така, що
\nu (t) \in \frakM N \forall t \in [0, T ]. (5.5)
Доведення. З (5.1) випливає, що для довiльного вiдрiзка [\alpha , \beta ]
\nu (t, [\alpha , \beta ]) =
\int
\BbbR
\mathrm{P}(\psi t(x) \in [\alpha , \beta ]))m(dx).
З (5.1) випливає, що для u /\in [\alpha - \| a\| \infty T, \beta + \| a\| \infty T ]
\mathrm{P}(\psi t(x) \in [\alpha , \beta ]) \leq pw
\bigl(
T, d(x, [\alpha , \beta ]) - \| a\| \infty T
\bigr)
.
Звiдси маємо
\nu (t, [\alpha , \beta ]) \leq m([\alpha - \| a\| \infty T - 1, \beta + \| a\| \infty T + 1])+
+
\sum
n\geq 2
pw(T, n - 1)m([\beta + \| a\| \infty T + n - 1, \beta + \| a\| \infty T + n])+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1394 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА
+
\sum
n\geq 2
pw(T, n - 1)m([\alpha - \| a\| \infty T - n, \alpha - \| a\| \infty T - n+ 1]) \leq
\leq Cm(\beta - \alpha + 2\| a\| \infty T + 2) + 4
\sum
n\geq 2
pw(T, n - 1). (5.6)
Отже, \nu (t, [\alpha , \beta ]) \leq N(\beta - \alpha + 1), де N = N(\| a\| \infty , T, Cm) = Cm(\beta - \alpha + 2\| a\| \infty T + 2) +
+ 4
\sum
n\geq 2
pw(T, n - 1).
Лему 5.1 доведено.
Наступна лема мiстить апрiорну оцiнку на коефiцiєнт лiпшицевостi по x функцiї \psi t(x).
Лема 5.2. Iснує стала D = D(\| a\| \infty , T, Cm, L), яка залежить лише вiд \| a\| \infty , T, Cm,
L, така, що довiльний розв’язок \{ \psi t(x), \nu (t), x \in \BbbR , t \in [0, T ]\} рiвняння (5.1) задовольняє
спiввiдношення
\forall t \in [0, T ] \forall x1, x2 \in \BbbR : | \psi t(x1) - \psi t(x2)| \leq D| u1 - u2| . (5.7)
Доведення. Оскiльки \psi t(x) — розв’язок рiвняння (5.1), то
| \psi t(x1) - \psi t(x2)| \leq | x1 - x2| +
t\int
0
\bigm| \bigm| a(\psi s(x1), \nu (s)) - a(\psi s(x2), \nu (s))
\bigm| \bigm| ds \leq
\leq | x1 - x2| + LN
t\int
0
| \psi s(x1) - \psi s(x2)| ds.
Отже, за лемою Гронуолла – Беллмана
| \psi t(x1) - \psi t(x2)| \leq | x1 - x2| eLN t \leq | x1 - x2| eLNT .
Лему 5.2 доведено.
Наступна лема мiстить послiдовнiсть випадкових процесiв, що повиннi збiгатися до розв’яз-
ку рiвняння (5.1), i встановлює передкомпактнiсть послiдовностi розподiлiв цих процесiв.
Лема 5.3. Нехай \{ \psi nt (x), \nu n(t), wn(t), t \in [0, T ], x \in \BbbR \} — розв’язки рiвнянь
d\psi nt (x) = a(\psi nt (x), \nu
n(t))dt+ dwn(t), u \in \BbbR , t \in [0, T ],
\nu n(t) = \mathrm{E}mn \circ \psi nt (\cdot ) - 1,
\psi n0 (x) = u, u \in \BbbR ,
(5.8)
де mn(dx) = 1\mathrm{I}[ - n,n](x)m(dx). Позначимо через \lambda nm розподiл звуження \psi nt (x) на [0, T ] \times
\times [ - m,m], що розглядається як випадковий елемент в C([0, T ]\times [ - m,m]). Тодi для довiльного
m \in \BbbN множина ймовiрнiсних мiр \{ \lambda nm, n \geq 1\} є щiльною в C([0, T ]\times [ - m,m]).
Зауваження 5.2. Для доведення iснування слабкого розв’язку можна побудувати послiдов-
нiсть наближень до розв’язку методом Пiкара, довести їх слабку передкомпактнiсть та перевi-
рити, що довiльна гранична точка задовольняє рiвняння (5.8). В лемi 5.3 ми не припускаємо
єдиностi розв’язку рiвняння (5.8).
Зауваження 5.3. Не обмежуючи загальностi можна вважати, що для рiвняння (5.8) сталi
D та N з лем 5.1 та 5.2 такi ж, як i для рiвняння (5.1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1395
Доведення леми 5.3. Для доведення передкомпактностi \{ \lambda nm, n \geq 1\} достатньо перевiрити
двi умови (див. [5], теорема 8.2):
1) \forall \varepsilon > 0 \exists R > 0 \forall n \geq 1 : \mathrm{P}(| \psi n(0, 0)| \geq R) \leq \varepsilon ,
2) \forall \varepsilon > 0 \exists \delta \in (0, 1) \exists n0 \forall n \geq n0 : \mathrm{P}(\omega \psi n
\cdot (\cdot )(\delta ) \geq \varepsilon ) \leq \varepsilon , де
\omega \psi n
\cdot (\cdot )(\delta ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| x1 - x2| \leq \delta
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
| t1 - t2| \leq \delta
| \psi n(x1, t1) - \psi n(x2, t2)|
— модуль неперервностi. З (5.1) маємо \psi 0(0) = 0, отже, умову 1 виконано. З леми 5.2 випливає,
що
| \psi nt1(x1) - \psi nt2(x2)| \leq | \psi nt1(x1) - \psi nt1(x2)| + | \psi nt1(x2) - \psi nt2(x2)| \leq
\leq D| u1 - u2| + | wn(t1) - wn(t2)| + \| a\| \infty | t1 - t2| . (5.9)
Отже, умову 2 виконано.
Лему 5.3 доведено.
Доведення теореми 5.1. З леми 5.3 випливає, що iснує пiдпослiдовнiсть \{ \psi n1(k)
t (x), t \in
\in [0, T ], x \in [ - 1, 1]\} k\geq 1, яка є слабко збiжною в C([0, T ]\times [ - 1, 1]). Аналогiчно, iснує пiдпослi-
довнiсть \{ \psi n2(k)
t (x), t \in [0, T ], x \in [ - 2, 2]\} k\geq 1, яка є слабко збiжною в C([0, T ]\times [ - 2, 2]), i т. д.
Дiагональним методом виберемо пiдпослiдовнiсть \{ \psi n(k)t (x), t \in [0, T ], x \in \BbbR \} k\geq 1, яка є слаб-
ко збiжною в C([0, T ] \times [ - i, i]) для довiльного i \geq 1, тобто \{ \psi n(k)t (x), t \in [0, T ], x \in \BbbR \} k\geq 1
є збiжною в топологiї рiвномiрної збiжностi на компактних множинах. За теоремою Скоро-
хода про спiльний iмовiрнiсний простiр iснують iмовiрнiсний простiр i випадковi елементи
\{ (wn(k)(t), \psi n(k)t (x)), t \in [0, T ], x \in \BbbR \} k\geq 1 на ньому такi, що ця пара випадкових елементiв
збiгається майже напевно до \{ (w(t), \psi t(x)), t \in [0, T ], x \in \BbbR \} . Оскiльки
\forall k \geq 1 : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\leq t
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
| \psi n(k)t (x) - x| \leq \| a\| \infty t+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\leq t
| wn(k)(s)| ,
то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\leq t
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in \BbbR
| \psi s(x) - x| \leq \| a\| \infty t+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\leq t
| w(s)| .
Звiдси, як i при доведеннi леми 5.1, для довiльного t \in [0, T ] мiра
\nu (t) = \mathrm{E}(m \circ \psi t(\cdot ) - 1) \in \frakM N .
Доведемо, що
\forall t \in [0, T ] : \nu n(k)(t) \rightarrow \nu (t), k \rightarrow \infty ,
у просторi (\frakM , \rho ). Для цього достатньо перевiрити, що
\forall f \in Cc(\BbbR ) :
\int
\BbbR
f(x)\nu n(k)(t, dx) \rightarrow
\int
\BbbR
f(x)\nu (t, dx), k \rightarrow \infty .
Оцiнимо рiзницю \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
f(x)\nu n(k)(t, dx) -
\int
\BbbR
f(x)\nu (t, dx)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1396 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА
= \mathrm{E}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
f(\psi
n(k)
t (x))mn(k)(dx) -
\int
\BbbR
f(\psi t(x))m(dx)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= \mathrm{E}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
f(\psi
n(k)
t (x))1\mathrm{I}| x| <n(k)m(dx) -
\int
\BbbR
f(\psi t(x))m(dx)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \mathrm{E}
\int
\BbbR
\bigm| \bigm| f(\psi n(k)t (x))1\mathrm{I}| x| <n(k) - f(\psi t(x))
\bigm| \bigm| m(dx). (5.10)
Нехай \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f \subset [ - R,R]. Тодi якщо | x| \geq R + \| a\| \infty T + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}s\in [0,T ] | w(s)| + 1, то iснує k0
(взагалi кажучи, випадкове) таке, що для довiльного k \geq k0 маємо \psi
n(k)
t (x) /\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f, отже,
f(\psi
n(k)
t (x)) = 0 i, аналогiчно, f(\psi t(x)) = 0. Звiдси для k \geq k0\bigm| \bigm| f(\psi n(k)t (x))1\mathrm{I}| x| <n(k) - f(\psi t(x))
\bigm| \bigm| \leq 2\| f\| \infty 1\mathrm{I}| x| \leq R+\| a\| \infty T+sups\in [0,T ] | w(s)| +1.
Отже, функцiя
P (x) = 2\| f\| \infty 1\mathrm{I}| x| \leq R+\| a\| \infty T+sups\in [0,T ] | w(s)| +1
є iнтегровною мажорантою i за теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть
\xi k :=
\int
\BbbR
\bigm| \bigm| f(\psi n(k)t (x))1\mathrm{I}| x| <n(k) - f(\psi t(x))
\bigm| \bigm| m(dx)
P1\rightarrow 0, k \rightarrow \infty . (5.11)
Оскiльки для всiх k та майже всiх \omega
\xi k \leq
\int
\BbbR
2\| f\| \infty 1\mathrm{I}| x| \leq R+\| a\| \infty T+sups\in [0,T ] | w(s)| +sups\in [0,T ] | wn(k)(s)| m(dx),
то \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}k\geq 1 \mathrm{E} \xi
2
k <\infty . Отже, послiдовнiсть \{ \xi k, k \geq 1\} є рiвномiрно iнтегровною i
\mathrm{E}
\int
\BbbR
\bigm| \bigm| f(\psi n(k)t (x))1\mathrm{I}| x| <n(k) - f(\psi t(x))
\bigm| \bigm| m(dx) = \mathrm{E} \xi k \rightarrow 0, k \rightarrow \infty .
Отже, права частина (5.10) прямує до 0 при k \rightarrow \infty , тобто \nu n(k)(t) \rightarrow \nu (t), k \rightarrow \infty . Тепер за
теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть
t\int
0
a(\psi
n(k)
t (x), \nu n(k)(s))ds\rightarrow
t\int
0
a(\psi t(x), \nu (s))ds, k \rightarrow \infty .
Тому, перейшовши до границi k \rightarrow \infty в рiвняннi (5.8), отримаємо, що \{ \psi t(x), \nu (t), x \in \BbbR , t \in
\in [0, T ]\} є слабким розв’язком рiвняння (5.1).
Теорему 5.1 доведено.
Доведення теореми 5.2. Оскiльки iснування слабкого розв’язку вже доведено, то достатньо
довести потраєкторну єдинiсть розв’язку. Тодi iснування та єдинiсть сильного розв’язку будуть
випливати з теореми Ямада – Ватанабе.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1397
Нехай \{ \varphi t(x), \mu (t), x \in \BbbR , t \in [0, T ]\} та \{ \psi t(x), \nu (t), x \in \BbbR , t \in [0, T ]\} — два розв’язки
рiвнянь (5.1). Вiднявши вiдповiднi рiвняння (5.1) та скориставшись лемою 5.1, отримаємо
| \varphi t(x) - \psi t(x)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
\bigl(
a(\varphi s(x), \mu (s)) - a(\psi s(x), \nu (s))
\bigr)
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq LN
t\int
0
| \varphi s(x) - \psi s(x)| ds+K
t\int
0
\rho \infty (\mu (s), \nu (s))ds, (5.12)
де N — стала з леми 5.1. Оцiнимо \rho \infty (\mu (s), \nu (s)):
\rho \infty (\mu (s), \nu (s)) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\in \BbbR
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
f(x+ r)(\mu (s, dx) - \nu (s, dx))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\in \BbbR
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\mathrm{E}
\int
\BbbR
| f(\varphi s(x) + r) - f(\psi s(x) + r)| m(du).
З теореми Лагранжа маємо оцiнку
| f(\varphi s(x) + r) - f(\psi s(x) + r)| \leq \| f \prime \| \infty | \varphi s(x) - \psi s(x)| .
З того, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} f \subset [ - 1, 1], та з (5.4) випливає, що
| f(\varphi s(x) + r) - f(\psi s(x) + r)| \leq \| f \prime \| \infty | \varphi s(x) - \psi s(x)| 1\mathrm{I}| x+r| \leq \| a\| \infty T+sup[0,T ] | w| +1.
Звiдси i з означення метрики \rho \infty маємо
\rho \infty (\mu (s), \nu (s)) \leq \mathrm{E} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\in \BbbR
- r+\| a\| \infty T+sup[0,T ] | w| +1\int
- r - \| a\| \infty T - sup[0,T ] | w| - 1
| \varphi s(x) - \psi s(x)| m(dx) \leq
\leq \mathrm{E} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
| \varphi s(x) - \psi s(x)| Cm
\Biggl(
2\| a\| \infty T + 2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
[0,T ]
| w| + 3
\Biggr)
.
Застосувавши нерiвнiсть Кошi, отримаємо
\bigl(
\rho \infty (\mu (s), \nu (s))
\bigr) 2 \leq C2
m \mathrm{E}
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
| \varphi s(x) - \psi s(x)|
\biggr) 2
\mathrm{E}
\Biggl(
2\| a\| \infty T + 2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
[0,T ]
| w| + 3
\Biggr) 2
.
Позначимо V = (CN \vee K)2, C2 = \mathrm{E}
\Bigl(
2\| a\| \infty T + 2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}[0,T ] | w| + 3
\Bigr) 2
. Тепер з (5.12) випливає,
що
\mathrm{E} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [0,t]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in \BbbR
| \varphi s(x) - \psi s(x)| 2 \leq
\leq 2V T
t\int
0
\mathrm{E} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s1\in [0,s]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
| \varphi s1(x) - \psi s1(x)| 2ds+ 2V T
t\int
0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s1\in [0,s]
\bigl(
\rho \infty (\mu (s1), \nu (s1))
\bigr) 2
ds \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1398 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА
\leq 2V T (1 + C2C
2
m)
t\int
0
\mathrm{E} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s1\in [0,s]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
| \varphi s1(x) - \psi s1(x)| 2ds.
Отже, за лемою Гронуолла – Беллмана
\forall t \in [0, T ] : \mathrm{E} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in [0,t]
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
| \varphi s(x) - \psi s(x)| 2 = 0,
тобто розв’язок рiвняння (5.1) є потраєкторно єдиним. З теореми Ямада – Ватанабе випливає
iснування та єдинiсть сильного розв’язку.
Теорему 5.2 доведено.
6. Граничнi теореми. Основними результатами даного пункту є граничнi теореми про
збiжнiсть мiрозначних процесiв \mu n(\cdot ) з рiвняння (3.1) до мiрозначного процесу \nu (\cdot ) з рiвнян-
ня (5.1) та про збiжнiсть траєкторiй випадкових процесiв \{ Xn
i (\cdot )\} n\geq 1.
З теорем 4.2 та 5.2 випливає таке твердження.
Теорема 6.1. Нехай \{ \mu n(\cdot ), Xn
i (\cdot ), i \in \BbbZ \} — довiльнi розв’язки рiвнянь (3.1). Припустимо,
що:
1) функцiя a : \BbbR \times \frakM \rightarrow \BbbR є обмеженою та неперервною за сукупнiстю змiнних;
2) функцiя a = a(x, \mu ) є неперервно диференцiйовною по x, до того ж \forall C > 0 \exists LC > 0
\forall \mu \in \frakM C \forall x \in \BbbR : | a\prime x(x, \mu )| \leq LC ;
3) \exists K > 0 \forall x \in \BbbR \forall \mu , \nu \in \frakM \infty : | a(x, \mu ) - a(x, \nu )| \leq K\rho \infty (\mu , \nu );
4) m \in \frakM \infty .
Тодi послiдовнiсть мiрозначних випадкових процесiв \{ \mu n(\cdot ), n \geq 1\} слабко збiгається в
C([0, T ],\frakM ) до невипадкового мiрозначного процесу \nu (\cdot ), який єдиним чином визначається з
рiвняння (5.1).
Зауваження 6.1. Нам невiдомо чи iснує єдиний сильний розв’язок рiвнянь (3.1) за припу-
щень теореми 6.1.
Доведення. Теорема 6.1 випливає з теорем 4.2, 5.2 та наступної леми.
Лема 6.1. Припустимо, що виконано умови теореми 6.1. Нехай \mu (\cdot ) — довiльна слабка
гранична точка послiдовностi випадкових елементiв \{ \mu n(\cdot ), n \geq 1\} у просторi C([0, T ],\frakM ).
Тодi з iмовiрнiстю 1 для всiх t \in [0, T ] мiра \mu (t) належить \frakM C , де
C = Cm + 2\| a\| \infty T + 2
\infty \int
\beta +\| a\| \infty T
pw(T, x - \beta - \| a\| \infty T )m(dx).
Тут сталу Cm взято з рiвностi (3.2).
Доведення. Зафiксуємо довiльний вiдрiзок [\alpha , \beta ] \subset \BbbR .
Легко бачити, що для довiльного t \in [0, T ]
\mu n(t, [\alpha , \beta ]) \leq 1
n
\mu n([\alpha - \| a\| \infty T, \beta + \| a\| \infty T ])+
+
1
n
\sum
i:uni >\beta +\| a\| \infty T
1\mathrm{I}inf[0,T ] wi(t)<\beta +\| a\| \infty T - uni +
1
n
\sum
i:uni <\alpha - \| a\| \infty T
1\mathrm{I}sup[0,T ] wi(t)>\alpha - \| a\| \infty T - uni . (6.1)
Оскiльки \mu n є пуассонiвською точковою мiрою з iнтенсивнiстю nm(dx), то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1399
1
n
\mu n([\alpha - \| a\| \infty T, \beta + \| a\| \infty T ]) \rightarrow m([\alpha - \| a\| \infty T, \beta + \| a\| \infty T ]).
Зафiксуємо довiльне B > \beta + \| a\| \infty T. Позначимо I = [\beta + \| a\| \infty T,B],
\rho (dx) =
1
m(I)
1\mathrm{I}I(x)m(dx).
Нехай \{ ui, i \geq 1\} — незалежнi, однаково розподiленi випадковi величини з розподiлом \rho , а
N(\cdot ) — пуассонiвський процес з iнтенсивнiстю 1, незалежний вiд \{ ui, i \geq 1\} та w(\cdot ). Тодi [13]
(теорема 2.1.16)
Sn(I) :=
1
n
\sum
i:uni \in I
1\mathrm{I}inf[0,T ] wi(t)<\beta +\| a\| \infty T - uni
d
=
1
n
N(nm(I))\sum
i=1
1\mathrm{I}inf[0,T ] wi(t)<\beta +\| a\| \infty T - ui .
Отже (див. [13], § 3.1.1),
\mathrm{E}Sn(I) = \mathrm{E}N(nm(I)) E
1
n
1\mathrm{I}inf[0,T ] w1(t)<\beta +\| a\| \infty T - u1 =
=
B\int
\beta +\| a\| \infty T
pw(T, x - \beta - \| a\| \infty T )m(dx) \rightarrow
\rightarrow
\infty \int
\beta +\| a\| \infty T
pw(T, x - \beta - \| a\| \infty T )m(dx), B \rightarrow \infty .
Оцiнимо дисперсiю, скориставшись результатами [13] (§ 3.1.1):
\mathrm{D}Sn(I) = \mathrm{E}N(nm(I))\mathrm{D}
1
n
1\mathrm{I}inf[0,T ] w1(t)<\beta +\| a\| \infty T - u1+
+\mathrm{D}M(nm(I))
\biggl(
\mathrm{E}
1
n
1\mathrm{I}inf[0,T ] w1(t)<\beta +\| a\| \infty T - u1
\biggr) 2
=
= nm(I) \mathrm{E}
\biggl(
1
n
1\mathrm{I}inf[0,T ] w1(t)<\beta +\| a\| \infty T - u1
\biggr) 2
=
=
m(I)
n
B\int
\beta +\| a\| \infty T
pw(T, x - \beta - \| a\| \infty T )m(dx) \rightarrow
\rightarrow m(I)
n
+\infty \int
\beta +\| a\| \infty T
pw(T, x - \beta - \| a\| \infty T )m(dx), B \rightarrow +\infty .
Отже, для довiльного n \geq 1
\mathrm{E}
1
n
\sum
i:uni >\beta +\| a\| \infty T
1\mathrm{I}inf[0,T ] wi(t)<\beta +\| a\| \infty T - uni =
\infty \int
\beta +\| a\| \infty T
pw(T, x - \beta - \| a\| \infty T )m(dx)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1400 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА
i
\mathrm{D}
\infty \int
\beta +\| a\| \infty T
pw(T, x - \beta - \| a\| \infty T )m(dx) \rightarrow 0, n\rightarrow \infty .
Аналогiчнi спiввiдношення мають мiсце i для другої суми у правiй частинi рiвностi (6.1). Тому
якщо \mu (\cdot ) є слабкою граничною точкою послiдовностi \mu n(\cdot ), то
\mu (t, [\alpha , \beta ]) \leq m([\alpha - \| a\| \infty T, \beta + \| a\| \infty T ]) + 2
\infty \int
\beta +\| a\| \infty T
pw(T, x - \beta - \| a\| \infty T )m(dx).
Лему 6.1 доведено.
Для теореми про збiжнiсть траєкторiй окремих частинок потрiбнi будуть деякi додатковi
умови.
Нехай
\Bigl\{
\mu i =
\sum
j\in \BbbZ
\delta ui,j
\Bigr\}
— незалежнi пуассонiвськi точковi мiри з iнтенсивнiстю m. По-
кладемо \mu n =
\sum n
i=1
\mu i. Тодi \mu n є пуассонiвською точковою мiрою з iнтенсивнiстю nm(dx).
Нехай \{ wi,j(\cdot ), i \in \BbbN , j \in \BbbZ \} — незалежнi вiнерiвськi процеси, до того ж \{ wi,j(\cdot ), i \in \BbbN , j \in \BbbZ \}
незалежнi вiд \{ \mu i, i \geq 1\} . Розглянемо систему рiвнянь
dXn
i,j(t) = a(Xn
i,j(t), \mu
n(t))dt+ dwi,j(t), t \in [0, T ], i = 1, n, j \in \BbbZ ,
\mu n(t) =
1
n
n\sum
i=1
\sum
j\in \BbbZ
\delta Xn
i,j(t)
, t \in [0, T ],
Xn
i,j(0) = ui,j , i = 1, n, j \in \BbbZ .
(6.2)
Зазначимо, що розв’язок \mu n(\cdot ) рiвняння (6.2) має такий же розподiл, як \mu n(\cdot ) з рiвнян-
ня (3.1), якщо має мiсце єдинiсть розв’язкiв рiвнянь (6.2) та (3.1). Iснування та єдинiсть сильного
розв’язку рiвняння (6.2) дає, наприклад, така теорема (див. [9]).
Теорема 6.2. Припустимо, що:
1) m \in \frakM \infty ;
2) функцiя a обмежена та неперервна за сукупнiстю змiнних;
3) функцiя a має властивiсть скiнченностi радiуса взаємодiї:
\exists d > 0 \forall x \in \BbbR \forall \nu \in \frakM : a(x, \nu ) = a(x, \nu I(x - d,x+d)).
Тодi iснує єдиний сильний розв’язок рiвняння (6.2).
Наступна теорема дає достатнi умови збiжностi траєкторiй окремих частинок.
Теорема 6.3. Припустимо, що виконано умови теореми 6.1 та для довiльного n \geq 1 iснує
єдиний сильний розв’язок рiвняння (6.2). Тодi:
1) \mu n(\cdot ) P\rightarrow \mu (\cdot ), n\rightarrow \infty , в C([0, T ], (\frakM , \rho ));
2) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0\leq t\leq T \mathrm{E}(Xn
i,j(t) - \psi i,j(ui,j , t))
2 = 0, де \psi i,j(\cdot , \cdot ) — розв’язок рiвняння
d\psi i,j(x, t) = a(\psi i,j(x, t), \mu (t))dt+ dwi,j(t), x \in \BbbR , t \in [0, T ],
\mu (t) = \mathrm{E}m \circ \psi i,j(\cdot , t) - 1,
\psi i,j(x, 0) = x, x \in \BbbR .
(6.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА ДЛЯ ЗЛIЧЕННИХ СИСТЕМ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 1401
Доведення. Оскiльки мiрозначний процес \mu (\cdot ) є детермiнованим, то iз слабкої збiжностi
випливає збiжнiсть за ймовiрнiстю, тобто \mu n(\cdot ) P\rightarrow \mu (\cdot ), n \rightarrow \infty , як випадковi елементи в
C([0, T ],\frakM ). Випадковий процес Xn
i,j(\cdot ) задовольняє рiвнiсть
Xn
i,j(t) = ui,j +
t\int
0
a(Xn
i,j(s), \mu
n(s))ds+ wi,j(t),
а \psi i,j(ui,j , \cdot ) — рiвнiсть
\psi i,j(t) = ui,j +
t\int
0
a(\psi i,j(s), \mu (s))ds+ wi,j(t).
Отже, друга частина теореми випливає з теореми 2.8.2 [8].
Теорему 6.3 доведено.
Приклад 6.1. Нехай
a(x, \mu ) = g1
\left( \int
\BbbR
g2(y - x)\mu (dy)
\right) ,
до того ж
1) функцiя g1 належить C1(\BbbR ), функцiї g1, g\prime 1 є обмеженими,
2) функцiя g2 належить C1
c (\BbbR ).
Для такої функцiї a виконано всi припущення теорем 6.1 та 6.2.
Перевiримо, що виконується умова 2 теореми 6.1. Позначимо
C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
| g2(x)| \vee | g\prime 2(x)| \vee | g\prime \prime 2(x)| .
Здиференцiювавши iнтеграл за параметром, отримаємо
a\prime x(x, \mu ) =
\left( g1
\left( \int
\BbbR
g2(y - x)\mu (dy)
\right) \right) \prime
x
= - g\prime 1
\left( \int
\BbbR
g2(y - x)\mu (dy)
\right) \int
\BbbR
g\prime 2(y - x)\mu (dy).
Звiдси
| a\prime x(x, \mu )| \leq \| g\prime 1\| \infty \| g\prime 2\| \infty \mu (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} g2).
Отже, умову 2 теореми 6.1 виконано.
Перевiримо, що виконується умова 3 теореми 6.1. Оцiнимо
| a(x, \mu 1) - a(x, \mu 2)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| g1
\left( \int
\BbbR
g2(y - x)\mu 1(dy)
\right) - g1
\left( \int
\BbbR
g2(y - x)\mu 2(dy)
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
= | g\prime 1(\theta )|
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
g2(y - x)(\mu 1(dy) - \mu 2(dy))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (6.4)
Нехай \{ hi, 1 \leq i \leq n\} \subset C1
c (\BbbR , [0, 1]) — такi функцiї, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1402 А. Ю. ПИЛИПЕНКО, М. В. ТАНЦЮРА
\forall y \in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} g2 :
n\sum
i=1
hi(y) = 1, (6.5)
та
\forall i \in \{ 1, . . . , n\} \exists u \in \BbbR : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}hi \subset [u, u+ 2].
Позначимо H = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \| hi\| \infty , \| h\prime i\| \infty , 1 \leq i \leq n\} . Тодi з (6.4) i (6.5) випливає, що
| a(x, \mu 1) - a(x, \mu 2)| \leq \| g\prime 1\| \infty
n\sum
i=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
g2(y - x)hi(y)(\mu 1(dy) - \mu 2(dy))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Легко бачити, що для довiльного i
| g2(x - y)hi(y)| \leq CH,
\bigm| \bigm| \bigl( g2(x - y)hi(y)
\bigr) \prime
y
\bigm| \bigm| \leq 2CH.
Тепер з означення \rho \infty (\mu 1, \mu 2) випливає, що
\forall i \in \{ 1, . . . , n\} :
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
g2(y - x)hi(y)(\mu 1(dy) - \mu 2(dy))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2CH\rho \infty (\mu 1, \mu 2).
Отже,
| a(x, \mu 1) - a(x, \mu 2)| \leq 2nCH\| g1\| \infty \rho \infty (\mu 1, \mu 2).
Безпосередньо з означення функцiї a(\cdot , \cdot ) випливає, що виконано й iншi припущення теорем 6.1
та 6.2.
Лiтература
1. Veretennikov A. Yu. On strong solutions and explicit formulas for solutions of stochastic integral equations // Mat.
Sb. – 1980. – 111(153), № 3. – P. 434 – 452.
2. Скороход А. В. Исследования по теории случайных процессов. – Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1961.
3. Ethier S. N., Kurtz T. G. Markov processes: characterization and convergence // Wiley Ser. Probab. and Math.
Statistics. – 2005.
4. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. – М.: Наука,
1986.
5. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М., 1977. – 352 с.
6. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. – Cambridge Univ. Press, 1997. – Vol. 24.
7. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наукa, 1967.
8. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. – Киев: Наук. думка, 1968.
9. Pilipenko A., Tantsiura M. On the strong existence and uniqueness to a solution of a countable system of SDEs with
measurable drift // Theory Stochast. Process. – 2014. – 19(35), № 2. – P. 52 – 63.
10. Dawson D. Measure-valued markov processes // Ecole d’Ete de Probabilites de Saint-Flour XXI-1991: Lect. Notes
Math. – Berlin: Springer, 1993. – 1541. – P. 1 – 260.
11. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968.
12. McKean H. P. A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic equations // Proc. Nat. Acad. Sci.
USA. – 1966. – 56. – P. 1907 – 1911.
13. Mikosch Th. Non-life insurance mathematics: an introduction with the Poisson process. – Springer Sci. & Business
Media, 2009.
14. Gatner J. On the McKean – Vlasov limit for interacting diffusions // Math. Nachr. – 1988. – 137. – P. 197 – 248.
15. Sznitman A. S. Topics in propagation of chaos // Ecole d’Ete de Probabilites de Saint-Flour XIX-1989: Lect. Notes
Math. – Berlin: Springer, 1991. – 1464. – P. 165 – 251.
Одержано 12.04.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1927 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:22Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5f/1d6955c5974056bf339218ed3615505f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19272019-12-05T09:31:57Z Limit theorem for coiuntable systems of stochastic differential equations Гранична теорема для зліченних систем стохастичних диференціальних рівнянь Pilipenko, A. Yu. Tantsiura, M. V. Пилипенко, А. Ю. Танцюра, М. В. We consider infinite systems of stochastic differential equations used to describe the motion of interacting particles in random media. It is assumed that mass of each particle tends to zero and the density of particles infinitely increases in a proper way. It is proved that the sequence of the corresponding measure-valued processes converges in distribution. We also prove existence and uniqueness of a strong solution for the limit equation. Рассматриваются бесконечные системы стохастических дифференциальных уравнений, задающие движение взаимодействующих частиц в случайной среде. Доказана предельная теорема для последовательности решений в случае, когда масса каждой частицы стремится к нулю, а плотность частиц неограниченно возрастает. Также доказана теорема существования и единственности сильного решения для предельного уравнения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1927 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 10 (2016); 1380-1402 Український математичний журнал; Том 68 № 10 (2016); 1380-1402 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1927/909 Copyright (c) 2016 Pilipenko A. Yu.; Tantsiura M. V. |
| spellingShingle | Pilipenko, A. Yu. Tantsiura, M. V. Пилипенко, А. Ю. Танцюра, М. В. Limit theorem for coiuntable systems of stochastic differential equations |
| title | Limit theorem for coiuntable systems of stochastic differential
equations |
| title_alt | Гранична теорема для зліченних систем стохастичних
диференціальних рівнянь |
| title_full | Limit theorem for coiuntable systems of stochastic differential
equations |
| title_fullStr | Limit theorem for coiuntable systems of stochastic differential
equations |
| title_full_unstemmed | Limit theorem for coiuntable systems of stochastic differential
equations |
| title_short | Limit theorem for coiuntable systems of stochastic differential
equations |
| title_sort | limit theorem for coiuntable systems of stochastic differential
equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1927 |
| work_keys_str_mv | AT pilipenkoayu limittheoremforcoiuntablesystemsofstochasticdifferentialequations AT tantsiuramv limittheoremforcoiuntablesystemsofstochasticdifferentialequations AT pilipenkoaû limittheoremforcoiuntablesystemsofstochasticdifferentialequations AT tancûramv limittheoremforcoiuntablesystemsofstochasticdifferentialequations AT pilipenkoayu graničnateoremadlâzlíčennihsistemstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT tantsiuramv graničnateoremadlâzlíčennihsistemstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT pilipenkoaû graničnateoremadlâzlíčennihsistemstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT tancûramv graničnateoremadlâzlíčennihsistemstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹ |