Entropy numbers and the widths of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functionsof many variables
We establish the exact order estimates for the entropy numbers of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_\infty$ and use the obtained results in estimating the lower bounds for Kolmogorov, linear, and trigonometric widths. We also study the behavior of...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1928 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507820177227776 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2022-02-16T12:18:13Z |
| description | We establish the exact order estimates for the entropy numbers of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_\infty$ and use the obtained results in estimating the lower bounds for Kolmogorov, linear, and trigonometric widths. We also study the behavior of similar approximating characteristics of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functions of many variables in the spaces $L_1$ and $B_{1,1}$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА И ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ \bfitB \bfitr
\bfitp ,\bfittheta
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
We establish the exact order estimates for the entropy numbers of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of
two variables in the space L\infty and use the obtained results in estimating the lower bounds for Kolmogorov, linear, and
trigonometric widths. We also study the behavior of similar approximating characteristics of the classes Br
p,\theta of periodic
functions of many variables in the spaces L1 and B1,1.
Встановлено точнi за порядком оцiнки ентропiйних чисел класiв Нiкольського – Бєсова Br
p,\theta перiодичних функцiй
двох змiнних у просторi L\infty i одержанi результати застосовано для оцiнювання знизу колмогоровських, лiнiйних
та тригонометричних поперечникiв. Дослiджено також поведiнку аналогiчних асимптотичних характеристик класiв
Br
p,\theta перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторах L1 i B1,1.
1. Введение. В настоящей работе продолжаются исследования асимптотических характерис-
тик, которые изучались в работах [1, 2] (там же можно ознакомиться с подробной библиогра-
фией). При этом главное внимание сосредоточено на получении точных по порядку оценок
энтропийных чисел и ряда поперечников (колмогоровского, линейного, тригонометрического)
классов Никольського – Бесова Br
p,\theta периодических функций двух переменных в простран-
стве L\infty . Кроме того, аналогичные вопросы исследуются и для классов Br
p,\theta периодических
функций многих переменных в пространствах L1 и B1,1. Соответствующие асимптотические
характеристики будут определены ниже, а сначала приведем необходимые обозначения и опре-
деления, а также сформулируем вспомогательные утверждения, которые используются при
доказательстве полученных результатов.
Пусть \BbbR d, d \geq 1, — евклидово пространство с элементами x = (x1, . . . , xd) и (x, y) =
= x1 y1 + . . .+ xd yd; Lp(\pi d), \pi d =
\prod d
j=1
[0, 2\pi ], обозначает множество функций f, 2\pi -периo-
дических по каждой переменной и таких, что
| | f | | p =
\Biggl(
(2\pi ) - d
\int
\pi d
| f(x)| p dx
\Biggr) 1/p
< \infty , 1 \leq p < \infty ,
| | f | | \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \pi d
| f(x)| < \infty , p = \infty .
Всюду ниже будем рассматривать только те функции f \in Lp(\pi d), для которых выполнено
условие
2\pi \int
0
f(x)dxj = 0, j = 1, d,
и множество таких функций будем обозначать L0
p(\pi d).
Теперь приведем определение классов функций Br
p,\theta (в частности, Hr
p ), которые исследу-
ются в работе. При этом будет удобно пользоваться определением этих классов в терминах так
называемой декомпозиционной нормировки (см., например, [3, 4]).
c\bigcirc А. С. РОМАНЮК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10 1403
1404 А. С. РОМАНЮК
Для векторов s = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , и k = (k1, . . . , kd), kj \in \BbbZ , j = 1, d, положим
\rho (s) =
\bigl\{
k : k = (k1, . . . , kd) : 2sj - 1 \leq | kj | < 2sj , j = 1, d
\bigr\}
и для f \in L0
p(\pi d) введем обозначение
\delta s(f, x) =
\sum
k\in \rho (s)
\widehat f(k)ei(k,x),
где \widehat f(k) = \int
\pi d
f(t)e - i(k,t)dt — коэффициенты Фурье функции f.
Пусть 1 < p < \infty , r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d. Тогда, с точностью до абсолютных
постоянных, классы Br
p,\theta можно определить следующим образом (см., например, [3, 4]):
Br
p,\theta =
\left\{ f : \| f\| Br
p,\theta
=
\Biggl( \sum
s
2(s,r)\theta \| \delta s(f, \cdot )\| \theta p
\Biggr) 1
\theta
\leq 1
\right\} , 1 \leq \theta < \infty ,
Br
p,\infty \equiv Hr
p =
\biggl\{
f : \| f\| Br
p,\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s
2(s,r)\| \delta s(f, \cdot )\| p \leq 1
\biggr\}
.
Отметим, что при соответствующем видоизменении „блоков” \delta s(f, \cdot ) приведенное опре-
деление классов Br
p,\theta можно распространить и на крайние значения p = 1 и p = \infty (см.,
например, [4], замечание 2.1).
Пусть Vl(t), l \in \BbbN , обозначает ядро Валле Пуссена вида
Vl(t) = 1 + 2
l\sum
k=1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt+ 2
2l - 1\sum
k=l+1
\biggl(
1 - k - l
l
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt.
Сопоставим каждому вектору s = (s1, . . . , sd), sj \in \BbbN , j = 1, d, полином
As(x) =
d\prod
j=1
\bigl(
V2sj (xj) - V
2sj - 1(xj)
\bigr)
и для f \in L0
p(\pi d), 1 \leq p \leq \infty , положим
As(f, x) = (f \ast As)(x),
где \ast — операция свертки. Тогда при 1 \leq p \leq \infty , r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, с точностью
до абсолютных постоянных, классы Br
p,\theta можно определить следующим образом:
Br
p,\theta =
\left\{ f : \| f\| Br
p,\theta
=
\Biggl( \sum
s
2(s,r)\theta \| As(f, \cdot )\| \theta p
\Biggr) 1
\theta
\leq 1
\right\} , 1 \leq \theta < \infty ,
Br
p,\infty \equiv Hr
p =
\biggl\{
f : \| f\| Br
p,\infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s
2(s,r)\| As(f, \cdot )\| p \leq 1
\biggr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА И ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ Br
p,\theta ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1405
В комментариях к полученным ниже результатам будет идти речь о классах W r
p,\alpha , и поэтому
для удобства напомним их определение.
Пусть Fr(x, \alpha ) — многомерные аналоги ядер Бернулли, т. е.
Fr(x, \alpha ) = 2d
\sum
k
d\prod
j=1
k
- rj
j \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
kjxj -
\alpha j \pi
2
\Bigr)
, rj > 0, \alpha j \in \BbbR ,
и в сумму входят только те векторы k = (k1, . . . , kd), для которых kj > 0, j = 1, d. Тогда через
W r
p,\alpha обозначим класс функций f, представимых в виде
f(x) = \varphi (x) \ast Fr(x, \alpha ) = (2\pi ) - d
\int
\pi d
\varphi (y)Fr(x - y, \alpha )dy,
\varphi \in Lp(\pi d), \| \varphi \| p \leq 1.
В последующих рассуждениях будем предполагать, что координаты векторов r = (r1, . . .
. . . , rd), которые содержатся в определении рассматриваемых классов функций, упорядочены
в виде 0 < r1 = . . . = r\nu < r\nu +1 \leq . . . \leq rd. Вектору r = (r1, . . . , rd) сопоставим вектор
\gamma = (\gamma 1, . . . , \gamma d), \gamma j =
rj
r1
, j = 1, d, которому, в свою очередь, сопоставляется вектор \gamma \prime =
= (\gamma \prime 1, . . . , \gamma
\prime
d), где \gamma j = \gamma \prime j при j = 1, \nu и 1 < \gamma \prime j < \gamma j при j = \nu + 1, d. Таким образом,
r\prime = (r\prime 1, . . . , r
\prime
d) — вектор с координатами r\prime j = r1\gamma
\prime
j , j = 1, d.
Полученные результаты будем формулировать в терминах порядковых соотношений. Для
функций \mu 1(N) и \mu 2(N) запись \mu 1 \ll \mu 2 означает, что существует такая постоянная C > 0,
что \mu 1(N) \leq C\mu 2(N). Соотношение \mu 1 \asymp \mu 2 равносильно тому, что выполнены порядковые
неравенства \mu 1 \ll \mu 2 и \mu 1 \gg \mu 2. Отметим, что все постоянные Ci, i = 1, 2, . . . , которые будут
встречаться в работе, могут зависеть только от параметров, содержащихся в определениях
классов, метрики и размерности пространства \BbbR d. В некоторых случаях мы будем указывать
эту зависимость в явном виде. Если \frakM — некоторое конечное множество, то через | \frakM | будем
обозначать количество его элементов.
Определим теперь асимптотические характеристики, которые будем исследовать.
Пусть \scrX — банахово пространство и B\scrX (y, r) — шар \scrX радиуса r с центром в точке y, т. е.
B\scrX (y, r) = \{ x \in \scrX : \| x - y\| \leq r\} .
Тогда величины (см., например, [5])
\varepsilon k(\scrA ,\scrX ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \varepsilon : \exists y1, . . . , y2k \in \scrX : \scrA \subseteq
2k\bigcup
j=1
B\scrX (y
j , \varepsilon )
\right\}
называются энтропийными числами множества \scrA в пространстве \scrX .
Пусть \scrY — нормированное пространство, \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{n}M (\scrY ) — совокупность подпространств \scrY
размерности, не превышающей M, и W — некоторое выпуклое и центрально-симметричное
подмножество в \scrY . Тогда величина
dM
\bigl(
W,\scrY
\bigr)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
LM\in LinM (\scrY )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y\in LM
\| x - y\| \scrY
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1406 А. С. РОМАНЮК
называется колмогоровским поперечником множества W в пространстве \scrY . Поперечник
dM
\bigl(
W,\scrY
\bigr)
введен в 1936 г. А. Н. Колмогоровым [6] и характеризует аппроксимативные воз-
можности M -мерных подпространств.
Пусть \scrY и \scrZ — нормированные пространства и L(\scrY ,\scrZ ) — совокупность непрерывных
линейных отображений \scrY в \scrZ . Тогда величина
\lambda M
\bigl(
W,\scrY
\bigr)
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
LM\in LinM (\scrY )
\Lambda \in L(\scrY ,LM )
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in W
\| x - \Lambda x\| \scrY ,
где нижняя грань берется по всем подпространствам \scrY размерности, не превышающей M, и
всем линейным непрерывным операторам из \scrY в LM , называется линейным поперечником
множества W в пространстве \scrY . Поперечник \lambda M
\bigl(
W,\scrY
\bigr)
введен в 1960 г. В. М. Тихомировым
[7] и характеризует аппроксимативные возможности M -мерных линейных операторов.
Пусть F \subset Lq(\pi d) — некоторый класс функций. Тогда тригонометрический поперечник
класса F в пространстве Lq
\bigl(
обозначается dTM (F,Lq)
\bigr)
определяется по формуле [8]
dTM (F,Lq) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\Theta M
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t(\Theta M ,\cdot )
| | f - t(\Theta M , \cdot )| | q,
где
t(\Theta M , x) =
M\sum
j=1
cje
i(kj ,x), \Theta M =
\bigl\{
k1, . . . , kM
\bigr\}
,
— всевозможные наборы векторов kj =
\bigl(
kj1, . . . , k
j
d
\bigr)
, j = 1,M, из целочисленной решетки \BbbZ d,
cj — произвольные комплексные числа.
Упомянутые поперечники классов W r
p,\alpha , H
r
p и Br
p,\theta периодических функций многих пере-
менных изучались во многих работах (см., например, [9 – 11] и приведенную там библиогра-
фию).
Теперь сформулируем несколько вспомогательных утверждений, первое из которых явля-
ется следствием одного неравенства Б. Карла (см., например, [12]).
Лемма А [13, 14]. Пусть \scrK — компакт в сепарабельном банаховом пространстве \scrX .
Предположим, что для пары чисел (a, b), где a > 0, b \in \BbbR , либо a = 0, b < 0, выполняются
соотношения
dm(\scrK ,\scrX ) \ll m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b,
\varepsilon m(\scrK ,\scrX ) \gg m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b.
Тогда справедливы соотношения
\varepsilon m(\scrK ,\scrX ) \asymp dm(\scrK ,\scrX ) \asymp m - a(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}m)b.
Лемма Б [9, с. 11]. Имеет место оценка\sum
(s,\gamma \prime )\geq n
2 - \alpha (s,\gamma ) \asymp 2 - \alpha nn\nu - 1, \alpha > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА И ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ Br
p,\theta ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1407
Теорема А [1]. Пусть r1 > 0, 1 \leq \theta < \infty . Тогда при d \geq 1
\varepsilon M (Br
\infty ,\theta , L1) \gg M - r1
\bigl(
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M
\bigr) r1+1
2 -
1
\theta .
2. Энтропийные числа и поперечники классов \bfitB \bfitr
\bfitp ,\bfittheta в пространствах \bfitL \infty и \bfitL \bfone . Сна-
чала установим точные по порядку оценки энтропийных чисел и колмогоровских поперечников
классов Br
p,\theta периодических функций двух переменных в пространстве L\infty . Прежде чем сфор-
мулировать полученный результат, приведем дополнительно несколько обозначений, которые
используются в процессе его доказательства.
Пусть N\varepsilon (F,\scrX ) — минимальное количество замкнутых шаров радиуса \varepsilon пространства \scrX ,
необходимых для покрытия (компактного) множества F, а M\varepsilon (F,\scrX ) — максимальное число
таких точек xi \in F, что \| xi - xj\| \scrX > \varepsilon , i \not = j. Тогда, как известно, справедливы соотношения
N\varepsilon (F,\scrX ) \leq M\varepsilon (F,\scrX ) \leq N \varepsilon
2
(F,\scrX ). (1)
Нам также будут необходимы следующие множества:
\scrS n =
\biggl\{
s = (2n1, 2n2), n1 + n2 =
n
2
\biggr\}
,
\scrD n =
\bigcup
s\in \scrS n
\rho (s).
Отметим, что для количества элементов множеств \scrD n выполнено соотношение | \scrD n| \asymp 2nn.
Теорема 1. Пусть d = 2 и r = (r1, r1), r1 >
1
2
. Тогда при 2 \leq p \leq \infty , 2 \leq \theta \leq \infty имеют
место оценки
\varepsilon M (Br
p,\theta , L\infty ) \asymp dM (Br
p,\theta , L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1 - 1
\theta .
Замечание 1. При p = \infty условие r1 >
1
2
можно ослабить, а именно можно предполагать,
что r1 > 0.
Доказательство. Чтобы воспользоваться леммой А, установим оценку сверху попереч-
ника dM (Br
p,\theta , L\infty ), а снизу — энтропийных чисел \varepsilon M (Br
p,\theta , L\infty ). Итак, начнем с установ-
ления оценки снизу величины \varepsilon M (Br
p,\theta , L\infty ). Предварительно заметим, что в силу вложения
Br
\infty ,\theta \subset Br
p,\theta , 1 \leq p < \infty , при этом достаточно ограничиться рассмотрением классов Br
\infty ,\theta .
Пусть \theta \in [2,\infty ). Тогда воспользуемся набором функций \{ fi\} An
i=1, An \geq 2
| \scrD n|
2 , построен-
ным В. Н. Темляковым [15] при исследовании классов Hr
\infty . Не останавливаясь подробно на
структуре функций из этого набора, отметим только, что они являются некоторыми тригоно-
метрическими полиномами с „номерами” гармоник из \scrD n, имеющими следующие свойства:
1) \| \delta s(fn
i )\| \infty \leq 1, i = 1, An, s \in \scrS n;
2) \| fn
i - fn
j \| \infty \geq C1n, i \not = j, C1 — некоторая абсолютная постоянная.
Отправляясь от свойства 1, нетрудно убедиться, что каждая функция из набора
Fn =
\biggl\{
C2(r1, \theta )2
- r1nn - 1
\theta fn
i
\biggr\} An
i=1
с соответствующей постоянной C2(r1, \theta ) принадлежит классу Br
\infty ,\theta . Действительно, для любой
функции fn
i , i = 1, An, можем записать
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1408 А. С. РОМАНЮК
\| fn
i \| Br
\infty ,\theta
\asymp
\Biggl( \sum
s\in \scrS n
2(s,r)\theta \| As(f
n
i )\| \theta \infty
\Biggr) 1/\theta
=
=
\left( \sum
s\in \scrS n
2(s,r)\theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
\delta s\prime (f
n
i )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \theta
\infty
\right) 1/\theta
\leq
\leq
\left( \sum
s\in \scrS n
2(s,r)\theta \| As\| \theta 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
\delta s\prime (f
n
i )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\theta
\infty
\right)
1/\theta
\ll
\ll
\left( \sum
s\in \scrS n
2(s,r)\theta
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
\| \delta s\prime (fn
i )\| \theta \infty
\right) 1/\theta
\ll 2nr1n1/\theta .
Отсюда следует, что Fn \subset Br
\infty ,\theta .
Пусть M = | \scrD n| \asymp 2nn. Тогда из (1), в силу свойства 2 для функций fn
i , i = 1, An,
получаем искомую оценку снизу величины \varepsilon M (Br
p,\theta , L\infty ) в случае \theta \in [2,\infty ):
\varepsilon M (Br
p,\theta , L\infty ) \gg \varepsilon M (Br
\infty ,\theta , L\infty ) \gg \varepsilon M (Fn, L\infty ) \gg
\gg 2 - nr1n1 - 1
\theta \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1 - 1
\theta . (2)
Если же \theta = \infty , то искомая оценка снизу для \varepsilon M (Hr
p , L\infty ) следует из результата, получен-
ного В. Н. Темляковым [15]:
\varepsilon M (Hr
\infty , L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1, r1 > 0. (3)
Теперь приведем известные оценки сверху колмогоровских поперечников dM (Br
p,\theta , L\infty ),
выделив при этом несколько случаев.
Пусть 2 \leq \theta < \infty , 2 \leq p < \infty , r1 >
1
2
. Тогда в [16], в частности для d = 2, получена
оценка
dM (Br
p,\theta , L\infty ) \ll M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1 - 1
\theta . (4)
В случае 2 \leq \theta < \infty , p = \infty , r1 > 0 соответствующая оценка сверху поперечника
dM (Br
\infty ,\theta , L\infty ) следует из результата, полученного в [17], при этом
dM (Br
\infty ,\theta , L\infty ) \ll M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1 - 1
\theta . (5)
Важно отметить, что оценка (5) реализуется подпространством тригонометрических полиномов
размерности M.
Пусть теперь имеет место случай 2 \leq p < \infty , \theta = \infty , r1 >
1
2
. Тогда (см. [18])
dM (Hr
p , L\infty ) \ll M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1. (6)
Наконец, при p = \infty , \theta = \infty , r1 > 0 оценка поперечника dM (Hr
\infty , L\infty ) имеет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА И ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ Br
p,\theta ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1409
dM (Hr
\infty , L\infty ) \ll M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1 (7)
и реализуется подпространством тригонометрических полиномов (см. [9, с. 55]) размернос-
ти M.
Таким образом, принимая во внимание оценки (2), (4) – (7) и используя лемму А, приходим
к утверждению теоремы.
Теорема 1 доказана.
Прокомментируем полученный результат и приведем соответствующее утверждение для
классов W r
p,\alpha .
Сначала отметим, что порядки величин, содержащихся в теореме 1, в одномерном случае
приведены в работе [1], при этом
\varepsilon M (Br1
p,\theta , L\infty ) \asymp dM (Br1
p,\theta , L\infty ) \asymp M - r1 ,
2 \leq p \leq \infty , 1 \leq \theta \leq \infty , r1 >
1
2
(r1 > 0 при p = \infty ).
Далее, приняв во внимание замечания к оценкам (5), (7) и воспользовавшись теоремой 1,
можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема \bfone \prime . Пусть d = 2, r = (r1, r1), r1 > 0. Тогда при 2 \leq \theta \leq \infty имеют место оценки
\lambda M (Br
\infty ,\theta , L\infty ) \asymp dTM (Br
\infty ,\theta , L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+1 - 1
\theta .
Теперь приведем результат, касающийся энтропийных чисел и колмогоровских поперечни-
ков классов W r
p,\alpha в пространстве L\infty .
Теорема 2. Пусть d = 2, r = (r1, r1), r1 >
1
2
. Тогда при 2 \leq p < \infty справедливы оценки
\varepsilon M (W r
p,\alpha , L\infty ) \asymp dM (W r
p,\alpha , L\infty ) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}M)r1+
1
2 . (8)
Доказательство. Соотношения (8) следуют из известных результатов и леммы А. Так,
оценкa сверху поперечника dM (W r
p,\alpha , L\infty ), 2 \leq p \leq \infty , r1 >
1
2
, в частности при d = 2,
установленa Э. С. Белинским [18]. Соответствующая оценка снизу для энтропийных чисел
\varepsilon M (W r
p,\alpha , L\infty ) при d = 2, 1 < p < \infty , r1 >
1
p
получена В. Н. Темляковым [15]. Таким образом,
принимая во внимание эти оценки и используя лемму А, приходим к (8).
Теорема 2 доказана.
Замечание 2. В связи с оценками (8) отметим, что порядки величин \varepsilon M (W r
\infty ,\alpha , L\infty ) и
dM (W r
\infty ,\alpha , L\infty ) известны [19] и являются следствием результатов, полученных в работах [15]
и [18]. Что касается поперечников \lambda M (W r
\infty ,\alpha , L\infty ) и dTM (W r
\infty ,\alpha , L\infty ), то вопрос об их порядках
при d \geq 2 остается, по-видимому, открытым.
Теперь перейдем к исследованию асимптотических характеристик классов Br
p,\theta в простран-
стве L1. Рассмотрим сначала одномерный случай.
Теорема 3. Пусть 1 \leq p \leq \infty , r1 > 0, 1 \leq \theta \leq \infty . Тогда при d = 1 справедливы
соотношения
dM (Br1
p,\theta , L1) \asymp \lambda M (Br1
p,\theta , L1) \asymp dTM (Br1
p,\theta , L1) \asymp M - r1 . (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1410 А. С. РОМАНЮК
Доказательство. Оценки сверху для всех трех поперечников следуют из теоремы 3.6 [10]
(гл. 1, § 3), в которой получен порядок величины
En(H
r1
p )1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in Hr1
p
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\in T (n)
\| f - t\| 1 \asymp n - r1 , r1 > 0, 1 \leq p \leq \infty ,
где T (n) — множество тригонометрических полиномов t вида
t(x) =
n\sum
k= - n
cke
ikx, ck \in \BbbC .
Отсюда, полагая M = 2n+ 1, имеем, например, для поперечника dM (Br1
p,\theta , L1)
dM (Br1
p,\theta , L1) \leq dM (Hr1
p , L1) \ll En(H
r1
p )1 \ll M - r1 . (10)
Переходя в (9) к доказательству оценок снизу, заметим, что для этого достаточно получить
соответствующую оценку для колмогоровского поперечника.
Поэтому, сопоставляя (10) с оценкой энтропийных чисел \varepsilon M (Br
p,\theta , L1) (теорема А) при
\nu = 1 и используя лемму А, приходим к искомой оценке снизу поперечника dM (Br1
p,\theta , L1).
Теорема 3 доказана.
Далее, при рассмотрении многомерного случая нам понадобятся некоторые обозначения и
определения.
Пусть Qr
n обозначает множество вида
Qr
n =
\bigcup
(s,\gamma )\leq n
\rho (s),
которое называют ступенчатым гиперболическим крестом. В случае, когда r = r\prime = (r\prime 1, . . . , r
\prime
d),
соответствующее множество Qr\prime
n называют расширенным ступенчатым гиперболическим крес-
том.
Положим
T (Qr
n) =
\left\{ t : t(x) =
\sum
k\in Qr
n
cke
i(k,x), ck \in \BbbC
\right\}
и для f \in L0
q(\pi d) определим величину
EQr
n
(f)q = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
t\in T (Qr
n)
\| f - t\| q, 1 \leq q \leq \infty ,
— наилучшее приближение функции f тригонометрическими полиномами с „номерами” гар-
моник из Qr
n. Для F \subset L0
q(\pi d) положим
EQr
n
(F )q = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in F
EQr
n
(f)q. (11)
Аналогично определяются множество T (Qr\prime
n ), а также величины EQr\prime
n
(f)q и EQr\prime
n
(F )q.
Перед тем как перейти к формулировке и доказательству полученных результатов, приведем,
для полноты, известные оценки величин (11) и EQr\prime
n
(F )q для классов F = Br
p,\theta при q = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА И ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ Br
p,\theta ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1411
Так, в [20] в несколько других обозначениях получены соотношения
EQr\prime
n
(Br
p,\theta )1 \asymp 2 - nr1n
(\nu - 1)
\Bigl(
1
p -
1
\theta
\Bigr)
+ , 1 < p \leq 2, 1 \leq \theta < \infty , r1 > 0,
EQr\prime
n
(Br
p,\theta )1 \asymp 2 - nr1 , 2 < p < \infty , 1 \leq \theta \leq 2, r1 > 0.
(12)
Затем в [21] в двумерном случае и при r = (r1, r1), r1 > 0, была установлена порядковая
оценка
EQr
n
(Br
p,\theta )1 \asymp 2 - nr1n
1
2 -
1
\theta , 2 < p \leq \infty , 2 < \theta < \infty . (13)
Ниже мы получим точную по порядку оценку величины EQr\prime
n
(Br
p,\theta )1, 2 < p \leq \infty , 2 \leq \theta \leq
\leq \infty , для всех размерностей d > 2, но предварительно установим порядок тригонометриче-
ского поперечника классов Br
p,\theta в пространстве L1.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 4. Пусть 2 \leq p \leq \infty , 2 \leq \theta \leq \infty , r1 > 0. Тогда справедливо соотношение
dTM (Br
p,\theta , L1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 -
1
\theta . (14)
Доказательство. Пусть \theta \in [2,\infty ). В этом случае оценка сверху следует из оценки вели-
чины EQr\prime
n
(Br
p,\theta )p, M \asymp 2nn\nu - 1, которая, в свою очередь, является следствием соотношения
EQr\prime
n
(Br
p,\theta )q \asymp 2 - nr1n
(\nu - 1)
\Bigl(
1
2 -
1
\theta
\Bigr)
, 1 < q < 2 < p < \infty , 2 \leq \theta < \infty , r1 > 0
(см. [22], теорема 3).
Если же \theta = \infty , то искомая оценка сверху поперечника dTM (Hr
p , L1) следует из соотношения
( см. [9, c. 35])
EQr\prime
n
(Hr
p)p \asymp 2 - nr1n
\nu - 1
2 , 2 \leq p < \infty , r1 > 0.
Оценкa снизу в (14) следуeт из оценки колмогоровского поперечника dM (Br
p,\theta , L1) [1]:
dM (Br
p,\theta , L1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 -
1
\theta , 2 \leq p \leq \infty , 2 \leq \theta \leq \infty , r1 > 0.
Теорема 4 доказана.
Замечание 3. При выполнении условий теоремы 4 порядок линейного поперечника
\lambda M (Br
p,\theta , L1) установлен в [20].
Теперь, воспользовавшись теоремой 4, получим порядок величины EQr\prime
n
(Br
p,\theta )1 и таким
образом дополним оценки (12), (13).
Теорема 5. Пусть 2 < p \leq \infty , 2 < \theta \leq \infty , r1 > 0. Тогда справедливо соотношение
EQr\prime
n
(Br
p,\theta )1 \asymp 2 - nr1n
(\nu - 1)
\Bigl(
1
2 -
1
\theta
\Bigr)
. (15)
Доказательство. Оценка сверху следует из оценок величин EQr\prime
n
(Br
p,\theta )p, 2 < p < \infty ,
2 < \theta < \infty , и EQr\prime
n
(Hr
p)p, 2 < p < \infty , которые получены в [22] и [9, c. 35] соответственно.
Оценка снизу в (15) является следствием оценки тригонометрического поперечника
dTM (Br
p,\theta , L1), M \asymp 2nn\nu - 1, которая установлена в предыдущей теореме.
Теорема 5 доказана.
В заключение этой части работы приведем утверждение, в котором получены оценки неко-
торых аппроксимативных характеристик классов W r
p,\alpha .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1412 А. С. РОМАНЮК
Теорема 6. Пусть 1 < p < \infty , r1 > 0. Тогда имеют место соотношения
dM (W r
p,\alpha , L1) \asymp dTM (W r
p,\alpha , L1) \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1 . (16)
Доказательство. Оценки сверху для обоих поперечников реализуются при приближении
функций f \in W r
p,\alpha в пространстве Lp, 1 < p < \infty , их ступенчатыми гиперболическими сум-
мами Фурье S\gamma
n(f) =
\sum
(s,\gamma )\leq n
\delta s(f), M \asymp 2nn\nu - 1 (см. [9], гл. 2, § 2).
Соответствующие оценки снизу в (16) являются следствием оценки
dM (W r
\infty ,\alpha , L1) \gg (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)r1 , r1 > 0,
которая получена в [13].
Теорема 6 доказана.
Приведем некоторые комментарии относительно оценок (16).
В первую очередь отметим, что порядок линейного поперечника
\lambda M (W r
p,\alpha , L1), 1 < p < \infty , r1 > 0,
известен [23], и при этом
\lambda M (W r
p,\alpha , L1) \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1 .
Кроме того, воспользовавшись известными результатами, легко установить порядок энтро-
пийных чисел \varepsilon M (W r
p,\alpha , L1). Так, сопоставляя оценку сверху колмогоровского поперечника
dM (W r
p,\alpha , L1) ( см. (16)) с оценкой снизу энтропийных чисел \varepsilon M (W r
p,\alpha , L1) [23]:
\varepsilon M (W r
p,\alpha , L1) \gg (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1 , 1 < p < \infty , r1 > 0,
в силу теоремы А приходим к соотношению
\varepsilon M (W r
p,\alpha , L1) \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1 , 1 < p < \infty , r1 > 0. (17)
Наконец, в дополнение к соотношениям (16), (17) приведем оценки, которые следуют из
работы [13] (см. также [18, 24]) и имеют вид
\varepsilon M (W r
\infty ,\alpha , L1) \asymp dM (W r
\infty ,\alpha , L1) \asymp (M - 1 \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1 .
3. Энтропийные числа и поперечники классов \bfitB \bfitr
\bfitp ,\bfittheta в пространстве \bfitB \bfone ,\bfone . В преды-
дущем пункте получены оценки исследуемых асимптотических характеристик классов Br
p,\theta в
пространстве L1 при определенных ограничениях на параметры p и \theta . В связи с этим об-
стоятельством представляется интересным исследовать аналогичные характеристики тех же
классов, но в пространстве B1,1, норма в котором определяется по формуле
\| f\| B1,1 =
\sum
s
\| As(f)\| 1.
Для изложения полученных результатов нам понадобятся некоторые обозначения и опреде-
ления.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА И ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ Br
p,\theta ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1413
Пусть
\rho (s) =
\bigl\{
k = (k1, . . . , kd) : 2sj - 1 \leq kj \leq 2sj , j = 1, d
\bigr\}
и
T (\rho (s)) =
\left\{ t : t(x) =
\sum
k\in \rho (s)
\^t(k)ei(k,x)
\right\} .
Заметим, что каждый полином t \in T (\rho (s)), sj \geq 2, j = 1, d, может быть представлен в виде
t(x) = ei(k
s,x)t1(x),
где ks = (ks11 , . . . , ksdd ), k
sj
j = 2sj - 1 + 2sj - 2, j = 1, d, и t1(x) — полином степени 2sj - 2 по
переменной xj , j = 1, d.
Далее, для m = (m1, . . . ,md), mj \in \BbbZ +, обозначим через RT (m) множество действитель-
ных тригонометрических полиномов t вида
t(x) =
\sum
| kj | \leq mj ,j=1,d
\^t(k)ei(k,x),
и пусть
T \prime (\rho (s)) =
\Bigl\{
t : t(x) = ei(k
s,x)t1(x), t1 \in RT (2s - 2)
\Bigr\}
.
Для четного n определим следующие множества:
\Omega \ast
n =
\bigl\{
s : s1 + . . .+ sd = n, sj - четные числа, j = 1, d
\bigr\}
,
Q\prime
n =
\bigcup
s\in \Omega \ast
n
\rho (s),
T \prime (Q\prime
n) =
\left\{ t : t(x) =
\sum
s\in \Omega \ast
n
ei(k
s,x)t1s(x), t
1
s \in RT (2s - 2)
\right\} ,
T \prime (Q\prime
n)\infty =
\bigl\{
t \in T \prime (Q\prime
n) : \| t1s\| \infty \leq 1
\bigr\}
.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть 1 \leq p \leq \infty , r1 > 0, 1 \leq \theta \leq \infty . Тогда имеют место соотношения
dM (Br
p,\theta , B1,1) \asymp \varepsilon M (Br
p,\theta , B1,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta . (18)
Доказательство. Чтобы воспользоваться леммой А, получим оценку снизу энтропийных
чисел \varepsilon M (Br
p,\theta , B1,1), а сверху — поперечника dM (Br
p,\theta , B1,1). При этом оценку снизу доста-
точно установить при \nu = d и p = \infty .
Пусть \theta \in [1,\infty ). В таком случае воспользуемся тем фактом (см. доказательство теоремы
3 [1]), что во множестве T \prime (Q\prime
n)\infty 2 - nr1n - d - 1
\theta \subset Br
\infty ,\theta найдется набор функций \{ fj\} 2
M
j=1 таких,
что при i \not = j выполнено неравенство
\| fi - fj\| 2 \gg 2 - nr1n
(d - 1)
\Bigl(
1
2 -
1
\theta
\Bigr)
, M \asymp 2nnd - 1. (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1414 А. С. РОМАНЮК
Отправляясь от (19), с помощью элементарных преобразований легко получить оценку
\| fi - fj\| B1,1 \gg 2 - nr1n
(d - 1)
\Bigl(
1 - 1
\theta
\Bigr)
.
Действительно, для g \in T \prime (Q\prime
n)\infty имеем
\| g\| 22 =
\sum
s\in \Omega \ast
n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
As\prime (g)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
2
\ll
\sum
s\in \Omega \ast
n
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
\| As\prime (g)\| 22 \leq
\leq
\sum
s\in \Omega \ast
n
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
\| As\prime (g)\| 1\| As\prime (g)\| \infty \leq \| g\| B1,1\| g\| B\infty ,\infty \ll \| g\| B1,1 . (20)
Далее, принимая во внимание, что согласно (19) существует 2M функций \{ gj\} 2
M
j=1 \in T \prime (Q\prime
n)\infty
таких, что при i \not = j
\| gi - gj\| 2 \gg n
d - 1
2 ,
из (19) и (20) приходим к оценке
\varepsilon M (Br
\infty ,\theta , B1,1) \gg 2 - nr1n
(d - 1)
\Bigl(
1 - 1
\theta
\Bigr)
\asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)r1+1 - 1
\theta . (21)
Пусть теперь \theta = \infty . В этом случае оценка снизу величины \varepsilon M (Hr
\infty , B1,1) известна и
получена В. Н. Темляковым [23]:
\varepsilon M (Hr
\infty , B1,1) \gg M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}d - 1M)r1+1. (22)
Переходя к доказательству оценки сверху поперечника dM (Br
p,\theta , B1,1), заметим, что в силу
вложения Br
p,\theta \subset Br
1,\theta достаточно ограничиться рассмотрением случая p = 1. Покажем, что
искомая оценка реализуется при приближении M -мерным подпространством тригонометри-
ческих полиномов с „номерами” гармоник из расширенного ступенчатого гиперболического
креста Qr\prime
n =
\bigcup
(s,\gamma \prime )\leq n
\rho (s), M \asymp 2nn\nu - 1.
Итак, пусть f \in Br
1,\theta , \theta \in [1,\infty ). Тогда в качестве приближающего полинома для функции
f рассмотрим полином вида
tn =
\sum
(s,\gamma \prime )<n
As(f),
где число n \in \BbbN удовлетворяет соотношению 2nn\nu - 1 \asymp M. Приняв во внимание определение
нормы в пространстве B1,1, можем записать
\| f - tn\| B1,1 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
(s,\gamma \prime )\geq n
As(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
B1,1
=
\sum
s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
\sum
(s,\gamma \prime )\geq n
As(f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\leq
\sum
(s,\gamma \prime )\geq n - d
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| As \ast
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
As\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\leq
\sum
(s,\gamma \prime )\geq n - d
\| As\| 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
As\prime (f)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1
\ll
\ll
\sum
(s,\gamma \prime )\geq n - d
\sum
\| s - s\prime \| \infty \leq 1
\| As\prime (f)\| 1 \ll
\sum
(s,\gamma \prime )\geq n - 2d
\| As(f)\| 1 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА И ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ Br
p,\theta ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1415
=
\sum
(s,\gamma \prime )\geq n - 2d
2(s,r)\| As(f)\| 12 - (s,r) = I. (23)
Далее, применив к I неравенство Гельдера с показателем \theta (с естественной модификацией при
\theta = 1) и воспользовавшись затем леммой Б, будем иметь
I \leq
\left( \sum
(s,\gamma \prime )\geq n - 2d
2(s,r)\theta \| As(f)\| \theta 1
\right) 1/\theta \left( \sum
(s,\gamma \prime )\geq n - 2d
2 - (s,r)\theta \prime
\right) 1/\theta \prime
\ll
\ll \| f\| Br
1,\theta
\left( \sum
(s,\gamma \prime )\geq n - 2d
2 - (s,r)\theta \prime
\right) 1/\theta \prime
\leq
\left( \sum
(s,\gamma \prime )\geq n - 2d
2 - (s,r)\theta \prime
\right) 1/\theta \prime
\asymp
\asymp 2 - nr1n
(\nu - 1)
\Bigl(
1 - 1
\theta
\Bigr)
. (24)
Аналогично, в случае \theta = \infty из (23) находим
\| f - tn\| B1,1 \ll
\sum
(s,\gamma \prime )\geq n - 2d
\| As(f)\| 1 \ll
\sum
(s,\gamma \prime )\geq n - 2d
2 - (s,r) \asymp 2 - nr1n\nu - 1. (25)
Сопоставляя (23) – (25) и принимая во внимание соотношение M \asymp 2nn\nu - 1, приходим к
оценке
dM (Br
p,\theta , B1,1) \ll M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta . (26)
Таким образом, для завершения доказательства соотношений (18) осталось воспользоваться
леммой А по отношению к оценкам (21), (22) и (26).
Теорема 7 доказана.
Приведем некоторые комментарии.
В первую очередь отметим, что оценка снизу колмогоровского поперечника dM (Hr
\infty , B1,1)
получена В. Н. Темляковым [23].
Далее, поскольку порядок поперечника dM (Br
p,\theta , B1,1) реализуется подпространством три-
гонометрических полиномов с „номерами” гармоник из множества Qr\prime
n , M \asymp 2nn\nu - 1, то, как
следствие (18), можно сформулировать следующее утверждение.
Теорема 8. Пусть 1 \leq p \leq \infty , r1 > 0, 1 \leq \theta \leq \infty . Тогда имеют место соотношения
\lambda M (Br
p,\theta , B1,1) \asymp dTM (Br
p,\theta , B1,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+1 - 1
\theta . (27)
Замечание 4. Сопоставляя (18) и (27) с оценками, содержащимися в теореме 4, а также в
теореме 5 [1], видим, что при d \geq 2, 2 \leq p \leq \infty , 2 \leq \theta \leq \infty , r1 > 0 порядки соответствующих
величин в пространствах L1 и B1,1 различаются множителем (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)
1
2 . Что касается одно-
мерного случая, то здесь ситуация иная, а именно те характеристики классов Br
p,\theta , о которых
идет речь в настоящей работе, имеют одинаковые порядки в пространствах L1 и B1,1.
В заключение приведем утверждение, относящееся к классам W r
p,\alpha .
Теорема 9. Пусть 1 < p < \infty , r1 > 0. Тогда справедливы соотношения
dM (W r
p,\alpha , B1,1) \asymp \varepsilon M (W r
p,\alpha , B1,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 . (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1416 А. С. РОМАНЮК
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 7, будем использовать лемму А.
С одной стороны, примем во внимание известную оценку энтропийных чисел \varepsilon M (W r
p,\alpha , B1,1)
[23]:
\varepsilon M (W r
p,\alpha , B1,1) \gg M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 , 1 \leq p < \infty . (29)
С другой стороны, нетрудно получить соответствующую оценку сверху для колмогоровского
поперечника dM (W r
p,\alpha , B1,1).
Пусть p \in (1, 2]. Тогда, учитывая, что W r
p,\alpha \subset Br
p,2, и используя оценку поперечника
dM (Br
p,2, B1,1) (см. теорему 7), можем записать
dM (W r
p,\alpha , B1,1) \ll dM (Br
p,2, B1,1) \asymp M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 . (30)
Если же p \in (2,\infty ), то, отправляясь от (30), имеем
dM (W r
p,\alpha , B1,1) \ll dM (W r
2,\alpha , B1,1) \ll M - r1(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)r1+
1
2 . (31)
Таким образом, для завершения доказательства соотношений (28) осталось воспользоваться
леммой А по отношению к оценкам (29) – (31).
Теорема 9 доказана.
Замечание 5. Сопоставляя теоремы 8 и 6 (см. также (17)), видим, что при d \geq 2 поряд-
ки соответствующих величин классов W r
p,\alpha в пространствах L1 и B1,1 различаются множи-
телем (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\nu - 1M)
1
2 .
Литература
1. Романюк А. С. Оценки энтропийных чисел и колмогоровских поперечников классов Никольского – Бесова
периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 2015. – 67 , № 11. – С. 1540 – 1556.
2. Dinh Dung. Non-linear approximations using sets of finite cardinality or finite pseudo-dimension // J. Complexity. –
2001. – 17, № 2. – P. 467 – 492.
3. Аманов Т. И. Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S
(r)
p,\theta B(\BbbR n) и S
(r)
p,\theta \ast B(0 \leq
\leq xj \leq 2\pi ; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 77. – С. 5 – 34.
4. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – С. 143 – 161.
5. H\"ollig K. Diameters of classes of smooth functions // Quant. Approxim. – New York: Acad. Press, 1980. – P. 163 – 176.
6. Kolmogoroff A. \"\mathrm{U}ber die beste Ann\"\mathrm{a}herung von Functionen einer gegeben Functionenclasse // Ann. Math. – 1936. –
37. – P. 107 – 111.
7. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений //
Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – С. 81 – 120.
8. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций
тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. – 1974. – 29, № 3. – С. 161 – 178.
9. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 1 – 112.
10. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 419 p.
11. Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных //
Працi Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 93. – 352 с.
12. Carl B. Entropy numbers, s-numbers, and eigenvalue problems // J. Funct. Anal. – 1981. – 41. – P. 290 – 306.
13. Кашин Б. С., Темляков В. Н. Об оценке аппроксимативных характеристик классов функций с ограниченной
смешанной производной // Мат. заметки. – 1995. – 58, № 6. – С. 922 – 925.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ЭНТРОПИЙНЫЕ ЧИСЛА И ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ Br
p,\theta ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1417
14. Temlyakov V. N. An inequality for trigonometric polynomials and its application for estimating the Kolmogorov
widths // East J. Approxim. – 1996. – 2, № 1. – P. 89 – 98.
15. Temlyаkov V. N. An inequality for trigonometric polynomials and its application for estimating the entropy numbers //
J. Complexity. – 1995. – 11. – P. 293 – 307.
16. Романюк А. С. О наилучших приближениях и колмогоровских поперечниках классов Бесовa периодических
функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 1. – С. 79 – 92.
17. Романюк А. С. Поперечники и наилучшее приближение классов Br
p,\theta периодических функций многих пере-
менных // Anal. Math. – 2011. – 37. – P. 181 – 213.
18. Белинский Э. С. Асимптотические характеристики классов функций с условиями на смешанную производную
(смешанную разность) // Исследования по теории функций многих вещественных переменных. – Ярославль:
Ярослав. ун-т, 1990. – С. 22 – 37.
19. Temlyаkov V. N. On two problems in the multivariate approximation // East J. Approxim. – 1998. – 4, № 4. –
P. 505 – 514.
20. Романюк А. С. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных //
Мат. сб. – 2008. – 199, № 2. – С. 93 – 114.
21. Романюк А. С. Приближение классов Br
p,\theta периодических функций одной и многих переменных // Мат.
заметки. – 2010. – 87, № 3. – С. 429 – 442.
22. Романюк А. С. Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в пространстве Lq //
Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 10. – С. 1398 – 1408.
23. Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной произ-
водной или разностью // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 189. – С. 138 – 168.
24. Кашин Б. С., Темляков В. Н. О наилучших m-членных приближениях и энтропии множеств в пространстве
L1 // Мат. заметки. – 1994. – 56, № 5. – С. 57 – 86.
Получено 02.03.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1928 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:23Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1e/d319b7c8792358f4b4e8ded6514f181e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19282022-02-16T12:18:13Z Entropy numbers and the widths of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functionsof many variables Энтропийные числа и поперечники классов $B_{p,θ}^r$ периодических функциймногих переменных Энтропийные числа и поперечники классов $B_{p,θ}^r$ периодических функциймногих переменных Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. We establish the exact order estimates for the entropy numbers of the Nikol’skii – Besov classes of periodic functions of two variables in the space $L_\infty$ and use the obtained results in estimating the lower bounds for Kolmogorov, linear, and trigonometric widths. We also study the behavior of similar approximating characteristics of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functions of many variables in the spaces $L_1$ and $B_{1,1}$. Встановлено точнi за порядком оцiнки ентропiйних чисел класiв Нiкольського – Бєсова $B_{p,θ}^r$ перiодичних функцiй двох змiнних у просторi $L_\infty$ i одержанi результати застосовано для оцiнювання знизу колмогоровських, лiнiйних та тригонометричних поперечникiв. Дослiджено також поведiнку аналогiчних асимптотичних характеристик класiв $B_{p,θ}^r$ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторах $L_1$ i $B_{1,1}$. Встановлено точнi за порядком оцiнки ентропiйних чисел класiв Нiкольського – Бєсова $B_{p,θ}^r$ перiодичних функцiй двох змiнних у просторi $L_\infty$ i одержанi результати застосовано для оцiнювання знизу колмогоровських, лiнiйних та тригонометричних поперечникiв. Дослiджено також поведiнку аналогiчних асимптотичних характеристик класiв $B_{p,θ}^r$ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторах $L_1$ i $B_{1,1}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1928 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 10 (2016); 1403-1417 Український математичний журнал; Том 68 № 10 (2016); 1403-1417 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1928/910 Copyright (c) 2016 Romanyuk A. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. Entropy numbers and the widths of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functionsof many variables |
| title | Entropy numbers and the widths of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functionsof many variables |
| title_alt | Энтропийные числа и поперечники классов $B_{p,θ}^r$ периодических функциймногих переменных Энтропийные числа и поперечники классов $B_{p,θ}^r$ периодических функциймногих переменных |
| title_full | Entropy numbers and the widths of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functionsof many variables |
| title_fullStr | Entropy numbers and the widths of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functionsof many variables |
| title_full_unstemmed | Entropy numbers and the widths of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functionsof many variables |
| title_short | Entropy numbers and the widths of the classes $B_{p,θ}^r$ of periodic functionsof many variables |
| title_sort | entropy numbers and the widths of the classes $b_{p,θ}^r$ of periodic functionsof many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1928 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas entropynumbersandthewidthsoftheclassesbpthrofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanûkas entropynumbersandthewidthsoftheclassesbpthrofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanûkas entropynumbersandthewidthsoftheclassesbpthrofperiodicfunctionsofmanyvariables AT romanyukas éntropijnyečislaipoperečnikiklassovbpthrperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkas éntropijnyečislaipoperečnikiklassovbpthrperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkas éntropijnyečislaipoperečnikiklassovbpthrperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyh |