On the relationships between the central series in some locally finite groups
It is proved that the class of locally finite divisible-by-bounded groups is both a Schur class and a Baer class.
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1931 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507824962928640 |
|---|---|
| author | Pypka, A. A. Пипка, О. О. |
| author_facet | Pypka, A. A. Пипка, О. О. |
| author_sort | Pypka, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:31:57Z |
| description | It is proved that the class of locally finite divisible-by-bounded groups is both a Schur class and a Baer class. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.544
О. О. Пипка (Днiпропетр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
ПРО ЗВ’ЯЗКИ МIЖ ЦЕНТРАЛЬНИМИ РЯДАМИ
В ДЕЯКИХ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ ГРУПАХ
It is proved that the class of locally finite divisible-by-bounded groups is both a Schur class and a Baer class.
Доказано, что класс локально конечных групп, каждая из которых является расширением делимой группы с помо-
щью ограниченной, является классом Шура и классом Бэра.
1. Вступ. Нехай G — група. Нагадаємо, що верхнiм центральним рядом групи G називається
ряд
\langle 1\rangle = \zeta 0(G) \leq \zeta 1(G) \leq \zeta 2(G) \leq . . . \zeta \alpha (G) \leq \zeta \alpha +1(G) \leq . . . \zeta \gamma (G),
де \zeta 1(G) = \zeta (G) — центр групи G, \zeta \alpha +1(G)/\zeta \alpha (G) = \zeta (G/\zeta \alpha (G)) для кожного порядкового
числа \alpha , та \zeta \lambda (G) =
\bigcup
\mu <\lambda
\zeta \mu (G) для кожного граничного порядкового числа \lambda .
Нижнiм центральним рядом групи G називається ряд
G = \gamma 1(G) \geq \gamma 2(G) \geq . . . \gamma \alpha (G) \geq \gamma \alpha +1(G) \geq . . . \gamma \delta (G),
де \gamma 2(G) = [G,G] – комутант групи G, \gamma \alpha +1(G) = [\gamma \alpha (G), G] для кожного порядкового числа
\alpha , та \gamma \lambda (G) =
\bigcap
\mu <\lambda
\gamma \mu (G) для кожного граничного порядкового числа \lambda .
Мiж верхнiм та нижнiм центральними рядами iснує досить сильний та щiльний зв’язок.
Наприклад, якщо G — нiльпотентна група, то iснує таке натуральне число k, що G = \zeta k(G),
що тягне за собою рiвнiсть \gamma k+1(G) = \langle 1\rangle .
Одним iз найбiльш цiкавих та корисних результатiв в теорiї нескiнченних груп є така
теорема.
Теорема 1. Нехай C — пiдгрупа центра \zeta (G) групи G. Якщо фактор-група G/C скiнчен-
на, то скiнченною буде i пiдгрупа [G,G].
Цей результат було доведено в роботах Б. Неймана [12] та Р. Бера [2], проте багато алге-
браїстiв знають цю теорему як теорему Шура. Це непорозумiння має досить цiкаву iсторiю i
пов’язане з деякими огрiхами при цитуваннi першоджерел.
У зв’язку з цим результатом природно постає таке питання: для яких класiв груп X включення
G/\zeta (G) \in X завжди тягне за собою включення [G,G] \in X? Клас груп X, що задовольняє таку
умову, називається класом Шура [6]. Як ми бачимо, теорема Шура стверджує, що клас всiх
скiнченних груп є класом Шура.
Р. Бер в роботi [2] отримав наступне узагальнення теореми Шура.
Теорема 2. Якщо фактор-група G/\zeta k(G) скiнченна, то скiнченною буде i пiдгрупа \gamma k+1(G).
У зв’язку з цим результатом ми можемо визначити таке поняття. Клас груп X називається
класом Бера, якщо з того, що G/\zeta k(G) \in X для деякого натурального числа k, випливає, що
\gamma k+1(G) \in X [9]. Очевидно, теорема Бера показує, що клас всiх скiнченних груп є класом Бера.
Зазначимо також, що кожен клас Бера є водночас i класом Шура. З означення випливає, що
c\bigcirc О. О. ПИПКА, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10 1437
1438 О. О. ПИПКА
обернене твердження в загальному випадку може i не виконуватись. На жаль, до цього часу ще
не було знайдено жодного вiдповiдного прикладу класу Шура, який би не був класом Бера.
Деякi iншi приклади класiв Шура та Бера можна знайти, наприклад, у статтях [3 – 6, 8, 10,
13]. Також зазначимо, що дана тематика є актуальною не лише для груп. Аналогiчнi дослiджен-
ня проводяться в алгебрах Лi, алгебрах Лейбнiца, кiльцях Лi та модулях. Це наштовхує на думку,
що цей ланцюг можна продовжити й iншими алгебраїчними структурами.
Нагадаємо, що група G обмежена або має скiнченну експоненту b, якщо gb = 1 для кожного
елемента g групи G, а число b є найменшим натуральним числом з цiєю властивiстю.
Також нагадаємо, що групу G називають подiльною, якщо для кожного елемента g групи G
та кожного цiлого числа n рiвняння xn = g завжди має розв’язок у групi G. Iншими словами,
група G подiльна, якщо для кожного цiлого числа n виконується рiвнiсть Gn = G.
Вiдомо, що клас локально скiнченних груп скiнченної експоненти є класом Шура [11] та
класом Бера [9]. Бiльш того, клас локально скiнченних груп, в яких силовськi p-пiдгрупи мають
скiнченну експоненту, є класом Шура та класом Бера [13].
Одним iз шляхiв продовження подiбних дослiджень є розгляд класу локально скiнченних
груп, кожна з яких є розширенням подiльної групи за допомогою обмеженої, тобто таких
локально скiнченних груп, що мiстять нормальну подiльну пiдгрупу D, для якої фактор-група
G/D є обмеженою.
Цей клас груп з’являється при вивченнi рiзних питань теорiї нескiнченних груп, особливо
теорiї нескiнченних абелевих груп, що iлюструє наступний результат.
Теорема 3 (див., наприклад, [7], теорему 100.1). Перiодична група T є прямою сумою по-
дiльної та обмеженої груп тодi i тiльки тодi, коли кожна мiшана група з перiодичною части-
ною T розщеплюється.
Основною метою даної статтi є доведення того факту, що клас локально скiнченних груп,
кожна з яких є розширенням подiльної групи за допомогою обмеженої, є класом Шура i класом
Бера. Бiльш конкретно, будуть доведенi такi теореми.
Теорема A. Припустимо, що група G має ряд таких нормальних пiдгруп G \geq D \geq \zeta (G),
що G/\zeta (G) локально скiнченна, D/\zeta (G) подiльна та абелева, а G/D обмежена. Тодi [G,G]
також локально скiнченна та є розширенням подiльної групи за допомогою обмеженої.
Теорема B. Припустимо, що група G має ряд таких нормальних пiдгруп G \geq D \geq \zeta k(G),
що G/\zeta k(G) локально скiнченна, D/\zeta k(G) подiльна та абелева, а G/D обмежена. Тодi пiд-
група \gamma k+1(G) також локально скiнченна та є розширенням подiльної групи за допомогою
обмеженої.
2. Доведення теореми А.
Лема 1. Припустимо, що фактор-група G/\zeta (G) локально скiнченна, подiльна та абелева.
Тодi G абелева.
Доведення. Для кожного елемента a групи G визначимо вiдображення \xi a : G \rightarrow G за
правилом \xi a(x) = [x, a]. Розглянемо \xi a(xy) :
\xi a(xy) = [xy, a] = [x, a]y[y, a] = [x, a][y, a] = \xi a(x)\xi a(y),
оскiльки [x, a] \in \zeta (G). Це означає, що \xi a(x) — епiморфiзм групи G. Бiльш того,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
ПРО ЗВ’ЯЗКИ МIЖ ЦЕНТРАЛЬНИМИ РЯДАМИ В ДЕЯКИХ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ ГРУПАХ 1439
\mathrm{I}\mathrm{m}(\xi a) = [G, a], \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\xi a) = CG(a).
Тодi за теоремою про епiморфiзми
[G, a] = \mathrm{I}\mathrm{m}(\xi a) \sim = G/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\xi a) = G/CG(a).
Очевидно, що \zeta (G) \leq CG(a), звiдки випливає включення G/CG(a) \leq G/\zeta (G). Якщо
CG(a) \not = G, то фактор-група G/CG(a) є нетривiальною подiльною абелевою групою. Розгля-
немо
[x, a2] = [x, aa] = [x, a][x, a]a = [x, a][x, a] = [x, a]2.
За iндукцiєю по n ми можемо отримати, що [x, an] = [x, a]n. Оскiльки G/\zeta (G) перiодична,
то iснує таке натуральне число t, що at \in \zeta (G). Отже, [x, a]t = [x, at] = 1 для кожного
елемента x \in G. Це означає, що пiдгрупа [G, a] є обмеженою. Оскiльки [G, a] \sim = G/CG(a),
то ми отримуємо суперечнiсть, яка показує, що CG(a) = G. Нарештi, оскiльки a є довiльним
елементом групи G, то G абелева.
Лема 2. Припустимо, що група G має ряд таких нормальних пiдгруп G \geq D \geq \zeta (G), що
G/\zeta (G) локально скiнченна, D/\zeta (G) подiльна та абелева, а G/D обмежена. Тодi [G,D] є
подiльною абелевою групою.
Доведення. Покладемо \zeta (G) = Z. Оскiльки D/Z подiльна, то
D/Z = \bfD \bfr
\lambda \in I
C\lambda /Z,
де C\lambda /Z — квазiциклiчнi p-пiдгрупи (p — просте число), тобто
C\lambda /Z = \langle anZ| (an+1Z)p = anZ\rangle .
Для довiльного елемента g \in G розглянемо
[g, (an+1)
2] = [g, an+1an+1] = [g, an+1][g, an+1]
an+1 =
= [g, an+1][g, an+1] = [g, an+1]
2,
оскiльки за лемою 1 D є абелевою. Застосувавши iндукцiю, отримаємо
[g, an+1]
p = [g, (an+1)
p] = [g, an].
Таким чином, отриманi спiввiдношення показують, що група
[g, C\lambda ] = \langle [g, an]| n \in \BbbN \rangle
є квазiциклiчною p-групою. В свою чергу, група [G,C\lambda ] породжується пiдгрупами [g, C\lambda ] [9]
(наслiдок 2.2), i тому [G,C\lambda ] є подiльною групою для кожної пiдгрупи C\lambda . Оскiльки D/Z =
= Dr\lambda \in IC\lambda /Z, то за наслiдком 2.2 роботи [9] отримуємо
[G,D] = \langle [G,C\lambda ]| \lambda \in I\rangle .
Зазначимо, що група, породжена подiльними пiдгрупами, також є подiльною. Отже, [G,D] —
подiльна абелева група.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
1440 О. О. ПИПКА
Доведення теореми A. За лемою 1 пiдгрупа D є абелевою. Оскiльки
D/[G,D] \leq \zeta (G/[G,D]),
то
(G/[G,D])/\zeta (G/[G,D]) \leq (G/[G,D])/(D/[G,D]) \sim = G/D.
За нашим припущенням фактор-група G/D обмежена. Це означає, що (G/[G,D])/\zeta (G/[G,D])
також обмежена. Тодi за теоремою 1 роботи [11] комутант [G/[G,D], G/[G,D]] є локально
скiнченною та обмеженою групою. За лемою 2 група [G,D] подiльна та абелева. Оскiльки
[G/[G,D], G/[G,D]] = [G,G]/[G,D],
то [G,G] — локально скiнченна група, яка є розширенням подiльної групи за допомогою
обмеженої.
3. Доведення теореми B.
Лема 3. Нехай A — абелева нормальна пiдгрупа групи G. Припустимо, що фактор-група
A/(\zeta (G) \cap A) локально скiнченна та є розширенням подiльної групи за допомогою обмеже-
ної. Тодi [A,G] також локально скiнченна та є розширенням подiльної групи за допомогою
обмеженої.
Доведення. Покладемо \zeta (G) = Z. Виберемо таку пiдмножину M групи G, що G =
= \langle CG(A),M\rangle . Для довiльного елемента g \in G розглянемо вiдображення \xi g : A \rightarrow A, яке
визначається за правилом \xi g(x) = [x, g]. Ранiше ми вже довели, що вiдображення \xi g є ен-
доморфiзмом пiдгрупи A. Оскiльки (Z \cap A) \leq CG(A), то A/CG(A) \leq A/(Z \cap A), звiдки
випливає, що A/CG(A) локально скiнченна та є розширенням подiльної групи за допомогою
обмеженої. Iзоморфiзм
[A, g] = \mathrm{I}\mathrm{m}(\xi g) \sim = A/\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\xi g) = A/CG(A)
показує, що пiдгрупа [A, g] також локально скiнченна та є розширенням подiльної групи за
допомогою обмеженої. За наслiдком 2.2 з роботи [9] [A,G] є добутком пiдгруп [A, g] для всiх
g \in M. А це означає, що [A,G] локально скiнченна та є розширенням подiльної групи за
допомогою обмеженої.
Доведення теореми B. Розглянемо верхнiй центральний ряд
\langle 1\rangle = Z0 \leq Z1 \leq . . . \leq Zk - 1 \leq Zk = Z
групи G. Застосуємо iндукцiю по k.
Якщо k = 1, то G/Z1 = G/\zeta (G) локально скiнченна та є розширенням подiльної групи за
допомогою обмеженої. Теорема A показує, що в цьому випадку пiдгрупа \gamma 2(G) = [G,G] також
локально скiнченна та є розширенням подiльної групи за допомогою обмеженої.
Припустимо тепер, що k > 1 i ми вже довели, що пiдгрупа \gamma k(G/Z1) локально скiнченна
та є розширенням подiльної групи за допомогою обмеженої. Покладемо K/Z1 = \gamma k(G/Z1) та
L = \gamma k(G). Отже, L \leq K. Застосовуючи теорему A до пiдгрупи K, отримуємо, що пiдгрупа
D = [K,K] локально скiнченна та є розширенням подiльної групи за допомогою обмеженої.
Оскiльки фактор-група K/D абелева, то LD/D також абелева. Таким чином, маємо
(LD/D)(LD/D \cap Z1D/D) = (LD/D)((LD \cap Z1D)/D) \sim = LD/(LD \cap Z1D) \sim =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 10
\sim = (LD)(Z1D)/(Z1D) = (LZ1D)/(Z1D) \sim = L/(L \cap Z1D),
звiдки випливає, що пiдгрупа (LD/D)(LD/D \cap Z1D/D) є епiморфним образом фактор-групи
L/(L \cap Z1). Оскiльки L/(L \cap Z1) \sim = LZ1/Z1 \leq K/Z1, то L/(L \cap Z1) локально скiнченна
та є розширенням подiльної групи за допомогою обмеженої. Отже, це виконується i для пiд-
групи (LD/D)(LD/D \cap Z1D/D). Застосовуючи лему 3 до фактор-групи G/D, отримуємо,
що її пiдгрупа V/D = [LD/D,G/D] локально скiнченна та є розширенням подiльної групи
за допомогою обмеженої. Оскiльки центр фактор-групи G/V мiстить LV/V, а фактор-група
(G/V )/(LV/V ) нiльпотентна класу не бiльше за k, то \gamma k+1(G) \leq V. Це, в свою чергу, показує,
що \gamma k+1(G) локально скiнченна та є розширенням подiльної групи за допомогою обмеженої.
Зауваження. Не можна узагальнити теорему A (вiдповiдно, теорему B) на випадок, коли
фактор-група G/\zeta (G) (вiдповiдно, G/\zeta k(G)) перiодична. С. I. Адян в роботi [1] побудував
приклад такої вiльної вiд скруту групи G, що G/\zeta (G) — перiодична скiнченнопороджена p-
група (p — просте число), але [G,G] не обмежена. Iншими словами, клас перiодичних груп не
є нi класом Шура, нi класом Бера.
Лiтература
1. Adian S. I. Certain torsion-free groups // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. – 1971. – 35. – P. 459 – 468.
2. Baer R. Endlichkeitskriterien für Kommutatorgruppen // Math. Ann. – 1952. – 124. – P. 161 – 177.
3. Ballester-Bolinches A., Camp-Mora S., Kurdachenko L. A., Otal J. Extension of a Schur theorem to groups with a
central factor with a bounded section rank// J. Algebra. – 2013. – 393. – P. 1 – 15.
4. Dixon M. R., Kurdachenko L. A., Otal J. On groups whose factor-group modulo the hypercentre has finite section
p-rank // J. Algebra. – 2015. – 440. – P. 489 – 503.
5. Dixon M. R., Kurdachenko L. A., Pypka A. A. The theorems of Schur and Baer: a survey // Int. J. Group Theory. –
2015. – 4. – P. 21 – 32.
6. Franciosi S., de Giovanni F., Kurdachenko L. A. The Schur property and groups with uniform conjugate classes // J.
Algebra. – 1995. – 174. – P. 823 – 847.
7. Fuchs L. Infinite abelian groups. – New York: Acad. Press, 1973. – Vol. 2.
8. Kurdachenko L. A., Otal J. The rank of the factor-group modulo the hypercenter and the rank of the some hypocenter
of a group // Cent. Eur. J. Math. – 2013. – 11. – P. 1732 – 1741.
9. Kurdachenko L. A., Otal J., Pypka A. A. Relationships between the factors of the upper and the lower central series
of a group // Bull. Malays. Math. Sci. Soc. – 2016. – 39. – P. 1115 – 1124.
10. Kurdachenko L. A., Shumyatsky P. The ranks of central factor and commutator groups // Math. Proc. Cambridge Phil.
Soc. – 2013. – 154. – P. 63 – 69.
11. Mann A. The exponents of central factor and commutator groups // J. Group Theory. – 2007. – 10. – P. 435 – 436.
12. Neumann B. H. Groups with finite classes of conjugate elements // Proc. London Math. Soc. – 1951. – 1. – P. 178 – 187.
13. Pypka A. A. Analogues of theorems of Schur and Baer for some locally finite groups // Proc. F. Scorina Gomel State
Univ. – 2014. – 87. – P. 169 – 173.
Одержано 06.04.16
|
| id | umjimathkievua-article-1931 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:28Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2b/741e13604d0828eee4bcdacbac50662b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19312019-12-05T09:31:57Z On the relationships between the central series in some locally finite groups Про зв’язки між центральними рядами в деяких локально скінченних групах Pypka, A. A. Пипка, О. О. It is proved that the class of locally finite divisible-by-bounded groups is both a Schur class and a Baer class. Доказано, что класс локально конечных групп, каждая из которых является расширением делимой группы с помощью ограниченной, является классом Шура и классом Бэра. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1931 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 10 (2016); 1437-1441 Український математичний журнал; Том 68 № 10 (2016); 1437-1441 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1931/913 Copyright (c) 2016 Pypka A. A. |
| spellingShingle | Pypka, A. A. Пипка, О. О. On the relationships between the central series in some locally finite groups |
| title | On the relationships between the central series in some locally finite groups |
| title_alt | Про зв’язки між центральними рядами в деяких локально скінченних групах |
| title_full | On the relationships between the central series in some locally finite groups |
| title_fullStr | On the relationships between the central series in some locally finite groups |
| title_full_unstemmed | On the relationships between the central series in some locally finite groups |
| title_short | On the relationships between the central series in some locally finite groups |
| title_sort | on the relationships between the central series in some locally finite groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1931 |
| work_keys_str_mv | AT pypkaaa ontherelationshipsbetweenthecentralseriesinsomelocallyfinitegroups AT pipkaoo ontherelationshipsbetweenthecentralseriesinsomelocallyfinitegroups AT pypkaaa prozvâzkimížcentralʹnimirâdamivdeâkihlokalʹnoskínčennihgrupah AT pipkaoo prozvâzkimížcentralʹnimirâdamivdeâkihlokalʹnoskínčennihgrupah |