Laplacian with respect to the measure on a Riemannian manifold and the Dirichlet problem. II
We propose the $L^2$ -version of Laplacian with respect to measure on an (infinite-dimensional) Riemannian manifold. The Dirichlet problem for equations with proposed Laplacian is solved in a part of the Rimannian manifold of a certain class.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1932 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507825296375808 |
|---|---|
| author | Bogdanskii, Yu. V. Potapenko, A. Yu. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. |
| author_facet | Bogdanskii, Yu. V. Potapenko, A. Yu. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. |
| author_sort | Bogdanskii, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:19Z |
| description | We propose the $L^2$ -version of Laplacian with respect to measure on an (infinite-dimensional) Riemannian manifold. The Dirichlet problem for equations with proposed Laplacian is solved in a part of the Rimannian manifold of a certain class. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98 + 517.954
Ю. В. Богданский, А. Ю. Потапенко
(Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ”, Киев)
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ
И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ. II
We propose the L2 -version of Laplacian with respect to measure on an (infinite-dimensional) Riemannian manifold. The
Dirichlet problem for equations with proposed Laplacian is solved in a part of the Rimannian manifold of a certain class.
Запропоновано L2 -версiю лапласiана за мiрою на (нескiнченновимiрному) рiмановому многовидi. Розв’язується
задача Дiрiхле для рiвнянь з уведеним лапласiаном в областi рiманового многовиду певного класу.
Данная работа является продолжением работы [1]. Кратко напомним основные понятия. \scrM —
сепарабельное риманово многообразие класса C2, модельное пространство которого представ-
ляет собой (сепарабельное) гильбертово пространство H (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H \leq \infty ). \scrM предполагается
полным относительно внутренней метрики. На \scrM задана конечная неотрицательная борелев-
ская мера \sigma , носитель которой предполагается полным.
На \scrM корректно вводятся следующие пространства: Cb(\scrM ) (соответственно Cb;v(\scrM )) —
всех ограниченных непрерывных функций (соответственно векторных полей), C1
b (\scrM ) (соот-
ветственно C1
b;v(\scrM )) — всех ограниченных непрерывно дифференцируемых функций (соот-
ветственно векторных полей) с ограниченной производной. Если G — область в \scrM , то через
C1(G) обозначаем семейство всех функций на G, допускающих продолжение на все \scrM до
функций класса C1
b (\scrM ). Аналогично введены C(G), C1
v (G). Корректно введены и простран-
ства L2
v(\scrM ) = L2
v(\scrM , \sigma ) и L2
v(G) интегрируемых с квадратом векторных полей на \scrM и в G.
Аналогично — Lp
v(\scrM ); Lp
v(G).
Пусть G — ограниченная область в \scrM , граница которой S = \partial G — гладкое вложенное в
\scrM подмногообразие коразмерности 1 — согласована с мерой \sigma , т. е. мера \sigma дифференцируема
(по Фомину) вдоль поля \bfn \in C1
b;v(\scrM ) (\bfn — продолжение поля единичной нормали к S). В
этом случае на S корректно определена ассоциированная с \sigma поверхностная мера \tau [2 – 4].
Оператор \bfg \bfr \bfa \bfd G : L2(G) \supset C1(G) \ni u \mapsto \rightarrow \bfg \bfr \bfa \bfd u \in L2
v(G) плотно определен. В слу-
чае, когда \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\sigma \bfn \in L\infty (\scrM ) и оператор \bfg \bfr \bfa \bfd G допускает замыкание, корректно определен
(ограниченный) оператор следа \gamma : D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd
\bigr)
\rightarrow L2(S) = L2(S, \tau ), совпадающий на C1(G) с
оператором ограничения: u \mapsto \rightarrow u
\bigm| \bigm|
S
[2, 4].
Операторы \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G : L2
v(G) \rightarrow L2(G) и \Delta G : L2(G) \rightarrow L2(G) определены формулами
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G = -
\Biggl(
\bfg \bfr \bfa \bfd G
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
Ker \gamma
\Biggr) \ast
, \Delta G = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G \circ \bfg \bfr \bfa \bfd G .
c\bigcirc Ю. В. БОГДАНСКИЙ, А. Ю. ПОТАПЕНКО, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11 1443
1444 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, А. Ю. ПОТАПЕНКО
3. Задача Дирихле. Рассмотрим пример задачи Дирихле для уравнения с лапласианом
по мере в ограниченной области на римановом многообразии. Подобная задача в классиче-
ском конечномерном случае приведена, например, в [5], а в случае гильбертова пространства
исследуется в работе [6].
Далее предполагаем выполнение следующих условий:
а) векторное поле \bfn является полным и мера \sigma дифференцируема вдоль поля \bfn (согласо-
вание S и \sigma );
б) \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\sigma \bfn \in L\infty (\scrM );
в) оператор \bfg \bfr \bfa \bfd G замыкаем.
Выполнение этих условий позволяет корректно ввести операторы \bfg \bfr \bfa \bfd G, \Delta G, а также
оператор следа \gamma : L2(G) \rightarrow L2(S) с областью определения D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd G
\bigr)
.
Пусть a(\cdot ) \in C(G), a(x) \geq \alpha > 0 \forall x \in G, f \in L2(G), \varphi \in \gamma (D(\Delta G)). Рассмотрим задачу
поиска функции u \in D(\Delta G), удовлетворяющую в G уравнению
\Delta Gu - a \cdot u = f (1)
и краевому условию
\gamma (u) = \varphi . (2)
Поставленная задача решается по классической схеме.
Сначала рассмотрим случай \varphi = 0. Поскольку C1
0 (G) плотно в L2(G) и \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma \supset C1
0 (G),
функция u является решением задачи (1), (2) с \varphi = 0 в том и только в том случае, когда
u \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma и для всех v \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma удовлетворяет уравнению\int
G
v(\Delta Gu - a \cdot u) d\sigma =
\int
G
vf d\sigma
или, что эквивалентно, уравнению\int
G
\bigl( \bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd G u,\bfg \bfr \bfa \bfd G v
\bigr)
+ auv
\bigr)
d\sigma = -
\int
G
vf d\sigma . (3)
Левая часть уравнения (3) представляет собой скалярное произведение (u, v)1 в D
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd G
\bigr)
,
и соответствующая норма \| \cdot \| 1 эквивалентна норме графика. При этом существует такое число
C > 0, что при всех v \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma выполняются неравенства\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
G
vf d\sigma
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \| f\| L2(G)\| v\| L2(G) \leq \| f\| L2(G) \cdot C\| v\| 1.
В гильбертовом пространстве
\bigl(
\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma , (\cdot , \cdot )1
\bigr)
применяем теорему Рисса, в силу которой
существует, и притом единственная, функция u \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma , при всех v \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma удовлетворяющая
уравнению (3).
Если теперь u \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma удовлетворяет уравнению (3) при всех v \in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma , то, записывая
уравнение (3) в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ. II 1445\int
G
\bigl( \bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd G u,\bfg \bfr \bfa \bfd G v
\bigr) \bigr)
d\sigma = -
\int
G
v(f + a \cdot u) d\sigma ,
приходим к выводу, что \bfg \bfr \bfa \bfd G u \in D(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G), и при этом \Delta Gu = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G
\bigl(
\bfg \bfr \bfa \bfd G u
\bigr)
= f + au.
Тем самым для граничного условия \gamma (u) = 0 доказано существование и единственность
решения краевой задачи (1), (2).
Если \varphi \in \gamma (D(\Delta G)) , то существует функция w \in D(\Delta G), для которой \varphi = \gamma (w). В этом
случае функция u1 = u - w должна удовлетворять задаче
\Delta Gu1 - a \cdot u1 = f - \Delta Gw + a \cdot w \in L2(G),
\gamma (u1) = 0,
существование и единственность решения которой обоснованы выше.
Тем самым доказано следующее предложение.
Теорема 2. При выполнении технических условий а) – в) задача (1), (2) в области риманова
многообразия имеет, и притом единственное, решение.
4. Выполнение технических условий п. 3. В работе [1] в качестве нетривиального модель-
ного примера риманова многообразия \scrM была рассмотрена граница области D гильбертова
пространства H. Соответствующая борелевская мера \sigma на \scrM имела полный носитель, при этом
\scrM является полным метрическим пространством относительно внутренней метрики. Поэтому
любое векторное поле на \scrM класса C1
b;v(\scrM ) является полным. Кроме того, оператор \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM :
L2(\scrM , \sigma ) \rightarrow L2
v(\scrM , \sigma ) замыкаем.
С другой стороны, если G — ограниченная область в \scrM и соответствующее векторное поле
\bfn не согласовано с S = \partial G, то к мере \sigma применима процедура сглаживания меры вдоль поля
\bfn (см. [6]). При этом строится мера \sigma \varphi на (\scrM ,\frakB (\scrM )) по правилу
\sigma \varphi (A) =
\int
\BbbR
\varphi (t)\sigma (\Phi n
t A) dt,
где A \in \frakB (\scrM ), \varphi \in C\infty (\BbbR ), \varphi \geq 0,
\int
\BbbR
\varphi (t) dt < \infty .
Полученная мера \sigma \varphi согласована с S. Если при этом существует константа C > 0, для
которой при всех s имеет место неравенство | \varphi \prime (s)| \leq C\varphi (s)
\biggl(
например, \varphi (s) =
1
1 + s2
\biggr)
, то
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\sigma \varphi \bfn \in L\infty (\scrM , \sigma \varphi ).
Переход к мере \sigma \varphi сохраняет также свойства полноты носителя меры и замыкаемость
оператора \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM : L2(\scrM , \sigma \varphi ) \rightarrow L2
v(\scrM , \sigma \varphi ) (эти факты в [6] доказаны для случая \scrM = H, но
в случае риманова многообразия полностью аналогичны). Поэтому для меры \sigma \varphi выполняются
свойства а), б) и остается лишь доказать свойство в) — замыкаемость оператора \bfg \bfr \bfa \bfd G, что и
реализуется в приведенной ниже теореме 3.
Теорема 3. Пусть \scrM — риманово многообразие класса C2, \sigma — конечная борелевская
мера на \scrM с полным носителем, оператор \bfg \bfr \bfa \bfd = \bfg \bfr \bfa \bfd \scrM : L2(\scrM , \sigma ) \supset C1
b (\scrM ) \ni u \mapsto - \rightarrow
\mapsto - \rightarrow \bfg \bfr \bfa \bfd u \in L2
v(\scrM , \sigma ) замыкаем. G — ограниченная область в \scrM , граница которой со-
гласована с мерой \sigma , и для соответствующего векторного поля \bfn \in C1
b (\scrM ) (продолжение
поля единичной внешней нормали к S = \partial G) \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G \bfn \in L\infty (\sigma ). Для u \in C1(G) положим
\bfg \bfr \bfa \bfd G u = (\bfg \bfr \bfa \bfd \~u)
\bigm| \bigm|
G
(\~u \in C1
b (\scrM ) — продолжение u на \scrM ). Тогда оператор \bfg \bfr \bfa \bfd G :
L2(G;\sigma ) \supset C1(G) \ni u \mapsto - \rightarrow \bfg \bfr \bfa \bfd G u \in L2
v(G;\sigma ) замыкаем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1446 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, А. Ю. ПОТАПЕНКО
Доказательство. Шаг 1. Пусть um \in C1(G), um \rightarrow 0 в L2(G), \bfg \bfr \bfa \bfd G um \rightarrow \bfZ в
L2
v(G;\sigma ). Построим функции \~um \in C1
b (\scrM ) по следующей схеме. Пусть \varphi m \in C\infty (\BbbR ), 0 \leq
\leq \varphi m \leq 1, \delta m > 0, \varphi m(t) = 0 при t \geq \delta m, \varphi m(t) = 1 при t \leq 0, \varphi \prime
m(0) = 0. Если
x = \Phi ty (здесь и в дальнейшем \Phi t — поток векторного поля \bfn ), y \in S = \partial G, 0 \leq t \leq \delta m, то
полагаем \~um(x) = \varphi m(t)um
\bigl(
\Phi - 2tx
\bigr)
(= \varphi m(t(x))um
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x))
\bigr)
; для остальных значений
x полагаем \~um(x) = 0, если x /\in G, \~um(x) = u(x), если x \in G. Тогда \~um | G= um, \~um \in
\in C1
b (\scrM ).
Докажем, что при подходящем выборе последовательности \delta m достигаются сходимости\int
\scrM \setminus G
\~u2md\sigma \rightarrow 0,
\int
\scrM \setminus G
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \~um\| 2d\sigma \rightarrow 0.
Шаг 2. По аналогии с доказательством теоремы 1 (см. формулы (10), (11) в [1]) получим
\int
\scrM \setminus G
\~u2md\sigma =
\int
\Phi \delta mG\setminus G
\~u2md\sigma =
\delta m\int
0
dt
\left( d
dt
\int
\Phi tG
\~u2md\sigma
\right) , (4)
\int
\Phi 2tG1
\~u2md\sigma =
\int
G1
(\~um \circ \Phi 2t)
2 d\sigma 2t =
\int
G1
(\~um \circ \Phi 2t)
2 d\sigma 2t
d\sigma
d\sigma . (5)
Применяя равенство (5) к области G1 = \Phi - t+sG, получаем
d
dt
\int
\Phi tG
\~u2md\sigma =
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi 2t(\Phi - t+sG)
\~u2md\sigma =
=
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi - t+sG
(\~um \circ \Phi 2t)
2 d\sigma 2t
d\sigma
d\sigma \leq
\leq e2C| t| d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi - t+sG
(\~um \circ \Phi 2t)
2 d\sigma . (6)
Здесь C = \| \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}G \bfn \| L\infty (\scrM ,\sigma ).
Пусть S - t = \partial (\Phi - tG). Поле \bfn , вообще говоря, не является нормальным к поверхности
S - t. Однако (при достаточно малых t) \bfn трансверсально к S - t, что, в силу результатов работы
[4], доказывает существование на S - t поверхностной меры \tau - t, ассоциированной с мерой \sigma .
В этом случае для функций v1, v2 \in Cb(\scrM ), совпадающих на S - t, следует существование
производных и равенство
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi - t+sG
v1 d\sigma =
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi - t+sG
v2 d\sigma
(проверка этого факта аналогична доказательству леммы 4 из работы [3]).
Поскольку функции v1 = (\~um \circ \Phi 2t)
2 \in Cb(\scrM ) и v2 = \varphi 2
m(t)u2m \in Cb(\scrM ) совпадают на
S - t, то
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi - t+sG
(\~um \circ \Phi 2t)
2 d\sigma =
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi - t+sG
\varphi 2
m(t)u2m d\sigma . (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ. II 1447
Теперь из (4), (6), (7) получаем
\int
\scrM \setminus G
\~u2m d\sigma \leq
\delta m\int
0
\left( e2C| t| \varphi 2
m(t)
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi - t+sG
u2m d\sigma
\right) dt \leq
\leq e2C\delta m
\delta m\int
0
dt
d
dt
\int
\Phi - tG
u2m d\sigma = e2C\delta m
0\int
- \delta m
\left( d
dt
\int
\Phi tG
u2m d\sigma
\right) dt =
= e2C\delta m
\int
G\setminus \Phi - \delta m
u2m d\mu \rightarrow 0, m \rightarrow 0
(здесь достаточно лишь ограниченности последовательности \delta m).
Шаг 3. По аналогии с шагом 3 доказательства теоремы 1 имеем (далее x \in \scrM \setminus G)
\bfg \bfr \bfa \bfd \~um(x) =
\bigl(
\~u\prime m(x)
\bigr) \ast
=
\Bigl[ \bigl(
\varphi m(t(x))um
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr) \bigr) \prime \Bigr] \ast
=
=
\biggl[
\varphi \prime
m(t(x))t\prime (x)um
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr)
+ \varphi m(t(x))
d
dx
um
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr) \biggr] \ast
=
= \varphi \prime
m(t(x))um
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr)
\bfg \bfr \bfa \bfd t(x)+
+\varphi m(t(x))
\biggl[
u\prime m
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr) \biggl(
- 2
\partial \Phi
\partial t
( - 2t(x), x)t\prime (x) +
\partial \Phi
\partial x
( - 2t(x), x)
\biggr) \biggr] \ast
=
= \varphi \prime
m(t(x))um
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr)
\bfg \bfr \bfa \bfd t(x)+
+\varphi m(t(x))
\biggl(
- 2\bfg \bfr \bfa \bfd t(x)\bfn \ast ( - 2t(x), x) +
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
( - 2t(x), x)
\biggr) \ast \biggr)
\times
\times \bfg \bfr \bfa \bfd um
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr)
. (8)
Здесь, как и при доказательстве теоремы 1, используется интерпретация вектора v из каса-
тельного пространства Tp(\scrM ) как линейного оператора v : \BbbR \mapsto \rightarrow Tp(\scrM ) и, соответственно, v\ast :
Tp(\scrM ) \mapsto \rightarrow \BbbR . Если v1 \in Tq(\scrM ), v2 \in Tp(\scrM ), то v1 \cdot v\ast 2 — линейный оператор из Tp(\scrM )
в Tq(\scrM ), действующий по правилу v1v
\ast
2 : h \mapsto \rightarrow (h, v2)v1. Напомним также, что
\partial \Phi
\partial x
(t, x) —
линейный оператор из Tx(\scrM ) в T\Phi tx(\scrM ).
Поскольку формула (17) из [1] сохраняется и в случае риманова многообразия, из этой
формулы и (8) получаем
\bfg \bfr \bfa \bfd \~um(x) = \varphi \prime
m(t(x))um
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr) \biggl( \partial \Phi
\partial x
( - t(x), x)
\biggr) \ast
\times
\times \bfn
\bigl(
\Phi ( - t(x), x)
\bigr)
+ \varphi m
\bigl(
t(x)
\bigr) \biggl( \biggl( \partial \Phi
\partial x
( - 2t(x), x
\biggr) \biggr) \ast
-
- 2
\biggl(
\partial \Phi
\partial x
( - t(x), x)
\biggr) \ast
\bfn
\bigl(
\Phi ( - t(x), x)
\bigr)
\bfn \ast \bigl( \Phi ( - 2t(x), x)
\bigr)
\bfg \bfr \bfa \bfd um
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr)
. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1448 Ю. В. БОГДАНСКИЙ, А. Ю. ПОТАПЕНКО
При достаточно малых \delta m при всех x \in \scrM и t(x) \in (0, \delta m) выполняются неравенства\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Phi \partial x ( - t(x), x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 2,
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial \Phi \partial x ( - 2t(x), x)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 2 (соответствующий вывод полностью повторяет шаг
5 доказательства теоремы 1 из [1]), а также
\bigm\| \bigm\| \bfn \bigl( \Phi \bigl( - t(x), x
\bigr) \bigr)
\bfn \ast \bigl( \Phi \bigl( - 2t(x), x
\bigr) \bigr) \bigm\| \bigm\| \leq 2 (следует
из условия \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\scrM
\bigm\| \bigm\| \bfn \prime (\cdot )
\bigm\| \bigm\| < \infty ). Функции \varphi m подбираем таким образом, чтобы для всех t \in \BbbR
было выполнено неравенство | \varphi \prime
m(t)| \leq 2
\delta m
.
Тогда из (9) получаем (для всех s \in \scrM \setminus G)
\| \bfg \bfr \bfa \bfd \~um(x)\| \leq 4
\delta m
\bigm\| \bigm\| um\bigl( \Phi ( - 2t(x), x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| + 10
\bigm\| \bigm\| \bfg \bfr \bfa \bfd um
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| ,
откуда следует
\bigm\| \bigm\| \bfg \bfr \bfa \bfd \~um(x)
\bigm\| \bigm\| 2 \leq 32
\delta 2m
u2m
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr)
+ 200
\bigm\| \bigm\| \bfg \bfr \bfa \bfd um
\bigl(
\Phi ( - 2t(x), x)
\bigr) \bigm\| \bigm\| 2.
Далее, по аналогии с шагом 2 имеем
\int
\scrM \setminus G
\bigm\| \bigm\| \bfg \bfr \bfa \bfd \~um
\bigm\| \bigm\| 2d\sigma =
\delta m\int
0
dt
d
dt
\int
\Phi tG
\bigm\| \bigm\| \bfg \bfr \bfa \bfd \~um
\bigm\| \bigm\| 2d\sigma \leq
\leq
\delta m\int
0
e2C| t| dt
d
ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
s=0
\int
\Phi - t+sG
\bigm\| \bigm\| \bfg \bfr \bfa \bfd \~um
\bigm\| \bigm\| 2 \circ \Phi 2td\sigma \leq
\leq e2C\delta m
0\int
- \delta m
dt
d
dt
\int
\Phi tG
32
\delta 2m
u2m + 200
\bigm\| \bigm\| \bfg \bfr \bfa \bfd um
\bigm\| \bigm\| 2d\sigma \leq
\leq 32
\delta 2m
e2C\delta m\| um\| 2L2(G) + 200e2C\delta m
\int
G\setminus \Phi - \delta mG
\bigm\| \bigm\| \bfg \bfr \bfa \bfd um
\bigm\| \bigm\| 2d\sigma . (10)
Возьмем \delta m = \| um\| 1/2
L2(G)
. Тогда первое слагаемое в правой части неравенства (10) стремит-
ся к 0 при m \rightarrow \infty . А из сходимости \| \bfg \bfr \bfa \bfd G um\| 2 \rightarrow \| \bfZ \| 2 в L1(G;\sigma ) следует равномерная
абсолютная непрерывность интегралов от функций \| \bfg \bfr \bfa \bfd G um\| 2. Потому и второе слагаемое
в правой части неравенства (10) также стремится к нулю.
Пусть теперь векторное поле \bfW \in L2
v(\scrM ;\sigma ) определено условием \bfW (x) = \bfZ (x), x \in G,
\bfW (x) = 0, x /\in G. В силу доказанного выше \~um \rightarrow 0 в L2(\scrM ), \bfg \bfr \bfa \bfd \~um \rightarrow \bfW в L2
v(\scrM ).
Но поскольку оператор \bfg \bfr \bfa \bfd замыкаем, то \bfW = 0 (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\sigma ). Отсюда следует равенство \bfZ =
= 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\sigma | G), что и доказывает замыкаемость оператора \bfg \bfr \bfa \bfd G .
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ЛАПЛАСИАН ПО МЕРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ. II 1449
Литература
1. Богданский Ю. В., Потапенко А. Ю. Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Дирихле. I //
Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 7. – С. 897 – 907.
2. Богданский Ю. В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона
в L2 -версии // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1169 – 1178.
3. Богданский Ю. В. Граничный оператор следа в области гильбертова пространства и характеристическое
свойство его ядра // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – С. 1450 – 1460.
4. Богданский Ю. В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса – Остроградского //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 10. – С. 1299 – 1313.
5. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1976. – 392 с.
6. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом простран-
стве // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 6. – С. 733 – 739.
Получено 16.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1932 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:28Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/79/c1e2bd714c9a65fcfacc13f3c6be4879.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19322019-12-05T09:32:19Z Laplacian with respect to the measure on a Riemannian manifold and the Dirichlet problem. II Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Дирихле. II Bogdanskii, Yu. V. Potapenko, A. Yu. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. We propose the $L^2$ -version of Laplacian with respect to measure on an (infinite-dimensional) Riemannian manifold. The Dirichlet problem for equations with proposed Laplacian is solved in a part of the Rimannian manifold of a certain class. Запропоновано $L^2$ -версiю лапласiана за мiрою на (нескiнченновимiрному) рiмановому многовидi. Розв’язується задача Дiрiхле для рiвнянь з уведеним лапласiаном в областi рiманового многовиду певного класу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1932 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 11 (2016); 1443-1449 Український математичний журнал; Том 68 № 11 (2016); 1443-1449 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1932/914 Copyright (c) 2016 Bogdanskii Yu. V.; Potapenko A. Yu. |
| spellingShingle | Bogdanskii, Yu. V. Potapenko, A. Yu. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. Богданский, Ю. В. Потапенко, А. Ю. Laplacian with respect to the measure on a Riemannian manifold and the Dirichlet problem. II |
| title | Laplacian with respect to the measure on a Riemannian manifold and the Dirichlet problem. II |
| title_alt | Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Дирихле. II |
| title_full | Laplacian with respect to the measure on a Riemannian manifold and the Dirichlet problem. II |
| title_fullStr | Laplacian with respect to the measure on a Riemannian manifold and the Dirichlet problem. II |
| title_full_unstemmed | Laplacian with respect to the measure on a Riemannian manifold and the Dirichlet problem. II |
| title_short | Laplacian with respect to the measure on a Riemannian manifold and the Dirichlet problem. II |
| title_sort | laplacian with respect to the measure on a riemannian manifold and the dirichlet problem. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1932 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanskiiyuv laplacianwithrespecttothemeasureonariemannianmanifoldandthedirichletproblemii AT potapenkoayu laplacianwithrespecttothemeasureonariemannianmanifoldandthedirichletproblemii AT bogdanskijûv laplacianwithrespecttothemeasureonariemannianmanifoldandthedirichletproblemii AT potapenkoaû laplacianwithrespecttothemeasureonariemannianmanifoldandthedirichletproblemii AT bogdanskijûv laplacianwithrespecttothemeasureonariemannianmanifoldandthedirichletproblemii AT potapenkoaû laplacianwithrespecttothemeasureonariemannianmanifoldandthedirichletproblemii AT bogdanskiiyuv laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihleii AT potapenkoayu laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihleii AT bogdanskijûv laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihleii AT potapenkoaû laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihleii AT bogdanskijûv laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihleii AT potapenkoaû laplasianpomerenarimanovommnogoobraziiizadačadirihleii |