Almost periodic solutions of systems with delay and nonfixed times of impulsive action
We study the existence and asymptotic stability of piecewise continuous almost periodic solutions for systems of differential equations with delay and nonfixed times of impulsive action that can be regarded as mathematical models of neural networks.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1933 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507827371507712 |
|---|---|
| author | Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Ткаченко, В. І. |
| author_facet | Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Ткаченко, В. І. |
| author_sort | Dvornyk, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:19Z |
| description | We study the existence and asymptotic stability of piecewise continuous almost periodic solutions for systems of differential
equations with delay and nonfixed times of impulsive action that can be regarded as mathematical models of neural networks. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. В. Дворник, В. I. Ткаченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ
ТА НЕФIКСОВАНИМИ МОМЕНТАМИ IМПУЛЬСНОЇ ДIЇ
We study the existence and asymptotic stability of piecewise continuous almost periodic solutions for systems of differential
equations with delay and nonfixed times of impulsive action that can be regarded as mathematical models of neural networks.
Установлены условия существования и асимптотической устойчивости кусочно-непрерывных почти периодических
решений систем дифференциальных уравнений с запаздыванием и нефиксированными моментами импульсного
воздействия, которые могут рассматриваться как математические модели нейронных сетей.
1. Вступ. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь iз запiзненням та нефiксованими
моментами iмпульсної дiї
\.x(t) = A(t)x(t) +B(t)f(x(t))+
+C(t)g(x(t - h)) + \gamma (t), t \not = \tau k(x(t)), (1)
x(t+ 0) - x(t) = Dkx(t) + Ik(x(t)) + gk, t = \tau k(x(t)), k \in \BbbZ , (2)
де x \in \BbbR n, h = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, A(t) = \{ aij(t)\} , B(t) = \{ bij(t)\} i C(t) = \{ cij(t)\} — матричнозначнi
функцiї \BbbR \rightarrow \BbbR n\times n, f i g — функцiї \BbbR n \rightarrow \BbbR n. Iмпульсна дiя вiдбувається при досягненнi
розв’язками поверхонь \Gamma k = \{ (t, x) : t = \tau k(x)\} , k \in \BbbZ , якi рiвномiрно вiдокремленi одна вiд
iншої.
Останнiм часом з’явилося багато робiт, присвячених вивченню майже перiодичних систем
з iмпульсною дiєю у фiксованi моменти часу (див., наприклад, [1 – 7]).
Ми використовуємо означення кусково-неперервних майже перiодичних функцiй у сенсi
робiт [3, 8]. Точки розривiв цих функцiй збiгаються з точками iмпульсної дiї \{ \tau k(x)\} . Оскiльки
моменти iмпульсної дiї системи (1), (2) залежать вiд розв’язкiв, рiзнi розв’язки мають рiзнi
моменти розривiв. Також у системах з нефiксованими моментами iмпульсної дiї може виникати
так званий феномен биття, тобто розв’язок може перетинати поверхню t = \tau k(x) кiлька разiв
чи навiть нескiнченну кiлькiсть разiв [3, 9].
У роботах [10, 11] для вивчення iснування та стiйкостi майже перiодичних розв’язкiв зви-
чайних диференцiальних рiвнянь з нефiксованими моментами iмпульсної дiї застосовується ме-
тод зведення до системи з фiксованими моментами iмпульсної дiї. Оскiльки розв’язки рiвнянь
iз запiзненням не завжди однозначно продовжуються влiво, метод зведення не застосовується
до систем iз запiзненням та нефiксованими моментами iмпульсної дiї.
Використавши пiдхiд роботи [12] (див. також [13]), ми побудуємо деяке вiдображення у
просторi майже перiодичних послiдовностей зi значеннями в \BbbR n. Нерухома точка цього вiд-
ображення вiдповiдає майже перiодичному розв’язку iмпульсної системи (1), (2).
Означення стiйкостi для рiвнянь з нефiксованими моментами iмпульсної дiї враховує вiд-
мiннiсть точок розриву рiзних розв’язкiв рiвняння. Ми використовуємо адаптоване до рiвнянь
iз запiзненням означення з робiт [14, 15].
c\bigcirc А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО, 2016
1450 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1451
До систем вигляду (1), (2) належать системи, якi описують математичнi моделi нейронних
мереж iз запiзненням та нефiксованими моментами iмпульсної дiї:
\.xi(t) = - ai(t)xi(t) +
n\sum
j=1
\Bigl\{
bij(t)fj(xj(t))+
+cij(t)gj(xj(t - h))
\Bigr\}
+\gamma i(t), t \not = \tau k(x(t)),
xi(t+ 0) - xi(t) =
n\sum
j=0
dij(k)xj(t) + Iik(x(t)) + gik, t = \tau k(x(t)).
Тут x = (x1, . . . , xn), функцiя xi(t) вiдповiдає стану i-го нейрона в момент часу t, ai(t) > 0 —
коефiцiєнт саморегуляцiї i-го нейрона, невiд’ємнi функцiї bij(t) та cij(t) визначають ступiнь
зв’язку мiж i- та j -м елементами в момент часу t, зовнiшнi впливи на i-й елемент визначено
функцiєю \gamma i(t).
Скалярна функцiя fj(xj(t)) означає активацiю j -го елемента в момент часу t, скалярна
функцiя gj(xj(t - h)) — активацiю, що залежить вiд дiї з запiзненням на стан xj .
Зауважимо, що майже перiодичнi розв’язки моделей нейронних мереж iз фiксованими мо-
ментами iмпульсної дiї вивчалися в роботах [16 – 19].
2. Основнi означення та попереднi результати. Нехай (X, \| .\| X) — банахiв простiр iз
нормою \| .\| X , \BbbR та \BbbZ — множини дiйсних та цiлих чисел вiдповiдно. Позначимо через \| .\|
норму в \BbbR n чи вiдповiдну норму у просторi матриць. Будемо розглядати простiр \scrP \scrC (J,X),
J \subset \BbbR , усiх обмежених кусково-неперервних функцiй x : J \rightarrow X таких, що:
i) множина \{ \tau j \in J : \tau j+1 > \tau j , j \in \BbbZ \} моментiв розривiв x не має скiнченних граничних
точок;
ii) x(t) є неперервною злiва: x(\tau j - 0) = x(\tau j) та iснує \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \tau j+0 x(t) = x(\tau j + 0).
Будемо використовувати норму \| x\| PC = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in J \| x(t)\| X у просторi \scrP \scrC (J,X).
Означення 1. Цiле число p називається \varepsilon -майже перiодом послiдовностi \{ xk\} , xk \in X,
якщо \| xk+p - xk\| X < \varepsilon для всiх k \in \BbbZ . Послiдовнiсть \{ xk\} називається майже перiодичною,
якщо для кожного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина її \varepsilon -майже перiодiв.
Множина \scrA \subset \BbbR вiдносно щiльна, якщо iснує таке додатне число l, що кожний вiдрiзок
дiйсної осi довжини l мiстить принаймнi одне число, яке належить \scrA .
Означення 2. Строго зростаюча послiдовнiсть \{ \tau k\} дiйсних чисел має рiвномiрно майже
перiодичнi послiдовностi рiзниць, якщо для довiльного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина
\varepsilon -майже перiодiв, спiльних для всiх послiдовностей \{ \tau jk\} , де \tau jk = \tau k+j - \tau k, j \in \BbbZ .
Як показано у [20], послiдовнiсть \{ \tau k\} має рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi
рiзниць тодi i тiльки тодi, коли \tau k = ak + ck, де \{ ck\} — майже перiодична послiдовнiсть, a —
додатне число.
Означення 3. Функцiя \varphi \in \scrP \scrC (\BbbR , X) називається W -майже перiодичною, якщо:
i) строго зростаюча послiдовнiсть \{ \tau k\} моментiв розриву функцiї \varphi (t) має рiвномiрно
майже перiодичнi послiдовностi рiзниць;
ii) для довiльного \varepsilon > 0 iснує додатне число \delta = \delta (\varepsilon ) таке, що якщо точки t\prime i t\prime \prime належать
одному iнтервалу неперервностi i | t\prime - t\prime \prime | < \delta , то \| \varphi (t\prime ) - \varphi (t\prime \prime )\| X < \varepsilon ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1452 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
iii) для довiльного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина \Gamma \varepsilon -майже перiодiв таких, що
якщо \tau \in \Gamma , то \| \varphi (t+ \tau ) - \varphi (t)\| X < \varepsilon для всiх t \in \BbbR , якi задовольняють умову | t - \tau k| \geq \varepsilon ,
k \in \BbbZ .
Нагадаємо, що неперервна функцiя \psi : \BbbR \rightarrow X майже перiодична за Бором, якщо для
довiльного \varepsilon > 0 iснує вiдносно щiльна множина \Gamma \varepsilon -майже перiодiв таких, що якщо \tau \in \Gamma ,
то \| \psi (t+ \tau ) - \psi (t)\| X < \varepsilon для всiх t \in \BbbR .
Будемо використовувати таку лему з [12], яка є узагальненням леми 7 з [8, с. 288].
Лема 1. Нехай строго зростаюча послiдовнiсть дiйсних чисел \{ \tau j\} має рiвномiрно майже
перiодичнi послiдовностi рiзниць, послiдовнiсть \{ Bj\} , Bj \in X, є майже перiодичною i функцiя
\varphi (t) : \BbbR \rightarrow X є W -майже перiодичною. Тодi для довiльного \varepsilon > 0 iснує таке l = l(\varepsilon ) > 0,
що для довiльного iнтервалу J довжини l iснують таке r \in J i цiле q \in J, що виконуються
нерiвностi
| \tau i+q - \tau i - r| < \varepsilon , \| Bi+q - Bi\| X < \varepsilon , i \in \BbbZ ,
i
\| \varphi (t+ r) - \varphi (t)\| X < \varepsilon , t \in \BbbR , | t - \tau j | > \varepsilon , j \in \BbbZ .
Будемо розглядати систему (1), (2) з такими умовами:
(H1) Матричнозначнi функцiї A(t), B(t) i C(t) та векторнозначна функцiя \gamma (t) майже пе-
рiодичнi за Бором. Будемо позначати \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t \| A(t)\| = A0, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t \| B(t)\| = B0, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t \| C(t)\| = C0,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t \| \gamma (t)\| = \gamma 0.
(H2) Позначимо U\rho = \{ x \in \BbbR n : \| x\| \leq \rho \} , де \rho — деяке додатне число. Припустимо,
що послiдовнiсть \{ \tau k\} неперервних функцiй \tau k : U\rho \rightarrow \BbbR має рiвномiрно майже перiодичнi
послiдовностi рiзниць рiвномiрно вiдносно x \in U\rho i iснує \theta > 0 таке, що \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}x \tau k+1(x) -
- \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x \tau k(x) \geq \theta для всiх x \in U\rho i k \in \BbbZ .
(H3) Послiдовностi (n \times n)-матриць \{ Dj\} та векторiв \{ gj\} є майже перiодичними,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}j \| gj\| = g\ast .
(H4) Послiдовнiсть \{ Ij(x)\} вектор-функцiй U\rho \rightarrow \BbbR n є майже перiодичною рiвномiрно
вiдносно x \in U\rho .
Означення 4. Функцiя x(t) \in \scrP \scrC ([t0 - h, t0 +\alpha ],\BbbR n), де \alpha > 0, є розв’язком системи (1),
(2), якщо виконуються такi умови:
(i) множина
T = \{ t \in [t0, t0 + \alpha ], t = \tau k(x(t)) для деякого k\}
точок iмпульсної дiї скiнченна (можливо, порожня);
(ii) x(t) неперервна при всiх t \in (t0, t0 + \alpha ] \setminus T ;
(iii) x(t) неперервно диференцiйовна при всiх t \in (t0, t0 + \alpha ] \setminus T, за винятком скiнченної
множини точок;
(iv) похiдна злiва функцiї x(t) iснує i задовольняє систему (1) для всiх t \in (t0, t0 + \alpha ] \setminus T ;
(v) для t \in T функцiя x(t) задовольняє умову (2).
Якщо додатково функцiя x(t) задовольняє умову
x(t0 + \theta ) = \varphi (\theta ), \theta \in [ - h, 0], \varphi \in \scrP \scrC ([ - h, 0],\BbbR n), (3)
то вона є розв’язком початкової задачi (1) – (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1453
Функцiя x(t) є розв’язком системи (1), (2) на нескiнченному iнтервалi, якщо вона є розв’яз-
ком на кожному обмеженому пiдiнтервалi.
Припускаємо, що розв’язки системи (1), (2) неперервнi злiва.
Також припускаємо, що у множинi U\rho розв’язки системи (1), (2) не мають биття з поверх-
нями t = \tau j(x), iншими словами, розв’язки перетинають кожну поверхню не бiльше одного
разу. Достатнi умови вiдсутностi биття наведено у [21].
Означення 5. Розв’язок x0(t) системи (1), (2), який при всiх t \geq t0 - h належить U\rho i
\tau j(x0(t0)) \not = t0, j \in \BbbZ , називається стiйким за Ляпуновим, якщо для довiльних \varepsilon > 0 i \eta > 0
iснує число \delta = \delta (\varepsilon , \eta ) таке, що для довiльного iншого розв’язку x(t) з початковими значеннями
з U\rho i
\| x0(\theta ) - x(\theta )\| < \delta , \theta \in [t0 - h, t0], | \theta - \tau 0j | > \delta ,
виконується \| x0(t) - x(t)\| < \varepsilon для всiх t \geq t0 таких, що | t - \tau 0j | > \eta , де \tau 0j — моменти
часу, при яких розв’язок x0(t) перетинає поверхнi t = \tau j(x), j \in \BbbZ .
Розв’язок x0(t) називається асимптотично стiйким, якщо вiн стiйкий i iснує \delta 0 > 0 таке,
що для кожних \varepsilon > 0, \eta > 0 iснує T = T (\varepsilon , \eta ) > 0 таке, що для будь-якого iншого розв’язку
x(t) системи з початковими значеннями з U\rho i
\| x0(\theta ) - x(\theta )\| < \delta 0, \theta \in [t0 - h, t0], | \theta - \tau 0j | > \delta 0,
виконується \| x0(t) - x(t)\| < \varepsilon для t \geq t0 + T i | t - \tau 0j | > \eta .
Поряд iз системою (1), (2) розглянемо лiнiйну однорiдну систему
\.x(t) = A(t)x(t), t \not = \tau j , (4)
x(\tau j + 0) - x(\tau j) = Djx(\tau j), j \in \BbbZ , (5)
де \tau j = \tau j(0). Позначимо через X(t, s) фундаментальний розв’язок лiнiйної системи без iм-
пульсiв (4). Вiн задовольняє спiввiдношення X(\tau , \tau ) = I, X(t, s)X(s, \tau ) = X(t, \tau ), t, s, \tau \in \BbbR .
Означимо еволюцiйний оператор для системи (4), (5) як
U(t, s) = X(t, s), якщо \tau k < s \leq t \leq \tau k+1,
та
U(t, s) = X(t, \tau k)(I +Dk)X(\tau k, \tau k - 1) . . . (I +Dm)X(\tau m, s), (6)
якщо \tau m - 1 < s \leq \tau m < \tau m+1 < . . . < \tau k < t \leq \tau k+1.
Означення 6. Система (4), (5) називається експоненцiально стiйкою з показником \beta > 0
та коефiцiєнтом M \geq 1, якщо
\| U(t, s)\| \leq Me - \beta (t - s), t \geq s.
Лема 2. Нехай iмпульсна система (4), (5) є експоненцiально стiйкою з додатними сталими
\beta та M. Тодi iснує \delta 0 > 0 таке, що збурена система
du
dt
= \~A(t)u, t \not = \~\tau j , (7)
\Delta u| t=\~\tau j = u(\~\tau j + 0) - u(\~\tau j) = \~Dju(\~\tau j), j \in \BbbZ , (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1454 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
при
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j
| \tau j - \~\tau j | , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
j
\| Dj - \~Dj\| , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
\| A(t) - \~A(t)\|
\Biggr\}
= \delta 1 \leq \delta 0
є також експоненцiально стiйкою з деякими сталими \beta 1 \leq \beta та M1 \geq M, а саме еволюцiйний
оператор \~U(t, s) збуреної системи (7), (8) задовольняє нерiвнiсть
\| \~U(t, s)\| \leq M1e
- \beta 1(t - s), t \geq s.
Доведення. Позначимо \scrJ = \cup j(\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\tau j - 1, \~\tau j - 1),\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau j , \~\tau j)]. Запишемо систему (7), (8) у
виглядi
du
dt
= A(t)u+ ( \~A(t) - A(t))u, t \not = \tau j , t \not = \~\tau j ,
u(\tau j + 0) = (I +Dj)u(\tau j) - Dju(\tau j),
u(\~\tau j + 0) = (I + \~Dj)u(\~\tau j), j \in \BbbZ .
За методом варiацiї довiльної сталої
u(t) = U(t, t0)u0 +
t\int
t0
U(t, s)( \~A(s) - A(s))u(s)ds+
+
\sum
t0<\~\tau j<t
U(t, \~\tau j + 0) \~Dju(\~\tau j) -
\sum
t0<\tau j<t
U(t, \tau j + 0)Dju(\tau j). (9)
Зауважимо, що U(t, \~\tau j + 0) = U(t, \~\tau j) та u(\tau j) = u(\tau j + 0). Припустимо, що \~\tau j \geq \tau j , i
перетворимо рiзницю
U(t, \~\tau j + 0) \~Dju(\~\tau j) - U(t, \tau j + 0)Dju(\tau j) =
= U(t, \~\tau j)
\Bigl(
\~Dj
\~X(\~\tau j , \tau j) - X(\~\tau j , \tau j)Dj
\Bigr)
u(\tau j) =
= U(t, \~\tau j)
\Bigl(
\~Dj( \~X(\~\tau j , \tau j) - I) - (X(\~\tau j , \tau j) - I)Dj
\Bigr)
u(\tau j) + U(t, \~\tau j)( \~Dj - Dj)u(\tau j),
де \~X(t, \tau ) — фундаментальний розв’язок системи без iмпульсiв (7). Аналогiчно, якщо \~\tau j < \tau j ,
то
U(t, \~\tau j + 0) \~Dju(\~\tau j) - U(t, \tau j + 0)Dju(\tau j) =
= U(t, \tau j + 0)
\Bigl(
(Dj + I)X(\tau j , \~\tau j) \~Dj - Dj
\~X(\tau j , \~\tau j)(I + \~Dj)
\Bigr)
u(\~\tau j) =
= U(t, \tau j + 0)
\Bigl(
(I +Dj)(X(\tau j , \~\tau j) - I) \~Dj - Dj( \~X(\tau j , \~\tau j) - I)(I + \~Dj)
\Bigr)
u(\~\tau j)+
+U(t, \tau j + 0)( \~Dj - Dj)u(\~\tau j).
Позначимо D = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}j \| Dj\| , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}j \| \~Dj\|
\Bigr)
, A = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t \| A(t)\| , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t \| \~A(t)\|
\Bigr)
, \tau \prime j =
= \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \~\tau j , \tau j\} та \tau \prime \prime j = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \~\tau j , \tau j\} , тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1455
\| U(t, \~\tau j + 0) \~Dju(\~\tau j) - U(t, \tau j + 0)Dju(\tau j)\| \leq Me - \beta (t - \tau \prime j)M\ast \delta 1\| u(\tau \prime j)\| , (10)
де M\ast =
\bigl(
1 + 2AD(D + 1)eA\delta 0
\bigr)
e\beta \delta 0 . Ми скористались оцiнкою
\| (X(t, t0) - I)u\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
t\int
t0
d
ds
X(s, t0)uds
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
t\int
t0
A(s)X(s, t0)uds
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq A(t - t0)e
A(t - t0)\| u\| .
З (9) та (10) для t, t0 \in \scrJ маємо
\| u(t)\| \leq Me - \beta (t - t0)\| u0\| +
t\int
t0
Me - \beta (t - s)\| \~A(s) - A(s)\| \| u(s)\| ds+
+
\sum
t0<\tau \prime j<t
Me - \beta (t - \tau \prime j)M\ast \delta 1\| u(\tau \prime j)\| .
Тодi v(t) = e\beta t\| u(t)\| задовольняє нерiвнiсть
v(t) \leq Mv(t0) +
t\int
t0
M\delta 1v(s)ds+
\sum
t0<\tau \prime j<t
MM\ast \delta 1v(\tau
\prime
j).
За узагальненою нерiвнiстю Гронуолла (див. [3, с. 12]) маємо
\| u(t)\| \leq M (1 +MM\ast \delta 0)
([(t - t0)/\theta ]+1) e - (\beta - M\delta 0)(t - t0)\| u0\| , t, t0 \in \scrJ .
Отже, якщо \delta 0 > 0 i \beta 1 > 0 задовольняють нерiвнiсть
\beta - M\delta 0 -
1
\theta
\mathrm{l}\mathrm{n} (1 +MM\ast \delta 0) \geq \beta 1,
то
\| u(t)\| \leq M(1 +MM\ast \delta 0)e
- \beta 1(t - s), t, t0 \in \scrJ .
Якщо t \in (\tau \prime j , \tau
\prime \prime
j ], то
\| u(t)\| \leq \| \~X(t, \tau \prime j)\| (1 +D)\| u(\tau \prime j)\| \leq eA\delta 0(1 +D)\| u(\tau \prime j)\| .
Аналогiчно, якщо t0 \in (\tau \prime j , \tau
\prime \prime
j ], то \| u(\tau \prime \prime j + 0)\| \leq eA\delta 0(1 +D)\| u(t0)\| .
Комбiнуючи останнi нерiвностi, отримуємо експоненцiальну стiйкiсть збуреної системи (7),
(8) з показником \beta 1 та коефiцiєнтом M1 =M(1 +MM\ast \delta 0)(1 +D)2e2(A+\beta 1)\delta 0 .
Лему 2 доведено.
Наслiдок 1. При виконаннi умов леми 2 iснують \beta 2 \in (0, \beta 1) i M2 \geq M1 такi, що
\| U(t, s) - \~U(t, s)\| \leq \delta 1M2e
- \beta 2(t - s), t \geq s, (11)
для t, s \in \cup j(\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\tau j - 1, \~\tau j - 1),\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\tau j , \~\tau j)].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1456 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Доведення. З (9) отримуємо
\| (U(t, t0) - \~U(t, t0))u0\| \leq \delta 1MM1\| u0\|
\left( t\int
t0
e - \beta (t - s)e - \beta 1(s - t0)ds+
+
\sum
t0<\tau \prime j<t
M\ast e
- \beta (t - \tau \prime j)e - \beta 1(\tau \prime j - t0)
\right) \leq
\leq \delta 1MM1\| u0\| e - \beta 1(t - t0)
\biggl(
t - t0 +
t - t0
\theta
M\ast +M\ast
\biggr)
\leq \delta 1M2e
- \beta 2(t - t0).
3. Основнi результати.
Теорема 1. Припустимо, що в областi U\rho = \{ u \in \BbbR n, \| x\| \leq \rho \} система (1), (2) задоволь-
няє умови (H1) – (H4) та додатково:
1) усi розв’язки в областi U\rho перетинають кожну поверхню t = \tau j(x) не бiльше одного
разу;
2) \| f(x1) - f(x2)\| + \| g(x1) - g(x2)\| + \| Ij(x1) - Ij(x2)\| + | \tau j(x1) - \tau j(x2)| \leq N1\| x1 - x2\|
рiвномiрно по x1, x2 \in U\rho , j \in \BbbZ ;
3) f(0) = g(0) = 0 та Ij(0) = 0 для всiх j \in \BbbZ ;
4) лiнiйна однорiдна система (4), (5) є експоненцiально стiйкою з показником \beta та коефi-
цiєнтом M ;
5) N1B\ast < 1 та \rho \geq (1 - N1B\ast - N1C\ast )
- 1(M1\gamma 0/\beta 1 + C\ast g\ast ), де
B\ast =
M1
\beta 1
(B0 + C0), C\ast =
M1
1 - e - \beta 1\theta
,
а сталi \beta 1 та M1 визначено за лемою 2.
Тодi для достатньо малих значень сталої Лiпшиця N1 система (1), (2) має в U\rho єдиний
W -майже перiодичний розв’язок, i цей розв’язок є асимптотично стiйким.
Доведення. 1. Спочатку, використовуючи пiдхiд, запропонований у [12], доведемо iснування
W -майже перiодичного розв’язку. Нехай y = \{ yj\} — майже перiодична послiдовнiсть елементiв
yj \in \BbbR n, \| yj\| \leq \rho . Розглянемо систему рiвнянь з фiксованими моментами iмпульсної дiї:
\.x(t) = A(t)x(t) +B(t)f(x(t))+
+C(t)g(x(t - h)) + \gamma (t), t \not = \tau k(yk), (12)
x(\tau k(yk) + 0) - x(\tau k(yk)) = Dkx(\tau k(yk)) + I(yk) + gk, k \in \BbbZ . (13)
Можна перевiрити, що послiдовнiсть \{ \tau k(yk)\} k\in \BbbZ має рiвномiрно майже перiодичнi рiзницi. За
лемою 2 при достатньо малiй сталiй N1 вiдповiдна (12), (13) лiнiйна система з iмпульсами
\.x(t) = A(t)x(t), t \not = \tau k(yk), (14)
x(\tau j(yk) + 0) - x(\tau j(yk)) = Dkx(\tau k(yk)), k \in \BbbZ , (15)
є експоненцiально стiйкою. Її еволюцiйний оператор U(t, \tau , y) задовольняє оцiнку
\| U(t, \tau , y)x\| \leq M1e
- \beta 1(t - \tau )\| x\| , t \geq \tau ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1457
з додатними сталими M1 \geq M, \beta 1 \leq \beta , якi визначено за лемою 2.
Покажемо, що система (12), (13) має єдиний в U\rho обмежений на осi розв’язок, який задо-
вольняє iнтегральне рiвняння
x(t, y) =
t\int
- \infty
U(t, s, y)
\Bigl(
B(s)f(x(s, y)) + C(s)g(x(s - h, y)) + \gamma (s)
\Bigr)
ds+
+
\sum
\tau j(yj)<t
U(t, \tau j(yj) + 0, y) (I(yj) + gj) . (16)
Виберемо x0(t, y) \equiv 0 i побудуємо послiдовнiсть W -майже перiодичних функцiй
xn+1(t, y) =
t\int
- \infty
U(t, s, y)
\Bigl(
B(s)f(xn(s, y)) + C(s)g(xn(s - h, y)) + \gamma (s)
\Bigr)
ds+
+
\sum
\tau j(yj)<t
U(t, \tau j(yj) + 0, y) (I(yj) + gj) . (17)
Аналогiчно [7] доводимо, що xn+1(t, y) є W -майже перiодичною, якщо xn(t, y) є W -майже
перiодичною.
Якщо \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t \| xn(t, y)\| \leq \rho , то за умовою 5 теореми
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
\| xn+1(t, y)\| \leq N1B\ast \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
\| xn(t, y)\| +
M1
\beta 1
\gamma 0 + C\ast (N1\rho + g\ast ) \leq \rho .
Оскiльки
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
\| xn+1(t, y) - xn(t, y)\| \leq M1N1
\beta 1
(B0 + C0) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
\| xn(t, y) - xn - 1(t, y)\| ,
то послiдовнiсть \{ xn(t, y)\} збiгається до W -майже перiодичного розв’язку x\ast (t, y) : \BbbR \rightarrow \BbbR n
рiвняння (16). Вiдповiдно x\ast (t, y) є W -майже перiодичним розв’язком системи з iмпульсами
(12), (13) та \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t \| x\ast (t, y)\| \leq \rho , де \rho задовольняє умову 5.
2. Якщо ми знайдемо таку послiдовнiсть y\ast = \{ y\ast j \} , y\ast j \in \BbbR n, що
x\ast (\tau j(y
\ast
j ), y
\ast ) = y\ast j
для всiх j \in \BbbZ , то функцiя x\ast (t, y\ast ) буде шуканим W -майже перiодичним розв’язком системи
(1), (2).
Розглянемо простiр \frakN майже перiодичних послiдовностей y = \{ yj\} , yj \in \BbbR n, з нормою
\| y\| S = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}j \| yj\| та вiдображення S : \frakN \rightarrow \frakN ,
S(y) = \{ x\ast (\tau j(yj), y)\} j\in \BbbZ .
S вiдображає область \frakN \rho = \{ y \in \frakN , \| y\| S \leq \rho \} у себе.
Доведемо, що S є стискаючим. Вiзьмемо y, z \in \frakN i покладемо \~\tau 1j = \tau j(yj), \~\tau
2
j = \tau j(zj).
Маємо \| S(y) - S(z)\| S = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}j \| x\ast (\tau j(yj), y) - x\ast (\tau j(zj), z)\| . Оцiнимо рiзницю \| x\ast (\tau j(yj), y) -
- x\ast (\tau j(zj), z)\| для будь-якого фiксованого j. Без обмеження загальностi припустимо, що
\~\tau 1j \leq \~\tau 2j для цього конкретного j. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1458 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
\| x\ast (\tau j(yj), y) - x\ast (\tau j(zj), z)\| \leq
\leq \| x\ast (\~\tau 1j , y) - x\ast (\~\tau 1j , z)\| + \| x\ast (\~\tau 1j , z) - x\ast (\~\tau 2j , z)\| . (18)
Позначимо
\scrJ = \cup j\scrJ j , \scrJ j =
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \~\tau 1j - 1, \~\tau
2
j - 1\} ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \~\tau 1j , \~\tau 2j \}
\Bigr]
= (\tau \prime \prime j - 1, \tau
\prime
j ].
Для оцiнювання рiзницi \| x\ast (\~\tau 1j , y) - x\ast (\~\tau 1j , z)\| застосуємо iтерацiйну формулу (17). Покла-
демо x0(t, y) = x0(t, z) = 0. Тодi для t \in (\tau \prime \prime m, \tau
\prime
m+1] будемо мати
i1 = \| x1(t, y) - x1(t, z)\| \leq
t\int
- \infty
\| (U(t, s, y) - U(t, s, z))\gamma (s)\| ds+
+
\sum
k\leq m
\| U(t, \~\tau 1k + 0, y) (Ik(yk) - Ik(zk)) \| +
+
\sum
k\leq m
\|
\bigl(
U(t, \~\tau 1k + 0, y) - U(t, \~\tau 2k + 0, z)
\bigr)
(Ik(zk) + gk)\| .
Спочатку оцiнимо iнтеграл
t\int
- \infty
\| (U(t, s, y) - U(t, s, z))\gamma (s)\| ds \leq
\leq
t\int
\tau \prime \prime m
\| (U(t, s, y) - U(t, s, z)) \gamma (s)\| ds+
+
\sum
k\leq m
\tau \prime k\int
\tau \prime \prime k - 1
\| (U(t, s, y) - U(t, s, z)) \gamma (s)\| ds+
+
\sum
k\leq m
\tau \prime \prime k\int
\tau \prime k
\| U(t, s, y)\gamma (s)\| ds+
\sum
k\leq m
\tau \prime \prime k\int
\tau \prime k
\| U(t, s, z)\gamma (s)\| ds \leq
\leq
\Bigl( M2
\beta 2
+
2M1
1 - e - \beta 1\theta
\Bigr)
N1\gamma 0\| y - z\| S . (19)
Покладемо для визначеностi \~\tau 2k \geq \~\tau 1k . Тодi за нерiвнiстю (11) маємо\bigm\| \bigm\| (U(t, \~\tau 1k + 0, y) - U(t, \~\tau 2k + 0, z))gk
\bigm\| \bigm\| \leq
\leq \| (U(t, \~\tau 2k + 0, y) - U(t, \~\tau 2k + 0, z))gk\| +
+\| U(t, \~\tau 2k + 0, y)(X(\tau \prime \prime k , \tau
\prime
k) - I)gk\| \leq
\leq
\Bigl(
M2e
- \beta 2(t - \tau \prime \prime k ) +M1e
- \beta 1(t - \tau \prime \prime k )A0e
2\rho N1A0
\Bigr)
N1\| y - z\| S\| gk\| ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1459
оскiльки \| eAs - I\| \leq \| A\| es\| A\| s, s \geq 0. Отже,
i1 \leq
M2N1
1 - e - \beta 2\theta
\| y - z\| S
\bigl(
1 + 2\gamma 0 + (1 +A0e
2\rho N1A0)(\rho N1 + g\ast )
\bigr)
+
+
M2\gamma 0N1
\beta 2
\| y - z\| S = N1
\~K3\| y - z\| S . (20)
Розглянемо (n+ 1)-ше наближення:
\| xn+1(t, y) - xn+1(t, z)\| \leq
\leq i1 +
t\int
- \infty
\| U(t, s, y)B(s)(f(xn(s, y)) - f(xn(s, z)))\| ds+
+
t\int
- \infty
\| U(t, s, y)C(s)(g(xn(s - h, y)) - g(xn(s - h, z)))\| ds+
+
t\int
- \infty
\| (U(t, s, y) - U(t, s, z)) \~fn(s)\| ds =
= i1 + i2 + i3 + i4, (21)
де \~fn(s) = B(s)f(xn(s, z)) + C(s)g(xn(s - h, z)).
Для t \in (\tau \prime \prime m, \tau
\prime
m+1] отримуємо
i2 \leq
t\int
\tau \prime \prime m
\| U(t, s, y)B(s)(f(xn(s, y)) - f(xn(s, z)))\| ds+
+
\sum
k\leq m
\tau \prime k\int
\tau \prime \prime k - 1
\| U(t, s, y)B(s)(f(xn(s, y)) - f(xn(s, z)))\| ds+
+
\sum
k\leq m
\tau \prime \prime k\int
\tau \prime k
\| U(t, s, y)B(s)f(xn(s, y))\| ds+
+
\sum
k\leq m
\tau \prime \prime k\int
\tau \prime k
\| U(t, s, y)B(s)f(xn(s, z))\| ds \leq
\leq M1N1B0
\beta 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in J
\| xn(t, y) - xn(t, z)\| +
2M1N
2
1B0\rho
1 - e - \beta 1\theta
\| y - z\| S . (22)
Якщо t \in (\tau \prime \prime m, \tau
\prime
m+1] i t - h \in (\tau \prime l , \tau
\prime \prime
l ] для деякого l \in \BbbZ , то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1460 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
i3 \leq
t\int
\tau \prime l+h
\| U(t, s, y)C(s)g(xn(s - h, y))\| ds+
+
t\int
\tau \prime l+h
\| U(t, s, y)C(s)g(xn(s - h, z))\| ds+
+
\sum
k\leq l
\tau \prime k+h\int
\tau \prime \prime k - 1+h
\| U(t, s, y)C(s)(g(xn(s - h, y)) - g(xn(s - h, z)))\| ds+
+
\sum
k<l
\tau \prime \prime k +h\int
\tau \prime k+h
\| U(t, s, y)C(s)g(xn(s - h, y))\| ds+
+
\sum
k<l
\tau \prime \prime k +h\int
\tau \prime k+h
\| U(t, s, y)C(s)g(xn(s - h, z))\| ds \leq
\leq M1N1C0
\beta 1
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in J
\| xn(s, y) - xn(s, z)\| +
2M1N
2
1C0\rho
1 - e - \beta 1\theta
\| y - z\| S . (23)
Якщо t \in (\tau \prime \prime m, \tau
\prime
m+1] i t - h \in (\tau \prime \prime l , \tau
\prime
l+1] для деякого l \in \BbbZ , то iнтеграл i3 оцiнюється аналогiчно.
Аналогiчно (19) отримуємо
i4 \leq
t\int
\tau \prime \prime m
\| (U(t, s, y) - U(t, s, z)) \~fn(s)\| ds+
+
\sum
k\leq m
\tau \prime k\int
\tau \prime \prime k - 1
\| (U(t, s, y) - U(t, s, z)) \~fn(s)\| ds+
+
\sum
k\leq m
\tau \prime \prime k\int
\tau \prime k
\| U(t, s, y) \~f(s)\| ds+
\sum
k\leq m
\tau \prime \prime k\int
\tau \prime k
\| U(t, s, z) \~fn(s)\| ds \leq
\leq
\Bigl( M2
\beta 2
+
2M1
1 - e - \beta 1\theta
\Bigr)
N2
1 (B0 + C0)\rho \| y - z\| S = N1
\~K4\| y - z\| S . (24)
Пiдставляючи (20), (22) – (24) у (21), для t \in J отримуємо
\| xn+1(t, y) - xn+1(t, z)\| \leq
\leq M1N1
\beta 1
(B0 + C0) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in J
\| xn(s, y) - xn(s, z)\| + L1N1\| y - z\| S , (25)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1461
L1 = \~K3 + \~K4 +
2N1M1\rho (B0 + C0)
1 - e - \beta 1\theta
.
Переходячи в (25) до границi при n\rightarrow \infty , одержуємо
\| x\ast (t, y) - x\ast (t, z)\| \leq M1N1
\beta 1
(B0 + C0) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in J
\| x\ast (s, y) - x\ast (s, z)\| + L1N1\| y - z\| S , t \in J.
Отже,
\| x\ast (t, y) - x\ast (t, z)\| \leq (1 - N1B\ast )
- 1 L1N1\| y - z\| S , t \in J,
i, зокрема,
\| x\ast (\tau \prime j , y) - x\ast (\tau \prime j , z)\| \leq (1 - N1B\ast )
- 1 L1N1\| y - z\| S . (26)
Тепер оцiнимо \| x\ast (\~\tau 1j , z) - x\ast (\~\tau 2j , z)\| . Зауважимо, що за нашим припущенням \~\tau 1j < \~\tau 2j .
Маємо
\| x\ast (\~\tau 1j , z) - x\ast (\~\tau 2j , z)\| \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\~\tau 2j\int
\~\tau 1j
d
d\xi
x\ast (\xi , z)d\xi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq N1
\Bigl(
A0\rho + (B0 + C0)N1\rho + \gamma 0
\Bigr)
\| y - z\| S . (27)
З нерiвностей (26) та (27) випливає, що \| S(y) - S(z)\| S \leq \Gamma (N1)\| y - z\| S , де
\Gamma (N1) =
N1L1
1 - N1B\ast
+N1
\Bigl(
A0\rho + (B0 + C0)N1\rho + \gamma 0
\Bigr)
.
Отже, вiдображення S : \frakN \rho \rightarrow \frakN \rho є стискaючим, якщо N1 достатньо мале. Його нерухомiй
точцi y\ast \in \frakN \rho вiдповiдає W -майже перiодичний розв’язок x0(t) = x\ast (t, y\ast ) системи (1), (2).
3. Доведемо стiйкiсть майже перiодичного розв’язку x0(t). Зафiксуємо довiльнi \varepsilon > 0 та
\eta > 0. Нехай t0 \in [\tau 0(0) + \eta , \tau 1(0) - \eta ].
W -майже перiодичний розв’язок x0(t) задовольняє iнтегральне рiвняння
x0(t) = U0(t, t0)x0 +
t\int
t0
U0(t, s)
\Bigl(
B(s)f(x(s)) + C(s)g(x(s - h)) + \gamma (s)
\Bigr)
ds+
+
\sum
t0<\tau 0j <t
U0(t, \tau
0
j + 0)
\bigl(
Ij(x0(\tau
0
j )) + gj
\bigr)
, (28)
де x0 = x0(t0), \tau
0
j = \tau j(x0(\tau
0
j )), U0(t, s) — еволюцiйний оператор лiнiйної системи
dx
dt
= A(t)x, x(\tau 0j + 0) - x(\tau 0j ) = Djx(\tau
0
j ), j = 1, 2, . . . .
Нехай x1(t) — iнший розв’язок системи (1), (2) з початковою функцiєю \varphi \in \scrP \scrC [t0 - h, t0]
такою, що \| \varphi \| PC \leq \rho та \| \varphi (t) - x0(t)\| < \delta для t \in [t0 - h, t0], | t - \tau 0j | > \delta , t0 - h < \tau 0j < t0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1462 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Позначимо через \tau 1j точки перетину розв’язку x1(t) з поверхнями t = \tau j(x). Розв’язок x1(t)
задовольняє систему
\.x(t) = A(t)x(t) +B(t)f(x(t)) + C(t)g(x(t - h)) + \gamma (t), t \not = \tau 1j ,
x(\tau 1j + 0) - x(\tau 1j ) = Djx(\tau
1
j ) + Ij(x(\tau
1
j )) + gj , j \in \BbbZ .
За формулою варiацiї сталих
x1(t) = U1(t, t0)\varphi 0 +
t\int
t0
U1(t, s)
\Bigl(
B(s)f(x1(s)) + C(s)g(x1(s - h)) + \gamma (s)
\Bigr)
ds+
+
\sum
t0<\tau 1j <t
U1(t, \tau
1
j + 0)
\Bigl(
Ij(x1(\tau
1
j )) + gj
\Bigr)
, (29)
де \varphi 0 = \varphi (t0), U1(t, s) — еволюцiйний оператор лiнiйної системи
dx
dt
= A(t)x, x(\tau 1j + 0) - x(\tau 1j ) = Djx(\tau
1
j ), j = 1, 2, . . . .
Позначимо \scrJ = \cup j\scrJ j , \scrI = \cup j\scrI j , де
\scrJ j =
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \tau 0j - 1, \tau
1
j - 1\} ,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \tau 0j , \tau 1j \}
\Bigr]
= (\tau \prime \prime j - 1, \tau
\prime
j ],
\scrI j =
\Bigl(
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \tau 0j , \tau 1j \} ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \tau 0j , \tau 1j \}
\Bigr]
= (\tau \prime j , \tau
\prime \prime
j ].
Згiдно з (28) i (29) рiзниця x1(t) - x0(t) задовольняє нерiвнiсть
\| x1(t) - x0(t)\| \leq \| U1(t, t0)\varphi 0 - U0(t, t0)x0\| + i0 + i1 + i2 + i3 + i4, (30)
де
i0 =
\int
[t0 - h,t0]\cap \scrJ
\| U1(t, s+ h)C(s+ h)(g(\varphi (s)) - g(x0(s)))\| ds+
+
\int
[t0 - h,t0]\cap \scrI
\| U1(t, s+ h)C(s+ h)g(\varphi (s)) - U0(t, s+ h)C(s+ h)g(x0(s))\| ds,
i1 =
\int
\scrJ \cap [t0,t]
\| U1(t, s)B(s)(f(x1(s)) - f(x0(s)))\| ds+
+
\int
\scrJ \cap [t0,t - h]
\| U1(t, s+ h)C(s+ h)(g(x1(s)) - g(x0(s)))\| ds,
i2 =
\int
\scrJ \cap [t0,t]
\| (U0(t, s) - U1(t, s))(B(s)f(x0(s)) + C(s)g(x0(s - h)) + \gamma (s))\| ds,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1463
i3 =
\int
\scrI \cap [t0,t]
\| U1(t, s)B(s)(f(x1(s)) + \gamma (s)) - U0(t, s)B(s)(f(x0(s)) + \gamma (s))\| ds+
+
\int
\scrI \cap [t0,t - h]
\| U0(t, s+ h)C(s)g(x0(s)) - U1(t, s+ h)C(s)g(x1(s))\| ds,
i4 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
t0<\tau 1j <t
U1(t, \tau
1
j + 0)(Ij(x1(\tau
1
j )) + gj) -
\sum
t0<\tau 0j <t
U0(t, \tau
0
j + 0)(Ij(x0(\tau
0
j )) + gj)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Спочатку оцiнимо | \tau 1j - \tau 0j | через рiзницю \| x1(\tau \prime j) - x0(\tau
\prime
j)\| . Нехай \tau 0j \geq \tau 1j = \tau \prime j . Тодi
| \tau 1j - \tau 0j | \leq N1\| x0(\tau \prime \prime j ) - x1(\tau
\prime
j)\| \leq N1\| x0(\tau \prime \prime j ) - x0(\tau
\prime
j)\| +
+N1\| x0(\tau \prime j) - x1(\tau
\prime
j)\| \leq N1\| x0(\tau \prime j) - x1(\tau
\prime
j)\| +N1
\~K1| \tau 1j - \tau 0j | ,
де \~K1 = A0\rho + (B0 + C0)N1\rho + \gamma 0. Випадок \tau 0j \leq \tau 1j розглядається аналогiчно. Тодi
| \tau 1j - \tau 0j | \leq
N1
1 - N1
\~K1
\| x0(\tau \prime j) - x1(\tau
\prime
j)\| (31)
та
\| x0(\tau 0j ) - x1(\tau
1
j )\| \leq \| x0(\tau \prime j) - x1(\tau
\prime
j)\| + \~K1| \tau 1j - \tau 0j | \leq
\leq 1
1 - N1
\~K1
\| x0(\tau \prime j) - x1(\tau
\prime
j)\| .
Припустимо, що t \in (\tau \prime \prime m, \tau
\prime
m+1] та \| x0(s) - x1(s)\| \leq \eta (1 - N1
\~K1)/N1 для s \in [t0, \tau
\prime
m+1]\cap \scrJ .
Нехай також \eta \leq \delta 0, де \delta 0 визначено за лемою 2. Тодi
\| U1(t, s)u0\| \leq M1e
- \beta 1(t - s)\| u0\| , t0 \leq s \leq t \leq \tau \prime m+1.
Аналогiчно (11) можна перевiрити, що
\| U0(t, s) - U1(t, s)\| \leq M2e
- \beta 2(t - s) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
k\leq j\leq m
| \tau \prime \prime j - \tau \prime j | \leq \eta M2e
- \beta 2(t - s)
для t \in \scrJ m+1, s \in \scrJ k, t \geq s.
За такого припущення оцiнимо всi iнтеграли у (30):
\| U1(t, t0)\varphi 0 - U0(t, t0)x0\| \leq
\leq \| (U1(t, t0) - U0(t, t0))\varphi 0\| + \| U0(t, t0)(x0 - \varphi 0)\| \leq
\leq M2e
- \beta 2(t - t0) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq m
| \tau \prime \prime j - \tau \prime j | +Me - \beta (t - t0)\| \varphi 0 - x0\| ,
i0 \leq
\int
[t0 - h,t0]\cap \scrJ
M1e
- \beta 1(t - t0)C0N1\delta ds+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1464 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
+2
\int
[t0 - h,t0]\cap \scrI
M1e
- \beta 1(t - t0)C0N1\rho ds \leq
\leq N1
\biggl(
h+ 2\rho
h
\theta
+ 2\rho
\biggr)
e - \beta 1(t - t0)M1C0\delta ,
i1 \leq
\int
\scrJ \cap [t0,t]
M1e
- \beta 1(t - s)B0N1\| x1(s) - x0(s)\| ds+
+
\int
\scrJ \cap [t0,t - h]
M1e
- \beta 1(t - s - h)C0N1\| x1(s) - x0(s)\| ds \leq
\leq e - \beta 1tM1N1(B0 + C0e
\beta 1h)
\int
\scrJ \cap [t0,t]
e\beta 1s\| x1(s) - x0(s)\| ds,
i2 \leq ((B0 + C0)N1\rho + \gamma 0)
\left( \tau \prime 1\int
t0
\| U0(t, s) - U1(t, s)\| ds +
+
m+1\sum
j=2
\tau \prime j\int
\tau \prime \prime j - 1
\| U0(t, s) - U1(t, s)\| ds
\right) \leq
\leq ((B0 + C0)N1\rho + \gamma 0)
\sum
1\leq j\leq m
M2
\beta 2
e - \beta 2(t - \tau \prime j) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j\leq i\leq m
| \tau \prime \prime i - \tau \prime i | ,
i3 \leq
\sum
t0<\tau 0j <t
\tau \prime \prime j\int
\tau \prime j
2M1e
- \beta 1(t - \tau \prime \prime j )
\Bigl(
N1\rho B0 + \gamma 0 +N1\rho C0e
\beta 1h
\Bigr)
ds \leq
\leq
\sum
t0<\tau 0j <t
2M1e
- \beta 1(t - \tau \prime j)e\beta 1(\tau \prime \prime j - \tau \prime j)
\Bigl(
N1\rho B0 + \gamma 0 +N1\rho C0e
\beta 1h
\Bigr)
| \tau \prime \prime j - \tau \prime j | .
Для оцiнювання i4 розглянемо рiзницю
i4j = \| U1(t, \tau
1
j + 0)(Ij(x1(\tau
1
j )) + gj) - U0(t, \tau
0
j + 0)(Ij(x0(\tau
0
j )) + gj)\| .
Нехай \tau 0j \geq \tau 1j (випадок \tau 0j < \tau 1j розглядається аналогiчно). Тодi
i4j \leq \| (U1(t, \tau
1
j + 0) - U1(t, \tau
0
j + 0))(Ij(x1(\tau
1
j )) + gj)\| +
+\| U1(t, \tau
0
j + 0)(Ij(x1(\tau
1
j )) - Ij(x0(\tau
0
j )))\| +
+\| (U1(t, \tau
0
j + 0) - U0(t, \tau
0
j + 0))(Ij(x0(\tau
0
j )) + gj)\| \leq
\leq \| U1(t, \tau
0
j + 0)\| \| U1(\tau
0
j + 0, \tau 1j + 0) - I\| (N1\rho + g\ast )+
+\| U1(t, \tau
0
j + 0)\| N1\| x1(\tau 1j ) - x0(\tau
0
j )\| +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ . . . 1465
+M2e
- \beta 2(t - \tau 0j )(N1\rho + g\ast ) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j\leq i\leq m
| \tau \prime \prime i - \tau \prime i | \leq
\leq M1e
- \beta 1(t - \tau \prime \prime j )
\Bigl(
A0e
A0| \tau \prime \prime j - \tau \prime j | (N1\rho + g\ast )| \tau \prime \prime j - \tau \prime j | +N1\| x1(\tau 1j ) - x0(\tau
0
j )\|
\Bigr)
+
+M2e
- \beta 2(t - \tau \prime \prime j )(N1\rho + g\ast ) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j\leq i\leq m
| \tau \prime \prime i - \tau \prime i | .
Як наслiдок при t \in \scrJ m+1 маємо
\| x1(t) - x0(t)\| \leq \delta P1e
- \beta 2(t - t0) +N1P2
\int
[t0,t]\cap \scrJ
e - \beta 2(t - s)\| x(s) - x0(s)\| ds+
+
\sum
1\leq j\leq m
N1P3e
- \beta 2(t - \tau \prime j) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j\leq i\leq m
\| x1(\tau \prime i) - x0(\tau
\prime
i)\| ,
де P1, P2 та P3 — додатнi сталi, незалежнi вiд \varepsilon , \eta .
При t \in [t0, \tau
\prime
1] за нерiвнiстю Гронуолла
\| x1(t) - x0(t)\| \leq \delta P1e
- (\beta 2 - N1P2)(t - t0). (32)
При t \in (\tau \prime \prime 1 , \tau
\prime
2]
\| x1(t) - x0(t)\| \leq \delta P1e
- (\beta 2 - N1P2)(t - t0)(1 +N1P3).
Послiдовно застосовуючи аналогiчнi нерiвностi на наступних iнтервалах, для t \in \scrJ m отриму-
ємо
\| x1(t) - x0(t)\| \leq \delta P1e
- (\beta 2 - N1P2)(t - t0)(1 +N1P3)
m.
Для достатньо малого N1 > 0 виконуються нерiвностi \beta 2 > N1P2 i
e - (\beta 2 - N1P2)\theta (1 +N1P3) < 1. (33)
З (32) i (31) отримуємо
| \tau 1j - \tau 0j | \leq
N1
1 - N1
\~K1
\| x0(\tau \prime j) - x1(\tau
\prime
j)\| \leq N1P1\delta
1 - N1
\~K1
.
Якщо взяти \delta \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \varepsilon /P1, \eta (1 - N1
\~K1)/N1P1\} , то з урахуванням (33) отримуємо \| x1(t) -
- x0(t)\| < \varepsilon при t \geq t0, | t - \tau 0j | \geq \eta , що доводить стiйкiсть розв’язку x0(t).
Границя e - n\theta (\beta 2 - N1P2)(1 +N1P3)
n \rightarrow 0, n\rightarrow \infty , забезпечує асимптотичну стiйкiсть x0(t).
Теорему доведено.
Лiтература
1. Henriquez H. R., De Andrade B., Rabelo M. Existence of almost periodic solutions for a class of abstract impulsive
differential equations // ISRN Math. Anal. – 2011. – Article ID 632687. – 21 p.
2. Myslo Yu. M., Tkachenko V. I. Global attractivity in almost periodic single species models // Funct. Different. Equat. –
2011. – 18, № 3 – 4. – P. 269 – 278.
3. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. – Singapore: World Sci. Publ., 1995. – x + 462 p.
4. Samoilenko A. M., Trofimchuk S. I. Almost periodic impulsive systems // Different. Equat. – 1993. – 29. – P. 684 – 691.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1466 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
5. Stamov G. T. Almost periodic solutions of impulsive differential equations // Lect. Notes Math. – Heidelberg: Springer,
2012. – 2047. – xx + 217 p.
6. Tkachenko V. Almost periodic solutions of parabolic type equations with impulsive action // Funct. Different. Equat.
– 2014. – 21, № 3 – 4. – P. 155 – 169.
7. Tkachenko V. I. Exponential dichotomy and existence of almost periodic solutions of impulsive differential equations
// J. Math. Sci. – 2016. – 212, № 4. – P. 490 – 502.
8. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. – М.: Мир, 1971. – 310 с.
9. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A., Trofimchuk S. I. Generalized solutions of impulse systems and the phenomenon of
pulsations // Ukr. Math. J. – 1991. – 43, № 5. – P. 610 – 615.
10. Akhmetov M. U., Perestyuk N. A. Periodic and almost periodic solutions of strongly nonlinear impulse systems //
J. Appl. Math. and Mech. – 1992. – 56, № 6. – P. 829 – 837.
11. Yilmaz E. Almost periodic solutions of impulsive neural networks at non-prescribed moments of time // Neurocompu-
ting. – 2014. – 141. – P. 148 – 152.
12. Hakl R., Pinto M., Tkachenko V., Trofimchuk S. Almost periodic evolution systems with impulse action at state-
dependent moments // J. Math. Anal. and Appl. – 2017. – 446. – P. 1030 – 1045.
13. Tkachenko V. Almost periodic solutions of evolution differential equations with impulsive action // Math. Modeling
and Appl. Nonlinear Dynamics. – New York: Springer, 2016. – P. 161 – 205.
14. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. – Singapore: World Sci.
Publ., 1989. – xii + 273 p.
15. Дворник А. В., Ткаченко В. I. Про стiйкiсть розв’язкiв еволюцiйних рiвнянь з нефiксованими моментами iмпульс-
ної дiї // Нелiнiйнi коливання. – 2015. – 18, № 4. – С. 453 – 464.
16. Li Y., Zhang T. Existence of almost periodic solutions for Hopfield neural networks with continuously distributed
delays and impulses // Electron. J. Different. Equat. – 2009. – 2009, № 152. – P. 1 – 8.
17. Pinto M., Robledo G. Existence and stability of almost periodic solutions in impulsive neural network models // Appl.
Math. and Comput. – 2010. – 217, № 8. – P. 4167 – 4177.
18. Stamov G. T., Stamova I. M. Almost periodic solutions for impulsive neural networks with delay // Appl. Math.
Modelling. – 2007. – 31, № 7. – P. 1263 – 1270.
19. Zhang H., Xia Y. Existence and exponential stability of almost periodic solution for Hopfield-type neural networks
with impulse // Chaos, Solitons and Fractals. – 2008. – 37, № 4. – P. 1076 – 1082.
20. Самойленко А. М., Трофимчук С. И. Неограниченные функции с почти периодическими разностями // Укр. мат.
журн. – 1991. – 43, № 10. – С. 1409 – 1413.
21. Liu X., Ballinger G. Existence and continuability of solutions for differential equations with delays and state-dependent
impulses // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. – 2002. – 51, № 4. – P. 633 – 647.
Одержано 11.05.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1933 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:30Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/94/9b641ff979e4458f2a0a018ee188d994.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19332019-12-05T09:32:19Z Almost periodic solutions of systems with delay and nonfixed times of impulsive action Майже періодичні розв’язки систем із запізненням та нефіксованими моментами імпульсної дії Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Ткаченко, В. І. We study the existence and asymptotic stability of piecewise continuous almost periodic solutions for systems of differential equations with delay and nonfixed times of impulsive action that can be regarded as mathematical models of neural networks. Установлены условия существования и асимптотической устойчивости кусочно-непрерывных почти периодических решений систем дифференциальных уравнений с запаздыванием и нефиксированными моментами импульсного воздействия, которые могут рассматриваться как математические модели нейронных сетей. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1933 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 11 (2016); 1450-1466 Український математичний журнал; Том 68 № 11 (2016); 1450-1466 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1933/915 Copyright (c) 2016 Dvornyk A. V.; Tkachenko V. I. |
| spellingShingle | Dvornyk, A. V. Tkachenko, V. I. Дворник, А. В. Ткаченко, В. І. Almost periodic solutions of systems with delay and nonfixed times of impulsive action |
| title | Almost periodic solutions of systems with delay and nonfixed
times of impulsive action |
| title_alt | Майже періодичні розв’язки систем із запізненням та
нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_full | Almost periodic solutions of systems with delay and nonfixed
times of impulsive action |
| title_fullStr | Almost periodic solutions of systems with delay and nonfixed
times of impulsive action |
| title_full_unstemmed | Almost periodic solutions of systems with delay and nonfixed
times of impulsive action |
| title_short | Almost periodic solutions of systems with delay and nonfixed
times of impulsive action |
| title_sort | almost periodic solutions of systems with delay and nonfixed
times of impulsive action |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1933 |
| work_keys_str_mv | AT dvornykav almostperiodicsolutionsofsystemswithdelayandnonfixedtimesofimpulsiveaction AT tkachenkovi almostperiodicsolutionsofsystemswithdelayandnonfixedtimesofimpulsiveaction AT dvornikav almostperiodicsolutionsofsystemswithdelayandnonfixedtimesofimpulsiveaction AT tkačenkoví almostperiodicsolutionsofsystemswithdelayandnonfixedtimesofimpulsiveaction AT dvornykav majžeperíodičnírozvâzkisistemízzapíznennâmtanefíksovanimimomentamiímpulʹsnoídíí AT tkachenkovi majžeperíodičnírozvâzkisistemízzapíznennâmtanefíksovanimimomentamiímpulʹsnoídíí AT dvornikav majžeperíodičnírozvâzkisistemízzapíznennâmtanefíksovanimimomentamiímpulʹsnoídíí AT tkačenkoví majžeperíodičnírozvâzkisistemízzapíznennâmtanefíksovanimimomentamiímpulʹsnoídíí |