Estimations of the Laplace – Stieltjes integrals
We study the Laplace – Stieltjes integrals with an arbitrary abscissa of convergence. The lower and upper estimates for these integrals are established. The accumulated results are used to deduce the relationships between the growth of the integral and the maximum of the integrand.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1934 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507828285865984 |
|---|---|
| author | Dobushovs’kyi, M. S. Sheremeta, M. M. Добушовський, М. C. Шеремета, М. М. |
| author_facet | Dobushovs’kyi, M. S. Sheremeta, M. M. Добушовський, М. C. Шеремета, М. М. |
| author_sort | Dobushovs’kyi, M. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:19Z |
| description | We study the Laplace – Stieltjes integrals with an arbitrary abscissa of convergence. The lower and upper estimates for these
integrals are established. The accumulated results are used to deduce the relationships between the growth of the integral
and the maximum of the integrand. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
М. C. Добушовський, М. М. Шеремета (Львiв нац. ун-т iм. I. Франка)
ОЦIНКИ IНТЕГРАЛIВ ЛАПЛАСА – СТIЛЬТЬЄСА
We study the Laplace – Stieltjes integrals with an arbitrary abscissa of convergence. The lower and upper estimates for these
integrals are established. The accumulated results are used to deduce the relationships between the growth of the integral
and the maximum of the integrand.
Изучаются интегралы Лапласа – Стильтьеса с произвольной абсциссой сходимости. Установлены оценки снизу и
сверху для этих интегралов. Полученные результаты применены к установлению связи между ростом интеграла и
максимума подынтегрального выражения.
1. Вступ. Нехай V — клас невiд’ємних неспадних необмежених неперервних справа на [0,+\infty )
функцiй F. Будемо говорити, що F належить V (l), якщо F належить V i F (x) - F (x - 0) \leq
\leq l < +\infty для всiх x \geq 0.
Вважаємо, що невiд’ємна функцiя f на [0,+\infty ) така, що iнтеграл Лебега – Стiльтьєса\int A
0
f(x)ex\sigma dF (x) iснує для кожного \sigma \in \BbbR i A \in [0,+\infty ), i, як в [1, с. 7], iнтеграл
I(\sigma ) =
\infty \int
0
f(x)ex\sigma dF (x), \sigma \in \BbbR , (1)
назвемо iнтегралом Лапласа – Стiльтьєса. Вiн є безпосереднiм узагальненням звичайного iнтег-
рала Лапласа I(\sigma ) =
\int \infty
0
f(x)ex\sigma dx i ряду Дiрiхле
D(\sigma ) =
\infty \sum
n=0
ane
\lambda n\sigma (2)
з невiд’ємними коефiцiєнтами an i показниками \lambda n, 0 \leq \lambda n \uparrow +\infty (n \rightarrow \infty ), якщо виберемо
F (x) = n(x) =
\int
\lambda n\leq x
1 i f(\lambda n) = an \geq 0 для всiх n \geq 0. Через S(\Lambda , A) позначимо клас
рядiв Дiрiхле (2) з послiдовнiстю \Lambda = (\lambda n) показникiв i абсцисою абсолютної збiжностi A \in
\in ( - \infty ,+\infty ], а для D \in S(\Lambda , A) i \sigma < A нехай \mu (\sigma ,D) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ an \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \sigma \lambda n : n \geq 0\} \} —
максимальний член.
Через \Omega (A) позначимо клас додатних необмежених на ( - \infty , A) функцiй \Phi таких, що
похiдна \Phi \prime є додатною неперервно диференцiйовною i зростаючою до +\infty на ( - \infty , A). Для
\Phi \in \Omega (A) нехай \varphi — функцiя, обернена до \Phi \prime , а \Psi (x) = x - \Phi (x)/\Phi \prime (x) — функцiя, асоцiйована
з \Phi за Ньютоном. Зрозумiло, що функцiя \varphi є неперервно диференцiйовною i зростаючою до
A на (0,+\infty ). Функцiя \Psi є [1, c. 30; 4, 5] неперервно диференцiйовною i зростаючою до A на
( - \infty , A).
Нехай \gamma : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ) — така неперервна функцiя, що \gamma (x) \uparrow +\infty при x \rightarrow +\infty , а
для q \in (0, 1) i x \geq 0 нехай
\Delta \gamma (x; q) =
1
x
\bigl(
\gamma - 1(x) - \gamma - 1
\bigl(
x - e - qx
\bigr) \bigr)
.
Для цiлого ряду Дiрiхле (A = +\infty ) оцiнка знизу мiститься у такiй теоремi.
c\bigcirc М. C. ДОБУШОВСЬКИЙ, М. М. ШЕРЕМЕТА, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11 1467
1468 М. C. ДОБУШОВСЬКИЙ, М. М. ШЕРЕМЕТА
Теорема А [6]. Нехай \Phi \in \Omega (+\infty ), D \in S(\Lambda , A) i \Delta \gamma (x; q)\varphi (\gamma
- 1(x)) \rightarrow 0 при x \rightarrow
\rightarrow +\infty для деякого q \in (0, 1). Припустимо, що \mathrm{l}\mathrm{n} | an| \geq - \lambda n\Psi (\varphi (\lambda n)) для всiх n \geq n0 i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{n}n
\gamma (\lambda n)
> 1. Тодi \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} D(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\geq 1 - q > 0.
Наступна теорема є аналогом теореми А для рядiв Дiрiхле з нульовою абсцисою збiжностi.
Теорема Б [6]. Нехай \Phi \in \Omega (0), D \in S(\Lambda , 0) i \Delta \gamma (x; q) = O(1) при x\rightarrow +\infty для деякого
q \in (0, 1). Припустимо, що \mathrm{l}\mathrm{n} | an| \geq - \lambda n\Psi (\varphi (\lambda n)) для всiх n \geq n0 i \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{n}n
\gamma (\lambda n)
> 1. Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow 0
\mathrm{l}\mathrm{n} D(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\geq 1 - q > 0.
Нарештi, оцiнку зверху мiстить наступна теорема.
Теорема В [6]. Нехай A = +\infty або A = 0, F \in S(\Lambda , A), \Phi \in \Omega (A) i \Phi \prime (\sigma ) = O(\Phi \prime (\Psi (\sigma )))
при \sigma \uparrow A. Припустимо, що \gamma (x)/x не зростає на [x0,+\infty ) i \gamma (x) = O(\Phi (\Psi (\varphi (x)))) при
x \rightarrow +\infty . Якщо \mathrm{l}\mathrm{n} | an| \leq - \lambda n\Psi (\varphi (\lambda n)) для всiх n \geq n0 i \mathrm{l}\mathrm{n}n = o(\lambda n) при n \rightarrow \infty , то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\sigma \uparrow A
\mathrm{l}\mathrm{n} D(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\leq 0.
У цiй статтi ми одержимо аналоги теорем A – B для iнтегралiв Лапласа – Стiльтьєса.
2. Оцiнка \bfl \bfn \bfitI (\bfitsigma ) зверху. Зрозумiло, що iнтеграл (1) або збiжний для всiх \sigma \in \BbbR , або
розбiжний для всiх \sigma \in \BbbR , або iснує число \sigma з таке, що iнтеграл (1) збiжний для \sigma < \sigma з
i розбiжний для \sigma > \sigma з. В останньому випадку число \sigma з називається абсцисою збiжностi
iнтеграла (1). Якщо iнтеграл (1) збiжний для всiх \sigma \in \BbbR , то вважаємо \sigma з = +\infty , а якщо вiн
розбiжний для всiх \sigma \in \BbbR , то вважаємо \sigma з = - \infty .
Нехай \mu (\sigma ) = \mu (\sigma , I) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ f(x)ex\sigma : x \geq 0\} , \sigma \in \BbbR , — максимум пiдiнтегрального виразу.
Тодi або \mu (\sigma ) < +\infty для всiх \sigma \in \BbbR , або \mu (\sigma ) = +\infty для всiх \sigma \in \BbbR , або iснує число \sigma \mu таке,
що \mu (\sigma ) < +\infty для \sigma < \sigma \mu i \mu (\sigma ) = +\infty для \sigma > \sigma \mu . За аналогiєю число \sigma \mu будемо називати
абсцисою максимуму пiдiнтегрального виразу.
Лема 1 [1, с. 13]. Якщо F \in V i \mathrm{l}\mathrm{n}F (x) = o(x) при x\rightarrow +\infty , то \sigma з \geq \sigma \mu .
Для кожного ряду Дiрiхле (2) \sigma з \leq \sigma \mu . У загальному випадку ця нерiвнiсть може не
виконуватись. Будемо говорити, як в [1, с. 21], що невiд’ємна на [0,+\infty ) функцiя f має
регулярну змiну вiдносно F, якщо iснують a \geq 0, b \geq 0 i h > 0 такi, що для всiх x \geq a
x+b\int
x - a
f(t)dF (t) \geq hf(x). (3)
Лема 2 [1, с. 21]. Якщо F \in V i f має регулярну змiну вiдносно F, то \sigma з \leq \sigma \mu .
Зауважимо, що леми 1 i 2 у дещо загальнiшому виглядi опублiковано в [2, 3]. Нам буде
потрiбна також така лема.
Лема 3 [1, с. 30]. Нехай \sigma \mu = A \in ( - \infty ,+\infty ] i \Phi \in \Omega (A). Для того щоб \mathrm{l}\mathrm{n}\mu (\sigma , I) \leq \Phi (\sigma )
для всiх \sigma \in [\sigma 0, A), необхiдно i достатньо, щоб \mathrm{l}\mathrm{n} f(x) \leq - x\Psi (\varphi (x)) для всiх x \geq x0.
Через LSA(F ) позначимо клас iнтегралiв (1) iз заданою функцiєю F таких, що \sigma \mu = A.
Справджується така теорема.
Теорема 1. Нехай A = +\infty або A = 0, I \in LSA(F ), \Phi \in \Omega (A) i \Phi \prime (\sigma ) = O(\Phi \prime (\Psi (\sigma )))
при \sigma \uparrow A. Припустимо, що \gamma (x)/x не зростає на [x0,+\infty ) i \gamma (x) = O(\Phi (\Psi (\varphi (x)))) при
x\rightarrow +\infty . Якщо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ОЦIНКИ IНТЕГРАЛIВ ЛАПЛАСА – СТIЛЬТЬЄСА 1469
\mathrm{l}\mathrm{n} f(x) \leq - x\Psi (\varphi (x)), x \geq x0, (4)
i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} F (x)
\gamma (x)
= 0, (5)
то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow A
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\leq 0. (6)
Доведення. Покладемо \beta (\sigma ) = \Phi (\sigma )/\Phi \prime (\Psi - 1(\sigma )). Тодi [1, с. 103; 5, 6] \sigma + \beta (\sigma ) < A, тобто
функцiю \Psi - 1(\sigma + \beta (\sigma )) визначено на ( - \infty , A).
Для простоти припустимо, що F (0) = 0, i покладемо g(\sigma ) = \Phi \prime (\Psi - 1(\sigma + \beta (\sigma ))). З (5) i
незростання \gamma (x)/x отримуємо \mathrm{l}\mathrm{n}F (x) = o(\gamma (x)) = o(x) при x\rightarrow +\infty i
I(\sigma ) - \mu (\sigma , I)F (g(\sigma )) =
\left( g(\sigma )\int
0
+
\infty \int
g(\sigma )
\right) f(x)ex\sigma dF (x) - \mu (\sigma , I)F (g(\sigma )) \leq
\leq
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x(\Psi (\varphi (x)) - \sigma )\} dF (x) \leq
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x(\Psi (\varphi (g(\sigma ))) - \sigma )\} dF (x) =
=
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x\beta (\sigma )\} dF (x) \leq \beta (\sigma )
\infty \int
g(\sigma )
F (x)e - x\beta (\sigma )dx \leq
\leq \beta (\sigma )
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x\beta (\sigma ) + \varepsilon \gamma (x)\} dx = \beta (\sigma )
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x(\beta (\sigma ) - \varepsilon \gamma (x)/x)\} dx (7)
для довiльного \varepsilon > 0 i всiх \sigma \in [\sigma 0(\varepsilon ), A). З огляду на незростання \gamma (x)/x i умову \Phi \prime (\sigma ) =
= O(\Phi \prime (\Psi (\sigma )) при \sigma \uparrow A для x \geq g(\sigma ) маємо
\gamma (x)
x
\leq \gamma (g(\sigma ))
g(\sigma )
=
\gamma (\Phi \prime (\Psi - 1(\sigma + \beta (\sigma ))))
\Phi \prime (\Psi - 1(\sigma + \beta (\sigma )))
\leq \gamma (\Phi \prime (\Psi - 1(\sigma )))
\Phi \prime (\Psi - 1(\sigma ))
=
= O
\biggl(
\Phi (\sigma )
\Phi \prime (\Psi - 1(\sigma ))
\biggr)
= O(\beta (\sigma )), \sigma \uparrow A,
тобто \gamma (x)/x \leq K\beta (\sigma ) (x \geq g(\sigma )) для деякого K > 0 i всiх \sigma 1 \leq \sigma < A. Отже, для кожного
\varepsilon \in (0, 1/K) i всiх \sigma \in [\sigma 0(\varepsilon ), A) з (7) отримуємо
I(\sigma ) - \mu (\sigma , I)F (g(\sigma )) \leq \beta (\sigma )
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x(1 - \varepsilon K)\beta (\sigma ))\} dx \leq 1/(1 - \varepsilon K).
Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1470 М. C. ДОБУШОВСЬКИЙ, М. М. ШЕРЕМЕТА
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma ) + \mathrm{l}\mathrm{n} F (g(\sigma )) + o(1), \sigma \uparrow A. (8)
За лемою 3 з (4) маємо \mathrm{l}\mathrm{n}\mu (\sigma , I) \leq \Phi (\sigma ) для всiх \sigma \in [\sigma 0, A) i, отже,
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\leq \mathrm{l}\mathrm{n} F (g(\sigma ))
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
+ o(1), \sigma \uparrow A. (9)
Оскiльки
\sigma + \beta (\sigma ) \leq \sigma +
\Phi (\Psi - 1(\sigma ))
\Phi \prime (\Psi - 1(\sigma ))
= \sigma +\Psi - 1(\sigma ) - \Psi (\Psi - 1(\sigma )) = \Psi - 1(\sigma )
i з умови \Phi \prime (\sigma ) = O(\Phi \prime (\Psi (\sigma )) (\sigma \uparrow A) випливає спiввiдношення \Phi \prime (\Psi - 1(\Psi - 1(\sigma ))) = O(\Phi \prime (\sigma ))
(\sigma \uparrow A), то з огляду на незростання \gamma (x)/x одержуємо
\mathrm{l}\mathrm{n} F (g(\sigma ))
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
= o
\biggl(
\gamma (\Phi \prime (\Psi - 1(\sigma + \beta (\sigma ))))
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\biggr)
= o
\biggl(
\Phi \prime (\Psi - 1(\sigma + \beta (\sigma )))
\Phi \prime (\sigma )
\biggr)
=
= o
\biggl(
\Phi \prime (\Psi - 1(\Psi - 1(\sigma )))
\Phi \prime (\sigma )
\biggr)
= o(1), \sigma \uparrow A.
Звiдси i з (9) випливає (6).
Теорему 1 доведено.
Зауважимо, що у випадку A = +\infty умова \Phi \prime (\sigma ) = O(\Phi \prime (\Psi (\sigma ))) (\sigma \uparrow A) не є обмеженням
на швидкiсть зростання функцiї \Phi . Наприклад, цю умову задовольняють функцiї \Phi (\sigma ) = \sigma \mathrm{l}\mathrm{n} \sigma
(\sigma \geq \sigma 0), \Phi (\sigma ) = \sigma p (\sigma \geq \sigma 0) з p > 1 i \Phi (\sigma ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}k \sigma з k \in \BbbN , де \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}1 x = ex i \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}k x =
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}k - 1 e
x. У випадку, коли A = 0 i \Phi (\sigma ) = B(1/| \sigma | ) для \sigma < 0, наведена вище умова
вказує на те, що B не може зростати повiльнiше, нiж степенева функцiя (наприклад, функцiя
B(x) = \mathrm{l}\mathrm{n} x (x \geq e) не задовольняє цю умову).
Зауважимо також, що умову незростання \gamma (x)/x у випадку, коли \Phi має степеневе зростання,
можно замiнити умовою \gamma (2x) = O(\gamma (x)) при x\rightarrow +\infty , на що вказує наступна теорема.
Теорема 2. Нехай A = +\infty , I \in LS+\infty (F ), \Phi \in \Omega (+\infty ), \sigma \Phi \prime (\sigma )/\Phi (\sigma ) \geq h > 1 i
\sigma \Phi \prime \prime (\sigma )/\Phi \prime (\sigma ) \leq H < +\infty для \sigma \geq \sigma 0. Припустимо, що \gamma (2x) = O(\gamma (x)) i \gamma (x) =
= O(x\Psi (\varphi (x))) при x\rightarrow +\infty . Тодi за умов (4) i (5) виконується нерiвнiсть (6) з A = +\infty .
Доведення. Приймемо тепер g(\sigma ) = \Phi \prime (\Psi - 1(2\sigma )). Тодi з (5) з огляду на умову \gamma (x) =
= O(x\Psi (\varphi (x))) при x\rightarrow +\infty , як ранiше, маємо
I(\sigma ) - \mu (\sigma , I)F (g(\sigma )) =
g(\sigma )\int
0
f(x)e\sigma xdF (x)+
+
\infty \int
g(\sigma )
f(x)e\sigma xdF (x) - \mu (\sigma , I)F (g(\sigma )) \leq \mu (\sigma , F )
g(\sigma )\int
0
dF (x) - \mu (\sigma , I)F (g(\sigma ))+
+
\infty \int
g(\sigma )
f(x)e\sigma xdF (x) \leq
\infty \int
g(\sigma )
f(x)e\sigma xdF (x) \leq
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x(\Psi (\varphi (x)) - \sigma )\} dF (x) \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ОЦIНКИ IНТЕГРАЛIВ ЛАПЛАСА – СТIЛЬТЬЄСА 1471
\leq
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x(\Psi (\varphi (x)) - \Psi (\varphi (x))/2)\} dF (x) =
=
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x\Psi (\varphi (x))/2\} dF (x) =
= F (x) e -
x\Psi (\varphi (x))
2
\bigm| \bigm| \bigm| +\infty
g(\sigma )
+
1
2
+\infty \int
g(\sigma )
F (x)e -
x\Psi (\varphi (x))
2 d(x\Psi (\varphi (x))) \leq
\leq 1
2
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x\Psi (\varphi (x))/3\} dF (x) \leq 3/2
для всiх досить великих \sigma , оскiльки (x\Psi (\varphi (x)))\prime = \varphi (x). Звiдси i з (4), (5) за лемою 3 отриму-
ємо
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\leq \mathrm{l}\mathrm{n} F (\Phi \prime (\Psi - 1(2\sigma )))
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
+ o(1) = o
\biggl(
\gamma (\Phi \prime (\Psi - 1(2\sigma )))
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\biggr)
, \sigma \rightarrow +\infty .
Завдяки умовi \gamma (2x) = O(\gamma (x)) при x \rightarrow +\infty залишилось довести, що \Phi \prime (\Psi - 1(2\sigma )) =
= O(\Phi \prime (\sigma )) при \sigma \rightarrow +\infty . Використовуючи умови теореми 2 i теорему Лагранжа, неважко
довести, що 0 < \mathrm{l}\mathrm{n} \Phi \prime (\sigma ) - \mathrm{l}\mathrm{n} \Phi \prime (\Psi - 1(\sigma )) \leq H/(h - 1) i 0 < \mathrm{l}\mathrm{n} \Phi \prime (2\sigma ) - \mathrm{l}\mathrm{n} \Phi \prime (\sigma ) \leq H для
досить великих \sigma . Тому 0 < \mathrm{l}\mathrm{n} \Phi \prime (\Psi - 1(\sigma )) - \mathrm{l}\mathrm{n} \Phi \prime (\sigma ) \leq H/(h - 1)+H для досить великих \sigma .
Теорему 2 доведено.
Зауважимо, що умови теореми 2 не виконуються, якщо функцiя \Phi \in \Omega (+\infty ) така, що
\Phi (\sigma ) = \sigma \alpha (\sigma ) для \sigma \geq \sigma 0, де \alpha — повiльно зростаюча функцiя. В останньому випадку
правильною є така теорема.
Теорема 3. Нехай A = +\infty , I \in LS+\infty (F ), \Phi \in \Omega (+\infty ), \Phi \prime — повiльно зростаюча функ-
цiя i \Phi \prime (\sigma ) = (1+o(1))\Phi \prime (\Psi (\sigma )) при \sigma \rightarrow +\infty . Припустимо, що \gamma (x) = O(\varphi (x)) при x\rightarrow +\infty
i \gamma - 1 — повiльно зростаюча функцiя. Тодi за умов (4) i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\gamma - 1(\mathrm{l}\mathrm{n} F (x))
x
< 1 (10)
виконується нерiвнiсть (6) з A = +\infty .
Доведення. З умов (10) i \gamma (x) = O(\varphi (x)) (x\rightarrow +\infty ) випливає iснування чисел q \in (0, 1) i
K > 0 таких, що \mathrm{l}\mathrm{n} F (x) \leq \gamma (qx) \leq K\varphi (qx) для досить великих x. З iншого боку,
x\Psi (\varphi (x)) \geq
x\int
(1+q)x/2
\varphi (t)dt \geq (1 - q)x
2
\varphi
\biggl(
(1 + q)x
2
\biggr)
.
Звiдси
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} F (x)
x\Psi (\varphi (x))
\leq 2K
1 - q
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\varphi (qx)
x(\varphi ((1 + q)x/2))
= 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1472 М. C. ДОБУШОВСЬКИЙ, М. М. ШЕРЕМЕТА
тому що q < (1 + q)/2 i з повiльного зростання \Phi \prime випливає спiввiдношення \varphi (\eta x) = o(\varphi (x))
при x \rightarrow +\infty для кожного \eta \in (0, 1). Тому якщо покладемо g(\sigma ) = \Phi \prime (\Psi - 1(2\sigma )), то, як i
ранiше,
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\leq \mathrm{l}\mathrm{n} F (\Phi \prime (\Psi - 1(2\sigma )))
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
+ o(1) \leq o
\biggl(
\gamma (q\Phi \prime (\Psi - 1(2\sigma )))
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\biggr)
, \sigma \rightarrow +\infty .
Оскiльки \gamma - 1 — повiльно зростаюча функцiя, залишилося довести, що \Phi \prime (\Psi - 1(2\sigma )) \leq \Phi \prime (\sigma )
при \sigma \rightarrow +\infty . Остання нерiвнiсть випливає з повiльного зростання \Phi \prime i умови \Phi \prime (\sigma ) =
= (1 + o(1)\Phi \prime (\Psi (\sigma )) при \sigma \rightarrow +\infty .
Теорему 3 доведено.
Нарештi, розглянемо випадок, коли повiльно зростає функцiя \Phi \in \Omega (0).
Теорема 4. Нехай A = 0, I \in LS0(F ) i \Phi \in \Omega (0). Припустимо, що \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(\gamma (\Phi \prime (2\sigma )))
i \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(| \sigma | \Phi \prime (\Psi - 1(\sigma ))) при \sigma \uparrow 0. Тодi за умов (4) i
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} F (x)
\gamma (\Phi \prime (\Psi (\varphi (x))))
= 0 (11)
виконується нерiвнiсть (6) з A = 0.
Доведення. З умови \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(| \sigma | \Phi \prime (\Psi - 1(\sigma ))) при \sigma \uparrow 0 випливає, що \gamma (\Phi \prime (\Psi (\varphi (x))) =
= O(x| \Psi (\varphi (x))| ) при x\rightarrow +\infty , i, отже, з огляду на (11) \mathrm{l}\mathrm{n} F (x) = o(x| \Psi (\varphi (x))| ) при x\rightarrow +\infty .
Тому, якщо покладемо g(\sigma ) = \Phi \prime (\Psi - 1(\sigma /2)), то, як i ранiше,
I(\sigma ) - \mu (\sigma , I)F (g(\sigma )) \leq
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x(\Psi (\varphi (x)) - \sigma )\} dF (x) \leq
\leq
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x(\Psi (\varphi (x)) - 2\Psi (\varphi (x)))\} dF (x) =
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x| \Psi (\varphi (x))| \} dF (x) \leq
\leq -
\infty \int
g(\sigma )
F (x) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x| \Psi (\varphi (x))| \} \varphi (x)dx \leq
\infty \int
g(\sigma )
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x| \Psi (\varphi (x))| /2\} | \varphi (x)| dx \leq 2.
Звiдси, як i вище, з огляду на (11) отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\mathrm{l}\mathrm{n} F (g(\sigma ))
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} F (x)
\gamma (\Phi \prime (2\Psi (\varphi (x)))
= 0,
оскiльки \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(\gamma (\Phi \prime (2\sigma ))) при \sigma \uparrow 0.
Теорему 4 доведено.
3. Оцiнка \bfl \bfn \bfitI (\bfitsigma ) знизу. Наступну лему буде використано для отримання оцiнки \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma )
знизу на деякiй послiдовностi.
Лема 4 [1, с. 100]. Нехай F \in V (l) i \gamma — невiд’ємна неперервна i зростаюча до +\infty на
[0,+\infty ) функцiя така, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} F (x)
\gamma (x)
> 1. (12)
Тодi iснує функцiя G \in V, яка задовольняє такi умови:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ОЦIНКИ IНТЕГРАЛIВ ЛАПЛАСА – СТIЛЬТЬЄСА 1473
1) G(x) \leq e\gamma (x) + l для всiх x > 0;
2) iснують такi зростаючi до +\infty послiдовностi (\tau k) i (xk), x0 < \tau 1 < x1 < \tau 2 < . . .
. . . < xk < \tau k+1 < xk+1 < . . . , що
G(xk) \geq e\gamma (xk), G(xk) \geq 2G(\tau k),
i
G(x) =
\Biggl\{
bk, xk \leq x \leq \tau k+1,
F (x) - ck, \tau k \leq x \leq xk,
де bk i ck — невiд’ємнi сталi;
3) якщо
f(x) =
\left\{ 0, x \in [xk, \tau k+1], k \geq 0,
g(x) > 0, x \in (\tau k, xk), k \geq 1,
(13)
то
\infty \int
0
f(x)e\sigma xdG(x) =
\infty \int
0
f(x)e\sigma xdF (x).
Для q \in (0, 1) i x \geq \gamma (0) + 1 означимо \Delta \gamma (x; q), як ранiше. Тодi правильним є наступне
узагальнення теореми А.
Теорема 5. Нехай F \in V (l), \Psi \in \Omega (+\infty ), I \in LS+\infty (F ) i
\mathrm{l}\mathrm{n} f(x) \geq - x\Psi (\varphi (x)), x \geq x0. (14)
Припустимо, що невiд’ємна неперервна зростаюча до +\infty на [0,+\infty ) функцiя \gamma така, що
виконується (12) i для деякого q \in (0, 1)
\Delta \gamma (x; q)\varphi (\gamma
- 1(x)) \rightarrow 0, x\rightarrow +\infty . (15)
Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\geq 1 - q > 0. (16)
Доведення. За лемою 4 iснує функцiя G \in V, яка задовольняє умови 1 – 3. Нехай 0 < p <
< 1 - q. Оскiльки G(xk) - Gp(xk) = (1 + o(1))G(xk) при k \rightarrow \infty i G(xk) \geq 2G(\tau k), то iснує
таке tk \in (\tau k, xk), що
G(xk) - Gp(xk) - l \leq G(tk) \leq G(xk) - Gp(xk).
Тому для \sigma k = \varphi (xk) з огляду на (13) маємо
I(\sigma k) \geq
xk\int
tk
f(x) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ x\sigma k\} dG(x) \geq
xk\int
tk
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x\Psi (\varphi (x)) + x\sigma k\} dG(x) \geq
\geq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - xk\Psi (\varphi (xk)) + tk\sigma k\}
xk\int
\tau k
dG(x) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1474 М. C. ДОБУШОВСЬКИЙ, М. М. ШЕРЕМЕТА
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - xk\Psi (\varphi (xk)) + xk\varphi (xk) - (xk - tk)\varphi (xk)\} (G(xk) - G(tk)) \geq
\geq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \Phi (\varphi (xk))\} Gp(xk) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - (xk - tk)\varphi (xk)\} . (17)
Завдяки умовам 1, 2 i нерiвностi (16) для k \geq k0 отримуємо
tk \geq \gamma - 1(\mathrm{l}\mathrm{n} (G(tk) - l)) \geq \gamma - 1(\mathrm{l}\mathrm{n}(G(xk) - Gp(xk) - 2l)) \geq
\geq \gamma - 1(\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk)) - (\gamma - 1(\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk))) - \gamma - 1(\mathrm{l}\mathrm{n}(G(xk) - Gp(xk) - 2l)) \geq xk - \delta k,
де
\delta k = \gamma - 1(\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk)) - \gamma - 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk) + \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
1 - Gp(xk) - 2l
G(xk)
\biggr) \biggr)
=
= \gamma - 1(\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk)) - \gamma - 1
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk) -
(1 + o(1))
G1 - p(xk)
\biggr)
\leq
\leq \gamma - 1(\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk)) - \gamma - 1 (\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk) - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - q \mathrm{l}\mathrm{n} G(xk)\} ) =
= \gamma - 1(\gamma (xk)) - \gamma - 1(\gamma (xk) - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - q\gamma (xk)\} ) =
= \Delta \gamma (\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk), q) \mathrm{l}\mathrm{n} G(xk).
Тому з (17) i (15) випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma k) \geq p \mathrm{l}\mathrm{n} G(xk) + \Phi (\varphi (xk)) - \Delta \gamma (\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk), q) \mathrm{l}\mathrm{n} G(xk)\varphi (xk) =
= \Phi (\varphi (xk)) + p \mathrm{l}\mathrm{n} G(xk)
\biggl\{
1 - 1
p
\Delta \gamma (\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk), q)\varphi (xk)
\biggr\}
\leq
\leq \Phi (\varphi (xk)) + p \mathrm{l}\mathrm{n} G(xk)
\biggl\{
1 - 1
p
\Delta \gamma (\mathrm{l}\mathrm{n} G(xk), q)\varphi (\gamma
- 1(\mathrm{l}\mathrm{n} (G(xk)))
\biggr\}
=
= \Phi (\varphi (xk)) + (1 + o(1))p \mathrm{l}\mathrm{n} G(xk) \geq \Phi (\varphi (xk)) + (1 + o(1))p\gamma - 1(xk), k \rightarrow \infty ,
i оскiльки \sigma k = \varphi (xk), тобто xk = \Phi \prime (\sigma k), звiдси отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma k) - \Phi (\sigma k)
\gamma (\Phi \prime (\sigma k))
\geq p+ o(1), k \rightarrow +\infty .
З огляду на довiльнiсть p теорему 5 доведено.
З огляду на зростання \varphi зауважимо, що з умови (15) для деякого q \in (0, 1) випливає, що
\Delta \gamma (x; q) \rightarrow 0 (x\rightarrow +\infty ) для цього q. Функцiя \gamma (x) = \mathrm{l}\mathrm{n} x не задовольняє останню умову, але
\gamma (x) = (1 + \eta ) \mathrm{l}\mathrm{n} x з \eta > 0 цю умову задовольняє.
Виникає природне питання: для яких \gamma i \varphi умову (12) можна замiнити умовою
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} F (x)
\gamma (x)
> 0? (18)
З (18) випливає iснування такого числа \beta > 0, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} F (x)
\beta \gamma (x)
> 1.
Оскiльки \beta — довiльне число, то теорема 5 повинна бути правильною для всiх q \in (0, 1).
Iншими словами, отримуємо такий наслiдок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ОЦIНКИ IНТЕГРАЛIВ ЛАПЛАСА – СТIЛЬТЬЄСА 1475
Наслiдок 1. Нехай F \in V (l), \Phi \in \Omega (+\infty ), I \in LS+\infty (F ) i виконується умова (14).
Припустимо, що невiд’ємна неперервно диференцiйовна зростаюча до +\infty на [0,+\infty ) функ-
цiя \gamma така, що
\mathrm{l}\mathrm{n}
1
\gamma \prime (x)
= o(\gamma (x)), x\rightarrow +\infty , (19)
i
\mathrm{l}\mathrm{n} \varphi (x) = o(\gamma (x)), x\rightarrow +\infty .
Якщо виконується (18), то
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
> 0.
Доведення. Для кожного q > 0 iснує \xi = \xi (x) \in (x - e - qx, x) таке, що
(\gamma - 1(x) - \gamma - 1(x - e - qx))\varphi (\gamma - 1(x)) =
e - qx
\gamma \prime (\gamma - 1(\xi ))
\varphi (\gamma - 1(x)) =
=
e - (1+o(1))qx
\gamma \prime (\gamma - 1(\xi ))
=
e - (1+o(1))q\xi
\gamma \prime (\gamma - 1(\xi ))
\rightarrow 0, x\rightarrow +\infty ,
тобто (15) виконується для кожного q \in (0, 1). Звiдси випливає, що (15) виконується також для
\beta \gamma (x) замiсть \gamma (x).
Наслiдок 1 доведено.
Зауважимо, що умову (19) не задовольняє функцiя \gamma (x) = \mathrm{l}\mathrm{n} x, але задовольняє \gamma (x) =
= \mathrm{l}\mathrm{n}1+\alpha x з \alpha > 0.
Наступна теорема є аналогом теореми 5 для випадку A = 0.
Теорема 6. Нехай F \in V (l), \Phi \in \Omega (0), I \in LS0(F ) i виконується умова (14). Припустимо,
що \gamma — невiд’ємна неперервна зростаюча до +\infty на [0,+\infty ) функцiя така, що виконується
(12) i для деякого q \in (0, 1)
\Delta \gamma (x; q) = O(1), x\rightarrow +\infty .
Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
\geq 1 - q > 0.
Доведення цiєї теореми вiдрiзняється вiд доведення теореми 5 тiльки тим, що тепер x\Psi (\varphi (x))
є спадною функцiєю, а \sigma < 0. Тому для \sigma k = \varphi (xk) \uparrow 0 (k \rightarrow \infty ) маємо
I(\sigma k) \geq
xk\int
tk
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x\Psi (\varphi (x)) + x\sigma k\} dG(x) \geq
\geq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - tk\psi (\varphi (tk)) + xk\sigma k\} (G(xk) - G(tk)) \geq
\geq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \Phi (\varphi (xk))\} (G(xk) - Gp(xk)) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - (xk - tk)\varphi (tk)\} .
Подiбно до доведення теореми 5 отримуємо
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma k) \geq \Phi (\sigma k) + p \mathrm{l}\mathrm{n} G(xk) - \delta k\varphi (tk).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1476 М. C. ДОБУШОВСЬКИЙ, М. М. ШЕРЕМЕТА
Оскiльки \mathrm{l}\mathrm{n} G(xk) = (1 + o(1)) \mathrm{l}\mathrm{n} G(tk), \varphi (tk) \uparrow 0 i \Delta \gamma (xk; q) = O(1) при k \rightarrow \infty , звiдси
випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma k) - \Phi (\sigma k)
\gamma (\Phi \prime (\sigma k))
\geq p+ o(1), k \rightarrow \infty ,
що i завершує доведення теореми 6.
Як у випадку, коли I \in LS+\infty (F ), для I \in LS0(F ) правильним є такий наслiдок.
Наслiдок 2. Нехай F \in V (l), \Phi \in \Omega (0), I \in LS0(F ) i виконується умова (14). Припус-
тимо, що невiд’ємна неперервно диференцiйовна зростаюча до +\infty на [0,+\infty ) функцiя \gamma
задовольняє умови (18) i (19). Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\sigma \uparrow 0
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) - \Phi (\sigma )
\gamma (\Phi \prime (\sigma ))
> 0.
4. Зв’язок мiж зростанням \bfl \bfn \bfitI (\bfitsigma ) i \bfl \bfn \bfitmu (\bfitsigma , \bfitI ). Використовуючи теореми 1 – 4 i наслiд-
ки 1, 2, можемо знайти умови, за яких з оцiнок зверху для \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) випливають подiбнi оцiнки
для \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ).
Твердження 1. Нехай F \in V, \Phi \in \Omega (+\infty ) i \gamma : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ) — така неперервна
функцiя, що \gamma (x) \uparrow +\infty при x\rightarrow +\infty .
Якщо \Phi \prime (\sigma ) = O(\Phi \prime (\Psi (\sigma ))) при \sigma \rightarrow +\infty , функцiя \gamma (x)/x незростаюча на [x0,+\infty ) i
\gamma (x) = O(\Phi (\Psi (\varphi (x)))) при x \rightarrow +\infty , то умова (5) є достатньою, а якщо F \in V (l), функцiя
\gamma неперервно диференцiйовна на [0,+\infty ), \mathrm{l}\mathrm{n} (1/\gamma \prime (x)) = o(\gamma (x)) i \mathrm{l}\mathrm{n} \varphi (x) = o(\gamma (x)) при
x \rightarrow +\infty , то умова (5) є необхiдною для того, щоб для кожного iнтеграла I \in LS+\infty (F ) з
нерiвностi
\mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq \Phi (\sigma ), \sigma \geq \sigma 0, (20)
випливала нерiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq \Phi (\sigma ) + o(\gamma (\Phi \prime (\sigma ))), \sigma \rightarrow +\infty . (21)
З iншого боку, якщо функцiя f має регулярну змiну вiдносно F, то з нерiвностi
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq \Phi (\sigma ), \sigma \geq \sigma 0, (22)
випливає нерiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq \Phi (\sigma ) +O(\sigma ), \sigma \rightarrow +\infty . (23)
Доведення. За лемою 3 з нерiвностi (20) випливає нерiвнiсть (4). За теоремою 1 з (4)
випливає (6), тобто отримуємо (21). Достатнiсть умови (5) доведено.
Для доведення необхiдностi припустимо, що (5) не виконується, тобто виконується нерiв-
нiсть (18). Розглянемо iнтеграл Лапласа – Стiльтьєса (1) з f(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x\Psi (\varphi (x))\} .
За лемою 3 виконується нерiвнiсть (20) i, отже, I \in LS+\infty (F ). Виконання умови (14) є очевид-
ним. Тому за наслiдком 1 iснують число \beta > 0 i зростаюча до +\infty послiдовнiсть (\sigma k) такi, що
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma k) \geq \Phi (\sigma k)+\beta \gamma (\Phi
\prime (\sigma k)), тобто для такого iнтеграла I(\sigma ) нерiвнiсть (21) не виконується.
Першу частину твердження доведено.
Далi, якщо \sigma \mu = +\infty i f має регулярну змiну вiдносно F, то iснують числа a \geq 0, b \geq 0 i
h > 0 такi, що для всiх x \geq a i \sigma > 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ОЦIНКИ IНТЕГРАЛIВ ЛАПЛАСА – СТIЛЬТЬЄСА 1477
I(\sigma ) \geq
x+b\int
x - a
f(t)et\sigma dF (t) \geq e\sigma (x - a)
x+b\int
x - a
f(t)dF (t) \geq hf(x)e\sigma (x - a) = f(x)ex\sigma he - a\sigma ,
тобто f(x)ex\sigma \leq ea\sigma I(\sigma )/h для всiх x \geq a. Звiдси випливає, що
\mu (\sigma , I) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq x\leq a
f(x)ex\sigma , \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\geq a
f(x)ex\sigma
\biggr\}
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
Kea\sigma ,
1
h
ea\sigma I(\sigma )
\biggr\}
, K = const > 0,
звiдки
\mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) +O(\sigma ), \sigma \rightarrow +\infty . (24)
З нерiвностей (22) i (24) випливає нерiвнiсть (23).
Твердження 1 доведено.
З огляду на твердження 1 виникає природнe питання: чи є еквiвалентними за умови (5)
асимптотичнi рiвностi
\mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) = (1 + o(1))\Phi (\sigma ), \sigma \rightarrow +\infty , (25)
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) = (1 + o(1))\Phi (\sigma ), \sigma \rightarrow +\infty ? (26)
Наступне твердження дає ствердну вiдповiдь.
Твердження 2. Нехай F \in V, I \in LS+\infty (F ) i функцiя f має регулярну змiну вiдносно F.
Припустимо, що \Phi \in \Omega (+\infty ), \Phi \prime (\sigma ) = O(\Phi \prime (\Psi (\sigma ))) при \sigma \rightarrow +\infty i неперервна функцiя \gamma :
[0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ) така, що \gamma (x) \uparrow +\infty при x \rightarrow +\infty , \gamma (x)/x не зростає на [x0,+\infty )
i \gamma (x) = O(\Phi (\Psi (\varphi (x)))) при x \rightarrow +\infty . Тодi умова (5) є достатньою для еквiвалентностi
асимптотичних рiвностей (25) i (26).
Доведення. Оскiльки (\mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I))/\sigma \rightarrow +\infty при \sigma \rightarrow +\infty , то з (24) маємо
(1 + o(1)) \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) при \sigma \rightarrow +\infty .
З iншого боку, з (8), як при доведеннi теореми 1, отримуємо \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) + o(\gamma (\Phi \prime (\sigma )))
при \sigma \rightarrow +\infty . Але з умови \gamma (x) = O(\Phi (\Psi (\varphi (x)))) (x \rightarrow +\infty ) випливає, що \gamma (x) =
= O(\Phi (\varphi (x))) (x\rightarrow +\infty ), тобто \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(\Phi (\sigma )) (\sigma \rightarrow +\infty ). Тому
(1 + o(1)) \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) + o(\Phi (\sigma )), \sigma \rightarrow +\infty ,
звiдки випливає еквiвалентнiсть асимптотичних рiвностей (25) i (26).
Твердження 2 доведено.
Приклад 1. Нехай \Phi (\sigma ) = Te\varrho \sigma для \sigma \geq \sigma 0, де T > 0 i \varrho > 0. Тодi \Phi \prime (\sigma ) = T\varrho e\varrho \sigma ,
\Psi (\sigma ) = \sigma - 1
\varrho
, \varphi (x) =
1
\varrho
\mathrm{l}\mathrm{n}
x
T\varrho
, \Phi \prime (\Psi (\sigma )) =
T\varrho
e
e\varrho \sigma i \Phi (\Psi (\varphi (x))) =
x
eT\varrho
. Виберемо \gamma (x) = x
для x \geq 1. Тодi \gamma (x)/x не зростає на [1,+\infty ), \mathrm{l}\mathrm{n} (1/\gamma \prime (x)) = o(\gamma (x)) i \mathrm{l}\mathrm{n} \varphi (x) = o(\gamma (x)) при
x\rightarrow +\infty . Тому з тверджень 1 i 2 випливає такий наслiдок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1478 М. C. ДОБУШОВСЬКИЙ, М. М. ШЕРЕМЕТА
Наслiдок 3. Нехай F \in V (l). Для того щоб для кожного iнтеграла I \in LS+\infty (F ) при
\sigma \rightarrow +\infty нерiвностi \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq (1+o(1))Te\varrho \sigma i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq (1+o(1))Te\varrho \sigma були рiвносильними,
необхiдно i достатньо, щоб \mathrm{l}\mathrm{n} F (x) = o(x) при x\rightarrow +\infty .
Якщо, крiм цього, функцiя f має регулярну змiну вiдносно F, то ця умова є достатньою
для еквiвалентностi асимптотичних рiвностей \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) = (1 + o(1))Te\varrho \sigma i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) = (1 +
+ o(1))Te\varrho \sigma при \sigma \rightarrow +\infty .
Для iнтегралiв степеневого зростання з теореми 2 i наслiдку 1 подiбно отримуємо два таких
твердження.
Твердження 3. Нехай F \in V, \Phi \in \Omega (+\infty ), а \gamma : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ) — неперервна функцiя
така, що \gamma (x) \uparrow +\infty при x\rightarrow +\infty .
Якщо \sigma \Phi \prime (\sigma )/\Phi (\sigma ) \geq h > 1 i \sigma \Phi \prime \prime (\sigma )/\Phi \prime (\sigma ) \leq H < +\infty для \sigma \geq \sigma 0, \gamma (2x) = O(\gamma (x)) i
\gamma (x) = O(x\Psi (\varphi (x))) при x\rightarrow +\infty , то умова (5) є достатньою, а якщо F \in V (l), функцiя \gamma є
неперервно диференцiйовною на [0,+\infty ), \mathrm{l}\mathrm{n} \gamma \prime (x) = o(\gamma (x)) i \mathrm{l}\mathrm{n} \varphi (x) = o(\gamma (x)) при x\rightarrow +\infty ,
то умова (5) є необхiдною для того, щоб для кожного iнтеграла I \in LS+\infty (F ) з нерiвностi
(20) випливала нерiвнiсть (21).
Якщо функцiя f має регулярну змiну вiдносно F, то з нерiвностi (22) випливає нерiв-
нiсть (23).
Твердження 4. Нехай F \in V, I \in LS+\infty (F ) i функцiя f має регулярну змiну вiднос-
но F. Припустимо, що \sigma \Phi \prime (\sigma )/\Phi (\sigma ) \geq h > 1 i \sigma \Phi \prime \prime (\sigma )/\Phi \prime (\sigma ) \leq H < +\infty для \sigma \geq \sigma 0,
\gamma (2x) = O(\gamma (x)) i \gamma (x) = O(x\Psi (\varphi (x))) при x \rightarrow +\infty . Тодi умова (5) є достатньою для
еквiвалентностi асимптотичних рiвностей (25) i (26).
Приклад 2. Нехай \Phi (\sigma ) = T\sigma p для \sigma \geq \sigma 0, де T > 0 i p > 1. Тодi \Phi \prime (\sigma ) = Tp\sigma p - 1,
\Psi (\sigma ) = (p - 1)\sigma /p, \varphi (x) = (x/pT )1/(p - 1) i x\Psi (\varphi (x)) = (p - 1)p - p/(p - 1)T - 1/(p - 1)xp/(p - 1) для
x \geq x0. Виберемо \gamma (x) = xp/(p - 1) для x \geq 1. Тодi \gamma задовольняє умови тверджень 3 i 4, i ми
отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 4. Нехай F \in V (l), T > 0 i p > 1. Для того щоб для кожного iнтеграла
I \in LS+\infty (F ) при \sigma \rightarrow +\infty нерiвностi \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq (1 + o(1))T\sigma p i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq (1 + o(1))T\sigma p
були рiвносильними, необхiдно i достатньо, щоб \mathrm{l}\mathrm{n} F (x) = o(xp/(p - 1)) при x\rightarrow +\infty .
Якщо, крiм цього, функцiя f має регулярну змiну вiдносно F, то ця умова є достатньою для
еквiвалентностi асимптотичних рiвностей \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) = (1+o(1))T\sigma p i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) = (1+o(1))T\sigma p
при \sigma \rightarrow +\infty .
Для iнтегралiв повiльного зростання, використавши теорему 3 i наслiдок 1, доведемо таке
твердження.
Твердження 5. Нехай F \in V, \Phi \in \Omega (+\infty ), а \gamma : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ) — неперервна функцiя
така, що \gamma (x) \uparrow +\infty при x\rightarrow +\infty .
Якщо \Phi \prime — повiльно зростаюча функцiя i \Phi \prime (\sigma ) = (1+o(1))\Phi \prime (\Psi (\sigma )) при \sigma \rightarrow +\infty , а \gamma (x) =
= O(\varphi (x)) при x \rightarrow +\infty i \gamma - 1 — повiльно зростаюча функцiя, то умова (10) є достатньою,
а якщо F \in V (l), функцiя \gamma є неперервно диференцiйовною на [0,+\infty ), \mathrm{l}\mathrm{n} \gamma \prime (x) = o(\gamma (x)) i
\mathrm{l}\mathrm{n} \varphi (x) = o(\gamma (x)) при x\rightarrow +\infty , то умова
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\gamma - 1(\mathrm{l}\mathrm{n} F (x))
x
\leq 1 (27)
є необхiдною для того, щоб для кожного iнтеграла I \in LS+\infty (F ) з нерiвностi (20) випливала
нерiвнiсть (21).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ОЦIНКИ IНТЕГРАЛIВ ЛАПЛАСА – СТIЛЬТЬЄСА 1479
Якщо функцiя f має регулярну змiну вiдносно F, то з нерiвностi (22) випливає нерiв-
нiсть (23).
Доведення. За лемою 3 з нерiвностi (20) випливає нерiвнiсть (4). Тому за теоремою 3 з
умови (10) випливає нерiвнiсть (6), тобто отримуємо (21). Достатнiсть умови (10) доведено.
Для доведення необхiдностi припустимо, що (27) не виконується. Тодi iснують число \eta > 0
i зростаюча до +\infty послiдовнiсть (xk) додатних чисел такi, що \gamma - 1(\mathrm{l}\mathrm{n} F (xk)) \geq (1 + \eta )xk
i, отже, \mathrm{l}\mathrm{n} F (xk)) \geq \gamma ((1 + \eta )xk) \geq \gamma (xk), тобто маємо (18). Розглянемо iнтеграл Лапласа –
Стiльтьєса (1) з f(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x\Psi (\varphi (x))\} . За лемою 3 виконується нерiвнiсть (20) i, отже,
I \in LS+\infty (F ). Зрозумiло, що умова (14) виконується. Тому за наслiдком 1 iснують число
\beta > 0 i зростаюча до +\infty послiдовнiсть (\sigma k) такi, що \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma k) \geq \Phi (\sigma k) + \beta \gamma (\Phi \prime (\sigma k)), тобто
для такого iнтеграла I(\sigma ) нерiвнiсть (21) не виконується. Першу частину твердження доведено.
Другу частину доведено ранiше.
Твердження 6. Нехай F \in V, I \in LS+\infty (F ) i функцiя f має регулярну змiну вiдносно F.
Припустимо, що \Phi \in \Omega (+\infty ), \Phi \prime — повiльно зростаюча функцiя i \Phi \prime (\sigma ) = (1 + o(1))\Phi \prime (\Psi (\sigma ))
при \sigma \rightarrow +\infty , а неперервна функцiя \gamma : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ) така, що \gamma (x) \uparrow +\infty , \gamma (x) =
o(\varphi (x)) при x\rightarrow +\infty i \gamma - 1 — повiльно зростаюча функцiя. Тодi умова (10) є достатньою для
еквiвалентностi асимптотичних рiвностей (25) i (26).
Доведення твердження 6 таке, як доведення твердження 2.
Приклад 3. Нехай \Phi (\sigma ) = T\sigma \mathrm{l}\mathrm{n} \sigma для \sigma \geq \sigma 0, де T > 0. Тодi \Phi \prime (\sigma ) = T (\mathrm{l}\mathrm{n} \sigma + 1),
\Psi (\sigma ) = \sigma /(\mathrm{l}\mathrm{n} \sigma + 1) i \varphi (x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ x/T - 1\} . Зрозумiло, що \Phi \prime — повiльно зростаюча функцiя
i \Phi \prime (\sigma ) = (1 + o(1))\Phi \prime (\Psi (\sigma )) при \sigma \rightarrow +\infty . Виберемо \gamma (x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ x/T (1 + \varepsilon )\} , \varepsilon > 0.
Тодi \gamma - 1(x) = T (1 + \varepsilon ) \mathrm{l}\mathrm{n} x — повiльно зростаюча функцiя, \gamma (x) = o(\varphi (x)), \mathrm{l}\mathrm{n} \gamma \prime (x) =
= o(\gamma (x)) i \mathrm{l}\mathrm{n} \varphi (x) = o(\gamma (x)) при x \rightarrow +\infty . Зауважимо також, що тут умова (10) має
вигляд \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty (\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} F (x))/x < 1/T (1+\varepsilon ), а умова (27) — вигляд \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow +\infty (\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} F (x))/x \leq
\leq 1/T (1 + \varepsilon ). Тому з тверджень 5 i 6 з огляду на довiльнiсть \varepsilon отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 5. Нехай F \in V (l) i T > 0. Для того щоб для кожного iнтеграла I \in LS+\infty (F )
при \sigma \rightarrow +\infty нерiвностi \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq (1 + o(1))T\sigma \mathrm{l}\mathrm{n} \sigma i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq (1 + o(1))T\sigma \mathrm{l}\mathrm{n} \sigma були
рiвносильними при \sigma \rightarrow \infty , достатньо, щоб
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} F (x)
x
<
1
T
, (28)
i необхiдно, щоб
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow +\infty
(\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n} F (x))/x \leq 1/T.
Якщо, крiм цього, функцiя f має регулярну змiну вiдносно F, то умова (28) є достатньою
для еквiвалентностi асимптотичних рiвностей \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) = (1 + o(1))T\sigma \mathrm{l}\mathrm{n} \sigma i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) =
= (1 + o(1))T\sigma \mathrm{l}\mathrm{n} \sigma при \sigma \rightarrow \infty .
Перейдемо до розгляду iнтегралiв з класу I \in LS0(F ). Комбiнуючи теорему 1 i наслiдок 2,
можемо довести таке твердження.
Твердження 7. Нехай F \in V, \Phi \in \Omega (0), а \gamma : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ) — неперервна функцiя
така, що \gamma (x) \uparrow +\infty при x\rightarrow +\infty .
Якщо \Phi \prime (\sigma ) = O(\Phi \prime (\Psi (\sigma ))) при \sigma \uparrow 0, функцiя \gamma (x)/x не зростає на [x0,+\infty ) i \gamma (x) =
= O(\Phi (\Psi (\varphi (x)))) при x \rightarrow +\infty , то умова (5) є достатньою, а якщо F \in V (l), функцiя \gamma
неперервно диференцiйовна на [0,+\infty ) i \mathrm{l}\mathrm{n} \gamma \prime (x) = o(\gamma (x)) при x \rightarrow +\infty , то умова (5) є
необхiдною для того, щоб для кожного iнтеграла I \in LS0(F ) з нерiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1480 М. C. ДОБУШОВСЬКИЙ, М. М. ШЕРЕМЕТА
\mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \geq \Phi (\sigma ), \sigma \in [\sigma 0, 0), (29)
випливала нерiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq \Phi (\sigma ) + o(\gamma (\Phi \prime (\sigma )), \sigma \uparrow 0. (30)
З iншого боку, якщо функцiя f має регулярну змiну вiдносно F, то з нерiвностi
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq \Phi (\sigma ), \sigma \in [\sigma 0, 0), (31)
випливає нерiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq \Phi (\sigma ) +O(\sigma ), \sigma \uparrow 0. (32)
Доведення. За лемою 3 з (29) випливає (4). За теоремою 1 з (4) випливає (6), тобто отримує-
мо (30). Достатнiсть умови (5) доведено.
Припустимо тепер, що (5) не виконується, тобто має мiсце нерiвнiсть (18). Як ранiше,
розглянемо iнтеграл (1) з f(x) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ - x\Phi (\varphi (x))\} . За лемою 3 \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq \Phi (\sigma ) для всiх
\sigma < 0 i, отже, I \in LS0(F ). Тому за наслiдком 2 iснують число \beta > 0 i послiдовнiсть (\sigma k) \uparrow 0
такi, що \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma k) \geq \Phi (\sigma k) + \beta \gamma (\Phi \prime (\sigma k)), тобто для такого iнтеграла I(\sigma ) нерiвнiсть (30) не
виконується. Першу частину твердження доведено.
Далi, якщо \sigma \mu = 0 i f має регулярну змiну вiдносно F, то iснують числа a \geq 0, b \geq 0 i
h > 0 такi, що для всiх x \geq a i \sigma < 0 тепер маємо
I(\sigma ) \geq
x+b\int
x - a
f(t)et\sigma dF (t) \geq e\sigma (x+b)
x+b\int
x - a
f(t)dF (t) \geq hf(x)e\sigma (x+b) = f(x)ex\sigma heb\sigma ,
тобто f(x)ex\sigma \leq eb| \sigma | I(\sigma )/h для всiх x \geq a, i, як при доведеннi твердження 1, отримуємо
\mu (\sigma , I) \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
K,
1
h
eb| \sigma | I(\sigma )
\biggr\}
, K = const > 0, (33)
звiдки на пiдставi (31) випливає (32).
Твердження 7 доведено.
Наступний результат є аналогом твердження 2.
Твердження 8. Нехай F \in V, I \in LS0(F ) i функцiя f має регулярну змiну вiдносно F.
Припустимо, що \Phi \in \Omega (0), \Phi \prime (\sigma ) = O(\Phi \prime (\Psi (\sigma ))) при \sigma \uparrow 0, а \gamma : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ) —
неперервна функцiя така, що \gamma (x) \uparrow +\infty , \gamma (x) = O(\Phi (\Psi (\varphi (x))) при x \rightarrow +\infty i \gamma (x)/x
не зростає на [x0,+\infty ). Тодi умова (5) є достатньою для еквiвалентностi асимптотичних
рiвностей
\mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) = (1 + o(1))\Phi (\sigma ), \sigma \uparrow 0, (34)
i
\mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) = (1 + o(1))\Phi (\sigma ), \sigma \uparrow 0. (35)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ОЦIНКИ IНТЕГРАЛIВ ЛАПЛАСА – СТIЛЬТЬЄСА 1481
Доведення. З (33) випливає, що \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) + O(1) при \sigma \uparrow 0. З iншого боку, як
при доведеннi теореми 1, маємо \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) + o(\gamma (\Phi \prime (\sigma ))) при \sigma \uparrow 0. Але з умови
\gamma (x) = O(\Phi (\Psi (\varphi (x)))) при x\rightarrow +\infty випливає, що \gamma (x) = O(\Phi (\varphi (x))) при x\rightarrow +\infty . Тому
\mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) +O(1) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) + o(\Phi (\sigma )), \sigma \uparrow 0,
звiдки випливає еквiвалентнiсть асимптотичних рiвностей (34) i (35).
Приклад 4. Нехай \Phi (\sigma ) = T | \sigma | - p для \sigma < 0, де T > 0 i p > 0. Тодi \Phi \prime (\sigma ) = Tp| \sigma | - p - 1,
\Psi (\sigma ) = (p + 1)| \sigma | /p, \varphi (x) = - (pT/x)p+1, \Phi \prime (\Psi (\sigma )) = Tpp(p + 1)p+1| \sigma | - p - 1 i \Phi (\Psi (\varphi (x))) =
= T 1/(p+1)pp
2/(p+1)(p + 1) - pxp/(p+1). Виберемо \gamma (x) = xp/(p+1). Тодi з тверджень 7 i 8 отри-
маємо такий наслiдок.
Наслiдок 6. Нехай F \in V (l), T > 0 i p > 0. Для того щоб для кожного iнтеграла
I \in LS0(F ) при \sigma \uparrow 0 нерiвностi \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq (1 + o(1))T | \sigma | - p i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq (1 + o(1))T | \sigma | - p
були рiвносильними, необхiдно i дотатньо, щоб \mathrm{l}\mathrm{n} F (x) = o(xp/(p+1)) при x\rightarrow +\infty . Якщо, крiм
цього, функцiя f має регулярну змiну вiдносно F, то ця умова є достатньою для еквiвалент-
ностi асимптотичних рiвностей \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) = (1 + o(1))T | \sigma | - p i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) = (1 + o(1))T | \sigma | - p
при \sigma \uparrow 0.
Приклад 5. Нехай \Phi (\sigma ) = T \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho /| \sigma | \} для \sigma < 0, де T > 0 i \varrho > 0. Тодi
\Phi \prime (\sigma ) = T\varrho | \sigma | - 2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho /| \sigma | \} ,
\Psi (\sigma ) = \sigma + \sigma 2/\varrho , \Phi \prime (\Psi (\sigma )) =
T\varrho
| \sigma + \sigma 2/\varrho |
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
\varrho
| \sigma + \sigma 2/\varrho |
\biggr\}
,
i оскiльки
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
\varrho
| \sigma + \sigma 2/\varrho |
\biggr\}
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
\varrho
| \sigma |
\biggl(
1 - 1
1 + | \sigma | /\varrho
\biggr) \biggr\}
= \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ (1 + o(1))\} \rightarrow e, \sigma \uparrow 0,
то \Phi \prime (\sigma ) = O(\Phi \prime (\Psi (\sigma ))) при \sigma \uparrow 0. Крiм того, в [7, c. 694] доведено, що \Phi (\Psi (\varphi (x))) =
= (1 + o(1))\varrho x/e \mathrm{l}\mathrm{n}2 x при x\rightarrow +\infty . Тому якщо виберемо \gamma (x) = x \mathrm{l}\mathrm{n} - 2 x, то з тверджень 7 i
8 одержимо такий наслiдок.
Наслiдок 7. Нехай F \in V (l), T > 0 i \varrho > 0. Для того щоб для кожного iнтеграла
I \in LS0(F ) при \sigma \uparrow 0 нерiвностi \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq (1 + o(1))T \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho /| \sigma | \} i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq (1 +
+ o(1))T \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho /| \sigma | \} були рiвносильними, необхiдно i достатньо, щоб \mathrm{l}\mathrm{n} F (x) = o(x \mathrm{l}\mathrm{n} - 2 x)
при x\rightarrow +\infty . Якщо, крiм цього, функцiя f має регулярну змiну вiдносно F, то ця умова є дос-
татньою для еквiвалентностi асимптотичних рiвностей \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) = (1 + o(1))T \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho /| \sigma | \}
i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) = (1 + o(1))T \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ \varrho /| \sigma | \} при \sigma \uparrow 0.
Насамкiнець розглянемо випадок, коли функцiя \Phi \in \Omega (0) має повiльне зростання.
Твердження 9. Нехай F \in V, \Phi \in \Omega (0) i \gamma : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ) — неперервна функцiя
така, що \gamma (x) \uparrow +\infty при x\rightarrow +\infty .
Якщо \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(\gamma (\Phi \prime (2\sigma ))), \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(| \sigma | \Phi \prime (\Psi - 1(\sigma ))) i \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(\gamma (\Phi \prime (\Psi (\sigma ))))
при \sigma \uparrow 0, то умова (5) є достатньою, а якщо F \in V (l), функцiя \gamma є неперервно диференцi-
йовною на [0,+\infty ) i \mathrm{l}\mathrm{n} \gamma \prime (x) = o(\gamma (x)) при x\rightarrow +\infty , то умова (5) є необхiдною для того, щоб
для кожного iнтеграла I \in LS0(F ) з нерiвностi (29) випливала нерiвнiсть (30). З iншого боку,
якщо функцiя f має регулярну змiну вiдносно F, то з нерiвностi (31) випливає нерiвнiсть‘(32).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1482 М. C. ДОБУШОВСЬКИЙ, М. М. ШЕРЕМЕТА
Доведення. Оскiльки \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(\gamma (\Phi \prime (2\sigma ))) при \sigma \uparrow 0, то з умови
\gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(\gamma (\Phi \prime (\Psi (\sigma )))) при \sigma \uparrow 0
випливає спiввiдношення \gamma (x) \asymp \gamma (\Phi \prime (\Psi (\varphi (x)))) при x\rightarrow +\infty . Тому умова (11) еквiвалентна
умовi (5), а за теоремою 4 i лемою 3 з (29) отримуємо (30). Достатнiсть умови (5) доведено.
Подальше доведення твердження 9 подiбне до доведення твердження 7.
Твердження 10. Нехай F \in V, I \in LS0(F ) i функцiя f має регулярну змiну вiдносно F.
Припустимо, що \Phi \in \Omega (0), а \gamma : [0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty ) — неперервна функцiя така, що \gamma (x) \uparrow
\uparrow +\infty , \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(\gamma (\Phi \prime (2\sigma ))), \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(| \sigma | \Phi \prime (\Psi - 1(\sigma ))) i \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(\gamma (\Phi \prime (\Psi (\sigma ))))
при \sigma \uparrow 0. Тодi умова (5) є достатньою для того, щоб асимптотичнi рiвностi (34) i (35) були
рiвносильними.
Доведення твердження 10 подiбне до доведення твердження 8.
Приклад 6. Нехай \Phi (\sigma ) = T \mathrm{l}\mathrm{n}1+\eta (1/| \sigma | ) для \sigma \in [\sigma 0, 0), де T > 0 i \eta > 0.
Тодi \Phi \prime (\sigma ) = (T (1 + \eta )/| \sigma | ) \mathrm{l}\mathrm{n}\eta (1/| \sigma | ), \Psi (\sigma ) = - | \sigma | (\mathrm{l}\mathrm{n} (1/| \sigma | ))/(1 + \eta ), | \Psi (\sigma )| \Phi \prime (\sigma ) =
= (1 + o(1))T \mathrm{l}\mathrm{n}1+\eta (1/| \sigma | ) i \Phi \prime (\Psi (\sigma )) = (1 + o(1))(T (1 + \eta )2/| \sigma | ) \mathrm{l}\mathrm{n}\eta - 1 (1/| \sigma | ) при \sigma \uparrow 0. З
умови \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(| \sigma | \Phi \prime (\Psi - 1(\sigma ))) при \sigma \uparrow 0 випливає умова \gamma (\Phi \prime (\Psi (\sigma ))) = O(| \Psi (\sigma )| \Phi \prime (\sigma ))
при \sigma \uparrow 0. Тому ми повиннi вибрати \gamma так, щоб
\gamma
\biggl(
(1 + o(1))T (1 + \eta )2
| \sigma |
\mathrm{l}\mathrm{n}\eta - 1 1
| \sigma |
\biggr)
= O
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}1+\eta 1
| \sigma |
\biggr)
, \sigma \uparrow 0.
Функцiя \gamma (x) = \mathrm{l}\mathrm{n}1+\eta x задовольняє цю умову. Легко довести, що \gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(\gamma (\Phi \prime (2\sigma ))) i
\gamma (\Phi \prime (\sigma )) = O(\gamma (\Phi \prime (\Psi (\sigma )))) при \sigma \uparrow 0. Тому з тверджень 9 i 10 отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 8. Нехай F \in V (l), T > 0 i \eta > 0. Для того щоб для кожного iнтеграла
I \in LS0(F ) при \sigma \uparrow 0 нерiвностi \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) \leq (1 + o(1))T \mathrm{l}\mathrm{n}1+\eta (1/| \sigma | ) i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) \leq (1 +
+ o(1))T \mathrm{l}\mathrm{n}1+\eta (1/| \sigma | ) були рiвносильними, необхiдно i достатньо, щоб \mathrm{l}\mathrm{n} F (x) = o(\mathrm{l}\mathrm{n}1+\eta x)
при x\rightarrow +\infty .
Якщо, крiм цього, функцiя f має регулярну змiну вiдносно F, то ця умова є достатньою для
еквiвалентностi асимптотичних рiвностей \mathrm{l}\mathrm{n} \mu (\sigma , I) = (1 + o(1))T \mathrm{l}\mathrm{n}1+\eta (1/| \sigma | ) i \mathrm{l}\mathrm{n} I(\sigma ) =
= (1 + o(1))T \mathrm{l}\mathrm{n}1+\eta (1/| \sigma | ) при \sigma \uparrow 0.
Лiтература
1. Sheremeta M. M. Asymptotical behaviour of Laplace – Stiltjes integrals. – Lviv: VNTL Publ., 2010. – 211 p.
2. Скаскiв О. Б., Бандура А. I. Асимптотичнi оцiнки додатних iнтегралiв та цiлi функцiї. – Львiв; Iвано-Франкiвськ,
2015. – 108 с.
3. Skaskiv O. B., Bandura A. I. Asymptotical behaviour of Laplace – Stiltjes integrals. — Lviv: VNTL Publ., 2010. —
211 p.
4. Шеремета М. Н., Федыняк С. И. О производной ряда Дирихле // Сиб. мат. журн. – 1998. – 39, № 1. –
С. 206 – 223.
5. Шеремета М. М., Сумик О. М. Зв’язок мiж зростанням спряжених за Юнгом функцiй // Мат. студ. – 1999. –
11, № 1. – С. 41 – 47.
6. Sheremeta M. M., Stets Yu. V., Sumyk О. М. Estimates of a sum of Dirichlet series // Ukr. Math. Bull. – 2013. – 10,
№ 2. — P. 234 – 253.
7. Стець Ю. В., Шеремета М. М. Про регулярне зростання абсолютно збiжних у пiвплощинi рядiв Дiрiхле //
Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 5. – С. 686 – 698.
Одержано 09.12.15,
пiсля доопрацювання — 30.08.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1934 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:31Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/51/3a9587a0dae7efed4b995c1abaa77b51.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19342019-12-05T09:32:19Z Estimations of the Laplace – Stieltjes integrals Оцінки інтегралів Лапласа – Стільтьєса Dobushovs’kyi, M. S. Sheremeta, M. M. Добушовський, М. C. Шеремета, М. М. We study the Laplace – Stieltjes integrals with an arbitrary abscissa of convergence. The lower and upper estimates for these integrals are established. The accumulated results are used to deduce the relationships between the growth of the integral and the maximum of the integrand. Изучаются интегралы Лапласа – Стильтьеса с произвольной абсциссой сходимости. Установлены оценки снизу и сверху для этих интегралов. Полученные результаты применены к установлению связи между ростом интеграла и максимума подынтегрального выражения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1934 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 11 (2016); 1467-1482 Український математичний журнал; Том 68 № 11 (2016); 1467-1482 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1934/916 Copyright (c) 2016 Dobushovs’kyi M. S.; Sheremeta M. M. |
| spellingShingle | Dobushovs’kyi, M. S. Sheremeta, M. M. Добушовський, М. C. Шеремета, М. М. Estimations of the Laplace – Stieltjes integrals |
| title | Estimations of the Laplace – Stieltjes integrals |
| title_alt | Оцінки інтегралів Лапласа – Стільтьєса |
| title_full | Estimations of the Laplace – Stieltjes integrals |
| title_fullStr | Estimations of the Laplace – Stieltjes integrals |
| title_full_unstemmed | Estimations of the Laplace – Stieltjes integrals |
| title_short | Estimations of the Laplace – Stieltjes integrals |
| title_sort | estimations of the laplace – stieltjes integrals |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1934 |
| work_keys_str_mv | AT dobushovskyims estimationsofthelaplacestieltjesintegrals AT sheremetamm estimationsofthelaplacestieltjesintegrals AT dobušovsʹkijmc estimationsofthelaplacestieltjesintegrals AT šeremetamm estimationsofthelaplacestieltjesintegrals AT dobushovskyims ocínkiíntegralívlaplasastílʹtʹêsa AT sheremetamm ocínkiíntegralívlaplasastílʹtʹêsa AT dobušovsʹkijmc ocínkiíntegralívlaplasastílʹtʹêsa AT šeremetamm ocínkiíntegralívlaplasastílʹtʹêsa |