I. Approximative properties of biharmonic Poisson integrals in the classes $W^r_{\beta} H^{\alpha}$
We deduce asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations of functions from the classes $W^r_{\beta} H^{\alpha}$, and $H^{\alpha}$ by biharmonic Poisson integrals in the uniform metric.
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1936 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507831769235456 |
|---|---|
| author | Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, І. В. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, І. В. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Kalchuk, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:19Z |
| description | We deduce asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations of functions from the classes $W^r_{\beta} H^{\alpha}$, and $H^{\alpha}$
by biharmonic Poisson integrals in the uniform metric. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
I. В. Кальчук, Ю. I. Харкевич (Схiдноєвр. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк)
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ
IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА НА КЛАСАХ \bfitW \bfitr
\bfitbeta \bfitH
\bfitalpha
We deduce asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations of functions from the classes W r
\beta H
\alpha , and
H\alpha by biharmonic Poisson integrals in the uniform metric.
Получены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений функций из классов W r
\beta H
\alpha и H\alpha
бигармоническими интегралами Пуассона в равномерной метрике.
1. Постановка задачi та деякi допомiжнi твердження. Нехай C — простiр 2\pi -перiодичних
неперервних функцiй, у якому норма задається за допомогою рiвностi \| f\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t
| f(t)| ; L\infty —
простiр 2\pi -перiодичних вимiрних суттєво обмежених функцiй з нормою \| f\| \infty = \mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t
| f(t)| ;
L — простiр 2\pi -перiодичних сумовних на перiодi функцiй, в якому норма задається рiвнiстю
\| f\| L = \| f\| 1 =
\int \pi
- \pi
| f(t)| dt.
Розглянемо крайову задачу (в одиничному крузi) для рiвняння
\Delta (\Delta u) = 0, (1)
де \Delta =
\partial 2
\partial \rho 2
+
1
\rho
\partial
\partial \rho
+
1
\rho 2
\partial 2
\partial x2
— оператор Лапласа в полярних координатах.
Розв’язок рiвняння (1), що задовольняє крайовi умови
u (\rho , x)
\bigm| \bigm|
\rho =1
= f(x),
\partial u(\rho , x)
\partial \rho
\bigm| \bigm| \bigm|
\rho =1
= 0, - \pi \leq x \leq \pi , (2)
де f(x) — сумовна 2\pi -перiодична функцiя, далi позначатимемо B(\rho ; f ;x) = u(\rho , x). Тодi
розв’язок крайової задачi (1), (2) можемо записати у виглядi
B(\rho ; f ;x) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
f(t+ x)
\Biggl\{
1
2
+
\infty \sum
k=1
\lambda \rho ,k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt
\Biggr\}
dt, 0 \leq \rho < 1, (3)
де
\lambda \rho ,k =
\biggl(
1 +
k
2
(1 - \rho 2)
\biggr)
\rho k.
Величину (3) називають бiгармонiчним iнтегралом Пуассона функцiї f (див., наприклад,
[1, с. 402]). Поклавши \rho = e -
1
\delta , бiгармонiчний iнтеграл запишемо у виглядi
B\delta (f ;x) =
1
\pi
\pi \int
- \pi
f(t+ x)
\Biggl\{
1
2
+
\infty \sum
k=1
\lambda \delta ,k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt
\Biggr\}
dt, \delta > 0,
де
\lambda \delta ,k =
\biggl(
1 +
k
2
\bigl(
1 - e -
2
\delta
\bigr) \biggr)
e -
k
\delta .
Нехай f належить L i
c\bigcirc I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11 1493
1494 I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
S[f ] =
a0
2
+
\infty \sum
k=1
(ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx)
— ряд Фур’є функцiї f.
Нехай r \geq 0 i \beta — фiксоване дiйсне число. Якщо ряд
a0
2
+
\infty \sum
k=1
kr
\biggl(
ak \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
kx+
\beta \pi
2
\biggr)
+ bk \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
kx+
\beta \pi
2
\biggr) \biggr)
(де a0 = 0 в усiх випадках, крiм r = \beta = 0) є рядом Фур’є деякої функцiї \varphi \in L, то цю функцiю
називають (r, \beta )-похiдною функцiї f у сенсi Вейля – Надя i позначають через f r
\beta . Множину
всiх функцiй f, що задовольняють таку умову, позначають через W r
\beta [2].
Якщо f належить W r
\beta i, крiм того, \| f r
\beta \| \infty \leq 1, то кажуть, що f належить класу W r
\beta ,\infty . У
випадку \beta = r класи W r
\beta ,\infty збiгаються з класами Соболєва W r
\infty .
Якщо f належить W r
\beta i при цьому f r
\beta належить H\alpha , тобто f r
\beta задовольняє умову Лiпшиця
порядку \alpha
| f r
\beta (x+ h) - f r
\beta (x)| \leq | h| \alpha , 0 < \alpha \leq 1, 0 \leq h \leq 2\pi , x \in \BbbR ,
то кажуть, що f належить класу W r
\beta H
\alpha . При \alpha = 0 вважають, що W r
\beta H
0 = W r
\beta ,\infty . При r = \beta
отримуємо клас W rH\alpha функцiй f iз похiдною порядку r > 0 в сенсi Вейля, яка задовольняє
умову Лiпшиця порядку \alpha . Замiсть W 0H\alpha будемо писати H\alpha , вважаючи, що f0
0 (x) = f(x).
При r \geq 1 вважають, що W r - 1H1 = W r
\infty .
У данiй роботi вивчається асимптотична поведiнка при \delta \rightarrow \infty величин
\scrE (W r
\beta H
\alpha ;B\delta )C = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in W r
\beta H
\alpha
\| f(x) - B\delta (f ;x)\| C . (4)
Задачу про вiдшукання асимптотичної рiвностi для величини (4), згiдно з О. I. Степанцем
[3, с. 198], називатимемо задачею Колмогорова – Нiкольського для бiгармонiчного iнтеграла
Пуассона B\delta (f ;x) на класi W r
\beta H
\alpha в рiвномiрнiй метрицi.
Апроксимативнi властивостi методу наближення бiгармонiчними iнтегралами Пуассона на
класах диференцiйовних функцiй дослiджувались багатьма вченими.
С. Канiєв [4] встановив асимптотичну рiвнiсть для величини \scrE (W 1
\infty ;B(\rho ))C при \rho \rightarrow 1 - .
В цiй же роботi вiн знайшов i точнi значення апроксимативних характеристик \scrE (W r
\infty ;B(\rho ))C ,
r \in \BbbN , 0 \leq \rho < 1.
P. Pych [5] уточнила результати С. Канiєва для величини \scrE (W 1
\infty ;B(\rho ))C , отримавши асимп-
тотичну рiвнiсть iз бiльш точним порядком залишкового члена.
Пiзнiше цi дослiдження були продовженi в роботi Л. П. Фалалєєва [6], де було отримано
повний асимптотичний розклад для величини \scrE (W 1
\infty ;B(\rho ))C за степенями 1 - \rho , \rho \rightarrow 1 - .
У роботi Л. П. Фалалєєва та Т. I. Аманова [7] знайдено повний асимптотичний розклад для
величини \scrE (W 1
\infty ;B\delta )C , який формулюється як у термiнах
1
\delta
, так i в термiнах 1 - \rho .
У роботах К. М. Жигалла, Ю. I. Харкевича [8, 9] знайдено повнi асимптотики величин
\scrE (W r
\infty ;B(\rho ))C , r \in \BbbN , за степенями 1 - \rho , \rho \rightarrow 1 - . Аналогiчнi розклади, але в iнтегральнiй
метрицi та за степенями
1
\delta
, \delta \rightarrow \infty , було знайдено в роботi [10]. Пiзнiше в роботi [11] було
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 1495
отримано точнi значення верхнiх меж наближень бiгармонiчними iнтегралами Пуассона на
класах спряжених диференцiйовних функцiй у рiвномiрнiй та iнтегральнiй метриках. Деякi
екстремальнi властивостi бiгармонiчних iнтегралiв Пуассона дослiджувались також у роботах
[12 – 18].
До цього часу задача Колмогорова – Нiкольського для бiгармонiчного iнтеграла Пуассона
на класах W r
\beta H
\alpha не була розв’язана. Тому постало питання про вiдшукання асимптотичних
рiвностей для величин \scrE (W r
\beta H
\alpha ;B\delta )C .
2. Наближення функцiй iз класiв \bfitW \bfitr
\bfitbeta \bfitH
\bfitalpha бiгармонiчними iнтегралами Пуассона. Не-
хай
\lambda (u) = \lambda \delta (u) = (1 + \gamma u)e - u, \gamma =
\delta
2
(1 - e -
2
\delta ), (5)
— пiдсумовуюча функцiя для бiгармонiчного iнтеграла Пуассона, причому \lambda
\biggl(
k
\delta
\biggr)
= \lambda \delta ,k.
Для бiгармонiчного iнтеграла Пуассона, згiдно з Л. I. Баусовим [19], при r > 0 введемо
функцiю
\tau (u) = \tau \delta (r, u) =
\left\{
(1 - [1 + \gamma u]e - u)\delta r, 0 \leq u \leq 1
\delta
,
(1 - [1 + \gamma u]e - u)u - r, u \geq 1
\delta
,
(6)
де \gamma =
\delta
2
(1 - e -
2
\delta ), перетворення Фур’є якої
\^\tau \beta (t) =
1
\pi
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
є сумовним на всiй числовiй осi (цей факт доведено в роботi [20]).
Домовимося далi через K, Ki позначати сталi, взагалi кажучи, рiзнi в рiзних спiввiдно-
шеннях.
Теорема 1. Нехай r > 0, 0 \leq \alpha < 1, r+\alpha \leq 2, \beta \in \BbbR . Тодi при \delta \rightarrow \infty має мiсце рiвнiсть
\scrE (W r
\beta H
\alpha ;B\delta )C =
\theta (\alpha )
\delta r+\alpha
A(\alpha , \tau ) +O
\biggl(
1
\delta 1+r
+
1
\delta 2
\biggr)
, (7)
2\alpha - 1 \leq \theta (\alpha ) \leq 1,
де величина A(\alpha , \tau ) означена спiввiдношенням
A(\alpha , \tau ) =
1
\pi
\infty \int
- \infty
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt (8)
i для неї справджується оцiнка
A(\alpha , \tau ) =
\left\{ O(1), r + \alpha < 2,
O(\mathrm{l}\mathrm{n} \delta ), r + \alpha = 2.
(9)
Доведення. Cкористаємося теоремою 2 з роботи Л. I. Баусова [19, c. 10] i перевiримо
виконання її умов. Для цього покажемо збiжнiсть iнтеграла (8).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1496 I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Згiдно з теоремою 1 роботи [19, c. 6], для збiжностi iнтеграла (8) необхiдно i достатньо,
щоб збiгалися iнтеграли
1/2\int
0
u1 - \alpha | d\tau \prime (u)| ,
3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha | d\tau \prime (u)| ,
\infty \int
3/2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| , (10)
\infty \int
0
| \tau (u)|
u1+\alpha
du,
1\int
0
| \tau (1 - u) - \tau (1 + u)|
u1+\alpha
du. (11)
Для оцiнки першого iнтеграла з (10) розiб’ємо промiжок
\biggl[
0;
1
2
\biggr]
на двi частини (вважати-
мемо, що \delta > 3):
\biggl[
0;
1
\delta
\biggr]
i
\biggl[
1
\delta
;
1
2
\biggr]
. Оскiльки при всiх u \in
\biggl[
0;
1
\delta
\biggr]
i \delta > 3
\tau \prime \prime (u) = ( - 1 + 2\gamma - \gamma u)e - u\delta r \geq 0,
то, враховуючи нерiвнiсть
( - 1 + 2\gamma - \gamma u)e - u \leq 1, u \geq 0,
отримуємо
1/\delta \int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| = 1/\delta \int
0
u1 - \alpha d\tau \prime (u) \leq \delta r
1/\delta \int
0
u1 - \alpha du \leq K
\delta 2 - r - \alpha
. (12)
Нехай тепер u \in
\biggl[
1
\delta
;
1
2
\biggr]
. Покладемо
\tau 1(u) =
\biggl(
1 - e - u - \gamma ue - u - u
\delta
- u2
2
\biggr)
u - r,
\tau 2(u) =
1
\delta
u1 - r +
1
2
u2 - r,
(13)
тодi \tau (u) = \tau 1(u) + \tau 2(u) i
1/2\int
1/\delta
u1 - \alpha | d\tau \prime (u)| \leq
1/2\int
1/\delta
u1 - \alpha | d\tau \prime 1(u)| +
1/2\int
1/\delta
u1 - \alpha | d\tau \prime 2(u)| . (14)
Оцiнимо перший iнтеграл iз правої частини нерiвностi (14). Для цього дослiдимо спочатку
функцiю
\mu (u) = 1 - e - u - \gamma ue - u - u2
2
- u
\delta
. (15)
З того, що
\mu \prime (u) = e - u - \gamma e - u + \gamma ue - u - u - 1
\delta
,
\mu \prime \prime (u) = - e - u + 2\gamma e - u - \gamma ue - u - 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 1497
\mu (0) = 0, \mu \prime (0) = 1 - \gamma - 1
\delta
< 0,
- 1 + 2\gamma - \gamma u < eu, u \in [0;\infty ),
випливає, що при u \geq 0
\mu (u) \leq 0, \mu \prime (u) < 0, \mu \prime \prime (u) < 0. (16)
Враховуючи (16) i те, що
e - u \leq 1 - u+
u2
2
, e - u \geq 1 - u,
одержуємо\bigm| \bigm| \mu (u)\bigm| \bigm| = u2
2
+
u
\delta
- 1 + e - u + \gamma ue - u \leq u2
2
+
u
\delta
- u+
u2
2
+ \gamma u - \gamma u2 + \gamma
u3
2
=
=
\biggl(
- 1 + \gamma +
1
\delta
\biggr)
u+ (1 - \gamma )u2 + \gamma
u3
2
,
\bigm| \bigm| \mu \prime (u)
\bigm| \bigm| = u+
1
\delta
- e - u + \gamma e - u - \gamma ue - u \leq u+
1
\delta
- 1 + u+ \gamma
\biggl(
1 - u+
u2
2
\biggr)
- \gamma u+ \gamma u2 =
=
\biggl(
- 1 + \gamma +
1
\delta
\biggr)
+ 2(1 - \gamma )u+
3
2
\gamma u2,\bigm| \bigm| \mu \prime \prime (u)
\bigm| \bigm| = e - u - 2\gamma e - u + \gamma ue - u + 1 \leq 1 - 2\gamma + 2\gamma u+ \gamma u+ 1 = (2 - 2\gamma ) + 3\gamma u.
Звiдси внаслiдок нерiвностей
\gamma < 1, 1 - \gamma <
1
\delta
, - 1 + \gamma +
1
\delta
<
2
3\delta 2
випливає, що \bigm| \bigm| \mu (u)\bigm| \bigm| < 2
3\delta 2
u+
1
\delta
u2 +
u3
2
, (17)
\bigm| \bigm| \mu \prime (u)
\bigm| \bigm| < 2
3\delta 2
+
2
\delta
u+
3
2
u2,
\bigm| \bigm| \mu \prime \prime (u)
\bigm| \bigm| < 2
\delta
+ 3u.
Оскiльки при u \geq 1/\delta , згiдно з (13) i (15),
| d\tau \prime 1(u)| \leq
\bigl(
r(r + 1)| \mu (u)| u - r - 2 + 2r| \mu \prime (u)| u - r - 1 + | \mu \prime \prime (u)| u - r
\bigr)
du,
то з урахуванням (17) отримаємо
1/2\int
1/\delta
u1 - \alpha | d\tau \prime 1(u)| \leq r(r + 1)
1/2\int
1/\delta
\biggl(
2
3\delta 2
u2 +
1
\delta
u3 +
1
2
u4
\biggr)
u - 1 - r - \alpha du+
+2r
1/2\int
1/\delta
\biggl(
2
3\delta 2
+
2
\delta
u+
3
2
u2
\biggr)
u - r - \alpha du+
1/2\int
1/\delta
\biggl(
2
\delta
+ 3u
\biggr)
u1 - r - \alpha du \leq K. (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1498 I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Знайдемо тепер оцiнку другого iнтеграла з правої частини нерiвностi (14). Враховуючи, що
\tau \prime \prime 2 (u) = - 1
\delta
(1 - r)ru - r - 1 +
1
2
(2 - r)(1 - r)u - r,
маємо
1/2\int
1/\delta
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime 2(u)\bigm| \bigm| \leq 1
\delta
| 1 - r| r
1/2\int
1/\delta
u - r - \alpha du+
1
2
(2 - r) | 1 - r|
1/2\int
1/\delta
u1 - r - \alpha du \leq
\leq
\left\{ K1, r + \alpha < 2,
K2 \mathrm{l}\mathrm{n} \delta , r + \alpha = 2.
(19)
Отже, згiдно зi спiввiдношеннями (12), (14), (18) i (19), справджується рiвнiсть
1/2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| =
\left\{ O(1), r + \alpha < 2,
O(\mathrm{l}\mathrm{n} \delta ), r + \alpha = 2.
(20)
Оцiнимо другий та третiй iнтеграли з (10). Враховуючи, що при u \geq 1
\delta
\tau \prime \prime (u) = ( - 1 + 2\gamma - \gamma u)e - uu - r - 2r(1 - \gamma + \gamma u)e - uu - r - 1+
+r(r + 1)
\bigl(
1 - (1 + \gamma u)e - u
\bigr)
u - r - 2, (21)
а також нерiвностi
( - 1 + 2\gamma - \gamma u)e - uu2 \leq 1, (1 - \gamma + \gamma u)e - uu \leq 1, (22)
1 - (1 + \gamma u)e - u \leq 1, u \geq 0, (23)
отримуємо оцiнки
3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq 3/2\int
1/2
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq K1, (24)
\infty \int
3/2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq \infty \int
3/2
u
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \leq K2. (25)
Для оцiнки першого iнтеграла з (11) розiб’ємо промiжок [0;\infty ) на три частини: [0; 1/\delta ],
[1/\delta ; 1] та [1;\infty ). Використовуючи спiввiдношення (6) i нерiвнiсть
1 - (1 + \gamma u)e - u \leq 2
\delta
u+ u2, u \geq 0,
одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 1499
1/\delta \int
0
| \tau (u)|
u1+\alpha
du =
1/\delta \int
0
\bigl(
1 - (1 + \gamma u)e - u
\bigr)
\delta r
u1+\alpha
du \leq
\leq \delta r
2/\delta \int
0
\biggl(
2
\delta
u - \alpha + u1 - \alpha
\biggr)
du \leq K1
\delta 2 - r - \alpha
. (26)
Iз спiввiдношень (6), (15) i (17) маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
1/\delta
| \tau (u)|
u1+\alpha
du - 1
2
1\int
1/\delta
u2 - r
u1+\alpha
du - 1
\delta
1\int
1/\delta
u1 - r
u1+\alpha
du
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
1\int
1/\delta
\bigm| \bigm| \mu (u)\bigm| \bigm| u - r - \alpha - 1du \leq
1\int
1/\delta
\biggl(
2
3\delta 2
u+
1
\delta
u2 +
1
2
u3
\biggr)
u - r - \alpha - 1du \leq K2.
Звiдси
1\int
1/\delta
\bigm| \bigm| \tau (u)\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
1
2
1\int
1/\delta
u1 - r - \alpha du+
1
\delta
1\int
1/\delta
u - r - \alpha du+O(1) =
=
\left\{
O(1), r + \alpha < 2,
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \delta +O(1), r + \alpha = 2.
(27)
Враховуючи формулу (6) та нерiвнiсть (23), одержуємо
\infty \int
1
\bigm| \bigm| \tau (u)\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
\infty \int
1
\bigl(
1 - (1 + \gamma u)e - u
\bigr)
u - r - \alpha - 1du \leq
\infty \int
1
u - r - \alpha - 1du \leq K3. (28)
Об’єднуючи формули (26) – (28), отримуємо
\infty \int
0
\bigm| \bigm| \tau (u)\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du =
\left\{
O(1), r + \alpha < 2,
1
2
\mathrm{l}\mathrm{n} \delta +O(1), r + \alpha = 2.
(29)
Оцiнимо другий iнтеграл iз (11). Оскiльки iнтеграли (10) збiжнi, то має мiсце рiвнiсть (див.,
наприклад, [21])
1\int
0
| \tau (1 - u) - \tau (1 + u)|
u1+\alpha
du =
1\int
0
| \lambda (1 - u) - \lambda (1 + u)|
u1+\alpha
du+
+ O
\Biggl(
| \tau (0)| + | \tau (1)| +
1/2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| + 3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| + \infty \int
3/2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\tau \prime (u)\bigm| \bigm| \Biggr) , (30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1500 I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
де \lambda (u) = (1 + \gamma u)e - u. Оскiльки
1\int
0
| \lambda (1 - u) - \lambda (1 + u)|
u1+\alpha
du =
=
1\int
0
\bigm| \bigm| e - 1+u - e - 1 - u + \gamma (1 - u)e - 1+u - \gamma (1 + u)e - 1 - u
\bigm| \bigm|
u1+\alpha
du = O(1),
то з урахуванням спiввiдношень (20), (24) i (25) iз (30) випливає
1\int
0
| \tau (1 - u) - \tau (1 + u)|
u1+\alpha
du =
\biggl\{
O(1), r + \alpha < 2,
O (\mathrm{l}\mathrm{n} \delta ) , r + \alpha = 2.
(31)
Таким чином, за теоремою 1 роботи [19] iнтеграл A(\alpha , \tau ) є збiжним. З нерiвностей (1.12)
та (1.13) роботи [19], з урахуванням формул (20), (24), (25), (29) та (31), отримуємо спiввiдно-
шення (9).
Отже, ми переконалися, що для функцiї \tau (u), що задана формулою (6), виконуються умови
теореми 2 з роботи [19]. Тодi при \delta \rightarrow \infty справджується рiвнiсть
\scrE (W r
\beta H
\alpha ;B\delta )C =
\theta (\alpha )
\delta r+\alpha
A(\alpha , \tau ) +O
\biggl(
1
\delta r+\alpha
a(\alpha , \tau )
\biggr)
, (32)
де
2\alpha - 1 \leq \theta (\alpha ) \leq 1, 0 \leq \alpha < 1,
a(\alpha , \tau ) =
\int
| t| \geq \delta \pi
2
| t| \alpha | \widehat \tau \beta (t)| dt, (33)
а величину A(\alpha , \tau ) означено формулою (8).
Знайдемо оцiнку для iнтеграла a(\alpha , \tau ) вигляду (33). Для цього запишемо перетворення
Фур’є \widehat \tau \beta (t) у виглядi
\widehat \tau \beta (t) = 1
\pi
\infty \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du =
1
\pi
\left( 1/\delta \int
0
+
\infty \int
1/\delta
\right) \tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du. (34)
Зiнтегруємо двiчi частинами iнтеграли з правої частини рiвностi (34):
1/\delta \int
0
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du =
1
t
\Bigl(
1 -
\Bigl(
1 +
\gamma
\delta
\Bigr)
e - (1/\delta )
\Bigr)
\delta r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
1
\delta
t+
\beta \pi
2
\biggr)
+
+
1
t2
e - (1/\delta )
\Bigl(
1 - \gamma +
\gamma
\delta
\Bigr)
\delta r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
\delta
t+
\beta \pi
2
\biggr)
- 1
t2
(1 - \gamma )\delta r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta \pi
2
-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 1501
- 1
t2
1/\delta \int
0
\tau \prime \prime (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du, (35)
\infty \int
1/\delta
\tau (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du = - 1
t
\Bigl(
1 -
\Bigl(
1 +
\gamma
\delta
\Bigr)
e - (1/\delta )
\Bigr)
\delta r \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
1
\delta
t+
\beta \pi
2
\biggr)
-
- 1
t2
\Bigl( \Bigl(
1 - \gamma +
\gamma
\delta
\Bigr)
e - (1/\delta )\delta r - r
\Bigl(
1 -
\Bigl(
1 +
\gamma
\delta
\Bigr)
e - (1/\delta )
\Bigr)
\delta r+1
\Bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
\delta
t+
\beta \pi
2
\biggr)
-
- 1
t2
\infty \int
1/\delta
\tau \prime \prime (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du. (36)
Пiдставивши (35) i (36) в (34), отримаємо
\widehat \tau \beta (t) = - 1
\pi t2
1/\delta \int
0
\tau \prime \prime (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du - 1
\pi t2
\infty \int
1/\delta
\tau \prime \prime (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
ut+
\beta \pi
2
\biggr)
du -
- 1
\pi t2
(1 - \gamma )\delta r \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\beta \pi
2
+
r
\pi t2
\Bigl(
1 -
\Bigl(
1 +
\gamma
\delta
\Bigr)
e - (1/\delta )
\Bigr)
\delta r+1 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
1
\delta
t+
\beta \pi
2
\biggr)
,
звiдки \bigm| \bigm| \widehat \tau \beta (t)\bigm| \bigm| \leq 1
\pi t2
\left( 1/\delta \int
0
+
1\int
1/\delta
+
\infty \int
1
\right) \bigm| \bigm| \tau \prime \prime (u)\bigm| \bigm| du+
1
t2
K
\delta 1 - r
. (37)
Враховуючи, що \tau \prime \prime (u) \geq 0 на
\biggl[
0;
1
\delta
\biggr]
, \delta > 3, i нерiвностi
\Bigl(
1 - \gamma +
\gamma
\delta
\Bigr)
e - (1/\delta ) \leq 2
\delta
, 1 - \gamma \leq 1
\delta
,
маємо
1/\delta \int
0
| \tau \prime \prime (u)| du =
1/\delta \int
0
\tau \prime \prime (u)du =
\Bigl(
1 - \gamma +
\gamma
\delta
\Bigr)
e - (1/\delta )\delta r - (1 - \gamma ) \delta r = O
\biggl(
1
\delta 1 - r
\biggr)
. (38)
Нехай u \in
\biggl[
1
\delta
; 1
\biggr]
. Мiркуючи, як i при оцiнюваннi першого iнтеграла з (10) на промiжку\biggl[
1
\delta
;
1
2
\biggr]
, можна показати справедливiсть оцiнки
1\int
1/\delta
| \tau \prime \prime (u)| du = O
\biggl(
1 +
1
\delta 1 - r
\biggr)
. (39)
Використовуючи спiввiдношення (21), отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1502 I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
\infty \int
1
| \tau \prime \prime (u)| du \leq r (r + 1)
\infty \int
1
\bigl(
1 - (1 + \gamma u)e - u
\bigr)
u - r - 2du+
+2r
\infty \int
1
\bigl(
1 - \gamma + \gamma u
\bigr)
e - uu - r - 1du+
\infty \int
1
| - 1 + 2\gamma - \gamma u| e - uu - rdu.
Тодi, враховуючи нерiвностi (22) та (23), можна переконатися, що
\infty \int
1
\bigm| \bigm| \tau \prime \prime (u)\bigm| \bigm| du = O(1). (40)
Об’єднуючи формули (37) – (40), одержуємо\bigm| \bigm| \widehat \tau \beta (t)\bigm| \bigm| = 1
t2
O
\biggl(
1 +
1
\delta 1 - r
\biggr)
.
Звiдси
a(\alpha , \tau ) =
\int
| t| \geq \delta \pi
2
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \widehat \tau \beta (t)\bigm| \bigm| dt = O
\biggl(
1
\delta 1 - \alpha
+
1
\delta 2 - (r+\alpha )
\biggr)
. (41)
Iз спiввiдношень (32) i (41) випливає рiвнiсть (7).
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Якщо 0 < \alpha < 1, то при \delta \rightarrow \infty має мiсце асимптотична рiвнiсть
\scrE (H\alpha ;B\delta )C = (1 - \alpha ) \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}
\alpha \pi
2
1
\delta \alpha
+O
\biggl(
1
\delta
\biggr)
. (42)
Доведення. Згiдно з теоремою 2 роботи Л. I. Баусова [19], якщо iнтеграли
1/2\int
0
u1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\lambda \prime (u)
\bigm| \bigm| , 3/2\int
1/2
| u - 1| 1 - \alpha
\bigm| \bigm| d\lambda \prime (u)
\bigm| \bigm| , \infty \int
3/2
(u - 1)
\bigm| \bigm| d\lambda \prime (u)
\bigm| \bigm| , (43)
A(\alpha , \lambda ) =
1
\pi
\infty \int
- \infty
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\lambda (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}utdu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt, (44)
де \lambda (u) задано рiвнiстю (5), збiгаються, то для 0 < \alpha < 1 при \delta \rightarrow \infty має мiсце рiвнiсть
\scrE (H\alpha ;B\delta )C =
1
\delta \alpha
A(\alpha , \lambda ) +O
\biggl(
1
\delta \alpha
a (\alpha , \lambda )
\biggr)
, (45)
де
a(\alpha , \lambda ) =
\int
| t| \geq \delta \pi
2
| t| \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\lambda (u) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}utdu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt. (46)
Збiжнiсть iнтегралiв (43) очевидна.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
АПРОКСИМАТИВНI ВЛАСТИВОСТI БIГАРМОНIЧНИХ IНТЕГРАЛIВ ПУАССОНА . . . 1503
Знайдемо оцiнку iнтеграла (44). Використовуючи формули 3.893.2 та 3.944.6 iз [22], отри-
муємо
A(\alpha , \lambda ) =
2
\pi
\infty \int
0
t\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\biggl(
1 +
\delta
2
\Bigl(
1 - e - (2/\delta )
\Bigr)
u
\biggr)
e - u \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}utdu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt =
=
2
\pi
\infty \int
0
t\alpha
\biggl(
1
1 + t2
+
\delta
2
\Bigl(
1 - e - (2/\delta )
\Bigr) 1 - t2
(1 + t2)2
\biggr)
dt. (47)
Враховуючи формули 3.241.2 та 3.241.5 iз [22], маємо
2
\pi
\infty \int
0
t\alpha
1 + t2
dt = \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}
\alpha \pi
2
, (48)
2
\pi
\infty \int
0
t\alpha (1 - t2)
(1 + t2)2
dt =
2
\pi
\infty \int
0
t\alpha
(1 + t2)2
dt - 2
\pi
\infty \int
0
t\alpha +2
(1 + t2)2
dt =
=
\alpha - 1
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}
(\alpha - 1)\pi
2
- \alpha + 1
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}
(\alpha + 1)\pi
2
= - \alpha \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}
\alpha \pi
2
. (49)
Пiдставляючи (48) та (49) в (47), дiстаємо
A(\alpha , \lambda ) = \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}
\alpha \pi
2
+
\delta
2
\Bigl(
1 - e - (2/\delta )
\Bigr) \Bigl(
- \alpha \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}
\alpha \pi
2
\Bigr)
= (1 - \alpha ) \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}
\alpha \pi
2
+O
\biggl(
1
\delta
\biggr)
. (50)
Таким чином, ми переконались у збiжностi iнтеграла (44), а отже, i в справедливостi рiвнос-
тi (45).
Знайдемо тепер оцiнку iнтеграла (46). Аналогiчно (47) матимемо
a(\alpha , \lambda ) = 2
\infty \int
\delta \pi
2
t\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
0
\biggl(
1 +
\delta
2
\Bigl(
1 - e - (2/\delta )
\Bigr)
u
\biggr)
e - u \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}utdu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dt =
= 2
\infty \int
\delta \pi
2
t\alpha
\biggl(
1
1 + t2
+
\delta
2
\Bigl(
1 - e - (2/\delta )
\Bigr) 1 - t2
(1 + t2)2
\biggr)
dt. (51)
Враховуючи оцiнки
\infty \int
\delta \pi
2
t\alpha
1 + t2
\leq
\infty \int
\delta \pi
2
t\alpha - 2dt =
K
\delta 1 - \alpha
,
\infty \int
\delta \pi
2
t\alpha (1 - t2)
(1 + t2)2
\leq
\infty \int
\delta \pi
2
t\alpha
1 + t2
\leq K
\delta 1 - \alpha
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1504 I. В. КАЛЬЧУК, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
iз (51) одержуємо
a(\alpha , \lambda ) = O
\biggl(
1
\delta 1 - \alpha
\biggr)
. (52)
Пiдставляючи (50) та (52) в (45), отримуємо рiвнiсть (42).
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. – 735 с.
2. Nagy B. Über gewise Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I // Period. Fall, Ber.
Math. Phys. KL. Akad. – 1938. – 90. – S. 103 – 134.
3. Степанец А. И. Методы теории приближения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. I. – 427 с.
4. Каниев С. Об уклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений // Докл. АН СССР. –
1963. – 153, № 5. – С. 995 – 998.
5. Pych P. On a biharmonic function in unit disk // Ann. pol. math. – 1968. – 20, № 3. – P. 203 – 213.
6. Фалалеев Л. П. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}11 от одного
сингулярного интеграла // Теоремы вложения и их приложения: Материалы всесоюз. симп. – Алма-Ата: Наука,
1976. – С. 163 – 167.
7. Аманов Т. И., Фалалеев Л. П. Приближение дифференцируемых функций операторами типа Абеля – Пуассона //
Пятое советско-чехословацкое совещание по применению методов теории функций и функционального анализа
к задачам математической физики (Алма-Ата, 1976): Тр. сов. – Новосибирск, 1979. – С. 13 – 16.
8. Zhyhallo K. M., Kharkevych Yu. I. On the approximation of functions of the Hölder class by biharmonic Poisson
integrals // Ukr. Math. J. – 2000. – 52, № 7. – P. 1113 – 1117.
9. Zhyhallo K. M., Kharkevych Yu. I. Approximation of differentiable periodic functions by their biharmonic Poisson
integrals // Ukr. Math. J. – 2002. – 54, № 9. – P. 1462 – 1470.
10. Kharkevych Yu. I., Kal’chuk I. V. Asymptotics of the values of approximations in the mean for classes of differentiable
functions by using biharmonic Poisson integrals // Ukr. Math. J. – 2007. – 59, № 8. – P. 1224 – 1237.
11. Zhyhallo K. M., Kharkevych Yu. I. Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson
integrals // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, № 3. – P. 399 – 413.
12. Каниев С. Точна оцiнка вiдхилення в середньому бiгармонiчних в крузi функцiй вiд їх граничних значень //
Докл. АН СССР. – 1964. – № 4. – С. 451 – 453.
13. Петров В. А. Бигармонический интеграл Пуассона // Лит. мат. сб. – 1967. – 7, № 1. – С. 137 – 142.
14. Трофимов В. Н., Цыганков А. С. Точные неравенства для колебаний гармонических и бигармонических в круге
функций // Сиб. мат. журн. – 1969. – 10, № 2. – С. 398 – 416.
15. Gonzales L., Keller E., Wildenhain G. Über das Randverhalten des Poisson-Integrals der polyharmonischen Glei-
chung // Math. Nachr. – 1980. – 95. – S. 157 – 164.
16. Hembars’ka S. B. Tangential limit values of a biharmonic Poisson integral in a disk // Ukr. Math. J. – 1997. – 49,
№ 9. – P. 1317 – 1323.
17. Заставный В. П. Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций сверточными
операторами // Укр. мат. вiсн. – 2010. – 7, № 3. – С. 409 – 433.
18. Zhyhallo K. M., Kharkevych Yu. I. Approximation of functions from the classes C\psi \beta ,\infty // Ukr. Math. J. – 2011. – 63,
№ 7. – P. 1083 – 1107.
19. Баусов Л. И. Линейные методы суммирования рядов Фурье с заданными прямоугольными матрицами, II //
Изв. вузов. – 1996. – 46, № 3. – С. 15 – 31.
20. Zhyhallo K. M., Kharkevych Yu. I. Approximation of (\psi , \beta )-differentiable functions of low smoothness by biharmonic
Poisson integrals // Ukr. Math. J. – 2012. – 64, № 12. – P. 1820 – 1844.
21. Kharkevich Yu. I., Stepanyuk T. A. Approximation properties of Poisson integrals for the classes C\psi \beta H
\alpha // Math.
Notes. – 2014. – 96, № 5. – P. 1008 – 1019.
22. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физматгиз, 1963. –
1100 с.
Одержано 29.02.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1936 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:34Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/10/149b6e39b5be833361600ae1fc759e10.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19362019-12-05T09:32:19Z I. Approximative properties of biharmonic Poisson integrals in the classes $W^r_{\beta} H^{\alpha}$ Апроксимативні властивості бігармонічних інтегралів Пуассона на класах $W^r_{\beta} H^{\alpha}$ Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, І. В. Харкевич, Ю. І. We deduce asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations of functions from the classes $W^r_{\beta} H^{\alpha}$, and $H^{\alpha}$ by biharmonic Poisson integrals in the uniform metric. Получены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений функций из классов $W^r_{\beta} H^{\alpha}$ и $H^{\alpha}$ бигармоническими интегралами Пуассона в равномерной метрике Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1936 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 11 (2016); 1493-1504 Український математичний журнал; Том 68 № 11 (2016); 1493-1504 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1936/918 Copyright (c) 2016 Kalchuk I. V.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Kalchuk, I. V. Kharkevych, Yu. I. Кальчук, І. В. Харкевич, Ю. І. I. Approximative properties of biharmonic Poisson integrals in the classes $W^r_{\beta} H^{\alpha}$ |
| title | I. Approximative properties of biharmonic Poisson integrals in the classes $W^r_{\beta} H^{\alpha}$ |
| title_alt | Апроксимативні властивості бігармонічних інтегралів Пуассона на класах $W^r_{\beta} H^{\alpha}$ |
| title_full | I. Approximative properties of biharmonic Poisson integrals in the classes $W^r_{\beta} H^{\alpha}$ |
| title_fullStr | I. Approximative properties of biharmonic Poisson integrals in the classes $W^r_{\beta} H^{\alpha}$ |
| title_full_unstemmed | I. Approximative properties of biharmonic Poisson integrals in the classes $W^r_{\beta} H^{\alpha}$ |
| title_short | I. Approximative properties of biharmonic Poisson integrals in the classes $W^r_{\beta} H^{\alpha}$ |
| title_sort | i. approximative properties of biharmonic poisson integrals in the classes $w^r_{\beta} h^{\alpha}$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1936 |
| work_keys_str_mv | AT kalchukiv iapproximativepropertiesofbiharmonicpoissonintegralsintheclasseswrbetahalpha AT kharkevychyui iapproximativepropertiesofbiharmonicpoissonintegralsintheclasseswrbetahalpha AT kalʹčukív iapproximativepropertiesofbiharmonicpoissonintegralsintheclasseswrbetahalpha AT harkevičûí iapproximativepropertiesofbiharmonicpoissonintegralsintheclasseswrbetahalpha AT kalchukiv aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihíntegralívpuassonanaklasahwrbetahalpha AT kharkevychyui aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihíntegralívpuassonanaklasahwrbetahalpha AT kalʹčukív aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihíntegralívpuassonanaklasahwrbetahalpha AT harkevičûí aproksimativnívlastivostíbígarmoníčnihíntegralívpuassonanaklasahwrbetahalpha |