Sufficient conditions under which the solutions of general parabolic initial-boundaryvalue problems are classical
We establish new sufficient conditions under which the generalized solutions of initial-boundary-value problems for the linear parabolic differential equations of any order with complex-valued coefficients are classical. These conditions are formulated in the terms of belonging of the right-hand sid...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1938 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507831960076288 |
|---|---|
| author | Los’, V. M. Лось, В. М. |
| author_facet | Los’, V. M. Лось, В. М. |
| author_sort | Los’, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:19Z |
| description | We establish new sufficient conditions under which the generalized solutions of initial-boundary-value problems for the
linear parabolic differential equations of any order with complex-valued coefficients are classical. These conditions are
formulated in the terms of belonging of the right-hand sides of this problem to certain anisotropic H¨ormander spaces. In
the definition of classical solution, its continuity on the line connecting the lateral surface with the base of the cylinder (in
which the problem is considered) is not required. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
В. М. Лось (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ)
ДОСТАТНI УМОВИ КЛАСИЧНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ
ЗАГАЛЬНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
We establish new sufficient conditions under which the generalized solutions of initial-boundary-value problems for the
linear parabolic differential equations of any order with complex-valued coefficients are classical. These conditions are
formulated in the terms of belonging of the right-hand sides of this problem to certain anisotropic Hörmander spaces. In
the definition of classical solution, its continuity on the line connecting the lateral surface with the base of the cylinder (in
which the problem is considered) is not required.
Найдены новые достаточные условия того, что обобщенные решения начально-краевых задач для линейных па-
раболических дифференциальных уравнений произвольного порядка с комплексными коэффициентами являются
классическими. Эти условия формулируются в терминах принадлежности правых частей задачи некоторым анизо-
тропным пространством Хермандера. В определении классического решения не требуется его непрерывность на
линии соединения боковой поверхности и основания цилиндра, в котором рассматривается задача.
1. Вступ. Cучасна теорiя загальних параболiчних мiшаних задач розроблена для шкал функ-
цiональних просторiв Гельдера i Соболєва [1 – 8]. Актуальним є питання про те, за яких умов
узагальнений розв’язок такої задачi є класичним, тобто коли вiн у термiнах класичних похiд-
них i слiдiв функцiй задовольняє рiвняння у вiдкритому цилiндрi, а на його бiчнiй поверхнi i
основi — крайовi i початковi умови вiдповiдно. У роботах [2, 3, 9 – 12] вiдповiдь на це питання
отримано у термiнах належностi правих частин задачi деяким просторам Гельдера або Собо-
лєва. Зазначимо [13] (теорема 7.9.8), що неперервностi у замкненому цилiндрi правої частини
параболiчного рiвняння недостатньо для класичностi розв’язку мiшаної задачi навiть у випадку
однорiдних крайових i початкових умов.
Широке i змiстовне узагальнення просторiв Соболєва було запропоноване Л. Хермандером
у [14]. Це простори H\mu := \scrB 2,\mu . Для них роль показника регулярностi розподiлiв вiдiграє
вагова функцiя \mu , що залежить вiд кiлькох дуальних змiнних. Такi простори знайшли рiзнi
застосування в аналiзi i теорiї рiвнянь з частинними похiдними [14 – 20].
В. А. Михайлець i О. О. Мурач [18 – 26] побудували теорiю загальних елiптичних диферен-
цiальних операторiв i елiптичних крайових задач у гiльбертових шкалах iзотропних просторiв
Хермандера.
У роботах [27 – 36] дослiджено мiшанi параболiчнi задачi у гiльбертових просторах Хер-
мандера. У статтi [35] отримано достатнi умови класичностi узагальнених розв’язкiв мiшаних
задач для лiнiйних параболiчних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Цi умови, зокрема,
гарантують неперервнiсть розв’язку у замкненому цилiндрi.
У рiзних практичних задачах (див., наприклад, [37], гл. 3, §2, п. 3) корисно розглядати
класичнi розв’язки, якi не є неперервними на лiнiї з’єднання бiчної поверхнi i основи ци-
лiндра, в якому дослiджується задача. Мета цiєї роботи — встановити достатнi умови того,
що узагальненi розв’язки є класичними у щойно зазначеному сенсi. В роботi розглядаються
початково-крайовi задачi для лiнiйних параболiчних диференцiальних рiвнянь довiльного по-
рядку з комплексними коефiцiєнтами. Цi достатнi умови сформульовано у термiнах належностi
правих частин задачi вiдповiдним просторам Хермандера. Їх застосування дозволяє отримати
c\bigcirc В. М. ЛОСЬ, 2016
1518 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ДОСТАТНI УМОВИ КЛАСИЧНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАГАЛЬНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ . . . 1519
бiльш тонкi достатнi умови, нiж це можливо у межах класичних шкал функцiональних просто-
рiв Гельдера i Соболєва.
2. Постановка задачi. Нехай довiльно заданi цiле число n \geq 2, дiйсне число \tau > 0 i
обмежена область G \subset \BbbR n з нескiнченно гладкою межею \Gamma := \partial G. Позначимо через \Omega :=
:= G \times (0, \tau ) вiдкритий цилiндр в \BbbR n+1, S := \Gamma \times (0, \tau ) — його бiчна поверхня. Тодi \Omega :=
:= G\times [0, \tau ] i S := \Gamma \times [0, \tau ] є замиканням \Omega i S вiдповiдно.
Розглянемо у цилiндрi \Omega параболiчну початково-крайову задачу
A(x, t,Dx, \partial t)u(x, t) \equiv
\sum
| \alpha | +2b\beta \leq 2m
a\alpha ,\beta (x, t)D\alpha
x\partial
\beta
t u(x, t) = f(x, t)
(1)
для всiх x \in G i t \in (0, \tau ),
Bj(x, t,Dx, \partial t)u(x, t)
\bigm| \bigm|
S
\equiv
\sum
| \alpha | +2b\beta \leq mj
b\alpha ,\beta j (x, t)D\alpha
x\partial
\beta
t u(x, t)
\bigm| \bigm|
S
= gj(x, t)
(2)
для всiх x \in \Gamma , t \in (0, \tau ) i j \in \{ 1, . . . ,m\} ,
\partial k
t u(x, t)
\bigm| \bigm|
t=0
= hk(x) для всiх x \in G i k \in \{ 0, . . . ,\varkappa - 1\} . (3)
Тут b, m i всi mj — довiльно заданi цiлi числа, такi, що m \geq b \geq 1, \varkappa := m/b \in \BbbZ i mj \geq 0.
Число 2b називається параболiчною вагою цiєї задачi. Усi коефiцiєнти лiнiйних диференцiаль-
них виразiв A := A(x, t,Dx, \partial t) i Bj := Bj(x, t,Dx, \partial t), j \in \{ 1, . . . ,m\} , вважаємо нескiнченно
гладкими комплекснозначними функцiями, заданими на \Omega i S вiдповiдно, тобто
a\alpha ,\beta \in C\infty (\Omega ) :=
\bigl\{
w \upharpoonright \Omega : w \in C\infty (\BbbR n+1)
\bigr\}
i
b\alpha ,\beta j \in C\infty (S) :=
\bigl\{
v \upharpoonright S : v \in C\infty (\Gamma \times \BbbR )
\bigr\}
.
Будемо використовувати позначення D\alpha
x := D\alpha 1
1 . . . D\alpha n
n , де Dk := i \partial /\partial xk i \partial t := \partial /\partial t
для частинних похiдних функцiй, що залежать вiд x = (x1, . . . , xn) \in \BbbR n i t \in \BbbR . Тут i
— уявна одиниця, \alpha = (\alpha 1, . . . , \alpha n) — мультиiндекс i | \alpha | := \alpha 1 + . . . + \alpha n. У формулах (1)
i (2) та їх аналогах пiдсумовування ведеться за цiлими невiд’ємними iндексами \alpha 1, . . . , \alpha n
i \beta , якi задовольняють умову, вказану пiд знаком суми. Як звичайно, \xi \alpha := \xi \alpha 1
1 . . . \xi \alpha n
n для
\xi := (\xi 1, . . . , \xi n) \in \BbbC n.
Нагадаємо [1] (§ 9, п. 1), що початково-крайова задача (1) – (3) називається параболiчною у
цилiндрi \Omega , якщо виконуються такi умови.
Умова 1. Для довiльних x \in G, t \in [0, \tau ], \xi \in \BbbR n i p \in \BbbC , де \mathrm{R}\mathrm{e} p \geq 0, справджується
A\circ (x, t, \xi , p) \equiv
\sum
| \alpha | +2b\beta =2m
a\alpha ,\beta (x, t) \xi \alpha p\beta \not = 0 за умови | \xi | + | p| \not = 0.
Для формулювання умови 2 довiльно виберемо точку x \in \Gamma , дiйсне число t \in [0, \tau ],
дотичний вектор \xi \in \BbbR n до межi \Gamma у точцi x та число p \in \BbbC , де \mathrm{R}\mathrm{e} p \geq 0, такi, що | \xi | + | p| \not = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1520 В. М. ЛОСЬ
Нехай \nu (x) — орт внутрiшньої нормалi до межi \Gamma у точцi x. З умови 1 та нерiвностi n \geq 2
випливає, що многочлен A\circ (x, t, \xi + \zeta \nu (x), p) змiнної \zeta \in \BbbC має рiвно m коренiв \zeta +j (x, t, \xi , p),
j = 1, . . . ,m, iз додатною i m коренiв iз вiд’ємною уявними частинами (з урахуванням їх
кратностi).
Умова 2. При кожному такому виборi x, t, \xi та p многочлени
B\circ
j
\bigl(
x, t, \xi + \zeta \nu (x), p
\bigr)
\equiv
\sum
| \alpha | +2b\beta =mj
b\alpha ,\beta j (x, t)
\bigl(
\xi + \zeta \nu (x)
\bigr) \alpha
p\beta , j = 1, . . . ,m,
змiнної \zeta \in \BbbC лiнiйно незалежнi по модулю многочлена
m\prod
j=1
\bigl(
\zeta - \zeta +j (x, t, \xi , p)
\bigr)
.
Зауважимо, що умова 1 є умовою 2b-параболiчностi за I. Г. Петровським [38] диференцiаль-
ного рiвняння Au = f у замкненому цилiндрi \Omega , а умова 2 вiдображає той факт, що система
крайових диференцiальних операторiв \{ B1, . . . , Bm\} накриває диференцiальний оператор A на
бiчнiй поверхнi S цього цилiндра.
3. Простори Хермандера, пов’язанi з задачею. Вони є окремим випадком гiльбертових
функцiональних просторiв H\mu := \scrB 2,\mu , введених i дослiджених Л. Хермандером у [14] (п. 2.2),
а згодом i Л. Р. Волєвичем та Б. П. Панеяхом [15] (§ 2, 3). Для зручностi наведемо коротко
необхiднi означення (бiльш детально див. [36], п. 2).
Показником регулярностi функцiй (або розподiлiв), що утворюють простiр H\mu (\BbbR k), де цiле
k \geq 1, є вимiрна за Борелем функцiя \mu : \BbbR k \rightarrow (0,\infty ), яка задовольняє таку умову: iснують
такi додатнi числа c та l, що
\mu (\xi )
\mu (\eta )
\leq c
\bigl(
1 + | \xi - \eta |
\bigr) l
для довiльних \xi , \eta \in \BbbR k.
За означенням комплексний лiнiйний простiр H\mu (\BbbR k) складається з усiх повiльно зростаю-
чих розподiлiв w \in \scrS \prime (\BbbR k), перетворення Фур’є \widehat w яких є локально iнтегровними за Лебегом
функцiями, що задовольняють умову
\| w\| 2H\mu (\BbbR k) :=
\int
\BbbR k
\mu 2(\xi )| \widehat w(\xi )| 2d\xi < \infty .
(У роботi всi функцiї та розподiли вважаються комплекснозначними.) Цей простiр є гiльберто-
вим вiдносно введеної норми \| w\| H\mu (\BbbR k).
Нам знадобиться версiя простору H\mu (\BbbR k) для довiльної вiдкритої непорожньої множини
V \subset \BbbR k. Лiнiйний простiр H\mu (V ) складається, за означенням, iз звужень u = w \upharpoonright V всiх
розподiлiв w \in H\mu (\BbbR k) на множину V. У цьому просторi норму задано формулою
\| u\| H\mu (V ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| w\| H\mu (\BbbR k) : w \in H\mu (\BbbR k), u = w \upharpoonright V
\bigr\}
.
Простiр H\mu (V ) є гiльбертовим вiдносно цiєї норми.
Для зручностi позначень приймемо \gamma := 1/(2b). Далi будемо використовувати показники
регулярностi вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ДОСТАТНI УМОВИ КЛАСИЧНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАГАЛЬНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ . . . 1521
\mu s,\varphi (\xi
\prime , \xi k) := \mu (\xi \prime , \xi k) :=
\bigl(
1 + | \xi \prime | 2 + | \xi k| 2\gamma
\bigr) s/2
\varphi
\bigl(
(1 + | \xi \prime | 2 + | \xi k| 2\gamma )1/2
\bigr)
, (4)
де \xi \prime \in \BbbR k - 1 та \xi k \in \BbbR — аргументи функцiї \mu , числовий параметр s є дiйсним, а функцiо-
нальний параметр \varphi належить класу \scrM .
За означенням клас \scrM складається з усiх вимiрних за Борелем функцiй \varphi : [1,\infty ) \rightarrow (0,\infty ),
якi задовольняють такi умови:
а) обидвi функцiї \varphi та 1/\varphi обмеженi на кожному вiдрiзку [1, b], де 1 < b < \infty ;
б) функцiя \varphi повiльно змiнюється за Й. Карамата на нескiнченностi, а саме, \varphi (\lambda r)/\varphi (r) \rightarrow
\rightarrow 1 при r \rightarrow \infty для кожного \lambda > 0.
Теорiю повiльно змiнних функцiй (на нескiнченностi) викладено, наприклад, у моногра-
фiї [39]. Їх важливим прикладом є функцiї вигляду
\varphi (r) := (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r)q1 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r)q2 . . . ( \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} . . . \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\underbrace{} \underbrace{}
k разiв
r )qk при r \gg 1,
де параметри k \in \BbbN та q1, q2, . . . , qk \in \BbbR є довiльними.
Нехай s \in \BbbR i \varphi \in \scrM . Розв’язки u початково-крайової задачi (1) – (3) та правi части-
ни f рiвняння (1) будемо розглядати в анiзотропних гiльбертових функцiональних просторах
Хермандера Hs,s\gamma ;\varphi (\Omega ) := H\mu (\Omega ), де показник \mu визначено формулою (4), в якiй k := n+ 1.
Якщо \varphi (r) \equiv 1, то Hs,s\gamma ;\varphi (\Omega ) є анiзотропним гiльбертовим простором Соболєва порядку
(s, s\gamma ); позначимо його через Hs,s\gamma (\Omega ). Тут s — показник регулярностi розподiлу u = u(x, t)
за просторовою змiнною x \in \Omega , а s\gamma — показник регулярностi за часовою змiнною t \in (0, \tau ).
В загальному випадку, коли \varphi \in \scrM є довiльною, мають мiсце неперервнi i щiльнi вкладення
Hs1,s1\gamma (\Omega ) \lhook \rightarrow Hs,s\gamma ;\varphi (\Omega ) \lhook \rightarrow Hs0,s0\gamma (\Omega ) при s0 < s < s1. (5)
Нам знадобляться також анiзотропнi простори Хермандера, заданi на бiчнiй поверхнi S =
= \Gamma \times (0, \tau ) цилiндра \Omega . До них будуть належати правi частини gj крайових умов (2). Озна-
чимо цi простори, використавши спецiальнi локальнi карти на S (див. [31], п. 1). Нехай s > 0
i \varphi \in \scrM . Попередньо для вiдкритої смуги \Pi := \BbbR n - 1 \times (0, \tau ) розглянемо гiльбертовi прос-
тори Hs,s\gamma ;\varphi (\Pi ) := H\mu (\Pi ), де показник \mu визначено формулою (4), в якiй k := n. Довiльно
виберемо скiнченний атлас iз C\infty -структури на замкненому многовидi \Gamma . Нехай цей атлас утво-
рено локальними картами \theta j : \BbbR n - 1 \updownarrow \Gamma j , де j = 1, . . . , \lambda . Тут вiдкритi множини \Gamma 1, . . . ,\Gamma \lambda
складають покриття многовиду \Gamma . Окрiм цього, довiльно виберемо такi функцiї \chi j \in C\infty (\Gamma ),
j = 1, . . . , \lambda , що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi j \subset \Gamma j i
\sum \lambda
j=1
\chi j = 1 на \Gamma .
За означенням лiнiйний простiр Hs,s\gamma ;\varphi (S) складається з усiх функцiй v \in L2(S) на мно-
говидi S таких, що для кожного номера j \in \{ 1, . . . , \lambda \} функцiя
vj(y, t) := \chi j
\bigl(
\theta j(y)
\bigr)
v
\bigl(
\theta j(y), t
\bigr)
аргументiв y \in \BbbR n - 1 i t \in (0, \tau ) належить до Hs,s\gamma ;\varphi (\Pi ).
У просторi Hs,s\gamma ;\varphi (S) норму задано формулою
\| v\| Hs,s\gamma ;\varphi (S) :=
\left( \lambda \sum
j=1
\| vj\| 2Hs,s\gamma ;\varphi (\Pi )
\right) 1/2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1522 В. М. ЛОСЬ
Цей простiр є гiльбертовим вiдносно введеної норми i не залежить з точнiстю до еквiвалент-
ностi норм вiд вибору локальних карт i розбиття одиницi на \Gamma [31] (теорема 1).
Уведемо простори, до яких належать правi частини hk початкових умов (3). Це iзотропнi
гiльбертовi простори Хермандера Hs;\varphi (G) := H\mu (G) з показником \mu (\xi ) := (1+ | \xi | 2)s/2\varphi
\bigl(
(1 +
+ | \xi | 2)1/2
\bigr)
аргументу \xi \in \BbbR n. Їх видiлили i систематично використовували В. А. Михайлець
та О. О. Мурач у теорiї елiптичних крайових задач [18, 19].
Далi, для формулювання основного результату введемо необхiднi локальнi аналоги просто-
рiв Hs,s\gamma ;\varphi (\Omega ), Hs,s\gamma ;\varphi (S) i Hs;\varphi (G).
Нехай U — така вiдкрита множина в \BbbR n+1, що U \cap \Gamma = \varnothing , \omega := U \cap \Omega \not = \varnothing , \pi 1 := U \cap \partial \Omega ,
\pi 2 := U \cap S i \pi 3 := U \cap G.
Позначимо через Hs,s\gamma ;\varphi
loc (\omega , \pi 1) лiнiйний простiр усiх розподiлiв u в областi \Omega таких, що
\chi u \in Hs,s\gamma ;\varphi (\Omega ) для кожної функцiї \chi \in C\infty (\Omega ) iз \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \omega \cup \pi 1. Топологiя в цьому просторi
задається напiвнормами
u \mapsto \rightarrow \| \chi u\| Hs,s\gamma ;\varphi (\Omega ),
де \chi — довiльна згадана вище функцiя. Подiбно до цього позначимо через Hs,s\gamma ;\varphi
loc (\pi 2) лiнiйний
простiр усiх розподiлiв v на S таких, що \chi v \in Hs,s\gamma ;\varphi (S) для кожної функцiї \chi \in C\infty (S) iз
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \pi 2. Топологiя у цьому просторi задається напiвнормами
v \mapsto \rightarrow \| \chi v\| Hs,s\gamma ;\varphi (S),
де \chi — довiльна щойно згадана функцiя. Нарештi, позначимо через Hs;\varphi
loc (\pi 3) лiнiйний простiр
усiх розподiлiв w на G таких, що \chi w \in Hs;\varphi (G) для кожної функцiї \chi \in C\infty (G) iз \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \pi 3.
Топологiя у цьому просторi задається напiвнормами
w \mapsto \rightarrow \| \chi w\| Hs;\varphi (G),
де \chi — довiльна щойно згадана функцiя.
Якщо \varphi \equiv 1, то означенi вище простори стають соболєвськими просторами (анiзотропними
на \Omega i S або iзотропними на G). У цьому випадку будемо пропускати iндекс \varphi у позначеннях
цих просторiв.
4. Основний результат. Нехай \sigma 0 — таке найменше цiле число, що
\sigma 0 \geq 2m, \sigma 0 \geq mj + 1 для всiх j \in \{ 1, . . . ,m\} .
Зауважимо, що якщо mj \leq 2m - 1 для всiх j \in \{ 1, . . . ,m\} , то \sigma 0 = 2m.
Попередньо позначимо через \scrQ \sigma 0 - 2m,(\sigma 0 - 2m)/(2b) пiдпростiр гiльбертового соболєвського
простору
\scrH \sigma 0 - 2m,(\sigma 0 - 2m)/(2b) :=
:= H\sigma 0 - 2m,(\sigma 0 - 2m)/(2b)(\Omega )\oplus
m\bigoplus
j=1
H\sigma 0 - mj - 1/2,(\sigma 0 - mj - 1/2)/(2b)(S)\oplus
\varkappa - 1\bigoplus
k=0
H\sigma 0 - 2bk - b(G),
вектор-функцiї (f, g1, . . . , gm, h0, . . . , h\varkappa - 1) якого задовольняють природнi умови узгодження
правих частин задачi (1) – (3). Цi умови (див. [1], §11, або [2], §14, або [36], п. 3) полягають у
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ДОСТАТНI УМОВИ КЛАСИЧНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАГАЛЬНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ . . . 1523
тому, що похiднi \partial k
t u(x, t)
\bigm| \bigm|
t=0
, якi можна обчислити з параболiчного рiвняння (1) та початкових
умов (3), повиннi задовольняти при x \in \Gamma крайовi умови (2) та спiввiдношення, що виникають
в результатi диференцiювання цих крайових умов за змiнною t.
Iз результату М. В. Житарашу [5] (теорема 9.1) випливає, що для кожної вектор-функцiї
(f, g1, . . . , gm, h0, . . . , h\varkappa - 1) \in \scrQ \sigma 0 - 2m,(\sigma 0 - 2m)/(2b) (6)
задача (1) – (3) має єдиний розв’язок u \in H\sigma 0,\sigma 0/(2b)(\Omega ). Таку функцiю u називаємо узагальне-
ним розв’язком цiєї задачi iз правою частиною (6).
Наведемо означення класичного розв’язку цiєї задачi. Позначимо m0 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ m1, . . . ,mm\} .
Означення 1. Узагальнений розв’язок u \in H\sigma 0,\sigma 0/(2b)(\Omega ) задачi (1) – (3) назвемо класич-
ним, якщо u \in C
2m,2m/(2b)
x,t (\Omega ), всi узагальненi частиннi похiднi D\alpha
x\partial
\beta
t u, для яких 0 \leq | \alpha | +2b\beta \leq
\leq m0, є неперервними на \Omega \cup S, а всi узагальненi частиннi похiднi \partial k
t u, для яких 0 \leq k \leq \varkappa - 1,
є неперервними на \Omega \cup G.
Тут, як звичайно, C2m,2m/(2b)
x,t (\Omega ) — множина функцiй, що є неперервно диференцiйовними
на \Omega разом з усiма своїми частинними похiдними D\alpha
x\partial
\beta
t u, для яких 0 \leq | \alpha | + 2b\beta \leq 2m.
Зауважимо, що в означеннi класичного розв’язку задачi (1) – (3) ми не вимагаємо його
неперервностi у замкненому цилiндрi \Omega .
Основним результатом роботи є така теорема.
Теорема 1. Покладемо \sigma 1 := 2m+ b+n/2, \sigma 2 := m0+ b+n/2, \sigma 3 := 2m - b+n/2. При-
пустимо, що \sigma 2 > \sigma 0 i \sigma 3 > \sigma 0. Нехай функцiя u \in H\sigma 0,\sigma 0/(2b)(\Omega ) є узагальненим розв’язком
задачi (1) – (3), правi частини якої задовольняють умови
f \in H
\sigma 1 - 2m,(\sigma 1 - 2m)/(2b);\varphi 1
loc (\Omega ,\varnothing ) \cap H
\sigma 2 - 2m,(\sigma 2 - 2m)/(2b);\varphi 2
loc (\Omega , S)\cap
\cap H\sigma 3 - 2m,(\sigma 3 - 2m)/(2b);\varphi 3
loc (\Omega , G), (7)
gj \in H
\sigma 2 - mj - 1/2,(\sigma 2 - mj - 1/2)/(2b);\varphi 2
loc (S) для всiх j \in \{ 1, . . . ,m\} , (8)
hk \in H\sigma 3 - 2bk - b;\varphi 3
loc (G) для всiх k \in \{ 0, . . . ,\varkappa - 1\} (9)
з деякими функцiональними параметрами \varphi 1, \varphi 2 i \varphi 3 \in \scrM такими, що
\infty \int
1
dr
r\varphi 2
j (r)
< \infty для всiх j \in \{ 1, 2, 3\} . (10)
Тодi u(x, t) є класичним розв’язком задачi (1) – (3).
Зауваження 1. Якщо сформулювати аналог теореми 1 для соболєвської шкали (випадок
\varphi 1 \equiv \varphi 2 \equiv \varphi 3 \equiv 1), то доведеться замiнити умови цiєї теореми на бiльш сильнi: для правих
частин задачi виконуються включення (7) – (9) при деяких \sigma 1 > 2m+b+n/2, \sigma 2 > m0+b+n/2
i \sigma 3 > 2m - b+ n/2.
5. Доведення основного результату. Доведення теореми 1 спирається на теорему про
локальне пiдвищення регулярностi розв’язку задачi (1) – (3) та деяку модифiкацiю теореми
вкладення Хермандера [14] (теорема 2.2.7). Для зручностi сформулюємо необхiднi твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1524 В. М. ЛОСЬ
Твердження 1 ([36], теорема 2). Нехай u \in H\sigma 0,\sigma 0/(2b)(\Omega ) є узагальненим розв’язком па-
раболiчної задачi (1) – (3) з правими частинами (6). Припустимо, що
f \in H
\sigma - 2m,(\sigma - 2m)/(2b);\varphi
loc (\omega , \pi 1), (11)
gj \in H
\sigma - mj - 1/2,(\sigma - mj - 1/2)/(2b);\varphi
loc (\pi 2) для всiх j \in \{ 1, . . . ,m\} , (12)
hk \in H\sigma - 2bk - b;\varphi
loc (\pi 3) для всiх k \in \{ 0, . . . ,\varkappa - 1\} (13)
для деяких \sigma > \sigma 0 i \varphi \in \scrM . Тодi u \in H
\sigma ,\sigma /(2b);\varphi
loc (\omega , \pi 1).
Твердження 2 ([34], лема 8.1). Нехай p \in \BbbZ , p \geq 0, s := p + b + n/2 та \varphi \in \scrM . Тодi
справджуються такi твердження:
(i) Якщо \varphi задовольняє умову
\infty \int
1
dr
r \varphi 2(r)
< \infty , (14)
то кожна функцiя w \in Hs,s/(2b);\varphi (\BbbR n+1) має таку властивiсть: всi її узагальненi частиннi
похiднi D\alpha
x\partial
\beta
t w(x, t) з 0 \leq | \alpha | + 2b\beta \leq p є неперервними на \BbbR n+1.
(ii) Нехай V — непорожня вiдкрита пiдмножина \BbbR n+1 i цiле k таке, що 1 \leq k \leq n. Якщо
кожна функцiя w \in Hs,s/(2b);\varphi (\BbbR n+1) з \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}w \subset V задовольняє умову \partial jw/\partial xjk \in C(\BbbR n+1)
для кожного j \in \BbbZ з 0 \leq j \leq p, то \varphi задовольняє умову (14).
Нам буде потрiбний такий наслiдок iз твердження 2.
Наслiдок 1. Твердження 3(i) залишається правильним, якщо у ньому замiнити
Hs,s/(2b);\varphi (\BbbR n+1) на Hs,s/(2b);\varphi (\Omega ) i \BbbR n+1 на \Omega .
Справдi, з означення простору Hs,s/(2b);\varphi (\Omega ) випливає, що для кожної функцiї
u \in Hs,s/(2b);\varphi (\Omega ) iснує така функцiя w \in Hs,s/(2b);\varphi (\BbbR n+1), що u = w в \Omega . Тому з твер-
дження 3(i) випливає, що всi узагальненi частиннi похiднi D\alpha
x\partial
\beta
t u(x, t) з 0 \leq | \alpha | + 2b\beta \leq p є
неперервними на \Omega .
Доведення теореми 1. Спочатку покажемо, що u \in C
2m,2m/(2b)
x,t (\Omega ). З умов (7) – (9) маємо
включення
f \in H
\sigma 1 - 2m,(\sigma 1 - 2m)/(2b);\varphi 1
loc (\Omega ,\varnothing ),
gj \in \scrD \prime (S) = H
\sigma 1 - mj - 1/2,(\sigma 1 - mj - 1/2)/(2b);\varphi 1
loc (\varnothing ) для всiх j \in \{ 1, . . . ,m\} ,
hk \in \scrD \prime (G) = H\sigma 1 - 2bk - b;\varphi 1
loc (\varnothing ) для всiх k \in \{ 0, . . . ,\varkappa - 1\}
з \sigma 1 := 2m + b + n/2 > \sigma 3 > \sigma 0. З цих включень i твердження 1, де \sigma := 2m + b + n/2,
випливає, що
u \in H
2m+b+n/2, (2m+b+n/2)/(2b); \varphi 1
loc (\Omega ,\varnothing ). (15)
Виберемо довiльну точку x0 з множини \Omega . Знайдеться такий окiл O(x0) цiєї точки, що O(x0) \subset
\subset \Omega i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(O(x0),\Gamma ) > 0. Тодi iснує функцiя \chi \in C\infty (\Omega ) така, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Omega i \chi = 1 на
множинi O(x0). З (15) випливає включення \chi u \in H2m+b+n/2, (2m+b+n/2)/(2b); \varphi 1(\Omega ). На пiдставi
цього включення i наслiдку 1, де p := 2m, маємо включення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ДОСТАТНI УМОВИ КЛАСИЧНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАГАЛЬНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ . . . 1525
D\alpha
x\partial
\beta
t (\chi u) \in C(\Omega ) при 0 \leq | \alpha | + 2b\beta \leq 2m.
З останнiх включень випливає, що всi узагальненi частиннi похiднi D\alpha
x\partial
\beta
t u з 0 \leq | \alpha | + 2b\beta \leq
\leq 2m є неперервними в деякому околi точки x0. Оскiльки x0 є довiльною точкою \Omega , то
u \in C
2m,2m/(2b)
x,t (\Omega ).
Аналогiчно покажемо, що всi узагальненi частиннi похiднi D\alpha
x\partial
\beta
t u, для яких 0 \leq | \alpha | +2b\beta \leq
\leq m0, є неперервними на \Omega \cup S. З умов (7) – (9) маємо включення
f \in H
\sigma 2 - 2m,(\sigma 2 - 2m)/(2b);\varphi 2
loc (\Omega , S),
gj \in H
\sigma 2 - mj - 1/2,(\sigma 2 - mj - 1/2)/(2b);\varphi 2
loc (S) для всiх j \in \{ 1, . . . ,m\} ,
hk \in \scrD \prime (G) = H\sigma 2 - 2bk - b;\varphi 2
loc (\varnothing ) для всiх k \in \{ 0, . . . ,\varkappa - 1\}
з \sigma 2 := m0 + b+ n/2. З цих включень i твердження 1, де \sigma := m0 + b+ n/2, випливає, що
u \in H
m0+b+n/2, (m0+b+n/2)/(2b); \varphi 2
loc (\Omega , S). (16)
Виберемо довiльну точку x0 з множини \Omega \cup S. У топологiї \Omega знайдеться такий окiл O(x0)
цiєї точки, що O(x0) \subset \Omega \cup S i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(O(x0),\Gamma ) > 0. Тодi iснує функцiя \chi \in C\infty (\Omega ) та-
ка, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Omega \cup S i \chi = 1 на множинi O(x0). З (16) випливає включення \chi u \in
\in Hm0+b+n/2, (m0+b+n/2)/(2b); \varphi 2(\Omega ). На пiдставi цього включення i наслiдку 1, де p := m0,
маємо включення
D\alpha
x\partial
\beta
t (\chi u) \in C(\Omega ) при 0 \leq | \alpha | + 2b\beta \leq m0.
З останнiх включень випливає, що всi узагальненi частиннi похiднi D\alpha
x\partial
\beta
t u з 0 \leq | \alpha | +2b\beta \leq m0
є неперервними в деякому околi точки x0. Оскiльки x0 є довiльною точкою \Omega \cup S, то всi цi
узагальненi частиннi похiднi неперервнi на множинi \Omega \cup S.
Насамкiнець покажемо, що всi узагальненi частиннi похiднi \partial k
t u, для яких 0 \leq k \leq \varkappa - 1,
є неперервними на \Omega \cup G. З умов (7) – (9) маємо включення
f \in H
\sigma 3 - 2m,(\sigma 3 - 2m)/(2b);\varphi 3
loc (\Omega , G),
gj \in \scrD \prime (S) = H
\sigma 3 - mj - 1/2,(\sigma 3 - mj - 1/2)/(2b);\varphi 3
loc (\varnothing ) для всiх j \in \{ 1, . . . ,m\} ,
hk \in H\sigma 3 - 2bk - b;\varphi 3
loc (G) для всiх k \in \{ 0, . . . ,\varkappa - 1\}
з \sigma 3 := 2m - b+ n/2. З цих включень i твердження 1, де \sigma := 2m - b+ n/2, випливає, що
u \in H
2m - b+n/2, (2m - b+n/2)/(2b); \varphi 3
loc (\Omega , G). (17)
Виберемо довiльну точку x0 з множини \Omega \cup G. У топологiї \Omega знайдеться такий окiл O(x0)
цiєї точки, що O(x0) \subset \Omega \cup G i \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}(O(x0),\Gamma ) > 0. Тодi iснує функцiя \chi \in C\infty (\Omega ) та-
ка, що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \Omega \cup G i \chi = 1 на множинi O(x0). З (17) випливає включення \chi u \in
\in H2m - b+n/2, (2m - b+n/2)/(2b); \varphi 3(\Omega ). На пiдставi цього включення i наслiдку 1, де p := 2m - 2b,
маємо включення
D\alpha
x\partial
k
t (\chi u) \in C(\Omega ) при 0 \leq | \alpha | + 2bk \leq 2m - 2b.
З останнiх включень при | \alpha | = 0 випливає, що всi узагальненi частиннi похiднi \partial k
t u з 0 \leq k \leq
\leq \varkappa - 1 є неперервними в деякому околi точки x0. Оскiльки x0 — довiльна точка \Omega \cup G, то всi
цi узагальненi частиннi похiднi неперервнi на множинi \Omega \cup G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1526 В. М. ЛОСЬ
Лiтература
1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида //
Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 3. – С. 53 – 161.
2. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений
общего вида // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 83. – С. 3 – 163.
3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
4. Lions J.-L., Magenes E. Non-homogeneous boundary-value problems and applications. – Berlin: Springer, 1972. –
Vol. II. – xi+242 p.
5. Житарашу Н. В. Теоремы о полном наборе изоморфизмов в L2 -теории обобщенных решений граничных
задач для одного параболического по И. Г. Петровскому уравнения // Мат. сб. – 1985. – 128(170), № 4. –
С. 451 – 473.
6. Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – Киев: Вища шк., 1990. – 200 с.
7. Eidel’man S. D. Parabolic equations // Encycl. Math. Sci. Vol. 63. Partial Different. Equat., VI. – Berlin: Springer,
1994. – P. 205 – 316.
8. Eidel’man S. D., Zhitarashu N. V. Parabolic boundary value problems. – Basel: Birkhäuser, 1998. – xii+298 p.
9. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений // Успехи
мат. наук. – 1960. – 15, № 2. – С. 97 – 154.
10. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа //
Успехи мат. наук. – 1962. – 17, № 3. – С. 3 – 146.
11. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 428 с.
12. Матийчук М. И., Эйдельман С. Д. О корректности задач Дирихле и Неймана для параболических уравнений
второго порядка с коэффициентами из классов Дини // Укр. мат. журн. – 1974. – 26, № 3. – С. 328 – 337.
13. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. Теория
распределений и анализ Фурье. – М.: Мир, 1986. – 464 с.
14. Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer, 1963. – 285 p. (Рус. перевод: Хермандер Л.
Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.: Мир, 1965. – 380 с.)
15. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат.
наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
16. Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäuser, 2001. – xii+425 p.
17. Farkas W., Leopold H.-G. Characterisations of function spaces of generalized smoothness // Ann. mat. pura ed appl. –
2006. – 185, № 1. – P. 1 – 62.
18. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
19. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hor̈mander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin: De Gruyter, 2014. –
xiv+297 p.
20. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces // Results Math. – 2015. – 67,
№ 1. – P. 135 – 152.
21. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 2. – P. 244 – 262.
22. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic boundary-value problems. II // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 3. – P. 398 – 417.
23. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 5. – P. 744 – 765.
24. Murach A. A. Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale of spaces on a closed manifold // Ukr. Math.
J. – 2007. – 59, № 6. – P. 874 – 893.
25. Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem in a two-sided refined scale of spaces // Ukr.
Math. J. – 2008. – 60, № 4. – P. 574 – 597.
26. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces // Methods Funct.
Anal. and Top. – 2008. – 14, № 1. – P. 81 – 100.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ДОСТАТНI УМОВИ КЛАСИЧНОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАГАЛЬНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ . . . 1527
27. Los V., Murach A. A. Parabolic problems and interpolation with a function parameter // Methods Funct. Anal. and
Top. – 2013. – 19, № 2. – P. 146 – 160.
28. Лось В. Н., Мурач А. А. Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости // Доп.
НАН України. – 2014. – № 6. – С. 23 – 31.
29. Лось В. М. Параболiчнi мiшанi задачi для систем Петровського в просторах узагальненої гладкостi // Доп.
НАН України. – 2014. – № 10. – С. 24 – 32.
30. Los V. M. Mixed problems for the two-dimensional heat-conduction equation in anisotropic Hörmander spaces // Ukr.
Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 735 – 747.
31. Los V. M. Anisotropic Hörmander spaces on the lateral surface of a cylinder // J. Math. Sci. – 2016. – 217, № 4. –
P. 456 – 467.
32. Лось В. М., Мурач О. О. Теореми про iзоморфiзми для деяких параболiчних початково-крайових задач у
просторах Хермандера // arXiv:1510.06270.
33. Лось В. М. Теореми про iзоморфiзми для деяких параболiчних початково-крайових задач у просторах Хер-
мандера: граничний випадок // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 6. – С. 786 – 799.
34. Los V., Mikhailets V. A., Murach A. A. An isomorphism theorem for parabolic problems in Hörmander spaces and its
applications // Communs Pure and Appl. Anal. – 2017. – 16, № 1 (to appear). arXiv:1511.04688.
35. Лось В. М. Класичнi розв’язки параболiчних початково-крайових задач i простори Хермандера // Укр. мат.
журн. – 2016. – 68, № 9. – С. 1229 – 1239.
36. Los V., Mikhailets V. A., Murach A. A. General parabolic initial-boundary value problems in Hörmander spaces //
arXiv: 1610.06862.
37. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учеб. пособие. – 6-е изд., испр. и доп. –
М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1999. – 799 с.
38. Petrovskii I. G. On the Cauchy problem for systems of partial differential equations in the domain of non-analytic
functions // Bull. Mosk. Univ. Mat., Mekh. – 1938. – 1, № 7. – P. 1 – 72 (in Russian).
39. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
Одержано 24.05.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1938 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:34Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b6/f5eb5e8e248e549c66cc9d01d3c3f7b6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19382019-12-05T09:32:19Z Sufficient conditions under which the solutions of general parabolic initial-boundaryvalue problems are classical Достатні умови класичності розв’язків загальних параболічних початково-крайових задач Los’, V. M. Лось, В. М. We establish new sufficient conditions under which the generalized solutions of initial-boundary-value problems for the linear parabolic differential equations of any order with complex-valued coefficients are classical. These conditions are formulated in the terms of belonging of the right-hand sides of this problem to certain anisotropic H¨ormander spaces. In the definition of classical solution, its continuity on the line connecting the lateral surface with the base of the cylinder (in which the problem is considered) is not required. Найдены новые достаточные условия того, что обобщенные решения начально-краевых задач для линейных параболических дифференциальных уравнений произвольного порядка с комплексными коэффициентами являются классическими. Эти условия формулируются в терминах принадлежности правых частей задачи некоторым анизотропным пространством Хермандера. В определении классического решения не требуется его непрерывность на линии соединения боковой поверхности и основания цилиндра, в котором рассматривается задача. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1938 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 11 (2016); 1518-1527 Український математичний журнал; Том 68 № 11 (2016); 1518-1527 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1938/920 Copyright (c) 2016 Los’ V. M. |
| spellingShingle | Los’, V. M. Лось, В. М. Sufficient conditions under which the solutions of general parabolic initial-boundaryvalue problems are classical |
| title | Sufficient conditions under which the solutions of general parabolic initial-boundaryvalue
problems are classical |
| title_alt | Достатні умови класичності розв’язків загальних параболічних початково-крайових
задач |
| title_full | Sufficient conditions under which the solutions of general parabolic initial-boundaryvalue
problems are classical |
| title_fullStr | Sufficient conditions under which the solutions of general parabolic initial-boundaryvalue
problems are classical |
| title_full_unstemmed | Sufficient conditions under which the solutions of general parabolic initial-boundaryvalue
problems are classical |
| title_short | Sufficient conditions under which the solutions of general parabolic initial-boundaryvalue
problems are classical |
| title_sort | sufficient conditions under which the solutions of general parabolic initial-boundaryvalue
problems are classical |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1938 |
| work_keys_str_mv | AT losvm sufficientconditionsunderwhichthesolutionsofgeneralparabolicinitialboundaryvalueproblemsareclassical AT losʹvm sufficientconditionsunderwhichthesolutionsofgeneralparabolicinitialboundaryvalueproblemsareclassical AT losvm dostatníumoviklasičnostírozvâzkívzagalʹnihparabolíčnihpočatkovokrajovihzadač AT losʹvm dostatníumoviklasičnostírozvâzkívzagalʹnihparabolíčnihpočatkovokrajovihzadač |