Two-dimensional Coulomb dynamics of two and three equal negative charges in the field of two equal fixed positive charges
Periodic and bounded for positive time solutions of the planar Coulomb equation of motion for two and three identical negative charges in the field of two equal fixed positive charges are found. The systems possess equilibrium configurations to which the found bounded solutions converge in the infin...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1939 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507832879677440 |
|---|---|
| author | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. |
| author_facet | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. |
| author_sort | Skrypnik, W. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:19Z |
| description | Periodic and bounded for positive time solutions of the planar Coulomb equation of motion for two and three identical
negative charges in the field of two equal fixed positive charges are found. The systems possess equilibrium configurations
to which the found bounded solutions converge in the infinite time limit. The periodic solutions are obtained with the help
of the Lyapunov center theorem.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. I. Скрипник (Iн-т математики НАН України, Київ)
КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ ТА ТРЬОХ
РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ НА ПЛОЩИНI
У ПОЛI ФIКСОВАНИХ ДВОХ РIВНИХ ПОЗИТИВНИХ ЗАРЯДIВ
Periodic and bounded for positive time solutions of the planar Coulomb equation of motion for two and three identical
negative charges in the field of two equal fixed positive charges are found. The systems possess equilibrium configurations
to which the found bounded solutions converge in the infinite time limit. The periodic solutions are obtained with the help
of the Lyapunov center theorem.
Найдены периодические и ограниченные для положительного времени решения уравнений движения Кулона на
плоскости двух и трех отрицательных одинаковых зарядов в поле двух одинаковых фиксированных положительных
зарядов. Эти системы имеют равновесные состояния, к которым сходятся полученные ограниченные решения в
пределе бесконечного времени. Периодические решения получены с помощью центральной теоремы Ляпунова.
1. Вступ. Важливою задачею математики є знаходження розв’язкiв рiвнянь руху Ньютона
систем багатьох d-вимiрних частинок (тiл, зарядiв) з сингулярною потенцiальною енергiєю U
у виглядi збiжних на всьому часовому iнтервалi рядiв. Цi рiвняння для систем N тiл з масами
mj , j = 1, . . . , N, мають вигляд
mj
d2xj
dt2
= -
\partial U(x(N))
\partial xj
, j = 1, . . . , N, x(N) = (x1, . . . , xN ) \in \BbbR dN , xj = (x1j , . . . , x
d
j ).
(1.1)
Важливим класом цих систем є такi, що мають рiвноважнi конфiгурацiї (рiвновагу), в яких си-
метрична матриця U0 частинних других похiдних потенцiальної енергiї не має нульoвих влас-
них значень, а потенцiальна енергiя є дiйсно-аналiтичною функцiєю в них. Кулонiвськi лiнiйнi
системи двох та трьох негативних зарядiв e0 однакової маси в полi двох зовнiшнiх точкових
фiксованих позитивних зарядiв e\prime є саме такими. Цей важливий факт дозволив нам побудувати
перiодичнi розв’язки поблизу рiвноваги рiвнянь руху Кулона цих негативних зарядiв, розта-
шованих на такiй прямiй, що позитивнi заряди розташованi симетрично на перпендикулярi
до цiєї прямої [1]. Ми застосували теореми Ляпунова (центральну), Мозера, Вайнстайна та
Зiгеля, якi вимагають знання спектра матрицi U0. Першi двi теореми, якi гарантують iснування
перiодичних розв’язкiв у виглядi збiжних рядiв, обмежували значення
e0
e\prime
через умову нерезо-
нансностi. Теорема Вайнстайна встановлює iснування перiодичних розв’язкiв без цiєї умови,
але може бути застосована тiльки для систем зi стiйкою рiвновагою (U0 є додатно визначеною
матрицею i рiвновага є мiнiмумом потенцiальної енергiї).
У цiй статтi ми вперше розглядаємо кулонiвську площинну систему двох та трьох нега-
тивних зарядiв e0 однакової маси в полi двох точкових фiксованих позитивних зарядiв e\prime . Ми
також переформулюємо нашi результати для системи таких трьох негативних зарядiв на пря-
мiй у простiшому виглядi, тому що ми змогли знайти коренi характеристичного полiнома U0 в
явнiй формi ( так само, як i для площинних систем) без використання формули Кардано, як це
було в [1]. Ми встановлюємо, що матриця U0 є прямою сумою двох (2\times 2)- чи (3\times 3)-матриць
c\bigcirc В. I. СКРИПНИК, 2016
1528 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ ТА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1529
вiдповiдно для площинних систем двох чи трьох зарядiв. При цьому (3\times 3)-матрицi зображу-
ються сумами таких, що мають нульовi власнi значення, та матриць, пропорцiйних одиничнiй.
Аналогiчну властивiсть має i (3\times 3)-матриця U0 у системi трьох зарядiв на прямiй.
Для використання згаданих теорем та визначення спектра U0 необхiдно перерахувати змiн-
нi. Ми це зробимо для їх iндексiв (перший iндекс у парi вiдповiдає номеру заряду) таким
чином:
(1, 1) = 1, . . . , (N, 1) = N, (1, 2) = N + 1, . . . , (N, 2) = 2N, . . . ,
(N(d - 1), d) = N(d - 1) + 1, . . . , (N, d) = dN.
Тодi рiвняння руху Ньютона для систем тiл з однаковою масою m мають вигляд
m
d2xj
dt2
= -
\partial U(x(n))
\partial xj
, j = 1, . . . , n, x(n) = (x1, . . . , xn) \in \BbbR n. (1.2)
Iснування обмежених для додатного часу розв’язкiв (1.1) доведемо з допомогою наступної
теореми.
Теорема 1.1. Нехай матриця частинних других похiдних потенцiальної енергiї U в (1.2)
має ненульовi власнi значення m\sigma j у рiвновазi x0j , j = 1, . . . , n, а U є у нiй дiйсно-аналiтичною
функцiєю та \sigma j < 0, j = 1, . . . , p. Тодi рiвняння руху (1.2) має обмеженi для додатного
часу розв’язки, якi є дiйсно-аналiтичними функцiями в початку координат за p дiйсними
параметрами та
| | x - x0| | \lambda < \infty , | | \.x| | \lambda < \infty , (1.3)
де
| | x| | \lambda = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\geq 0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j\in (1,...,n)
e\lambda t| xj(t)| , \lambda < \lambda 0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
j=1,...,p
\lambda j , \lambda j =
\sqrt{}
- \sigma j .
Можливiсть застосування цiєї теореми зумовлена тим, що кулонiвський потенцiал є дiйсно-
аналiтичною функцiєю поза початком координат i дiйсно-аналiтичну функцiю можна продов-
жити до голоморфної в комплексному околi аналiтичностi. У статтi [1] ми використовували цю
теорему з умовою вiдсутностi резонансiв мiж \lambda j , j \leq p. Результати про iснування локальної
та точної глобальної динамiки для iнших кулонiвських систем отримано в [2 – 4].
Опишемо коротко структуру статтi. У другому пунктi ми доводимо iснування обмежених
розв’язкiв (1.1) з умовою (1.3) для площинної системи двох негативних однакових зарядiв.
У третьому та четвертому пунктах ми доводимо iснування обмежених (з умовою (1.3)) та
перiодичних розв’язкiв (1.1) для систем трьох негативних зарядiв вiдповiдно на прямiй та
площинi. У додатку наведено найбiльш вагомi мiркування у доведеннi теореми 1.1.
2. Два заряди на площинi. У цьому пунктi ми розглядаємо площинну систему двох
однакових негативних зарядiв у полi двох однакових позитивних зарядiв, розташованих у точках
b1, b2, з потенцiальною енергiєю
U(x(2)) = e20| x1 - x2| - 1 - e0e
\prime
\sum
j,k=1,2
| xj - bk| - 1, (2.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1530 В. I. СКРИПНИК
де
| xj | 2 = (x1j )
2 + (x2j )
2, xj = (x1j , x
2
j ) \in \BbbR 2,
bj = (b1j , b
2
j ) \in \BbbR 2, b1j = 0, b21 = - b22 = b.
Рiвняння руху для цiєї системи збiгається з (1.1), де N = 2, d = 2.
Першi частиннi похiднi цiєї потенцiальної енергiї мають вигляд
\partial U(x(2))
\partial x\alpha 1
= - e20
x\alpha 1 - x\alpha 2
| x1 - x2| 3
+ e0e
\prime
2\sum
k=1
x\alpha 1 - b\alpha k
| x1 - bk| 3
,
\partial U(x(2))
\partial x\beta 2
= - e20
x\beta 2 - x\beta 1
| x1 - x2| 3
+ e0e
\prime
2\sum
k=1
x\beta 2 - b\beta k
| x2 - bk| 3
.
Рiвновагу задаємо рiвностями x011 = a, x012 = - a, x021 = 0, x022 = 0, прирiвнюючи до нуля
правi частини виразiв для цих похiдних. В результатi виникають рiвноважнi спiввiдношення
мiж e0, e
\prime , a, b:
e0
(2a)3
=
e\prime
(
\surd
a2 + b2)3
.
Тут ми врахували, що
| x0j - bk| 2 = a2 + b2.
З рiвноважного спiввiдношення випливає
a = (4 - \eta \prime ) - 1/2
\sqrt{}
\eta \prime b = (3 - \eta ) - 1/2\surd \eta b, \eta \prime =
\Bigl( e0
e\prime
\Bigr) 2/3
< 4, \eta =
3
4
\eta \prime < 3. (2.2)
Другi частиннi похiднi потенцiальної енергiї мають вигляд
\partial U(x(2))
\partial x\alpha 1\partial x
\beta
2
=
\partial U(x(2))
\partial x\beta 2\partial x
\alpha
1
= e20
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| x1 - x2| 3
- 3
(x\alpha 1 - x\alpha 2 )(x
\beta
1 - x\beta 2 )
| x1 - x2| 5
\Biggr]
, \alpha , \beta = 1, 2,
та
\partial 2U(x(2))
\partial x\beta j \partial x
\alpha
j
=
= -
e20\delta \alpha ,\beta
| x1 - x2| 3
+ e0e
\prime
2\sum
k=1
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| xj - bk| 3
- 3
(x\alpha j - b\alpha k )(x
\beta
j - b\beta k)
| xj - bk| 5
\Biggr]
+ 3e20
(x\alpha 1 - x\alpha 2 )(x
\beta
1 - x\beta 2 )
| x1 - x2| 5
,
де \delta \alpha ,\beta — функцiя Кронекера. Задамо u\prime , u\ast , u
\prime
\ast , u
\prime \prime
\ast так:
u\prime =
e20
4a3
, u\prime \ast = u\ast -
3u\prime
2
, u\ast = u\prime \eta ,
u\prime \prime \ast =
6e0e
\prime b2
(
\surd
a2 + b2)5
=
6e0e
\prime
(2a)5
\Bigl( e0
e\prime
\Bigr) 5/3 3 - \eta
\eta
a2 = u\prime (3 - \eta )
та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ ТА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1531
Tj(\alpha , \beta ) =
2\sum
k=1
(x\alpha j - b\alpha k )(x
\beta
j - b\beta k)
| xj - bk| 5
.
При цьому ми використали рiвноважне спiввiдношення та (2.2) у виразi для u\prime \prime \ast .
Нехай T 0
j (\alpha , \beta ) буде рiвноважним значенням для Tj(\alpha , \beta ). Тодi (| x0j - bk| 2 = a2 + b2 )
T 0
j (\alpha , \beta ) = 2(a2 + b2) -
5
2 \delta \alpha ,\beta (a
2\delta \alpha ,1 + b2\delta \alpha ,2).
Доведемо це. Нехай
\~T 0
j (\alpha , \beta ) =
2\sum
k=1
(x0\alpha j - b\alpha k )(x
0\beta
j - b\beta k),
тодi
\~T 0
1 (1, 2) = - ((a - b11)b
2
1 + (a - b12)b
2
2) = - (ab - ab) = 0,
\~T 0
2 (1, 2) = - (( - a - b11)b
2
1 + ( - a - b12)b
2
2) = ab - ab = 0,
\~T 0
1 (1, 1) = (a - b11)(a - b11) + (a - b12)(a - b12) = 2a2,
\~T 0
2 (1, 1) = ( - a - b11)( - a - b11) + ( - a - b12)( - a - b12) = 2a2,
\~T 0
1 (2, 2) =
\~T 0
2 (2, 2) = (b21)
2 + (b22)
2 = 2b2.
Неважко перевiрити, що елементи матрицi U0 других похiдних у рiвновазi мають вигляд
U0
1,\alpha ;1,\beta = U0
2,\alpha ;2,\beta = \delta \alpha ,\beta
\biggl(
e20
(2a)3
- 6e0e
\prime
(
\surd
a2 + b2)5
(a2\delta \alpha ,1 + b2\delta \alpha ,2) + 3
e20
(2a)3
\delta \alpha ,1
\biggr)
=
= \delta \alpha ,\beta
\biggl(
u\prime
2
- \delta \alpha ,1u
\prime
\ast - \delta \alpha ,2u
\prime \prime
\ast
\biggr)
,
U0
1,\alpha ;2,\beta = U0
2,\alpha ;1,\beta =
u\prime
2
\delta \alpha ,\beta (1 - 3\delta \alpha ,1).
Таким чином,
U0
j,\alpha ;k,\beta = \delta \alpha ,\beta U
0
\alpha ;j,k, U0 = U0
1 \oplus U0
2 . (2.3)
Перенумеруємо тепер iндекси змiнних за правилом
(1, 1) = 1, (2, 1) = 2, (1, 2) = 3, (2, 2) = 4. (2.4)
Як наслiдок, елементи симетричних двовимiрних матриць U0
1 , U
0
2 задано таким чином:
U0
1;1,1 = U0
1;2,2 =
u\prime
2
- u\prime \ast , U0
2;3,3 = U0
2;4,4 =
u\prime
2
- u\prime \prime \ast , U0
1;1,2 = - u\prime , U0
2;3,4 =
u\prime
2
.
Очевидно, що характеристичний полiном матрицi U0 обчислено так:
p(\lambda ) = \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t} ( - U0 + \lambda I) =
\Biggl( \biggl(
u\prime
2
- u\prime \ast - \lambda
\biggr) 2
- u\prime 2
\Biggr) \Biggl( \biggl(
u\prime
2
- u\prime \prime \ast - \lambda
\biggr) 2
- u\prime 2
4
\Biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1532 В. I. СКРИПНИК
Його коренi \zeta j мають вигляд
\zeta 1 = - u\prime
2
- u\prime \ast , \zeta 2 =
3u\prime
2
- u\prime \ast , \zeta 3 = u\prime - u\prime \prime \ast , \zeta 4 = - u\prime \prime \ast = - u\prime (3 - \eta ),
або
\zeta 1 = u\prime - u\ast = u\prime (1 - \eta ), \zeta 2 = 3u\prime - u\ast = u\prime (3 - \eta ), \zeta 3 = u\prime (\eta - 2), \zeta 4 = - u\prime (3 - \eta ).
Наступна теорема випливає з теореми 1.1, яка гарантує iснування обмежених для додатного
часу розв’язкiв (1.1) з умовою (1.3).
Теорема 2.1. Нехай \eta =
3
4
\Bigl( e0
e\prime
\Bigr) 2/3
належить одному з трьох iнтервалiв: (0, 1), (2, 3),
(1, 2). Тодi площинне рiвняння руху Кулона (1.1) при N = 2 з потенцiальною енергiєю (2.1)
має обмеженi для додатного часу розв’язки, якi є дiйсно-аналiтичними функцiями в нулi двох
для перших двох iнтервалiв чи трьох для третього iнтервалу параметрiв, такi, що вико-
нується (1.3), де \lambda 0 =
\sqrt{}
m - 1u\prime (2 - \eta ), \lambda 0 =
\sqrt{}
m - 1u\prime (3 - \eta ), \lambda 0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(
\sqrt{}
m - 1u\prime (2 - \eta ),\sqrt{}
m - 1u\prime (\eta - 1)) вiдповiдно для цих iнтервалiв, u\prime =
e20
4a3
та x0 = (x01;x
0
2) = (a, 0; - a, 0) —
рiвновага.
На iнтервалi \eta \in (1, 2) лише одне власне значення \zeta 2 є додатним, на iнтервалi (0, 1)
\zeta 2 > \zeta 1 > 0, на iнтервалi
\biggl(
2,
5
2
\biggr)
\zeta 2 > \zeta 3 > 0, a на iнтервалi
\biggl(
5
2
, 3
\biggr)
0 < \zeta 2 < \zeta 3. На перших
трьох iнтервалах та четвертому вiдповiдно немає резонансу
\sqrt{}
\zeta j , j = 1, 3, 4, з
\surd
\zeta 2 та
\sqrt{}
\zeta j ,
j = 1, 2, 4, з
\surd
\zeta 3. Наступна теорема випливає з центральної теореми Ляпунова [5].
Теорема 2.2. Нехай \eta належить (0, 3)\setminus
\biggl[
5
2
, 3
\biggr)
\cup 1 \cup 2 або
\biggl(
5
2
, 3
\biggr)
. Тодi площинне ку-
лонiвське рiвняння руху (1.1) при N = 2 з потенцiальною енергiєю (2.1) має перiодичний
розв’язок, який залежить вiд дiйсного параметра c. Цей розв’язок та його перiод \tau (c) є
дiйсно-аналiтичними функцiями у нулi цього параметра та \tau (0) = 2\pi
\sqrt{}
m
\zeta 2
або \tau (0) = 2\pi
\sqrt{}
m
\zeta 3
.
3. Три заряди на прямiй. У цьому пунктi ми розглядаємо систему трьох однакових не-
гативних зарядiв на прямiй у полi двох точкових фiксованих позитивних однакових зарядiв,
розташованих симетрично вiдносно цiєї прямої, з потенцiальною енергiєю
U(x(3)) =
1
2
3\sum
j \not =k=1
ejek
| xj - xk|
- 2e\prime e0
3\sum
k=1
(
\sqrt{}
x2k + b2) - 1, - ej = e0 > 0, e\prime > 0, xj \in \BbbR .
(3.1)
Рiвняння руху для цiєї системи збiгається з (1.1), де N = 3, d = 1.
Першi частиннi похiднi цiєї потенцiальної енергiї мають вигляд
\partial U(x(3))
\partial xj
= - ej
3\sum
k=1,k \not =j
ek
xj - xk
| xj - xk| 3
+
2e\prime e0xj\Bigl( \sqrt{}
x2j + b2
\Bigr) 3 .
Рiвновагу задано рiвностями x01 = - a, x02 = 0, x03 = a. Перша похiдна потенцiальної енергiї в
рiвновазi для j = 2 дорiвнює нулю. Рiвноважне спiввiдношення, що обмежує значення a та b,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ ТА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1533
5e20
4a2
- 2e\prime e0a
(
\surd
a2 + b2)3
= 0,
випливає з
\partial
\partial xj
U(x(3)) = 0, j = 1, 3. З нього виводяться новi спiввiдношення
e20
4a3
= u\prime ,
2e0e
\prime
(
\surd
a2 + b2)3
= 5u\prime , (
\sqrt{}
a2 + b2) - 1 =
1
2a
\biggl(
5e0
e\prime
\biggr) 1/3
, (3.2)
a = (4 - \eta \prime ) - 1/2
\sqrt{}
\eta \prime b, \eta \prime =
\biggl(
5e0
e\prime
\biggr) 2/3
< 4,
e0
e\prime
<
8
5
. (3.3)
Другi частиннi похiднi потенцiальної енергiї мають вигляд
\partial 2U(x(3))
\partial x2j
= 2ej
3\sum
k=1,k \not =j
ek| xj - xk| - 3 +
2e0e
\prime
(
\sqrt{}
x2j + b2)3
-
6e0e
\prime x2j
(
\sqrt{}
x2j + b2)5
,
\partial 2U(x(3))
\partial xj\partial xk
=
\partial 2U(x(3))
\partial xk\partial xj
= - 2ejek| xj - xk| - 3.
Неважко перевiрити з допомогою (3.2), (3.3), що елементи матрицi U0 других похiдних у
рiвновазi мають вигляд
U0
2,1 = U0
1,2 = U0
2,3 = U0
3,2 = - 2e20
a3
= - 8u\prime , U0
3,1 = U0
1,3 = - u\prime ,
U0
1,1 = U0
3,3 = 9u\prime +
2e0e
\prime
(
\surd
a2 + b2)3
- 6e0e
\prime a2
(
\surd
a2 + b2)5
, U0
2,2 = 16u\prime +
2e0e
\prime
b3
.
Рiвностi (3.2), (3.3) приводять до таких:
6e0e
\prime a2
(
\surd
a2 + b2)5
= u\ast = 5uu\prime , U0
2,2 = u\prime g, U0
1,1 = U0
3,3 = 14u\prime - u\ast = (14 - 5u)u\prime ,
де
g = 16 + 40(4 - \eta \prime ) - 3/2 = 16 + g\ast (u), g\ast = 5
\surd
27(3 - u) - 3/2, u =
3
4
\biggl(
5e0
e\prime
\biggr) 2/3
=
3
4
\eta \prime
(3.4)
та 21 < g < \infty , 0 < u < 3, тобто
u\prime - 1U0 =
\left(
14 - 5u - 8 - 1
- 8 g - 8
- 1 - 8 14 - 5u
\right) = - 2U\ast 1 + 5(3 - u)I,
U\ast (g1) = U\ast 1 = 2 - 1
\left(
1 8 1
8 2g1 8
1 8 1
\right) , 2g1 = - g + 5(3 - u).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1534 В. I. СКРИПНИК
Тут I — одинична матриця, U\ast 1 має тотожнi перший та третiй рядки, тому \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t}U\ast 1 = 0. Це
дозволяє знайти коренi характеристичних полiномiв p\ast 1 для U\ast 1 та p\prime для U \prime = u\prime - 1U0 :
p\ast (\lambda , q) = \mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{t} (\lambda I - U\ast (q)) = - [(q - \lambda )(\lambda - 1) + 32]\lambda = [\lambda 2 - (q + 1)\lambda + q - 32]\lambda .
Коренi p\ast (q) записано так:
2\lambda = q + 1\pm
\sqrt{}
(q - 1)2 + 128, \lambda = 0.
Коренi p\prime ,
p\prime (\lambda \prime ) = - 23p\ast
\biggl(
- \lambda \prime
2
+
5(3 - u)
2
, g1
\biggr)
,
мають вигляд
\lambda \prime = 5(3 - u) - g1 - 1\pm
\sqrt{}
(g1 - 1)2 + 128, \lambda \prime = 5(3 - u) = \zeta \prime 1. (3.5)
Нехай \zeta \prime 2, \zeta
\prime
3 — коренi, що вiдповiдають плюсу та мiнусу перед знаком кореня:
\zeta \prime 2 =
g + 5(3 - u)
2
- 1 +
\sqrt{} \biggl(
g + 5(u - 3)
2
+ 1
\biggr) 2
+ 128, (3.6)
\zeta \prime 3 =
g + 5(3 - u)
2
- 1 -
\sqrt{} \biggl(
g + 5(u - 3)
2
+ 1
\biggr) 2
+ 128. (3.7)
Тодi
\zeta \prime 2 > \zeta \prime 1 > 0, \zeta \prime 3 < \zeta \prime 2. (3.8)
При цьому ми використали те, що g > 21, 0 < u < 3 та
g - 5(3 - u)
2
> 2. Таким чином, немає
резонансу \zeta \prime 2 з \zeta \prime 1, \zeta
\prime
3. Крiм того, нерiвнiсть
\zeta \prime 3 < 5(3 - u) +
g + 5(u - 3)
2
- 1 - g + 5(u - 3)
2
- 1 < 5(3 - u) - 2
означає, що \zeta \prime 3 < 0, якщо u \geq 13
5
.
Точна умова додатностi \zeta \prime 3 має вигляд\biggl(
g + 5(3 - u)
2
- 1
\biggr) 2
>
\biggl(
g + 5(u - 3)
2
+ 1
\biggr) 2
+ 128,
тобто
g(5(3 - u) - 2) > 128. (3.9)
Неважко бачити, що \zeta \prime 3 > 0 при 0 \leq u \leq 6
5
, тому що g \geq 21, 5(3 - u) - 2 > 7 та
g(5(3 - u) - 2) > 147.
Таким чином, ми довели таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ ТА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1535
Твердження 3.1. Корiнь \zeta \prime 3 — додатний при 0 \leq u \leq 6
5
i вiд’ємний при
13
5
\leq u < 3. Крiм
того, має мiсце (3.8).
Неважко перевiрити, що \zeta \prime 3 > 0 при u =
7
5
,
8
5
,
9
5
та \zeta \prime 3 < 0 при u = 2. Виникає припущення,
що \zeta \prime 3 > 0 при 0 \leq u < 2 та \zeta \prime 3 < 0 при 2 \leq u < 3.
Умова нейтральностi 3e0 = 2e\prime приводить до такого:
u =
3
4
\biggl(
5e0
e\prime
\biggr) 2/3
=
3
4
\biggl(
10
3
\biggr) 2/3
=
5
2
\biggl(
3
10
\biggr) 1/3
<
5
2
\biggl(
1
3
\biggr) 1/3
<
5
2
(1, 4) - 1 =
25
14
<
9
5
.
Очевидно, що власнi значення \zeta j матрицi U0 мають вигляд
\zeta j = u\prime \zeta \prime j .
Це i центральна теоремa Ляпунова доводять наступну теорему.
Теорема 3.1. Кулонiвське рiвняння руху на прямiй (1.1) при N = 3 з потенцiальною енергi-
єю (3.1) має перiодичний розв’язок, який залежить вiд дiйсного параметра c. Цей розв’язок та
його перiод \tau (c) є дiйсно-аналiтичними функцiями в нулi цього параметра та \tau (0) = 2\pi
\sqrt{}
m
\zeta 2
.
Наступна теорема є наслiдком теореми 1.1.
Теорема 3.2. Якщо \zeta \prime 3 < 0, то кулонiвське рiвняння руху на прямiй (1.1) при N = 3 з
потенцiальною енергiєю (3.1) має обмежений для додатного часу розв’язок, який залежить
вiд дiйсного параметра, є дiйсно-аналiтичною функцiєю в нулi i такий, що має мiсце (1.3) з
\lambda 0 =
\sqrt{}
- \zeta 3
m
та x0 = ( - a, 0, a) — рiвновага.
Цi теореми є значно простiшими, нiж їхнi аналоги в [1]. Зауважимо, що в четвертому пунктi
[1] потрiбно виправити помилки: збiльшити u на 5 та викреслити a у виразi для U0
2,2.
4. Три заряди на площинi. У цьому пунктi ми розглядаємо систему трьох однакових
негативних зарядiв на площинi в полi двох точкових фiксованих позитивних однакових заря-
дiв, розташованих в точках b1, b2, симетричних вiдносно прямої, де зосереджена рiвновага.
Потенцiальна енергiя її має вигляд
U(x(3)) =
1
2
3\sum
j \not =k=1
ejek
| xj - xk|
- e0e
\prime
\sum
j,k=1,2
| xj - bk| - 1, (4.1)
де xjej = - e0 < 0, e\prime тi самi, що i в попередньому пунктi, та
bj = (b1j , b
2
j ) \in \BbbR 2, b1j = 0, b21 = - b22 = b.
Рiвняння руху для цiєї системи збiгається з (1.1), де N = 3, d = 2.
Першi частиннi похiднi цiєї потенцiальної енергiї мають вигляд
\partial U(x(3))
\partial x\alpha j
= - e20
3\sum
k=1,k \not =j
x\alpha j - x\alpha k
| xj - xk| 3
+ e0e
\prime
2\sum
k=1
x\alpha 1 - b\alpha k
| xj - bk| 3
.
Рiвновагу задано рiвностями x011 = - a, x0\alpha 2 = 0, x013 = a, x2j = x02j = 0. Рiвноважне спiввiд-
ношення мiж e0, e
\prime , a, b є таким, як i в попередньому пунктi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1536 В. I. СКРИПНИК
Другi частиннi похiднi цiєї потенцiальної енергiї мають вигляд
\partial U(x(3))
\partial x\alpha j
= - e20
3\sum
k=1,k \not =j
x\alpha j - x\alpha k
| xj - xk| 3
+ e0e
\prime
2\sum
k=1
x\alpha 1 - b\alpha k
| xj - bk| 3
,
\partial U(x(3))
\partial x\alpha j \partial x
\beta
k
=
\partial U(x(3))
\partial x\beta k\partial x
\alpha
j
= e20
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| xj - xk| 3
- 3
(x\alpha j - x\alpha k )(x
\beta
j - x\beta k)
| xj - xk| 5
\Biggr]
, \alpha , \beta = 1, 2, j \not = k,
\partial 2U(x(2))
\partial x\beta j \partial x
\alpha
j
= e20
3\sum
k=1,k \not =j
\Biggl[
-
\delta \alpha ,\beta
| xj - xk| 3
+ 3
(x\alpha j - x\alpha k )(x
\beta
j - x\beta k)
| xj - xk| 5
\Biggr]
+
+e0e
\prime
2\sum
k=1
\Biggl[
\delta \alpha ,\beta
| xj - bk| 3
- 3
(x\alpha j - b\alpha k )(x
\beta
j - b\beta k)
| xj - bk| 5
\Biggr]
.
Нехай u, u\prime , u\ast , g\ast , \eta
\prime є такими, як i в попередньому пунктi. Iз (3.3), (3.4) випливає
u\prime \prime \ast =
6e0e
\prime b2
(
\surd
a2 + b2)5
=
6e0e
\prime
(2a)5
\biggl(
5e0
e\prime
\biggr) 5/3 4 - \eta \prime
\eta \prime
a2 = u\prime \prime u\prime , u\prime \prime = 5(3 - u). (4.2)
Покладемо
Tj(\alpha , \beta ) =
2\sum
k=1
(x\alpha j - b\alpha k )(x
\beta
j - b\beta k)
| xj - bk| 5
та нехай T 0
j (\alpha , \beta ) є рiвноважним значенням Tj(\alpha , \beta ). Тодi | x0j - bk| 2 = a2 + b2, j = 1, 3,
| x02 - bk| 2 = b2, a також
T 0
j (\alpha , \beta ) = 2(a2 + b2) - 5/2\delta \alpha ,\beta (a
2\delta \alpha ,1 + b2\delta \alpha ,2), j = 1, 3, T 0
2 (\alpha , \beta ) = 2b - 3\delta \alpha ,\beta \delta \alpha ,2. (4.3)
Першу рiвнiсть ми доводимо, як аналогiчну для j = 1, 2 з другого пункту. Тi самi мiркування
доводять другу рiвнiсть в (4.3). Як наслiдок,
U0
j,\alpha ;k,\beta = \delta \alpha ,\beta U
0
\alpha ;j,k, (4.4)
де (див. пункт 3)
U0
1;j,k = U0
j,k, U0
2;2,1 = U0
2;1,2 = U0
2;2,3 = U0
2;3,2 =
e20
a3
= 4u\prime , U0
2;3,1 = U0
2;1,3 =
u\prime
2
.
З (4.2) – (4.4), (3.2) – (3.4) випливає
U0
2;1,1 = U0
2;3,3 = - e20
a3
\biggl(
1 +
1
8
\biggr)
+
2e0e
\prime
(
\surd
a2 + b2)3
- u\prime \prime \ast =
u\prime
2
- u\prime \prime \ast ,
U0
2;2,2 = - 8u\prime - 4e0e
\prime
b3
= u\prime g\prime \prime , g\prime \prime = - 8 - 2g\ast .
Перераховуючи iндекси змiнних
(1, 1) = 1, (2, 1) = 2, (3, 1) = 3, (1, 2) = 4, (2, 2) = 5, (3, 2) = 6, (4.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ ТА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1537
отримуємо
U0 = U0
1 \oplus U0
2 ,
де
u\prime - 1U0
1 = - 2U\ast 1 + u\prime \prime I,
u\prime - 1U0
2 =
\left(
1
2
- u\prime \prime 4
1
2
4 g\prime \prime 4
1
2
4
1
2
- u\prime \prime
\right) = U\ast 2 - u\prime \prime I.
Тут U\ast 2 = U\ast (g2), g2 = g\prime \prime + u\prime \prime , a U\ast визначено у попередньому пунктi.
Характеристичнi полiноми p\ast 2 для U\ast 2 та p\prime 2 для U \prime
2 = u\prime - 1U0
2 мають вигляд
p\ast 2(\lambda ) = p\ast (\lambda , g2), p\prime 2(\lambda ) = p\ast 2(\lambda + u\prime \prime , g2),
де p\ast (\lambda , q) — характеристичний полiном для U\ast (q) з попереднього пункту. Таким чином, коренi
p\prime 2(\lambda
\prime ) знаходяться так:
2\lambda \prime = - 2u\prime \prime + g2 + 1\pm
\sqrt{}
(g2 - 1)2 + 128, \lambda \prime = - u\prime \prime = \zeta \prime 4.
Нехай \zeta \prime 5, \zeta
\prime
6 — коренi, що вiдповiдають плюсу та мiнусу перед знаком кореня,
2\zeta \prime 5 = g\prime \prime - u\prime \prime + 1 +
\sqrt{}
(g\prime \prime + u\prime \prime - 1)2 + 128,
2\zeta \prime 6 = g\prime \prime - u\prime \prime + 1 -
\sqrt{}
(g\prime \prime + u\prime \prime - 1)2 + 128.
Тодi \zeta \prime 4, \zeta
\prime
6 < 0, тому що g\prime \prime + 1 < 0, u\prime \prime > 0, а \zeta \prime 5 > 0, якщо
(| g\prime \prime | - u\prime \prime + 1)2 + 128 > (| g\prime \prime | + u\prime \prime - 1)2, 4(u\prime \prime - 1)| g\prime \prime | < 128. (4.6)
Це справедливо, якщо u\prime \prime = 5(3 - u) \leq 1, тобто u \geq 14
5
. Покажемо, що \zeta \prime 5 < 0 на вiдрiзку
[0, 2], тобто мають мiсце оберненi до (4.6) нерiвностi
(| g\prime \prime | - u\prime \prime + 1)2 + 128 < (| g\prime \prime | + u\prime \prime - 1)2, 4(u\prime \prime - 1)| g\prime \prime | > 128. (4.7)
Цi нерiвностi виконуються при u = 0, 2. Це випливає з того, що при цих значеннях u вони
збiгаються вiдповiдно з
56| g\prime \prime | > 128, 16| g\prime \prime | > 128.
Це виконується, тому що при цих значеннях u
g\ast = 5, | g\prime \prime | = 8 + 2g\ast = 18; g\ast = 15
\surd
3, | g\prime \prime | = 8 + 30
\surd
3 > 59.
Нерiвностi (4.7) виконуються на вiдрiзку [0, 2]. Це легко перевiрити, пiдставляючи мiнiмуми
| g\prime \prime | , u\prime \prime на ньому в (4.7). Отже, справджується таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1538 В. I. СКРИПНИК
Твердження 4.1. Коренi \zeta \prime 5 < 0 та \zeta \prime 5 > 0 вiдповiдно при 0 < u \leq 2,
14
5
\leq u < 3. Крiм
того, \zeta \prime 4 < 0, \zeta \prime 6 < 0 та | \zeta \prime 4| < | \zeta \prime 6| , | \zeta \prime 5| < | \zeta \prime 6| при 0 < u < 3.
Має мiсце наступне твердження.
Твердження 4.2. Власнi значення \zeta j матрицi U0 визначаються з рiвностi
\zeta j = u\prime \zeta \prime j , j = 1, . . . , 6,
де першi три з них задано формулами (3.5) – (3.7). Серед них є три додатнi та три вiд’ємнi,
якщо
14
5
\leq u < 3 або 0 < u \leq 6
5
. При цьому у першому випадку \zeta \prime j < 0, j = 3, 4, 6, а у другому
\zeta \prime j < 0, j = 4, 5, 6.
Наступна теорема є наслiдком теореми 1.1.
Теорема 4.1. Нехай
14
5
\leq u < 3 або 0 < u \leq 6
5
. Тодi площинне кулонiвське рiвняння
руху (1.1) при N = 3 з потенцiальною енергiєю (4.1) має обмежений для додатного часу
розв’язок, який є дiйсно-аналiтичною функцiєю в нулi за трьома дiйсними параметрами i
такий, що виконується (1.3) вiдповiдно з \lambda 0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}j=3,4,6 \lambda j , \lambda 0 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}j=4,5,6 \lambda j , \sigma j =
\zeta j
m
< 0
та x0 = (x01;x
0
2, x
0
3) = ( - a, 0; 0, 0; a, 0) — рiвновага.
Припущення, що \zeta 2 не має резонансу з \zeta 5, дозволяє довести теорему, яка випливає з
центральної теореми Ляпунова.
Теорема 4.2. Нехай 0 < u \leq 2 або
14
5
\leq u < 3 та
\zeta 5
\zeta 2
\not = n2, де n — цiле число.
Тодi площинне кулонiвське рiвняння руху (1.1) при N = 3 з потенцiальною енергiєю (4.1) має
перiодичний розв’язок, який залежить вiд дiйсного параметра c. Цей розв’язок та його перiод
\tau (c) є дiйсно-аналiтичними функцiями у нулi та \tau (0) = 2\pi
\sqrt{}
m
\zeta 2
.
5. Додаток. Першим кроком у доведеннi теореми 1.1 є перетворення рiвняння руху (1.2) у
рiвняння першого порядку у простiй стандартнiй формi. Вона визначається рiвнiстю [1]
dxj
dt
= fj(x(l)) = \lambda jxj +Xj(x(l)), j = 1, . . . , n, \lambda 2j = -
\sqrt{}
- \sigma j , \lambda 2j - 1 =
\sqrt{}
- \sigma j , (5.1)
де координати, що вiдповiдають вiд’ємним (додатним) \sigma j , є дiйсними (комплексними), a Xj ,
що вiдповiдають вiд’ємним (додатним) \sigma j , — дiйсними (уявними) i всi вони залежать вiд дiйс-
них частин комплексних координат. Зведення до такої форми (1.2) здiйснюється комплексним
перетворенням, яке є дiйсним, якщо всi власнi значення U0 є вiд’ємними. Розв’язки (1.2) є
дiйсними, тому що обернене перетворення дає координати як дiйснi та уявнi частини розв’язкiв
(5.1) [1]. Теорема 1.1 випливає з такої теореми.
Теорема 5.1. Нехай дiйснi частини \lambda j \not = 0, j = 1, . . . , p < l, в (5.1) є вiд’ємними, а дiйснi
частини \lambda j , j = 1 + p, . . . , l, не є такими. Нехай також Xj(x(l)) — голоморфнi функцiї в нулi
такi, що в їх степеневих розкладах по xj , j = 1, . . . , l, суми степенiв цих змiнних не менше нiж
два. Тодi iснують функцiї \varphi j(x(p)), j = p+ 1, . . . , l, якi є голоморфними у початку координат
та нулем у ньому i такi, що частиннi розв’язки (5.1) при j = p+ 1, . . . , l рiвнi:
xj(t) = \varphi j(x(p)(t)), (5.2)
а при j = 1, . . . , p задовольняють укорочене еволюцiйне рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
КУЛОНIВСЬКА ДИНАМIКА ДВОХ ТА ТРЬОХ РIВНИХ НЕГАТИВНИХ ЗАРЯДIВ . . . 1539
dxj
dt
= f0
j (x(p)) = \lambda jxj +X0
j (x(p)),
де
X0
j (x(p)) = Xj(x(p), \varphi (l\setminus p)(x(p))), (l\setminus p) = p+ 1, . . . , l.
Зазначимо, що X0
j — дiйсна функцiя. Iдею доведення цiєї теореми ми запозичили в роздiлi
III монографiї [6]. Щоб довести її, необхiдно ввести новi координати uj за правилом для
дiйсних xj = uj , j = 1, . . . , p, та
uj = xj - \varphi j(x(p)), j = p+ 1, . . . , l,
де \varphi j є аналогiчними Xj . Згiдно з теоремою про неявну голоморфну функцiю iснує обернене
голоморфне перетворення, яке дозволяє вивести еволюцiйне рiвняння для нових змiнних. Для
нових змiнних має мiсце рiвняння, яке випливає з (5.1):
duj
dt
= \lambda juj +Gj(u(l)), j = 1, . . . , l. (5.3)
Якщо встановлено, що
Gj(u(p), 0, . . . , 0) = 0, j = p+ 1, . . . , l,
то частинний розв’язок рiвняння (5.3) визначається рiвностями
uj = 0, j = p+ 1, . . . , l.
Конкретний вираз для такої функцiї Gj можна знайти в [6]. Для \varphi j виводиться рiвняння, яке
має розв’язок у виглядi збiжного степеневого ряду [6]. Резонансна умова при цьому не потрiбна,
оскiльки
2 < n1 + . . .+ np \leq c2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - \lambda j +
p\sum
k=1
nk\lambda k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , j = p+ 1, . . . , l,
де nj — додатне цiле число.
Розв’язок укороченого еволюцiйного рiвняння отримується з допомогою першої глобальної
теореми Ляпунова [5] про iснування обмеженого розв’язку (5.1) для додатного часу.
Зауважимо, що аналог теореми 1.1 доводиться в [7] при умовi диференцiйовностi U навiть
коли \sigma j = 0 при деяких j.
Лiтература
1. Skrypnik W. Periodic and bounded solutions of the Coulomb equation of motion of two and three point charges with
equilibrium on line // Ukr. Math. J. – 2014. – 66, № 5. – P. 668 – 682.
2. Скрипник В. I. Про голоморфнi розв’язки гамiльтонових рiвнянь руху точкових зарядiв // Укр. мат. журн. –
2011. – 63, № 2. – С. 270 – 280.
3. Скрипник В. I. Про голоморфнi розв’язки рiвнянь руху Дарвiна точкових зарядiв // Укр. мат. журн. – 2013. –
65, № 4. – С. 546 – 554.
4. Skrypnik W. On exact solutions of Coulomb equation of motion of planar charges // J. Geom. and Phys. – 2015. –
98. – P. 285 – 291.
5. Lyapunov A. General problem of stability of motion. – Moscow, 1950. – 471 p. (in Russian) (English transl.: Int. J.
Contr. – 1992. – 55, № 3. – P. 521 – 790).
6. Siegel C., Moser J. Lectures on celestial mechanics. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1971.
7. Hartman P. Ordinary differential equations. – New York etc.: Wiley and Sons, 1964.
Одержано 26.11.14,
пiсля доопрацювання — 11.02.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1939 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:35Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/42/4a14e89669b7d7d5a898a9a904611342.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19392019-12-05T09:32:19Z Two-dimensional Coulomb dynamics of two and three equal negative charges in the field of two equal fixed positive charges Кулонівська динаміка двох та трьох рівних негативних зарядів на площині у полі фіксованих двох рівних позитивних зарядів Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. Periodic and bounded for positive time solutions of the planar Coulomb equation of motion for two and three identical negative charges in the field of two equal fixed positive charges are found. The systems possess equilibrium configurations to which the found bounded solutions converge in the infinite time limit. The periodic solutions are obtained with the help of the Lyapunov center theorem. Найдены периодические и ограниченные для положительного времени решения уравнений движения Кулона на плоскости двух и трех отрицательных одинаковых зарядов в поле двух одинаковых фиксированных положительных зарядов. Эти системы имеют равновесные состояния, к которым сходятся полученные ограниченные решения в пределе бесконечного времени. Периодические решения получены с помощью центральной теоремы Ляпунова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1939 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 11 (2016); 1528-1539 Український математичний журнал; Том 68 № 11 (2016); 1528-1539 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1939/921 Copyright (c) 2016 Skrypnik W. I. |
| spellingShingle | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. Two-dimensional Coulomb dynamics of two and three equal negative charges in the field of two equal fixed positive charges |
| title | Two-dimensional Coulomb dynamics of two and three equal negative charges in the
field of two equal fixed positive charges |
| title_alt | Кулонівська динаміка двох та трьох рівних негативних зарядів на площині
у полі фіксованих двох рівних позитивних зарядів |
| title_full | Two-dimensional Coulomb dynamics of two and three equal negative charges in the
field of two equal fixed positive charges |
| title_fullStr | Two-dimensional Coulomb dynamics of two and three equal negative charges in the
field of two equal fixed positive charges |
| title_full_unstemmed | Two-dimensional Coulomb dynamics of two and three equal negative charges in the
field of two equal fixed positive charges |
| title_short | Two-dimensional Coulomb dynamics of two and three equal negative charges in the
field of two equal fixed positive charges |
| title_sort | two-dimensional coulomb dynamics of two and three equal negative charges in the
field of two equal fixed positive charges |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1939 |
| work_keys_str_mv | AT skrypnikwi twodimensionalcoulombdynamicsoftwoandthreeequalnegativechargesinthefieldoftwoequalfixedpositivecharges AT skripnikví twodimensionalcoulombdynamicsoftwoandthreeequalnegativechargesinthefieldoftwoequalfixedpositivecharges AT skrypnikwi kulonívsʹkadinamíkadvohtatrʹohrívnihnegativnihzarâdívnaploŝiníupolífíksovanihdvohrívnihpozitivnihzarâdív AT skripnikví kulonívsʹkadinamíkadvohtatrʹohrívnihnegativnihzarâdívnaploŝiníupolífíksovanihdvohrívnihpozitivnihzarâdív |