Complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is a permutable semigroup
A semigroup $S$ is called permutable if $\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho$. for any pair of congruences $\rho, \sigma$ on $S$. A local automorphism of semigroup $S$ is defined as an isomorphism between two of its subsemigroups. The set of all local automorphisms of the semigroup $S$ wi...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1943 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507839344148480 |
|---|---|
| author | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_facet | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_sort | Derech, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:19Z |
| description | A semigroup $S$ is called permutable if $\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho$. for any pair of congruences $\rho, \sigma$ on $S$.
A local automorphism of semigroup $S$ is defined as an isomorphism between two of its subsemigroups. The set of all local automorphisms of the semigroup $S$ with respect to an ordinary operation of composition of binary relations forms an inverse monoid of local automorphisms. We present a complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of local
automorphisms is permutable.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 512.534.5
В. Д. Дереч (Вiнниц. нац. техн. ун-т)
ПОВНА КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НАПIВГРУП,
ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД ЛОКАЛЬНИХ АВТОМОРФIЗМIВ
Є ПЕРЕСТАВНОЮ НАПIВГРУПОЮ
A semigroup S is called permutable if \rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho for any pair of congruences \rho , \sigma on S. A local automorphism
of semigroup S is defined as an isomorphism between two of its subsemigroups. The set of all local automorphisms of
the semigroup S with respect to an ordinary operation of composition of binary relations forms an inverse monoid of
local automorphisms. We present a complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of local
automorphisms is permutable.
Полугруппа S называется перестановочной, если для любой пары конгруэнций \rho , \sigma на S имеет место равенство
\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho . Локальным автоморфизмом полугруппы S называют изоморфизм между двумя еe подполугруппами.
Множество всех локальных автоморфизмов полугруппы S относительно обычной операции композиции бинарных
отношений образует инверсный моноид локальных автоморфизмов. В статье приведена полная классификация
конечных полугрупп, для которых инверсный моноид локальных автоморфизмов является перестановочным.
Напiвгрупа S називається iнверсною, якщо для довiльного елемента x \in S iснує єдиний еле-
мент x - 1 такий, що xx - 1x = x i x - 1xx - 1 = x - 1. Вiдомо (див. [1]), що напiвгрупа є iнверсною
тодi i тiльки тодi, коли вона регулярна i будь-якi два її iдемпотенти комутують. Напiвгрупа,
що мiстить одиницю, називається моноїдом. Розглянемо довiльну математичну структуру C.
Локальним автоморфiзмом структури C називають iзоморфiзм мiж її пiдструктурами. Множи-
на всiх локальних автоморфiзмiв вiдносно звичайної операцiї композицiї бiнарних вiдношень
утворює iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв математичної структури C. Цей моноїд
будемо позначати через L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C). Зазначимо, що найбiльш природним чином iнверсний мо-
ноїд з’являється саме у виглядi L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C). Наприклад, якщо C — скiнченна напiвгрупа правих
нулiв, то L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C) є симетричною iнверсною напiвгрупою. Вiдомо (див., наприклад, [2]), що
iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C) дає бiльшу iнформацiю про структуру C, нiж група автоморфiзмiв
цiєї структури. Далi, напiвгрупа називається переставною, якщо будь-якi двi її конгруенцiї ко-
мутують вiдносно операцiї композицiї бiнарних вiдношень. Класичним прикладом переставної
напiвгрупи є група. До переставних напiвгруп також належать скiнченна симетрична iнверсна
напiвгрупа, iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв скiнченновимiрного векторного просто-
ру, iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв скiнченної лiнiйно впорядкованої напiврешiтки,
напiвгрупа Брандта та iншi напiвгрупи. В наших дослiдженнях ми розглядаємо лише скiнченнi
напiвгрупи. У статтях [3 – 5] вiдповiдно класифiковано всi в’язки, всi комутативнi i всi нiльна-
пiвгрупи, для яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним. У данiй роботi
ми завершуємо класифiкацiю скiнченних напiвгруп, для яких iнверсний моноїд локальних ав-
томорфiзмiв є переставним. Основним результатом статтi є теорема 2.
1. Означення. Термiнологiя. Формулювання потрiбних результатiв. Напiвгрупа на-
зивається переставною, якщо для будь-яких двох її конгруенцiй \rho i \sigma виконується рiвнiсть
\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho , де \circ — позначення композицiї бiнарних вiдношень.
c\bigcirc В. Д. ДЕРЕЧ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11 1571
1572 В. Д. ДЕРЕЧ
Напiвгрупу, кожний елемент якої є iдемпотентом, називають в’язкою. Комутативна в’язка
називається напiврешiткою. Нетривiальну напiврешiтку називають примiтивною, якщо кожний
її ненульовий елемент є атомом.
Нехай S — довiльна напiвгрупа. Iзоморфiзм мiж пiднапiвгрупами напiвгрупи S називають
локальним автоморфiзмом напiвгрупи S. Множина всiх локальних автоморфiзмiв напiвгрупи
S вiдносно звичайної операцiї композицiї бiнарних вiдношень утворює iнверсний моноїд, який
ми позначимо через L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Якщо \xi \in L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S), то через \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\xi ) i \mathrm{i}\mathrm{m}(\xi ) будемо позначати
вiдповiдно область визначення i множину значень локального автоморфiзму \xi .
Нехай S — довiльна напiвгрупа. Решiтку всiх її пiднапiвгруп будемо позначати через \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S).
Якщо напiвгрупа S мiстить найменшу непорожню пiднапiвгрупу (наприклад, одинична пiд-
група у групi), то найменшим елементом \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) вважається саме ця пiднапiвгрупа. Якщо ж
найменшої непорожньої пiднапiвгрупи в S не iснує, то найменшим елементом \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) будемо
вважати порожню множину \varnothing , i в цьому випадку порожнє перетворення є нулем iнверсно-
го моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Якщо A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S), то через \Delta A позначимо вiдношення рiвностi на
пiднапiвгрупi A. Зрозумiло, що \Delta A є iдемпотентом моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S). Кожний iдемпотент на-
пiвгрупи L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) має таку форму. Якщо A \in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S), то через h(A) будемо позначати висоту
пiднапiвгрупи A у решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S).
Нехай S — iнверсна напiвгрупа скiнченної довжини (вiдносно звичайного канонiчного
порядку на S ). Якщо a \in S, то (за означенням) \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (a) = h(aa - 1), де h(aa - 1) — висота
iдемпотента aa - 1 у напiврешiтцi E(S). Легко перевiрити, що при такому означеннi рангу
елемента виконується характеристична нерiвнiсть, а саме \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (a \cdot b) \leq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n} \{ \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (a), \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (b)\} .
Зазначимо, що таке означення рангу елемента iнверсної напiвгрупи скiнченної довжини в
багатьох випадках (наприклад, у випадку скiнченної симетричної iнверсної напiвгрупи) тотожне
класичному oзначенню. Конкретизуємо наше означення рангу для iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S)
у випадку, коли S — скiнченна напiвгрупа. Отже, нехай f \in L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S), тодi (за означенням)
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (f) = h(\mathrm{i}\mathrm{m}(f)), де h(\mathrm{i}\mathrm{m}(f)) — висота пiднапiвгрупи \mathrm{i}\mathrm{m}(f) у решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S).
Для простого числа p через \BbbZ p позначимо вiдповiдне поле. Множина всiх верхнiх трикутних
матриць вигляду
\left( 1 a b
0 1 c
0 0 1
\right) , де a, b, c — довiльнi елементи з поля \BbbZ p, вiдносно звичайної
операцiї множення матриць утворює групу, яку називають групою Гейзенберга над полем \BbbZ p i
позначають через \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s} (\BbbZ p).
Напiвгрупа називається унiпотентною, якщо вона мiстить точно один iдемпотент.
Напiвгрупу S, що мiстить нуль, називають нiльнапiвгрупою, якщо для довiльного x \in S
iснує натуральне число n таке, що xn = 0.
Нехай G — скiнченна група. Найменше натуральне число k таке, що для довiльного g \in G
виконується рiвнiсть gk = 1, називають експонентою групи G i позначають через \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (G).
Тепер сформулюємо кiлька тверджень, якi ми використовуємо у данiй статтi.
Твердження 1 (див. [6], теорема 2). Нехай S — iнверсна напiвгрупа скiнченного рангу з
нулем. Тодi S є переставною в тому i лише в тому випадку, коли виконуються такi умови:
1) для будь-яких a, b \in S, якщо \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (a) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (b), то SaS = SbS;
2) для будь-якого e \in E(S) (\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (e) \geq 2) iснують iдемпотенти f i g такi, що f \not = g,
f < e, g < e i \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (f) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (g) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (e) - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ПОВНА КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НАПIВГРУП . . . 1573
Зауваження 1 (див. [6], теорема 1). Якщо ранг довiльного елемента нетривiальної iнверс-
ної напiвгрупи S з нулем не перевищує 1, то напiвгрупа S переставна тодi i тiльки тодi, коли
вона є напiвгрупою Брандта.
Зауваження 2 (див. [7], теорема 2). Зазначимо, що умова 1 твердження 1 еквiвалентна лi-
нiйнiй впорядкованостi (вiдносно включення) множини iдеалiв напiвгрупи S.
Зауваження 3 (див. [6], лема 1). Умовою 2 часто зручнiше користуватися в еквiвалентнiй
формi. А саме, якщо u < v, де u, v \in E(S) i \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (u) \geq 1, то iснує елемент w \in E(S) такий,
що u \not = w, w < v i \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (u) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (w).
Твердження 2 (див. [3], теорема 1). Нехай S — скiнченна напiвгрупа. Множина iдеалiв
напiвгрупи L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) лiнiйно впорядкована вiдносно включення тодi i тiльки тодi, коли в решiтцi
\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(S) неiзоморфнi пiднапiвгрупи мають рiзнi висоти.
2. Скiнченнi групи, для яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є перестав-
ним. У статтi [5] доведено двi такi леми.
Лема 1. Якщо скiнченна напiвгрупа S мiстить щонайменше два iдемпотенти i iнверсний
моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним, то кожний елемент напiвгрупи S є iдемпотентом.
Лема 2. Якщо скiнченна напiвгрупа S є унiпотентною i iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є
переставним, то напiвгрупа S є або групою або нiльнапiвгрупою.
З цих двох лем безпосередньо випливає наступне твердження.
Твердження 3. Нехай S — скiнченна напiвгрупа. Якщо iнверсний моноїд локальних авто-
морфiзмiв L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним, то напiвгрупа S є або групою, або нiльнапiвгрупою, або
в’язкою.
Позначимо через \scrP \scrL \scrA клас усiх скiнченних напiвгруп, для яких iнверсний моноїд локаль-
них автоморфiзмiв є переставним. Скiнченнi в’язки i скiнченнi нiльнапiвгрупи з класу \scrP \scrL \scrA
класифiковано вiдповiдно у статтях [3] i [5]. Крiм того, вiдомо (див. [4]), що скiнченна абелева
група належить класу \scrP \scrL \scrA тодi i тiльки тодi, коли вона є елементарною абелевою p-групою.
Отже, щоб завершити класифiкацiю скiнченних напiвгруп, для яких iнверсний моноїд локаль-
них автоморфiзмiв є переставним, залишається з’ясувати структуру неабелевої групи з класу
\scrP \scrL \scrA .
Лема 3. Нехай скiнченна група G належить класу \scrP \scrL \scrA . Тодi група G є p-групою, де
p — просте число.
Доведення. Нехай | G| = m. Припустимо, що простi числа p1 i p2 (p1 \not = p2) є дiльниками
числа m. За теоремою Кошi група G мiстить пiдгрупи A i B, порядки яких вiдповiдно p1
i p2. Оскiльки iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G) є переставним, то множина його iдеалiв лiнiйно
впорядкована вiдносно включення (див. [8], теорема 4). Позаяк h(A) = h(B) = 1, то згiдно з
твердженням 2 A \sim = B. Суперечнiсть. Таким чином, число m має лише один простий дiльник.
Позначимо його через p. Отже, m = pn для деякого натурального числа n.
Лема 4. Нехай G — скiнченна p-група. Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G) задовольняє умову 2
твердження 1 тодi i тiльки тодi, коли \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (G) = p.
Доведення. Припустимо, що \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (G) = p. Нехай A \leq G, до того ж | A| = p\alpha i \alpha \geq 2. Якщо
\alpha = 2, то група A є елементарною абелевою p-групою, яка мiстить двi рiзнi пiдгрупи порядку
p. Нехай тепер \alpha \geq 3. Припустимо, що A мiстить точно одну пiдгрупу порядку p\alpha - 1. Тодi
згiдно з теоремою 12.5.3 (див. [9]) пiдгрупа A є циклiчною, а отже, | A| = p. Суперечнiсть.
Таким чином, iснують пiдгрупи B i C (B \not = C) такi, що B < A, C < A i | B| = | C| = p\alpha - 1.
Нехай тепер iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G) задовольняє умову 2 твердження 1. Покажемо, що
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (G) = p. Нехай a \in G — довiльний елемент, вiдмiнний вiд одиницi. Оскiльки | G| = pn, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1574 В. Д. ДЕРЕЧ
iснує натуральне число k (1 \leq k \leq n) таке, що | \langle a\rangle | = pk. Якщо припустити, що k \geq 2, то
згiдно з умовою 2 твердження 1 iснують двi рiзнi пiдгрупи циклiчної групи \langle a\rangle порядку pk - 1.
Суперечнiсть. Отже, | \langle a\rangle | = p. Звiдси випливає, що \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (G) = p.
Перед формулюванням наступної леми зауважимо такий факт. Нехай G — скiнченна p-
група. Якщо K \leq G i | K| = p\alpha , то h(K) = \alpha , де h(K) — висота пiдгрупи K в решiтцi
\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(G).
Лема 5. Нехай G — скiнченна p-група. Множина iдеалiв iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)
лiнiйно впорядкована вiдносно включення тодi i тiльки тодi, коли неiзоморфнi пiдгрупи групи
G мають рiзнi порядки.
Доведення. Нехай множина iдеалiв моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G) лiнiйно впорядкована вiдносно вклю-
чення. Тодi згiдно з твердженням 2 будь-якi неiзоморфнi пiдгрупи A i B мають рiзнi висоти в
решiтцi \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}(G). Отже, якщо | A| = p\alpha i | B| = p\beta , то \alpha \not = \beta , тобто | A| \not = | B| .
Нехай тепер у групi G для будь-яких пiдгруп K i M з умови | K| = | M | = pr випливає
K \sim = M. Вище ми вже зазначали, що рiвнiсть | K| = | M | = pr еквiвалентна рiвностi h(K) =
= h(M) = r. Отже, згiдно з твердженням 2 множина iдеалiв iнверсного моноїда L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)
лiнiйно впорядкована вiдносно включення.
Леми 4 i 5 дають можливiсть сформулювати критерiй належностi скiнченної групи класу
\scrP \scrL \scrA .
Твердження 4. Нехай G — скiнченна група. Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G) є переставним
тодi i тiльки тодi, коли виконуються такi умови:
(i) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (G) = p, де p — просте число;
(ii) пiдгрупи групи G однакового порядку є iзоморфними.
Наслiдок. Якщо скiнченна група G належить класу \scrP \scrL \scrA , то будь-яка її пiдгрупа теж
належить цьому класу.
У статтi [4] доведено, що скiнченна абелева група G належить класу \scrP \scrL \scrA тодi i тiльки
тодi, коли G є елементарною абелевою p-групою, де p — довiльне просте число. Залишається
з’ясувати структуру скiнченної неабелевої групи, яка належить класу \scrP \scrL \scrA .
Теорема 1. Скiнченна неабелева група G належить класу \scrP \scrL \scrA тодi i тiльки тодi, коли
G є групою Гейзенберга \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s} (\BbbZ p) над скiнченним полем \BbbZ p, де p — просте непарне число.
Доведення. Спочатку покажемо, що група \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s} (\BbbZ p) належить класу \scrP \scrL \scrA . Для цього за-
стосуємо твердження 4. Легко перевiрити, що \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s} (\BbbZ p)) = p. Оскiльки порядок групи
\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s} (\BbbZ p) дорiвнює p3, то її нетривiальнi пiдгрупи мають порядки p i p2. Зрозумiло, що пiд-
групи порядку p iзоморфнi мiж собою. Позаяк кожна пiдгрупа порядку p2 є елементарною
абелевою групою, то будь-якi двi пiдгрупи порядку p2 iзоморфнi. Отже, згiдно з тверджен-
ням 4 група \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s} (\BbbZ p) належить класу \scrP \scrL \scrA .
Подальше наше завдання — показати, що групами Гейзенберга над полем \BbbZ p вичерпу-
ються всi некомутативнi скiнченнi групи, для яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв
є переставним.
Згiдно з лемою 3 група, що належить класу \scrP \scrL \scrA , є p-групою. Оскiльки група порядку p2
є абелевою, то почнемо з груп порядку p3. Групи порядку p3 i p4 класифiковано Гельдером.
Результати цiєї класифiкацiї можна знайти в монографiї Бернсайда (див. [10, с. 87, 88]). Отже, є
лише двi неабелевi групи порядку p3 i тiльки експонента групи Гейзенберга дорiвнює p. Таким
чином, серед неабелевих груп порядку p3 лише групи Гейзенберга належать класу \scrP \scrL \scrA .
Покажемо тепер, що серед неабелевих p-груп порядку p4 жодна не належить класу \scrP \scrL \scrA .
Вiдомо (див. [10, с. 87, 88]), що всього iснує 15 груп порядку p4. Серед них є десять неабелевих.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ПОВНА КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НАПIВГРУП . . . 1575
Вiдкидаємо тi групи, експонента яких бiльша за p. Залишаються двi групи, а саме
H = \langle a, b, c, d : ap = bp = cp = dp = 1, cd = dca, bd = db, ad = da, bc = cb, ac = ca, ab = ba\rangle
i
Q = \langle a, b, c, d : ap = bp = cp = dp = 1, cd = dcb, bd = dba, ad = da, bc = cb, ac = ca, ab = ba\rangle .
Припустимо, що група H належить класу \scrP \scrL \scrA . У групi H елементи a, b, c попарно ко-
мутують, до того ж порядок кожного елемента дорiвнює p. Звiдси випливає, що пiдгрупа
A = \langle a, b, c\rangle є абелевою, до того ж | A| = p3. Отже, згiдно з твердженням 4 усi пiдгрупи групи
H, що мають порядок p3, є абелевими. Аналогiчно доводимо, що кожна пiдгрупа групи H
є абелевою. Iншими словами, група H є групою Мiллера – Морено. Далi застосуємо теорему
Редеї [11]:
Нехай \frakG — неабелева p-група, у якiй всi максимальнi пiдгрупи є абелевеми. Тодi \frakG є однiєю
з таких груп:
a) групою кватернiонiв порядку 8;
b) \frakG = \langle a, b\rangle з визначальними спiввiдношеннями ap
m
= bp
k
= 1, ab = a1+pm - 1
, m \geq 2,
k \geq 1, | \frakG | = pm+k;
c) \frakG = \langle a, b\rangle з визначальними спiввiдношеннями ap
m
= bp
k
= cp = 1, [a, b] = c, | \frakG | =
= pm+k+1.
Легко перевiрити, що група H не належить жодному з класiв a), b), c). Суперечнiсть. Тобто
H /\in \scrP \scrL \scrA .
Далi, оскiльки у групi Q елементи a, b, c попарно комутують i порядок кожного з цих еле-
ментiв дорiвнює p, то пiдгрупа B = \langle a, b, c\rangle є абелевою, до того ж | B| = p3. Аналогiчними
мiркуваннями (як i у випадку групи H ) доводимо, що Q /\in \scrP \scrL \scrA . Таким чином, серед неабе-
левих груп порядку p4 немає таких, якi належать класу \scrP \scrL \scrA . Iншими словами, група порядку
p4 належить класу \scrP \scrL \scrA тодi i тiльки тодi, коли вона є елементарною абелевою p-групою.
Тепер доведемо, що довiльна неабелева група порядку pn (де n \geq 5) не належить класу
\scrP \scrL \scrA . Для цього застосуємо метод математичної iндукцiї. Отже, припустимо, що будь-яка
група порядку pm - 1, m \geq 5, яка належить класу \scrP \scrL \scrA , є абелевою. Покажемо, що довiльна
група з класу \scrP \scrL \scrA , порядок якої pm, теж є абелевою. Припустимо протилежне, тобто iснує
неабелева група K така, що K \in \scrP \scrL \scrA i | K| = pm. Згiдно з наслiдком твердження 4 будь-яка
пiдгрупа групи K належить класу \scrP \scrL \scrA . Зокрема, довiльна пiдгрупа групи K, порядок якої
pm - 1, належить класу \scrP \scrL \scrA . Оскiльки (за припущенням) усi групи з класу \scrP \scrL \scrA , порядок яких
pm - 1, є абелевими, то, застосовуючи твердження 4, легко довести, що K є групою Мiллера –
Морено, що суперечить теоремi Редеї. Отже, групи порядку pm з класу \scrP \scrL \scrA є абелевими.
Позаяк групи порядку p4 з класу \scrP \scrL \scrA є абелевими, то за iндукцiєю групи порядку p5 з класу
\scrP \scrL \scrA теж є абелевими. I так далi.
Теорему 1 доведено.
3. Основна теорема. Щоб сформулювати основну теорему статтi, наведемо деякi резуль-
тати з попереднiх статей автора.
Твердження 5 (див. [3], теорема 3). Нехай S — скiнченна в’язка. Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S)
є переставним в таких i лише в таких випадках:
(1) S — лiнiйно впорядкована напiврешiтка;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1576 В. Д. ДЕРЕЧ
(2) S — примiтивна напiврешiтка;
(3) S — напiвгрупа правих нулiв;
(4) S — напiвгрупа лiвих нулiв.
Тепер дамо опис нiльнапiвгруп, що належать класу \scrP \scrL \scrA (див. [5]). Особливу роль серед
таких напiвгруп вiдiграють двi нiльнапiвгрупи, якi задано таблицями 1 i 2 i позначено вiдпо-
вiдно через K1 i K2.
Таблиця 1 Таблиця 2
\star 0 a x y
0 0 0 0 0
a 0 0 0 0
x 0 0 0 a
y 0 0 0 0
\star 0 a b x y
0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 0
x 0 0 0 0 a
y 0 0 0 b 0
Ми також окремо видiляємо ще двi нiльнапiвгрупи, якi заданo таблицями 3 i 4 i позначенo
вiдповiдно через B1 i B2.
Таблиця 3 Таблиця 4
\star 0 a x y z
0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0
x 0 0 0 a 0
y 0 0 0 0 a
z 0 0 a 0 0
\star 0 a b x y z
0 0 0 0 0 0 0
a 0 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 0 0
x 0 0 0 0 a b
y 0 0 0 b 0 a
z 0 0 0 a b 0
Наведемо ще три конструкцiї для cтворення нiльнапiвгруп з класу \scrP \scrL \scrA (див. [5]).
Конструкцiя 0
Зафiксуємо двохелементну множину \{ 0, a\} . Нехай скiнченна множина X така, що \{ 0, a\} \cap
\cap X = \varnothing i | X| \geq 2. Визначимо бiнарну операцiю \ast на множинi \{ 0, a\} \cup X :
0 \ast y = y \ast 0 = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a\} \cup X,
a \ast y = y \ast a = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a\} \cup X,
якщо xk, xm \in X i xk \not = xm, то xk \ast xm = a,
z2 = 0 для довiльного z \in \{ 0, a\} \cup X.
Конструкцiя 1
Зафiксуємо двохелементну множину \{ 0, a\} . Нехай скiнченна множина X така, що \{ 0, a\} \cap
\cap X = \varnothing i | X| \geq 3. На X задаємо строгий лiнiйний порядок < . Визначимо бiнарну операцiю
на множинi \{ 0, a\} \cup X :
0 \ast y = y \ast 0 = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a\} \cup X,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ПОВНА КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ НАПIВГРУП . . . 1577
a \ast y = y \ast a = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a\} \cup X,
якщо xk, xm \in X i xk < xm, то xk \ast xm = 0 i xm \ast xk = a,
z2 = 0 для довiльного z \in \{ 0, a\} \cup X.
Конструкцiя 2
Зафiксуємо трьохелементну множину \{ 0, a, b\} . Нехай скiнченна множина X така, що
\{ 0, a, b\} \cap X = \varnothing i | X| \geq 3. На X задаємо строгий лiнiйний порядок < . Визначимо бiнарну
операцiю на множинi \{ 0, a, b\} \cup X :
0 \ast y = y \ast 0 = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a, b\} \cup X,
a \ast y = y \ast a = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a, b\} \cup X,
b \ast y = y \ast b = 0 для будь-якого y \in \{ 0, a, b\} \cup X,
якщо xk, xm \in X i xk < xm, то xk \ast xm = a i xm \ast xk = b,
z2 = 0 для довiльного z \in \{ 0, a, b\} \cup X.
Крiм вищезгаданих нiльнапiвгруп до класу \scrP \scrL \scrA також належать скiнченнi напiвгрупи з
нульовим множенням (див. [4]).
Тепер (враховуючи твердження 3) можемо сформулювати основну класифiкацiйну теорему.
Теорема 2. Нехай S — скiнченна напiвгрупа. Iнверсний моноїд L\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S) є переставним
тодi i тiльки тодi, коли S :
(1) або елементарна абелева p-група, де p — довiльне просте число;
(2) або група Гейзенберга над скiнченним полем \BbbZ p, де p — довiльне непарне просте число;
(3) або лiнiйно впорядкована напiврешiтка;
(4) або примiтивна напiврешiтка;
(5) або напiвгрупа правих нулiв;
(6) або напiвгрупа лiвих нулiв;
(7) або нiльнапiвгрупа K1 (див. таблицю 1);
(8) або нiльнапiвгрупа K2 (див. таблицю 2);
(9) або нiльнапiвгрупа B1 (див. таблицю 3);
(10) або нiльнапiвгрупа B2 (див. таблицю 4);
(11) або нiльнапiвгрупа, структуру якої описано в конструкцiї 0;
(12) або нiльнапiвгрупа, структуру якої описано в конструкцiї 1;
(13) або нiльнапiвгрупа, структуру якої описано в конструкцiї 2;
(14) або нiльнапiвгрупа з нульовим множенням.
Лiтература
1. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: в 2 т. – М.: Мир, 1972. – Т. 1. – 286 с. – Т. 2. –
422 с.
2. Goberstein S. M. Partial automorphisms of inverse semigroups // Proc. 1984 Marquette Conf. Semigroups (Marquette
Univ., Milwaukee, 1985). – P. 29 – 43.
3. Дереч В. Д. Структура скiнченної комутативної iнверсної напiвгрупи i скiнченної в’язки, для яких iнверсний
моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1218 – 1226.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1578 В. Д. ДЕРЕЧ
4. Дереч В. Д. Класифiкацiя скiнченних комутативних напiвгруп, для яких iнверсний моноїд локальних автомор-
фiзмiв є переставним // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 2. – С. 176 – 184.
5. Дереч В. Д. Класифiкацiя скiнченних нiльнапiвгруп, для яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є
переставним // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 5. – С. 610 – 624.
6. Дереч В. Д. Характеристика напiврешiтки iдемпотентiв переставної iнверсної напiвгрупи скiнченного рангу з
нулем // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 10. – С. 1353 – 1362.
7. Дереч В. Д. Конгруенцiї переставної iнверсної напiвгрупи скiнченного рангу // Укр. мат. журн. – 2005. – 57,
№ 4. – С. 469 – 473.
8. Hamilton H. Permutability of congruences on commutative semigroups // Semigroup Forum. – 1975. – 10. – P. 55 – 66.
9. Холл М. Теория групп. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 468 c.
10. Burnside W. Theory of groups of finite order. – First ed. – Cambridge Univ. Press, 1897. – 388 p.
11. Huppert B. Endliche Gruppen 1. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1967. – 793 p.
Одержано 08.04.16,
пiсля доопрацювання — 17.08.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1943 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:41Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/14/922084359196dd6336c3f242fd8ec414.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19432019-12-05T09:32:19Z Complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is a permutable semigroup Повна класифікація скінченних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є переставною напівгрупою Derech, V. D. Дереч, В. Д. A semigroup $S$ is called permutable if $\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho$. for any pair of congruences $\rho, \sigma$ on $S$. A local automorphism of semigroup $S$ is defined as an isomorphism between two of its subsemigroups. The set of all local automorphisms of the semigroup $S$ with respect to an ordinary operation of composition of binary relations forms an inverse monoid of local automorphisms. We present a complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable. Полугруппа $S$ называется перестановочной, если для любой пары конгруэнций $\rho, \sigma$ на $S$ имеет место равенство $\rho \circ \sigma = \sigma \circ \rho$. Локальным автоморфизмом полугруппы $S$ называют изоморфизм между двумя еe подполугруппами. Множество всех локальных автоморфизмов полугруппы $S$ относительно обычной операции композиции бинарных отношений образует инверсный моноид локальных автоморфизмов. В статье приведена полная классификация конечных полугрупп, для которых инверсный моноид локальных автоморфизмов является перестановочным. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1943 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 11 (2016); 1571-1578 Український математичний журнал; Том 68 № 11 (2016); 1571-1578 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1943/925 Copyright (c) 2016 Derech V. D. |
| spellingShingle | Derech, V. D. Дереч, В. Д. Complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is a permutable semigroup |
| title | Complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of
local automorphisms is a permutable semigroup |
| title_alt | Повна класифікація скінченних напівгруп, для яких інверсний моноїд
локальних автоморфізмів є переставною напівгрупою |
| title_full | Complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of
local automorphisms is a permutable semigroup |
| title_fullStr | Complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of
local automorphisms is a permutable semigroup |
| title_full_unstemmed | Complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of
local automorphisms is a permutable semigroup |
| title_short | Complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of
local automorphisms is a permutable semigroup |
| title_sort | complete classification of finite semigroups for which the inverse monoid of
local automorphisms is a permutable semigroup |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1943 |
| work_keys_str_mv | AT derechvd completeclassificationoffinitesemigroupsforwhichtheinversemonoidoflocalautomorphismsisapermutablesemigroup AT derečvd completeclassificationoffinitesemigroupsforwhichtheinversemonoidoflocalautomorphismsisapermutablesemigroup AT derechvd povnaklasifíkacíâskínčennihnapívgrupdlââkihínversnijmonoídlokalʹnihavtomorfízmívêperestavnoûnapívgrupoû AT derečvd povnaklasifíkacíâskínčennihnapívgrupdlââkihínversnijmonoídlokalʹnihavtomorfízmívêperestavnoûnapívgrupoû |