On the equivalence of some perturbations of the operator of multiplication by the independent variable
We study the conditions of equivalence of two operators obtained as perturbations of the operator of multiplication by the independent variable by certain Volterra operators in the space of functions analytic in an arbitrary domain of the complex plane starlike with respect to the origin.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1944 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507841094221824 |
|---|---|
| author | Linchuk, Yu. S. Лінчук, Ю. С. |
| author_facet | Linchuk, Yu. S. Лінчук, Ю. С. |
| author_sort | Linchuk, Yu. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:19Z |
| description | We study the conditions of equivalence of two operators obtained as perturbations of the operator of multiplication by the
independent variable by certain Volterra operators in the space of functions analytic in an arbitrary domain of the complex
plane starlike with respect to the origin. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.983
Ю. С. Лiнчук (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ПРО ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ ЗБУРЕНЬ
ОПЕРАТОРА МНОЖЕННЯ НА НЕЗАЛЕЖНУ ЗМIННУ
We study the conditions of equivalence of two operators obtained as perturbations of the operator of multiplication by the
independent variable by certain Volterra operators in the space of functions analytic in an arbitrary domain of the complex
plane starlike with respect to the origin.
В пространстве функций, аналитических в произвольной звездной относительно начала координат области ком-
плексной плоскости, исследованы условия эквивалентности двух операторов, которые являются возмущениями
оператора умножения на независимую переменную некоторыми вольтерровскими операторами.
У комплексному аналiзi важливе значення має задача про вивчення умов еквiвалентностi рiзних
класiв операторiв. Насамперед дослiджувались умови еквiвалентностi операторiв, що пов’язанi
з оператором диференцiювання. Значно менше вивченi питання еквiвалентностi iнтегральних
операторiв та операторiв множення на незалежну змiнну i їхнiх рiзноманiтних збурень. Крiм су-
то пiзнавального значення цi задачi є цiкавими також i тому, що в деяких просторах аналiтичних
функцiй оператор множення на незалежну змiнну є спряженим до оператора диференцiювання.
В роботах [1, 2] вивчались умови еквiвалентностi у просторi функцiй, аналiтичних у кругових
областях операторiв iз класу
(Af)(z) = zf(z) +
z\int
0
a(z - t)f(t)dt, (1)
де a — фiксована функцiя з вказаного простору. Для розв’язання цiєї задачi iстотно використо-
вувалася можливiсть розкладання функцiй iз вказаного простору у степеневi ряди. Природно
виникає питання про дослiдження умов еквiвалентностi вказаних операторiв у просторах функ-
цiй, аналiтичних у некругових областях. Розв’язанню цiєї задачi присвячено дану статтю.
Нехай G — довiльна зiркова вiдносно початку координат область комплексної площини,
тобто для довiльної точки z з областi G вiдрiзок, який з’єднує точки 0 та z, мiститься в G.
Через \scrH (G) позначимо простiр усiх аналiтичних в областi G функцiй, що надiлений топо-
логiєю компактної збiжностi [3], а символом \scrL (\scrH (G)) — множину всiх лiнiйних неперервних
операторiв, що дiють в \scrH (G). У цiй статтi вивчаються умови еквiвалентностi у просторi \scrH (G)
операторiв вигляду (1), де a \in \scrH (G).
Наведемо спочатку деякi допомiжнi твердження.
Лема 1. Нехай G — довiльна зiркова вiдносно початку координат область комплексної
площини, функцiя k належить \scrH (G), а комплекснозначна функцiя \Theta є неперервною на вiдрiзку
[0, 1]. Тодi оператор T, який визначається рiвнiстю
(Tf)(z) = f(z) - z
1\int
0
\Theta (\sigma )k((1 - \sigma )z)f(\sigma z)d\sigma , (2)
є iзоморфiзмом простору \scrH (G).
c\bigcirc Ю. С. ЛIНЧУК, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11 1579
1580 Ю. С. ЛIНЧУК
Доведення. Розглянемо оператор K iз класу \scrL (\scrH (G)), який дiє за правилом (Kf)(z) =
= z
\int 1
0
\Theta (\sigma )k((1 - \sigma )z)f(\sigma z)d\sigma . Тодi T = E - K, де E — одиничний оператор. Iндукцiєю по n
переконуємося в тому, що для довiльної функцiї f \in \scrH (G) при z \in G виконуються нерiвностi
| (Knf)(z)| \leq | z| n
n!
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0,1]
| \Theta (s)|
\biggr) n\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0,z]
| k(s)|
\biggr) n\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0,z]
| f(s)|
\biggr) n
. (3)
З (3) випливає, що для довiльної функцiї f \in \scrH (G) ряд
\sum \infty
n=0
(Knf)(z) збiгається за топо-
логiєю простору \scrH (G) i формулою (T1f)(z) =
\sum \infty
n=0
(Knf)(z) визначається оператор T1 iз
класу \scrL (\scrH (G)). Оскiльки T1 є оберненим до T, то оператор T є iзоморфiзмом \scrH (G).
Лему 1 доведено.
Наслiдок 1. При виконаннi умов леми 1 для довiльної функцiї g \in \scrH (G) рiвняння
f(z) - z
1\int
0
\Theta (\sigma )k((1 - \sigma )z)f(\sigma z)d\sigma = g(z)
має єдиний розв’язок f, що належить простору \scrH (G).
Лема 2. Нехай G — довiльна зiркова вiдносно початку координат область комплексної пло-
щини i a належить \scrH (G). Тодi оператор A, який визначається формулою (1), є еквiвалентним
у просторi \scrH (G) до оператора B, який дiє за правилом (Bf)(z) = zf(z) + a(0)
\int z
0
f(t)dt.
Доведення. Для функцiї \varphi \in \scrH (G) розглянемо оператор T, який дiє в \scrH (G) за правилом
(Tf)(z) = f(z) +
z\int
0
\varphi (z - t)f(t)dt. (4)
Оскiльки
\int z
0
\varphi (z - t)f(t)dt = z
\int 1
0
\varphi (z(1 - \sigma ))f(\sigma z)d\sigma , то за лемою 1 оператор T є iзомор-
фiзмом простору \scrH (G) для довiльної функцiї \varphi \in \scrH (G). Покажемо, що функцiю \varphi \in \scrH (G)
можна пiдiбрати так, щоб для оператора T вигляду (4) виконувалася рiвнiсть TA = BT. Звiдси
i випливатиме справедливiсть леми.
Для довiльної функцiї f iз простору \scrH (G) при z \in G маємо
((TA)f)(z) = (Af)(z) +
z\int
0
\varphi (z - t)(Af)(t)dt =
= zf(z) +
z\int
0
a(z - t)f(t)dt+
z\int
0
\varphi (z - t)
\left( tf(t) +
t\int
0
a(t - s)f(s)ds
\right) dt =
= zf(z) +
z\int
0
a(z - t)f(t)dt+
z\int
0
t\varphi (z - t)f(t)dt+
z\int
0
f(t)
\left( z\int
t
\varphi (z - s)a(s - t)ds
\right) dt.
З iншого боку,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ПРО ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ ЗБУРЕНЬ ОПЕРАТОРА МНОЖЕННЯ НА НЕЗАЛЕЖНУ ЗМIННУ 1581
((BT )f)(z) = zf(z) + z
z\int
0
\varphi (z - t)f(t)dt+ a(0)
z\int
0
\left( f(t) +
t\int
0
\varphi (t - s)f(s)ds
\right) dt =
= zf(z) + z
z\int
0
\varphi (z - t)f(t)dt+ a(0)
z\int
0
f(t)dt+ a(0)
z\int
0
f(t)
\left( z\int
t
\varphi (s - t)ds
\right) dt.
Тому спiввiдношення ((TA)f)(z) = ((BT )f)(z) рiвносильне тому, що
z\int
0
\Phi (z, t)f(t)dt = 0, (5)
де
\Phi (z, t) = a(z - t) + t\varphi (z - t) +
z\int
t
\varphi (z - s)a(s - t)ds - z\varphi (z - t) - a(0) - a(0)
z\int
t
\varphi (s - t)ds.
Для виконання рiвностi (5) для довiльної функцiї f iз простору \scrH (G) достатньо, щоб \Phi (z, t) =
= 0 при z \in G та t \in [0, z] (тут [0, z] — вiдрiзок, який з’єднує точки 0 та z). Покладаючи
z - t = \zeta , отримуємо
\Phi (z, t) = \Phi (t+ \zeta , t) = a(\zeta ) + t\varphi (\zeta ) +
t+\zeta \int
t
\varphi (t+ \zeta - s)a(s - t)ds - (t+ \zeta )\varphi (\zeta ) - a(0) -
- a(0)
t+\zeta \int
t
\varphi (s - t)dt = a(\zeta ) +
\zeta \int
0
\varphi (\zeta - \tau )a(\tau )d\tau - \zeta \varphi (\zeta ) - a(0) - a(0)
\zeta \int
0
\varphi (\tau )d\tau =
= a(\zeta ) - a(0) - \zeta \varphi (\zeta ) +
\zeta \int
0
(a(\zeta - \tau ) - a(0))\varphi (\tau )d\tau .
Таким чином, для виконання рiвностi TA = BT достатньо, щоб
a(z) - a(0) - z\varphi (z) +
z\int
0
(a(z - \tau ) - a(0))\varphi (\tau )d\tau = 0
при z \in G. Нехай a(z) - a(0) = zb(z), де b \in \scrH (G). Тодi рiвняння для знаходження функцiї \varphi
набирає вигляду
zb(z) - z\varphi (z) +
z\int
0
(z - \tau )b(z - \tau )\varphi (\tau )d\tau = 0.
Це рiвняння рiвносильне такому:
\varphi (z) - z
1\int
0
(1 - \sigma )b((1 - \sigma )z)\varphi (\sigma z)d\sigma = b(z), z \in G. (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1582 Ю. С. ЛIНЧУК
За наслiдком 1 iснує єдина функцiя \varphi \in \scrH (G), для якої виконується рiвнiсть (6). Тодi вiдпо-
вiдний iзоморфiзм T, який визначається формулою (4), є шуканим.
Лему 2 доведено.
Для комплексного числа z i цiлого невiд’ємного n через (z)n позначимо символ Похгаме-
ра, тобто (z)n = z(z + 1) . . . (z + n - 1) при n \geq 1, (z)0 = 1. Через Uz та \scrJ позначатимемо
вiдповiдно оператори множення на незалежну змiнну та вольтеррiвського iнтегрування. Для
подальшого викладу нам буде потрiбна теорема 1 з [4] (див. також теорему 2 з [5]) щодо умов
iзоморфностi дiагональних операторiв, породжених тейлорiвськими коефiцiєнтами узагальне-
ної гiпергеометричної функцiї. Наведемо її формулювання.
Теорема 1. Нехай G — довiльна зiркова вiдносно початку координат область комплексної
площини i a \in \BbbC , до того ж a \not = - n, n = 0, 1, . . . . Тодi дiагональний оператор Pa, який
на степенях z визначається формулами Pa(z
n) =
(a)n
n!
zn, n = 0, 1, . . . , продовжується до
iзоморфiзму з класу \scrL (\scrH (G)).
Лема 3. Нехай G — довiльна зiркова вiдносно початку координат область комплексної
площини i a належить \BbbC . Для того щоб оператор B = Uz+a\scrJ був еквiвалентним у просторi
\scrH (G) до оператора множення на незалежну змiнну Uz, необхiдно i достатньо, щоб a \in
\in \BbbC \setminus \{ - n : n \in \BbbN \} .
Доведення. Необхiднiсть. Нехай оператори B та Uz є еквiвалентними у просторi \scrH (G).
Покажемо, що a \not = - n, n \in \BbbN . Припустимо, що a = - n при деякому n \in \BbbN . Тодi \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}B \geq
\geq 1, оскiльки Bzn - 1 = 0. Оскiльки ядро оператора Uz є нульовим, то оператори B та Uz не
є еквiвалентними, бо розмiрностi ядер еквiвалентних операторiв є однаковими. Прийшли до
суперечностi.
Достатнiсть. Нехай a \in \BbbC \setminus \{ - n : n \in \BbbN \} . Тодi за теоремою 1 оператор Pa+1 є iзоморфiз-
мом простору \scrH (G). Безпосередньою перевiркою переконуємося в тому, що (BPa+1)(z
n) =
= (Pa+1Uz)(z
n) при n = 0, 1, . . . . З цих рiвностей випливає, що BPa+1 = Pa+1Uz, оскiльки
область G є однозв’язною, а система \{ zn\} \infty n=0 — повною в \scrH (G). Оскiльки оператор Pa+1 —
iзоморфiзм простору \scrH (G), то оператори B та Uz є еквiвалентними у просторi \scrH (G).
Лему 3 доведено.
Наслiдок 2. Нехай G — довiльна зiркова вiдносно початку координат область комплексної
площини, а Bj = Uz + aj\scrJ , де aj \in \BbbC , до того ж aj \not = - n, n \in \BbbN , j = 1, 2. Тодi оператори
B1 та B2 є еквiвалентними у просторi \scrH (G).
Наслiдок 3. Нехай G — довiльна зiркова вiдносно початку координат область комплексної
площини, а Bj = Uz + aj\scrJ , де aj \in \BbbC , j = 1, 2, до того ж a1 \not = - n, n \in \BbbN , i a2 = - m для
деякого m \in \BbbN . Тодi оператори B1 та B2 не є еквiвалентними у просторi \scrH (G).
Лема 4. Нехай G — довiльна зiркова вiдносно початку координат область комплексної
площини, а Bj = Uz + aj\scrJ , де aj \in \{ - n : n \in \BbbN \} , j = 1, 2, до того ж a1 \not = a2. Тодi
оператори B1 та B2 не є еквiвалентними у просторi \scrH (G).
Доведення проведемо методом вiд супротивного. Припустимо, що для деяких рiзних нату-
ральних чисел k та l оператори B1 = Uz - k\scrJ та B2 = Uz - l\scrJ є еквiвалентними у просторi
\scrH (G). Не порушуючи загальностi вважатимемо, що k > l. Тодi iснує iзоморфiзм T \in \scrL (\scrH (G)),
для якого виконується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
ПРО ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ДЕЯКИХ ЗБУРЕНЬ ОПЕРАТОРА МНОЖЕННЯ НА НЕЗАЛЕЖНУ ЗМIННУ 1583
TB1 = B2T. (7)
Розв’яжемо далi рiвняння
((Uz - l\scrJ ) f) (z) = p(z) (8)
вiдносно функцiї f(z) iз простору \scrH (G) для довiльного многочлена p(z). Нехай p(z) =
=
\sum s
j=0
pjz
j . Оскiльки 0 \in G, то iснує окiл U\delta точки 0 вигляду U\delta = \{ z \in \BbbC : | z| <
< \delta \} такий, що U\delta \subset G. Довiльну функцiю f(z) iз простору \scrH (G) при | z| < \delta зобрази-
мо у виглядi f(z) =
\sum \infty
j=0
fjz
j . Тому рiвняння (8) при | z| < \delta можна записати у виглядi\sum \infty
j=1
j - l
j
fj - 1z
j =
\sum s
j=0
pjz
j . Звiдси випливає, що p0 = 0 i
j - l
j
fj - 1 = pj , j = 1, 2, . . . .
Для iснування розв’язку цiєї системи вiдносно fj , j = 0, 1, . . . , необхiдно, щоб одночасно
виконувались умови p(0) = 0 i p(l)(0) = 0. При виконаннi цих двох умов одержимо, що при
| z| < \delta функцiя f(z), яка є розв’язком рiвняння (8), має вигляд
f(z) =
l - 2\sum
j=0
j + 1
j + 1 - l
pj+1z
j +
s - 1\sum
j=l
j + 1
j + 1 - l
pj+1z
j + czl - 1, (9)
де c — довiльне комплексне число. Оскiльки права частина рiвностi (9) є многочленом, то звiдси
випливає, що для довiльного многочлена p(z), для якого p(0) = p(l)(0) = 0, загальний розв’язок
рiвняння (8) у класi функцiй f(z) \in \scrH (G) описується формулою (9), в якiй c — довiльна стала.
Звiдси одержуємо, що ядро оператора Uz - l\scrJ у просторi \scrH (G) збiгається з множиною \{ czl - 1 :
c \in \BbbC \} . Позначимо \varphi j(z) = Tzj , j = 0, 1, . . . , i покажемо, що при j = 0, k - 1 функцiї \varphi j(z) є
многочленами, степiнь кожного з яких не перевищує l - 1. Це твердження доведемо для функцiй
\varphi k - m(z) iндукцiєю по m, m = 1, 2, . . . , k. Подiявши рiвнiстю (7) на функцiю f(z) = zk - 1,
отримаємо (Uz - l\scrJ )\varphi k - 1(z) = 0. Тому \varphi k - 1(z) = c0z
l - 1, де c0 \in \BbbC . Припустимо, що
при деякому натуральному m = 1, k - 1 функцiя \varphi k - m(z) є многочленом, степiнь якого не
перевищує l - 1. Подiявши рiвнiстю (7) на функцiю f(z) = zk - m - 1, одержимо
((Uz - l\scrJ )\varphi k - (m+1))(z) = - m
k - m
\varphi k - m(z). (10)
Використовуючи загальний розв’язок (9) рiвняння (8), переконуємося, що функцiя \varphi k - (m+1)(z),
яка є розв’язком рiвняння (10), збiгається з деяким многочленом, степiнь якого не перевищує
l - 1. Таким чином, функцiї \varphi 0(z), \varphi 1(z), . . . , \varphi k - 1(z) є многочленами, степiнь кожного з яких
не перевищує l - 1. Оскiльки кiлькiсть цих многочленiв дорiвнює k i k > l, то вони є лiнiйно
залежними. Отже, iснують сталi Cj \in \BbbC , j = 0, k - 1 (не всi дорiвнюють нулевi), для яких\sum k - 1
j=0
Cj\varphi j(z) = 0. Тому T
\biggl( \sum k - 1
j=0
Cjz
j
\biggr)
= 0. Отже, ми одержали, що оператор T має
нетривiальний нуль, що неможливо, оскiльки T є iзоморфiзмом простору \scrH (G).
Лему 4 доведено.
З лем 2 – 4 випливає основний результат цiєї статтi.
Теорема 2. Нехай G — довiльна зiркова вiдносно початку координат область комплексної
площини i функцiї aj належать \scrH (G), j = 1, 2. Для того щоб оператор (A1f)(z) = zf(z) +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
1584 Ю. С. ЛIНЧУК
+
\int z
0
a1(z - t)f(t)dt був еквiвалентним у просторi \scrH (G) до оператора (A2f)(z) = zf(z) +
+
\int z
0
a2(z - t)f(t)dt, необхiдно i достатньо, щоб виконувалась одна iз таких умов:
1\circ ) a1(0) = a2(0);
2\circ ) a1(0), a2(0) \in \BbbC \setminus \{ - n : n \in \BbbN \} .
Лiтература
1. Нагнибида Н. И. Об интегральных возмущениях оператора умножения на независимую переменную // Докл.
АН СССР. – 1987. – 292, № 3. – С. 542 – 545.
2. Нагнибiда М. I., Баб’юк Л. Г. Про еквiвалентнiсть iнтегральних збурень оператора множення на незалежну
змiнну // Мат. студ. – 1994. – 3. – С. 85 – 90.
3. Köthe G. Dualität in der Funktionentheorie // J. reine und angew. Math. – 1953. – 191. – S. 30 – 49.
4. Лiнчук Ю. С. Узагальнений оператор Данкла – Опдама та його властивостi у просторах функцiй, аналiтичних
в областях // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2014. – 57, № 4. – С. 7 – 17.
5. Лiнчук Ю. С. Про один клас дiагональних операторiв у просторах аналiтичних функцiй та його застосування //
Доп. НАН України. – 2014. – № 3. – С. 25 – 28.
Одержано 14.01.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1944 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:43Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d5/d93d4c4f072a2693d31a6db6432d28d5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19442019-12-05T09:32:19Z On the equivalence of some perturbations of the operator of multiplication by the independent variable Про еквівалентність деяких збурень оператора множення на незалежну змінну Linchuk, Yu. S. Лінчук, Ю. С. We study the conditions of equivalence of two operators obtained as perturbations of the operator of multiplication by the independent variable by certain Volterra operators in the space of functions analytic in an arbitrary domain of the complex plane starlike with respect to the origin. В пространстве функций, аналитических в произвольной звездной относительно начала координат области ком- плексной плоскости, исследованы условия эквивалентности двух операторов, которые являются возмущениями оператора умножения на независимую переменную некоторыми вольтерровскими операторами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1944 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 11 (2016); 1579-1584 Український математичний журнал; Том 68 № 11 (2016); 1579-1584 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1944/926 Copyright (c) 2016 Linchuk Yu. S. |
| spellingShingle | Linchuk, Yu. S. Лінчук, Ю. С. On the equivalence of some perturbations of the operator of multiplication by the independent variable |
| title | On the equivalence of some perturbations of the operator of multiplication by the
independent variable |
| title_alt | Про еквівалентність деяких збурень оператора множення на незалежну змінну |
| title_full | On the equivalence of some perturbations of the operator of multiplication by the
independent variable |
| title_fullStr | On the equivalence of some perturbations of the operator of multiplication by the
independent variable |
| title_full_unstemmed | On the equivalence of some perturbations of the operator of multiplication by the
independent variable |
| title_short | On the equivalence of some perturbations of the operator of multiplication by the
independent variable |
| title_sort | on the equivalence of some perturbations of the operator of multiplication by the
independent variable |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1944 |
| work_keys_str_mv | AT linchukyus ontheequivalenceofsomeperturbationsoftheoperatorofmultiplicationbytheindependentvariable AT línčukûs ontheequivalenceofsomeperturbationsoftheoperatorofmultiplicationbytheindependentvariable AT linchukyus proekvívalentnístʹdeâkihzburenʹoperatoramnožennânanezaležnuzmínnu AT línčukûs proekvívalentnístʹdeâkihzburenʹoperatoramnožennânanezaležnuzmínnu |