Exponentially convergent method for an abstract nonlocal problem with integral nonlinearity
We consider a problem for the first-order differential equation with unbounded operator coefficient in Banach space and a nonlinear integral nonlocal condition. An exponentially convergent method for the numerical solution of this problem is proposed and justified under assumption that the indicated...
Saved in:
| Date: | 2016 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1945 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507840437813248 |
|---|---|
| author | Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. |
| author_facet | Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. |
| author_sort | Vasylyk, V. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:42Z |
| description | We consider a problem for the first-order differential equation with unbounded operator coefficient in Banach space and
a nonlinear integral nonlocal condition. An exponentially convergent method for the numerical solution of this problem
is proposed and justified under assumption that the indicated operator coefficient A is strongly positive and certain
existence and uniqueness conditions are satisfied. This method is based on the reduction of the posed problem to an
abstract Hammerstein equation, discretization of this equation by the collocation method, and its subsequent solution by the
fixed-point iteration method. Each iteration of the method involves the Sinc-based numerical evaluation of the exponential
operator function represented by the Dunford – Cauchy integral over the hyperbola enveloping the spectrum of A. The
integral part of the nonlocal condition is approximated by using the Clenshaw – Curtis quadrature formula. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.633; 517.956.28
В. Б. Василик, В. Л. Макаров (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ АБСТРАКТНОЇ
НЕЛОКАЛЬНОЇ ЗАДАЧI З IНТЕГРАЛЬНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ
We consider a problem for the first-order differential equation with unbounded operator coefficient in Banach space and
a nonlinear integral nonlocal condition. An exponentially convergent method for the numerical solution of this problem
is proposed and justified under assumption that the indicated operator coefficient A is strongly positive and certain
existence and uniqueness conditions are satisfied. This method is based on the reduction of the posed problem to an
abstract Hammerstein equation, discretization of this equation by the collocation method, and its subsequent solution by the
fixed-point iteration method. Each iteration of the method involves the Sinc-based numerical evaluation of the exponential
operator function represented by the Dunford – Cauchy integral over the hyperbola enveloping the spectrum of A. The
integral part of the nonlocal condition is approximated by using the Clenshaw – Curtis quadrature formula.
Для дифференциального уравнения первого порядка с неограниченным операторным коэффициентом в банаховом
пространстве рассматривается нелокальная задача с нелинейным интегральным условием. Построен экспоненци-
ально сходящийся метод для численного решения этой задачи в предположении, что операторный коэффициент
A секториальный и выполнены условия существования и единственности решения. Этот метод основывается на
сведении задачи к абстрактному интегральному уравнению типа Гаммерштейна, дискретизации этого уравнения
с помощью метода коллокаций и дальнейшем использовании метода простой итерации для нахождения решения.
Каждая итерация метода включает Sinc-квадратурное приближение операторной экспоненты, представленной с по-
мощью интеграла Данфорда – Коши по гиперболе, которая охватывает спектр A. Для приближения интегральной
части нелокального условия используется квадратурная формула Кленшоу – Куртиса.
1. Вступ. У цiй статтi розглядається задача
\partial u(t)
\partial t
+Au(t) = 0, t \in ( - 1, 1],
u( - 1) -
1\int
- 1
w(s, u(s))ds = u0,
(1)
де u(t) — невiдома векторнозначна функцiя зi значеннями в банаховому просторi (X, \| \cdot \| ) ,
u0 \in X — заданий вектор, w(t, u) : (\BbbR + \times X) \rightarrow X — задана функцiя (нелiнiйний оператор) i
A — лiнiйний замкнений оператор зi щiльною областю визначення D(A) в X (секторiальний).
Тобто спектр цього оператора \Sigma (A) розташовано у секторi у правiй пiвплощинi з вершиною у
початку координат, а резольвента RA(z) оператора A спадає обернено пропорцiйно до | z| на
нескiнченностi,
\Sigma =
\Bigl\{
z = \rho 0 + rei\theta : r \in [0,\infty ), \rho 0 > 0, | \theta | < \varphi <
\pi
2
\Bigr\}
(2)
i виконується оцiнка
\| RA(z)\| =
\bigm\| \bigm\| (zI - A) - 1
\bigm\| \bigm\| \leq M
1 + | z|
(3)
c\bigcirc В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12 1587
1588 В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ
за межами сектора та на його межi \Gamma \Sigma . Числа \rho 0, \varphi називаються спектральними характери-
стиками A. Крiм того, ми вважаємо, що розв’язок u(t) i функцiя w(t, u(t)) мають аналiтичне
продовження (вiдносно t) у елiпс Бернштейна \scrE \rho ,
\scrE \rho =
\bigl\{
z \in \BbbC : | z - 1| + | z + 1| < \rho + \rho - 1
\bigr\}
. (4)
Абстрактна постановка задачi (1) включає в себе багато важливих прикладних задач, зокре-
ма задачi розповсюдження тепла, дифузiйнi процеси в пористих середовищах, задачi, що опи-
сують рух електронiв у напiвпровiдниках, хiмiчнi реакцiї, динамiку ядерних реакцiй, рiвняння
Нав’є – Стокса для в’язкої рiдини та iн. (див., наприклад, [13] та наведену там бiблiографiю).
Це разом з цiкавим теоретичним аспектом спонукає до побудови ефективних дискретизованих
наближень задачi (1).
Останнiм часом дослiдженням, пов’язаним з розробкою експоненцiально збiжних чисель-
них методiв для еволюцiйних та крайових задач у абстрактнiй постановцi в банаховому просто-
рi з необмеженими операторними коефiцiєнтами, придiляється значна увага. Варто вiдмiтити
роботи [7 – 11, 16, 17, 26], що стосуються побудови методiв для рiвнянь першого та другого
порядкiв у класичнiй постановцi (початковi та крайовi задачi). Для нелокальних задач також
розроблено методи, що дозволяють знаходити наближений розв’язок з експоненцiальною швид-
кiстю збiжностi. Так, у роботах [6, 23, 24] побудовано методи для багатоточкових задач, а в
[1, 25] — для задач з лiнiйними iнтегральними умовами. Експоненцiально збiжнi методи є осно-
вою для оптимальних чи майже оптимальних за кiлькiстю операцiй методiв для наближення
аналiтичних розв’язкiв (iз залученням тензорних зображень див., наприклад, [4, 5]).
2. Iнтегральне зображення розв’язку. Оскiльки оператор A є секторiальним, вiн породжує
напiвгрупу [15], а розв’язок рiвняння (1) можна записати у виглядi
u(t) = e - A(t+1)u( - 1),
що з урахуванням нелокальної умови приводить до нелiнiйного iнтегрального рiвняння
u(t) = e - A(t+1)u0 + e - A(t+1)
1\int
- 1
w(s, u(s))ds. (5)
Рiвняння такого роду в лiтературi вiдомi як абстрактнi рiвняння типу Гаммерштейна [12,
14]. Чисельним методи для рiвнянь типу (5) присвячено роботи [3, 19 – 21]. Дiя операторної
експоненти e - A(t+1), що входить до рiвняння (5), на елементи простору X може бути зображена
за допомогою iнтеграла Данфорда – Кошi [2, 18]
e - A(t+1)v =
1
2\pi i
\int
\Gamma
e - z(t+1)RA(z)vdz. (6)
Тут RA(z) = (zI - A) - 1 — резольвента оператора A, а \Gamma — контур iнтегрування, позитивно
орiєнтований вiдносно спектра оператора A. Для наближеного знаходження операторних екс-
понент в (5) застосуємо метод, розроблений у [7] (див. також [11]). Вiдповiдно до цього методу
контур iнтегрування \Gamma в (6) задається таким чином:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ АБСТРАКТНОЇ НЕЛОКАЛЬНОЇ ЗАДАЧI . . . 1589
\Gamma = \{ z(s) = aI \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(s) - ibI \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(s) : s \in ( - \infty ,\infty )\} .
Значення параметрiв (aI , bI), якi залежать вiд спектральних характеристик оператора A, ви-
бираються виходячи з вимоги аналiтичностi пiдiнтегральної функцiї у смузi комплексної пло-
щини \BbbC
Dd =
\biggl\{
\xi = x+ iy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x \in \BbbR , | y| < d
2
\biggr\}
шириною d. Величина d > 0 визначає швидкiсть збiжностi квадратурного методу, що застосо-
вується нами далi для наближення (6). Оптимальне з точки зору збiжностi квадратури значення
параметра d досягається при
d =
\pi
2
- \varphi .
Параметри контуру iнтегрування \Gamma визначаються формулами
aI = \rho 0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
d
2
+ \varphi
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
, bI = \rho 0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
d
2
+ \varphi
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi
. (7)
Kрiм того, в iнтегралi (6) виконаємо замiну стандартної резольвенти RA(z) на скореговану
RA,1(z):
RA,1(z) = RA(z) -
1
z
I.
Така замiна дає змогу гарантувати чисельну стiйкiсть при використаннi (6) для наближеного
обчислення операторної експоненти при t\rightarrow - 1 (детальнiше див. [11]).
Пiдставивши щойно означене параметризоване зображення операторної експоненти в iнте-
гральне рiвняння (5), отримаємо
u(t) = T (A, t)u0 + T (A, t)
1\int
- 1
w(s, u(s))ds, (8)
де
T (A, t)v =
\int
\Gamma I
e - z(t+1)RA,1(z)vdz =
\infty \int
- \infty
e - z(\xi )(t+1)z\prime (\xi )RA,1(z(\xi ))vd\xi ,
z\prime (\zeta ) = aI \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h} \zeta - ibI \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h} \zeta ,
aI , bI — визначенi у (7) параметри, що залежать вiд спектральних характеристик оператора A.
3. Дискретизацiя. Далi для наближеного обчислення iнтеграла (6) застосуємо формулу
трапецiй (Sinc-квадратурну формулу). Таким чином, для операторної експоненти матимемо
наближення
e - A(t+1)v \approx TN (A, t)v \equiv h
2\pi i
N\sum
p= - N
e - z(ph)(t+1)z\prime (ph)RA,1(z(ph))v. (9)
За умови вибору
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1590 В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ
h =
\sqrt{}
\pi d
\alpha (N + 1)
похибка наближення (9) задовольняє оцiнку [11]
\| \eta N (t)v\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| e - A(t+1)v - TN (A, t)v
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq c e -
\surd
\pi d\alpha (N+1)
\alpha
\| A\alpha v\| \forall v \in D(A\alpha ), (10)
яка є експоненцiальною. Слiд зазначити, що обчислення в (9) можна розпаралелити, обчислю-
ючи резольвенти незалежно одна вiд одної, а також паралельно обчислювати експоненти для
рiзних моментiв часу.
Далi наблизимо iнтеграл з (8), що мiстить незалежну вiд оператора складову. На промiжку
iнтегрування [ - 1, 1] означимо сiтку, яка складається з вузлiв Чебишова – Гаусса – Лобато (ЧГЛ)
[22]:
tj = - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\pi j
n
\biggr)
, j = 0, n.
Такий вибiр вузлiв дозволяє отримати експоненцiально збiжне наближення i знаходити коефi-
цiєнти квадратурної формули в явному виглядi.
Нехай
Pn(t; y) =
n\sum
j=0
Lj,n(t)yj для вектора y = (y0, . . . , yn),
де Lj,n(t) — фундаментальнi полiноми Лагранжа за системою вузлiв ЧГЛ:
Lj,n(t) =
n\prod
k=0,k \not =j
t - tk
tj - tk
.
Замiнимо пiдiнтегральну функцiю полiномом Лагранжа i проколокуємо iнтегральне рiвняння
(8) у вузлах iнтерполяцiї tj . В результатi отримаємо нелiнiйну систему рiвнянь
yi = TN (A, ti)u0 + TN (A, ti)
n\sum
j=0
\alpha jw(tj , yj), i = 0, n, (11)
де
\alpha j =
1\int
- 1
Lj,n(t)dt.
Зауваження 1. Коефiцiєнти \alpha j є коефiцiєнтами квадратурної формули Кленшоу – Куртiса,
якi знаходяться в явному виглядi. Цi коефiцiєнти не потребують перерахунку при змiнi yi
(за умови, що n є фiксованим) i можуть бути ефективно обчисленi за допомогою швидкого
перетворення Фур’є.
Похибка наближення функцiї iнтерполяцiйним полiномом Pn(t, y), як вiдомо, залежить вiд
гладкостi функцiї y(t), визначеної на [ - 1, 1], та можливостi її аналiтичного продовження в
елiпс \scrE \rho \subset \BbbC з фокусами у кiнцях цього вiдрiзка (див. [22]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ АБСТРАКТНОЇ НЕЛОКАЛЬНОЇ ЗАДАЧI . . . 1591
4. Розв’язок дискретизованого рiвняння. Запишемо систему рiвнянь (11) у матрично-
векторному виглядi
\vec{}y = \scrA \vec{}w(\vec{}y) + \vec{}p, (12)
де \vec{}w(y) = (w(t0, y0), . . . , w(tn, yn))
T , \scrA = [\alpha i,j ]
n
i,j=0 , \alpha i,j = TN (A, ti)\alpha j , \vec{}p = (TN (A, t0)u0, . . .
. . . , TN (A, tn)u0)
T . Дослiдимо умови iснування розв’язку системи (12) та наведемо спосiб по-
будови наближення розв’язку. Для iснування розв’язку системи (12) достатньо, щоб рекурентна
послiдовнiсть
\vec{}y(k) = \scrA \vec{}w(\vec{}y(k - 1)) + \vec{}p, (13)
\vec{}y(0) = \vec{}p,
збiгалась у векторному просторi Xn = X\times X\times . . .\times X. Для елементiв \vec{}x \in Xn введемо норму
| | | \vec{}x| | | = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq j\leq n
\| xj\| .
Ця норма iндукує узгоджену норму у просторi матриць \scrM = [ai,j ]
n
i,j=0 з елементами aij \in X :
| | | \scrM | | | = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq n
n\sum
j=0
\| aij\| .
Припустимо також, що для будь-яких u, v \in X функцiя w(t, \cdot ) задовольняє аналог умови
Лiпшиця вигляду
\| A\alpha (w (t, u) - w (t, v))\| \leq L \| u - v\| \forall t \in [ - 1, 1] (14)
з деякими сталими L < \infty та \alpha > 0. Оскiльки \vec{}y(k) =
\sum k
l=1
(\vec{}y(l) - \vec{}y(l - 1)), знайдемо норму\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vec{}y(k) - \vec{}y(k - 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . Маємо\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vec{}y(k) - \vec{}y(k - 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrA \Bigl(
\vec{}w(\vec{}y(k - 1)) - \vec{}w(\vec{}y(k - 2))
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq L
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrA A - \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vec{}y(k - 1) - \vec{}y(k - 2)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
де норма матрицi | | | \scrA A - \alpha | | | виражається як
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrA A - \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq n
n\sum
j=0
\| \alpha ij\| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq n
n\sum
j=0
\bigm\| \bigm\| TN (A, ti)A
- \alpha
\bigm\| \bigm\| | \alpha j | .
З огляду на оцiнку (3.278) з [11] можемо записати\bigm\| \bigm\| TN (A, ti)A
- \alpha
\bigm\| \bigm\| \leq c
\alpha
, (15)
що в результатi приводить до оцiнки
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrA A - \alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq c
\alpha
n\sum
j=0
| \alpha j | =
2c
\alpha
. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1592 В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ
Тут ми врахували, що коефiцiєнти \alpha j є коефiцiєнтами квадратурної формули Кленшоу – Куртiса.
Отже, \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y(k) - y(k - 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2Lc
\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y(k - 1) - y(k - 2)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq . . . \leq
\biggl(
2Lc
\alpha
\biggr) k
| | | \vec{}p| | | .
Застосувавши щойно отриману нерiвнiсть до кожного з доданкiв розкладу \vec{}y(k), отримаємо
остаточну оцiнку
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| y(k)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq k\sum
p=0
\biggl(
2Lc
\alpha
\biggr) p
| | | \vec{}p| | | = | | | \vec{}p| | | 1 - qk+1
1 - q
. (17)
Має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай A : X \rightarrow X — лiнiйний секторiальний оператор, а функцiя w(t, u) :
(\BbbR +\times X) \rightarrow D(A\alpha ) \subseteq X має аналiтичне продовження в елiпс Бернштейна \scrE \rho та задовольняє
нерiвнiсть (14) зi сталими L,\alpha . Припустимо, що виконується умова
q \equiv 2Lc
\alpha
< 1, (18)
де c — стала з оцiнки (15). Тодi функцiя y(\infty ) є єдиним розв’язком матричного нелiнiйного
рiвняння (12), до того ж \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vec{}y(\infty )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | | | \vec{}p| | | 1
1 - q
. (19)
Похибка k-го рекурентного наближення розв’язку цього рiвняння задовольняє оцiнку\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vec{}y(\infty ) - \vec{}y(k)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | | | \vec{}p| | | q
k+1
1 - q
. (20)
Доведення. Доведення того, що y(\infty ) є єдиним розв’язком системи (12), випливає з теореми
Банаха про нерухому точку. Простiр Xn разом з уведеною метрикою d(x, y) = | | | \vec{}x - \vec{}y| | | є
повним метричним простором. Вiдображення \scrF , задане у (13), переводить простiр Xn в себе
i є стискаючим, оскiльки
| | | \scrF \vec{}x - \scrF \vec{}y| | | = | | | \scrA (\vec{}w (\vec{}x) - \vec{}w (\vec{}y))| | | \leq 2Lc
\alpha
| | | \vec{}x - \vec{}y| | | = q| | | \vec{}x - \vec{}y| | | , (21)
де остання нерiвнiсть випливає з (14), (16). Стала q < 1 за припущенням теореми, тому
справедливою є оцiнка (17), з якої безпосередньо випливають нерiвностi (19) та (20).
5. Аналiз похибки наближення розв’язку вихiдної задачi. Для оцiнки похибки набли-
ження у точках колокацiї введемо до розгляду величини zi = ui - yi, ui \equiv u(ti), i = 0, n, та
позначимо \vec{}u = (u0, . . . , un)
T , \vec{}z = (z0, . . . , zn)
T . Обчислимо zi, використавши формули (5) та
(11):
zi = e - A(ti+1)u0 - TN (A, ti)u0 + e - A(ti+1)
1\int
- 1
w(s, u(s))ds -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ АБСТРАКТНОЇ НЕЛОКАЛЬНОЇ ЗАДАЧI . . . 1593
- TN (A, ti)
n\sum
j=0
\alpha jw(tj , yj) = \eta N (ti)u0 + \eta N (ti)
1\int
- 1
w(s, u(s))ds+
+TN (A, ti)
\left( 1\int
- 1
w(s, u(s))ds -
1\int
- 1
n\sum
j=0
Lj,n(s)w(tj , uj)ds
\right) +
+TN (A, ti)
\left( 1\int
- 1
n\sum
j=0
Lj,n(s)w(sj , uj)ds -
n\sum
j=0
\alpha jw(tj , yj)
\right) =
= \eta N (ti)u0 + \eta N (ti)
1\int
- 1
w(s, u(s))ds+
+TN (A, ti)
1\int
- 1
\left( w(s, u(s)) - n\sum
j=0
Lj,n(s)w(tj , uj)
\right) ds+
+TN (A, ti)
n\sum
j=0
\alpha j [w(sj , uj) - w(tj , yj)] .
Проведенi перетворення дозволяють записати zi у виглядi суми чотирьох складових:
zi = \eta N (ti)u0 + \eta N (ti)
1\int
- 1
w(s, u(s))ds+ \psi 1,i + \psi 2,i,
де
\psi 1,i = TN (A, ti)
1\int
- 1
\left( w(s, u(s)) - n\sum
j=0
Lj,n(s)w(tj , uj)
\right) ds,
\psi 2,i = TN (A, ti)
n\sum
j=0
\alpha j [w(sj , uj) - w(tj , yj)] .
Далi дослiдимо похибку наближення розв’язку рiвняння (5) у вузлах ti. Для \psi 1 маємо
| | | \psi 1| | | = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| TN (A, ti)
1\int
- 1
\left[ w(s, u(s)) - n\sum
j=0
Lj,n(s)w(tj , uj)
\right] ds
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq c
\alpha
1\int
- 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| A\alpha
\left[ w(s, u(s)) - n\sum
j=0
Lj,n(s)w(tj , uj)
\right] \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| ds \leq
\leq c1 \mathrm{l}\mathrm{n}nEn (A
\alpha w(\cdot , u(\cdot ))) ,
де En(u) — похибка найкращого наближення u полiномами степеня n:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1594 В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ
En(u) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
p\in \Pi n
\| u - p\| .
Для \psi 2 матимемо
| | | \psi 2| | | = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq i\leq n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| TN (A, ti)
n\sum
j=0
\alpha j [w(sj , uj) - w(sj , yj)]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq c
\alpha
n\sum
j=0
| \alpha j | \| A\alpha [w(sj , uj) - w(sj , yj)]\| \leq 2Lc
\alpha
| | | z| | | = q| | | z| | | .
Це приводить нас до оцiнки на | | | z| | | :
| | | z| | | \leq c e -
\surd
\pi d\alpha (N+1)
\alpha
\| A\alpha u0\| +
c e -
\surd
\pi d\alpha (N+1)
\alpha
1\int
- 1
\| A\alpha w(s, u(s))\| ds+
+c1 \mathrm{l}\mathrm{n}nEn (A
\alpha w(\cdot , u(\cdot ))) + q| | | z| | | .
Сформулюємо отриманий результат у виглядi леми.
Лема 1. Припустимо, що для оператора A та функцiї w виконуються умови теореми 1.
Тодi розв’язок системи нелiнiйних рiвнянь (12) є наближенням розв’язку рiвняння (5) у вузлах
сiтки ЧГЛ. Похибка наближення задовольняє оцiнку
| | | z| | | \leq c e -
\surd
\pi d\alpha (N+1)
(1 - q)\alpha
\left( \| A\alpha u0\| +
1\int
- 1
\| A\alpha w(s, u(s))\| ds
\right) +
+
c1 \mathrm{l}\mathrm{n}nEn (A
\alpha w(\cdot , u(\cdot )))
1 - q
. (22)
Повна похибка запропонованого методу наближення є сумою похибок дискретизацiї рiвнян-
ня (5) та похибки наближеного розв’язування нелiнiйної системи (12).
Теорема 2. Припустимо, що для оператора A та функцiї w виконуються умови теоре-
ми 1. Тодi похибка наближення розв’язку нелiнiйного iнтегрального рiвняння (5) вектором \vec{}yk,
який є наближеним розв’язком системи (12), має вигляд\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \vec{}u - \vec{}yk
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq | | | \vec{}z| | | + qk+1
1 - q
| | | \vec{}p| | | . (23)
Наступний приклад iлюструє застосування алгоритму чисельного розв’язування задачi (1),
що викладений у пунктах 3, 4.
Приклад. Розглянемо задачу (1), в якiй нелiнiйна нелокальна умова має вигляд
u( - 1) - \mu
1\int
- 1
u2(s)ds = u0,
u0(x) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (\pi x) + \mu
e - 4\pi 2 - 1
2\pi 2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2 (\pi x) .
(24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ АБСТРАКТНОЇ НЕЛОКАЛЬНОЇ ЗАДАЧI . . . 1595
,
,
,
,
,
, , , ,
Рис. 1. Графiк функцiї u0(x) при рiзних значеннях параметра \mu .
Функцiя w(s, u) = \mu u2 залежить вiд додаткового параметра \mu , змiна якого дозволяє манiпу-
лювати величиною сталої L з (14). Точним розв’язком нелокальної задачi (1) з умовою (24) є
розв’язок
uex (t, x) = e - (t+1)\pi 2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (\pi x, ) , (25)
вигляд якого не залежить вiд \mu .
Як видно з графiка функцiї u0, зображеного на рис. 1, при малих значеннях параметра \mu
вiдмiннiсть розв’язку нелокальної задачi (1) (який при t = 0 еквiвалентний u0(x) з \mu = 0) вiд
розв’язку класичної задачi Кошi є незначною i зростає зi збiльшенням \mu (див. для порiвняння
графiк при \mu = 20).
Спочатку покладемо \mu = 1/4. Легко перевiрити, що такий вибiр \mu забезпечує виконання
умови (18) для \alpha = 1 та \rho 0 > 0, а визначена таким чином функцiя w(s, u) допускає аналi-
тичне продовження по змiннiй s у область \scrE \rho \in \BbbC . Згiдно з теоремою 1, у такому випадку
рекурентна послiдовнiсть наближень \vec{}y(k), побудована з використанням (13), повинна збiгатися
до наближення розв’язку системи (12).
Для експериментальної оцiнки похибки чисельного наближення розв’язку використовува-
тимемо величину
\mathrm{E}\mathrm{r}\mathrm{r} = \mathrm{E}\mathrm{r}\mathrm{r}
\Bigl(
uex, \vec{}y
(k)
\Bigr)
\equiv \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq l\leq m
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq j\leq n
\bigm\| \bigm\| \bigm\| uex(ti, xl) - y
(k)
j (xl)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| ,
де xl =
1
2
\biggl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\biggl(
\pi l
m
\biggr) \biggr)
, l = 0,m, — промасштабованi на [0, 1] вузли ЧГЛ. В якостi зупиноч-
ного критерiю для iтерацiйного процесу розв’язування матричного нелiнiйного рiвняння (12)
використовуватимемо умову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1596 В. Б. ВАСИЛИК, В. Л. МАКАРОВ
n
Err
n
Err
a б
Рис. 2. Графiк залежностi похибки Err вiд кiлькостi вузлiв колокацiї n для рiзних значень параметра N :
a — \mu = 0, 25; б — \mu = 1.
\mathrm{E}\mathrm{r}\mathrm{r}
\Bigl(
\vec{}y(k), \vec{}y(k - 1)
\Bigr)
< 10 - 18,
де K > 0 — номер фiнальної iтерацiї.
Результати числових розрахункiв, якi базуються на формулах (13), (11) та (9), з рiзними
значеннями параметрiв дискретизацiї N, n наведено в таблицi. Ця таблиця iлюструє залежнiсть
похибки наближення розв’язку вихiдної задачi \mathrm{E}\mathrm{r}\mathrm{r} вiд комбiнацiї параметрiв N та n. Для
кожного N \in \{ 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256\} значення n пiдiбрано експериментально, виходячи з
динамiки похибки в залежностi вiд n (див. рис. 2). Таблиця також мiстить оцiнену апостерiорно
кiлькiсть iтерацiй K, яких достатньо для забезпечення вiдносної похибки на рiвнi 10 - 5.
Результати експериментiв використання розробленого методу чисельного
розв’язування задачi (1) з нелокальною умовою (24)
N n Err K
4 8 0,0859119243400000010 5
8 8 0,0244950525900000000 5
16 8 0,00345794666699999987 6
32 16 0,000328787487900000005 6
64 16 0,00000833843948899999922 7
128 32 0,0000000515513076299999962 9
256 32 3, 68083566999999982\times 10 - 11 11
512 64 1, 32334447899999999\times 10 - 15 13
Лiтература
1. Василик В. Б., Макаров В. Л. Експоненцiально збiжний метод для диференцiального рiвняння першого порядку
в банаховому просторi з iнтегральною нелокальною умовою // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 8. – P. 1029 – 1040.
2. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1967. – 464 с.
3. Bica A., Curila M., Curila S. About a numerical method of successive interpolations for functional Hammerstein
integral equations // J. Comput. and Appl. Math. – 2012. – 236, № 7. – P. 2005 – 2024.
4. Gavrilyuk I. P., Hackbusch W., Khoromskij B. N. Data-sparse approximation to the operator-valued functions of
elliptic operator // Math. Comput. – 2004. – 73. – P. 1297 – 1324.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНО ЗБIЖНИЙ МЕТОД ДЛЯ АБСТРАКТНОЇ НЕЛОКАЛЬНОЇ ЗАДАЧI . . . 1597
5. Gavrilyuk I. P., Hackbusch W., Khoromskij B. N. Data-sparse approximation of a class of operator-valued functions
// Math. Comput. – 2005. – 74. – P. 681 – 708.
6. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L., Sytnyk D. O., Vasylyk V. B. Exponentially convergent method for the m-point nonlocal
problem for a first order differential equation in Banach space // Numer. Funct. Anal. and Optim. – 2010. – 31, № 1-3. –
P. 1 – 21.
7. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. Exponentially convergent algorithms for the operator exponential with applications to
inhomogeneous problems in Banach spaces // SIAM J. Numer. Anal. – 2005. – 43, № 5. – P. 2144 – 2171.
8. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L. An exponential convergent algorithm for nonlinear differential equations in Banach
spaces // Math. Comput. – 2007. – 76. – P. 1895 – 1923.
9. Gavrilyuk I. P., Makarov V. L., Vasylyk V. B. Exponentially convergent approximation to the elliptic solution operator
// Comput. Meth. Appl. Math. – 2006. – 6, № 4. – P. 386 – 404.
10. Bohonova T. Ju., Gavrilyuk I. P., Makarov V. L., Vasylyk V. B. Exponentially convergent Duhamel-like algorithms for
differential equations with an operator coefficient possessing a variable domain in a Banach space // SIAM J. Numer.
Anal. – 2008. – 46, № 1. – P. 365 – 396.
11. Gavrilyuk I., Makarov V., Vasylyk V. Exponentially convergent algorithms for abstract differential equations // Front.
Math. – Basel AG: Birkhäuser/Springer, 2011. – viii+180 p.
12. Gupta C. P. Functional analysis and applications // Proc. Symp. Anal. Univ. Federal de Pernambuco Recife
(Pernambuco, Brasil, July 9–29, 1972) / Ed. L. Nachbin. – Berlin; Heidelberg: Springer, 1974. – P. 184 – 238.
13. Henry D. Geometrical theory of semilinear parabolic equations. – Berlin etc.: Springer-Verlag, 1981.
14. Hess P. On nonlinear equations of Hammerstein type in Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. – 1971. – 30, № 2. –
P. 308 – 312.
15. Kato T. On linear differential equations in Banach spaces // Communs Pure and Appl. Math. – 1956. – 9. – P. 479 – 486.
16. López-Fernández M., Palencia C., Schädle A. A spectral order method for inverting sectorial Laplace transforms //
SIAM J. Numer. Anal. – 2006. – 44. – P. 1332 – 1350.
17. McLean W., Thomee V. Time discretization of an evolution equation via Laplace transforms // IMA J. Numer. Anal. –
2004. – 24. – P. 439 – 463.
18. Clément Ph., Heijmans H. J. A. M., Angenent S. et al. One-parameter semigroups. – Amsterdam: North-Holland Publ.
Co., 1987. – x+312 p.
19. Fitzpatrick P. M., Petryshyn W. V. Galerkin methods in the constructive solvability of nonlinear Hammerstein equations
with applications to differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. – 1978. – 238. – P. 321 – 340.
20. Some B. Some recent numerical methods for solving nonlinear Hammerstein integral equations // Math. and Comput.
Modelling. – 1993. – 18, № 9. – P. 55 – 62.
21. Kumar S., Sloan I. H. A new collocation-type method for Hammerstein integral equations // Math. Comput. – 1987. –
48, № 178. – P. 585 – 593.
22. Trefethen L. N. Approximation theory and approximation practice. – Philadelphia, PA: So. Industrial and App. Math.,
2013.
23. Vasylyk V. Exponentially convergent method for the m-point nonlocal problem for an elliptic differential equation in
Banach space // J. Numer. and Appl. Math. – 2011. – 105, № 2. – P. 124 – 135.
24. Vasylyk V. Nonlocal problem for an evolution first order equation in Banach space // J. Numer. and Appl. Math. –
2012. – 109, № 3. – P. 139 – 149.
25. Vasylyk V. Exponentially convergent method for integral nonlocal problem for the elliptic equation in Banach space
// J. Numer. and Appl. Math. – 2013. – 110, № 3. – P. 119 – 130.
26. Weideman J. A. C. Improved contour integral methods for parabolic PDEs // IMA J. Numer. Anal. – 2010. – 30, № 1. –
P. 334 – 350.
Одержано 28.07.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1945 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:42Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/10/b0a8409d6c15d526c3bd61d2b9b1ba10.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19452019-12-05T09:32:42Z Exponentially convergent method for an abstract nonlocal problem with integral nonlinearity Експоненціально збіжний метод для абстрактної нелокальної задачі з інтегральною нелінійністю Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. We consider a problem for the first-order differential equation with unbounded operator coefficient in Banach space and a nonlinear integral nonlocal condition. An exponentially convergent method for the numerical solution of this problem is proposed and justified under assumption that the indicated operator coefficient A is strongly positive and certain existence and uniqueness conditions are satisfied. This method is based on the reduction of the posed problem to an abstract Hammerstein equation, discretization of this equation by the collocation method, and its subsequent solution by the fixed-point iteration method. Each iteration of the method involves the Sinc-based numerical evaluation of the exponential operator function represented by the Dunford – Cauchy integral over the hyperbola enveloping the spectrum of A. The integral part of the nonlocal condition is approximated by using the Clenshaw – Curtis quadrature formula. Для дифференциального уравнения первого порядка с неограниченным операторным коэффициентом в банаховом пространстве рассматривается нелокальная задача с нелинейным интегральным условием. Построен экспоненциально сходящийся метод для численного решения этой задачи в предположении, что операторный коэффициент A секториальный и выполнены условия существования и единственности решения. Этот метод основывается на сведении задачи к абстрактному интегральному уравнению типа Гаммерштейна, дискретизации этого уравнения с помощью метода коллокаций и дальнейшем использовании метода простой итерации для нахождения решения. Каждая итерация метода включает Sinc-квадратурное приближение операторной экспоненты, представленной с помощью интеграла Данфорда –Коши по гиперболе, которая охватывает спектр A. Для приближения интегральной части нелокального условия используется квадратурная формула Кленшоу –Куртиса. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1945 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 12 (2016); 1587-1597 Український математичний журнал; Том 68 № 12 (2016); 1587-1597 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1945/927 Copyright (c) 2016 Vasylyk V. B.; Makarov V. L. |
| spellingShingle | Vasylyk, V. B. Makarov, V. L. Василик, В. Б. Макаров, В. Л. Exponentially convergent method for an abstract nonlocal problem with integral nonlinearity |
| title | Exponentially convergent method for an abstract nonlocal problem with integral nonlinearity |
| title_alt | Експоненціально збіжний метод для абстрактної нелокальної задачі з інтегральною нелінійністю |
| title_full | Exponentially convergent method for an abstract nonlocal problem with integral nonlinearity |
| title_fullStr | Exponentially convergent method for an abstract nonlocal problem with integral nonlinearity |
| title_full_unstemmed | Exponentially convergent method for an abstract nonlocal problem with integral nonlinearity |
| title_short | Exponentially convergent method for an abstract nonlocal problem with integral nonlinearity |
| title_sort | exponentially convergent method for an abstract nonlocal problem with integral nonlinearity |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1945 |
| work_keys_str_mv | AT vasylykvb exponentiallyconvergentmethodforanabstractnonlocalproblemwithintegralnonlinearity AT makarovvl exponentiallyconvergentmethodforanabstractnonlocalproblemwithintegralnonlinearity AT vasilikvb exponentiallyconvergentmethodforanabstractnonlocalproblemwithintegralnonlinearity AT makarovvl exponentiallyconvergentmethodforanabstractnonlocalproblemwithintegralnonlinearity AT vasylykvb eksponencíalʹnozbížnijmetoddlâabstraktnoínelokalʹnoízadačízíntegralʹnoûnelíníjnístû AT makarovvl eksponencíalʹnozbížnijmetoddlâabstraktnoínelokalʹnoízadačízíntegralʹnoûnelíníjnístû AT vasilikvb eksponencíalʹnozbížnijmetoddlâabstraktnoínelokalʹnoízadačízíntegralʹnoûnelíníjnístû AT makarovvl eksponencíalʹnozbížnijmetoddlâabstraktnoínelokalʹnoízadačízíntegralʹnoûnelíníjnístû |