Numerical interpretation of the Gurov – Reshetnyak inequality on the real line
We find the “norm” of a power function in the Gurov – Reshetnyak class on the real line. Moreover, as a result of numerical experiments, we establish a lower bound for the norm of the operator of even extension from the semiaxis onto the entire real line in the Gurov – Reshetnyak class.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1947 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507844667768832 |
|---|---|
| author | Didenko, V. D. Korenovskii, A. A. Tuah, N. J. Диденко, В. Д. Кореновский, А. А. Туа, Н. Д. Диденко, В. Д. Кореновский, А. А. Туа, Н. Д. |
| author_facet | Didenko, V. D. Korenovskii, A. A. Tuah, N. J. Диденко, В. Д. Кореновский, А. А. Туа, Н. Д. Диденко, В. Д. Кореновский, А. А. Туа, Н. Д. |
| author_sort | Didenko, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:42Z |
| description | We find the “norm” of a power function in the Gurov – Reshetnyak class on the real line. Moreover, as a result of numerical
experiments, we establish a lower bound for the norm of the operator of even extension from the semiaxis onto the entire
real line in the Gurov – Reshetnyak class. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. Д. Диденко (Одес. гос. акад. техн. регулирования и качества),
А. А. Кореновский (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова),
Н. Д. Туа (Ун-т Брунея)
ЧИСЛЕННАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕРАВЕНСТВА ГУРОВА – РЕШЕТНЯКА
НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ
We find the “norm” of a power function in the Gurov – Reshetnyak class on the real line. Moreover, as a result of numerical
experiments, we establish a lower bound for the norm of the operator of even extension from the semiaxis onto the entire
real line in the Gurov – Reshetnyak class.
Обчислено „норму” степеневої функцiї в класi Гурова – Решетняка на дiйснiй осi. Крiм того, в результатi числових
експериментiв отримано оцiнку знизу норми оператора парного продовження функцiї з класу Гурова – Решетняка з
напiвосi на всю дiйсну вiсь.
Введение. Рассматриваются функции f : R \mapsto \rightarrow \BbbR +, где R — интервал из \BbbR . В дальнейшем в
качестве R будем использовать всю действительную ось \BbbR или полуось \BbbR + = [0,\infty ). Предпо-
лагается, что функция f локально суммируема на R, т. е. суммируема на каждом ограниченном
подынтервале I из R.
Среднее интегральное значение функции f на ограниченном интервале I определяется
равенством
fI =
1
| I|
\int
I
f(x) dx,
а средним интегральным колебанием этой функции называется
\Omega (f ; I) =
1
| I|
\int
I
| f(x) - fI | dx,
где | \cdot | означает меру Лебега.
Для заданного \varepsilon \in (0, 2] класс Гурова – Решетняка \scrG \scrR = \scrG \scrR (\varepsilon ) = \scrG \scrR R(\varepsilon ) определяется
как совокупность всех неотрицательных, локально суммируемых на R функций f, удовлетво-
ряющих условию Гурова – Решетняка
\Omega (f ; I) \leq \varepsilon fI
на каждом ограниченном интервале I \subset R (см. [7]). Поскольку каждая неотрицательная функ-
ция f на любом интервале I удовлетворяет неравенству \Omega (f ; I) \leq 2fI , то класс \scrG \scrR R(2)
тривиален и совпадает с классом всех локально суммируемых на R функций. С другой сторо-
ны, если \varepsilon \in (0, 2), то класс \scrG \scrR R(\varepsilon ) не является тривиальным (см. [10, с. 112; 16]). Если I —
подынтервал из R, то выражение \langle f \rangle I = \Omega (f ; I)/fI называется относительным колебанием
функции f на интервале I. Далее, величина \langle \langle f \rangle \rangle R = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
I\subset R
\langle f \rangle I называется „нормой” функции
f в классе Гурова – Решетняка \scrG \scrR R.
c\bigcirc В. Д. ДИДЕНКО, А. А. КОРЕНОВСКИЙ, Н. Д. ТУА, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12 1607
1608 В. Д. ДИДЕНКО, А. А. КОРЕНОВСКИЙ, Н. Д. ТУА
Фундаментальное свойство функции из класса Гурова – Решетняка заключается в возмож-
ности повышения показателя ее суммируемости. На использовании этого свойства основаны
многочисленные приложения этих классов функций. Именно, для любого \varepsilon \in (0, 2) существу-
ют такие p+R = p+R(\varepsilon ) > 1 и p - R = p - R(\varepsilon ) < 0, что из условия f \in \scrG \scrR R(\varepsilon ) следует локальная
суммируемость функции fp при любых p \in (p - R, p
+
R) (см. [1, 3 – 5, 7, 8, 16, 18]). Для R = \BbbR +
точным предельным значением p+\BbbR +
= p+\BbbR +
(\varepsilon ) > 1 положительного показателя суммируемости
p является корень уравнения
pp
(p - 1)p - 1 =
2
\varepsilon
,
а p - \BbbR +
= 1 - p+\BbbR +
< 0. Точность этих значений p - \BbbR +
и p+\BbbR +
может быть установлена на примере
степенных функций g(x) = x1/(p - 1) и h(x) = x - 1/p (x \in \BbbR +, p > 1) соответственно. Именно,
\varepsilon \BbbR +(p) \equiv \langle \langle g\rangle \rangle \BbbR +
= \langle \langle h\rangle \rangle \BbbR +
= 2
(p - 1)p - 1
pp
(1)
[10, c. 131, 144; 11, 12, 14, 15]. Эти примеры также показывают, что для функций f \in \scrG \scrR \BbbR +(\varepsilon )
функция fp не должна быть локально суммируемой с предельным показателем p = p - \BbbR +
(\varepsilon ) < 0
или p = p+\BbbR +
(\varepsilon ) > 1.
С другой стороны, для R = \BbbR точные предельные показатели суммируемости p - \BbbR (\varepsilon ) < 0 и
p+\BbbR (\varepsilon ) > 1 функций f \in \scrG \scrR \BbbR (\varepsilon ) неизвестны. Очевидно, что p - \BbbR (\varepsilon ) \leq p - \BbbR +
(\varepsilon ), p+\BbbR (\varepsilon ) \geq p+\BbbR +
(\varepsilon ).
Как и при R = \BbbR +, естественно предположить, что для R = \BbbR степенные функции f\alpha (x) = | x| \alpha
(x \in \BbbR , \alpha > - 1) при \alpha = 1/(p - 1) и \alpha = - 1/p (p > 1) также являются экстремальными.
Однако вычисление „норм” Гурова – Решетняка \varepsilon - \BbbR (p) \equiv \langle \langle f1/(p - 1)\rangle \rangle \BbbR и \varepsilon +\BbbR (p) \equiv \langle \langle f - 1/p\rangle \rangle \BbbR
в этом случае не является таким простым, как для R = \BbbR +. Как показано в работе [11],
\varepsilon - \BbbR (p) > \varepsilon \BbbR +(p) и \varepsilon +\BbbR (p) > \varepsilon \BbbR +(p).
Один из главных результатов данной работы состоит в вычислении „нормы” \langle \langle f\alpha \rangle \rangle \BbbR функ-
ции f\alpha в классе Гурова – Решетняка на действительной оси \BbbR (см. теорему 1). Из этой теоремы,
в частности, вытекает равенство \varepsilon - \BbbR (p) = \varepsilon +\BbbR (p) \equiv \varepsilon \BbbR (p) (p > 1) (см. следствие 3).
Затронутый выше вопрос можно также трактовать следующим образом: если монотонная
функция f принадлежит классу \scrG \scrR \BbbR +(\varepsilon ) при некотором \varepsilon \in (0, 2), то ее четное продолжение
на \BbbR , которое также обозначим через f, тоже принадлежит классу Гурова – Решетняка \scrG \scrR \BbbR (\varepsilon
\prime )
при некотором \varepsilon \prime \in [\varepsilon , 2) (см. лемму 1). Таким образом, естественно возникает вопрос о норме
\| \bfT \| (\varepsilon )\scrG \scrR \equiv 1
\varepsilon
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\langle \langle f \rangle \rangle \BbbR : \langle \langle f \rangle \rangle \BbbR +
= \varepsilon (0 < \varepsilon < 2)
\Bigr\}
, \| \bfT \| \scrG \scrR \equiv \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\varepsilon <2
\| \bfT \| (\varepsilon )\scrG \scrR
оператора \bfT четного продолжения монотонных функций f \in \scrG \scrR \BbbR +(\varepsilon ) на действительную
ось \BbbR .
Ниже в таблице приведены результаты численных вычислений значений \varepsilon \BbbR (p) при раз-
личных p > 1. Сравнивая эти результаты с известными значениями \varepsilon \BbbR +(p), получаем оценку
снизу для норм \| \bfT \| (\varepsilon )\scrG \scrR и \| \bfT \| \scrG \scrR .
Аналогичный вопрос о норме оператора четного продолжения в классе BMO монотонных
функций с ограниченным средним колебанием изучался в [9]. Некоторые оценки нормы такого
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ЧИСЛЕННАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕРАВЕНСТВА ГУРОВА – РЕШЕТНЯКА . . . 1609
продолжения получены также в [17]. Интересно отметить, что оценка снизу, приведенная в
замечании 5 для нормы оператора четного продолжения \| \bfT \| \scrG \scrR в данной работе, совпадает
с оценкой снизу для оператора \| \bfT \| BMO , полученной в [2] для соответствующего оператора
четного продолжения монотонных функций f \in BMO (см. замечание 6).
1. Неравенство Гурова – Решетняка для степенной функции на действительной оси.
Напомним, что среднее интегральное значение fI = \gamma функции f на подынтервале I одно-
значно определяется условием1\int
I(f\geq \gamma )
(f(x) - \gamma ) dx =
\int
I(f\leq \gamma )
(\gamma - f(x)) dx.
Легко видеть, что
\Omega (f ; I) =
2
| I|
\int
I(f\geq fI)
(f(x) - fI) dx =
2
| I|
\int
I(f\leq fI)
(fI - f(x)) dx.
В соответствии с [11] „норма” Гурова – Решетняка монотонной функции f на \BbbR + равна
\langle \langle f \rangle \rangle \BbbR +
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
b>0
\langle f \rangle (0,b) ;
этот факт мы будем использовать в дальнейшем.
Сначала покажем, что четное продолжение монотонной функции из нетривиального класса
Гурова – Решетняка \scrG \scrR \BbbR + принадлежит нетривиальному классу \scrG \scrR \BbbR .
Лемма 1. Для любого \varepsilon \in (0, 2) существует такое \varepsilon \prime \in (0, 2), что принадлежность
монотонной функции f классу \scrG \scrR \BbbR +(\varepsilon ) влечет принадлежность четного продолжения f из
\BbbR + на \BbbR классу \scrG \scrR \BbbR (\varepsilon
\prime ).
Доказательство проведем в три шага.
Шаг 1. Пусть четная функция f принадлежит \scrG \scrR \BbbR +(\varepsilon ), 0 < \varepsilon < 2. Тогда на любом
интервале I \subset \BbbR + выполнено неравенство Геринга2
\left( 1
| I|
\int
I
f q(x) dx
\right) 1/q
\leq B \cdot 1
| I|
\int
I
f(x) dx, (2)
где q > 1 и B > 1 зависят только от параметра \varepsilon [10, с. 131; 12].
Шаг 2. Покажем, что функция f удовлетворяет неравенству Геринга на \BbbR . Для этого
достаточно рассматривать только лишь интервалы вида I = ( - a, b), где 0 < a < b. Учитывая,
что f — четная функция, и применяя неравенство (2) на интервале (0, b), получаем\left( 1
| I|
\int
I
f q(x) dx
\right) 1/q
\leq
\left( 2
a+ b
b\int
0
f q(x) dx
\right) 1/q
\leq
1Через E(P ) обозначается множество всех точек x \in E, удовлетворяющих условию P = P (x).
2Напомним, что неравенство Геринга определено в [6].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1610 В. Д. ДИДЕНКО, А. А. КОРЕНОВСКИЙ, Н. Д. ТУА
\leq
\biggl(
2b
a+ b
\biggr) 1/q
B
1
b
b\int
0
f(x) dx \leq 21/q
\biggl(
b
a+ b
\biggr) 1/q - 1
B
1
a+ b
b\int
- a
f(x) dx \leq
\leq 2B
1
| I|
\int
I
f(x) dx.
Шаг 3. Остается лишь учесть, что из неравенства Геринга следует неравенство Гурова –
Решетняка с некоторым \varepsilon \prime \in (0, 2) (см. [10, с. 114; 13]).
Лемма 1 доказана.
Замечание 1. Получаемое таким образом значение \varepsilon \prime \equiv \varepsilon \prime (\varepsilon ) не является точным, посколь-
ку на каждом шаге доказательства леммы 1 используются завышенные значения параметров.
Замечание 2. При \varepsilon < 1 доказательство леммы 1 можно упростить. В этом случае доста-
точно воспользоваться неравенством [2]
\Omega (f ; ( - \delta b, b)) \leq 2
1 + \delta
\Omega (f ; (0, b)), 0 \leq \delta \leq 1, b > 0.
В самом деле, поскольку
f( - \delta b,b) =
1
(1 + \delta )b
b\int
- \delta b
f(x) dx \geq 1
1 + \delta
1
b
b\int
0
f(x) dx =
1
1 + \delta
f(0,b),
то
\Omega (f ; ( - \delta b, b))
f( - \delta b,b)
\leq (1 + \delta )
\Omega (f ; ( - \delta b, b))
f(0,b)
\leq (1 + \delta )
2
1 + \delta
\Omega (f ; (0, b))
f(0,b)
\leq 2\langle \langle f \rangle \rangle \BbbR +
.
Дальнейшие детали доказательства опускаются.
Замечание 3. Из доказательства в замечании 2 следует, что если \varepsilon \in (0, 1), то \| \bfT \| (\varepsilon )\scrG \scrR \leq 2.
Однако, поскольку параметр \varepsilon \prime в лемме 1 удовлетворяет неравенству \varepsilon \prime \leq 2, неравенство
\| \bfT \| (\varepsilon )\scrG \scrR \leq 2 имеет место и при \varepsilon \in [1, 2). Следовательно, \| \bfT \| \scrG \scrR \leq 2. С другой стороны, ниже
в замечании 5 приводится оценка снизу нормы \| \bfT \| \scrG \scrR , полученная в результате численных
экспериментов.
Далее, перейдем к вычислению „нормы” степенной функции в классе Гурова – Решетняка.
Используя линейную замену переменной, легко убедиться в том, что для функции f\alpha (x) = | x| \alpha
(x \in \BbbR , \alpha > - 1) справедливы соотношения
\langle \langle f\alpha \rangle \rangle \BbbR = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq \eta \leq 1
\langle f\alpha \rangle ( - \eta ,1) , \langle \langle f\alpha \rangle \rangle \BbbR +
= \langle f\alpha \rangle (0,1) =
2| \alpha |
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
.
Теорема 1. Если \alpha > - 1, \alpha \not = 0, то
\langle \langle f\alpha \rangle \rangle \BbbR = \langle \langle f\alpha \rangle \rangle \BbbR +
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq \eta \leq 1
\psi (\alpha , \eta ),
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ЧИСЛЕННАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕРАВЕНСТВА ГУРОВА – РЕШЕТНЯКА . . . 1611
\psi (\alpha , \eta ) =
\left\{
\bigl(
1 + \eta \alpha +1
\bigr) 1/\alpha
(1 + \eta )(\alpha +1)/\alpha
+
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
\alpha
\biggl[
1
1 + \eta \alpha +1
- 1
1 + \eta
\biggr]
при 0 \leq \eta \leq \eta 1,
2
\bigl(
1 + \eta \alpha +1
\bigr) 1/\alpha
(1 + \eta )(\alpha +1)/\alpha
при \eta 1 \leq \eta \leq 1,
а \eta 1 = \eta 1(\alpha ) \in (0, 1) является корнем уравнения
\eta \alpha =
1
1 + \alpha (\eta + 1)
. (3)
Доказательство. Для фиксированного \eta \in [0, 1] обозначим I = I(\eta ) = ( - \eta , 1). Тогда
(f\alpha )I =
1
1 + \eta
1\int
- \eta
| x| \alpha dx =
1
\alpha + 1
1 + \eta \alpha +1
1 + \eta
.
Пусть \eta 1 \in (0, 1) — корень уравнения \eta = ((f\alpha )I)
1/\alpha . Это уравнение можно записать в виде (3).
Легко видеть, что уравнение (3) имеет единственное решение. Далее, вычислим \langle f\alpha \rangle I . При
этом будем различать два случая: 1) \eta < \eta 1, 2) \eta \geq \eta 1.
1. Если \eta < \eta 1, то
\Omega (f\alpha ; I) =
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha
1 + \eta
1\int
((f\alpha )I)
1/\alpha
(x\alpha - (f\alpha )I) dx =
=
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha
1 + \eta
\biggl[
\alpha
\alpha + 1
((f\alpha )I)
(\alpha +1)/\alpha - (f\alpha )I +
1
\alpha + 1
\biggr]
.
Обозначим
\varphi 0(\alpha , \eta ) \equiv \langle f\alpha \rangle I =
\Omega (f\alpha ; I)
(f\alpha )I
=
=
2
1 + \eta
| \alpha |
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
\biggl(
1 + \eta \alpha +1
1 + \eta
\biggr) 1/\alpha
- 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha
1 + \eta
+
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha
1 + \eta \alpha +1
.
Учитывая, что
\varphi 0(\alpha , 0) = \langle f\alpha \rangle (0,1) =
2| \alpha |
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
,
получаем
\psi 0(\alpha , \eta ) \equiv
\langle f\alpha \rangle I
\langle f\alpha \rangle (0,1)
=
=
\bigl(
1 + \eta \alpha +1
\bigr) 1/\alpha
(1 + \eta )(\alpha +1)/\alpha
+
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
\alpha
\biggl[
1
1 + \eta \alpha +1
- 1
1 + \eta
\biggr]
. (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1612 В. Д. ДИДЕНКО, А. А. КОРЕНОВСКИЙ, Н. Д. ТУА
2. Если же \eta \geq \eta 1, то
\Omega (f\alpha ; I) =
2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha
1 + \eta
\cdot 2
((f\alpha )I)
1/\alpha \int
0
((f\alpha )I - x\alpha ) dx =
=
4
1 + \eta
| \alpha |
\alpha + 1
((f\alpha )I)
(\alpha +1)/\alpha .
Рассмотрим выражение
\varphi 1(\alpha , \eta ) \equiv \langle f\alpha \rangle I =
\Omega (f\alpha ; I)
(f\alpha )I
=
4| \alpha |
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
\bigl(
1 + \eta \alpha +1
\bigr) 1/\alpha
(1 + \eta )(\alpha +1)/\alpha
.
Поскольку
\varphi 1(\alpha , 1) =
2| \alpha |
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
= \varphi 0(\alpha , 0) = \langle f\alpha \rangle (0,1) ,
то
\psi 1(\alpha , \eta ) \equiv
\langle f\alpha \rangle I
\langle f\alpha \rangle (0,1)
=
\varphi 1(\alpha , \eta )
\varphi 1(\alpha , 1)
= 2
\bigl(
1 + \eta \alpha +1
\bigr) 1/\alpha
(1 + \eta )(\alpha +1)/\alpha
. (5)
Определим функцию \psi следующим образом:
\psi (\alpha , \eta ) =
\left\{ \psi 0(\alpha , \eta ), 0 \leq \eta \leq \eta 1,
\psi 1(\alpha , \eta ), \eta 1 \leq \eta \leq 1.
Тогда
\langle \langle f\alpha \rangle \rangle \BbbR
\langle \langle f\alpha \rangle \rangle \BbbR +
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq \eta \leq 1
\psi (\alpha , \eta ),
что и завершает доказательство.
Следствие 1. Пусть \psi — функция, определенная в теореме 1. Тогда
\psi
\biggl(
- \alpha
\alpha + 1
, \eta \alpha +1
\biggr)
= \psi (\alpha , \eta ) , \alpha > - 1, 0 \leq \eta \leq 1.
Доказательство проводится с помощью непосредственных преобразований.
Для p > 1 положим \alpha = 1/(p - 1). Тогда
\alpha + 1 = p/(p - 1), - \alpha /(\alpha + 1) = - 1/p,
и следствие 1 можно сформулировать следующим образом.
Следствие 2. Пусть p > 1 и \psi — функция, определенная в теореме 1. Тогда
\psi
\biggl(
- 1
p
, \eta p/(p - 1)
\biggr)
= \psi
\biggl(
1
p - 1
, \eta
\biggr)
, 0 \leq \eta \leq 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ЧИСЛЕННАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕРАВЕНСТВА ГУРОВА – РЕШЕТНЯКА . . . 1613
Напомним, что „нормы” в классе Гурова – Решетняка обозначены через \varepsilon - \BbbR (p) \equiv \langle \langle f1/(p - 1)\rangle \rangle \BbbR
и \varepsilon +\BbbR (p) \equiv \langle \langle f - 1/p\rangle \rangle \BbbR , p > 1. При этом
\langle \langle f1/(p - 1)\rangle \rangle \BbbR +
= \langle \langle f - 1/p\rangle \rangle \BbbR +
\equiv \varepsilon \BbbR +(p),
а теорема 1 и следствие 2 приводят к следующему результату.
Следствие 3. Если p > 1, то
\langle \langle f1/(p - 1)\rangle \rangle \BbbR = \langle \langle f - 1/p\rangle \rangle \BbbR \equiv \varepsilon \BbbR (p) = \varepsilon \BbbR +(p) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq \eta \leq 1
\psi
\biggl(
1
p - 1
, \eta
\biggr)
.
Следующее следствие позволяет улучшить теорему 1, а именно, уточнить то множество, на
котором функция \psi достигает своего максимального значения.
Следствие 4. Пусть \alpha > - 1 и \alpha \not = 0. Тогда
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq \eta \leq 1
\psi (\alpha , \eta ) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq \eta \leq \eta 1
\psi 0(\alpha , \eta ),
где функция \psi 0(\alpha , \eta ) определена равенством (4), а число \eta 1 = \eta 1(\alpha ) \in (0, 1) определяется как
корень уравнения (3).
Доказательство. Поскольку функция \psi (\alpha , \eta ) непрерывна на интервале [0, 1] по перемен-
ной \eta , достаточно показать, что для любого фиксированного \alpha функция \psi 1(\alpha , \eta ), определенная
равенством (5), убывает на интервале [\eta 1, 1] . Для этого вычислим производную
\partial
\partial \eta
\psi 1(\alpha , \eta ) = 2
\alpha + 1
\alpha
\bigl(
1 + \eta \alpha +1
\bigr) 1/\alpha - 1
(1 + \eta )2+1/\alpha
[\eta \alpha - 1]
и заметим, что при 0 < \eta < 1 эта производная отрицательна.
Следствие 4 доказано.
Следствия 2 и 4 приводят к следующему результату.
Следствие 5. Если p > 1, то
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq \eta \leq \eta 1(1/(p - 1))
\psi 0
\biggl(
1
p - 1
, \eta
\biggr)
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq \eta \leq \eta 1( - 1/p)
\psi 0
\biggl(
- 1
p
, \eta
\biggr)
.
Вычислим производную функции \psi 0(\alpha , \eta ). Имеем
\partial
\partial \eta
\psi 0(\alpha , \eta ) =
(\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha
\alpha
\alpha + 1
1 + \eta \alpha +1
1
1 + \eta
\times
\times
\Biggl\{ \Biggl[
1 -
\biggl(
1
\alpha + 1
1 + \eta \alpha +1
1 + \eta
\biggr) 1/\alpha
\Biggr] \biggl[
1
\alpha + 1
1 + \eta \alpha +1
1 + \eta
- \eta \alpha
\biggr]
-
-
\Biggl[
\alpha
\alpha + 1
\biggl(
1
\alpha + 1
1 + \eta \alpha +1
1 + \eta
\biggr) (\alpha +1)/\alpha
- 1
\alpha + 1
1 + \eta \alpha +1
1 + \eta
+
1
\alpha + 1
\Biggr]
\eta \alpha
(\alpha + 1)(1 + \eta )
1 + \eta \alpha +1
\Biggr\}
.
Заметим, что при \eta = \eta 1 второй множитель во второй строке этого равенства равен нулю. Далее,
выражение в квадратных скобках в третьей строке представляет собой(1+\eta )\Omega (f\alpha ; I)/(2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1614 В. Д. ДИДЕНКО, А. А. КОРЕНОВСКИЙ, Н. Д. ТУА
и, таким образом, элементарные вычисления приводят к следующему представлению произ-
водной функции \psi 0(\alpha , \eta ):
\partial
\partial \eta
\psi 0(\alpha , \eta ) =
\alpha + 1
\alpha
1
(1 + \eta )2+1/\alpha (1 + \eta \alpha +1)2
\times
\times
\Bigl[ \bigl(
1 + \eta \alpha +1
\bigr) (\alpha +1)/\alpha
(\eta \alpha - 1) + (\alpha + 1)1/\alpha
\bigl(
1 + \eta \alpha +1
\bigr) 2
(1 + \eta )1/\alpha -
- (\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha \eta \alpha (1 + \eta )2+1/\alpha
\Bigr]
.
Легко видеть, что
\partial
\partial \eta
\psi 0(\alpha , 0) =
\alpha + 1
\alpha
\Bigl[
(\alpha + 1)1/\alpha - 1
\Bigr]
> 0 при \alpha > 0,
\partial
\partial \eta
\psi 0(\alpha , 0+) = +\infty при - 1 < \alpha < 0.
С другой стороны,
\partial
\partial \eta
\psi 0 (\alpha , \eta 1) = - (\alpha + 1)(3\alpha +1)/\alpha
2| \alpha |
1 + \eta 1\bigl(
1 + \eta \alpha +1
1
\bigr) 2 \eta \alpha 1\Omega (f\alpha ; I (\eta 1)) < 0.
Это приводит к следующему результату.
Следствие 6. При любом фиксированном \alpha функция \psi 0(\alpha , \eta ) достигает своего наиболь-
шего значения на интервале [0, \eta 1] во внутренней точке \eta max = \eta max(\alpha ) \in (0, \eta 1), т. е. там,
где
\partial
\partial \eta
\psi 0(\alpha , \eta ) = 0.
Следствие 6 означает, что \eta max является корнем уравнения\bigl(
1 + \eta \alpha +1
\bigr) (\alpha +1)/\alpha
(\eta \alpha - 1) + (\alpha + 1)1/\alpha
\bigl(
1 + \eta \alpha +1
\bigr) 2
(1 + \eta )1/\alpha -
- (\alpha + 1)(\alpha +1)/\alpha \eta \alpha (1 + \eta )2+1/\alpha = 0. (6)
Однако, даже в простейшем случае \alpha = 1 авторам неизвестно явное решение этого уравнения
(см. пример 1).
Замечание 4. Результаты численных исследований поведения функции \psi 0(\alpha , \eta ) при раз-
личных значениях \alpha показывают, что производная
\partial
\partial \eta
\psi 0(\alpha , \eta ) имеет единственный корень
\eta max = \eta max(\alpha ) на интервале (0, \eta 1), однако доказательство этого факта авторам неизвестно.
2. Численные результаты, примеры и комментарии. Зафиксируем \varepsilon \in (0, 2). Положим
p = p(\varepsilon ) = p+R(\varepsilon ) > 1, \alpha = \alpha (\varepsilon ) = 1/(p(\varepsilon ) - 1) и определим \eta 1 = \eta 1(\varepsilon ) равенством (3).
Согласно теореме 1 и следствию 4,
\| \bfT \| (\varepsilon )\scrG \scrR \geq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
0\leq \eta \leq \eta 1
\psi 0(\alpha , \eta ) \equiv C\varepsilon , \| \bfT \| \scrG \scrR \geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\varepsilon <2
C\varepsilon \equiv C. (7)
В таблице представлены некоторые значения параметров, полученных в результате числен-
ных экспериментов, где в столбцах 6 и 8 содержатся точки максимума функции \psi 0 (\alpha , \eta ) при
\alpha = 1/(p - 1) и \alpha = - 1/p соответственно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ЧИСЛЕННАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕРАВЕНСТВА ГУРОВА – РЕШЕТНЯКА . . . 1615
p \varepsilon = \varepsilon \BbbR + \varepsilon \BbbR C\varepsilon =
\varepsilon \BbbR
\varepsilon \BbbR +
\alpha =
1
p - 1
\eta +max \alpha = - 1
p
\eta - max
1 2 3 4 5 6 7 8
1,15 1,2813 1,4647 1,143133 6,6667 0,5484 –0,8696 0,0100
1,20 1,1647 1,3542 1,162679 5,0000 0,4936 –0,8333 0,0145
1,33 0,9493 1,1346 1,195193 3,0303 0,4030 –0,7519 0,0257
1,50 0,7698 0,9378 1,218204 2,0000 0,3372 –0,6667 0,0383
1,67 0,6513 0,8018 1,231116 1,4993 0,2982 –0,5999 0,0486
2,00 0,5000 0,6224 1,244737 1,0000 0,2531 –0,5000 0,0640
3,00 0,2963 0,3726 1,257683 0,5000 0,2001 –0,3333 0,0895
6,00 0,1340 0,1692 1,263337 0,2000 0,1638 –0,1667 0,1141
11,00 0,0701 0,0886 1,264397 0,1000 0,1508 –0,0909 0,1248
21,00 0,0359 0,0454 1,264692 0,0500 0,1442 –0,0476 0,1309
101,00 0,0073 0,0093 1,264793 0,0100 0,1388 –0,0099 0,1361
1001,00 0,0007 0,0009 1,264797 0,0010 0,1376 –0,0010 0,1373
9999,00 0,0001 0,0001 1,264797 0,0001 0,1375 –0,0001 0,1374
Графическая интерпретация численных результатов представлена на рис. 1 и 2.
Нижняя кривая в левой части рис. 1, a отражает зависимость „нормы” Гурова – Решетняка
\varepsilon \BbbR +(p) от параметра p. Эти результаты получены из формулы (1). Отметим, что данные пред-
ставлены в логарифмической шкале и включают не все результаты из второго столбца таблицы.
Верхняя кривая показывает зависимость показателя \varepsilon \BbbR (p) от p, полученную в следствии 3.
На рис. 1, б приведены графики обратных зависимостей, т. е. те значения параметра p, при
которых функция f1/(p - 1) принадлежит классу \scrG \scrR \BbbR +(\varepsilon ) (нижняя кривая) или классу \scrG \scrR \BbbR (\varepsilon )
(верхняя кривая) при заданном \varepsilon .
На рис. 2, а показана зависимость отношения „норм” функции f1/(p - 1) в классах \scrG \scrR \BbbR и
\scrG \scrR \BbbR + от параметра p, а на рис. 2, б — зависимость значения параметра C\varepsilon (см. (7)) от \varepsilon . В
обоих случаях переменные p и \varepsilon представлены в логарифмической шкале.
Замечание 5. Как видно из таблицы, норму оператора \bfT можно оценить снизу следующим
образом:
\| \bfT \| \scrG \scrR \geq C = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0+
C\varepsilon \approx 1,264797,
где постоянная C определена в (7). Соответствующее численное значение выделено жирным
шрифтом в последней строке таблицы.
Замечание 6. Для функций f \in BMO с ограниченным средним колебанием вопрос о
точном значении нормы \| f\| BMO,\BbbR = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}I\subset \BbbR \Omega (f ; I) четного продолжения из \BbbR + на \BbbR моно-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1616 В. Д. ДИДЕНКО, А. А. КОРЕНОВСКИЙ, Н. Д. ТУА
100 1010
0,5
1
1,5
p 0 0,5 1
100,5
101
ε
a б
Рис. 1. Зависимость между p и \varepsilon .
100 101 102 103
1,15
1,2
1,25
p
1,15
1,2
1,25
10−4 10−3 10−2 10−1 ε
a б
Рис. 2. Рост „норм” при продолжении из \BbbR + на \BbbR .
тонной на полуоси \BbbR + функции сформулирован в [9] и, насколько авторам известно, открыт. В
[2] найдена BMO-норма функции f0(x) = \mathrm{l}\mathrm{n}(1/| x| ) — типичного представителя этого класса.
Именно,
\| f0\| BMO,\BbbR =
2
e
1
t+ 1
\biggl[
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
t \mathrm{l}\mathrm{n} t
t+ 1
\biggr)
+ e
t \mathrm{l}\mathrm{n} t
t+ 1
\biggr]
,
где t > 1 — корень уравнения
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
t \mathrm{l}\mathrm{n} t
t+ 1
\biggr)
= e
\biggl(
t - 1 - t+ 1
\mathrm{l}\mathrm{n} t
\biggr)
. (8)
Поскольку \| f0\| BMO,\BbbR +
= 2/e, то численное решение уравнения (8) приводит к оценке (см. [2])
\| \bfT \| BMO = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f — четная на \BbbR
и монотонная на \BbbR +
\| f\| BMO,\BbbR
\| f\| BMO,\BbbR +
\geq
\| f0\| BMO,\BbbR
\| f0\| BMO,\BbbR +
\equiv C0 \approx 1,264797.
Отметим, что значения C и C0 совпадают с точностью до шести знаков после запятой,
т. е. оценки снизу для норм \| \bfT \| \scrG \scrR и \| \bfT \| BMO оператора четного продолжения \bfT совпали с
использованной точностью вычислений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ЧИСЛЕННАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕРАВЕНСТВА ГУРОВА – РЕШЕТНЯКА . . . 1617
0
0,
06
4
0,
17
2
0,
25
3
0,
41
4 1
0,
20
0
0,
35
5
2 – 1) ≈ 1,172
1,245
1
C ≈1,265
1,258
ψ
0 (1, η)
ψ
1 (1, η)
ψ 0
(−
1/
2,
η )
ψ
1 (−1/ 2, η)
η m
ax
(−
1/
2)
η 1
(−
1/
2)
=
3
−
2
η m
ax
(1
)
η 1
(1
)=
α
=
−1/ 2
α
=
1
α
=
1 / 2
η
1,180ψ(α, η) ≈
2 ( 2
2
2
−
1
Рис. 3. Графики функций \psi (1, \eta ), \psi ( - 1/2, \eta ) (p = 2) и \psi (1/2, \eta ) (p = 3).
Пример 1. В простейшем случае \varepsilon = 1/2, p = 2 и \alpha = 1 или \alpha = - 1/2 можем найти
корни уравнения (3), равные \eta 1(1) =
\surd
2 - 1 \approx 0,414, \eta 1 ( - 1/2) = 3 - 2
\surd
2 \approx 0,172.
Соответствующая строка в таблице выделена жирным шрифтом. На рис. 3 графики функ-
ций \psi ( - 1/2, \eta ) и \psi (1, \eta ) изображены сплошными линиями. Отметим, что \psi 0(1, \eta 1(1)) =
= \psi 0 ( - 1/2, \eta 1 ( - 1/2)) = 2
\surd
2
\bigl( \surd
2 - 1
\bigr)
\approx 1,172. Для этих значений параметров уравнение (6),
из которого определяется \eta max = \eta max(1) \in (0, \eta 1) , принимает вид
3\eta 5 - 3\eta 4 - 6\eta 3 - 10\eta 2 - \eta + 1 = 0.
Решение этого уравнения вызывает затруднение. Однако можно показать, что на интервале
(0, \eta 1) это уравнение имеет единственное решение (см. замечание 4). Действительно, поскольку
вторая производная функции \psi 0(1, \eta ) равна
\partial 2
\partial \eta 2
\psi 0(1, \eta ) = - 4
\biggl(
3\eta
(1 + \eta )4
+ 2
1 - 3\eta 2
(1 + \eta 2)3
\biggr)
и 1 - 3\eta 2 > 0 при 0 < \eta <
\surd
2 - 1, то
\partial 2
\partial \eta 2
\psi 0(1, \eta ) < 0 на интервале (0, \eta 1). Это означает, что
\partial
\partial \eta
\psi 0(1, \eta ) строго убывает на интервале (0, \eta 1) и, следовательно, имеет единственный корень
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1618 В. Д. ДИДЕНКО, А. А. КОРЕНОВСКИЙ, Н. Д. ТУА
на этом интервале. В силу следствия 2 производная
\partial
\partial \eta
\psi 0( - 1/2, \eta ) также имеет единственный
корень на интервале (0, \eta 1( - 1/2)) .
Отметим, что \eta max(1) \approx 0,253, \eta max ( - 1/2) \approx 0,064 являются приближенными значениями
соответствующих корней и C1/2 \approx 1,245.
Пример 2. Пусть \alpha = 1/2, p = 3, \varepsilon \approx 0,296. В таблице часть строки, содержащей
соответствующие численные результаты, выделена жирным шрифтом. На рис. 3 график соот-
ветствующей функции изображен штриховой линией.
В этом случае уравнение (3) принимает вид
\surd
\eta =
2
3 + \eta
.
Решение этого уравнения
\eta 1 \equiv \eta 1
\biggl(
1
2
\biggr)
=
3
\sqrt{}
3 + 2
\surd
2 +
3
\sqrt{}
3 - 2
\surd
2 - 2 \approx 0,355
может быть получено с помощью формул Кардано. Также имеем
\psi 0
\biggl(
1
2
, \eta
\biggr)
=
\bigl(
1 + \eta 3/2
\bigr) 2
(1 + \eta )3
+
27
4
\biggl[
1
1 + \eta 3/2
- 1
1 + \eta
\biggr]
,
\psi (1/2, \eta 1) \approx 1,180. Кроме того, уравнение (6) принимает вид\Bigl(
1 + \eta 3/2
\Bigr) 3 \Bigl(
\eta 1/2 - 1
\Bigr)
+
9
4
\Bigl(
1 + \eta 3/2
\Bigr) 2
(1 + \eta )2 - 27
8
\eta 1/2(1 + \eta )4 = 0,
и его приближенное решение \eta max(1/2) \approx 0,200. Окончательно получаем приближенное зна-
чение C0,296 \approx 1,258.
Литература
1. Bojarski B. Remarks on stability of the inverse Hölder inequalities and quasiconformal mappings // Ann. Acad. Sci.
Fenn. Math. – 1985. – 10. – P. 291 – 296.
2. Didenko V. D., Korenovskyi A. A., Tuah N. J. Mean oscillations of the logarithmic function // Ric. mat. – 2013. – 62,
№ 1. – P. 81 – 90.
3. Franciosi M. Higher integrability results and Hölder continuity // J. Math. Anal. and Appl. – 1990. – 150, № 1. –
P. 161 – 165.
4. Franciosi M. The Gurov – Reshetnyak condition and VMO // J. Math. Anal. and Appl. – 1994. – 181, № 1. – P. 17 – 21.
5. Franciosi M., Moscariello G. Higher integrability results // Manuscripta Math. – 1985. – 52, № 1. – P. 151 – 170.
6. Gehring F. W. The Lp -integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping // Acta Math. – 1973. –
130. – P. 265 – 273.
7. Gurov L. G., Reshetnyak Y. G. An analogue of the concept of functions with bounded mean oscillation // Sib. Math.
J. – 1976. – 17, № 3. – P. 417 – 422.
8. Iwaniec T. On Lp -integrability in PDE’s and quasiregular mappings for large exponent // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Math. – 1982. – 7, № 2. – P. 301 – 322.
9. Klemes I. A mean oscillation inequality // Proc. Amer. Math. Soc. – 1985. – 93, № 3. – P. 497 – 500.
10. Korenovskii A. A. Mean oscillations and equimeasurable rearrangements of functions // Lect. Notes. Unione mat.
ital. – Berlin: Springer, 2007. – 4.
11. Korenovskyi A. The Gurov – Reshetnyak inequality on semi-axes // Ann. mat. pura and appl. – 2016. – 195, № 2. –
P. 659 – 680.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ЧИСЛЕННАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕРАВЕНСТВА ГУРОВА – РЕШЕТНЯКА . . . 1619
12. Korenovskii A. A. On the connection between mean oscillation and exact integrability classes of functions // Mat.
Sb. – 1990. – 181, № 12. – P. 1721 – 1727.
13. Korenovskii A. A. On the embedding of the Gehring class into the Gurov – Reshetnyak class // Visn. Odes. Nats. Univ.
Mat. i Mekh. – 2003. – 8, № 2. – P. 15 – 21.
14. Korenovskii A. A. Relation between the Gurov – Reshentnyak and the Muckenhoupt function classes // Mat. Sb. –
2003. – 194, № 6. – P. 127 – 134.
15. Korenovskii A. A. About the Gurov – Reshetnyak class of functions // Pr. Inst. Mat. Nats. Akad. Nauk Ukrainy. Mat.
Zastos. – 2004. – 1, № 1. – P. 189 – 206.
16. Korenovskii A. A., Lerner A. K., Stokolos A. M. A note on the Gurov – Reshetnyak condition // Math. Res. Lett. –
2002. – 9, № 5–6. – P. 579 – 583.
17. Shanin R. V. Extension of functions with bounded mean oscillation // J. Math. Sci. (N. Y.). – 2014. – 196, № 5. –
P. 693 – 704.
18. Wik I. Note on a theorem by Reshetnyak – Gurov // Dep. Math. Univ. Umea (Publ.). – 1985. – 6. – P. 1 – 7.
Получено 19.11.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1947 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:46Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9d/bd0a9af614b3af7ff82c838d119d3f9d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19472019-12-05T09:32:42Z Numerical interpretation of the Gurov – Reshetnyak inequality on the real line Численная интерпретация неравенства Гурова – Решетняка на действительной оси Didenko, V. D. Korenovskii, A. A. Tuah, N. J. Диденко, В. Д. Кореновский, А. А. Туа, Н. Д. Диденко, В. Д. Кореновский, А. А. Туа, Н. Д. We find the “norm” of a power function in the Gurov – Reshetnyak class on the real line. Moreover, as a result of numerical experiments, we establish a lower bound for the norm of the operator of even extension from the semiaxis onto the entire real line in the Gurov – Reshetnyak class. Обчислено „норму” степеневої функцiї в класi Гурова – Решетняка на дiйснiй осi. Крiм того, в результатi числових експериментiв отримано оцiнку знизу норми оператора парного продовження функцiї з класу Гурова – Решетняка з напiвосi на всю дiйсну вiсь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1947 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 12 (2016); 1607-1619 Український математичний журнал; Том 68 № 12 (2016); 1607-1619 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1947/929 Copyright (c) 2016 Didenko V. D.; Korenovskii A. A.; Tuah N. J. |
| spellingShingle | Didenko, V. D. Korenovskii, A. A. Tuah, N. J. Диденко, В. Д. Кореновский, А. А. Туа, Н. Д. Диденко, В. Д. Кореновский, А. А. Туа, Н. Д. Numerical interpretation of the Gurov – Reshetnyak inequality on the real line |
| title | Numerical interpretation of the Gurov – Reshetnyak
inequality on the real line |
| title_alt | Численная интерпретация неравенства Гурова –
Решетняка на действительной оси |
| title_full | Numerical interpretation of the Gurov – Reshetnyak
inequality on the real line |
| title_fullStr | Numerical interpretation of the Gurov – Reshetnyak
inequality on the real line |
| title_full_unstemmed | Numerical interpretation of the Gurov – Reshetnyak
inequality on the real line |
| title_short | Numerical interpretation of the Gurov – Reshetnyak
inequality on the real line |
| title_sort | numerical interpretation of the gurov – reshetnyak
inequality on the real line |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1947 |
| work_keys_str_mv | AT didenkovd numericalinterpretationofthegurovreshetnyakinequalityontherealline AT korenovskiiaa numericalinterpretationofthegurovreshetnyakinequalityontherealline AT tuahnj numericalinterpretationofthegurovreshetnyakinequalityontherealline AT didenkovd numericalinterpretationofthegurovreshetnyakinequalityontherealline AT korenovskijaa numericalinterpretationofthegurovreshetnyakinequalityontherealline AT tuand numericalinterpretationofthegurovreshetnyakinequalityontherealline AT didenkovd numericalinterpretationofthegurovreshetnyakinequalityontherealline AT korenovskijaa numericalinterpretationofthegurovreshetnyakinequalityontherealline AT tuand numericalinterpretationofthegurovreshetnyakinequalityontherealline AT didenkovd čislennaâinterpretaciâneravenstvagurovarešetnâkanadejstvitelʹnojosi AT korenovskiiaa čislennaâinterpretaciâneravenstvagurovarešetnâkanadejstvitelʹnojosi AT tuahnj čislennaâinterpretaciâneravenstvagurovarešetnâkanadejstvitelʹnojosi AT didenkovd čislennaâinterpretaciâneravenstvagurovarešetnâkanadejstvitelʹnojosi AT korenovskijaa čislennaâinterpretaciâneravenstvagurovarešetnâkanadejstvitelʹnojosi AT tuand čislennaâinterpretaciâneravenstvagurovarešetnâkanadejstvitelʹnojosi AT didenkovd čislennaâinterpretaciâneravenstvagurovarešetnâkanadejstvitelʹnojosi AT korenovskijaa čislennaâinterpretaciâneravenstvagurovarešetnâkanadejstvitelʹnojosi AT tuand čislennaâinterpretaciâneravenstvagurovarešetnâkanadejstvitelʹnojosi |