On resolvent of the Levy process with matrix-exponential distribution of jumps
We consider the representations of resolvent for a Levy process whose jumps have a matrix-exponential distribution.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2016
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1949 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507845901942784 |
|---|---|
| author | Karnaukh, E. V. Карнаух, Є. В. |
| author_facet | Karnaukh, E. V. Карнаух, Є. В. |
| author_sort | Karnaukh, E. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:32:42Z |
| description | We consider the representations of resolvent for a Levy process whose jumps have a matrix-exponential distribution. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:15:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
Є. В. Kарнаух (Днiпропетр. нац. ун-т iм. О. Гончара)
ПРО РЕЗОЛЬВЕНТУ ПРОЦЕСУ ЛЕВI
З МАТРИЧНО-ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНИМ РОЗПОДIЛОМ СТРИБКIВ
We consider the representations of resolvent for a Levy process whose jumps have a matrix-exponential distribution.
Рассматриваются представления резольвенты для процесса Леви со скачками, которые имеют матрично-экспонен-
циальное распределение.
1. Вступ. У цiй статтi розглядаються процеси Левi, в яких стрибкова частина має обмежену
варiацiю i стрибки хоча б одного знака мають матрично-експоненцiальний (МЕ) розподiл. МЕ
розподiли називають також розподiлами з рацiональною характеристичною функцiєю (див.,
наприклад, [1], гл. IX) i до них вiдносять, зокрема, експоненцiальний, гiперекспоненцiальний
та ерланговий розподiли. Процеси Левi мають широке застосування в сучаснiй теорiї ризику
та фiнансовому аналiзi (див., наприклад, [1, 2] та [3] вiдповiдно). При цьому ряд задач можна
звести до визначення розподiлiв певних функцiоналiв. Одним iз важливих методiв дослiдження
цих розподiлiв є метод потенцiалу, запропонований В. С. Королюком. Важливим аспектом да-
ного методу є той факт, що процес Левi є окремим випадком феллерiвського процесу.
Для однорiдних марковських процесiв операторна резольвента \sansR s на класi обмежених ви-
мiрних функцiй f (x) визначається формулою Динкiна [4] (лема 5.1). Для напiвнеперервних
пуассонiвських процесiв \xi t В. С. Королюк [5] увiв поняття потенцiалу та резольвенти як функ-
цiй, за допомогою яких \sansR sf (x) має просте зображення (див. [6], (6.9)). Це дозволяє однотипно
дослiджувати рiзнi одно- та двограничнi функцiонали для таких процесiв i виразити їх у термi-
нах резольвенти Rs (x) або потенцiалу R (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}s\rightarrow 0Rs (x), зображення якого в залежностi
вiд знака m = \sansE \xi 1 наводиться в [2, 7] (див. [2], формула (4.32)). Iнтегральнi перетворення
Rs (x) та R (x) досить просто виражаються через кумулянту k (r) = \mathrm{l}\mathrm{n}\sansE er\xi 1 (див. [5], § 2.4).
У працi [8, с. 31] на вiдмiну вiд потенцiалу вводиться поняття потенцiальної мiри для
субординатора \zeta t з вiдповiдною кумулянтою k (u) так:
U (x) =
\infty \int
0
I\zeta t\in [0,x]dt, x > 0.
У роботi [2] показано, що цi два поняття узгоджуються мiж собою, оскiльки їх перетворення
Лапласа однаково виражаються через | k (r) | - 1 (див. [2], формули (4.183), (4.205)).
Метод потенцiалу був розвинутий для процесiв Левi зi стрибками лише одного знака.
Проте частину результатiв можна отримати i для бiльш загальних процесiв, припускаючи, що
можливi стрибки обох знакiв, причому стрибки одного зi знакiв мають розподiл iз рацiональною
характеристичною функцiєю (див. [6], § 6).
Основна мета статтi — отримати матричнi аналоги формул операторної резольвенти, вста-
новлених у [2, 6], для процесiв Левi з МЕ розподiленими стрибками одного знака. Для до-
сягнення цiєї мети в першiй частинi статтi розглянуто iнтегральнi перетворення розподiлiв
c\bigcirc Є. В. KАРНАУХ, 2016
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12 1629
1630 Є. В. KАРНАУХ
перестрибкових функцiоналiв, у термiнах яких iз застосуванням результатiв роботи [9] визна-
чається спiльний розподiл процесу та його екстремумiв до моменту виходу з деякого iнтервалу.
Цей розподiл визначає ядро резольвенти процесу з обривом у момент виходу з даного iнтервалу.
2. Процес Левi з МЕ розподiленими стрибками. Розглянемо процес Левi Xt, t \geq 0, який
має кумулянту
k (r) = ar +
\sigma 2
2
r2 +
\infty \int
- \infty
(erx - 1)\Pi (dx) , (1)
де a — деяка стала, \sigma \geq 0 та \Pi — невiд’ємна мiра на R\setminus \{ 0\} :
\int 1
- 1
| x| \Pi (dx) < \infty . Припустимо,
що додатнi стрибки процесу мають ME розподiл, тобто \Pi (dx) = \lambda +p (x) dx, x > 0, де \lambda + =
=
\int
R+
\Pi (dx) < \infty та щiльнiсть p (x) має рацiональну характеристичну функцiю з полюсами
c+1 , . . . , c
+
d+
: \Re [c+d+ ] \geq . . . \geq \Re [c+2 ] \geq c+1 > 0 (детальнiше див. [10], роздiл 1.3). Кумулянта такого
процесу має вигляд
k (r) = ar +
\sigma 2
2
r2 +
0\int
- \infty
(erx - 1)\Pi (dx) + k+ (r) , (2)
де k+ (r) = \lambda +
\Bigl(
Q (r) /
\Bigl( \bigl(
c+1 - r
\bigr)
. . .
\Bigl(
c+d+ - r
\Bigr) \Bigr)
- 1
\Bigr)
, Q (r) — полiном степеня меншого
за d+ . Так визначений процес Xt називатимемо UME процесом. Процеси Левi, якi мають
МЕ розподiленi вiд’ємнi стрибки (визначенi аналогiчно iз замiною в позначеннях + на – ),
називатимемо LME процесами, а якщо i вiд’ємнi i додатнi, — то DME процесами.
Видiлимо два випадки
(NS)\pm : \sigma > 0 або \sigma = 0, \pm a > 0
та
(S)\pm : \sigma = 0, \pm a \leq 0.
Важливою властивiстю UME (LME) процесу є те, що його кумулянтне рiвняння k (r) = s має
коренi
\bigl\{
\pm r\pm i (s)
\bigr\} N\pm
i=1
на пiвплощинi
\pm \Re [r] > 0 : \Re
\Bigl[
r\pm N\pm
(s)
\Bigr]
\geq . . . \geq \Re
\bigl[
r\pm 2 (s)
\bigr]
\geq r\pm 1 (s) ,
де кiлькiсть коренiв N\pm збiгається з порядком МЕ розподiлу d\pm у випадку (S)\pm i дорiвнює
d\pm +1 у випадку (NS)\pm , бiльш того, r+1 (s) — єдиний корiнь на
\bigl[
0, c+1
\bigr] \bigl(
- r - 1 (s) — на
\bigl[
- c - 1 , 0
\bigr] \bigr)
.
Iз результатiв [10] (зауваження 2.2) та [12] (наслiдок 2) випливає, що за умови m = \sansE X1 > 0
(m < 0) при s \rightarrow +0 коренi
r\pm i (s) \rightarrow r\pm i : \Re
\bigl[
r\pm i
\bigr]
> 0, i = 2, . . . , N\pm та s/r\pm 1 (s) \rightarrow | m| .
У термiнах цих коренiв можна отримати явнi формули для розподiлiв перестрибкових та дво-
граничних функцiоналiв, що визначають операторну резольвенту процесу з обривом у момент
досягнення деякого рiвня, а також у момент виходу зi скiнченного iнтервалу.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ПРО РЕЗОЛЬВЕНТУ ПРОЦЕСУ ЛЕВI З МАТРИЧНО-ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНИМ РОЗПОДIЛОМ СТРИБКIВ 1631
2.1. Момент першого досягнення рiвня. Базовими функцiоналами процесу Левi є його
екстремуми X+
t = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}u\leq tXu та X -
t = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}u\leq tXu. Ключовою властивiстю UME процесу є те,
що розподiл супремумa, зупиненого у показниково розподiлений момент часу, має МЕ розподiл
(див. [10], теорема 2.1).
Нехай \theta s визначає показниково розподiлену випадкову величину з параметром s > 0,
незалежну вiд Xt : \sansP \{ \theta s > t\} = e - st, t > 0. Позначимо
\beta \pm
k =
\sum
1\leq i1<...<ik\leq d\pm
c\pm i1 . . . c
\pm
ik
та \rho \pm k (s) =
\sum
1\leq i1<...<ik\leq N\pm
r\pm i1 (s) . . . r
\pm
ik
(s) ,
тодi розподiл X\pm
\theta s
можна записати у термiнах параметрiв
\bfitbeta \pm =
\Bigl(
\beta \pm
d\pm
, . . . , \beta \pm
1
\Bigr)
, \bfitrho \pm (s) =
\Bigl(
\rho \pm N\pm
(s) , . . . , \rho \pm 1 (s)
\Bigr)
, \bfe = (0, . . . , 0, 1)\top
та
\bfR \pm (s) =
\left(
0 - 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . - 1
\rho \pm d\pm (s) \rho \pm d\pm - 1 (s) . . . \rho \pm 1 (s)
\right) .
Розмiрнiсть стовпця \bfe в кожному виразi визначається матрицею, на яку вiн множиться справа
(тобто так, щоб вiдповiдний добуток був коректним).
Лема 1 ([11], наслiдок 2.1). Для UME (LME) процесу Xt розподiл максимуму (мiнiмуму),
зупиненого у момент \theta s, визначено таким спiввiдношенням:
P\pm (s, dx) = \sansP
\bigl\{
X\pm
\theta s
\in dx
\bigr\}
=
\Bigl(
p\pm (s) \delta (x) + \bfq \pm (s) e\mp R\pm (s)x\bfe
\Bigr)
dx, \pm x \geq 0, (3)
де \delta (x) — дельта-функцiя Дiрака та
p\pm (s) = \sansP
\bigl\{
X\pm
\theta s
= 0
\bigr\}
=
\left\{
0 у випадку (NS)\pm ,
\rho \pm d\pm (s)
\beta \pm
d\pm
у випадку (S)\pm ,
\bfq \pm (s) =
\left\{
\rho \pm d\pm +1 (s)
\beta \pm
d+
(\bfitbeta \pm , 1) у випадку (NS)\pm ,
\rho \pm d+ (s)
\beta \pm
d\pm
(\bfitbeta \pm - \bfitrho \pm (s)) у випадку (S)\pm .
Позначимо момент першого досягнення рiвня x \geq 0 як \tau +x = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ t \geq 0 : Xt > x\} та пере-
стриб через цей рiвень як \gamma + (x) = X\tau +x
- x, тодi iнтегральне перетворення спiльного розподiлу
\{ \tau +x , \gamma + (x)\} можемо виразити в термiнах таких характеристик:
\bfitvargamma + =
\bigl(
\rho +1 (s) - \beta +
1
\bigr) - 1
\Bigl(
\rho +d++1 (s) - 0, \rho +d+ (s) - \beta +
d+
, . . . , \rho +2 (s) - \beta +
2
\Bigr)
,
\bfitalpha + (s) =
\Biggl\{
\bfitvargamma + - \bfitbeta + у випадку (NS)+ ,
\bfitrho + (s) - \bfitbeta + у випадку (S)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1632 Є. В. KАРНАУХ
та
\bfT + =
\left(
0 - 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . - 1
\beta +
d+
\beta +
d+ - 1 . . . \beta +
1
\right) .
Для доведення теореми, наведеної нижче, застосовується формула обернення рацiональної
характеристичної функцiї [1] (твердження 6.1) та формула iнтеграла добутку ME щiльностей
[1] (лема A4.6) у термiнах добутку \otimes та суми Кронекера \oplus .
Теорема 1. Для UME процесу Xt iнтегральне перетворення спiльного розподiлу моменту
досягнення додатного рiвня та перестрибу через цей рiвень у випадку (S)+ (x > 0) визначено
так:
V+ (x, dv) = \sansE
\Bigl[
e - s\tau +x , \gamma + (x) \in dv, \tau +x < \infty
\Bigr]
=
\beta +
d+
\rho +d+ (s)
\biggl(
\bfq + (s) e - R+(s)(x+v)\bfe -
- (\bfq + (s)\otimes \bfitalpha + (s)) (\bfR + (s)\oplus \bfT +)
- 1
\Bigl(
e - R+(s)x \otimes e - T+v - e - R+(s)(x+v) \otimes \bfI
\Bigr)
\bfe
\biggr)
dv (4)
та у випадку (NS)+ як
V+ (x, 0) = \sansE
\Bigl[
e - s\tau +x , \gamma + (x) = 0, \tau +x < \infty
\Bigr]
= (\bfitbeta +, 1) e
- R+(s)x\bfe , (5)
для v > 0
V+ (x, dv) = \sansE
\Bigl[
e - s\tau +x , \gamma + (x) \in dv, \tau +x < \infty
\Bigr]
=
\beta +
d+
\rho +d++1 (s)
\biggl(
- \bfq + (s)\bfR + (s) e - R+(s)(x+v)\bfe +
+
\bigl(
\rho +1 (s) - \beta +
1
\bigr) \Bigl(
\bfq + (s) e - R+(s)(x+v)\bfe -
- (\bfq + (s)\otimes \bfitalpha + (s)) ( - \bfR + (s)\oplus \bfT +)
- 1
\Bigl(
e - R+(s)x \otimes e - T+v - e - R+(s)(x+v) \otimes \bfI
\Bigr)
\bfe
\Bigr) \biggr)
dv. (6)
Доведення. Обертаючи другу факторизацiйну тотожнiсть [7] (формула (2.26)) по \mu , отриму-
ємо формулу Печерського – Рогозiна (див., наприклад, [9], (2)), що визначає спiльну генератрису
для \{ \tau +x , \gamma + (x)\}
\sansE
\Bigl[
e - s\tau +x - u\gamma +(x), \tau +x < \infty
\Bigr]
=
\Bigl(
\sansE e - uX+
\theta s
\Bigr) - 1
\infty \int
0
e - uv\sansP
\bigl\{
X+
\theta s
- x \in dv
\bigr\}
, x > 0. (7)
Враховуючи, що характеристична функцiя X+
\theta s
є рацiональною (див. [10], формула (13)), множ-
ник
\Bigl(
\sansE e - uX+
\theta s
\Bigr) - 1
можна записати у виглядi
\Bigl(
\sansE e - uX+
\theta s
\Bigr) - 1
=
\beta +
d+
\rho +N+
(s)
\left\{
u+
\bigl(
\rho +1 - \beta +
1
\bigr) \left( 1 -
\infty \int
0
e - uzgs (z) dz
\right) у випадку (NS)+ ,
1 -
\infty \int
0
e - uzgs (z) dz у випадку (S)+ ,
(8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ПРО РЕЗОЛЬВЕНТУ ПРОЦЕСУ ЛЕВI З МАТРИЧНО-ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНИМ РОЗПОДIЛОМ СТРИБКIВ 1633
де gs (z) = \bfitalpha + (s) e - T+z\bfe . Пiдставляючи (8) та (3) в (7) i обертаючи по u, доводимо (4) – (6).
У випадках (NS)+ та (S)+ V+ (x, dv) можна подати як добуток двох векторiв V+ (x, dv) =
= \bfb + (x)\bfd + (dv), де \bfb + (x) визначає вектор-рядок, а \bfd + (dv) — вектор-стовпчик, кожен з яких
мiстить N+ елемент. Цей факт можна встановити зi спiввiдношення (7), записавши його у
виглядi
\sansE
\Bigl[
e - s\tau +x - u\gamma +(x), \tau +x < \infty
\Bigr]
=
=
\beta +
d+
\rho +N+
(s)
\left( ud+ +
d+\sum
k=1
\beta +
k u
d+ - k
\right) - 1
\bfq + (s) \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} (\bfR + (s) + u\bfI ) (\bfR + (s) + u\bfI ) - 1 e - R+(s)x\bfe
i зазначивши, що елементи матрицi \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} (\bfR + (s) + u\bfI ) (\bfR + (s) + u\bfI ) - 1 є полiномами степеня
меншого або рiвного N+ (див. також [13], наслiдок 2.5).
Щоб отримати формулу для V - (x, du) = \sansE
\Bigl[
e - s\tau - x , \gamma - (x) \in du, \tau - (x) < \infty
\Bigr]
, де \tau - x та
\gamma - (x) — момент досягнення та перестриб через вiд’ємний рiвень x \leq 0 вiдповiдно, можемо
застосувати тотожнiсть безмежно подiльної факторизацiї, з якої одержати \sansE erX
-
\theta s , а потiм
використати формулу Гербера – Шiу (див., наприклад, [12], лема 2). Якщо маємо DME процес,
то можемо застосувати безпосереднiй аналог теореми 1.
2.2. Момент виходу з iнтервалу . Позначимо момент виходу з iнтервалу (x - b, x) як
\tau (x, b) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \{ t \geq 0 : Xt /\in (x - b, x)\} , 0 < x < b, i припустимо, що \tau (x, b) = 0 для x /\in (0, b).
Визначимо перестриб через границю в момент виходу як \gamma b (x) =
\bigl(
X\tau (x,b) - x
\bigr)
IX\tau (x,b)\geq x +
+
\bigl(
x - b - X\tau (x,b)
\bigr)
IX\tau (x,b)\leq x - b.
Застосовуючи теорему 1 з [9], iнтегральне перетворення спiльного розподiлу \{ \tau (x, b) , \gamma b (x)\}
можна записати у термiнах ряду послiдовних iтерацiй (запис у термiнах лiнiйних операторiв
наведено у [12] (теорема 4))
Q+
s (x, b, du) = \sansE
\Bigl[
e - s\tau (x,b), \gamma b (x) \in du,X\tau (x,b) \geq x
\Bigr]
= fs
+ (x, du) +
\infty \int
0
f s
+ (x, dv)Ks
+ (v, du) ,
де
fs
+ (x, du) = V+ (x, du) -
\infty \int
0
V - (b - x, dv)V+ (v + b, du) ,
Ks
+ (v, du) =
\infty \sum
n=1
K
(n)
+ (v, du, s) ,
K
(n)
+ (v, du, s) визначенi рекурентно:
K
(n+1)
+ (v, du, s) =
\infty \int
0
K
(n)
+ (v, dz, s)K+ (z, du, s)
та
K+ (v, du, s) =
\infty \int
0
V - ( - v - b, dz)V+ (z + b, du) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1634 Є. В. KАРНАУХ
Позначимо
\bfh (v) =
\infty \int
0
V - ( - v - b, dz)\bfb + (z + b) ,
\infty \int
0
\bfd + (dv)\bfh (v) = \bfA +, \bfm (x) = \bfb + (x) - \bfh (x - 2b) ,
тодi K+ (v, du, s) = \bfh (v)\bfd + (du) та fs
+ (x, du) = \bfm (x)\bfd + (du) . Звiдси Ks
+ (v, du) =
= \bfh (v) (\bfI - \bfA +)
- 1 \bfd + (du), i маємо таке твердження.
Теорема 2. Для UME процесу Xt iнтегральне перетворення спiльного розподiлу моменту
виходу з iнтервалу (x - b, x) та перестрибу в цей момент можна записати у виглядi (u \geq 0)
Q+
s (x, b, du) = \bfm (x) (\bfI - \bfA +)
- 1 \bfd + (du) . (9)
Для визначення розподiлу процесу до моменту виходу з iнтервалу застосуємо обернення
тотожностi Печерського, яка безпосередньо отримується з формули (4.62) [7].
Лема 2. Для розподiлу процесу Левi Xt з кумулянтою (1), зупиненого до моменту виходу з
iнтервалу (x - b, x) , маємо
Hs (b, x, dz) = \sansP \{ X\theta s \in dz, \tau (x, b) > \theta s\} =
z\int
x - b
\sansP
\bigl\{
X+
\theta s
\in dz - y
\bigr\}
\times
\times
\left( \sansP
\bigl\{
X -
\theta s
\in dy
\bigr\}
I \{ y \leq 0\} +
\infty \int
0
\sansP
\bigl\{
X -
\theta s
\in dy - x - v
\bigr\}
Q+
s (x, b, dv)
\right) . (10)
Функцiя Hs (b, x, dz) визначає спiльний розподiл значень процесу та його екстремумiв:
Hs (b, x, dz) = \sansP
\bigl\{
X\theta s \in dz,X+
\theta s
< x,X -
\theta s
> x - b
\bigr\}
(детальнiше див. [9], пункт 1.4). Застосовуючи лему 1 та теорему 2, з (10) виводимо таке
твердження.
Теорема 3. Для UME процесу Xt (x - b < z < x)
Hs (b, x, dz) = p+ (s)M - (dz) + \bfq + (s)
z\int
x - b
e - R+(s)(z - y)M - (dy) \bfe dz, (11)
де
M - (dy) = \sansP
\bigl\{
X -
\theta s
\in dy
\bigr\}
I \{ y \leq 0\} +
+\bfm (x) (\bfI - \bfA +)
- 1
\infty \int
0
\sansP
\bigl\{
X -
\theta s
\in dy - x - v
\bigr\}
\bfd + (dv) .
Приклад. Нехай маємо процес Xt з кумулянтою (2), де
k+ (r) = \lambda +
\biggl(
c+1
c+1 - r
- 1
\biggr)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ПРО РЕЗОЛЬВЕНТУ ПРОЦЕСУ ЛЕВI З МАТРИЧНО-ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНИМ РОЗПОДIЛОМ СТРИБКIВ 1635
тобто d+ = 1 i додатнi стрибки мають показниковий розподiл з параметром c+1 > 0. Припу-
стимо, що \sigma > 0, тодi кумулянтне рiвняння має два додатних коренi r+1 (s) < r+2 (s) та
\bfq + (s) =
r+1 (s) r+2 (s)
c+1
\bigl(
c+1 , 1
\bigr)
, \bfe =
\biggl(
0
1
\biggr)
,\bfR + (s) =
\biggl(
0 - 1
r+1 (s) r+2 (s) r+1 (s) + r+2 (s)
\biggr)
.
Для простоти позначень далi явно не вiдмiчатимемо залежнiсть коренiв вiд s. За лемою 1 маємо
P+ (s, dy) = \bfq + (s) e - R+(s)y\bfe dy =
r+1 r
+
2
c+1
\Bigl(
a+1 (s) e - r+1 y + a+2 (s) e - r+2 y
\Bigr)
dy , де
a+1 (s) =
c+1 - r+1
r+2 - r+1
, a+2 (s) =
r+2 - c+1
r+2 - r+1
.
Для знаходження iнтегрального перетворення спiльного розподiлу моменту досягнення рiвня
та перестрибу \{ \tau +x , \gamma + (x)\} зазначимо, що \bfitalpha + (s) =
\bigl(
r+1 + r+2 - c+1
\bigr) - 1
r+1 r
+
2 - c+1 , \bfT = c+1 ,
тодi
V+ (x, 0) = a+1 (s) e - r+1 x + a+2 (s) e - r+2 x
та
V+ (x, dv) =
\bigl(
r+2 - r+1
\bigr) - 1 \bigl(
c+1 - r+1
\bigr) \bigl(
r+2 - c+1
\bigr) \Bigl(
e - r+1 x - e - r+2 x
\Bigr)
e - c+1 vdv
для v > 0, що вiдповiдає вiдомому результату (див., наприклад, [2], (5.290)).
Позначивши b+1i (s) = ( - 1)i - 1 \bigl( r+2 - r+1
\bigr) - 1 \bigl(
c+1 - r+1
\bigr) \bigl(
r+2 - c+1
\bigr)
, i = 1, 2, можемо записати
це iнтегральне перетворення як V+ (x, dv) = \bfb + (x)\bfd + (dv), де
\bfb + (x) =
\Biggl(
2\sum
i=1
a+i (s) e - r+i x,
2\sum
i=1
b+i1 (s) e
- r+i x
\Biggr)
, \bfd + (dv) =
\Bigl(
\delta (v) dv, e - c+1 vdv
\Bigr) \top
.
Тодi, враховуючи позначення
\~V - (x, u) =
\infty \int
0
e - uvV - (x, dv) та \~V -
b (\mu , u) =
\infty \int
b
e - \mu (x - b)V - ( - x, dv) ,
для множникiв у формулi (9), якi визначають iнтегральне перетворення спiльного розподiлу
\{ \tau (x, b) , \gamma b (x)\} , отримуємо
\bfm (x)=
\Biggl(
2\sum
i=1
a+i (s)
\Bigl(
e - r+i x - e - r+i b \~V -
\bigl(
b - x, r+i
\bigr) \Bigr)
,
2\sum
i=1
b+i1 (s)
\Bigl(
e - r+i x - e - r+i b \~V -
\bigl(
b - x, r+i
\bigr) \Bigr) \Biggr)
та
\bfA + =
\left(
2\sum
i=1
a+i (s) e - r+i b \~V -
\bigl(
- b, r+i
\bigr) 2\sum
i=1
b+i1 (s) e
- r+i b \~V -
\bigl(
- b, r+i
\bigr)
2\sum
i=1
a+i (s) e - r+i b \~V -
b
\bigl(
c+1 , r
+
i
\bigr) 2\sum
i=1
b+i1 (s) e
- r+i b \~V -
b
\bigl(
c+1 , r
+
i
\bigr)
\right) .
Розподiл процесу до моменту виходу з iнтервалу (x - b, x) можна записати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1636 Є. В. KАРНАУХ
Hs (b, x, dz) =
r+1 r
+
2
c+1
2\sum
i=1
a+i (s)
min\{ z,0\} \int
x - b
e - r+i (z - y)P - (s, dy) dz -
- \bfm (x) (\bfI - \bfA +)
- 1
\biggl(
\~P -
1 (s, x, z) dz
\~P -
2 (s, x, z) dz
\biggr)
,
де
\~P -
1 (s, x, z) =
r+1 r
+
2
c+1
2\sum
i=1
a+i (s)
z - x\int
- b
e - r+i (z - x - y)P - (s, dy) ,
\~P -
2 (s, x, z) =
r+1 r
+
2
c+1
2\sum
i=1
a+i (s)
\bigl(
r+i - c+1
\bigr) - 1
\left( z - x\int
- \infty
e - c+1 (z - x - y)P - (s, dy) -
-
- b\int
- \infty
e - c+1 ( - T - y)P - (s, dy) er
+
i (z - x+b) -
z - x\int
- b
e - r+i (z - x - y)P - (s, dy)
\right) .
Розглянемо далi випадок d+ = 2, \sigma > 0, тодi кумулянтне рiвняння має три коренi на
пiвплощинi \Re [r] > 0: r+1 (s) < \Re
\bigl[
r+2 (s)
\bigr]
\leq \Re
\bigl[
r+3 (s)
\bigr]
i \bfq + (s) =
r+1 r
+
2 r
+
3
c+1 c
+
2
\bigl(
c+1 c
+
2 , c
+
1 + c+2 , 1
\bigr)
,
\bfe = (0, 0, 1)\top та
\bfR + (s) =
\left( 0 - 1 0
0 0 - 1
r+1 r
+
2 r
+
3 r+1 r
+
2 + r+1 r
+
3 + r+2 r
+
3 r+1 + r+2 + r+3
\right) .
Припустимо, що c+1 < c+2 (додатнi стрибки мають гiперекспоненцiальний розподiл). Тодi
P+ (s, dy) =
r+1 r
+
2 r
+
3
c+1 c
+
2
\Bigl(
a+1 (s) e - r+1 y + a+2 (s) e - r+2 y + a+3 (s) e - r+3 y
\Bigr)
dy,
де
a+1 (s) =
\bigl(
c+1 - r+1
\bigr) \bigl(
c+2 - r+1
\bigr) \bigl(
r+2 - r+1
\bigr) \bigl(
r+3 - r+1
\bigr) , a+2 (s) =
\bigl(
r+2 - c+1
\bigr) \bigl(
c+2 - r+2
\bigr) \bigl(
r+2 - r+1
\bigr) \bigl(
r+2 - r+3
\bigr) , a+3 (s) =
\bigl(
r+3 - c+1
\bigr) \bigl(
r+3 - c+2
\bigr) \bigl(
r+3 - r+1
\bigr) \bigl(
r+3 - r+2
\bigr) .
З формул (5) та (6) маємо
\sansE
\Bigl[
e - s\tau +x , \gamma + (x) = 0, \tau +x < \infty
\Bigr]
=
3\sum
i=1
a+i (s) e - r+i x,
\sansE
\Bigl[
e - s\tau +x , \gamma + (x) \in dv, \tau +x < \infty
\Bigr]
=
\Biggl(
e - c+1 v
3\sum
i=1
b+i1 (s) e
- r+i x + e - c+2 v
3\sum
i=1
b+i2 (s) e
- r+i x
\Biggr)
dv, v > 0,
b+ij (s) = ( - 1)i+j
\prod 2
k \not =i
\Bigl(
c+k - r+j
\Bigr) \prod 3
l=1
\bigl(
c+i - r+l
\bigr)
\bigl(
c+2 - c+1
\bigr) \prod 2
k \not =j
\Bigl(
r+j - r+k
\Bigr) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ПРО РЕЗОЛЬВЕНТУ ПРОЦЕСУ ЛЕВI З МАТРИЧНО-ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНИМ РОЗПОДIЛОМ СТРИБКIВ 1637
Якщо врахувати, що \bfb + (x) =
\Bigl( \sum 3
i=1 a
+
i (s) e - r+i x,
\sum 3
i=1 b
+
i1 (s) e
- r+i x,
\sum 3
i=1 b
+
i2 (s) e
- r+i x
\Bigr)
та
\bfd + (dv) =
\Bigl(
\delta (v) dv, e - c+1 vdv, e - c+2 vdv
\Bigr) \top
, то iнтегральне перетворення набирає вигляду
V+ (x, dv) = \bfb + (x)\bfd + (dv) .
Якщо c+1 = c+2 (стрибки мають розподiл Ерланга) i s \not = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}r>c+1
k (r), то коренi r+1,2,3
рiзнi, але можливо, що коренi r+2 , r
+
3 комплексно-спряженi: r+2 = \nu + - iw+ та r+3 = \nu + + iw+
(детальнiше див. [2], роздiл 3.7). Якщо коренi дiйснi, то формула, отримана вище, для P+ (s, dy)
зберiгається. Вектори \bfb + (x) та \bfd + (dv), якi визначають функцiю V+ (x, dv) , мають зображення
\bfb + (x) =
\Biggl(
3\sum
i=1
a+i (s) e - r+i x, a+1 (s) e - r+1 x, a+2 (s) e - r+2 x, a+3 (s) e - r+3 x
\Biggr)
та
\bfd + (dv) =
\Bigl(
\delta (v) dv, (l1v +m1) e
- c+1 vdv, (l2v +m2) e
- c+1 vdv, (l3v +m3) e
- c+1 vdv
\Bigr) \top
,
де
li = li (s) =
3\prod
k \not =i
\bigl(
c+1 - r+k
\bigr)
та mi = mi (s) =
\sum
k \not =i
r+i - 2c1.
У випадку комплексно-спряжених коренiв формула для P+ (s, dy) має вигляд
P+ (s, dy) =
r+1
\bigl(
\nu 2+ + w2
+
\bigr) \bigl(
c+1
\bigr) 2 \biggl(
a+1 (s) e - r+1 y+
+
\bigl(
a+2 (s) + a+3 (s)
\bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (w+x) e
- \nu +y + i
\bigl(
a+2 (s) - a+3 (s)
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (w+y) e
- \nu +y
\biggr)
dy,
де
a+1 (s) =
\bigl(
c+1 - r+1
\bigr) 2 \Bigl(
w2
+ +
\bigl(
r+1 - \nu +
\bigr) 2\Bigr) - 1
,
a+2 (s) + a+3 (s) =
\bigl(
w2
+ -
\bigl(
c+1 - \nu +
\bigr) \bigl(
c+1 - 2r+1 + \nu +
\bigr) \bigr) \Bigl(
w2
+ +
\bigl(
r+1 - \nu +
\bigr) 2\Bigr) - 1
,
i
\bigl(
a+2 (s) - a+3 (s)
\bigr)
= -
\biggl( \bigl(
c+1
\bigr) 2 \bigl(
\nu + - r+1
\bigr)
+ r+1
\bigl(
w2
+ - \nu 2+
\bigr)
+ \nu +
\bigl(
w2
+ + \nu 2+
\bigr)
-
- 2c+1
\bigl(
w2
+ + \nu +
\bigl(
\nu + - r+1
\bigr) \bigr) \biggr) \Bigl(
w+
\Bigl(
w2
+ +
\bigl(
r+1 - \nu +
\bigr) 2\Bigr) \Bigr) - 1
.
Крiм того,
\bfb + (x) =
\Biggl(
3\sum
i=1
a+i (s) e - r+i x, e - r+1 x, e - \nu +x \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} (w+x) , e
- \nu +x \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} (w+x)
\Biggr)
та
\bfd + (dv) =
\Bigl(
\delta (v) dv, (n1v + k1) e
- c+1 vdv, (n2v + k2) e
- c+1 vdv, (n3v + k3) e
- c+1 vdv
\Bigr)
\top ,
де ni = ni (s) , ki = ki (s) визначенi певними дробовими виразами вiд c+1 , r
+
1 , \nu +, w+ (явнi
формули для ni, ki громiздкi, тому ми їх не наводимо).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1638 Є. В. KАРНАУХ
3. Операторна резольвента. Визначимо однорiдний процес Маркова \eta t = x - Xt, x \in R1,
t \geq 0, тодi операторну резольвенту процесу \eta t зi скороченим часом життя до моменту зупинки
\tau визначено так:
\sansR sf (x) = \sansE
\tau \int
0
e - stf (\eta t) dt, s > 0.
Нехай A — iнфiнiтезимальний оператор процесу \eta t , тодi для довiльної функцiї f з областi
визначення A маємо [6] (формула (7.15))
\sansE
\bigl[
e - s\tau f(\eta \tau )
\bigr]
= f(x) + \sansR sg(x), (12)
де g(x) = Af(x) - sf(x).
Наприклад, якщо Xt — схiдчастий процес
\Biggl(
\sigma = a = 0,
\int \infty
- \infty
\Pi (dx) = \lambda < \infty
\Biggr)
, то формула
має мiсце для довiльної вимiрної обмеженої функцiї, а g(x) =
\int \infty
- \infty
f(x - y)\Pi (dy) - (s+\lambda )f(x).
Зокрема, якщо f(x) =
\Biggl\{
1, x \leq - z,
0, x > - z,
то
\sansE
\bigl[
e - s\tau , X\tau - x \geq z
\bigr]
= \sansR sg(x) для x, z > 0,
де g(x) =
\int \infty
x+z
\Pi (dy) (детальнiше див. [6], § 7).
Позначимо через \sansR 0
s резольвенту з моментом обриву \tau +x , а через \sansR b
s резольвенту з моментом
обриву \tau (x, b).
Теорема 4. Для UME процесу операторнi резольвенти мають зображення
\sansR 0
sf (x) =
\infty \int
0
f(z)
min\{ 0,x - z\} \int
- z
s - 1\bfq +(s)e
- R+(s)(z+y - x)\bfe \sansP
\bigl\{
X -
\theta s
\in dy
\bigr\}
dz, (13)
\sansR b
sf (x) = s - 1p+ (s)
x\int
x - b
f(x - z)M - (dy)+
+s - 1\bfq + (s)
x\int
x - b
f (x - z)
z\int
x - b
e - R+(s)(z - y)M - (dy) dz. (14)
Доведення. Для \sansR 0
sf (x) має мiсце зображення [6] (теорема 6.1)
\sansR 0
sf (x) = s - 1
x\int
- 0
+0\int
- \infty
f (x - z - y)\sansP
\bigl\{
X -
\theta s
\in dy
\bigr\}
\sansP
\bigl\{
X+
\theta s
\in dz
\bigr\}
, s > 0, x > 0.
Пiдставляючи формулу (3), отримуємо (13). Формулу (14) безпосередньо одержуємо з формули
(6.11) [6], застосовуючи теорему 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
ПРО РЕЗОЛЬВЕНТУ ПРОЦЕСУ ЛЕВI З МАТРИЧНО-ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНИМ РОЗПОДIЛОМ СТРИБКIВ 1639
Зауважимо, що безпосередньо переходячи до границi у формулах (13), (14) при s \rightarrow 0 iз
застосуванням наслiдку 2.3 [11], можемо отримати вiдповiднi спiввiдношення для операторного
потенцiалу процесу \eta t .
Для LME процесу з леми 1 маємо
\sansE erX
-
\theta s = p - (s) + \bfq - (s) (\bfR - (s) + r\bfI ) - 1 \bfe ,\Re [r] = 0.
Функцiю \sansE erX
-
\theta s можемо аналiтично продовжити на значення \Re [r] < - \Re
\Bigl[
r - N -
(s)
\Bigr]
i записати
як
\sansE erX
-
\theta s = p - (s) - \bfq - (s)
\infty \int
0
erxeR - (s)x\bfe dx.
Тодi, застосовуючи безмежно подiльну факторизацiю (див., наприклад, формулу (2.1) [7]), одер-
жуємо
1
k (r) - s
= - s - 1\sansE erX
-
\theta s\sansE erX
+
\theta s =
= - s - 1
\left( p - (s) - \bfq - (s)
\infty \int
0
erxeR - (s)x\bfe dx
\right) \infty \int
0
ery\sansP
\bigl\{
X+
\theta s
\in dy
\bigr\}
.
Звiдcи шляхом обернення по r можемо визначити ядро Rs (x) — аналог функцiї шкали для
процесу зi стрибками лише одного знакa (див., наприклад, [14])
1
k (r) - s
=
\infty \int
0
erxRs (dx) ,\Re [r] < - \Re
\Bigl[
r - N -
(s)
\Bigr]
,
як
Rs (dx) = s - 1\bfq - (s)
x\int
0
eR - (s)(x - y)\sansP
\bigl\{
X+
\theta s
\in dy
\bigr\}
\bfe dx - s - 1p - (s)\sansP
\bigl\{
X+
\theta s
\in dx
\bigr\}
.
Позначимо R (s, x) = s - 1\bfq - (s)
\int x
0
eR - (s)(x - y)\sansP
\bigl\{
X+
\theta s
\in dy
\bigr\}
\bfe , тодi у випадку (NS)+ має-
мо p - (s) = 0 та Rs (dx) = R (s, x) dx. Якщо \sigma = 0, a > 0, то p+ (s) = 0 i Rs (dx) =
=
\biggl(
R (s, x) - s - 1p - (s)
\partial
\partial x
\sansP
\bigl\{
X+
\theta s
< x
\bigr\} \biggr)
dx. Для схiдчастого процесу Xt , тобто якщо \sigma =
= a = 0, \lambda =
\int
R
\Pi (dx) < \infty , отримуємо
Rs (dx) =
\biggl(
R (s, x) - s - 1p - (s)
\partial
\partial x
\sansP
\bigl\{
X+
\theta s
< x
\bigr\}
- (s+ \lambda ) - 1 \delta (x)
\biggr)
dx.
Це спiввiдношення є узагальненням формули (5.180) [2], отриманої для майже напiвнепе-
рервного знизу процесу, з урахуванням того, що R (s, x) = q - (s)R0
s (x) та
1
c - 1
\partial
\partial x
R0
s (x) =
= s - 1p - (s)
\partial
\partial x
\sansP
\bigl\{
X+
\theta s
< x
\bigr\}
+ p - (s)R0
s (x) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
1640 Є. В. KАРНАУХ
За допомогою ядра Rs (dx) операторну резольвенту для LME процесу можна записати у
виглядi
\sansR 0
sf (x) = s - 1\bfq - (s)
\infty \int
0
f (y) e - R - (s)ydy
x\int
0
eR - (s)(x - y)\sansP
\bigl\{
X+
\theta s
\in dz
\bigr\}
\bfe -
-
x\int
0
f (x - z)Rs (dz) .
Зауважимо, що для того, щоб отримати повнiстю визначенi вирази для операторної резоль-
венти UME процесiв, необхiдно знайти розподiл мiнiмуму процесу, зупиненого в момент \theta s .
Для цього можна застосувати тотожнiсть безмежно подiльної факторизацiї. Для DME процесiв
можемо використати той факт, що X -
\theta s
має ME розподiл.
Крiм того, для достатньо великих d+ визначення точних значень для резольвенти iстот-
но залежить вiд точностi знайдених коренiв кумулянтного рiвняння. Це пов’язано з певними
труднощами, якi можуть виникнути пiд час обчислення матричних експонент (див. [1], A3).
Лiтература
1. Assmussen S., Albrecher H. Ruin probabilities. – Singapore: World Sci., 2010. – 602 p.
2. Gusak D. Boundary functionals for Lévy processes and their applications. – Lambert Acad. Publ., 2014. – 412 p.
3. Cont R., Tankov P. Financial modeling with jump processes. – New York: Chapman & Hall/CRC, 2004. – 528 p.
4. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. – М.: Физматгиз, 1963. – 859 c.
5. Королюк В. С. Граничные задачи для сложных пуассоновских процессов. – Киев: Наук. думка, 1975. – 138 c.
6. Братийчук Н. С., Гусак Д. В. Граничные задачи для процессов с независимыми приращениями. – Киев: Наук.
думка, 1990. – 264 с.
7. Гусак Д. В. Процеси з незалежними приростами в теорiї ризику. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2011. –
544 с.
8. Bertoin J. Lévy processes. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1996. – 265 p.
9. Каданков В. Ф., Каданкова Т. В. О распределении момента выхода из интервала и величины перескока границы
для процессов с независимыми приращениями и случайных блужданий // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 10. –
С. 1359 – 1384.
10. Lewis A. L., Mordecki E. Wiener – Hopf factorization for Lévy processes having negative jumps with rational
transforms // J. Appl. Probab. – 2008. – 45, № 1. – P. 118 – 134.
11. Karnaukh Ie. Distribution of some functionals for a Lévy process with matrix-exponential jumps of one sign // Theory
Stochast. Process. – 2014. – 19(35), № 1. – P. 26 – 36.
12. Kuznetsov A., Kyprianou A. E., Pardo J. C. Meromorphic Levy processes and their fluctuation identities // Ann. Appl.
Probab. – 2012. – 22, № 3. – P. 1101 – 1135.
13. Fourati S. Explicit solutions of the exit problem for a class of Lévy processes; applications to the pricing of
double-barrier options // Stochast. Process. and Appl. – 2012. – 122, № 3. – P. 1034 – 1067.
14. Renaud J.-F., Guerin H. Joint distribution of a spectrally negative Levy process and its occupation time, with step
option pricing in view // Adv. Appl. Probab. – 2016. – 48, № 1. – P. 274 – 297.
Одержано 27.05.15,
пiсля доопрацювання — 25.09.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2016, т. 68, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1949 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:15:47Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/07/49e4af2c09e03515be8c8e7629d79b07.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-19492019-12-05T09:32:42Z On resolvent of the Levy process with matrix-exponential distribution of jumps Про резольвенту процесу Леві з матрично-експоненціальним розподілом стрибків Karnaukh, E. V. Карнаух, Є. В. We consider the representations of resolvent for a Levy process whose jumps have a matrix-exponential distribution. Рассматриваются представления резольвенты для процесса Леви со скачками, которые имеют матрично-экспоненциальное распределение Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2016-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1949 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 68 No. 12 (2016); 1629-1640 Український математичний журнал; Том 68 № 12 (2016); 1629-1640 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1949/931 Copyright (c) 2016 Karnaukh E. V. |
| spellingShingle | Karnaukh, E. V. Карнаух, Є. В. On resolvent of the Levy process with matrix-exponential distribution of jumps |
| title | On resolvent of the Levy process with matrix-exponential distribution of jumps |
| title_alt | Про резольвенту процесу Леві з матрично-експоненціальним розподілом
стрибків |
| title_full | On resolvent of the Levy process with matrix-exponential distribution of jumps |
| title_fullStr | On resolvent of the Levy process with matrix-exponential distribution of jumps |
| title_full_unstemmed | On resolvent of the Levy process with matrix-exponential distribution of jumps |
| title_short | On resolvent of the Levy process with matrix-exponential distribution of jumps |
| title_sort | on resolvent of the levy process with matrix-exponential distribution of jumps |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1949 |
| work_keys_str_mv | AT karnaukhev onresolventofthelevyprocesswithmatrixexponentialdistributionofjumps AT karnauhêv onresolventofthelevyprocesswithmatrixexponentialdistributionofjumps AT karnaukhev prorezolʹventuprocesulevízmatričnoeksponencíalʹnimrozpodílomstribkív AT karnauhêv prorezolʹventuprocesulevízmatričnoeksponencíalʹnimrozpodílomstribkív |